--> Skip to main content

Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Integral Tak tentu dan Tentu Fungsi Aljabar (48)

Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Integral Tak tentu dan Tentu Fungsi Aljabar
Catatan calon guru coba membahas tentang Soal-soal dan Pembahasan Matematika Dasar Integral Tak tentu dan Tentu untuk Fungsi Aljabar. Agar lebih mudah belajar integral fungsi ini ada baiknya kita sudah belajar tentang tentang matematika dasar turunan fungsi.
Integral fungsi dan turunan fungsi itu ibarat penjumlahan dan pengurangan, jadi jika kita mau belajar integral fungsi maka setidaknya kita harus belajar turunan fungsi terlebih dahulu.

Integral fungsi pada kurikulum 2013 dipelajari pada matematika wajib atau matematika umum kelas XI. Integral fungsi pada kurikulum 2013 dibagi dalam beberapa kompetensi dasar yaitu:
  • 3.10 Mendeskripsikan integral tak tentu (anti turunan) fungsi aljabar dan menganalisis sifat-sifatnya berdasarkan sifat-sifat turunan fungsi
  • 4.10 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu (anti turunan) fungsi aljabar

Jika dilihat dari kompetensi dasar integral fungsi di atas, apa yang diharapkan oleh pemerintah sangat dasar hanya sampai pada integral tak tentu. Tetapi belajar integral fungsi tanpa belajar integral tentu atau luas daerah seperti makan sayur tanpa garam. Jadi diskusi integral fungsi kita berikut ini sampai kepada menggunakan integral fungsi untuk menghitung luas daerah atau volume ruang, tergantung dari soal yang berkembang.

DEFINISI INTEGRAL FUNGSI TAK TENTU


Ketika akan menyelesaikan persamaan diferensial dari bentuk $\dfrac{dy}{dx}=f(x)$ dapat kita tulis dalam bentuk $dy=f(x)dx$. Secara umum, jika $F(x)$ menyatakan fungsi dalam variabel $x$, dengan $f(x)$ turunan dari $F(x)$ dan $c$ konstanta bilangan real maka integral tak tentu dari $f(x)$ dapat dituliskan dalam bentuk: $\int f(x)dx=F(x)+c$
dibaca:"integral fungsi $f(x)$ ke $x$ sama dengan $F(x)+c$"

Keterangan Tambahan:
$\int f(x) = \text{notasi integral tak tentu}$
$F(x)+c = \text{fungsi antiturunan}$
$f(x) = \text{fungsi yang diintegralkan (integran)}$
$c = \text{konstanta}$
$d(x) = \text{diferensial (turunan) dari}\ x$

ATURAN DASAR INTEGRAL TAK TENTU


  • $\int dx= x + c$
  • $\int k\ dx= kx + c$
  • $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$
  • $\int k f(x)\ dx=k \int f(x)dx$
  • $\int \left[f(x) + g(x) \right]dx=\int f(x)dx + \int g(x)dx$
  • $\int \left[f(x) - g(x) \right]dx=\int f(x)dx - \int g(x)dx$
  • $\int a^{x} dx= \left (\dfrac{1}{ln\ a} \right )a^{x} + c$
  • $\int a^{u(x)} dx= \left (\dfrac{1}{u'(x)\ ln\ a} \right )a^{u(x)} + c$
  • $\int \dfrac{1}{x} dx= ln\ \left |x \right | + c$
  • $\int \dfrac{1}{u(x)} dx= \dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left |u(x) \right | + c$
  • $\int e^{x} dx= e^{x} + c$
  • $\int e^{u(x)} dx= \dfrac{1}{u'(x)}e^{u(x)} + c$

INTEGRAL PARSIAL


$\int u\ dv=u \cdot v-\int v\ du$

INTEGRAL TENTU


Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ adalah antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka:
$\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

SIFAT INTEGRAL TENTU


  • $\int \limits_{a}^{a}f(x)dx=0$
  • $ \int \limits_{a}^{b} k f(x) dx = k \int \limits_{a}^{b} f(x) dx $
  • $ \int \limits_{a}^{b} [ f(x) + g(x) ] dx = \int \limits_{a}^{b} f(x) dx + \int \limits_{a}^{b} g(x) dx $
  • $ \int \limits_{a}^{b} [ f(x) - g(x) ] dx = \int \limits_{a}^{b} f(x) dx - \int \limits_{a}^{b} g(x) dx $
  • $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=-\int \limits_{b}^{a}f(x)dx$
  • $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=\int \limits_{a}^{p}f(x)dx+\int \limits_{p}^{b}f(x)dx$
  • $\int \limits_{a}^{b} f(x) dx = \int \limits_{a+c}^{b+c} f(x-c) dx$
  • $\int \limits_{a}^{b} f(x) dx = \int \limits_{a-c}^{b-c} f(x+c) dx$
  • $\int \limits_{a}^{b}f(-x)dx=-\int \limits_{-a}^{-b}f(x)dx$
  • Jika $f(x)$ fungsi genap $f(-x)=f(x)$ maka $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =2\int \limits_{0}^{a} f(x)dx $
  • Jika $f(x)$ fungsi ganjil $f(-x)=-f(x)$ maka $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =0$
  • Jika $f$ periodik dengan periode $p$, maka $\int \limits_{a+p}^{b+p} f(x)dx =\int \limits_{a }^{b } f(x)dx$
    "Suatu fungsi $f$ adalah periodik jika terdapat suatu bilangan $p$ sedemikian sehingga $f(x+p)=f(x)$"
Untuk memantapkan beberapa aturan dasar integral fungsi diatas, mari kita coba beberapa soal latihan yang kita pilih secara acak dari soal-soal Ujian Nasional atau seleksi masuk perguruan tinggi negeri atau swasta😊.

1. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)

Hasil dari $\int \limits 4x\ \left ( x^{2}-1 \right )^{5}\ dx $ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C \\
(B)\ & -\dfrac{1}{6} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C \\
(C)\ & \dfrac{1}{6} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C \\
(D)\ & \dfrac{1}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C \\
(E)\ & \dfrac{4}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C \\
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

Hasil $\int \limits 4x\ \left ( x^{2}-1 \right )^{5}\ dx $ kita coba kerjakan dengan pemisalan;
Misal:
$u=x^{2}-1$
$\dfrac{du}{dx}=2x$
$du=2x\ dx$

Soal diatas, kini bisa kita rubah menjadi;
$\int \limits 4x\ \left ( x^{2}-1 \right )^{5}\ dx $
$=\int \limits 2 \cdot 2x\ u^{5}\ dx $
$=\int \limits 2 u^{5}\ 2x\ dx $
$=\int \limits 2 u^{5}\ du $
$=\dfrac{2}{5+1} u^{5+1}+C $
$=\dfrac{2}{6} u^{6}+C $
Lalu kita kembalikan nilai $u=x^{2}-1$
$=\dfrac{1}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} +C $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C $

2. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)

Diketahui $\int \limits_{0}^{3} \left ( x^{2}-2px+p+2 \right ) dx=3$. Nilai $p$ yang memenuhi adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

$ \begin{align}
\int \limits_{0}^{3} \left ( x^{2}-2px+p+2 \right ) dx & = 3 \\
\left [\dfrac{1}{3}x^{3}-px^{2}+px+2x \right ]_{0}^{3} & = 3 \\
\left [\dfrac{1}{3}(3)^{3}-p(3)^{2}+p(3)+2(3) \right ]-\left [0 \right ] & = 3 \\
\left [9-9p+3p+6 \right ]-0 & = 3 \\
\left [15-6p \right ] & = 3 \\
15-3 & = 6p \\
12 & = 6p \\
2 & = p
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

3. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)

$ \int \limits_{0}^{1} \left ( 3x-1 \right )\left ( x+2 \right ) dx=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & \dfrac{3}{2} \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 6 \\
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{1} \left ( 3x-1 \right )\left ( x+2 \right ) dx \\
& = \int \limits_{0}^{1} \left ( 3x^{2}+6x-x-2 \right ) dx \\
& = \int \limits_{0}^{1} \left ( 3x^{2}+5x -2 \right ) dx \\
& = \left [ \dfrac{3}{2+1}x^{2+1}+\dfrac{5}{1+1}x^{1+1}-2x \right ]_{0}^{1} \\
& = \left [ x^{3}+\dfrac{5}{2}x^{2}-2x \right ]_{0}^{1} \\
& = \left [ (1)^{3}+\dfrac{5}{2}(1)^{2}-2(1) \right ] - \left [0 \right ] \\
& = \left [ 1+\dfrac{5}{2}-2 \right ] \\
& = \dfrac{3}{2}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ \dfrac{3}{2}$

4. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)

Diketahui $\int \limits_{-1}^{1} \left ( 4x^{2}-12x+9 \right )\ dx$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & 24 \dfrac{4}{6} \\
(B)\ & 24 \dfrac{3}{6} \\
(C)\ & 20 \dfrac{4}{6} \\
(D)\ & 20 \dfrac{1}{6} \\
(E)\ & 16 \dfrac{1}{6} \\
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

$ \begin{align}
& \int \limits_{-1}^{1} \left ( 4x^{2}-12x+9 \right )\ dx \\
& = \left [\dfrac{4}{3}x^{3}-\dfrac{12}{2}x^{2}+9x \right ]_{-1}^{1} \\
& = \left [\dfrac{4}{3}x^{3}-6x^{2}+9x \right ]_{-1}^{1} \\
& = \left [\dfrac{4}{3}(1)^{3}-6(1)^{2}+9(1) \right ]-\left [\dfrac{4}{3}(-1)^{3}-6(-1)^{2}+9(-1) \right ] \\
& = \left [\dfrac{4}{3}-6+9 \right ]-\left [-\dfrac{4}{3} -6-9 \right ] \\
& = \dfrac{4}{3}+3 +\dfrac{4}{3}+15 \\
& = \dfrac{8}{3}+18 \\
& = 20\dfrac{2}{3}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 20 \dfrac{2}{3}$

5. Soal Simulasi UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^{2}+6x$, $y=-x^{2}-2x$. garis $x=-3$, dan $x=-1$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & 9\dfrac{1}{3} \\
(B)\ & 10\dfrac{2}{3} \\
(C)\ & 11\dfrac{1}{3} \\
(D)\ & 13\dfrac{2}{3} \\
(E)\ & 14\dfrac{2}{3}
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

Keterangan pada soal jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

Matematika Dasar Integral Fungsi (*Soal Dari Berbagai Sumber)
Dalam penulisan integral gambar diatas kita terjemahkan kurang lebih seperti berikut ini;
$\left | \int \limits_{-3}^{-1}\left ((x^2+6x)-(-x^2-2x) \right ) dx \right |$
$=\left | \int \limits_{-3}^{-1}\left (x^2+6x+x^2+2x \right ) dx \right |$
$=\left | \int \limits_{-3}^{-1}\left (2x^2+8x \right ) dx \right |$
$=\left | \left [\dfrac{2}{3}x^3+4x^2 \right ]_{-3}^{-1} \right |$
$=\left | \left [\dfrac{2}{3}(-1)^3+4(-1)^2 \right ]-\left [\dfrac{2}{3}(-3)^3+4(-3)^2 \right ] \right |$
$=\left | \left [-\dfrac{2}{3}+4 \right ]-\left [\dfrac{-54}{3}+36 \right ] \right |$
$=\left | \left [\dfrac{10}{3} \right ]-\left [-18+36 \right ] \right |$
$=\left | \dfrac{10}{3}-18 \right |$
$=\left | \dfrac{10}{3}-\dfrac{54}{3} \right |$
$=\left | -\dfrac{44}{3} \right |$
$=\left | -14\dfrac{2}{3} \right |$
$=14\dfrac{2}{3}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ 14\dfrac{2}{3}$

6. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)

Hasil dari $\int \limits \left ( 2x-\dfrac{1}{2x} \right )^{2} dx $ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & \dfrac{2}{3}x^{3}-\dfrac{1}{2x}-2x + C \\
(B)\ & \dfrac{2}{3}x^{3}+\dfrac{1}{2x}-2x + C \\
(C)\ & \dfrac{4}{3}x^{3}-\dfrac{1}{2x}+2x + C \\
(D)\ & \dfrac{4}{3}x^{3}-\dfrac{1}{4x}-2x + C \\
(E)\ & \dfrac{4}{3}x^{3}+\dfrac{1}{4x}-2x + C
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

$ \begin{align}
& \int \limits \left ( 2x-\dfrac{1}{2x} \right )^{2} dx \\
& = \int \limits \left ( 4x^{2}-2+\dfrac{1}{4x^{2}} \right ) dx \\
& = \int \limits \left ( 4x^{2}-2+\dfrac{1}{4}x^{-2} \right ) dx \\
& = \dfrac{4}{2+1}x^{2+1}-2x+\dfrac{\frac{1}{4}}{-2+1}x^{-2+1} + C \\
& = \dfrac{4}{3}x^{3}-2x-\dfrac{1}{4x}+C
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{4}{3}x^{3}-\dfrac{1}{4x}-2x + C$

7. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)

Hasil dari $\int \limits \left ( \dfrac{-16-6x^{4}}{x^{2}} \right ) dx $ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & \dfrac{16}{x}+2x^{3} + C \\
(B)\ & \dfrac{16}{x}-2x^{3} + C \\
(C)\ & -\dfrac{16}{x}-x^{3} + C \\
(D)\ & -\dfrac{8}{x}+2x^{3} + C \\
(E)\ & \dfrac{8}{x}-2x^{3} + C
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

$ \begin{align}
& \int \limits \left ( \dfrac{-16-6x^{4}}{x^{2}} \right ) dx \\
& = \int \limits \left ( \dfrac{-16}{x^{2}} - \dfrac{6x^{4}}{x^{2}} \right ) dx \\
& = \int \limits \left ( -16 x^{-2} -6x^{4-2} \right ) dx \\
& = \int \limits \left ( -16 x^{-2} -6x^{2} \right ) dx \\
& = \dfrac{-16}{-2+1} x^{-2+1} -\dfrac{6}{2+1}x^{2+1}+C \\
& = 16 x^{-1} -2x^{3}+C \\
& = \dfrac{16}{x}-2x^{3}+C
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{16}{x}-2x^{3} + C $

8. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 (*Soal Lengkap)

Jika $f(x)$ fungsi kontinu di interval $[1,30]$ dan $\int \limits_{6}^{30} f(x)\ dx=30$ maka $\int \limits_{1}^{9} f(3y+3)\ dy=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 15 \\
(D)\ & 18 \\
(E)\ & 27
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan $\int \limits_{1}^{9} f(3y+3)\ dy$ kita coba sederhanakan fungsi dengan memisalkan $x=3y+3$, sehingga beberapa perubahan juga terjadi yaitu:

  • karena $x=3y+3$, maka
    $ \begin{align}
    dx & = 3 dy \\
    \dfrac{1}{3}dx & = dy
    \end{align} $
  • batas bawah yaitu $y=1$ mengakibatkan $x=3y+3=6$
  • batas atas yaitu $y=9$ mengakibatkan $x=3y+3=30$
dari perubahan di atas, soal dapat kita tulis menjadi;
$ \begin{align}
\int \limits_{1}^{9} f(3y+3)\ dy &= \int \limits_{6}^{30} f(x)\ \dfrac{1}{3} dx \\
&= \dfrac{1}{3} \int \limits_{6}^{30} f(x)\ dx \\
&= \dfrac{1}{3} \times 30 \\
& = 10
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10$

9. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^{3}$, garis $x=1$, dan sumbu $x$ diputar mengelilingi sumbu $y$. Volume benda putar yang terbentuk adalah...satuan volume.
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4}\pi \\
(B)\ & \dfrac{2}{5}\pi \\
(C)\ & \dfrac{3}{5}\pi \\
(D)\ & \dfrac{2}{3}\pi \\
(E)\ & \dfrac{3}{2}\pi
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Integral Fungsi yaitu;

  • Volume benda putar terhadap sumbu-$x$ yang dibatasi oleh $y_{2}$ dan $y_{1}$ dari $a$ ke $b$ adalah $V=\pi \int \limits_{a}^{b}\left ( y_{2}-y_{1} \right)^{2}dx$
  • Volume benda putar terhadap sumbu-$y$ yang dibatasi oleh $x_{2}$ dan $x_{1}$ dari $a$ ke $b$ adalah $V=\pi \int \limits_{a}^{b}\left ( x_{2}-x_{1} \right)^{2}dy$
Daerah yang dibatasi oleh $y=x^{3}$, garis $x=1$, dan sumbu $x$, jika kita gambarkan ilustrasinya kurang lebih seperti berikut ini;
Bank Soal Matematika Dasar Integral Fungsi (*Soal dan Pembahasan)
Titik potong kurva $y=x^{3}$ dan garis $x=1$ adalah $(1,1)$
Titik potong kurva $y=x^{3}$ dan sumbu-$x$ atau $y=0$ adalah $(0,0)$

Volume benda putar yang dibatasi oleh $y=x^{3}$, garis $x=1$, dan sumbu $x$ dan diputar mengelilingi sumbu-$y$;
$\begin{align}
V &= \pi \int \limits_{a}^{b}\left ( x_{2}-x_{1} \right)^{2}dy \\
&= \pi \int \limits_{0}^{1} \left ( \left ( 1 \right)^{2}-\left( y^{\frac{1}{3}} \right)^{2} \right)dy \\
&= \pi \int \limits_{0}^{1} \left( 1- y^{\dfrac{2}{3}} \right) dy \\
&= \pi \left[ y- \dfrac{3}{5} y^{\dfrac{5}{3}} \right]_{0}^{1} \\
&= \pi \left[ 1- \dfrac{3}{5} (1)^{\dfrac{5}{3}} \right]-[0] \\
&= \pi \left[ 1- \dfrac{3}{5} \right] \\
&= \dfrac{2}{5} \pi
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{2}{5} \pi$


10. Soal Latihan Matematika TryOut Masuk PTN (*Soal Request)

Misalkan $f$ fungsi yang memenuhi $f(x)=f(x+2)$. Untuk setiap $a$ tak nol, misalkan $\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx=k$, untuk $a$ bilangan bulat positif, berapakah $\int \limits_{0}^{2020} f(x+2a)\ dx=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & a \\
(B)\ & k \\
(C)\ & 1010a \\
(D)\ & 1010k \\
(E)\ & 1010ak
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

Kita ketahui bahwa "Jika $f$ periodik dengan periode $p$, maka $\int \limits_{a+p}^{b+p} f(x)dx =\int \limits_{a }^{b } f(x)dx$"
Dimana suatu fungsi $f$ adalah periodik jika terdapat suatu bilangan $p$ sedemikian sehingga $f(x+p)=f(x)$.

Karena $f(x)=f(x+2)$, maka:
$ \begin{align}
f(x) &= f(x+2) \\
f(x+2) &= f(x+4) \\
f(x+4) &= f(x+6) \\
& \vdots \\
f(x) &= f(x+2a) \\
\end{align} $

Karena $f(x)=f(x+2a)$, maka $\int \limits_{0}^{2020} f(x+2a) dx = \int \limits_{0}^{2020} f(x)\ dx$

$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{2020} f(x) dx \\
&= \int \limits_{0}^{2} f(x) dx + \int \limits_{2}^{4} f(x) dx + \cdots + \int \limits_{2018}^{2020} f(x) dx \\
&= \int \limits_{0}^{2} f(x) dx + \int \limits_{2-2}^{4-2} f(x+2) dx + \cdots + \int \limits_{2018-2018}^{2020-2018} f(x+2018) dx \\
&= \int \limits_{0}^{2} f(x) dx + \int \limits_{0}^{2} f(x+2) dx + \cdots + \int \limits_{0}^{2} f(x+2018) dx \\
&= k + k + k + \cdots + k \\
&= 1010k
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1010k$

11. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diberikan fungsi $f$ dengan $f(x+3)=f(x)$ untuk tiap $x$. Jika $\int \limits_{-3}^{6} f(x)\ dx = -6$, maka $\int \limits_{3}^{9} f(x)\ dx = \cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & -4 \\
(B)\ & -6 \\
(C)\ & -8 \\
(D)\ & -10 \\
(E)\ & -12
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang sifat integral tentu;

  • $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx + \int \limits_{b}^{c} f(x)\ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx$
  • Jika $f$ periodik dengan periode $p$, maka $\int \limits_{a+p}^{b+p} f(x)dx =\int \limits_{a }^{b } f(x)dx$
    $'$Suatu fungsi $f$ adalah periodik jika terdapat suatu bilangan $p$ sedemikian sehingga $f(x+p)=f(x)$$'$
Karena $f(x+3)=f(x)$ maka $f(x)$ periodik dengan periode $3$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
\int \limits_{3}^{9} f(x) dx &= \int \limits_{0}^{6} f(x) \\
\hline
-6 &= \int \limits_{-3}^{6} f(x) dx \\
-6 &= \int \limits_{-3}^{0} f(x) dx +\int \limits_{0}^{3} f(x) dx+\int \limits_{3}^{6} f(x) dx \\
-6 &= \int \limits_{-3}^{0} f(x) dx +\int \limits_{0}^{3} f(x) dx+\int \limits_{3-3}^{6-3} f(x+3) dx \\
-6 &= \int \limits_{0}^{3} f(x) dx +\int \limits_{0}^{3} f(x) dx+\int \limits_{0}^{3} f(x) dx \\
-6 &= 3 \int \limits_{0}^{3} f(x) dx \\
-2 &= \int \limits_{0}^{3} f(x) dx \\
\hline
\int \limits_{3}^{9} f(x) dx & = \int \limits_{0}^{6} f(x) \\
& = \int \limits_{0}^{3} f(x) + \int \limits_{3}^{6} f(x)\\
& = \int \limits_{0}^{3} f(x) + \int \limits_{3-3}^{6-3} f(x+3)\\
& = \int \limits_{0}^{3} f(x) + \int \limits_{0}^{3} f(x)\\
& = (-2) + (-2) \\
&= -4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A) \ -4$

12. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Nilai $a$ yang memenuhi $\int \limits_{a}^{1} 12x \left ( x^{2}+1 \right)^{2}dx=14$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Integral Fungsi yaitu Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ adalah antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.
Daerah yang dibatasi oleh $y=x^{3}$, garis $x=1$, dan sumbu $x$, jika kita gambarkan ilustrasinya kurang lebih seperti berikut ini;
$\begin{align}
\int \limits_{a}^{1} 12x \left ( x^{2}+1 \right)^{2}dx &= 14 \\
\int \limits_{a}^{1} 12x \left ( x^{4}+2x^{2}+1 \right) dx &= 14 \\
\int \limits_{a}^{1} \left ( 12x^{5}+24x^{3}+12x \right) dx &= 14 \\
\left[ 2x^{6}+6x^{4}+6x^{2} \right]_{a}^{1} &= 14 \\
\left[ 2(1)^{6}+6(1)^{4}+6(1)^{2} \right]-\left[ 2a^{6}+6a^{4}+6a^{2} \right] &= 14 \\
\left[ 2+6+6 \right]-\left[ 2a^{6}+6a^{4}+6a^{2} \right] &= 14 \\
-\left[ 2a^{6}+6a^{4}+6a^{2} \right] &= 14-14 \\
-\left[ 2a^{6}+6a^{4}+6a^{2} \right] &= 0 \\
a^{2} \left( 2a^{4}+6a^{2}+6 \right) &= 0 \\
a=0\ \text{atau}\ 2a^{4}+6a^{2}+6 &= 0
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 0$

13. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

$\int \limits_{-3}^{3} \left| x-2x-3 \right| dx=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 18 \\
(C)\ & \dfrac{68}{3} \\
(D)\ & \dfrac{64}{3} \\
(E)\ & 9
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Integral Fungsi yaitu Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ adalah antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.

Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak

Jika kita akan menentukan integral harga mutlak $ f(x) $ dari batas $a \leq b \leq c$ maka dapat kita hitung dengan fungsi mutlaknya dipecah menjadi:
$ |f(x)| =
\left\{\begin{array}{cc}
f(x) & , x \geq b \\
-f(x) & , x \lt b
\end{array} \right. $
Maka Integralnya dapat dihitung dengan menjadi:
$ \int \limits_a^c \, |f(x)| \, dx = \int \limits_a^b \, f(x) \, dx + \int \limits_b^c \, -f(x) \, dx $.

$\int \limits_{-3}^{3} \left| x-2x-3 \right| dx = \int \limits_{-3}^{3} \left| -x-3 \right|$
$ \left| -x-3 \right| = -x-3$ untuk $ -x-3 \geq 0$ atau $ x \leq -3$
$ \left| -x-3 \right| = -(-x-3)$ untuk $ -x-3 \lt 0$ atau $ x \gt -3$
Karena batas integral yang diminta dari $-3 \leq x \leq 3$ sesuai dengan batas positif $ x \gt -3$ maka dari defenisi harga mutlak di atas yang kita pakai hanya bagian $ \left| -x-3 \right| = -(-x-3)=x+3$.
$\begin{align}
\int \limits_{-3}^{3} \left( x+3 \right) dx & = \left[ \dfrac{1}{2}x^{2}+3x \right]_{-3}^{3} \\
& = \left[ \dfrac{1}{2}(3)^{2}+3(3) \right]-\left[ \dfrac{1}{2}(-3)^{2}+3(-3) \right] \\
& = \left[ \dfrac{9}{2} +9 \right]-\left[ \dfrac{9}{2}-9 \right] \\
& = \dfrac{9}{2} +9 - \dfrac{9}{2}+9 \\
& = 18
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 18$

14. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Jika luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=\sqrt{px}$ dan garis $y=x$ adalah $\dfrac{2}{3}$, maka nilai $p$ yang memenuhi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{3}\sqrt{6} \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & \dfrac{5}{2} \\
(D)\ & 2\ \text{atau}\ -2 \\
(E)\ & \dfrac{5}{2}\ \text{atau}\ -\dfrac{5}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Integral Fungsi yaitu Luas daerah yang dibatasi oleh $y_{2}$ dan $y_{1}$ dimana $y_{2}$ dan $y_{1}$ berpotongan pada $a$ dan $b$ maka $L=\left| \int \limits_{a}^{b} \left( y_{2}-y_{1} \right) dx \right|$.

Titik potong kurva $y=\sqrt{px}$ dan garis $y=x$ adalah;
$\begin{align}
\sqrt{px} &= x \\
px &= x^{2} \\
x^{2} - px &= 0 \\
x(x - p) &= 0 \\
x=0\ &\ x=p
\end{align}$

Luas daerah yang dibatasi kurva $y=\sqrt{px}$ dan garis $y=x$ adalah $\dfrac{2}{3}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
L &= \left| \int \limits_{a}^{b} \left( y_{2}-y_{1} \right) dx \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \int \limits_{0}^{p} \left( \sqrt{px}-x \right) dx \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \left[ \dfrac{2}{3} \cdot (px)^{\frac{3}{2}} \cdot \dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{2} \cdot (x)^{2} \right]_{0}^{p} \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \left[ \dfrac{2}{3} \cdot (p \cdot p)^{\frac{3}{2}} \cdot \dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{2} \cdot (p)^{2} \right]-[0] \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \dfrac{2}{3} \cdot p^{3} \cdot \dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{2} \cdot p^{2} \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \dfrac{2}{3} p^{2} -\dfrac{1}{2} p^{2} \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \dfrac{1}{6} p^{2} \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \dfrac{1}{6} p^{2} \\
4 &= p^{2} \\
\pm \sqrt{4} &= p \\
\pm 2 &= p
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 2\ \text{atau}\ -2$

15. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

$\int \left ( 12x^{2}-4x+1 \right )\ dx =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 6x^{3}-4x^{2}+x + C \\
(B)\ & 6x^{3}-4x^{2} + C \\
(C)\ & 4x^{3}+2x^{2}+x + C \\
(D)\ & 4x^{3}-2x^{2}+x + C \\
(E)\ & 4x^{3}+2x^{2}+x + C
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
&\int \left ( 12x^{2}-4x+1 \right )\ dx \\
& = \dfrac{12}{2+1}x^{2+1}-\dfrac{4}{1+1}x^{1+1}+1x+C\\
& = 4x^{3}-2x^{2}+ x+C
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4x^{3}-2x^{2}+x + C$

16. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Hasil dari $\int \left ( x-2 \right ) \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{5}\ dx $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{3} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} + C \\
(B)\ & \dfrac{1}{6} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} + C \\
(C)\ & \dfrac{1}{12} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} + C \\
(D)\ & \dfrac{1}{6} \left ( x-2 \right )^{2} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} + C \\
(E)\ & \dfrac{1}{6} \left ( x-2 \right )^{2} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} + C
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan pemisalan;

misal:
$\begin{align}
u & = x^{2}-4x+3 \\
\dfrac{du}{dx} & = 2x-4 \\
\dfrac{du}{dx} & = 2 (x-2) \\
\dfrac{1}{2}\ du & = (x-2)\ dx
\end{align}$

Soal di atas, kini bisa kita rubah menjadi;
$\begin{align}
&\int \left ( x-2 \right ) \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{5}\ dx \\
& = \int u^{5} \left ( x-2 \right )\ dx \\
& = \int u^{5} \cdot \dfrac{1}{2}\ du \\
& = \dfrac{1}{5+1} u^{5+1} \cdot \dfrac{1}{2}+C \\
& = \dfrac{1}{12} u^{6} +C \\
& = \dfrac{1}{12} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} +C \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{12} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} + C$

17. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui $f(x)$ merupakan fungsi genap, Jika $\int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx = 16$, $\int \limits_{3}^{4} f(2x-2)\ dx = 11$ dan $\int \limits_{-5}^{-1} f(1-x)\ dx = 6$, maka $\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx = \cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 22 \\
(B)\ & 23 \\
(C)\ & 24 \\
(D)\ & 25 \\
(E)\ & 26
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang fungsi genap;

  • Berlaku $f(-x)=f(x)$
  • Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat sumbu $y$
  • Jika dipakai pada integral, ciri fungsi genap ini adalah $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =2\int \limits_{0}^{a} f(x)dx $
$\begin{align}
\int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx = 16\ & \Rightarrow\ 2 \int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx = 16 \\
\int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx = 8\ & \Rightarrow\ \left | F(x) \right | _{0}^{4} = 8 \\
F(4)-F(0) &= 8 \\
\hline
\int \limits_{3}^{4} f(2x-2)\ dx = 11\ & \Rightarrow\ \left( \dfrac{1}{2} \right) \cdot \left | F(2x-2) \right | _{3}^{4} = 11 \\
F(2(4)-2)-F(2(3)-2) &= 22 \\
F(6)-F(4) & = 22 \\
\hline
\int \limits_{-5}^{-1} f(1-x)\ dx = 6\ & \Rightarrow\ \left( \dfrac{1}{-1} \right) \cdot \left | F(1-x) \right | _{-5}^{-1} = 6 \\
F(1-(-1))-F(1-(-5)) &= -6 \\
F(2)-F(6) & = -6
\end{align}$
Dari persamaan yang kita peroleh di atas dapat kita simpulkan:
$\begin{align}
F(6)-F(4) & = 22 \\
F(2)-F(6) & = -6\ \ (+) \\
\hline
-F(4)+F(2) &= 16 \\
F(4)-F(0) &= 8\ \ (+) \\
\hline
F(2)-F(0) &= 24
\end{align}$

$\begin{align}
\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx &= \left | F(x) \right | _{0}^{2} \\
&= F(2)-F(0) \\
&= 24
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C) \ 24$

18. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Fungsi $f(x)$ memenuhi $f(x)=f(-x)$. Jika nilai $\int \limits_{-3}^{3} f(x)\ dx = 6$, $\int \limits_{2}^{3} f(x)\ dx = 1$, maka nilai $\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx = \cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 6
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang fungsi genap;

  • Berlaku $f(-x)=f(x)$
  • Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat sumbu $y$
  • Jika dipakai pada integral, ciri fungsi genap ini adalah $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =2\int \limits_{0}^{a} f(x)dx $
$\begin{align}
\int \limits_{-3}^{3} f(x)\ dx = 6\ &\Rightarrow \ 2 \int \limits_{0}^{3} f(x)\ dx = 6 \\
\int \limits_{0}^{3} f(x)\ dx = 3\ &\Rightarrow \ \left | F(x) \right | _{0}^{3} = 3 \\
F(3)-F(0) = 3 \ &\Rightarrow\ \int \limits_{0}^{3} f(x)\ dx = 3 \\
\hline
\int \limits_{2}^{3} f(x)\ dx &= 1
\end{align}$

Dari persamaan yang kita peroleh di atas dan sifat integral tentu, dapat kita simpulkan:
$\begin{align}
\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx + \int \limits_{2}^{3} f(x)\ dx &= \int \limits_{0}^{3} f(x)\ dx \\
\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx + 1 &= 3 \\
\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx &= 3-1 =2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B) \ 2$


19. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Jika nilai $\int \limits_{b}^{a} f(x)\ dx = 5$ dan $\int \limits_{c}^{a} f(x)\ dx = 0$, maka $\int \limits_{c}^{b} f(x)\ dx = \cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & -5 \\
(B)\ & -3 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 6
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang sifat integral tentu;

  • $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx = -\int \limits_{b}^{a} f(x)\ dx$
  • $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx + \int \limits_{b}^{c} f(x)\ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx$

$\begin{align}
\int \limits_{b}^{a} f(x)\ dx = 5\ &\Rightarrow\ \int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx = -5 \\
\int \limits_{c}^{a} f(x)\ dx = 0\ &\Rightarrow\ \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx = 0 \\
\hline
\int \limits_{c}^{b} f(x)\ dx & = \int \limits_{c}^{a} f(x)\ dx +\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx \\
& = 0 + -5 \\
& = -5
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A) \ -5$

20. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Misalkan fungsi $f$ memenuhi $f(x+5)=f(x)$ untuk setiap $x \in R$. Jika $\int \limits_{1}^{5} f(x)\ dx = 3$ dan $\int \limits_{-5}^{-4} f(x)\ dx =-2$ maka nilai $\int \limits_{5}^{15} f(x)\ dx = \cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 10 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 5 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 1
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang sifat integral tentu;

  • $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx + \int \limits_{b}^{c} f(x)\ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx$
  • Jika $f$ periodik dengan periode $p$, maka $\int \limits_{a+p}^{b+p} f(x)dx =\int \limits_{a }^{b } f(x)dx$
    $'$Suatu fungsi $f$ adalah periodik jika terdapat suatu bilangan $p$ sedemikian sehingga $f(x+p)=f(x)$$'$
Karena $f(x+5)=f(x)$ maka $f(x)$ periodik dengan periode $5$, sehingga berlaku:
  • $\int \limits_{1}^{5} f(x)\ dx = \int \limits_{6}^{10} f(x)\ dx = \int \limits_{11}^{15} f(x)\ dx = 3$
  • $\int \limits_{-5}^{-4} f(x)\ dx=\int \limits_{0}^{1} f(x)\ dx = \int \limits_{5}^{6} f(x)\ dx =\int \limits_{10}^{11} f(x)\ dx =-2$;
Dengan menggunakan sifat integral di atas, maka berlaku
$\begin{align}
\int \limits_{5}^{15} f(x) dx &= \int \limits_{5}^{6} f(x) dx+\int \limits_{6}^{10} f(x) dx+\int \limits_{10}^{11} f(x) dx+\int \limits_{11}^{15} f(x) dx \\
&= -2+3+(-2)+3 \\
&= 2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D) \ 2$

21. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui fungsi $f(x)$ adalah fungsi genap, Jika nilai $\int \limits_{-5}^{5} \left( f(x)+3x^{2} \right) dx = 260$ dan $\int \limits_{2}^{4} f(x) dx = 2$ maka nilai $\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx+\int \limits_{4}^{5} f(x)\ dx = \cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & -7 \\
(B)\ & -3 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & 7
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang sifat integral tentu;

  • Berlaku $f(-x)=f(x)$
  • Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat sumbu $y$
  • Jika dipakai pada integral, ciri fungsi genap ini adalah $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =2\int \limits_{0}^{a} f(x)dx $
Pada soal disampaikan bahwa $f(x)$ adalah fungsi genap dan $3x^{2}$ adalah fungsi genap karena $f(-x)=f(x)$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
\int \limits_{-5}^{5} \left( f(x)+3x^{2} \right) dx &= 260 \\
2 \cdot \int \limits_{0}^{5} \left( f(x)+3x^{2} \right) dx &= 260 \\
\int \limits_{0}^{5} \left( f(x)+3x^{2} \right) dx &= 130 \\
\int \limits_{0}^{5} f(x)\ dx + \int \limits_{0}^{5} 3x^{2}\ dx &= 130 \\
\int \limits_{0}^{5} f(x)\ dx + \left | x^{3} \right | _{0}^{5} &= 130 \\
\int \limits_{0}^{5} f(x)\ dx +125 &= 130 \\
\int \limits_{0}^{5} f(x) &= 5
\end{align}$

$\begin{align}
\int \limits_{0}^{5} f(x)\ dx &= \int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx +\int \limits_{2}^{4} f(x)\ dx +\int \limits_{4}^{5} f(x)\ dx \\
5 &= \int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx + 2 +\int \limits_{4}^{5} f(x)\ dx \\
5-2 &= \int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx +\int \limits_{4}^{5} f(x)\ dx \\
3 &= \int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx +\int \limits_{4}^{5} f(x)\ dx
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D) \ 3$

22. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui $f(-x)=f(x)-3$ dan $x \gt 0$. Jika $\int \limits_{1}^{5} f(x)\ dx = 2$ dan $\int \limits_{3}^{5} f(x)\ dx = -3$ maka $\int \limits_{-3}^{-1} f(x)\ dx = \cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & -7 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 7
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang integral tentu;

  • $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx = -\int \limits_{b}^{a} f(x)\ dx$
  • $\int \limits_{a}^{b}f(-x)dx=-\int \limits_{-a}^{-b}f(x)dx$
  • $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx + \int \limits_{b}^{c} f(x)\ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx$
Diketahui $f(-x)=f(x)-3$ maka $f(x)=f(-x)+3$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
\int \limits_{1}^{5} f(x)\ dx &= \int \limits_{1}^{5} \left( f(-x)+3 \right) dx \\
2 &= \int \limits_{1}^{5} f(-x) dx + \int \limits_{1}^{5} 3\ dx \\
2 - \int \limits_{1}^{5} 3\ dx &= \int \limits_{1}^{5} f(-x) dx \\
2 - \left | 3x \right | _{1}^{5} &= - \int \limits_{-1}^{-5} f(x)\ dx \\
2 - (15 -3) &= - \int \limits_{-1}^{-5} f(x)\ dx \\
-10 &= \int \limits_{-5}^{-1} f(x)\ dx \\
\hline
\int \limits_{3}^{5} f(x)\ dx &= \int \limits_{3}^{5} \left( f(-x)+3 \right) dx \\
-3 &= \int \limits_{3}^{5} f(-x) dx + \int \limits_{3}^{5} 3\ dx \\
-3 - \int \limits_{3}^{5} 3\ dx &= \int \limits_{3}^{5} f(-x) dx \\
-3 - \left | 3x \right | _{3}^{5} &= - \int \limits_{-3}^{-5} f(x)\ dx \\
-3 - (15 -9) &= - \int \limits_{-3}^{-5} f(x)\ dx \\
-9 &= - \int \limits_{-3}^{-5} f(x)\ dx \\
9 &= \int \limits_{-3}^{-5} f(x)\ dx \\
\end{align}$

Dari persamaan yang kita peroleh di atas dan sifat integral tentu, dapat kita simpulkan:
$\begin{align}
\int \limits_{-3}^{-1} f(x)\ dx &= \int \limits_{-3}^{-5} f(x)\ dx + \int \limits_{-5}^{-1} f(x)\ dx \\
&= 9 - 10 \\
&= -1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B) \ -1$

23. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)

Hasil dari $\int \left (2x^{3}-9x^{2}+4x-5 \right )\ dx =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \frac{1}{2}x^{4}-6x^{3}+2x^{2}-5x+C \\
(B)\ & \frac{1}{2}x^{4}-6x^{3}+ x^{2}-5x+C \\
(C)\ & \frac{1}{2}x^{4}-3x^{3}+ x^{2}-5x+C \\
(D)\ & \frac{1}{2}x^{4}-3x^{3}+2x^{2}-5x+C \\
(E)\ & \frac{1}{2}x^{4}-6x^{3}-2x^{2}-5x+C
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Materi pokok dari soal ini adalah Integral Fungsi, sebagai tambahan soal latihan silahkan dicoba πŸ‘€ Soal dan Pembahasan Integral Fungsi.

$\begin{align}
& \int \left (2x^{3}-9x^{2}+4x-5 \right ) \\
& = \dfrac{2}{3+1}x^{3+1}-\dfrac{9}{2+1}x^{2+1}+\dfrac{4}{1+1}x^{1+1}-5x+C \\
& = \dfrac{2}{4}x^{4}-\dfrac{9}{3}x^{3}+\dfrac{4}{2}x^{2}-5x+C \\
& = \dfrac{1}{2}x^{4}-3x^{3}+2x^{2}-5x+C
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{1}{2}x^{4}-3x^{3}+2x^{2}-5x+C$

24. Soal SIMAK UI 2019 Kode 314/323 (*Soal Lengkap)

Jika $\int \limits_{a}^{b} f'(x)\ f(x) dx=10$ dan $f(a)=2+f(b)$, nilai $f(b)=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -4 \\
(C)\ & -6 \\
(D)\ & -8 \\
(E)\ & -10
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan memisalkan $u=f(x)$, sehingga beberapa persamaan yang kita peroleh, yaitu:
$ \begin{align}
u & = f(x) \\
\dfrac{du}{dx} & = f'(x) \\
du & = f'(x)\ dx
\end{align} $
Dari pemisalan yang kita peroleh di atas;
$ \begin{align}
\int \limits_{a}^{b} f'(x)\ f(x) dx &=10 \\
\int \limits_{a}^{b} f(x)\ f'(x) dx &=10 \\
\int \limits_{a}^{b} u\ du &=10 \\
\left[ \dfrac{1}{2} \cdot u^{2} \right]_{a}^{b} &=10 \\
\left[ \dfrac{1}{2} \cdot \left( f(x) \right)^{2} \right]_{a}^{b} &=10 \\
\left[ \dfrac{1}{2} \cdot \left( f(b) \right)^{2} \right]- \left[ \dfrac{1}{2} \cdot \left( f(a) \right)^{2} \right] &=10 \\
\left( f(b) \right)^{2} - \left( f(a) \right)^{2} &=20 \\
\left( f(b) - f(a) \right) \left( f(b) + f(a) \right) &=20 \\
\left( f(b) - 2 - f(b) \right) \left( f(b) + 2+f(b) \right) &=20 \\
\left( - 2 \right) \left( 2f(b) + 2 \right) &=20 \\
2f(b) + 2 &=-10 \\
2f(b) &=-12 \\
f(b) &=-6
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -6$

25. Soal SBMPTN 2018 SAINTEK Kode 403 (*Soal Lengkap)

Jika $\int \limits_{1}^{2} f(x)\ dx=\sqrt{2}$, maka nilai $\int \limits_{1}^{4} \dfrac{1}{\sqrt{x}} f \left( \sqrt{x} \right)\ dx$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & \dfrac{\sqrt{2}}{4} \\
(B)\ & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
(C)\ & \sqrt{2} \\
(D)\ & 2\sqrt{2} \\
(E)\ & 4\sqrt{2}
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

$ \begin{align}
\int \limits_{1}^{2} f \left( x \right)\ dx &= \sqrt{2} \\
\left[ F \left( x \right) \right]_{1}^{2} &= \sqrt{2} \\
F \left( 2 \right)-F \left( 1 \right) &= \sqrt{2}
\end{align} $

Selanjutnya, untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan memisalkan $u=\sqrt{x}$, sehingga beberapa persamaan kita peroleh, yaitu:
$ \begin{align}
u & = \sqrt{x} \\
\dfrac{du}{dx} & = \dfrac{1}{2 \sqrt{x}} \\
du \cdot 2 \sqrt{x} & = dx \\
du \cdot 2 & = \dfrac{dx}{ \sqrt{x} }
\end{align} $
Dari pemisalan yang kita peroleh di atas;
$ \begin{align}
\int \limits_{1}^{4} \dfrac{1}{\sqrt{x}} f \left( \sqrt{x} \right)\ dx &= \int \limits_{1}^{4} f \left( \sqrt{x} \right)\ \dfrac{dx}{\sqrt{x}} \\
\hline
x=4 \rightarrow u &= \sqrt{x}=\sqrt{4}=2 \\
x=1 \rightarrow u &= \sqrt{x}=\sqrt{1}=1 \\
\hline
&= \int \limits_{1}^{2} f \left( u \right)\ 2\ du \\
&= 2 \int \limits_{1}^{2} f \left( u \right)\ du \\
&= 2 \cdot \left[ F \left( u \right) \right]_{1}^{2} \\
&= 2 \cdot \left( F \left( 2 \right)-F \left( 1 \right) \right) \\
&= 2 \cdot \left( \sqrt{2} \right) \\
&= 2\sqrt{2}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2\sqrt{2}$

26. Soal SBMPTN 2018 SAINTEK Kode 408 (*Soal Lengkap)

Jika $\int \limits_{2}^{3} f(x)\ dx=\sqrt{2}$, maka nilai $\int \limits_{1}^{2} \dfrac{1}{x^{2}} f \left( 1+ \dfrac{2}{x} \right)\ dx$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & \dfrac{\sqrt{2}}{4} \\
(B)\ & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
(C)\ & \sqrt{2} \\
(D)\ & 2\sqrt{2} \\
(E)\ & 4\sqrt{2}
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

$ \begin{align}
\int \limits_{2}^{3} f \left( x \right)\ dx &= \sqrt{2} \\
\left[ F \left( x \right) \right]_{2}^{3} &= \sqrt{2} \\
F \left( 3 \right)-F \left( 2 \right) &= \sqrt{2}
\end{align} $

Selanjutnya, untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan memisalkan $u=1+\dfrac{2}{x}$, sehingga beberapa persamaan kita peroleh, yaitu:
$ \begin{align}
u & = 1+\dfrac{2}{x} \\
\dfrac{du}{dx} & = -\dfrac{2}{x^{2}} \\
-\dfrac{du}{2} & = \dfrac{2}{x^{2}}
\end{align} $

Dari pemisalan yang kita peroleh di atas;
$ \begin{align}
\int \limits_{1}^{2} \dfrac{1}{x^{2}} f \left( 1+ \dfrac{2}{x} \right)\ dx &= \int \limits_{1}^{2} f \left( 1+ \dfrac{2}{x} \right)\ \dfrac{dx}{x^{2}} \\
\hline
x=2 \rightarrow u &= 1+\dfrac{2}{x}= 1+\dfrac{2}{2}=2 \\
x=1 \rightarrow u &= 1+\dfrac{2}{x}= 1+\dfrac{2}{1}=3 \\
\hline
&= \int \limits_{3}^{2} f \left( u \right)\ \cdot -\dfrac{du}{2} \\
&=-\dfrac{1}{2} \int \limits_{3}^{2} f \left( u \right)\ du \\
&=-\dfrac{1}{2} \left[F (u) \right]_{3}^{2} \\
&=-\dfrac{1}{2} \left( F \left( 2 \right)-F \left( 3 \right) \right) \\
&= \dfrac{1}{2} \left( F \left( 3 \right)-F \left( 2 \right) \right) \\
&= \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{2} \right) \\
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

27. Soal SBMPTN 2018 SAINTEK Kode 418 (*Soal Lengkap)

Jika $\int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx=\sqrt{2}$, maka nilai $\int \limits_{0}^{2} x f \left( x^{2} \right)\ dx$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & \dfrac{\sqrt{2}}{4} \\
(B)\ & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
(C)\ & \sqrt{2} \\
(D)\ & 2\sqrt{2} \\
(E)\ & 4\sqrt{2}
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

$ \begin{align}
\int \limits_{0}^{4} f \left( x \right)\ dx &= \sqrt{2} \\
\left[ F \left( x \right) \right]_{0}^{4} &= \sqrt{2} \\
F \left( 4 \right)-F \left( 0 \right) &= \sqrt{2}
\end{align} $

Selanjutnya, untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan memisalkan $u=x^{2}$, sehingga beberapa persamaan kita peroleh, yaitu:
$ \begin{align}
u & = x^{2} \\
\dfrac{du}{dx} & = 2x \\
\dfrac{du}{2} & = x\ dx \\
\end{align} $

Dari pemisalan yang kita peroleh di atas;
$ \begin{align}
\int \limits_{0}^{2} x f \left( x^{2} \right)\ dx &= \int \limits_{0}^{2} f \left( x^{2} \right)\ x dx \\
\hline
x=2 \rightarrow u &= x^{2} = 2^{2} =4 \\
x=0 \rightarrow u &= x^{0} = 0^{2} =0 \\
\hline
&= \int \limits_{0}^{4} f \left( u \right)\ \dfrac{du}{2} \\
&=\dfrac{1}{2} \int \limits_{0}^{4} f \left( u \right)\ du \\
&=\dfrac{1}{2} \left[F (u) \right]_{0}^{4} \\
&= \dfrac{1}{2} \left( F \left( 4 \right)-F \left( 0 \right) \right) \\
&= \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{2} \right)
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}$


28. Soal SBMPTN 2018 SAINTEK Kode 420 (*Soal Lengkap)

Nilai $\int \limits_{0}^{2} \left( 3x+9 \right) \sqrt{x^{2}+6x}\ dx$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 8 \\
(C)\ & 16 \\
(D)\ & 32 \\
(E)\ & 64
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan memisalkan $u=x^{2}+6x$, sehingga beberapa persamaan kita peroleh, yaitu:
$ \begin{align}
u & = x^{2}+6x \\
\dfrac{du}{dx} & = 2x+6 \\
\dfrac{du}{dx} & = 2(x+3) \\
\dfrac{du}{2} & = (x+3)dx
\end{align} $

Dari pemisalan yang kita peroleh di atas;
$ \begin{align}
\int \limits_{0}^{2} \left( 3x+9 \right) \sqrt{x^{2}+6x}\ dx
&= \int \limits_{0}^{2} 3\left( x+3 \right) \sqrt{x^{2}+6x}\ dx \\
&= \int \limits_{0}^{2} 3 \sqrt{x^{2}+6x}\ \left( x+3 \right) dx \\
&= \int \limits_{0}^{2} 3 \sqrt{u}\ \dfrac{du}{2} \\
&= \dfrac{3}{2} \int \limits_{0}^{2} \sqrt{u}\ du \\
&= \dfrac{3}{2} \left[ \dfrac{2}{3} u\sqrt{u} \right]_{0}^{2} \\
&= \dfrac{3}{2} \left[ \dfrac{2}{3} \left( x^{2}+6x \right) \sqrt{x^{2}+6x} \right]_{0}^{2} \\
&= \left[ \left( (2)^{2}+6(2) \right) \sqrt{(2)^{2}+6(2)} \right]-\left[ 0 \right] \\
&= \left( 16 \right) \sqrt{16} \\
&= 64
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 64$

29. Soal SBMPTN 2018 SAINTEK Kode 421 (*Soal Lengkap)

Nilai $\int \limits_{1}^{36} \dfrac{3}{\sqrt{x} \left(3 + \sqrt{x} \right)^{\frac{3}{2}}}\ dx$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan memisalkan $u=3 + \sqrt{x}$, sehingga beberapa persamaan kita peroleh, yaitu:
$ \begin{align}
u & = 3 + \sqrt{x} \\
\dfrac{du}{dx} & = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \\
2\ du & = \dfrac{dx}{\sqrt{x}}
\end{align} $

Dari pemisalan yang kita peroleh di atas;
$ \begin{align}
\int \limits_{1}^{36} \dfrac{3}{\sqrt{x} \left(3 + \sqrt{x} \right)^{\frac{3}{2}}}\ dx
&= \int \limits_{1}^{36} \dfrac{3}{\left(3 + \sqrt{x} \right)^{\frac{3}{2}}} \cdot \dfrac{dx}{\sqrt{x}} \\
&= \int \limits_{1}^{36} \dfrac{3}{u^{\frac{3}{2}}}\ 2 du \\
&= \int \limits_{1}^{36} \dfrac{6}{u^{\frac{3}{2}}}\ du \\
&= 6 \left[ \dfrac{-2}{u^{\frac{1}{2}}} \right]_{1}^{36} \\
&= -12 \left[ \dfrac{1}{\sqrt{3 + \sqrt{x}}} \right]_{1}^{36} \\
&= -12 \left( \dfrac{1}{\sqrt{3 + \sqrt{36}}} - \dfrac{1}{\sqrt{3 + \sqrt{1}}} \right) \\

&= -12 \left( \dfrac{1}{\sqrt{9}} - \dfrac{1}{\sqrt{4}} \right) \\
&= -12 \left( \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} \right) \\
&= -12 \left( \dfrac{2-3}{6} \right)=2
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$

30. Soal SBMPTN 2018 SAINTEK Kode 457 (*Soal Lengkap)

Nilai $\int \limits_{0}^{3} \dfrac{3x}{\sqrt{x+1}}\ dx$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & 3 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 8 \\
(D)\ & 9 \\
(E)\ & 12
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan memisalkan $u=x+1$, sehingga beberapa persamaan kita peroleh, yaitu:
$ \begin{align}
u & = x+1 \rightarrow u-1=x\\
\dfrac{du}{dx} & = 1 \\
du & = dx
\end{align} $

Dari pemisalan yang kita peroleh di atas;
$ \begin{align}
\int \limits_{0}^{3} \dfrac{3x}{\sqrt{x+1}}\ dx
&= \int \limits_{0}^{3} \dfrac{3 \left( u-1 \right)}{\sqrt{u}}\ du \\
&= 3 \int \limits_{0}^{3} \left( \dfrac{u}{\sqrt{u}} - \dfrac{1}{\sqrt{u}} \right)\ du \\
&= 3 \int \limits_{0}^{3} \left( u^{\frac{1}{2}} - u^{-\frac{1}{2}} \right)\ du \\
&= 3 \left[ \dfrac{2}{3} \cdot u^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot u^{\frac{1}{2}} \right]_{0}^{3} \\
&= 6 \left[ \dfrac{1}{3} \cdot (x+1)^{\frac{3}{2}} - (x+1)^{\frac{1}{2}} \right]_{0}^{3} \\
&= 6 \left[ \dfrac{1}{3} \cdot (3+1)^{\frac{3}{2}} - (3+1)^{\frac{1}{2}} \right]- 6 \left[ \dfrac{1}{3} \cdot (0+1)^{\frac{3}{2}} - (0+1)^{\frac{1}{2}} \right] \\
&= 6 \left[ \dfrac{1}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - 4^{\frac{1}{2}} \right]- 6 \left[ \dfrac{1}{3} \cdot 1 - 1 \right] \\
&= 6 \left( \dfrac{8}{3}-2 \right)- 6 \left( \dfrac{1}{3}-1 \right) \\
&= 6 \left( \dfrac{7}{3}-1 \right)=14-6=8
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 8$

31. Soal SBMPTN 2016 SAINTEK Kode 249 (*Soal Lengkap)

Diketahui fungsi $f(x)=f(x+2)$ untuk setiap $x$. Jika $\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx=B$, maka $\int \limits_{3}^{7} f(x+8)\ dx=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & B \\
(B)\ & 2B \\
(C)\ & 3B \\
(D)\ & 4B \\
(E)\ & 5B
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

Kita ketahui bahwa "Jika $f$ periodik dengan periode $p$, maka $\int \limits_{a+p}^{b+p} f(x)dx =\int \limits_{a }^{b } f(x)dx$"
Dimana suatu fungsi $f$ adalah periodik jika terdapat suatu bilangan $p$ sedemikian sehingga $f(x+p)=f(x)$.

Karena $f(x)=f(x+2)$, maka:
$ \begin{align}
f(x) &= f(x+2) \\
f(x+2) &= f(x+4) \\
f(x+4) &= f(x+6) \\
f(x+6) &= f(x+8) \\
& \vdots
\end{align} $

Karena $f(x)=f(x+2)$, maka:
$ \begin{align}
& \int \limits_{3}^{7} f(x+8)\ dx \\
&= \int \limits_{3}^{7} f(x)\ dx \\
&= \int \limits_{3}^{4} f(x)\ dx +\int \limits_{4}^{6} f(x)\ dx + \int \limits_{6}^{7} f(x)\ dx \\
&= \int \limits_{3-2}^{4-2} f(x+2)\ dx +\int \limits_{4-4}^{6-4} f(x+4)\ dx +\int \limits_{6-6}^{7-6} f(x+6)\ dx \\
&= \int \limits_{1}^{2} f(x)\ dx +\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx +\int \limits_{0}^{1} f(x)\ dx \\
&= \int \limits_{1}^{2} f(x)\ dx + B +\int \limits_{0}^{1} f(x)\ dx \\
&=\int \limits_{0}^{1} f(x)\ dx + \int \limits_{1}^{2} f(x)\ dx + B \\
&= \int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx + B \\
&= B + B = 2B
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2B$

32. Soal SBMPTN 2016 SAINTEK Kode 255 (*Soal Lengkap)

Diketahui fungsi $f$ dan $g$ dengan $f(x)=f(x+a)$, $f(x)=5x^{5}+2016x^{3}$ untuk $0 \lt x \leq a$, dan $g(x)=g(x+2a)$, $g(x)=5x^{5}+2016x^{3}$ untuk $-a \lt x \leq a$ dan $\int \limits_{0}^{a} f(x)\ dx =b$. Nilai dari $\int \limits_{0}^{3a} \left( f(x)+g(x) \right) dx$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & 2a \\
(B)\ & 3a \\
(C)\ & 4b \\
(D)\ & 5b \\
(E)\ & 6b
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

Kita coba menghitung $\int \limits_{0}^{3a} \left( f(x)+g(x) \right) dx = \int \limits_{0}^{3a} f(x)\ dx + \int \limits_{0}^{3a} g(x)\ dx$ dari beberapa eksplorasi berikut:

Untuk $0 \lt x \leq a$, fungsi $f(x)=5x^{5}+2016x^{3}$ diketahui $\int \limits_{0}^{a} f(x)\ dx =b$ dan $f(x)=f(x+a)$.
$ \begin{align}
\int \limits_{0}^{3a} f(x)\ dx
&= \int \limits_{0}^{a} f(x)\ dx + \int \limits_{a}^{3a} f(x)\ dx \\
&= b + \int \limits_{a-a}^{3a-a} f(x+a)\ dx \\
&= b + \int \limits_{0}^{2a} f(x)\ dx \\
&= b + \int \limits_{0}^{a} f(x)\ dx+ \int \limits_{a}^{2a} f(x)\ dx \\
&= b + b + \int \limits_{a-a}^{2a-a} f(x+a)\ dx \\
&= 2b + \int \limits_{0}^{a} f(x)\ dx \\
&= 2b + b =3b
\end{align} $

Untuk $0 \lt x \leq a$, fungsi $f(x)=g(x)=5x^{5}+2016x^{3}$ sehingga dapat berlaku $\int \limits_{0}^{a} f(x)\ dx =\int \limits_{0}^{a} g(x)\ dx=b$. Dengan $g(x)=5x^{5}+2016x^{3}$ dapat kita tentukan $g(x)$ adalah fungsi ganjil karena $g(-x)=-g(x)$, sehingga berlaku $\int \limits_{-a}^{a} g(x)dx =0$.
$ \begin{align}
\int \limits_{0}^{3a} g(x)\ dx
&= \int \limits_{0}^{a} g(x)\ dx + \int \limits_{a}^{3a} g(x)\ dx \\
&= b + \int \limits_{a-2a}^{3a-2a} g(x+2a)\ dx \\
&= b + \int \limits_{-a}^{a} g(x)\ dx \\
&= b + 0 = b
\end{align} $

$ \begin{align}
\int \limits_{0}^{3a} \left( f(x)+g(x) \right) dx & = \int \limits_{0}^{3a} f(x)\ dx + \int \limits_{0}^{3a} g(x)\ dx \\
&= 3b + b \\
&= 4b
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4b$

33. Soal SBMPTN 2014 SAINTEK Kode 504 (*Soal Lengkap)

Jika $C(t)=\dfrac{1}{t} \int \limits_{0}^{t} \left( f(s)+g(s) \right) ds $ dan $\lim\limits_{a \to 0} \dfrac{C \left( t_{0}+a \right)- C \left( t_{0} \right)}{a}=0$, maka $C \left( t_{0} \right)=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & \dfrac{f \left( t_{o} \right)+g\left( t_{o} \right)}{t_{o}} \\
(B)\ & f \left( t_{o} \right)+t_{0}g\left( t_{o} \right) \\
(C)\ & f \left( t_{o} \right)+g\left( t_{o} \right) \\
(D)\ & t_{0}f \left( t_{o} \right)+g\left( t_{o} \right) \\
(E)\ & f \left( t_{o} \right)-t_{0}^{2} g\left( t_{o} \right)
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

Jika $f(s)$ adalah turunan dari fungsi $F(s)$ atau $F'(s)=f(s)$ dan $g(s)$ adalah turunan fungsi $G(s)$ atau $G'(s)=g(s)$, maka dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
C(t) &= \dfrac{1}{t} \int \limits_{0}^{t} \left( f(s)+g(s) \right) ds \\
&= \dfrac{1}{t} \cdot \left[F(s)+G(s) \right]_{0}^{t} \\
&= \dfrac{1}{t} \cdot \left[F(t)+G(t) \right]-\dfrac{1}{t} \cdot \left[F(0)+G(0) \right] \\
C(t) &= \dfrac{F(t)+G(t) - F(0)-G(0)}{t}
\end{align} $

Karena $\lim\limits_{a \to 0} \dfrac{C \left( t_{0}+a \right)- C \left( t_{0} \right)}{a}=0$ maka berlaku:
$ \begin{align}
C'(t) &= 0 \\
\dfrac{\left[ F(t)+G(t) - F(0)-G(0) \right]' \cdot t-\left[ F(t)+G(t) - F(0)-G(0) \right]}{t^{2}} &= 0 \\
\dfrac{\left[ f(t)+g(t) - 0-0 \right] \cdot t-\left[ F(t)+G(t) - F(0)-G(0) \right]}{t^{2}} &= 0 \\
\left[ f(t)+g(t) \right]\ t-\left[ F(t)+G(t) - F(0)-G(0) \right] &= 0 \\
F(t)+G(t) - F(0)-G(0) &= \left[ f(t)+g(t) \right]\ t
\end{align} $

$ \begin{align}
C(t) &= \dfrac{F(t)+G(t) - F(0)-G(0)}{t} \\
C(t) &= \dfrac{\left( f(t)+g(t) \right)\ t}{t} \\
C(t) &= f(t)+g(t) \\
C(t_{o}) &= f(t_{o})+g(t_{o})
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ f \left( t_{o} \right)+g\left( t_{o} \right)$

34. Soal SIMAK UI 2017 Kode 341 (*Soal Lengkap)

Jika $f(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+3x$ dengan $-1 \leq x \leq 2$ mempunyai titik maksimum di $(a,b)$, maka nilai $\int \limits_{b}^{a} f'(x)\ dx=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & \dfrac{16}{81} \\
(B)\ & \dfrac{15}{81} \\
(C)\ & \dfrac{12}{81} \\
(D)\ & \dfrac{9}{81} \\
(E)\ & \dfrac{8}{81}
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal di atas, kita butuh sedikit pemahaman tentang turunan, untuk menentukan nilai maksimum, yaitu $f'(x)=0$
$ \begin{align}
f(x) &=\dfrac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+3x \\
f'(x) &=x^{2}-4x^ +3 \\
0 &= (x-3)(x-1) \\
& x=3\ \text{atau}\ x=1 \\
\hline
f(1) &=\dfrac{1}{3}(1)^{3}-2(1)^{2}+3(1) \\
&=\dfrac{4}{3} \\
f(3) &=\dfrac{1}{3}(3)^{3}-2(3)^{2}+3(3) \\
&=0 \\
\end{align} $
Titik maksumum adalah $\left(1, \dfrac{4}{3} \right)$, sehingga:
$ \begin{align}
\int \limits_{b}^{a} f'(x)\ dx &= \int \limits_{\frac{4}{3}}^{1} \left( x^{2}-4x^ +3 \right)\ dx\\
&= \left[ \dfrac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+3x \right]_{\frac{4}{3}}^{1}\ dx\\
&= \left[ \dfrac{1}{3} \left( 1 \right)^{3}-2\left( 1 \right)^{2}+3\left( 1 \right) \right] - \left[ \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{4}{3} \right)^{3}-2\left( \dfrac{4}{3} \right)^{2}+3\left( \dfrac{4}{3} \right) \right] \\
&= \dfrac{4}{3}-\dfrac{64}{81}+\dfrac{32}{9}-4 \\
&= \dfrac{8}{81}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{8}{81}$

35. Soal SIMAK UI 2017 Kode 341 (*Soal Lengkap)

Jika $3x^{5}-3=\int \limits_{c}^{x} g(t)\ dt$, maka $g \left( \dfrac{c}{2} \right)=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & \dfrac{10}{16} \\
(B)\ & \dfrac{12}{16} \\
(C)\ & \dfrac{14}{16} \\
(D)\ & \dfrac{15}{16} \\
(E)\ & \dfrac{17}{16}
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

Jika kita misalkan $\int \limits g(x)\ dx = G(x)+c$ atau $g(x)=G'(x)$, sehingga dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
\int \limits_{c}^{x} g(t)\ dt &= 3x^{5}-3 \\
\left[ G(t) \right]_{x}^{c} &= 3x^{5}-3 \\
G(x)-G(c) &= 3x^{5}-3 \\
G'(x)-G'(c) &= 5 \cdot 3x^{5-1}-0 \\
\hline
G'(c)=0 & \\
\hline
G'(x) &= 15x^{4} \\
g(x)=G'(x) &= 15x^{4} \\
g(t )=G'(t) &= 15t^{4}
\end{align} $

$ \begin{align}
\int \limits_{c}^{x} g(t)\ dt &= 3x^{5}-3 \\
\int \limits_{c}^{x} 15t^{4}\ dt &= 3x^{5}-3 \\
\left[ 3t^{5} \right]_{c}^{x} &= 3x^{5}-3 \\
\left[ 3x^{5} \right]-\left[ 3c^{5} \right]&= 3x^{5}-3 \\
\hline
c^{5}=1 \\
c=1 \\
\hline
g(x) &= 15x^{4} \\
g \left( \dfrac{c}{2} \right) &= 15\left( \dfrac{1}{2} \right)^{4} \\
&= 15 \left( \dfrac{1}{16} \right) \\
&= \dfrac{15}{16}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{15}{16}$

36. Soal SIMAK UI 2014 Kode 301 (*Soal Lengkap)

Diberikan fungsi $f$ dan $g$ yang memenuhi sistem
$\left\{\begin{matrix}
\int \limits_{0}^{1} f(x)\ dx + \left ( \int \limits_{0}^{2} g(x)\ dx \right )^{2}=3 \\
f(x)=3x^{2}+4x+\int \limits_{0}^{2} g(x)\ dx
\end{matrix}\right.$,
maka $\int \limits_{0}^{2} g(x)\ dx \neq 0$. Nilai $f(1)=\cdots$

$ \begin{align}
(A)\ & -6 \\
(B)\ & -3 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & 6
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan integral di atas kita mulai dengan memisalkan $\int \limits_{0}^{2} g(x)\ dx =k$, hal ini dapat kita lakukan karena hasil integral sebuah fungsi pada selang tertentu adalah sebuah konstanta.
$ \begin{align}
\int \limits_{0}^{1} f(x)\ dx + \left ( \int \limits_{0}^{2} g(x)\ dx \right )^{2} &=3 \\
\int \limits_{0}^{1} f(x)\ dx + k^{2} &=3 \\
\int \limits_{0}^{1} f(x)\ dx &=3-k^{2} \\
\int \limits_{0}^{1} \left( 3x^{2}+4x+k \right) \ dx &=3-k^{2} \\
\left[ x^{3}+2x^{2}+kx \right]_{0}^{1}\ &=3-k^{2} \\
\left[ (1)^{3}+2(1)^{2}+k(1) \right]- \left[0 \right]\ &=3-k^{2} \\
\left[ 3+k(1) \right]\ &=3-k^{2} \\
3+k- &=3-k^{2} \\
k^{2}+k &=0 \\
k(k+1) &=0 \\
k=0\ \text{atau}\ k=-1 & \\
\end{align} $

$ \begin{align}
\int \limits_{0}^{2} g(x)\ dx &= k \\
\int \limits_{0}^{2} g(x)\ dx &= -1 \\
\hline
f(x) &=3x^{2}+4x+\int \limits_{0}^{2} g(x)\ dx \\
f(x) &=3x^{2}+4x-1 \\
f(1) &=3(1)^{2}+4(1)-1 \\
&=6
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6$


37. Soal SIMAK UI 2013 Kode 132 (*Soal Lengkap)

$\int \limits_{0}^{2} \dfrac{x^{2}+3x}{\sqrt{x+2}}\ dx=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & \dfrac{4}{15} \left(7 -\sqrt{2} \right) \\
(B)\ & \dfrac{4}{15} \left(7\sqrt{2} - 1 \right) \\
(C)\ & \dfrac{4}{15} \left(7\sqrt{2} + 1 \right) \\
(D)\ & \dfrac{8}{15} \left(7\sqrt{2} - 1 \right) \\
(E)\ & \dfrac{8}{15} \left(7\sqrt{2} + 1 \right)
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan integral di atas kita coba selesaikan dengan defenisi integral dan manipulasi aljabar seperti berikut ini;
Misal $u=x+2$, maka $du=dx$ dan $x=u-2$
$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{2} \dfrac{x^{2}+3x}{\sqrt{x+2}}\ dx \\
&= \int \limits_{0}^{2} \dfrac{\left(u-2 \right)^{2}+3\left(u-2 \right)}{\sqrt{u}}\ dx \\
&= \int \limits_{0}^{2} \dfrac{u^{2}-4u+4+3u-6}{\sqrt{u}}\ dx \\
&= \int \limits_{0}^{2} \dfrac{u^{2}-u-2}{u^{\frac{1}{2}}}\ dx \\
&= \int \limits_{0}^{2} \left (u^{\frac{3}{2}}-u^{\frac{1}{2}}-2u^{-\frac{1}{2}} \right )\ dx \\
&= \left [\dfrac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}-\dfrac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}-4u^{\frac{1}{2}} \right]_{0}^{2}\ dx \\
&= \left [\dfrac{2}{5}\left( x+2 \right)^{\frac{5}{2}}-\dfrac{2}{3}\left( x+2 \right)^{\frac{3}{2}}-4\left( x+2 \right)^{\frac{1}{2}} \right]_{0}^{2} \\
&= \left [\dfrac{2}{5}\left(4 \right)^{\frac{5}{2}}-\dfrac{2}{3}\left(4 \right)^{\frac{3}{2}}-4\left(4 \right)^{\frac{1}{2}} \right]-\left [\frac{2}{5}\left(2 \right)^{\frac{5}{2}}-\dfrac{2}{3}\left(2 \right)^{\frac{3}{2}}-4\left(2 \right)^{\frac{1}{2}} \right] \\
&= \left [\dfrac{2}{5}\left(32 \right) -\dfrac{2}{3}\left(8 \right)-8 \right]-\left [\frac{2}{5}\left(4\sqrt{2} \right) -\dfrac{2}{3}\left(2\sqrt{2} \right) -4\sqrt{2} \right] \\
&= \left [\dfrac{64}{5} -\dfrac{16}{3} -8 \right]-\left [\frac{8}{5} \sqrt{2} -\dfrac{4}{3} \sqrt{2} -4\sqrt{2} \right] \\
&= -\dfrac{8}{15} +\dfrac{56}{15}\sqrt{2} \\
&= \dfrac{8}{15} \left(7\sqrt{2} - 1 \right)
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{8}{15} \left(7\sqrt{2} - 1 \right)$

38. Soal SIMAK UI 2012 Kode 524 (*Soal Lengkap)

Nilai dari $\int \limits_{-1}^{2} \left(x - 2 \left| x \right| \right)\ dx=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & -3,5 \\
(B)\ & -1,5 \\
(C)\ & -0,5 \\
(D)\ & 1,5 \\
(E)\ & 3,5
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan integral di atas kita perlu menambahkan sedikit catatan tentang nilai mutlak $x$, yaitu:
$\left | x \right |=\left\{\begin{matrix}
x, \text{untuk}\ x \geq 0 \\
-x, \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$

$ \begin{align}
& \int \limits_{-1}^{2} \left(x - 2 \left| x \right| \right)\ dx \\
&= \int \limits_{-1}^{0} \left(x - 2 \left| x \right| \right)\ dx + \int \limits_{0}^{2} \left(x - 2 \left| x \right| \right)\ dx \\
&= \int \limits_{-1}^{0} \left(x - 2 \left( -x \right) \right)\ dx + \int \limits_{0}^{2} \left(x - 2 \left( x \right) \right)\ dx \\
&= \int \limits_{-1}^{0} \left(3x \right)\ dx + \int \limits_{0}^{2} \left(-x \right)\ dx \\
&= \left[\dfrac{3}{2} x^{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ -\dfrac{1}{2} x^{2} \right]_{0}^{2} \\
&= \left[0-\dfrac{3}{2} (-1)^{2} \right] + \left[ -\dfrac{1}{2} (2)^{2}-0 \right] \\
&= \left[ -\dfrac{3}{2} \right] + \left[ -2 \right] \\
&= -\dfrac{7}{2}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3,5$

39. Soal SIMAK UI 2010 Kode 503 (*Soal Lengkap)

Jika $\int \limits_{1}^{4} f \left(x \right)\ dx=6$ maka $\int \limits_{1}^{4} f \left(5-x \right)\ dx=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 6 \\
(B)\ & 3 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -1 \\
(E)\ & -6
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan integral di atas kita coba dengan memisalkan $u=5-x$ sehingga $du=-dx$ dan $x=4 \rightarrow u=1$, $x=1 \rightarrow u=4$.

$ \begin{align}
\int \limits_{1}^{4} f \left(5-x \right)\ dx &= \int \limits_{4}^{1} f \left(u \right)\ \left( - du \right) \\
&= - \int \limits_{4}^{1} f \left(u \right)\ du \\
&= \int \limits_{1}^{4} f \left(u \right)\ du \\
&= 6
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 6$

40. Soal UM STIS 2010 (*Soal Lengkap)

Nilai $\int \limits_{0}^{2} \left ( 3x+9 \right) \sqrt{x^{2}+6x}\ dx$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 8 \\
(C)\ & 16 \\
(D)\ & 32 \\
(E)\ & 64
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan integral di atas kita coba dengan memisalkan $u=x^{2}+6x$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
u &= x^{2}+6x \\
du &= \left( 2x +6 \right) dx \\
du &= 2 \left( x + 3 \right) dx \\
\dfrac{1}{2} du &= \left( x + 3 \right) dx
\end{align}$
Apa yang kita peroleh di atas, kita coba substituskan ke soal dan kita lakukan manipulasi aljabar;

$\begin{align}
\int \limits_{0}^{2} \left ( 3x+9 \right) \sqrt{x^{2}+6x}\ dx &= \int \limits_{0}^{2} 3\left ( x+3 \right) \sqrt{x^{2}+6x}\ dx \\
&= \int \limits_{0}^{2} 3 \sqrt{x^{2}+6x}\ \left ( x+3 \right)\ dx \\
&= \int \limits_{0}^{2} 3 \sqrt{u}\ \dfrac{1}{2} du \\
&= \int \limits_{0}^{2} \dfrac{3}{2} u^{\frac{1}{2}}\ du \\
&= \left[ \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{2} \\
&= \left[ \left(x^{2}+6x \right)^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{2} \\
&= \left[ \left(2^{2}+6(2) \right)^{\frac{3}{2}} \right]-\left[ 0 \right] \\
&= \left[ \left(4+12 \right)^{\frac{3}{2}} \right] \\
&= \left[ \left(16 \right)^{\frac{3}{2}} \right] \\
&= \left(2^{4} \right)^{\frac{3}{2}} = 64
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 64$

41. Soal UM STIS 2013 (*Soal Lengkap)

Hasil dari $\int \limits x \sqrt{4x+1}\ dx$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{60} \left( 6x-1 \right) \left( 4x+1 \right)^{\frac{3}{2}} + C \\
(B)\ & \dfrac{1}{60} \left( 6x-1 \right) \left( 4x+1 \right)^{\frac{3}{2}} + C \\
(C)\ & -\dfrac{4}{60} \left( 3x+2 \right) \left( 4x+1 \right)^{\frac{3}{2}} + C \\
(D)\ & \dfrac{4}{60} \left( 3x+2 \right) \left( 4x+1 \right)^{\frac{3}{2}} + C \\
(E)\ & \dfrac{1}{60} \left( 3x+2 \right) \left( 4x+1 \right)^{\frac{3}{2}} + C
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan integral di atas kita coba dengan memisalkan $u=4x+1$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
u &= 4x+1 \rightarrow x= \dfrac{1}{4} \left( u-1 \right) \\
du &= 4 dx \\
\dfrac{1}{4} du &= dx
\end{align}$
Apa yang kita peroleh di atas, kita coba substituskan ke soal dan kita lakukan manipulasi aljabar;

$\begin{align}
\int \limits x \sqrt{4x+1}\ dx &= \int \limits \dfrac{1}{4} \left( u-1 \right) \sqrt{u}\ dx \\
&= \int \limits \dfrac{1}{4} \left( u-1 \right) \cdot u^{\frac{1}{2}}\ \dfrac{1}{4} du \\
&= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} \int \limits \left( u^{\frac{3}{2}}-u^{\frac{1}{2}} \right)\ du \\
&= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} \left[ \dfrac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}-\dfrac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \right] + C \\
&= \dfrac{1}{4} \cdot \left( \dfrac{1}{10} u^{\frac{5}{2}}-\dfrac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} \right) + C \\
&= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{60}u^{\frac{3}{2}} \left( 6 u^{1}-10 \right) + C \\
&= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{60}\left( 4x+1 \right)^{\frac{3}{2}} \left( 6 \left( 4x+1 \right)-10 \right) + C \\
&= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{60}\left( 4x+1 \right)^{\frac{3}{2}} \left( 24x+6 -10 \right) + C \\
&= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{60}\left( 4x+1 \right)^{\frac{3}{2}} \left( 24x-4 \right) + C \\
&= \dfrac{1}{60}\left( 4x+1 \right)^{\frac{3}{2}} \left( 6x-1 \right) + C \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{60} \left( 6x-1 \right) \left( 4x+1 \right)^{\frac{3}{2}} + C $

42. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Hasil dari $\int \limits \left ( 3x^{2}-5x+4 \right )\ dx =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & x^{3}-\dfrac{5}{2}x^{2}+4x + C \\
(B)\ & x^{3}-5x^{2}+4x + C \\
(C)\ & 3x^{3}-5x^{2}+4x + C \\
(D)\ & 6x^{3}-5x^{2}+4x + C \\
(E)\ & 6x^{3}-\dfrac{5}{2}x^{2}+4x + C
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
&\int \limits \left ( 3x^{2}-5x+4 \right )\ dx \\
& = \dfrac{3}{2+1}x^{2+1}-\dfrac{5}{1+1}x^{1+1}+4x+C\\
& = x^{3}-\dfrac{5}{2}x^{2}+4x+C\\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{3}-\dfrac{5}{2}x^{2}+4x + C $

43. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Hasil dari $\int \limits \left ( 2x-1 \right ) \left ( x^{2}-x+3 \right )^{3}\ dx $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{3} \left ( x^{2}-x+3 \right )^{3} + C \\
(B)\ & \dfrac{1}{4} \left ( x^{2}-x+3 \right )^{3} + C \\
(C)\ & \dfrac{1}{4} \left ( x^{2}-x+3 \right )^{4} + C \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \left ( x^{2}-x+3 \right )^{4} + C \\
(E)\ & \left ( x^{2}-x+3 \right )^{4} + C
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan pemisalan;

misal:
$\begin{align}
u & = x^{2}-x+3 \\
\dfrac{du}{dx} & = 2x-1 \\
du & = (2x-1)\ dx
\end{align}$

Soal di atas, kini bisa kita rubah menjadi;
$\begin{align}
&\int \limits \left ( 2x-1 \right ) \left ( x^{2}-x+3 \right )^{3}\ dx \\
& = \int \limits \left ( x^{2}-x+3 \right )^{3}\ \left ( 2x-1 \right ) dx \\
& = \int \limits \left ( u \right )^{3}\ du \\
& = \dfrac{1}{3+1}u^{3+1} + C\\
& = \dfrac{1}{4} \left ( x^{2}-x+3 \right)^{4} + C
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{4} \left ( x^{2}-x+3 \right)^{4} + C$

44. Soal SIMAK UI 2014 Kode 302 (*Soal Lengkap)

Jika $\int \limits_{-1}^{a} \dfrac{x+1}{(x+2)^{4}}\ dx=\dfrac{10}{81}$ dan $a \gt -2$ maka $a=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & -1\dfrac{1}{2} \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 1\dfrac{1}{2}
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menentukan nilai $a$ dari persamaan $\int \limits_{-1}^{a} \dfrac{x+1}{(x+2)^{4}}\ dx=\dfrac{10}{81}$ kita coba dengan memisalkan $u=x+2$ sehingga $du=dx$.

Dari pemisalan di atas, soal dapat kita tulis menjadi;
$ \begin{align}
\int \limits_{-1}^{a} \dfrac{x+1}{(x+2)^{4}}\ dx &=\dfrac{10}{81} \\
\int \limits_{-1}^{a} \dfrac{u-1}{u^{4}}\ du &=\dfrac{10}{81} \\
\int \limits_{-1}^{a} \left( u-1 \right) \cdot u^{-4}\ du &=\dfrac{10}{81} \\
\int \limits_{-1}^{a} \left( \cdot u^{-3}-\cdot u^{-4} \right)\ du &=\dfrac{10}{81} \\
\left[\dfrac{1}{2u^{2}}+\dfrac{1}{3u^{3}} \right]_{-1}^{a} &=\dfrac{10}{81} \\
\left[\dfrac{-3u+2}{6u^{3}}\right]_{-1}^{a} &=\dfrac{10}{81} \\
\left[\dfrac{-3(x+2)+2}{6(x+2)^{3}}\right]_{-1}^{a} &=\dfrac{10}{81} \\
\left[\dfrac{-3 x -4}{6(x+2)^{3}}\right]_{-1}^{a} &=\dfrac{10}{81} \\
\left[\dfrac{-3a -4}{6(a+2)^{3}}\right]-\left[\dfrac{-3(-1) -4}{6(-1+2)^{3}}\right] &=\dfrac{10}{81} \\
\left[\dfrac{-3a -4}{6(a+2)^{3}}\right]+ \dfrac{1}{6} &=\dfrac{10}{81} \\
\dfrac{-3a -4}{6(a+2)^{3}} &=\dfrac{10}{81}-\dfrac{1}{6} \\
\dfrac{- \left(3a+4 \right)}{6(a+2)^{3}} &=\dfrac{60-81}{486} \\
\dfrac{- \left(3a+4 \right)}{6(a+2)^{3}} &=\dfrac{-21}{486} \\
\dfrac{- \left(3a+4 \right)}{6(a+2)^{3}} &=\dfrac{-7}{162} \\
\dfrac{- \left(3a+4 \right)}{6(a+2)^{3}} &=\dfrac{-7}{6 \cdot 3^{3}} \\
\end{align} $
Nilai $a$ yang memenuhi persamaan di atas adalah $a=1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$

45. Soal UTBK 2019 Matematika (*Soal Lengkap)

Jika $\int \limits_{0}^{2} \left( ax-b \right)\ dx = 4$ dan $\int \limits_{1}^{3} \left( x^{2}+2b \right)\ dx =10$ maka nilai $3a+6b = \cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 7 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 9
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang defenisi integral tentu yaitu Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ adalah antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka:
$\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.

Dengan menerapkan defenisi integral di atas, maka berlaku
$\begin{align}
\int \limits_{1}^{3} \left( x^{2}+2b \right)\ dx &=10 \\
\left[ \dfrac{1}{3}x^{3}+2bx \right ]_{1}^{3} &=10 \\
\left[ \dfrac{1}{3}(3)^{3}+2b(3) \right ]-\left[ \dfrac{1}{3}(1)^{3}+2b(1) \right ] &=10 \\
\left[ 9 + 6b \right ]-\left[ \dfrac{1}{3} + 2b \right ] &=10 \\
9 + 4b - \dfrac{1}{3} &=10 \\
4b - \dfrac{1}{3} &= 1 \\
4b &= 1 + \dfrac{1}{3} \\
4b &= \dfrac{4}{3} \\
b &= \dfrac{1}{3} \\
6b &= 2
\end{align}$

Untuk nilai $b=\dfrac{1}{3}$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
\int \limits_{0}^{2} \left( ax-b \right)\ dx & = 4 \\
\int \limits_{0}^{2} \left( ax-\dfrac{1}{3} \right)\ dx & = 4 \\
\left[ \dfrac{1}{2}ax^{2}-\dfrac{1}{3}x \right]_{0}^{2} & = 4 \\
\left[ \dfrac{1}{2}a(2)^{2}-\dfrac{1}{3}(2) \right]-\left[ 0 \right] & = 4 \\
2a - \dfrac{2}{3} & = 4 \\
2a & = 4 + \dfrac{2}{3} \\
2a & = \dfrac{14}{3} \\
a & = \dfrac{7}{3} \\
3a & = 7 \\
\end{align}$
Nilai $3a+6b=7+2=9$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E) \ 9$

46. Soal UTBK 2019 Matematika (*Soal Lengkap)

Jika $4 + \int \limits_{0}^{2} \left( bx+x-2 \right)\ dx = \int \limits_{-1}^{b} \left( x+1 \right)\ dx$ dan $b \gt 0$ maka nilai $b = \cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang defenisi integral tentu yaitu Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ adalah antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka:
$\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.

Dengan menerapkan defenisi integral di atas, maka berlaku
$\begin{align}
4 + \int \limits_{0}^{2} \left( bx+x-2 \right)\ dx &= \int \limits_{-1}^{b} \left( x+1 \right)\ dx \\
4 + \left[ \dfrac{1}{2}bx^{2}+\dfrac{1}{2}x^{2}-2x \right]_{0}^{2} &= \left[ \dfrac{1}{2}x^{2}+x \right]_{-1}^{b} \\
4 + \left[ \dfrac{1}{2}b(2)^{2}+\dfrac{1}{2}(2)^{2}-2(2) \right]- \left[ 0 \right] &= \left[ \dfrac{1}{2}b^{2}+b \right]-\left[ \dfrac{1}{2}(-1)^{2}+(-1) \right] \\
4 + 2b +2-4 &= \dfrac{1}{2}b^{2}+b + \dfrac{1}{2} \\
2b +2 &= \dfrac{1}{2}b^{2}+b + \dfrac{1}{2} \\
4b + 4 &= b^{2}+ 2b + 1 \\
b^{2} - 2b - 3 &= 0 \\
\left( b-3 \right)\left( b+1 \right)&= 0 \\
b=3\ \text{atau}\ b=-1 &
\end{align}$
Karena nilai $b \gt 0$ maka nilai $b=3$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C) \ 3$

47. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Jika nilai $\int \limits_{b}^{a} f(x)\ dx = 5$ dan $\int \limits_{c}^{a} f(x)\ dx = 0$, maka $\int \limits_{c}^{b} f(x)\ dx = \cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & -5 \\
(B)\ & -3 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 6
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang sifat integral tentu;

  • $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx = -\int \limits_{b}^{a} f(x)\ dx$
  • $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx + \int \limits_{b}^{c} f(x)\ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx$
$\begin{align}
\int \limits_{b}^{a} f(x)\ dx = 5\ &\Rightarrow\ \int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx = -5 \\
\int \limits_{c}^{a} f(x)\ dx = 0\ &\Rightarrow\ \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx = 0 \\
\hline
\int \limits_{c}^{b} f(x)\ dx & = \int \limits_{c}^{a} f(x)\ dx +\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx \\
& = 0 + -5 \\
& = -5 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A) \ -5$

48. Soal Latihan Matematika SMA

Diketahui $\int \limits_{a}^{a+2} \left( 3x-2 \right)\ dx = 5$. Hasil dari $4a^{2}+1$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
\int \limits_{a}^{a+2} \left( 3x-2 \right)\ dx &= 5 \\
\left[ \frac{3}{2}x^{2}-2x \right]_{a}^{a+2} &= 5 \\
\left[ \frac{3}{2}\left( a+2 \right)^{2}-2\left( a+2 \right) \right]-\left[ \frac{3}{2}\left( a \right)^{2}-2\left( a \right) \right] &= 5 \\
\left[ \frac{3}{2}\left( a^{2}+4a+4 \right) -2 a-4 \right]-\left[ \frac{3}{2} a^{2}-2a \right] &= 5 \\
\frac{3}{2}a^{2}+6a+6 -2 a-4 - \frac{3}{2} a^{2}+2a &= 5 \\
6a+2 &= 5 \\
6a &= 3 \\
a &= \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2} \\
\hline 4a^{2}+1 &= 4\left( \dfrac{1}{2} \right)^{2}+1 \\
&= 4\left( \dfrac{1}{4} \right) +1 \\
&= 1 +1 =2 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E) \ 2$


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Integral Fungsi Aljabar di atas adalah coretan kreatif siswa pada
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Integral Tak tentu dan Tentu Fungsi Aljabar silahkan disampaikan πŸ™ CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi πŸ™ Share is Caring πŸ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda πŸ’— Belajar Mengenal dan Memahami Soal TPS (Tes Potensi Skolastik) UTBK SBMPTN 2019;
youtube image

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Integral Tak tentu dan Tentu Fungsi Aljabar (48)" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih πŸ™ support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar