Skip to main content

Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Integral Fungsi

Basic Integration Formulas (Rumus Dasar Integral)Catatan calon guru yang kita diskusikan saat ini akan membahas tentang Matematika Dasar Integral Fungsi. Tetapi jika kita ingin belajar matematika dasar fungsi kuadrat, maka ada baiknya kita sudah sedikit paham tentang matematika dasar turunan fungsi, karena ini adalah salah satu syarat perlu, agar lebih cepat dalam belajar integral fungsi.

Penerapan integral fungsi dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya menemukan luas daerah yang bentuknya tidak beraturan. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada integral fungsi juga sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal integral fungsi dan menemukan solusinya.

Ketika akan menyelesaikan persamaan diferensial dari bentuk $\dfrac{dy}{dx}=f(x)$ dapat kita tulis dalam bentuk $dy=f(x)dx$. Secara umum, jika $F(x)$ menyatakan fungsi dalam variabel $x$, dengan $f(x)$ turunan dari $F(x)$ dan $c$ konstanta bilangan real maka integral tak tentu dari $f(x)$ dapat dituliskan dalam bentuk: $\int f(x)dx=F(x)+c$
dibaca:"integral fungsi $f(x)$ ke $x$ sama dengan $F(x)+c$"

Keterangan Tambahan:
$\int f(x) = \text{notasi integral tak tentu}$
$F(x)+c = \text{fungsi antiturunan}$
$f(x) = \text{fungsi yang diintegralkan (integran)}$
$c = \text{konstanta}$
$d(x) = \text{diferensial (turunan) dari}\ x$

Aturan Dasar Integral Tak Tentu

  1. $\int dx= x + c$
  2. $\int k\ dx= kx + c$
  3. $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$
  4. $\int k f(x)\ dx=k \int f(x)dx$
  5. $\int \left[f(x) + g(x) \right]dx=\int f(x)dx + \int g(x)dx$
  6. $\int \left[f(x) - g(x) \right]dx=\int f(x)dx - \int g(x)dx$
  7. $\int a^{x} dx= \left (\dfrac{1}{ln\ a} \right )a^{x} + c$
  8. $\int a^{u(x)} dx= \left (\dfrac{1}{u'(x)\ ln\ a} \right )a^{u(x)} + c$
  9. $\int \dfrac{1}{x} dx= ln\ \left |x \right | + c$
  10. $\int \dfrac{1}{u(x)} dx= \dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left |u(x) \right | + c$
  11. $\int e^{x} dx= e^{x} + c$
  12. $\int e^{u(x)} dx= \dfrac{1}{u'(x)}e^{u(x)} + c$
  13. $\int sin\ x\ dx= -cos\ x + C$
  14. $\int sin\ u(x)\ dx= -\dfrac{1}{u'(x)}cos\ u(x) + c$
  15. $\int cos\ x\ dx= sin\ x + C$
  16. $\int cos\ u(x)\ dx= \dfrac{1}{u'(x)}sin\ u(x) + c$
  17. $\int tan\ x\ dx= ln\ \left |sec\ x \right | + c$
  18. $\int tan\ u(x)\ dx= \dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left | sec\ u(x) \right | + c$
  19. $\int cosec\ x\ dx= ln\ \left |cosec\ x-cotan\ x \right |+ c$
  20. $\int cosec\ u(x)\ dx=\dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left | cosec\ u(x)-cotan\ u(x) \right | + c$
  21. $\int sec\ x\ dx= ln\ \left | sec\ x+ tan\ x \right | + c$
  22. $\int sec\ u(x)\ dx=\dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left | sec\ u(x)+ tan\ u(x) \right | + c$
  23. $\int cot\ x\ dx= ln\ \left | sin\ x \right | + c$
  24. $\int cot\ u(x)\ dx=\dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left | sin\ u(x) \right | + c$

Integral Parsial

$\int u\ dv=u \cdot v-\int v\ du$

Integral Tentu

Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ adalah antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka:
$\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Sifat Integral Tentu
  1. $\int \limits_{a}^{a}f(x)dx=0$
  2. $ \int \limits_{a}^{b} k f(x) dx = k \int \limits_{a}^{b} f(x) dx $
  3. $ \int \limits_{a}^{b} [ f(x) + g(x) ] dx = \int \limits_{a}^{b} f(x) dx + \int \limits_{a}^{b} g(x) dx $
  4. $ \int \limits_{a}^{b} [ f(x) - g(x) ] dx = \int \limits_{a}^{b} f(x) dx - \int \limits_{a}^{b} g(x) dx $
  5. $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=-\int \limits_{b}^{a}f(x)dx$
  6. $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=\int \limits_{a}^{p}f(x)dx+\int \limits_{p}^{b}f(x)dx$
  7. $\int \limits_{a}^{b} f(x) dx = \int \limits_{a+c}^{b+c} f(x-c) dx$
  8. $\int \limits_{a}^{b} f(x) dx = \int \limits_{a-c}^{b-c} f(x+c) dx$
  9. Jika $f(x)$ fungsi genap $'f(-x)=f(x)'$ maka $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =2\int \limits_{0}^{a} f(x)dx $
  10. Jika $f(x)$ fungsi ganjil $'f(-x)=-f(x)'$ maka $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =0$
  11. Jika $f$ periodik dengan periode $p$, maka $\int \limits_{a+p}^{b+p} f(x)dx =\int \limits_{a }^{b } f(x)dx$
    'Suatu fungsi $f$ adalah periodik jika terdapat suatu bilangan $p$ sedemikian sehingga $f(x+p)=f(x)$'
Untuk memantapkan beberapa aturan dasar integral fungsi diatas, mari kita coba beberapa soal latihan yang kita pilih secara acak dari soal-soal Ujian Nasional atau seleksi masuk perguruan tinggi negeri atau swasta😊.

1. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)

Hasil dari $\int 4x\ \left ( x^{2}-1 \right )^{5}\ dx $ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C \\
(B)\ & -\dfrac{1}{6} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C \\
(C)\ & \dfrac{1}{6} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C \\
(D)\ & \dfrac{1}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C \\
(E)\ & \dfrac{4}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C \\
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:

Hasil $\int 4x\ \left ( x^{2}-1 \right )^{5}\ dx $ kita coba kerjakan dengan pemisalan;
Misal:
$u=x^{2}-1$
$\dfrac{du}{dx}=2x$
$du=2x\ dx$

Soal diatas, kini bisa kita rubah menjadi;
$\int 4x\ \left ( x^{2}-1 \right )^{5}\ dx $
$=\int 2 \cdot 2x\ u^{5}\ dx $
$=\int 2 u^{5}\ 2x\ dx $
$=\int 2 u^{5}\ du $
$=\dfrac{2}{5+1} u^{5+1}+C $
$=\dfrac{2}{6} u^{6}+C $
Lalu kita kembalikan nilai $u=x^{2}-1$
$=\dfrac{1}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} +C $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{6} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C $

2. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)

2. Diketahui $\int \limits_{0}^{3} \left ( x^{2}-2px+p+2 \right ) dx=3$. Nilai $p$ yang memenuhi adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:

$ \begin{align}
\int \limits_{0}^{3} \left ( x^{2}-2px+p+2 \right ) dx & = 3 \\
\left [\dfrac{1}{3}x^{3}-px^{2}+px+2x \right ]_{0}^{3} & = 3 \\
\left [\dfrac{1}{3}(3)^{3}-p(3)^{2}+p(3)+2(3) \right ]-\left [0 \right ] & = 3 \\
\left [9-9p+3p+6 \right ]-0 & = 3 \\
\left [15-6p \right ] & = 3 \\
15-3 & = 6p \\
12 & = 6p \\
2 & = p
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

3. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)

$ \int \limits_{0}^{1} \left ( 3x-1 \right )\left ( x+2 \right ) dx=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & \dfrac{3}{2} \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 6 \\
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:

$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{1} \left ( 3x-1 \right )\left ( x+2 \right ) dx \\
& = \int \limits_{0}^{1} \left ( 3x^{2}+6x-x-2 \right ) dx \\
& = \int \limits_{0}^{1} \left ( 3x^{2}+5x -2 \right ) dx \\
& = \left [ \dfrac{3}{2+1}x^{2+1}+\dfrac{5}{1+1}x^{1+1}-2x \right ]_{0}^{1} \\
& = \left [ x^{3}+\dfrac{5}{2}x^{2}-2x \right ]_{0}^{1} \\
& = \left [ (1)^{3}+\dfrac{5}{2}(1)^{2}-2(1) \right ] - \left [0 \right ] \\
& = \left [ 1+\dfrac{5}{2}-2 \right ] \\
& = \dfrac{3}{2}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ \dfrac{3}{2}$

4. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)

Diketahui $\int \limits_{-1}^{1} \left ( 4x^{2}-12x+9 \right )\ dx$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & 24 \dfrac{4}{6} \\
(B)\ & 24 \dfrac{3}{6} \\
(C)\ & 20 \dfrac{4}{6} \\
(D)\ & 20 \dfrac{1}{6} \\
(E)\ & 16 \dfrac{1}{6} \\
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:

$ \begin{align}
& \int \limits_{-1}^{1} \left ( 4x^{2}-12x+9 \right )\ dx \\
& = \left [\dfrac{4}{3}x^{3}-\dfrac{12}{2}x^{2}+9x \right ]_{-1}^{1} \\
& = \left [\dfrac{4}{3}x^{3}-6x^{2}+9x \right ]_{-1}^{1} \\
& = \left [\dfrac{4}{3}(1)^{3}-6(1)^{2}+9(1) \right ]-\left [\dfrac{4}{3}(-1)^{3}-6(-1)^{2}+9(-1) \right ] \\
& = \left [\dfrac{4}{3}-6+9 \right ]-\left [-\dfrac{4}{3} -6-9 \right ] \\
& = \dfrac{4}{3}+3 +\dfrac{4}{3}+15 \\
& = \dfrac{8}{3}+18 \\
& = 20\dfrac{2}{3}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 20 \dfrac{2}{3}$

5. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 (*Soal Lengkap)

Jika $\int \limits_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int \limits_{-2}^4 f(x) dx = 4$, maka $\int \limits_{-2}^0 f(x)\ dx=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & 4
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:

Sebuah fungsi dikatakan fungsi genap

  • Berlaku $f(-x)=f(x)$
  • Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat sumbu $y$
  • Jika dipakai pada integral, ciri fungsi genap ini adalah $\int \limits_{-a}^a f(x)dx =2\int \limits_{0}^a f(x)dx $
  • Silahkan dibuktikan ciri fungsi genap diatas untuk $f(x)=x^{2}$ atau $f(x)=cos\ x$
Sebuah fungsi dikatakan fungsi ganjil
  • Berlaku $f(-x)=-f(x)$
  • Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat $(0,0)$
  • Jika dipakai pada integral, kekhususan fungsi ganjil ini adalah $\int \limits_{-a}^a f(x)dx =0$.
  • Silahkan dibuktikan ciri fungsi ganjil diatas untuk $f(x)=x^{3}$ atau $f(x)=sin\ x$.

Kembali kepada soal,
$\begin{split}
& \int \limits_{-4}^{4} f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8\\
& \int \limits_{-4}^{4} \left (f\left (x\right ) \sin x + f\left (x\right ) \right )\ dx = 8\\
& \int \limits_{-4}^{4} f(x) \sin x\ dx + \int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx = 8
\end{split}$
Karena $f(x)$ fungsi genap dan $\sin x$ fungsi ganjil maka $f(x) \sin x$ merupakan fungsi ganjil sehingga berlaku $\int \limits_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx=0$ dan $\int \limits_{-4}^4 f(x)\ dx = 2 \int \limits_{0}^4 f(x)\ dx$.
$\begin{split}
\int \limits_{-4}^{4} f(x) \sin x\ dx + \int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx &= 8\\
0 + \int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx &= 8\\
2 \int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx &= 8\\
\int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx &= 4\\
\hline
\int \limits_{-2}^{4} f(x) dx &= 4\\
\int \limits_{-2}^{0} f(x) dx + \int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx &= 4\\
\int \limits_{-2}^{0} f(x) dx + 4 &= 4\\
\int \limits_{-2}^{0} f(x) dx &= 0
\end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 0$

6. Soal Simulasi UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^{2}+6x$, $y=-x^{2}-2x$. garis $x=-3$, dan $x=-1$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & 9\dfrac{1}{3} \\
(B)\ & 10\dfrac{2}{3} \\
(C)\ & 11\dfrac{1}{3} \\
(D)\ & 13\dfrac{2}{3} \\
(E)\ & 14\dfrac{2}{3}
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:

Keterangan pada soal jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

Matematika Dasar Integral Fungsi (*Soal Dari Berbagai Sumber)
Dalam penulisan integral gambar diatas kita terjemahkan kurang lebih seperti berikut ini;
$\left | \int \limits_{-3}^{-1}\left ((x^2+6x)-(-x^2-2x) \right ) dx \right |$
$=\left | \int \limits_{-3}^{-1}\left (x^2+6x+x^2+2x \right ) dx \right |$
$=\left | \int \limits_{-3}^{-1}\left (2x^2+8x \right ) dx \right |$
$=\left | \left [\dfrac{2}{3}x^3+4x^2 \right ]_{-3}^{-1} \right |$
$=\left | \left [\dfrac{2}{3}(-1)^3+4(-1)^2 \right ]-\left [\dfrac{2}{3}(-3)^3+4(-3)^2 \right ] \right |$
$=\left | \left [-\dfrac{2}{3}+4 \right ]-\left [\dfrac{-54}{3}+36 \right ] \right |$
$=\left | \left [\dfrac{10}{3} \right ]-\left [-18+36 \right ] \right |$
$=\left | \dfrac{10}{3}-18 \right |$
$=\left | \dfrac{10}{3}-\dfrac{54}{3} \right |$
$=\left | -\dfrac{44}{3} \right |$
$=\left | -14\dfrac{2}{3} \right |$
$=14\dfrac{2}{3}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ 14\dfrac{2}{3}$

7. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)

Hasil dari $\int \left ( 2x-\dfrac{1}{2x} \right )^{2} dx $ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & \dfrac{2}{3}x^{3}-\dfrac{1}{2x}-2x + C \\
(B)\ & \dfrac{2}{3}x^{3}+\dfrac{1}{2x}-2x + C \\
(C)\ & \dfrac{4}{3}x^{3}-\dfrac{1}{2x}+2x + C \\
(D)\ & \dfrac{4}{3}x^{3}-\dfrac{1}{4x}-2x + C \\
(E)\ & \dfrac{4}{3}x^{3}+\dfrac{1}{4x}-2x + C
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:

$ \begin{align}
& \int \left ( 2x-\dfrac{1}{2x} \right )^{2} dx \\
& = \int \left ( 4x^{2}-2+\dfrac{1}{4x^{2}} \right ) dx \\
& = \int \left ( 4x^{2}-2+\dfrac{1}{4}x^{-2} \right ) dx \\
& = \dfrac{4}{2+1}x^{2+1}-2x+\dfrac{\frac{1}{4}}{-2+1}x^{-2+1} + C \\
& = \dfrac{4}{3}x^{3}-2x-\dfrac{1}{4x}+C
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{4}{3}x^{3}-\dfrac{1}{4x}-2x + C$

8. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)

Hasil dari $\int \left ( \dfrac{-16-6x^{4}}{x^{2}} \right ) dx $ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & \dfrac{16}{x}+2x^{3} + C \\
(B)\ & \dfrac{16}{x}-2x^{3} + C \\
(C)\ & -\dfrac{16}{x}-x^{3} + C \\
(D)\ & -\dfrac{8}{x}+2x^{3} + C \\
(E)\ & \dfrac{8}{x}-2x^{3} + C
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:

$ \begin{align}
& \int \left ( \dfrac{-16-6x^{4}}{x^{2}} \right ) dx \\
& = \int \left ( \dfrac{-16}{x^{2}} - \dfrac{6x^{4}}{x^{2}} \right ) dx \\
& = \int \left ( -16 x^{-2} -6x^{4-2} \right ) dx \\
& = \int \left ( -16 x^{-2} -6x^{2} \right ) dx \\
& = \dfrac{-16}{-2+1} x^{-2+1} -\dfrac{6}{2+1}x^{2+1}+C \\
& = 16 x^{-1} -2x^{3}+C \\
& = \dfrac{16}{x}-2x^{3}+C
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{16}{x}-2x^{3} + C $

9. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 (*Soal Lengkap)

Jika $f(x)$ fungsi kontinu di interval $[1,30]$ dan $\int \limits_{6}^{30} f(x)\ dx=30$ maka $\int \limits_{1}^{9} f(3y+3)\ dy=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 15 \\
(D)\ & 18 \\
(E)\ & 27
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan $\int \limits_{1}^{9} f(3y+3)\ dy$ kita coba sederhanakan fungsi dengan memisalkan $x=3y+3$, sehingga beberapa perubahan juga terjadi yaitu:

  • karena $x=3y+3$, maka
    $ \begin{align}
    dx & = 3 dy \\
    \dfrac{1}{3}dx & = dy
    \end{align} $
  • batas bawah yaitu $y=1$ mengakibatkan $x=3y+3=6$
  • batas atas yaitu $y=9$ mengakibatkan $x=3y+3=30$
dari perubahan di atas, soal dapat kita tulis menjadi;
$ \begin{align}
& \int \limits_{1}^{9} f(3y+3)\ dy \\
& = \int \limits_{6}^{30} f(x)\ \dfrac{1}{3}dx \\
& = \dfrac{1}{3} \\int \limits_{6}^{30} f(x)\ dx \\
& = \dfrac{1}{3} \times 30 \\
& = 10
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10$


10. Soal SIMAK UI 2018 Kode 421 (*Soal Lengkap)

Jika $\int \limits_{-2}^{0} \left ( cos\ \left ( \pi+\dfrac{\pi k x}{2} \right )+\dfrac{9x^{2}-10x+14}{k+12} \right ) dx$$=(k-9)(k-11)$ untuk nilai $k$ bilangan bulat, maka $k^{2}-14=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 140 \\
(B)\ & 135 \\
(C)\ & 130 \\
(D)\ & 125 \\
(E)\ & 120
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:

$\int \limits_{-2}^{0} \left ( cos\ \left ( \pi+\dfrac{\pi k x}{2} \right )+\dfrac{9x^{2}-10x+14}{k+12} \right ) dx$$=(k-9)(k-11)$
$ \begin{align}
&\int \limits_{-2}^{0} \left ( cos\ \left ( \pi+\dfrac{\pi k x}{2} \right )+\dfrac{9x^{2}-10x+14}{k+12} \right ) dx \\
&= \left[ \dfrac{2}{\pi k} sin\ \left ( \pi+\dfrac{\pi k x}{2} \right )+\dfrac{3x^{3}-5x^{2}+14x}{k+12} \right ]_{-2}^{0} \\
&= \left[ \dfrac{2}{\pi k} sin\ \left ( \pi+\dfrac{(0) \pi k}{2} \right )+\dfrac{3(0)^{3}-5(0)^{2}+14(0)}{k+12} \right ] \\
&- \left[ \dfrac{2}{\pi k} sin\ \left ( \pi+\dfrac{-2 \pi k}{2} \right )+\dfrac{3(-2)^{3}-5(-2)^{2}+14(-2)}{k+12} \right ] \\
&= \left[ \dfrac{2}{\pi k} sin\ \pi \right ] - \left[ \dfrac{2}{\pi k} sin\ \left ( \pi- \pi k \right )+\dfrac{-24-20-28}{k+12} \right ] \\
&= \left[ 0 \right ] - \left[ \dfrac{2}{\pi k} sin\ \pi \left ( 1-k \right )+\dfrac{-72}{k+12} \right ]\\
&= - \left[0+\dfrac{-72}{k+12} \right ]\\
&= \dfrac{ 72}{k+12}
\end{align} $

$ \begin{align}
(k-9)(k-11) & = \dfrac{ 72}{k+12} \\
(k-9)(k-11)(k+12) & = 72 \\
k^{3}-8k^{2}-141k+1116 & = 0 \\
(k-12)(k^{2}+4k+93) & = 0 \\
k & = 12 \\
k^{2}-14 & = 144-14 \\
& = 130
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 130$

11. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^{3}$, garis $x=1$, dan sumbu $x$ diputar mengelilingi sumbu $y$. Volume benda putar yang terbentuk adalah...satuan volume.
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4}\pi \\
(B)\ & \dfrac{2}{5}\pi \\
(C)\ & \dfrac{3}{5}\pi \\
(D)\ & \dfrac{2}{3}\pi \\
(E)\ & \dfrac{3}{2}\pi
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Integral Fungsi yaitu;

  • Volume benda putar terhadap sumbu-$x$ yang dibatasi oleh $y_{2}$ dan $y_{1}$ dari $a$ ke $b$ adalah $V=\pi \int \limits_{a}^{b}\left ( y_{2}-y_{1} \right)^{2}dx$
  • Volume benda putar terhadap sumbu-$y$ yang dibatasi oleh $x_{2}$ dan $x_{1}$ dari $a$ ke $b$ adalah $V=\pi \int \limits_{a}^{b}\left ( x_{2}-x_{1} \right)^{2}dy$
Daerah yang dibatasi oleh $y=x^{3}$, garis $x=1$, dan sumbu $x$, jika kita gambarkan ilustrasinya kurang lebih seperti berikut ini;
Bank Soal Matematika Dasar Integral Fungsi (*Soal dan Pembahasan)
Titik potong kurva $y=x^{3}$ dan garis $x=1$ adalah $(1,1)$
Titik potong kurva $y=x^{3}$ dan sumbu-$x$ atau $y=0$ adalah $(0,0)$

Volume benda putar yang dibatasi oleh $y=x^{3}$, garis $x=1$, dan sumbu $x$ dan diputar mengelilingi sumbu-$y$;
$\begin{align}
V &= \pi \int \limits_{a}^{b}\left ( x_{2}-x_{1} \right)^{2}dy \\
&= \pi \int \limits_{0}^{1} \left ( \left ( 1 \right)^{2}-\left( y^{\frac{1}{3}} \right)^{2} \right)dy \\
&= \pi \int \limits_{0}^{1} \left( 1- y^{\dfrac{2}{3}} \right) dy \\
&= \pi \left[ y- \dfrac{3}{5} y^{\dfrac{5}{3}} \right]_{0}^{1} \\
&= \pi \left[ 1- \dfrac{3}{5} (1)^{\dfrac{5}{3}} \right]-[0] \\
&= \pi \left[ 1- \dfrac{3}{5} \right] \\
&= \dfrac{2}{5} \pi
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{2}{5} \pi$

12. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Nilai $a$ yang memenuhi $\int \limits_{a}^{1} 12x \left ( x^{2}+1 \right)^{2}dx=14$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Integral Fungsi yaitu Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ adalah antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.
Daerah yang dibatasi oleh $y=x^{3}$, garis $x=1$, dan sumbu $x$, jika kita gambarkan ilustrasinya kurang lebih seperti berikut ini;
$\begin{align}
\int \limits_{a}^{1} 12x \left ( x^{2}+1 \right)^{2}dx &= 14 \\
\int \limits_{a}^{1} 12x \left ( x^{4}+2x^{2}+1 \right) dx &= 14 \\
\int \limits_{a}^{1} \left ( 12x^{5}+24x^{3}+12x \right) dx &= 14 \\
\left[ 2x^{6}+6x^{4}+6x^{2} \right]_{a}^{1} &= 14 \\
\left[ 2(1)^{6}+6(1)^{4}+6(1)^{2} \right]-\left[ 2a^{6}+6a^{4}+6a^{2} \right] &= 14 \\
\left[ 2+6+6 \right]-\left[ 2a^{6}+6a^{4}+6a^{2} \right] &= 14 \\
-\left[ 2a^{6}+6a^{4}+6a^{2} \right] &= 14-14 \\
-\left[ 2a^{6}+6a^{4}+6a^{2} \right] &= 0 \\
a^{2} \left( 2a^{4}+6a^{2}+6 \right) &= 0 \\
a=0\ \text{atau}\ 2a^{4}+6a^{2}+6 &= 0
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 0$

13. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

$\int \limits_{-3}^{3} \left| x-2x-3 \right| dx=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 18 \\
(C)\ & \dfrac{68}{3} \\
(D)\ & \dfrac{64}{3} \\
(E)\ & 9
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Integral Fungsi yaitu Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ adalah antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.

Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak

Jika kita akan menentukan integral harga mutlak $ f(x) $ dari batas $a \leq b \leq c$ maka dapat kita hitung dengan fungsi mutlaknya dipecah menjadi:
$ |f(x)| =
\left\{\begin{array}{cc}
f(x) & , x \geq b \\
-f(x) & , x \lt b
\end{array} \right. $
Maka Integralnya dapat dihitung dengan menjadi:
$ \int \limits_a^c \, |f(x)| \, dx = \int \limits_a^b \, f(x) \, dx + \int \limits_b^c \, -f(x) \, dx $.

$\int \limits_{-3}^{3} \left| x-2x-3 \right| dx = \int \limits_{-3}^{3} \left| -x-3 \right|$
$ \left| -x-3 \right| = -x-3$ untuk $ -x-3 \geq 0$ atau $ x \leq -3$
$ \left| -x-3 \right| = -(-x-3)$ untuk $ -x-3 \lt 0$ atau $ x \gt -3$
Karena batas integral yang diminta dari $-3 \leq x \leq 3$ sesuai dengan batas positif $ x \gt -3$ maka dari defenisi harga mutlak di atas yang kita pakai hanya bagian $ \left| -x-3 \right| = -(-x-3)=x+3$.
$\begin{align}
\int \limits_{-3}^{3} \left( x+3 \right) dx & = \left[ \dfrac{1}{2}x^{2}+3x \right]_{-3}^{3} \\
& = \left[ \dfrac{1}{2}(3)^{2}+3(3) \right]-\left[ \dfrac{1}{2}(-3)^{2}+3(-3) \right] \\
& = \left[ \dfrac{9}{2} +9 \right]-\left[ \dfrac{9}{2}-9 \right] \\
& = \dfrac{9}{2} +9 - \dfrac{9}{2}+9 \\
& = 18
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 18$

14. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Jika luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=\sqrt{px}$ dan garis $y=x$ adalah $\dfrac{2}{3}$, maka nilai $p$ yang memenuhi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{3}\sqrt{6} \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & \dfrac{5}{2} \\
(D)\ & 2\ \text{atau}\ -2 \\
(E)\ & \dfrac{5}{2}\ \text{atau}\ -\dfrac{5}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Integral Fungsi yaitu Luas daerah yang dibatasi oleh $y_{2}$ dan $y_{1}$ dimana $y_{2}$ dan $y_{1}$ berpotongan pada $a$ dan $b$ maka $L=\left| \int \limits_{a}^{b} \left( y_{2}-y_{1} \right) dx \right|$.

Titik potong kurva $y=\sqrt{px}$ dan garis $y=x$ adalah;
$\begin{align}
\sqrt{px} &= x \\
px &= x^{2} \\
x^{2} - px &= 0 \\
x(x - p) &= 0 \\
x=0\ &\ x=p
\end{align}$

Luas daerah yang dibatasi kurva $y=\sqrt{px}$ dan garis $y=x$ adalah $\dfrac{2}{3}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
L &= \left| \int \limits_{a}^{b} \left( y_{2}-y_{1} \right) dx \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \int \limits_{0}^{p} \left( \sqrt{px}-x \right) dx \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \left[ \dfrac{2}{3} \cdot (px)^{\frac{3}{2}} \cdot \dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{2} \cdot (x)^{2} \right]_{0}^{p} \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \left[ \dfrac{2}{3} \cdot (p \cdot p)^{\frac{3}{2}} \cdot \dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{2} \cdot (p)^{2} \right]-[0] \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \dfrac{2}{3} \cdot p^{3} \cdot \dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{2} \cdot p^{2} \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \dfrac{2}{3} p^{2} -\dfrac{1}{2} p^{2} \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \dfrac{1}{6} p^{2} \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \dfrac{1}{6} p^{2} \\
4 &= p^{2} \\
\pm \sqrt{4} &= p \\
\pm 2 &= p
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 2\ \text{atau}\ -2$

15. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

$\int \left ( 12x^{2}-4x+1 \right )\ dx =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 6x^{3}-4x^{2}+x + C \\
(B)\ & 6x^{3}-4x^{2} + C \\
(C)\ & 4x^{3}+2x^{2}+x + C \\
(D)\ & 4x^{3}-2x^{2}+x + C \\
(E)\ & 4x^{3}+2x^{2}+x + C
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
&\int \left ( 12x^{2}-4x+1 \right )\ dx \\
& = \dfrac{12}{2+1}x^{2+1}-\dfrac{4}{1+1}x^{1+1}+1x+C\\
& = 4x^{3}-2x^{2}+ x+C
\end{align}$
Soal integral di atas sangat sederhana, coba berlatih lagi soal integral disini

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4x^{3}-2x^{2}+x + C$

16. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Hasil dari $\int \left ( x-2 \right ) \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{5}\ dx $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{3} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} + C \\
(B)\ & \dfrac{1}{6} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} + C \\
(C)\ & \dfrac{1}{12} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} + C \\
(D)\ & \dfrac{1}{6} \left ( x-2 \right )^{2} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} + C \\
(E)\ & \dfrac{1}{6} \left ( x-2 \right )^{2} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} + C
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan pemisalan;

misal:
$\begin{align}
u & = x^{2}-4x+3 \\
\dfrac{du}{dx} & = 2x-4 \\
\dfrac{du}{dx} & = 2 (x-2) \\
\dfrac{1}{2}\ du & = (x-2)\ dx
\end{align}$

Soal di atas, kini bisa kita rubah menjadi;
$\begin{align}
&\int \left ( x-2 \right ) \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{5}\ dx \\
& = \int u^{5} \left ( x-2 \right )\ dx \\
& = \int u^{5} \cdot \dfrac{1}{2}\ du \\
& = \dfrac{1}{5+1} u^{5+1} \cdot \dfrac{1}{2}+C \\
& = \dfrac{1}{12} u^{6} +C \\
& = \dfrac{1}{12} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} +C \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{12} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} + C$

17. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui $f(x)$ merupakan fungsi genap, Jika $\int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx = 16$, $\int \limits_{3}^{4} f(2x-2)\ dx = 11$ dan $\int \limits_{-5}^{-1} f(1-x)\ dx = 6$, maka $\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx = \cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 22 \\
(B)\ & 23 \\
(C)\ & 24 \\
(D)\ & 25 \\
(E)\ & 26
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang fungsi genap;

  • Berlaku $f(-x)=f(x)$
  • Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat sumbu $y$
  • Jika dipakai pada integral, ciri fungsi genap ini adalah $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =2\int \limits_{0}^{a} f(x)dx $
$\begin{align}
\int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx = 16\ &\Rightarrow\ 2 \int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx = 16 \\
\int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx = 8\ &\Rightarrow\ \left | F(x) \right | _{0}^{4} = 8 \\
F(4)-F(0) = 8\ &\Rightarrow\ \int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx = 8 \\
\hline
\int \limits_{3}^{4} f(2x-2)\ dx = 11\ &\Rightarrow\ \dfrac{1}{2} \cdot \left | F(2x-2) \right | _{3}^{4} = 11 \\
\dfrac{1}{2} \cdot \left( F(6)-F(4) \right) & = 11 \\
F(6)-F(4) = 22\ &\Rightarrow\ \int \limits_{4}^{6} f(x)\ dx = 22 \\
\hline
\int \limits_{-5}^{-1} f(1-x)\ dx = 6\ &\Rightarrow\ \dfrac{1}{-1} \cdot \left | F(1-x) \right | _{-5}^{-1} = 6 \\
F(2)-F(6) & = -6 \\
F(6)-F(2) = 6\ &\Rightarrow\ \int \limits_{2}^{6} f(x)\ dx = 6 \\
\end{align}$

Dari persamaan yang kita peroleh di atas dan sifat integral tentu, dapat kita simpulkan:
$\begin{align}
\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx + \int \limits_{2}^{6} f(x)\ dx &= \int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx + \int \limits_{4}^{6} f(x)\ dx \\
\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx + 6 &= 8 + 22 \\
\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx &= 30-6 \\
&= 24 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C) \ 24$

18. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Fungsi $f(x)$ memenuhi $f(x)=f(-x)$. Jika nilai $\int \limits_{-3}^{3} f(x)\ dx = 6$, $\int \limits_{2}^{3} f(x)\ dx = 1$, maka nilai $\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx = \cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 6
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang fungsi genap;

  • Berlaku $f(-x)=f(x)$
  • Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat sumbu $y$
  • Jika dipakai pada integral, ciri fungsi genap ini adalah $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =2\int \limits_{0}^{a} f(x)dx $
$\begin{align}
\int \limits_{-3}^{3} f(x)\ dx = 6\ &\Rightarrow \ 2 \int \limits_{0}^{3} f(x)\ dx = 6 \\
\int \limits_{0}^{3} f(x)\ dx = 3\ &\Rightarrow \ \left | F(x) \right | _{0}^{3} = 3 \\
F(3)-F(0) = 3 \ &\Rightarrow\ \int \limits_{0}^{3} f(x)\ dx = 3 \\
\hline
\int \limits_{2}^{3} f(x)\ dx &= 1
\end{align}$

Dari persamaan yang kita peroleh di atas dan sifat integral tentu, dapat kita simpulkan:
$\begin{align}
\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx + \int \limits_{2}^{3} f(x)\ dx &= \int \limits_{0}^{3} f(x)\ dx \\
\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx + 1 &= 3 \\
\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx &= 3-1 =2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B) \ 2$


19. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Jika nilai $\int \limits_{b}^{a} f(x)\ dx = 5$ dan $\int \limits_{c}^{a} f(x)\ dx = 0$, maka $\int \limits_{c}^{b} f(x)\ dx = \cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & -5 \\
(B)\ & -3 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 6
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang sifat integral tentu;

  • $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx = -\int \limits_{b}^{a} f(x)\ dx$
  • $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx + \int \limits_{b}^{c} f(x)\ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx$

$\begin{align}
\int \limits_{b}^{a} f(x)\ dx = 5\ &\Rightarrow\ \int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx = -5 \\
\int \limits_{c}^{a} f(x)\ dx = 0\ &\Rightarrow\ \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx = 0 \\
\hline
\int \limits_{c}^{b} f(x)\ dx & = \int \limits_{c}^{a} f(x)\ dx +\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx \\
& = 0 + -5 \\
& = -5
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A) \ -5$

20. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Misalkan fungsi $f$ memenuhi $f(x+5)=f(x)$ untuk setiap $x \in R$. Jika $\int \limits_{1}^{5} f(x)\ dx = 3$ dan $\int \limits_{-5}^{-4} f(x)\ dx =-2$ maka nilai $\int \limits_{5}^{15} f(x)\ dx = \cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 10 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 5 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 1
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang sifat integral tentu;

  • $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx + \int \limits_{b}^{c} f(x)\ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx$
  • Jika $f$ periodik dengan periode $p$, maka $\int \limits_{a+p}^{b+p} f(x)dx =\int \limits_{a }^{b } f(x)dx$
    $'$Suatu fungsi $f$ adalah periodik jika terdapat suatu bilangan $p$ sedemikian sehingga $f(x+p)=f(x)$$'$
Karena $f(x+5)=f(x)$ maka $f(x)$ periodik dengan periode $5$, sehingga berlaku:
  • $\int \limits_{1}^{5} f(x)\ dx = \int \limits_{6}^{10} f(x)\ dx = \int \limits_{11}^{15} f(x)\ dx = 3$
  • $\int \limits_{-5}^{-4} f(x)\ dx=\int \limits_{0}^{1} f(x)\ dx = \int \limits_{5}^{6} f(x)\ dx =\int \limits_{10}^{11} f(x)\ dx =-2$;
Dengan menggunakan sifat integral di atas, maka berlaku
$\begin{align}
\int \limits_{5}^{15} f(x) dx &= \int \limits_{5}^{6} f(x) dx+\int \limits_{6}^{10} f(x) dx+\int \limits_{10}^{11} f(x) dx+\int \limits_{11}^{15} f(x) dx \\
&= -2+3+(-2)+3 \\
&= 2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D) \ 2$

21. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui fungsi $f(x)$ adalah fungsi genap, Jika nilai $\int \limits_{-5}^{5} \left( f(x)+3x^{2} \right) dx = 260$ dan $\int \limits_{2}^{4} f(x) dx = 2$ maka nilai $\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx+\int \limits_{4}^{5} f(x)\ dx = \cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & -7 \\
(B)\ & -3 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & 7
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang sifat integral tentu;

  • Berlaku $f(-x)=f(x)$
  • Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat sumbu $y$
  • Jika dipakai pada integral, ciri fungsi genap ini adalah $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =2\int \limits_{0}^{a} f(x)dx $
Pada soal disampaikan bahwa $f(x)$ adalah fungsi genap dan $3x^{2}$ adalah fungsi genap karena $f(-x)=f(x)$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
\int \limits_{-5}^{5} \left( f(x)+3x^{2} \right) dx &= 260 \\
2 \cdot \int \limits_{0}^{5} \left( f(x)+3x^{2} \right) dx &= 260 \\
\int \limits_{0}^{5} \left( f(x)+3x^{2} \right) dx &= 130 \\
\int \limits_{0}^{5} f(x)\ dx + \int \limits_{0}^{5} 3x^{2}\ dx &= 130 \\
\int \limits_{0}^{5} f(x)\ dx + \left | x^{3} \right | _{0}^{5} &= 130 \\
\int \limits_{0}^{5} f(x)\ dx +125 &= 130 \\
\int \limits_{0}^{5} f(x) &= 5
\end{align}$

$\begin{align}
\int \limits_{0}^{5} f(x)\ dx &= \int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx +\int \limits_{2}^{4} f(x)\ dx +\int \limits_{4}^{5} f(x)\ dx \\
5 &= \int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx + 2 +\int \limits_{4}^{5} f(x)\ dx \\
5-2 &= \int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx +\int \limits_{4}^{5} f(x)\ dx \\
3 &= \int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx +\int \limits_{4}^{5} f(x)\ dx
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D) \ 3$

22. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui $f(-x)=f(x)-3$ dan $x \gt 0$. Jika $\int \limits_{1}^{5} f(x)\ dx = 2$ dan $\int \limits_{3}^{5} f(x)\ dx = -3$ maka $\int \limits_{-3}^{-1} f(x)\ dx = \cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & -17 \\
(B)\ & -11 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 11 \\
(E)\ & 17
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang integral tentu;

  • $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx = -\int \limits_{b}^{a} f(x)\ dx$
  • $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx + \int \limits_{b}^{c} f(x)\ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx$
Diketahui $f(-x)=f(x)-3$ maka $f(x)=f(-x)+3$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
\int \limits_{1}^{5} f(x)\ dx &= \int \limits_{1}^{5} \left( f(-x)+3 \right) dx \\
2 &= \int \limits_{1}^{5} f(-x) dx + \int \limits_{1}^{5} 3\ dx \\
2 - \int \limits_{1}^{5} 3\ dx &= \int \limits_{1}^{5} f(-x) dx \\
2 - \left | 3x \right | _{1}^{5} &= \dfrac{1}{-1} \cdot \left | F(-x) \right | _{1}^{5} \\
2 - (15 -3) &= (-1) \cdot \left( F(-5)-F(-1) \right) \\
-10 &= (-1) \cdot \int \limits_{-1}^{-5} f(x)\ dx \\
-10 &= \int \limits_{-5}^{-1} f(x)\ dx \\
\hline
\int \limits_{3}^{5} f(x)\ dx &= \int \limits_{3}^{5} \left( f(-x)+3 \right) dx \\
-3 &= \int \limits_{3}^{5} f(-x) dx + \int \limits_{3}^{5} 3\ dx \\
-3 - \int \limits_{3}^{5} 3\ dx &= \int \limits_{3}^{5} f(-x) dx \\
-3 - \left | 3x \right | _{3}^{5} &= \dfrac{1}{-1} \cdot \left | F(-x) \right | _{3}^{5} \\
-3 - (15 -9) &= (-1) \cdot \left( F(-5)-F(-3) \right) \\
-9 &= (-1) \cdot \int \limits_{-3}^{-5} f(x)\ dx \\
-9 &= \int \limits_{-5}^{-3} f(x)\ dx
\end{align}$

Dari persamaan yang kita peroleh di atas dan sifat integral tentu, dapat kita simpulkan:
$\begin{align}
\int \limits_{-3}^{-1} f(x)\ dx &= \int \limits_{-3}^{-5} f(x)\ dx + \int \limits_{-5}^{-1} f(x)\ dx \\
&= 9 - 10 \\
&= -1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B) \ -1$


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Integral Fungsi (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.
Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian soal Integral Fungsi sangat diharapkan😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Mengenal salah satu matematikawan Indonesia;
youtube image

Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar atau pertanyaan yang berhubungan dengan "Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Integral Fungsi" 😊 and please for your concern in supported of defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar