Aturan Dasar Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar dan Pembahasan Soal Latihan
Calon guru belajar matematika dasar SMA dari Aturan Dasar Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar yang dilengkapi dengan pembahasan beberapa soal latihan. Agar lebih mudah belajar integral fungsi aljabar ini, ada baiknya kita sudah belajar tentang turunan fungsi aljabar.
Integral fungsi dan turunan fungsi itu ibarat penjumlahan dan pengurangan, jadi jika kita mau belajar integral fungsi maka setidaknya kita harus belajar turunan fungsi terlebih dahulu.
Integral tak tentu disebut dengan anti turunan, karena jika diketahui $f'(x)$ adalah turunan pertama dari $f(x)$ maka kemungkinan $f(x)$ dapat kita tentukan dengan menggunakan integral tak tentu.
Misal, jika $f'(x)=2x+5$ adalah turunan pertama dari $f(x)$ maka kemungkinan $f(x)$ adalah:
- $f(x)=x^{2}+5x$
- $f(x)=x^{2}+5x+5$
- $f(x)=x^{2}+5x-2$
- $f(x)=x^{2}+5x-\frac{1}{3}$ $\vdots$
- $f(x)=x^{2}+5x+c$
Dengan menggunakan integral tak tentu yang disimbolkan dengan $ \int $ dapat kita tuliskan seperti berikut $\int \left( 2x+5 \right) dx=x^{2}+5x+c$.
DEFINISI INTEGRAL FUNGSI TAK TENTU
Ketika akan menyelesaikan persamaan diferensial dari bentuk $\dfrac{dy}{dx}=f(x)$ dapat kita tulis dalam bentuk $dy=f(x)dx$.
Secara umum, jika $F(x)$ menyatakan fungsi dalam variabel $x$, dengan $f(x)$ turunan dari $F(x)$ dan $c$ konstanta bilangan real maka integral tak tentu dari $f(x)$ dapat dituliskan dalam bentuk:
\begin{align} \int f(x)dx & = F(x)+c \end{align}
dibaca: "integral fungsi $f(x)$ ke $x$ sama dengan $F(x)+c$"
Keterangan tambahan:
$\begin{align}
\int f(x) & : \text{notasi integral tak tentu} \\
F(x)+c & : \text{fungsi antiturunan} \\
f(x) & : \text{fungsi yang diintegralkan (integran)} \\
c & : \text{konstanta} \\
d(x) & : \text{diferensial (turunan) dari}\ x
\end{align}$
Simbol $\int$ diperkenalkan oleh Leibniz, dan tanda $\int$ adalah $S$ yang memanjang. Simbol ini dipilih katanya karena integral adalah jumlah (sums) dari batas-batas yang dinginkan.
ATURAN DASAR INTEGRAL TAK TENTU
- $\int dx= x + c$
- $\int k\ dx= kx + c$
- $\int x^{n}\ dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$
- $\int k f(x)\ dx=k \int f(x)dx =\frac{k}{n+1}x^{n+1}+c,\ n\neq -1$
- $\int \left[f(x) + g(x) \right]dx=\int f(x)dx + \int g(x)dx$
- $\int \left[f(x) - g(x) \right]dx=\int f(x)dx - \int g(x)dx$
- $\int a^{x} dx= \left (\frac{1}{ln\ a} \right )a^{x} + c$
- $\int a^{u(x)} dx= \left (\frac{1}{u'(x)\ ln\ a} \right )a^{u(x)} + c$
- $\int \frac{1}{x} dx= ln\ \left |x \right | + c$
- $\int \frac{1}{u(x)} dx= \frac{1}{u'(x)} ln\ \left |u(x) \right | + c$
- $\int e^{x} dx= e^{x} + c$
- $\int e^{u(x)} dx= \dfrac{1}{u'(x)}e^{u(x)} + c$
SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI ALJABAR
Soal Integral Tak tentu Fungsi Aljabar pada seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri (PTN) sangat sering diujikan. Berikut ini sebagai soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Aturan Dasar Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
1. Soal Latihan Integral Tak Tentu
Hasil dari $\int \left( 3x^{2}+2x+3 \right)\ dx$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \frac{3}{2}x^{3}+2x^{2}+3x+c \\ (B)\ & x^{3}+ x^{2}+3x+c \\ (C)\ & x^{2}+x+3+c \\ (D)\ & \frac{3}{2}x^{2}+2x +3+c \\ (E)\ & x^{3}+2x^{2}+3x+c \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \int \left( 3x^{2}+2x+3 \right)\ dx\\
&= \frac{3}{2+1}x^{2+1}+\frac{2}{1+1}x^{1+1}+3x+c \\
&= x^{3}+ x^{2}+3x +c
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x^{3}+ x^{2}+3x+c$
2. Soal Latihan Integral Tak Tentu
Hasil dari $\int \left( 6x^{2}+3x \right)\ dx$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 3x^{3}+\frac{3}{2}x^{2} +c \\ (B)\ & 2x^{3}+ 3x^{2} +c \\ (C)\ & 2x^{3}+\frac{3}{2}x^{2} +c \\ (D)\ & 3x^{3}+3x^{2} +c \\ (E)\ & 2x^{3}+3x^{2}+3x+c \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \int \left( 6x^{2}+3x \right)\ dx\\
&= \frac{6}{2+1}x^{2+1}+\frac{3}{1+1}x^{1+1} +c \\
&= 2x^{3}+ \frac{3}{2}x^{2} +c
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2x^{3}+ \frac{3}{2}x^{2} +c$
3. Soal Latihan Integral Tak Tentu
Hasil dari $\int \left( 2x^{-\frac{3}{2}}+ x^{-\frac{2}{3}} \right)\ dx$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -2x^{-\frac{1}{2}}- \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}}+ c \\ (B)\ & 2x^{-\frac{1}{2}}+ x^{\frac{5}{3}}+ c \\ (C)\ & -4x^{-\frac{1}{2}}+ 3x^{\frac{1}{3}}+ c \\ (D)\ & \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+ \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}}+ c \\ (E)\ & 2x^{3}+ 3x^{2}+ 3x+c \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \int \left( 2x^{-\frac{3}{2}}+ x^{-\frac{2}{3}} \right)\ dx\\
&= \frac{2}{-\frac{3}{2}+1}x^{-\frac{3}{2}+1}+ \frac{1}{-\frac{2}{3}+1}x^{-\frac{2}{3}+1} +c \\
&= \frac{2}{-\frac{1}{2}}x^{-\frac{1}{2}}+ \frac{1}{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}} +c \\
&= -4x^{-\frac{1}{2}}+ 3x^{\frac{1}{3}} +c
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -4x^{-\frac{1}{2}}+ 3x^{\frac{1}{3}} +c$
4. Soal Latihan Integral Tak Tentu
Hasil dari $\int \left( \frac{4}{x^{3}}+ 2x^{2}- \frac{3}{x^{2}} \right)\ dx$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \frac{2}{x^{4}}+ \frac{2x^{3}}{3}- \frac{1}{x^{3}} + c \\ (B)\ & \frac{1}{x^{4}}+ \frac{2x^{3}}{3}- \frac{1}{x^{3}} + c \\ (C)\ & -\frac{2}{x^{2}}+ \frac{2x^{3}}{3}+ \frac{3}{x} + c \\ (D)\ & \frac{2}{x^{4}}+ \frac{2x^{3}}{3}- \frac{2}{x^{3}} + c \\ (E)\ & \frac{2}{x^{5}}+ \frac{2x^{3}}{3}- \frac{3}{x^{3}} + c \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \int \left( \frac{4}{x^{3}}+ 2x^{2}- \frac{3}{x^{2}} \right)\ dx\\
&= \int \left( 4 x^{-3} + 2x^{2}- 3 x^{-2} \right)\ dx\\
&= \frac{4}{-3+1}x^{-3+1}+ \frac{2}{2+1}x^{2+1}-\frac{3}{-2+1}x^{-2+1} +c \\
&= \frac{4}{-2}x^{-2}+ \frac{2}{3}x^{3}-\frac{3}{-1}x^{-1} +c \\
&= -\frac{2}{x^{2}}+ \frac{2x^{3}}{3}+\frac{3}{x} +c
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -\frac{2}{x^{2}}+ \frac{2x^{3}}{3}+\frac{3}{x} +c$
5. Soal Latihan Integral Tak Tentu
Hasil dari $\int \left( \frac{4}{3x^{5}}+ \frac{x^{2}}{2}- \frac{3}{4} \right)\ dx$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \frac{2}{9x^{6}}+ \frac{x^{3}}{6}- \frac{3x}{4} + c \\ (B)\ & \frac{2}{5x^{4}}+ \frac{x^{3}}{4}- \frac{3x}{4} + c \\ (C)\ & -\frac{1}{3x^{6}}+ \frac{x^{3}}{3}- \frac{3x}{4} + c \\ (D)\ & -\frac{1}{2x^{5}}+ \frac{x^{3}}{3}- \frac{3x}{4} + c \\ (E)\ & \frac{2}{ x^{5}}+ \frac{2x^{3}}{3}- \frac{3}{x^{3}} + c \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \int \left( \frac{4}{3x^{5}}+ \frac{x^{2}}{2}- \frac{3}{4} \right)\ dx\\
&= \int \left( \frac{4}{3}x^{-5}+ \frac{x^{2}}{2}- \frac{3}{4} \right)\ dx\\
&= \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{-5+1}x^{-5+1}+ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2+1}x^{2+1}-\frac{3}{4}x +c \\
&= \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{-4}x^{-4}+ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}x^{3}-\frac{3}{4}x +c \\
&= \frac{1}{-3}x^{-4}+ \frac{1}{6}x^{3}-\frac{3}{4}x +c \\
&= -\frac{1}{3x^{4}} + \frac{x^{3}}{6} -\frac{3x}{4} +c
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -\frac{1}{3x^{4}} + \frac{x^{3}}{6} -\frac{3x}{4} +c$
6. Soal Latihan Integral Tak Tentu
Hasil dari $\int \left( \sqrt{x^{3}}+ \sqrt{x^{5}} \right)\ dx$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \frac{1}{2}\sqrt{x^{4}}+ \frac{1}{6}\sqrt{x^{6}} + c \\ (B)\ & \frac{2}{5}\sqrt{x^{5}}+ \frac{2}{7}\sqrt{x^{7}} + c \\ (C)\ & \frac{5}{2}\sqrt{x^{5}}+ \frac{7}{2}\sqrt{x^{7}} + c \\ (D)\ & \frac{1}{5}\sqrt{x^{5}}+ \frac{1}{7}\sqrt{x^{7}} + c \\ (E)\ & 5\sqrt{x^{5}}+ 7\sqrt{x^{7}} + c \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dan beberapa sifat bentuk akar dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \int \left( \sqrt{x^{3}}+ \sqrt{x^{5}} \right)\ dx\\
&= \int \left( x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}} \right)\ dx\\
&= \frac{1}{\frac{3}{2}+1}x^{\frac{3}{2}+1}+ \frac{1}{\frac{5}{2}+1}x^{\frac{5}{2}+1} +c \\
&= \frac{1}{\frac{5}{2}}x^{\frac{5}{2}}+ \frac{1}{\frac{7}{2}}x^{\frac{7}{2}} +c \\
&= \frac{2}{5}\sqrt{x^{5}}+ \frac{2}{7}\sqrt{x^{7}} +c
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{2}{5}\sqrt{x^{5}}+ \frac{2}{7}\sqrt{x^{7}} +c$
7. Soal Latihan Integral Tak Tentu
$\int \left( \frac{3}{x^{2}} + \sqrt{x^{5}}+\frac{3}{2\sqrt{x}} \right)\ dx=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -\frac{3}{x}+\frac{2}{7}\sqrt{x^{7}}+ 3\sqrt{x} + c \\ (B)\ & \frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{6}\sqrt{x^{6}}-\frac{3}{4} \sqrt{x} + c \\ (C)\ & -\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{6}\sqrt{x^{6}}+\frac{3}{4} \sqrt{x} + c \\ (D)\ & \frac{2}{x^{3}}-\frac{2}{7}\sqrt{x^{5}}-\frac{2}{3\sqrt{x^{3}}} + c \\ (E)\ & -3x^{3}-\frac{1}{3}\sqrt{x^{7}}- 2\sqrt{x} + c \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dan beberapa sifat bentuk akar dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \int \left( \frac{3}{x^{2}} + \sqrt{x^{5}}+\frac{3}{2\sqrt{x}} \right)\ dx\\
&= \int \left( 3x^{-2} + x^{\frac{5}{2}}+\frac{3}{2}x^{-\frac{1}{2}} \right)\ dx\\
&= \frac{3}{-2+1}x^{-2+1}+ \frac{1}{\frac{5}{2}+1}x^{\frac{5}{2}+1} +\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{-\frac{1}{2}+1}x^{-\frac{1}{2}+1}+c \\
&= \frac{3}{-1}x^{-1}+ \frac{1}{\frac{7}{2}}x^{\frac{7}{2}} +\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}+c \\
&= -3x^{-1}+ \frac{2}{7}x^{\frac{7}{2}} + \frac{3}{2} \cdot 2x^{\frac{1}{2}}+c \\
&= -\frac{3}{x}+ \frac{2}{7}\sqrt{x^{7}} + 3\sqrt{x}+c
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\frac{3}{x}+ \frac{2}{7}\sqrt{x^{7}} + 3\sqrt{x}+c$
8. Soal Latihan Integral Tak Tentu
Hasil dari $\int \left( 10\sqrt{x^{3}}-\frac{5}{2\sqrt{x}} \right)\ dx=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \frac{10}{4}\sqrt{x^{3}}+\frac{3}{4\sqrt{x^{3}}} + c \\ (B)\ & 10\sqrt{x^{3}}+\frac{3}{2x} + c \\ (C)\ & 4\sqrt{x^{5}}-5\sqrt{x} + c \\ (D)\ & 4\sqrt{x^{5}}-\frac{5}{\sqrt{x}} + c \\ (E)\ & \frac{5}{2}\sqrt{x^{5}}-5\sqrt{x} + c \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dan beberapa sifat bentuk akar dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \int \left( 10\sqrt{x^{3}}-\frac{5}{2\sqrt{x}} \right)\ dx\\
&= \int \left( 10x^{\frac{3}{2}}-\frac{5}{2}x^{-\frac{1}{2}} \right)\ dx\\
&= \frac{10}{\frac{3}{2}+1}x^{\frac{3}{2}+1} -\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{-\frac{1}{2}+1}x^{-\frac{1}{2}+1}+c \\
&= \frac{10}{\frac{5}{2}}x^{\frac{5}{2}} -\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}+c \\
&= \frac{20}{5} \sqrt{x^{5}} -\frac{5}{2} \cdot 2 \sqrt{x}+c \\
&= 4 \sqrt{x^{5}} - 5 \sqrt{x}+c
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4 \sqrt{x^{5}} - 5 \sqrt{x}+c$
9. Soal Latihan Integral Tak Tentu
Hasil dari $\int \left( 2x+3 \right)^{2} dx=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \frac{3}{2}x^{3}+ 9x+ c \\ (B)\ & \frac{4}{3}x^{3}+6x^{2}+ 9x+ c \\ (C)\ & \frac{2}{3}x^{3}+9x^{2}+ 3x+ c \\ (D)\ & \frac{4}{3}x^{3}+ 9x+ c \\ (E)\ & \frac{4}{3}x^{3}+9x^{2}+ 3x+ c \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \int \left( 2x+3 \right)^{2}\ dx\\
&= \int \left( 4x^{2}+ 12x+9 \right)\ dx\\
&= \frac{4}{2+1} x^{2+1}+ \frac{12}{1+1} x^{1+1}+9x +c \\
&= \frac{4}{3} x^{3}+ 6 x^{2}+9x +c
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{4}{3} x^{3}+ 6 x^{2}+9x +c$
10. Soal Latihan Integral Tak Tentu
Hasil dari $\int \left( 2\sqrt{x}-5x \right)^{2} dx=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 2\sqrt{x^{3}}-\frac{5}{2}x^{2} + c \\ (B)\ & 4\sqrt{x^{3}}-\frac{25}{2}x^{2} + c \\ (C)\ & 2\sqrt{x^{5}}-\frac{5}{2}x^{2}+5x + c \\ (D)\ & 2x^{3}-\frac{5}{2}x+ c \\ (E)\ & 2x^{2}-8x^{5}+ \frac{25}{3}x^{3}+ c \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \int \left( 2\sqrt{x}-5x \right)^{2}\ dx\\
&= \int \left( 4x -20x\sqrt{x}+25x^{2} \right)\ dx\\
&= \int \left( 4x -20x^{\frac{3}{2}} +25x^{2} \right)\ dx\\
&= \frac{4}{1+1} x^{1+1}- \frac{20}{\frac{3}{2}+1} x^{\frac{3}{2}+1}+\frac{25}{2+1} x^{2+1} +c \\
&= 2 x^{2}- \frac{20}{\frac{5}{2}} x^{\frac{5}{2}}+\frac{25}{3} x^{3} +c \\
&= 2 x^{2}- 8 \sqrt{x^{5}}+\frac{25}{3} x^{3} +c
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2 x^{2}- 8 \sqrt{x^{5}}+\frac{25}{3} x^{3} +c$
11. Soal Latihan Integral Tak Tentu
Hasil dari $\int \left( \frac{2}{x}+3x \right)^{2} dx=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \frac{3x^{3}}{2}-\frac{x}{2}-\frac{2}{x} + c \\ (B)\ & 6x^{3}-4x-\frac{2}{x} + c \\ (C)\ & 3x^{3} -12x-\frac{4}{x} + c \\ (D)\ & 2x^{3} -6x-\frac{2}{x} + c \\ (E)\ & 3x^{3} +12x -\frac{4}{x} + c \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \int \left( \frac{2}{x}+3x \right)^{2}\ dx\\
&= \int \left( \frac{4}{x^{2}}+12 +9x^{2} \right)\ dx\\
&= \int \left( 4x^{-2}+12 +9x^{2} \right)\ dx\\
&= \frac{4}{-2+1} x^{-2+1}+12x+\frac{9}{2+1} x^{2+1} +c \\
&= -4 x^{-1}+12x +3x^{3} +c \\
&=-\frac{4}{x}+12x +3x^{3} +c
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3x^{3} +12x -\frac{4}{x}+c$
12. Soal Latihan Integral Tak Tentu
Hasil dari $\int \left( \dfrac{\sqrt{x} \left( x+3\sqrt{x} \right)}{x} \right)\ dx=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \frac{4}{3}x^{3} -2x^{2}+\frac{3}{2}x + c \\ (B)\ & \frac{4}{3}x^{3} -\frac{2}{3} x^{2}+3x + c \\ (C)\ & \frac{2}{3}\sqrt{x^{5}}+3\sqrt{x}-3x + c \\ (D)\ & \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}+3x + c \\ (E)\ & 3\sqrt{x^{5}}+2\sqrt{x}-3x + c \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dan beberapa sifat bentuk akar dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \int \left( \dfrac{\sqrt{x} \left( x+3\sqrt{x} \right)}{x} \right)\ dx\\
&= \int \left( \dfrac{x^{\frac{1}{2}} \left( x+3x^{\frac{1}{2}} \right)}{x} \right)\ dx\\
&= \int \left( \dfrac{x \cdot x^{\frac{1}{2}} +3x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} }{x} \right)\ dx\\
&= \int \left( \dfrac{x^{\frac{3}{2}} +3x }{x} \right)\ dx\\
&= \int \left( x^{\frac{1}{2}} +3 \right)\ dx\\
&= \frac{1}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1} +3x+c \\
&= \frac{1}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}} +3x+c \\
&= \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+3x+c \\
&= \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}+3x+c
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}+3x+c $
13. Soal Latihan Integral Tak Tentu
Hasil dari $\int \left( x^{2}-x \right)\left( 2x^{3}-3 \right)\ dx=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \frac{1}{3}x^{6}- x^{3}-\frac{2}{5}x^{5}+\frac{3}{2}x^{2}+ c \\ (B)\ & \frac{1}{2}x^{6}- x^{3}-2x^{5}+\frac{3}{2}x^{2}+ c \\ (C)\ & 3x^{6}- x^{3}-\frac{2}{5}x^{5}+ x^{2}+ c \\ (D)\ & 3x^{6}+ x^{3}-\frac{3}{2}x^{5}+4x^{2}+ c \\ (E)\ & \frac{1}{2}x^{6}- x^{3}-\frac{2}{5}x^{5}+\frac{3}{2}x^{2}+ c \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \int \left( x^{2}-x \right)\left( 2x^{3}-3 \right)\ dx\\
&= \int \left( 2x^{5} -3x^{2}-2x^{4}+3x \right)\ dx\\
&= \frac{2}{5+1} x^{5+1}- \frac{3}{2+1} x^{2+1}-\frac{2}{4+1} x^{4+1}+\frac{3}{1+1} x^{1+1} +c \\
&= \frac{2}{6} x^{6}- \frac{3}{3} x^{3}-\frac{2}{5} x^{5}+\frac{3}{2} x^{2} +c \\
&= \frac{1}{3} x^{6}- x^{3}-\frac{2}{5} x^{5}+\frac{3}{2} x^{2} +c
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{1}{3} x^{6}- x^{3}-\frac{2}{5} x^{5}+\frac{3}{2} x^{2} +c$
14. Soal Latihan Integral Tak Tentu
Hasil dari $\int \left( 10\sqrt{x^{3}}-2x^{2}\sqrt{x}+5x\sqrt{x^{3}} \right)\ dx=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 4\sqrt{x^{5}}+\frac{6}{7}\sqrt{x^{7}} + c \\ (B)\ & 2\sqrt{x^{5}}-\frac{3}{7}\sqrt{x^{7}} + c \\ (C)\ & \frac{2}{3}\sqrt{x^{5}}-7\sqrt{x^{3}} + c \\ (D)\ & \frac{1}{3}\sqrt{x^{5}}+\frac{1}{4}\sqrt{x^{7}} + c \\ (E)\ & 2\sqrt{x^{5}}+7\sqrt{x^{7}} + c \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dan beberapa sifat bentuk akar dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \int \left( 10\sqrt{x^{3}}-2x^{2}\sqrt{x}+5x\sqrt{x^{3}} \right)\ dx\\
&= \int \left( 10x^{\frac{3}{2}}-2x^{\frac{5}{2}}+5x^{\frac{5}{2}} \right)\ dx\\
&= \int \left( 10x^{\frac{3}{2}}+3x^{\frac{5}{2}} \right)\ dx\\
&= \frac{10}{\frac{3}{2}+1}x^{\frac{3}{2}+1}+\frac{3}{\frac{5}{2}+1}x^{\frac{5}{2}+1}+c \\
&= \frac{10}{\frac{5}{2}}x^{\frac{5}{2}}+\frac{3}{\frac{7}{2}}x^{\frac{7}{2}}+c \\
&= 4\sqrt{x^{5}}+\frac{6}{7}\sqrt{x^{7}}+c
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4\sqrt{x^{5}}+\frac{6}{7}\sqrt{x^{7}}+c$
15. Soal Latihan Integral Tak Tentu
Hasil dari $\int \left( \sqrt{x} \left( 2\sqrt{x}-3 \right) \right)^{2}\ dx=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 16\sqrt{x^{5}} -6x^{2}+3\sqrt{x^{3}} + c \\ (B)\ & \frac{8}{5}\sqrt{x^{5}} -6x^{2}+6\sqrt{x^{3}} + c \\ (C)\ & \frac{8}{3}\sqrt{x^{5}} -4x^{2}+5\sqrt{x} + c \\ (D)\ & \frac{8}{5}\sqrt{x^{3}} -2x^{3}+6\sqrt{x} + c \\ (E)\ & 2\sqrt{x^{3}} -3x^{2}+6\sqrt{x} + c \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dan beberapa sifat bentuk akar dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \int \left( \sqrt{x} \left( 2\sqrt{x}-3 \right)^{2} \right) \ dx\\
&= \int \left( \sqrt{x} \left( 4x-12\sqrt{x}+9 \right) \right)\ dx \\
&= \int x^{\frac{1}{2}} \left( 4x-12x^{\frac{1}{2}}+9 \right)\ dx \\
&= \int \left( 4x^{\frac{3}{2}} -12x +9x^{\frac{1}{2}} \right)\ dx \\
&= \frac{4}{\frac{3}{2}+1}x^{\frac{3}{2}+1}-\frac{12}{1+1}x^{1+1}+\frac{9}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1} +c \\
&= \frac{4}{\frac{5}{2}}x^{\frac{5}{2}}-\frac{12}{2}x^{2}+\frac{9}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}} +c \\
&= \frac{8}{5}\sqrt{x^{5}}-6x^{2}+6\sqrt{x^{3}} +c
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{8}{5}\sqrt{x^{5}} -6x^{2}+6\sqrt{x^{3}} + c $
16. Soal Latihan Integral Tak Tentu
Hasil dari $\int \dfrac{2}{3\sqrt[3]{2x}}\ dx=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{3}\sqrt[3]{2x} + c \\ (B)\ & \dfrac{2}{3}\sqrt[3]{4x} + c \\ (C)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt[3]{4x} + c \\ (D)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt[3]{4x^{2}} + c \\ (E)\ & \dfrac{1}{3}\sqrt[3]{4x^{2}} + c \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dan beberapa sifat bentuk akar dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \int \dfrac{2}{3\sqrt[3]{2x}}\ dx\\
&= \int \dfrac{2}{3} \cdot \left(2x \right)^{-\frac{1}{3}}\ dx\\
&= \int \dfrac{2}{3} \cdot 2^{-\frac{1}{3}} \cdot x^{-\frac{1}{3}}\ dx\\
&= \frac{2}{3} \cdot 2^{-\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{-\frac{1}{3}+1}x^{-\frac{1}{3}+1} +c \\
&= \frac{2}{3} \cdot 2^{-\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}}x^{ \frac{2}{3}} +c \\
&= 2^{-\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[3]{x^{2}} +c \\
&= \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \sqrt[3]{x^{2}} +c \\
&= \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} } +c \\
&= \sqrt[3]{\frac{4x^{2}}{8} } +c \\
&= \frac{1}{2}\sqrt[3]{4x^{2}} +c
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{2}\sqrt[3]{4x^{2}} + c$
17. Soal Latihan Integral Tak Tentu
Hasil dari $\int \sqrt{\frac{x^{4}-8x^{2}+16}{x}}\ dx=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \frac{2}{5}\sqrt{x^{5}}-8\sqrt{x}+ c \\ (B)\ & \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}-4\sqrt{x}+ c \\ (C)\ & \frac{2}{3}\sqrt{x^{5}}-8x^{2}+ c \\ (D)\ & \frac{2}{3}\sqrt{x^{7}}-5x^{3}+ c \\ (E)\ & \frac{2}{5}\sqrt{x^{5}}-8\sqrt{x}+ c \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dan beberapa sifat bentuk akar dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \int \sqrt{\frac{x^{4}-8x^{2}+16}{x}}\ dx\\
&= \int \sqrt{\frac{\left( x^{2}-4 \right)^{2}}{x}}\ dx\\
&= \int \frac{x^{2}-4}{\sqrt{x}}\ dx\\
&= \int x^{\frac{3}{2}}-4x^{-\frac{1}{2}} \ dx\\
&= \frac{1}{\frac{3}{2}+1} \cdot x^{\frac{3}{2}+1}- \frac{4}{-\frac{1}{2}+1}x^{ -\frac{1}{2}+1} +c \\
&= \frac{1}{\frac{5}{2}} \cdot x^{\frac{5}{2}}- \frac{4}{ \frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} +c \\
&= \frac{2}{5} \sqrt{x^{5}}- 8 \sqrt{x} +c
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{2}{5}\sqrt{x^{5}}-8\sqrt{x}+ c$
18. Soal Latihan Integral Tak Tentu
Hasil dari $\int \sqrt{x+9x^{-1}-6}\ dx=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 4\sqrt{x^{3}}-2\sqrt{x}+ c \\ (B)\ & \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}-\frac{5}{2}\sqrt{x^{3}}+ c \\ (C)\ & \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}-6\sqrt{x}+ c \\ (D)\ & 2\sqrt{x^{5}}-\frac{5}{3}\sqrt{x}+ c \\ (E)\ & \frac{5}{2}\sqrt{x^{3}}-4\sqrt{x}+ c \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dan beberapa sifat bentuk akar dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \int \sqrt{x+9x^{-1}-6}\ dx\\
&= \int \sqrt{ \dfrac{x^{2}+9-6x}{x}}\ dx\\
&= \int \sqrt{ \dfrac{\left(x-3\right)^{2}}{x}}\ dx\\
&= \int \dfrac{x-3}{\sqrt{x}}\ dx\\
&= \int \left(x^{\frac{1}{2}}-3x^{-\frac{1}{2}} \right)\ dx\\
&= \frac{1}{\frac{1}{2}+1} \cdot x^{\frac{1}{2}+1}- \frac{3}{-\frac{1}{2}+1}x^{ -\frac{1}{2}+1} +c \\
&= \frac{1}{\frac{3}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}}- \frac{3}{ \frac{1}{2} }x^{ \frac{1}{2} } +c \\
&= \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}}- 6 \sqrt{x} +c
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}-6\sqrt{x}+ c$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Aturan Dasar Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar dan Pembahasan Soal Latihan silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊