Aturan Dasar Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar dan Pembahasan Soal Latihan

Soal dan Pembahasan Aturan Dasar Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

Calon guru belajar matematika dasar SMA dari Aturan Dasar Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar yang dilengkapi dengan pembahasan beberapa soal latihan. Agar lebih mudah belajar integral fungsi aljabar ini, ada baiknya kita sudah belajar tentang turunan fungsi aljabar.

Integral fungsi dan turunan fungsi itu ibarat penjumlahan dan pengurangan, jadi jika kita mau belajar integral fungsi maka setidaknya kita harus belajar turunan fungsi terlebih dahulu.

Integral disebut dengan anti turunan atau inverse dari turunan (inverse process of differentation). Jika diketahui $f'(x)$ adalah turunan pertama dari $f(x)$ maka kemungkinan $f(x)$ dapat kita tentukan dengan menggunakan integral tak tentu.

Misal, jika $f'(x)=2x+5$ adalah turunan pertama dari $f(x)$ maka kemungkinan $f(x)$ adalah:

$f(x)=x^{2}+5x$
$f(x)=x^{2}+5x+5$
$f(x)=x^{2}+5x-2$
$f(x)=x^{2}+5x-\frac{1}{3}$
$f(x)=x^{2}+5x+c$

Dengan menggunakan integral tak tentu yang disimbolkan dengan $ \int $ dapat kita tuliskan seperti berikut $\int \left( 2x+5 \right) dx=x^{2}+5x+c$.

DEFINISI INTEGRAL FUNGSI TAK TENTU

Ketika akan menyelesaikan persamaan diferensial dari bentuk $\dfrac{dy}{dx}=f(x)$ dapat kita tulis dalam bentuk $dy=f(x)dx$.

Secara umum, jika $F(x)$ menyatakan fungsi dalam variabel $x$, dengan $f(x)$ turunan dari $F(x)$ dan $c$ konstanta bilangan real maka integral tak tentu dari $f(x)$ dapat dituliskan dalam bentuk:
\begin{align} \int f(x)dx & = F(x)+c \end{align} dibaca: "integral fungsi $f(x)$ ke $x$ sama dengan $F(x)+c$"

Keterangan tambahan:
$\begin{align} \int f(x) & : \text{notasi integral tak tentu} \\ F(x)+c & : \text{fungsi antiturunan} \\ f(x) & : \text{fungsi yang diintegralkan (integran)} \\ c & : \text{konstanta} \\ d(x) & : \text{diferensial (turunan) dari}\ x \end{align}$
Simbol $\int$ diperkenalkan oleh Leibniz, dan tanda $\int$ adalah $S$ yang memanjang. Simbol ini dipilih katanya karena integral adalah jumlah (sums) dari batas-batas yang dinginkan.

ATURAN DASAR INTEGRAL TAK TENTU

$f(x)=\int f'(x)\ dx$
$\int dx= x + c$
$\int k\ dx= kx + c$
$\int x^{n}\ dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$
$\int kx^{n}\ dx= \frac{k}{n+1}x^{n+1}+c,\ n\neq -1$
$\int k f(x)\ dx=k \int f(x)dx$
$\int \left[f(x) + g(x) \right]dx=\int f(x)dx + \int g(x)dx$
$\int \left[f(x) - g(x) \right]dx=\int f(x)dx - \int g(x)dx$
$\int a^{x} dx= \left (\frac{1}{ln\ a} \right )a^{x} + c$
$\int a^{u(x)} dx= \left (\frac{1}{u'(x)\ ln\ a} \right )a^{u(x)} + c$
$\int \frac{1}{x} dx= ln\ \left |x \right | + c$
$\int \frac{1}{u(x)} dx= \frac{1}{u'(x)} ln\ \left |u(x) \right | + c$
$\int e^{x} dx= e^{x} + c$
$\int e^{u(x)} dx= \dfrac{1}{u'(x)}e^{u(x)} + c$

SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI ALJABAR

Soal Integral Tak tentu Fungsi Aljabar pada seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri (PTN) sangat sering diujikan. Berikut ini sebagai soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Aturan Dasar Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.

Silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.

Ayo dicoba terlebih dahulu, Sebelum melihat pembahasan soal.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!

Nama Peserta :
Tanggal Tes :
Jumlah Soal :	18 soal

Petunjuk Pengerjaan Soal:
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.

1. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \left( 3x^{2}+2x+3 \right)\ dx$ adalah...

$(A)\ \frac{3}{2}x^{3}+2x^{2}+3x+c $

$(B)\ x^{3}+ x^{2}+3x+c $

$(C)\ x^{2}+x+3+c $

$(D)\ \frac{3}{2}x^{2}+2x +3+c $

$(E)\ x^{3}+2x^{2}+3x+c $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \left( 3x^{2}+2x+3 \right)\ dx\\ &= \frac{3}{2+1}x^{2+1}+\frac{2}{1+1}x^{1+1}+3x+c \\ &= x^{3}+ x^{2}+3x +c \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x^{3}+ x^{2}+3x+c$

2. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \left( 6x^{2}+3x \right)\ dx$ adalah...

$(A)\ 3x^{3}+\frac{3}{2}x^{2} +c $

$(B)\ 2x^{3}+ 3x^{2} +c $

$(C)\ 2x^{3}+\frac{3}{2}x^{2} +c $

$(D)\ 3x^{3}+3x^{2} +c $

$(E)\ 2x^{3}+3x^{2}+3x+c $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \left( 6x^{2}+3x \right)\ dx\\ &= \frac{6}{2+1}x^{2+1}+\frac{3}{1+1}x^{1+1} +c \\ &= 2x^{3}+ \frac{3}{2}x^{2} +c \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2x^{3}+ \frac{3}{2}x^{2} +c$

3. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \left( 2x^{-\frac{3}{2}}+ x^{-\frac{2}{3}} \right)\ dx$ adalah...

$(A)\ -2x^{-\frac{1}{2}}- \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}}+ c $

$(B)\ 2x^{-\frac{1}{2}}+ x^{\frac{5}{3}}+ c $

$(C)\ -4x^{-\frac{1}{2}}+ 3x^{\frac{1}{3}}+ c $

$(D)\ \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+ \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}}+ c $

$(E)\ 2x^{3}+ 3x^{2}+ 3x+c $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \left( 2x^{-\frac{3}{2}}+ x^{-\frac{2}{3}} \right)\ dx\\ &= \frac{2}{-\frac{3}{2}+1}x^{-\frac{3}{2}+1}+ \frac{1}{-\frac{2}{3}+1}x^{-\frac{2}{3}+1} +c \\ &= \frac{2}{-\frac{1}{2}}x^{-\frac{1}{2}}+ \frac{1}{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}} +c \\ &= -4x^{-\frac{1}{2}}+ 3x^{\frac{1}{3}} +c \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -4x^{-\frac{1}{2}}+ 3x^{\frac{1}{3}} +c$

4. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \left( \frac{4}{x^{3}}+ 2x^{2}- \frac{3}{x^{2}} \right)\ dx$ adalah...

$(A)\ \frac{2}{x^{4}}+ \frac{2x^{3}}{3}- \frac{1}{x^{3}} + c $

$(B)\ \frac{1}{x^{4}}+ \frac{2x^{3}}{3}- \frac{1}{x^{3}} + c $

$(C)\ -\frac{2}{x^{2}}+ \frac{2x^{3}}{3}+ \frac{3}{x} + c $

$(D)\ \frac{2}{x^{4}}+ \frac{2x^{3}}{3}- \frac{2}{x^{3}} + c $

$(E)\ \frac{2}{x^{5}}+ \frac{2x^{3}}{3}- \frac{3}{x^{3}} + c $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \left( \frac{4}{x^{3}}+ 2x^{2}- \frac{3}{x^{2}} \right)\ dx\\ &= \int \left( 4 x^{-3} + 2x^{2}- 3 x^{-2} \right)\ dx\\ &= \frac{4}{-3+1}x^{-3+1}+ \frac{2}{2+1}x^{2+1}-\frac{3}{-2+1}x^{-2+1} +c \\ &= \frac{4}{-2}x^{-2}+ \frac{2}{3}x^{3}-\frac{3}{-1}x^{-1} +c \\ &= -\frac{2}{x^{2}}+ \frac{2x^{3}}{3}+\frac{3}{x} +c \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -\frac{2}{x^{2}}+ \frac{2x^{3}}{3}+\frac{3}{x} +c$

5. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \left( \frac{4}{3x^{5}}+ \frac{x^{2}}{2}- \frac{3}{4} \right)\ dx$ adalah...

$(A)\ \frac{2}{9x^{6}}+ \frac{x^{3}}{6}- \frac{3x}{4} + c $

$(B)\ \frac{2}{5x^{4}}+ \frac{x^{3}}{4}- \frac{3x}{4} + c $

$(C)\ -\frac{1}{3x^{6}}+ \frac{x^{3}}{3}- \frac{3x}{4} + c $

$(D)\ -\frac{1}{2x^{5}}+ \frac{x^{3}}{3}- \frac{3x}{4} + c $

$(E)\ \frac{2}{ x^{5}}+ \frac{2x^{3}}{3}- \frac{3}{x^{3}} + c $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \left( \frac{4}{3x^{5}}+ \frac{x^{2}}{2}- \frac{3}{4} \right)\ dx\\ &= \int \left( \frac{4}{3}x^{-5}+ \frac{x^{2}}{2}- \frac{3}{4} \right)\ dx\\ &= \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{-5+1}x^{-5+1}+ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2+1}x^{2+1}-\frac{3}{4}x +c \\ &= \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{-4}x^{-4}+ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}x^{3}-\frac{3}{4}x +c \\ &= \frac{1}{-3}x^{-4}+ \frac{1}{6}x^{3}-\frac{3}{4}x +c \\ &= -\frac{1}{3x^{4}} + \frac{x^{3}}{6} -\frac{3x}{4} +c \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -\frac{1}{3x^{4}} + \frac{x^{3}}{6} -\frac{3x}{4} +c$

6. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \left( \sqrt{x^{3}}+ \sqrt{x^{5}} \right)\ dx$ adalah...

$(A)\ \frac{1}{2}\sqrt{x^{4}}+ \frac{1}{6}\sqrt{x^{6}} + c $

$(B)\ \frac{2}{5}\sqrt{x^{5}}+ \frac{2}{7}\sqrt{x^{7}} + c $

$(C)\ \frac{5}{2}\sqrt{x^{5}}+ \frac{7}{2}\sqrt{x^{7}} + c $

$(D)\ \frac{1}{5}\sqrt{x^{5}}+ \frac{1}{7}\sqrt{x^{7}} + c $

$(E)\ 5\sqrt{x^{5}}+ 7\sqrt{x^{7}} + c $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dan beberapa sifat bentuk akar dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \left( \sqrt{x^{3}}+ \sqrt{x^{5}} \right)\ dx\\ &= \int \left( x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}} \right)\ dx\\ &= \frac{1}{\frac{3}{2}+1}x^{\frac{3}{2}+1}+ \frac{1}{\frac{5}{2}+1}x^{\frac{5}{2}+1} +c \\ &= \frac{1}{\frac{5}{2}}x^{\frac{5}{2}}+ \frac{1}{\frac{7}{2}}x^{\frac{7}{2}} +c \\ &= \frac{2}{5}\sqrt{x^{5}}+ \frac{2}{7}\sqrt{x^{7}} +c \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{2}{5}\sqrt{x^{5}}+ \frac{2}{7}\sqrt{x^{7}} +c$

7. Soal Latihan Integral Tak Tentu

$\int \left( \frac{3}{x^{2}} + \sqrt{x^{5}}+\frac{3}{2\sqrt{x}} \right)\ dx=\cdots$

$(A)\ -\frac{3}{x}+\frac{2}{7}\sqrt{x^{7}}+ 3\sqrt{x} + c $

$(B)\ \frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{6}\sqrt{x^{6}}-\frac{3}{4} \sqrt{x} + c $

$(C)\ -\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{6}\sqrt{x^{6}}+\frac{3}{4} \sqrt{x} + c $

$(D)\ \frac{2}{x^{3}}-\frac{2}{7}\sqrt{x^{5}}-\frac{2}{3\sqrt{x^{3}}} + c $

$(E)\ -3x^{3}-\frac{1}{3}\sqrt{x^{7}}- 2\sqrt{x} + c $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dan beberapa sifat bentuk akar dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \left( \frac{3}{x^{2}} + \sqrt{x^{5}}+\frac{3}{2\sqrt{x}} \right)\ dx\\ &= \int \left( 3x^{-2} + x^{\frac{5}{2}}+\frac{3}{2}x^{-\frac{1}{2}} \right)\ dx\\ &= \frac{3}{-2+1}x^{-2+1}+ \frac{1}{\frac{5}{2}+1}x^{\frac{5}{2}+1} +\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{-\frac{1}{2}+1}x^{-\frac{1}{2}+1}+c \\ &= \frac{3}{-1}x^{-1}+ \frac{1}{\frac{7}{2}}x^{\frac{7}{2}} +\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}+c \\ &= -3x^{-1}+ \frac{2}{7}x^{\frac{7}{2}} + \frac{3}{2} \cdot 2x^{\frac{1}{2}}+c \\ &= -\frac{3}{x}+ \frac{2}{7}\sqrt{x^{7}} + 3\sqrt{x}+c \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\frac{3}{x}+ \frac{2}{7}\sqrt{x^{7}} + 3\sqrt{x}+c$

8. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \left( 10\sqrt{x^{3}}-\frac{5}{2\sqrt{x}} \right)\ dx=\cdots$

$(A)\ \frac{10}{4}\sqrt{x^{3}}+\frac{3}{4\sqrt{x^{3}}} + c $

$(B)\ 10\sqrt{x^{3}}+\frac{3}{2x} + c $

$(C)\ 4\sqrt{x^{5}}-5\sqrt{x} + c $

$(D)\ 4\sqrt{x^{5}}-\frac{5}{\sqrt{x}} + c $

$(E)\ \frac{5}{2}\sqrt{x^{5}}-5\sqrt{x} + c $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dan beberapa sifat bentuk akar dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \left( 10\sqrt{x^{3}}-\frac{5}{2\sqrt{x}} \right)\ dx\\ &= \int \left( 10x^{\frac{3}{2}}-\frac{5}{2}x^{-\frac{1}{2}} \right)\ dx\\ &= \frac{10}{\frac{3}{2}+1}x^{\frac{3}{2}+1} -\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{-\frac{1}{2}+1}x^{-\frac{1}{2}+1}+c \\ &= \frac{10}{\frac{5}{2}}x^{\frac{5}{2}} -\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}+c \\ &= \frac{20}{5} \sqrt{x^{5}} -\frac{5}{2} \cdot 2 \sqrt{x}+c \\ &= 4 \sqrt{x^{5}} - 5 \sqrt{x}+c \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4 \sqrt{x^{5}} - 5 \sqrt{x}+c$

9. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \left( 2x+3 \right)^{2} dx=\cdots$

$(A)\ \frac{3}{2}x^{3}+ 9x+ c $

$(B)\ \frac{4}{3}x^{3}+6x^{2}+ 9x+ c $

$(C)\ \frac{2}{3}x^{3}+9x^{2}+ 3x+ c $

$(D)\ \frac{4}{3}x^{3}+ 9x+ c $

$(E)\ \frac{4}{3}x^{3}+9x^{2}+ 3x+ c $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \left( 2x+3 \right)^{2}\ dx\\ &= \int \left( 4x^{2}+ 12x+9 \right)\ dx\\ &= \frac{4}{2+1} x^{2+1}+ \frac{12}{1+1} x^{1+1}+9x +c \\ &= \frac{4}{3} x^{3}+ 6 x^{2}+9x +c \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{4}{3} x^{3}+ 6 x^{2}+9x +c$

10. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \left( 2\sqrt{x}-5x \right)^{2} dx=\cdots$

$(A)\ 2\sqrt{x^{3}}-\frac{5}{2}x^{2} + c $

$(B)\ 4\sqrt{x^{3}}-\frac{25}{2}x^{2} + c $

$(C)\ 2\sqrt{x^{5}}-\frac{5}{2}x^{2}+5x + c $

$(D)\ 2x^{3}-\frac{5}{2}x+ c $

$(E)\ 2x^{2}-8x^{5}+ \frac{25}{3}x^{3}+ c $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \left( 2\sqrt{x}-5x \right)^{2}\ dx\\ &= \int \left( 4x -20x\sqrt{x}+25x^{2} \right)\ dx\\ &= \int \left( 4x -20x^{\frac{3}{2}} +25x^{2} \right)\ dx\\ &= \frac{4}{1+1} x^{1+1}- \frac{20}{\frac{3}{2}+1} x^{\frac{3}{2}+1}+\frac{25}{2+1} x^{2+1} +c \\ &= 2 x^{2}- \frac{20}{\frac{5}{2}} x^{\frac{5}{2}}+\frac{25}{3} x^{3} +c \\ &= 2 x^{2}- 8 \sqrt{x^{5}}+\frac{25}{3} x^{3} +c \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2 x^{2}- 8 \sqrt{x^{5}}+\frac{25}{3} x^{3} +c$

11. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \left( \frac{2}{x}+3x \right)^{2} dx=\cdots$

$(A)\ \frac{3x^{3}}{2}-\frac{x}{2}-\frac{2}{x} + c $

$(B)\ 6x^{3}-4x-\frac{2}{x} + c $

$(C)\ 3x^{3} -12x-\frac{4}{x} + c $

$(D)\ 2x^{3} -6x-\frac{2}{x} + c $

$(E)\ 3x^{3} +12x -\frac{4}{x} + c $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \left( \frac{2}{x}+3x \right)^{2}\ dx\\ &= \int \left( \frac{4}{x^{2}}+12 +9x^{2} \right)\ dx\\ &= \int \left( 4x^{-2}+12 +9x^{2} \right)\ dx\\ &= \frac{4}{-2+1} x^{-2+1}+12x+\frac{9}{2+1} x^{2+1} +c \\ &= -4 x^{-1}+12x +3x^{3} +c \\ &=-\frac{4}{x}+12x +3x^{3} +c \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3x^{3} +12x -\frac{4}{x}+c$

12. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \left( \dfrac{\sqrt{x} \left( x+3\sqrt{x} \right)}{x} \right)\ dx=\cdots$

$(A)\ \frac{4}{3}x^{3} -2x^{2}+\frac{3}{2}x + c $

$(B)\ \frac{4}{3}x^{3} -\frac{2}{3} x^{2}+3x + c $

$(C)\ \frac{2}{3}\sqrt{x^{5}}+3\sqrt{x}-3x + c $

$(D)\ \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}+3x + c $

$(E)\ 3\sqrt{x^{5}}+2\sqrt{x}-3x + c $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dan beberapa sifat bentuk akar dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \left( \dfrac{\sqrt{x} \left( x+3\sqrt{x} \right)}{x} \right)\ dx\\ &= \int \left( \dfrac{x^{\frac{1}{2}} \left( x+3x^{\frac{1}{2}} \right)}{x} \right)\ dx\\ &= \int \left( \dfrac{x \cdot x^{\frac{1}{2}} +3x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} }{x} \right)\ dx\\ &= \int \left( \dfrac{x^{\frac{3}{2}} +3x }{x} \right)\ dx\\ &= \int \left( x^{\frac{1}{2}} +3 \right)\ dx\\ &= \frac{1}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1} +3x+c \\ &= \frac{1}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}} +3x+c \\ &= \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+3x+c \\ &= \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}+3x+c \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}+3x+c $

13. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \left( x^{2}-x \right)\left( 2x^{3}-3 \right)\ dx=\cdots$

$(A)\ \frac{1}{3}x^{6}- x^{3}-\frac{2}{5}x^{5}+\frac{3}{2}x^{2}+ c $

$(B)\ \frac{1}{2}x^{6}- x^{3}-2x^{5}+\frac{3}{2}x^{2}+ c $

$(C)\ 3x^{6}- x^{3}-\frac{2}{5}x^{5}+ x^{2}+ c $

$(D)\ 3x^{6}+ x^{3}-\frac{3}{2}x^{5}+4x^{2}+ c $

$(E)\ \frac{1}{2}x^{6}- x^{3}-\frac{2}{5}x^{5}+\frac{3}{2}x^{2}+ c $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \left( x^{2}-x \right)\left( 2x^{3}-3 \right)\ dx\\ &= \int \left( 2x^{5} -3x^{2}-2x^{4}+3x \right)\ dx\\ &= \frac{2}{5+1} x^{5+1}- \frac{3}{2+1} x^{2+1}-\frac{2}{4+1} x^{4+1}+\frac{3}{1+1} x^{1+1} +c \\ &= \frac{2}{6} x^{6}- \frac{3}{3} x^{3}-\frac{2}{5} x^{5}+\frac{3}{2} x^{2} +c \\ &= \frac{1}{3} x^{6}- x^{3}-\frac{2}{5} x^{5}+\frac{3}{2} x^{2} +c \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{1}{3} x^{6}- x^{3}-\frac{2}{5} x^{5}+\frac{3}{2} x^{2} +c$

14. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \left( 10\sqrt{x^{3}}-2x^{2}\sqrt{x}+5x\sqrt{x^{3}} \right)\ dx=\cdots$

$(A)\ 4\sqrt{x^{5}}+\frac{6}{7}\sqrt{x^{7}} + c $

$(B)\ 2\sqrt{x^{5}}-\frac{3}{7}\sqrt{x^{7}} + c $

$(C)\ \frac{2}{3}\sqrt{x^{5}}-7\sqrt{x^{3}} + c $

$(D)\ \frac{1}{3}\sqrt{x^{5}}+\frac{1}{4}\sqrt{x^{7}} + c $

$(E)\ 2\sqrt{x^{5}}+7\sqrt{x^{7}} + c $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dan beberapa sifat bentuk akar dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \left( 10\sqrt{x^{3}}-2x^{2}\sqrt{x}+5x\sqrt{x^{3}} \right)\ dx\\ &= \int \left( 10x^{\frac{3}{2}}-2x^{\frac{5}{2}}+5x^{\frac{5}{2}} \right)\ dx\\ &= \int \left( 10x^{\frac{3}{2}}+3x^{\frac{5}{2}} \right)\ dx\\ &= \frac{10}{\frac{3}{2}+1}x^{\frac{3}{2}+1}+\frac{3}{\frac{5}{2}+1}x^{\frac{5}{2}+1}+c \\ &= \frac{10}{\frac{5}{2}}x^{\frac{5}{2}}+\frac{3}{\frac{7}{2}}x^{\frac{7}{2}}+c \\ &= 4\sqrt{x^{5}}+\frac{6}{7}\sqrt{x^{7}}+c \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4\sqrt{x^{5}}+\frac{6}{7}\sqrt{x^{7}}+c$

15. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \left( \sqrt{x} \left( 2\sqrt{x}-3 \right) \right)^{2}\ dx=\cdots$

$(A)\ 16\sqrt{x^{5}} -6x^{2}+3\sqrt{x^{3}} + c $

$(B)\ \frac{8}{5}\sqrt{x^{5}} -6x^{2}+6\sqrt{x^{3}} + c $

$(C)\ \frac{8}{3}\sqrt{x^{5}} -4x^{2}+5\sqrt{x} + c $

$(D)\ \frac{8}{5}\sqrt{x^{3}} -2x^{3}+6\sqrt{x} + c $

$(E)\ 2\sqrt{x^{3}} -3x^{2}+6\sqrt{x} + c $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dan beberapa sifat bentuk akar dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \left( \sqrt{x} \left( 2\sqrt{x}-3 \right)^{2} \right) \ dx\\ &= \int \left( \sqrt{x} \left( 4x-12\sqrt{x}+9 \right) \right)\ dx \\ &= \int x^{\frac{1}{2}} \left( 4x-12x^{\frac{1}{2}}+9 \right)\ dx \\ &= \int \left( 4x^{\frac{3}{2}} -12x +9x^{\frac{1}{2}} \right)\ dx \\ &= \frac{4}{\frac{3}{2}+1}x^{\frac{3}{2}+1}-\frac{12}{1+1}x^{1+1}+\frac{9}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1} +c \\ &= \frac{4}{\frac{5}{2}}x^{\frac{5}{2}}-\frac{12}{2}x^{2}+\frac{9}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}} +c \\ &= \frac{8}{5}\sqrt{x^{5}}-6x^{2}+6\sqrt{x^{3}} +c \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{8}{5}\sqrt{x^{5}} -6x^{2}+6\sqrt{x^{3}} + c $

16. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \dfrac{2}{3\sqrt[3]{2x}}\ dx=\cdots$

$(A)\ \dfrac{2}{3}\sqrt[3]{2x} + c $

$(B)\ \dfrac{2}{3}\sqrt[3]{4x} + c $

$(C)\ \dfrac{1}{2}\sqrt[3]{4x} + c $

$(D)\ \dfrac{1}{2}\sqrt[3]{4x^{2}} + c $

$(E)\ \dfrac{1}{3}\sqrt[3]{4x^{2}} + c $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dan beberapa sifat bentuk akar dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \dfrac{2}{3\sqrt[3]{2x}}\ dx\\ &= \int \dfrac{2}{3} \cdot \left(2x \right)^{-\frac{1}{3}}\ dx\\ &= \int \dfrac{2}{3} \cdot 2^{-\frac{1}{3}} \cdot x^{-\frac{1}{3}}\ dx\\ &= \frac{2}{3} \cdot 2^{-\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{-\frac{1}{3}+1}x^{-\frac{1}{3}+1} +c \\ &= \frac{2}{3} \cdot 2^{-\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}}x^{ \frac{2}{3}} +c \\ &= 2^{-\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[3]{x^{2}} +c \\ &= \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \sqrt[3]{x^{2}} +c \\ &= \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} } +c \\ &= \sqrt[3]{\frac{4x^{2}}{8} } +c \\ &= \frac{1}{2}\sqrt[3]{4x^{2}} +c \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{2}\sqrt[3]{4x^{2}} + c$

17. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \sqrt{\frac{x^{4}-8x^{2}+16}{x}}\ dx=\cdots$

$(A)\ \frac{2}{5}\sqrt{x^{5}}-8\sqrt{x}+ c $

$(B)\ \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}-4\sqrt{x}+ c $

$(C)\ \frac{2}{3}\sqrt{x^{5}}-8x^{2}+ c $

$(D)\ \frac{2}{3}\sqrt{x^{7}}-5x^{3}+ c $

$(E)\ \frac{2}{5}\sqrt{x^{5}}-8\sqrt{x}+ c $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dan beberapa sifat bentuk akar dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \sqrt{\frac{x^{4}-8x^{2}+16}{x}}\ dx\\ &= \int \sqrt{\frac{\left( x^{2}-4 \right)^{2}}{x}}\ dx\\ &= \int \frac{x^{2}-4}{\sqrt{x}}\ dx\\ &= \int x^{\frac{3}{2}}-4x^{-\frac{1}{2}} \ dx\\ &= \frac{1}{\frac{3}{2}+1} \cdot x^{\frac{3}{2}+1}- \frac{4}{-\frac{1}{2}+1}x^{ -\frac{1}{2}+1} +c \\ &= \frac{1}{\frac{5}{2}} \cdot x^{\frac{5}{2}}- \frac{4}{ \frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} +c \\ &= \frac{2}{5} \sqrt{x^{5}}- 8 \sqrt{x} +c \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{2}{5}\sqrt{x^{5}}-8\sqrt{x}+ c$

18. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \sqrt{x+9x^{-1}-6}\ dx=\cdots$

$(A)\ 4\sqrt{x^{3}}-2\sqrt{x}+ c $

$(B)\ \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}-\frac{5}{2}\sqrt{x^{3}}+ c $

$(C)\ \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}-6\sqrt{x}+ c $

$(D)\ 2\sqrt{x^{5}}-\frac{5}{3}\sqrt{x}+ c $

$(E)\ \frac{5}{2}\sqrt{x^{3}}-4\sqrt{x}+ c $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dan beberapa sifat bentuk akar dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \sqrt{x+9x^{-1}-6}\ dx\\ &= \int \sqrt{ \dfrac{x^{2}+9-6x}{x}}\ dx\\ &= \int \sqrt{ \dfrac{\left(x-3\right)^{2}}{x}}\ dx\\ &= \int \dfrac{x-3}{\sqrt{x}}\ dx\\ &= \int \left(x^{\frac{1}{2}}-3x^{-\frac{1}{2}} \right)\ dx\\ &= \frac{1}{\frac{1}{2}+1} \cdot x^{\frac{1}{2}+1}- \frac{3}{-\frac{1}{2}+1}x^{ -\frac{1}{2}+1} +c \\ &= \frac{1}{\frac{3}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}}- \frac{3}{ \frac{1}{2} }x^{ \frac{1}{2} } +c \\ &= \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}}- 6 \sqrt{x} +c \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}-6\sqrt{x}+ c$

Catatan Aturan Dasar Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar dan Pembahasan Soal Latihan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.

Kurang cerdas dapat diperbaiki dengan belajar. Kurang cakap dapat dihilangkan dengan pengalaman. Namun tidak jujur itu sulit diperbaiki.
Mohammad Hatta