Skip to main content

Aturan Dasar Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar dan Pembahasan Soal Latihan

Soal dan Pembahasan Aturan Dasar Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar Calon guru belajar matematika dasar SMA dari Aturan Dasar Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar yang dilengkapi dengan pembahasan beberapa soal latihan. Agar lebih mudah belajar integral fungsi aljabar ini, ada baiknya kita sudah belajar tentang turunan fungsi aljabar.

Integral fungsi dan turunan fungsi itu ibarat penjumlahan dan pengurangan, jadi jika kita mau belajar integral fungsi maka setidaknya kita harus belajar turunan fungsi terlebih dahulu.

Pada kurikulum 2013 tingkat SMA, integral fungsi diperkenalkan pada matematika wajib atau matematika umum SMA kelas XI. Integral fungsi pada kurikulum 2013 dibagi dalam beberapa kompetensi dasar yaitu:

  • 3.10 Mendeskripsikan integral tak tentu (anti turunan) fungsi aljabar dan menganalisis sifat-sifatnya berdasarkan sifat-sifat turunan fungsi
  • 4.10 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu (anti turunan) fungsi aljabar

Dari kompetensi dasar integral fungsi di atas, apa yang diharapkan oleh pemerintah terkait pemahaan peserta didik tentang integral masih sampai pada tahap pengenalan. Pada kurikulum sebelumnya, integral yang diperkenalkan pada SMA kelas XII diperkenalkan sampai dengan menggunakan integral menghitung luas daerah dan volume benda putar.

Integral tak tentu disebut dengan anti turunan, karena jika diketahui $f'(x)$ adalah turunan pertama dari $f(x)$ maka kemungkinan $f(x)$ dapat kita tentukan dengan menggunakan integral tak tentu.

Misal, jika $f'(x)=2x+5$ adalah turunan pertama dari $f(x)$ maka kemungkinan $f(x)$ adalah:

  • $f(x)=x^{2}+5x$
  • $f(x)=x^{2}+5x+5$
  • $f(x)=x^{2}+5x-2$
  • $f(x)=x^{2}+5x-\frac{1}{3}$
  • $\vdots$
  • $f(x)=x^{2}+5x+c$

Dengan menggunakan integral tak tentu yang disimbolkan dengan $ \int $ dapat kita tuliskan seperti berikut $\int \left( 2x+5 \right) dx=x^{2}+5x+c$.

DEFINISI INTEGRAL FUNGSI TAK TENTU


Ketika akan menyelesaikan persamaan diferensial dari bentuk $\dfrac{dy}{dx}=f(x)$ dapat kita tulis dalam bentuk $dy=f(x)dx$.

Secara umum, jika $F(x)$ menyatakan fungsi dalam variabel $x$, dengan $f(x)$ turunan dari $F(x)$ dan $c$ konstanta bilangan real maka integral tak tentu dari $f(x)$ dapat dituliskan dalam bentuk:
\begin{align} \int f(x)dx & = F(x)+c \end{align} dibaca: "integral fungsi $f(x)$ ke $x$ sama dengan $F(x)+c$"

Keterangan tambahan:
$\begin{align} \int f(x) & : \text{notasi integral tak tentu} \\ F(x)+c & : \text{fungsi antiturunan} \\ f(x) & : \text{fungsi yang diintegralkan (integran)} \\ c & : \text{konstanta} \\ d(x) & : \text{diferensial (turunan) dari}\ x \end{align}$

ATURAN DASAR INTEGRAL TAK TENTU


  • $\int dx= x + c$
  • $\int k\ dx= kx + c$
  • $\int x^{n}\ dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$
  • $\int k f(x)\ dx=k \int f(x)dx =\frac{k}{n+1}x^{n+1}+c,\ n\neq -1$
  • $\int \left[f(x) + g(x) \right]dx=\int f(x)dx + \int g(x)dx$
  • $\int \left[f(x) - g(x) \right]dx=\int f(x)dx - \int g(x)dx$
  • $\int a^{x} dx= \left (\frac{1}{ln\ a} \right )a^{x} + c$
  • $\int a^{u(x)} dx= \left (\frac{1}{u'(x)\ ln\ a} \right )a^{u(x)} + c$
  • $\int \frac{1}{x} dx= ln\ \left |x \right | + c$
  • $\int \frac{1}{u(x)} dx= \frac{1}{u'(x)} ln\ \left |u(x) \right | + c$
  • $\int e^{x} dx= e^{x} + c$
  • $\int e^{u(x)} dx= \dfrac{1}{u'(x)}e^{u(x)} + c$

SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN ATURAN DASAR INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI ALJABAR


Soal Integral Tak tentu Fungsi Aljabar pada seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri (PTN) sangat sering diujikan. Berikut ini sebagai soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Aturan Dasar Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.

1. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \left( 3x^{2}+2x+3 \right)\ dx$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \frac{3}{2}x^{3}+2x^{2}+3x+c \\ (B)\ & x^{3}+ x^{2}+3x+c \\ (C)\ & x^{2}+x+3+c \\ (D)\ & \frac{3}{2}x^{2}+2x +3+c \\ (E)\ & x^{3}+2x^{2}+3x+c \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \left( 3x^{2}+2x+3 \right)\ dx\\ &= \frac{3}{2+1}x^{2+1}+\frac{2}{1+1}x^{1+1}+3x+c \\ &= x^{3}+ x^{2}+3x +c \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x^{3}+ x^{2}+3x+c$

2. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \left( 6x^{2}+3x \right)\ dx$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 3x^{3}+\frac{3}{2}x^{2} +c \\ (B)\ & 2x^{3}+ 3x^{2} +c \\ (C)\ & 2x^{3}+\frac{3}{2}x^{2} +c \\ (D)\ & 3x^{3}+3x^{2} +c \\ (E)\ & 2x^{3}+3x^{2}+3x+c \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \left( 6x^{2}+3x \right)\ dx\\ &= \frac{6}{2+1}x^{2+1}+\frac{3}{1+1}x^{1+1} +c \\ &= 2x^{3}+ \frac{3}{2}x^{2} +c \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2x^{3}+ \frac{3}{2}x^{2} +c$

3. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \left( 2x^{-\frac{3}{2}}+ x^{-\frac{2}{3}} \right)\ dx$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & -2x^{-\frac{1}{2}}- \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}}+ c \\ (B)\ & 2x^{-\frac{1}{2}}+ x^{\frac{5}{3}}+ c \\ (C)\ & -4x^{-\frac{1}{2}}+ 3x^{\frac{1}{3}}+ c \\ (D)\ & \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+ \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}}+ c \\ (E)\ & 2x^{3}+ 3x^{2}+ 3x+c \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \left( 2x^{-\frac{3}{2}}+ x^{-\frac{2}{3}} \right)\ dx\\ &= \frac{2}{-\frac{3}{2}+1}x^{-\frac{3}{2}+1}+ \frac{1}{-\frac{2}{3}+1}x^{-\frac{2}{3}+1} +c \\ &= \frac{2}{-\frac{1}{2}}x^{-\frac{1}{2}}+ \frac{1}{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}} +c \\ &= -4x^{-\frac{1}{2}}+ 3x^{\frac{1}{3}} +c \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -4x^{-\frac{1}{2}}+ 3x^{\frac{1}{3}} +c$

4. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \left( \frac{4}{x^{3}}+ 2x^{2}- \frac{3}{x^{2}} \right)\ dx$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \frac{2}{x^{4}}+ \frac{2x^{3}}{3}- \frac{1}{x^{3}} + c \\ (B)\ & \frac{1}{x^{4}}+ \frac{2x^{3}}{3}- \frac{1}{x^{3}} + c \\ (C)\ & -\frac{2}{x^{2}}+ \frac{2x^{3}}{3}+ \frac{3}{x} + c \\ (D)\ & \frac{2}{x^{4}}+ \frac{2x^{3}}{3}- \frac{2}{x^{3}} + c \\ (E)\ & \frac{2}{x^{5}}+ \frac{2x^{3}}{3}- \frac{3}{x^{3}} + c \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \left( \frac{4}{x^{3}}+ 2x^{2}- \frac{3}{x^{2}} \right)\ dx\\ &= \int \left( 4 x^{-3} + 2x^{2}- 3 x^{-2} \right)\ dx\\ &= \frac{4}{-3+1}x^{-3+1}+ \frac{2}{2+1}x^{2+1}-\frac{3}{-2+1}x^{-2+1} +c \\ &= \frac{4}{-2}x^{-2}+ \frac{2}{3}x^{3}-\frac{3}{-1}x^{-1} +c \\ &= -\frac{2}{x^{2}}+ \frac{2x^{3}}{3}+\frac{3}{x} +c \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -\frac{2}{x^{2}}+ \frac{2x^{3}}{3}+\frac{3}{x} +c$

5. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \left( \frac{4}{3x^{5}}+ \frac{x^{2}}{2}- \frac{3}{4} \right)\ dx$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \frac{2}{9x^{6}}+ \frac{x^{3}}{6}- \frac{3x}{4} + c \\ (B)\ & \frac{2}{5x^{4}}+ \frac{x^{3}}{4}- \frac{3x}{4} + c \\ (C)\ & -\frac{1}{3x^{6}}+ \frac{x^{3}}{3}- \frac{3x}{4} + c \\ (D)\ & -\frac{1}{2x^{5}}+ \frac{x^{3}}{3}- \frac{3x}{4} + c \\ (E)\ & \frac{2}{ x^{5}}+ \frac{2x^{3}}{3}- \frac{3}{x^{3}} + c \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \left( \frac{4}{3x^{5}}+ \frac{x^{2}}{2}- \frac{3}{4} \right)\ dx\\ &= \int \left( \frac{4}{3}x^{-5}+ \frac{x^{2}}{2}- \frac{3}{4} \right)\ dx\\ &= \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{-5+1}x^{-5+1}+ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2+1}x^{2+1}-\frac{3}{4}x +c \\ &= \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{-4}x^{-4}+ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}x^{3}-\frac{3}{4}x +c \\ &= \frac{1}{-3}x^{-4}+ \frac{1}{6}x^{3}-\frac{3}{4}x +c \\ &= -\frac{1}{3x^{4}} + \frac{x^{3}}{6} -\frac{3x}{4} +c \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -\frac{1}{3x^{4}} + \frac{x^{3}}{6} -\frac{3x}{4} +c$

6. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \left( \sqrt{x^{3}}+ \sqrt{x^{5}} \right)\ dx$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \frac{1}{2}\sqrt{x^{4}}+ \frac{1}{6}\sqrt{x^{6}} + c \\ (B)\ & \frac{2}{5}\sqrt{x^{5}}+ \frac{2}{7}\sqrt{x^{7}} + c \\ (C)\ & \frac{5}{2}\sqrt{x^{5}}+ \frac{7}{2}\sqrt{x^{7}} + c \\ (D)\ & \frac{1}{5}\sqrt{x^{5}}+ \frac{1}{7}\sqrt{x^{7}} + c \\ (E)\ & 5\sqrt{x^{5}}+ 7\sqrt{x^{7}} + c \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dan beberapa sifat bentuk akar dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \left( \sqrt{x^{3}}+ \sqrt{x^{5}} \right)\ dx\\ &= \int \left( x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}} \right)\ dx\\ &= \frac{1}{\frac{3}{2}+1}x^{\frac{3}{2}+1}+ \frac{1}{\frac{5}{2}+1}x^{\frac{5}{2}+1} +c \\ &= \frac{1}{\frac{5}{2}}x^{\frac{5}{2}}+ \frac{1}{\frac{7}{2}}x^{\frac{7}{2}} +c \\ &= \frac{2}{5}\sqrt{x^{5}}+ \frac{2}{7}\sqrt{x^{7}} +c \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{2}{5}\sqrt{x^{5}}+ \frac{2}{7}\sqrt{x^{7}} +c$

7. Soal Latihan Integral Tak Tentu

$\int \left( \frac{3}{x^{2}} + \sqrt{x^{5}}+\frac{3}{2\sqrt{x}} \right)\ dx=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -\frac{3}{x}+\frac{2}{7}\sqrt{x^{7}}+ 3\sqrt{x} + c \\ (B)\ & \frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{6}\sqrt{x^{6}}-\frac{3}{4} \sqrt{x} + c \\ (C)\ & -\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{6}\sqrt{x^{6}}+\frac{3}{4} \sqrt{x} + c \\ (D)\ & \frac{2}{x^{3}}-\frac{2}{7}\sqrt{x^{5}}-\frac{2}{3\sqrt{x^{3}}} + c \\ (E)\ & -3x^{3}-\frac{1}{3}\sqrt{x^{7}}- 2\sqrt{x} + c \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dan beberapa sifat bentuk akar dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \left( \frac{3}{x^{2}} + \sqrt{x^{5}}+\frac{3}{2\sqrt{x}} \right)\ dx\\ &= \int \left( 3x^{-2} + x^{\frac{5}{2}}+\frac{3}{2}x^{-\frac{1}{2}} \right)\ dx\\ &= \frac{3}{-2+1}x^{-2+1}+ \frac{1}{\frac{5}{2}+1}x^{\frac{5}{2}+1} +\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{-\frac{1}{2}+1}x^{-\frac{1}{2}+1}+c \\ &= \frac{3}{-1}x^{-1}+ \frac{1}{\frac{7}{2}}x^{\frac{7}{2}} +\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}+c \\ &= -3x^{-1}+ \frac{2}{7}x^{\frac{7}{2}} + \frac{3}{2} \cdot 2x^{\frac{1}{2}}+c \\ &= -\frac{3}{x}+ \frac{2}{7}\sqrt{x^{7}} + 3\sqrt{x}+c \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\frac{3}{x}+ \frac{2}{7}\sqrt{x^{7}} + 3\sqrt{x}+c$

8. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \left( 10\sqrt{x^{3}}-\frac{5}{2\sqrt{x}} \right)\ dx=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \frac{10}{4}\sqrt{x^{3}}+\frac{3}{4\sqrt{x^{3}}} + c \\ (B)\ & 10\sqrt{x^{3}}+\frac{3}{2x} + c \\ (C)\ & 4\sqrt{x^{5}}-5\sqrt{x} + c \\ (D)\ & 4\sqrt{x^{5}}-\frac{5}{\sqrt{x}} + c \\ (E)\ & \frac{5}{2}\sqrt{x^{5}}-5\sqrt{x} + c \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dan beberapa sifat bentuk akar dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \left( 10\sqrt{x^{3}}-\frac{5}{2\sqrt{x}} \right)\ dx\\ &= \int \left( 10x^{\frac{3}{2}}-\frac{5}{2}x^{-\frac{1}{2}} \right)\ dx\\ &= \frac{10}{\frac{3}{2}+1}x^{\frac{3}{2}+1} -\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{-\frac{1}{2}+1}x^{-\frac{1}{2}+1}+c \\ &= \frac{10}{\frac{5}{2}}x^{\frac{5}{2}} -\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}+c \\ &= \frac{20}{5} \sqrt{x^{5}} -\frac{5}{2} \cdot 2 \sqrt{x}+c \\ &= 4 \sqrt{x^{5}} - 5 \sqrt{x}+c \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4 \sqrt{x^{5}} - 5 \sqrt{x}+c$

9. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \left( 2x+3 \right)^{2} dx=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \frac{3}{2}x^{3}+ 9x+ c \\ (B)\ & \frac{4}{3}x^{3}+6x^{2}+ 9x+ c \\ (C)\ & \frac{2}{3}x^{3}+9x^{2}+ 3x+ c \\ (D)\ & \frac{4}{3}x^{3}+ 9x+ c \\ (E)\ & \frac{4}{3}x^{3}+9x^{2}+ 3x+ c \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \left( 2x+3 \right)^{2}\ dx\\ &= \int \left( 4x^{2}+ 12x+9 \right)\ dx\\ &= \frac{4}{2+1} x^{2+1}+ \frac{12}{1+1} x^{1+1}+9x +c \\ &= \frac{4}{3} x^{3}+ 6 x^{2}+9x +c \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{4}{3} x^{3}+ 6 x^{2}+9x +c$

10. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \left( 2\sqrt{x}-5x \right)^{2} dx=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 2\sqrt{x^{3}}-\frac{5}{2}x^{2} + c \\ (B)\ & 4\sqrt{x^{3}}-\frac{25}{2}x^{2} + c \\ (C)\ & 2\sqrt{x^{5}}-\frac{5}{2}x^{2}+5x + c \\ (D)\ & 2x^{3}-\frac{5}{2}x+ c \\ (E)\ & 2x^{2}-8x^{5}+ \frac{25}{3}x^{3}+ c \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \left( 2\sqrt{x}-5x \right)^{2}\ dx\\ &= \int \left( 4x -20x\sqrt{x}+25x^{2} \right)\ dx\\ &= \int \left( 4x -20x^{\frac{3}{2}} +25x^{2} \right)\ dx\\ &= \frac{4}{1+1} x^{1+1}- \frac{20}{\frac{3}{2}+1} x^{\frac{3}{2}+1}+\frac{25}{2+1} x^{2+1} +c \\ &= 2 x^{2}- \frac{20}{\frac{5}{2}} x^{\frac{5}{2}}+\frac{25}{3} x^{3} +c \\ &= 2 x^{2}- 8 \sqrt{x^{5}}+\frac{25}{3} x^{3} +c \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2 x^{2}- 8 \sqrt{x^{5}}+\frac{25}{3} x^{3} +c$

11. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \left( \frac{2}{x}+3x \right)^{2} dx=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \frac{3x^{3}}{2}-\frac{x}{2}-\frac{2}{x} + c \\ (B)\ & 6x^{3}-4x-\frac{2}{x} + c \\ (C)\ & 3x^{3} -12x-\frac{4}{x} + c \\ (D)\ & 2x^{3} -6x-\frac{2}{x} + c \\ (E)\ & 3x^{3} +12x -\frac{4}{x} + c \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \left( \frac{2}{x}+3x \right)^{2}\ dx\\ &= \int \left( \frac{4}{x^{2}}+12 +9x^{2} \right)\ dx\\ &= \int \left( 4x^{-2}+12 +9x^{2} \right)\ dx\\ &= \frac{4}{-2+1} x^{-2+1}+12x+\frac{9}{2+1} x^{2+1} +c \\ &= -4 x^{-1}+12x +3x^{3} +c \\ &=-\frac{4}{x}+12x +3x^{3} +c \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3x^{3} +12x -\frac{4}{x}+c$

12. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \left( \dfrac{\sqrt{x} \left( x+3\sqrt{x} \right)}{x} \right)\ dx=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \frac{4}{3}x^{3} -2x^{2}+\frac{3}{2}x + c \\ (B)\ & \frac{4}{3}x^{3} -\frac{2}{3} x^{2}+3x + c \\ (C)\ & \frac{2}{3}\sqrt{x^{5}}+3\sqrt{x}-3x + c \\ (D)\ & \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}+3x + c \\ (E)\ & 3\sqrt{x^{5}}+2\sqrt{x}-3x + c \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dan beberapa sifat bentuk akar dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \left( \dfrac{\sqrt{x} \left( x+3\sqrt{x} \right)}{x} \right)\ dx\\ &= \int \left( \dfrac{x^{\frac{1}{2}} \left( x+3x^{\frac{1}{2}} \right)}{x} \right)\ dx\\ &= \int \left( \dfrac{x \cdot x^{\frac{1}{2}} +3x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} }{x} \right)\ dx\\ &= \int \left( \dfrac{x^{\frac{3}{2}} +3x }{x} \right)\ dx\\ &= \int \left( x^{\frac{1}{2}} +3 \right)\ dx\\ &= \frac{1}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1} +3x+c \\ &= \frac{1}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}} +3x+c \\ &= \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+3x+c \\ &= \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}+3x+c \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}+3x+c $

13. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \left( x^{2}-x \right)\left( 2x^{3}-3 \right)\ dx=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \frac{1}{3}x^{6}- x^{3}-\frac{2}{5}x^{5}+\frac{3}{2}x^{2}+ c \\ (B)\ & \frac{1}{2}x^{6}- x^{3}-2x^{5}+\frac{3}{2}x^{2}+ c \\ (C)\ & 3x^{6}- x^{3}-\frac{2}{5}x^{5}+ x^{2}+ c \\ (D)\ & 3x^{6}+ x^{3}-\frac{3}{2}x^{5}+4x^{2}+ c \\ (E)\ & \frac{1}{2}x^{6}- x^{3}-\frac{2}{5}x^{5}+\frac{3}{2}x^{2}+ c \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \left( x^{2}-x \right)\left( 2x^{3}-3 \right)\ dx\\ &= \int \left( 2x^{5} -3x^{2}-2x^{4}+3x \right)\ dx\\ &= \frac{2}{5+1} x^{5+1}- \frac{3}{2+1} x^{2+1}-\frac{2}{4+1} x^{4+1}+\frac{3}{1+1} x^{1+1} +c \\ &= \frac{2}{6} x^{6}- \frac{3}{3} x^{3}-\frac{2}{5} x^{5}+\frac{3}{2} x^{2} +c \\ &= \frac{1}{3} x^{6}- x^{3}-\frac{2}{5} x^{5}+\frac{3}{2} x^{2} +c \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{1}{3} x^{6}- x^{3}-\frac{2}{5} x^{5}+\frac{3}{2} x^{2} +c$

14. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \left( 10\sqrt{x^{3}}-2x^{2}\sqrt{x}+5x\sqrt{x^{3}} \right)\ dx=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 4\sqrt{x^{5}}+\frac{6}{7}\sqrt{x^{7}} + c \\ (B)\ & 2\sqrt{x^{5}}-\frac{3}{7}\sqrt{x^{7}} + c \\ (C)\ & \frac{2}{3}\sqrt{x^{5}}-7\sqrt{x^{3}} + c \\ (D)\ & \frac{1}{3}\sqrt{x^{5}}+\frac{1}{4}\sqrt{x^{7}} + c \\ (E)\ & 2\sqrt{x^{5}}+7\sqrt{x^{7}} + c \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dan beberapa sifat bentuk akar dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \left( 10\sqrt{x^{3}}-2x^{2}\sqrt{x}+5x\sqrt{x^{3}} \right)\ dx\\ &= \int \left( 10x^{\frac{3}{2}}-2x^{\frac{5}{2}}+5x^{\frac{5}{2}} \right)\ dx\\ &= \int \left( 10x^{\frac{3}{2}}+3x^{\frac{5}{2}} \right)\ dx\\ &= \frac{10}{\frac{3}{2}+1}x^{\frac{3}{2}+1}+\frac{3}{\frac{5}{2}+1}x^{\frac{5}{2}+1}+c \\ &= \frac{10}{\frac{5}{2}}x^{\frac{5}{2}}+\frac{3}{\frac{7}{2}}x^{\frac{7}{2}}+c \\ &= 4\sqrt{x^{5}}+\frac{6}{7}\sqrt{x^{7}}+c \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4\sqrt{x^{5}}+\frac{6}{7}\sqrt{x^{7}}+c$

15. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \left( \sqrt{x} \left( 2\sqrt{x}-3 \right) \right)^{2}\ dx=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 16\sqrt{x^{5}} -6x^{2}+3\sqrt{x^{3}} + c \\ (B)\ & \frac{8}{5}\sqrt{x^{5}} -6x^{2}+6\sqrt{x^{3}} + c \\ (C)\ & \frac{8}{3}\sqrt{x^{5}} -4x^{2}+5\sqrt{x} + c \\ (D)\ & \frac{8}{5}\sqrt{x^{3}} -2x^{3}+6\sqrt{x} + c \\ (E)\ & 2\sqrt{x^{3}} -3x^{2}+6\sqrt{x} + c \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dan beberapa sifat bentuk akar dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \left( \sqrt{x} \left( 2\sqrt{x}-3 \right)^{2} \right) \ dx\\ &= \int \left( \sqrt{x} \left( 4x-12\sqrt{x}+9 \right) \right)\ dx \\ &= \int x^{\frac{1}{2}} \left( 4x-12x^{\frac{1}{2}}+9 \right)\ dx \\ &= \int \left( 4x^{\frac{3}{2}} -12x +9x^{\frac{1}{2}} \right)\ dx \\ &= \frac{4}{\frac{3}{2}+1}x^{\frac{3}{2}+1}-\frac{12}{1+1}x^{1+1}+\frac{9}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1} +c \\ &= \frac{4}{\frac{5}{2}}x^{\frac{5}{2}}-\frac{12}{2}x^{2}+\frac{9}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}} +c \\ &= \frac{8}{5}\sqrt{x^{5}}-6x^{2}+6\sqrt{x^{3}} +c \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{8}{5}\sqrt{x^{5}} -6x^{2}+6\sqrt{x^{3}} + c $

16. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \dfrac{2}{3\sqrt[3]{2x}}\ dx=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{3}\sqrt[3]{2x} + c \\ (B)\ & \dfrac{2}{3}\sqrt[3]{4x} + c \\ (C)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt[3]{4x} + c \\ (D)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt[3]{4x^{2}} + c \\ (E)\ & \dfrac{1}{3}\sqrt[3]{4x^{2}} + c \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dan beberapa sifat bentuk akar dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \dfrac{2}{3\sqrt[3]{2x}}\ dx\\ &= \int \dfrac{2}{3} \cdot \left(2x \right)^{-\frac{1}{3}}\ dx\\ &= \int \dfrac{2}{3} \cdot 2^{-\frac{1}{3}} \cdot x^{-\frac{1}{3}}\ dx\\ &= \frac{2}{3} \cdot 2^{-\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{-\frac{1}{3}+1}x^{-\frac{1}{3}+1} +c \\ &= \frac{2}{3} \cdot 2^{-\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}}x^{ \frac{2}{3}} +c \\ &= 2^{-\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[3]{x^{2}} +c \\ &= \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \sqrt[3]{x^{2}} +c \\ &= \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} } +c \\ &= \sqrt[3]{\frac{4x^{2}}{8} } +c \\ &= \frac{1}{2}\sqrt[3]{4x^{2}} +c \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{2}\sqrt[3]{4x^{2}} + c$

17. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \sqrt{\frac{x^{4}-8x^{2}+16}{x}}\ dx=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \frac{2}{5}\sqrt{x^{5}}-8\sqrt{x}+ c \\ (B)\ & \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}-4\sqrt{x}+ c \\ (C)\ & \frac{2}{3}\sqrt{x^{5}}-8x^{2}+ c \\ (D)\ & \frac{2}{3}\sqrt{x^{7}}-5x^{3}+ c \\ (E)\ & \frac{2}{5}\sqrt{x^{5}}-8\sqrt{x}+ c \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dan beberapa sifat bentuk akar dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \sqrt{\frac{x^{4}-8x^{2}+16}{x}}\ dx\\ &= \int \sqrt{\frac{\left( x^{2}-4 \right)^{2}}{x}}\ dx\\ &= \int \frac{x^{2}-4}{\sqrt{x}}\ dx\\ &= \int x^{\frac{3}{2}}-4x^{-\frac{1}{2}} \ dx\\ &= \frac{1}{\frac{3}{2}+1} \cdot x^{\frac{3}{2}+1}- \frac{4}{-\frac{1}{2}+1}x^{ -\frac{1}{2}+1} +c \\ &= \frac{1}{\frac{5}{2}} \cdot x^{\frac{5}{2}}- \frac{4}{ \frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} +c \\ &= \frac{2}{5} \sqrt{x^{5}}- 8 \sqrt{x} +c \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{2}{5}\sqrt{x^{5}}-8\sqrt{x}+ c$

18. Soal Latihan Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \sqrt{x+9x^{-1}-6}\ dx=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 4\sqrt{x^{3}}-2\sqrt{x}+ c \\ (B)\ & \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}-\frac{5}{2}\sqrt{x^{3}}+ c \\ (C)\ & \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}-6\sqrt{x}+ c \\ (D)\ & 2\sqrt{x^{5}}-\frac{5}{3}\sqrt{x}+ c \\ (E)\ & \frac{5}{2}\sqrt{x^{3}}-4\sqrt{x}+ c \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan sifat $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dan beberapa sifat bentuk akar dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \int \sqrt{x+9x^{-1}-6}\ dx\\ &= \int \sqrt{ \dfrac{x^{2}+9-6x}{x}}\ dx\\ &= \int \sqrt{ \dfrac{\left(x-3\right)^{2}}{x}}\ dx\\ &= \int \dfrac{x-3}{\sqrt{x}}\ dx\\ &= \int \left(x^{\frac{1}{2}}-3x^{-\frac{1}{2}} \right)\ dx\\ &= \frac{1}{\frac{1}{2}+1} \cdot x^{\frac{1}{2}+1}- \frac{3}{-\frac{1}{2}+1}x^{ -\frac{1}{2}+1} +c \\ &= \frac{1}{\frac{3}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}}- \frac{3}{ \frac{1}{2} }x^{ \frac{1}{2} } +c \\ &= \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}}- 6 \sqrt{x} +c \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}-6\sqrt{x}+ c$

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Aturan Dasar Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar dan Pembahasan Soal Latihan silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Aturan Dasar Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar dan Pembahasan Soal Latihan" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih 🙏 support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar