Calon Guru belajar matematika dasar SMA lewat pembahasan bentuk akar dan sumber soal dipilih dari soal uji kompetensi pada buku matematika wajib SMA Kurikulum 2013. Pada buku matematika wajib soal ini adalah soal uji kompetensi 1.2, tepatnya dari topik pembahasan bentuk akar.
Pada uji kompetensi tersebut diberikan beberapa soal latihan dan yang kita diskusikan disini adalah dari soal tantangan. Soal-soal yang disajikan pada kurikulum ini banayk mengarah ke soal-soal olimpiade matematika. Seperti sebelumnya soal dan pembahasan uji kompetensi eksponen sudah kita diskusikan, sekarang mari kita mulai berdiskusi tentang bentuk akar.
DEFINISI BENTUK AKAR
Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irasional.
Bilangan Irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk $\dfrac{a}{b}$ dimana $a,b$ bilangan bulat dan $b \neq 0$.
Misalnya $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{11}$, dan bentuk lainnya. Sedangkan $\sqrt{4}=2$ atau $\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$ bukan bentuk akar karena hasilnya adalah bilangan rasional.
Secara umum bentuk akar ini dituliskan dalam bentuk $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$.
dibaca dengan "akar pangkat $n$ dari $a$".
Bentuk khusus $\sqrt[n]{a}$, yaitu saat $n=2$ dapat tidak dituliskan, sehingga dapat ditulis hanya dengan $\sqrt{a}$ dibaca dengan "akar kuadrat dari $a$" atau "akar pangkat dua dari $a$" atau sering disebut "akar $a$".
Dari definisi bentuk akar di atas, diperoleh beberapa sifat-sifat bentuk akar yaitu:
- $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$
- Jika $𝑎$ adalah bilangan real serta $𝑚$ dan $𝑛$ adalah bilangan bulat positif yang relatif prima $\left( FPB (𝒎, 𝒏) =1 \right)$, maka
$a^{\frac{m}{n}}=\left( a^{m} \right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$ - $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$
- $\left (\sqrt{a}+\sqrt{b} \right )\left (\sqrt{a}-\sqrt{b} \right )=a-b$
- $\left (a+\sqrt{b} \right )\left (a-\sqrt{b} \right )=a^{2}-b$
- $\left (\sqrt{a}+b \right )\left (\sqrt{a}-b \right )=a-b^{2}$
- $\dfrac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{c\left (\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a-b}$
- $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ dengan $a,\ b \geq 0$
- $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ dengan $a,\ b \geq 0$ dan $a \geq b$, atau
$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\left| \sqrt{a}-\sqrt{b} \right|$ - $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{\cdots}}}}=a$ dengan $a \geq 0$
- $\sqrt{a \cdot b +\sqrt{ a \cdot b +\sqrt{a \cdot b +\sqrt{\cdots}}}}=a$ dengan $a-b=1$
- $\sqrt{a \cdot b -\sqrt{ a \cdot b -\sqrt{a \cdot b -\sqrt{\cdots}}}}=b$ dengan $a-b=1$
- $\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )=a^{2}-b^{2}$
- $\left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
- $\left ( a-b \right )^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
Soal dan Pembahasan Uji Kompetensi Bentuk Akar Matematika Wajib SMA
1a. Soal Bentuk Akar Matematika SMA
Tentukan nilai dari:
$ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3 \cdots}}}}}}}}$
Alternatif Pembahasan:
Soal di atas agar tidak menyulitkan membacanya coba kita lihat polanya, polanya adalah $ \sqrt[3]{2\sqrt{3}}$ yang ditulis secara berulang menjadi $ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}}}$
dan tanda "$ ...$" maksudnya 'dan seterusnya dengan pola yang berulang'.
Untuk menyelesaikan soal di atas coba kita selesaikan dengan pemisalan, misalkan:
$ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}}}\ =\ a$
Dengan melihat pemisalan di atas, sehingga sekarang kita hanya mencari nilai $a$, dengan mempangkatkan ruas kiri dan kanan dengan $3$, sehingga kita peroleh:
$ 2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}}\ =\ a^{3}$.
Lalu ruas kiri dan kanan sama-sama kita bagi dengan $2$, sehingga kita peroleh:
$ \sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}}\ =\dfrac{1}{2} a^{3}$.
Selanjutnya ruas kiri dan kanan sama-sama kita pangkatkan dengan 2, sehingga kita peroleh:
$ 3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}\ =\dfrac{1}{4} a^{6}$.
Berikutnya ruas kiri dan kanan sama-sama kita bagi dengan 3, sehingga kita peroleh:
$ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}\ =\dfrac{1}{12} a^{6}$
Dengan mensubstitusikan nilai $ a$ pada ruas kiri, sehingga bentuknya menjadi:
$\begin{align}
a & =\dfrac{1}{12} a^{6} \\
1 & =\dfrac{1}{12} a^{5} \\
12 & = a^{5} \\
a & = \sqrt[5]{12}
\end{align}$
1b. Soal Bentuk Akar Matematika SMA
Tentukan nilai dari:
$ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\cdots}}}}}}$
Alternatif Pembahasan:
Seperti soal (1a), soal di atas agar tidak menyulitkan membacanya coba kita lihat polanya, polanya adalah $ \sqrt{2}$ yang ditulis secara berulang menjadi $ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}}$
dan tanda "$ ...$" maksudnya 'dan seterusnya dengan pola yang berulang'
Untuk menyelesaikan soal di atas coba kita selesaikan dengan pemisalan, misalkan:
$ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}}\ =\ b$
Dengan melihat pemisalan di atas, sehingga sekarang kita hanya mencari nilai $ b$, dengan mempangkatkan ruas kiri dan kanan dengan $2$, sehingga kita peroleh:
$ 2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}\ =\ b^{2}$
Lalu ruas kiri dan kanan sama-sama kita kurang dengan $2$, sehingga kita peroleh:
$ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}\ =\ b^{2}-2$
Dengan mensubstitusikan nilai $ b$ pada ruas kiri, sehingga bentuknya menjadi:
$\begin{align}
b & = b^{2}-2 \\
b^{2}-b-2 & =0 \\
\left ( b-2 \right )\left ( b+1 \right ) & =0 \\
b-2=0\ \text{atau}\ b+1=0 & \\
b =2\ \text{atau}\ b=-1 & \\
\end{align}$
Dari bentuk di atas kita peroleh $b=-1$ tidak memenuhi karena akar kuadrat dari bilangan positif hasilnya adalah bilangan positif. Sehingga nilai $b$ yang memenuhi adalah $ b=2$
1c. Soal Bentuk Akar Matematika SMA
Tentukan nilai dari:
$ 1+\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{\cdots}}}}}}}}$
Alternatif Pembahasan:
Soal di atas agar tidak menyulitkan membacanya coba kita lihat polanya, polanya adalah $ 1+\dfrac{1}{\sqrt{\cdots}}$ yang ditulis secara berulang menjadi
$ 1+\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{\cdots}}}}}}}}$
dan tanda "$ ...$" maksudnya 'dan seterusnya dengan pola yang berulang'.
Untuk menyelesaikan soal di atas coba kita selesaikan dengan pemisalan, misalkan:
$ \sqrt{1+\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{\cdots}}}}}}}}}\ =\ c$
Dengan pemisalan di atas, sehingga kita peroleh:
$ 1+\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{\cdots}}}}}}}}\ =\ c^{2}$
Sekarang kita hanya mencari nilai $ c^{2}$,
$\begin{align}
1+\dfrac{1}{c} & = c^{2} \\
1+c & =c^{3} \\
c^{3}-c-1 & =0
\end{align}$
Sampai pada langkah ini kita coba meminta bantuan kepada wolframalpha dan diperoleh Solusi realnya adalah bilangan irasional dengan pendekatan nilai $ c=1,3247...$
Soal kita membutuhkan nilai $ c^2=(1,3247...)^{2}=1,7548...$
alternatif lain, pemisalan soal dapat juga dilakukan berbeda, penyelesaian soal dapat menjadi;
$ 1+\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{...}}}}}}}}\ =\ c$c^3-c-1Dengan pemisalan di atas, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
1+\dfrac{1}{\sqrt{c}} & = c \\
\dfrac{1}{\sqrt{c}} & = c-1 \\
c \sqrt{c} - \sqrt{c} & = 1 \\
c^{3} -2c^{2}+c & = 1 \\
c^{3} -2c^{2}+c-1 & = 0
\end{align}$
Sampai pada langkah ini kembali kita gunakan wolframalpha dan diperoleh solusi realnya adalah bilangan irasional dengan pendekatan nilai $c=1,7549...$
Kata kawanku, untuk mencari solusi $ c^{3}-c-1=0$ atau $ c^{3} -2c^{2}+c-1=\ 0$ dapat diselesaikan dengan 'Metode Cardano' dimana metode ini baru saja saya dengar.
Jika pembaca ada ide lain yang mungkin lebih sederhana terhadap penyelesaian soal ini saya sangat berterimakasih.
2. Soal Bentuk Akar Matematika SMA
Jika $ a,b$ adalah bilangan asli dengan $ a\leq b $ dan $ \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}$ adalah bilangan rasional, tentukan pasangan $(a,b)$ (OSN 2005/2006)
Alternatif Pembahasan:
$ \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}$ adalah bilangan rasional sehingga dapat kita tuliskan sebuah persamaan;
$ \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}=\dfrac{m}{n}$,
dimana $ a, b, m, n$ adalah bilangan asli serta $m$ dan $n$ keduanya relatif prima (FPB dari $m$ dan $n$ adalah $1$).
$\begin{align}
n\sqrt{3}+n\sqrt{a}&=m\sqrt{4}+m\sqrt{b} \\
n\sqrt{3}+n\sqrt{a}&=2m+m\sqrt{b} \\
n\sqrt{3}-2m&=m\sqrt{b}-n\sqrt{a} \\
\left (n\sqrt{3}-2m \right )^{2}&=\left (m\sqrt{b}-n\sqrt{a} \right )^{2} \\
3n^{2}+4m^{2}-4mn\sqrt{3}&=m^{2}b+n^{2}a-2mn\sqrt{ab}
\end{align}$
Karena $ a, b, m, n$ semuanya adalah bilangan asli maka $ 4mn\sqrt{3}=2mn\sqrt{ab}$, sehingga $ \sqrt{ab}=\sqrt{12}$
kemungkinan pasangan $ \left (a,b \right )$ adalah $ \left (1,12 \right ), \left (2,6 \right ), \left (3,4 \right )$
Jika $ a=1$ dan $b=12$ maka $ \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{1}}{\sqrt{4}+\sqrt{12}}=\dfrac{1}{2}$ (diperoleh hasil bilangan rasional)
Jika $ a=2$ dan $b=6$ maka $ \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{4}+\sqrt{6}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ (diperoleh hasil bukan bilangan rasional)
Jika $ a=3$ dan $b=4$ maka $ \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{3}}{\sqrt{4}+\sqrt{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (diperoleh hasil bukan bilangan rasional)
Pasangan $\left(a,b \right)$ adalah $\left(1,12 \right)$
3. Soal Bentuk Akar Matematika SMA
Nyatakan $b$ dalam $a$ dan $c$ dari persamaan $ \dfrac{\sqrt[3]{b \sqrt{c}}}{\sqrt{c \sqrt[3]{a}}}=abc$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar dapat kita peroleh penjabaran seperti berikut ini:
$\begin{align}
\dfrac{\sqrt[3]{b \sqrt{c}}}{\sqrt{c \sqrt[3]{a}}} &= abc \\
\dfrac{\sqrt[3]{b c^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{c a^{\frac{1}{3}}}} &=abc \\
\dfrac{b^{\frac{1}{3}} c^{\frac{1}{6}}}{c^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{6}}} &=abc \\
\dfrac{b^{\frac{1}{3}}}{b} &=\dfrac{a\cdot a^{\frac{1}{6}} \cdot c \cdot c^{\frac{1}{2}}}{c^{\frac{1}{6}}} \\
b^{\frac{-2}{3}} &=a^{1+\frac{1}{6}}\cdot c^{\frac{3}{2}-\frac{1}{6}} \\
b^{\frac{-2}{3}} &=a^{\frac{7}{6}} \cdot c^{\frac{4}{3}} \\
b & =a^{\frac{-21}{12}} \cdot c^{\frac{-12}{6}} \\
b & =a^{\frac{-7}{4}} \cdot c^{-2}
\end{align}$
4. Soal Bentuk Akar Matematika SMA
Sederhanakan bentuk $ \sqrt[4]{49-20\sqrt{6}}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat bentuk akar yaitu $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{\left(a+b\right)+2\sqrt{ab}}$ atau $\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{\left(a+b\right)-2\sqrt{ab}}$, dapat kita peroleh penjabaran seperti berikut ini:
$\begin{align}
& \sqrt[4]{49-20\sqrt{6}} \\
&= \sqrt[4]{49-2 \cdot 10 \sqrt{6}} \\
&= \sqrt{\sqrt{49-2\sqrt{600}}} \\
&= \sqrt{\sqrt{(25+24)-2\sqrt{25\cdot 24}}} \\
&= \sqrt{\sqrt{25}-\sqrt{24}} \\
&= \sqrt{5-2\sqrt{6}} \\
&=\sqrt{(3+2)-2\sqrt{3 \cdot 2}} \\
&=\sqrt{3} -\sqrt{2}
\end{align}$
5. Soal Bentuk Akar Matematika SMA
Tentukan nilai $a$ dan $b$ dari:
$ \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{1.000.000}+\sqrt{1.000.001}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mencoba menyelesaikan soal di atas kita coba dengan menyederhanakan beberapa bentuk akar dari soal dengan cara merasionalkan penyebut;
$ \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=-\sqrt{2}+\sqrt{3}$
$ \dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} \times \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{\sqrt{3}-\sqrt{4}}=-\sqrt{3}+\sqrt{4}$
$ \dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}=\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}} \times \dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{5}}{\sqrt{4}-\sqrt{5}}=-\sqrt{4}+\sqrt{5}$
$ \vdots $
$ \dfrac{1}{\sqrt{999.999}+\sqrt{1.000.000}}=-\sqrt{999.999}+\sqrt{1.000.000}$
$ \dfrac{1}{\sqrt{1.000.000}+\sqrt{1.000.001}}=-\sqrt{1.000.000}+\sqrt{1.000.001}$
Dari bentuk yang sudah disederhanakan di atas jika kita jumlahkan seperti soal, maka soal berubah menjadi;
$ -\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}+ \cdots +\sqrt{1.000.000}-\sqrt{1.000.000}+\sqrt{1.000.001}$
$ = -\sqrt{2}+\sqrt{1.000.001}$
$ = \sqrt{1.000.001} -\sqrt{2}$
Dari hasil akhir dan yang diminta soal adalah $\sqrt{a} -\sqrt{b}$ maka nilai $a$ adalah $1.000.001$ dan $b$ adalah $2$.
6. Soal Bentuk Akar Matematika SMA
Hitunglah $ \sqrt{54+14\sqrt{5}}+\sqrt{12-2\sqrt{35}}+\sqrt{32-10\sqrt{7}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat bentuk akar yaitu $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{\left(a+b\right)+2\sqrt{ab}}$ atau $\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{\left(a+b\right)-2\sqrt{ab}}$, dapat kita peroleh penjabaran seperti berikut:
$\begin{align}
&\sqrt{54+14\sqrt{5}}+\sqrt{12-2\sqrt{35}}+\sqrt{32-10\sqrt{7}} \\
&=\sqrt{54+2 \cdot 7\sqrt{5}}+\sqrt{12-2\sqrt{35}}+\sqrt{32-2 \cdot 5 \sqrt{7}} \\
&=\sqrt{54+2\sqrt{49\cdot 5}}+\sqrt{12-2\sqrt{7\cdot 5}}+\sqrt{32-2\sqrt{25\cdot 7}} \\
&=\sqrt{49}+\sqrt{5}+\sqrt{7}-\sqrt{5}+\sqrt{25}-\sqrt{7} \\
&=7+ 5 \\
&=12
\end{align}$
7. Soal Bentuk Akar Matematika SMA
Jika $ \left ( 3+4 \right )\left ( 3^{2}+4^{2} \right )\left ( 3^{4}+4^{4} \right )\left ( 3^{8}+4^{8} \right )\left ( 3^{16}+4^{16} \right )\left ( 3^{32}+4^{32} \right )=\left ( 4^{x}-3^{y} \right )$, tentukan nilai $x-y=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat dapat kita peroleh penjabaran seperti berikut ini:
$ \left ( 3+4 \right )\left ( 3^{2}+4^{2} \right )\left ( 3^{4}+4^{4} \right )\left ( 3^{8}+4^{8} \right )\left ( 3^{16}+4^{16} \right )\left ( 3^{32}+4^{32} \right )$
Bentuk di atas, dengan sedikit tambahan kreativitas bentuknya dapat kita menjadi sebagai berikut:
$=\left ( 4-3 \right ) \left ( 4+3 \right )\left ( 4^{2}+3^{2} \right )\left ( 4^{4}+3^{4} \right )\left ( 4^{8}+3^{8} \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4^{2}-3^{2}\right )\left ( 4^{2}+3^{2} \right )\left ( 4^{4}+3^{4} \right )\left ( 4^{8}+3^{8} \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4^{4}-3^{4} \right )\left ( 4^{4}+3^{4}\right )\left ( 4^{8}+3^{8} \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4^{8}-3^{8} \right )\left ( 4^{8}+3^{8} \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4^{16}-3^{16} \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4^{32}-3^{32} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4^{64}-3^{64} \right )$
Dari hasil di atas dan bentuk $\left ( 4^{x}-3^{y} \right )$ dapat kita peroleh $x=64$ dan $y=64$.
Catatan Bentuk Akar dan Pembahasan Soal Uji Kompetensi dari Buku Matematika Wajib SMA di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
