Pembahasan Bentuk Akar Soal Uji Kompetensi dari Buku Matematika SMA

Calon Guru belajar matematika dasar SMA lewat Pembahasan Bentuk Akar Soal Uji Kompetensi dari Buku Matematika Wajib SMA Kurikulum 2013. Pada buku matematika wajib saoal ini adalah soal uji kompetensi 1.2, tepatnya dari topik pembahasan bentuk akar.
Pada uji kompetensi tersebut diberikan beberapa soal latihan dan yang kita diskusikan disini adalah dari soal tantangan. Soal-soal yang disajikan pada kurikulum ini banayk mengarah ke soal-soal olimpiade matematika. Seperti sebelumnya soal dan pembahasan uji kompetensi eksponen sudah kita diskusikan, sekarang mari kita mulai berdiskusi tentang bentuk akar.
Soal dan Pembahasan Uji Kompetensi Bentuk Akar Matematika Wajib SMA
1a. Soal Bentuk Akar Matematika SMA
Tentukan nilai dari:
$ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3 \cdots}}}}}}}}$
Alternatif Pembahasan:
Soal diatas agar tidak menyulitkan membacanya coba kita lihat polanya, polanya adalah $ \sqrt[3]{2\sqrt{3}}$ yang ditulis secara berulang menjadi $ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}}}$
dan tanda "$ ...$" maksudnya 'dan seterusnya dengan pola yang berulang'.
Untuk menyelesaikan soal diatas coba kita selesaikan dengan pemisalan, misalkan:
$ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}}}\ =\ a$
Dengan melihat pemisalan diatas, sehingga sekarang kita hanya mencari nilai $ a$, dengan mempangkatkan ruas kiri dan kanan dengan 3, sehingga kita peroleh:
$ 2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}}\ =\ a^{3}$
Lalu ruas kiri dan kanan sama-sama kita bagi dengan 2, sehingga kita peroleh:
$ \sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}}\ =\frac{1}{2} a^{3}$
Selanjutnya ruas kiri dan kanan sama-sama kita pangkatkan dengan 2, sehingga kita peroleh:
$ 3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}\ =\frac{1}{4} a^{6}$
Berikutnya ruas kiri dan kanan sama-sama kita bagi dengan 3, sehingga kita peroleh:
$ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}\ =\frac{1}{12} a^{6}$
Dengan mensubstitusikan nilai $ a$ pada ruas kiri, sehingga bentuknya menjadi:
$ a\ =\frac{1}{12} a^{6}$
$ 1\ =\frac{1}{12} a^{5}$
$ 12\ =\ a^{5}$
$ a=\sqrt[5]{12}$
1b. Soal Bentuk Akar Matematika SMA
Tentukan nilai dari:
$ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\cdots}}}}}}$
Alternatif Pembahasan:
Seperti soal (1a), soal diatas agar tidak menyulitkan membacanya coba kita lihat polanya, polanya adalah $ \sqrt{2}$ yang ditulis secara berulang menjadi $ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}}$
dan tanda "$ ...$" maksudnya 'dan seterusnya dengan pola yang berulang'
Untuk menyelesaikan soal diatas coba kita selesaikan dengan pemisalan, misalkan:
$ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}}\ =\ b$
Dengan melihat pemisalan diatas, sehingga sekarang kita hanya mencari nilai $ b$, dengan mempangkatkan ruas kiri dan kanan dengan 2, sehingga kita peroleh:
$ 2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}\ =\ b^{2}$
Lalu ruas kiri dan kanan sama-sama kita kurang dengan 2, sehingga kita peroleh:
$ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}\ =\ b^{2}-2$
Dengan mensubstitusikan nilai $ b$ pada ruas kiri, sehingga bentuknya menjadi:
$ b\ =\ b^{2}-2$
$ b^{2}-b-2=0$
Bentuk diatas sudah menjadi bentuk persamaan kuadrat, untuk menentukan akar persamaan kuadrat salah satunya dengan cara memfaktorkan sehingga kita peroleh:
$ \left ( b-2 \right )\left ( b+1 \right )=0$
$ b-2=0\ atau\ b+1=0$
$ b+1=0$ sehingga $ b=-1$ tidak memenuhi karena akar kuadrat dari bilangan positif hasilnya adalah bilangan positif.
Hasil dari soal diatas yang memenuhi adalah $ b-2=0$ sehingga $ b=2$
1c. Soal Bentuk Akar Matematika SMA
Tentukan nilai dari:
$ 1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{\cdots}}}}}}}}$
Alternatif Pembahasan:
Soal diatas agar tidak menyulitkan membacanya coba kita lihat polanya, polanya adalah $ 1+\frac{1}{\sqrt{\cdots}}$ yang ditulis secara berulang menjadi
$ 1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{\cdots}}}}}}}}$
dan tanda "$ ...$" maksudnya 'dan seterusnya dengan pola yang berulang'.
Untuk menyelesaikan soal diatas coba kita selesaikan dengan pemisalan, misalkan:
$ \sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{\cdots}}}}}}}}}\ =\ c$
Dengan pemisalan diatas, sehingga kita peroleh:
$ 1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{\cdots}}}}}}}}\ =\ c^2$
sekarang kita hanya mencari nilai $ c^2$,
Bentuk soal dapat kita rubah menjadi
$ 1+\frac{1}{c}=c^2$
$ c+1=c^3$
$ c^3-c-1=0$
Sampai pada langkah ini saya kehabisan kata-kata, langsung saya meminta bantuan kepada wolframalpha dan diperoleh Solusi realnya adalah bilangan irasional dengan pendekatan nilai $ c=1,3247...$
Soal kita membutuhka nilai $ c^2=(1,3247...)^2=1,7548...$
Pemisalan soal dapat juga dilakukan berbeda, penyelesaian soal dapat menjadi;
$ 1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{...}}}}}}}}\ =\ c$
Dengan pemisalan diatas, sehingga kita peroleh:
$ 1+\frac{1}{\sqrt{c}}\ =\ c$
$ \frac{1}{\sqrt{c}}\ =\ c-1$
$ c \sqrt{c} - \sqrt{c} =\ 1$ (lalu dikuadratkan ruas kiri dan ruas kanan)
$ c^3 -2c^2+c=\ 1$
$ c^3 -2c^2+c-1=\ 0$
Sampai pada langkah ini saya kembali kehabisan kata-kata, dan kembali saya meminta bantuan kepada wolframalpha dan diperoleh solusi realnya adalah bilangan irasional dengan pendekatan nilai $ c=1,7549...$
Kata teman (yang saya anggap teman) untuk mencari solusi $ c^3-c-1=0$ atau $ c^3 -2c^2+c-1=\ 0$ dapat diselesaikan dengan 'Metode Cardano' dimana metode ini baru saja saya dengar.
Jika pembaca ada ide lain yang mungkin lebih sederhana terhadap penyelesaian soal ini saya sangat berterimakasih.
2. Soal Bentuk Akar Matematika SMA
Jika $ a,b$ adalah bilangan asli dengan $ a\leq b $ dan $ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}$ adalah bilangan rasional, tentukan pasangan $(a,b)$ (OSN 2005/2006)
Alternatif Pembahasan:
$ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}$ adalah bilangan rasional sehingga dpat kita tuliskan sebuah persamaan;
$ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}=\frac{m}{n}$,
dimana $ a, b, m, n$ adalah bilangan asli serta $ m\ dan\ n$ keduanya relatif prima (FPB dari $ m\ dan\ n$ adalah 1).
$ n\sqrt{3}+n\sqrt{a}=m\sqrt{4}+m\sqrt{b}$
$ n\sqrt{3}+n\sqrt{a}=2m+m\sqrt{b}$
$ n\sqrt{3}-2m=m\sqrt{b}-n\sqrt{a}$
$ \left (n\sqrt{3}-2m \right )^{2}=\left (m\sqrt{b}-n\sqrt{a} \right )^2$
$ 3n^2+4m^2-4mn\sqrt{3}=m^2b+n^2a-2mn\sqrt{ab}$
Karena $ a, b, m, n$ semuanya adalah bilangan asli maka $ 4mn\sqrt{3}=2mn\sqrt{ab}$, sehingga $ \sqrt{ab}=\sqrt{12}$
kemungkinan pasangan $ \left (a,b \right )$ adalah $ \left (1,12 \right ), \left (2,6 \right ), \left (3,4 \right )$
Jika $ a=1\ dan\ b=12$ maka $ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{1}}{\sqrt{4}+\sqrt{12}}=\frac{1}{2}$ (diperoleh hasil bilangan rasional)
Jika $ a=2\ dan\ b=6$ maka $ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{4}+\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ (diperoleh hasil bukan bilangan rasional)
Jika $ a=3\ dan\ b=4$ maka $ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}}{\sqrt{4}+\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (diperoleh hasil bukan bilangan rasional)
Pasangan (a,b) adalah (1,12)
3. Soal Bentuk Akar Matematika SMA
Nyatakan $b$ dalam $a$ dan $c$ dari persamaan $ \frac{\sqrt[3]{b \sqrt{c}}}{\sqrt{c \sqrt[3]{a}}}=abc$
Alternatif Pembahasan:
$ \frac{\sqrt[3]{b \sqrt{c}}}{\sqrt{c \sqrt[3]{a}}}=abc$
$ \frac{\sqrt[3]{b c^\frac{1}{2}}}{\sqrt{c a^\frac{1}{3}}}=abc$
$ \frac{b^{\frac{1}{3}} c^\frac{1}{6}}{c^{\frac{1}{2}} a^\frac{1}{6}}=abc$
$ \frac{b^\frac{1}{3}}{b}=\frac{a\cdot a^\frac{1}{6}\cdot c\cdot c^\frac{1}{2}}{c^\frac{1}{6}}$
$ b^\frac{-2}{3}=a^{1+\frac{1}{6}}\cdot c^{\frac{3}{2}-\frac{1}{6}}$
$ b^\frac{-2}{3}=a^\frac{7}{6}\cdot c^\frac{4}{3}$
$ b=a^\frac{-21}{12}\cdot c^\frac{-12}{6}$
$ b=a^\frac{-7}{4}\cdot c^{-2}$
4. Soal Bentuk Akar Matematika SMA
Sederhanakan bentuk $ \sqrt[4]{49-20\sqrt{6}}$
Alternatif Pembahasan:
$ \sqrt[4]{49-20\sqrt{6}}$
kita coba sederhanakan dengan menggunakan sifat
$ \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{\left(a+b\right)+2\sqrt{ab}}$ atau
$ \sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{\left(a+b\right)-2\sqrt{ab}}$
$ =\sqrt[4]{49-20\sqrt{6}}$
$ =\sqrt{\sqrt{49-2\sqrt{600}}}$
$ =\sqrt{\sqrt{(25+24)-2\sqrt{25\cdot 24}}}$
$ =\sqrt{\sqrt{25}-\sqrt{24}}$
$ =\sqrt{5-2\sqrt{6}}$
$ =\sqrt{(3+2)-2\sqrt{3 \cdot 2}}$
$ =\sqrt{3} -\sqrt{2}$
5. Soal Bentuk Akar Matematika SMA
Tentukan nilai $a$ dan $b$ dari:
$ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{1.000.000}+\sqrt{1.000.001}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mencoba menyelesaikan soal diatas kita coba dengan menyederhanakan beberapa bentuk akar dari soal dengan cara merasionalkan penyebut;
$ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=-\sqrt{2}+\sqrt{3}$
$ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}\times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{\sqrt{3}-\sqrt{4}}=-\sqrt{3}+\sqrt{4}$
$ \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}\times \frac{\sqrt{4}-\sqrt{5}}{\sqrt{4}-\sqrt{5}}=-\sqrt{4}+\sqrt{5}$
$ \vdots $
$ \frac{1}{\sqrt{999.999}+\sqrt{1.000.000}}=-\sqrt{999.999}+\sqrt{1.000.000}$
$ \frac{1}{\sqrt{1.000.000}+\sqrt{1.000.001}}=-\sqrt{1.000.000}+\sqrt{1.000.001}$
Dari bentuk yang sudah disederhanakan diatas jika kita jumlahkan seperti soal, maka soal berubah menjadi;
$ -\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}+ \cdots +\sqrt{1.000.000}-\sqrt{1.000.000}+\sqrt{1.000.001}$
$ = -\sqrt{2}+\sqrt{1.000.001}$
$ = \sqrt{1.000.001} -\sqrt{2}$
dengan melihat hasil akhir dan yang diminta soal adalah $ \sqrt{a} -\sqrt{b}$ maka nilai a adalah 1.000.001 dan b adalah 2
6. Soal Bentuk Akar Matematika SMA
Hitunglah $ \sqrt{54+14\sqrt{5}}+\sqrt{12-2\sqrt{35}}+\sqrt{32-10\sqrt{7}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk meyelesaikan soal ini konsep dasar yang kita pakai sama dengan konsep yang dipakai pada soal nomor 4 yaitu $ \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{\left ( a+b \right )+2\sqrt{ab}}$ atau $ \sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{\left ( a+b \right )-2\sqrt{ab}}$
$ \sqrt{54+14\sqrt{5}}+\sqrt{12-2\sqrt{35}}+\sqrt{32-10\sqrt{7}}$
$ =\sqrt{54+2\sqrt{49\cdot 5}}+\sqrt{12-2\sqrt{7\cdot 5}}+\sqrt{32-2\sqrt{25\cdot 7}}$
$ =\sqrt{49}+\sqrt{5}+\sqrt{7}-\sqrt{5}+\sqrt{25}-\sqrt{7}$
$ =12$
7. Soal Bentuk Akar Matematika SMA
Jika $ \left ( 3+4 \right )\left ( 3^2+4^2 \right )\left ( 3^4+4^4 \right )\left ( 3^8+4^8 \right )\left ( 3^{16}+4^{16} \right )\left ( 3^{32}+4^{32} \right )=\left ( 4^x-3^y \right )$, tentukan nilai $x-y=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$ \left ( 3+4 \right )\left ( 3^2+4^2 \right )\left ( 3^4+4^4 \right )\left ( 3^8+4^8 \right )\left ( 3^{16}+4^{16} \right )\left ( 3^{32}+4^{32} \right )=\left ( 4^x-3^y \right )$
Ruas kiri pada soal diatas dengan tambahan kreativitas dapat kita selesaikan, soal dapat kita rubah bentuk menjadi sebagai berikut;
$\left ( 4+3 \right )\left ( 4^2+3^2 \right )\left ( 4^4+3^4 \right )\left ( 4^8+3^8 \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4-3 \right ) \left ( 4+3 \right )\left ( 4^2+3^2 \right )\left ( 4^4+3^4 \right )\left ( 4^8+3^8 \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4^2-3^2 \right )\left ( 4^2+3^2 \right )\left ( 4^4+3^4 \right )\left ( 4^8+3^8 \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4^4-3^4 \right )\left ( 4^4+3^4 \right )\left ( 4^8+3^8 \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4^8-3^8 \right )\left ( 4^8+3^8 \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4^{16}-3^{16} \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4^{32}-3^{32} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4^{64}-3^{64} \right )$
$ x=64\ dan\ y=64 \Rightarrow x-y=0$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Bentuk Akar dan Pembahasan Soal Uji Kompetensi dari Buku Matematika Wajib SMA Kurikulum 2013 silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊