Pembahasan Bentuk Akar Soal Uji Kompetensi dari Buku Matematika SMA

Soal di atas agar tidak menyulitkan membacanya coba kita lihat polanya, polanya adalah $ \sqrt[3]{2\sqrt{3}}$ yang ditulis secara berulang menjadi $ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}}}$
dan tanda "$ ...$" maksudnya 'dan seterusnya dengan pola yang berulang'.

Untuk menyelesaikan soal di atas coba kita selesaikan dengan pemisalan, misalkan:
$ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}}}\ =\ a$

Dengan melihat pemisalan di atas, sehingga sekarang kita hanya mencari nilai $a$, dengan mempangkatkan ruas kiri dan kanan dengan $3$, sehingga kita peroleh:
$ 2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}}\ =\ a^{3}$.

Lalu ruas kiri dan kanan sama-sama kita bagi dengan $2$, sehingga kita peroleh:
$ \sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}}\ =\dfrac{1}{2} a^{3}$.

Selanjutnya ruas kiri dan kanan sama-sama kita pangkatkan dengan 2, sehingga kita peroleh:
$ 3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}\ =\dfrac{1}{4} a^{6}$.

Berikutnya ruas kiri dan kanan sama-sama kita bagi dengan 3, sehingga kita peroleh:
$ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}\ =\dfrac{1}{12} a^{6}$

Dengan mensubstitusikan nilai $ a$ pada ruas kiri, sehingga bentuknya menjadi:
$\begin{align} a & =\dfrac{1}{12} a^{6} \\ 1 & =\dfrac{1}{12} a^{5} \\ 12 & = a^{5} \\ a & = \sqrt[5]{12} \end{align}$

Seperti soal (1a), soal di atas agar tidak menyulitkan membacanya coba kita lihat polanya, polanya adalah $ \sqrt{2}$ yang ditulis secara berulang menjadi $ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}}$
dan tanda "$ ...$" maksudnya 'dan seterusnya dengan pola yang berulang'

Untuk menyelesaikan soal di atas coba kita selesaikan dengan pemisalan, misalkan:
$ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}}\ =\ b$

Dengan melihat pemisalan di atas, sehingga sekarang kita hanya mencari nilai $ b$, dengan mempangkatkan ruas kiri dan kanan dengan $2$, sehingga kita peroleh:
$ 2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}\ =\ b^{2}$

Lalu ruas kiri dan kanan sama-sama kita kurang dengan $2$, sehingga kita peroleh:
$ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}\ =\ b^{2}-2$

Dengan mensubstitusikan nilai $ b$ pada ruas kiri, sehingga bentuknya menjadi:
$\begin{align} b & = b^{2}-2 \\ b^{2}-b-2 & =0 \\ \left ( b-2 \right )\left ( b+1 \right ) & =0 \\ b-2=0\ \text{atau}\ b+1=0 & \\ b =2\ \text{atau}\ b=-1 & \\ \end{align}$

Dari bentuk di atas kita peroleh $b=-1$ tidak memenuhi karena akar kuadrat dari bilangan positif hasilnya adalah bilangan positif. Sehingga nilai $b$ yang memenuhi adalah $ b=2$

Soal di atas agar tidak menyulitkan membacanya coba kita lihat polanya, polanya adalah $ 1+\dfrac{1}{\sqrt{\cdots}}$ yang ditulis secara berulang menjadi
$ 1+\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{\cdots}}}}}}}}$
dan tanda "$ ...$" maksudnya 'dan seterusnya dengan pola yang berulang'.

Untuk menyelesaikan soal di atas coba kita selesaikan dengan pemisalan, misalkan:
$ \sqrt{1+\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{\cdots}}}}}}}}}\ =\ c$

Dengan pemisalan di atas, sehingga kita peroleh:
$ 1+\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{\cdots}}}}}}}}\ =\ c^{2}$

Sekarang kita hanya mencari nilai $ c^{2}$,
$\begin{align} 1+\dfrac{1}{c} & = c^{2} \\ 1+c & =c^{3} \\ c^{3}-c-1 & =0 \end{align}$

Sampai pada langkah ini kita coba meminta bantuan kepada wolframalpha dan diperoleh Solusi realnya adalah bilangan irasional dengan pendekatan nilai $ c=1,3247...$
Soal kita membutuhkan nilai $ c^2=(1,3247...)^{2}=1,7548...$

alternatif lain, pemisalan soal dapat juga dilakukan berbeda, penyelesaian soal dapat menjadi;
$ 1+\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{...}}}}}}}}\ =\ c$c^3-c-1Dengan pemisalan di atas, sehingga kita peroleh:
$\begin{align} 1+\dfrac{1}{\sqrt{c}} & = c \\ \dfrac{1}{\sqrt{c}} & = c-1 \\ c \sqrt{c} - \sqrt{c} & = 1 \\ c^{3} -2c^{2}+c & = 1 \\ c^{3} -2c^{2}+c-1 & = 0 \end{align}$

Sampai pada langkah ini kembali kita gunakan wolframalpha dan diperoleh solusi realnya adalah bilangan irasional dengan pendekatan nilai $c=1,7549...$

Kata kawanku, untuk mencari solusi $ c^{3}-c-1=0$ atau $ c^{3} -2c^{2}+c-1=\ 0$ dapat diselesaikan dengan 'Metode Cardano' dimana metode ini baru saja saya dengar.

Jika pembaca ada ide lain yang mungkin lebih sederhana terhadap penyelesaian soal ini saya sangat berterimakasih.

$ \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}$ adalah bilangan rasional sehingga dapat kita tuliskan sebuah persamaan;
$ \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}=\dfrac{m}{n}$,
dimana $ a, b, m, n$ adalah bilangan asli serta $m$ dan $n$ keduanya relatif prima (FPB dari $m$ dan $n$ adalah $1$).
$\begin{align} n\sqrt{3}+n\sqrt{a}&=m\sqrt{4}+m\sqrt{b} \\ n\sqrt{3}+n\sqrt{a}&=2m+m\sqrt{b} \\ n\sqrt{3}-2m&=m\sqrt{b}-n\sqrt{a} \\ \left (n\sqrt{3}-2m \right )^{2}&=\left (m\sqrt{b}-n\sqrt{a} \right )^{2} \\ 3n^{2}+4m^{2}-4mn\sqrt{3}&=m^{2}b+n^{2}a-2mn\sqrt{ab} \end{align}$

Karena $ a, b, m, n$ semuanya adalah bilangan asli maka $ 4mn\sqrt{3}=2mn\sqrt{ab}$, sehingga $ \sqrt{ab}=\sqrt{12}$

kemungkinan pasangan $ \left (a,b \right )$ adalah $ \left (1,12 \right ), \left (2,6 \right ), \left (3,4 \right )$

Jika $ a=1$ dan $b=12$ maka $ \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{1}}{\sqrt{4}+\sqrt{12}}=\dfrac{1}{2}$ (diperoleh hasil bilangan rasional)

Jika $ a=2$ dan $b=6$ maka $ \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{4}+\sqrt{6}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ (diperoleh hasil bukan bilangan rasional)

Jika $ a=3$ dan $b=4$ maka $ \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{3}}{\sqrt{4}+\sqrt{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (diperoleh hasil bukan bilangan rasional)

Pasangan $\left(a,b \right)$ adalah $\left(1,12 \right)$

Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar dapat kita peroleh penjabaran seperti berikut ini:
$\begin{align} \dfrac{\sqrt[3]{b \sqrt{c}}}{\sqrt{c \sqrt[3]{a}}} &= abc \\ \dfrac{\sqrt[3]{b c^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{c a^{\frac{1}{3}}}} &=abc \\ \dfrac{b^{\frac{1}{3}} c^{\frac{1}{6}}}{c^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{6}}} &=abc \\ \dfrac{b^{\frac{1}{3}}}{b} &=\dfrac{a\cdot a^{\frac{1}{6}} \cdot c \cdot c^{\frac{1}{2}}}{c^{\frac{1}{6}}} \\ b^{\frac{-2}{3}} &=a^{1+\frac{1}{6}}\cdot c^{\frac{3}{2}-\frac{1}{6}} \\ b^{\frac{-2}{3}} &=a^{\frac{7}{6}} \cdot c^{\frac{4}{3}} \\ b & =a^{\frac{-21}{12}} \cdot c^{\frac{-12}{6}} \\ b & =a^{\frac{-7}{4}} \cdot c^{-2} \end{align}$

Dengan menggunakan sifat bentuk akar yaitu $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{\left(a+b\right)+2\sqrt{ab}}$ atau $\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{\left(a+b\right)-2\sqrt{ab}}$, dapat kita peroleh penjabaran seperti berikut ini:
$\begin{align} & \sqrt[4]{49-20\sqrt{6}} \\ &= \sqrt[4]{49-2 \cdot 10 \sqrt{6}} \\ &= \sqrt{\sqrt{49-2\sqrt{600}}} \\ &= \sqrt{\sqrt{(25+24)-2\sqrt{25\cdot 24}}} \\ &= \sqrt{\sqrt{25}-\sqrt{24}} \\ &= \sqrt{5-2\sqrt{6}} \\ &=\sqrt{(3+2)-2\sqrt{3 \cdot 2}} \\ &=\sqrt{3} -\sqrt{2} \end{align}$

Untuk mencoba menyelesaikan soal di atas kita coba dengan menyederhanakan beberapa bentuk akar dari soal dengan cara merasionalkan penyebut;

$ \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=-\sqrt{2}+\sqrt{3}$

$ \dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} \times \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{\sqrt{3}-\sqrt{4}}=-\sqrt{3}+\sqrt{4}$

$ \dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}=\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}} \times \dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{5}}{\sqrt{4}-\sqrt{5}}=-\sqrt{4}+\sqrt{5}$
$ \vdots $
$ \dfrac{1}{\sqrt{999.999}+\sqrt{1.000.000}}=-\sqrt{999.999}+\sqrt{1.000.000}$

$ \dfrac{1}{\sqrt{1.000.000}+\sqrt{1.000.001}}=-\sqrt{1.000.000}+\sqrt{1.000.001}$

Dari bentuk yang sudah disederhanakan di atas jika kita jumlahkan seperti soal, maka soal berubah menjadi;
$ -\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}+ \cdots +\sqrt{1.000.000}-\sqrt{1.000.000}+\sqrt{1.000.001}$
$ = -\sqrt{2}+\sqrt{1.000.001}$
$ = \sqrt{1.000.001} -\sqrt{2}$

Dari hasil akhir dan yang diminta soal adalah $\sqrt{a} -\sqrt{b}$ maka nilai $a$ adalah $1.000.001$ dan $b$ adalah $2$.

Dengan menggunakan sifat bentuk akar yaitu $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{\left(a+b\right)+2\sqrt{ab}}$ atau $\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{\left(a+b\right)-2\sqrt{ab}}$, dapat kita peroleh penjabaran seperti berikut:
$\begin{align} &\sqrt{54+14\sqrt{5}}+\sqrt{12-2\sqrt{35}}+\sqrt{32-10\sqrt{7}} \\ &=\sqrt{54+2 \cdot 7\sqrt{5}}+\sqrt{12-2\sqrt{35}}+\sqrt{32-2 \cdot 5 \sqrt{7}} \\ &=\sqrt{54+2\sqrt{49\cdot 5}}+\sqrt{12-2\sqrt{7\cdot 5}}+\sqrt{32-2\sqrt{25\cdot 7}} \\ &=\sqrt{49}+\sqrt{5}+\sqrt{7}-\sqrt{5}+\sqrt{25}-\sqrt{7} \\ &=7+ 5 \\ &=12 \end{align}$

Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat dapat kita peroleh penjabaran seperti berikut ini:
$ \left ( 3+4 \right )\left ( 3^{2}+4^{2} \right )\left ( 3^{4}+4^{4} \right )\left ( 3^{8}+4^{8} \right )\left ( 3^{16}+4^{16} \right )\left ( 3^{32}+4^{32} \right )$

Bentuk di atas, dengan sedikit tambahan kreativitas bentuknya dapat kita menjadi sebagai berikut:
$=\left ( 4-3 \right ) \left ( 4+3 \right )\left ( 4^{2}+3^{2} \right )\left ( 4^{4}+3^{4} \right )\left ( 4^{8}+3^{8} \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4^{2}-3^{2}\right )\left ( 4^{2}+3^{2} \right )\left ( 4^{4}+3^{4} \right )\left ( 4^{8}+3^{8} \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4^{4}-3^{4} \right )\left ( 4^{4}+3^{4}\right )\left ( 4^{8}+3^{8} \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4^{8}-3^{8} \right )\left ( 4^{8}+3^{8} \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4^{16}-3^{16} \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4^{32}-3^{32} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4^{64}-3^{64} \right )$
Dari hasil di atas dan bentuk $\left ( 4^{x}-3^{y} \right )$ dapat kita peroleh $x=64$ dan $y=64$.