Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Pertidaksamaan Nilai Mutlak, Sifat-Sifat, Contoh Soal dan Pembahasan Soal Latihan. Catatan pertidaksamaan nilai mutlak ini kelanjutan dari catatan kita sebelumnya persamaan nilai mutlak.
Catatan ini diharapkan dapat membantu siswa dalam mencapai kompetensi dasar "Mengintepretasi Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak dari bentuk linear satu variabel dengan persamaan dan pertidaksamaan linear Aljabar lainnya" atau "Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu variabel."
DEFINISI NILAI MUTLAK
Sebelumnya kita sudah diskusikan Persamaan Nilai Mutlak, Sifat-Sifat, Contoh Soal dan Pembahasan Soal Latihan yang merupakan modal utama kita dalam diskusi pertidaksamaan nilai mutlak ini.
Seperti yang disampaikan sebelumnya untuk $a$ bilangan real, $\left| a \right|$ dibaca nilai mutlak $a$, didefinisikan
$ \left| a \right| =
\left\{\begin{array}{cc}
a,\ \text{untuk}\ a \geq 0 \\
-a,\ \text{untuk}\ a \lt 0
\end{array} \right.$
sedangkan dalam persamaan nilai mutlak dapat dituliskan Jika $a \geq 0$, Maka $\left| f(x) \right|=a \Leftrightarrow\ f(x)=a\ \text{atau}\ f(x)=-a$.
PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK
Untuk bilangan real $x$ dan $a \geq 0$, pertidaksamaan nilai mutlak dapat kita tuliskan $\left| x \right| \neq a$, yang dapat dibagi menjadi empat bagian besar, yaitu $\left| x \right| \lt a$, $\left| x \right| \leq a$, $\left| x \right| \gt a$, atau $\left| x \right| \geq a$
Kita coba analisa satu bentuk yaitu pertidaksamaan $\left| x \right| \lt a$.
Berdasarkan definisi nilai mutlak kita peroleh $\left| x \right|= x$ saat $x \geq 0$ dan $\left| x \right|=-x$ saat $x \lt 0$.
Karena nilai $x$ berada pada dua kemungkinan, sehingga pertidaksamaan $\left| x \right| \lt a$ dapat kita jabarkan menjadi $x \lt a$ dan $x \gt -a $.
Dalam garis bilangan dapat kita gambarkan:
Himpunan penyelesaian dari $\left| x \right| \lt a$ adalah $-a \lt x \lt a$
Contoh: himpunan penyelesaian dari $\left| x \right| \leq 5$ adalah nilai $x$ yang memenuhi untuk $x \lt 5$ dan $x \gt -5$.
Himpunan penyelesaian dari $\left| x \right| \lt 5$ adalah $-5 \lt x \lt 5$
Dari penjabaran sederhana di atas dan untuk pertidaksamaan nilai mutlak bentuk lainnya dapat dilakukan hal yang sama.
Secara umum dapat kita tuliskan, untuk sebuah fungsi $f(x)$ dan $a \geq 0$, bentuk pertidaksamaan nilai mutlak dan himpunan penyelesaiannya sebagai berikut:
- Jika $\left| f(x) \right| \lt a$ maka $-a \lt f(x) \lt a$
- Jika $\left| f(x) \right| \leq a$ maka $-a \leq f(x) \leq a$
- Jika $\left| f(x) \right| \gt a$ maka $f(x) \lt -a$ atau $f(x) \gt a$
- Jika $\left| f(x) \right| \geq a$ maka $f(x) \leq -a$ atau $f(x) \geq a$
Dengan menggunakan sifat $\left| f(x) \right| = f^{2}(x)$ dapat juga dikembaangkan sifat pertidaksamaan nilai mutlak menjadi:
- Jika $\left| f(x) \right| \lt a$ maka $ f^{2}(x) \lt a^{2}$
- Jika $\left| f(x) \right| \leq a$ maka $ f^{2}(x) \leq a^{2}$
- Jika $\left| f(x) \right| \gt a$ maka $ f^{2}(x) \gt a^{2}$
- Jika $\left| f(x) \right| \geq a$ maka $ f^{2}(x) \geq a^{2}$
- Jika $\left| f(x) \right| \lt \left| g(x) \right|$ maka $ f^{2}(x) \lt g^{2}(x)$
- Jika $\left| f(x) \right| \leq \left| g(x) \right|$ maka $ f^{2}(x) \leq g^{2}(x)$
- Jika $\left| f(x) \right| \gt \left| g(x) \right|$ maka $ f^{2}(x) \gt g^{2}(x)$
- Jika $\left| f(x) \right| \geq \left| g(x) \right|$ maka $ f^{2}(x) \geq g^{2}(x)$
Sifat pertidaksamaan nilai mutlak dalam bentuk pecahan
$ \begin{align}
\dfrac{\left| f(x) \right|}{\left| g(x) \right|} & \lt a \\
\left| f(x) \right| & \lt a \cdot \left| g(x) \right| \\
\left| f(x) \right|- a \cdot \left| g(x) \right| & \lt 0 \\
f^{2}(x) - a \cdot g^{2}(x) & \lt 0 \\
\left[ f(x) + \sqrt{a} \cdot g(x) \right] \left[ f(x) - \sqrt{a} \cdot g(x) \right] & \lt 0 \\
\hline
\dfrac{\left| f(x) \right|}{\left| g(x) \right|} & \gt a \\
\left| f(x) \right| & \gt a \cdot \left| g(x) \right| \\
\left| f(x) \right|- a \cdot \left| g(x) \right| & \gt 0 \\
f^{2}(x) - a \cdot g^{2}(x) & \gt 0 \\
\left[ f(x) + \sqrt{a} \cdot g(x) \right] \left[ f(x) - \sqrt{a} \cdot g(x) \right] & \gt 0 \\
\end{align} $
Pada pertidaksamaan ini dapat dilakukan perkalian silang karena pada bentuk ini nilai penyebut lebih dari nol sehingga untuk semua nilai $x$ tidak akan merubah tanda pertidaksamaan.
Soal Latihan dan Pembahasan Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Untuk lebih mantap lagi dalam menggunakan beberapa sifat-sifat pertidaksamaan nilai mutlak dalam menyelesaikan soal, diharapkan kita sudah bisa menggunakan beberapa sifat-sifat pertidaksamaan secara umum. Mari kita coba simak beberapa soal latihan berikut:
1. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi $\left| 3x-6 \right| \leq 18$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \leq -8\ \text{atau}\ x \geq 4 \\
(B)\ & -8\ \leq x \leq 4 \\
(C)\ & x \leq -4\ \text{atau}\ x \geq 8 \\
(D)\ & -4\ \leq x \leq 8 \\
(E)\ & 4\ \leq x \leq 8 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \leq a$ maka $-a \leq f(x) \leq a$
$ \begin{align}
\left| 3x-6 \right| & \leq 18 \\
-18 \leq 3x-6 & \leq 18 \\
-18+6 \leq 3x-6+6 & \leq 18+6 \\
-12 \leq 3x & \leq 24 \\
-12 \cdot \dfrac{1}{3} \leq 3x \cdot \dfrac{1}{3} & \leq 24 \cdot \dfrac{1}{3} \\
-4 \leq x & \leq 8 \\
\end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \leq a$ maka $f^{2}(x) \leq a^{2}$
$\begin{align}
\left| 3x-6 \right| & \leq 18 \\
\left( 3x-6 \right)^{2} & \leq 18^{2} \\
\left( x-2 \right)^{2} & \leq 6^{2} \\
x^{2}-4x+4 & \leq 36 \\
x^{2}-4x-32 & \leq 0 \\
\left(x-8 \right) \left(x+4 \right) & \leq 0 \\
-4 \leq x \leq 8 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -4 \leq x \leq 8$
2. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi $\left| 5x+2 \right| \leq 4$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \leq -6\ \text{atau}\ x \geq 2 \\
(B)\ & -6\ \leq x \leq 2 \\
(C)\ & x \leq -\frac{6}{5}\ \text{atau}\ x \geq -\frac{2}{5} \\
(D)\ & -\frac{6}{5}\ \leq x \leq \frac{2}{5} \\
(E)\ & \frac{2}{5}\ \leq x \leq 6 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \leq a$ maka $-a \leq f(x) \leq a$
$ \begin{align}
\left| 5x+2 \right| & \leq 4 \\
-4 \leq 5x+2 & \leq 4 \\
-4-2 \leq 5x+2-2 & \leq 4-2 \\
-6 \leq 5x & \leq 2 \\
-6 \cdot \dfrac{1}{5} \leq 5x \cdot \dfrac{1}{5} & \leq 2 \cdot \dfrac{1}{5} \\
-\dfrac{6}{5} \leq x & \leq \dfrac{2}{5} \\
\end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \leq a$ maka $f^{2}(x) \leq a^{2}$
$\begin{align}
\left| 5x+2 \right| & \leq 4 \\
\left( 5x+2 \right)^{2} & \leq 4^{2} \\
25x^{2}+20x+4 & \leq 16 \\
25x^{2}+20x-12 & \leq 0 \\
\left(5x+6 \right) \left(5x-2 \right) & \leq 0 \\
-\dfrac{6}{5} \leq x \leq \dfrac{2}{5} & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\frac{6}{5}\ \leq x \leq \frac{2}{5} $
3. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi $\left| 2x+5 \right| \gt 7$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \lt -6\ \text{atau}\ x \gt 1 \\
(B)\ & -6\ \lt x \lt 1 \\
(C)\ & x \leq -5\ \text{atau}\ x \gt 2 \\
(D)\ & -5\ \lt x \lt 2 \\
(E)\ & 4\ \lt x \lt 6 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \gt a$ maka $f(x) \lt -a$ atau $f(x) \gt a$
$ \begin{align}
\left| 2x+5 \right| & \gt 7 \\
2x+5 \lt -7\ \text{atau}\ & 2x+5 \gt 7 \\
2x \lt -7-5\ \text{atau}\ & 2x \gt 7-5 \\
2x \lt -12\ \text{atau}\ & 2x \gt 2 \\
x \lt -\frac{12}{2} \ \text{atau}\ & x \gt \frac{2}{2} \\
x \lt -6 \ \text{atau}\ & x \gt 1 \\
\end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \gt a$ maka $f^{2}(x) \gt a^{2}$
$\begin{align}
\left| 2x+5 \right| & \gt 7 \\
\left( 2x+5 \right)^{2} & \gt 7^{2} \\
4x^{2}+20x+25 & \gt 49 \\
4x^{2}+20x-24 & \gt 0 \\
x^{2}+5x-6 & \gt 0 \\
\left(x+6 \right) \left(x-1 \right) & \gt 0 \\
x \lt -6 \ \text{atau}\ & x \gt 1 \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x \lt -6 \ \text{atau}\ x \gt 1$
4. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi $\left| 4x-6 \right| \gt 8$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 6 \\
(B)\ & -2\ \lt x \lt 6 \\
(C)\ & x \lt -\frac{1}{2}\ \text{atau}\ x \gt \frac{7}{2} \\
(D)\ & -\frac{1}{2}\ \lt x \lt \frac{7}{2} \\
(E)\ & 2\ \lt x \lt 8 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \gt a$ maka $f(x) \lt -a$ atau $f(x) \gt a$
$ \begin{align}
\left| 4x-6 \right| & \gt 8 \\
4x-6 \lt -8\ \text{atau}\ & 4x-6 \gt 8 \\
4x \lt -8+6\ \text{atau}\ & 4x \gt 8+5 \\
4x \lt -2\ \text{atau}\ & 4x \gt 14 \\
x \lt \frac{-2}{4}\ \text{atau}\ & x \gt \frac{4}{14} \\
x \lt -\frac{1}{2}\ \text{atau}\ & x \gt \frac{2}{7} \\
\end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \gt a$ maka $f^{2}(x) \gt a^{2}$
$\begin{align}
\left| 4x-6 \right| & \gt 8 \\
\left| 2x-3 \right| & \gt 4 \\
\left( 2x-3 \right)^{2} & \gt 4^{2} \\
4x^{2}-12x+9 & \gt 16 \\
4x^{2}-12x-7 & \gt 0 \\
\left(2x+1 \right) \left(2x-7 \right) & \gt 0 \\
x \lt -\frac{1}{2}\ \text{atau}\ & x \gt \frac{2}{7} \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x \lt -\frac{1}{2}\ \text{atau}\ x \gt \frac{2}{7}$
5. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi $\left| 8-2x \right| \lt 6$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt -7 \\
(B)\ & -7\ \lt x \lt -1 \\
(C)\ & x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 7 \\
(D)\ & 1\ \lt x \lt 7 \\
(E)\ & 1\ \lt x \lt 8 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \lt a$ maka $-a \lt f(x) \lt a$
$ \begin{align}
\left| 8-2x \right| & \lt 6 \\
-6 \lt 8-2x & \lt 6 \\
-6-8 \lt 8-2x-8 & \lt 6-8 \\
-14 \lt -2x & \lt -2 \\
-14 \cdot \dfrac{-1}{2} \gt 2x \cdot \dfrac{-1}{2} & \gt -2 \cdot \dfrac{-1}{2} \\
7 \gt x & \gt 1 \\
1 \lt x & \lt 7 \\
\end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \lt a$ maka $f^{2}(x) \lt a^{2}$
$\begin{align}
\left| 8-2x \right| & \lt 6 \\
\left( 8-2x \right)^{2} & \lt 6^{2} \\
\left( 4-x \right)^{2} & \lt 3^{2} \\
x^{2}-8x+16 & \lt 9 \\
x^{2}-8x+7 & \lt 0 \\
\left(x-1 \right) \left(x-7 \right) & \lt 0 \\
1 \lt x \lt 7 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1\ \lt x \lt 7$
6. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi $\left| 6-3x \right| \lt 12$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 6 \\
(B)\ & -2\ \lt x \lt 6 \\
(C)\ & x \lt -6\ \text{atau}\ x \gt 2 \\
(D)\ & -6\ \lt x \lt 2 \\
(E)\ & 2\ \lt x \lt 6 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \lt a$ maka $-a \lt f(x) \lt a$
$ \begin{align}
\left| 6-3x \right| & \lt 12 \\
-12 \lt 6-3x & \lt 12 \\
-12-6 \lt 6-3x-6 & \lt 12-6 \\
-18 \lt -3x & \lt 6 \\
-18 \cdot \dfrac{-1}{3} \gt 3x \cdot \dfrac{-1}{3} & \gt 6 \cdot \dfrac{-1}{3} \\
6 \gt x & \gt -2 \\
-2 \lt x & \lt 6 \\
\end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \lt a$ maka $f^{2}(x) \lt a^{2}$
$\begin{align}
\left| 6-3x \right| & \lt 12 \\
\left( 6-3x \right)^{2} & \lt 12^{2} \\
\left( 2-x \right)^{2} & \lt 4^{2} \\
x^{2}-4x+4 & \lt 16 \\
x^{2}-4x12 & \lt 0 \\
\left(x-6 \right) \left(x+2 \right) & \lt 0 \\
-2 \lt x \lt 6 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -2 \lt x \lt 6$
7. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi $\left| x-6 \right| \leq 9$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -3\ \leq x \leq 15 \\
(B)\ & -2\ \leq x \leq 8 \\
(C)\ & x \leq -3\ \text{atau}\ x \geq 15 \\
(D)\ & 4\ \leq x \leq 12 \\
(E)\ & x \leq -2\ \text{atau}\ x \geq 8 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \leq a$ maka $-a \leq f(x) \leq a$
$ \begin{align}
\left| x-6 \right| & \leq 9 \\
-9 \leq x-6 & \leq 9 \\
-9+6 \leq x-6+6 & \leq 9+6 \\
-3 \leq x & \leq 15 \\
\end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \leq a$ maka $f^{2}(x) \leq a^{2}$
$\begin{align}
\left| x-6 \right| & \leq 9 \\
\left( x-6 \right)^{2} & \leq 9^{2} \\
x^{2}-12x+36 & \leq 81 \\
x^{2}-12x-45 & \leq 0 \\
\left(x-15 \right) \left(x+3 \right) & \leq 0 \\
-3 \leq x \leq 15 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3\ \leq x \leq 15$
8. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi $\left| x+2 \right| \gt 4$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2\ \lt x \lt 5 \\
(B)\ & -6\ \lt x \lt 2 \\
(C)\ & x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 5 \\
(D)\ & 3\ \lt x \lt 10 \\
(E)\ & x \lt -6\ \text{atau}\ x \gt 2 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \gt a$ maka $f(x) \lt -a$ atau $f(x) \gt a$
$ \begin{align}
\left| x+2 \right| & \gt 4 \\
x+2 \lt -4\ \text{atau}\ & x+2 \gt 4 \\
x \lt -4-2\ \text{atau}\ & x \gt 4-2 \\
x \lt -6\ \text{atau}\ & x \gt 2 \\
\end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \gt a$ maka $f^{2}(x) \gt a^{2}$
$\begin{align}
\left| x+2 \right| & \gt 4 \\
\left( x+2 \right)^{2} & \gt 4^{2} \\
x^{2}+4x+4 & \gt 16 \\
x^{2}+4x-12 & \gt 0 \\
\left(x+6 \right) \left(x-2 \right) & \gt 0 \\
x \lt -6\ \text{atau}\ & x \gt 2 \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x \lt -6\ \text{atau}\ x \gt 2$
9. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Dalam rangka menjamin kelancaran lalu lintas arus mudik lebaran, Departemen Perhubungan mengeluarkan kebijakan kendaraan berat tidak diperkenankan melalui jalan umum pada $3$ hari sebelum dan sesudah lebaran hari pertama. Jika $x$ menyatakan tanggal lebaran hari pertama dan $h$ merupakan tanggal larangan kendaraan berat melalui jalan umum. Jika $x$ dan $h$ berada pada bulan yang sama, maka hubungan $x$ dan $h$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left| h-x \right| \lt 3 \\
(B)\ & \left| x-3 \right| \lt h \\
(C)\ & \left| h-x \right| \gt 3 \\
(D)\ & \left| x-3 \right| \gt h \\
(E)\ & \left| x+3 \right| \lt h \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Kendaraan berat tidak diperkenankan melalui jalan umum pada $3$ hari sebelum dan sesudah lebaran hari pertama. Sehingga dengan $x$ menyatakan tanggal lebaran hari pertama dan $h$ merupakan tanggal larangan kendaraan berat melalui jalan umum maka dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
x-3\ \lt h & \lt x+3 \\
x-3-x\ \lt h-x & \lt x+3-x \\
-3 \ \lt h-x & \lt 3 \\
\left| h-x \right| & \lt 3 \\
\end{align} $
Misal tanggal lebaran hari pertama $(x)$ tanggal $12$.
Tanggal larangan kendaraan berat lewat $(h)$ tanggal $12-3=9$ sampai tanggal $12+3=15$, atau dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
12-3\ \lt h & \lt 12+3 \\
9\ \lt h & \lt 15 \\
\end{align} $
Sebagai catatan: perhitungan ini akan berbeda ketika tanggal awal lebaran di awal bulan atau di akhir bulan yang mengakibatkan $h$ dan $x$ berada pada bulan yang berbeda.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left| h-x \right| \lt 3$
10. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Kecepatan kendaraan pada jalan tol ditetapkan dengan rumus $\left| v – 80 \right| ≤ 15$ dengan $v$ menyatakan kecepatan dalam kilometer per jam. Batas kecepatan terendah dan tertinggi yang diijinkan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \text{Batas tertinggi}\ 90\ \text{dan}\ \text{batas terendah}\ 70 \\
(B)\ & \text{Batas tertinggi}\ 100\ \text{dan}\ \text{batas terendah}\ 75 \\
(C)\ & \text{Batas tertinggi}\ 95\ \text{dan}\ \text{batas terendah}\ 65 \\
(D)\ & \text{Batas tertinggi}\ 90\ \text{dan}\ \text{batas terendah}\ 75 \\
(E)\ & \text{Batas tertinggi}\ 95\ \text{dan}\ \text{batas terendah}\ 70 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Kecepatan kendaraan pada jalan tol ditetapkan dengan rumus $\left| v – 80 \right| ≤ 15$. Dengan sifat $\left| f(x) \right| \leq a$ maka $-a \leq f(x) \leq a$ dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
\left| v-80 \right| & \leq 15 \\
-15 \leq v-80 & \leq 15 \\
-15+80 \leq v-80+80 & \leq 15+80 \\
65 \leq v & \leq 95 \\
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \text{Batas tertinggi}\ 95\ \text{dan}\ \text{batas terendah}\ 65$
11. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Produk-produk industri biasanya tidak dapat menjamin ukuran dengan tepat. Ada toleransi kesalahan ukuran yang diijinkan. Sebagai contoh, jika sebuah kaleng alumunium memiliki diameter $8$ cm, maka produk yang diterima berada pada interval $7,9$ sampai $8,1$ cm. Jika maksimum kesalahan diameter $d$ suatu kaleng dibatasi maksimum $0,02$ mm, nyatakan dalam bentuk pertidaksamaan mutlak.
$\begin{align}
(A)\ & \left| d-0,02 \right| \geq 8 \\
(B)\ & \left| d-8 \right| \geq 0,02 \\
(C)\ & \left| d-0,02 \right| \leq 8 \\
(D)\ & \left| d-8 \right| \gt 0,02 \\
(E)\ & \left| d+0,02 \right| \lt 8 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Toleransi kesalahan ukuran diameter $d$ kaleng dibatasi maksimum $0,02$ mm, sehingga dengan diameter $8$ dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
8-0,02\ \leq d & \leq 8+0,02 \\
8-0,02-8\ \leq d-8 & \leq 8+0,02-8 \\
-0,02 \ \leq d-8 & \leq 0,02 \\
\left| d-8 \right| & \leq 0,02 \\
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left| d-8 \right| \leq 0,02$
12. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left| x-12 \right| \lt 5$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2\ \lt x \lt 7 \\
(B)\ & 2\ \lt x \lt 5 \\
(C)\ & x \lt 2\ \text{atau}\ x \gt 5 \\
(D)\ & 7\ \lt x \lt 17 \\
(E)\ & x \lt 7 \text{atau}\ x \gt 17 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \lt a$ maka $-a \lt f(x) \lt a$
$ \begin{align}
\left| x-12 \right| & \lt 5 \\
-5 \lt x-12 & \lt 5 \\
-5+12 \lt x-12+12 & \lt 5+12 \\
7 \lt x & \lt 17 \\
\end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \lt a$ maka $f^{2}(x) \lt a^{2}$
$\begin{align}
\left| x-12 \right| & \lt 5 \\
\left( x-12 \right)^{2} & \lt 5^{2} \\
x^{2}-24x+144 & \lt 25 \\
x^{2}-24x+119 & \lt 0 \\
\left(x-7 \right) \left(x-17 \right) & \lt 0 \\
7 \lt x \lt 17 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 7\ \lt x \lt 17$
13. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left| 3x+7 \right| \geq 11$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -\frac{4}{3}\ \leq x \leq 6 \\
(B)\ & -6\ \leq x \leq \frac{4}{3} \\
(C)\ & x \leq -6\ \text{atau}\ x \geq \frac{4}{3} \\
(D)\ & \frac{4}{3}\ \lt x \lt 6 \\
(E)\ & x \leq -\frac{4}{3}\ \text{atau}\ x \geq 6 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \geq a$ maka $f(x) \leq -a$ atau $f(x) \geq a$
$ \begin{align}
\left| 3x+7\right| & \geq 11 \\
3x+7 \leq -11\ \text{atau}\ & 3x+7 \geq 11 \\
3x \leq -11-7\ \text{atau}\ & 3x \geq 11-7 \\
3x \leq -18\ \text{atau}\ & 3x \geq 4 \\
x \leq -\frac{18}{3}\ \text{atau}\ & x \geq \frac{4}{3} \\
x \leq -6\ \text{atau}\ & x \geq \frac{4}{3} \\
\end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \geq a$ maka $f^{2}(x) \geq a^{2}$
$\begin{align}
\left| 3x+7 \right| & \geq 11 \\
\left( 3x+7 \right)^{2} & \geq 11^{2} \\
9x^{2}+42x+49 & \geq 121 \\
9x^{2}+42x-72 & \geq 0 \\
3x^{2}+14x-24 & \geq 0 \\
\left(3x-4 \right) \left(x+6 \right) & \geq 0 \\
x \leq -6\ \text{atau}\ & x \geq \frac{4}{3} \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x \leq -6\ \text{atau}\ x \geq \frac{4}{3}$
14. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left| 5-2x \right| \gt 9$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2\ \lt x \lt 7 \\
(B)\ & -7\ \lt x \lt 2 \\
(C)\ & x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 7 \\
(D)\ & -3\ \lt x \lt 5 \\
(E)\ & x \lt -7\ \text{atau}\ x \gt 2 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \gt a$ maka $f(x) \lt -a$ atau $f(x) \gt a$
$ \begin{align}
\left| 5-2x \right| & \gt 9 \\
5-2x \lt -9\ \text{atau}\ & 5-2x \gt 9 \\
-2x \lt -9-5\ \text{atau}\ & -2x \gt 9-5 \\
-2x \lt -14\ \text{atau}\ & -2x \gt 4 \\
x \gt -\frac{14}{-2}\ \text{atau}\ & x \lt \frac{4}{-2} \\
x \gt 7\ \text{atau}\ & x \lt -2 \\
\end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \gt a$ maka $f^{2}(x) \gt a^{2}$
$\begin{align}
\left| 5-2x \right| & \gt 9 \\
\left( 5-2x \right)^{2} & \gt 9^{2} \\
4x^{2}-20x+25 & \gt 81 \\
4x^{2}-20x+25 & \gt 81 \\
4x^{2}-20x-56 & \gt 0 \\
x^{2}-5x-14 & \gt 0 \\
\left(x-7 \right) \left(x+2 \right) & \gt 0 \\
x \gt 7\ \text{atau}\ & x \lt -2 \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 7$
15. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left| 7-4x \right| \leq 3$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -\frac{5}{2}\ \leq x \leq 1 \\
(B)\ & -1\ \leq x \leq \frac{5}{2} \\
(C)\ & x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq \frac{5}{2} \\
(D)\ & 1\ \leq x \leq \frac{5}{2} \\
(E)\ & x \leq -\frac{5}{2}\ \text{atau}\ x \geq 1 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \leq a$ maka $-a \leq f(x) \leq a$
$ \begin{align}
\left| 7-4x \right| & \leq 3 \\
-3 \leq 7-4x & \leq 3 \\
-3-7 \leq 7-4x-7 & \leq 3-7 \\
-10 \leq -4x & \leq -4 \\
-10 \cdot \frac{-1}{4} \geq -4x \cdot \frac{-1}{4} & \geq -4 \cdot \frac{-1}{4} \\
\frac{5}{2} \geq x & \geq 1 \\
1 \leq x & \leq \frac{5}{2} \\
\end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \leq a$ maka $f^{2}(x) \leq a^{2}$
$\begin{align}
\left| 7-4x \right| & \leq 3 \\
\left( 7-4x \right)^{2} & \leq 3^{2} \\
16x^{2}-56x+49 & \leq 9 \\
16x^{2}-56x+40 & \leq 0 \\
2x^{2}-7x+5 & \leq 0 \\
\left(2x-5 \right) \left(x-1 \right) & \leq 0 \\
1 \leq x \leq \frac{5}{2} & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1 \leq x \leq \frac{5}{2}$
16. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left| x+1 \right| \gt \left| 3x-5 \right|$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -1\ \leq x \leq 3 \\
(B)\ & 1\ \leq x \leq 3 \\
(C)\ & x \leq 1\ \text{atau}\ x \geq 3 \\
(D)\ & -3\ \leq x \leq 5 \\
(E)\ & x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 3 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba gunakan sifat $\left| f(x) \right| \gt \left| g(x) \right|$ maka $ f^{2}(x) \gt g^{2}(x)$
$ \begin{align}
\left| x+1 \right| & \gt \left| 3x-5 \right| \\
\left( x+1 \right)^{2} & \gt \left( 3x-5 \right)^{2} \\
x^{2}+2x+1 & \gt 9x^{2}-30x+25 \\
-8x^{2}+32x-24 & \gt 0 \\
x^{2}-4x+3 & \lt 0 \\
\left(x-3 \right) \left(x-1 \right) & \leq 0 \\
1 \leq x \leq 3 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1\ \leq x \leq 3$
17. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left| x^{2}-x-10 \right| \leq 10$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0\ \leq x \leq 1\ \text{atau}\ 4\ \leq x \leq 5 \\
(B)\ & x\ \leq -2\ \text{atau}\ 3\ \leq x \leq 5\ \text{atau}\ x \gt 8 \\
(C)\ & -2\ \leq x \leq 3\ \text{atau}\ 5\ \leq x \leq 8 \\
(D)\ & -4\ \leq x \leq 0\ \text{atau}\ 1\ \leq x \leq 5 \\
(E)\ & x\ \leq -4\ \text{atau}\ 0\ \leq x \leq 1\ \text{atau}\ x \gt 3 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba gunakan sifat $\left| f(x) \right| \leq a$ maka $ -a \leq f(x) \leq a $
$ \begin{align}
\left| x^{2}-x-10 \right| & \leq 10 \\
-10 \leq x^{2}-x-10 & \leq 10 \\
\end{align}$
Pertidaksamaan kuadrat kita kerjakan dalam dua bagian yaitu:
$ \begin{align}
x^{2}-x-10 & \leq 10 \\
x^{2}-x-10-10 & \leq 0 \\
x^{2}-x-20 & \leq 0 \\
\left(x-5 \right) \left(x+4 \right) & \leq 0 \\
-4 \leq x \leq 5 & \\
\hline
x^{2}-x-10 & \geq -10 \\
x^{2}-x-10+10 & \geq 0 \\
x^{2}-x & \geq 0 \\
x\ \left(x-1 \right) & \geq 0 \\
x \leq 0\ \text{atau}\ x \geq 1 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
Himpunan penyelesaian atau nilai $x$ yang memenuhi adalah irisan dari $-4 \leq x \leq 5$ dan $x \leq 0\ \text{atau}\ x \geq 1$ adalah $-4\ \leq x \leq 0$ atau $1\ \leq x \leq 5$. Dalam garis bilangan ilustrasinya seperti berikut ini:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -4\ \leq x \leq 0\ \text{atau}\ 1\ \leq x \leq 5$
18. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left| x^{2}-6x-4 \right| \gt 12$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2\ \lt x \lt 4 \\
(B)\ & x\ \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 8 \\
(C)\ & -2\ \lt x \lt 2\ \text{atau}\ 4\ \lt x \lt 8 \\
(D)\ & x \lt -2\ \text{atau}\ 2\ \lt x \lt 4\ \text{atau}\ x \gt 8 \\
(E)\ & \text{tidak ada nilai}\ x\ \text{yang memenuhi} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba gunakan sifat $\left| f(x) \right| \gt a$ maka $f(x) \lt -a$ atau $f(x) \gt a$
$ \begin{align}
\left| x^{2}-6x-4 \right| & \gt 12 \\
x^{2}-6x-4 \lt -12\ \text{atau}\ & x^{2}-6x-4 \gt 12 \\
\end{align}$
Pertidaksamaan kuadrat kita kerjakan dalam dua bagian yaitu:
$ \begin{align}
x^{2}-6x-4 & \lt -12 \\
x^{2}-6x-4+12 & \lt 0 \\
x^{2}-6x+8 & \lt 0 \\
\left(x-2 \right) \left(x-4 \right) & \lt 0 \\
2 \lt x \lt 4 & \\
\hline
x^{2}-6x-4 & \gt 12 \\
x^{2}-6x-4-12 & \gt 0 \\
x^{2}-6x-16 & \gt 0 \\
\left(x-8 \right)\left(x+2 \right) & \gt 0 \\
x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 8 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
Himpunan penyelesaian atau nilai $x$ yang memenuhi adalah gabungan dari $2 \lt x \lt 4$ dan $x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 8$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x \lt -2\ \text{atau}\ 2\ \lt x \lt 4\ \text{atau}\ x \gt 8$
19. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left| x^{2}-4 \right| \lt 4$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2\sqrt{2}\ \lt x \lt 2\sqrt{2} \\
(B)\ & x\ \lt -2\sqrt{2}\ \text{atau}\ x \gt 2\sqrt{2} \\
(C)\ & 0\ \lt x \lt 2\sqrt{2} \\
(D)\ & x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 2\sqrt{2} \\
(E)\ & -2\sqrt{2}\ \lt 2\sqrt{2}\ \text{dan}\ x \neq 0 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba gunakan sifat $\left| f(x) \right| \lt a$ maka $ -a \lt f(x) \lt a $
$ \begin{align}
\left| x^{2}-4 \right| & \lt 4 \\
-4 \lt x^{2}-4 & \lt 4 \\
\end{align}$
Pertidaksamaan kuadrat kita kerjakan dalam dua bagian yaitu:
$ \begin{align}
x^{2}-4 & \lt 4 \\
x^{2}-8 & \lt 0 \\
\left(x-2\sqrt{2} \right) \left(x+2\sqrt{2} \right) & \lt 0 \\
-2\sqrt{2} \lt x \lt 2\sqrt{2} & \\
\hline
x^{2}-4 & \gt -4 \\
x^{2} & \gt 0 \\
x \neq 0 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
Himpunan penyelesaian atau nilai $x$ yang memenuhi adalah irisan dari $-2\sqrt{2} \lt x \lt 2\sqrt{2}$ dan $x \neq 0$ adalah $-2\sqrt{2} \lt x \lt 2\sqrt{2}$ dan $x \neq 0$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -2\sqrt{2}\ \lt 2\sqrt{2}\ \text{dan}\ x \neq 0$
20. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left| \dfrac{3}{2x-1} \right| \gt 1$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -1 \lt x \lt \frac{1}{2}\ \text{atau}\ \gt 2 \\
(B)\ & x\ \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 2 \\
(C)\ & -1 \lt x \lt \frac{1}{2}\ \text{atau}\ \frac{1}{2} \lt x \lt 2 \\
(D)\ & -1 \lt x \lt 2 \\
(E)\ & x \lt -1\ \text{atau}\ \frac{1}{2} \lt x \lt 2 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba gunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak dan manipulasi aljabar seperti berikut.
Agar pecahan $\left| \dfrac{3}{2x-1} \right|$ terdefinisi atau sederhananya mempunyai nilai, maka $2x-1 \neq 0$ atau $x \neq \frac{1}{2}$.
$ \begin{align}
\left| \dfrac{3}{2x-1} \right| & \gt 1 \\
\left| 3 \right| & \gt \left| 2x-1 \right| \\
3^{2} & \gt \left( 2x-1 \right)^{2} \\
9 & \gt 4x^{2}-4x+1 \\
0 & \gt 4x^{2}-4x-8 \\
0 & \gt x^{2}- x-2 \\
0 & \gt \left( x-2 \right) \left(x+1 \right) \\
& -1 \lt x \lt 2 \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
Himpunan penyelesaian atau nilai $x$ yang memenuhi adalah $-1 \lt x \lt 2$ dan $x \neq \frac{1}{2}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -1 \lt x \lt \frac{1}{2}\ \text{atau}\ \frac{1}{2} \lt x \lt 2$
21. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left| 2x-1 \right|^{2} \gt 6 \left| 2x-1 \right| + 7$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -4 \lt x \lt 3 \\
(B)\ & -3 \lt x \lt 4 \\
(C)\ & x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 4 \\
(D)\ & 2 \lt x \lt 5 \\
(E)\ & x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 3 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba dengan manipulasi aljabar memisalkan $\left| 2x-1 \right|=p$, sehingga dapat kita tuliskan
$ \begin{align}
\left| 2x-1 \right|^{2} & \gt 6 \left| 2x-1 \right| + 7 \\
p^{2} & \gt 6p + 7 \\
p^{2}-6p-7 & \gt 0 \\
\left( p-7 \right)\left( p+1 \right) & \gt 0 \\
p \lt -1\ \text{atau}\ p \gt 7 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
Dari nilai $p$ yang kita peroleh di atas, $p \lt -1$ tidak memenuhi karena $p \geq 0$, sehingga nilai yang kita pakai adalah $p \gt 7$.
Kita kembalikan nilai $p=\left| 2x-1 \right|$, maka dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
\left| 2x-1 \right| & \gt 7 \\
2x-1 \lt -7\ \text{atau}\ & 2x-1 \gt 7 \\
2x \lt -7+1\ \text{atau}\ & 2x \gt 7+1 \\
2x \lt -6\ \text{atau}\ & 2x \gt 8 \\
x \lt -3\ \text{atau}\ & x \gt 4 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 4 $
22. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left| x+2 \right| \gt \left| x+2 \right|^{2} - 6$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -1 \lt x \lt 5 \\
(B)\ & -5 \lt x \lt 1 \\
(C)\ & x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 5 \\
(D)\ & 2 \lt x \lt 6 \\
(E)\ & x \lt -5\ \text{atau}\ x \gt 1 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba dengan manipulasi aljabar memisalkan $\left| x+2 \right|=p$, sehingga dapat kita tuliskan
$ \begin{align}
\left| x+2 \right| & \gt \left| x+2 \right|^{2} - 6 \\
p & \gt p^{2} - 6 \\
0 \gt & p^{2} -p -6 \\
0 \gt & \left( p-3 \right)\left( p+1 \right) \\
-1 \lt p \lt 3 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
Dari nilai $p$ yang kita peroleh di atas, $p \gt -1$ sudah pasti maka tidak perlu kita hitung lagi karena $p \geq 0$. Nilai yang kita pakai adalah $p \lt 3$ dan kita kembalikan nilai $p=\left| 2x-1 \right|$ semula, maka dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
\left| x+2 \right| & \lt 3 \\
-3 \lt x+2 & \lt 3 \\
-3-2 \lt x & \lt 3-2 \\
-5 \lt x & \lt 1 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -5 \lt x \lt 1$
23. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Penyelesaian dari pertidaksamaan $\left| x^{2}- x-1 \right| \gt 1$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \lt 1\ \text{atau}\ -1\ \lt x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 1 \\
(B)\ & x \lt -1\ \text{atau}\ 0\ \lt x \lt 2\ \text{atau}\ x \gt 2 \\
(C)\ & x \lt -1\ \text{atau}\ -1\ \lt x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 2 \\
(D)\ & x \lt -1\ \text{atau}\ 0\ \lt x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 1 \\
(E)\ & x \lt -1\ \text{atau}\ 0\ \lt x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 2 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba gunakan sifat $\left| f(x) \right| \gt a$ maka $f(x) \lt -a$ atau $f(x) \gt a$
$ \begin{align}
\left| x^{2}- x-1 \right| & \gt 1 \\
x^{2}- x-1 \lt -1\ \text{atau}\ & x^{2}- x-1 \gt 1 \\
\end{align}$
Pertidaksamaan kuadrat kita kerjakan dalam dua bagian yaitu:
$ \begin{align}
x^{2}- x-1 & \lt -1 \\
x^{2}- x-1+1 & \lt 0 \\
x^{2}- x & \lt 0 \\
\left( x \right) \left(x-1 \right) & \lt 0 \\
0 \lt x \lt 1 & \\
\hline
x^{2}- x-1 & \gt 1 \\
x^{2}- x-2 & \gt 0 \\
\left(x-2 \right)\left(x+1 \right) & \gt 0 \\
x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 2 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
Himpunan penyelesaian atau nilai $x$ yang memenuhi adalah gabungan dari $0 \lt x \lt 1$ dan $x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 2$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x \lt -1\ \text{atau}\ 0\ \lt x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 2$
24. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Penyeesaian pertidaksamaan $\left| x-2 \right|^{2} \lt 4 \left| x-2 \right| + 12$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \lt x \lt 8 \\
(B)\ & -8 \lt x \lt 4 \\
(C)\ & -4 \lt x \lt 8 \\
(D)\ & 0 \lt x \lt 8 \\
(E)\ & -8 \lt x \lt 2 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba dengan manipulasi aljabar memisalkan $\left| x-2 \right|=m$, sehingga dapat kita tuliskan
$ \begin{align}
\left| x-2 \right|^{2} & \lt 4 \left| x-2 \right| + 12 \\
m^{2} & \lt 4 m + 12 \\
m^{2}-4m-12 & \lt 0 \\
\left( m-6 \right)\left( m+2 \right) & \lt 0 \\
-2 \lt m \lt 6 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
Dari nilai $m$ yang kita peroleh di atas, $m \gt -2$ tidak perlu kita analisa karena $m \geq 0$, sehingga nilai yang kita pakai adalah $m \lt 6$.
Kita kembalikan nilai $m=\left| x-2 \right|$, maka dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
\left| x-2 \right| & \lt 6 \\
-6 \lt x-2 & \lt 6 \\
-6+2 \lt x-2+2 & \lt 6+2 \\
-4 \lt x & \lt 8 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -4 \lt x \lt 8$
25. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Himpunan penyelesaian $\left| \frac{1}{4}x^{2}-10 \right| \lt 6$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \{ -8 \lt x \lt 8 \} \\
(B)\ & \{ -8 \lt x \lt -2\sqrt{5}\ \text{atau}\ -2\sqrt{5} \lt x \lt 8 \} \\
(C)\ & \{ -4 \lt x \lt 4\ \text{atau}\ x \lt -8\ \text{atau} x \gt 8 \} \\
(D)\ & \{ -2\sqrt{5} \lt x \lt -4\ \text{atau}\ -4 \lt x \lt 2\sqrt{5} \} \\
(E)\ & \{ -8 \lt x \lt -4\ \text{atau}\ 4 \lt x \lt 8 \} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba gunakan sifat $\left| f(x) \right| \lt a$ maka $ -a \lt f(x) \lt a $
$ \begin{align}
\left| \frac{1}{4}x^{2}-10 \right| & \lt 6 \\
-6 \lt \frac{1}{4}x^{2}-10 & \lt 6 \\
-24 \lt x^{2}-40 & \lt 24 \\
\end{align}$
Pertidaksamaan kuadrat kita kerjakan dalam dua bagian yaitu:
$ \begin{align}
x^{2}-40 & \lt 24 \\
x^{2}-64 & \lt 0 \\
\left(x-8 \right) \left(x+8 \right) & \lt 0 \\
-8 \lt x \lt 8 & \\
\hline
x^{2}-40 & \gt -24 \\
x^{2} -40+24& \gt 0 \\
x^{2} -16 & \gt 0 \\
\left(x-4 \right) \left(x+4 \right) & \gt 0 \\
x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 4 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
Himpunan penyelesaian atau nilai $x$ yang memenuhi adalah irisan dari $-8 \lt x \lt 8$ dan $x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 4$ adalah $-8 \lt x \lt -4$ dan $4 \lt x \lt 8$. Dalam garis bilangan ilustrasinya seperti berikut ini:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \{ -8 \lt x \lt -4\ \text{atau}\ 4 \lt x \lt 8 \}$
26. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left| \dfrac{2x+7}{x-1} \right| \geq 1$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \leq x \leq 8 \\
(B)\ & x\ \leq -8\ \text{atau}\ x \geq -2 \\
(C)\ & -8 \leq x \leq 1\ \text{atau}\ x \gt 1 \\
(D)\ & -2 \leq x \leq 1\ \text{atau}\ 1 \lt x \leq 8 \\
(E)\ & x \leq -8\ \text{atau}\ -2 \leq x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 1 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba gunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak dan manipulasi aljabar seperti berikut.
Agar pecahan $\left| \dfrac{2x+7}{x-1} \right|$ terdefinisi atau sederhananya mempunyai nilai, maka $x-1 \neq 0$ atau $x \neq 1$.
$ \begin{align}
\left| \dfrac{2x+7}{x-1} \right| & \geq 1 \\
\left| 2x+7 \right| & \geq \left| x-1 \right| \\
\left( 2x+7 \right)^{2} & \geq \left( x-1 \right)^{2} \\
4x^{2}+28x+49 & \geq x^{2}-2x+1 \\
3x^{2}+30x+48 & \geq 0 \\
x^{2}+10x+16 & \geq 0 \\
\left( x+2 \right) \left(x+8 \right) & \geq 0 \\
x \leq -8\ \text{atau}\ x \geq -2 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
Himpunan penyelesaian atau nilai $x$ yang memenuhi adalah $x \leq -8\ \text{atau}\ x \geq -2$ dan $x \neq 1$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x \leq -8\ \text{atau}\ -2 \leq x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 1$
27. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Harga $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left| x-3 \right|^{2} \lt \left| 2x-6 \right| $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \lt x \lt 5 \\
(B)\ & 3 \lt x \lt 5\ \text{atau}\ x \lt 3 \\
(C)\ & 1 \lt x \lt 3\ \text{atau}\ 3 \lt x \lt 5 \\
(D)\ & 1 \lt x \lt 3\ \text{atau}\ x \gt 5 \\
(E)\ & x \lt 3\ \text{atau}\ x \gt 5 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba dengan manipulasi aljabar memisalkan $\left| x-3 \right|=k$, sehingga dapat kita tuliskan
$ \begin{align}
\left| x-3 \right|^{2} & \lt \left| 2x-6 \right| \\
\left| x-3 \right|^{2} & \lt 2\ \left| x-3 \right| \\
\left| x-3 \right|^{2} \cdot \dfrac{1}{\left| x-3 \right|} & \lt 2\ \left| x-3 \right| \cdot \dfrac{1}{\left| x-3 \right|} \\
\left| x-3 \right| & \lt 2 \\
\left( x-3 \right)^{2} & \lt 2^{2} \\
x^{2}-6x+9 & \lt 4 \\
x^{2}-6x+5 & \lt 0 \\
\left( x-1 \right)\left( x-5 \right) & \lt 0 \\
1 \lt x \lt 5 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
Pada soal ini di awal kita kalikan dengan $\dfrac{1}{\left| x-3 \right|}$ sehingga $\left| x-3 \right| \neq 0$ atau $x \neq 3$.
Himpunan penyelesaian atau nilai $x$ yang memenuhi adalah $1 \lt x \lt 5$ dan $\left| x-3 \right| \neq 0$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1 \lt x \lt 3\ \text{atau}\ 3 \lt x \lt 5$
28. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi untuk pertidaksamaan $\left| 2x+4 \right| \geq 6$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \leq -5\ \text{atau}\ x \geq 1 \\
(B)\ & -5\ \leq x \leq 1 \\
(C)\ & x \leq -5\ \text{atau}\ x \geq 2 \\
(D)\ & -5\ \leq x \leq 2 \\
(E)\ & 4\ \leq x \leq 6 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \geq a$ maka $f(x) \leq -a$ atau $f(x) \geq a$
$ \begin{align}
\left| 2x+4 \right| & \geq 6 \\
2x+4 \leq -6\ \text{atau}\ & 2x+4 \geq 6 \\
2x \leq -6-4\ \text{atau}\ & 2x \geq 6-4 \\
2x \leq -10\ \text{atau}\ & 2x \geq 2 \\
x \leq -\frac{10}{2} \ \text{atau}\ & x \geq \frac{2}{2} \\
x \leq -5 \ \text{atau}\ & x \geq 1 \\
\end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \geq a$ maka $f^{2}(x) \geq a^{2}$
$\begin{align}
\left| 2x+4 \right| & \geq 6 \\
\left( 2x+4 \right)^{2} & \geq 6^{2} \\
4x^{2}+16x+16 & \geq 36 \\
4x^{2}+16x-20 & \geq 0 \\
x^{2}+4x-5 & \geq 0 \\
\left(x+5 \right) \left(x-1 \right) & \geq 0 \\
x \leq -5 \ \text{atau}\ & x \geq 1 \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x \leq -5 \ \text{atau}\ x \geq 1$
29. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi untuk pertidaksamaan $\left| x-2 \right| \lt 8$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -6\ \lt x \lt 10 \\
(B)\ & 6\ \lt x \lt 10 \\
(C)\ & x \lt 6\ \text{atau}\ x \gt 10 \\
(D)\ & -10\ \lt x \lt 6 \\
(E)\ & x \lt -6 \text{atau}\ x \gt 10 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \lt a$ maka $-a \lt f(x) \lt a$
$ \begin{align}
\left| x-2 \right| & \lt 8 \\
-8 \lt x-2 & \lt 8 \\
-8+ 2 \lt x- 2+ 2 & \lt 8+2 \\
-6 \lt x & \lt 10 \\
\end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \lt a$ maka $f^{2}(x) \lt a^{2}$
$\begin{align}
\left| x- 2 \right| & \lt 8 \\
\left( x-2 \right)^{2} & \lt 8^{2} \\
x^{2}-4x+ 4 & \lt 64 \\
x^{2}- 4x-60 & \lt 0 \\
\left(x-10 \right) \left(x+6 \right) & \lt 0 \\
-6 \lt x \lt 10 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -6\ \lt x \lt 10$
30. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi untuk pertidaksamaan $\left| 4-2x \right| \lt 6$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -1\ \lt x \lt 5 \\
(B)\ & 1\ \lt x \lt 5 \\
(C)\ & x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 5 \\
(D)\ & -5\ \lt x \lt 1 \\
(E)\ & x \lt -5 \text{atau}\ x \gt 1 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \lt a$ maka $-a \lt f(x) \lt a$
$ \begin{align}
\left| 4-2x \right| & \lt 6 \\
-6 \lt 4-2x & \lt 6 \\
-6+ -4 \lt 4-2x-4 & \lt 6-4 \\
-10 \lt -2x & \lt 2 \\
-5 \lt -x & \lt 1 \\
-1 \lt x & \lt 5
\end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \lt a$ maka $f^{2}(x) \lt a^{2}$
$\begin{align}
\left| 4-2x \right| & \lt 6 \\
\left( 4-2x \right)^{2} & \lt 6^{2} \\
4x^{2}-16x+ 16 & \lt 36 \\
4x^{2}-16x-20 & \lt 0 \\
x^{2}-4x-5 & \lt 0 \\
\left(x-5 \right) \left(x+1 \right) & \lt 0 \\
-1 \lt x \lt 5 & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -1\ \lt x \lt 5$
31. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi $\left| 5x-2 \right| \gt 7$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt \frac{9}{5} \\
(B)\ & -1\ \lt x \lt \frac{9}{5} \\
(C)\ & x \lt -\frac{9}{5}\ \text{atau}\ x \gt -1 \\
(D)\ & -\frac{9}{5}\ \lt x \lt 1 \\
(E)\ & x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt \frac{9}{5} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \gt a$ maka $f(x) \lt -a$ atau $f(x) \gt a$
$ \begin{align}
\left| 5x-2 \right| & \gt 7 \\
5x-2 \lt -7\ \text{atau}\ & 5x-2 \gt 7 \\
5x \lt -7+2\ \text{atau}\ & 5x \gt 7+2 \\
5x \lt -5\ \text{atau}\ & 5x \gt 9 \\
x \lt \frac{-5}{5}\ \text{atau}\ & x \gt \frac{9}{5} \\
x \lt -1\ \text{atau}\ & x \gt \frac{9}{5} \\
\end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \gt a$ maka $f^{2}(x) \gt a^{2}$
$\begin{align}
\left| 5x-2 \right| & \gt 7 \\
\left( 5x-2 \right)^{2} & \gt 7^{2} \\
25x^{2}-20x+4 & \gt 49 \\
25x^{2}-20x-45 & \gt 0 \\
\left(5x-9 \right) \left(5x+5 \right) & \gt 0 \\
x \lt -1\ \text{atau}\ & x \gt \frac{9}{5} \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt \frac{9}{5}$
32. Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left| 3x-2 \right| \leq 12$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -\frac{10}{3}\ \leq x \leq \frac{14}{3} \\
(B)\ & -\frac{14}{3}\ \leq x \leq \frac{10}{3} \\
(C)\ & x \leq -\frac{10}{3}\ \text{atau}\ x \geq \frac{14}{3} \\
(D)\ & \frac{10}{3}\ \leq x \leq \frac{14}{3} \\
(E)\ & x \leq -\frac{14}{3}\ \text{atau}\ x \geq \frac{10}{3} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Cara I: $\left| f(x) \right| \leq a$ maka $-a \leq f(x) \leq a$
$ \begin{align}
\left| 3x-2 \right| & \leq 12 \\
-12 \leq 3x-2 & \leq 12 \\
-12+2 \leq 3x-2+2 & \leq 12+2 \\
-10 \leq 3x & \leq 14 \\
\frac{-10}{3} \geq x & \geq \frac{14}{3}
\end{align} $
Cara II: $\left| f(x) \right| \leq a$ maka $f^{2}(x) \leq a^{2}$
$\begin{align}
\left| 3x-2 \right| & \leq 12 \\
\left( 3x-2 \right)^{2} & \leq 12^{2} \\
9x^{2}-36x+4 & \leq 144 \\
9x^{2}-36x-140 & \leq 0 \\
\left(3x-14 \right) \left(3x+10 \right) & \leq 0 \\
-\frac{10}{3} \leq x \leq \frac{14}{3} & \\
\end{align}$
(*simak: Cara Mengerjakan Pertidaksamaan Kuadrat Sangat Cepat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\frac{10}{3}\ \leq x \leq \frac{14}{3}$
Catatan tentang Pertidaksamaan Nilai Mutlak, Sifat-Sifat, Contoh Soal dan Pembahasan Soal Latihan di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.