Gk7qp1DNYQGDurixnE7FWT3LyBvSK3asrvqSm057
Bookmark

Cara Membuktikan Rumus-rumus Turunan Fungsi Aljabar Dilengkapi 30+ Soal Latihan dan Pembahasan

defantri.com
defantri.com
... menit baca
Mengenal Definisi Turunan Fungsi Ajabar

Calon guru belajar matematika dasar dari Membuktikan Sifat-Sifat Turunan Fungsi Aljabar yang Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan. Setelah mengenal definisi Turunan Fungsi Aljabar, selanjutnya kita bisa gunakan beberapa sifat turunan fungsi aljabar untuk menyelesaikan masalah yang berkembang. Sifat-sifat turunan fungsi aljabar ini juga diperoleh dari pengembangan definisi turunan fungsi.

Dengan menggunakan definisi turunan fungsi, kita dapat menentukan turunan pertama dari fungsi $f(x)=4x$ yaitu:

$\begin{align} f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{4\left( x+h \right) - \left( 4x \right)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{4x+4h -4x }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{4h }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} 4 \\ & = 4 \end{align}$
$\therefore$ Turunan pertama $f(x)=4x$ adalah $f'(x)=4$

TURUNAN FUNGSI KONSTAN

Rumus Turunan Fungsi Konstanta
Jika $f(x)=a$ dimana $a$ adalah konstanta maka $f'(x)=0$
Alternatif Pembuktian:

Sebelum kita menentukan turunan fungsi $f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, tahap awal kita coba tentukan fungsi $f(x)$ dan $f\left( x+h \right)$ yaitu:

$\begin{align} f(x) & = a \\ f\left( x+h \right) & = a \end{align}$

Lalu $f\left( x \right)$ dan $f\left( x+h \right)$ kita substitusi ke definisi turunan fungsi, sehingga kita peroleh:

$\begin{align} f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{a - a}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ 0 }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} 0 \\ & = 0 \end{align}$

$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)=a$ adalah $f'(x)=0$

    Contoh:
  1. Jika $f(x)=5$, maka $f'(x)=0$
  2. Jika $f(x)=-2$, maka $f'(x)=0$
  3. Jika $f(x)=0,75$, maka $f'(x)=0$
  4. Jika $f(x)=\dfrac{1}{3}$, maka $f'(x)=0$

TURUNAN FUNGSI LINEAR

Rumus Turunan Fungsi Linear
Jika $f(x)=ax$ dimana $a$ adalah konstanta maka $f'(x)=a$
Alternatif Pembuktian:

Sebelum kita menentukan turunan fungsi $f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, tahap awal kita coba tentukan fungsi $f(x)$ dan $f\left( x+h \right)$ yaitu:

$\begin{align} f(x) & = ax \\ f\left( x+h \right) & = a \left( x+h \right) \\ & = ax+ah \end{align}$

Lalu $f\left( x \right)$ dan $f\left( x+h \right)$ kita substitusi ke definisi turunan fungsi, sehingga kita peroleh:

$\begin{align} f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f\left( x+h \right)-f(x)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ax+ah - ax }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ah}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} a \\ & = a \end{align}$

$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)=ax$ adalah $f'(x)=a$

    Contoh:
  1. Jika $f(x)=5x$, maka $f'(x)=5$
  2. Jika $f(x)=4x$, maka $f'(x)=4$
  3. Jika $f(x)=-8x$, maka $f'(x)=-8$
  4. Jika $f(x)=\dfrac{1}{3}x$, maka $f'(x)=\dfrac{1}{3}$

TURUNAN FUNGSI EKSPONEN

Rumus Turunan Fungsi Eksponen
Jika $f(x)=ax^{n}$ dimana $a$ dan $n$ adalah konstanta maka $f'(x)=anx^{n-1}$
Alternatif Pembuktian:

Sebelum kita menentukan turunan fungsi $f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, tahap awal kita coba tentukan fungsi $f(x)$ dan $f\left( x+h \right)$ yaitu:

$\begin{align} f(x) & = ax^{n} \\ f\left( x+h \right) & = a\left( x+h \right)^{n} \\ & =a\left ( x^{n}+\binom{n}{1}x^{n-1}h+\binom{n}{2}x^{n-2}h^{2}+\cdots+\binom{n}{n-1}xh^{n-1}+h^{n} \right ) \\ & = ax^{n}+a\binom{n}{1}x^{n-1}h+a\binom{n}{2}x^{n-2}h^{2}+\cdots+a\binom{n}{n-1}xh^{n-1}+ah^{n} \\ \end{align}$

Lalu $f\left( x \right)$ dan $f\left( x+h \right)$ kita substitusi ke definisi turunan fungsi, sehingga kita peroleh:

$\begin{align} f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f\left( x+h \right)-f(x)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ax^{n}+a\binom{n}{1}x^{n-1}h+a\binom{n}{2}x^{n-2}h^{2}+\cdots+a\binom{n}{n-1}xh^{n-1}+ah^{n} - ax^{n} }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{a\binom{n}{1}x^{n-1}h+a\binom{n}{2}x^{n-2}h^{2}+\cdots+a\binom{n}{n-1}xh^{n-1}+ah^{n}}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \left(a\binom{n}{1}x^{n-1} +a\binom{n}{2}x^{n-2}h^{2-1}+\cdots+a\binom{n}{n-1}xh^{n-2}+ah^{n-1} \right) \\ & = a\binom{n}{1}x^{n-1} +a\binom{n}{2}x^{n-2}(0)^{2-1}+\cdots+a\binom{n}{n-1}x(0)^{n-2}+a(0)^{n-1} \\ & = a\binom{n}{1}x^{n-1} +0+\cdots+0+0 \\ \hline \binom{n}{r} & = \dfrac{n!}{r! \left(n-r \right)!} \\ \binom{n}{1} & = \dfrac{n!}{1! \left(n-1 \right)!} \\ & = \dfrac{n \cdot \left(n-1 \right)!}{\left(n-1 \right)!} \\ & = n \\ \hline f'(x) & = a\binom{n}{1}x^{n-1} \\ & = a \cdot n \cdot x^{n-1} \\ \end{align}$

$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)=ax^{n}$ adalah $f'(x)=anx^{n-1}$

    Contoh:
  1. Jika $f(x)=5x^{2}$, maka
    $\begin{align} f'(x) & = 5 \cdot 2 x^{2-1} \\ & = 10x \end{align}$
  2. Jika $f(x)=7x^{3}$, maka
    $\begin{align} f'(x) & = 7 \cdot 3 x^{3-1} \\ & = 21x^{2} \end{align}$
  3. Jika $f(x)=8x^{\frac{3}{2}}$, maka
    $\begin{align} f'(x) & = 8 \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2}-1} \\ & = 12x^{\frac{1}{2}} \\ & = 12\sqrt{x} \\ \end{align}$
  4. Jika $f(x)=6x^{\frac{1}{2}}$, maka
    $\begin{align} f'(x) & = 6 \cdot \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1} \\ & = 3x^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{3}{x^{\frac{1}{2}}} \\ & = \dfrac{3}{\sqrt{x}} = \dfrac{3}{x}\sqrt{x} \end{align}$

TURUNAN PENJUMLAHAN FUNGSI

Rumus Turunan Penjumlahan Fungsi
Jika $f(x)=u(x)+v(x)$ dimana $u(x)$ dan $v(x)$ adalah sebuah fungsi maka $f'(x)=u'(x)+v'(x)$
Alternatif Pembuktian:

Sebelum kita menentukan turunan fungsi $f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, tahap awal kita coba tentukan fungsi $f(x)$ dan $f\left( x+h \right)$ yaitu:

$\begin{align} f(x) & = u(x)+v(x) \\ f\left( x+h \right) & = u(x+h)+v(x+h) \\ \end{align}$

Lalu $f\left( x \right)$ dan $f\left( x+h \right)$ kita substitusi ke definisi turunan fungsi, sehingga kita peroleh:

$\begin{align} f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f\left( x+h \right)-f(x)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)+v(x+h) - \left[ u(x)+v(x) \right] }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)+v(x+h) - u(x)-v(x) }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x)+ v(x+h)-v(x) }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \left( \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} + \dfrac{v(x+h)-v(x) }{h} \right) \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} + \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{v(x+h)-v(x) }{h} \\ & = u'(x) + v'(x) \end{align}$

$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)=u(x)+v(x)$ adalah $f'(x)=u'(x)+v'(x)$

    Contoh:
  1. Jika $f(x)=4x^{3}+x$, maka
    $\begin{align} f'(x) & = 4 \cdot 3 x^{3-1}+1 \\ & = 12x^{2}+1 \end{align}$
  2. Jika $f(x)=5x^{4}+4x$, maka
    $\begin{align} f'(x) & = 5 \cdot 4 x^{4-1}+4 \\ & = 20x^{3}+4 \end{align}$

TURUNAN PENGURANGAN FUNGSI

Rumus Turunan Pengurangan Fungsi
Jika $f(x)=u(x)-v(x)$ dimana $u(x)$ dan $v(x)$ adalah sebuah fungsi maka $f'(x)=u'(x)-v'(x)$
Alternatif Pembuktian:

Sebelum kita menentukan turunan fungsi $f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, tahap awal kita coba tentukan fungsi $f(x)$ dan $f\left( x+h \right)$ yaitu:

$\begin{align} f(x) & = u(x)+v(x) \\ f\left( x+h \right) & = u(x+h)+v(x+h) \\ \end{align}$

Lalu $f\left( x \right)$ dan $f\left( x+h \right)$ kita substitusi ke definisi turunan fungsi, sehingga kita peroleh:

$\begin{align} f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f\left( x+h \right)-f(x)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)-v(x+h) - \left[ u(x)-v(x) \right] }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)-v(x+h) - u(x)+v(x) }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x)- v(x+h)+v(x) }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x) - \left[v(x+h)-v(x) \right]}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \left( \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} - \dfrac{v(x+h)-v(x) }{h} \right) \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} - \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{v(x+h)-v(x) }{h} \\ & = u'(x) - v'(x) \end{align}$

$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)=u(x)-v(x)$ adalah $f'(x)=u'(x)-v'(x)$

    Contoh:
  1. Jika $f(x)=3x^{4}-7x$, maka
    $\begin{align} f'(x) & = 3 \cdot 4 x^{4-1}-7 \\ & = 12x^{3}-7 \end{align}$
  2. Jika $f(x)=4x^{5}-x$, maka
    $\begin{align} f'(x) & = 5 \cdot 4 x^{5-1}-1 \\ & = 20x^{4}-1 \end{align}$

TURUNAN PERKALIAN FUNGSI

Rumus Turunan Perkalian Fungsi

Jika $f(x)=u(x) \cdot v(x)$ dimana $u(x)$ dan $v(x)$ adalah sebuah fungsi maka $f'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)$

Jika $f(x)=u(x) \cdot v(x) \cdot w(x)$ dimana $u(x), v(x)$ dan $w(x)$ adalah sebuah fungsi maka $f'(x)=u'(x) \cdot v(x) \cdot w(x) +$$ u(x) \cdot v'(x) \cdot w(x) +$$ u(x) \cdot v(x) \cdot w'(x)$

Alternatif Pembuktian:

Sebelum kita menentukan turunan fungsi $f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, tahap awal kita coba tentukan fungsi $f(x)$ dan $f\left( x+h \right)$ yaitu:

$\begin{align} f(x) & = u(x) \cdot v(x) \\ f\left( x+h \right) & = u(x+h) \cdot v(x+h) \\ \end{align}$

Lalu $f\left( x \right)$ dan $f\left( x+h \right)$ kita substitusi ke definisi turunan fungsi, sehingga kita peroleh:

$\begin{align} f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f\left( x+h \right)-f(x)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) \cdot v(x+h) - u(x) \cdot v(x) }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) \cdot v(x+h) -u(x+h) \cdot v(x)+u(x+h) \cdot v(x) - u(x) \cdot v(x) }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) \cdot \left[ v(x+h) - v(x) \right] + v(x) \left[ u(x+h) - u(x) \right] }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \left( \dfrac{u(x+h) \cdot \left[ v(x+h) - v(x) \right]}{h} + \dfrac{v(x) \left[ u(x+h) - u(x) \right] }{h} \right)\\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)}{1} \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\left[ v(x+h) - v(x) \right]}{h} +\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{v(x)}{1} \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\left[ v(x+h) - v(x) \right]}{h}\\ & = \dfrac{u(x+0)}{1} \cdot v'(x) + \dfrac{v(x)}{1} \cdot u'(x) \\ & = u(x) \cdot v'(x) + v(x) \cdot u'(x) \end{align}$

$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)=u(x) \cdot v(x)$ adalah $f'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)$

Sifat di atas kita kembangkan untuk membuktikan sifat turunan perkalian tiga fungsi,
$\begin{align} f(x) & = u(x) \cdot v(x) \cdot w(x) \\ f(x) & = \left[ u(x) \cdot v(x) \right] \cdot w(x) \\ f'(x) & = \left[ u(x) \cdot v(x) \right]' \cdot w(x) + \left[ u(x) \cdot v(x) \right] \cdot w'(x)\\ & = \left[ u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x) \right] \cdot w(x) + u(x) \cdot v(x) \cdot w'(x) \\ & = u'(x) \cdot v(x) \cdot w(x) + u(x) \cdot v'(x) \cdot w(x) + u(x) \cdot v(x) \cdot w'(x)\\ \end{align}$


$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)=u(x) \cdot v(x) \cdot w(x)$ adalah $f'(x)=u'(x) \cdot v(x) \cdot w(x) +$$ u(x) \cdot v'(x) \cdot w(x) +$$ u(x) \cdot v(x) \cdot w'(x)$

    Contoh:
  1. Jika $f(x)=5 \cdot x^{4}$, maka
    $\begin{align} \text{misal}: & \\ u(x) & = 5\ \rightarrow u'(x)=0 \\ v(x) & = x^{4}\ \rightarrow v'(x)=4x^{3} \\ \hline f'(x) & = u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x) \\ & = 0 \cdot x^{4} +5 \cdot 4x^{3} \\ & = 0 +20x^{3} \\ & = 20x^{3} \\ \end{align}$
  2. Jika $f(x)=\left( 2x-5 \right)\left( 3x+7 \right)$, maka
    $\begin{align} \text{misal}: & \\ u(x) & = 2x-5 \ \rightarrow u'(x)=2 \\ v(x) & = 3x+7\ \rightarrow v'(x)=3 \\ \hline f'(x) & = u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x) \\ & = 2 \cdot \left( 3x+7 \right) +\left( 2x-5 \right) \cdot 3 \\ & = 6x+14 +6x-15 \\ & = 12x-1 \end{align}$

TURUNAN PEMBAGIAN FUNGSI

Rumus Turunan Pembagian Fungsi
Jika $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ dimana $u(x)$ dan $v(x)$ adalah sebuah fungsi maka $f'(x)=\dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x) }{v^{2}(x)}$
Alternatif Pembuktian:

Untuk membuktikan sifat ini, kita gunakan sifat yang seblumnya sudah terbukti yaitu Turunan $f(x)=u(x) \cdot v(x)$ adalah $f'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)$

$\begin{align} \text{misal}: & \\ f(x) & = \dfrac{u(x)}{v(x)} \\ u(x) & = f(x) \cdot v(x) \\ \hline u'(x) & = f'(x) \cdot v(x)+f(x) \cdot v'(x) \\ u'(x) & = f'(x) \cdot v(x)+\dfrac{u(x)}{v(x)} \cdot v'(x) \\ \dfrac{u'(x)}{v(x)} & = f'(x) +\dfrac{u(x)}{v^{2}(x)} \cdot v'(x) \\ f'(x) & = \dfrac{u'(x)}{v(x)} -\dfrac{u(x)}{v^{2}(x)} \cdot v'(x) \\ & = \dfrac{u'(x) \cdot v(x)}{v^{2}(x)} -\dfrac{u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)} \\ & = \dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)} \end{align}$

$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ adalah $f'(x)=\dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x) }{v^{2}(x)}$

    Contoh:
  1. Jika $f(x)=\dfrac{5}{x^{2}}$, maka
    $\begin{align} \text{misal}: & \\ u(x) & = 5\ \rightarrow u'(x)=0 \\ v(x) & = x^{2}\ \rightarrow v'(x)=2x \\ \hline f'(x) & = \dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x) }{v^{2}(x)} \\ & = \dfrac{0 \cdot x^{2}-5 \cdot 2x }{\left( x^{2} \right)^{2}} \\ & = \dfrac{0-10x }{x^{4}} \\ & = \dfrac{-10}{x^{3}} \end{align}$
  2. Jika $f(x)=\dfrac{2x+3}{4x-7}$, maka
    $\begin{align} \text{misal}: & \\ u(x) & = 2x+3\ \rightarrow u'(x)=2 \\ v(x) & = 4x-7\ \rightarrow v'(x)=4 \\ \hline f'(x) & = \dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x) }{v^{2}(x)} \\ & = \dfrac{2 \cdot \left( 4x-7 \right)-\left( 2x+3 \right) \cdot 4 }{\left(4x-7 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{8x-14-8x-12 }{\left(4x-7 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{-26 }{\left(4x-7 \right)^{2}} \end{align}$

ATURAN RANTAI TURUNAN FUNGSI

Rumus Aturan Rantai Turunan Fungsi
Jika $f(x)$ adalah sebuah fungsi maka $f'(x)=\dfrac{df}{dx}=\dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}$, yang dapat dikembangkan menjadi $\dfrac{df}{dx}=\dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dv} \cdot \dfrac{dv}{dx}$.
    Contoh:
  1. Jika $f(x)=\left( 2x-3\right)^{3}$, maka
    $\begin{align} \text{misal}: & \\ u(x) & = 2x-3\ \rightarrow \dfrac{du}{dx}=2 \\ f(x) & = u^{3}\ \rightarrow \dfrac{df}{du}=3u^{2} \\ \hline f'(x) & = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ & = 3u^{2} \cdot 2 \\ & = 6u^{2} \\ & = 6\left( 2x-3\right)^{2} \end{align}$
  2. Jika $f(x)=\left( 3x+4\right)^{5}$, maka
    $\begin{align} \text{misal}: & \\ u(x) & = 3x+4\ \rightarrow \dfrac{du}{dx}=3 \\ f(x) & = u^{5}\ \rightarrow \dfrac{df}{du}=5u^{4} \\ \hline f'(x) & = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ & = 5u^{4} \cdot 3 \\ & = 15u^{4} \\ & = 15\left( 3x+4 \right)^{4} \end{align}$

TURUNAN FUNGSI KOMPOSISI

Rumus Turunan Fungsi Komposisi
Jika $f(x)$ dan $g(x)$ adalah sebuah fungsi maka $\left(f o g \right)'(x)= f'\left( g(x) \right) \cdot g'(x)$.

Penggunaan rumus turunan fungsi komposisi ini adalah pengembangan dari turunan fungsi aturan rantai, sehingga untuk menyelesaikannya dapat juga menggunakan aturan rantai.

    Contoh:
  1. Jika $f(x)=3x+1$ dan $g(x)=5x-7$, maka $\left(f o g \right)'(x)=\cdots$
    $\begin{align} \left(f o g \right)(x) & = f \left( g(x) \right) \\ & = 3 g(x) +1 \\ \hline \left(f o g \right)'(x) & = f'\left( g(x) \right) \cdot g'(x) \\ & = 3 \cdot \left( 5 \right) \\ & = 15 \end{align}$
  2. Jika $f(x)=4x+3$ maka $f' \left( 2x-1 \right)=\cdots$
    $\begin{align} f \left( 2x-1 \right) & = 4 \left( 2x-1 \right) +3 \\ f' \left( 2x-1 \right) & = 4 \cdot (2) \\ & = 8 \end{align}$
  3. Jika $f(x)=x^{3}$ dan $g(x)=2x-3$, maka $\left(f o g \right)'(x)=\cdots$
    $\begin{align} \left(f o g \right)(x) & = f \left( g(x) \right) \\ & = \left( g(x) \right)^{3} \\ & = \left( 2x-3 \right)^{3} \\ \hline \left(f o g \right)'(x) & = f'\left( g(x) \right) \cdot g'(x) \\ & = 3\left( 2x-3 \right)^{3-1} \cdot \left( 2 \right) \\ & = 6 \left( 2x-3 \right)^{2} \end{align}$

TURUNAN FUNGSI BERPANGKAT

Rumus Turunan Fungsi Berpangkat
Jika $f(x)= \left[ g(x) \right]^{n}$ dimana $f(x),\ g(x)$ adalah sebuah fungsi maka $f'(x)=n \cdot \left[ g(x) \right]^{n-1} \cdot g'(x)$

atau dapat juga dituliskan dalam bentuk:
Jika $f(x)= g^{n}(x)$ maka $f'(x)=n \cdot g^{n-1}(x) \cdot g'(x)$.

Alternatif Pembuktian:

Untuk membuktikan sifat ini, kita gunakan bantuan sifat aturan rantai $\dfrac{df}{dx}=\dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}$
Untuk $f(x)= \left[ g(x) \right]^{n}$
$\begin{align} \text{misal}: & \\ u & = g(x) \rightarrow \dfrac{du}{dx}=g'(x) \\ f(x) & = u^{n} \rightarrow \dfrac{df}{du}=n \cdot u^{n-1} \\ \hline f'(x) & = \dfrac{df}{dx} \\ & = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ & = n \cdot u^{n-1} \cdot g'(x) \\ & = n \cdot \left[ g(x) \right]^{n-1} \cdot g'(x) \end{align}$

$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)= \left( g(x) \right)^{n}$ adalah $f'(x)=n \cdot \left[ g(x) \right]^{n-1} \cdot g'(x)$

    Contoh:
  1. Jika $f(x)=\left( 2x-3\right)^{3}$, maka
    $\begin{align} f'(x) & = 3 \cdot \left( 2x-3\right)^{3-1} \cdot (2) \\ & = 6 \cdot \left( 2x-3\right)^{2} \end{align}$
  2. Jika $f(x)=\left( 3x+4\right)^{5}$, maka
    $\begin{align} f'(x) & = 5 \cdot \left( 3x+4 \right)^{5-1} \cdot (3) \\ & = 15 \cdot \left( 3x+4\right)^{4} \end{align}$
Jika tertarik untuk membahahas soal-soal tentang turunan fungsi yang sudah pernah diujikan pada Ujian Nasional atau Ujian Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri silahkan di simak pada:

SOAL LATIHAN DAN PEMBAHASAN PENGEMBANGAN RUMUS TURUNAN FUNGSI ALJABAR

Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Matematika SMA Rumus-rumus Turunan Fungsi Aljabar atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.

Silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.

Ayo dicoba terlebih dahulu, Sebelum melihat pembahasan soal.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
Nama Peserta :
Tanggal Tes :
Jumlah Soal :34 soal
Petunjuk Pengerjaan Soal:
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.

1. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Jika $y=\left( 4x-2 \right)\left( 2x+1 \right)$ maka $y'=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan masalah turunan fungsi di atas dapat kita selesaikan dengan beberapa alternatif pembahasan. Karena masih tahap dasar, soal ini kita coba selesaikan dengan dua alternatif penyelesaian, tetapi untuk soal selanjutnya kita pilih satu alternatif pembahasan saja.

* Alternatif Pembahasan I *
$\begin{align} y\ &= \left( 4x-2 \right)\left( 2x+1 \right) \\ &= 8x^{2}+4x-4x-2 \\ &= 8x^{2}-2 \\ y'\ &= (2)(8)x^{2-1} \\ &= 16x \end{align}$

* Alternatif Pembahasan II *
$\begin{align} y\ &= \left( 4x-2 \right)\left( 2x+1 \right) \\ \hline \text{misal}: & \\ u &= 4x-2\ \rightarrow u'=4 \\ v &= 2x+1\ \rightarrow v'=2 \\ \hline y'\ &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ &= \left( 4 \right) \left( 2x+1 \right)+\left( 4x-2 \right)\left( 2 \right) \\ &= 8x+4+8x-4 \\ &= 16x \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 16x$

2. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\left( x^{2}-3x \right)\left( 2x-5 \right)$ maka $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) &=\left( x^{2}-3x \right)\left( 2x-5 \right) \\ \hline \text{misal}: & \\ u &= x^{2}-3x\ \rightarrow u'=2x-3 \\ v &= 2x-5\ \rightarrow v'=2 \\ \hline f'(x)\ &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ &= \left( 2x -3 \right)\left( 2x-5 \right)+\left( x^{2}-3x \right)\left( 2 \right) \\ &= 4x^{2}-10x-6x+15+2x^{2}-6x \\ &= 6x^{2}-22x+15 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6x^{2}-22x+15$

3. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Jika $y=\dfrac{2x+3}{4x-6}$ maka $y'=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} y &= \dfrac{2x+3}{4x-6} \\ \hline \text{misal:}\ & u= 2x+3\ \rightarrow u'=2 \\ & v= 4x-6\ \rightarrow v'=4 \\ \hline y' & = \dfrac{u' \cdot v -u \cdot v' }{v^{2}} \\ & = \dfrac{2 \cdot \left( 4x-6 \right)-\left( 2x+3 \right) \cdot 4 }{\left(4x-6 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{8x-12-8x-12 }{\left(4x-6 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{-24 }{\left(4x-6 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{-24 }{\left( 2 \left[2x-3 \right] \right)^{2} } \\ & = \dfrac{-24 }{4 \left(2x-3 \right)^{2} } \\ & = \dfrac{-6 }{\left(2x-3 \right)^{2} } \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{-6}{\left( 2x-3 \right)^{2}}$

4. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\dfrac{2x^{2}+5x-3}{x+3}$ maka $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) &= \dfrac{2x^{2}+5x-3}{x+3} \\ \hline \text{misal:}\ & u= 2x^{2}+5x-3\ \rightarrow u'=4x+5 \\ & v= x+3\ \rightarrow v'=1 \\ \hline f'(x) & = \dfrac{u' \cdot v -u \cdot v' }{v^{2}} \\ & = \dfrac{\left( 4x+5 \right) \cdot \left( x+3 \right)-\left( 2x^{2}+5x-3 \right) \cdot 1 }{\left(x+3 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{4x^{2}+12x+5x+15-2x^{2}-5x+3 }{\left(x+3 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{2x^{2}+12x+18 }{\left(x+3 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{2 \left( x^{2}+6x+9 \right) }{\left( x^{2}+6x+9 \right) } \\ & = 2 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$

5. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Jika $y=\dfrac{3}{x^{2}-2x}$ maka $y'=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} y &= \dfrac{3}{x^{2}-2x} \\ \hline \text{misal:}\ & u= 3\ \rightarrow u'=0 \\ & v= x^{2}-2x\ \rightarrow v'=2x-2 \\ \hline y' & = \dfrac{u' \cdot v -u \cdot v' }{v^{2}} \\ & = \dfrac{\left( 0 \right) \cdot \left( x^{2}-2x \right)-\left( 3 \right) \cdot \left( 2x-2 \right) }{\left( x^{2}-2x \right)^{2}} \\ & = \dfrac{0-\left( 6x-6 \right) }{\left( x^{2}-2x \right)^{2}} \\ & = \dfrac{-6x+6 }{\left( x^{2}-2x \right)^{2}} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{-6x+6 }{\left( x^{2}-2x \right)^{2}}$

6. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=5\left( 4x-2 \right)^{3}$ maka $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) &= 5\left( 4x-2 \right)^{3} \\ f'(x) & = 3 \cdot 5 \left( 4x-2 \right)^{3-1} \cdot \left( 4 \right) \\ & = 15 \left( 4x-2 \right)^{2} \cdot \left( 4 \right) \\ & = 60 \left( 4x-2 \right)^{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 60 \left( 4x-2 \right)^{2}$

7. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=4\left( x^{2}+3x \right)^{5}$ maka $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) &= 4\left( x^{2}+3x \right)^{5} \\ f'(x) & = 5 \cdot 4 \left( x^{2}+3x \right)^{5-1} \cdot \left( 2x+3 \right) \\ & = 20 \left( x^{2}+3x \right)^{4} \cdot \left( 2x+3 \right) \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 20 \left( 2x+3 \right) \left( x^{2}+3x \right)^{4}$

8. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Jika $y=\sqrt{2x+6}$ maka $y'=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} y &= \sqrt{2x+6} \\ y &= \left( 2x+6 \right)^{\frac{1}{2}} \\ y' & = \dfrac{1}{2} \cdot \left( 2x+6 \right)^{\frac{1}{2}-1} \cdot \left( 2 \right) \\ & = \left( 2x+6 \right)^{-\frac{1}{2}} \\ & = \dfrac{1}{\left( 2x+6 \right)^{\frac{1}{2}}} \\ & = \dfrac{1}{\sqrt{2x+6}} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{\sqrt{2x+6}}$

9. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=6\sqrt{\left( 3x-1 \right)^{5}}$ maka $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} y &= 6\sqrt{\left( 3x-1 \right)^{5}} \\ y &= 6\left( 3x-1 \right)^{\frac{5}{2}} \\ y' & = \dfrac{5}{2} \cdot 6 \left( 3x-1 \right)^{\frac{5}{2}-1} \cdot \left( 3 \right) \\ & = 45 \left( 3x-1 \right)^{\frac{3}{2}} \\ & = 45 \sqrt{\left( 3x-1 \right)^{3}} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 45\sqrt{\left( 3x-1 \right)^{3}}$

10. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)= \left( 3x-4 \right)^{3}\left( 6x-8 \right)$ maka $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) &= \left( 3x-4 \right)^{3}\left( 6x-8 \right) \\ &= \left( 3x-4 \right)^{3} \cdot 2 \cdot \left( 3x-4 \right) \\ &= 2 \left( 3x-4 \right)^{4} \\ f'(x) & = 4 \cdot 2 \left( 3x-4 \right)^{4-1} (3)\\ & = 24 \left( 3x-4 \right)^{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 24 \left( 3x-4 \right)^{3}$

11. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)= \dfrac{4x+6}{\sqrt{2x+3}}$ maka $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) &= \dfrac{4x+6}{\sqrt{2x+3}} \\ &= \dfrac{2 \left( 2x+3 \right)}{\left( 2x+3 \right)^{\dfrac{1}{2}}} \\ &= 2 \left( 2x+3 \right)^{1-\dfrac{1}{2}} \\ &= 2 \left( 2x+3 \right)^{ \dfrac{1}{2}} \\ f'(x) & = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \left( 2x+3 \right)^{ \dfrac{1}{2}-1} \cdot \left( 2 \right)\\ & = 2 \left( 2x+3 \right)^{ -\dfrac{1}{2}} \\ & = \dfrac{2}{\sqrt{2x+3}} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{2}{\sqrt{2x+3}}$

12. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\left( 2x-3 \right)^{2} \left( 4x+5 \right)$ maka $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) &=\left( 2x-3 \right)^{2} \left( 4x+5 \right) \\ \hline \text{misal}: & \\ u &= \left( 2x-3 \right)^{2}\ \rightarrow u'=2 \cdot \left( 2x-3 \right)(2) \\ v &= \left( 4x+5 \right)\ \rightarrow v'=4 \\ \hline y'\ &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ &= 4 \left( 2x-3 \right) \left( 4x+5 \right)+\left( 2x-3 \right)^{2} \left( 4 \right) \\ &= \left( 2x-3 \right) \left[ 4 \left( 4x+5 \right)+\left( 2x-3 \right) \left( 4 \right) \right] \\ &= \left( 2x-3 \right) \left[ 16x+20 +8x-12 \right] \\ &= \left( 2x-3 \right) \left[ 24x+8 \right] \\ &= \left( 2x-3 \right)\ \cdot 4 \cdot \left[ 6x+2 \right] \\ &= 4\left( 2x-3 \right)\left( 6x+2 \right) \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4\left( 2x-3 \right)\left( 6x+2 \right)$

13. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\dfrac{\left( 3x-4 \right)^{2}}{4x-3}$ maka $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} y &= \dfrac{\left( 3x-4 \right)^{2}}{4x-3} \\ \hline \text{misal:}\ & u= \left( 3x-4 \right)^{2}\ \rightarrow u'=2 \cdot \left( 3x-4 \right) (3) \\ & v= 4x-3\ \rightarrow v'=4 \\ \hline y' & = \dfrac{u' \cdot v -u \cdot v' }{v^{2}} \\ & = \dfrac{6 \cdot \left( 3x-4 \right)\left( 4x-3 \right)- \left( 3x-4 \right)^{2}\left( 4 \right)}{\left(4x-3 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{\left( 3x-4 \right) \left[ 6 \cdot \left( 4x-3 \right)- \left( 3x-4 \right) \left( 4 \right) \right]}{\left(4x-3 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{\left( 3x-4 \right) \left[ 24x-18-12x+16 \right]}{\left(4x-3 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{\left( 3x-4 \right) \left[ 12x-2 \right]}{\left(4x-3 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{\left( 3x-4 \right) \cdot 2 \cdot \left( 6x-1 \right)}{\left(4x-3 \right)^{2}} \\ & = 2\dfrac{\left( 3x-4 \right) \left( 6x-1 \right)}{\left(4x-3 \right)^{2}} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{2\left( 3x-4 \right)\left( 6x-1 \right)}{\left( 4x-3 \right)^{2}}$

14. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\dfrac{3}{2 \left( 4x-2 \right)^{4}}$ maka $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} y &= \dfrac{3}{2 \left( 4x-2 \right)^{4}} \\ &= \dfrac{3}{2} \left( 4x-2 \right)^{-4} \\ y' &= -4 \cdot \dfrac{3}{2} \left( 4x-3 \right)^{-4-1} \left( 4 \right) \\ &= -24 \cdot \left( 4x-2 \right)^{-5} \\ & = \dfrac{-24}{\left(4x-2 \right)^{5}} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{-24}{ \left( 4x-2 \right)^{5}} $

15. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\dfrac{3}{ \sqrt{6x+2}}$ maka $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} y &= \dfrac{3}{ \sqrt{6x+2}} \\ &= \dfrac{3}{ \left(6x+2 \right)^{\frac{1}{2}}} \\ &= 3 \left( 6x+2 \right)^{-\frac{1}{2}} \\ y' &= -\dfrac{1}{2} \cdot 3 \left( 6x+2 \right)^{-\frac{1}{2}-1} \left( 6 \right) \\ &= -9 \left( 6x+2 \right)^{-\frac{3}{2}} \\ & = \dfrac{-9}{\left( 6x+2 \right)^{\frac{3}{2}}} \\ & = \dfrac{-9}{\sqrt{\left( 6x+2 \right)^{3}}} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{-9}{\sqrt{ \left( 6x+2 \right)^{3}}} $

16. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)= \left[ \dfrac{3x+2}{4x+3} \right]^{3}$ maka $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} y &= \left[ \dfrac{3x+2}{4x+3} \right]^{3} \\ y' &= 3 \cdot \left[ \dfrac{3x+2}{4x+3} \right]^{3-1} \cdot \left[ \dfrac{3x+2}{4x+3} \right]' \\ &= 3 \cdot \left[ \dfrac{3x+2}{4x+3} \right]^{2} \cdot \left[ \dfrac{(3)(4x+3)-(3x+2)(4)}{(4x+3)^{2}} \right] \\ &= 3 \cdot \left[ \dfrac{3x+2}{4x+3} \right]^{2} \cdot \dfrac{12x+9-12x-8}{(4x+3)^{2}} \\ &= 3 \cdot \dfrac{(3x+2)^{2}}{(4x+3)^{2}} \cdot \dfrac{1}{(4x+3)^{2}} \\ &= 3 \cdot \dfrac{(3x+2)^{2}}{(4x+3)^{4}} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{3 \left( 3x+2 \right)^{2}}{ \left( 4x+3 \right)^{4}}$

17. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\left( 2x^{2}-3x-2 \right)\left( 2x^{2}-3 \right)$ maka nilai $f'(x)$ untuk $x=2$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) &=\left( 2x^{2}-3x-2 \right)\left( 2x^{2}-3 \right) \\ \hline \text{misal}: & \\ u &= 2x^{2}-3x-2\ \rightarrow u'=4x-3 \\ v &= 2x^{2}-3\ \rightarrow v'=4x \\ \hline f'(x)\ &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ &= \left( 4x -3 \right)\left( 2x^{2}-3 \right)+\left( 2x^{2}-3x-2 \right)\left( 4x \right) \\ f'(2) &= \left( 4(2) -3 \right)\left( 2(2)^{2}-3 \right)+\left( 2(2)^{2}-3(2)-2 \right)\left( 4(2) \right) \\ &= \left( 5 \right)\left( 5 \right)+\left( 0 \right)\left( 8 \right) \\ &= 25+0=25 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 25$

18. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)= \sqrt{ \dfrac{4x+1}{2x-3}}$ maka $f'(2)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) &= \sqrt{ \dfrac{4x+1}{2x-3}} &= \left( \dfrac{4x+1}{2x-3} \right)^{\frac{1}{2}} \\ f'(x) &= \dfrac{1}{2} \cdot \left[ \dfrac{4x+1}{2x-3} \right]^{\frac{1}{2}-1} \cdot \left[ \dfrac{4x+1}{2x-3} \right]' \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \left[ \dfrac{4x+1}{2x-3} \right]^{-\frac{1}{2}} \cdot \left[ \dfrac{(4)(2x-3)-(4x+1)(2)}{(2x-3)^{2}} \right]' \\ f'(2) &= \dfrac{1}{2} \cdot \left[ \dfrac{4(2)+1}{2(2)-3} \right]^{-\frac{1}{2}} \cdot \left[ \dfrac{(4)(2(2)-3)-(4(2)+1)(2)}{(2(2)-3)^{2}} \right] \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \left[ 9 \right]^{-\frac{1}{2}} \cdot \left[ -14 \right] \\ &= -7 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{9}}=-\dfrac{7}{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{-7}{3}$

19. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\left(x^{2}-3x\right)\left( 2x+1 \right)$ maka nilai $f'(x)$ untuk $x=2$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) &=\left(x^{2}-3x\right)\left( 2x+1 \right) \\ \hline \text{misal}: & \\ u &= x^{2}-3x \ \rightarrow u'=2x-3 \\ v &= 2x+1\ \rightarrow v'=2 \\ \hline f'(x)\ &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ &= \left( 2x -3 \right)\left( 2x+1 \right)+\left( x^{2}-3x \right)\left( 2 \right) \\ f'(2) &= \left( 2(2) -3 \right)\left( 2(2)+1 \right)+\left( (2)^{2}-3(2) \right)\left( 2 \right) \\ &= \left( 1 \right)\left( 5 \right)+\left( -2 \right)\left( 2 \right) \\ &= 5-4=1 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$

20. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\left(x^{2}-5x\right)\left(2x+1\right)\left(3x-2\right)$ maka nilai $f'(x)$ untuk $x=1$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) &=\left(x^{2}-5x\right)\left(2x+1\right)\left(3x-2\right) \\ \hline \text{misal}: & \\ u &= x^{2}-5x \ \rightarrow u'=2x-5 \\ v &= 2x+1\ \rightarrow v'=2 \\ w &= 3x-2\ \rightarrow w'=3 \\ \hline f'(x)\ &= u'(x) \cdot v(x) \cdot w(x) + u(x) \cdot v'(x) \cdot w(x) + u(x) \cdot v(x) \cdot w'(x) \\ &= \left( 2x -5 \right)\left( 2x+1 \right)\left( 3x-2 \right)+\left( x^{2}-5x \right)\left( 2 \right)\left( 3x-2 \right)+\left( x^{2}-5x \right)\left( 2x+1 \right)\left( 3 \right) \\ f'(1) &= \left( 2(1) -5 \right)\left( 2(1)+1 \right)\left( 3(1)-2 \right)+\left( (1)^{2}-5(1) \right)\left( 2 \right)\left( 3(1)-2 \right)+\left( (1)^{2}-5(1) \right)\left( 2(1)+1 \right)\left( 3 \right) \\ &= \left( -3 \right)\left( 3 \right)\left( 1 \right)+\left( -4 \right)\left( 2 \right)\left( 1 \right)+\left( -4 \right)\left( 3 \right)\left( 3 \right) \\ &= -9-8-36 \\ &= -53 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -53$

21. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\left(x^{2}+3x-3\right)\left(x^{2}-5x+4\right)\left(x^{2}-4x+5\right)$ maka nilai $f'(1)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) &=\left(x^{2}+3x-3\right)\left(x^{2}-5x+4\right)\left(x^{2}-4x+5\right) \\ \hline \text{misal}: & \\ u &= x^{2}+3x-3 \ \rightarrow u'=2x+3 \\ u(1) &= 1 \ \rightarrow u'(1)=5 \\ v &= x^{2}-5x+4\ \rightarrow v'=2x-5 \\ v(1) &= 0 \ \rightarrow v'(1)=-3 \\ w &= x^{2}-4x+5\ \rightarrow w'=2x-4 \\ w(1) &= 2 \ \rightarrow w'(1)=-2 \\ \hline f'(x)\ &= u'(x) \cdot v(x) \cdot w(x) + u(x) \cdot v'(x) \cdot w(x) + u(x) \cdot v(x) \cdot w'(x) \\ f'(1)\ &= u'(1) \cdot v(1) \cdot w(1) + u(1) \cdot v'(1) \cdot w(1) + u(1) \cdot v(1) \cdot w'(1) \\ &= 5 \cdot 0 \cdot 2 + 1 \cdot -3 \cdot 2 + 1 \cdot 0 \cdot -2 \\ &= 0-6+0 \\ &= -6 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -6$

22. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Jika $y=\left(2x-3\right)^{2} \left(4x^{2}-9\right)^{3}\left(2x+3\right)^{2}$ maka $y'=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) &=\left(2x-3\right)^{2} \left(4x^{2}-9\right)^{3}\left(2x+3\right)^{2} \\ &=\left(2x-3\right)^{2} \left(2x+3\right)^{2} \left(4x^{2}-9\right)^{3} \\ &=\left(4x^{2}-9\right)^{2} \left(4x^{2}-9\right)^{3} \\ &=\left(4x^{2}-9\right)^{5} \\ f'(x)\ &=5 \cdot \left(4x^{2}-9\right)^{5-1} \cdot \left(8x \right) \\ &=40x \cdot \left(4x^{2}-9\right)^{4} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 40x\left(4x^{2}-9\right)^{4}$

23. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Jika $y=\sqrt{\dfrac{\left(2x-1 \right)^{3}}{\left( 4x^{2}-1 \right)\left( 2x+1 \right)}}$ maka $y'=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) &=\sqrt{\dfrac{\left(2x-1 \right)^{3}}{\left( 4x^{2}-1 \right)\left( 2x+1 \right)}}\\ &=\sqrt{\dfrac{\left(2x-1 \right)^{3}}{\left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)\left( 2x+1 \right)}}\\ &=\sqrt{\dfrac{\left(2x-1 \right)^{2}}{ \left( 2x+1 \right)^{2} }}\\ &= \dfrac{ 2x-1 }{ 2x+1 }\\ f'(x)\ &=\dfrac{(2)(2x+1)-(2x-1)(2)}{(2x+1)^{2}} \\ &=\dfrac{4x+2-4x+2}{(2x+1)^{2}} \\ &=\dfrac{4}{(2x+1)^{2}} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left( \dfrac{2}{ 2x+1 } \right)^{2}$

24. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\dfrac{2}{ \left( 3x-1 \right)^{5}}$ maka $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} y &= \dfrac{2}{ \left( 3x-1 \right)^{5}} \\ &= 2 \left( 3x-1 \right)^{-5} \\ y' &= -5 \cdot 2 \left( 3x-1 \right)^{-5-1} \left( 3 \right) \\ &= -30 \left( 3x-1 \right)^{-6} \\ & = \dfrac{-30}{\left( 3x-1 \right)^{6}} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{-30}{\left( 3x-1 \right)^{6}}$

25. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=4\sqrt{\left( 3x-5 \right)^{3}}$ maka $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} y &= 4\sqrt{\left( 3x-5 \right)^{3}} \\ &= 4 \left( 3x-5 \right)^{\frac{3}{2}} \\ y' &= \dfrac{3}{2} \cdot 4 \left( 3x-5 \right)^{\frac{3}{2}-1} \left( 3 \right) \\ &= 18 \left( 3x-5 \right)^{ \frac{1}{2}} \\ & = 18\sqrt{ 3x-5 } \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 18\sqrt{ 3x-5 } $

26. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Turunan $f(x)=3\left( 2x-5 \right)^{6}+4\left( 2x-5 \right)^{2}+6$, adalah...
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) & = 3\left( 2x-5 \right)^{6}+4\left( 2x-5 \right)^{2}+6 \\ f'(x) & = 6 \cdot 3\left( 2x-5 \right)^{6-1}(2)+2 \cdot 4\left( 2x-5 \right)^{2-1}(2)+ 0\\ & = 36 \left( 2x-5 \right)^{5} +16\left( 2x-5 \right) \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ f'(x)=36\left( 2x-5 \right)^{5}+16\left( 2x-5 \right)$

27. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=2 \sqrt{3x-6}-\sqrt{ \left( 3x-6 \right)^{3}}$, maka nilai $f'(5)$...
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) & = 2 \sqrt{3x-6}-\sqrt{ \left( 3x-6 \right)^{3}} \\ & = 2 \left( 3x-6 \right)^{\frac{1}{2}}- \left( 3x-6 \right)^{\frac{3}{2}} \\ f'(x) & = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \left[ 3x-6 \right]^{\frac{1}{2}-1} (3)- \dfrac{3}{2} \cdot \left[ 3x-6 \right]^{\frac{3}{2}-1}(3) \\ f'(5) & = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \left[ 3(5)-6 \right]^{\frac{1}{2}-1} (3)- \dfrac{3}{2} \cdot \left[ 3(5)-6 \right]^{\frac{3}{2}-1}(3) \\ & = 3\left( 9 \right)^{-\frac{1}{2}} - \dfrac{9}{2} \left( 9 \right)^{\frac{1}{2}} \\ & = 3\left( \frac{1}{3} \right) - \dfrac{9}{2} \left( 3 \right) \\ & = 1 - \dfrac{27}{2} =- \dfrac{25}{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -12\frac{1}{2}$

28. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Jika fungsi $f(x)=\left[2 \left( 3x-2 \right)^{5}-\left( 3x-2 \right)^{2} \right]^{4}$, maka nilai $f'(1)$...
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) & = \left[2 \left( 3x-2 \right)^{5}-\left( 3x-2 \right)^{2} \right]^{4} \\ \hline \text{misal}: & \\ u(x) & = 3x-2\ \rightarrow \dfrac{du}{dx}=3 \\ u(1) & = 3(1)-2\ \rightarrow u(1)=1 \\ f(x) & = \left[2 u^{5}-u^{2} \right]^{4} \\ \dfrac{df}{du} &=4\left[2 u^{5}-u^{2} \right]^{4} \\ &=4\left[2 u^{5}-u^{2} \right]^{4-1} \left( 10 u^{5-1}-2u^{2-1} \right) \\ &=4\left[2 u^{5}-u^{2} \right]^{3} \left( 10 u^{4}-2u \right) \\ \hline f'(x) & = \dfrac{df}{dx} \\ & = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ & = 4\left[2 u^{5}-u^{2} \right]^{3} \left( 10 u^{4}-2u \right) \cdot \left( 3 \right) \\ f'(1) & = 4\left[2 (1) - (1) \right]^{3} \left( 10 (1) - 2(1) \right) \cdot \left( 3 \right) \\ & = 4\left( 1 \right) \left( 8 \right) \left( 3 \right) \\ & = 96 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 96$

29. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Jika fungsi $y= \sqrt{ 2 \left( 4x-5 \right)^{3}-2\left( 4x-5 \right)^{2} }$, maka nilai $\dfrac{dy}{dx}$ untuk $x=2$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) & = \sqrt{ 2 \left( 4x-5 \right)^{3}-2\left( 4x-5 \right)^{2} } \\ \hline \text{misal}: & \\ u(x) & = 4x-5\ \rightarrow \dfrac{du}{dx}=4 \\ u(2) & = 4(2)-5\ \rightarrow u(2)=3 \\ f(x) & = \sqrt{ 2u^{3}-2u^{2} } \\ \dfrac{df}{du} &=\frac{1}{2} \cdot \left[ 2u^{3}-2u^{2} \right]^{\frac{1}{2}-1} \cdot \left[ 6u^{2}-4u \right] \\ \hline f'(x) & = \dfrac{df}{dx} \\ & = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ \\ & =\dfrac{1}{2} \cdot \left[ 2u^{3}-2u^{2} \right]^{\frac{1}{2}-1} \cdot \left[ 6u^{2}-4u \right] \cdot \left( 4 \right) \\ f'(2) & =\dfrac{1}{2} \cdot \left[ 2(3)^{3}-2(3)^{2} \right]^{-\frac{1}{2}} \cdot \left[ 6(3)^{2}-4(3) \right] \cdot \left( 4 \right) \\ & =\dfrac{1}{2} \cdot \left[ 54-18 \right]^{-\frac{1}{2}} \cdot \left[ 54-12 \right] \cdot \left( 4 \right) \\ & =\dfrac{1}{2} \cdot \left[ 36 \right]^{-\frac{1}{2}} \cdot \left[ 38 \right] \cdot \left( 4 \right) \\ & =\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \left[ 42 \right] \cdot \left( 4 \right) \\ & = 14 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 14$

30. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Jika fungsi $f(x)=\left[2 \left( 3x-4 \right)^{3}-4\left( 3x-4 \right) \right]^{2}$, maka nilai $f'(1)$...
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) & = \left[2 \left( 3x-4 \right)^{3}-4\left( 3x-4 \right) \right]^{2} \\ \hline \text{misal}: & \\ u(x) & = 3x-4\ \rightarrow \dfrac{du}{dx}=3 \\ u(1) & = 3(1)-4\ \rightarrow u(1)=-1 \\ f(x) & = \left[2 u^{3}-4u \right]^{2} \\ \dfrac{df}{du} &=2\left[2 u^{3}-4u \right]^{2-1} \left( 6 u^{2}-4 \right) \\ \hline f'(x) & = \dfrac{df}{dx} \\ & = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ & = 2\left[2 u^{3}-4u \right]^{1} \left( 6 u^{2}-4 \right) \cdot \left( 3 \right) \\ f'(1)& = 2\left[2 (-1)^{3}-4(-1) \right]^{1} \left( 6 (-1)^{2}-4 \right) \cdot \left( 3 \right) \\ & = 2\left[-2+4 \right]^{1} \left( 6-4 \right) \cdot \left( 3 \right) \\ & = 2 (2) \left( 2 \right) \cdot \left( 3 \right) \\ & = 24 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 24$

31. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Jika fungsi $f(x)=\left[ \sqrt{2x-1} + \dfrac{1}{\sqrt{2x-1}} \right]^{3}$, maka nilai $f'(5)$...
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) & = \left[ \sqrt{2x-1} + \dfrac{1}{\sqrt{2x-1}} \right]^{3} \\ \hline \text{misal}: & \\ u(x) & = \sqrt{2x-1} \ \rightarrow \dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}} \\ u(5) & = \sqrt{2(5)-1}\ \rightarrow u(5)=3 \\ f(x) & = \left[ u + \dfrac{1}{u} \right]^{3} \\ & = \left[ u + u^{-1} \right]^{3} \\ \dfrac{df}{du} &= 3 \left[ u + u^{-1} \right]^{2} \left( 1 - u^{-2} \right) \\ \hline f'(x) & = \dfrac{df}{dx} \\ & = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ & = 3 \left[ u + u^{-1} \right]^{2} \left( 1 - u^{-2} \right) \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2x-1}} \\ f'(5) & = 3 \left[ (3) + (3)^{-1} \right]^{2} \left( 1 - (3)^{-2} \right) \cdot \dfrac{1}{3} \\ & = 3 \left[ (3) + \dfrac{1}{3} \right]^{2} \left( 1 - \dfrac{1}{9} \right) \cdot \dfrac{1}{3} \\ & = \left[ \dfrac{10}{3} \right]^{2} \left( \dfrac{8}{9} \right) \\ & = \left( \dfrac{100}{9} \right) \left( \dfrac{8}{9} \right) \\ & = \dfrac{800}{81} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{800}{81}$

32. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Jika fungsi $f(x)=\dfrac{3}{ \left( 2x-3 \right)^{2}}$ maka $f''(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) &= \dfrac{3}{ \left( 2x-3 \right)^{2}} \\ &= 3 \cdot \left( 2x-3 \right)^{-2} \\ f'(x) &= (-2) 3 \cdot \left( 2x-3 \right)^{-2-1} \cdot (2) \\ &= (-12) \cdot \left( 2x-3 \right)^{-3} \end{align}$

Yang ditanyakan pada soal di atas adalah turunan kedua fungsi $f(x)$ yang dituliskan dengan simbol $f''(x)$ artinya setelah turunan pertama $f'(x)$ diturunkan lagi.

$\begin{align} f'(x) &= (-12) \cdot \left( 2x-3 \right)^{-3} f''(x) &= -3 \cdot (-12) \cdot \left( 2x-3 \right)^{-3-1} (2) \\ &= (72) \cdot \left( 2x-3 \right)^{-4} \\ & = \dfrac{72}{ \left( 2x-3 \right)^{4}} \end{align}$
Sebagai catatan, untuk turunan ketiga, keempat, sampai ke-$n$ dari sebuah fungsi $f(x)$ dituliskan $f^{(3)}(x)$, $f^{(4)}(x)$ dan $f^{(n)}(x)$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{72}{ \left( 2x-3 \right)^{4}}$

33. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Jika fungsi $f(x)=\sqrt{\left( 8x+5 \right)^{3}}$ maka $f''(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) &= \sqrt{\left( 8x+5 \right)^{3}} \\ &= \left( 8x+5 \right)^{\frac{3}{2}}\\ f'(x) &= \dfrac{3}{2} \cdot \left( 8x+5 \right)^{\frac{3}{2}-1} (8) \\ &= (12) \cdot \left( 8x+5 \right)^{\frac{1}{2}} \\ \end{align}$

Yang ditanyakan pada soal di atas adalah turunan kedua fungsi $f(x)$ yang dituliskan dengan simbol $f''(x)$ artinya setelah turunan pertama $f'(x)$ diturunkan lagi.

$\begin{align} f'(x) &= (12) \cdot \left( 8x+5 \right)^{\frac{1}{2}} \\ f''(x) &= \dfrac{1}{2} \cdot (12) \cdot \left( 8x+5 \right)^{\frac{1}{2}-1} (8) \\ &= (48) \cdot \left( 8x+5 \right)^{-\frac{1}{2} } \\ & = \dfrac{48}{\sqrt{\left( 8x+5 \right)}} \end{align}$
Sebagai catatan, untuk turunan ketiga, keempat, sampai ke-$n$ dari sebuah fungsi $f(x)$ dituliskan $f^{(3)}(x)$, $f^{(4)}(x)$ dan $f^{(n)}(x)$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{48}{\sqrt{\left( 8x+5 \right)}}$

34. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar

Diketahui $g(x)=\dfrac{2x-3}{f(x)}$. $f'$ adalah turunan pertama dari $f$ dan $g'$ adalah turunan pertama dari $g$. Jika $f(1)=f'(1)=1$ maka $g'(1)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} g(x) &= \dfrac{2x-3}{f(x)} \\ f(x) \cdot g(x) &= 2x-3 \\ f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) &= 2 \\ f'(1) \cdot g(1) + f(1) \cdot g'(1) &= 2 \\ 1 \cdot g(1) + 1 \cdot g'(1) &= 2 \\ \hline g(x) &= \dfrac{2x-3}{f(x)} \\ g(1) &= \dfrac{2(1)-3}{f(1)} \\ &= \dfrac{-1}{1}=-1 \\ \hline 1 \cdot (-1) + 1 \cdot g'(1) &= 2 \\ (-1) + g'(1) &= 2 \\ g'(1) &= 2+1=3 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3$


Catatan Cara Membuktikan Rumus-rumus Turunan Fungsi Aljabar Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.

Related Posts

close