Cara Membuktikan Rumus-rumus Turunan Fungsi Aljabar Dilengkapi 30+ Soal Latihan dan Pembahasan

Calon guru belajar matematika dasar dari Membuktikan Sifat-Sifat Turunan Fungsi Aljabar yang Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan. Setelah mengenal definisi Turunan Fungsi Aljabar, selanjutnya kita bisa gunakan beberapa sifat turunan fungsi aljabar untuk menyelesaikan masalah yang berkembang. Sifat-sifat turunan fungsi aljabar ini juga diperoleh dari pengembangan definisi turunan fungsi.

Dengan menggunakan definisi turunan fungsi, kita dapat menentukan turunan pertama dari fungsi $f(x)=4x$ yaitu:

$\begin{align} f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{4\left( x+h \right) - \left( 4x \right)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{4x+4h -4x }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{4h }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} 4 \\ & = 4 \end{align}$
$\therefore$ Turunan pertama $f(x)=4x$ adalah $f'(x)=4$

TURUNAN FUNGSI KONSTAN

Catatan!
Jika $f(x)=a$ dimana $a$ adalah konstanta maka $f'(x)=0$

Alternatif Pembuktian:

Sebelum kita menentukan turunan fungsi $f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, tahap awal kita coba tentukan fungsi $f(x)$ dan $f\left( x+h \right)$ yaitu:

$\begin{align} f(x) & = a \\ f\left( x+h \right) & = a \end{align}$

Lalu $f\left( x \right)$ dan $f\left( x+h \right)$ kita substitusi ke definisi turunan fungsi, sehingga kita peroleh:

$\begin{align} f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{a - a}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ 0 }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} 0 \\ & = 0 \end{align}$

$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)=a$ adalah $f'(x)=0$

Contoh:

Jika $f(x)=5$, maka $f'(x)=0$
Jika $f(x)=-2$, maka $f'(x)=0$
Jika $f(x)=0,75$, maka $f'(x)=0$
Jika $f(x)=\dfrac{1}{3}$, maka $f'(x)=0$

TURUNAN FUNGSI LINEAR

Catatan!
Jika $f(x)=ax$ dimana $a$ adalah konstanta maka $f'(x)=a$

Alternatif Pembuktian:

Sebelum kita menentukan turunan fungsi $f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, tahap awal kita coba tentukan fungsi $f(x)$ dan $f\left( x+h \right)$ yaitu:

$\begin{align} f(x) & = ax \\ f\left( x+h \right) & = a \left( x+h \right) \\ & = ax+ah \end{align}$

Lalu $f\left( x \right)$ dan $f\left( x+h \right)$ kita substitusi ke definisi turunan fungsi, sehingga kita peroleh:

$\begin{align} f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f\left( x+h \right)-f(x)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ax+ah - ax }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ah}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} a \\ & = a \end{align}$

$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)=ax$ adalah $f'(x)=a$

Contoh:

Jika $f(x)=5x$, maka $f'(x)=5$
Jika $f(x)=4x$, maka $f'(x)=4$
Jika $f(x)=-8x$, maka $f'(x)=-8$
Jika $f(x)=\dfrac{1}{3}x$, maka $f'(x)=\dfrac{1}{3}$

TURUNAN FUNGSI EKSPONEN

Catatan!
Jika $f(x)=ax^{n}$ dimana $a$ dan $n$ adalah konstanta maka $f'(x)=anx^{n-1}$

Alternatif Pembuktian:

Sebelum kita menentukan turunan fungsi $f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, tahap awal kita coba tentukan fungsi $f(x)$ dan $f\left( x+h \right)$ yaitu:

$\begin{align} f(x) & = ax^{n} \\ f\left( x+h \right) & = a\left( x+h \right)^{n} \\ & =a\left ( x^{n}+\binom{n}{1}x^{n-1}h+\binom{n}{2}x^{n-2}h^{2}+\cdots+\binom{n}{n-1}xh^{n-1}+h^{n} \right ) \\ & = ax^{n}+a\binom{n}{1}x^{n-1}h+a\binom{n}{2}x^{n-2}h^{2}+\cdots+a\binom{n}{n-1}xh^{n-1}+ah^{n} \\ \end{align}$

Lalu $f\left( x \right)$ dan $f\left( x+h \right)$ kita substitusi ke definisi turunan fungsi, sehingga kita peroleh:

$\begin{align} f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f\left( x+h \right)-f(x)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ax^{n}+a\binom{n}{1}x^{n-1}h+a\binom{n}{2}x^{n-2}h^{2}+\cdots+a\binom{n}{n-1}xh^{n-1}+ah^{n} - ax^{n} }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{a\binom{n}{1}x^{n-1}h+a\binom{n}{2}x^{n-2}h^{2}+\cdots+a\binom{n}{n-1}xh^{n-1}+ah^{n}}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \left(a\binom{n}{1}x^{n-1} +a\binom{n}{2}x^{n-2}h^{2-1}+\cdots+a\binom{n}{n-1}xh^{n-2}+ah^{n-1} \right) \\ & = a\binom{n}{1}x^{n-1} +a\binom{n}{2}x^{n-2}(0)^{2-1}+\cdots+a\binom{n}{n-1}x(0)^{n-2}+a(0)^{n-1} \\ & = a\binom{n}{1}x^{n-1} +0+\cdots+0+0 \\ \hline \binom{n}{r} & = \dfrac{n!}{r! \left(n-r \right)!} \\ \binom{n}{1} & = \dfrac{n!}{1! \left(n-1 \right)!} \\ & = \dfrac{n \cdot \left(n-1 \right)!}{\left(n-1 \right)!} \\ & = n \\ \hline f'(x) & = a\binom{n}{1}x^{n-1} \\ & = a \cdot n \cdot x^{n-1} \\ \end{align}$

$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)=ax^{n}$ adalah $f'(x)=anx^{n-1}$

Contoh:

Jika $f(x)=5x^{2}$, maka
$\begin{align} f'(x) & = 5 \cdot 2 x^{2-1} \\ & = 10x \end{align}$
Jika $f(x)=7x^{3}$, maka
$\begin{align} f'(x) & = 7 \cdot 3 x^{3-1} \\ & = 21x^{2} \end{align}$
Jika $f(x)=8x^{\frac{3}{2}}$, maka
$\begin{align} f'(x) & = 8 \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2}-1} \\ & = 12x^{\frac{1}{2}} \\ & = 12\sqrt{x} \\ \end{align}$
Jika $f(x)=6x^{\frac{1}{2}}$, maka
$\begin{align} f'(x) & = 6 \cdot \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1} \\ & = 3x^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{3}{x^{\frac{1}{2}}} \\ & = \dfrac{3}{\sqrt{x}} = \dfrac{3}{x}\sqrt{x} \end{align}$

TURUNAN PENJUMLAHAN FUNGSI

Catatan!
Jika $f(x)=u(x)+v(x)$ dimana $u(x)$ dan $v(x)$ adalah sebuah fungsi maka $f'(x)=u'(x)+v'(x)$

Alternatif Pembuktian:

Sebelum kita menentukan turunan fungsi $f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, tahap awal kita coba tentukan fungsi $f(x)$ dan $f\left( x+h \right)$ yaitu:

$\begin{align} f(x) & = u(x)+v(x) \\ f\left( x+h \right) & = u(x+h)+v(x+h) \\ \end{align}$

Lalu $f\left( x \right)$ dan $f\left( x+h \right)$ kita substitusi ke definisi turunan fungsi, sehingga kita peroleh:

$\begin{align} f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f\left( x+h \right)-f(x)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)+v(x+h) - \left[ u(x)+v(x) \right] }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)+v(x+h) - u(x)-v(x) }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x)+ v(x+h)-v(x) }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \left( \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} + \dfrac{v(x+h)-v(x) }{h} \right) \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} + \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{v(x+h)-v(x) }{h} \\ & = u'(x) + v'(x) \end{align}$

$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)=u(x)+v(x)$ adalah $f'(x)=u'(x)+v'(x)$

Contoh:

Jika $f(x)=4x^{3}+x$, maka
$\begin{align} f'(x) & = 4 \cdot 3 x^{3-1}+1 \\ & = 12x^{2}+1 \end{align}$
Jika $f(x)=5x^{4}+4x$, maka
$\begin{align} f'(x) & = 5 \cdot 4 x^{4-1}+4 \\ & = 20x^{3}+4 \end{align}$

TURUNAN PENGURANGAN FUNGSI

Catatan!
Jika $f(x)=u(x)-v(x)$ dimana $u(x)$ dan $v(x)$ adalah sebuah fungsi maka $f'(x)=u'(x)-v'(x)$

Alternatif Pembuktian:

Sebelum kita menentukan turunan fungsi $f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, tahap awal kita coba tentukan fungsi $f(x)$ dan $f\left( x+h \right)$ yaitu:

$\begin{align} f(x) & = u(x)+v(x) \\ f\left( x+h \right) & = u(x+h)+v(x+h) \\ \end{align}$

Lalu $f\left( x \right)$ dan $f\left( x+h \right)$ kita substitusi ke definisi turunan fungsi, sehingga kita peroleh:

$\begin{align} f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f\left( x+h \right)-f(x)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)-v(x+h) - \left[ u(x)-v(x) \right] }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)-v(x+h) - u(x)+v(x) }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x)- v(x+h)+v(x) }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x) - \left[v(x+h)-v(x) \right]}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \left( \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} - \dfrac{v(x+h)-v(x) }{h} \right) \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} - \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{v(x+h)-v(x) }{h} \\ & = u'(x) - v'(x) \end{align}$

$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)=u(x)-v(x)$ adalah $f'(x)=u'(x)-v'(x)$

Contoh:

Jika $f(x)=3x^{4}-7x$, maka
$\begin{align} f'(x) & = 3 \cdot 4 x^{4-1}-7 \\ & = 12x^{3}-7 \end{align}$
Jika $f(x)=4x^{5}-x$, maka
$\begin{align} f'(x) & = 5 \cdot 4 x^{5-1}-1 \\ & = 20x^{4}-1 \end{align}$

TURUNAN PERKALIAN FUNGSI

Catatan!
Jika $f(x)=u(x) \cdot v(x) \cdot w(x)$ dimana $u(x), v(x)$ dan $w(x)$ adalah sebuah fungsi maka $f'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)$

Catatan!
Jika $f(x)=u(x) \cdot v(x) \cdot w(x)$ dimana $u(x), v(x)$ dan $w(x)$ adalah sebuah fungsi maka $f'(x)=u'(x) \cdot v(x) \cdot w(x) +$$ u(x) \cdot v'(x) \cdot w(x) +$$ u(x) \cdot v(x) \cdot w'(x)$

Alternatif Pembuktian:

Sebelum kita menentukan turunan fungsi $f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, tahap awal kita coba tentukan fungsi $f(x)$ dan $f\left( x+h \right)$ yaitu:

$\begin{align} f(x) & = u(x) \cdot v(x) \\ f\left( x+h \right) & = u(x+h) \cdot v(x+h) \\ \end{align}$

Lalu $f\left( x \right)$ dan $f\left( x+h \right)$ kita substitusi ke definisi turunan fungsi, sehingga kita peroleh:

$\begin{align} f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f\left( x+h \right)-f(x)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) \cdot v(x+h) - u(x) \cdot v(x) }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) \cdot v(x+h) -u(x+h) \cdot v(x)+u(x+h) \cdot v(x) - u(x) \cdot v(x) }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) \cdot \left[ v(x+h) - v(x) \right] + v(x) \left[ u(x+h) - u(x) \right] }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \left( \dfrac{u(x+h) \cdot \left[ v(x+h) - v(x) \right]}{h} + \dfrac{v(x) \left[ u(x+h) - u(x) \right] }{h} \right)\\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)}{1} \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\left[ v(x+h) - v(x) \right]}{h} +\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{v(x)}{1} \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\left[ v(x+h) - v(x) \right]}{h}\\ & = \dfrac{u(x+0)}{1} \cdot v'(x) + \dfrac{v(x)}{1} \cdot u'(x) \\ & = u(x) \cdot v'(x) + v(x) \cdot u'(x) \end{align}$

$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)=u(x) \cdot v(x)$ adalah $f'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)$

Sifat di atas kita kembangkan untuk membuktikan sifat turunan perkalian tiga fungsi,
$\begin{align} f(x) & = u(x) \cdot v(x) \cdot w(x) \\ f(x) & = \left[ u(x) \cdot v(x) \right] \cdot w(x) \\ f'(x) & = \left[ u(x) \cdot v(x) \right]' \cdot w(x) + \left[ u(x) \cdot v(x) \right] \cdot w'(x)\\ & = \left[ u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x) \right] \cdot w(x) + u(x) \cdot v(x) \cdot w'(x) \\ & = u'(x) \cdot v(x) \cdot w(x) + u(x) \cdot v'(x) \cdot w(x) + u(x) \cdot v(x) \cdot w'(x)\\ \end{align}$

$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)=u(x) \cdot v(x) \cdot w(x)$ adalah $f'(x)=u'(x) \cdot v(x) \cdot w(x) +$$ u(x) \cdot v'(x) \cdot w(x) +$$ u(x) \cdot v(x) \cdot w'(x)$

Contoh:

Jika $f(x)=5 \cdot x^{4}$, maka
$\begin{align} \text{misal}: & \\ u(x) & = 5\ \rightarrow u'(x)=0 \\ v(x) & = x^{4}\ \rightarrow v'(x)=4x^{3} \\ \hline f'(x) & = u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x) \\ & = 0 \cdot x^{4} +5 \cdot 4x^{3} \\ & = 0 +20x^{3} \\ & = 20x^{3} \\ \end{align}$
Jika $f(x)=\left( 2x-5 \right)\left( 3x+7 \right)$, maka
$\begin{align} \text{misal}: & \\ u(x) & = 2x-5 \ \rightarrow u'(x)=2 \\ v(x) & = 3x+7\ \rightarrow v'(x)=3 \\ \hline f'(x) & = u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x) \\ & = 2 \cdot \left( 3x+7 \right) +\left( 2x-5 \right) \cdot 3 \\ & = 6x+14 +6x-15 \\ & = 12x-1 \end{align}$

TURUNAN PEMBAGIAN FUNGSI

Catatan!
Jika $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ dimana $u(x)$ dan $v(x)$ adalah sebuah fungsi maka $f'(x)=\dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x) }{v^{2}(x)}$

Alternatif Pembuktian:

Untuk membuktikan sifat ini, kita gunakan sifat yang seblumnya sudah terbukti yaitu Turunan $f(x)=u(x) \cdot v(x)$ adalah $f'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)$

$\begin{align} \text{misal}: & \\ f(x) & = \dfrac{u(x)}{v(x)} \\ u(x) & = f(x) \cdot v(x) \\ \hline u'(x) & = f'(x) \cdot v(x)+f(x) \cdot v'(x) \\ u'(x) & = f'(x) \cdot v(x)+\dfrac{u(x)}{v(x)} \cdot v'(x) \\ \dfrac{u'(x)}{v(x)} & = f'(x) +\dfrac{u(x)}{v^{2}(x)} \cdot v'(x) \\ f'(x) & = \dfrac{u'(x)}{v(x)} -\dfrac{u(x)}{v^{2}(x)} \cdot v'(x) \\ & = \dfrac{u'(x) \cdot v(x)}{v^{2}(x)} -\dfrac{u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)} \\ & = \dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)} \end{align}$

$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ adalah $f'(x)=\dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x) }{v^{2}(x)}$

Contoh:

Jika $f(x)=\dfrac{5}{x^{2}}$, maka
$\begin{align} \text{misal}: & \\ u(x) & = 5\ \rightarrow u'(x)=0 \\ v(x) & = x^{2}\ \rightarrow v'(x)=2x \\ \hline f'(x) & = \dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x) }{v^{2}(x)} \\ & = \dfrac{0 \cdot x^{2}-5 \cdot 2x }{\left( x^{2} \right)^{2}} \\ & = \dfrac{0-10x }{x^{4}} \\ & = \dfrac{-10}{x^{3}} \end{align}$
Jika $f(x)=\dfrac{2x+3}{4x-7}$, maka
$\begin{align} \text{misal}: & \\ u(x) & = 2x+3\ \rightarrow u'(x)=2 \\ v(x) & = 4x-7\ \rightarrow v'(x)=4 \\ \hline f'(x) & = \dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x) }{v^{2}(x)} \\ & = \dfrac{2 \cdot \left( 4x-7 \right)-\left( 2x+3 \right) \cdot 4 }{\left(4x-7 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{8x-14-8x-12 }{\left(4x-7 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{-26 }{\left(4x-7 \right)^{2}} \end{align}$

ATURAN RANTAI TURUNAN FUNGSI

Catatan!
Jika $f(x)$ adalah sebuah fungsi maka $f'(x)=\dfrac{df}{dx}=\dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}$, yang dapat dikembangkan menjadi $\dfrac{df}{dx}=\dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dv} \cdot \dfrac{dv}{dx}$.

Contoh:

Jika $f(x)=\left( 2x-3\right)^{3}$, maka
$\begin{align} \text{misal}: & \\ u(x) & = 2x-3\ \rightarrow \dfrac{du}{dx}=2 \\ f(x) & = u^{3}\ \rightarrow \dfrac{df}{du}=3u^{2} \\ \hline f'(x) & = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ & = 3u^{2} \cdot 2 \\ & = 6u^{2} \\ & = 6\left( 2x-3\right)^{2} \end{align}$
Jika $f(x)=\left( 3x+4\right)^{5}$, maka
$\begin{align} \text{misal}: & \\ u(x) & = 3x+4\ \rightarrow \dfrac{du}{dx}=3 \\ f(x) & = u^{5}\ \rightarrow \dfrac{df}{du}=5u^{4} \\ \hline f'(x) & = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ & = 5u^{4} \cdot 3 \\ & = 15u^{4} \\ & = 15\left( 3x+4 \right)^{4} \end{align}$

TURUNAN FUNGSI BERPANGKAT $n$

Catatan!
Jika $f(x)= \left[ g(x) \right]^{n}$ dimana $f(x),\ g(x)$ adalah sebuah fungsi maka $f'(x)=n \cdot \left[ g(x) \right]^{n-1} \cdot g'(x)$

atau dapat juga dituliskan dalam bentuk:
Jika $f(x)= g^{n}(x)$ maka $f'(x)=n \cdot g^{n-1}(x) \cdot g'(x)$.

Alternatif Pembuktian:

Untuk membuktikan sifat ini, kita gunakan bantuan sifat aturan rantai $\dfrac{df}{dx}=\dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}$
Untuk $f(x)= \left[ g(x) \right]^{n}$
$\begin{align} \text{misal}: & \\ u & = g(x) \rightarrow \dfrac{du}{dx}=g'(x) \\ f(x) & = u^{n} \rightarrow \dfrac{df}{du}=n \cdot u^{n-1} \\ \hline f'(x) & = \dfrac{df}{dx} \\ & = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ & = n \cdot u^{n-1} \cdot g'(x) \\ & = n \cdot \left[ g(x) \right]^{n-1} \cdot g'(x) \end{align}$

$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)= \left( g(x) \right)^{n}$ adalah $f'(x)=n \cdot \left[ g(x) \right]^{n-1} \cdot g'(x)$

Contoh:

Jika $f(x)=\left( 2x-3\right)^{3}$, maka
$\begin{align} f'(x) & = 3 \cdot \left( 2x-3\right)^{3-1} \cdot (2) \\ & = 6 \cdot \left( 2x-3\right)^{2} \end{align}$
Jika $f(x)=\left( 3x+4\right)^{5}$, maka
$\begin{align} f'(x) & = 5 \cdot \left( 3x+4 \right)^{5-1} \cdot (3) \\ & = 15 \cdot \left( 3x+4\right)^{4} \end{align}$

Jika tertarik untuk membahahas soal-soal tentang turunan fungsi yang sudah pernah diujikan pada Ujian Nasional atau Ujian Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri silahkan di simak pada:

SOAL LATIHAN DAN PEMBAHASAN PENGEMBANGAN RUMUS TURUNAN FUNGSI ALJABAR

Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Matematika SMA Rumus-rumus Turunan Fungsi Aljabar atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.

1. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $y=\left( 4x-2 \right)\left( 2x+1 \right)$ maka $y'=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 12x \\ (B)\ & 12x-2 \\ (C)\ & 16x \\ (D)\ & 16x-2 \\ (E)\ & 12x^{2}-3x \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan masalah turunan fungsi di atas dapat kita selesaikan dengan beberapa alternatif pembahasan. Karena masih tahap dasar, soal ini kita coba selesaikan dengan dua alternatif penyelesaian, tetapi untuk soal selanjutnya kita pilih satu alternatif pembahasan saja.

* Alternatif Pembahasan I *
$\begin{align} y\ &= \left( 4x-2 \right)\left( 2x+1 \right) \\ &= 8x^{2}+4x-4x-2 \\ &= 8x^{2}-2 \\ y'\ &= (2)(8)x^{2-1} \\ &= 16x \end{align}$

* Alternatif Pembahasan II *
$\begin{align} y\ &= \left( 4x-2 \right)\left( 2x+1 \right) \\ \hline \text{misal}: & \\ u &= 4x-2\ \rightarrow u'=4 \\ v &= 2x+1\ \rightarrow v'=2 \\ \hline y'\ &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ &= \left( 4 \right) \left( 2x+1 \right)+\left( 4x-2 \right)\left( 2 \right) \\ &= 8x+4+8x-4 \\ &= 16x \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 16x$

2. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\left( x^{2}-3x \right)\left( 2x-5 \right)$ maka $f'(x)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 3x^{2}+20x+15 \\ (B)\ & 6x^{2}-22x+15 \\ (C)\ & 2x^{2}-20x+15 \\ (D)\ & 6x^{2}+20x-15 \\ (E)\ & 3x^{2}-22x-15 \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) &=\left( x^{2}-3x \right)\left( 2x-5 \right) \\ \hline \text{misal}: & \\ u &= x^{2}-3x\ \rightarrow u'=2x-3 \\ v &= 2x-5\ \rightarrow v'=2 \\ \hline f'(x)\ &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ &= \left( 2x -3 \right)\left( 2x-5 \right)+\left( x^{2}-3x \right)\left( 2 \right) \\ &= 4x^{2}-10x-6x+15+2x^{2}-6x \\ &= 6x^{2}-22x+15 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6x^{2}-22x+15$

3. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $y=\dfrac{2x+3}{4x-6}$ maka $y'=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{-12}{\left( 4x-6 \right)^{2}} \\ (B)\ & \dfrac{-6}{\left( 2x-3 \right)^{2}} \\ (C)\ & \dfrac{-24}{\left( 2x-3 \right)^{2}} \\ (D)\ & \dfrac{-8}{\left( 4x-6 \right)^{2}} \\ (E)\ & \dfrac{24}{\left( 4x-6 \right)^{2}} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} y &= \dfrac{2x+3}{4x-6} \\ \hline \text{misal:}\ & u= 2x+3\ \rightarrow u'=2 \\ & v= 4x-6\ \rightarrow v'=4 \\ \hline y' & = \dfrac{u' \cdot v -u \cdot v' }{v^{2}} \\ & = \dfrac{2 \cdot \left( 4x-6 \right)-\left( 2x+3 \right) \cdot 4 }{\left(4x-6 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{8x-12-8x-12 }{\left(4x-6 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{-24 }{\left(4x-6 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{-24 }{\left( 2 \left[2x-3 \right] \right)^{2} } \\ & = \dfrac{-24 }{4 \left(2x-3 \right)^{2} } \\ & = \dfrac{-6 }{\left(2x-3 \right)^{2} } \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{-6}{\left( 2x-3 \right)^{2}}$

4. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\dfrac{2x^{2}+5x-3}{x+3}$ maka $f'(x)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{4x+5}{\left( x+3 \right)^{2}} \\ (B)\ & \dfrac{2x^{2}-12x+18}{\left( x+3 \right)^{2}} \\ (C)\ & \dfrac{3}{\left( x+3 \right)^{2}} \\ (D)\ & \dfrac{2x^{2}+12x+18}{\left( x-3 \right)^{2}} \\ (E)\ & 2 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) &= \dfrac{2x^{2}+5x-3}{x+3} \\ \hline \text{misal:}\ & u= 2x^{2}+5x-3\ \rightarrow u'=4x+5 \\ & v= x+3\ \rightarrow v'=1 \\ \hline f'(x) & = \dfrac{u' \cdot v -u \cdot v' }{v^{2}} \\ & = \dfrac{\left( 4x+5 \right) \cdot \left( x+3 \right)-\left( 2x^{2}+5x-3 \right) \cdot 1 }{\left(x+3 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{4x^{2}+12x+5x+15-2x^{2}-5x+3 }{\left(x+3 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{2x^{2}+12x+18 }{\left(x+3 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{2 \left( x^{2}+6x+9 \right) }{\left( x^{2}+6x+9 \right) } \\ & = 2 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$

5. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $y=\dfrac{3}{x^{2}-2x}$ maka $y'=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{-3x+3}{\left( x^{2}-2x \right)^{2}} \\ (B)\ & \dfrac{4x-3}{\left( x^{2}-2x \right)^{2}} \\ (C)\ & \dfrac{-4x-4}{\left( x^{2}-2x \right)^{2}} \\ (D)\ & \dfrac{-6x+6}{\left( x^{2}-2x \right)^{2}} \\ (E)\ & \dfrac{-3x}{\left( x^{2}-2x \right)^{2}} \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} y &= \dfrac{3}{x^{2}-2x} \\ \hline \text{misal:}\ & u= 3\ \rightarrow u'=0 \\ & v= x^{2}-2x\ \rightarrow v'=2x-2 \\ \hline y' & = \dfrac{u' \cdot v -u \cdot v' }{v^{2}} \\ & = \dfrac{\left( 0 \right) \cdot \left( x^{2}-2x \right)-\left( 3 \right) \cdot \left( 2x-2 \right) }{\left( x^{2}-2x \right)^{2}} \\ & = \dfrac{0-\left( 6x-6 \right) }{\left( x^{2}-2x \right)^{2}} \\ & = \dfrac{-6x+6 }{\left( x^{2}-2x \right)^{2}} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{-6x+6 }{\left( x^{2}-2x \right)^{2}}$

6. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=5\left( 4x-2 \right)^{3}$ maka $f'(x)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 30 \left( 4x-2 \right)^{2} \\ (B)\ & 60 \left( 4x-2 \right)^{2} \\ (C)\ & 20 \left( 4x-2 \right)^{2} \\ (D)\ & 30 \left( 4x-2 \right) \\ (E)\ & 60 \left( 4x-2 \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) &= 5\left( 4x-2 \right)^{3} \\ f'(x) & = 3 \cdot 5 \left( 4x-2 \right)^{3-1} \cdot \left( 4 \right) \\ & = 15 \left( 4x-2 \right)^{2} \cdot \left( 4 \right) \\ & = 60 \left( 4x-2 \right)^{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 60 \left( 4x-2 \right)^{2}$

7. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=4\left( x^{2}+3x \right)^{5}$ maka $f'(x)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \left( x^{2}+3x \right)^{4} \left( 2x+3 \right) \\ (B)\ & 20 \left( x^{2}+3x \right) \\ (C)\ & 20 \left( 2x+3 \right) \left( x^{2}+3x \right)^{4} \\ (D)\ & 4 \left( 5x^{2}+15x \right)^{4} \\ (E)\ & 20x^{3}-16x^{2}+15x+10 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) &= 4\left( x^{2}+3x \right)^{5} \\ f'(x) & = 5 \cdot 4 \left( x^{2}+3x \right)^{5-1} \cdot \left( 2x+3 \right) \\ & = 20 \left( x^{2}+3x \right)^{4} \cdot \left( 2x+3 \right) \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 20 \left( 2x+3 \right) \left( x^{2}+3x \right)^{4}$

8. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $y=\sqrt{2x+6}$ maka $y'=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{\sqrt{2x+6}} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2\sqrt{2x+6}} \\ (C)\ & \sqrt{\left( 2x+6 \right)^{3}} \\ (D)\ & \dfrac{1}{2\sqrt{\left( 2x+6 \right)^{3}}} \\ (E)\ & \dfrac{1}{2} \sqrt{2x+6} \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} y &= \sqrt{2x+6} \\ y &= \left( 2x+6 \right)^{\frac{1}{2}} \\ y' & = \dfrac{1}{2} \cdot \left( 2x+6 \right)^{\frac{1}{2}-1} \cdot \left( 2 \right) \\ & = \left( 2x+6 \right)^{-\frac{1}{2}} \\ & = \dfrac{1}{\left( 2x+6 \right)^{\frac{1}{2}}} \\ & = \dfrac{1}{\sqrt{2x+6}} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{\sqrt{2x+6}}$

9. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=6\sqrt{\left( 3x-1 \right)^{5}}$ maka $f'(x)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 45\sqrt{\left( 3x-1 \right)^{3}} \\ (B)\ & 30\sqrt{\left( 3x-1 \right)^{3}} \\ (C)\ & 90\sqrt{\left( 3x-1 \right)^{3}} \\ (D)\ & 30\sqrt{\left( 3x-1 \right)^{4}} \\ (E)\ & 45 \left( 3x-1 \right)^{5} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} y &= 6\sqrt{\left( 3x-1 \right)^{5}} \\ y &= 6\left( 3x-1 \right)^{\frac{5}{2}} \\ y' & = \dfrac{5}{2} \cdot 6 \left( 3x-1 \right)^{\frac{5}{2}-1} \cdot \left( 3 \right) \\ & = 45 \left( 3x-1 \right)^{\frac{3}{2}} \\ & = 45 \sqrt{\left( 3x-1 \right)^{3}} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 45\sqrt{\left( 3x-1 \right)^{3}}$

10. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)= \left( 3x-4 \right)^{3}\left( 6x-8 \right)$ maka $f'(x)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 8 \left( 3x-4 \right)^{3} \\ (B)\ & 8 \left( 3x-4 \right)^{2} \\ (C)\ & 24 \left( 3x-4 \right)^{3} \\ (D)\ & 24 \left( 3x-4 \right)^{2} \\ (E)\ & 24 \left( 3x-4 \right)^{3} \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) &= \left( 3x-4 \right)^{3}\left( 6x-8 \right) \\ &= \left( 3x-4 \right)^{3} \cdot 2 \cdot \left( 3x-4 \right) \\ &= 2 \left( 3x-4 \right)^{4} \\ f'(x) & = 4 \cdot 2 \left( 3x-4 \right)^{4-1} (3)\\ & = 24 \left( 3x-4 \right)^{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 24 \left( 3x-4 \right)^{3}$

11. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)= \dfrac{4x+6}{\sqrt{2x+3}}$ maka $f'(x)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{\sqrt{2x+3}} \\ (B)\ & \dfrac{4}{\sqrt{2x+3}} \\ (C)\ & 2 \sqrt{2x+3} \\ (D)\ & 4\sqrt{2x+3} \\ (E)\ & \dfrac{1}{2\sqrt{2x+3}} \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) &= \dfrac{4x+6}{\sqrt{2x+3}} \\ &= \dfrac{2 \left( 2x+3 \right)}{\left( 2x+3 \right)^{\dfrac{1}{2}}} \\ &= 2 \left( 2x+3 \right)^{1-\dfrac{1}{2}} \\ &= 2 \left( 2x+3 \right)^{ \dfrac{1}{2}} \\ f'(x) & = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \left( 2x+3 \right)^{ \dfrac{1}{2}-1} \cdot \left( 2 \right)\\ & = 2 \left( 2x+3 \right)^{ -\dfrac{1}{2}} \\ & = \dfrac{2}{\sqrt{2x+3}} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{2}{\sqrt{2x+3}}$

12. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\left( 2x-3 \right)^{2} \left( 4x+5 \right)$ maka $f'(x)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 2\left( 2x-3 \right)\left( 4x-5 \right) \\ (B)\ & 4\left( 2x-3 \right)\left( 6x+2 \right) \\ (C)\ & 2\left( 2x-3 \right)\left( 4x+5 \right) \\ (D)\ & 2\left( 2x-3 \right)\left( 2x+5 \right) \\ (E)\ & 2\left( 2x-3 \right)\left( 4x-5 \right)^{2}+4\left( 2x-3 \right) \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) &=\left( 2x-3 \right)^{2} \left( 4x+5 \right) \\ \hline \text{misal}: & \\ u &= \left( 2x-3 \right)^{2}\ \rightarrow u'=2 \cdot \left( 2x-3 \right)(2) \\ v &= \left( 4x+5 \right)\ \rightarrow v'=4 \\ \hline y'\ &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ &= 4 \left( 2x-3 \right) \left( 4x+5 \right)+\left( 2x-3 \right)^{2} \left( 4 \right) \\ &= \left( 2x-3 \right) \left[ 4 \left( 4x+5 \right)+\left( 2x-3 \right) \left( 4 \right) \right] \\ &= \left( 2x-3 \right) \left[ 16x+20 +8x-12 \right] \\ &= \left( 2x-3 \right) \left[ 24x+8 \right] \\ &= \left( 2x-3 \right)\ \cdot 4 \cdot \left[ 6x+2 \right] \\ &= 4\left( 2x-3 \right)\left( 6x+2 \right) \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4\left( 2x-3 \right)\left( 6x+2 \right)$

13. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\dfrac{\left( 3x-4 \right)^{2}}{4x-3}$ maka $f'(x)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{3\left( 3x-4 \right)\left( 6x-1 \right)}{\left( 4x-3 \right)^{2}} \\ (B)\ & \dfrac{3\left( 3x-4 \right)\left( 2x+3 \right)}{\left( 4x-3 \right)^{2}} \\ (C)\ & \dfrac{4\left( 3x-4 \right)\left( 3x+2 \right)}{\left( 4x-3 \right)^{2}} \\ (D)\ & \dfrac{4\left( 3x-4 \right)\left( 2x+3 \right)}{\left( 4x-3 \right)^{2}} \\ (E)\ & \dfrac{2\left( 3x-4 \right)\left( 6x-1 \right)}{\left( 4x-3 \right)^{2}} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} y &= \dfrac{\left( 3x-4 \right)^{2}}{4x-3} \\ \hline \text{misal:}\ & u= \left( 3x-4 \right)^{2}\ \rightarrow u'=2 \cdot \left( 3x-4 \right) (3) \\ & v= 4x-3\ \rightarrow v'=4 \\ \hline y' & = \dfrac{u' \cdot v -u \cdot v' }{v^{2}} \\ & = \dfrac{6 \cdot \left( 3x-4 \right)\left( 4x-3 \right)- \left( 3x-4 \right)^{2}\left( 4 \right)}{\left(4x-3 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{\left( 3x-4 \right) \left[ 6 \cdot \left( 4x-3 \right)- \left( 3x-4 \right) \left( 4 \right) \right]}{\left(4x-3 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{\left( 3x-4 \right) \left[ 24x-18-12x+16 \right]}{\left(4x-3 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{\left( 3x-4 \right) \left[ 12x-2 \right]}{\left(4x-3 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{\left( 3x-4 \right) \cdot 2 \cdot \left( 6x-1 \right)}{\left(4x-3 \right)^{2}} \\ & = 2\dfrac{\left( 3x-4 \right) \left( 6x-1 \right)}{\left(4x-3 \right)^{2}} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{2\left( 3x-4 \right)\left( 6x-1 \right)}{\left( 4x-3 \right)^{2}}$

14. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\dfrac{3}{2 \left( 4x-2 \right)^{4}}$ maka $f'(x)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{-12}{4 \left( 4x-2 \right)^{5}} \\ (B)\ & \dfrac{-12}{ \left( 4x-2 \right)^{3}} \\ (C)\ & \dfrac{-24}{ \left( 4x-2 \right)^{5}} \\ (D)\ & \dfrac{-24}{4 \left( 4x-2 \right)^{3}} \\ (E)\ & \dfrac{12}{4 \left( 4x-2 \right)^{5}} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} y &= \dfrac{3}{2 \left( 4x-2 \right)^{4}} \\ &= \dfrac{3}{2} \left( 4x-2 \right)^{-4} \\ y' &= -4 \cdot \dfrac{3}{2} \left( 4x-3 \right)^{-4-1} \left( 4 \right) \\ &= -24 \cdot \left( 4x-2 \right)^{-5} \\ & = \dfrac{-24}{\left(4x-2 \right)^{5}} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{-24}{ \left( 4x-2 \right)^{5}} $

15. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\dfrac{3}{ \sqrt{6x+2}}$ maka $f'(x)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{-7}{\sqrt{ \left( 6x+2 \right)^{5}}} \\ (B)\ & \dfrac{-9}{\sqrt{ \left( 6x+2 \right)^{3}}} \\ (C)\ & \dfrac{-7}{\sqrt{ 6x+2 }} \\ (D)\ & \dfrac{-9}{2\sqrt{ 6x+2 }} \\ (E)\ & \dfrac{-9}{2\sqrt{ \left( 6x+2 \right)^{5}}} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} y &= \dfrac{3}{ \sqrt{6x+2}} \\ &= \dfrac{3}{ \left(6x+2 \right)^{\frac{1}{2}}} \\ &= 3 \left( 6x+2 \right)^{-\frac{1}{2}} \\ y' &= -\dfrac{1}{2} \cdot 3 \left( 6x+2 \right)^{-\frac{1}{2}-1} \left( 6 \right) \\ &= -9 \left( 6x+2 \right)^{-\frac{3}{2}} \\ & = \dfrac{-9}{\left( 6x+2 \right)^{\frac{3}{2}}} \\ & = \dfrac{-9}{\sqrt{\left( 6x+2 \right)^{3}}} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{-9}{\sqrt{ \left( 6x+2 \right)^{3}}} $

16. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)= \left[ \dfrac{3x+2}{4x+3} \right]^{3}$ maka $f'(x)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{3 \left( 3x+2 \right)^{2}}{ \left( 4x+3 \right)^{4}} \\ (B)\ & \dfrac{3 \left( 5x-2 \right)^{2}}{ \left( 4x+3 \right)^{4}} \\ (C)\ & \dfrac{2 \left( 3x+2 \right)^{2}}{ \left( 4x+3 \right)^{4}} \\ (D)\ & \dfrac{3 \left( 3x+2 \right)}{ \left( 4x+3 \right)} \\ (E)\ & \dfrac{5 \left( 3x+2 \right) }{ \left( 4x+3 \right)^{2}} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} y &= \left[ \dfrac{3x+2}{4x+3} \right]^{3} \\ y' &= 3 \cdot \left[ \dfrac{3x+2}{4x+3} \right]^{3-1} \cdot \left[ \dfrac{3x+2}{4x+3} \right]' \\ &= 3 \cdot \left[ \dfrac{3x+2}{4x+3} \right]^{2} \cdot \left[ \dfrac{(3)(4x+3)-(3x+2)(4)}{(4x+3)^{2}} \right] \\ &= 3 \cdot \left[ \dfrac{3x+2}{4x+3} \right]^{2} \cdot \dfrac{12x+9-12x-8}{(4x+3)^{2}} \\ &= 3 \cdot \dfrac{(3x+2)^{2}}{(4x+3)^{2}} \cdot \dfrac{1}{(4x+3)^{2}} \\ &= 3 \cdot \dfrac{(3x+2)^{2}}{(4x+3)^{4}} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{3 \left( 3x+2 \right)^{2}}{ \left( 4x+3 \right)^{4}}$

17. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\left( 2x^{2}-3x-2 \right)\left( 2x^{2}-3 \right)$ maka nilai $f'(x)$ untuk $x=2$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 20 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 25 \\ (D)\ & 15 \\ (E)\ & 12 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) &=\left( 2x^{2}-3x-2 \right)\left( 2x^{2}-3 \right) \\ \hline \text{misal}: & \\ u &= 2x^{2}-3x-2\ \rightarrow u'=4x-3 \\ v &= 2x^{2}-3\ \rightarrow v'=4x \\ \hline f'(x)\ &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ &= \left( 4x -3 \right)\left( 2x^{2}-3 \right)+\left( 2x^{2}-3x-2 \right)\left( 4x \right) \\ f'(2) &= \left( 4(2) -3 \right)\left( 2(2)^{2}-3 \right)+\left( 2(2)^{2}-3(2)-2 \right)\left( 4(2) \right) \\ &= \left( 5 \right)\left( 5 \right)+\left( 0 \right)\left( 8 \right) \\ &= 25+0=25 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 25$

18. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)= \sqrt{ \dfrac{4x+1}{2x-3}}$ maka $f'(2)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & \dfrac{1}{2} \\ (D)\ & \dfrac{-7}{3} \\ (E)\ & \dfrac{2}{5} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) &= \sqrt{ \dfrac{4x+1}{2x-3}} &= \left( \dfrac{4x+1}{2x-3} \right)^{\frac{1}{2}} \\ f'(x) &= \dfrac{1}{2} \cdot \left[ \dfrac{4x+1}{2x-3} \right]^{\frac{1}{2}-1} \cdot \left[ \dfrac{4x+1}{2x-3} \right]' \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \left[ \dfrac{4x+1}{2x-3} \right]^{-\frac{1}{2}} \cdot \left[ \dfrac{(4)(2x-3)-(4x+1)(2)}{(2x-3)^{2}} \right]' \\ f'(2) &= \dfrac{1}{2} \cdot \left[ \dfrac{4(2)+1}{2(2)-3} \right]^{-\frac{1}{2}} \cdot \left[ \dfrac{(4)(2(2)-3)-(4(2)+1)(2)}{(2(2)-3)^{2}} \right] \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \left[ 9 \right]^{-\frac{1}{2}} \cdot \left[ -14 \right] \\ &= -7 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{9}}=-\dfrac{7}{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{-7}{3}$

19. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\left(x^{2}-3x\right)\left( 2x+1 \right)$ maka nilai $f'(x)$ untuk $x=2$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) &=\left(x^{2}-3x\right)\left( 2x+1 \right) \\ \hline \text{misal}: & \\ u &= x^{2}-3x \ \rightarrow u'=2x-3 \\ v &= 2x+1\ \rightarrow v'=2 \\ \hline f'(x)\ &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ &= \left( 2x -3 \right)\left( 2x+1 \right)+\left( x^{2}-3x \right)\left( 2 \right) \\ f'(2) &= \left( 2(2) -3 \right)\left( 2(2)+1 \right)+\left( (2)^{2}-3(2) \right)\left( 2 \right) \\ &= \left( 1 \right)\left( 5 \right)+\left( -2 \right)\left( 2 \right) \\ &= 5-4=1 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$

20. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\left(x^{2}-5x\right)\left(2x+1\right)\left(3x-2\right)$ maka nilai $f'(x)$ untuk $x=1$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -19 \\ (B)\ & 19 \\ (C)\ & -35 \\ (D)\ & -53 \\ (E)\ & -37 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) &=\left(x^{2}-5x\right)\left(2x+1\right)\left(3x-2\right) \\ \hline \text{misal}: & \\ u &= x^{2}-5x \ \rightarrow u'=2x-5 \\ v &= 2x+1\ \rightarrow v'=2 \\ w &= 3x-2\ \rightarrow w'=3 \\ \hline f'(x)\ &= u'(x) \cdot v(x) \cdot w(x) + u(x) \cdot v'(x) \cdot w(x) + u(x) \cdot v(x) \cdot w'(x) \\ &= \left( 2x -5 \right)\left( 2x+1 \right)\left( 3x-2 \right)+\left( x^{2}-5x \right)\left( 2 \right)\left( 3x-2 \right)+\left( x^{2}-5x \right)\left( 2x+1 \right)\left( 3 \right) \\ f'(1) &= \left( 2(1) -5 \right)\left( 2(1)+1 \right)\left( 3(1)-2 \right)+\left( (1)^{2}-5(1) \right)\left( 2 \right)\left( 3(1)-2 \right)+\left( (1)^{2}-5(1) \right)\left( 2(1)+1 \right)\left( 3 \right) \\ &= \left( -3 \right)\left( 3 \right)\left( 1 \right)+\left( -4 \right)\left( 2 \right)\left( 1 \right)+\left( -4 \right)\left( 3 \right)\left( 3 \right) \\ &= -9-8-36 \\ &= -53 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -53$

21. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\left(x^{2}+3x-3\right)\left(x^{2}-5x+4\right)\left(x^{2}-4x+5\right)$ maka nilai $f'(1)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 4 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & -6 \\ (D)\ & -8 \\ (E)\ & -10 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) &=\left(x^{2}+3x-3\right)\left(x^{2}-5x+4\right)\left(x^{2}-4x+5\right) \\ \hline \text{misal}: & \\ u &= x^{2}+3x-3 \ \rightarrow u'=2x+3 \\ u(1) &= 1 \ \rightarrow u'(1)=5 \\ v &= x^{2}-5x+4\ \rightarrow v'=2x-5 \\ v(1) &= 0 \ \rightarrow v'(1)=-3 \\ w &= x^{2}-4x+5\ \rightarrow w'=2x-4 \\ w(1) &= 2 \ \rightarrow w'(1)=-2 \\ \hline f'(x)\ &= u'(x) \cdot v(x) \cdot w(x) + u(x) \cdot v'(x) \cdot w(x) + u(x) \cdot v(x) \cdot w'(x) \\ f'(1)\ &= u'(1) \cdot v(1) \cdot w(1) + u(1) \cdot v'(1) \cdot w(1) + u(1) \cdot v(1) \cdot w'(1) \\ &= 5 \cdot 0 \cdot 2 + 1 \cdot -3 \cdot 2 + 1 \cdot 0 \cdot -2 \\ &= 0-6+0 \\ &= -6 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -6$

22. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $y=\left(2x-3\right)^{2} \left(4x^{2}-9\right)^{3}\left(2x+3\right)^{2}$ maka $y'=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 4\left(4x^{2}-9\right)^{3} \\ (B)\ & x^{2}\left(2x-3\right)^{2} \\ (C)\ & 4x\left(2x-3\right)^{5} \\ (D)\ & 20x^{2}\left(4x^{2}-9\right)^{3} \\ (E)\ & 40x\left(4x^{2}-9\right)^{4} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) &=\left(2x-3\right)^{2} \left(4x^{2}-9\right)^{3}\left(2x+3\right)^{2} \\ &=\left(2x-3\right)^{2} \left(2x+3\right)^{2} \left(4x^{2}-9\right)^{3} \\ &=\left(4x^{2}-9\right)^{2} \left(4x^{2}-9\right)^{3} \\ &=\left(4x^{2}-9\right)^{5} \\ f'(x)\ &=5 \cdot \left(4x^{2}-9\right)^{5-1} \cdot \left(8x \right) \\ &=40x \cdot \left(4x^{2}-9\right)^{4} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 40x\left(4x^{2}-9\right)^{4}$

23. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $y=\sqrt{\dfrac{\left(2x-1 \right)^{3}}{\left( 4x^{2}-1 \right)\left( 2x+1 \right)}}$ maka $y'=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{3}{2x-1} \\ (B)\ & \dfrac{-3}{2x-1} \\ (C)\ & \dfrac{3}{(2x+1)^{2}} \\ (D)\ & \dfrac{-4}{(2x+1)^{2}} \\ (E)\ & \left( \dfrac{2}{ 2x+1 } \right)^{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) &=\sqrt{\dfrac{\left(2x-1 \right)^{3}}{\left( 4x^{2}-1 \right)\left( 2x+1 \right)}}\\ &=\sqrt{\dfrac{\left(2x-1 \right)^{3}}{\left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)\left( 2x+1 \right)}}\\ &=\sqrt{\dfrac{\left(2x-1 \right)^{2}}{ \left( 2x+1 \right)^{2} }}\\ &= \dfrac{ 2x-1 }{ 2x+1 }\\ f'(x)\ &=\dfrac{(2)(2x+1)-(2x-1)(2)}{(2x+1)^{2}} \\ &=\dfrac{4x+2-4x+2}{(2x+1)^{2}} \\ &=\dfrac{4}{(2x+1)^{2}} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left( \dfrac{2}{ 2x+1 } \right)^{2}$

24. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\dfrac{2}{ \left( 3x-1 \right)^{5}}$ maka $f'(x)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -10 \left( 3x-1 \right)^{-6} \\ (B)\ & \dfrac{-30}{ \left( 3x-1 \right)^{6}} \\ (C)\ & \dfrac{-30}{ \left( 3x-1 \right)^{4}} \\ (D)\ & \dfrac{-10}{ \left( 3x-1 \right)^{-4}} \\ (E)\ & \dfrac{2}{ 5\left( 3x-1 \right)^{4}} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} y &= \dfrac{2}{ \left( 3x-1 \right)^{5}} \\ &= 2 \left( 3x-1 \right)^{-5} \\ y' &= -5 \cdot 2 \left( 3x-1 \right)^{-5-1} \left( 3 \right) \\ &= -30 \left( 3x-1 \right)^{-6} \\ & = \dfrac{-30}{\left( 3x-1 \right)^{6}} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{-30}{\left( 3x-1 \right)^{6}}$

25. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=4\sqrt{\left( 3x-5 \right)^{3}}$ maka $f'(x)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 6\sqrt{ 3x-5 } \\ (B)\ & 6\sqrt{\left( 3x-5 \right)^{5}} \\ (C)\ & 18\sqrt{ 3x-5 } \\ (D)\ & 18\sqrt{\left( 3x-5 \right)^{5}} \\ (E)\ & 6\sqrt{\left( 3x-5 \right)^{3}} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} y &= 4\sqrt{\left( 3x-5 \right)^{3}} \\ &= 4 \left( 3x-5 \right)^{\frac{3}{2}} \\ y' &= \dfrac{3}{2} \cdot 4 \left( 3x-5 \right)^{\frac{3}{2}-1} \left( 3 \right) \\ &= 18 \left( 3x-5 \right)^{ \frac{1}{2}} \\ & = 18\sqrt{ 3x-5 } \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 18\sqrt{ 3x-5 } $

26. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Turunan $f(x)=3\left( 2x-5 \right)^{6}+4\left( 2x-5 \right)^{2}+6$, adalah...
$\begin{align} (A)\ & f'(x)=36\left( 2x-5 \right)^{5}+16\left( 2x-5 \right) \\ (B)\ & f'(x)=18\left( 2x-5 \right)^{5}+8\left( 2x-5 \right) \\ (C)\ & f'(x)=36\left( 2x-5 \right)^{7}+16\left( 2x-5 \right)^{3} \\ (D)\ & f'(x)=18\left( 2x-5 \right)^{7}+8\left( 2x-5 \right)^{3} \\ (E)\ & f'(x)=18\left( 2x-5 \right)^{5}+8\left( 2x-5 \right)+6 \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) & = 3\left( 2x-5 \right)^{6}+4\left( 2x-5 \right)^{2}+6 \\ f'(x) & = 6 \cdot 3\left( 2x-5 \right)^{6-1}(2)+2 \cdot 4\left( 2x-5 \right)^{2-1}(2)+ 0\\ & = 36 \left( 2x-5 \right)^{5} +16\left( 2x-5 \right) \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ f'(x)=36\left( 2x-5 \right)^{5}+16\left( 2x-5 \right)$

27. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=2 \sqrt{3x-6}-\sqrt{ \left( 3x-6 \right)^{3}}$, maka nilai $f'(5)$...
$\begin{align} (A)\ & -12\frac{1}{2} \\ (B)\ & -8\frac{1}{2} \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 6\frac{1}{2} \\ (E)\ & 12\frac{1}{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) & = 2 \sqrt{3x-6}-\sqrt{ \left( 3x-6 \right)^{3}} \\ & = 2 \left( 3x-6 \right)^{\frac{1}{2}}- \left( 3x-6 \right)^{\frac{3}{2}} \\ f'(x) & = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \left[ 3x-6 \right]^{\frac{1}{2}-1} (3)- \dfrac{3}{2} \cdot \left[ 3x-6 \right]^{\frac{3}{2}-1}(3) \\ f'(5) & = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \left[ 3(5)-6 \right]^{\frac{1}{2}-1} (3)- \dfrac{3}{2} \cdot \left[ 3(5)-6 \right]^{\frac{3}{2}-1}(3) \\ & = 3\left( 9 \right)^{-\frac{1}{2}} - \dfrac{9}{2} \left( 9 \right)^{\frac{1}{2}} \\ & = 3\left( \frac{1}{3} \right) - \dfrac{9}{2} \left( 3 \right) \\ & = 1 - \dfrac{27}{2} =- \dfrac{25}{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -12\frac{1}{2}$

28. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika fungsi $f(x)=\left[2 \left( 3x-2 \right)^{5}-\left( 3x-2 \right)^{2} \right]^{4}$, maka nilai $f'(1)$...
$\begin{align} (A)\ & 27 \\ (B)\ & 36 \\ (C)\ & 45 \\ (D)\ & 54 \\ (E)\ & 96 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) & = \left[2 \left( 3x-2 \right)^{5}-\left( 3x-2 \right)^{2} \right]^{4} \\ \hline \text{misal}: & \\ u(x) & = 3x-2\ \rightarrow \dfrac{du}{dx}=3 \\ u(1) & = 3(1)-2\ \rightarrow u(1)=1 \\ f(x) & = \left[2 u^{5}-u^{2} \right]^{4} \\ \dfrac{df}{du} &=4\left[2 u^{5}-u^{2} \right]^{4} \\ &=4\left[2 u^{5}-u^{2} \right]^{4-1} \left( 10 u^{5-1}-2u^{2-1} \right) \\ &=4\left[2 u^{5}-u^{2} \right]^{3} \left( 10 u^{4}-2u \right) \\ \hline f'(x) & = \dfrac{df}{dx} \\ & = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ & = 4\left[2 u^{5}-u^{2} \right]^{3} \left( 10 u^{4}-2u \right) \cdot \left( 3 \right) \\ f'(1) & = 4\left[2 (1) - (1) \right]^{3} \left( 10 (1) - 2(1) \right) \cdot \left( 3 \right) \\ & = 4\left( 1 \right) \left( 8 \right) \left( 3 \right) \\ & = 96 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 96$

29. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika fungsi $y= \sqrt{ 2 \left( 4x-5 \right)^{3}-2\left( 4x-5 \right)^{2} }$, maka nilai $\dfrac{dy}{dx}$ untuk $x=2$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 6 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 14 \\ (D)\ & 18 \\ \\ (E)\ & 20 \\ \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) & = \sqrt{ 2 \left( 4x-5 \right)^{3}-2\left( 4x-5 \right)^{2} } \\ \hline \text{misal}: & \\ u(x) & = 4x-5\ \rightarrow \dfrac{du}{dx}=4 \\ u(2) & = 4(2)-5\ \rightarrow u(2)=3 \\ f(x) & = \sqrt{ 2u^{3}-2u^{2} } \\ \dfrac{df}{du} &=\frac{1}{2} \cdot \left[ 2u^{3}-2u^{2} \right]^{\frac{1}{2}-1} \cdot \left[ 6u^{2}-4u \right] \\ \hline f'(x) & = \dfrac{df}{dx} \\ & = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ \\ & =\dfrac{1}{2} \cdot \left[ 2u^{3}-2u^{2} \right]^{\frac{1}{2}-1} \cdot \left[ 6u^{2}-4u \right] \cdot \left( 4 \right) \\ f'(2) & =\dfrac{1}{2} \cdot \left[ 2(3)^{3}-2(3)^{2} \right]^{-\frac{1}{2}} \cdot \left[ 6(3)^{2}-4(3) \right] \cdot \left( 4 \right) \\ & =\dfrac{1}{2} \cdot \left[ 54-18 \right]^{-\frac{1}{2}} \cdot \left[ 54-12 \right] \cdot \left( 4 \right) \\ & =\dfrac{1}{2} \cdot \left[ 36 \right]^{-\frac{1}{2}} \cdot \left[ 38 \right] \cdot \left( 4 \right) \\ & =\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \left[ 42 \right] \cdot \left( 4 \right) \\ & = 14 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 14$

30. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika fungsi $f(x)=\left[2 \left( 3x-4 \right)^{3}-4\left( 3x-4 \right) \right]^{2}$, maka nilai $f'(1)$...
$\begin{align} (A)\ & 16 \\ (B)\ & 24 \\ (C)\ & 32 \\ (D)\ & 48 \\ (E)\ & 64 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) & = \left[2 \left( 3x-4 \right)^{3}-4\left( 3x-4 \right) \right]^{2} \\ \hline \text{misal}: & \\ u(x) & = 3x-4\ \rightarrow \dfrac{du}{dx}=3 \\ u(1) & = 3(1)-4\ \rightarrow u(1)=-1 \\ f(x) & = \left[2 u^{3}-4u \right]^{2} \\ \dfrac{df}{du} &=2\left[2 u^{3}-4u \right]^{2-1} \left( 6 u^{2}-4 \right) \\ \hline f'(x) & = \dfrac{df}{dx} \\ & = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ & = 2\left[2 u^{3}-4u \right]^{1} \left( 6 u^{2}-4 \right) \cdot \left( 3 \right) \\ f'(1)& = 2\left[2 (-1)^{3}-4(-1) \right]^{1} \left( 6 (-1)^{2}-4 \right) \cdot \left( 3 \right) \\ & = 2\left[-2+4 \right]^{1} \left( 6-4 \right) \cdot \left( 3 \right) \\ & = 2 (2) \left( 2 \right) \cdot \left( 3 \right) \\ & = 24 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 24$

31. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika fungsi $f(x)=\left[ \sqrt{2x-1} + \dfrac{1}{\sqrt{2x-1}} \right]^{3}$, maka nilai $f'(5)$...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{400}{81} \\ (B)\ & \dfrac{400}{27} \\ (C)\ & \dfrac{800}{27} \\ (D)\ & \dfrac{800}{81} \\ (E)\ & \dfrac{200}{81} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) & = \left[ \sqrt{2x-1} + \dfrac{1}{\sqrt{2x-1}} \right]^{3} \\ \hline \text{misal}: & \\ u(x) & = \sqrt{2x-1} \ \rightarrow \dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}} \\ u(5) & = \sqrt{2(5)-1}\ \rightarrow u(5)=3 \\ f(x) & = \left[ u + \dfrac{1}{u} \right]^{3} \\ & = \left[ u + u^{-1} \right]^{3} \\ \dfrac{df}{du} &= 3 \left[ u + u^{-1} \right]^{2} \left( 1 - u^{-2} \right) \\ \hline f'(x) & = \dfrac{df}{dx} \\ & = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ & = 3 \left[ u + u^{-1} \right]^{2} \left( 1 - u^{-2} \right) \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2x-1}} \\ f'(5) & = 3 \left[ (3) + (3)^{-1} \right]^{2} \left( 1 - (3)^{-2} \right) \cdot \dfrac{1}{3} \\ & = 3 \left[ (3) + \dfrac{1}{3} \right]^{2} \left( 1 - \dfrac{1}{9} \right) \cdot \dfrac{1}{3} \\ & = \left[ \dfrac{10}{3} \right]^{2} \left( \dfrac{8}{9} \right) \\ & = \left( \dfrac{100}{9} \right) \left( \dfrac{8}{9} \right) \\ & = \dfrac{800}{81} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{800}{81}$

32. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika fungsi $f(x)=\dfrac{3}{ \left( 2x-3 \right)^{2}}$ maka $f''(x)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{36}{ \left( 2x-3 \right)^{4}} \\ (B)\ & \dfrac{-36}{ \left( 2x-3 \right)^{4}} \\ (C)\ & \dfrac{72}{ \left( 2x-3 \right)^{4}} \\ (D)\ & \dfrac{-72}{ \left( 2x-3 \right)^{4}} \\ (E)\ & \dfrac{-36}{ \left( 2x-3 \right)^{3}} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) &= \dfrac{3}{ \left( 2x-3 \right)^{2}} \\ &= 3 \cdot \left( 2x-3 \right)^{-2} \\ f'(x) &= (-2) 3 \cdot \left( 2x-3 \right)^{-2-1} \cdot (2) \\ &= (-12) \cdot \left( 2x-3 \right)^{-3} \end{align}$

Yang ditanyakan pada soal di atas adalah turunan kedua fungsi $f(x)$ yang dituliskan dengan simbol $f''(x)$ artinya setelah turunan pertama $f'(x)$ diturunkan lagi.

$\begin{align} f'(x) &= (-12) \cdot \left( 2x-3 \right)^{-3} f''(x) &= -3 \cdot (-12) \cdot \left( 2x-3 \right)^{-3-1} (2) \\ &= (72) \cdot \left( 2x-3 \right)^{-4} \\ & = \dfrac{72}{ \left( 2x-3 \right)^{4}} \end{align}$
Sebagai catatan, untuk turunan ketiga, keempat, sampai ke-$n$ dari sebuah fungsi $f(x)$ dituliskan $f^{(3)}(x)$, $f^{(4)}(x)$ dan $f^{(n)}(x)$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{72}{ \left( 2x-3 \right)^{4}}$

33. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika fungsi $f(x)=\sqrt{\left( 8x+5 \right)^{3}}$ maka $f''(x)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{48}{\sqrt{\left( 8x+5 \right)}} \\ (B)\ & \dfrac{24}{\sqrt{\left( 8x+5 \right)^{3}}} \\ (C)\ & 48 \sqrt{\left( 8x+5 \right)} \\ (D)\ & 24 \sqrt{\left( 8x+5 \right)^{3}} \\ (E)\ & \dfrac{12}{\sqrt{\left( 8x+5 \right)^{5}}} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f(x) &= \sqrt{\left( 8x+5 \right)^{3}} \\ &= \left( 8x+5 \right)^{\frac{3}{2}}\\ f'(x) &= \dfrac{3}{2} \cdot \left( 8x+5 \right)^{\frac{3}{2}-1} (8) \\ &= (12) \cdot \left( 8x+5 \right)^{\frac{1}{2}} \\ \end{align}$

Yang ditanyakan pada soal di atas adalah turunan kedua fungsi $f(x)$ yang dituliskan dengan simbol $f''(x)$ artinya setelah turunan pertama $f'(x)$ diturunkan lagi.

$\begin{align} f'(x) &= (12) \cdot \left( 8x+5 \right)^{\frac{1}{2}} \\ f''(x) &= \dfrac{1}{2} \cdot (12) \cdot \left( 8x+5 \right)^{\frac{1}{2}-1} (8) \\ &= (48) \cdot \left( 8x+5 \right)^{-\frac{1}{2} } \\ & = \dfrac{48}{\sqrt{\left( 8x+5 \right)}} \end{align}$
Sebagai catatan, untuk turunan ketiga, keempat, sampai ke-$n$ dari sebuah fungsi $f(x)$ dituliskan $f^{(3)}(x)$, $f^{(4)}(x)$ dan $f^{(n)}(x)$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{48}{\sqrt{\left( 8x+5 \right)}}$

34. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Diketahui $g(x)=\dfrac{2x-3}{f(x)}$. $f'$ adalah turunan pertama dari $f$ dan $g'$ adalah turunan pertama dari $g$. Jika $f(1)=f'(1)=1$ maka $g'(1)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -3 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} g(x) &= \dfrac{2x-3}{f(x)} \\ f(x) \cdot g(x) &= 2x-3 \\ f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) &= 2 \\ f'(1) \cdot g(1) + f(1) \cdot g'(1) &= 2 \\ 1 \cdot g(1) + 1 \cdot g'(1) &= 2 \\ \hline g(x) &= \dfrac{2x-3}{f(x)} \\ g(1) &= \dfrac{2(1)-3}{f(1)} \\ &= \dfrac{-1}{1}=-1 \\ \hline 1 \cdot (-1) + 1 \cdot g'(1) &= 2 \\ (-1) + g'(1) &= 2 \\ g'(1) &= 2+1=3 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Cara Membuktikan Rumus-rumus Turunan Fungsi Aljabar Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊