Calon guru belajar matematika dasar dari Membuktikan Sifat-Sifat Turunan Fungsi Aljabar yang Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan. Setelah mengenal definisi Turunan Fungsi Aljabar, selanjutnya kita bisa gunakan beberapa sifat turunan fungsi aljabar untuk menyelesaikan masalah yang berkembang. Sifat-sifat turunan fungsi aljabar ini juga diperoleh dari pengembangan definisi turunan fungsi.
Dengan menggunakan definisi turunan fungsi, kita dapat menentukan turunan pertama dari fungsi $f(x)=4x$ yaitu:
$\begin{align}
f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{4\left( x+h \right) - \left( 4x \right)}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{4x+4h -4x }{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{4h }{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} 4 \\
& = 4
\end{align}$
$\therefore$ Turunan pertama $f(x)=4x$ adalah $f'(x)=4$
TURUNAN FUNGSI KONSTAN
Jika $f(x)=a$ dimana $a$ adalah konstanta maka $f'(x)=0$
Alternatif Pembuktian:
Sebelum kita menentukan turunan fungsi $f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, tahap awal kita coba tentukan fungsi $f(x)$ dan $f\left( x+h \right)$ yaitu:
$\begin{align} f(x) & = a \\ f\left( x+h \right) & = a \end{align}$
Lalu $f\left( x \right)$ dan $f\left( x+h \right)$ kita substitusi ke definisi turunan fungsi, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{a - a}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ 0 }{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} 0 \\
& = 0
\end{align}$
$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)=a$ adalah $f'(x)=0$
- Contoh:
- Jika $f(x)=5$, maka $f'(x)=0$
- Jika $f(x)=-2$, maka $f'(x)=0$
- Jika $f(x)=0,75$, maka $f'(x)=0$
- Jika $f(x)=\dfrac{1}{3}$, maka $f'(x)=0$
TURUNAN FUNGSI LINEAR
Jika $f(x)=ax$ dimana $a$ adalah konstanta maka $f'(x)=a$
Alternatif Pembuktian:
Sebelum kita menentukan turunan fungsi $f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, tahap awal kita coba tentukan fungsi $f(x)$ dan $f\left( x+h \right)$ yaitu:
$\begin{align} f(x) & = ax \\ f\left( x+h \right) & = a \left( x+h \right) \\ & = ax+ah \end{align}$
Lalu $f\left( x \right)$ dan $f\left( x+h \right)$ kita substitusi ke definisi turunan fungsi, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f\left( x+h \right)-f(x)}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ax+ah - ax }{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ah}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} a \\
& = a
\end{align}$
$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)=ax$ adalah $f'(x)=a$
- Contoh:
- Jika $f(x)=5x$, maka $f'(x)=5$
- Jika $f(x)=4x$, maka $f'(x)=4$
- Jika $f(x)=-8x$, maka $f'(x)=-8$
- Jika $f(x)=\dfrac{1}{3}x$, maka $f'(x)=\dfrac{1}{3}$
TURUNAN FUNGSI EKSPONEN
Jika $f(x)=ax^{n}$ dimana $a$ dan $n$ adalah konstanta maka $f'(x)=anx^{n-1}$
Alternatif Pembuktian:
Sebelum kita menentukan turunan fungsi $f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, tahap awal kita coba tentukan fungsi $f(x)$ dan $f\left( x+h \right)$ yaitu:
$\begin{align} f(x) & = ax^{n} \\ f\left( x+h \right) & = a\left( x+h \right)^{n} \\ & =a\left ( x^{n}+\binom{n}{1}x^{n-1}h+\binom{n}{2}x^{n-2}h^{2}+\cdots+\binom{n}{n-1}xh^{n-1}+h^{n} \right ) \\ & = ax^{n}+a\binom{n}{1}x^{n-1}h+a\binom{n}{2}x^{n-2}h^{2}+\cdots+a\binom{n}{n-1}xh^{n-1}+ah^{n} \\ \end{align}$
Lalu $f\left( x \right)$ dan $f\left( x+h \right)$ kita substitusi ke definisi turunan fungsi, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f\left( x+h \right)-f(x)}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ax^{n}+a\binom{n}{1}x^{n-1}h+a\binom{n}{2}x^{n-2}h^{2}+\cdots+a\binom{n}{n-1}xh^{n-1}+ah^{n} - ax^{n} }{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{a\binom{n}{1}x^{n-1}h+a\binom{n}{2}x^{n-2}h^{2}+\cdots+a\binom{n}{n-1}xh^{n-1}+ah^{n}}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \left(a\binom{n}{1}x^{n-1} +a\binom{n}{2}x^{n-2}h^{2-1}+\cdots+a\binom{n}{n-1}xh^{n-2}+ah^{n-1} \right) \\
& = a\binom{n}{1}x^{n-1} +a\binom{n}{2}x^{n-2}(0)^{2-1}+\cdots+a\binom{n}{n-1}x(0)^{n-2}+a(0)^{n-1} \\
& = a\binom{n}{1}x^{n-1} +0+\cdots+0+0 \\
\hline
\binom{n}{r} & = \dfrac{n!}{r! \left(n-r \right)!} \\
\binom{n}{1} & = \dfrac{n!}{1! \left(n-1 \right)!} \\
& = \dfrac{n \cdot \left(n-1 \right)!}{\left(n-1 \right)!} \\
& = n \\
\hline
f'(x) & = a\binom{n}{1}x^{n-1} \\
& = a \cdot n \cdot x^{n-1} \\
\end{align}$
$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)=ax^{n}$ adalah $f'(x)=anx^{n-1}$
- Contoh:
- Jika $f(x)=5x^{2}$, maka
$\begin{align} f'(x) & = 5 \cdot 2 x^{2-1} \\ & = 10x \end{align}$ - Jika $f(x)=7x^{3}$, maka
$\begin{align} f'(x) & = 7 \cdot 3 x^{3-1} \\ & = 21x^{2} \end{align}$ - Jika $f(x)=8x^{\frac{3}{2}}$, maka
$\begin{align} f'(x) & = 8 \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2}-1} \\ & = 12x^{\frac{1}{2}} \\ & = 12\sqrt{x} \\ \end{align}$ - Jika $f(x)=6x^{\frac{1}{2}}$, maka
$\begin{align} f'(x) & = 6 \cdot \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1} \\ & = 3x^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{3}{x^{\frac{1}{2}}} \\ & = \dfrac{3}{\sqrt{x}} = \dfrac{3}{x}\sqrt{x} \end{align}$
TURUNAN PENJUMLAHAN FUNGSI
Jika $f(x)=u(x)+v(x)$ dimana $u(x)$ dan $v(x)$ adalah sebuah fungsi maka $f'(x)=u'(x)+v'(x)$
Alternatif Pembuktian:
Sebelum kita menentukan turunan fungsi $f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, tahap awal kita coba tentukan fungsi $f(x)$ dan $f\left( x+h \right)$ yaitu:
$\begin{align} f(x) & = u(x)+v(x) \\ f\left( x+h \right) & = u(x+h)+v(x+h) \\ \end{align}$
Lalu $f\left( x \right)$ dan $f\left( x+h \right)$ kita substitusi ke definisi turunan fungsi, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f\left( x+h \right)-f(x)}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)+v(x+h) - \left[ u(x)+v(x) \right] }{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)+v(x+h) - u(x)-v(x) }{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x)+ v(x+h)-v(x) }{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \left( \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} + \dfrac{v(x+h)-v(x) }{h} \right) \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} + \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{v(x+h)-v(x) }{h} \\
& = u'(x) + v'(x)
\end{align}$
$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)=u(x)+v(x)$ adalah $f'(x)=u'(x)+v'(x)$
- Contoh:
- Jika $f(x)=4x^{3}+x$, maka
$\begin{align} f'(x) & = 4 \cdot 3 x^{3-1}+1 \\ & = 12x^{2}+1 \end{align}$ - Jika $f(x)=5x^{4}+4x$, maka
$\begin{align} f'(x) & = 5 \cdot 4 x^{4-1}+4 \\ & = 20x^{3}+4 \end{align}$
TURUNAN PENGURANGAN FUNGSI
Jika $f(x)=u(x)-v(x)$ dimana $u(x)$ dan $v(x)$ adalah sebuah fungsi maka $f'(x)=u'(x)-v'(x)$
Alternatif Pembuktian:
Sebelum kita menentukan turunan fungsi $f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, tahap awal kita coba tentukan fungsi $f(x)$ dan $f\left( x+h \right)$ yaitu:
$\begin{align} f(x) & = u(x)+v(x) \\ f\left( x+h \right) & = u(x+h)+v(x+h) \\ \end{align}$
Lalu $f\left( x \right)$ dan $f\left( x+h \right)$ kita substitusi ke definisi turunan fungsi, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f\left( x+h \right)-f(x)}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)-v(x+h) - \left[ u(x)-v(x) \right] }{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)-v(x+h) - u(x)+v(x) }{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x)- v(x+h)+v(x) }{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x) - \left[v(x+h)-v(x) \right]}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \left( \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} - \dfrac{v(x+h)-v(x) }{h} \right) \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} - \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{v(x+h)-v(x) }{h} \\
& = u'(x) - v'(x)
\end{align}$
$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)=u(x)-v(x)$ adalah $f'(x)=u'(x)-v'(x)$
- Contoh:
- Jika $f(x)=3x^{4}-7x$, maka
$\begin{align} f'(x) & = 3 \cdot 4 x^{4-1}-7 \\ & = 12x^{3}-7 \end{align}$ - Jika $f(x)=4x^{5}-x$, maka
$\begin{align} f'(x) & = 5 \cdot 4 x^{5-1}-1 \\ & = 20x^{4}-1 \end{align}$
TURUNAN PERKALIAN FUNGSI
Jika $f(x)=u(x) \cdot v(x)$ dimana $u(x)$ dan $v(x)$ adalah sebuah fungsi maka $f'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)$
Jika $f(x)=u(x) \cdot v(x) \cdot w(x)$ dimana $u(x), v(x)$ dan $w(x)$ adalah sebuah fungsi maka $f'(x)=u'(x) \cdot v(x) \cdot w(x) +$$ u(x) \cdot v'(x) \cdot w(x) +$$ u(x) \cdot v(x) \cdot w'(x)$
Alternatif Pembuktian:
Sebelum kita menentukan turunan fungsi $f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, tahap awal kita coba tentukan fungsi $f(x)$ dan $f\left( x+h \right)$ yaitu:
$\begin{align} f(x) & = u(x) \cdot v(x) \\ f\left( x+h \right) & = u(x+h) \cdot v(x+h) \\ \end{align}$
Lalu $f\left( x \right)$ dan $f\left( x+h \right)$ kita substitusi ke definisi turunan fungsi, sehingga kita peroleh:
$\begin{align} f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f\left( x+h \right)-f(x)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) \cdot v(x+h) - u(x) \cdot v(x) }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) \cdot v(x+h) -u(x+h) \cdot v(x)+u(x+h) \cdot v(x) - u(x) \cdot v(x) }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) \cdot \left[ v(x+h) - v(x) \right] + v(x) \left[ u(x+h) - u(x) \right] }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \left( \dfrac{u(x+h) \cdot \left[ v(x+h) - v(x) \right]}{h} + \dfrac{v(x) \left[ u(x+h) - u(x) \right] }{h} \right)\\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)}{1} \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\left[ v(x+h) - v(x) \right]}{h} +\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{v(x)}{1} \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\left[ v(x+h) - v(x) \right]}{h}\\ & = \dfrac{u(x+0)}{1} \cdot v'(x) + \dfrac{v(x)}{1} \cdot u'(x) \\ & = u(x) \cdot v'(x) + v(x) \cdot u'(x) \end{align}$
$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)=u(x) \cdot v(x)$ adalah $f'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)$
Sifat di atas kita kembangkan untuk membuktikan sifat turunan perkalian tiga fungsi,
$\begin{align}
f(x) & = u(x) \cdot v(x) \cdot w(x) \\
f(x) & = \left[ u(x) \cdot v(x) \right] \cdot w(x) \\
f'(x) & = \left[ u(x) \cdot v(x) \right]' \cdot w(x) + \left[ u(x) \cdot v(x) \right] \cdot w'(x)\\
& = \left[ u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x) \right] \cdot w(x) + u(x) \cdot v(x) \cdot w'(x) \\
& = u'(x) \cdot v(x) \cdot w(x) + u(x) \cdot v'(x) \cdot w(x) + u(x) \cdot v(x) \cdot w'(x)\\
\end{align}$
$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)=u(x) \cdot v(x) \cdot w(x)$ adalah $f'(x)=u'(x) \cdot v(x) \cdot w(x) +$$ u(x) \cdot v'(x) \cdot w(x) +$$ u(x) \cdot v(x) \cdot w'(x)$
- Contoh:
- Jika $f(x)=5 \cdot x^{4}$, maka
$\begin{align} \text{misal}: & \\ u(x) & = 5\ \rightarrow u'(x)=0 \\ v(x) & = x^{4}\ \rightarrow v'(x)=4x^{3} \\ \hline f'(x) & = u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x) \\ & = 0 \cdot x^{4} +5 \cdot 4x^{3} \\ & = 0 +20x^{3} \\ & = 20x^{3} \\ \end{align}$ - Jika $f(x)=\left( 2x-5 \right)\left( 3x+7 \right)$, maka
$\begin{align} \text{misal}: & \\ u(x) & = 2x-5 \ \rightarrow u'(x)=2 \\ v(x) & = 3x+7\ \rightarrow v'(x)=3 \\ \hline f'(x) & = u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x) \\ & = 2 \cdot \left( 3x+7 \right) +\left( 2x-5 \right) \cdot 3 \\ & = 6x+14 +6x-15 \\ & = 12x-1 \end{align}$
TURUNAN PEMBAGIAN FUNGSI
Jika $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ dimana $u(x)$ dan $v(x)$ adalah sebuah fungsi maka $f'(x)=\dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x) }{v^{2}(x)}$
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan sifat ini, kita gunakan sifat yang seblumnya sudah terbukti yaitu Turunan $f(x)=u(x) \cdot v(x)$ adalah $f'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)$
$\begin{align}
\text{misal}: & \\
f(x) & = \dfrac{u(x)}{v(x)} \\
u(x) & = f(x) \cdot v(x) \\
\hline
u'(x) & = f'(x) \cdot v(x)+f(x) \cdot v'(x) \\
u'(x) & = f'(x) \cdot v(x)+\dfrac{u(x)}{v(x)} \cdot v'(x) \\
\dfrac{u'(x)}{v(x)} & = f'(x) +\dfrac{u(x)}{v^{2}(x)} \cdot v'(x) \\
f'(x) & = \dfrac{u'(x)}{v(x)} -\dfrac{u(x)}{v^{2}(x)} \cdot v'(x) \\
& = \dfrac{u'(x) \cdot v(x)}{v^{2}(x)} -\dfrac{u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)} \\
& = \dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)}
\end{align}$
$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ adalah $f'(x)=\dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x) }{v^{2}(x)}$
- Contoh:
- Jika $f(x)=\dfrac{5}{x^{2}}$, maka
$\begin{align} \text{misal}: & \\ u(x) & = 5\ \rightarrow u'(x)=0 \\ v(x) & = x^{2}\ \rightarrow v'(x)=2x \\ \hline f'(x) & = \dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x) }{v^{2}(x)} \\ & = \dfrac{0 \cdot x^{2}-5 \cdot 2x }{\left( x^{2} \right)^{2}} \\ & = \dfrac{0-10x }{x^{4}} \\ & = \dfrac{-10}{x^{3}} \end{align}$ - Jika $f(x)=\dfrac{2x+3}{4x-7}$, maka
$\begin{align} \text{misal}: & \\ u(x) & = 2x+3\ \rightarrow u'(x)=2 \\ v(x) & = 4x-7\ \rightarrow v'(x)=4 \\ \hline f'(x) & = \dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x) }{v^{2}(x)} \\ & = \dfrac{2 \cdot \left( 4x-7 \right)-\left( 2x+3 \right) \cdot 4 }{\left(4x-7 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{8x-14-8x-12 }{\left(4x-7 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{-26 }{\left(4x-7 \right)^{2}} \end{align}$
ATURAN RANTAI TURUNAN FUNGSI
Jika $f(x)$ adalah sebuah fungsi maka $f'(x)=\dfrac{df}{dx}=\dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}$, yang dapat dikembangkan menjadi $\dfrac{df}{dx}=\dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dv} \cdot \dfrac{dv}{dx}$.
- Contoh:
- Jika $f(x)=\left( 2x-3\right)^{3}$, maka
$\begin{align} \text{misal}: & \\ u(x) & = 2x-3\ \rightarrow \dfrac{du}{dx}=2 \\ f(x) & = u^{3}\ \rightarrow \dfrac{df}{du}=3u^{2} \\ \hline f'(x) & = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ & = 3u^{2} \cdot 2 \\ & = 6u^{2} \\ & = 6\left( 2x-3\right)^{2} \end{align}$ - Jika $f(x)=\left( 3x+4\right)^{5}$, maka
$\begin{align} \text{misal}: & \\ u(x) & = 3x+4\ \rightarrow \dfrac{du}{dx}=3 \\ f(x) & = u^{5}\ \rightarrow \dfrac{df}{du}=5u^{4} \\ \hline f'(x) & = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ & = 5u^{4} \cdot 3 \\ & = 15u^{4} \\ & = 15\left( 3x+4 \right)^{4} \end{align}$
TURUNAN FUNGSI KOMPOSISI
Jika $f(x)$ dan $g(x)$ adalah sebuah fungsi maka $\left(f o g \right)'(x)= f'\left( g(x) \right) \cdot g'(x)$.
Penggunaan rumus turunan fungsi komposisi ini adalah pengembangan dari turunan fungsi aturan rantai, sehingga untuk menyelesaikannya dapat juga menggunakan aturan rantai.
- Contoh:
- Jika $f(x)=3x+1$ dan $g(x)=5x-7$, maka $\left(f o g \right)'(x)=\cdots$
$\begin{align} \left(f o g \right)(x) & = f \left( g(x) \right) \\ & = 3 g(x) +1 \\ \hline \left(f o g \right)'(x) & = f'\left( g(x) \right) \cdot g'(x) \\ & = 3 \cdot \left( 5 \right) \\ & = 15 \end{align}$ - Jika $f(x)=4x+3$ maka $f' \left( 2x-1 \right)=\cdots$
$\begin{align} f \left( 2x-1 \right) & = 4 \left( 2x-1 \right) +3 \\ f' \left( 2x-1 \right) & = 4 \cdot (2) \\ & = 8 \end{align}$ - Jika $f(x)=x^{3}$ dan $g(x)=2x-3$, maka $\left(f o g \right)'(x)=\cdots$
$\begin{align} \left(f o g \right)(x) & = f \left( g(x) \right) \\ & = \left( g(x) \right)^{3} \\ & = \left( 2x-3 \right)^{3} \\ \hline \left(f o g \right)'(x) & = f'\left( g(x) \right) \cdot g'(x) \\ & = 3\left( 2x-3 \right)^{3-1} \cdot \left( 2 \right) \\ & = 6 \left( 2x-3 \right)^{2} \end{align}$
TURUNAN FUNGSI BERPANGKAT
Jika $f(x)= \left[ g(x) \right]^{n}$ dimana $f(x),\ g(x)$ adalah sebuah fungsi maka $f'(x)=n \cdot \left[ g(x) \right]^{n-1} \cdot g'(x)$
atau dapat juga dituliskan dalam bentuk:
Jika $f(x)= g^{n}(x)$ maka $f'(x)=n \cdot g^{n-1}(x) \cdot g'(x)$.
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan sifat ini, kita gunakan bantuan sifat aturan rantai $\dfrac{df}{dx}=\dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}$
Untuk $f(x)= \left[ g(x) \right]^{n}$
$\begin{align}
\text{misal}: & \\
u & = g(x) \rightarrow \dfrac{du}{dx}=g'(x) \\
f(x) & = u^{n} \rightarrow \dfrac{df}{du}=n \cdot u^{n-1} \\
\hline
f'(x) & = \dfrac{df}{dx} \\
& = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\
& = n \cdot u^{n-1} \cdot g'(x) \\
& = n \cdot \left[ g(x) \right]^{n-1} \cdot g'(x)
\end{align}$
$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)= \left( g(x) \right)^{n}$ adalah $f'(x)=n \cdot \left[ g(x) \right]^{n-1} \cdot g'(x)$
- Contoh:
- Jika $f(x)=\left( 2x-3\right)^{3}$, maka
$\begin{align} f'(x) & = 3 \cdot \left( 2x-3\right)^{3-1} \cdot (2) \\ & = 6 \cdot \left( 2x-3\right)^{2} \end{align}$ - Jika $f(x)=\left( 3x+4\right)^{5}$, maka
$\begin{align} f'(x) & = 5 \cdot \left( 3x+4 \right)^{5-1} \cdot (3) \\ & = 15 \cdot \left( 3x+4\right)^{4} \end{align}$
- Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi Aljabar
- Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi Trigonometri
- Aplikasi Turunan Fungsi (*Soal BSE Matematika SMA Kelas XI IPA)
SOAL LATIHAN DAN PEMBAHASAN PENGEMBANGAN RUMUS TURUNAN FUNGSI ALJABAR
Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Matematika SMA Rumus-rumus Turunan Fungsi Aljabar atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
1. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Jika $y=\left( 4x-2 \right)\left( 2x+1 \right)$ maka $y'=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan masalah turunan fungsi di atas dapat kita selesaikan dengan beberapa alternatif pembahasan. Karena masih tahap dasar, soal ini kita coba selesaikan dengan dua alternatif penyelesaian, tetapi untuk soal selanjutnya kita pilih satu alternatif pembahasan saja.
* Alternatif Pembahasan I *
$\begin{align}
y\ &= \left( 4x-2 \right)\left( 2x+1 \right) \\
&= 8x^{2}+4x-4x-2 \\
&= 8x^{2}-2 \\
y'\ &= (2)(8)x^{2-1} \\
&= 16x
\end{align}$
* Alternatif Pembahasan II *
$\begin{align}
y\ &= \left( 4x-2 \right)\left( 2x+1 \right) \\
\hline
\text{misal}: & \\
u &= 4x-2\ \rightarrow u'=4 \\
v &= 2x+1\ \rightarrow v'=2 \\
\hline
y'\ &= u' \cdot v + u \cdot v' \\
&= \left( 4 \right) \left( 2x+1 \right)+\left( 4x-2 \right)\left( 2 \right) \\
&= 8x+4+8x-4 \\
&= 16x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 16x$
2. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Jika $f(x)=\left( x^{2}-3x \right)\left( 2x-5 \right)$ maka $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f(x) &=\left( x^{2}-3x \right)\left( 2x-5 \right) \\ \hline \text{misal}: & \\ u &= x^{2}-3x\ \rightarrow u'=2x-3 \\ v &= 2x-5\ \rightarrow v'=2 \\ \hline f'(x)\ &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ &= \left( 2x -3 \right)\left( 2x-5 \right)+\left( x^{2}-3x \right)\left( 2 \right) \\ &= 4x^{2}-10x-6x+15+2x^{2}-6x \\ &= 6x^{2}-22x+15 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6x^{2}-22x+15$
3. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Jika $y=\dfrac{2x+3}{4x-6}$ maka $y'=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} y &= \dfrac{2x+3}{4x-6} \\ \hline \text{misal:}\ & u= 2x+3\ \rightarrow u'=2 \\ & v= 4x-6\ \rightarrow v'=4 \\ \hline y' & = \dfrac{u' \cdot v -u \cdot v' }{v^{2}} \\ & = \dfrac{2 \cdot \left( 4x-6 \right)-\left( 2x+3 \right) \cdot 4 }{\left(4x-6 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{8x-12-8x-12 }{\left(4x-6 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{-24 }{\left(4x-6 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{-24 }{\left( 2 \left[2x-3 \right] \right)^{2} } \\ & = \dfrac{-24 }{4 \left(2x-3 \right)^{2} } \\ & = \dfrac{-6 }{\left(2x-3 \right)^{2} } \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{-6}{\left( 2x-3 \right)^{2}}$
4. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Jika $f(x)=\dfrac{2x^{2}+5x-3}{x+3}$ maka $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f(x) &= \dfrac{2x^{2}+5x-3}{x+3} \\ \hline \text{misal:}\ & u= 2x^{2}+5x-3\ \rightarrow u'=4x+5 \\ & v= x+3\ \rightarrow v'=1 \\ \hline f'(x) & = \dfrac{u' \cdot v -u \cdot v' }{v^{2}} \\ & = \dfrac{\left( 4x+5 \right) \cdot \left( x+3 \right)-\left( 2x^{2}+5x-3 \right) \cdot 1 }{\left(x+3 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{4x^{2}+12x+5x+15-2x^{2}-5x+3 }{\left(x+3 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{2x^{2}+12x+18 }{\left(x+3 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{2 \left( x^{2}+6x+9 \right) }{\left( x^{2}+6x+9 \right) } \\ & = 2 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$
5. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Jika $y=\dfrac{3}{x^{2}-2x}$ maka $y'=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} y &= \dfrac{3}{x^{2}-2x} \\ \hline \text{misal:}\ & u= 3\ \rightarrow u'=0 \\ & v= x^{2}-2x\ \rightarrow v'=2x-2 \\ \hline y' & = \dfrac{u' \cdot v -u \cdot v' }{v^{2}} \\ & = \dfrac{\left( 0 \right) \cdot \left( x^{2}-2x \right)-\left( 3 \right) \cdot \left( 2x-2 \right) }{\left( x^{2}-2x \right)^{2}} \\ & = \dfrac{0-\left( 6x-6 \right) }{\left( x^{2}-2x \right)^{2}} \\ & = \dfrac{-6x+6 }{\left( x^{2}-2x \right)^{2}} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{-6x+6 }{\left( x^{2}-2x \right)^{2}}$
6. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Jika $f(x)=5\left( 4x-2 \right)^{3}$ maka $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f(x) &= 5\left( 4x-2 \right)^{3} \\ f'(x) & = 3 \cdot 5 \left( 4x-2 \right)^{3-1} \cdot \left( 4 \right) \\ & = 15 \left( 4x-2 \right)^{2} \cdot \left( 4 \right) \\ & = 60 \left( 4x-2 \right)^{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 60 \left( 4x-2 \right)^{2}$
7. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Jika $f(x)=4\left( x^{2}+3x \right)^{5}$ maka $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f(x) &= 4\left( x^{2}+3x \right)^{5} \\ f'(x) & = 5 \cdot 4 \left( x^{2}+3x \right)^{5-1} \cdot \left( 2x+3 \right) \\ & = 20 \left( x^{2}+3x \right)^{4} \cdot \left( 2x+3 \right) \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 20 \left( 2x+3 \right) \left( x^{2}+3x \right)^{4}$
8. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Jika $y=\sqrt{2x+6}$ maka $y'=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} y &= \sqrt{2x+6} \\ y &= \left( 2x+6 \right)^{\frac{1}{2}} \\ y' & = \dfrac{1}{2} \cdot \left( 2x+6 \right)^{\frac{1}{2}-1} \cdot \left( 2 \right) \\ & = \left( 2x+6 \right)^{-\frac{1}{2}} \\ & = \dfrac{1}{\left( 2x+6 \right)^{\frac{1}{2}}} \\ & = \dfrac{1}{\sqrt{2x+6}} \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{\sqrt{2x+6}}$
9. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Jika $f(x)=6\sqrt{\left( 3x-1 \right)^{5}}$ maka $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} y &= 6\sqrt{\left( 3x-1 \right)^{5}} \\ y &= 6\left( 3x-1 \right)^{\frac{5}{2}} \\ y' & = \dfrac{5}{2} \cdot 6 \left( 3x-1 \right)^{\frac{5}{2}-1} \cdot \left( 3 \right) \\ & = 45 \left( 3x-1 \right)^{\frac{3}{2}} \\ & = 45 \sqrt{\left( 3x-1 \right)^{3}} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 45\sqrt{\left( 3x-1 \right)^{3}}$
10. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Jika $f(x)= \left( 3x-4 \right)^{3}\left( 6x-8 \right)$ maka $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f(x) &= \left( 3x-4 \right)^{3}\left( 6x-8 \right) \\ &= \left( 3x-4 \right)^{3} \cdot 2 \cdot \left( 3x-4 \right) \\ &= 2 \left( 3x-4 \right)^{4} \\ f'(x) & = 4 \cdot 2 \left( 3x-4 \right)^{4-1} (3)\\ & = 24 \left( 3x-4 \right)^{3} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 24 \left( 3x-4 \right)^{3}$
11. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Jika $f(x)= \dfrac{4x+6}{\sqrt{2x+3}}$ maka $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f(x) &= \dfrac{4x+6}{\sqrt{2x+3}} \\ &= \dfrac{2 \left( 2x+3 \right)}{\left( 2x+3 \right)^{\dfrac{1}{2}}} \\ &= 2 \left( 2x+3 \right)^{1-\dfrac{1}{2}} \\ &= 2 \left( 2x+3 \right)^{ \dfrac{1}{2}} \\ f'(x) & = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \left( 2x+3 \right)^{ \dfrac{1}{2}-1} \cdot \left( 2 \right)\\ & = 2 \left( 2x+3 \right)^{ -\dfrac{1}{2}} \\ & = \dfrac{2}{\sqrt{2x+3}} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{2}{\sqrt{2x+3}}$
12. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Jika $f(x)=\left( 2x-3 \right)^{2} \left( 4x+5 \right)$ maka $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f(x) &=\left( 2x-3 \right)^{2} \left( 4x+5 \right) \\ \hline \text{misal}: & \\ u &= \left( 2x-3 \right)^{2}\ \rightarrow u'=2 \cdot \left( 2x-3 \right)(2) \\ v &= \left( 4x+5 \right)\ \rightarrow v'=4 \\ \hline y'\ &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ &= 4 \left( 2x-3 \right) \left( 4x+5 \right)+\left( 2x-3 \right)^{2} \left( 4 \right) \\ &= \left( 2x-3 \right) \left[ 4 \left( 4x+5 \right)+\left( 2x-3 \right) \left( 4 \right) \right] \\ &= \left( 2x-3 \right) \left[ 16x+20 +8x-12 \right] \\ &= \left( 2x-3 \right) \left[ 24x+8 \right] \\ &= \left( 2x-3 \right)\ \cdot 4 \cdot \left[ 6x+2 \right] \\ &= 4\left( 2x-3 \right)\left( 6x+2 \right) \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4\left( 2x-3 \right)\left( 6x+2 \right)$
13. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Jika $f(x)=\dfrac{\left( 3x-4 \right)^{2}}{4x-3}$ maka $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} y &= \dfrac{\left( 3x-4 \right)^{2}}{4x-3} \\ \hline \text{misal:}\ & u= \left( 3x-4 \right)^{2}\ \rightarrow u'=2 \cdot \left( 3x-4 \right) (3) \\ & v= 4x-3\ \rightarrow v'=4 \\ \hline y' & = \dfrac{u' \cdot v -u \cdot v' }{v^{2}} \\ & = \dfrac{6 \cdot \left( 3x-4 \right)\left( 4x-3 \right)- \left( 3x-4 \right)^{2}\left( 4 \right)}{\left(4x-3 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{\left( 3x-4 \right) \left[ 6 \cdot \left( 4x-3 \right)- \left( 3x-4 \right) \left( 4 \right) \right]}{\left(4x-3 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{\left( 3x-4 \right) \left[ 24x-18-12x+16 \right]}{\left(4x-3 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{\left( 3x-4 \right) \left[ 12x-2 \right]}{\left(4x-3 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{\left( 3x-4 \right) \cdot 2 \cdot \left( 6x-1 \right)}{\left(4x-3 \right)^{2}} \\ & = 2\dfrac{\left( 3x-4 \right) \left( 6x-1 \right)}{\left(4x-3 \right)^{2}} \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{2\left( 3x-4 \right)\left( 6x-1 \right)}{\left( 4x-3 \right)^{2}}$
14. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Jika $f(x)=\dfrac{3}{2 \left( 4x-2 \right)^{4}}$ maka $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} y &= \dfrac{3}{2 \left( 4x-2 \right)^{4}} \\ &= \dfrac{3}{2} \left( 4x-2 \right)^{-4} \\ y' &= -4 \cdot \dfrac{3}{2} \left( 4x-3 \right)^{-4-1} \left( 4 \right) \\ &= -24 \cdot \left( 4x-2 \right)^{-5} \\ & = \dfrac{-24}{\left(4x-2 \right)^{5}} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{-24}{ \left( 4x-2 \right)^{5}} $
15. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Jika $f(x)=\dfrac{3}{ \sqrt{6x+2}}$ maka $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} y &= \dfrac{3}{ \sqrt{6x+2}} \\ &= \dfrac{3}{ \left(6x+2 \right)^{\frac{1}{2}}} \\ &= 3 \left( 6x+2 \right)^{-\frac{1}{2}} \\ y' &= -\dfrac{1}{2} \cdot 3 \left( 6x+2 \right)^{-\frac{1}{2}-1} \left( 6 \right) \\ &= -9 \left( 6x+2 \right)^{-\frac{3}{2}} \\ & = \dfrac{-9}{\left( 6x+2 \right)^{\frac{3}{2}}} \\ & = \dfrac{-9}{\sqrt{\left( 6x+2 \right)^{3}}} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{-9}{\sqrt{ \left( 6x+2 \right)^{3}}} $
16. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Jika $f(x)= \left[ \dfrac{3x+2}{4x+3} \right]^{3}$ maka $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} y &= \left[ \dfrac{3x+2}{4x+3} \right]^{3} \\ y' &= 3 \cdot \left[ \dfrac{3x+2}{4x+3} \right]^{3-1} \cdot \left[ \dfrac{3x+2}{4x+3} \right]' \\ &= 3 \cdot \left[ \dfrac{3x+2}{4x+3} \right]^{2} \cdot \left[ \dfrac{(3)(4x+3)-(3x+2)(4)}{(4x+3)^{2}} \right] \\ &= 3 \cdot \left[ \dfrac{3x+2}{4x+3} \right]^{2} \cdot \dfrac{12x+9-12x-8}{(4x+3)^{2}} \\ &= 3 \cdot \dfrac{(3x+2)^{2}}{(4x+3)^{2}} \cdot \dfrac{1}{(4x+3)^{2}} \\ &= 3 \cdot \dfrac{(3x+2)^{2}}{(4x+3)^{4}} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{3 \left( 3x+2 \right)^{2}}{ \left( 4x+3 \right)^{4}}$
17. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Jika $f(x)=\left( 2x^{2}-3x-2 \right)\left( 2x^{2}-3 \right)$ maka nilai $f'(x)$ untuk $x=2$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f(x) &=\left( 2x^{2}-3x-2 \right)\left( 2x^{2}-3 \right) \\ \hline \text{misal}: & \\ u &= 2x^{2}-3x-2\ \rightarrow u'=4x-3 \\ v &= 2x^{2}-3\ \rightarrow v'=4x \\ \hline f'(x)\ &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ &= \left( 4x -3 \right)\left( 2x^{2}-3 \right)+\left( 2x^{2}-3x-2 \right)\left( 4x \right) \\ f'(2) &= \left( 4(2) -3 \right)\left( 2(2)^{2}-3 \right)+\left( 2(2)^{2}-3(2)-2 \right)\left( 4(2) \right) \\ &= \left( 5 \right)\left( 5 \right)+\left( 0 \right)\left( 8 \right) \\ &= 25+0=25 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 25$
18. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Jika $f(x)= \sqrt{ \dfrac{4x+1}{2x-3}}$ maka $f'(2)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f(x) &= \sqrt{ \dfrac{4x+1}{2x-3}} &= \left( \dfrac{4x+1}{2x-3} \right)^{\frac{1}{2}} \\ f'(x) &= \dfrac{1}{2} \cdot \left[ \dfrac{4x+1}{2x-3} \right]^{\frac{1}{2}-1} \cdot \left[ \dfrac{4x+1}{2x-3} \right]' \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \left[ \dfrac{4x+1}{2x-3} \right]^{-\frac{1}{2}} \cdot \left[ \dfrac{(4)(2x-3)-(4x+1)(2)}{(2x-3)^{2}} \right]' \\ f'(2) &= \dfrac{1}{2} \cdot \left[ \dfrac{4(2)+1}{2(2)-3} \right]^{-\frac{1}{2}} \cdot \left[ \dfrac{(4)(2(2)-3)-(4(2)+1)(2)}{(2(2)-3)^{2}} \right] \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \left[ 9 \right]^{-\frac{1}{2}} \cdot \left[ -14 \right] \\ &= -7 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{9}}=-\dfrac{7}{3} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{-7}{3}$
19. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Jika $f(x)=\left(x^{2}-3x\right)\left( 2x+1 \right)$ maka nilai $f'(x)$ untuk $x=2$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f(x) &=\left(x^{2}-3x\right)\left( 2x+1 \right) \\ \hline \text{misal}: & \\ u &= x^{2}-3x \ \rightarrow u'=2x-3 \\ v &= 2x+1\ \rightarrow v'=2 \\ \hline f'(x)\ &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ &= \left( 2x -3 \right)\left( 2x+1 \right)+\left( x^{2}-3x \right)\left( 2 \right) \\ f'(2) &= \left( 2(2) -3 \right)\left( 2(2)+1 \right)+\left( (2)^{2}-3(2) \right)\left( 2 \right) \\ &= \left( 1 \right)\left( 5 \right)+\left( -2 \right)\left( 2 \right) \\ &= 5-4=1 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$
20. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Jika $f(x)=\left(x^{2}-5x\right)\left(2x+1\right)\left(3x-2\right)$ maka nilai $f'(x)$ untuk $x=1$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f(x) &=\left(x^{2}-5x\right)\left(2x+1\right)\left(3x-2\right) \\ \hline \text{misal}: & \\ u &= x^{2}-5x \ \rightarrow u'=2x-5 \\ v &= 2x+1\ \rightarrow v'=2 \\ w &= 3x-2\ \rightarrow w'=3 \\ \hline f'(x)\ &= u'(x) \cdot v(x) \cdot w(x) + u(x) \cdot v'(x) \cdot w(x) + u(x) \cdot v(x) \cdot w'(x) \\ &= \left( 2x -5 \right)\left( 2x+1 \right)\left( 3x-2 \right)+\left( x^{2}-5x \right)\left( 2 \right)\left( 3x-2 \right)+\left( x^{2}-5x \right)\left( 2x+1 \right)\left( 3 \right) \\ f'(1) &= \left( 2(1) -5 \right)\left( 2(1)+1 \right)\left( 3(1)-2 \right)+\left( (1)^{2}-5(1) \right)\left( 2 \right)\left( 3(1)-2 \right)+\left( (1)^{2}-5(1) \right)\left( 2(1)+1 \right)\left( 3 \right) \\ &= \left( -3 \right)\left( 3 \right)\left( 1 \right)+\left( -4 \right)\left( 2 \right)\left( 1 \right)+\left( -4 \right)\left( 3 \right)\left( 3 \right) \\ &= -9-8-36 \\ &= -53 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -53$
21. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Jika $f(x)=\left(x^{2}+3x-3\right)\left(x^{2}-5x+4\right)\left(x^{2}-4x+5\right)$ maka nilai $f'(1)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f(x) &=\left(x^{2}+3x-3\right)\left(x^{2}-5x+4\right)\left(x^{2}-4x+5\right) \\ \hline \text{misal}: & \\ u &= x^{2}+3x-3 \ \rightarrow u'=2x+3 \\ u(1) &= 1 \ \rightarrow u'(1)=5 \\ v &= x^{2}-5x+4\ \rightarrow v'=2x-5 \\ v(1) &= 0 \ \rightarrow v'(1)=-3 \\ w &= x^{2}-4x+5\ \rightarrow w'=2x-4 \\ w(1) &= 2 \ \rightarrow w'(1)=-2 \\ \hline f'(x)\ &= u'(x) \cdot v(x) \cdot w(x) + u(x) \cdot v'(x) \cdot w(x) + u(x) \cdot v(x) \cdot w'(x) \\ f'(1)\ &= u'(1) \cdot v(1) \cdot w(1) + u(1) \cdot v'(1) \cdot w(1) + u(1) \cdot v(1) \cdot w'(1) \\ &= 5 \cdot 0 \cdot 2 + 1 \cdot -3 \cdot 2 + 1 \cdot 0 \cdot -2 \\ &= 0-6+0 \\ &= -6 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -6$
22. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Jika $y=\left(2x-3\right)^{2} \left(4x^{2}-9\right)^{3}\left(2x+3\right)^{2}$ maka $y'=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f(x) &=\left(2x-3\right)^{2} \left(4x^{2}-9\right)^{3}\left(2x+3\right)^{2} \\ &=\left(2x-3\right)^{2} \left(2x+3\right)^{2} \left(4x^{2}-9\right)^{3} \\ &=\left(4x^{2}-9\right)^{2} \left(4x^{2}-9\right)^{3} \\ &=\left(4x^{2}-9\right)^{5} \\ f'(x)\ &=5 \cdot \left(4x^{2}-9\right)^{5-1} \cdot \left(8x \right) \\ &=40x \cdot \left(4x^{2}-9\right)^{4} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 40x\left(4x^{2}-9\right)^{4}$
23. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Jika $y=\sqrt{\dfrac{\left(2x-1 \right)^{3}}{\left( 4x^{2}-1 \right)\left( 2x+1 \right)}}$ maka $y'=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f(x) &=\sqrt{\dfrac{\left(2x-1 \right)^{3}}{\left( 4x^{2}-1 \right)\left( 2x+1 \right)}}\\ &=\sqrt{\dfrac{\left(2x-1 \right)^{3}}{\left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)\left( 2x+1 \right)}}\\ &=\sqrt{\dfrac{\left(2x-1 \right)^{2}}{ \left( 2x+1 \right)^{2} }}\\ &= \dfrac{ 2x-1 }{ 2x+1 }\\ f'(x)\ &=\dfrac{(2)(2x+1)-(2x-1)(2)}{(2x+1)^{2}} \\ &=\dfrac{4x+2-4x+2}{(2x+1)^{2}} \\ &=\dfrac{4}{(2x+1)^{2}} \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left( \dfrac{2}{ 2x+1 } \right)^{2}$
24. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Jika $f(x)=\dfrac{2}{ \left( 3x-1 \right)^{5}}$ maka $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} y &= \dfrac{2}{ \left( 3x-1 \right)^{5}} \\ &= 2 \left( 3x-1 \right)^{-5} \\ y' &= -5 \cdot 2 \left( 3x-1 \right)^{-5-1} \left( 3 \right) \\ &= -30 \left( 3x-1 \right)^{-6} \\ & = \dfrac{-30}{\left( 3x-1 \right)^{6}} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{-30}{\left( 3x-1 \right)^{6}}$
25. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Jika $f(x)=4\sqrt{\left( 3x-5 \right)^{3}}$ maka $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} y &= 4\sqrt{\left( 3x-5 \right)^{3}} \\ &= 4 \left( 3x-5 \right)^{\frac{3}{2}} \\ y' &= \dfrac{3}{2} \cdot 4 \left( 3x-5 \right)^{\frac{3}{2}-1} \left( 3 \right) \\ &= 18 \left( 3x-5 \right)^{ \frac{1}{2}} \\ & = 18\sqrt{ 3x-5 } \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 18\sqrt{ 3x-5 } $
26. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Turunan $f(x)=3\left( 2x-5 \right)^{6}+4\left( 2x-5 \right)^{2}+6$, adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f(x) & = 3\left( 2x-5 \right)^{6}+4\left( 2x-5 \right)^{2}+6 \\ f'(x) & = 6 \cdot 3\left( 2x-5 \right)^{6-1}(2)+2 \cdot 4\left( 2x-5 \right)^{2-1}(2)+ 0\\ & = 36 \left( 2x-5 \right)^{5} +16\left( 2x-5 \right) \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ f'(x)=36\left( 2x-5 \right)^{5}+16\left( 2x-5 \right)$
27. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Jika $f(x)=2 \sqrt{3x-6}-\sqrt{ \left( 3x-6 \right)^{3}}$, maka nilai $f'(5)$...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f(x) & = 2 \sqrt{3x-6}-\sqrt{ \left( 3x-6 \right)^{3}} \\ & = 2 \left( 3x-6 \right)^{\frac{1}{2}}- \left( 3x-6 \right)^{\frac{3}{2}} \\ f'(x) & = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \left[ 3x-6 \right]^{\frac{1}{2}-1} (3)- \dfrac{3}{2} \cdot \left[ 3x-6 \right]^{\frac{3}{2}-1}(3) \\ f'(5) & = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \left[ 3(5)-6 \right]^{\frac{1}{2}-1} (3)- \dfrac{3}{2} \cdot \left[ 3(5)-6 \right]^{\frac{3}{2}-1}(3) \\ & = 3\left( 9 \right)^{-\frac{1}{2}} - \dfrac{9}{2} \left( 9 \right)^{\frac{1}{2}} \\ & = 3\left( \frac{1}{3} \right) - \dfrac{9}{2} \left( 3 \right) \\ & = 1 - \dfrac{27}{2} =- \dfrac{25}{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -12\frac{1}{2}$
28. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Jika fungsi $f(x)=\left[2 \left( 3x-2 \right)^{5}-\left( 3x-2 \right)^{2} \right]^{4}$, maka nilai $f'(1)$...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f(x) & = \left[2 \left( 3x-2 \right)^{5}-\left( 3x-2 \right)^{2} \right]^{4} \\ \hline \text{misal}: & \\ u(x) & = 3x-2\ \rightarrow \dfrac{du}{dx}=3 \\ u(1) & = 3(1)-2\ \rightarrow u(1)=1 \\ f(x) & = \left[2 u^{5}-u^{2} \right]^{4} \\ \dfrac{df}{du} &=4\left[2 u^{5}-u^{2} \right]^{4} \\ &=4\left[2 u^{5}-u^{2} \right]^{4-1} \left( 10 u^{5-1}-2u^{2-1} \right) \\ &=4\left[2 u^{5}-u^{2} \right]^{3} \left( 10 u^{4}-2u \right) \\ \hline f'(x) & = \dfrac{df}{dx} \\ & = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ & = 4\left[2 u^{5}-u^{2} \right]^{3} \left( 10 u^{4}-2u \right) \cdot \left( 3 \right) \\ f'(1) & = 4\left[2 (1) - (1) \right]^{3} \left( 10 (1) - 2(1) \right) \cdot \left( 3 \right) \\ & = 4\left( 1 \right) \left( 8 \right) \left( 3 \right) \\ & = 96 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 96$
29. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Jika fungsi $y= \sqrt{ 2 \left( 4x-5 \right)^{3}-2\left( 4x-5 \right)^{2} }$, maka nilai $\dfrac{dy}{dx}$ untuk $x=2$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f(x) & = \sqrt{ 2 \left( 4x-5 \right)^{3}-2\left( 4x-5 \right)^{2} } \\ \hline \text{misal}: & \\ u(x) & = 4x-5\ \rightarrow \dfrac{du}{dx}=4 \\ u(2) & = 4(2)-5\ \rightarrow u(2)=3 \\ f(x) & = \sqrt{ 2u^{3}-2u^{2} } \\ \dfrac{df}{du} &=\frac{1}{2} \cdot \left[ 2u^{3}-2u^{2} \right]^{\frac{1}{2}-1} \cdot \left[ 6u^{2}-4u \right] \\ \hline f'(x) & = \dfrac{df}{dx} \\ & = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ \\ & =\dfrac{1}{2} \cdot \left[ 2u^{3}-2u^{2} \right]^{\frac{1}{2}-1} \cdot \left[ 6u^{2}-4u \right] \cdot \left( 4 \right) \\ f'(2) & =\dfrac{1}{2} \cdot \left[ 2(3)^{3}-2(3)^{2} \right]^{-\frac{1}{2}} \cdot \left[ 6(3)^{2}-4(3) \right] \cdot \left( 4 \right) \\ & =\dfrac{1}{2} \cdot \left[ 54-18 \right]^{-\frac{1}{2}} \cdot \left[ 54-12 \right] \cdot \left( 4 \right) \\ & =\dfrac{1}{2} \cdot \left[ 36 \right]^{-\frac{1}{2}} \cdot \left[ 38 \right] \cdot \left( 4 \right) \\ & =\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \left[ 42 \right] \cdot \left( 4 \right) \\ & = 14 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 14$
30. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Jika fungsi $f(x)=\left[2 \left( 3x-4 \right)^{3}-4\left( 3x-4 \right) \right]^{2}$, maka nilai $f'(1)$...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f(x) & = \left[2 \left( 3x-4 \right)^{3}-4\left( 3x-4 \right) \right]^{2} \\ \hline \text{misal}: & \\ u(x) & = 3x-4\ \rightarrow \dfrac{du}{dx}=3 \\ u(1) & = 3(1)-4\ \rightarrow u(1)=-1 \\ f(x) & = \left[2 u^{3}-4u \right]^{2} \\ \dfrac{df}{du} &=2\left[2 u^{3}-4u \right]^{2-1} \left( 6 u^{2}-4 \right) \\ \hline f'(x) & = \dfrac{df}{dx} \\ & = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ & = 2\left[2 u^{3}-4u \right]^{1} \left( 6 u^{2}-4 \right) \cdot \left( 3 \right) \\ f'(1)& = 2\left[2 (-1)^{3}-4(-1) \right]^{1} \left( 6 (-1)^{2}-4 \right) \cdot \left( 3 \right) \\ & = 2\left[-2+4 \right]^{1} \left( 6-4 \right) \cdot \left( 3 \right) \\ & = 2 (2) \left( 2 \right) \cdot \left( 3 \right) \\ & = 24 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 24$
31. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Jika fungsi $f(x)=\left[ \sqrt{2x-1} + \dfrac{1}{\sqrt{2x-1}} \right]^{3}$, maka nilai $f'(5)$...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f(x) & = \left[ \sqrt{2x-1} + \dfrac{1}{\sqrt{2x-1}} \right]^{3} \\ \hline \text{misal}: & \\ u(x) & = \sqrt{2x-1} \ \rightarrow \dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}} \\ u(5) & = \sqrt{2(5)-1}\ \rightarrow u(5)=3 \\ f(x) & = \left[ u + \dfrac{1}{u} \right]^{3} \\ & = \left[ u + u^{-1} \right]^{3} \\ \dfrac{df}{du} &= 3 \left[ u + u^{-1} \right]^{2} \left( 1 - u^{-2} \right) \\ \hline f'(x) & = \dfrac{df}{dx} \\ & = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ & = 3 \left[ u + u^{-1} \right]^{2} \left( 1 - u^{-2} \right) \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2x-1}} \\ f'(5) & = 3 \left[ (3) + (3)^{-1} \right]^{2} \left( 1 - (3)^{-2} \right) \cdot \dfrac{1}{3} \\ & = 3 \left[ (3) + \dfrac{1}{3} \right]^{2} \left( 1 - \dfrac{1}{9} \right) \cdot \dfrac{1}{3} \\ & = \left[ \dfrac{10}{3} \right]^{2} \left( \dfrac{8}{9} \right) \\ & = \left( \dfrac{100}{9} \right) \left( \dfrac{8}{9} \right) \\ & = \dfrac{800}{81} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{800}{81}$
32. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Jika fungsi $f(x)=\dfrac{3}{ \left( 2x-3 \right)^{2}}$ maka $f''(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f(x) &= \dfrac{3}{ \left( 2x-3 \right)^{2}} \\ &= 3 \cdot \left( 2x-3 \right)^{-2} \\ f'(x) &= (-2) 3 \cdot \left( 2x-3 \right)^{-2-1} \cdot (2) \\ &= (-12) \cdot \left( 2x-3 \right)^{-3} \end{align}$
Yang ditanyakan pada soal di atas adalah turunan kedua fungsi $f(x)$ yang dituliskan dengan simbol $f''(x)$ artinya setelah turunan pertama $f'(x)$ diturunkan lagi.$\begin{align}
f'(x) &= (-12) \cdot \left( 2x-3 \right)^{-3}
f''(x) &= -3 \cdot (-12) \cdot \left( 2x-3 \right)^{-3-1} (2) \\
&= (72) \cdot \left( 2x-3 \right)^{-4} \\
& = \dfrac{72}{ \left( 2x-3 \right)^{4}}
\end{align}$
Sebagai catatan, untuk turunan ketiga, keempat, sampai ke-$n$ dari sebuah fungsi $f(x)$ dituliskan $f^{(3)}(x)$, $f^{(4)}(x)$ dan $f^{(n)}(x)$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{72}{ \left( 2x-3 \right)^{4}}$
33. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Jika fungsi $f(x)=\sqrt{\left( 8x+5 \right)^{3}}$ maka $f''(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f(x) &= \sqrt{\left( 8x+5 \right)^{3}} \\ &= \left( 8x+5 \right)^{\frac{3}{2}}\\ f'(x) &= \dfrac{3}{2} \cdot \left( 8x+5 \right)^{\frac{3}{2}-1} (8) \\ &= (12) \cdot \left( 8x+5 \right)^{\frac{1}{2}} \\ \end{align}$
Yang ditanyakan pada soal di atas adalah turunan kedua fungsi $f(x)$ yang dituliskan dengan simbol $f''(x)$ artinya setelah turunan pertama $f'(x)$ diturunkan lagi.$\begin{align}
f'(x) &= (12) \cdot \left( 8x+5 \right)^{\frac{1}{2}} \\
f''(x) &= \dfrac{1}{2} \cdot (12) \cdot \left( 8x+5 \right)^{\frac{1}{2}-1} (8) \\
&= (48) \cdot \left( 8x+5 \right)^{-\frac{1}{2} } \\
& = \dfrac{48}{\sqrt{\left( 8x+5 \right)}}
\end{align}$
Sebagai catatan, untuk turunan ketiga, keempat, sampai ke-$n$ dari sebuah fungsi $f(x)$ dituliskan $f^{(3)}(x)$, $f^{(4)}(x)$ dan $f^{(n)}(x)$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{48}{\sqrt{\left( 8x+5 \right)}}$
34. Soal Latihan Turunan Fungsi Ajabar
Diketahui $g(x)=\dfrac{2x-3}{f(x)}$. $f'$ adalah turunan pertama dari $f$ dan $g'$ adalah turunan pertama dari $g$. Jika $f(1)=f'(1)=1$ maka $g'(1)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} g(x) &= \dfrac{2x-3}{f(x)} \\ f(x) \cdot g(x) &= 2x-3 \\ f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) &= 2 \\ f'(1) \cdot g(1) + f(1) \cdot g'(1) &= 2 \\ 1 \cdot g(1) + 1 \cdot g'(1) &= 2 \\ \hline g(x) &= \dfrac{2x-3}{f(x)} \\ g(1) &= \dfrac{2(1)-3}{f(1)} \\ &= \dfrac{-1}{1}=-1 \\ \hline 1 \cdot (-1) + 1 \cdot g'(1) &= 2 \\ (-1) + g'(1) &= 2 \\ g'(1) &= 2+1=3 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3$
Catatan Cara Membuktikan Rumus-rumus Turunan Fungsi Aljabar Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
