--> Skip to main content

Membuktikan Sifat-Sifat Turunan Fungsi Aljabar Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan

Mengenal Definisi Turunan Fungsi AjabarCalon guru coba belajar matematika dengan Membuktikan Sifat-Sifat Turunan Fungsi Aljabar yang Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan. Setelah mengenal definisi Turunan Fungsi Aljabar, selanjutnya kita bisa gunakan beberapa sifat turunan fungsi aljabar untuk menyelesaikan masalah yang berkembang. Sifat-sifat turunan fungsi aljabar ini juga diperoleh dari pengembangan definisi turunan fungsi.

Dengan menggunakan definisi turunan fungsi, kita dapat menentukan turunan pertama dari fungsi $f(x)=4x$ yaitu:

$\begin{align} f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{4\left( x+h \right) - \left( 4x \right)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{4x+4h -4x }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{4h }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} 4 \\ & = 4 \end{align}$
$\therefore$ Turunan pertama $f(x)=4x$ adalah $f'(x)=4$


TURUNAN FUNGSI KONSTAN


Jika $f(x)=a$ dimana $a$ adalah konstanta maka $f'(x)=0$
Alternatif Pembuktian:
Show

Sebelum kita menentukan turunan fungsi $f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, tahap awal kita coba tentukan fungsi $f(x)$ dan $f\left( x+h \right)$ yaitu:

$\begin{align} f(x) & = a \\ f\left( x+h \right) & = a \end{align}$

Lalu $f\left( x \right)$ dan $f\left( x+h \right)$ kita substitusi ke definisi turunan fungsi, sehingga kita peroleh:

$\begin{align} f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{a - a}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ 0 }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} 0 \\ & = 0 \end{align}$

$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)=a$ adalah $f'(x)=0$

Contoh:
  1. Jika $f(x)=5$, maka $f'(x)=0$
  2. Jika $f(x)=-2$, maka $f'(x)=0$
  3. Jika $f(x)=0,75$, maka $f'(x)=0$
  4. Jika $f(x)=\dfrac{1}{3}$, maka $f'(x)=0$

TURUNAN FUNGSI LINEAR


Jika $f(x)=ax$ dimana $a$ adalah konstanta maka $f'(x)=a$
Alternatif Pembuktian:
Show

Sebelum kita menentukan turunan fungsi $f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, tahap awal kita coba tentukan fungsi $f(x)$ dan $f\left( x+h \right)$ yaitu:

$\begin{align} f(x) & = ax \\ f\left( x+h \right) & = a \left( x+h \right) \\ & = ax+ah \end{align}$

Lalu $f\left( x \right)$ dan $f\left( x+h \right)$ kita substitusi ke definisi turunan fungsi, sehingga kita peroleh:

$\begin{align} f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f\left( x+h \right)-f(x)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ax+ah - ax }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ah}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} a \\ & = a \end{align}$

$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)=ax$ adalah $f'(x)=a$

Contoh:
  1. Jika $f(x)=5x$, maka $f'(x)=5$
  2. Jika $f(x)=4x$, maka $f'(x)=4$
  3. Jika $f(x)=-8x$, maka $f'(x)=-8$
  4. Jika $f(x)=\dfrac{1}{3}x$, maka $f'(x)=\dfrac{1}{3}$

TURUNAN FUNGSI EKSPONEN


Jika $f(x)=ax^{n}$ dimana $a$ dan $n$ adalah konstanta maka $f'(x)=anx^{n-1}$
Alternatif Pembuktian:
Show

Sebelum kita menentukan turunan fungsi $f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, tahap awal kita coba tentukan fungsi $f(x)$ dan $f\left( x+h \right)$ yaitu:

$\begin{align} f(x) & = ax^{n} \\ f\left( x+h \right) & = a\left( x+h \right)^{n} \\ & =a\left ( x^{n}+\binom{n}{1}x^{n-1}h+\binom{n}{2}x^{n-2}h^{2}+\cdots+\binom{n}{n-1}xh^{n-1}+h^{n} \right ) \\ & = ax^{n}+a\binom{n}{1}x^{n-1}h+a\binom{n}{2}x^{n-2}h^{2}+\cdots+a\binom{n}{n-1}xh^{n-1}+ah^{n} \\ \end{align}$

Lalu $f\left( x \right)$ dan $f\left( x+h \right)$ kita substitusi ke definisi turunan fungsi, sehingga kita peroleh:

$\begin{align} f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f\left( x+h \right)-f(x)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ax^{n}+a\binom{n}{1}x^{n-1}h+a\binom{n}{2}x^{n-2}h^{2}+\cdots+a\binom{n}{n-1}xh^{n-1}+ah^{n} - ax^{n} }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{a\binom{n}{1}x^{n-1}h+a\binom{n}{2}x^{n-2}h^{2}+\cdots+a\binom{n}{n-1}xh^{n-1}+ah^{n}}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \left(a\binom{n}{1}x^{n-1} +a\binom{n}{2}x^{n-2}h^{2-1}+\cdots+a\binom{n}{n-1}xh^{n-2}+ah^{n-1} \right) \\ & = a\binom{n}{1}x^{n-1} +a\binom{n}{2}x^{n-2}(0)^{2-1}+\cdots+a\binom{n}{n-1}x(0)^{n-2}+a(0)^{n-1} \\ & = a\binom{n}{1}x^{n-1} +0+\cdots+0+0 \\ \hline \binom{n}{r} & = \dfrac{n!}{r! \left(n-r \right)!} \\ \binom{n}{1} & = \dfrac{n!}{1! \left(n-1 \right)!} \\ & = \dfrac{n \cdot \left(n-1 \right)!}{\left(n-1 \right)!} \\ & = n \\ \hline f'(x) & = a\binom{n}{1}x^{n-1} \\ & = a \cdot n \cdot x^{n-1} \\ \end{align}$

$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)=ax^{n}$ adalah $f'(x)=anx^{n-1}$

Contoh:
  1. Jika $f(x)=5x^{2}$, maka
    $\begin{align} f'(x) & = 5 \cdot 2 x^{2-1} \\ & = 10x \end{align}$
  2. Jika $f(x)=7x^{3}$, maka
    $\begin{align} f'(x) & = 7 \cdot 3 x^{3-1} \\ & = 21x^{2} \end{align}$
  3. Jika $f(x)=8x^{\frac{3}{2}}$, maka
    $\begin{align} f'(x) & = 8 \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2}-1} \\ & = 12x^{\frac{1}{2}} \\ & = 12\sqrt{x} \\ \end{align}$
  4. Jika $f(x)=6x^{\frac{1}{2}}$, maka
    $\begin{align} f'(x) & = 6 \cdot \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1} \\ & = 3x^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{3}{x^{\frac{1}{2}}} \\ & = \dfrac{3}{\sqrt{x}} = \dfrac{3}{x}\sqrt{x} \end{align}$

TURUNAN PENJUMLAHAN FUNGSI


Jika $f(x)=u(x)+v(x)$ dimana $u(x)$ dan $v(x)$ adalah sebuah fungsi maka $f'(x)=u'(x)+v'(x)$
Alternatif Pembuktian:
Show

Sebelum kita menentukan turunan fungsi $f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, tahap awal kita coba tentukan fungsi $f(x)$ dan $f\left( x+h \right)$ yaitu:

$\begin{align} f(x) & = u(x)+v(x) \\ f\left( x+h \right) & = u(x+h)+v(x+h) \\ \end{align}$

Lalu $f\left( x \right)$ dan $f\left( x+h \right)$ kita substitusi ke definisi turunan fungsi, sehingga kita peroleh:

$\begin{align} f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f\left( x+h \right)-f(x)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)+v(x+h) - \left[ u(x)+v(x) \right] }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)+v(x+h) - u(x)-v(x) }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x)+ v(x+h)-v(x) }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \left( \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} + \dfrac{v(x+h)-v(x) }{h} \right) \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} + \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{v(x+h)-v(x) }{h} \\ & = u'(x) + v'(x) \end{align}$

$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)=u(x)+v(x)$ adalah $f'(x)=u'(x)+v'(x)$

Contoh:
  1. Jika $f(x)=4x^{3}+x$, maka
    $\begin{align} f'(x) & = 4 \cdot 3 x^{3-1}+1 \\ & = 12x^{2}+1 \end{align}$
  2. Jika $f(x)=5x^{4}+4x$, maka
    $\begin{align} f'(x) & = 5 \cdot 4 x^{4-1}+4 \\ & = 20x^{3}+4 \end{align}$

TURUNAN PENGURANGAN FUNGSI


Jika $f(x)=u(x)-v(x)$ dimana $u(x)$ dan $v(x)$ adalah sebuah fungsi maka $f'(x)=u'(x)-v'(x)$
Alternatif Pembuktian:
Show

Sebelum kita menentukan turunan fungsi $f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, tahap awal kita coba tentukan fungsi $f(x)$ dan $f\left( x+h \right)$ yaitu:

$\begin{align} f(x) & = u(x)+v(x) \\ f\left( x+h \right) & = u(x+h)+v(x+h) \\ \end{align}$

Lalu $f\left( x \right)$ dan $f\left( x+h \right)$ kita substitusi ke definisi turunan fungsi, sehingga kita peroleh:

$\begin{align} f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f\left( x+h \right)-f(x)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)-v(x+h) - \left[ u(x)-v(x) \right] }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)-v(x+h) - u(x)+v(x) }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x)- v(x+h)+v(x) }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x) - \left[v(x+h)-v(x) \right]}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \left( \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} - \dfrac{v(x+h)-v(x) }{h} \right) \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} - \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{v(x+h)-v(x) }{h} \\ & = u'(x) - v'(x) \end{align}$

$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)=u(x)-v(x)$ adalah $f'(x)=u'(x)-v'(x)$

Contoh:
  1. Jika $f(x)=3x^{4}-7x$, maka
    $\begin{align} f'(x) & = 3 \cdot 4 x^{4-1}-7 \\ & = 12x^{3}-7 \end{align}$
  2. Jika $f(x)=4x^{5}-x$, maka
    $\begin{align} f'(x) & = 5 \cdot 4 x^{5-1}-1 \\ & = 20x^{4}-1 \end{align}$

TURUNAN PERKALIAN FUNGSI


Jika $f(x)=u(x) \cdot v(x) \cdot w(x)$ dimana $u(x), v(x)$ dan $w(x)$ adalah sebuah fungsi maka $f'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)$

Jika $f(x)=u(x) \cdot v(x) \cdot w(x)$ dimana $u(x), v(x)$ dan $w(x)$ adalah sebuah fungsi maka $f'(x)=u'(x) \cdot v(x) \cdot w(x) +$$ u(x) \cdot v'(x) \cdot w(x) +$$ u(x) \cdot v(x) \cdot w'(x)$
Alternatif Pembuktian:
Show

Sebelum kita menentukan turunan fungsi $f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, tahap awal kita coba tentukan fungsi $f(x)$ dan $f\left( x+h \right)$ yaitu:

$\begin{align} f(x) & = u(x) \cdot v(x) \\ f\left( x+h \right) & = u(x+h) \cdot v(x+h) \\ \end{align}$

Lalu $f\left( x \right)$ dan $f\left( x+h \right)$ kita substitusi ke definisi turunan fungsi, sehingga kita peroleh:

$\begin{align} f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f\left( x+h \right)-f(x)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) \cdot v(x+h) - u(x) \cdot v(x) }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) \cdot v(x+h) -u(x+h) \cdot v(x)+u(x+h) \cdot v(x) - u(x) \cdot v(x) }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) \cdot \left[ v(x+h) - v(x) \right] + v(x) \left[ u(x+h) - u(x) \right] }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \left( \dfrac{u(x+h) \cdot \left[ v(x+h) - v(x) \right]}{h} + \dfrac{v(x) \left[ u(x+h) - u(x) \right] }{h} \right)\\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)}{1} \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\left[ v(x+h) - v(x) \right]}{h} +\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{v(x)}{1} \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\left[ v(x+h) - v(x) \right]}{h}\\ & = \dfrac{u(x+0)}{1} \cdot v'(x) + \dfrac{v(x)}{1} \cdot u'(x) \\ & = u(x) \cdot v'(x) + v(x) \cdot u'(x) \end{align}$


$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)=u(x) \cdot v(x)$ adalah $f'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)$

Sifat di atas kita kembangkan untuk membuktikan sifat turunan perkalian tiga fungsi,
$\begin{align} f(x) & = u(x) \cdot v(x) \cdot w(x) \\ f(x) & = \left[ u(x) \cdot v(x) \right] \cdot w(x) \\ f'(x) & = \left[ u(x) \cdot v(x) \right]' \cdot w(x) + \left[ u(x) \cdot v(x) \right] \cdot w'(x)\\ & = \left[ u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x) \right] \cdot w(x) + u(x) \cdot v(x) \cdot w'(x) & = u'(x) \cdot v(x) \cdot w(x) + u(x) \cdot v'(x) \cdot w(x) + u(x) \cdot v(x) \cdot w'(x)\\ \end{align}$


$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)=u(x) \cdot v(x) \cdot w(x)$ adalah $f'(x)=u'(x) \cdot v(x) \cdot w(x) +$$ u(x) \cdot v'(x) \cdot w(x) +$$ u(x) \cdot v(x) \cdot w'(x)$

Contoh:
  1. Jika $f(x)=5 \cdot x^{4}$, maka
    $\begin{align} \text{misal}: & \\ u(x) & = 5\ \rightarrow u'(x)=0 \\ v(x) & = x^{4}\ \rightarrow v'(x)=4x^{3} \\ \hline f'(x) & = u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x) \\ & = 0 \cdot x^{4} +5 \cdot 4x^{3} \\ & = 0 +20x^{3} \\ & = 20x^{3} \\ \end{align}$
  2. Jika $f(x)=\left( 2x-5 \right)\left( 3x+7 \right)$, maka
    $\begin{align} \text{misal}: & \\ u(x) & = 2x-5 \ \rightarrow u'(x)=2 \\ v(x) & = 3x+7\ \rightarrow v'(x)=3 \\ \hline f'(x) & = u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x) \\ & = 2 \cdot \left( 3x+7 \right) +\left( 2x-5 \right) \cdot 3 \\ & = 6x+14 +6x-15 \\ & = 12x-1 \end{align}$

TURUNAN PEMBAGIAN FUNGSI


Jika $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ dimana $u(x)$ dan $v(x)$ adalah sebuah fungsi maka $f'(x)=\dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x) }{v^{2}(x)}$
Alternatif Pembuktian:
Show

Untuk membuktikan sifat ini, kita gunakan sifat yang seblumnya sudah terbukti yaitu Turunan $f(x)=u(x) \cdot v(x)$ adalah $f'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)$

$\begin{align} \text{misal}: & \\ f(x) & = \dfrac{u(x)}{v(x)} \\ u(x) & = f(x) \cdot v(x) \\ \hline u'(x) & = f'(x) \cdot v(x)+f(x) \cdot v'(x) \\ u'(x) & = f'(x) \cdot v(x)+\dfrac{u(x)}{v(x)} \cdot v'(x) \\ \dfrac{u'(x)}{v(x)} & = f'(x) +\dfrac{u(x)}{v^{2}(x)} \cdot v'(x) \\ f'(x) & = \dfrac{u'(x)}{v(x)} -\dfrac{u(x)}{v^{2}(x)} \cdot v'(x) \\ & = \dfrac{u'(x) \cdot v(x)}{v^{2}(x)} -\dfrac{u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)} \\ & = \dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)} \end{align}$

$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ adalah $f'(x)=\dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x) }{v^{2}(x)}$

Contoh:
  1. Jika $f(x)=\dfrac{5}{x^{2}}$, maka
    $\begin{align} \text{misal}: & \\ u(x) & = 5\ \rightarrow u'(x)=0 \\ v(x) & = x^{2}\ \rightarrow v'(x)=2x \\ \hline f'(x) & = \dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x) }{v^{2}(x)} \\ & = \dfrac{0 \cdot x^{2}-5 \cdot 2x }{\left( x^{2} \right)^{2}} \\ & = \dfrac{0-10x }{x^{4}} \\ & = \dfrac{-10}{x^{3}} \end{align}$
  2. Jika $f(x)=\dfrac{2x+3}{4x-7}$, maka
    $\begin{align} \text{misal}: & \\ u(x) & = 2x+3\ \rightarrow u'(x)=2 \\ v(x) & = 4x-7\ \rightarrow v'(x)=4 \\ \hline f'(x) & = \dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x) }{v^{2}(x)} \\ & = \dfrac{2 \cdot \left( 4x-7 \right)-\left( 2x+3 \right) \cdot 4 }{\left(4x-7 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{8x-14-8x-12 }{\left(4x-7 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{-26 }{\left(4x-7 \right)^{2}} \end{align}$

ATURAN RANTAI TURUNAN FUNGSI


Jika $f(x)$ adalah sebuah fungsi maka $f'(x)=\dfrac{df}{dx}=\dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}$, yang dapat dikembangkan menjadi $\dfrac{df}{dx}=\dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dv} \cdot \dfrac{dv}{dx}$.
Contoh:
  1. Jika $f(x)=\left( 2x-3\right)^{3}$, maka
    $\begin{align} \text{misal}: & \\ u(x) & = 2x-3\ \rightarrow \dfrac{du}{dx}=2 \\ f(x) & = u^{3}\ \rightarrow \dfrac{df}{du}=3u^{2} \\ \hline f'(x) & = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ & = 3u^{2} \cdot 2 \\ & = 6u^{2} \\ & = 6\left( 2x-3\right)^{2} \end{align}$
  2. Jika $f(x)=\left( 3x+4\right)^{5}$, maka
    $\begin{align} \text{misal}: & \\ u(x) & = 3x+4\ \rightarrow \dfrac{du}{dx}=3 \\ f(x) & = u^{5}\ \rightarrow \dfrac{df}{du}=5u^{4} \\ \hline f'(x) & = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ & = 5u^{4} \cdot 3 \\ & = 15u^{4} \\ & = 15\left( 3x+4 \right)^{4} \end{align}$

TURUNAN FUNGSI BERPANGKAT $n$


Jika $f(x)= \left[ g(x) \right]^{n}$ dimana $f(x),\ g(x)$ adalah sebuah fungsi maka $f'(x)=n \cdot \left[ g(x) \right]^{n-1} \cdot g'(x)$

atau dapat juga dituliskan dalam bentuk:
Jika $f(x)= g^{n}(x)$ maka $f'(x)=n \cdot g^{n-1}(x) \cdot g'(x)$

Alternatif Pembuktian:
Show

Untuk membuktikan sifat ini, kita gunakan bantuan sifat aturan rantai $\dfrac{df}{dx}=\dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}$
Untuk $f(x)= \left[ g(x) \right]^{n}$
$\begin{align} \text{misal}: & \\ u & = g(x) \rightarrow \dfrac{du}{dx}=g'(x) \\ f(x) & = u^{n} \rightarrow \dfrac{df}{du}=n \cdot u^{n-1} \\ \hline f'(x) & = \dfrac{df}{dx} \\ & = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ & = n \cdot u^{n-1} \cdot g'(x) \\ & = n \cdot \left[ g(x) \right]^{n-1} \cdot g'(x) \end{align}$

$\therefore$ Terbukti Turunan $f(x)= \left( g(x) \right)^{n}$ adalah $f'(x)=n \cdot \left[ g(x) \right]^{n-1} \cdot g'(x)$

Contoh:
  1. Jika $f(x)=\left( 2x-3\right)^{3}$, maka
    $\begin{align} f'(x) & = 3 \cdot \left( 2x-3\right)^{3-1} \cdot (2) \\ & = 6 \cdot \left( 2x-3\right)^{2} \end{align}$
  2. Jika $f(x)=\left( 3x+4\right)^{5}$, maka
    $\begin{align} f'(x) & = 5 \cdot \left( 3x+4 \right)^{5-1} \cdot (3) \\ & = 15 \cdot \left( 3x+4\right)^{4} \end{align}$
Jika tertarik untuk membahahas soal-soal tentang turunan fungsi yang sudah pernah diujikan pada Ujian Nasional atau Ujian Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri silahkan di simak pada:

SOAL LATIHAN DAN PEMBAHASAN PENGEMBANGAN RUMUS TURUNAN FUNGSI ALJABAR


1. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $y=\left( 4x-2 \right)\left( 2x+1 \right)$ maka $y'=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 12x \\ (B)\ & 12x-2 \\ (C)\ & 16x \\ (D)\ & 16x-2 \\ (E)\ & 12x^{2}-3x \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan masalah turunan fungsi di atas dapat kita selesaikan dengan beberapa alternatif pembahasan. Karena masih tahap dasar, soal ini kita coba selesaikan dengan dua alternatif penyelesaian, tetapi untuk soal selanjutnya kita pilih satu alternatif pembahasan saja.

* Alternatif Pembahasan I *
$\begin{align} y\ &= \left( 4x-2 \right)\left( 2x+1 \right) \\ &= 8x^{2}+4x-4x-2 \\ &= 8x^{2}-2 \\ y'\ &= (2)(8)x^{2-1} \\ &= 16x \end{align}$

* Alternatif Pembahasan II *
$\begin{align} y\ &= \left( 4x-2 \right)\left( 2x+1 \right) \\ \hline \text{misal}: & \\ u &= 4x-2\ \rightarrow u'=4 \\ v &= 2x+1\ \rightarrow v'=2 \\ \hline y'\ &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ &= \left( 4 \right) \left( 2x+1 \right)+\left( 4x-2 \right)\left( 2 \right) \\ &= 8x+4+8x-4 \\ &= 16x \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 16x$

2. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\left( x^{2}-3x \right)\left( 2x-5 \right)$ maka $f'(x)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 3x^{2}+20x+15 \\ (B)\ & 6x^{2}-22x+15 \\ (C)\ & 2x^{2}-20x+15 \\ (D)\ & 6x^{2}+20x-15 \\ (E)\ & 3x^{2}-22x-15 \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} f(x) &=\left( x^{2}-3x \right)\left( 2x-5 \right) \\ \hline \text{misal}: & \\ u &= x^{2}-3x\ \rightarrow u'=2x-3 \\ v &= 2x-5\ \rightarrow v'=2 \\ \hline f'(x)\ &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ &= \left( 2x -3 \right)\left( 2x-5 \right)+\left( x^{2}-3x \right)\left( 2 \right) \\ &= 4x^{2}-10x-6x+15+2x^{2}-6x \\ &= 6x^{2}-22x+15 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6x^{2}-22x+15$

3. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $y=\dfrac{2x+3}{4x-6}$ maka $y'=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{-12}{\left( 4x-6 \right)^{2}} \\ (B)\ & \dfrac{-6}{\left( 2x-3 \right)^{2}} \\ (C)\ & \dfrac{-24}{\left( 2x-3 \right)^{2}} \\ (D)\ & \dfrac{-8}{\left( 4x-6 \right)^{2}} \\ (E)\ & \dfrac{24}{\left( 4x-6 \right)^{2}} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} y &= \dfrac{2x+3}{4x-6} \\ \hline \text{misal:}\ & u= 2x+3\ \rightarrow u'=2 \\ & v= 4x-6\ \rightarrow v'=4 \\ \hline y' & = \dfrac{u' \cdot v -u \cdot v' }{v^{2}} \\ & = \dfrac{2 \cdot \left( 4x-6 \right)-\left( 2x+3 \right) \cdot 4 }{\left(4x-6 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{8x-12-8x-12 }{\left(4x-6 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{-24 }{\left(4x-6 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{-24 }{\left( 2 \left[2x-3 \right] \right)^{2} } \\ & = \dfrac{-24 }{4 \left(2x-3 \right)^{2} } \\ & = \dfrac{-6 }{\left(2x-3 \right)^{2} } \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{-6}{\left( 2x-3 \right)^{2}}$

4. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\dfrac{2x^{2}+5x-3}{x+3}$ maka $f'(x)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{4x+5}{\left( x+3 \right)^{2}} \\ (B)\ & \dfrac{2x^{2}-12x+18}{\left( x+3 \right)^{2}} \\ (C)\ & \dfrac{3}{\left( x+3 \right)^{2}} \\ (D)\ & \dfrac{2x^{2}+12x+18}{\left( x-3 \right)^{2}} \\ (E)\ & 2 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} f(x) &= \dfrac{2x^{2}+5x-3}{x+3} \\ \hline \text{misal:}\ & u= 2x^{2}+5x-3\ \rightarrow u'=4x+5 \\ & v= x+3\ \rightarrow v'=1 \\ \hline f'(x) & = \dfrac{u' \cdot v -u \cdot v' }{v^{2}} \\ & = \dfrac{\left( 4x+5 \right) \cdot \left( x+3 \right)-\left( 2x^{2}+5x-3 \right) \cdot 1 }{\left(x+3 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{4x^{2}+12x+5x+15-2x^{2}-5x+3 }{\left(x+3 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{2x^{2}+12x+18 }{\left(x+3 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{2 \left( x^{2}+6x+9 \right) }{\left( x^{2}+6x+9 \right) } \\ & = 2 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$

5. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $y=\dfrac{3}{x^{2}-2x}$ maka $y'=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{-3x+3}{\left( x^{2}-2x \right)^{2}} \\ (B)\ & \dfrac{4x-3}{\left( x^{2}-2x \right)^{2}} \\ (C)\ & \dfrac{-4x-4}{\left( x^{2}-2x \right)^{2}} \\ (D)\ & \dfrac{-6x+6}{\left( x^{2}-2x \right)^{2}} \\ (E)\ & \dfrac{-3x}{\left( x^{2}-2x \right)^{2}} \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} y &= \dfrac{3}{x^{2}-2x} \\ \hline \text{misal:}\ & u= 3\ \rightarrow u'=0 \\ & v= x^{2}-2x\ \rightarrow v'=2x-2 \\ \hline y' & = \dfrac{u' \cdot v -u \cdot v' }{v^{2}} \\ & = \dfrac{\left( 0 \right) \cdot \left( x^{2}-2x \right)-\left( 3 \right) \cdot \left( 2x-2 \right) }{\left( x^{2}-2x \right)^{2}} \\ & = \dfrac{0-\left( 6x-6 \right) }{\left( x^{2}-2x \right)^{2}} \\ & = \dfrac{-6x+6 }{\left( x^{2}-2x \right)^{2}} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{-6x+6 }{\left( x^{2}-2x \right)^{2}}$

6. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=5\left( 4x-2 \right)^{3}$ maka $f'(x)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 30 \left( 4x-2 \right)^{2} \\ (B)\ & 60 \left( 4x-2 \right)^{2} \\ (C)\ & 20 \left( 4x-2 \right)^{2} \\ (D)\ & 30 \left( 4x-2 \right) \\ (E)\ & 60 \left( 4x-2 \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} f(x) &= 5\left( 4x-2 \right)^{3} \\ f'(x) & = 3 \cdot 5 \left( 4x-2 \right)^{3-1} \cdot \left( 4 \right) \\ & = 15 \left( 4x-2 \right)^{2} \cdot \left( 4 \right) \\ & = 60 \left( 4x-2 \right)^{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 60 \left( 4x-2 \right)^{2}$

7. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=4\left( x^{2}+3x \right)^{5}$ maka $f'(x)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \left( x^{2}+3x \right)^{4} \left( 2x+3 \right) \\ (B)\ & 20 \left( x^{2}+3x \right) \\ (C)\ & 20 \left( 2x+3 \right) \left( x^{2}+3x \right)^{4} \\ (D)\ & 4 \left( 5x^{2}+15x \right)^{4} \\ (E)\ & 20x^{3}-16x^{2}+15x+10 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} f(x) &= 4\left( x^{2}+3x \right)^{5} \\ f'(x) & = 5 \cdot 4 \left( x^{2}+3x \right)^{5-1} \cdot \left( 2x+3 \right) \\ & = 20 \left( x^{2}+3x \right)^{4} \cdot \left( 2x+3 \right) \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 20 \left( 2x+3 \right) \left( x^{2}+3x \right)^{4}$

8. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $y=\sqrt{2x+6}$ maka $y'=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{\sqrt{2x+6}} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2\sqrt{2x+6}} \\ (C)\ & \sqrt{\left( 2x+6 \right)^{3}} \\ (D)\ & \dfrac{1}{2\sqrt{\left( 2x+6 \right)^{3}}} \\ (E)\ & \dfrac{1}{2} \sqrt{2x+6} \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} y &= \sqrt{2x+6} \\ y &= \left( 2x+6 \right)^{\frac{1}{2}} \\ y' & = \dfrac{1}{2} \cdot \left( 2x+6 \right)^{\frac{1}{2}-1} \cdot \left( 2 \right) \\ & = \left( 2x+6 \right)^{-\frac{1}{2}} \\ & = \dfrac{1}{\left( 2x+6 \right)^{\frac{1}{2}}} \\ & = \dfrac{1}{\sqrt{2x+6}} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{\sqrt{2x+6}}$

9. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=6\sqrt{\left( 3x-1 \right)^{5}}$ maka $f'(x)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 45\sqrt{\left( 3x-1 \right)^{3}} \\ (B)\ & 30\sqrt{\left( 3x-1 \right)^{3}} \\ (C)\ & 90\sqrt{\left( 3x-1 \right)^{3}} \\ (D)\ & 30\sqrt{\left( 3x-1 \right)^{4}} \\ (E)\ & 45 \left( 3x-1 \right)^{5} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} y &= 6\sqrt{\left( 3x-1 \right)^{5}} \\ y &= 6\left( 3x-1 \right)^{\frac{5}{2}} \\ y' & = \dfrac{5}{2} \cdot 6 \left( 3x-1 \right)^{\frac{5}{2}-1} \cdot \left( 3 \right) \\ & = 45 \left( 3x-1 \right)^{\frac{3}{2}} \\ & = 45 \sqrt{\left( 3x-1 \right)^{3}} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 45\sqrt{\left( 3x-1 \right)^{3}}$

10. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)= \left( 3x-4 \right)^{3}\left( 6x-8 \right)$ maka $f'(x)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 8 \left( 3x-4 \right)^{3} \\ (B)\ & 8 \left( 3x-4 \right)^{2} \\ (C)\ & 24 \left( 3x-4 \right)^{3} \\ (D)\ & 24 \left( 3x-4 \right)^{2} \\ (E)\ & 24 \left( 3x-4 \right)^{3} \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} f(x) &= \left( 3x-4 \right)^{3}\left( 6x-8 \right) \\ &= \left( 3x-4 \right)^{3} \cdot 2 \cdot \left( 3x-4 \right) \\ &= 2 \left( 3x-4 \right)^{4} \\ f'(x) & = 4 \cdot 2 \left( 3x-4 \right)^{4-1} (3)\\ & = 24 \left( 3x-4 \right)^{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 24 \left( 3x-4 \right)^{3}$

11. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)= \dfrac{4x+6}{\sqrt{2x+3}}$ maka $f'(x)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{\sqrt{2x+3}} \\ (B)\ & \dfrac{4}{\sqrt{2x+3}} \\ (C)\ & 2 \sqrt{2x+3} \\ (D)\ & 4\sqrt{2x+3} \\ (E)\ & \dfrac{1}{2\sqrt{2x+3}} \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} f(x) &= \dfrac{4x+6}{\sqrt{2x+3}} \\ &= \dfrac{2 \left( 2x+3 \right)}{\left( 2x+3 \right)^{\dfrac{1}{2}}} \\ &= 2 \left( 2x+3 \right)^{1-\dfrac{1}{2}} \\ &= 2 \left( 2x+3 \right)^{ \dfrac{1}{2}} \\ f'(x) & = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \left( 2x+3 \right)^{ \dfrac{1}{2}-1} \cdot \left( 2 \right)\\ & = 2 \left( 2x+3 \right)^{ -\dfrac{1}{2}} \\ & = \dfrac{2}{\sqrt{2x+3}} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{2}{\sqrt{2x+3}}$

12. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\left( 2x-3 \right)^{2} \left( 4x+5 \right)$ maka $f'(x)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 2\left( 2x-3 \right)\left( 4x-5 \right) \\ (B)\ & 4\left( 2x-3 \right)\left( 6x+2 \right) \\ (C)\ & 2\left( 2x-3 \right)\left( 4x+5 \right) \\ (D)\ & 2\left( 2x-3 \right)\left( 2x+5 \right) \\ (E)\ & 2\left( 2x-3 \right)\left( 4x-5 \right)^{2}+4\left( 2x-3 \right) \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} f(x) &=\left( 2x-3 \right)^{2} \left( 4x+5 \right) \\ \hline \text{misal}: & \\ u &= \left( 2x-3 \right)^{2}\ \rightarrow u'=2 \cdot \left( 2x-3 \right)(2) \\ v &= \left( 4x+5 \right)\ \rightarrow v'=4 \\ \hline y'\ &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ &= 4 \left( 2x-3 \right) \left( 4x+5 \right)+\left( 2x-3 \right)^{2} \left( 4 \right) \\ &= \left( 2x-3 \right) \left[ 4 \left( 4x+5 \right)+\left( 2x-3 \right) \left( 4 \right) \right] \\ &= \left( 2x-3 \right) \left[ 16x+20 +8x-12 \right] \\ &= \left( 2x-3 \right) \left[ 24x+8 \right] \\ &= \left( 2x-3 \right)\ \cdot 4 \cdot \left[ 6x+2 \right] \\ &= 4\left( 2x-3 \right)\left( 6x+2 \right) \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4\left( 2x-3 \right)\left( 6x+2 \right)$

13. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\dfrac{\left( 3x-4 \right)^{2}}{4x-3}$ maka $f'(x)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{3\left( 3x-4 \right)\left( 6x-1 \right)}{\left( 4x-3 \right)^{2}} \\ (B)\ & \dfrac{3\left( 3x-4 \right)\left( 2x+3 \right)}{\left( 4x-3 \right)^{2}} \\ (C)\ & \dfrac{4\left( 3x-4 \right)\left( 3x+2 \right)}{\left( 4x-3 \right)^{2}} \\ (D)\ & \dfrac{4\left( 3x-4 \right)\left( 2x+3 \right)}{\left( 4x-3 \right)^{2}} \\ (E)\ & \dfrac{2\left( 3x-4 \right)\left( 6x-1 \right)}{\left( 4x-3 \right)^{2}} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} y &= \dfrac{\left( 3x-4 \right)^{2}}{4x-3} \\ \hline \text{misal:}\ & u= \left( 3x-4 \right)^{2}\ \rightarrow u'=2 \cdot \left( 3x-4 \right) (3) \\ & v= 4x-3\ \rightarrow v'=4 \\ \hline y' & = \dfrac{u' \cdot v -u \cdot v' }{v^{2}} \\ & = \dfrac{6 \cdot \left( 3x-4 \right)\left( 4x-3 \right)- \left( 3x-4 \right)^{2}\left( 4 \right)}{\left(4x-3 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{\left( 3x-4 \right) \left[ 6 \cdot \left( 4x-3 \right)- \left( 3x-4 \right) \left( 4 \right) \right]}{\left(4x-3 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{\left( 3x-4 \right) \left[ 24x-18-12x+16 \right]}{\left(4x-3 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{\left( 3x-4 \right) \left[ 12x-2 \right]}{\left(4x-3 \right)^{2}} \\ & = \dfrac{\left( 3x-4 \right) \cdot 2 \cdot \left( 6x-1 \right)}{\left(4x-3 \right)^{2}} \\ & = 2\dfrac{\left( 3x-4 \right) \left( 6x-1 \right)}{\left(4x-3 \right)^{2}} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{2\left( 3x-4 \right)\left( 6x-1 \right)}{\left( 4x-3 \right)^{2}}$

14. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\dfrac{3}{2 \left( 4x-2 \right)^{4}}$ maka $f'(x)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{-12}{4 \left( 4x-2 \right)^{5}} \\ (B)\ & \dfrac{-12}{ \left( 4x-2 \right)^{3}} \\ (C)\ & \dfrac{-24}{ \left( 4x-2 \right)^{5}} \\ (D)\ & \dfrac{-24}{4 \left( 4x-2 \right)^{3}} \\ (E)\ & \dfrac{12}{4 \left( 4x-2 \right)^{5}} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} y &= \dfrac{3}{2 \left( 4x-2 \right)^{4}} \\ &= \dfrac{3}{2} \left( 4x-2 \right)^{-4} \\ y' &= -4 \cdot \dfrac{3}{2} \left( 4x-3 \right)^{-4-1} \left( 4 \right) \\ &= -24 \cdot \left( 4x-2 \right)^{-5} \\ & = \dfrac{-24}{\left(4x-2 \right)^{5}} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{-24}{ \left( 4x-2 \right)^{5}} $

15. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\dfrac{3}{ \sqrt{6x+2}}$ maka $f'(x)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{-7}{\sqrt{ \left( 6x+2 \right)^{5}}} \\ (B)\ & \dfrac{-9}{\sqrt{ \left( 6x+2 \right)^{3}}} \\ (C)\ & \dfrac{-7}{\sqrt{ 6x+2 }} \\ (D)\ & \dfrac{-9}{2\sqrt{ 6x+2 }} \\ (E)\ & \dfrac{-9}{2\sqrt{ \left( 6x+2 \right)^{5}}} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} y &= \dfrac{3}{ \sqrt{6x+2}} \\ &= \dfrac{3}{ \left(6x+2 \right)^{\frac{1}{2}}} \\ &= 3 \left( 6x+2 \right)^{-\frac{1}{2}} \\ y' &= -\dfrac{1}{2} \cdot 3 \left( 6x+2 \right)^{-\frac{1}{2}-1} \left( 6 \right) \\ &= -9 \left( 6x+2 \right)^{-\frac{3}{2}} \\ & = \dfrac{-9}{\left( 6x+2 \right)^{\frac{3}{2}}} \\ & = \dfrac{-9}{\sqrt{\left( 6x+2 \right)^{3}}} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{-9}{\sqrt{ \left( 6x+2 \right)^{3}}} $

16. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)= \left[ \dfrac{3x+2}{4x+3} \right]^{3}$ maka $f'(x)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{3 \left( 3x+2 \right)^{2}}{ \left( 4x+3 \right)^{4}} \\ (B)\ & \dfrac{3 \left( 5x-2 \right)^{2}}{ \left( 4x+3 \right)^{4}} \\ (C)\ & \dfrac{2 \left( 3x+2 \right)^{2}}{ \left( 4x+3 \right)^{4}} \\ (D)\ & \dfrac{3 \left( 3x+2 \right)}{ \left( 4x+3 \right)} \\ (E)\ & \dfrac{5 \left( 3x+2 \right) }{ \left( 4x+3 \right)^{2}} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} y &= \left[ \dfrac{3x+2}{4x+3} \right]^{3} \\ y' &= 3 \cdot \left[ \dfrac{3x+2}{4x+3} \right]^{3-1} \cdot \left[ \dfrac{3x+2}{4x+3} \right]' \\ &= 3 \cdot \left[ \dfrac{3x+2}{4x+3} \right]^{2} \cdot \left[ \dfrac{(3)(4x+3)-(3x+2)(4)}{(4x+3)^{2}} \right] \\ &= 3 \cdot \left[ \dfrac{3x+2}{4x+3} \right]^{2} \cdot \dfrac{12x+9-12x-8}{(4x+3)^{2}} \\ &= 3 \cdot \dfrac{(3x+2)^{2}}{(4x+3)^{2}} \cdot \dfrac{1}{(4x+3)^{2}} \\ &= 3 \cdot \dfrac{(3x+2)^{2}}{(4x+3)^{4}} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{3 \left( 3x+2 \right)^{2}}{ \left( 4x+3 \right)^{4}}$

17. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\left( 2x^{2}-3x-2 \right)\left( 2x^{2}-3 \right)$ maka nilai $f'(x)$ untuk $x=2$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 20 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 25 \\ (D)\ & 15 \\ (E)\ & 12 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} f(x) &=\left( 2x^{2}-3x-2 \right)\left( 2x^{2}-3 \right) \\ \hline \text{misal}: & \\ u &= 2x^{2}-3x-2\ \rightarrow u'=4x-3 \\ v &= 2x^{2}-3\ \rightarrow v'=4x \\ \hline f'(x)\ &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ &= \left( 4x -3 \right)\left( 2x^{2}-3 \right)+\left( 2x^{2}-3x-2 \right)\left( 4x \right) \\ f'(2) &= \left( 4(2) -3 \right)\left( 2(2)^{2}-3 \right)+\left( 2(2)^{2}-3(2)-2 \right)\left( 4(2) \right) \\ &= \left( 5 \right)\left( 5 \right)+\left( 0 \right)\left( 8 \right) \\ &= 25+0=25 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 25$

18. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)= \sqrt{ \dfrac{4x+1}{2x-3}}$ maka $f'(2)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & \dfrac{1}{2} \\ (D)\ & \dfrac{-7}{3} \\ (E)\ & \dfrac{2}{5} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} f(x) &= \sqrt{ \dfrac{4x+1}{2x-3}} &= \left( \dfrac{4x+1}{2x-3} \right)^{\frac{1}{2}} \\ f'(x) &= \dfrac{1}{2} \cdot \left[ \dfrac{4x+1}{2x-3} \right]^{\frac{1}{2}-1} \cdot \left[ \dfrac{4x+1}{2x-3} \right]' \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \left[ \dfrac{4x+1}{2x-3} \right]^{-\frac{1}{2}} \cdot \left[ \dfrac{(4)(2x-3)-(4x+1)(2)}{(2x-3)^{2}} \right]' \\ f'(2) &= \dfrac{1}{2} \cdot \left[ \dfrac{4(2)+1}{2(2)-3} \right]^{-\frac{1}{2}} \cdot \left[ \dfrac{(4)(2(2)-3)-(4(2)+1)(2)}{(2(2)-3)^{2}} \right] \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \left[ 9 \right]^{-\frac{1}{2}} \cdot \left[ -14 \right] \\ &= -7 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{9}}=-\dfrac{7}{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{-7}{3}$

19. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\left(x^{2}-3x\right)\left( 2x+1 \right)$ maka nilai $f'(x)$ untuk $x=2$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} f(x) &=\left(x^{2}-3x\right)\left( 2x+1 \right) \\ \hline \text{misal}: & \\ u &= x^{2}-3x \ \rightarrow u'=2x-3 \\ v &= 2x+1\ \rightarrow v'=2 \\ \hline f'(x)\ &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ &= \left( 2x -3 \right)\left( 2x+1 \right)+\left( x^{2}-3x \right)\left( 2 \right) \\ f'(2) &= \left( 2(2) -3 \right)\left( 2(2)+1 \right)+\left( (2)^{2}-3(2) \right)\left( 2 \right) \\ &= \left( 1 \right)\left( 5 \right)+\left( -2 \right)\left( 2 \right) \\ &= 5-4=1 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$

20. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\left(x^{2}-5x\right)\left(2x+1\right)\left(3x-2\right)$ maka nilai $f'(x)$ untuk $x=1$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & -19 \\ (B)\ & 19 \\ (C)\ & -35 \\ (D)\ & -53 \\ (E)\ & -37 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} f(x) &=\left(x^{2}-5x\right)\left(2x+1\right)\left(3x-2\right) \\ \hline \text{misal}: & \\ u &= x^{2}-5x \ \rightarrow u'=2x-5 \\ v &= 2x+1\ \rightarrow v'=2 \\ w &= 3x-2\ \rightarrow w'=3 \\ \hline f'(x)\ &= u'(x) \cdot v(x) \cdot w(x) + u(x) \cdot v'(x) \cdot w(x) + u(x) \cdot v(x) \cdot w'(x) \\ &= \left( 2x -5 \right)\left( 2x+1 \right)\left( 3x-2 \right)+\left( x^{2}-5x \right)\left( 2 \right)\left( 3x-2 \right)+\left( x^{2}-5x \right)\left( 2x+1 \right)\left( 3 \right) \\ f'(1) &= \left( 2(1) -5 \right)\left( 2(1)+1 \right)\left( 3(1)-2 \right)+\left( (1)^{2}-5(1) \right)\left( 2 \right)\left( 3(1)-2 \right)+\left( (1)^{2}-5(1) \right)\left( 2(1)+1 \right)\left( 3 \right) \\ &= \left( -3 \right)\left( 3 \right)\left( 1 \right)+\left( -4 \right)\left( 2 \right)\left( 1 \right)+\left( -4 \right)\left( 3 \right)\left( 3 \right) \\ &= -9-8-36 \\ &= -53 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -53$

21. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\left(x^{2}+3x-3\right)\left(x^{2}-5x+4\right)\left(x^{2}-4x+5\right)$ maka nilai $f'(1)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 4 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & -6 \\ (D)\ & -8 \\ (E)\ & -10 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} f(x) &=\left(x^{2}+3x-3\right)\left(x^{2}-5x+4\right)\left(x^{2}-4x+5\right) \\ \hline \text{misal}: & \\ u &= x^{2}+3x-3 \ \rightarrow u'=2x+3 \\ u(1) &= 1 \ \rightarrow u'(1)=5 \\ v &= x^{2}-5x+4\ \rightarrow v'=2x-5 \\ v(1) &= 0 \ \rightarrow v'(1)=-3 \\ w &= x^{2}-4x+5\ \rightarrow w'=2x-4 \\ w(1) &= 2 \ \rightarrow w'(1)=-2 \\ \hline f'(x)\ &= u'(x) \cdot v(x) \cdot w(x) + u(x) \cdot v'(x) \cdot w(x) + u(x) \cdot v(x) \cdot w'(x) \\ f'(1)\ &= u'(1) \cdot v(1) \cdot w(1) + u(1) \cdot v'(1) \cdot w(1) + u(1) \cdot v(1) \cdot w'(1) \\ &= 5 \cdot 0 \cdot 2 + 1 \cdot -3 \cdot 2 + 1 \cdot 0 \cdot -2 \\ &= 0-6+0 \\ &= -6 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -6$

22. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $y=\left(2x-3\right)^{2} \left(4x^{2}-9\right)^{3}\left(2x+3\right)^{2}$ maka $y'=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 4\left(4x^{2}-9\right)^{3} \\ (B)\ & x^{2}\left(2x-3\right)^{2} \\ (C)\ & 4x\left(2x-3\right)^{5} \\ (D)\ & 20x^{2}\left(4x^{2}-9\right)^{3} \\ (E)\ & 40x\left(4x^{2}-9\right)^{4} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} f(x) &=\left(2x-3\right)^{2} \left(4x^{2}-9\right)^{3}\left(2x+3\right)^{2} \\ &=\left(2x-3\right)^{2} \left(2x+3\right)^{2} \left(4x^{2}-9\right)^{3} \\ &=\left(4x^{2}-9\right)^{2} \left(4x^{2}-9\right)^{3} \\ &=\left(4x^{2}-9\right)^{5} \\ f'(x)\ &=5 \cdot \left(4x^{2}-9\right)^{5-1} \cdot \left(8x \right) \\ &=40x \cdot \left(4x^{2}-9\right)^{4} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 40x\left(4x^{2}-9\right)^{4}$

23. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $y=\sqrt{\dfrac{\left(2x-1 \right)^{3}}{\left( 4x^{2}-1 \right)\left( 2x+1 \right)}}$ maka $y'=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{3}{2x-1} \\ (B)\ & \dfrac{-3}{2x-1} \\ (C)\ & \dfrac{3}{(2x+1)^{2}} \\ (D)\ & \dfrac{-4}{(2x+1)^{2}} \\ (E)\ & \left( \dfrac{2}{ 2x+1 } \right)^{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} f(x) &=\sqrt{\dfrac{\left(2x-1 \right)^{3}}{\left( 4x^{2}-1 \right)\left( 2x+1 \right)}}\\ &=\sqrt{\dfrac{\left(2x-1 \right)^{3}}{\left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)\left( 2x+1 \right)}}\\ &=\sqrt{\dfrac{\left(2x-1 \right)^{2}}{ \left( 2x+1 \right)^{2} }}\\ &= \dfrac{ 2x-1 }{ 2x+1 }\\ f'(x)\ &=\dfrac{(2)(2x+1)-(2x-1)(2)}{(2x+1)^{2}} \\ &=\dfrac{4x+2-4x+2}{(2x+1)^{2}} \\ &=\dfrac{4}{(2x+1)^{2}} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left( \dfrac{2}{ 2x+1 } \right)^{2}$

24. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=\dfrac{2}{ \left( 3x-1 \right)^{5}}$ maka $f'(x)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -10 \left( 3x-1 \right)^{-6} \\ (B)\ & \dfrac{-30}{ \left( 3x-1 \right)^{6}} \\ (C)\ & \dfrac{-30}{ \left( 3x-1 \right)^{4}} \\ (D)\ & \dfrac{-10}{ \left( 3x-1 \right)^{-4}} \\ (E)\ & \dfrac{2}{ 5\left( 3x-1 \right)^{4}} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} y &= \dfrac{2}{ \left( 3x-1 \right)^{5}} \\ &= 2 \left( 3x-1 \right)^{-5} \\ y' &= -5 \cdot 2 \left( 3x-1 \right)^{-5-1} \left( 3 \right) \\ &= -30 \left( 3x-1 \right)^{-6} \\ & = \dfrac{-30}{\left( 3x-1 \right)^{6}} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{-30}{\left( 3x-1 \right)^{6}}$

25. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=4\sqrt{\left( 3x-5 \right)^{3}}$ maka $f'(x)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 6\sqrt{ 3x-5 } \\ (B)\ & 6\sqrt{\left( 3x-5 \right)^{5}} \\ (C)\ & 18\sqrt{ 3x-5 } \\ (D)\ & 18\sqrt{\left( 3x-5 \right)^{5}} \\ (E)\ & 6\sqrt{\left( 3x-5 \right)^{3}} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} y &= 4\sqrt{\left( 3x-5 \right)^{3}} \\ &= 4 \left( 3x-5 \right)^{\frac{3}{2}} \\ y' &= \dfrac{3}{2} \cdot 4 \left( 3x-5 \right)^{\frac{3}{2}-1} \left( 3 \right) \\ &= 18 \left( 3x-5 \right)^{ \frac{1}{2}} \\ & = 18\sqrt{ 3x-5 } \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 18\sqrt{ 3x-5 } $

26. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Turunan $f(x)=3\left( 2x-5 \right)^{6}+4\left( 2x-5 \right)^{2}+6$, adalah...

$\begin{align} (A)\ & f'(x)=36\left( 2x-5 \right)^{5}+16\left( 2x-5 \right) \\ (B)\ & f'(x)=18\left( 2x-5 \right)^{5}+8\left( 2x-5 \right) \\ (C)\ & f'(x)=36\left( 2x-5 \right)^{7}+16\left( 2x-5 \right)^{3} \\ (D)\ & f'(x)=18\left( 2x-5 \right)^{7}+8\left( 2x-5 \right)^{3} \\ (E)\ & f'(x)=18\left( 2x-5 \right)^{5}+8\left( 2x-5 \right)+6 \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} f(x) & = 3\left( 2x-5 \right)^{6}+4\left( 2x-5 \right)^{2}+6 \\ f'(x) & = 6 \cdot 3\left( 2x-5 \right)^{6-1}(2)+2 \cdot 4\left( 2x-5 \right)^{2-1}(2)+ 0\\ & = 36 \left( 2x-5 \right)^{5} +16\left( 2x-5 \right) \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ f'(x)=36\left( 2x-5 \right)^{5}+16\left( 2x-5 \right)$

27. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika $f(x)=2 \sqrt{3x-6}-\sqrt{ \left( 3x-6 \right)^{3}}$, maka nilai $f'(5)$...

$\begin{align} (A)\ & -12\frac{1}{2} \\ (B)\ & -8\frac{1}{2} \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 6\frac{1}{2} \\ (E)\ & 12\frac{1}{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} f(x) & = 2 \sqrt{3x-6}-\sqrt{ \left( 3x-6 \right)^{3}} \\ & = 2 \left( 3x-6 \right)^{\frac{1}{2}}- \left( 3x-6 \right)^{\frac{3}{2}} \\ f'(x) & = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \left[ 3x-6 \right]^{\frac{1}{2}-1} (3)- \dfrac{3}{2} \cdot \left[ 3x-6 \right]^{\frac{3}{2}-1}(3) \\ f'(5) & = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \left[ 3(5)-6 \right]^{\frac{1}{2}-1} (3)- \dfrac{3}{2} \cdot \left[ 3(5)-6 \right]^{\frac{3}{2}-1}(3) \\ & = 3\left( 9 \right)^{-\frac{1}{2}} - \dfrac{9}{2} \left( 9 \right)^{\frac{1}{2}} \\ & = 3\left( \frac{1}{3} \right) - \dfrac{9}{2} \left( 3 \right) \\ & = 1 - \dfrac{27}{2} =- \dfrac{25}{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -12\frac{1}{2}$

28. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika fungsi $f(x)=\left[2 \left( 3x-2 \right)^{5}-\left( 3x-2 \right)^{2} \right]^{4}$, maka nilai $f'(1)$...

$\begin{align} (A)\ & 27 \\ (B)\ & 36 \\ (C)\ & 45 \\ (D)\ & 54 \\ (E)\ & 96 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} f(x) & = \left[2 \left( 3x-2 \right)^{5}-\left( 3x-2 \right)^{2} \right]^{4} \\ \hline \text{misal}: & \\ u(x) & = 3x-2\ \rightarrow \dfrac{du}{dx}=3 \\ u(1) & = 3(1)-2\ \rightarrow u(1)=1 \\ f(x) & = \left[2 u^{5}-u^{2} \right]^{4} \\ \dfrac{df}{du} &=4\left[2 u^{5}-u^{2} \right]^{4} \\ &=4\left[2 u^{5}-u^{2} \right]^{4-1} \left( 10 u^{5-1}-2u^{2-1} \right) \\ &=4\left[2 u^{5}-u^{2} \right]^{3} \left( 10 u^{4}-2u \right) \\ \hline f'(x) & = \dfrac{df}{dx} \\ & = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ & = 4\left[2 u^{5}-u^{2} \right]^{3} \left( 10 u^{4}-2u \right) \cdot \left( 3 \right) \\ f'(1) & = 4\left[2 (1) - (1) \right]^{3} \left( 10 (1) - 2(1) \right) \cdot \left( 3 \right) \\ & = 4\left( 1 \right) \left( 8 \right) \left( 3 \right) \\ & = 96 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 96$

29. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika fungsi $y= \sqrt{ 2 \left( 4x-5 \right)^{3}-2\left( 4x-5 \right)^{2} }$, maka nilai $\dfrac{dy}{dx}$ untuk $x=2$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 6 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 14 \\ (D)\ & 18 \\ \\ (E)\ & 20 \\ \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} f(x) & = \sqrt{ 2 \left( 4x-5 \right)^{3}-2\left( 4x-5 \right)^{2} } \\ \hline \text{misal}: & \\ u(x) & = 4x-5\ \rightarrow \dfrac{du}{dx}=4 \\ u(2) & = 4(2)-5\ \rightarrow u(2)=3 \\ f(x) & = \sqrt{ 2u^{3}-2u^{2} } \\ \dfrac{df}{du} &=\frac{1}{2} \cdot \left[ 2u^{3}-2u^{2} \right]^{\frac{1}{2}-1} \cdot \left[ 6u^{2}-4u \right] \\ \hline f'(x) & = \dfrac{df}{dx} \\ & = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ \\ & =\dfrac{1}{2} \cdot \left[ 2u^{3}-2u^{2} \right]^{\frac{1}{2}-1} \cdot \left[ 6u^{2}-4u \right] \cdot \left( 4 \right) \\ f'(2) & =\dfrac{1}{2} \cdot \left[ 2(3)^{3}-2(3)^{2} \right]^{-\frac{1}{2}} \cdot \left[ 6(3)^{2}-4(3) \right] \cdot \left( 4 \right) \\ & =\dfrac{1}{2} \cdot \left[ 54-18 \right]^{-\frac{1}{2}} \cdot \left[ 54-12 \right] \cdot \left( 4 \right) \\ & =\dfrac{1}{2} \cdot \left[ 36 \right]^{-\frac{1}{2}} \cdot \left[ 38 \right] \cdot \left( 4 \right) \\ & =\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \left[ 42 \right] \cdot \left( 4 \right) \\ & = 14 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 14$

30. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika fungsi $f(x)=\left[2 \left( 3x-4 \right)^{3}-4\left( 3x-4 \right) \right]^{2}$, maka nilai $f'(1)$...

$\begin{align} (A)\ & 16 \\ (B)\ & 24 \\ (C)\ & 32 \\ (D)\ & 48 \\ (E)\ & 64 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} f(x) & = \left[2 \left( 3x-4 \right)^{3}-4\left( 3x-4 \right) \right]^{2} \\ \hline \text{misal}: & \\ u(x) & = 3x-4\ \rightarrow \dfrac{du}{dx}=3 \\ u(1) & = 3(1)-4\ \rightarrow u(1)=-1 \\ f(x) & = \left[2 u^{3}-4u \right]^{2} \\ \dfrac{df}{du} &=2\left[2 u^{3}-4u \right]^{2-1} \left( 6 u^{2}-4 \right) \\ \hline f'(x) & = \dfrac{df}{dx} \\ & = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ & = 2\left[2 u^{3}-4u \right]^{1} \left( 6 u^{2}-4 \right) \cdot \left( 3 \right) \\ f'(1)& = 2\left[2 (-1)^{3}-4(-1) \right]^{1} \left( 6 (-1)^{2}-4 \right) \cdot \left( 3 \right) \\ & = 2\left[-2+4 \right]^{1} \left( 6-4 \right) \cdot \left( 3 \right) \\ & = 2 (2) \left( 2 \right) \cdot \left( 3 \right) \\ & = 24 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 24$

31. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika fungsi $f(x)=\left[ \sqrt{2x-1} + \dfrac{1}{\sqrt{2x-1}} \right]^{3}$, maka nilai $f'(5)$...

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{400}{81} \\ (B)\ & \dfrac{400}{27} \\ (C)\ & \dfrac{800}{27} \\ (D)\ & \dfrac{800}{81} \\ (E)\ & \dfrac{200}{81} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} f(x) & = \left[ \sqrt{2x-1} + \dfrac{1}{\sqrt{2x-1}} \right]^{3} \\ \hline \text{misal}: & \\ u(x) & = \sqrt{2x-1} \ \rightarrow \dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}} \\ u(5) & = \sqrt{2(5)-1}\ \rightarrow u(5)=3 \\ f(x) & = \left[ u + \dfrac{1}{u} \right]^{3} \\ & = \left[ u + u^{-1} \right]^{3} \\ \dfrac{df}{du} &= 3 \left[ u + u^{-1} \right]^{2} \left( 1 - u^{-2} \right) \\ \hline f'(x) & = \dfrac{df}{dx} \\ & = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ & = 3 \left[ u + u^{-1} \right]^{2} \left( 1 - u^{-2} \right) \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2x-1}} \\ f'(5) & = 3 \left[ (3) + (3)^{-1} \right]^{2} \left( 1 - (3)^{-2} \right) \cdot \dfrac{1}{3} \\ & = 3 \left[ (3) + \dfrac{1}{3} \right]^{2} \left( 1 - \dfrac{1}{9} \right) \cdot \dfrac{1}{3} \\ & = \left[ \dfrac{10}{3} \right]^{2} \left( \dfrac{8}{9} \right) \\ & = \left( \dfrac{100}{9} \right) \left( \dfrac{8}{9} \right) \\ & = \dfrac{800}{81} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{800}{81}$

32. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika fungsi $f(x)=\dfrac{3}{ \left( 2x-3 \right)^{2}}$ maka $f''(x)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{36}{ \left( 2x-3 \right)^{4}} \\ (B)\ & \dfrac{-36}{ \left( 2x-3 \right)^{4}} \\ (C)\ & \dfrac{72}{ \left( 2x-3 \right)^{4}} \\ (D)\ & \dfrac{-72}{ \left( 2x-3 \right)^{4}} \\ (E)\ & \dfrac{-36}{ \left( 2x-3 \right)^{3}} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} f(x) &= \dfrac{3}{ \left( 2x-3 \right)^{2}} \\ &= 3 \cdot \left( 2x-3 \right)^{-2} \\ f'(x) &= (-2) 3 \cdot \left( 2x-3 \right)^{-2-1} \cdot (2) \\ &= (-12) \cdot \left( 2x-3 \right)^{-3} \end{align}$

Yang ditanyakan pada soal di atas adalah turunan kedua fungsi $f(x)$ yang dituliskan dengan simbol $f''(x)$ artinya setelah turunan pertama $f'(x)$ diturunkan lagi.

$\begin{align} f'(x) &= (-12) \cdot \left( 2x-3 \right)^{-3} f''(x) &= -3 \cdot (-12) \cdot \left( 2x-3 \right)^{-3-1} (2) \\ &= (72) \cdot \left( 2x-3 \right)^{-4} \\ & = \dfrac{72}{ \left( 2x-3 \right)^{4}} \end{align}$
Sebagai catatan, untuk turunan ketiga, keempat, sampai ke-$n$ dari sebuah fungsi $f(x)$ dituliskan $f^{(3)}(x)$, $f^{(4)}(x)$ dan $f^{(n)}(x)$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{72}{ \left( 2x-3 \right)^{4}}$

33. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Jika fungsi $f(x)=\sqrt{\left( 8x+5 \right)^{3}}$ maka $f''(x)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{48}{\sqrt{\left( 8x+5 \right)}} \\ (B)\ & \dfrac{24}{\sqrt{\left( 8x+5 \right)^{3}}} \\ (C)\ & 48 \sqrt{\left( 8x+5 \right)} \\ (D)\ & 24 \sqrt{\left( 8x+5 \right)^{3}} \\ (E)\ & \dfrac{12}{\sqrt{\left( 8x+5 \right)^{5}}} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} f(x) &= \sqrt{\left( 8x+5 \right)^{3}} \\ &= \left( 8x+5 \right)^{\frac{3}{2}}\\ f'(x) &= \dfrac{3}{2} \cdot \left( 8x+5 \right)^{\frac{3}{2}-1} (8) \\ &= (12) \cdot \left( 8x+5 \right)^{\frac{1}{2}} \\ \end{align}$

Yang ditanyakan pada soal di atas adalah turunan kedua fungsi $f(x)$ yang dituliskan dengan simbol $f''(x)$ artinya setelah turunan pertama $f'(x)$ diturunkan lagi.

$\begin{align} f'(x) &= (12) \cdot \left( 8x+5 \right)^{\frac{1}{2}} \\ f''(x) &= \dfrac{1}{2} \cdot (12) \cdot \left( 8x+5 \right)^{\frac{1}{2}-1} (8) \\ &= (48) \cdot \left( 8x+5 \right)^{-\frac{1}{2} } \\ & = \dfrac{48}{\sqrt{\left( 8x+5 \right)}} \end{align}$
Sebagai catatan, untuk turunan ketiga, keempat, sampai ke-$n$ dari sebuah fungsi $f(x)$ dituliskan $f^{(3)}(x)$, $f^{(4)}(x)$ dan $f^{(n)}(x)$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{48}{\sqrt{\left( 8x+5 \right)}}$

34. Soal Latihan Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Ajabar

Diketahui $g(x)=\dfrac{2x-3}{f(x)}$. $f'$ adalah turunan pertama dari $f$ dan $g'$ adalah turunan pertama dari $g$. Jika $f(1)=f'(1)=1$ maka $g'(1)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -3 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} g(x) &= \dfrac{2x-3}{f(x)} \\ f(x) \cdot g(x) &= 2x-3 \\ f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) &= 2 \\ f'(1) \cdot g(1) + f(1) \cdot g'(1) &= 2 \\ 1 \cdot g(1) + 1 \cdot g'(1) &= 2 \\ \hline g(x) &= \dfrac{2x-3}{f(x)} \\ g(1) &= \dfrac{2(1)-3}{f(1)} \\ &= \dfrac{-1}{1}=-1 \\ \hline 1 \cdot (-1) + 1 \cdot g'(1) &= 2 \\ (-1) + g'(1) &= 2 \\ g'(1) &= 2+1=3 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3$

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Membuktikan Sifat-Sifat Turunan Fungsi Aljabar Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Belajar Mengenal dan Memahami Soal TPS (Tes Potensi Skolastik) UTBK SBMPTN 2019

youtube image
Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Membuktikan Sifat-Sifat Turunan Fungsi Aljabar Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih 🙏 support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar