The good student, Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI).
Dari judulnya FKFI (Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers), terdapat tiga kata penting yaitu Fungsi, Komposisi, Invers. Dengan bahasa sederhana bisa kita tuliskan, kita akan belajar tentang fungsi (hubungan), komposisi (gabungan) atau invers (kebalikan).
Bagaimana penerapan dari Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI) dalam aljabar atau pada kehidupan sehari-hari diantaranya dapat dilihat pada soal-soal yang kita diskusikan di bawah ini. Mempelajarinya atau menggunakan aturan-aturan pada fungsi komposisi dan fungsi invers sangatlah mudah. Jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka Anda akan dengan mudah memahami soal-soal fungsi komposisi dan fungsi invers dan menemukan solusinya.
Sifat Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI)
Sebelum kita coba diskusi membahas soal-soal FKFI yang sudah pernah diujikan pada UN atau SBMPTN, mari kita coba ingatkan kembali beberapa sifat-sifat dasar FKFI.
Untuk fungsi $f\left ( x \right )$ dan fungsi $g \left ( x \right )$, invers fungsi itu berturut-turut ditulis $f^{-1}\left ( x \right )$ dan $g^{-1}\left ( x \right )$. Fungsi Identitas $I \left ( x \right )=x$.
Beberapa Sifat Fungsi Komposisi Fungsi Invers yang bisa kita tuliskan, antara lain;
- Jika $f\left ( x \right )=ax+b$ maka $f\left ( z \right )=a \cdot z+b$ atau $f\left ( g\left ( x \right ) \right )=a \cdot g\left ( x \right )+b$
- $\left ( f \circ g \right )\left ( x \right )=f\left ( g\left ( x \right ) \right )$
- $\left ( f \circ g \right )^{-1}\left ( x \right )=\left ( g^{-1} \circ f^{-1} \right )\left ( x \right )$
- $\left ( f^{-1} \circ f \right )\left ( x \right )=I\left ( x \right )$
- $\left (f^{-1}\right )^{-1} \left ( x \right ) =f\left ( x \right )$
- Jika $f\left ( x \right )=\frac{ax+b}{cx+d}$ maka $f^{-1}\left ( x \right )=\frac{-dx+b}{cx-a}$
- Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$
Sedikit penambahan tentang fungsi invers atau fungsi kebalikan adalah fungsi yang merupakan kebalikan aksi dari sebuah fungsi.
Misalkan, untuk sebuah fungsi $f\left ( x \right )=4x-1$,
Untuk Nilai fungsi pertanyaanya adalah berapakah nilai $f\left ( 2 \right )$?, atau kita tulis menjadi $f\left ( 2 \right )= \cdots$.
Untuk fungsi invers sendiri, pertanyaannya adalah $f$ berapakah yang nilainya $7$?, atau bisa kita tulis menjadi $f\left ( \cdots \right )=7$.
Jika kedua pertanyaan diatas kita jawab menjadi $f\left ( 2 \right )= 7$ dan $f^{-1}\left ( 7 \right )= 2$ secara umum sudah ditampilkan pada sifat komposisi diatas yaitu Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$.
Soal dan Pembahasan Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI)
Untuk membantu kita dalam menggunakan beberapa sifat-sifat fungsi kompisisi di atas, berikut beberapa soal yang mungkin bisa membantu.
1. Soal SNMPTN 2011 Kode 879 |*Soal Lengkap
Jika $f(x)=\dfrac{x-2011}{x-1}$, maka $(f \circ f \circ f \circ f \circ f)(x)$ adalah$\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{x+2011}{x-1} \\ (B)\ & \dfrac{x+2011}{x+1} \\ (C)\ & \dfrac{x-2011}{x+1} \\ (D)\ & \dfrac{x-2011}{x-1} \\ (E)\ & \dfrac{-x+2011}{x-1} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f(x) & = \dfrac{x-2011}{x-1} \\ (f \circ f)(x) & = f \left( f(x) \right) \\ & = \dfrac{f(x)-2011}{f(x)-1} \\ & = \dfrac{\dfrac{x-2011}{x-1}-2011}{\dfrac{x-2011}{x-1}-1} \\ & = \dfrac{\dfrac{x-2011}{x-1}-\dfrac{2011x-2011}{x-1}}{\dfrac{x-2011}{x-1}-\dfrac{x-1}{x-1}} \\ & = \dfrac{\dfrac{x-2011-2011x+2011}{x-1}}{\dfrac{x-2011-x+1}{x-1}} \\ & = \dfrac{\dfrac{-2010x}{x-1}}{\dfrac{-2010}{x-1}} \\ & = \dfrac{-2010x}{-2010} \\ & = x \end{align}$
Dari hasil di atas yaitu $(f \circ f)(x) = x$ maka:
$\begin{align} (f \circ f \circ f)(x) &= f(x) \\ (f \circ f \circ f \circ f)(x) &= x \\ (f \circ f \circ f \circ f \circ f)(x) &= f(x) \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{x-2011}{x-1}$
2. Soal SNMPTN 2012 Kode 421 |*Soal Lengkap
Jika $f(x)=ax+3$, $a \neq 0$ dan $f^{-1}\left (f^{-1}\left ( 9 \right ) \right )=3$ maka nilai $a^{2}+a+1$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 11 \\ (B)\ & 9 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 3 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk $f(x) = ax+3$ dapat kita tentukan $f^{-1}(x)$ dan $f^{-1}(9)$ yaitu:
$\begin{align}
y & = ax+3 \\
y - 3 & = ax \\
\dfrac{y - 3}{a} & = x \\
f^{-1}(x) & = \dfrac{x - 3}{a} \\
f^{-1}(9) & = \dfrac{9 - 3}{a} \\
f^{-1}(9) & = \dfrac{6}{a}
\end{align}$
Lalu kita substitusikan kepada $f^{-1}\left (f^{-1}\left ( 9 \right ) \right )=3$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
f^{-1}\left (f^{-1}\left ( 9 \right ) \right) & = f^{-1}\left ( \dfrac{6}{a} \right ) \\
3 & = \dfrac{\dfrac{6}{a} - 3}{a} \\
3a & = \dfrac{6-3a}{a} \\
3a^{2} & = 6-3a \\
3a^{2}+3a-6 & = 0 \\
a^{2}+a-2 & = 0 \\
a^{2}+a-2 +3 & = 0 +3 \\
a^{2}+a+1 & = 3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3$
3. Soal SNMPTN 2012 Kode 122 |*Soal Lengkap
Jika $f(x)=ax+3$, dan $f \left (f \left ( x \right ) \right )=4x+9$ maka nilai $a^{2}+3a+3$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 13 \\ (B)\ & 11 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk $f(x) = ax+3$ dapat kita tentukan $f \left (f \left ( x \right ) \right )$ yaitu:
$\begin{align}
f \left (f \left ( x \right ) \right ) & = af(x)+3 \\
4x+9 & = a(ax+3)+3 \\
4x+9 & = a^{2}x+3a+3
\end{align}$
Dari bentuk diatas dapat kita simpulkan $4x= a^{2}x$ dan $9 =3a+3$ sehingga
$a^{2}+3a+3=4+9$
$a^{2}+3a+3=13$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 13$
4. Soal SBMPTN 2016 Kode 322 |*Soal Lengkap
Jika fungsi $f$ dan fungsi $g$ mempunyai invers dan memenuhi $g\left ( x-2 \right)= f\left ( x+2 \right)$, maka $g^{-1}\left ( x \right)= \cdots$
$\begin{align} (A)\ & f^{-1}\left ( x \right )+4 \\ (B)\ & 4-f^{-1}\left ( x \right) \\ (C)\ & f^{-1}\left ( x+4 \right) \\ (D)\ & -f^{-1}\left ( x \right)-4 \\ (E)\ & f^{-1}\left ( x \right)-4 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba dengan memisalkan $g \left ( x-2 \right)= f\left ( x+2 \right)=a$ sehingga kita peroleh $g \left ( x-2 \right)=a$ atau $f\left ( x+2 \right)=a$
$\begin{align}
g\left ( x-2 \right) &=a \\
g^{-1}\left ( a \right ) &=x-2 \\
g^{-1}\left ( a \right )+2 &=x \\
\hline
f\left ( x+2 \right ) &=a \\
f^{-1}\left ( a \right ) &=x+2 \\
f^{-1}\left ( a \right ) &=g^{-1}\left ( a \right )+2+2 \\
f^{-1}\left ( a \right ) &=g^{-1}\left ( a \right )+4 \\
f^{-1}\left ( a \right )-4 &=g^{-1}\left ( a \right ) \\
g^{-1}\left ( a \right ) &=f^{-1}\left ( a \right )-4
\end{align}$
Dari hasil di atas dapat kita simpulkan bahwa $g^{-1}\left ( x \right ) =f^{-1}\left ( x \right )-4$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ f^{-1}\left ( x \right)-4$
5. Soal SBMPTN 2016 Kode 324 |*Soal Lengkap
Jika fungsi $f$ dan fungsi $g$ mempunyai invers dan memenuhi $f\left ( x \right)= g\left ( 4+2x \right)$, maka $f^{-1}\left ( x \right)= \cdots$
$\begin{align} (A)\ & g^{-1}\left ( x \right )-4 \\ (B)\ & g^{-1}\left ( x \right)-2 \\ (C)\ & \dfrac{1}{2}g^{-1}\left ( x \right)-2 \\ (D)\ & \dfrac{1}{2}\left (g^{-1}\left ( x \right)-2 \right) \\ (E)\ & \dfrac{1}{2}g^{-1}\left ( x \right)-4 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menjawab soal ini kita butuh sedikit kreatifitas dengan memisalkan bahwa $ f \left ( x \right)= g\left ( 4+2x \right)=y$, sehingga kita peroleh $g\left ( 4+2x \right)=y$ dan $f\left ( x \right)=y$.
$\begin{align} g\left ( 4+2x \right) &=y \\ g^{-1}\left ( y \right ) &=4+2x \\ g^{-1}\left ( y \right )-4 &=2x \\ \dfrac{1}{2} \left (g^{-1}\left ( y \right )-4 \right ) &=x \\ \dfrac{1}{2} g^{-1}\left ( y \right )-2 &=x \\ \hline f\left ( x \right ) &=y \\ f^{-1}\left ( y \right ) &=x \\ f^{-1}\left ( y \right ) &=\dfrac{1}{2} g^{-1}\left ( y \right )-2 \\ \end{align}$
Dari apa yang kita peroleh di atas dapat kita simpulkan $f^{-1}\left ( x \right )=\dfrac{1}{2} g^{-1}\left ( x \right )-2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{2}g^{-1}\left ( x \right)-2$
6. Soal SBMPTN 2015 Kode 610 |*Soal Lengkap
Jika $f\left ( 2-x \right)= \dfrac{x}{2}+3$, maka $f^{-1}\left ( x \right)= \cdots$
$\begin{align} (A)\ & 2x+8 \\ (B)\ & 2x-8 \\ (C)\ & 8-2x \\ (D)\ & \dfrac{x}{2}-4 \\ (E)\ & 4-\dfrac{x}{2} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menjawab soal ini bisa kita kerjakan dengan mencari terlebih dahulu $f\left ( x \right)$ lalu kita akan dapat $f^{-1}\left ( x \right)$.
Alternatif lain kita bisa kreatif dengan memakai sifat Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$.
Jika $f\left ( 2-x \right)= \dfrac{x}{2}+3$, maka $f^{-1}\left ( \dfrac{x}{2}+3 \right)= 2-x$
Kita misalkan
$\begin{align}
\dfrac{x}{2}+3 &=a \\
\dfrac{x}{2} &=a-3 \\
x &=2a-6 \\
\hline
f^{-1}\left ( \dfrac{x}{2}+3 \right) &= 2-x \\
f^{-1}\left ( a \right) &= 2-\left ( 2a-6 \right) \\
f^{-1}\left ( a \right) &= 2-2a+6 \\
f^{-1}\left ( a \right) &= 8-2a
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ f^{-1}\left ( x \right )=8-2x$
7. Soal SBMPTN 2014 Kode 673 |*Soal Lengkap
Diketahui $f \left ( x \right)= \dfrac{px+q}{x+2},\ q\neq 0$. Jika $f^{-1}$ menyatakan invers dari $f$ dan $f^{-1} \left ( q \right)=-1$, maka $f^{-1} \left ( 2q \right)= \cdots$
$\begin{align} (A)\ & -3 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & -\dfrac{3}{2} \\ (D)\ & \dfrac{3}{2} \\ (E)\ & 3 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menjawab soal ini bisa kita kerjakan dengan mencari terlebih dahulu $f^{-1}\left ( x \right)$ lalu mensubstitusikan $f^{-1}\left ( q \right)=1$ lalu menghitung $f^{-1}\left ( 2q \right)= \cdots$.
Alternatif lain dengan sedikit kreatif memakai sifat Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$.
Jika $f^{-1} \left ( q \right)=-1$, maka $\left (f^{-1} \left ( -1 \right) \right )^{-1}=q$ atau bisa kita tulis $f\left ( -1 \right)=q$
$\begin{align} f \left ( x \right) &= \dfrac{px+q}{x+2} \\ f \left ( -1 \right) &= \dfrac{-p+q}{-1+2} \\ q &= \dfrac{-p+q}{1} \\ q &= -p+q \\ p &=0 \\ \hline f \left ( x \right) &= \dfrac{q}{x+2} \\ f^{-1} \left ( \dfrac{q}{x+2} \right) &= x \ \end{align}$
Kita dapat memisalkan $\dfrac{q}{x+2}=2q$ karena kita mau mencari $f^{-1} \left ( 2q \right)$
$\begin{align}
q &=2qx+4q \\
-3q &=2qx \\
x &=\dfrac{-3q}{2q} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ f^{-1}\left ( 2q \right )=-\dfrac{3}{22}$
8. Soal SBMPTN 2013 Kode 427 |*Soal Lengkap
Jika $f\left ( \dfrac{1}{x-1} \right)= \dfrac{x-6}{x+3}$, maka nilai $f^{-1}\left ( -2 \right)$ adalah $\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menjawab soal ini bisa juga kita kerjakan dengan mencari terlebih dahulu $f\left ( x \right)$ lalu kita akan dapat $f^{-1}\left ( x \right)$ dan $f^{-1}\left ( 2 \right)$.
Alternatif lain kita bisa sedikit berkreasi dengan memakai sifat Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$.
Jika $f\left ( \dfrac{1}{x-1} \right)= \dfrac{x-6}{x+3}$, maka $f^{-1}\left ( \dfrac{x-6}{x+3} \right)= \dfrac{1}{x-1}$
Kita misalkan $\dfrac{x-6}{x+3}=-2$ karena kita mau menghitung $f^{-1}\left ( -2 \right)$
$\begin{align}
x-6 &=-2x-6 \\
-6+6 &=-3x \\
x &=0 \\
\hline
f^{-1}\left ( \dfrac{x-6}{x+3} \right) &= \dfrac{1}{x-1} \\
f^{-1}\left ( -2 \right) &= \dfrac{1}{0-1} \\
f^{-1}\left ( -2 \right) &= \dfrac{1}{-1}=-1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -1$
9. Soal SBMPTN 2017 Kode 226 |*Soal Lengkap
Jika $f(x)=x^{2}-1$, dan $g(x)=\dfrac{x-2}{x+1}$ maka daerah asal fungsi $f \cdot g$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left \{ x|-\infty \lt x \lt \infty \right \} \\ (B)\ & \left \{ x|x \neq -1 \right \} \\ (C)\ & \left \{ x|x \neq 2 \right \} \\ (D)\ & \left \{ x|x \lt -1 \right \} \\ (E)\ & \left \{ x|x \geq 2 \right \} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
f \cdot g & = x^{2}-1 \cdot \dfrac{x-2}{x+1} \\
& = (x-1)(x+1) \cdot \dfrac{x-2}{x+1} \\
& = \dfrac{(x-2)(x-1)(x+1)}{x+1} \\
\end{align}$
Himpunan daerah asal sebuah fungsi adalah himpunan daerah asal (domain) agar fungsi mempunyai hasil (range) real.
Dari bentuk diatas $f \cdot g$ adalah $\dfrac{(x-2)(x-1)(x+1)}{x+1}$, sehingga agar fungsi $f \cdot g$ mempunyai hasil real, maka domain harus $\left \{ x|x \neq -1 \right \}$. Karena saat $x=-1$ nilai $f \cdot g$ adalah tak tentu.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left \{ x|x \neq -1 \right \}$
10. Soal SBMPTN 2017 Kode 226 |*Soal Lengkap
Jika $f(x)=1-x^{2}$, dan $g(x)=\sqrt{5-x}$ maka daerah hasil fungsi komposisi $f \circ g$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left \{ y|-\infty \lt y \lt \infty \right \} \\ (B)\ & \left \{ y|y \leq -1\ \text{atau}\ y \geq 1 \right \} \\ (C)\ & \left \{ y|y \leq 5 \right \} \\ (D)\ & \left \{ x|y \leq 1 \right \} \\ (E)\ & \left \{ x|-1 \leq y \geq 1 \right \}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
(f \circ g)(x) & = f \left( g(x) \right) \\
& = 1-\left( g(x) \right)^{2} \\
& = 1-\left( \sqrt{5-x} \right)^{2} \\
& = 1-(5-x) \\
& = x-4
\end{align}$
Fungsi $(f \circ g)(x)=x-4$ adalah fungsi linear (garis lurus), sehingga untuk himpunan daerah asal $(x)$ yang tidak dibatasi maka daerah hasil $(y)$ merupakan himpunan tak hingga.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ y|-\infty \lt y \lt \infty \right \}$
11. Soal UNBK Matematika IPS 2018 |*Soal Lengkap
Diketahui $f(x)=3x+2$ dan $g(x)=x^{2}-x+3$.
Fungsi komposisi $(fog)(x)= \cdots $
$\begin{align} (A)\ & 3x^{2}+3x+11 \\ (B)\ & 3x^{2}-3x+11 \\ (C)\ & 3x^{2}-3x-11 \\ (D)\ & 9x^{2}-9x-5 \\ (E)\ & 9x^{2}-9x-5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$ \begin{align}
(fog)(x) & = f \left( g(x) \right) \\
& = 3g(x)+2 \\
& = 3 \left( x^{2}-x+3 \right) +2 \\
& = 3 x^{2} - 3x + 9 +2 \\
& = 3 x^{2} - 3x + 11
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3 x^{2} - 3x + 11$
12. Soal UNBK Matematika IPS 2018 |*Soal Lengkap
Daerah asal fungsi $f$ yang ditentukan oleh $f(x)=\frac{\sqrt{3x-18}}{2x-20}$ adalah...
$(A)\ \left \{x | x \geq 6,\ x\neq 10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$
$(B)\ \left \{x | x \geq 6,\ x\neq -10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$
$(C)\ \left \{x | x \geq -6,\ x \neq 10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$
$(D)\ \left \{x | x \leq 6,\ x\neq -10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$
$(E)\ \left \{x | x \leq -6,\ x\neq 10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$
Alternatif Pembahasan:
Daerah asal fungsi maksudnya adalah batasan nilai $x$ agar fungsi mempunyai nilai Real.
Fungsi pada soal terdiri atas dua fungsi yaitu, fungsi pecahan dan fungsi bentuk akar.
Untuk fungsi pecahan agar mempunyai nilai Real syaratnya adalah penyebut tidak sama dengan nol.
$ \begin{align}
2x-20 & \neq 0 \\
2x & \neq 20 \\
x & \neq 10 \end{align} $
Untuk fungsi bentuk akar, agar mempunyai nilai Real syaratnya adalah yang didalam akar harus lebih dari atau sama dengan nol.
$ \begin{align}
3x-18 & \geq 0 \\
3x & \geq 18 \\
x & \geq \frac{18}{3} \\
x & \geq 6 \end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{x | x \geq 6,\ x\neq 10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$
13. Soal UNBK Matematika IPA 2018 |*Soal Lengkap
Diketahui $f(x)=\frac{2-3x}{6x-5}$, $x \neq \frac{5}{6}$. Invers dari fungsi $f(x)$ adalah...
$(A)\ f^{-1}(x)=\frac{5x+2}{6x-3},\ x \neq \frac{1}{2}$
$(B)\ f^{-1}(x)=\frac{5x-2}{6x+3},\ x \neq -\frac{1}{2}$
$(C)\ f^{-1}(x)=\frac{6x+3}{5x+2},\ x \neq -\frac{5}{2}$
$(D)\ f^{-1}(x)=\frac{5x+2}{6x+3},\ x \neq -\frac{1}{2}$
$(E)\ f^{-1}(x)=\frac{6x-3}{5x+2},\ x \neq -\frac{5}{2}$
Alternatif Pembahasan:
Invers fungsi $f(x)$;
$f (x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ maka $f^{-1}\left ( x \right )=\frac{-dx+b}{cx-a}$
$ \begin{align}
f(x) & =\frac{2-3x}{6x-5} \\
y & =\frac{2-3x}{6x-5} \\
y(6x-5) & = 2-3x \\
6xy-5y & = 2-3x \\
6xy+3x & = 2+5y \\
x(6y+3) & = 2+5y \\
x & = \frac{2+5y}{6y+3} \\
f^{-1}(x) & = \frac{2+5x}{6x+3}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ f^{-1}(x)=\frac{5x+2}{6x+3},\ x \neq -\frac{1}{2}$
14. Soal UNBK Matematika IPA 2018 |*Soal Lengkap
Diketahui $f(x)=2x-1$ dan $(gof)(x)=x-3$. Nilai dari $g^{-1}(-2)$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal, diketahui $(gof)(x)=x-3$ maka
$g \left (f(x) \right )=x-3$
$g \left (2x-1 \right )=\frac{1}{2}(2x-1)+\frac{1}{2}-3$
$g \left (2x-1 \right )=\frac{1}{2}(2x-1)-\frac{5}{2}$
$g \left (a \right )=\frac{1}{2}(a)-\frac{5}{2}$
invers fungsi $g(a)$ adalah $g^{-1}(a)$ salah satu cara menentukan $g^{-1}(a)$ yaitu:
$y=\frac{1}{2}(a)-\frac{5}{2}$
$2y=a-5$
$2y+5=a$
$g^{-1}(a)=2a+5$
$g^{-1}(-2)=2(-2)+5=1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$
15. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 |*Soal Lengkap
Jika $g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$ dan $f(x)$ merupakan fungsi dengan $(f \circ g)(x)=\dfrac{2x-1}{x-1}$, maka himpunan penyelesaian $1 \leq f(x) \leq 6$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left \{ x | -2 \leq x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \leq 2\ \right \} \\ (B)\ & \left \{ x | -2 \leq x \leq 0\ \text{atau}\ x \leq 2\ \right \} \\ (C)\ & \left \{ x | -2 \leq x \leq 2\ \right \} \\ (D)\ & \left \{ x | -1 \leq x \leq 2\ \right \} \\ (E)\ & \left \{ x | 0 \leq x \leq 2\ \right \} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari $(f \circ g)(x)$ dapat kita peroleh $f(x)$, dengan mensubtitusi $g^{-1}(x)$ ke $(f \circ g)(x)$.
Pertama kita coba cari $g^{-1}(x)$ dari $g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$.
$\begin{align}
y & = \dfrac{1}{\sqrt{x-1}} \\
y^{2} & = \dfrac{1}{x-1} \\
x-1 & = \dfrac{1}{y^{2}} \\
x & = \dfrac{1}{y^{2}} +1 \\
g^{-1}(x) & = \dfrac{1}{x^{2}} +1 \\
g^{-1}(x) & = \dfrac{1+x^{2}}{x^{2}}
\end{align}$
Berikut kita cari $f(x)$ dengan mensubstitusi $g^{-1}(x)$ ke $(f \circ g)(x)$
$\begin{align}
f(x) & = (f \circ g)(g^{-1}(x)) \\
& = \dfrac{2\left (g^{-1}(x) \right )-1}{\left (g^{-1}(x) \right )-1} \\
& = \dfrac{2\left (\dfrac{1+x^{2}}{x^{2}} \right )-1}{\left (\dfrac{1+x^{2}}{x^{2}} \right )-1} \\
& = \dfrac{\dfrac{2+2x^{2}}{x^{2}}-\dfrac{x^{2}}{x^{2}}}{\dfrac{1+x^{2}}{x^{2}}-\dfrac{ x^{2}}{x^{2}}} \\
& = \dfrac{2+x^{2}}{1} \\
& = 2+x^{2}
\end{align}$
Diketahui $1 \leq f(x) \leq 6$, maka:
$1 \leq 2+x^{2} \leq 6$
$1-2 \leq x^{2} \leq 6-2$
$-1 \leq x^{2} \leq 4$
Untuk $x^{2} \leq 4$
$\begin{align} x^{2}-4 & \leq 0 \\ (x+2)(x-2) & \leq 0 \\ -2 \leq x \leq 2 &
\end{align}$
Untuk $x^{2} \geq -1$ selalu benar untuk setiap $x$ bilangan real.
Irisan $-2 \leq x \leq 2$ dan $x \in \mathbb{R}$ adalah $-2 \leq x \leq 2$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left \{ x | -2 \leq x \leq 2\ \right \}$
16. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 |*Soal Lengkap
Jika $f(x)=\dfrac{1}{(x-1)^{2}}$ dan $g(x)=\dfrac{ 1}{x-2}$, maka himpunan penyelesaian $\dfrac{f(x)g(x)}{(f \circ g)(x)} \lt 0$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left \{ x | x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 2\ \right \} \\ (B)\ & \left \{ x | x \lt 1\ \text{atau}\ 2 \lt x \lt 3 \right \} \\ (C)\ & \left \{ x | x \lt 1\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt 2 \right \} \\ (D)\ & \left \{ x | 1 \lt x \lt 2 \text{atau}\ x \gt 3\ \right \} \\ (E)\ & \left \{ x | 2 \lt x \lt 3 \text{atau}\ x \gt 3\ \right \} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
f(x)g(x) & = \dfrac{1}{(x-1)^{2}} \times \dfrac{1}{x-2} \\
& = \dfrac{1}{(x-1)^{2}(x-2)}
\end{align}$
$\begin{align}
(f \circ g)(x) & = f \left( g(x) \right) \\
& = \dfrac{1}{\left (\dfrac{1}{g(x)}-1 \right )^{2}} \\
& = \dfrac{1}{\left (\dfrac{1}{x-2}-1 \right )^{2}} \\
& = \dfrac{1}{\left (\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{x-2}{x-2} \right )^{2}} \\
& = \dfrac{1}{\left (\dfrac{2-x}{x-2} \right )^{2}} \\
& = \dfrac{1}{\left (\dfrac{-(x-2)}{x-2} \right )^{2}} \\
& = \dfrac{1}{\left (-1 \right )^{2}}=1
\end{align}$
$\begin{align}
\dfrac{f(x)g(x)}{(f \circ g)(x)} & \lt 0 \\
\dfrac{\dfrac{1}{(x-1)^{2}(x-2)}}{1} & \lt 0 \\
\dfrac{1}{(x-1)^{2}(x-2)} & \lt 0 \\
(x-1)^{2}(x-2) & \lt 0 \\
x \lt 1\ \text{atau}\ &\ 1 \lt x \lt 2
\end{align}$
(*Jika belum bisa mengerjakan pertidaksamaan dengan baik coba Matematika Dasar: Pertidaksamaan)
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left \{ x | x \lt 1\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt 2 \right \}$
17. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 |*Soal Lengkap
Diketahui $f$ dan $g$ merupakan fungsi yang mempunyai invers. Jika $f \left( g(x) \right)=2x-1$ dan $g(x+1)=x-3$, maka nilai $f^{-1}(3) \cdot g^{-1}(3)$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 14 \\ (B)\ & 9 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -9 \\ (E)\ & -14 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari $g(x+1)=x-3$ dapat kita peroleh $g(x)$ dan $g^{-1}(x)$ yaitu
$\begin{align}
g(x+1) & = x-3 \\
g(x+1)& = x+1-4 \\
g(a)& = a-4 \\
g(x)& = x-4 \\
g^{-1}(x)& = x+4 \\
g^{-1}(3)& = 3+4=7
\end{align}$
Dari $f \left( g(x) \right)=2x-1$ dapat kita peroleh $f(x)$ dan $f^{-1}(x)$ yaitu
$\begin{align}
f \left( g(x) \right) & = 2x-1 \\
f ( x-4) & = 2x-1 \\
f ( x-4) & = 2(x-4)+8-1 \\
f ( x-4) & = 2(x-4)+7 \\
f(a) & = 2a+7 \\
f(x) & = 2x+7 \\
f^{-1}(x)& = \dfrac{x-7}{2} \\
f^{-1}(3)& = \dfrac{3-7}{2}=-2
\end{align}$
$f^{-1}(3) \cdot g^{-1}(3)= -2 \times 7=-14$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -14 $
18. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 |*Soal Lengkap
Diketahui $f$ dan $g$ merupakan fungsi yang mempunyai invers. Jika $f \left( g(x) \right)=x+1$ dan $g(x+2)=x-4$, maka nilai $f^{-1}(2) + g^{-1}(2)$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -5 \\ (B)\ & -3 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari $g(x+1)=x-3$ dapat kita peroleh $g(x)$ dan $g^{-1}(x)$ yaitu
$\begin{align}
g(x+2) & = x-4 \\
g(x+2)& = x+2-6 \\
g(a)& = a-6 \\
g(x)& = x-6 \\
g^{-1}(x)& = x+6 \\
g^{-1}(2)& = 2+6=8
\end{align}$
Dari $f \left( g(x) \right)=x+1$ dapat kita peroleh $f(x)$ dan $f^{-1}(x)$ yaitu
$\begin{align}
f \left( g(x) \right) & = x+1 \\
f ( x-6) & = x+1 \\
f ( x-6) & = x-6+7 \\
f(a) & = a+7 \\
f(x) & = x+7 \\
f^{-1}(x)& = x-7 \\
f^{-1}(2)& = 2-7=-5
\end{align}$
$f^{-1}(2) + g^{-1}(2)= -5 + 8=3$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3 $
19. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 |*Soal Lengkap
Jika $g(x)=\dfrac{-ax-3}{-x-4}$ dan $h(x)=\dfrac{4x-3}{-x+a}$, nilai $(g \circ h)(3)$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 6 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
(g \circ h)(x) & = g \left ( h(x) \right ) \\
& = \dfrac{-ah(x)-3}{-h(x)-4} \\
& = \dfrac{-a \left(\dfrac{4x-3}{-x+a} \right)-3}{-\left( \dfrac{4x-3}{-x+a}\right)-4} \\
& = \dfrac{ \dfrac{-4ax+3a}{-x+a} -3}{ \dfrac{-4x+3}{-x+a}-4} \\
& = \dfrac{ \dfrac{-4ax+3a}{-x+a} - 3 \left( \dfrac{-x+a}{-x+a} \right)}{ \dfrac{-4x+3}{-x+a}-4 \left( \dfrac{-x+a}{-x+a} \right)} \\
& = \dfrac{ -4ax+3a + 3x-3a }{ -4x+3 +4x-4a } \\
& = \dfrac{ -4ax+ 3x }{ 3 -4a } \\
& = \dfrac{ x(3-4a ) }{ 3 -4a } \\
& = x
\end{align}$
Karena $(g \circ h)(x) = x$ maka $g(x)$ dan $h(x)$ saling invers, sehingga $(g \circ h)(x) = x$ dan $(g \circ h)(3) = 3$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3$
20. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 |*Soal Lengkap
Jika $f(x+1)=\dfrac{2x-7}{x+1}$, maka...
$\begin{align} (1)\ & f(-1)=11 \\ (2)\ & f^{-1}(-1)=3 \\ (3)\ & (f \circ f)^{-1}(-1)=-9 \\ (4)\ & \dfrac{1}{f^{-1}(-2)}=\dfrac{4}{9}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
- Untuk point $(1)$ pernyataan $f(-1)=11$ adalah BENAR
$\begin{align} f(x+1) & = \dfrac{2x-7}{x+1} \\ f(x+1) & = \dfrac{2(x+1)-9}{x+1} \\ f(a) & = \dfrac{2(a)-9}{a} \\ f(x) & = \dfrac{2x-9}{x} \\ f(-1) & = \dfrac{2(-1)-9}{ -1 }=11
\end{align}$ - Untuk point $(2)$ pernyataan $f^{-1}(-1)=3$ adalah BENAR
$\begin{align} f(x) & = \dfrac{2x-9}{x} \\ y & = \dfrac{2x-9}{x} \\ yx & = 2x-9 \\ yx-2x & = -9 \\ x & = \dfrac{-9}{y-2} \\ f^{-1}(x) & = \dfrac{-9}{x-2} \\ f^{-1}(-1) & = \dfrac{-9}{-1-2}=3
\end{align}$ - Untuk point $(3)$ pernyataan $(f \circ f)^{-1}(-1)=-9$ adalah BENAR
$\begin{align} f(x) & = \dfrac{2x-9}{x} \\ (f \circ f)^{-1}(-1) & = f^{-1} \left( f^{-1}(-1) \right) \\ & = f^{-1} \left( 3 \right) \\ & = \dfrac{-9}{3-2} \\ & = \dfrac{-9}{1}=-9
\end{align}$ - Untuk point $(4)$ pernyataan $\dfrac{1}{f^{-1}(-2)}=\dfrac{4}{9}$ adalah BENAR
$\begin{align} f^{-1}(x) & = \dfrac{-9}{x-2} \\ f^{-1}(-2) & = \dfrac{-9}{-2-2} \\ & = \dfrac{-9}{-4}=\dfrac{ 9}{ 4} \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ (1), (2), (3), (4)\ \text{BENAR}$
21. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap
Diketahui $f(x)=2x-1$ dan $g(x)=\dfrac{5x}{x+1}$. Jika $h$ adalah funsgi sehingga $\left ( g \circ h \right )(x)=x-2$ maka $\left ( h \circ f \right )(x)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{2x-3}{2x+8} \\ (B)\ & \dfrac{2x-3}{-2x+6} \\ (C)\ & \dfrac{2x-3}{2x-8} \\ (D)\ & \dfrac{2x-3}{-2x+8} \\ (E)\ & \dfrac{2x-3}{-2x-8} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Fungsi Komposisi yang mungkin membantu yaitu;
- Jika $f\left ( x \right )=ax+b$ maka $f\left ( z \right )=a \cdot z+b$ atau $f\left ( g\left ( x \right ) \right )=a \cdot g\left ( x \right )+b$
- $\left ( f \circ g \right )\left ( x \right )=f\left ( g\left ( x \right ) \right )$
$\begin{align}
\left ( g \circ h \right )(x) &= x-2 \\
g\left ( h(x) \right ) &= x-2 \\
\dfrac{5h(x)}{h(x)+1} &= x-2 \\
5h(x) &= \left( x-2 \right)\left( h(x)+1 \right) \\
5h(x) &= xh(x)-2h(x) +x-2 \\
7h(x)-xh(x) &= x-2 \\
h(x) \left( 7-x \right) &= x-2 \\
h(x) &= \dfrac{x-2}{\left( 7-x \right)} \\
\hline
\left ( h \circ f \right )(x) &= h\left ( f(x) \right ) \\
&= \dfrac{f(x)-2}{\left( 7-f(x) \right)} \\
&= \dfrac{2x-1-2}{\left( 7- (2x-1) \right)} \\
&= \dfrac{2x-3}{ 7-2x+1 } \\
&= \dfrac{2x-3}{ 8-2x }
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{2x-3}{-2x+8}$
22. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap
Jika $f(x)=3^{x-1}$ maka $f^{-1}(81)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Fungsi Komposisi yaitu;
- Jika $f\left ( x \right )=ax+b$ maka $f\left ( z \right )=a \cdot z+b$ atau $f\left ( g\left ( x \right ) \right )=a \cdot g\left ( x \right )+b$
- $\left ( f \circ g \right )\left ( x \right )=f\left ( g\left ( x \right ) \right )$
- Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$
$\begin{align} f(x)&= 3^{x-1} \\ \hline y &= 3^{x-1} \\ y &= 3^{x} \cdot 3^{-1} \\ 3y &= 3^{x} \\ x &= {}^3\!\log 3y \\ \hline f^{-1}(x) &= {}^3\!\log 3x \\ f^{-1}(81) &= {}^3\!\log 3(81) \\ &= {}^3\!\log 243 \\ &= {}^3\!\log 3^{5} \\ &= 5 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 5$
23. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal Lengkap
Daerah asal fungsi $h(x)= \sqrt{ \dfrac{x^{2}-3x+2}{x+2}}$ agar terdefinisi adalah...
$(A)\ \left \{x | -2 \lt x \leq 1\ \text{atau}\ x \geq 2,\ x \in \mathbb{R} \right \}$
$(B)\ \left \{x | -2 \leq x \leq 1\ \text{atau}\ x \geq 2,\ x \in \mathbb{R} \right \}$
$(C)\ \left \{x | -2 \lt x \leq 1\ \text{atau}\ x \geq 1,\ x \in \mathbb{R} \right \}$
$(D)\ \left \{x | x \lt -2\ \text{atau}\ 1 \leq x \leq 2\ x \in \mathbb{R} \right \}$
$(E)\ \left \{x | x \leq -2\ \text{atau}\ 1 \leq x \leq 2\ x \in \mathbb{R} \right \}$
Alternatif Pembahasan:
Domain (daerah asal) fungsi $f(x)$ agar $f(x)$ terdefinisi maksudnya adalah batasan nilai $x$ agar fungsi $f(x)$ mempunyai nilai real atau sering juga disebut hanya "agar fungsi $f(x)$ mempunyai penyelesaian".
Fungsi pada soal terdiri atas dua fungsi yaitu, fungsi bentuk akar dan fungsi pecahan.
Untuk fungsi pecahan $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$, agar fungsi pecahan terdefinisi (mempunyai nilai real) syaratnya adalah penyebut tidak sama dengan nol $v(x) \neq 0$.
$ \begin{align}
x+2 & \neq 0 \\
x & \neq -2
\end{align} $
Untuk fungsi bentuk akar $f(x)=\sqrt{u(x)}$, agar fungsi pecahan terdefinisi (mempunyai nilai real) syaratnya adalah yang di dalam akar harus lebih dari atau sama dengan nol $u(x) \geq 0$.
$ \begin{align}
\dfrac{x^{2}-3x+2}{x+2} & \geq 0 \\
\dfrac{(x-2)(x-1)}{x+2} & \geq 0
\end{align} $
Untuk mencari himpunan penyelesaian pada pertidaksamaan pecahan dia atas, seperti gambar berikut:
Jika kesulitan untuk menyelesaikan pertidaksamaan pecahan di atas, silahkan dicoba Bank Soal Matematika Dasar Pertidaksamaan (*Soal dan Pembahasan).
Batasan nilai $x$ yang memenuhi adalah irisan dari pertidaksamaan $-2 \leq x \leq 1$, $x \geq 2$ dan $x \neq -2$ yaitu:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{x | -2 \lt x \leq 1\ \text{atau}\ x \geq 2,\ x \in \mathbb{R} \right \}$
24. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal Lengkap
Fungsi $f:R \rightarrow R$ dan $g: R \rightarrow R$. Jika $g(x)=x-1$ dan $(fog)(x)=x^{3}-4x$, nilai dari $f(2)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 9 \\ (B)\ & 13 \\ (C)\ & 15 \\ (D)\ & 17 \\ (E)\ & 25 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal Fungsi Komposisi di atas, diketahui $(fog)(x)=x^{3}-4x$ maka:
$ \begin{align}
f \left ( g(x) \right ) & = x^{3}-4x \\
f \left ( x-1 \right ) & = x^{3}-4x \\
\hline
\text{untuk}\ x=3 \\
\hline
f \left ( 3-1 \right ) & = 3^{3}-4(3) \\
f \left ( 2 \right ) & = 27-12 \\
& = 15 \\
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 15$
25. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui fungsi $f(x)=\sqrt{5x+1}$, dengan $x \geq -\dfrac{1}{5}$. Jika $f^{-1}(x)$ adalah invers dari fungsi $f(x)$, nilai dari $f^{-1}(3)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & \dfrac{4}{5} \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & \dfrac{8}{5} \\ (E)\ & 2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal Fungsi Invers di atas, diketahui $f(x)=\sqrt{5x+1}$ maka berlaku:
$ \begin{align}
y & = \sqrt{5x+1} \\
y^{2} & = 5x+1 \\
y^{2}-1 & = 5x \\
\dfrac{y^{2}-1}{5} & = x \\
\hline
f^{-1}(x) &=\dfrac{x^{2}-1}{5} \\
f^{-1}(3) &=\dfrac{3^{2}-1}{5} \\
&=\dfrac{8}{5}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{8}{5}$
26. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika fungsi $\sqrt{ \dfrac{x^{2}-8x+5}{x^{2}+x+12}}$ terdefinisi untuk $x \leq a$ atau $x \geq b$, maka nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 8 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -5 \\ (E)\ & -8 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Agar sebuah $f(x)$ terdefinisi maksudnya adalah batasan nilai $x$ agar fungsi $f(x)$ mempunyai nilai real atau sering juga disebut hanya "agar fungsi $f(x)$ mempunyai penyelesaian".
Fungsi pada soal terdiri atas dua fungsi yaitu, fungsi bentuk akar dan fungsi pecahan.
Untuk fungsi pecahan $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$, agar fungsi pecahan terdefinisi (mempunyai nilai real) syaratnya adalah penyebut tidak sama dengan nol $v(x) \neq 0$.
Pada soal di atas penyebut adalah $y=x^{2}+x+12$ karena $a \gt 0$ dan $D \lt 0$ sehingga fungsi selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real atau definit positif.
Untuk fungsi bentuk akar $f(x)=\sqrt{u(x)}$, agar fungsi pecahan terdefinisi (mempunyai nilai real) syaratnya adalah yang di dalam akar harus lebih dari atau sama dengan nol $u(x) \geq 0$. Karena penyebut adalah definit positif, sehingga agar fungsi $\dfrac{x^{2}-8x+5}{x^{2}+x+12} \geq 0$ kita cukup mencari batasan nilai $x$ untuk $ x^{2}-8x+5 \geq 0$.
$ \begin{align}
x^{2}-8x+5 & \geq 0 \\
x_{1,2} & = \dfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\
& = \dfrac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^{2}-4(1)(5)}}{2(1)} \\
& = \dfrac{8 \pm \sqrt{64-20}}{2} \\
& = \dfrac{8 \pm \sqrt{44}}{2} \\
& = \dfrac{8 \pm 2 \sqrt{11}}{2} \\
x_{1}& = 4 + \sqrt{11} \\
x_{2}& = 4 - \sqrt{11}
\end{align} $
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat $x^{2}-8x+5 \geq 0$ adalah Himpunan penyelesaian $\sqrt{ \dfrac{x^{2}-8x+5}{x^{2}+x+12}}$, yaitu $x \leq 4 - \sqrt{11}$ atau $x \geq 4 + \sqrt{11}$, sehingga nilai $a+b= 4 - \sqrt{11}+4 + \sqrt{11}=8$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 8$
27. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap
Daerah hasil fungsi $y=x^{2}-2x-3$ untuk daerah asal $\left \{ x | -1 \leq x \leq 4,\ x \in R \right \}$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & \left \{ x | -4 \leq y \leq 0,\ y \in R \right \} \\ (B)\ & \left \{ x | -4 \leq y \leq 11,\ y \in R \right \} \\ (C)\ & \left \{ x | -4 \leq y \leq 5,\ y \in R \right \} \\ (D)\ & \left \{ x | 0 \leq y \leq 5,\ y \in R \right \} \\ (E)\ & \left \{ x | 0 \leq y \leq 11,\ y \in R \right \} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Kurva $y=x^{2}-2x-3$ berbentuk parabola terbuka ke atas sehingga titik puncak $(x_{p},y_{p})$ adalah pembuat minimum dan nilai minimum.
$x_{p}=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-2}{2(1)}=1$ sehingga $y_{p}=(1)^{2}-2(1)-3=-4$
Kita uji nilai domain $x$ dari rentang nilai domain yang diinginkan pada soal:
- Untuk domain $x=-1$ maka hasil $y=(-1)^{2}-2(-1)-3=0$
- Untuk domain $x=1$ maka hasil $y=(1)^{2}-2(1)-3=-4$
- Untuk domain $x=4$ maka hasil $y=(4)^{2}-2(4)-3=5$
Daerah hasil $y$ adalah berada pada rentang $-4 \leq y \leq 0 $ dan $0 \leq y \leq 5$ atau jika kita gabungkan menjadi $-4 \leq y \leq 5 $.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left \{ x | -4 \leq y \leq 5,\ y \in R \right \}$
28. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui $f(x)=x^{2}+x+1$ dan $g(x)=2x-3$. Fungsi komposisi $(fog)(x)$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 4x^{2}-14x+7 \\ (B)\ & 4x^{2}-10x+7 \\ (C)\ & 4x^{2}-10x+5 \\ (D)\ & 4x^{2}+2x-11 \\ (E)\ & 4x^{2}+2x+7 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$ \begin{align}
(fog)(x) & = f \left( g(x) \right) \\
& = \left[ g(x) \right]^{2}+g(x)+1 \\
& = \left[ 2x-3 \right]^{2}+\left[ 2x-3 \right]+1 \\
& = 4x^{2}-12x+9+2x-3+1 \\
& = 4x^{2}-10x +7
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4x^{2}-10x+7$
29. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui fungsi $f(x)=2x+1$ dan $g(x)=\dfrac{x}{3x-2}$. Daerah asal fungsi komposisi $(gof)(x)$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & \left \{ x\ |\ x \neq -\dfrac{1}{6},\ x \in R \right \} \\ (B)\ & \left \{ x\ |\ x \neq -\dfrac{1}{2},\ x \in R \right \} \\ (C)\ & \left \{ x\ |\ x \neq \dfrac{1}{6},\ x \in R \right \} \\ (D)\ & \left \{ x\ |\ x \neq \dfrac{2}{3},\ x \in R \right \} \\ (E)\ & \left \{ x\ |\ x \in R \right \} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$ \begin{align}
(gof)(x) & = g \left( f(x) \right) \\
& = \dfrac{f(x)}{3f(x)-2} \\
& = \dfrac{2x+1}{3 (2x+1)-2} \\
& = \dfrac{2x+1}{6x+3-2} \\
& = \dfrac{2x+1}{6x+1}
\end{align}$
Menentukan daerah asal fungsi $y$ adalah menentukan batasan nilai domain $x$ yang memenuhi agar fungsi $y$ mempunyai nilai real, atau dengan kata lain batasan domain agar hasilnya real.
Sehingga agar $\dfrac{2x+1}{6x+1}$ mempunyai hasil real maka $6x+1\neq 0$ atau $ x \neq -\dfrac{1}{6}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ x\ |\ x \neq -\dfrac{1}{6},\ x \in R \right \}$
30. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap
Pembuatan pakaian pada suatu industri dilakukan melalui dua tahap yaitu tahap pemotongan kain menjadi pola dan dilanjutkan dengan tahap penjahitan pola menjadi pakaian. Banyak unit pola yang terbentuk bergantung pada lebar kain yang tersedia dengan mengikuti fungsi $f(x)=\dfrac{3}{4}x+5$, sedangkan banyak pakain yang diproduksi bergantung pada banyak pola yang dihasilkan dengan mengikuti fungsi $g(x)=\dfrac{1}{2}x+6$. Jika tersedia $100\ m^{2}$ kain untuk membuat pola, banyak pakaian yang dihasilkan adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & 38\ \text{pakaian} \\ (B)\ & 41\ \text{pakaian} \\ (C)\ & 42\ \text{pakaian} \\ (D)\ & 46\ \text{pakaian} \\ (E)\ & 47\ \text{pakaian}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk membuat pakaian jadi melalui dua tahap dimana kain yang tersedia $100\ m^{2}$ sehingga dapat kita simpulkan:
- Tahap pertama pemotongan kain $f(x)=\dfrac{3}{4}x+5$, untuk $x=100$ kita peroleh $f(100)=\dfrac{3}{4}(100)+5=80$
- Tahap kedua penjahitan kain $g(x)=\dfrac{1}{2}x+6$, untuk $x=80$ kita peroleh $g(80)=\dfrac{1}{2}(80)+6=46$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 46\ \text{pakaian}$
31. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui $f(x)=\dfrac{9x+17}{x+2};\ x \neq -2$ dan $f^{-1}(x)$ adalah invers dari $f(x)$. Nilai dari $f^{-1}(10)$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & -16 \\ (B)\ & -3 \\ (C)\ & -2 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 12
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari fungsi $f(x)=\dfrac{9x+17}{x+2};\ x \neq -2$ dapat kita tentukan inversnya, yaitu:
Jika suka menggunakan rumus, dapat digunakan rumus invers fungsi $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ adalah $f^{-1}(x)\ =\dfrac{-dx+b}{cx -a }$
$ \begin{align}
y\ & =\dfrac{9x+17}{x+2} \\
y(x+2)\ & = 9x+17 \\
xy +2y\ & = 9x+17 \\
xy -9x \ & = -2y+17 \\
x(y -9) \ & = -2y+17 \\
x \ & =\dfrac{-2y+17}{(y -9)} \\
f^{-1}(x)\ & =\dfrac{-2x+17}{x -9 } \\
f^{-1}(10)\ & =\dfrac{-2(10)+17}{10 -9 } \\
& =\dfrac{-3}{1 }=-3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -3$
32. Soal SIMAK UI 2019 Kode 539 |*Soal Lengkap
Jika $f(x+1)=x^{2}+2x+1$ dengan $x \gt 0$, maka $f^{-1}\left(x-1+f(x-1)\right)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & x-1 \\ (B)\ & \sqrt{x}+1 \\ (C)\ & \sqrt{x}-1 \\ (D)\ & \sqrt{x(x+1)} \\ (E)\ & \sqrt{x(x-1)} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
f(x+1) &= x^{2}+2x+1 \\
f(x+1) &= (x+1)^{2} \\
f(a) &= (a)^{2} \\
f(x) &= (x)^{2} \\
f(x-1) &= (x-1)^{2} \\
\hline
f(x) &= (x)^{2} \\
f^{-1}(x) &= \pm \sqrt{x}
\end{align}$
$\begin{align}
f^{-1}(x) &= \pm \sqrt{x} \\
f^{-1}(a) &= \pm \sqrt{a} \\
f^{-1}\left(x-1+f(x-1)\right) &= \pm \sqrt{x-1+f(x-1)} \\
&= \pm \sqrt{x-1+(x-1)^{2}} \\
&= \pm \sqrt{x-1+x^{2}-2x+1} \\
&= \pm \sqrt{x^{2}-x} \\
&= \pm \sqrt{x(x-1)}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \sqrt{x(x-1)}$
33. Soal SIMAK UI 2019 Kode 539 |*Soal Lengkap
Jika $f(x)=2x^{2}-3x+1$, $g(x)=ax+b$ dan $(g \circ f)(x-1)=4x^{2}-14x+11$, maka...
$\begin{align} (1)\ & a=2 \\ (2)\ & b=-1 \\ (3)\ & (fog)(1)=0 \\ (4)\ & \dfrac{f(x)}{g(x)}=x+1 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
(g \circ f)(x-1) &= 4x^{2}-14x+11 \\
(g \circ f)(x-1) &= 4(x-1)^{2}-6(x-1)+1 \\
(g \circ f)(a) &= 4(a)^{2}-6(a)+1 \\
(g \circ f)(x) &= 4x^{2}-6x+1 \\
g \left( f(x) \right) &= 4x^{2}-6x+1 \\
a \cdot f(x) +b &= 4x^{2}-6x+1 \\
a \cdot \left( 2x^{2}-3x+1 \right) +b &= 4x^{2}-6x+1 \\
2ax^{2}-3ax+a +b &= 4x^{2}-6x+1 \\
\hline
a &= 2 \\
a+b &= 1 \\
2+b &= 1 \\
b &= -1 \\
g(x) &= 2x-1
\end{align}$
$\begin{align}
(f \circ g)(1) &= f \left( g(1) \right) \\
&= f \left( 1 \right) \\
&= 2(1)^{2}-3(1)+1 \\
&= 0
\end{align}$
$\begin{align}
\dfrac{f(x)}{g(x)} &= \dfrac{2x^{2}-3x+1}{2x-1} \\
&= \dfrac{(2x-1)(x-1)}{2x-1} \\
&= x-1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ (1)(2)(3)\ \text{Benar}$
34. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui $\left ( f \circ f \right )^{-1} \left( 11 \right)=2p$ dan $f \left ( 2x-4 \right )=3x-7$ maka nilai $p=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (D)\ & 5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI) dan manipulasi aljabar dapat kita gunakan untuk menyelesaikan soal di atas. Penjabarannya kurang lebih seperti berikut ini;
$\begin{align}
f \left ( 2x-4 \right ) &= 3x-7 \\
f^{-1} \left ( 3x-7 \right ) &= 2x-4 \\
x=6\ \rightarrow f^{-1} \left ( 3(6)-7 \right ) &= 2(6)-4 \\
f^{-1} \left ( 11 \right ) &= 8 \\
x=5\ \rightarrow f^{-1} \left ( 3(5)-7 \right ) &= 2(5)-4 \\
f^{-1} \left ( 8 \right ) &= 6 \\
\hline
\left ( f \circ f \right )^{-1} \left( 11 \right) &=2p \\
\left ( f^{-1} \circ f^{-1} \right ) \left( 11 \right) &=2p \\
f^{-1} \left( f^{-1} (11) \right) &=2p \\
f^{-1} \left( 8 \right) &=2p \\
6 &=2p \\
3 &= p
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 3$
35. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui $f \left ( \dfrac{1}{2x} \right ) = \dfrac{x}{3+x}$ dan $f^{-1} \left ( a \right )=-\dfrac{1}{3}$ maka nilai $a=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -1 \\ (D)\ & -2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI) dan manipulasi aljabar dapat kita gunakan untuk menyelesaikan soal di atas. Penjabarannya kurang lebih seperti berikut ini;
$\begin{align}
f \left ( \dfrac{1}{2x} \right ) & = \dfrac{x}{3+x} \\
\hline
m &= \dfrac{1}{2x} \\
x &= \dfrac{1}{2m} \\
\hline
f \left ( m \right ) & = \dfrac{\dfrac{1}{2m}}{3+\dfrac{1}{2m}} \\
& = \dfrac{1}{6m+1} \\
\hline
f \left ( x \right ) & = \dfrac{1}{6x+1} \\
f^{-1} \left ( x \right ) & = \dfrac{1-x}{6x} \\
f^{-1} \left ( a \right ) & = \dfrac{1-a}{6a} \\
-\dfrac{1}{3} & = \dfrac{1-a}{6a} \\
-6a & = 3-3a \\
-3a & = 3 \\
a & = -1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -1$
36. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika $ f \left ( x-1 \right ) = 5x^{2}+6x-6$; $g \left ( x \right )=ax+1$ dan $ \left ( g \circ f \right ) \left( 1 \right)=-51$ maka nilai $f \left ( a+1 \right )=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -5 \\ (C)\ & -7 \\ (D)\ & -11 \\ (D)\ & -13 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI) dan manipulasi aljabar dapat kita gunakan untuk menyelesaikan soal di atas. Penjabarannya kurang lebih seperti berikut ini;
$\begin{align}
f \left ( x-1 \right ) &= 5x^{2}+6x-6 \\
x=2\ \rightarrow f \left ( 2-1 \right ) &= 5(2)^{2}+6(2)-6 \\
f \left ( 1 \right ) &= 26 \\
\hline
\left ( g \circ f \right ) \left( 1 \right) &=-51 \\
g \left ( f (1) \right ) &=-51 \\
g \left ( 26 \right ) &=-51 \\
a(26)+1 &=-51 \\
a &= \dfrac{-52}{26}=-2
\end{align}$
Nilai dari $f \left ( a+1 \right )$ adalah...
$\begin{align}
f \left ( -2+1 \right ) &= f \left ( -1 \right ) \\
x=0 \rightarrow f(-1)&= 5(0)^{2}+6(0)-6 \\
&= 0-6=-6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -6$
37. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui $f \left ( \dfrac{1}{x} \right ) = \dfrac{x}{2+3x}$ dan $f^{-1} \left ( a \right )=-1$ maka nilai $a=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -1 \\ (D)\ & -2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI) dan manipulasi aljabar dapat kita gunakan untuk menyelesaikan soal di atas. Penjabarannya kurang lebih seperti berikut ini;
$\begin{align}
f \left ( \dfrac{1}{x} \right ) & = \dfrac{x}{2+3x} \\
\hline
m &= \dfrac{1}{x} \\
x &= \dfrac{1}{m} \\
\hline
f \left ( m \right ) & = \dfrac{\dfrac{1}{m}}{2+3\dfrac{1}{m}} \\
& = \dfrac{1}{2m+3} \\
\hline
f \left ( x \right ) & = \dfrac{1}{2x+3} \\
f^{-1} \left ( x \right ) & = \dfrac{1-3x}{2x} \\
f^{-1} \left ( a \right ) & = \dfrac{1-3a}{2a} \\
-1 & = \dfrac{1-3a}{2a} \\
-2a & = 1-3a \\
3a-2a & = 1 \\
a & = 1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 1$
38. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui $f \left ( 2x \right ) = -\dfrac{1}{x+2}$ dan $f^{-1} \left ( \dfrac{2}{a} \right )=3a$ maka nilai $a=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -1 \\ (D)\ & -2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI) dan manipulasi aljabar dapat kita gunakan untuk menyelesaikan soal di atas. Penjabarannya kurang lebih seperti berikut ini;
$\begin{align}
f \left ( 2x \right ) & = - \dfrac{1}{x+2} \\
\hline
m &= 2x \\
x &= \dfrac{m}{2} \\
\hline
f \left ( m \right ) & = \dfrac{1}{\dfrac{m}{2}+2} \\
& = \dfrac{2}{m+4} \\
\hline
f \left ( x \right ) & = \dfrac{2}{x+4} \\
f^{-1} \left ( x \right ) & = \dfrac{-2-4x}{x} \\
f^{-1} \left ( \dfrac{2}{a} \right ) & = \dfrac{-2-4 \cdot \dfrac{2}{a} }{\dfrac{2}{a}} \\
3a & = \dfrac{-2- \dfrac{8}{a} }{\dfrac{2}{a}} \\
6 & = -2- \dfrac{8}{a} \\
\dfrac{8}{a} & = -6 \\
a & = -1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -1$
39. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika $ f \left ( x \right ) = 3x+a$ dan $ \left ( f \circ f \right ) \left( x \right)=9x+a+3$ maka nilai $f \left ( a \right )=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 6 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 3 \\ (D)\ & 2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI) dan manipulasi aljabar dapat kita gunakan untuk menyelesaikan soal di atas. Penjabarannya kurang lebih seperti berikut ini;
$\begin{align}
\left ( f \circ f \right ) \left( x \right) &=9x+a+3 \\
f \left ( f (x) \right ) &=9x+a+3 \\
f \left ( 3x+a \right ) &=9x+a+3 \\
f \left ( 3x+a \right ) &=3(3x+a)-2a+3 \\
f \left ( m \right ) &=3m-2a+3 \\
f \left ( x \right ) &=3x-2a+3 \\
3x+a &=3x-2a+3 \\
a+2a &= 3 \\
a &= 1 \\
\hline
f \left ( x \right ) &=3x+a \\
f \left ( x \right ) &=3x+1 \\
f \left ( a \right ) &=3a+1 \\
f \left ( 1 \right ) &=3(1)+1 \\
&=4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 4$
40. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika $ f \left ( x \right ) = ax+3$ dan $ \left ( f \circ f \right ) \left( x \right)=4x-3$ maka nilai $f \left ( a \right )=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 5 \\ (D)\ & 7 \\ (E)\ & 9 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI) dan manipulasi aljabar dapat kita gunakan untuk menyelesaikan soal di atas. Penjabarannya kurang lebih seperti berikut ini;
$\begin{align}
\left ( f \circ f \right ) \left( x \right) &=4x-3 \\
f \left ( f (x) \right ) &=4x-3 \\
f \left ( ax+3 \right ) &= 4x-3 \\
\hline
m=ax+3 & \\
\dfrac{m-3}{a}= x & \\
\hline
f \left ( m \right ) &= 4 \left( \dfrac{m-3}{a} \right) -3 \\
f \left ( m \right ) &= \dfrac{4m-12}{a} -3 \\
f \left ( x \right ) &= \dfrac{4x-12}{a} -3 \\
ax+3 &= \dfrac{4x-12}{a} -3 \\
ax+3 &= \dfrac{4}{a}x-\dfrac{12}{a} -3 \\
\end{align}$
dari kesamaan persamaan di atas, jika kita perhatikan koefisien variabel dan konstantanya, dapat kita ambil kesimpulan:
$\begin{align}
a \equiv \dfrac{4}{a} & \rightarrow a=\pm 2 \\
-\dfrac{12}{a}-3 \equiv 3 & \rightarrow a=-2 \\
\hline
f \left ( x \right ) &=ax+3 \\
f \left ( x \right ) &=-2x+3 \\
f \left ( a \right ) &=-2a+3 \\
f \left ( -2 \right ) &=-2(-2)+3 \\
&=7
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(7)\ 4$
41. Soal Simulasi UTBK-SBMPTN 2025
Jika $f \left ( x \right ) = \dfrac{x+1}{x-1}$ maka $f^{-1} \left ( \dfrac{1}{x} \right )$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -f(x) \\ (B)\ & -f(-x) \\ (C)\ & \dfrac{1}{f(x)} \\ (D)\ & \dfrac{1}{f(-x)} \\ (D)\ & -\dfrac{1}{f(x)} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI) dan manipulasi aljabar dapat kita gunakan untuk menyelesaikan soal di atas. Penjabarannya kurang lebih seperti berikut ini;
$\begin{align}
f \left ( x \right ) & = \dfrac{x+1}{x-1} \\
\hline
m & = \dfrac{x+1}{x-1} \\
m (x-1) & = x+1 \\
mx - m & = x+1 \\
mx - x & = m+1 \\
x (m - 1) & = m+1 \\
x & = \dfrac{m + 1}{m - 1} \\
\hline
f^{-1} \left ( x \right ) & = \dfrac{x + 1}{x - 1}
\end{align}$
dari hasil di atas kita peroleh:
f^{-1}\left ( \frac{1}{x} \right ) & = \dfrac{x + 1}{x - 1} \\
& = \dfrac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{1}{x} - 1} \\
& = \dfrac{\frac{1}{x} + \frac{x}{x}}{\frac{1}{x} - \frac{x}{x}} \\
& = \dfrac{\frac{1+x}{x} }{\frac{1-x}{x} } \\
& = \dfrac{ 1+x }{ 1-x } \\
& = \dfrac{ x + 1 }{- (x-1) } \\
& = - \dfrac{ x + 1 }{ x-1 } \\
& = - f \left ( x \right )
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -f(x) $
42. Soal SIMAK UI 2020 |*Soal Lengkap
Diketahui $f(x)+3g^{-1}(x)=x^{2}+x-18$ dan $f(x)+2g^{-1}(x)=x^{2}-14$. Jika $f^{-1}(x)$ bernilai positif, maka $f^{-1}(2)+g^{-1}(2)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f(x)+3g^{-1}(x)& = x^{2}+x-18 \\ f(x)+2g^{-1}(x)& = x^{2}-14\ (-) \\ \hline g^{-1}(x)& = x-4 \\ g^{-1}(2)& = 2-4=-2 \end{align}$
$\begin{align} f(x)+2g^{-1}(x)& = x^{2}+x-18 \\ f(x)+2 \left( x-4 \right) & = x^{2}-14 \\ f(x)+2 x- 8 & = x^{2}-14 \\ f(x) & = x^{2}-2x-6 \\ \hline f^{-1}(2) & = a \\ f(a) & = 2 \\ \hline f(a) & = a^{2}-2a-6 \\ 2 & = a^{2}-2a-6 \\ 0 & = a^{2}-2a-8 \\ 0 & = \left( a+2 \right)\left(a-4 \right) \\ a=-2\ & \text{atau}\ a=4 \\ f^{-1}(2) = a\ & \text{atau}\ f^{-1}(2) = 4 \end{align}$
Nilai $f^{-1}(2)+g^{-1}(2)=4-2=2$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$
43. Soal UM UNDIP 2019 Kode 324 |*Soal Lengkap
Diberikan dua fungsi real $f(x)=x^{2}-2 \left| x \right|$ dan $g(x)=x^{2} +1 $. Jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\left( fog \right)(x)=0$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Sedikit kita pinjam catatan suku banyak yang mungkin bermanfaat yaitu untuk $P(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$, akar-akarnya $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ dan $x_{4}$ maka berlaku $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} =-\dfrac{b}{a}$
$ \begin{align} (fog)(x) & = f \left( g(x) \right) \\ & = \left( g(x) \right)^{2}-2 \left| \left( g(x) \right) \right| \\ & = \left( x^{2}+1 \right)^{2}-2 \left| \left( x^{2}+1 \right) \right| \\ & = x^{4}+2x^{2}+1 -2 \left| \left( x^{2}+1 \right) \right| \\ \hline \text{saat}\ & \left( x^{2}+1 \right) \gt 0 \\ (fog)(x) &= x^{4}+2x^{2}+1 -2 \left( x^{2}+1 \right) \\ 0 &= x^{4}+2x^{2}+1 -2 x^{2} -2 \\ 0 &= x^{4} -1 \\ \therefore\ x_{1}+x_{2}&+x_{3}+x_{4}=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{0}{1}=0 \\ \hline \text{saat}\ & \left( x^{2}+1 \right) \lt 0 \\ (fog)(x) &= x^{4}+2x^{2}+1 -2 \left( -x^{2}-1 \right) \\ 0 &= x^{4}+2x^{2}+1 +2 x^{2} +2 \\ 0 &= x^{4}+4x^{2}+5 \\ \therefore\ x_{1}+x_{2}&+x_{3}+x_{4}=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{0}{1}=0 \end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$
44. Soal UM UGM 2019 Kode 634 |*Soal Lengkap
Diberikan fungsi $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}$. Nilai $\left( f^{-1} \circ f^{-1} \right)\left( \frac{1}{2} \right)$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Invers fungsi $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ adalah $f^{-1}(x)=\dfrac{-dx+b}{cx-a}$. Sehingga untuk $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}$ dapat kita peroleh:
$ \begin{align}
f^{-1} \left( x \right)\ & = \dfrac{-x-1}{x-2} \\
f^{-1} \left( \frac{1}{2} \right)\ & = \dfrac{-\left( \frac{1}{2} \right)-1}{\left( \frac{1}{2} \right)-2} \\
& = \dfrac{- \frac{3}{2} }{ -\frac{3}{2} }=1 \\
\hline
\left( f^{-1} \circ f^{-1} \right)\left( \frac{1}{2} \right) & = f^{-1} \left( f^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) \right) \\
& = f^{-1} \left( 1 \right) \\
& = \dfrac{-\left( 1 \right)-1}{\left( 1 \right)-2} \\
& =\dfrac{-2}{-1} = 2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$
45. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*Soal Lengkap
Diketahui $f(x)=x^{2} +1$ dan $g(x)=ax+2$, dengan $a \neq 0$. Jika $\left( f \circ g^{-1} \right)(1)=5$ maka $4a^{2} -3 = \cdots $
$ \begin{align} (A)\ & -3 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Invers fungsi $g(x)=ax+2$ adalah:
$ \begin{align}
y\ & = ax+2 \\
y-2\ & = ax \\
\dfrac{y-2}{x} & = a \\
g^{-1}(x)& =\dfrac{x-2}{a} \\
g^{-1}(1)& =\dfrac{-1}{a}
\end{align}$
$ \begin{align} \left( f \circ g^{-1} \right)(1) &= 5 \\ f \left( g^{-1}(1) \right) &= 5 \\ f \left( \dfrac{-1}{a} \right) &= 5 \\ \left( \dfrac{-1}{a} \right)^{2}+1 &= 5 \\ \dfrac{1}{a^{2}} &= 5-1 \\ \dfrac{1}{a^{2}} &= 4 \\ 1 &= 4a^{2} \\ \hline 4a^{2}-3 &= 1-3 \\ &=-2 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -2$
46. Soal Simulasi UTBK-SNBT
Jika $f \left ( \dfrac{\sqrt{x+1}}{x-1} \right)= \dfrac{2x-1}{x+2}$, maka nilai $f^{-1}\left ( 1 \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Sama seperti dengan soal sebelumnya, kita coba kerjakan sola ini dengan sifat "Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$"
$\begin{align}
f \left ( \dfrac{\sqrt{x+1}}{x-1} \right) &= \dfrac{2x-1}{x+2} \\
f^{-1} \left ( \dfrac{2x-1}{x+2} \right) &= \dfrac{\sqrt{x+1}}{x-1}
\end{align}$
Dari persamaan di atas dapat kita peroleh persamaan $f^{-1} \left ( \dfrac{2x-1}{x+2} \right) = f^{-1}\left ( 1 \right)$
$\begin{align}
f^{-1} \left ( \dfrac{2x-1}{x+2} \right) &= f^{-1}\left ( 1 \right) \\
\hline
\dfrac{2x-1}{x+2} &= 1 \\
2x-1 &= x+2 \\
2x-x &= 2+1 \\
x &= 3 \\
\hline
f^{-1} \left ( \dfrac{2x-1}{x+2} \right) &= \dfrac{\sqrt{x+1}}{x-1} \\
f^{-1} \left ( \dfrac{2(3)-1}{(3)+2} \right) &= \dfrac{\sqrt{(3)+1}}{(3)-1} \\
f^{-1} \left ( \dfrac{5}{5} \right) &= \dfrac{\sqrt{4}}{2} \\
f^{-1} \left ( 1 \right) &= \dfrac{\sqrt{4}}{2} \\
&= \dfrac{2}{2}=1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI) (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI) di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Saya tidak memiliki bakat khusus. Saya hanya ingin tahu.
