Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Cara Alternatif Dalam Menyelesaikan Soal Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI). Catatan ini sebagai tambahan dari Soal dan Pembahasan Matematika Fungsi Komposisi Fungsi Invers (FKFI). Cara Alternatif yang dimaksud hanya sebuah istilah dalam menyelesaikan soal-soal matematika secara kreatif😊😊.
Dengan memodifikasi beberapa rumus yang ada untuk menyelesaikan soal, diperolehlah sebuah cara alternatif 😊😊 dalam menemukan jawaban dari sebuah soal.
Pada bimbingan test atau bimbingan belajar cara-cara seperti ini tidak asing lagi, cara ini sering kita dengar dengan beberapa istilah, antara lain: Cara Cepat (*CarCep), Smart Solution (*SS), Jalan Pintas (*JP), Cara Kreatif (*CK), Cara Pintar (*CP), Fastes Solution (*FS), CarE (*Cara Efisien) dan lain sebagainya (*silahkan ditambahkan pada kotak komentar).
Kemarin Pak Anang salah anggota Matematika Nusantara (MN) mengembangkan istilah yang masih tergolong baru, yaitu 'Cara Lirikan'. Jadi ketika ketemu soal, jawabnya tinggal lirik saja atau mengerjakan soal hanya dengan satu, dua, atau tiga lirikan saja.
Istilah-istilah diatas mempunyai tujuan yang sama yaitu agar para siswa lebih mudah dalam memahami materi atau menemukan jawaban soal dengan waktu yang lebih cepat. Tetapi diharapkan siswa tetap memahami prosedural-prosedural yang umum dalam menyelesaikan masalah-masalah matematika.
Awalnya catatan ini mau dipakai dengan "Cara Nakal" mengerjakan FKFI, tetapi karena kesannya tergolong "negatif" sehingga istilahnya kita ganti kembali.
Untuk "Cara Nakal" itu sendiri terinspirasi dari anak-anak nakal atau anak-anak yang diberi cap "nakal atau bandal" Anak Nakal itu identik dengan anak yang banyak akal, sedangkan Anak Bandal itu identik dengan anak yang bisa di andalkan.
Jadi kita sebagai seorang guru atau orang tua hanya perlu kesabaran lebih banyak atau belajar banyak untuk melihat bagaimana mengembangkan akal anak dengan baik atau bagaimana kita bisa menggandalkan anak-anak dengan baik.
Untuk fungsi $f\left ( x \right )$ dan fungsi $g \left ( x \right )$, invers fungsi itu berturut-turut ditulis $f^{-1}\left ( x \right )$ dan $g^{-1}\left ( x \right )$. Fungsi Identitas $I \left ( x \right )=x$ . Beberapa Sifat Fungsi Komposisi Fungsi Invers yang bisa kita tuliskan, antara lain;
- Jika $f\left ( x \right )=ax+b$ maka $f\left ( z \right )=a \cdot z+b$ atau $f\left ( g\left ( x \right ) \right )=a \cdot g\left ( x \right )+b$
- $\left ( fog \right )\left ( x \right )=f\left ( g\left ( x \right ) \right )$
- $\left ( fog \right )^{-1}\left ( x \right )=\left ( g^{-1}of^{-1} \right )\left ( x \right )$
- $\left ( f^{-1}of \right )\left ( x \right )=I\left ( x \right )$
- $\left (f^{-1}\right )^{-1} \left ( x \right ) =f\left ( x \right )$
- Jika $f\left ( x \right )=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ maka $f^{-1}\left ( x \right )=\dfrac{-dx+b}{cx-a}$
- Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$
Sedikit penambahan tentang fungsi invers atau fungsi kebalikan adalah fungsi yang merupakan kebalikan aksi dari sebuah fungsi.
Misalkan, untuk sebuah fungsi $f\left ( x \right )=4x-1$,
Untuk Nilai fungsi pertanyaanya adalah berapakah nilai $f\left ( 2 \right )$?, atau kita tulis menjadi $f\left ( 2 \right )= \cdots$.
Untuk fungsi invers sendiri, pertanyaannya adalah $f$ berapakah yang nilainya $7$?, atau bisa kita tulis menjadi $f\left ( \cdots \right )=7$.
Kedua pertanyaan di atas kita jawab dengan menuliskan $f\left ( 2 \right )= 7$ dan $f^{-1}\left ( 7 \right )= 2$ secara umum dapat kita tuliskan yaitu jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$.
Contoh Soal Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI)
Untuk menambah pemahaman kita terkait Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI) dapat kita simak beberapa contoh soal berikut.
1. Soal SBMPTN 2016 Kode 322 |*Soal Lengkap
Jika fungsi $f$ dan fungsi $g$ mempunyai invers dan memenuhi $g\left ( x-2 \right)= f\left ( x+2 \right)$, maka $g^{-1}\left ( x \right)= \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba dengan memisalakan $g \left ( x-2 \right)= f\left ( x+2 \right)=a$ sehingga kita peroleh $g \left ( x-2 \right)=a$ atau $f\left ( x+2 \right)=a$
$\begin{align} g \left ( x-2 \right) &=a \\ g^{-1}\left ( a \right ) &=x-2 \\ g^{-1}\left ( a \right )+2 &=x \\ \hline f\left ( x+2 \right ) &=a \\ f^{-1}\left ( a \right ) &=x+2 \\ f^{-1}\left ( a \right ) &=g^{-1}\left ( a \right )+2+2 \\ f^{-1}\left ( a \right ) &=g^{-1}\left ( a \right )+4 \\ f^{-1}\left ( a \right )-4 &=g^{-1}\left ( a \right ) \\ g^{-1}\left ( a \right ) &=f^{-1}\left ( a \right )-4 \end{align}$
Dari hasil di atas dapat kita simpulkan bahwa $g^{-1}\left ( x \right ) =f^{-1}\left ( x \right )-4$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ f^{-1}\left ( x \right)-4$
2. Soal SBMPTN 2016 Kode 324 |*Soal Lengkap
Jika fungsi $f$ dan fungsi $g$ mempunyai invers dan memenuhi $f\left ( x \right)= g\left ( 4+2x \right)$, maka $f^{-1}\left ( x \right)= \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menjawab soal ini kita butuh sedikit kreatifitas dengan memisalkan bahwa $ f \left ( x \right)= g\left ( 4+2x \right)=y$, sehingga kita peroleh $g\left ( 4+2x \right)=y$ dan $f\left ( x \right)=y$.
$\begin{align}
g\left ( 4+2x \right) &=y \\
g^{-1}\left ( y \right ) &=4+2x \\
g^{-1}\left ( y \right )-4 &=2x \\
\dfrac{1}{2} \left (g^{-1}\left ( y \right )-4 \right ) &=x \\
\dfrac{1}{2} g^{-1}\left ( y \right )-2 &=x \\
\hline
f\left ( x \right ) &=y \\
f^{-1}\left ( y \right ) &=x \\
f^{-1}\left ( y \right ) &=\dfrac{1}{2} g^{-1}\left ( y \right )-2 \\
\end{align}$
Dari apa yang kita peroleh di atas dapat kita simpulkan $f^{-1}\left ( x \right )=\dfrac{1}{2} g^{-1}\left ( x \right )-2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{2}g^{-1}\left ( x \right)-2$
3. Soal SBMPTN 2015 Kode 610 |*Soal Lengkap
Jika $f\left ( 2-x \right)= \dfrac{x}{2}+3$, maka $f^{-1}\left ( x \right)= \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menjawab soal ini bisa kita kerjakan dengan mencari terlebih dahulu $f\left ( x \right)$ lalu kita akan dapat $f^{-1}\left ( x \right)$.
Alternatif lain kita bisa kreatif dengan memakai sifat Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$.
Jika $f\left ( 2-x \right)= \dfrac{x}{2}+3$, maka $f^{-1}\left ( \dfrac{x}{2}+3 \right)= 2-x$
Kita misalkan
$\begin{align}
\dfrac{x}{2}+3 &=a \\
\dfrac{x}{2} &=a-3 \\
x &=2a-6 \\
\hline
f^{-1}\left ( \dfrac{x}{2}+3 \right) &= 2-x \\
f^{-1}\left ( a \right) &= 2-\left ( 2a-6 \right) \\
f^{-1}\left ( a \right) &= 2-2a+6 \\
f^{-1}\left ( a \right) &= 8-2a
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ f^{-1}\left ( x \right )=8-2x$
4. Soal SBMPTN 2014 Kode 673 |*Soal Lengkap
Diketahui $f \left ( x \right)= \dfrac{px+q}{x+2},\ q\neq 0$. Jika $f^{-1}$ menyatakan invers dari $f$ dan $f^{-1} \left ( q \right)=-1$, maka $f^{-1} \left ( 2q \right)= \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menjawab soal ini bisa kita kerjakan dengan mencari terlebih dahulu $f^{-1}\left ( x \right)$ lalu mensubstitusikan $f^{-1}\left ( q \right)=1$ lalu menghitung $f^{-1}\left ( 2q \right)= \cdots$.
Alternatif lain dengan sedikit kreatif memakai sifat Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$.
Jika $f^{-1} \left ( q \right)=-1$, maka $\left (f^{-1} \left ( -1 \right) \right )^{-1}=q$ atau bisa kita tulis $f\left ( -1 \right)=q$
$\begin{align}
f \left ( x \right) &= \dfrac{px+q}{x+2} \\
f \left ( -1 \right) &= \dfrac{-p+q}{-1+2} \\
q &= \dfrac{-p+q}{1} \\
q &= -p+q \\
p &=0 \\
\hline
f \left ( x \right) &= \dfrac{q}{x+2} \\
f^{-1} \left ( \dfrac{q}{x+2} \right) &= x \
\end{align}$
Kita dapat memisalkan $\dfrac{q}{x+2}=2q$ karena kita mau mencari $f^{-1} \left ( 2q \right)$
$\begin{align}
q &=2qx+4q \\
-3q &=2qx \\
x &=\dfrac{-3q}{2q} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ f^{-1}\left ( 2q \right )=-\dfrac{3}{22}$
5. Soal SBMPTN 2013 Kode 427 |*Soal Lengkap
Jika $f\left ( \dfrac{1}{x-1} \right)= \dfrac{x-6}{x+3}$, maka nilai $f^{-1}\left ( 2 \right)$ adalah $\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menjawab soal ini bisa juga kita kerjakan dengan mencari terlebih dahulu $f\left ( x \right)$ lalu kita akan dapat $f^{-1}\left ( x \right)$ dan $f^{-1}\left ( 2 \right)$.
Alternatif lain kita bisa sedikit berkreasi dengan memakai sifat Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$.
Jika $f\left ( \dfrac{1}{x-1} \right)= \dfrac{x-6}{x+3}$, maka $f^{-1}\left ( \dfrac{x-6}{x+3} \right)= \dfrac{1}{x-1}$
Kita misalkan $\dfrac{x-6}{x+3}=-2$ karena kita mau menghitung $f^{-1}\left ( -2 \right)$
$\begin{align}
x-6 &=-2x-6 \\
-6+6 &=-3x \\
x &=0 \\
\hline
f^{-1}\left ( \dfrac{x-6}{x+3} \right) &= \dfrac{1}{x-1} \\
f^{-1}\left ( -2 \right) &= \dfrac{1}{0-1} \\
f^{-1}\left ( -2 \right) &= \dfrac{1}{-1}=-1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -1$
6. Soal Simulasi UTBK Matematika
Jika $f \left ( \dfrac{\sqrt{x+1}}{x-1} \right)= \dfrac{2x-1}{x+2}$, maka nilai $f^{-1}\left ( 1 \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Sama seperti dengan soal sebelumnya, kita coba kerjakan sola ini dengan sifat "Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$"
$\begin{align}
f \left ( \dfrac{\sqrt{x+1}}{x-1} \right) &= \dfrac{2x-1}{x+2} \\
f^{-1} \left ( \dfrac{2x-1}{x+2} \right) &= \dfrac{\sqrt{x+1}}{x-1}
\end{align}$
Dari persamaan di atas dapat kita peroleh persamaan $f^{-1} \left ( \dfrac{2x-1}{x+2} \right) = f^{-1}\left ( 1 \right)$
$\begin{align}
f^{-1} \left ( \dfrac{2x-1}{x+2} \right) &= f^{-1}\left ( 1 \right) \\
\hline
\dfrac{2x-1}{x+2} &= 1 \\
2x-1 &= x+2 \\
2x-x &= 2+1 \\
x &= 3 \\
\hline
f^{-1} \left ( \dfrac{2x-1}{x+2} \right) &= \dfrac{\sqrt{x+1}}{x-1} \\
f^{-1} \left ( \dfrac{2(3)-1}{(3)+2} \right) &= \dfrac{\sqrt{(3)+1}}{(3)-1} \\
f^{-1} \left ( \dfrac{5}{5} \right) &= \dfrac{\sqrt{4}}{2} \\
f^{-1} \left ( 1 \right) &= \dfrac{\sqrt{4}}{2} \\
&= \dfrac{2}{2}=1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$
Untuk lebih mantap lagi mengerjakan Cara Alternatif Dalam Menyelesaikan Soal Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI), coba dilatih soal lain yang bisa dipilih dari Soal Ujian Nasional atau Soal Ujian Masuk PTN.
Catatan Cara Alternatif Dalam Menyelesaikan Soal Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI) di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
