Cara Alternatif Dalam Menyelesaikan Soal Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI)

Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Cara Alternatif Dalam Menyelesaikan Soal Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI). Catatan ini sebagai tambahan dari Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI). Cara Alternatif yang dimaksud hanya sebuah istilah dalam menyelesaikan soal-soal matematika secara kreatif😊😊.

Dengan memodifikasi beberapa rumus yang ada untuk menyelesaikan soal, diperolehlah sebuah cara alternatif 😊😊 dalam menemukan jawaban dari sebuah soal.

Pada bimbingan test atau bimbingan belajar cara-cara seperti ini tidak asing lagi, cara ini sering kita dengar dengan beberapa istilah, antara lain: Cara Cepat (*CarCep), Smart Solution (*SS), Jalan Pintas (*JP), Cara Kreatif (*CK), Cara Pintar (*CP), Fastes Solution (*FS), CarE (*Cara Efisien) dan lain sebagainya ~~(*silahkan ditambahkan pada kotak komentar)~~.

Kemarin Pak Anang salah seorang anggota Matematika Nusantara (MN) mengembangkan istilah yang masih tergolong baru, yaitu 'Cara Lirikan'. Jadi ketika ketemu soal, jawabnya tinggal lirik saja atau mengerjakan soal hanya dengan satu, dua, atau tiga lirikan saja.

Istilah-istilah diatas mempunyai tujuan yang sama yaitu agar para siswa lebih mudah dalam memahami materi atau menemukan jawaban soal dengan waktu yang lebih cepat. Tetapi diharapkan siswa tetap memahami prosedural-prosedural yang umum dalam menyelesaikan masalah-masalah matematika.

Awalnya tulisan ini mau dipakai dengan "Cara Nakal", tetapi karena kesannya negatif sehingga istilahnya kita modifikasi kembali. Untuk "Cara Nakal" itu sendiri terinspirasi dari anak-anak nakal atau anak-anak yang diberi cap "nakal atau bandal" Anak Nakal itu adalah anak yang mempunyai akal, sedangkan Anak Bandal itu adalah anak yang bisa di andalkan. Jadi kita sebagai seorang guru atau orang tua hanya perlu sedikit kesabaran dan belajar banyak untuk melihat bagaimana mengembangkan akal anak dengan baik atau bagaimana kita bisa menggandalkan anak-anak dengan baik.

Kembali kepada Cara Alternatif Mengerjakan Soal Matematika Tentang FKFI (Fungsi Komposisi Fungsi Invers) yang kita sebutkan di awal. Mari kita coba dengan beberapa contoh soal yang diujikan pada SBMPTN pada beberapa tahun terakhir.

Untuk fungsi $f\left ( x \right )$ dan fungsi $g \left ( x \right )$, invers fungsi itu berturut-turut ditulis $f^{-1}\left ( x \right )$ dan $g^{-1}\left ( x \right )$. Fungsi Identitas $I \left ( x \right )=x$ . Beberapa Sifat Fungsi Komposisi Fungsi Invers yang bisa kita tuliskan, antara lain;

Jika $f\left ( x \right )=ax+b$ maka $f\left ( z \right )=a \cdot z+b$ atau $f\left ( g\left ( x \right ) \right )=a \cdot g\left ( x \right )+b$
$\left ( fog \right )\left ( x \right )=f\left ( g\left ( x \right ) \right )$
$\left ( fog \right )^{-1}\left ( x \right )=\left ( g^{-1}of^{-1} \right )\left ( x \right )$
$\left ( f^{-1}of \right )\left ( x \right )=I\left ( x \right )$
$\left (f^{-1}\right )^{-1} \left ( x \right ) =f\left ( x \right )$
Jika $f\left ( x \right )=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ maka $f^{-1}\left ( x \right )=\dfrac{-dx+b}{cx-a}$
Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$

Sedikit penambahan tentang fungsi invers atau fungsi kebalikan adalah fungsi yang merupakan kebalikan aksi dari sebuah fungsi.

Misalkan, untuk sebuah fungsi $f\left ( x \right )=4x-1$,
Untuk Nilai fungsi pertanyaanya adalah berapakah nilai $f\left ( 2 \right )$?, atau kita tulis menjadi $f\left ( 2 \right )= \cdots$.

Untuk fungsi invers sendiri, pertanyaannya adalah $f$ berapakah yang nilainya $7$?, atau bisa kita tulis menjadi $f\left ( \cdots \right )=7$.

Jika kedua pertanyaan diatas kita jawab menjadi $f\left ( 2 \right )= 7$ dan $f^{-1}\left ( 7 \right )= 2$ secara umum sudah ditampilkan pada sifat komposisi diatas yaitu Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$.

1. Soal SBMPTN 2016 Kode 322 |*Soal Lengkap

Jika fungsi $f$ dan fungsi $g$ mempunyai invers dan memenuhi $g\left ( x-2 \right)= f\left ( x+2 \right)$, maka $g^{-1}\left ( x \right)= \cdots$

$(A)\ f^{-1}\left ( x \right )+4 $
$(B)\ 4-f^{-1}\left ( x \right) $
$(C)\ f^{-1}\left ( x+4 \right) $
$(D)\ -f^{-1}\left ( x \right)-4 $
$(E)\ f^{-1}\left ( x \right)-4 $

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba dengan memisalakan $g \left ( x-2 \right)= f\left ( x+2 \right)=a$ sehingga kita peroleh $g \left ( x-2 \right)=a$ atau $f\left ( x+2 \right)=a$

$\begin{align} g \left ( x-2 \right) &=a \\ g^{-1}\left ( a \right ) &=x-2 \\ g^{-1}\left ( a \right )+2 &=x \\ \hline f\left ( x+2 \right ) &=a \\ f^{-1}\left ( a \right ) &=x+2 \\ f^{-1}\left ( a \right ) &=g^{-1}\left ( a \right )+2+2 \\ f^{-1}\left ( a \right ) &=g^{-1}\left ( a \right )+4 \\ f^{-1}\left ( a \right )-4 &=g^{-1}\left ( a \right ) \\ g^{-1}\left ( a \right ) &=f^{-1}\left ( a \right )-4 \end{align}$

Dari hasil di atas dapat kita simpulkan bahwa $g^{-1}\left ( x \right ) =f^{-1}\left ( x \right )-4$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ f^{-1}\left ( x \right)-4$

2. Soal SBMPTN 2016 Kode 324 |*Soal Lengkap

Jika fungsi $f$ dan fungsi $g$ mempunyai invers dan memenuhi $f\left ( x \right)= g\left ( 4+2x \right)$, maka $f^{-1}\left ( x \right)= \cdots$

$(A)\ g^{-1}\left ( x \right )-4 $
$(B)\ g^{-1}\left ( x \right)-2 $
$(C)\ \dfrac{1}{2}g^{-1}\left ( x \right)-2 $
$(D)\ \dfrac{1}{2}\left (g^{-1}\left ( x \right)-2 \right) $
$(E)\ \dfrac{1}{2}g^{-1}\left ( x \right)-4 $

Alternatif Pembahasan:

Untuk menjawab soal ini kita butuh sedikit kreatifitas dengan memisalkan bahwa $ f \left ( x \right)= g\left ( 4+2x \right)=y$, sehingga kita peroleh $g\left ( 4+2x \right)=y$ dan $f\left ( x \right)=y$.
$\begin{align}
g\left ( 4+2x \right) &=y \\ g^{-1}\left ( y \right ) &=4+2x \\ g^{-1}\left ( y \right )-4 &=2x \\ \dfrac{1}{2} \left (g^{-1}\left ( y \right )-4 \right ) &=x \\ \dfrac{1}{2} g^{-1}\left ( y \right )-2 &=x \\ \hline
f\left ( x \right ) &=y \\ f^{-1}\left ( y \right ) &=x \\ f^{-1}\left ( y \right ) &=\dfrac{1}{2} g^{-1}\left ( y \right )-2 \\ \end{align}$
Dari apa yang kita peroleh di atas dapat kita simpulkan $f^{-1}\left ( x \right )=\dfrac{1}{2} g^{-1}\left ( x \right )-2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{2}g^{-1}\left ( x \right)-2$

3. Soal SBMPTN 2015 Kode 610 |*Soal Lengkap

Jika $f\left ( 2-x \right)= \dfrac{x}{2}+3$, maka $f^{-1}\left ( x \right)= \cdots$

$(A)\ 2x+8 $
$(B)\ 2x-8 $
$(C)\ 8-2x $
$(D)\ \dfrac{x}{2}-4 $
$(E)\ 4-\dfrac{x}{2} $

Alternatif Pembahasan:

Untuk menjawab soal ini bisa kita kerjakan dengan mencari terlebih dahulu $f\left ( x \right)$ lalu kita akan dapat $f^{-1}\left ( x \right)$.
Alternatif lain kita bisa kreatif dengan memakai sifat Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$.
Jika $f\left ( 2-x \right)= \dfrac{x}{2}+3$, maka $f^{-1}\left ( \dfrac{x}{2}+3 \right)= 2-x$
Kita misalkan
$\begin{align}
\dfrac{x}{2}+3 &=a \\ \dfrac{x}{2} &=a-3 \\ x &=2a-6 \\ \hline
f^{-1}\left ( \dfrac{x}{2}+3 \right) &= 2-x \\ f^{-1}\left ( a \right) &= 2-\left ( 2a-6 \right) \\ f^{-1}\left ( a \right) &= 2-2a+6 \\ f^{-1}\left ( a \right) &= 8-2a
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ f^{-1}\left ( x \right )=8-2x$

4. Soal SBMPTN 2014 Kode 673 |*Soal Lengkap

Diketahui $f \left ( x \right)= \dfrac{px+q}{x+2},\ q\neq 0$. Jika $f^{-1}$ menyatakan invers dari $f$ dan $f^{-1} \left ( q \right)=-1$, maka $f^{-1} \left ( 2q \right)= \cdots$

$(A)\ -3 $
$(B)\ -2 $
$(C)\ -\dfrac{3}{2} $
$(D)\ \dfrac{3}{2} $
$(E)\ 3 $

Alternatif Pembahasan:

Untuk menjawab soal ini bisa kita kerjakan dengan mencari terlebih dahulu $f^{-1}\left ( x \right)$ lalu mensubstitusikan $f^{-1}\left ( q \right)=1$ lalu menghitung $f^{-1}\left ( 2q \right)= \cdots$.
Alternatif lain dengan sedikit kreatif memakai sifat Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$.
Jika $f^{-1} \left ( q \right)=-1$, maka $\left (f^{-1} \left ( -1 \right) \right )^{-1}=q$ atau bisa kita tulis $f\left ( -1 \right)=q$

$\begin{align}
f \left ( x \right) &= \dfrac{px+q}{x+2} \\ f \left ( -1 \right) &= \dfrac{-p+q}{-1+2} \\ q &= \dfrac{-p+q}{1} \\ q &= -p+q \\ p &=0 \\ \hline
f \left ( x \right) &= \dfrac{q}{x+2} \\ f^{-1} \left ( \dfrac{q}{x+2} \right) &= x \ \end{align}$
Kita dapat memisalkan $\dfrac{q}{x+2}=2q$ karena kita mau mencari $f^{-1} \left ( 2q \right)$
$\begin{align}
q &=2qx+4q \\ -3q &=2qx \\ x &=\dfrac{-3q}{2q} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ f^{-1}\left ( 2q \right )=-\dfrac{3}{22}$

5. Soal SBMPTN 2013 Kode 427 |*Soal Lengkap

Jika $f\left ( \dfrac{1}{x-1} \right)= \dfrac{x-6}{x+3}$, maka nilai $f^{-1}\left ( 2 \right)$ adalah $\cdots$

$(A)\ -1 $
$(B)\ 0 $
$(C)\ 1 $
$(D)\ 2 $
$(E)\ 3 $

Alternatif Pembahasan:

Untuk menjawab soal ini bisa juga kita kerjakan dengan mencari terlebih dahulu $f\left ( x \right)$ lalu kita akan dapat $f^{-1}\left ( x \right)$ dan $f^{-1}\left ( 2 \right)$.
Alternatif lain kita bisa sedikit berkreasi dengan memakai sifat Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$.
Jika $f\left ( \dfrac{1}{x-1} \right)= \dfrac{x-6}{x+3}$, maka $f^{-1}\left ( \dfrac{x-6}{x+3} \right)= \dfrac{1}{x-1}$
Kita misalkan $\dfrac{x-6}{x+3}=-2$ karena kita mau menghitung $f^{-1}\left ( -2 \right)$
$\begin{align}
x-6 &=-2x-6 \\ -6+6 &=-3x \\ x &=0 \\ \hline
f^{-1}\left ( \dfrac{x-6}{x+3} \right) &= \dfrac{1}{x-1} \\ f^{-1}\left ( -2 \right) &= \dfrac{1}{0-1} \\ f^{-1}\left ( -2 \right) &= \dfrac{1}{-1}=-1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -1$

6. Soal Simulasi UTBK Matematika

Jika $f \left ( \dfrac{\sqrt{x+1}}{x-1} \right)= \dfrac{2x-1}{x+2}$, maka nilai $f^{-1}\left ( 1 \right)=\cdots$

$(A)\ -2 $
$(B)\ -1 $
$(C)\ 0 $
$(D)\ 1 $
$(E)\ 2 $

Alternatif Pembahasan:

Sama seperti dengan soal sebelumnya, kita coba kerjakan sola ini dengan sifat "Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$"
$\begin{align}
f \left ( \dfrac{\sqrt{x+1}}{x-1} \right) &= \dfrac{2x-1}{x+2} \\ f^{-1} \left ( \dfrac{2x-1}{x+2} \right) &= \dfrac{\sqrt{x+1}}{x-1}
\end{align}$
Dari persamaan di atas dapat kita peroleh persamaan $f^{-1} \left ( \dfrac{2x-1}{x+2} \right) = f^{-1}\left ( 1 \right)$
$\begin{align}
f^{-1} \left ( \dfrac{2x-1}{x+2} \right) &= f^{-1}\left ( 1 \right) \\ \hline
\dfrac{2x-1}{x+2} &= 1 \\ 2x-1 &= x+2 \\ 2x-x &= 2+1 \\ x &= 3 \\ \hline
f^{-1} \left ( \dfrac{2x-1}{x+2} \right) &= \dfrac{\sqrt{x+1}}{x-1} \\ f^{-1} \left ( \dfrac{2(3)-1}{(3)+2} \right) &= \dfrac{\sqrt{(3)+1}}{(3)-1} \\ f^{-1} \left ( \dfrac{5}{5} \right) &= \dfrac{\sqrt{4}}{2} \\ f^{-1} \left ( 1 \right) &= \dfrac{\sqrt{4}}{2} \\ &= \dfrac{2}{2}=1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$

Untuk lebih mantap lagi mengerjakan Cara Alternatif Dalam Menyelesaikan Soal Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI), coba ambil beberapa soal latihan yang lain dan jika masih ada kendala maka mari kita diskusikan. Tetap kita ingatkan bahwa cara ini adalah alternatif penyelesaian, jika merasa ada cara yang lain lebih mudah kalian terapkan silahkan skip cara ini.

Silahkan disimak juga Kumpulan Soal Lengkap dan Modul atau Ebook Untuk Menghadapi SBMPTN lihat soal lengkap disini.

Jika tertarik untuk membahas soal Ujian Nasional SMA, silahkan di simak Kumpulan Soal Ujian Nasional [UN] Terbaru Untuk SMA lihat soal lengkap disini.

Catatan tentang Cara Alternatif Dalam Menyelesaikan Soal Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI) di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.