UNBK Matematika IPS 2019 [Simulasi Soal dan Pembahasan]

Peluang sebuah kejadian dirumuskan $P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$
dimana $n(E)$ adalah banyak anggota kejadian yang diharapkan,
$n(S)$ adalah banyak anggota kejadian yang mungkin terjadi.

Pada soal disampaikan bahwa sebuah keranjang berisi $7$ Bola Kuning dan $4$ Bola Hijau, dan enam bola diambil sekaligus secara acak.
Untuk kejadian ini $n(S)$ adalah akan dipilih $6$ dari $11$
$ \begin{align}
n(S) & = C_{6}^{11} \\
& = \frac{11!}{6!(11-6)!} \\
& = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 5!} \\
& = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5!} \\
& = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\
& = 11 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 \\
\end{align} $

Untuk $n(E)$ adalah akan dipilih $4$ dari $7$ dan $2$ dari $4$
$ \begin{align}
n(E) & = C_{4}^{7} \cdot C_{2}^{4} \\
& = \frac{7!}{4!(7-4)!} \cdot \frac{4!}{2!(4-2)!} \\
& = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 3!} \cdot \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2!} \\
& = 7 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3 \\
\end{align} $

$ \begin{align}
P(E) & = \frac{n(E)}{n(S)} \\
& = \frac{7 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3}{11 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7} \\
& = \frac{7 \cdot 5}{11 \cdot 7} \\
& = \frac{35}{77}\ (C)\\
\end{align} $

Dari persamaan kuadrat $2x^{2}-x+4=0$, kita peroleh;
$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}=-\frac{-1}{2}=\frac{1}{2}$
$\alpha \times \beta=\frac{c}{a}=\frac{4}{2}=2$

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $m=\left( \frac{\alpha +1}{\alpha} \right)$ dan $n=\left( \frac{\beta +1}{\beta} \right)$ adalah $x^{2}-(m+n)x+m \times n=0$.
$ \begin{align}
m + n & = \left( \frac{\alpha +1}{\alpha} \right) + \left( \frac{\beta +1}{\beta} \right) \\
& = \frac{\alpha \beta + \beta + \alpha \beta +\alpha}{\alpha \beta} \\
& = \frac{2 \alpha \beta + \alpha + \beta}{\alpha \beta} \\
& = \frac{2 (2)+ \frac{1}{2}}{2} \\
& = \frac{4+ \frac{1}{2}}{2} \\
& = \frac{\frac{9}{2}}{2} = \frac{9}{4} \end{align} $

$ \begin{align}
m \times n & = \left( \frac{\alpha +1}{\alpha} \right) \left( \frac{\beta +1}{\beta} \right) \\
& = \left( \frac{\alpha +1}{\alpha} \right) \left( \frac{\beta +1}{\beta} \right) \\
& = \left( \frac{\alpha \beta +\alpha+\beta+1}{\alpha \beta} \right) \\
& = \left( \frac{2 +\frac{1}{2}+1}{2} \right) \\
& = \left( \frac{\frac{7}{2}}{2} \right) = \left( \frac{7}{4} \right) \end{align} $

Persamaan kuadrat baru adalah,
$ \begin{align}
x^{2}-(m+n)x+m \times n & = 0 \\
x^{2}-\frac{9}{4} x + \frac{7}{4} & = 0\ \text{(dikali 4)} \\
4x^{2}-9x+7 & = 0\ (A)
\end{align} $

$ \begin{align}
& \int_{0}^{1} \left ( 3x-1 \right )\left ( x+2 \right ) dx \\
& = \int_{0}^{1} \left ( 3x^{2}+6x-x-2 \right ) dx \\
& = \int_{0}^{1} \left ( 3x^{2}+5x -2 \right ) dx \\
& = \left [ \frac{3}{2+1}x^{2+1}+\frac{5}{1+1}x^{1+1}-2x \right ]_{0}^{1} \\
& = \left [ x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}-2x \right ]_{0}^{1} \\
& = \left [ (1)^{3}+\frac{5}{2}(1)^{2}-2(1) \right ] - \left [ (0)^{3}+\frac{5}{2}(0)^{2}-2(0) \right ] \\
& = \left [ 1+\frac{5}{2}-2 \right ] - [0] \\
& = \frac{3}{2}\ (C)
\end{align} $

Simak juga sifat-sifat dasar integral lainnya : Basic Integration Formulas [Rumus Dasar Integral]

Sebagai ilustrasi soal diatas, kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dan titik $P,\ Q,\ \text{dan}\ R$ kurang lebih seperti berikut ini;

Pada kurikulum 2013 kompetensi dasar siswa yang diharapkan adalah jarak titik ke titik, garis dan bidang: Matematika Dasar Uji Kompetensi Dimensi Tiga [Buku Kurikulum 2013]

Modus adalah nilai yang paling sering muncul atau frekuensi yang paling besar.
Untuk data tunggal modus suatu data mudah ditemukan, tetapi untuk data berkelompok modus data sedikit lebih rumit.
Modus data berkelompok dirumuskan seperti berikut ini;
$Mo = Tb_{mo} + \left( \frac{d_1}{d_1 + d_2} \right) c$
dimana;
$Tb_{mo}:$Tepi bawah kelas modus, dan Kelas modus adalah kelas dengan frekuensi paling besar.
Dari tabel terlihat bahwa kelas yang memiliki frekuensi tertinggi adalah kelas $55-59$ dengan frekuensi $15$, maka kelas modusnya adalah kelas ke-4 dengan interval $55-59$; $(Tb_{mo} = 55 - 0,5 = 54,5)$;
$d_1:$ Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelum kelas modus; $(d_{1}=15-11=4)$;
$d_2:$ Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudah kelas modus; $(d_{2}=15-7=8)$;
$c:$ Panjang Kelas $(c=59-55=5)$;

$ \begin{align}
Mo & = Tb_{mo} + \left( \frac{d_1}{d_1 + d_2} \right) c \\
& = 54,5 + \left( \frac{4}{4 + 8} \right) \cdot 5 \\
& = 54,5 + \left( \frac{4}{12} \right) \cdot 5 \\
& = 54,5 + \frac{20}{12} \\
& = 54,5 + 1,67 \\
& = 56,17\ (D)
\end{align} $

Jika kita gambarkan ilustrasi gambar segitiga pada soal, dapat kita gambarkan seperti berikut ini;;

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 4}\frac{(x-5)^{2}+2x-9}{x^2+x-20} \\
& = \lim\limits_{x \to 4}\frac{x^{2}-10x+25+2x-9}{x^2+x-20} \\
& = \lim\limits_{x \to 4}\frac{x^{2}-8x+16}{x^2+x-20} \\
& = \lim\limits_{x \to 4}\frac{(x-4)(x-4)}{(x+5)(x-4)} \\
& = \lim\limits_{x \to 4}\frac{(x-4)}{(x+5)} \\
& = \frac{(4-4)}{(4+5)} \\
& = \frac{0}{9}=0\ (B)
\end{align} $

Jika masih tertarik untuk berlatih soal limit yang lain, silahkan disimak: Matematika Dasar: Limit Aljabar dan Trigonometri [Soal SBMPTN dan Pembahasan]

9.Banyak boneka adalah adalah $3$ boneka warna merah, $4$ biru, dan $5$ kuning.
Untuk menyusun boneka dengan syarat boneka kuning harus berdampingan, maka boneka kuning kita anggap "satu".
Banyak boneka yang akan disusun adalah $8$ terdiri dari $3$ boneka warna merah, $4$ biru, dan $'1'$ kuning.
Banyak susunan adalah:
$ \begin{align}
P_{(p,q,r)}^{n} & =\frac{n!}{p!\cdot q! \cdot r!} \\
P_{(4,3,1)}^{8} & =\frac{8!}{4!\cdot 3! \cdot 1!} \\
& =\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\
& =\frac{8 \cdot 7 \cdot 5}{1} \\
& = 280\ (A)
\end{align} $

$C=A+B$
$C=\begin{bmatrix}
3 & 0\\
2 & 0
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
2 & 1\\
3 & 2
\end{bmatrix}$
$C=\begin{bmatrix}
5 & 1\\
5 & 2
\end{bmatrix}$

$C^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}
d & -b\\
-c & a
\end{bmatrix}$
$C^{-1}=\frac{1}{(5)(2)-(5)(1)}\begin{bmatrix}
2 & -1\\
-5 & 5
\end{bmatrix}$
$C^{-1}=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}
2 & -1\\
-5 & 5
\end{bmatrix}$
$C^{-1}= \begin{bmatrix}
\frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\
-1 & 1
\end{bmatrix}$ $(A)$

Jika masih tertarik untuk berlatih soal tentang Matriks, silahkan disimak: Matematika Dasar Simak UI tentang Matriks

Simpangan rata-rata atau deviasi rata-rata adalah ukuran yang menyatakan seberapa besar penyebaran tiap nilai data terhadap nilai meannya (rata-ratanya).
Rumus menghitung simpangan rata-rata data tunggal:
$SR=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \left | x_{i}-\bar{x} \right |$

Keterangan :
$SR:\, $ Simpangan rata-rata
$n:\, $ banyak data (total frekuensi)
$x_{i}:\, $ data ke-$i$ dari data $ x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{n} $
$\bar{x}:\, $ rataan hitung.
$\sum:\, $ notasi sigma yang artinya jumlahan.

$5,6,7,7,8,8,9,10,10,10$
$\begin{align} \bar{x} & = \frac{5+6+2(7)+2(8)+9+3(10)}{10} \\
& = \frac{80}{10} = 8 \end{align} $

Simpangan rata-ratanya :
$ \begin{align}
SR & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \left | x_{i}-\bar{x} \right | \\
& =\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10} \left | x_{i}-\bar{x} \right | \\
& = \frac{1}{10} (|5-8|+|6-8|+2|7-8|+2|8-8|+|9-8|+3|10-8|) \\
& = \frac{1}{10} (|-3|+|-2|+2|-1|+2|0|+|1|+3|2|) \\
& = \frac{1}{10} (3+2+2+0+1+6) \\
& = \frac{1}{10} (14) \\
& = \frac{14}{10}=1,4
\end{align} $

Jadi, simpangan rata-ratanya adalah $1,4\ (A)$

Untuk merubah $^{2}log\ 12$ menjadi ke dalam variabel $^{8}log\ 81=p$, cara normalnya kita coba sederhanakan bentuk yang diketahui.
$ \begin{align}
p & = ^{8}log\ 81 \\
p & = ^{2^{3}}log\ 3^{4} \\
p & = \frac{4}{3} ^{2}log\ 3 \\
\frac{3}{4} p & = ^{2}log\ 3 \end{align} $

$ \begin{align}
^{2}log\ 12 & = ^{2}log\ (3 \times 4) \\
& = ^{2}log\ 3 + ^{2}log\ 4 \\
& = \frac{3}{4} p + 2\ (A) \end{align} $

Jika ingin membahas soal matematika dasar tentang logaritma, silahkan disimak: Matematika Dasar: Logaritma [Soal SBMPTN dan Pembahasan]

Identitas trigonometeri dasar antara lain;
$ \begin{align}
sin^{2} x + cos^{2} x & =1\, \, \text{dibagi}\ cos^{2} x \\
\frac{sin^{2} x}{cos^{2} x} + \frac{cos^{2} x}{cos^{2} x} & =\frac{1}{cos^{2} x} \\
tan^{2} x + 1 & = sec^{2} x \\
tan^{2} x & = sec^{2} x - 1 \end{align} $

$ \begin{align}
& (sec\ x-1)(sec\ x+1) \\
& = sec^{2} x + sec\ x - sec\ x - 1 \\
& = sec^{2} x - 1 \\
& = tan^{2} x\ (B) \end{align} $

Jika ingin membahas soal matematika dasar tentang trigonometri dasar, silahkan disimak: Mengenal Identitas Trigonometri Dasar

$CD=\begin{bmatrix}
1 & -3\\
4 & 2
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
-1 & 2\\
-2 & 1
\end{bmatrix}$

$CD= \begin{bmatrix}
(1)(-1)+(-3)(-2) & (1)(2)+(-3)(1)\\
(4)(-1)+(2)(-2) & (4)(2)+(2)(1)
\end{bmatrix}$

$CD= \begin{bmatrix}
-1+6 & 2-3\\
-4-4 & 8+2
\end{bmatrix}$

$CD= \begin{bmatrix}
5 & -1\\
-8 & 10
\end{bmatrix}$

$2A^{T}-B=2\begin{bmatrix}
1 & 2\\
3 & 4
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
-3 & a\\
b & -2
\end{bmatrix}$

$2A^{T}-B=\begin{bmatrix}
2 & 4\\
6 & 8
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
-3 & a\\
b & -2
\end{bmatrix}$

$2A^{T}-B=\begin{bmatrix}
5 & 4-a\\
6-b & 10
\end{bmatrix}$

$2A^{T}-B=CD$
$\begin{bmatrix}
5 & 4-a\\
6-b & 10
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
5 & -1\\
-8 & 10
\end{bmatrix}$
Dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh $4-a=-1$, $a=5$ dan $6-b=-8$, $b=14$.

Nilai $2a+\frac{1}{2}b$
$ \begin{align}
2a+\frac{1}{2}b & = 2(5)+\frac{1}{2}(14) \\
& = 10+7 \\
& = 17 \,\, (D)
\end{align} $

Jika masih tertarik untuk berlatih soal tentang Matriks, silahkan disimak : Matematika Dasar Simak UI tentang Matriks

Untuk menentukan daerah pertidaksamaan $7x+5y \leq 35$; kita lihat koefisien $y$. Karena koefisien $y$ positif dan tanda $\leq$ maka daerah HP berada di bawah garis.

Trik untuk melihat atau menentukan daerah Himpunan Penyelesaian dapat dengan melihat koefisien $y$.

• Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\leq$ maka daerah Himpunan Penyelesaian berada di bawah garis.
• Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\geq$ maka daerah Himpunan Penyelesaian berada di atas garis.

Nilai $sin\ 150^{\circ}+sin\ 270^{\circ}\ tan\ 315^{\circ}$ adalah $\frac{1}{2}+(-1) (-1)=1\frac{1}{2}$ $(E)$
dimana:
$ \begin{align}
sin\ 150^{\circ} & = sin\ (180-30)^{\circ} \\
& = sin\ 30^{\circ} \\
& = \frac{1}{2} \end{align} $

$ \begin{align}
sin\ 270^{\circ} & = sin\ (180+90)^{\circ} \\
& = - sin\ 90^{\circ} \\
& = -1 \end{align} $

$ \begin{align}
tan\ 315^{\circ} & = tan\ (360-45)^{\circ} \\
& = - tan\ 45^{\circ} \\
& = - 1 \end{align} $

Cara cepat menghapal Nilai Sudut Istimewa Trigonometeri, silahkan disimak: Matematika Kreatif: Cara Kreatif Menghafal Nilai Sudut Istimewa Trigonometri

$ \begin{align}
& \left( \frac{8a^{-2}\ b^{\frac{3}{2}}}{4a^{\frac{3}{2}}\ b^{\frac{-1}{2}}} \right)^{-2} \\
& = \left( 2a^{-2}\ a^{-\frac{3}{2}}\ b^{\frac{3}{2}}\ b^{-\frac{-1}{2}} \right)^{-2} \\
& = \left( 2a^{-\frac{7}{2}}\ b^{\frac{4}{2}} \right)^{-2} \\
& = 2^{-2}\ a^{-\frac{7}{2} (-2)}\ b^{\frac{4}{2} (-2)} \\
& = \frac{1}{4} a^{7}\ b^{-4} \\
& = \frac{a^{7}}{4b^{4}}\ (A)
\end{align} $

Coba soal latihan Matematika Dasar: Eksponen [Soal SBMPTN dan Pembahasan], silahkan : Matematika Dasar: Eksponen [Soal SBMPTN dan Pembahasan]

Sebagai ilustrasi soal diatas, kita gambarkan kubus $PQRS.TUVW$ dengan panjang rusuk $10$, Sudut garis $PV$ dan bidang $PQRS$, kurang lebih seperti berikut ini;

Pada kurikulum 2013 minimal kemampuan siswa yang diharapkan adalah jarak titik ke titik, garis dan bidang, silahkan disimak soal latihan dimensi tiga pada kurikulum 2013: Matematika Dasar Uji Kompetensi Dimensi Tiga [Buku Kurikulum 2013]

Tabel gaji yang disajikan adalah tabel frekuensi komulatif kurang $F_{kk}$ atau jumlah frekuensi yang kurang dari. Jika tabel kita rubah dengan tampilan biasa kurang lebih seperti berikut ini;

$ \begin{align}
(fog)(x) & = f \left( g(x) \right) \\
& = 3g(x)+2 \\
& = 3 \left( x^{2}-x+3 \right) +2 \\
& = 3 x^{2} - 3x + 9 +2 \\
& = 3 x^{2} - 3x + 11\ (A)
\end{align} $

Syarat suatu grafik fungsi akan naik adalah turunan pertama lebih dari nol,
turunan pertama $f(x)$ adalah $f'(x)=6x^{2}-6x -120$
$ \begin{align}
f'(x) & \gt 0 \\
6x^{2}-6x -120 & \gt 0 \\
x^{2}-x -20 & \gt 0 \\
(x-5)(x+4) & \gt 0 \\
\text{diperoleh pembuat nol} \\
x & =5\ \text{atau} \\
x & =-4 \end{align} $

Kesimpulan fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-120x+15$ naik pada interval $(E)\ x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 5$

Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat

Tali dibagi menjadi 5 bagian yang sama mengikuti barisan geometri dan tali terpendek $6\ cm$ dan yang terpanjang $96\ cm$.
Berdasarkan informasi diatas dapat kita simpulkan;
$u_{1}=a=6$ dan $u_{5}=ar^{4}=96$.

$ \begin{align}
u_{5} &= ar^{4} \\
96 & =6 \cdot r^{4} \\
16 & = r^{4} \\
\sqrt[4]{16} & = r \\
2 & = r \\
\text{Panjang Tali}\\
S_{5} & = \frac{a(r^{n}-1)}{r-1} \\
& = \frac{6((2)^{5}-1)}{2-1} \\
& = \frac{6(32-1)}{1} \\
& = 6(31) \\
& = 186 \end{align} $

Jika ingin membahas soal dasar tentang deret geometri, silahkan disimak: Belajar Barisan dan Deret Geometri

Kita misalkan $\frac{1}{p}=m$ dan $\frac{1}{q}=n$, maka sistem persamaan berubah menjadi:
$\begin{cases} 3m+8n=5\ \text{(pers.1)} \\
3m+4n=3\ \text{(pers.2)} \end{cases}$

Dari (pers.1) dan (pers.2) kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
3m + 8n = 5 & \\
3m + 4n = 3 & (-)\\
\hline
4n = 2 & m=\frac{1}{3} \\
n = \frac{1}{2} & m=\frac{1}{3} \\
\frac{1}{q} = \frac{1}{2} & \frac{1}{p}=\frac{1}{3} \\
q = 2 & p=3
\end{array} $

$ \begin{align}
2p+3q & = 2(3) +3(2) \\
& = 6 + 6 \\
& = 12\ (A)
\end{align} $

Bilangan yang akan kita susun adalah bilangan tiga angka kurang dari $400$ dan tidak ada angka berulang.

$\begin{array}{c|c|cc}
ratusan & puluhan & satuan \\
(3,2,1) & (4,3,2,1,0) & (4,3,2,1,0) \\
\hline
3 & 4 & 3 \end{array} $
Banyak bilangan adalah $3 \times 4 \times 3=36$ bilangan.

$ \begin{align}
& \int_{-1}^{1} \left ( 4x^{2}-12x+9 \right )\ dx \\
& = \left [\frac{4}{3}x^{3}-\frac{12}{2}x^{2}+9x \right ]_{-1}^{1} \\
& = \left [\frac{4}{3}x^{3}-6x^{2}+9x \right ]_{-1}^{1} \\
& = \left [\frac{4}{3}(1)^{3}-6(1)^{2}+9(1) \right ]-\left [\frac{4}{3}(-1)^{3}-6(-1)^{2}+9(-1) \right ] \\
& = \left [\frac{4}{3}-6+9 \right ]-\left [-\frac{4}{3} -6-9 \right ] \\
& = \frac{4}{3}+3 +\frac{4}{3}+15 \\
& = \frac{8}{3}+18 \\
& = 20\frac{2}{3}\ (C) \end{align} $

Simak juga sifat-sifat dasar integral lainnya : Basic Integration Formulas [Rumus Dasar Integral]

Banyak pengurus yang mungkin terjadi ada dua kemungkinan,
Kemungkinan pertama jika boleh jabatan rangkap;
$\begin{array}{c|c|cc}
Ketua & Sekretaris & Bendahara \\
\hline
10 & 10 & 10 \end{array} $
Banyak susunan pengurus adalah $10 \times 10 \times 10=1.000$ susunan.

Kemungkinan kedua jika tidak boleh jabatan rangkap;
$\begin{array}{c|c|cc}
Ketua & Sekretaris & Bendahara \\
\hline
10 & 9 & 8 \end{array} $
Banyak susunan pengurus adalah $10 \times 9 \times 8=720$ susunan.

Jawaban yang sesuia adalah $720$ $(D)$

Dari persamaan kuadrat $mx^{2}-4x+1=0$, kita peroleh;
$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{m}=\frac{4}{m}$
$x_{1}\times x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{1}{m}$

Salah satu akarnya tiga kali akar yang lain maka; $x_{1} =3x_{2}$
$ \begin{align}
x_{1}+x_{2} & = 3x_{2}+x_{2} \\
\frac{4}{m} & = 4x_{2} \\
\frac{1}{m} & = x_{2}
\end{align} $
$ \begin{align}
x_{1} \times x_{2} & = 3x_{2} \times x_{2} \\
\frac{1}{m} & = 3 x_{2}^{2} \\
\frac{1}{m} & = 3 \left( \frac{1}{m} \right)^{2} \\
\frac{1}{m} & = \frac{3}{m^{2}} \\
m^{2} & = 3 m \\
m^{2}-3m & = 0 \\
m (m-3) & = 0 \\
m & = 0\ (TM) \\
m & = 3
\end{align} $
Nilai $m$ yang memenuhi adalah $m=3$ $(C)$

Kubus $PQRS.TUVW$ dengan panjang rusuk $6$, Jarak titik $W$ ke titik tengah garis $PR$

Coba latih lagi jarak titik ke titik, garis dan bidang, Soal latihan dimensi tiga pada kurikulum 2013: Matematika Dasar Uji Kompetensi Dimensi Tiga [Buku Kurikulum 2013]

Peluang sebuah kejadian dirumuskan $P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$
dimana $n(E)$ adalah banyak anggota kejadian yang diharapkan,
$n(S)$ adalah banyak anggota kejadian yang mungkin terjadi.

Pada soal disampaikan bahwa sebuah kotak $5$ bola merah, $7$ bola putih, dan $4$ bola hijau, dan dua bola diambil sekaligus secara acak.
Untuk kejadian ini $n(S)$ adalah akan dipilih $2$ dari $16$
$ \begin{align}
n(S) & = C_{2}^{16} \\
& = \frac{16!}{2!(16-2)!} \\
& = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14!}{2! \cdot 14!} \\
& = \frac{16 \cdot 15}{2} \\
& = 8 \cdot 15 \\
& = 120 \end{align} $

Untuk $n(E)$ adalah akan dipilih $2$ hijau dari $4$ hijau.
$ \begin{align}
n(E) & = C_{2}^{4} \\
& = \frac{4!}{2!(4-2)!} \\
& =\frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2!} \\
& = 2 \cdot 3 \\
& = 6 \end{align} $

$ \begin{align}
P(E) & = \frac{n(E)}{n(S)} \\
& = \frac{6}{120} \\
& = \frac{1}{20} \\
\end{align} $

Frekuensi harapan;
$ \begin{align}
f_{h} & = n \times P(E) \\
& = 600 \times \frac{1}{20} \\
& = \frac{600}{20} \\
& = 30 \end{align} $

frekuensi harapan terambil bola kedua-duanya hijau adalah $30$ kali $(A)$

Untuk persamaan kurva yang memotong sumbu $X$ di $(1,0)$, $(4,0)$ dan melalui sebuah titik lain $(0,-4)$.
Jika diketahui Titik Potong terhadap sumbu $X$ yaitu $(x_{1},0)$ dan $(x_{2},0)$ dan sebuah titik sembarang $(x,y)$ maka Fungsi Kuadrat $y$ adalah:
$ \begin{align}
y & = a\left (x -x_{1}\right)\left (x -x_{2}\right) \\
-4 & = a\left (0 -1\right)\left (0 -4\right) \\
-4 & = a \left (-1 \right)\left (-4 \right) \\
-4 & = 4a \\
a & = \frac{-4}{4}=-1 \\
y & = a\left (x -x_{1}\right)\left (x -x_{2}\right) \\
y & = (-1)\left (x -1\right)\left (x -4\right) \\
y & = (-1)\left (x^{2} -4x-x+4 \right) \\
y & = -x^{2} +5x-4 \,\, (E) \end{align} $

Jika masih mau membahas lebih banyak tentang fungsi kuadrat: Matematika Dasar: Fungsi Kuadrat [Soal SBMPTN dan Pembahasan]

Modal yang ditanyakan adalah modal setelah $2$ catur wulan atau modal setelah $6$ bulan atau modal setelah setengah tahun.

Bunga setelah setengah tahun adalah;
$ \begin{align}
& \frac{18 \%}{2} \cdot 8.000.000,00 \\
& = 9 \% \cdot 8.000.000,00 \\
& = 720.000 \end{align} $

Modal setelah $2$ caturwulan adalah $8.000.000,00+720.000,00$ yaitu $8.720.000,00\ (B)$

Daerah asal fungsi maksudnya adalah batasan nilai $x$ agar fungsi mempunyai nilai Real.

Fungsi pada soal terdiri atas dua fungsi yaitu, fungsi pecahan dan fungsi bentuk akar.

Untuk fungsi pecahan agar mempunyai nilai Real syaratnya adalah penyebut tidak sama dengan nol.
$ \begin{align}
2x-20 & \neq 0 \\
2x & \neq 20 \\
x & \neq 0 \end{align} $

Untuk fungsi bentuk akar, agar mempunyai nilai Real syaratnya adalah yang didalam akar harus lebih dari atau sama dengan nol.
$ \begin{align}
3x-18 & \geq 0 \\
3x & \geq 18 \\
x & \geq \frac{18}{3} \\
x & \geq 6 \end{align} $

Batasan nilai $x$ yang memenuhi pada pilihan adalah $\left \{x | x \geq 6,\ x\neq 10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$ $(A)$

Invers fungsi $f(x)$;
$f (x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ maka $f^{-1}\left ( x \right )=\frac{-dx+b}{cx-a}$
$ \begin{align}
f(x) & =\frac{2-3x}{6x-5} \\
y & =\frac{2-3x}{6x-5} \\
y(6x-5) & = 2-3x \\
6xy-5y & = 2-3x \\
6xy+3x & = 2+5y \\
x(6y+3) & = 2+5y \\
x & = \frac{2+5y}{6y+3} \\
f^{-1}(x) & = \frac{2+5x}{6x+3}
\end{align} $

Fungsi invers $f(x)$ adalah $f^{-1}(x)=\frac{5x+2}{6x+3},\ x \neq -\frac{1}{2}$ $(D)$

Silahkan bahas lebih banyak tentang fungsi invers: Cara Nakal Mengerjakan Soal Matematika Tentang FKFI

Dari harga yang disampaikan pada soal diatas, baju atasan $Rp60.000,00$ per potong dan rok $Rp30.000,00$ per potong. Sehingga uang yang akan dibelanjakan tergantung banyak baju atasan $(x)$ atau banyak rok $(y)$.

Berdasarkan banyak uang yang tersedia atau modal maka yang bisa dibelanjakan kurang dari atau sama dengan $Rp18.000.000,00$,
$Rp60.000,00\ x + Rp30.000,00\ y \leq Rp18.000.000,00$
$ 60 \ x + 30 \ y \leq 18.000 $
$ 2x + y \leq 600 $

Jumlah baju atasan $(x)$ dan rok $(y)$ yang dibeli paling banyak $40$ potong, maka bisa kita tulis: $x+y \leq 40$

Jumlah baju atasan $(x)$ paling sedikit nol: $x \geq 0$
Jumlah rok $(y)$ paling sedikit nol: $y \geq 0$

Sistem pertidaksamaan yang memenuhi adalah $x+y \leq 40;\ 2x+y \leq 600;\ x \geq 0;\ y \geq 0$ $(B)$

Informasi yang diberikan pada soal jika kita ilustrasikan gambarnya kurang lebih seperti berikut ini;

Jika masih tertarik untuk berlatih soal aplikasi turunan, silahkan disimak : Aplikasi Turunan Fungsi [Soal dan Pembahasan]

Jika kita misalkan $\text{duku}=d$ dan $\text{manggis}=m$, maka persamaan yang dibelanjakan kakak dan adik dapt kita tuliskan sebagai berikut;
kakak: $2d\ + 1m\ = 12.000$
adik: $3d\ + 2m\ = 19.000$
ibu: $4d\ + 5m\ = \cdots $

Dari belanja kakak dan adik kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
2d + 1m = 12.000 & \times 2 \\
3d + 2m = 19.000 & \times 1 \\
\hline
4d + 2m = 24.000 & \\
3d + 2m = 19.000 & (-) \\
\hline
d = 5.000 & \\
2d+m=12.000 & m=2.000 \\
2(5.000)+m=12.000 & m=2.000
\end{array} $

Belanja ibu:
$ \begin{align}
4d\ + 5m\ & = 4(5.000) + 5(2.000) \\
& = 20.000+10.000 \\
& = 30.000 \end{align} $

Percepatan $(a)$ benda adalah turunan pertama dari kecepatan $(v)$ atau $a(t)=v'(t)$
$ \begin{align}
v(t) & = 4t^{3}+12t^{2}-4t \\
v'(t) & = 12t^{2}+24t -4 \\
a(t) & = v'(t) \\
& = 12t^{2}+24t -4 \\
\text{saat}\ t & = 1 \\
a & = 12(1)^{2}+24(1) -4 \\
& = 12+24-4 \\
& = 32
\end{align} $

Kesimpulan: percepatan benda pada saat $t=1$ adalah $32$ dalam satuan percepatan.

Jika masih tertarik untuk berlatih soal aplikasi turunan, silahkan disimak : Aplikasi Turunan Fungsi [Soal dan Pembahasan]

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 4} \frac{\sqrt{x}+1}{x-1} \\
& = \frac{\sqrt{4}+1}{4-1} \\
& = \frac{2+1}{3} \\
& = \frac{3}{3} \\
& = 1\ (A)
\end{align} $

Kuartil adalah suatu nilai pembatas yang membagi data menjadi empat bagian yang sama besar setelah diurutkan dari yang terkecil ke terbesar.
Kuartil terdiri dari tiga jenis yaitu kuartil pertama $(Q_{1})$ yang disebut juga kuartil bawah, Kuartil kedua $(Q_{2})$ yang disebut juga median atau nilai tengah, dan Kuartil ketiga $(Q_{3})$ yang disebut juga kuartil atas.

Data pada tabel dapat kita hitung yaitu total frekuensi adalah $n=40$.
Untuk meneNtukan letak $Q_{1}$ ada pada data ke- $\left[\frac{1}{4}(n+1) \right]$
$Q_{1}$ terletak pada data ke- $\left[\frac{1}{4}(40+1) \right]=10,25$

$Q_{1}$ pada data ke-$10,25$ artinya $Q_{3}$ berada pada kelas interval $71-80$
Tepi bawah kelas $Q_{1}$: $71-80$
$t_{b}= 71 - 0,5 = 70,5 $
Frekuensi kumulatif sebelum kelas $Q_{1}$,
$f_{k}= 4+5=9$
Frekuensi kelas $Q_{1}$, $f_{Q_{1}}=20$
Panjang kelas $c=80,5-70,5=10$

$ \begin{align}
Q_{1} & = t_{b} + \left( \frac{\frac{1}{4}n - f_{k}}{f_{Q_{1}}} \right)c \\
& = 70,5 + \left( \frac{\frac{1}{4} \cdot 40 - 9}{20} \right)10 \\
& = 70,5 + \left( \frac{10 - 9}{20} \right)10 \\
& = 70,5 + \left( \frac{1}{20} \right)10 \\
& = 70,5 + \frac{1}{2} \\
& = 71\ (C)
\end{align} $

Turunan petama dari $h(x)= \left[ f(x) \right]^{n}$ adalah $h'(x)= n \cdot \left[ f(x) \right]^{n-1} \cdot f'(x)$.
$h(x)=(-x+1)^{3} $

$ \begin{align}
h(x) & = (-x+1)^{3} \\
h'(x) & = 3(-x+1)^{3-1} (-1) \\
& = -3(-x+1)^{2}\\
& = -3(x^{2}-2x+1)\\
& = -3x^{2}+6x-3 \,\, (A)
\end{align} $

Dari nilai $cos\ P=\frac{3}{4}$ dan ilustrasi segitiga siku-siku dibawah ini;