Ujian Nasional tahun 2019 pelaksanaannya tidak akan jauh berbeda dengan tahun 2018 yaitu berbasis komputer. Setelah terbukti UNBK (Ujian Nasional Berbasis Komputer) mampu menekan angka kecurangan UN dengan sangat baik maka untuk seterusnya kemungkinan UNBK ini tidak akan dirubah. Untuk anak IPS masalah UNBK dominan ada pada pelajaran matematika, karena berdasarkan situasi di lapangan secara umum anak-anak yang memilih jurusan IPS adalah untuk menghindari hitung-hitungan yang rumit. Tetapi karena matematika adalah mata pelajaran wajib, sehingga untuk anak IPS juga harus bertemu dengan matematika.
Salah satu cara untuk mengurangi rasa takut dalam menghadapi ujian-ujian dan terkhusus untuk mengurangi ketakutan anak-anak IPS dalam menghadapi UNBK Matematika. Mari kita coba diskusi soal-soal Ujian Nasional yang telah dilaksanakan sebelumnya.
Berikut kita coba latihan soal Simulasi UNBK Matematika IPS, mari berlatih dan berdiskusi;
1. Sebuah keranjang berisi $7$ bola kuning dan $4$ bola hijau, Enam bola diambil sekaligus secara acak.
Peluang terambil $4$ bola kuning dan $2$ bola hijau adalah...
$(A)\ \frac{28}{77}$
$(B)\ \frac{30}{77}$
$(C)\ \frac{35}{77}$
$(D)\ \frac{39}{77}$
$(E)\ \frac{42}{77}$
Peluang sebuah kejadian dirumuskan $P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$
dimana $n(E)$ adalah banyak anggota kejadian yang diharapkan,
$n(S)$ adalah banyak anggota kejadian yang mungkin terjadi.
Pada soal disampaikan bahwa sebuah keranjang berisi $7$ Bola Kuning dan $4$ Bola Hijau, dan enam bola diambil sekaligus secara acak.
Untuk kejadian ini $n(S)$ adalah akan dipilih $6$ dari $11$
$ \begin{align}
n(S) & = C_{6}^{11} \\
& = \frac{11!}{6!(11-6)!} \\
& = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 5!} \\
& = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5!} \\
& = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\
& = 11 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7
\end{align} $
Untuk $n(E)$ adalah akan dipilih $4$ dari $7$ dan $2$ dari $4$
$ \begin{align}
n(E) & = C_{4}^{7} \cdot C_{2}^{4} \\
& = \frac{7!}{4!(7-4)!} \cdot \frac{4!}{2!(4-2)!} \\
& = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 3!} \cdot \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2!} \\
& = 7 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3
\end{align} $
$ \begin{align}
P(E) & = \frac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{7 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3}{11 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7} \\
& = \dfrac{7 \cdot 5}{11 \cdot 7} \\
& = \dfrac{35}{77}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ \dfrac{35}{77}$
2. Jika $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $2x^{2}-x+4=0$, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\left( \frac{\alpha +1}{\alpha} \right)$ dan $\left( \frac{\beta +1}{\beta} \right)$ adalah...
$(A)\ 4x^{2}-9x+7=0$
$(B)\ 4x^{2}-5x+7=0$
$(C)\ 4x^{2}+9x+7=0$
$(D)\ 4x^{2}-20x+7=0$
$(E)\ 4x^{2}+20x+7=0$
Dari persamaan kuadrat $2x^{2}-x+4=0$, kita peroleh;
$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}=-\frac{-1}{2}=\frac{1}{2}$
$\alpha \times \beta=\frac{c}{a}=\frac{4}{2}=2$
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $m=\left( \frac{\alpha +1}{\alpha} \right)$ dan $n=\left( \frac{\beta +1}{\beta} \right)$ adalah $x^{2}-(m+n)x+m \times n=0$.
$ \begin{align}
m + n & = \left( \frac{\alpha +1}{\alpha} \right) + \left( \frac{\beta +1}{\beta} \right) \\
& = \frac{\alpha \beta + \beta + \alpha \beta +\alpha}{\alpha \beta} \\
& = \frac{2 \alpha \beta + \alpha + \beta}{\alpha \beta} \\
& = \frac{2 (2)+ \frac{1}{2}}{2} \\
& = \frac{4+ \frac{1}{2}}{2} \\
& = \frac{\frac{9}{2}}{2} = \frac{9}{4} \end{align} $
$ \begin{align}
m \times n & = \left( \frac{\alpha +1}{\alpha} \right) \left( \frac{\beta +1}{\beta} \right) \\
& = \left( \frac{\alpha +1}{\alpha} \right) \left( \frac{\beta +1}{\beta} \right) \\
& = \left( \frac{\alpha \beta +\alpha+\beta+1}{\alpha \beta} \right) \\
& = \left( \frac{2 +\frac{1}{2}+1}{2} \right) \\
& = \left( \frac{\frac{7}{2}}{2} \right) = \left( \frac{7}{4} \right) \end{align} $
Persamaan kuadrat baru adalah,
$ \begin{align}
x^{2}-(m+n)x+m \times n & = 0 \\
x^{2}-\frac{9}{4} x + \frac{7}{4} & = 0\ \text{(dikali 4)} \\
4x^{2}-9x+7 & = 0
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 0$
3.$ \int_{0}^{1} \left ( 3x-1 \right )\left ( x+2 \right ) dx=\cdots$
$(A)\ -\frac{1}{2}$
$(B)\ \frac{1}{2}$
$(C)\ \frac{3}{2}$
$(D)\ 4$
$(E)\ 6$
$ \begin{align}
& \int_{0}^{1} \left ( 3x-1 \right )\left ( x+2 \right ) dx \\
& = \int_{0}^{1} \left ( 3x^{2}+6x-x-2 \right ) dx \\
& = \int_{0}^{1} \left ( 3x^{2}+5x -2 \right ) dx \\
& = \left [ \frac{3}{2+1}x^{2+1}+\frac{5}{1+1}x^{1+1}-2x \right ]_{0}^{1} \\
& = \left [ x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}-2x \right ]_{0}^{1} \\
& = \left [ (1)^{3}+\frac{5}{2}(1)^{2}-2(1) \right ] - \left [ (0)^{3}+\frac{5}{2}(0)^{2}-2(0) \right ] \\
& = \left [ 1+\frac{5}{2}-2 \right ] - [0] \\
& = \frac{3}{2}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ \dfrac{3}{2}$
Simak juga sifat-sifat dasar integral lainnya : Basic Integration Formulas [Rumus Dasar Integral]
4. Berikut ini adalah pernyataan-pernyataan tentang kubus $ABCD.EFGH$ dengan $P,\ Q,\ \text{dan}\ R$ berturut-turut titik-titik tengah rusuk $AB,\ DC,\ \text{dan}\ HG$.
(1) Ruas garis $PH$ dan $QE$ berpotongan.
(2) Ruas garis $RC$ dan $PC$ tidak tagak lurus.
(3) Ruas garis $ER$ dan $PC$ tidak sejajar.
(4) Segitiga $PCR$ samasisi.
Pernyataan-pernyataan yang benar adalah...
$(A)\ (1)\ \text{dan}\ (2)$
$(B)\ (1)\ \text{dan}\ (3)$
$(C)\ (2)\ \text{dan}\ (3)$
$(D)\ (2)\ \text{dan}\ (4)$
$(E)\ (3)\ \text{dan}\ (4)$
Sebagai ilustrasi soal diatas, kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dan titik $P,\ Q,\ \text{dan}\ R$ kurang lebih seperti berikut ini;
(1) Ruas garis $PH$ dan $QE$ berpotongan: Benar.
(2) Ruas garis $RC$ dan $PC$ tidak tagak lurus: Benar.
(3) Ruas garis $ER$ dan $PC$ tidak sejajar: Salah.
(4) Segitiga $PCR$ samasisi: Salah.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ (1)\ \text{dan}\ (2)$
Pada kurikulum 2013 kompetensi dasar siswa yang diharapkan adalah jarak titik ke titik, garis dan bidang: Matematika Dasar Uji Kompetensi Dimensi Tiga [Buku Kurikulum 2013]
5. Perhatikan tabel berikut!
Modus dari tabel tersebut adalah...
Nilai Frekuensi 40-44 3 45-49 4 50-54 11 55-59 15 60-64 7
$(A)\ 51,12$
$(B)\ 55,17$
$(C)\ 55,72$
$(D)\ 56,17$
$(E)\ 56,67$
Modus adalah nilai yang paling sering muncul atau frekuensi yang paling besar.
Untuk data tunggal modus suatu data mudah ditemukan, tetapi untuk data berkelompok modus data sedikit lebih rumit.
Modus data berkelompok dirumuskan seperti berikut ini;
$Mo = Tb_{mo} + \left( \frac{d_1}{d_1 + d_2} \right) c$
dimana;
$Tb_{mo}:$Tepi bawah kelas modus, dan Kelas modus adalah kelas dengan frekuensi paling besar.
Dari tabel terlihat bahwa kelas yang memiliki frekuensi tertinggi adalah kelas $55-59$ dengan frekuensi $15$, maka kelas modusnya adalah kelas ke-4 dengan interval $55-59$; $(Tb_{mo} = 55 - 0,5 = 54,5)$;
$d_1:$ Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelum kelas modus; $(d_{1}=15-11=4)$;
$d_2:$ Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudah kelas modus; $(d_{2}=15-7=8)$;
$c:$ Panjang Kelas $(c=59-55=5)$;
$ \begin{align}
Mo & = Tb_{mo} + \left( \frac{d_1}{d_1 + d_2} \right) c \\
& = 54,5 + \left( \frac{4}{4 + 8} \right) \cdot 5 \\
& = 54,5 + \left( \frac{4}{12} \right) \cdot 5 \\
& = 54,5 + \frac{20}{12} \\
& = 54,5 + 1,67 \\
& = 56,17
\end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ 56,17$
6. Diketahui segitiga $KLM$ siku-siku di $L$. Jika $LM=6\ cm$ dan $KM=2\sqrt{13}\ cm$, nilai $cos\ K$ adalah...
$(A)\ \frac{1}{3}\sqrt{13} $
$(B)\ \frac{1}{2}\sqrt{13} $
$(C)\ \frac{3}{13} $
$(D)\ \frac{2}{13}\sqrt{13}$
$(E)\ \frac{1}{3}\sqrt{13}$
Jika kita gambarkan ilustrasi gambar segitiga pada soal, dapat kita gambarkan seperti berikut ini;
$KM^{2} = KL^{2}+LM^{2}$
$(2\sqrt{13})^{2} = KL^{2}+6^{2}$
$52 = KL^{2}+36$
$KL^{2}=52-36=16$
$KL=4$
$cos\ K= \frac{4}{2\sqrt{13}}$
$cos\ K= \frac{2}{\sqrt{13}}$
$cos\ K= \frac{2}{13}\sqrt{13}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ \frac{2}{13}\sqrt{13}$
7. $\lim\limits_{x \to 4}\frac{(x-5)^{2}+2x-9}{x^2+x-20} $ adalah...
$(A)\ \infty $
$(B)\ 0 $
$(C)\ 1 $
$(D)\ 16$
$(E)\ 20$
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 4}\frac{(x-5)^{2}+2x-9}{x^2+x-20} \\
& = \lim\limits_{x \to 4}\frac{x^{2}-10x+25+2x-9}{x^2+x-20} \\
& = \lim\limits_{x \to 4}\frac{x^{2}-8x+16}{x^2+x-20} \\
& = \lim\limits_{x \to 4}\frac{(x-4)(x-4)}{(x+5)(x-4)} \\
& = \lim\limits_{x \to 4}\frac{(x-4)}{(x+5)} \\
& = \frac{(4-4)}{(4+5)} \\
& = \frac{0}{9}=0
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 0$
Jika masih tertarik untuk berlatih soal limit yang lain, silahkan disimak: Matematika Dasar: Limit Aljabar dan Trigonometri [Soal SBMPTN dan Pembahasan]
8. Seorang pedagang boneka gemar menata barang dagangannya sehingga nampak tersusun rapi, variatif, dan menarik pembeli. Dalam satu etalse, barang dengan tipe sama yang diperdagangkan adalah $3$ boneka warna merah, $4$ biru, dan $5$ kuning. Jika pedagang itu menata boneka-boneka tersebut dengan boneka kuning harus berdampingan, banyak cara menata ke-12 boneka adalah...
$(A)\ 280\ \text{cara}$
$(B)\ 560\ \text{cara}$
$(C)\ 720\ \text{cara}$
$(D)\ 2.720\ \text{cara}$
$(E)\ 5.440\ \text{cara}$
9.Banyak boneka adalah adalah $3$ boneka warna merah, $4$ biru, dan $5$ kuning.
Untuk menyusun boneka dengan syarat boneka kuning harus berdampingan, maka boneka kuning kita anggap "satu".
Banyak boneka yang akan disusun adalah $8$ terdiri dari $3$ boneka warna merah, $4$ biru, dan $'1'$ kuning.
Banyak susunan adalah:
$ \begin{align}
P_{(p,q,r)}^{n} & =\frac{n!}{p!\cdot q! \cdot r!} \\
P_{(4,3,1)}^{8} & =\frac{8!}{4!\cdot 3! \cdot 1!} \\
& =\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\
& =\frac{8 \cdot 7 \cdot 5}{1} \\
& = 280\ (A)
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 280$
9. Diketahui matriks $A=\begin{bmatrix}
3 & 0\\
2 & 0
\end{bmatrix}$; $B=\begin{bmatrix}
2 & 1\\
3 & 2
\end{bmatrix}$; dan $A+B=C$. Invers matriks $C$ adalah...
$(A)\ \begin{bmatrix}
\frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\
-1 & 1
\end{bmatrix}$
$(B)\ \begin{bmatrix}
1 & -\frac{1}{5} \\
-1 & \frac{2}{5}
\end{bmatrix}$
$(C)\ \begin{bmatrix}
1 & \frac{1}{5} \\
-1 & \frac{2}{5}
\end{bmatrix}$
$(D)\ \begin{bmatrix}
\frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\
1 & \frac{2}{5}
\end{bmatrix}$
$(E)\ \begin{bmatrix}
\frac{2}{5} & -1 \\
\frac{1}{5} & 1
\end{bmatrix}$
$C=A+B$
$C=\begin{bmatrix}
3 & 0\\
2 & 0
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
2 & 1\\
3 & 2
\end{bmatrix}$
$C=\begin{bmatrix}
5 & 1\\
5 & 2
\end{bmatrix}$
$C^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}
d & -b\\
-c & a
\end{bmatrix}$
$C^{-1}=\frac{1}{(5)(2)-(5)(1)}\begin{bmatrix}
2 & -1\\
-5 & 5
\end{bmatrix}$
$C^{-1}=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}
2 & -1\\
-5 & 5
\end{bmatrix}$
$C^{-1}= \begin{bmatrix}
\frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\
-1 & 1
\end{bmatrix}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \begin{bmatrix}
\frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\
-1 & 1
\end{bmatrix}$
Jika masih tertarik untuk berlatih soal tentang Matriks, silahkan disimak: Matematika Dasar Simak UI tentang Matriks
10. Simpangan rata-rata dari data $8,7,10,10,8,7,5,10,9,6$ adalah...
$(A)\ 1,4$
$(B)\ 1,6$
$(C)\ 2,8$
$(D)\ 8$
$(E)\ 14$
Simpangan rata-rata atau deviasi rata-rata adalah ukuran yang menyatakan seberapa besar penyebaran tiap nilai data terhadap nilai meannya (rata-ratanya).
Rumus menghitung simpangan rata-rata data tunggal:
$SR=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \left | x_{i}-\bar{x} \right |$
Keterangan :
$SR:\, $ Simpangan rata-rata
$n:\, $ banyak data (total frekuensi)
$x_{i}:\, $ data ke-$i$ dari data $ x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{n} $
$\bar{x}:\, $ rataan hitung.
$\sum:\, $ notasi sigma yang artinya jumlahan.
$5,6,7,7,8,8,9,10,10,10$
$\begin{align} \bar{x} & = \frac{5+6+2(7)+2(8)+9+3(10)}{10} \\
& = \frac{80}{10} = 8 \end{align} $
Simpangan rata-ratanya :
$ \begin{align}
SR & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \left | x_{i}-\bar{x} \right | \\
& =\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10} \left | x_{i}-\bar{x} \right | \\
& = \frac{1}{10} (|5-8|+|6-8|+2|7-8|+2|8-8|+|9-8|+3|10-8|) \\
& = \frac{1}{10} (|-3|+|-2|+2|-1|+2|0|+|1|+3|2|) \\
& = \frac{1}{10} (3+2+2+0+1+6) \\
& = \frac{1}{10} (14) \\
& = \frac{14}{10}=1,4
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1,4$
11. Jika $^{8}log\ 81=p$ maka nilai dari $^{2}log\ 12=\cdots$
$(A)\ \frac{3}{4}p+2$
$(B)\ \frac{3}{4p}-2$
$(C)\ \frac{4}{3}p+2$
$(D)\ \frac{3}{4p}p+2$
$(E)\ \frac{4}{3p}+2$
Untuk merubah $^{2}log\ 12$ menjadi ke dalam variabel $^{8}log\ 81=p$, cara normalnya kita coba sederhanakan bentuk yang diketahui.
$ \begin{align}
p & = ^{8}log\ 81 \\
p & = ^{2^{3}}log\ 3^{4} \\
p & = \frac{4}{3} ^{2}log\ 3 \\
\frac{3}{4} p & = ^{2}log\ 3 \end{align} $
$ \begin{align}
^{2}log\ 12 & = ^{2}log\ (3 \times 4) \\
& = ^{2}log\ 3 + ^{2}log\ 4 \\
& = \frac{3}{4} p + 2
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{3}{4} p + 2$
Jika ingin membahas soal matematika dasar tentang logaritma, silahkan disimak: Matematika Dasar: Logaritma [Soal SBMPTN dan Pembahasan]
12. Bentuk yang senilai dengan $(sec\ x-1)(sec\ x+1)$ adalah...
$(A)\ cos^{2} x$
$(B)\ tan^{2} x$
$(C)\ cosec^{2} x$
$(D)\ cot^{2} x$
$(E)\ sin^{2} x$
Identitas trigonometeri dasar antara lain;
$ \begin{align}
sin^{2} x + cos^{2} x & =1\, \, \text{dibagi}\ cos^{2} x \\
\frac{sin^{2} x}{cos^{2} x} + \frac{cos^{2} x}{cos^{2} x} & =\frac{1}{cos^{2} x} \\
tan^{2} x + 1 & = sec^{2} x \\
tan^{2} x & = sec^{2} x - 1 \end{align} $
$ \begin{align}
& (sec\ x-1)(sec\ x+1) \\
& = sec^{2} x + sec\ x - sec\ x - 1 \\
& = sec^{2} x - 1 \\
& = tan^{2} x
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ tan^{2} x$
Jika ingin membahas soal matematika dasar tentang trigonometri dasar, silahkan disimak: Mengenal Identitas Trigonometri Dasar
13. Diketahui matriks $A=\begin{bmatrix}
1 & 3\\
2 & 4
\end{bmatrix}$; $B=\begin{bmatrix}
-3 & a\\
b & -2
\end{bmatrix}$; $C=\begin{bmatrix}
1 & -3\\
4 & 2
\end{bmatrix}$; dan $D=\begin{bmatrix}
-1 & 2\\
-2 & 1
\end{bmatrix}$.
Jika $A^{T}$ adalah transpose matriks $A$, nilai $2a+\frac{1}{2}b$ yang memenuhi persamaan $2A^{T}-B=CD$ adalah...
$(A)\ 3$
$(B)\ 7$
$(C)\ 12$
$(D)\ 17$
$(E)\ 31$
$CD=\begin{bmatrix}
1 & -3\\
4 & 2
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
-1 & 2\\
-2 & 1
\end{bmatrix}$
$CD= \begin{bmatrix}
(1)(-1)+(-3)(-2) & (1)(2)+(-3)(1)\\
(4)(-1)+(2)(-2) & (4)(2)+(2)(1)
\end{bmatrix}$
$CD= \begin{bmatrix}
-1+6 & 2-3\\
-4-4 & 8+2
\end{bmatrix}$
$CD= \begin{bmatrix}
5 & -1\\
-8 & 10
\end{bmatrix}$
$2A^{T}-B=2\begin{bmatrix}
1 & 2\\
3 & 4
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
-3 & a\\
b & -2
\end{bmatrix}$
$2A^{T}-B=\begin{bmatrix}
2 & 4\\
6 & 8
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
-3 & a\\
b & -2
\end{bmatrix}$
$2A^{T}-B=\begin{bmatrix}
5 & 4-a\\
6-b & 10
\end{bmatrix}$
$2A^{T}-B=CD$
$\begin{bmatrix}
5 & 4-a\\
6-b & 10
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
5 & -1\\
-8 & 10
\end{bmatrix}$
Dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh $4-a=-1$, $a=5$ dan $6-b=-8$, $b=14$.
Nilai $2a+\frac{1}{2}b$
$ \begin{align}
2a+\frac{1}{2}b & = 2(5)+\frac{1}{2}(14) \\
& = 10+7 \\
& = 17
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 17$
Jika masih tertarik untuk berlatih soal tentang Matriks, silahkan disimak : Matematika Dasar Simak UI tentang Matriks
14. Daerah penyelesaian yang sesuai dengan pertidaksamaan: $7x+5y \leq 35$; $y \geq 1 $; $x \leq 0$ adalah...
Untuk menentukan daerah pertidaksamaan $7x+5y \leq 35$; kita lihat koefisien $y$. Karena koefisien $y$ positif dan tanda $\leq$ maka daerah HP berada di bawah garis.
Trik untuk melihat atau menentukan daerah Himpunan Penyelesaian dapat dengan melihat koefisien $y$.
- Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\leq$ maka daerah Himpunan Penyelesaian berada di bawah garis.
- Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\geq$ maka daerah Himpunan Penyelesaian berada di atas garis.
Untuk daerah pertidaksamaan $y \geq 1 $ diarsir daerah HP berada di atas garis.
Untuk daerah pertidaksamaan $x \geq 0 $ diarsir daerah HP berada di kanan garis.
Daerah HP adalah irisan ketiga pertidaksamaan $7x+5y \leq 35$; $y \geq 1 $; dan $x \leq 0$, yang paling sesuai adalah gambar $(A)$
15. Nilai $sin\ 150^{\circ}+sin\ 270^{\circ}\ tan\ 315^{\circ}$ adalah...
$(A)\ -\frac{1}{2}$
$(B)\ -1$
$(C)\ \frac{1}{2}$
$(D)\ \frac{1}{2} \sqrt{3}$
$(E)\ 1\frac{1}{2}$
Nilai $sin\ 150^{\circ}+sin\ 270^{\circ}\ tan\ 315^{\circ}$ adalah $\frac{1}{2}+(-1) (-1)=1\frac{1}{2}$ $(E)$
dimana:
$ \begin{align}
sin\ 150^{\circ} & = sin\ (180-30)^{\circ} \\
& = sin\ 30^{\circ} \\
& = \frac{1}{2} \end{align} $
$ \begin{align}
sin\ 270^{\circ} & = sin\ (180+90)^{\circ} \\
& = - sin\ 90^{\circ} \\
& = -1 \end{align} $
$ \begin{align}
tan\ 315^{\circ} & = tan\ (360-45)^{\circ} \\
& = - tan\ 45^{\circ} \\
& = - 1
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$
Cara cepat menghapal Nilai Sudut Istimewa Trigonometeri, silahkan disimak: Matematika Kreatif: Cara Kreatif Menghafal Nilai Sudut Istimewa Trigonometri
16. Bentuk sederhana dari $\left( \frac{8a^{-2}b^{\frac{3}{2}}}{4a^{\frac{3}{2}}b^{-1}{2}} \right)$ adalah...
$(A)\ \frac{a^{7}}{4b^{4}}$
$(B)\ \frac{4b^{4}}{a^{7}}$
$(C)\ \frac{a^{7}}{8b^{4}}$
$(D)\ \frac{8a^{4}}{a^{7}}$
$(E)\ 8a^{7}b^{4}$
$ \begin{align}
& \left( \frac{8a^{-2}\ b^{\frac{3}{2}}}{4a^{\frac{3}{2}}\ b^{\frac{-1}{2}}} \right)^{-2} \\
& = \left( 2a^{-2}\ a^{-\frac{3}{2}}\ b^{\frac{3}{2}}\ b^{-\frac{-1}{2}} \right)^{-2} \\
& = \left( 2a^{-\frac{7}{2}}\ b^{\frac{4}{2}} \right)^{-2} \\
& = 2^{-2}\ a^{-\frac{7}{2} (-2)}\ b^{\frac{4}{2} (-2)} \\
& = \frac{1}{4} a^{7}\ b^{-4} \\
& = \frac{a^{7}}{4b^{4}}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{a^{7}}{4b^{4}}$
Coba soal latihan Matematika Dasar: Eksponen [Soal SBMPTN dan Pembahasan], silahkan : Matematika Dasar: Eksponen [Soal SBMPTN dan Pembahasan]
17. Kubus $PQRS.TUVW$ memiliki panjang rusuk $10\ cm$, sudut antara $PV$ dan bidang $PQRS$ adalah $\theta$, Nilai $cos\ \theta$ adalah...
$(A)\ \frac{1}{2} \sqrt{2}$
$(B)\ \frac{1}{2} \sqrt{3}$
$(C)\ \frac{1}{3} \sqrt{2}$
$(D)\ \frac{1}{3} \sqrt{3}$
$(E)\ \frac{1}{3} \sqrt{6}$
Sebagai ilustrasi soal diatas, kita gambarkan kubus $PQRS.TUVW$ dengan panjang rusuk $10$, Sudut garis $PV$ dan bidang $PQRS$, kurang lebih seperti berikut ini;
Pada soal diatas dan jika kita perhatikan gambar, proyeksi garis $PV$ adalah $PR$, sehingga;
$cos\ \theta = \frac{PR}{PV}$, dimana $PR$ adalah diagonal bidang $(PR=10\sqrt{2})$ dan $PV$ adalah diagonal ruang $(PV=10\sqrt{3})$.
$ \begin{align}
cos\ \theta & = \frac{PR}{PV} \\
& = \frac{10\sqrt{2}}{10\sqrt{3}} \\
& = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\
& = \frac{\sqrt{6}}{3} \\
& = \frac{1}{3}\sqrt{6}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{1}{3}\sqrt{6}$
Pada kurikulum 2013 minimal kemampuan siswa yang diharapkan adalah jarak titik ke titik, garis dan bidang, silahkan disimak soal latihan dimensi tiga pada kurikulum 2013: Matematika Dasar Uji Kompetensi Dimensi Tiga [Buku Kurikulum 2013]
18. Berikut adalah pengelompokan data gaji pegawai di suatu perusahaan dalam puluhan ribu rupiah dengan menggunakan frekuensi komulatif kurang $F_{kk}$.
Dari data tersebut, banyak pegawai yang mendapatkan gaji $Rp6.000.000,00$ sampai dengan $Rp6.990.000,00$ adalah...
Gaji $F_{kk}$ $\leq 199,5$ 0 $\leq 299,5$ 3 $\leq 399,5$ 11 $\leq 499,5$ 26 $\leq 599,5$ 47 $\leq 699,5$ 56 $\leq 799,5$ 61
$(A)\ 9\ \text{orang}$
$(B)\ 15\ \text{orang}$
$(C)\ 21\ \text{orang}$
$(D)\ 26\ \text{orang}$
$(E)\ 47\ \text{orang}$
Tabel gaji yang disajikan adalah tabel frekuensi komulatif kurang $F_{kk}$ atau jumlah frekuensi yang kurang dari. Jika tabel kita rubah dengan tampilan biasa kurang lebih seperti berikut ini;
| Gaji | Frekuensi |
| $200-299$ | 3 |
| $300-399$ | 8 |
| $400-499$ | 15 |
| $500-599$ | 21 |
| $600-699$ | 9 |
| $700-799$ | 5 |
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 9\ \text{orang}$
19. Diketahui $f(x)=3x+2$ dan $g(x)=x^{2}-x+3$.
Fungsi komposisi $(fog)(x)= \cdots $
$(A)\ 3x^{2}+3x+11$
$(B)\ 3x^{2}-3x+11$
$(C)\ 3x^{2}-3x-11$
$(D)\ 9x^{2}-9x-5$
$(E)\ 9x^{2}-9x-5$
$ \begin{align}
(fog)(x) & = f \left( g(x) \right) \\
& = 3g(x)+2 \\
& = 3 \left( x^{2}-x+3 \right) +2 \\
& = 3 x^{2} - 3x + 9 +2 \\
& = 3 x^{2} - 3x + 11
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3 x^{2} - 3x + 11$
20. Grafik fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-120x+15$ naik untuk $x$ yang memenuhi...
$(A)\ 4 \lt x \lt 5$
$(B)\ -4 \lt x \lt 5$
$(C)\ x \lt -5\ \text{atau}\ x \gt 4$
$(D)\ x \lt 4\ \text{atau}\ x \gt 5$
$(E)\ x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 5$
Syarat suatu grafik fungsi akan naik adalah turunan pertama lebih dari nol,
turunan pertama $f(x)$ adalah $f'(x)=6x^{2}-6x -120$
$ \begin{align}
f'(x) & \gt 0 \\
6x^{2}-6x -120 & \gt 0 \\
x^{2}-x -20 & \gt 0 \\
(x-5)(x+4) & \gt 0 \\
\text{diperoleh pembuat nol} \\
x & =5\ \text{atau} \\
x & =-4 \end{align} $
Kesimpulan fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-120x+15$ naik pada interval $x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 5$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 5$
Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat
21. Seutas tali dipotong menjadi 5 bagian. Panjang masing-masing bagian membentuk barisan geometri. Jika tali terpendek $6\ cm$ dan yang terpanjang $96\ cm$, panjang tali mula-mula adalah $\cdots\ cm$
Tali dibagi menjadi 5 bagian yang sama mengikuti barisan geometri dan tali terpendek $6\ cm$ dan yang terpanjang $96\ cm$.
Berdasarkan informasi diatas dapat kita simpulkan;
$u_{1}=a=6$ dan $u_{5}=ar^{4}=96$.
$ \begin{align}
u_{5} &= ar^{4} \\
96 & =6 \cdot r^{4} \\
16 & = r^{4} \\
\sqrt[4]{16} & = r \\
2 & = r \\
\text{Panjang Tali}\\
S_{5} & = \frac{a(r^{n}-1)}{r-1} \\
& = \frac{6((2)^{5}-1)}{2-1} \\
& = \frac{6(32-1)}{1} \\
& = 6(31) \\
& = 186
\end{align} $
$\therefore$ Jawaban yang sesuai adalah $186$
Jika ingin membahas soal dasar tentang deret geometri, silahkan disimak: Belajar Barisan dan Deret Geometri
22. Diketahui sistem persamaan linear dua variabel
$\begin{cases} \frac{3}{p}+\frac{8}{q}=5 \\
\frac{3}{p}+\frac{4}{q}=3 \end{cases}$
Nilai $2p+3q$ adalah...
$(A)\ 12$
$(B)\ 10$
$(C)\ 8$
$(D)\ 6$
$(E)\ 4$
Kita misalkan $\frac{1}{p}=m$ dan $\frac{1}{q}=n$, maka sistem persamaan berubah menjadi:
$\begin{cases} 3m+8n=5\ \text{(pers.1)} \\
3m+4n=3\ \text{(pers.2)} \end{cases}$
Dari (pers.1) dan (pers.2) kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
3m + 8n = 5 & \\
3m + 4n = 3 & (-)\\
\hline
4n = 2 & m=\frac{1}{3} \\
n = \frac{1}{2} & m=\frac{1}{3} \\
\frac{1}{q} = \frac{1}{2} & \frac{1}{p}=\frac{1}{3} \\
q = 2 & p=3
\end{array} $
$ \begin{align}
2p+3q & = 2(3) +3(2) \\
& = 6 + 6 \\
& = 12
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 12$
23. Dari angka $0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \text{dan}\ 4$ akan dibuat bilangan tiga angka yang kurang dari $400$ dan tidak ada angka yang berulang. Banyak kemungkinan bilangan berbeda yang dapat dibuat adalah...
Bilangan yang akan kita susun adalah bilangan tiga angka kurang dari $400$ dan tidak ada angka berulang.
$\begin{array}{c|c|cc}
ratusan & puluhan & satuan \\
(3,2,1) & (4,3,2,1,0) & (4,3,2,1,0) \\
\hline
3 & 4 & 3 \end{array} $
Banyak bilangan adalah $3 \times 4 \times 3=36$ bilangan.
$\therefore$ Jawaban yang sesuai adalah $36$
24. Diketahui $\int_{-1}^{1} \left ( 4x^{2}-12x+9 \right )\ dx$ adalah...
$(A)\ 24 \frac{4}{6}$
$(B)\ 24 \frac{3}{6}$
$(C)\ 20 \frac{4}{6}$
$(D)\ 20 \frac{1}{6}$
$(E)\ 16 \frac{1}{6}$
$ \begin{align}
& \int_{-1}^{1} \left ( 4x^{2}-12x+9 \right )\ dx \\
& = \left [\frac{4}{3}x^{3}-\frac{12}{2}x^{2}+9x \right ]_{-1}^{1} \\
& = \left [\frac{4}{3}x^{3}-6x^{2}+9x \right ]_{-1}^{1} \\
& = \left [\frac{4}{3}(1)^{3}-6(1)^{2}+9(1) \right ]-\left [\frac{4}{3}(-1)^{3}-6(-1)^{2}+9(-1) \right ] \\
& = \left [\frac{4}{3}-6+9 \right ]-\left [-\frac{4}{3} -6-9 \right ] \\
& = \frac{4}{3}+3 +\frac{4}{3}+15 \\
& = \frac{8}{3}+18 \\
& = 20\frac{2}{3}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 20 \dfrac{2}{3}$
Simak juga sifat-sifat dasar integral lainnya : Basic Integration Formulas [Rumus Dasar Integral]
25. Dalam pemilihan pengurus Karang Taruna akan dipilih ketua, sekretaris, dan bendahara dari $10$ orang. Banyak cara yang dapat dilakukan adalah...
$(A)\ 72$
$(B)\ 120$
$(C)\ 360$
$(D)\ 720$
$(E)\ 810$
Banyak pengurus yang mungkin terjadi ada dua kemungkinan,
Kemungkinan pertama jika boleh jabatan rangkap;
$\begin{array}{c|c|cc}
Ketua & Sekretaris & Bendahara \\
\hline
10 & 10 & 10 \end{array} $
Banyak susunan pengurus adalah $10 \times 10 \times 10=1.000$ susunan.
Kemungkinan kedua jika tidak boleh jabatan rangkap;
$\begin{array}{c|c|cc}
Ketua & Sekretaris & Bendahara \\
\hline
10 & 9 & 8 \end{array} $
Banyak susunan pengurus adalah $10 \times 9 \times 8=720$ susunan.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 720$
26. Persamaan kuadrat $mx^{2}-4x+1=0$ mempunyai akar-akar $x_{1}$ dan $x_{2}$. Jika salah satu akarnya tiga klai akar yang lain maka nilai $m$ yang memenuhi adalah...
$(A)\ -2$
$(B)\ -1$
$(C)\ 3$
$(D)\ 4$
$(E)\ 5$
Dari persamaan kuadrat $mx^{2}-4x+1=0$, kita peroleh;
$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{m}=\frac{4}{m}$
$x_{1}\times x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{1}{m}$
Salah satu akarnya tiga kali akar yang lain maka; $x_{1} =3x_{2}$
$ \begin{align}
x_{1}+x_{2} & = 3x_{2}+x_{2} \\
\frac{4}{m} & = 4x_{2} \\
\frac{1}{m} & = x_{2}
\end{align} $
$ \begin{align}
x_{1} \times x_{2} & = 3x_{2} \times x_{2} \\
\frac{1}{m} & = 3 x_{2}^{2} \\
\frac{1}{m} & = 3 \left( \frac{1}{m} \right)^{2} \\
\frac{1}{m} & = \frac{3}{m^{2}} \\
m^{2} & = 3 m \\
m^{2}-3m & = 0 \\
m (m-3) & = 0 \\
m & = 0\ (TM) \\
m & = 3
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3$
27. Diketahui kubus $PQRS.TUVW$ seperti pada gambar berikut!
Jarak antara titik $W$ dan titik tengah $PR$ adalah...
$(A)\ 6\sqrt{3}$
$(B)\ 6\sqrt{2}$
$(C)\ 3\sqrt{6}$
$(D)\ 3\sqrt{3}$
$(E)\ 3\sqrt{2}$
Kubus $PQRS.TUVW$ dengan panjang rusuk $6$, Jarak titik $W$ ke titik tengah garis $PR$
Dengan memperhatikan segitiga $WPR$, jarak titik $W$ ke titik tengah garis $PR$ adalah tinggi segitiga $WPR$;
$ \begin{align}
[WPR] & = [WPR] \\
\frac{1}{2} WP \cdot WR \cdot cos\ PWR & = \frac{1}{2} PR \cdot WW' \\
6 \sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot cos\ 60^{\circ} & = 6\sqrt{2} \cdot WW' \\
6\sqrt{2} \cdot cos\ 60^{\circ} & = WW' \\
6\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} & = WW' \\
3\sqrt{2} & = WW'
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3\sqrt{2}$
Coba latih lagi jarak titik ke titik, garis dan bidang, Soal latihan dimensi tiga pada kurikulum 2013: Matematika Dasar Uji Kompetensi Dimensi Tiga [Buku Kurikulum 2013]
28. Dalam sebuah kotak tedapat $5$ bola merah, $7$ bola putih, dan $4$ bola hijau. Diambil dua bola sekaligus.
Jika pengambilan dilakukan sebanyak $600$ kali dengan pengembalian, frekuensi harapan terambil bola kedua-duanya hijau adalah...
$(A)\ 30\ \text{kali}$
$(B)\ 150\ \text{kali}$
$(C)\ 200\ \text{kali}$
$(D)\ 225\ \text{kali}$
$(E)\ 450\ \text{kali}$
Peluang sebuah kejadian dirumuskan $P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$
dimana $n(E)$ adalah banyak anggota kejadian yang diharapkan,
$n(S)$ adalah banyak anggota kejadian yang mungkin terjadi.
Pada soal disampaikan bahwa sebuah kotak $5$ bola merah, $7$ bola putih, dan $4$ bola hijau, dan dua bola diambil sekaligus secara acak.
Untuk kejadian ini $n(S)$ adalah akan dipilih $2$ dari $16$
$ \begin{align}
n(S) & = C_{2}^{16} \\
& = \frac{16!}{2!(16-2)!} \\
& = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14!}{2! \cdot 14!} \\
& = \frac{16 \cdot 15}{2} \\
& = 8 \cdot 15 \\
& = 120 \end{align} $
Untuk $n(E)$ adalah akan dipilih $2$ hijau dari $4$ hijau.
$ \begin{align}
n(E) & = C_{2}^{4} \\
& = \frac{4!}{2!(4-2)!} \\
& =\frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2!} \\
& = 2 \cdot 3 \\
& = 6 \end{align} $
$ \begin{align}
P(E) & = \frac{n(E)}{n(S)} \\
& = \frac{6}{120} \\
& = \frac{1}{20} \\
\end{align} $
Frekuensi harapan;
$ \begin{align}
f_{h} & = n \times P(E) \\
& = 600 \times \frac{1}{20} \\
& = \frac{600}{20} \\
& = 30 \end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 30\ \text{kali}$
29. Diketahui grafik fungsi berikut.
Persamaan grafik fungsi diatas adalah...
$(A)\ y=-x^{2}-5x-4$
$(B)\ y=-x^{2}-5x+2$
$(C)\ y=-x^{2}+5x-2$
$(D)\ y=-x^{2}+5x+4$
$(E)\ y=-x^{2}+5x-4$
Untuk persamaan kurva yang memotong sumbu $X$ di $(1,0)$, $(4,0)$ dan melalui sebuah titik lain $(0,-4)$.
Jika diketahui Titik Potong terhadap sumbu $X$ yaitu $(x_{1},0)$ dan $(x_{2},0)$ dan sebuah titik sembarang $(x,y)$ maka Fungsi Kuadrat $y$ adalah:
$ \begin{align}
y & = a\left (x -x_{1}\right)\left (x -x_{2}\right) \\
-4 & = a\left (0 -1\right)\left (0 -4\right) \\
-4 & = a \left (-1 \right)\left (-4 \right) \\
-4 & = 4a \\
a & = \frac{-4}{4}=-1 \\
y & = a\left (x -x_{1}\right)\left (x -x_{2}\right) \\
y & = (-1)\left (x -1\right)\left (x -4\right) \\
y & = (-1)\left (x^{2} -4x-x+4 \right) \\
y & = -x^{2} +5x-4
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -x^{2}+5x-4$
Jika masih mau membahas lebih banyak tentang fungsi kuadrat: Matematika Dasar: Fungsi Kuadrat [Soal SBMPTN dan Pembahasan]
30. Modal sebesar $Rp8.000.000,00$ disimpan di bank dengan bunga tunggal $18 \%$ per tahun. Besar modal tersebut setelah $2$ caturwulan adalah...
$(A)\ Rp1.440.000,00$
$(B)\ Rp8.720.000,00$
$(C)\ Rp8.840.000,00$
$(D)\ Rp8.960.000,00$
$(E)\ Rp9.440.000,00$
Modal yang ditanyakan adalah modal setelah $2$ catur wulan atau modal setelah $6$ bulan atau modal setelah setengah tahun.
Bunga setelah setengah tahun adalah;
$ \begin{align}
& \frac{18 \%}{2} \cdot 8.000.000,00 \\
& = 9 \% \cdot 8.000.000,00 \\
& = 720.000 \end{align} $
Modal setelah $2$ caturwulan adalah $8.000.000,00+720.000,00$ yaitu $8.720.000,00$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ Rp8.720.000,00$
31. Daerah asal fungsi $f$ yang ditentukan oleh $f(x)=\frac{\sqrt{3x-8}}{2x-20}$ adalah...
$(A)\ \left \{x | x \geq 6,\ x\neq 10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$
$(B)\ \left \{x | x \geq 6,\ x\neq -10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$
$(C)\ \left \{x | x \geq -6,\ x \neq 10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$
$(D)\ \left \{x | x \leq 6,\ x\neq -10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$
$(E)\ \left \{x | x \leq -6,\ x\neq 10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$
Daerah asal fungsi maksudnya adalah batasan nilai $x$ agar fungsi mempunyai nilai Real.
Fungsi pada soal terdiri atas dua fungsi yaitu, fungsi pecahan dan fungsi bentuk akar.
Untuk fungsi pecahan agar mempunyai nilai Real syaratnya adalah penyebut tidak sama dengan nol.
$ \begin{align}
2x-20 & \neq 0 \\
2x & \neq 20 \\
x & \neq 0 \end{align} $
Untuk fungsi bentuk akar, agar mempunyai nilai Real syaratnya adalah yang didalam akar harus lebih dari atau sama dengan nol.
$ \begin{align}
3x-18 & \geq 0 \\
3x & \geq 18 \\
x & \geq \frac{18}{3} \\
x & \geq 6 \end{align} $
Batasan nilai $x$ yang memenuhi pada adalah $\left \{x | x \geq 6,\ x\neq 10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{x | x \geq 6,\ x\neq 10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$
32. Diketahui $f(x)=\frac{2-3x}{6x-5}$, $x \neq \frac{5}{6}$. Invers dari fungsi $f(x)$ adalah...
$(A)\ f^{-1}(x)=\frac{5x+2}{6x-3},\ x \neq \frac{1}{2}$
$(B)\ f^{-1}(x)=\frac{5x-2}{6x+3},\ x \neq -\frac{1}{2}$
$(C)\ f^{-1}(x)=\frac{6x+3}{5x+2},\ x \neq -\frac{5}{2}$
$(D)\ f^{-1}(x)=\frac{5x+2}{6x+3},\ x \neq -\frac{1}{2}$
$(E)\ f^{-1}(x)=\frac{6x-3}{5x+2},\ x \neq -\frac{5}{2}$
Invers fungsi $f(x)$;
$f (x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ maka $f^{-1}\left ( x \right )=\frac{-dx+b}{cx-a}$
$ \begin{align}
f(x) & =\frac{2-3x}{6x-5} \\
y & =\frac{2-3x}{6x-5} \\
y(6x-5) & = 2-3x \\
6xy-5y & = 2-3x \\
6xy+3x & = 2+5y \\
x(6y+3) & = 2+5y \\
x & = \frac{2+5y}{6y+3} \\
f^{-1}(x) & = \frac{2+5x}{6x+3}
\end{align} $
Fungsi invers $f(x)$ adalah $f^{-1}(x)=\frac{5x+2}{6x+3},\ x \neq -\frac{1}{2}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{5x+2}{6x+3},\ x \neq -\frac{1}{2}$
Silahkan bahas lebih banyak tentang fungsi invers: Cara Pilar (Pintar Bernalar) Mengerjakan Soal Matematika Tentang FKFI
33. Seorang pedagang akan membeli baju atasan dan rok dengan harga pembelian baju atasan $Rp60.000,00$ per potong dan harga pembelian rok $Rp30.000,00$ per potong. Jumlah baju atasan dan rok yang dibeli paling banyak $40$ potong dan modal yang dimiliki pedagang itu sebesar $Rp18.000.000,00$.
Jika $x$ menyatakan banyak baju atasan dan $y$ menyetakan banyak rok, model matematika yang tepat dari permasalahan tersebut adalah...
$(A)\ x+y \leq 40;\ x+2y \leq 600;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
$(B)\ x+y \leq 40;\ 2x+y \leq 600;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
$(C)\ x+y \leq 40;\ x+y \leq 600;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
$(D)\ x+2y \leq 40;\ 2x+y \leq 600;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
$(E)\ 2x+y \leq 40;\ 2x+y \leq 600;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
Dari harga yang disampaikan pada soal diatas, baju atasan $Rp60.000,00$ per potong dan rok $Rp30.000,00$ per potong. Sehingga uang yang akan dibelanjakan tergantung banyak baju atasan $(x)$ atau banyak rok $(y)$.
Berdasarkan banyak uang yang tersedia atau modal maka yang bisa dibelanjakan kurang dari atau sama dengan $Rp18.000.000,00$,
$Rp60.000,00\ x + Rp30.000,00\ y \leq Rp18.000.000,00$
$ 60 \ x + 30 \ y \leq 18.000 $
$ 2x + y \leq 600 $
Jumlah baju atasan $(x)$ dan rok $(y)$ yang dibeli paling banyak $40$ potong, maka bisa kita tulis: $x+y \leq 40$
Jumlah baju atasan $(x)$ paling sedikit nol: $x \geq 0$
Jumlah rok $(y)$ paling sedikit nol: $y \geq 0$
Sistem pertidaksamaan yang memenuhi adalah $x+y \leq 40;\ 2x+y \leq 600;\ x \geq 0;\ y \geq 0$ $(B)$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x+y \leq 40;\ 2x+y \leq 600;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
34. Selembar plat baja berbentuk persegipanjang akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong satu persegi $20\ cm \times 20\ cm$ dari tiap-tiap pojok. Lebar kotak $17\ cm$ kurang dari panjangnya dan volume kotak itu $4.000\ cm^{3}$. Jika panjang kotak $x\ cm$, model matematika permasalahan tersebut adalah...
$(A)\ x^{2}+20x-200=0$
$(B)\ x^{2}+20x+200=0$
$(C)\ x^{2}-20x-200=0$
$(D)\ x^{2}-17x-200=0$
$(E)\ x^{2}+17x-200=0$
Informasi yang diberikan pada soal jika kita ilustrasikan gambarnya kurang lebih seperti berikut ini;
$ \begin{align}
V & = x \cdot (x-17) \cdot 20 \\
4.000 & = (x^{2}-17x) \cdot 20 \\
200 & = x^{2}-17x \\
0 & = x^{2}-17x - 200
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x^{2}-17x - 200=0$
Jika masih tertarik untuk berlatih soal aplikasi turunan, silahkan disimak : Aplikasi Turunan Fungsi [Soal dan Pembahasan]
35. Kakak membeli $2\ kg$ duku dan $1\ kg$ manggis dengan harga $Rp12.000,00$. Adik membeli $3\ kg$ duku dan $2\ kg$ manggis dengan harga $Rp19.000,00$. Jika ibu membeli $4\ kg$ duku dan $5\ kg$ manggis, maka ibu harus membayar ... rupiah
Jika kita misalkan $\text{duku}=d$ dan $\text{manggis}=m$, maka persamaan yang dibelanjakan kakak dan adik dapt kita tuliskan sebagai berikut;
kakak: $2d\ + 1m\ = 12.000$
adik: $3d\ + 2m\ = 19.000$
ibu: $4d\ + 5m\ = \cdots $
Dari belanja kakak dan adik kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
2d + 1m = 12.000 & \times 2 \\
3d + 2m = 19.000 & \times 1 \\
\hline
4d + 2m = 24.000 & \\
3d + 2m = 19.000 & (-) \\
\hline
d = 5.000 & \\
2d+m=12.000 & m=2.000 \\
2(5.000)+m=12.000 & m=2.000
\end{array} $
Belanja ibu:
$ \begin{align}
4d\ + 5m\ & = 4(5.000) + 5(2.000) \\
& = 20.000+10.000 \\
& = 30.000 \end{align} $
36. Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus, kecepatan $v$ pada saat $t$ detik dinyatakan dengan formula $v=f(t)=4t^{3}+12t^{2}-4t$. Percepatan benda pada saat $t=1$ adalah...
Percepatan $(a)$ benda adalah turunan pertama dari kecepatan $(v)$ atau $a(t)=v'(t)$
$ \begin{align}
v(t) & = 4t^{3}+12t^{2}-4t \\
v'(t) & = 12t^{2}+24t -4 \\
a(t) & = v'(t) \\
& = 12t^{2}+24t -4 \\
\text{saat}\ t & = 1 \\
a & = 12(1)^{2}+24(1) -4 \\
& = 12+24-4 \\
& = 32
\end{align} $
$\therefore$ Jawaban yang sesuai adalah $32$
Jika masih tertarik untuk berlatih soal aplikasi turunan, silahkan disimak : Aplikasi Turunan Fungsi [Soal dan Pembahasan]
37. $\lim\limits_{x \to 4} \frac{\sqrt{x}+1}{x-1} =\cdots $
$(A)\ 1 $
$(B)\ \frac{3}{5} $
$(C)\ \frac{1}{3} $
$(D)\ \frac{1}{4} $
$(E)\ \frac{1}{5} $
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 4} \frac{\sqrt{x}+1}{x-1} \\
& = \frac{\sqrt{4}+1}{4-1} \\
& = \frac{2+1}{3} \\
& = \frac{3}{3} \\
& = 1\ (A)
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$
38. Kuartil bawah dari data pada tabel berikut adalah.
$(A)\ 70,0$
Nilai Frekuensi 51-60 5 61-70 4 71-80 20 81-90 7 91-100 4
$(B)\ 70,5$
$(C)\ 71,0$
$(D)\ 72,5$
$(E)\ 73,0$
Kuartil adalah suatu nilai pembatas yang membagi data menjadi empat bagian yang sama besar setelah diurutkan dari yang terkecil ke terbesar.
Kuartil terdiri dari tiga jenis yaitu kuartil pertama $(Q_{1})$ yang disebut juga kuartil bawah, Kuartil kedua $(Q_{2})$ yang disebut juga median atau nilai tengah, dan Kuartil ketiga $(Q_{3})$ yang disebut juga kuartil atas.
Data pada tabel dapat kita hitung yaitu total frekuensi adalah $n=40$.
Untuk meneNtukan letak $Q_{1}$ ada pada data ke- $\left[\frac{1}{4}(n+1) \right]$
$Q_{1}$ terletak pada data ke- $\left[\frac{1}{4}(40+1) \right]=10,25$
$Q_{1}$ pada data ke-$10,25$ artinya $Q_{1}$ berada pada kelas interval $71-80$
Tepi bawah kelas $Q_{1}$: $71-80$
$t_{b}= 71 - 0,5 = 70,5 $
Frekuensi kumulatif sebelum kelas $Q_{1}$,
$f_{k}= 4+5=9$
Frekuensi kelas $Q_{1}$, $f_{Q_{1}}=20$
Panjang kelas $c=80,5-70,5=10$
$ \begin{align}
Q_{1} & = t_{b} + \left( \frac{\frac{1}{4}n - f_{k}}{f_{Q_{1}}} \right)c \\
& = 70,5 + \left( \frac{\frac{1}{4} \cdot 40 - 9}{20} \right)10 \\
& = 70,5 + \left( \frac{10 - 9}{20} \right)10 \\
& = 70,5 + \left( \frac{1}{20} \right)10 \\
& = 70,5 + \frac{1}{2} \\
& = 71
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 71$
39. Turunan pertama dari $h(x)=(-x+1)^{3}$ adalah...
$(A)\ h'(x)=-3x^{2}+6x-3$
$(B)\ h'(x)=-3x^{2}-6x+3$
$(C)\ h'(x)=3x^{2}+6x-3$
$(D)\ h'(x)=3x^{2}+3x-6$
$(E)\ h'(x)=-3x^{2}-6x+3$
Turunan petama dari $h(x)= \left[ f(x) \right]^{n}$ adalah $h'(x)= n \cdot \left[ f(x) \right]^{n-1} \cdot f'(x)$.
$h(x)=(-x+1)^{3} $
$ \begin{align}
h(x) & = (-x+1)^{3} \\
h'(x) & = 3(-x+1)^{3-1} (-1) \\
& = -3(-x+1)^{2}\\
& = -3(x^{2}-2x+1)\\
& = -3x^{2}+6x-3
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3x^{2}+6x-3$
40. Diketahui segitiga $PQR$ siku-siku di $Q$. Jika $cos\ P=\frac{3}{4}$ maka nilai $cotan\ R$ adalah...
$(A)\ \sqrt{7}$
$(B)\ \frac{3}{4} \sqrt{7}$
$(C)\ \frac{3}{7} \sqrt{7}$
$(D)\ \frac{4}{3} \sqrt{7}$
$(E)\ \frac{1}{3} \sqrt{7}$
Dari nilai $cos\ P=\frac{3}{4}$ dan ilustrasi segitiga siku-siku dibawah ini;
Dengan teorema phytagoras;
$ \begin{align}
PR^{2} & = PQ^{2}+QR^{2} \\
4^{2} & = 3^{2}+QR^{2} \\
16 & = 9+QR^{2} \\
QR^{2} & = 16-9=7 \\
QR & = \sqrt{7}
\end{align} $
$ \begin{align}
cotan\ R & = \frac{1}{tan\ R} \\
& = \frac{1}{\frac{PQ}{QR}} \\
& = \frac{1}{\frac{3}{\sqrt{7}}} \\
& = \frac{\sqrt{7}}{3} \\
& = \frac{1}{3}\sqrt{7}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{1}{3}\sqrt{7}$
Jika Bermanfaat👌 Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring👀
