Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian dari Sistem Pertidaksamaan Pada Program Linear. Program linear adalah suatu metode yang digunakan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan optimasi linear (nilai maksimum dan nilai minimum). Program Linear ini salah satu materi pokok yang harus dikenal dan dipelajari siswa SMA kelas XI pada pelajaran matematika wajib.
Pengertian Pemrograman Linear
Menurut Tjutju Tarliah Dimyati dan Ahmad Dimyati dalam buku (Dimyati dan Ahmad, 2003, 17) Program linear adalah perencanaan suatu aktivitas untuk mencapai nilai hasil yang optimum, yaitu hasil yang dapat mencapai tujuan yang terbaik diantara seluruh alternatif yang fisibel.
Dalam buku (Lumbantoruan, 2020, 6) program linear merupakan salah satu teknik untuk menyelesaikan riset operasi, dalam hal untuk menyelesaikan masalah-masalah khusus mengenai optimasi baik memaksimalkan maupun meminimumkan, tetapi terbatas oleh masalah-masalah yang dapat diubah menjadi fungsi linear.
Menurut buku (Rafflesia dan Widodo, 2014, 2) pemrograman linear merupakan suatu teknik pengaplikasian matematika untuk menyelesaikan suatu persoalan dalam pengalokasian sumber-sumber terbatas di antara beberapa aktivitas yang bertujuan untuk memaksimalkan keuntungan atau meminimalkan biaya yang dibatasi oleh suatu batasan-batasan tertentu. (*lihat sumber)
Program linear tidak lepas dengan sistem pertidaksamaan linear. Khususnya pada tingkat sekolah menengah, sistem pertidaksamaan linear yang dimaksud adalah sistem pertidaksamaan linear dua variabel.
Kompetensi dasar pada tingkat pengetahuan minimal berada sampai pada tahap "Menjelaskan program linear dua variabel dan metode penyelesaiannya dengan menggunakan masalah kontekstual" sedangkan pada tingkat keterampilan minimal sampai pada tahap "Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan program linear dua variabel".
Untuk mencapai apa yang diharapkan oleh pemerintah seperti yang tertulis pada kurikulum, ada satu materi yang penting sebelum belajar program linear, yaitu "Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian". Menyelesaikan program linear sangat terkait dengan kemampuan melakukan sketsa sistem daerah himpunan penyelesaian. Ini menjadi syarat perlu untuk mencapai kemampuan "Menjelaskan program linear dua variabel dan metode penyelesaiannya dengan menggunakan masalah kontekstual".
Untuk melihat masalah yang berkembang tentang program linear, dan sudah pernah diujikan di Ujian Nasional atau Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri dapat disimak soal dan catatan hasil diskusi kita sebelumnya yaitu Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Program Linear.
Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Pada Program Linear
Berikut ini adalah teknik menentukan daerah himpunan penyelesaian:- Buat sumbu koordinat kartesius
- Tentukan titik potong pada sumbu $x$ dan $y$ dari semua persamaan-persamaan linearnya.
- Sketsa grafiknya dengan menghubungkan antara titik-titik potongnya.
- Pilih satu titik uji yang berada di luar garis.
- Substitusikan pada persamaan
- Tentukan daerah yang dimaksud
Menentukan Daerah Penyelesaian Dari Pertidaksamaan $x \leq 0$
Langkah pertama untuk menentukan daerah penyelesaian sebuah pertidaksamaan adalah kita bisa menentukan daerah penyelesaian persamaan. Sebelum kita gambar daerah pertidaksamaan $x \leq 0$, kita coba gambar daerah penyelesaian $x=0$.
Gambar daerah penyelesaian $x=0$ adalah garis yang berimpit dengan sumbu-$y$, gambar $x=0$ adalah berupa garis, yang artinya sepanjang garis tersebut nilai dari $x$ adalah $0$.
Garis $x=0$ membagi daerah menjadi dua bagian yang berbeda, pada gambar berikut daerah di kiri garis yang berwarna merah dan daerah di kanan garis berwarna hijau.
Untuk menentukan daerah penyelesaian $x \leq 0$ pada daerah hijau (*di kanan garis) atau daerah merah (*di kiri garis) yang dibatasi oleh $x=0$, dapat kita lakukan dengan Uji Titik pada salah satu daerah.
Misal kita pilih sebuah titik sembarang yaitu $\left(3,2 \right)$. Pada titik $\left(3,2 \right)$ kita peroleh $x \geq 0$ sehingga dapat kita ambil kesimpulan bahwa titik $\left(3,2 \right)$ berada pada daerah $x \geq 0$ yaitu daerah hijau (*di kanan garis).
Berdasarkan hasil di atas juga kita dapat menentukan daerah merah (*di kiri garis) adalah daerah penyelesaian untuk $x \leq 0$.
Menentukan Daerah Penyelesaian Dari Pertidaksamaan $y \geq 0$
Langkah pertama untuk menentukan daerah penyelesaian sebuah pertidaksamaan adalah kita bisa menentukan daerah penyelesaian persamaan. Sebelum kita gambar daerah pertidaksamaan $y \geq 0$, kita coba gambar daerah penyelesaian $y=0$.
Gambar daerah penyelesaian $y=0$ adalah garis yang berimpit dengan sumbu-$x$, gambar $y=0$ adalah berupa garis, yang artinya sepanjang garis tersebut nilai dari $y$ adalah $0$.
Garis $y=0$ membagi daerah menjadi dua bagian yang berbeda, pada gambar berikut daerah di bawah garis (*yang berwarna merah) dan daerah di atas garis (*yang berwarna hijau).
Untuk menentukan daerah penyelesaian $y \geq 0$ pada daerah merah (*di atas garis) atau daerah hijau (*di bahwa garis) yang dibatasi oleh $y=0$, dapat kita lakukan dengan Uji Titik pada salah satu daerah.
Misal kita pilih sebuah titik sembarang yaitu $\left(3,2 \right)$. Pada titik $\left(3,2 \right)$ kita peroleh $y \geq 0$ sehingga dapat kita ambil kesimpulan bahwa titik $\left(3,2 \right)$ berada pada daerah $y \geq 0$ yaitu daerah hijau (*di atas garis).
Berdasarkan hasil di atas juga kita dapat menentukan daerah merah (*di bawah garis) adalah daerah penyelesaian untuk $y \leq 0$.
Menentukan Daerah Penyelesaian Dari Pertidaksamaan $2x+3y \leq 12$
Langkah pertama untuk menentukan daerah penyelesaian sebuah pertidaksamaan adalah kita bisa menentukan daerah penyelesaian persamaan. Sebelum kita gambar daerah pertidaksamaan $2x+3y \leq 12$, kita coba gambar daerah penyelesaian $2x+3y=12$.
- Buat sumbu koordinat kartesius
- Tentukan titik potong pada sumbu $x$ dan $y$ dari semua persamaan-persamaan linearnya.
- Titik potong pada sumbu $x$ maka $y=0$
$\begin{align}
2x+3y & = 12 \\
2x+3(0) & = 12 \\
2x & = 12 \\
x & = 6
\end{align}$
Titik potong pada sumbu $x$ adalah $\left( 6,0 \right)$ - Titik potong pada sumbu $y$ maka $x=0$
$\begin{align}
2x+3y & = 12 \\
2(0)+3y & = 12 \\
3y & = 12 \\
y & = 4
\end{align}$
Titik potong pada sumbu $y$ adalah $\left( 0,4 \right)$
- Titik potong pada sumbu $x$ maka $y=0$
- Sketsa grafiknya dengan menghubungkan antara titik-titik potongnya.
Gambar daerah penyelesaian $2x+3y=12$ adalah sebagai berikut, gambar $2x+3y=12$ adalah berupa garis, yang artinya sepanjang garis tersebut nilai dari $2x+3y$ adalah $12$.
- Pilih satu titik uji yang berada di luar garis, kita pilih titik $\left( 0,0 \right)$
- Substitusikan pada persamaan
Garis $2x+3y=12$ membagi daerah menjadi dua bagian yang berbeda, pada gambar berikut daerah di atas garis yang berwarna merah dan daerah di bawah garis berwarna hijau.
Untuk menentukan daerah penyelesaian dari daerah hijau (*di bawah garis) dan daerah merah (*di atas garis) yang dibatasi oleh $2x+3y=12$. dapat kita lakukan dengan Uji Titik pada salah satu daerah.
Misal kita pilih sebuah titik sembarang yaitu $\left(0,0 \right)$. Titik $\left(0,0 \right)$ kita uji ke $2x+3y \leq 12$ dan kita peroleh:
$\begin{align}
2x+3y & \leq 12 \\
2(0)+3(0) & \leq 12 \\
0 & \leq 12
\end{align}$Dari hasil di atas, $0$ benar kurang dari $12$ sehingga dapat kita ambil kesimpulan bahwa titik $\left(0,0 \right)$ berada pada daerah yang diinginkan $2x+3y \leq 12$ yaitu daerah hijau (*di bawah garis).
Jika kurang paham kita coba satu titik lagi, misal kita pilih sebuah titik sembarang yaitu $\left(-2,1 \right)$. Titik $\left(-2,1 \right)$ kita uji ke $2x+3y \leq 12$ dan kita peroleh:
$\begin{align}
2x+3y & \leq 12 \\
2(-2)+3(1) & \leq 12 \\
-4+3 & \leq 12 \\
-1 & \leq 12 \\
\end{align}$Dari hasil di atas, $-1$ benar kurang dari $12$ sehingga dapat kita ambil kesimpulan bahwa titik $\left(-2,1 \right)$ berada pada daerah yang diinginkan $2x+3y \leq 12$ yaitu daerah hijau (*di bawah garis).
Berdasarkan hasil yang kita peroleh di atas juga kita dapat menentukan daerah merah (*di atas garis) adalah daerah penyelesaian untuk $2x+3y \geq 12$.
Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan jika tidak memakai tanda sama dengan maka garisnya menjadi putus-putus seperti berikut. Daerah penyelesaian dari pertidaksamaan $2x+3y \lt 12$, atau bisa kita sebutkan daerah himpunan penyelesaian $2x+3y$ yang kurang dari $12$.
Daerah penyelesaian yang memenuhi untuk sistem pertidaksamaan berikut ini:
$\begin{align}
x+2y & \leq 6 \\
5x+3y & \leq 15 \\
x & \geq 0\\
y & \geq 0
\end{align}$
Jika keempat pertidaksamaan di atas kita gambarkan dengan langkah-langkah seperti yang dijelaskan di atas pada diagram kartesius maka akan kita peroleh gambar seperti berikut ini;
Setelah kita dapatkan gambaran dari daerah HP pertidaksamaan yang diinginkan, daerah HP dari beberapa pertidaksamaan disebutlah dengan Daerah Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan. Daerah HP Sistem Pertidaksamaan adalah Irisan dari beberapa daerah HP pertidaksamaan.
Untuk memperoleh irisan beberapa HP pertidaksamaan, dapat kita peroleh dengan menggambarnya dalam satu diagram koordinat kartesius, seperti berikut ini:
Daerah HP Sistem Pertidaksamaan adalah Irisan dari beberapa daerah HP pertidaksamaan, bisa dilihat dari daerah yang memenuhi keempat pertidaksamaan. Jika menggunakan metode arsiran, maka HP adalah daerah yang paling banyak terkena arsiran. Pada gambar di atas daerah irisan HP adalah daerah arisran yang diarsir empat kali, seperti berikut ini:
Selanjutnya jika langkah-langkah di atas sudah paham, kita dapat menggunakan trik berikut ini untuk menghemat bebrapa langkah dalam menentukan daerah himpunan penyelesaian:
Sebagai alternatif, trik untuk menentukan daerah Himpunan Penyelesaian.
Dengan melihat koefisien variabel $y$ pada pertidaksamaan.
- Jika koefisien $y$ positif dan tanda pertidaksamaan $\leq$ maka Daerah Penyelesaian berada di bawah garis.
- Jika koefisien $y$ positif dan tanda pertidaksamaan $\geq$ maka Daerah Penyelesaian berada di atas garis.
Untuk melatih kemampuan dalam menyelesaikan soal tentang program linear dapat melihat soal yang berkembang pada catatan sebelumnya yaitu Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Program Linear.
1. Tentukan daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi untuk sistem pertidaksamaan berikut ini.
$\begin{align}
x+2y & \leq 20 \\
x+y & \leq 12 \\
x & \geq 0 \\
y & \geq 0
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
$(I)\ x+2y \leq 20$ ; $(II)\ x+y \leq 12$ ; $(III)\ x \geq 0$ ; $(IV)\ y \geq 0$
Jika sistem pertidaksamaan di atas kita gambarkan dalam satu diagram koordinat kartesius maka gambarnya dapat berupa seperti berikut ini:
Ada kalanya kita kesulitan melihat himpunan penyelesaian karena himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear adalah daerah yang paling banyak diarsir.
Sebagai alternatif dapat digunakan dengan metode terbalik. Caranya, yang diarsir bukan daerah HP pertidaksamaan (terbalik). Dengan matode terbalik, HP adalah daerah yang tidak diarsir atau daerah yang bersih. Gambarannya seperti berikut:
2. Tentukan daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi untuk sistem pertidaksamaan berikut ini.
$\begin{align}
x+2y &\leq 8 \\
3x+2y &\leq 12 \\
x & \geq 0 \\
y & \geq 0
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
$(I)\ 3x+2y \leq 12$ ; $(II)\ x+2y \leq 8$ ; $(III)\ x \geq 0$ ; $(IV)\ y \geq 0$
Jika sistem pertidaksamaan di atas kita gambarkan dalam satu diagram koordinat kartesius maka gambarnya dapat berupa seperti berikut ini:
Ada kalanya kita kesulitan melihat himpunan penyelesaian karena himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear adalah daerah yang paling banyak diarsir.
Sebagai alternatif dapat digunakan dengan metode terbalik. Caranya, yang diarsir bukan daerah HP pertidaksamaan (terbalik). Dengan matode terbalik, HP adalah daerah yang tidak diarsir atau daerah yang bersih. Gambarannya seperti berikut:
3. Daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi untuk sistem pertidaksamaan berikut ini,
$\begin{align}
x+2y & \leq 10 \\
x-y & \leq 0 \\
2x-y & \geq 0 \\
x & \geq 0 \\
y & \geq 0
\end{align} $
ditunjukkan oleh daerah nomor...
Alternatif Pembahasan:
Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan $(1): x+2y \leq 10$ ; $(2): x-y \leq 0$ ; $(3): 2x-y \geq 0$ ; $(4): x \geq 0$ ; $(5): y \geq 0$.
Jika sistem pertidaksamaan di atas kita gambarkan dalam satu diagram koordinat kartesius maka gambarnya dapat berupa seperti berikut ini:
Ada kalanya kita kesulitan melihat himpunan penyelesaian karena himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear adalah daerah yang paling banyak diarsir.
Sebagai alternatif dapat digunakan dengan metode terbalik. Caranya, yang diarsir bukan daerah HP pertidaksamaan (terbalik). Dengan matode terbalik, HP adalah daerah yang tidak diarsir atau daerah yang bersih. Gambarannya seperti berikut:
Daerah HP sistem pertidaksamaan adalah daerah yang ditunjukkan pada gambar daerah nomor $V$
4. Tentukan daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi untuk sistem pertidaksamaan berikut ini.
$\begin{align}
2x+3y & \geq 12 \\
x+y & \leq 5 \\
x & \geq 0 \\
y & \geq 0
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
$(I)\ x+2y \leq 20$ ; $(II)\ x+y \leq 12$ ; $(III)\ x \geq 0$ ; $(IV)\ y \geq 0$
Jika sistem pertidaksamaan di atas kita gambarkan dalam satu diagram koordinat kartesius maka gambarnya dapat berupa seperti berikut ini:
Ada kalanya kita kesulitan melihat himpunan penyelesaian karena himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear adalah daerah yang paling banyak diarsir.
Sebagai alternatif dapat digunakan dengan metode terbalik. Caranya, yang diarsir bukan daerah HP pertidaksamaan (terbalik). Dengan matode terbalik, HP adalah daerah yang tidak diarsir atau daerah yang bersih. Gambarannya seperti berikut:
Catatan tentang Belajar Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian dari Sistem Pertidaksamaan Pada Program Linear di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.