Skip to main content

Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian dan Sistem Pertidaksamaan Pada Program Linear

Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian dan Sistem Pertidaksamaan Pada Program LinearCara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian dan Sistem Pertidaksamaan Pada Program Linear. Program Linear adalah salah materi pokok yang harus dikenal dan dipelajari siswa SMA kelas XI pada pelajaran matematika wajib. Kompetensi dasar pada tingkat pengetahuan minimal berada sampai pada tahap "Menjelaskan program linear dua variabel dan metode penyelesaiannya dengan menggunakan masalah kontekstual" sedangkan pada tingkat keterampilan minimal sampai pada tahap "Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan program linear dua variabel".

Untuk mencapai apa yang diharapkan oleh kurikulum pada materi program linear, ada satu masalah yang paling penting pada program linear yang kita harus ketahui yaitu "Menentukan Daerah Pertidaksamaan Pada Program Linear". Mementukan daerah penyelesaian pada topik program linear menjadi syarat perlu untuk mencapai kemampuan "Menjelaskan program linear dua variabel dan metode penyelesaiannya dengan menggunakan masalah kontekstual".

Untuk melihat masalah yang berkembang tentang program linear, dan sudah pernah diujikan di Ujian Nasional atau Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri dapat disimak soal dan catatan hasil diskusi kita sebelumnya yaitu Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Program Linear.

Menentukan Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Pada Program Linear

Untuk belajar menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan program linear kita mulai dari beberapa contoh pertidaksamaan yang sederhana berikut ini;

Tentukan Daerah Penyelesaian Dari Pertidaksamaan $x \leq 0$

Langkah pertama untuk menentukan daerah penyelesaian sebuah pertidaksamaan adalah kita bisa menentukan daerah penyelesaian persamaan. Sebelum kita gambar daerah pertidaksamaan $x \leq 0$, kita coba gambar daerah penyelesaian $x=0$.

Gambar daerah penyelesaian $x=0$ adalah garis yang berimpit dengan sumbu-$y$, gambar $x=0$ adalah berupa garis, yang artinya sepanjang garis tersebut nilai dari $x$ adalah $0$.
Program Linear: Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan Pada Program Linear

Garis $x=0$ membagi daerah menjadi dua bagian yang berbeda, pada gambar berikut daerah di kiri garis yang berwarna merah dan daerah di kanan garis berwarna hijau.
Program Linear: Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan Pada Program Linear
Untuk menentukan daerah penyelesaian $x \leq 0$ pada daerah hijau (*di kanan garis) atau daerah merah (*di kiri garis) yang dibatasi oleh $x=0$, dapat kita lakukan dengan Uji Titik pada salah satu daerah.

Misal kita pilih sebuah titik sembarang yaitu $\left(3,2 \right)$. Pada titik $\left(3,2 \right)$ kita peroleh $x \geq 0$ sehingga dapat kita ambil kesimpulan bahwa titik $\left(3,2 \right)$ berada pada daerah $x \geq 0$ yaitu daerah hijau (*di kanan garis).

Berdasarkan hasil di atas juga kita dapat menentukan daerah merah (*di kiri garis) adalah daerah penyelesaian untuk $x \leq 0$.
Program Linear: Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan Pada Program Linear

Tentukan Daerah Penyelesaian Dari Pertidaksamaan $y \geq 0$

Langkah pertama untuk menentukan daerah penyelesaian sebuah pertidaksamaan adalah kita bisa menentukan daerah penyelesaian persamaan. Sebelum kita gambar daerah pertidaksamaan $y \geq 0$, kita coba gambar daerah penyelesaian $y=0$.

Gambar daerah penyelesaian $y=0$ adalah garis yang berimpit dengan sumbu-$x$, gambar $y=0$ adalah berupa garis, yang artinya sepanjang garis tersebut nilai dari $y$ adalah $0$.
Program Linear: Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan Pada Program Linear

Garis $y=0$ membagi daerah menjadi dua bagian yang berbeda, pada gambar berikut daerah di bawah garis (*yang berwarna merah) dan daerah di atas garis (*yang berwarna hijau).
Program Linear: Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan Pada Program Linear

Untuk menentukan daerah penyelesaian $y \geq 0$ pada daerah merah (*di atas garis) atau daerah hijau (*di bahwa garis) yang dibatasi oleh $y=0$, dapat kita lakukan dengan Uji Titik pada salah satu daerah.

Misal kita pilih sebuah titik sembarang yaitu $\left(3,2 \right)$. Pada titik $\left(3,2 \right)$ kita peroleh $y \geq 0$ sehingga dapat kita ambil kesimpulan bahwa titik $\left(3,2 \right)$ berada pada daerah $y \geq 0$ yaitu daerah hijau (*di atas garis).

Berdasarkan hasil di atas juga kita dapat menentukan daerah merah (*di bawah garis) adalah daerah penyelesaian untuk $y \leq 0$.
Program Linear: Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan Pada Program Linear

Tentukan Daerah Penyelesaian Dari Pertidaksamaan $2x+3y \leq 12$

Langkah pertama untuk menentukan daerah penyelesaian sebuah pertidaksamaan adalah kita bisa menentukan daerah penyelesaian persamaan. Sebelum kita gambar daerah pertidaksamaan $2x+3y \leq 12$, kita coba gambar daerah penyelesaian $2x+3y=12$.

Gambar daerah penyelesaian $2x+3y=12$ adalah sebagai berikut, gambar $2x+3y=12$ adalah berupa garis, yang artinya sepanjang garis tersebut nilai dari $2x+3y$ adalah $12$.
Program Linear: Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan Pada Program Linear

Garis $2x+3y=12$ membagi daerah menjadi dua bagian yang berbeda, pada gambar berikut daerah di atas garis yang berwarna merah dan daerah di bawah garis berwarna hijau.
Program Linear: Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan Pada Program Linear

Untuk menentukan daerah penyelesaian dari daerah hijau (*di bawah garis) dan daerah merah (*di atas garis) yang dibatasi oleh $2x+3y=12$. dapat kita lakukan dengan Uji Titik pada salah satu daerah.

Misal kita pilih sebuah titik sembarang yaitu $\left(-2,1 \right)$. Titik $\left(-2,1 \right)$ kita uji ke $2x+3y \leq 12$ dan kita peroleh:
$\begin{align}
2x+3y & \leq 12 \\
2(-2)+3(1) & \leq 12 \\
-4+3 & \leq 12 \\
-1 & \leq 12 \\
\end{align}$
Dari hasil di atas, $-1$ benar kurang dari $12$ sehingga dapat kita ambil kesimpulan bahwa titik $\left(-2,1 \right)$ berada pada daerah $2x+3y \leq 12$ yaitu daerah hijau (*di bawah garis).

Misal kita pilih sebuah titik sembarang yaitu $\left(0,0 \right)$. Titik $\left(0,0 \right)$ kita uji ke $2x+3y \leq 12$ dan kita peroleh:
$\begin{align}
2x+3y & \leq 12 \\
2(0)+3(0) & \leq 12 \\
0 & \leq 12
\end{align}$
Dari hasil di atas, $0$ benar kurang dari $12$ sehingga dapat kita ambil kesimpulan bahwa titik $\left(0,0 \right)$ berada pada daerah $2x+3y \leq 12$ yaitu daerah hijau (*di bawah garis).

Berdasarkan hasil di atas juga kita dapat menentukan daerah merah (*di atas garis) adalah daerah penyelesaian untuk $2x+3y \geq 12$.
Program Linear: Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan Pada Program Linear

Untuk menetukan Daerah Penyelesaian Dari Pertidaksamaan jika tidak memakai tanda sama dengan maka garisnya menjadi putus-putus seperti berikut ini, daerah penyelesaian dari Pertidaksamaan $2x+3y \lt 12$
Program Linear: Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan Pada Program Linear

Daerah penyelesaian yang memenuhi untuk sistem pertidaksamaan berikut ini:

$\begin{align}
x+2y & \leq 6 \\
5x+3y & \geq 15 \\
x & \geq 0\\
y & \geq 0
\end{align}$
Daerah penyelesaian dari beberapa sistem pertidaksamaan adalah irisan derah penyelesaian dari semua sistem pertidaksamaan.

Jika keempat pertidaksamaan di atas kita gambarakan dengan langkah-langkah yang dijelaskan di atas pada satu diagram kartesius maka akan kita peroleh gambar seperti berikut ini;
Soal dan Pembahasan UNBK Matematika IPA 2018 (*Simulasi UNBK 2019)
Daerah penyelesaian dari gambar di atas untuk sebelah kiri adalah gambar yang paling banyak diarsir atau yang paling gelap. Jika kita gambar tersendiri seperti gambar yang di sebelah kanan.

Untuk selanjutnya, langkah-langkah di atas sudah paham, kita cukup menggunakan trik berikut ini:

Trik untuk melihat atau menentukan daerah Himpunan Penyelesaian dapat dengan melihat koefisien $y$.
  • Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\leq$ maka Daerah Penyelesaian berada di bawah garis.
  • Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\geq$ maka Daerah Penyelesaian berada di atas garis.
Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan Pada Program Linear

Untuk melatih kemampuan dalam menyelesaikan soal tentang program linear dapat melihat soal yang berkembang pada catatan sebelumnya yaitu Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Program Linear.

1. Daerah penyelesaian yang memenuhi untuk sistem pertidaksamaan berikut ini:

$\begin{align}
x+2y & \leq 20 \\
x+y & \leq 12 \\
x & \geq 0 \\
y & \geq 0
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:

$(I).\ x+2y \leq 20$; $(II).\ x+y \leq 12$; $(III).\ x \geq 0$; $(IV).\ y \geq 0$

Soal dan Pembahasan Simulasi UNBK Matematika IPA 2019

2. Daerah penyelesaian yang memenuhi untuk sistem pertidaksamaan berikut ini:

$\begin{align}
x+2y &\leq 8 \\
3x+2y &\leq 12 \\
x & \geq 0 \\
y & \geq 0
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:

$(I).\ 3x+2y \leq 12$; $(II).\ x+2y \leq 8$; $(III).\ x \geq 0$; $(IV).\ y \geq 0$

Soal dan Pembahasan Simulasi UNBK Matematika IPA 2019

3. Daerah penyelesaian yang memenuhi untuk sistem pertidaksamaan
$\begin{align}
x+2y & \leq 10 \\
x-y & \leq 0 \\
2x-y & \geq 0 \\
x & \geq 0 \\
y & \geq 0
\end{align} $
ditunjukkan oleh daerah nomor...

Soal dan Pembahasan UNBK Matematika SMA IPA (*Simulasi UNBK)
Alternatif Pembahasan:

Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan $(1): x \geq 0$; $(2): 2x-y \geq 0$; $(3): x-y \leq 0$; $(4): x+2y \leq 10$; $(5): y \geq 0$ jika kita gambarkan (*dengan metode terbalik), seperti berikut:

Soal dan Pembahasan UNBK Matematika SMA IPA (*Simulasi UNBK)
Menentukan daerah penyelesaian dengan metode terbalik, sehingga daerah penyelesaian adalah untuk daerah yang bersih. Sehingga daerah penyelesaian adalah daerah yang ditunjukkan daerah nomor $V$


Menentukan Sistem Pertidaksamaan Pada Program Linear

Untuk belajar menentukan sistem pertidaksamaan program linear dari gambar daerah penyelesaian yang sudah diketahui dapat kita lakukan dengan menguji titik, seperti menentukan daerah peneyelesaian sistem pertidaksamaan.

Tetapi karena kita sudah paham menggunakan uji titik, kita coba belajar menggunakan trik yang sebelumnya kita gunakan yaitu:
  • Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\leq$ maka Daerah Penyelesaian berada di bawah garis.
  • Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\geq$ maka Daerah Penyelesaian berada di atas garis.

Sistem pertidaksamaan yang memenuhi untuk daerah penyelesaian seperti gambar berikut adalah...
Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian dan Sistem Pertidaksamaan Pada Program Linear

Untuk menentukan sistem pertidaksamaan dari gambar, pertama kita harus dapat menentukan persamaan yang membatasi daerah penyelesaian.
Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian dan Sistem Pertidaksamaan Pada Program Linear
Pada gambar ada tiga garis yang membatasi daerah penyelesaian yaitu garis $x=0$, $y=1$ dan $7x+5y = 35$.

Dengan menggunakan trik dan memperhatikan dari gambar di atas:
  • garis $x=0$, daerah penyelesaian ada di kanan garis sehingga sistem pertidaksamaan adalah $x \geq 0$.
  • garis $y=1$, daerah penyelesaian ada di atas garis sehingga sistem pertidaksamaan adalah $y \geq 1$.
  • garis $7x+5y=35$, koefisien $y$ positif dan daerah penyelesaian ada di bawah garis sehingga sistem pertidaksamaan adalah $7x+5y \leq 35$.
Sistem pertidaksamaan adalah $x \geq 0$, $y \geq 1 $ dan $7x+5y \leq 35$

Sistem pertidaksamaan yang memenuhi untuk daerah penyelesaian seperti gambar berikut adalah...
Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian dan Sistem Pertidaksamaan Pada Program Linear

Alternatif Pembahasan:

Untuk menentukan sistem pertidaksamaan dari gambar, pertama kita harus dapat menentukan persamaan yang membatasi daerah penyelesaian.

Soal dan Pembahasan UNBK Matematika IPS 2018 (*Simulasi UNBK 2019)
Pada gambar ada tiga garis yang membatasi daerah penyelesaian yaitu garis $x+y=4$, $-x+y=0$ dan $-x+5y=20$. Jika kesulitan untuk menentukan persamaan garis, dapat menyimak penjelasannya pada Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Persamaan Garis

Dengan menggunakan trik dan memperhatikan dari gambar di atas:
  • garis $x+y=4$, koefisien $y$ positif dan daerah penyelesaian ada di atas garis sehingga sistem pertidaksamaan adalah $x+y \geq 4$.
  • garis $-x+y=0$, koefisien $y$ positif dan daerah penyelesaian ada di atas garis sehingga sistem pertidaksamaan adalah $-x+y \geq 0$.
  • garis $-x+5y=20$, koefisien $y$ positif dan daerah penyelesaian ada di bawah garis sehingga sistem pertidaksamaan adalah $-x+5y \leq 20$.
Sistem pertidaksamaan adalah $x+y \geq 4$, $-x+y \geq 0$ dan $-x+5y \leq 20$

Sistem pertidaksamaan yang memenuhi untuk daerah penyelesaian seperti gambar berikut adalah...
Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian dan Sistem Pertidaksamaan Pada Program Linear

Alternatif Pembahasan:

Untuk menentukan sistem pertidaksamaan dari gambar, pertama kita harus dapat menentukan persamaan yang membatasi daerah penyelesaian.

Soal dan Pembahasan UNBK Matematika IPS 2018 (*Simulasi UNBK 2019)
Pada gambar ada empat garis yang membatasi daerah penyelesaian yaitu garis $x=0$, $y=0$, $2x+3y=6$ dan $2x+y=4$. Jika kesulitan untuk menentukan persamaan garis, dapat menyimak penjelasannya pada Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Persamaan Garis

Dengan menggunakan trik dan memperhatikan dari gambar di atas:
  • garis $x=0$, daerah penyelesaian ada di kanan garis sehingga sistem pertidaksamaan adalah $x \geq 0$.
  • garis $y=0$, daerah penyelesaian ada di atas garis sehingga sistem pertidaksamaan adalah $y \geq 0$.
Untuk daerah penyelesaian $A$ adalah daerah penyelesaian untuk dua pertidaksamaan, yaitu:
  • garis $2x+3y=6$, koefisien $y$ positif dan daerah penyelesaian ada di atas garis sehingga sistem pertidaksamaan adalah $2x+3y \geq 6$ atau $2x+3y-6 \geq 0$
  • garis $2x+y=4$, koefisien $y$ positif dan daerah penyelesaian ada di bawah garis sehingga sistem pertidaksamaan adalah $2x+y \leq 4$ atau $2x+y-4 \leq 0$
Dengan menggunakan konsep jika $a \leq 0$ dan $b \geq 0$ maka $ab \leq 0$, dengan daerah penyelesaian $A$ adalah daerah penyelesaian $2x+3y-6 \geq 0$ dan $2x+y-4 \leq 0$, sehingga berlaku daerah penyelesaian $A$ adalah $\left( 2x+3y-6 \right) \left(2x+y-4 \right) \leq 0$.

Untuk daerah penyelesaian $B$ adalah daerah penyelesaian untuk dua pertidaksamaan, yaitu:
  • garis $2x+3y=6$, koefisien $y$ positif dan daerah penyelesaian ada di atas garis sehingga sistem pertidaksamaan adalah $2x+3y \leq 6$ atau $2x+3y-6 \leq 0$
  • garis $2x+y=4$, koefisien $y$ positif dan daerah penyelesaian ada di bawah garis sehingga sistem pertidaksamaan adalah $2x+y \geq 4$ atau $2x+y-4 \geq 0$
Dengan menggunakan konsep jika $a \leq 0$ dan $b \geq 0$ maka $ab \leq 0$, dengan daerah penyelesaian $B$ adalah daerah penyelesaian $2x+3y-6 \leq 0$ dan $2x+y-4 \geq 0$, sehingga berlaku daerah penyelesaian $B$ adalah $\left( 2x+3y-6 \right) \left(2x+y-4 \right) \leq 0$.

Sistem pertidaksamaan yang memenuhi untuk gambar adalah $x \geq 0$, $y \geq 0$ dan $\left( 2x+3y-6 \right) \left(2x+y-4 \right) \leq 0$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Untuk perbaikan catatan calon guru ini, silahkan disampaikan saran atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian dan Sistem Pertidaksamaan Pada Program Linear 😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi πŸ™Share is Caring πŸ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Belajar pertidaksamaan Bentuk akar;
youtube image

Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar atau pertanyaan yang berhubungan dengan "Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian dan Sistem Pertidaksamaan Pada Program Linear" 😊 and please for your concern in supported of defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar