--> Skip to main content

Cara Mudah Belajar Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian dari Sistem Pertidaksamaan Pada Program Linear

Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian dan Sistem Pertidaksamaan Pada Program LinearCalon Guru belajar Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian dari Sistem Pertidaksamaan Pada Program Linear. Program linear adalah suatu metode yang digunakan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan optimasi linear (nilai maksimum dan nilai minimum). Program Linear ini salah satu materi pokok yang harus dikenal dan dipelajari siswa SMA kelas XI pada pelajaran matematika wajib.

Program linear tidak lepas dengan sistem pertidaksamaan linear. Khususnya pada tingkat sekolah menengah, sistem pertidaksamaan linear yang dimaksud adalah sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

Kompetensi dasar pada tingkat pengetahuan minimal berada sampai pada tahap "Menjelaskan program linear dua variabel dan metode penyelesaiannya dengan menggunakan masalah kontekstual" sedangkan pada tingkat keterampilan minimal sampai pada tahap "Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan program linear dua variabel".

Untuk mencapai apa yang diharapkan oleh pemerintah seperti yang tertulis pada kurikulum, ada satu materi yang penting sebelum belajar program linear, yaitu "Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian". Menyelesaikan program linear sangat terkait dengan kemampuan melakukan sketsa sistem daerah himpunan penyelesaian. Ini menjadi syarat perlu untuk mencapai kemampuan "Menjelaskan program linear dua variabel dan metode penyelesaiannya dengan menggunakan masalah kontekstual".

Untuk melihat masalah yang berkembang tentang program linear, dan sudah pernah diujikan di Ujian Nasional atau Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri dapat disimak soal dan catatan hasil diskusi kita sebelumnya yaitu Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Program Linear.

Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Pada Program Linear

Berikut ini adalah teknik menentukan daerah himpunan penyelesaian:
  1. Buat sumbu koordinat kartesius
  2. Tentukan titik potong pada sumbu $x$ dan $y$ dari semua persamaan-persamaan linearnya.
  3. Sketsa grafiknya dengan menghubungkan antara titik-titik potongnya.
  4. Pilih satu titik uji yang berada di luar garis.
  5. Substitusikan pada persamaan
  6. Tentukan daerah yang dimaksud
Untuk belajar menentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan kita mulai dari beberapa contoh pertidaksamaan yang sederhana berikut ini;

Menentukan Daerah Penyelesaian Dari Pertidaksamaan $x \leq 0$


Langkah pertama untuk menentukan daerah penyelesaian sebuah pertidaksamaan adalah kita bisa menentukan daerah penyelesaian persamaan. Sebelum kita gambar daerah pertidaksamaan $x \leq 0$, kita coba gambar daerah penyelesaian $x=0$.

Gambar daerah penyelesaian $x=0$ adalah garis yang berimpit dengan sumbu-$y$, gambar $x=0$ adalah berupa garis, yang artinya sepanjang garis tersebut nilai dari $x$ adalah $0$.
Program Linear: Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan Pada Program Linear

Garis $x=0$ membagi daerah menjadi dua bagian yang berbeda, pada gambar berikut daerah di kiri garis yang berwarna merah dan daerah di kanan garis berwarna hijau.
Program Linear: Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan Pada Program Linear
Untuk menentukan daerah penyelesaian $x \leq 0$ pada daerah hijau (*di kanan garis) atau daerah merah (*di kiri garis) yang dibatasi oleh $x=0$, dapat kita lakukan dengan Uji Titik pada salah satu daerah.

Misal kita pilih sebuah titik sembarang yaitu $\left(3,2 \right)$. Pada titik $\left(3,2 \right)$ kita peroleh $x \geq 0$ sehingga dapat kita ambil kesimpulan bahwa titik $\left(3,2 \right)$ berada pada daerah $x \geq 0$ yaitu daerah hijau (*di kanan garis).

Berdasarkan hasil di atas juga kita dapat menentukan daerah merah (*di kiri garis) adalah daerah penyelesaian untuk $x \leq 0$.
Program Linear: Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan Pada Program Linear

Menentukan Daerah Penyelesaian Dari Pertidaksamaan $y \geq 0$


Langkah pertama untuk menentukan daerah penyelesaian sebuah pertidaksamaan adalah kita bisa menentukan daerah penyelesaian persamaan. Sebelum kita gambar daerah pertidaksamaan $y \geq 0$, kita coba gambar daerah penyelesaian $y=0$.

Gambar daerah penyelesaian $y=0$ adalah garis yang berimpit dengan sumbu-$x$, gambar $y=0$ adalah berupa garis, yang artinya sepanjang garis tersebut nilai dari $y$ adalah $0$.
Program Linear: Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan Pada Program Linear

Garis $y=0$ membagi daerah menjadi dua bagian yang berbeda, pada gambar berikut daerah di bawah garis (*yang berwarna merah) dan daerah di atas garis (*yang berwarna hijau).
Program Linear: Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan Pada Program Linear

Untuk menentukan daerah penyelesaian $y \geq 0$ pada daerah merah (*di atas garis) atau daerah hijau (*di bahwa garis) yang dibatasi oleh $y=0$, dapat kita lakukan dengan Uji Titik pada salah satu daerah.

Misal kita pilih sebuah titik sembarang yaitu $\left(3,2 \right)$. Pada titik $\left(3,2 \right)$ kita peroleh $y \geq 0$ sehingga dapat kita ambil kesimpulan bahwa titik $\left(3,2 \right)$ berada pada daerah $y \geq 0$ yaitu daerah hijau (*di atas garis).

Berdasarkan hasil di atas juga kita dapat menentukan daerah merah (*di bawah garis) adalah daerah penyelesaian untuk $y \leq 0$.
Program Linear: Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan Pada Program Linear

Menentukan Daerah Penyelesaian Dari Pertidaksamaan $2x+3y \leq 12$


Langkah pertama untuk menentukan daerah penyelesaian sebuah pertidaksamaan adalah kita bisa menentukan daerah penyelesaian persamaan. Sebelum kita gambar daerah pertidaksamaan $2x+3y \leq 12$, kita coba gambar daerah penyelesaian $2x+3y=12$.

  1. Buat sumbu koordinat kartesius
  2. Tentukan titik potong pada sumbu $x$ dan $y$ dari semua persamaan-persamaan linearnya.
    • Titik potong pada sumbu $x$ maka $y=0$
      $\begin{align}
      2x+3y & = 12 \\
      2x+3(0) & = 12 \\
      2x & = 12 \\
      x & = 6
      \end{align}$
      Titik potong pada sumbu $x$ adalah $\left( 6,0 \right)$
    • Titik potong pada sumbu $y$ maka $x=0$
      $\begin{align}
      2x+3y & = 12 \\
      2(0)+3y & = 12 \\
      3y & = 12 \\
      y & = 4
      \end{align}$
      Titik potong pada sumbu $y$ adalah $\left( 0,4 \right)$
  3. Sketsa grafiknya dengan menghubungkan antara titik-titik potongnya.
    Gambar daerah penyelesaian $2x+3y=12$ adalah sebagai berikut, gambar $2x+3y=12$ adalah berupa garis, yang artinya sepanjang garis tersebut nilai dari $2x+3y$ adalah $12$.
    Program Linear: Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan Pada Program Linear
  4. Pilih satu titik uji yang berada di luar garis, kita pilih titik $\left( 0,0 \right)$
  5. Substitusikan pada persamaan
    Garis $2x+3y=12$ membagi daerah menjadi dua bagian yang berbeda, pada gambar berikut daerah di atas garis yang berwarna merah dan daerah di bawah garis berwarna hijau.
    Program Linear: Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan Pada Program Linear

    Untuk menentukan daerah penyelesaian dari daerah hijau (*di bawah garis) dan daerah merah (*di atas garis) yang dibatasi oleh $2x+3y=12$. dapat kita lakukan dengan Uji Titik pada salah satu daerah.

    Misal kita pilih sebuah titik sembarang yaitu $\left(0,0 \right)$. Titik $\left(0,0 \right)$ kita uji ke $2x+3y \leq 12$ dan kita peroleh:
    $\begin{align}
    2x+3y & \leq 12 \\
    2(0)+3(0) & \leq 12 \\
    0 & \leq 12
    \end{align}$
    Dari hasil di atas, $0$ benar kurang dari $12$ sehingga dapat kita ambil kesimpulan bahwa titik $\left(0,0 \right)$ berada pada daerah yang diinginkan $2x+3y \leq 12$ yaitu daerah hijau (*di bawah garis).

    Jika kurang paham kita coba satu titik lagi, misal kita pilih sebuah titik sembarang yaitu $\left(-2,1 \right)$. Titik $\left(-2,1 \right)$ kita uji ke $2x+3y \leq 12$ dan kita peroleh:
    $\begin{align}
    2x+3y & \leq 12 \\
    2(-2)+3(1) & \leq 12 \\
    -4+3 & \leq 12 \\
    -1 & \leq 12 \\
    \end{align}$
    Dari hasil di atas, $-1$ benar kurang dari $12$ sehingga dapat kita ambil kesimpulan bahwa titik $\left(-2,1 \right)$ berada pada daerah yang diinginkan $2x+3y \leq 12$ yaitu daerah hijau (*di bawah garis).
    Program Linear: Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan Pada Program Linear

    Berdasarkan hasil yang kita peroleh di atas juga kita dapat menentukan daerah merah (*di atas garis) adalah daerah penyelesaian untuk $2x+3y \geq 12$.

Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan jika tidak memakai tanda sama dengan maka garisnya menjadi putus-putus seperti berikut. Daerah penyelesaian dari pertidaksamaan $2x+3y \lt 12$, atau bisa kita sebutkan daerah himpunan penyelesaian $2x+3y$ yang kurang dari $12$.
Program Linear: Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan Pada Program Linear

Daerah penyelesaian yang memenuhi untuk sistem pertidaksamaan berikut ini:

$\begin{align}
x+2y & \leq 6 \\
5x+3y & \leq 15 \\
x & \geq 0\\
y & \geq 0
\end{align}$
Jika keempat pertidaksamaan di atas kita gambarkan dengan langkah-langkah seperti yang dijelaskan di atas pada diagram kartesius maka akan kita peroleh gambar seperti berikut ini;
Cara Mudah Belajar Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian dari Sistem Pertidaksamaan Pada Program Linear

Setelah kita dapatkan gambaran dari daerah HP pertidaksamaan yang diinginkan, daerah HP dari beberapa pertidaksamaan disebutlah dengan Daerah Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan. Daerah HP Sistem Pertidaksamaan adalah Irisan dari beberapa daerah HP pertidaksamaan.
Untuk memperoleh irisan beberapa HP pertidaksamaan, dapat kita peroleh dengan menggambarnya dalam satu diagram koordinat kartesius. Seperti berikut ini:
Cara Mudah Belajar Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian dari Sistem Pertidaksamaan Pada Program Linear

Daerah HP Sistem Pertidaksamaan adalah Irisan dari beberapa daerah HP pertidaksamaan, bisa dilihat dari daerah yang memenuhi keempat pertidaksamaan. Jika menggunakan metode arsiran, maka HP adalah daerah yang paling banyak terkena arsiran. Pada gambar di atas daerah irisan HP adalah daerah arisran yang diarsir empat kali.Seperti berikut ini:
Cara Mudah Belajar Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian dari Sistem Pertidaksamaan Pada Program Linear

Selanjutnya jika langkah-langkah di atas sudah paham, kita dapat menggunakan trik berikut ini untuk menghemat bebrapa langkah dalam menentukan daerah himpunan penyelesaian:

Sebagai alternatif, trik untuk menentukan daerah Himpunan Penyelesaian.
Dengan melihat koefisien variabel $y$ pada pertidaksamaan.
  • Jika koefisien $y$ positif dan tanda pertidaksamaan $\leq$ maka Daerah Penyelesaian berada di bawah garis.
  • Jika koefisien $y$ positif dan tanda pertidaksamaan $\geq$ maka Daerah Penyelesaian berada di atas garis.
Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan Pada Program Linear

Untuk melatih kemampuan dalam menyelesaikan soal tentang program linear dapat melihat soal yang berkembang pada catatan sebelumnya yaitu Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Program Linear.

1. Daerah penyelesaian yang memenuhi untuk sistem pertidaksamaan berikut ini:
$\begin{align}
x+2y & \leq 20 \\
x+y & \leq 12 \\
x & \geq 0 \\
y & \geq 0
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
show

$(I)\ x+2y \leq 20$ ; $(II)\ x+y \leq 12$ ; $(III)\ x \geq 0$ ; $(IV)\ y \geq 0$
Jika sistem pertidaksamaan di atas kita gambarkan dalam satu diagram koordinat kartesius maka gambarnya dapat berupa seperti berikut ini:

Cara Mudah Belajar Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian dari Sistem Pertidaksamaan Pada Program Linear

Ada kalanya kita kesulitan melihat himpunan penyelesaian karena himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear adalah daerah yang paling banyak diarsir.
Sebagai alternatif dapat digunakan dengan metode terbalik. Caranya, yang diarsir bukan daerah HP pertidaksamaan (terbalik). Dengan matode terbalik, HP adalah daerah yang tidak dirsir atau daerah yang bersih. Gambarannya seperti berikut:
Cara Mudah Belajar Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian dari Sistem Pertidaksamaan Pada Program Linear


2. Daerah penyelesaian yang memenuhi untuk sistem pertidaksamaan berikut ini:
$\begin{align}
x+2y &\leq 8 \\
3x+2y &\leq 12 \\
x & \geq 0 \\
y & \geq 0
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
show

$(I)\ 3x+2y \leq 12$ ; $(II)\ x+2y \leq 8$ ; $(III)\ x \geq 0$ ; $(IV)\ y \geq 0$
Jika sistem pertidaksamaan di atas kita gambarkan dalam satu diagram koordinat kartesius maka gambarnya dapat berupa seperti berikut ini:

Cara Mudah Belajar Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian dari Sistem Pertidaksamaan Pada Program Linear

Ada kalanya kita kesulitan melihat himpunan penyelesaian karena himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear adalah daerah yang paling banyak diarsir.
Sebagai alternatif dapat digunakan dengan metode terbalik. Caranya, yang diarsir bukan daerah HP pertidaksamaan (terbalik). Dengan matode terbalik, HP adalah daerah yang tidak dirsir atau daerah yang bersih. Gambarannya seperti berikut:
Cara Mudah Belajar Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian dari Sistem Pertidaksamaan Pada Program Linear


3. Daerah penyelesaian yang memenuhi untuk sistem pertidaksamaan
$\begin{align}
x+2y & \leq 10 \\
x-y & \leq 0 \\
2x-y & \geq 0 \\
x & \geq 0 \\
y & \geq 0
\end{align} $
ditunjukkan oleh daerah nomor...
Soal dan Pembahasan UNBK Matematika SMA IPA (*Simulasi UNBK)
Alternatif Pembahasan:
show

Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan $(1): x+2y \leq 10$ ; $(2): x-y \leq 0$ ; $(3): 2x-y \geq 0$ ; $(4): x \geq 0$ ; $(5): y \geq 0$.
Jika sistem pertidaksamaan di atas kita gambarkan dalam satu diagram koordinat kartesius maka gambarnya dapat berupa seperti berikut ini:

Cara Mudah Belajar Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian dari Sistem Pertidaksamaan Pada Program Linear

Ada kalanya kita kesulitan melihat himpunan penyelesaian karena himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear adalah daerah yang paling banyak diarsir.
Sebagai alternatif dapat digunakan dengan metode terbalik. Caranya, yang diarsir bukan daerah HP pertidaksamaan (terbalik). Dengan matode terbalik, HP adalah daerah yang tidak dirsir atau daerah yang bersih. Gambarannya seperti berikut:
Cara Mudah Belajar Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian dari Sistem Pertidaksamaan Pada Program Linear

Daerah HP sisitem pertidaksamaan adalah daerah yang ditunjukkan pada gambar daerah nomor $V$


Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Cara Mudah Belajar Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian dari Sistem Pertidaksamaan Pada Program Linear silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Belajar pertidaksamaan Bentuk akar;
youtube image

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Cara Mudah Belajar Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian dari Sistem Pertidaksamaan Pada Program Linear" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih 🙏 support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar