Matematika Dasar Program Linear (*Soal Dari Berbagai Sumber)

Matematika Dasar yang akan kita diskusikan berikut adalah tentang Program Linear. Program linear adalah salah satu bagian dari matematika terapan yang dapat memecahkan berbagai persolan sehari-hari, dimana model matematika terdiri atas pertidaksamaan-pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak penyelesaian dan program linear membantu mendapatakan satu atau lebih penyelesaian yang paling baik.

Untuk memantapkan pembahasan soal-soal program linear ini sangat diharapkan kita sudah bisa setidaknya tentang pertidaksamaan, karena program linear ini selalu akan berhubungan dengan batasan atau kendala-kendala.

Kesulitan menganalisa kalimat soal jadi salah satu masalah paling umum dalam diskusi tentang program linear. Mudah-mudahan diksusi kita berikut ini menambah pemahaman tentang program linear.

Mari kita simak beberapa sampel soal untuk dibahas yaitu dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) atau SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri) dan UN (Ujian Nasional). Soal-soal dan pembahasan Program Linear berikut ini masih jauh dari sempurna, jadi jika ada masukan yang sifatnya membangun silahkan disampaikan.

Mari kita simak contoh Soal dan Pembahasan Program Linear berikut 😊

1.Soal SPMB 2007

Seorang pedagang khusus menjual produk A dan produk B. Produk A dibeli seharga Rp2.000,00 per unit, dijual dengan laba Rp800,00. Produk B dibeli seharga Rp4.000,00 per unit, dijual dengan laba Rp600,00. Jika ia mempunyai modal Rp1.600.000,00 dan gudangnya mampu menampung paling banyak 500 unit, maka keuntungan terbesar diperoleh bila ia membeli…
$\begin{align}
(A)\ & \text{300 unit produk A dan 200 unit produk B} \\
(B)\ & \text{200 unit produk A dan 300 unit produk B} \\
(C)\ & \text{300 unit produk A dan 300 unit produk B} \\
(D)\ & \text{500 unit produk A saja} \\
(E)\ & \text{400 unit produk A saja}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dengan memisalkan banyak $\text{barang}\ A= x$ dan $\text{barang}\ B= y$

Produk Banyak Harga Beli Laba
$A$ $x$ $2000x$ $800x$
$B$ $y$ $4000y$$600y$
Ketersediaan$500$ $1.600.000$$\cdots$
Dari tabel diatas dan keterangan soal diatas, jika dapat kita tuliskan dalam bentuk pertidaksamaan sebagai berikut;
  • Belanja maksimum adalah $Rp1.600.000$ maka $2000x+4000y \leq 1.600.000$, disederhanakan: $x+2y \leq 800$.
  • Banyak barang maksimum adalah $500$ maka $x+y \leq 500$.
  • Banyak barang $A$ paling sedikit adalah $0$ maka $x\geq 0$
  • Banyak barang $B$ paling sedikit adalah $0$ maka $y\geq 0$
  • Fungsi tujuan laba $L=800x+600y$
Daerah Himpunan Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan diatas kita gambarkan sebagai berikut;
Dengan metode sebenarnya, daerah HP adalah darerah yang paling banyak dilalui oleh arsiran.
Dengan Metode Terbalik, daerah HP adalah daerah yang bersih.
Dari daerah HP diatas, untuk menentukan nilai maksimum kita gunakan dengan titik uji;
Titik $L=800x+600y$ Total Laba
$A\ (0,0)$ $800(0)+600(0) $ $0$
$B\ (500,0)$ $800(500)+600(0) $ $400.000$
$C\ (200,300)$ $800(200)+600(300) $$340.000$
$D\ (0,400)$ $800(0)+600(400) $$240.000$
Dari tabel diatas laba maksimum $Rp400.000$ pada saat $(500,0)$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \text{500 unit produk A saja}$

2. Soal SPMB 2007

Untuk membuat barang $A$ diperlukan $6$ jam kerja mesin $I$ dan $4$ jam kerja mesin $II$, sedangkan untuk barang $B$ diperlukan $4$ jam kerja mesin $I$ dan $8$ jam kerja mesin $II$. Setiap hari kedua mesin tersebut bekerja tidak lebih dari $18$ jam. Jika setiap hari dapat dihasilkan $x$ barang $A$, $y$ barang $B$ maka model matematikanya adalah sistem pertidaksamaan
$\begin{align}
(A)\ & 6x+4y \leq 18;\ 2x+8y\leq18;\ x\geq 0;\ \text{dan}\ y \geq 0 \\
(B)\ & 3x+2y \leq 9;\ 2x+4y\leq 9;\ x\geq 0;\ \text{dan}\ y \geq 0 \\
(C)\ & 2x+3y \leq 9;\ 4x+2y\leq 9;\ x\geq 0;\ \text{dan}\ y \geq 0 \\
(D)\ & 3x+4y \leq 9;\ 2x+2y\leq 9;\ x\geq 0;\ \text{dan}\ y \geq 0 \\
(E)\ & 2x+3y \leq 9;\ 2x+4y\leq 9;\ x\geq 0;\ \text{dan}\ y \geq 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Pada soal sudah dimisalkan banyak $\text{barang}\ A= x$ dan $\text{barang}\ B= y$

Produk Banyak Mesin $I$ Mesin $II$
$A$ $x$ $6x$ $4x$
$B$ $y$ $4y$$8y$
Waktu$\cdots$ $18$$18$
Dari tabel diatas dan keterangan soal diatas, jika dapat kita tuliskan dalam bentuk pertidaksamaan sebagai berikut;
  • Mesin $I$ kerja tidak lebih dari $18$ jam maka $6x+4y \leq 18$, disederhanakan: $3x+2y \leq 9$.
  • Mesin $II$ kerja tidak lebih dari $18$ jam maka $4x+8y \leq 18$, disederhanakan: $2x+4y \leq 9$.
  • Banyak barang $A$ paling sedikit adalah $0$ maka $x\geq 0$
  • Banyak barang $B$ paling sedikit adalah $0$ maka $y\geq 0$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 3x+2y \leq 9;\ 2x+4y\leq 9;\ x\geq 0;\ \text{dan}\ y \geq 0$

3. Soal SNMPTN 2008

Nilai maksimum dari $F(x,y)=2x+3y$ pada daerah $3x+y \geq 9$; $3x+2y\leq 12$; $x\geq 0$ dan $y\geq 0$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6\\
(B)\ & 12 \\
(C)\ & 13 \\
(D)\ & 18 \\
(E)\ & 27
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Daerah Himpunan Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan diatas kita gambarkan dengan metode terbalik, daerah HP adalah daerah yang bersih. Gambarnya kurang lebih seperti berikut ini;

Dari daerah HP diatas, untuk menentukan nilai maksimum kita gunakan dengan titik uji;
Titik $F=2x+3y$ Nilai
$A\ (3,0)$ $2(3)+3(0) $ $6$
$B\ (4,0)$ $2(4)+3(0) $ $8$
$C\ (2,3)$ $2(2)+3(3) $$13$
Dari tabel diatas nilai maksimum $13$ pada saat $(2,3)$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 13$

4. Soal SNMPTN 2010

Jika fungsi $f(x,y)=500+x+y$; dengan syarat $x\geq 0$; $y\geq 0$; $2x-y-2\geq 0$ dan $x+2y-6\geq 0$; maka...
$(A)$ Fungsi $f$ mempunyai nilai maksimum dan tidak mempunyai nilai minimum.
$(B)$ Nilai maksimum atau nilai minimum fungsi $f$ tidak dapat ditentukan.
$(C)$ Fungsi $f$ mempunyai nilai minimum dan tidak mempunyai nilai maksimum.
$(D)$ Fungsi $f$ tidak mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum.
$(E)$ Fungsi $f$ mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum.
Alternatif Pembahasan:

Hint

Daerah Himpunan Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan diatas kita gambarkan dengan metode terbalik, daerah HP adalah daerah yang bersih. Gambarnya kurang lebih seperti berikut ini;

Dari daerah HP diatas, terlihat bahwa daerah Himpunan Penyelesaian tidak tertutup ke daerah atas sehingga nilai maksimumnya tidak dapat ditentukan, dengan kata lain tidak mempunyai nilai masksimum.
Dari gambar yang paling sesuai adalah Fungsi $f$ mempunyai nilai minimum dan tidak mempunyai nilai maksimum.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)$ Fungsi $f$ mempunyai nilai minimum dan tidak mempunyai nilai maksimum.

5.Soal SNMPTN 2011

Fungsi $f(x,y)=cx+4y$ dengan kendala $2x+y \geq 10$; $x+2y \geq 8$; $x \geq 0$ dan $y \geq 0$ mencapai nilai minimum di $(4,2)$ jika...
$\begin{align}
(A)\ & c \leq -8\ \text{atau}\ c \geq 2 \\
(B)\ & 2 \leq c \leq 8 \\
(C)\ & c \leq 2\ \text{atau}\ c \geq 8 \\
(D)\ & 2 \leq c \leq 10 \\
(E)\ & -2 \leq c \leq 8 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari sistem pertidaksamaan yang diberikan, jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut;
(*dengan metode terbalik, daerah HP adalah daerah yang bersih)

Dari daerah HP diatas jika kita gunakan dengan titik uji maka diperoleh;
Titik $f(x,y)=cx+4y$ Total Laba
$A\ (8,0)$ $c(8)+4(0) $ $8c$
$B\ (4,2)$ $c(4)+4(2) $ $4c+8$
$C\ (0,10)$ $c(0)+4(10) $$40$
Dari tabel diatas dan apa yang dismapaikan pada soal bahwa nilai minimum pada $(4,2)$ yaitu $4c+8$.
Kesimpulan yang dapat kita ambil adalah;
$\begin{align}
4c+8 & \leq 8c \\
8 & \leq 8c-4c \\
8 & \leq 4c \\
2 & \leq c\ \text{(i)}\\
4c+8 & \leq 40 \\
4c & \leq 40-8 \\
4c & \leq 32 \\
c & \leq 8\ \text{(ii)}
\end{align}$
Irisan dari kedua pertidaksamaan diatas adala: $2 \leq c \leq 8$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 2 \leq c \leq 8 \\$

"Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan" ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Program Linear (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada lembar jawaban pembahasan Penilaian Harian, pembahasan Quiz atau pada saat presentasi diskusi di kelas.

Jadi jika ada masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian atau request pembahasan soal, silahkan disampaikan, kami dengan senang hati segera menanggapinya😊😊.
Jika Bermanfaat👌 Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring👀

Matematika dapat mempengaruhi karakter kita, mari kita simak penjelasannya pada video berikut;

You Might Also Like: