Skip to main content

Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Program Linear

Matematika Dasar Program Linear (*Soal Dari Berbagai Sumber)Catatan calon guru yang kita diskusikan saat ini akan membahas tentang Matematika Dasar Program Linear. Tetapi jika kita ingin belajar matematika dasar program linear, maka ada baiknya kita sudah sedikit paham tentang matematika dasar pertidaksamaan, matematika dasar persamaan garis, dan matematika dasar sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) karena ini adalah salah satu syarat perlu, agar lebih cepat dalam belajar memahami program linear.

Penerapan program linear dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya menemukan nilai maksimum atau minimum. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada program linear sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal program linear dan menemukan solusinya.

Program linear adalah salah satu bagian dari matematika terapan yang dapat memecahkan berbagai masalah sehari-hari, dimana model matematika terdiri atas pertidaksamaan-pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak penyelesaian. Dan program linear membantu mendapatakan satu atau lebih penyelesaian yang paling baik.

Kesulitan menganalisa kalimat soal jadi salah satu masalah paling umum dalam diskusi tentang program linear. Mudah-mudahan diksusi kita berikut ini menambah pemahaman tentang program linear.

Mari kita simak beberapa sampel soal untuk dibahas yaitu dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) atau SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri) dan UN (Ujian Nasional). Soal-soal dan pembahasan Program Linear berikut ini masih jauh dari sempurna, jadi jika ada masukan yang sifatnya membangun silahkan disampaikan.

Mari kita simak contoh Soal dan Pembahasan Program Linear berikut ๐Ÿ˜Š

1. Soal SPMB 2007 Kode 441 (*Soal Lengkap)

Seorang pedagang khusus menjual produk A dan produk B. Produk A dibeli seharga Rp2.000,00 per unit, dijual dengan laba Rp800,00. Produk B dibeli seharga Rp4.000,00 per unit, dijual dengan laba Rp600,00. Jika ia mempunyai modal Rp1.600.000,00 dan gudangnya mampu menampung paling banyak 500 unit, maka keuntungan terbesar diperoleh bila ia membeli…
$\begin{align}
(A)\ & \text{300 unit produk A dan 200 unit produk B} \\
(B)\ & \text{200 unit produk A dan 300 unit produk B} \\
(C)\ & \text{300 unit produk A dan 300 unit produk B} \\
(D)\ & \text{500 unit produk A saja} \\
(E)\ & \text{400 unit produk A saja}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dengan memisalkan banyak $\text{barang}\ A= x$ dan $\text{barang}\ B= y$

Deskripsi Soal
Produk Banyak Harga Beli Laba
$A$ $x$ $2000x$ $800x$
$B$ $y$ $4000y$$600y$
Ketersediaan$500$ $1.600.000$$\cdots$
Dari tabel diatas dan keterangan soal diatas, jika dapat kita tuliskan dalam bentuk pertidaksamaan sebagai berikut;
  • Belanja maksimum adalah $Rp1.600.000$ maka $2000x+4000y \leq 1.600.000$, disederhanakan: $x+2y \leq 800$.
  • Banyak barang maksimum adalah $500$ maka $x+y \leq 500$.
  • Banyak barang $A$ paling sedikit adalah $0$ maka $x\geq 0$
  • Banyak barang $B$ paling sedikit adalah $0$ maka $y\geq 0$
  • Fungsi tujuan laba $L=800x+600y$
Daerah Himpunan Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan diatas kita gambarkan sebagai berikut;
Dengan metode sebenarnya, daerah HP adalah darerah yang paling banyak dilalui oleh arsiran.
Matematika Dasar Program Linear (*Soal Dari Berbagai Sumber)
Dengan Metode Sebenarnya seperti di atas daerah HP adalah daerah yang paling banyak dilalui oleh arsiran, dan umumnya di akhir pekerjaan akan kesulitan untuk menemukan daerah yang paling banyak diarsir sehingga dipakai Dengan Metode Terbalik, daerah Hipunan Penyelesaian adalah daerah yang bersih (tidak ada arsiran).
Matematika Dasar Program Linear (*Soal Dari Berbagai Sumber)
Dari daerah HP diatas, untuk menentukan nilai maksimum kita gunakan dengan titik uji;
Uji Titik
Titik $L=800x+600y$ Total Laba
$A\ (0,0)$ $800(0)+600(0) $ $0$
$B\ (500,0)$ $800(500)+600(0) $ $400.000$
$C\ (200,300)$ $800(200)+600(300) $$340.000$
$D\ (0,400)$ $800(0)+600(400) $$240.000$
Dari tabel diatas laba maksimum $Rp400.000$ pada saat $(500,0)$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \text{500 unit produk A saja}$

2. Soal SPMB 2007 Kode 541 (*Soal Lengkap)

Untuk membuat barang $A$ diperlukan $6$ jam kerja mesin $I$ dan $4$ jam kerja mesin $II$, sedangkan untuk barang $B$ diperlukan $4$ jam kerja mesin $I$ dan $8$ jam kerja mesin $II$. Setiap hari kedua mesin tersebut bekerja tidak lebih dari $18$ jam. Jika setiap hari dapat dihasilkan $x$ barang $A$, $y$ barang $B$ maka model matematikanya adalah sistem pertidaksamaan
$\begin{align}
(A)\ & 6x+4y \leq 18;\ 2x+8y\leq18;\ x\geq 0;\ \text{dan}\ y \geq 0 \\
(B)\ & 3x+2y \leq 9;\ 2x+4y\leq 9;\ x\geq 0;\ \text{dan}\ y \geq 0 \\
(C)\ & 2x+3y \leq 9;\ 4x+2y\leq 9;\ x\geq 0;\ \text{dan}\ y \geq 0 \\
(D)\ & 3x+4y \leq 9;\ 2x+2y\leq 9;\ x\geq 0;\ \text{dan}\ y \geq 0 \\
(E)\ & 2x+3y \leq 9;\ 2x+4y\leq 9;\ x\geq 0;\ \text{dan}\ y \geq 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal sudah dimisalkan banyak $\text{barang}\ A= x$ dan $\text{barang}\ B= y$

Deskripsi Soal
Produk Banyak Mesin $I$ Mesin $II$
$A$ $x$ $6x$ $4x$
$B$ $y$ $4y$$8y$
Waktu$\cdots$ $18$$18$
Dari tabel diatas dan keterangan soal diatas, jika dapat kita tuliskan dalam bentuk pertidaksamaan sebagai berikut;
  • Mesin $I$ kerja tidak lebih dari $18$ jam maka $6x+4y \leq 18$, disederhanakan: $3x+2y \leq 9$.
  • Mesin $II$ kerja tidak lebih dari $18$ jam maka $4x+8y \leq 18$, disederhanakan: $2x+4y \leq 9$.
  • Banyak barang $A$ paling sedikit adalah $0$ maka $x\geq 0$
  • Banyak barang $B$ paling sedikit adalah $0$ maka $y\geq 0$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 3x+2y \leq 9;\ 2x+4y\leq 9;\ x\geq 0;\ \text{dan}\ y \geq 0$

3. Soal SNMPTN 2008 Kode 201 (*Soal Lengkap)

Nilai maksimum dari $F(x,y)=2x+3y$ pada daerah $3x+y \geq 9$; $3x+2y\leq 12$; $x\geq 0$ dan $y\geq 0$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6\\
(B)\ & 12 \\
(C)\ & 13 \\
(D)\ & 18 \\
(E)\ & 27
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Daerah Himpunan Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan diatas kita gambarkan dengan metode terbalik, daerah HP adalah daerah yang bersih. Gambarnya kurang lebih seperti berikut ini;

Matematika Dasar Program Linear (*Soal Dari Berbagai Sumber)
Dari daerah HP diatas, untuk menentukan nilai maksimum kita gunakan dengan titik uji;
Uji Titik
Titik $F=2x+3y$ Nilai
$A\ (3,0)$ $2(3)+3(0) $ $6$
$B\ (4,0)$ $2(4)+3(0) $ $8$
$C\ (2,3)$ $2(2)+3(3) $$13$
Dari tabel diatas nilai maksimum $13$ pada saat $(2,3)$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 13$

4. Soal SNMPTN 2010 Kode 744 (*Soal Lengkap)

Jika fungsi $f(x,y)=500+x+y$; dengan syarat $x\geq 0$; $y\geq 0$; $2x-y-2\geq 0$ dan $x+2y-6\geq 0$; maka...
$(A)$ Fungsi $f$ mempunyai nilai maksimum dan tidak mempunyai nilai minimum.
$(B)$ Nilai maksimum atau nilai minimum fungsi $f$ tidak dapat ditentukan.
$(C)$ Fungsi $f$ mempunyai nilai minimum dan tidak mempunyai nilai maksimum.
$(D)$ Fungsi $f$ tidak mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum.
$(E)$ Fungsi $f$ mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum.
Alternatif Pembahasan:

Daerah Himpunan Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan diatas kita gambarkan dengan metode terbalik, daerah HP adalah daerah yang bersih. Gambarnya kurang lebih seperti berikut ini;

Soal dan pembahasan program linear
Dari daerah HP diatas, terlihat bahwa daerah Himpunan Penyelesaian tidak tertutup ke daerah atas sehingga nilai maksimumnya tidak dapat ditentukan, dengan kata lain tidak mempunyai nilai masksimum.
Dari gambar yang paling sesuai adalah Fungsi $f$ mempunyai nilai minimum dan tidak mempunyai nilai maksimum.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)$ Fungsi $f$ mempunyai nilai minimum dan tidak mempunyai nilai maksimum.

5. Soal SNMPTN 2011 Kode 879 (*Soal Lengkap)

Fungsi $f(x,y)=cx+4y$ dengan kendala $2x+y \geq 10$; $x+2y \geq 8$; $x \geq 0$ dan $y \geq 0$ mencapai nilai minimum di $(4,2)$ jika...
$\begin{align}
(A)\ & c \leq -8\ \text{atau}\ c \geq 2 \\
(B)\ & 2 \leq c \leq 8 \\
(C)\ & c \leq 2\ \text{atau}\ c \geq 8 \\
(D)\ & 2 \leq c \leq 10 \\
(E)\ & -2 \leq c \leq 8 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari sistem pertidaksamaan yang diberikan, jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut;
(*dengan metode terbalik, daerah HP adalah daerah yang bersih)

Matematika Dasar Program Linear (*Soal Dari Berbagai Sumber)
Dari daerah HP diatas jika kita gunakan dengan titik uji maka diperoleh;
Uji Titik
Titik $f(x,y)=cx+4y$ Total Laba
$A\ (8,0)$ $c(8)+4(0) $ $8c$
$B\ (4,2)$ $c(4)+4(2) $ $4c+8$
$C\ (0,10)$ $c(0)+4(10) $$40$
Dari tabel diatas dan apa yang dismapaikan pada soal bahwa nilai minimum pada $(4,2)$ yaitu $4c+8$.
Kesimpulan yang dapat kita ambil adalah;
$\begin{align}
4c+8 & \leq 8c \\
8 & \leq 8c-4c \\
8 & \leq 4c \\
2 & \leq c\ \text{(i)}\\
4c+8 & \leq 40 \\
4c & \leq 40-8 \\
4c & \leq 32 \\
c & \leq 8\ \text{(ii)}
\end{align}$
Irisan dari kedua pertidaksamaan diatas adala: $2 \leq c \leq 8$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 2 \leq c \leq 8$

6. Soal Simulasi UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Daerah yang diarsir pada grafik berikut merupakan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan adalah...
Soal dan Pembahasan UNBK Matematika IPA 2018 (*Simulasi UNBK 2019)
Sistem pertidaksamaan linear yang sesuai adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x+2y \leq 6;\ 5x+3y \leq 15;\ x \geq 0;\ y \geq 0 \\
(B)\ & x+2y \leq 6;\ 5x+3y \geq 15;\ x \geq 0;\ y \geq 0 \\
(C)\ & x+2y \geq 6;\ 5x+3y \leq 15;\ x \geq 0;\ y \geq 0 \\
(D)\ & x+2y \geq 6;\ 5x+3y \geq 15;\ x \geq 0;\ y \geq 0 \\
(E)\ & x+2y \leq 6;\ 3x+5y \geq 15;\ x \geq 0;\ y \geq 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menentukan sistem pertidaksamaan dari daerah yang diarsir pada gambar, pertama kita harus mendapatkan sistem persamaannya atau batas-batas daerah yang diarsir.
Pada gambar diatas ada 4 garis yang membatasi daerah yang diarsir, coba kita berikan ilustrasinya;

Soal dan Pembahasan Simulasi UNBK Matematika 2019
Batas-batas daerah yang memenuhi;
  • $I:\ 3x+6y=18\ \rightarrow\ x+2y=6$
  • $II:\ 5x+3y=15$
  • $III:\ y=0$
  • $IV:\ x=0$

Untuk menentukan pertidaksamaannya, kita tentukan dengan titik uji. Kita pilih sebuah titik pada daerah yang merupakan himpunan penyelesaian atau daerah yang diarsir pada gambar.
  • Titik $(0,0)$ ke $x+2y=6$ diperoleh $ 0 \leq 12 $, maka pertidaksamaannya adalah $ x+2y \leq 6 $.
  • Titik $(0,0)$ ke $5x+3y=15$ diperoleh $ 0 \leq 15 $, maka pertidaksamaannya adalah $ 5x+3y \leq 15 $.
  • Untuk batas $III$ dan $IV$ daerah yang diarsir adalah daerah $x \geq 0;\ y \geq 0$

Trik untuk melihat atau menentukan daerah Himpunan Penyelesaian dapat dengan melihat koefisien $y$.
  • Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\leq$ maka daerah HP berada di bawah garis.
  • Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\geq$ maka daerah HP berada di atas garis.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ x+2y \leq 6;\ 5x+3y \leq 15;\ x \geq 0;\ y \geq 0$

7. Soal Simulasi UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Seoarang petani ikan ingin membuat 12 kolam ikan untuk ikan lele dan ikan gurami. Kolam ikan lele memerlukan lahan $20\ m^{2}$ dan kolam ikan gurmai memerlukan lahan $40\ m^{2}$, sedangkan lahan yang tersedia hanya $400\ m^{2}$. Setiap kolam ikan gurami menghasilakn keuntungan $Rp10.000.000,00$ dan setiap kolam ikan lele menghasilakn keuntungan $Rp6.000.000,00$. Keuntungan maksimum yang bisa diperoleh petani tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & Rp72.000.000,00 \\
(B)\ & Rp75.000.000,00 \\
(C)\ & Rp88.000.000,00 \\
(D)\ & Rp104.000.000,00 \\
(E)\ & Rp115.000.000,00
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Informasi yang ada pada soal coba kita rangkum dalam bentuk tabel, dengan memisalkan banyak kolam $\text{lele}\ =x$ dan $\text{gurami}\ =y$ maka kurang lebih menjadi seperti berikut ini;

Deskripsi Soal
Jenis Kolam lahan banyak
Lele ($x$) $20$ $x$
Gurami ($y$) $40$ $y$
Tersedia $400$ $12$
Keuntungan yang diharapkan tergantung nilai $x$ dan $y$ yaitu $Z=6.000.000x+10.000.000y$.

Dari tabel diatas, dapat kita bentuk sistem pertidaksamaannya;
$\begin{align}
20x+40y & \leq 400 \\
\left( x+2y \leq 20 \right) & \\
x+y & \leq 12 \\
x & \geq 0 \\
y & \geq 0
\end{align} $
Trik untuk melihat atau menentukan daerah Himpunan Penyelesaian dapat dengan melihat koefisien $y$.
  • Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\leq$ maka daerah HP berada di bawah garis.
  • Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\geq$ maka daerah HP berada di atas garis.
Jika kita gambarkan ilustrasi daerah Himpunan Penyelesaian sistem pertidaksamaan diatas adalah;
Soal dan Pembahasan Simulasi UNBK Matematika IPA 2019
Untuk mendapatkan penjualan maksimum, salah satu caranya dapat dengan titik uji pada titik sudut daerah HP kepada fungsi tujuan $Z=6x+10y$ (dalam jutaan).
  • titik $(0,0)$ maka $Z=6 (0)+10 (0)=0$
  • titik $(12,0)$ maka $Z=6 (12)+10 (0)=72 $
  • titik $(4,8)$ maka $Z=6 (4)+10 (8)=104 $
  • titik $(4,8)$ kita peroleh dengan mengeliminasi atau substitusi garis 1 dan garis 2
  • titik $(0,10)$ maka $Z=6 (0)+10 (10)=100 $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ Rp104.000.000,00$

8. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)

Seorang pedagang akan membeli baju atasan dan rok dengan harga pembelian baju atasan $Rp60.000,00$ per potong dan harga pembelian rok $Rp30.000,00$ per potong. Jumlah baju atasan dan rok yang dibeli paling banyak $40$ potong dan modal yang dimiliki pedagang itu sebesar $Rp18.000.000,00$.
Jika $x$ menyatakan banyak baju atasan dan $y$ menyetakan banyak rok, model matematika yang tepat dari permasalahan tersebut adalah...
$(A)\ x+y \leq 40;\ x+2y \leq 600;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
$(B)\ x+y \leq 40;\ 2x+y \leq 600;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
$(C)\ x+y \leq 40;\ x+y \leq 600;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
$(D)\ x+2y \leq 40;\ 2x+y \leq 600;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
$(E)\ 2x+y \leq 40;\ 2x+y \leq 600;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
Alternatif Pembahasan:

Dari harga yang disampaikan pada soal diatas, baju atasan $Rp60.000,00$ per potong dan rok $Rp30.000,00$ per potong. Sehingga uang yang akan dibelanjakan tergantung banyak baju atasan $(x)$ atau banyak rok $(y)$.

Berdasarkan banyak uang yang tersedia atau modal maka yang bisa dibelanjakan kurang dari atau sama dengan $Rp18.000.000,00$,
$Rp60.000,00\ x + Rp30.000,00\ y \leq Rp18.000.000,00$
$ 60 \ x + 30 \ y \leq 18.000 $
$ 2x + y \leq 600 $

Jumlah baju atasan $(x)$ dan rok $(y)$ yang dibeli paling banyak $40$ potong, maka bisa kita tulis: $x+y \leq 40$

Jumlah baju atasan $(x)$ paling sedikit nol: $x \geq 0$
Jumlah rok $(y)$ paling sedikit nol: $y \geq 0$

Sistem pertidaksamaan yang memenuhi adalah $x+y \leq 40;\ 2x+y \leq 600;\ x \geq 0;\ y \geq 0$ $(B)$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x+y \leq 40;\ 2x+y \leq 600;\ x \geq 0;\ y \geq 0$

9. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)

Daerah penyelesaian yang sesuai dengan pertidaksamaan: $7x+5y \leq 35$; $y \geq 1 $; $x \leq 0$ adalah...
Soal dan Pembahasan UNBK Matematika IPS 2018 (*Simulasi UNBK 2019)
Soal dan Pembahasan UNBK Matematika IPS 2018 (*Simulasi UNBK 2019)
Soal dan Pembahasan UNBK Matematika IPS 2018 (*Simulasi UNBK 2019)
Alternatif Pembahasan:

Untuk menentukan daerah pertidaksamaan $7x+5y \leq 35$; kita lihat koefisien $y$. Karena koefisien $y$ positif dan tanda $\leq$ maka daerah HP berada di bawah garis.

Trik untuk melihat atau menentukan daerah Himpunan Penyelesaian dapat dengan melihat koefisien $y$.
  • Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\leq$ maka daerah Himpunan Penyelesaian berada di bawah garis.
  • Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\geq$ maka daerah Himpunan Penyelesaian berada di atas garis.

Untuk daerah pertidaksamaan $y \geq 1 $ diarsir daerah HP berada di atas garis.
Untuk daerah pertidaksamaan $x \geq 0 $ diarsir daerah HP berada di kanan garis.

Daerah HP adalah irisan ketiga pertidaksamaan $7x+5y \leq 35$; $y \geq 1 $; dan $x \leq 0$, yang paling sesuai adalah gambar $(A)$


10. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)

Daerah yang diarsir pada diagram adalah daerah himpunan penyelesaian dari suatu masalah program linear.
Soal dan Pembahasan UNBK Matematika IPA 2018 (*Simulasi UNBK 2019)
Model matematika yang sesuai dengan masalah tersebut adalah....
$(A)\ x+2y \geq 8;\ 3x+2y \geq 12;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
$(B)\ x+2y \leq 8;\ 3x+2y \leq 12;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
$(C)\ x+2y \leq 8;\ 3x+2y \geq 12;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
$(D)\ 2x+y \geq 8;\ 3x+2y \leq 12;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
$(E)\ 2x+y \geq 8;\ 3x+2y \geq 12;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menentukan sistem pertidaksamaan dari daerah yang diarsir pada gambar, pertama kita harus mendapatkan sistem persamaannya atau batas-batas daerah yang diarsir.
Pada gambar diatas ada 4 garis yang membatasi daerah yang diarsir, coba kita berikan ilustrasinya;

Soal dan Pembahasan UNBK Matematika IPA 2018 (*Simulasi UNBK 2019)
Batas-batas daerah yang memenuhi;
$\begin{align}
I &:\ 6x+4y=24\ \rightarrow\ 3x+2y=12 \\
II &:\ 4x+8y=32\ \rightarrow\ x+2y=8 \\
III &:\ y=0 \\
IV &:\ x=0
\end{align}$

Untuk menentukan pertidaksamaannya, kita tentukan dengan titik uji. Kita pilih sebuah titik pada daerah yang merupakan himpunan penyelesaian atau daerah yang diarsir pada gambar.
  • Titik $(0,0)$ ke $3x+2y=12$ diperoleh $ 0 \leq 12 $, maka pertidaksamaannya adalah $ 3x+2y \leq 12 $
  • Titik $(0,0)$ ke $x+2y=8$ diperoleh $ 0 \leq 8 $, maka pertidaksamaannya adalah $ x+2y \leq 8 $
  • Untuk batas $III$ dan $IV$ daerah yang diarsir adalah daerah $x \geq 0;\ y \geq 0$

Trik untuk melihat atau menentukan daerah Himpunan Penyelesaian dapat dengan melihat koefisien $y$.
  • Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\leq$ maka daerah HP berada di bawah garis.
  • Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\geq$ maka daerah HP berada di atas garis.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x+2y \leq 8;\ 3x+2y \leq 12;\ x \geq 0;\ y \geq 0$

11. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)

11. Seorang penjahit memiliki persediaan $4\ m$ kain wol dan $5\ m$ kain satin. Dari kain tersebut akan dibuat dua model baju. Baju pesta I memerlukan $2\ m$ kain wol dan $1\ m$ kain satin, sedangkan baju pesta II memerlukan $1\ m$ kain wol dan $2\ m$ kain satin. Baju pesta I dijual dengan harga $Rp600.000,00$ dan baju pesta II seharga $Rp500.000,00$. Jika baju pesta tersebut terjual, hasil penjualan maksimum penjahit tersebut adalah...
$(A)\ Rp1.800.000,00$
$(B)\ Rp1.700.000,00$
$(C)\ Rp1.600.000,00$
$(D)\ Rp1.250.000,00$
$(E)\ Rp1.200.000,00$
Alternatif Pembahasan:

Informasi yang ada pada soal coba kita rangkum dalam bentuk tabel, kurang lebih menjadi seperti berikut ini;

Deskripsi Soal
Jenis Kain Wol SatinHarga
I ($x$) $2$ $1$ $600.000$
II ($y$) $1$ $2$$500.000$
Tersedia $4$ $5$$\cdots$
Dari tabel diatas, dapat kita bentuk sistem pertidaksamaannya [*dengan memisalkan $\text{kain}\ I=x$ dan $\text{kain}\ II=y$].
$ \begin{align}
2x+y & \leq 4 \\
x+2y & \leq 5 \\
x & \geq 0 \\
y & \geq 0 \end{align} $
Trik untuk melihat atau menentukan daerah Himpunan Penyelesaian dapat dengan melihat koefisien $y$.
  • Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\leq$ maka daerah HP berada di bawah garis.
  • Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\geq$ maka daerah HP berada di atas garis.
Jika kita gambarkan ilustrasi daerah Himpunan Penyelesaian sistem pertidaksamaan diatas adalah;
Soal dan Pembahasan UNBK Matematika IPA 2018 (*Simulasi UNBK 2019)
Untuk mendapatkan penjualan maksimum, salah satu caranya dapat dengan titik uji pada titik sudut daerah HP kepada fungsi tujuan $Z=600.000x+500.000y$.
  • $A\ (2,0)$ maka $Z=600.000(2)+500.000(0)=1.200.000$
  • $B\ (1,2)$ maka $Z=600.000(1)+500.000(2)=1.600.000$
    *Titik $(B)$ kita peroleh dengan mengelimiasi atau substitusi garis 1 dan garis 2
  • $C\ (0,\frac{5}{2})$ maka $Z=600.000(0)+500.000(\frac{5}{2})=1.250.000$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ Rp1.600.000,00$

12. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk $48$ kursi. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi $60$ kg sedang kelas ekonomi $20$ kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi $1440$ kg. Harga tiket kelas utama $Rp150.000$ dan kelas ekonomi $Rp100.000$. Supaya pendapatan dari penjualan tiket pada saat pesawat penuh mencapai maksimum, jumlah tempat duduk kelas utama haruslah sebanyak...
$\begin{align}
(A)\ & 12 \\
(B)\ & 20 \\
(C)\ & 24 \\
(D)\ & 26 \\
(E)\ & 30 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Jika pembahasan berikut masih kurang dipahami, mungkin catatan calon guru tentang program linear dapat membantu;

Dengan memisalkan banyak penumpang kelas $\text{utama} = x$ dan $\text{ekonomi}= y$

Deskripsi Soal
Kelas Banyak Bagasi Harga Tiket
Utama $x$ $60x$ $150.000x$
Ekonomi $y$ $20y$$100.000y$
Ketersediaan$48$ $1.440$$\cdots$
Dari tabel diatas dan keterangan soal diatas, jika dapat kita tuliskan dalam bentuk pertidaksamaan sebagai berikut;
  • Total kursi adalah $48$ maka $ x+ y \leq 48$
  • Total bagasi adalah $1.440$ maka $60x+20y \leq 1440$ disederhanakan $3 x+ y \leq 72$
  • Banyak penumpang utama paling sedikit adalah $0$ maka $x \geq 0$
  • Banyak penumpang ekonomi paling sedikit adalah $0$ maka $y\geq 0$
  • Fungsi tujuan penjualan tiket $T=150.000x+100.000y$
Daerah Himpunan Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan diatas kita gambarkan sebagai berikut;
Dengan Metode Terbalik, daerah HP adalah daerah yang bersih.
Matematika Dasar Program Linear (*Soal Dari Berbagai Sumber)
Dari daerah HP diatas, untuk menentukan nilai maksimum kita gunakan dengan titik uji;
Uji Titik
Titik $T=150.000x+100.000y$ Total Penjualan
$A\ (0,48)$ $150.000(0)+100.000(48)$ $4.800.000$
$B\ (12,36)$ $150.000(12)+100.000(36)$$5.400.000$
$C\ (24,0)$ $150.000(24)+100.000(0)$$3.600.000$
$(0,0)$ $150.000(0)+100.000(0)$ $0$
Dari tabel diatas penjualan maksimum $Rp5.400.000$ pada saat $(12,36)$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 12$

13. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Perhatikan daerah penyelesaian berikut!
Soal dan Pembahasan UNBK Matematika SMA IPA (*Simulasi UNBK)
Penyelesaian sistem pertidaksamaan $x+2y \leq 10$; $x-y \leq 0$; $2x-y \geq 0$; $x \geq 0$; $y \geq 0$ ditunjukkan oleh daerah...

$\begin{align}
(A)\ & I \\
(B)\ & II \\
(C)\ & III \\
(D)\ & IV \\
(E)\ & V \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menentukan daerah sistem pertidaksamaan pada Program Linear, pertama kita tentukan persamaan garis yang membatasi daerah pada gambar. Dengan menggunakan cara menentukan persamaan garis, kita peroleh persamaan sebagai berikut:

  • Garis $(1)$ adalah sumbu-$Y$, yaitu garis $x=0$
  • Garis $(2)$ melalui titik $(0,0)$ dan $(1,2)$, persamaan garis adalah $2x-y=0$
  • Garis $(3)$ melalui titik $(0,0)$ dan $(3,3)$, persamaan garis adalah $ x-y=0$
  • Garis $(4)$ melalui titik $(10,0)$ dan $(0,5)$, persamaan garis adalah $x+2y=10$
  • Garis $(5)$ adalah sumbu-$X$, yaitu garis $y=0$
Soal dan Pembahasan UNBK Matematika SMA IPA (*Simulasi UNBK)

Untuk menentukan daerah sistem pertidaksamaan pada Program Linear, pertama kita tentukan persamaan garis yang membatasi daerah pada gambar. Dengan menggunakan cara menentukan persamaan garis dapat dengan menggunakan uji titik atau dengan trik berikut:
  • Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\leq$ maka daerah HP berada di bawah garis.
  • Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\geq$ maka daerah HP berada di atas garis.
Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan $x+2y \leq 10$; $x-y \leq 0$; $2x-y \geq 0$; $x \geq 0$; $y \geq 0$ jika kita gambarkan (*dengan metode terbalik), seperti berikut:
Soal dan Pembahasan UNBK Matematika SMA IPA (*Simulasi UNBK)

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ V$

14. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Perhatikan gambar berikut.
Soal dan Pembahasan UNBK Matematika IPA 2018 (*Simulasi UNBK 2019)
Daerah yang diarsir pada gambar di atas merupakan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan...
$(A)\ x+2y \geq 8;\ 2x+3y \geq 12;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
$(B)\ 2x+y \geq 8;\ 3x+2y \geq 12;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
$(C)\ 2x+y \leq 8;\ 2x+3y \leq 12;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
$(D)\ 2x+y \leq 8;\ 3x+2y \leq 12;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
$(E)\ x+2y \leq 8;\ 2x+3y \leq 12;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menentukan sistem pertidaksamaan dari daerah yang diarsir pada gambar, pertama kita harus mendapatkan sistem persamaannya atau batas-batas daerah yang diarsir.
Pada gambar diatas ada 4 garis yang membatasi daerah yang diarsir, coba kita berikan ilustrasinya;

Soal dan Pembahasan UNBK Matematika IPA (*Simulasi UNBK SMA)
Batas-batas daerah yang memenuhi;
$\begin{align}
(1) &:\ 4x+6y=24\ \rightarrow\ 2x+3y=12 \\
(2) &:\ 8x+4y=32\ \rightarrow\ 2x+ y=8 \\
(3) &:\ y=0 \\
(4) &:\ x=0
\end{align}$
Untuk menentukan pertidaksamaannya, kita tentukan dengan titik uji. Kita pilih sebuah titik pada daerah yang merupakan himpunan penyelesaian atau daerah yang diarsir pada gambar.
  • Titik $(0,0)$ ke $2x+3y=12$ diperoleh $ 0 \leq 12 $, maka pertidaksamaannya adalah $ 2x+3y \leq 12 $
  • Titik $(0,0)$ ke $2x+ y=8$ diperoleh $ 0 \leq 8 $, maka pertidaksamaannya adalah $ 2x+ y \leq 8 $
  • Untuk batas $(3)$ dan $(4)$ daerah yang diarsir adalah daerah $x \geq 0;\ y \geq 0$

Alternatif untuk melihat atau menentukan daerah Himpunan Penyelesaian dapat dengan melihat koefisien $y$.
  • Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\leq$ maka daerah HP berada di bawah garis.
  • Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\geq$ maka daerah HP berada di atas garis.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2x+y \leq 8$; $2x+3y \leq 12$; $x \geq 0$; $y \geq 0$

15. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Rita akan membuat kue bolu dan donat. Untuk satu adonan kue bolu diperlukan $200$ gr tepung terigu dan $100$ gr gula pasir, sedangkan untuk satu adonan donat diperlukan $300$ gr tepung terigu dan $80$ gr gula pasir. Rita hanya mempunyai $9,4$ kg tepung terigu dan $4$ kg ggula pasir. Jika keuntungan yang diperoleh dengan menjual kue bolu yang dibuat dari satu adonan adalah $Rp80.000,00$ dan keuntungan yang di dapat dari menjual donat yang dibuat dari satu adonan adalah $Rp60.000,00$, keuntungan maksimum yang di dapat Rita adalah...
$\begin{align}
(A)\ & Rp1.560.000,00 \\
(B)\ & Rp1.880.000,00 \\
(C)\ & Rp3.160.000,00 \\
(D)\ & Rp3.200.000,00 \\
(E)\ & Rp3.760.000,00
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk dapat memodelkan masalah di atas ke dalam model matematika, kita coba misalkan banyak adonan $\text{bolu} = x$ dan $\text{donat} = y$.

Deskripsi Soal
Kue Banyak Tepung Gula
bolu $x$ $200x$ $100x$
donat $y$ $300y$$80y$
Ketersediaan$\cdots $ $9.400$$4.000$
Dari tabel di atas dan keterangan soal, pemodelan matematikanya dapat kita tuliskan dalam bentuk pertidaksamaan berikut;
  • Ketersedian tepung adalah $9.400$ maka $200x+300y \leq 9.400$, disederhanakan: $2 x+3 y \leq 9 4 $.
  • Ketersedian gula adalah $4.000$ maka $100x+80y \leq 4.000$, disederhanakan: $5 x+4 y \leq 200$.
  • Banyak bolu $(x)$ paling sedikit adalah $0$ maka $x \geq 0$
  • Banyak donat $(y)$ paling sedikit adalah $0$ maka $y \geq 0$
  • Fungsi keuntungan $L=80.000x+60.000y$
Daerah Himpunan Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan diatas kita gambarkan sebagai berikut;
Dengan Metode Sebenarnya, daerah HP adalah daerah yang paling banyak dilalui oleh arsiran, dan umumnya di akhir pekerjaan akan kesulitan untuk menemukan daerah yang paling banyak diarsir sehingga dipakai Dengan Metode Terbalik, daerah Hipunan Penyelesaian adalah daerah yang bersih (tidak ada arsiran).
Matematika Dasar Program Linear (*Soal Dari Berbagai Sumber)
Dari daerah HP diatas, untuk menentukan nilai maksimum kita gunakan dengan titik uji;
Uji Titik
Titik $L=80.000x+60.000y$ Total Laba
$(0,0)$ $80(0)+60(0) $ $0$
$A\ \left(0,\dfrac{94}{3}\right)$ $80(0)+60(31) $ $1.860$
$B\ \left(32,10 \right)$ $80(32)+60(10) $ $3.160$
$C\ \left(40,0 \right)$ $80(40)+60(0) $ $3.200$
Dari tabel diatas laba maksimum $3.200$ (dalam ribuan).

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ Rp3.200.000,00 $


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Program Linear (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.
Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian soal Program Linear sangat diharapkan๐Ÿ˜ŠCMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi ๐Ÿ™Share is Caring ๐Ÿ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE๐Ÿ˜Š

Bagaimana Matematika dapat mempengaruhi karakter kita, mari kita simak penjelasannya pada video berikut;
youtube image

Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar atau pertanyaan yang berhubungan dengan "Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Program Linear" ๐Ÿ˜Š and please for your concern in supported of defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar