Skip to main content

Matematika Dasar Sistem Persamaan (*Soal dan Pembahasan)

Matematika Dasar Sistem Persamaan (*Soal Dari Berbagai Sumber)Jika selisih uang adik dan kakak $Rp10.000,00$ sedangkan dua kali uang kakak ditambah uang adik berjumlah $Rp40.000,00$ maka jumlah uang mereka adalah...

Soal ditas kita pilih dari soal UNBK matematika SMP tahun 2018 dan bentuk soal ini adalah salah satu contoh soal yang bisa kita selesaikan dengan menggunakan konsep dari sistem persamaan, baik itu dengan menggunakan eliminasi, substitusi atau dengan menggunakan matriks.

Sistem persamaan yang sudah di diskusiksn sampai tingak SMA kelas XII (dua belas) ada sampai empat sistem persamaan, yaitu:
  • Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
  • Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
  • Sistem Persamaan Linear Kuadrat (SPLK)
  • Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat (SPKK)

Cara paling efektif untuk menyelesaikan masalah terkait sistem persamaan dikembalikan kepada kita, karena untuk menentukan sebuah cara yang paling efektif adalah tergantung dari tingkat kenyamanan kita dalam menyelesaikan soal. Baik akan menggunakan grafik, eliminasi, substitusi, gabungan eliminasi dan sustitusi, invers matriks, determinan matriks atau punya metode lain, silahkan digunakan yang kita anggap baik.

Beberapa sampel soal untuk kita diskusikan yaitu dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri), SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri), UN (Ujian Nasional) atau dari soal ujian-ujian lain yang masih sesuai dengan bahan diskusi kita. Mari kita coba diskusikan;

1. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)

Tujuh tahun yang lalu umur Ani sama dengan $6$ kali umur Budi. Empat tahun yang akan datang 2 kali umur Ani sama dengan 5 kali umur Budi ditambah dengan $9$ tahun. Umur Budi sekarang adalah....
$(A)\ 42\ \text{tahun}$
$(B)\ 35\ \text{tahun}$
$(C)\ 21\ \text{tahun}$
$(D)\ 18\ \text{tahun}$
$(E)\ 13\ \text{tahun}$
Alternatif Pembahasan:

Kita misalkan umur Ani dan Budi saat ini adalah $\text{Ani}=A$ dan $\text{Budi}=B$.
Untuk tujuh tahun yang lalu umur mereka adalah $(A-7)$ dan $(B-7)$, berlaku:
$ \begin{align}
(A-7) & = 6(B-7) \\
A-7 & = 6B-42 \\
A-6B & =-42+7 \\
A-6B & =-35\ \text{(Pers.1)}
\end{align} $

Untuk empat tahun yang akan datang umur mereka adalah $(A+4)$ dan $(B+4)$, berlaku:
$ \begin{align}
2(A+4) & = 5(B+4)+9 \\
2A+8 & = 5B+20+9 \\
2A+8 & = 5B+29 \\
2A-5B & =29-8 \\
2A-5B & =21\ \text{(Pers.2)}
\end{align} $

Dari (Pers.1) dan (Pers.2) kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
A -6B = -35 & \times 2 & 2A-12B = -70 & \\
2A- 5B = 21 & \times 1 & 2A-5B = 21 & - \\
\hline
& & -7B = -91 & \\
& & B = \frac{-91}{-7} & \\
& & B = 13 &
\end{array} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 13\ \text{tahun}$

2. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)

Sebuah toko buku menjual 2 buku gambar dan 8 buku tulis seharga $Rp48.000,00$, sedangkan untuk 3 buku gambar dan 5 buku tulis seharga $Rp37.000,00$. Jika Adi membeli 1 buku gambar dan 2 buku tulis di toko itu, ia harus membayar sebesar...
$(A)\ Rp24.000,00$
$(B)\ Rp20.000,00$
$(C)\ Rp17.000,00$
$(D)\ Rp14.000,00$
$(E)\ Rp13.000,00$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal disampaikan bahwa harga 2 buku tulis dan 8 buku gambar adalah $48.000$ dan 3 buku tulis dan 5 buku gambar adalah $37.000$.

Dengan memisalkan $\text{buku tulis}=m$ dan $\text{buku gambar}=n$ maka secara simbol bisa kita tuliskan;
$2m+8n=48.000$ atau $6m+24n=144.000$
$3m+5n=37.000$ atau $6m+10n=74.000$
Dari kedua persamaan di atas dengan mengeliminasi atau substitusi kita peroleh:
Dari (Pers.1) dan (Pers.2) kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
2m+8n = 48.000 & \times 3 & 6m+ 24n = 144.000 & \\
3m+5n = 37.000 & \times 2 & 6m+10n=74.000 & - \\
\hline
& & 14n = 70.000 & \\
& & n = 5.000 & \\
n = 5.000 & 3m+5(5.000) & m=4.000 &
\end{array} $

Harga yang harus dibayar untuk 1 buku gambar dan 2 buku tulis di toko itu adalah $1(5.000)+(2)4.000=13.000$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ Rp13.000,00$

3. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)

Kakak membeli $2\ kg$ duku dan $1\ kg$ manggis dengan harga $Rp12.000,00$. Adik membeli $3\ kg$ duku dan $2\ kg$ manggis dengan harga $Rp19.000,00$. Jika ibu membeli $4\ kg$ duku dan $5\ kg$ manggis, maka ibu harus membayar ... rupiah
Alternatif Pembahasan:

Jika kita misalkan $\text{duku}=d$ dan $\text{manggis}=m$, maka persamaan yang dibelanjakan kakak dan adik dapt kita tuliskan sebagai berikut;
kakak: $2d\ + 1m\ = 12.000$
adik: $3d\ + 2m\ = 19.000$
ibu: $4d\ + 5m\ = \cdots $

Dari belanja kakak dan adik kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
2d + 1m = 12.000 & \times 2 \\
3d + 2m = 19.000 & \times 1 \\
\hline
4d + 2m = 24.000 & \\
3d + 2m = 19.000 & (-) \\
\hline
d = 5.000 & \\
2d+m=12.000 & m=2.000 \\
2(5.000)+m=12.000 & m=2.000
\end{array} $

Belanja ibu:
$ \begin{align}
4d\ + 5m\ & = 4(5.000) + 5(2.000) \\
& = 20.000+10.000 \\
& = 30.000 \end{align} $

4. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 (*Soal Lengkap)

Jika $a$ dan $b$ memenuhi $\begin{cases}\dfrac{9}{a+2b}+\dfrac{1}{a-2b}=2 \\ \dfrac{9}{a+2b}-\dfrac{2}{a-2b}=-1\end{cases}$ maka $a-b^2=\ldots$
$(A)\ 1$
$(B)\ 2$
$(C)\ 3$
$(D)\ 5$
$(E)\ 9$
Alternatif Pembahasan:

Misalkan $x=\dfrac{1}{a+2b}$ dan $y=\dfrac{1}{a-2b}$ maka sistem persamaan pada soal dapat ditulis menjadi
\begin{split}
9x+y & = 2\\
9x-2y & = -1
\end{split}
Dengan mengeliminasi atau substitusi kedua sistem persamaan di atas diperoleh $x=\dfrac{1}{9}$ dan $y=1$. Lalu kita substitusi kembali nilai $x$ dan nilai $y$ pada pemisalan diawal, sehingga kita peroleh;
$\begin{split}
& \dfrac{1}{a+2b} = \dfrac{1}{9} \Rightarrow a+2b=9\\
& \dfrac{1}{a-2b} = 1 \Rightarrow a-2b=1
\end{split}$
Sama seperti sebelumnya dengan mengeliminasi atau substitusi kedua sistem persamaan di atas kita peroleh $a=5$ dan $b = 2$.
Jadi $a-b^2\ = (5)-(2)^2\ = 1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 1$

5. Soal UM SMA Unggul DEL 2018 (*Soal Lengkap)

Diketahui sistem persamaan:
$\begin{align}
3a+7b+c & = 315 \\
4a+10b+c & = 420
\end{align}$
Maka nilai $a+b+c$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 100 \\
(B).\ & 105 \\
(C).\ & 110 \\
(D).\ & 150
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Jika kedua persamaan di atas kita kurangkan maka akan kita peroleh
$\begin{array}{c|c|cc}
3a+7b+c = 315 & \\
4a+10b+c = 420 & (-)\\
\hline
a + 3b = 105 &
\end{array} $
Dari persamaan $3a+7b+c = 315$ kita lakukan manipulasi aljabar sebagai berikut;
$\begin{align}
3a+7b+c & =315 \\
2a+a+6b+b+c & =315 \\
2a+6b+a+b+c & =315 \\
2(a+3b)+a+b+c & =315 \\
2(105)+a+b+c & =315 \\
a+b+c & =315-210 \\
a+b+c & =105
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 105$

6. Soal UM SMA Unggul DEL 2018 (*Soal Lengkap)

Jika $a$ dan $b$ adalah penyelesaian dari sistem persamaan $\left\{\begin{matrix}
2016a+2017b=6050\\
2017a+2016b=6049
\end{matrix}\right.$ maka nilai $b^{2}-a^{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 2 \\
(B).\ & 3 \\
(C).\ & 4 \\
(D).\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Jika kedua persamaan kita kurangkan, maka kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2016a+2017b=6050 & \\
2017a+2016b=6049 & (-)\\
\hline
-a+b=1 & \\
b-a=1 &
\end{array} $

Jika kedua persamaan kita tambahkan, maka kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2016a+2017b=6050 & \\
2017a+2016b=6049 & (+)\\
\hline
4033a+4033b=12099 & \\
a+b=3 & \\
b+a=3 &
\end{array} $
Nilai $b^{2}-a^{2}=(b+a)(b-a)=3 \cdot 1=3$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 3$

7. Soal UM SMA Unggul DEL 2018 (*Soal Lengkap)

Diberikan $a,\ b,\ c$ adalah anggota bilangan ril (nyata).
$\left.\begin{matrix}
a+b+c=7\\
\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}=\dfrac{7}{10}
\end{matrix}\right\}$ maka nilai $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & \dfrac{19}{10} \\
(B).\ & \dfrac{21}{10} \\
(C).\ & \dfrac{23}{10} \\
(D).\ & \dfrac{25}{10}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari kedua persamaan $a+b+c=7$ dan $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}=\dfrac{7}{10}$ jika kita kalikan maka akan kita peroleh persamaan sebagai berikut:
$\begin{align}
\left ( 7 \right )\left (\dfrac{7}{10} \right ) & =\left ( a+b+c \right )\left (\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a} \right ) \\
\dfrac{49}{10} & = \dfrac{a+b+c}{a+b}+\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{c+a} \\
\dfrac{49}{10} & =\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{a+c}{c+a} \\ \\
\dfrac{49}{10} & = 1+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+1+\dfrac{b}{c+a}+1 \\
\dfrac{49}{10} & = 3+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a} \\
\dfrac{49}{10}-3 & = \dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a} \\
\dfrac{19}{10} & = \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ \dfrac{19}{10}$

8. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)

Diketahui sistem persamaan linear $x+2y=a$ dan $2x-y=3$. Jika $a$ merupakan bilangan positif terkecil sehingga persamaan linear tersebut mempunyai penyelesaian bilangan bulat $x=x_{0}$ dan $y=y_{0}$, maka nilai $x_{0}+y_{0}$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 1 \\
(B).\ & 2 \\
(C).\ & 3 \\
(D).\ & 4 \\
(E).\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Jika kedua persamaan coba kita selesaikan:
$\begin{array}{c|c|cc}
x+2y=a & \times 2 \\
2x-y=3 & \times 1 \\
\hline
2x+4y = 2a & \\
2x-y = 3 & - \\
\hline
5y = 2a-3 & \\
y = \frac{2a-3}{5}
\end{array} $

Agar $y$ bilangan bulat dan $a$ bilangan bulat positif maka $2a-3$ harus kelipatan $5$
$\begin{align}
2a-3 & \equiv 5k \\
2a & \equiv 5k+3 \\
a & \equiv \dfrac{5k+3}{2} \\
\text{Untuk}\ k=1\ \text{maka}\ a & \equiv 4 \\
y & = \frac{2a-3}{5} \\
y & = \frac{2(4)-3}{5}=1 \\
x+2y & = a \\
x+2(1) & = 4 \\
x & = 4-2=2
\end{align}$

$x_{0}+y_{0}=2+1=3$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 3$

9. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)

Jika $A$ merupakan himpunan semua nilai $c$ sehingga sistem persamaan linear $x-y=1$ dan $cx+y=1$ memiliki penyelesaian di kuadran $I$, maka $A=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & \left \{ c | c=-1 \right \} \\
(B).\ & \left \{ c | c \lt -1 \right \} \\
(C).\ & \left \{ c | 1 \lt c \lt 1 \right \} \\
(D).\ & \left \{ c | c= 1 \right \} \\
(E).\ & \left \{ c | c \gt 1 \right \}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Jika kedua persamaan coba kita selesaikan:
$\begin{array}{c|c|cc}
x-y=1 & \\
cx+y=1 & + \\
\hline
x+cx = 2 & \\
x(c+1) = 2 & \\
x = \dfrac{2}{c+1}
\end{array} $

$\begin{array}{c|c|cc}
x-y=1 & \times\ c\\
cx+y=1 & \times\ 1 \\
\hline
cx-cy=c & \\
cx+y=1 & - \\
\hline
-cy-y = c-1 & \\
y(c+1) = -c+1 & \\
y = \dfrac{-c+1}{c+1}
\end{array} $

Karena penyelesaian di kuadran $I$ maka nilai $x \gt 0$ dan $y \gt 0$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
\frac{2}{c+1} & \gt 0 \\
(2)(c+1) & \gt 0 \\
c+1 & \gt 0 \\
c & \gt -1
\end{align}$

$\begin{align}
\dfrac{-c+1}{c+1} & \gt 0 \\
(-c+1)(c+1) & \gt 0 \\
c \lt -1\ &\text{atau}\ c \gt 1
\end{align}$

Irisan $c \gt -1$ dan $c \lt -1\ \text{atau}\ c \gt 1$ adalah $c \gt 1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ \left \{ c | c \gt 1 \right \}$

10. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)

Diberikan sistem $a^{2}x-3y=1$, $\dfrac{4}{3}\left( a+\dfrac{3}{2} \right)x+\left( \dfrac{1}{a}+1 \right)y=6$. Agar sistem tersebut tidak memiliki tepat satu solusi, maka $a=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & \left \{ a \in \mathbb{R}: a=12\ \text{dan}\ a=2 \right \} \\
(B).\ & \left \{ a \in \mathbb{R}: a=6\ \text{dan}\ a=4 \right \} \\
(C).\ & \left \{ a \in \mathbb{R}: a=3\ \text{dan}\ a=-2 \right \} \\
(D).\ & \left \{ a \in \mathbb{R}: a=-5\ \text{dan}\ a=2 \right \} \\
(E).\ & \left \{ a \in \mathbb{R}: a=-2\ \text{dan}\ a=-3 \right \}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Agar sistem tersebut tidak memiliki tepat satu solusi, maka ada dua kemungkinan yaitu berimpit (banyak solusi) atau sejajar (tidak punya solusi). Dua keadaan ini terjadi saat $m_{1}=m_{2}$
$a^{2}x-3y=1$
$m_{1}=\dfrac{a^{2}}{3}$

$\dfrac{4}{3}\left( a+\dfrac{3}{2} \right)x+\left( \dfrac{1}{a}+1 \right)y=6$
$m_{2}=\dfrac{-\dfrac{4}{3}\left( a+\dfrac{3}{2} \right)}{\dfrac{1}{a}+1}$

Karena $m_{1}=m_{2}$, maka:
$\begin{align}
\dfrac{-\dfrac{4}{3}\left( a+\dfrac{3}{2} \right)}{\dfrac{1}{a}+1} & = \dfrac{a^{2}}{3} \\
-\dfrac{4}{3}\left( a+\dfrac{3}{2} \right) & = \dfrac{a^{2}}{3} \times \left( \dfrac{1}{a}+1 \right)\\
-4 \left( a+\dfrac{3}{2} \right) & = a^{2} \times \left( \dfrac{1}{a}+1 \right)\\
-4a-6 & = a+a^{2}\\
a^{2}+5a+6 & = 0 \\
(a+3)(a+2) & = 0 \\
a=-3\ &\ a=-2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ \left \{ a \in \mathbb{R}: a=-2\ \text{dan}\ a=-3 \right \}$

11. Soal SNMPTN 2010 Kode 336 (*Soal Lengkap)

Jika penyelesaian sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
\left ( a+3 \right )x+y=0\\
x+\left ( a+3 \right )y=0
\end{matrix}\right.$
tidak hanya $(x,y)=(0,0)$ saja, maka nilai $a^{2}+6a+17=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 9 \\
(E)\ & 16
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Karena penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas lebih dari satu maka perbandingan koefisien variabel nilainya adalah sama. sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\dfrac{a+3}{1} & = \dfrac{1}{a+3} \\
(a+3)(a+3) & = 1 \\
a^{2}+6a+9 & = 1 \\
a^{2}+6a+9 [+8] & = 1 [+8] \\
a^{2}+6a+17 & = 9
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 9$


12. Soal SNMPTN 2010 Kode 326 (*Soal Lengkap)

Jika penyelesaian sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
\left ( a-2 \right )x+y=0\\
x+\left ( a-2 \right )y=0
\end{matrix}\right.$
tidak hanya $(x,y)=(0,0)$ saja, maka nilai $a^{2}-4a+3=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 9 \\
(E)\ & 16
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Karena penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas lebih dari satu maka perbandingan koefisien variabel nilainya adalah sama. sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\dfrac{a-2}{1} & = \dfrac{1}{a-2} \\
(a-2)(a-2) & = 1 \\
a^{2}-4a +4 & = 1 \\
a^{2}-4a +4 [-1]& = 1 [-1] \\
a^{2}-4a +3 & = 0 \\
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 9$

13. Soal SIMAK UI 2009 Kode 921 (*Soal Lengkap)

Jika suatu garis lurus yang melalui titik $(0,-14)$ tidak memotong maupun meyinggung parabola $y=2x^{2}+5x-12$ maka gradien garis tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & m \lt -9 \\
(B)\ & m \lt -1 \\
(C)\ & -1 \lt m \lt -9 \\
(D)\ & 1 \lt m \lt 9 \\
(E)\ & m \gt -9
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Kita misalkan garis lurus melalui titik $(0,-14)$ dengan gradien $m$ yaitu $y=mx-14$.

Karena garis tersebut tidak memotong maupun meyinggung parabola $y=2x^{2}+5x-12$ maka diskriminan persamaan kuadrat persekutuan kurang dari nol $(D \lt 0)$.
$\begin{align}
y & = y \\
2x^{2}+5x-12 & = mx-14 \\
2x^{2}+5x-12-mx+14 & = 0 \\
2x^{2}+(5-m)x+2 & = 0 \\
\hline
D & \lt 0 \\
b^{2}-4ac & \lt 0 \\
(5-m)^{2}-4(2)(2) & \lt 0 \\
m^{2}-10m+25-16 & \lt 0 \\
m^{2}-10m+9 & \lt 0 \\
(m-9)(m-1) & \lt 0 \\
1 \lt m \lt 9
\end{align}$
Simak kembali jika masih kurang paham menentukan Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan mudah dan cepat

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1 \lt m \lt 9$

14. Soal UM UGM 2009 Kode 932 (*Soal Lengkap)

Jika garis $(a+b)x+2by=2$ dan garis $ax-(b-3a)y=-4$ berpotongan di $( 1,-1)$, maka $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Karena garis garis $(a+b)x+2by=2$ dan garis $ax-(b-3a)y=-4$ berpotongan di $( 1,-1)$ maka berlaku:
$\begin{align}
(a+b)x+2by & = 2 \\
(a+b)(1)+2b(-1) & = 2 \\
a+b -2b & = 2 \\
a-b & = 2 \\
ax-(b-3a)y & = -4 \\
a(1)-(b-3a)(-1) & = -4 \\
a +b-3a & = -4 \\
-2a +b & = -4 \\
\end{align}$

$\begin{array}{c|c|cc}
a-b=2 & \\
-2a+b=-4 & (+) \\
\hline
-a=-2 & \\
a= 2 & \\
b= 0 & a+b=2
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$

15. Soal SNMPTN 2008 Kode 211 (*Soal Lengkap)

Garis $g$ melalui titik $(0,1)$ dan menyinggung parabola $y=4x-x^{2}$. Jika titik singgungnya terletak di kaudran pertama, maka gradien garis $g$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & \dfrac{1}{6}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Misal garis $g$ adalah $y=mx+1$ karena melalui $(0,1)$.

Karena garis $y=mx+1$ menyinggung $y=4x-x^{2}$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
mx+1 & = 4x-x^{2} \\
x^{2}-4x+mx+1 & = 0 \\
x^{2}+(m-4)x+1 & = 0 \\
\hline
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
(m-4)^{2}-4(1)(1) & = 0 \\
m^{2}-8m+16-4 & = 0 \\
m^{2}-8m+12 & = 0 \\
(m-6)(m-2) & = 0 \\
m = 6 & m = 2
\end{align}$
Garis singgung kurva $y=4x-x^{2}$ yang melalui titik $(0,1)$ adalah $y=6x+1$ dan $y=2x+1$.

Karena titik singgungnya di kuadran pertama untuk nilai $m=6$ atau $m=2$ maka gradien $m=y'=4-2x$ dihasilkan oleh $x$ positif.
$\begin{array}{c|c|cc}
m = y' & m = y' \\
6 = 4-2x & 2 = 4-2x \\
6-4 = -2x & 2-4 = -2x \\
2 = -2x & -2 = -2x \\
x = -1 & x = 1 \\
\hline
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$

16. Soal SPMB 2007 Kode 741 (*Soal Lengkap)

Agar garis $y=-10x+4$ menyinggung parabola $y=px^{2}+2x-2$ maka konstanta $p=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -3 \\
(C)\ & -4 \\
(D)\ & -5 \\
(E)\ & -6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Karena garis $y=-10x+4$ meyinggung parabola $y=px^{2}+2x-2$ maka diskrimian persamaan kuadrat persekutuan sama dengan nol ($D = 0$).
$\begin{align}
y & = y \\
px^{2}+2x-2 & = -10x+4 \\
px^{2}+2x-2+10x-4 & = 0 \\
px^{2}+12x-6 & = 0 \\
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
12^{2}-4(p)(-6) & = 0 \\
144+24p & = 0 \\
24p & =-144 \\
p & =\dfrac{-144}{24}=-6
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -6$

17. Soal SPMB 2005 Kode 370 (*Soal Lengkap)

Jika garis $x+y=p$ menyinggung parabola $y=x^{2}-x-3$, maka konstanta $p=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 0 \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Garis $x+y=p$ atau $y=p-x$ menyinggung kurva $y=x^{2}-x-3$, maka berlaku diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol $(D=0)$:
$\begin{align}
y = & y \\
x^{2}-x-3 = & p-x \\
x^{2}-x-3-p+x = & 0 \\
x^{2} -3-p = & 0 \\
D = & b^{2}-4ac \\
0 = & (0)^{2}-4(1)(-3-p) \\
0 = & 12+4p \\
4p = & -12 \\
p = & -3
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3$

18. Soal SPMB 2004 Kode 541 (*Soal Lengkap)

Agar garis $x+2y+k=0$ menyinggung parabola $y^{2}-2x+4=0$, maka konstanta $k=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 0 \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Garis $x+2y+k=0$ atau $x=-2y-k$ menyinggung kurva $y^{2}-2x+4=0$ atau $x=\dfrac{1}{2}y^{2}+2$, maka berlaku diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol $(D=0)$:
$\begin{align}
x & = x \\
\dfrac{1}{2}y^{2}+2 & = -2y-k \\
\dfrac{1}{2}y^{2}+2+2y+k & = 0 \\
\dfrac{1}{2}y^{2} +2y+2+k & = 0
\end{align}$

$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
0 & = \left( 2 \right)^{2}-4\left( \dfrac{1}{2} \right)(2+k) \\
0 & = 4-4-2k \\
0 & = -2k \\
k & = 0
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

19. Soal SPMB 2004 Kode 241 (*Soal Lengkap)

Jika garis $y=bx-a$ memotong $y=ax^{2}+bx+(a-2b)$ di titik $(1,1)$ dan $(x_{0},y_{0})$ , maka $x_{0}+y_{0} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -6 \\
(B)\ & -5 \\
(C)\ & -4 \\
(D)\ & 0 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Garis $y=bx-a$ memotong kurva $y=ax^{2}+bx+(a-2b)$, di titik $(1,1)$ maka berlaku:
$\begin{align}
ax^{2}+bx+(a-2b) & = y \\
a(1)^{2}+b(1)+(a-2b) & = 1 \\
a +b + a-2b & = 1 \\
2a- b & = 1 \\
hline
bx-a & = y \\
b-a & = 1
\end{align}$

$\begin{array}{c|c|cc}
2a-b = 1 & \\
b-a = 1 & (+) \\
\hline
a = 2 & b=3
\end{array} $

Titik potong $y=3x-2$ memotong kurva $y=2x^{2}+3x-4$ adalah
$\begin{align}
y & = y \\
2x^{2}+3x-4 & = 3x-2 \\
2x^{2}+3x-4-3x+2 & = 0 \\
2x^{2}-2 & = 0 \\
2(x-1)(x+1) & = 0 \\
x=1\ \ x= -1
\end{align}$

Titik potong yang belum diketahui adalah untuk $x=-1$ maka $y=3x-2=3(-1)-2=-5$. Nilai $x_{0}+y_{0} =-1-5=-6$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -6$

20. Soal SPMB 2004 Kode 640 (*Soal Lengkap)

Agar kurva $y=mx^{2}-2mx+m$ seluruhnya terletak di atas kurva $y=2x^{2}-3$, maka konstanta $m$ memenuhi...
$\begin{align}
(A)\ & m \gt 6 \\
(B)\ & m \gt 2 \\
(C)\ & 2 \lt m \lt 6 \\
(D)\ & -6 \lt m \lt 2 \\
(E)\ & -6 \lt m \lt -2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Karena kurva $y=mx^{2}-2mx+m$ seluruhnya terletak di atas kurva $y=2x^{2}-3$ artinya kedua kurva tidak pernah berpotongan atau bersinggungan maka persamaan kuadrat persekutuan merupakan definit positif maka $a \gt 0$ dan $D \lt 0$.
$\begin{align}
y & = y \\
mx^{2}-2mx+m & = 2x^{2}-3 \\
mx^{2}-2mx+m -2x^{2}+3& = 0 \\
(m-2)x^{2}-2mx+m+3& = 0 \\
\hline
a & \gt 0 \\
m-2 & \gt 0 \\
m & \gt 2 \\
\hline
D & \lt 0 \\
b^{2}-4ac & \lt 0 \\
(-2m)^{2}-4(m-2)(m+3) & \lt 0 \\
4m^{2}-4m^{2}-4m+24 & \lt 0 \\
-4m & \lt -24 \\
m & \gt \dfrac{-24}{-4} \\
m & \gt 6
\end{align}$
Irisan $m \gt 2$ dan $m \gt 6$ adalah $m \gt 6$
Simak kembali tentang Matematika Dasar Pertidaksamaan jika masih kurang paham tentang pertidaksamaan.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ m \gt 6 $

21. Soal SPMB 2004 Kode 241 (*Soal Lengkap)

Jika garis $y=2x+5$ menyinggung parabola $y=ax^{2}-4x+2$, maka nilai $a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Garis $y=2x+5$ menyinggung kurva $y=ax^{2}-4x+2$, maka berlaku diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol $(D=0)$:
$\begin{align}
y & = y \\
ax^{2}-4x+2 & =2x+5 \\
ax^{2}-4x+2-2x-5 & = 0 \\
ax^{2}-6x-3 & = 0 \\
\hline
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
(-6)^{2}-4(a)(-3) & = 0 \\
36+12a & = 0 \\
12a & = -36 \\
a & = -3
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3$

22. Soal SPMB 2004 Kode 241 (*Soal Lengkap)

Titik potong parabola $y=mx^{2}+ x+m$, $m \neq 0$ dengan garis $y=(m+1)x+1$ adalah $\left(x_{1},y_{1} \right)$ dan $\left(x_{2},y_{2} \right)$. Jika $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1$ maka nilai $m$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Garis $y=(m+1)x+1$ memotong parabola $y=mx^{2}+x+m$, di titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ dan $\left(x_{2},y_{2} \right)$ maka berlaku:
$\begin{align}
y_{1} & = y_{1} \\
mx_{1}^{2}+ x_{1}+m & = (m+1)x_{1}+1 \\
mx_{1}^{2}+ x_{1}+m & = mx_{1}+x_{1}+1 \\
mx_{1}^{2}+ x_{1}+m -mx_{1}-x_{1}-1 & = 0 \\
mx_{1}^{2}-mx_{1}+m-1 & = 0 \\
\hline
y_{2} & = y_{2} \\
mx_{2}^{2}-mx_{2}+m-1 & = 0 \\
\end{align}$

Karena $mx_{1}^{2}-mx_{1}+m-1= 0$ dan $mx_{2}^{2}-mx_{2}+m-1 = 0$ maka persamaan kuadrat $mx^{2}-mx+m-1= 0$ akar-akarnya adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$. Sehingga berlaku:
$\begin{align}
x_{1}+x_{2} & = -\dfrac{b}{a} \\
& = -\dfrac{-m}{m}=1 \\
\left( x_{1}+x_{2} \right)^{2} & = 1 \\
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2x_{1}x_{2} & = 1 \\
1+2x_{1}x_{2} & = 1 \\
2x_{1}x_{2} & = 1-1 \\
\dfrac{c}{a} & = 0 \\
\dfrac{m-1}{m} & = 0 \\
m-1 & = 0 \\
m & = 1
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$


23. Soal UM UGM 2014 Kode 521 (*Soal Lengkap)

Jika garis $2x-3y+5k-1=0$ memotong parabola $y=x^{2}-2x+k+1$ di dua titik maka nilai $k$ yang memenuhi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & k \lt -\dfrac{3}{2} \\
(B)\ & k \lt -\dfrac{2}{3} \\
(C)\ & k \gt -\dfrac{2}{3} \\
(D)\ & k \lt \dfrac{2}{3} \\
(E)\ & k \lt \dfrac{3}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal garis $2x-3y+5k-1=0$ atau $y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5k-1}{3}$ memotong parabola $y=x^{2}-2x+k+1$ di dua titik, sehingga pernah terjadi;
$\begin{align}
y &= y \\
x^{2}-2x+k+1 &= \dfrac{2}{3}x+\dfrac{5k-1}{3} \\
3x^{2}-6x+3k+3 &= 2x+ 5k-1 \\
3x^{2}-6x+3k+3-2x -5k+1 &= 0 \\
3x^{2}-8x-2k+4 &= 0
\end{align}$

Karena garis memotong parabola di dua titik maka diskriminan $3x^{2}-8x-2k+4 = 0$ harus lebih dari nol;
$\begin{align}
D & \gt 0 \\
b^{2}-4ac & \gt 0 \\
(-8)^{2}-4(3)(-2k+4) & \gt 0 \\
64+24k-48 & \gt 0 \\
24k+16 & \gt 0 \\
k & \gt \dfrac{-16}{24} \\
k & \gt \dfrac{-2}{3}
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ k \gt -\dfrac{2}{3} $

24. Soal SBMPTN 2014 Kode 652 (*Soal Lengkap)

Jika $2a+1 \lt 0$ dan grafik $y=x^{2}-4ax+a$ bersinggungan dengan grafik $y=2x^{2}+2x$, maka $a^{2}+1=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{17}{16} \\
(B)\ & \dfrac{5}{4} \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 5 \\
(E)\ & 17
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Grafik $y=x^{2}-4ax+a$ bersinggungan dengan grafik $y=2x^{2}+2x$ maka diskriminan persekutuan adalah nol;
$\begin{align}
y &= y \\
2x^{2}+2x &= x^{2}-4ax+a \\
2x^{2}+2x - x^{2}+4ax-a &= 0 \\
x^{2}+2x+4ax-a &= 0 \\
x^{2}+(2+4a)x-a &= 0
\end{align}$

$\begin{align}
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
(2+4a)^{2}-4(1)(-a) & = 0 \\
16a^{2}+16a+4+4a & = 0 \\
16a^{2}+20a+4 & = 0 \\
4a^{2}+5a+1 & = 0 \\
(4a+1)( a+1) & = 0 \\
a & = -\dfrac{1}{4} \\
a & = -1
\end{align}$

Nilai $a$ yang memenuhi $2a+1 \lt 0$ adalah $a=-1$ sehingga nilai $a^{2}+1=(-1)^{2}+1=2$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2 $

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Sistem Persamaan (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.
Jadi Saran, Kritik atau Masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian soal Sistem Persamaan di atas sangat diharapkan๐Ÿ˜ŠCMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi ๐Ÿ™Share is Caring ๐Ÿ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE๐Ÿ˜Š

Video pilihan khusus untuk Anda ๐Ÿ’— Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;
youtube image

Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar atau pertanyaan yang berhubungan dengan "Matematika Dasar Sistem Persamaan (*Soal dan Pembahasan)" ๐Ÿ˜Š and thank you for your concern in support of blog
Buka Komentar
Tutup Komentar