--> Skip to main content

Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Sistem Persamaan (SPLDV dan SPLTV) (23)

Matematika Dasar Sistem Persamaan (*Soal Dari Berbagai Sumber)Calon guru coba berdiskusi terkait Matematika Dasar Sistem Persamaan. Sistem persamaan yang sudah kita kenal sampai tingkat SMA kelas XII (dua belas) secara umum ada empat sistem persamaan, yaitu:
  • Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
  • Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
  • Sistem Persamaan Linear Kuadrat (SPLK)
  • Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat (SPKK)
Untuk diskusi Sistem Persamaan Linear Kuadrat (SPLK) dan Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat (SPKK) silahkan di simak pada Catatan SPLK dan SPKK. Berikut ini kita coba diskusikan sistem persamaan yang paling dasar yaitu sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV), sistem persamaan linear tiga variabel (SPLDV) atau kombinasi dari SPLDV dan SPLTV.

Untuk belajar SPLDV atau SPLTV atau sistem persamaan ada baiknya kita sudah belajar atau paham teknik substitusi atau eliminasi, karena pada sistem persamaan teknik eliminasi atau substitusi sangat berperan penting.

Penerapan sistem persamaan linear dua variabel atau tiga variabel dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak. Sehingga untuk menyajikan soal matematika dalam bentuk soal cerita, materi SPLDV atau SPLTV bukanlah sesuatu yang sulit.

Ada banyak cara untuk menyelesaikan sistem persamaan, diantaranya menggunakan grafik, eliminasi, substitusi, gabungan eliminasi dan sustitusi, invers matriks, determinan matriks atau metode lainnya.

Cara yang paling efektif untuk menyelesaikan masalah terkait sistem persamaan tergantung dari kemampuan kita dalam menggunakan teknik tersebut, jadi tidak bisa kita simpulkan mana yang paling cepat dan baik digunakan. Tingkat kenyamanan kita dalam menyelesaikan soal dan bagaimana pemahaman kita menggunakan sebuah teknik sangat mempengaruhi kecepatan kita dalam menyelesaikan soal sistem persamaan.

Soal dan Pembahasan SPLDV dan SPLTV dari soal-soal Ujian Sekolah, Ujian Nasional atau Ujian Seleksi Masuk PTN


Beberapa contoh soal untuk kita diskusikan dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri), SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri), UN (Ujian Nasional) atau dari soal ujian-ujian lain yang masih sesuai dengan materi diskusi kita.

1. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)

Tujuh tahun yang lalu umur Ani sama dengan $6$ kali umur Budi. Empat tahun yang akan datang 2 kali umur Ani sama dengan 5 kali umur Budi ditambah dengan $9$ tahun. Umur Budi sekarang adalah....
$(A)\ 42\ \text{tahun}$
$(B)\ 35\ \text{tahun}$
$(C)\ 21\ \text{tahun}$
$(D)\ 18\ \text{tahun}$
$(E)\ 13\ \text{tahun}$
Alternatif Pembahasan:
show

Kita misalkan umur Ani dan Budi saat ini adalah $\text{Ani}=A$ dan $\text{Budi}=B$.
Untuk tujuh tahun yang lalu umur mereka adalah $(A-7)$ dan $(B-7)$, berlaku:
$ \begin{align}
(A-7) & = 6(B-7) \\
A-7 & = 6B-42 \\
A-6B & =-42+7 \\
A-6B & =-35\ \text{(Pers.1)}
\end{align} $

Untuk empat tahun yang akan datang umur mereka adalah $(A+4)$ dan $(B+4)$, berlaku:
$ \begin{align}
2(A+4) & = 5(B+4)+9 \\
2A+8 & = 5B+20+9 \\
2A+8 & = 5B+29 \\
2A-5B & =29-8 \\
2A-5B & =21\ \text{(Pers.2)}
\end{align} $

Dari (Pers.1) dan (Pers.2) kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
A -6B = -35 & \times 2 & 2A-12B = -70 & \\
2A- 5B = 21 & \times 1 & 2A-5B = 21 & - \\
\hline
& & -7B = -91 & \\
& & B = \frac{-91}{-7} & \\
& & B = 13 &
\end{array} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 13\ \text{tahun}$

2. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)

Sebuah toko buku menjual 2 buku gambar dan 8 buku tulis seharga $Rp48.000,00$, sedangkan untuk 3 buku gambar dan 5 buku tulis seharga $Rp37.000,00$. Jika Adi membeli 1 buku gambar dan 2 buku tulis di toko itu, ia harus membayar sebesar...
$(A)\ Rp24.000,00$
$(B)\ Rp20.000,00$
$(C)\ Rp17.000,00$
$(D)\ Rp14.000,00$
$(E)\ Rp13.000,00$
Alternatif Pembahasan:
show

Pada soal disampaikan bahwa harga 2 buku tulis dan 8 buku gambar adalah $48.000$ dan 3 buku tulis dan 5 buku gambar adalah $37.000$.

Dengan memisalkan $\text{buku tulis}=m$ dan $\text{buku gambar}=n$ maka secara simbol bisa kita tuliskan;
$2m+8n=48.000$ atau $6m+24n=144.000$
$3m+5n=37.000$ atau $6m+10n=74.000$
Dari kedua persamaan di atas dengan mengeliminasi atau substitusi kita peroleh:
Dari (Pers.1) dan (Pers.2) kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
2m+8n = 48.000 & \times 3 & 6m+ 24n = 144.000 & \\
3m+5n = 37.000 & \times 2 & 6m+10n=74.000 & - \\
\hline
& & 14n = 70.000 & \\
& & n = 5.000 & \\
n = 5.000 & 3m+5(5.000) & m=4.000 &
\end{array} $

Harga yang harus dibayar untuk 1 buku gambar dan 2 buku tulis di toko itu adalah $1(5.000)+(2)4.000=13.000$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ Rp13.000,00$

3. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)

Kakak membeli $2\ kg$ duku dan $1\ kg$ manggis dengan harga $Rp12.000,00$. Adik membeli $3\ kg$ duku dan $2\ kg$ manggis dengan harga $Rp19.000,00$. Jika ibu membeli $4\ kg$ duku dan $5\ kg$ manggis, maka ibu harus membayar ... rupiah
Alternatif Pembahasan:
show

Jika kita misalkan $\text{duku}=d$ dan $\text{manggis}=m$, maka persamaan yang dibelanjakan kakak dan adik dapt kita tuliskan sebagai berikut;
kakak: $2d\ + 1m\ = 12.000$
adik: $3d\ + 2m\ = 19.000$
ibu: $4d\ + 5m\ = \cdots $

Dari belanja kakak dan adik kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
2d + 1m = 12.000 & \times 2 \\
3d + 2m = 19.000 & \times 1 \\
\hline
4d + 2m = 24.000 & \\
3d + 2m = 19.000 & (-) \\
\hline
d = 5.000 & \\
2d+m=12.000 & m=2.000 \\
2(5.000)+m=12.000 & m=2.000
\end{array} $

Belanja ibu:
$ \begin{align}
4d\ + 5m\ & = 4(5.000) + 5(2.000) \\
& = 20.000+10.000 \\
& = 30.000 \end{align} $

4. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 (*Soal Lengkap)

Jika $a$ dan $b$ memenuhi $\begin{cases}\dfrac{9}{a+2b}+\dfrac{1}{a-2b}=2 \\ \dfrac{9}{a+2b}-\dfrac{2}{a-2b}=-1\end{cases}$ maka $a-b^2=\cdots$
$(A)\ 1$
$(B)\ 2$
$(C)\ 3$
$(D)\ 5$
$(E)\ 9$
Alternatif Pembahasan:
show

Misalkan $x=\dfrac{1}{a+2b}$ dan $y=\dfrac{1}{a-2b}$ maka sistem persamaan pada soal dapat ditulis menjadi
\begin{split}
9x+y & = 2\\
9x-2y & = -1
\end{split}
Dengan mengeliminasi atau substitusi kedua sistem persamaan di atas diperoleh $x=\dfrac{1}{9}$ dan $y=1$. Lalu kita substitusi kembali nilai $x$ dan nilai $y$ pada pemisalan diawal, sehingga kita peroleh;
$\begin{split}
& \dfrac{1}{a+2b} = \dfrac{1}{9} \Rightarrow a+2b=9\\
& \dfrac{1}{a-2b} = 1 \Rightarrow a-2b=1
\end{split}$
Sama seperti sebelumnya dengan mengeliminasi atau substitusi kedua sistem persamaan di atas kita peroleh $a=5$ dan $b = 2$.
Jadi $a-b^2\ = (5)-(2)^2\ = 1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 1$

5. Soal UM SMA Unggul DEL 2018 (*Soal Lengkap)

Diketahui sistem persamaan:
$\begin{align}
3a+7b+c & = 315 \\
4a+10b+c & = 420
\end{align}$
Maka nilai $a+b+c$ adalah...

$\begin{align}
(A).\ & 100 \\
(B).\ & 105 \\
(C).\ & 110 \\
(D).\ & 150
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Jika kedua persamaan di atas kita kurangkan maka akan kita peroleh
$\begin{array}{c|c|cc}
3a+7b+c = 315 & \\
4a+10b+c = 420 & (-)\\
\hline
a + 3b = 105 &
\end{array} $
Dari persamaan $3a+7b+c = 315$ kita lakukan manipulasi aljabar sebagai berikut;
$\begin{align}
3a+7b+c & =315 \\
2a+a+6b+b+c & =315 \\
2a+6b+a+b+c & =315 \\
2(a+3b)+a+b+c & =315 \\
2(105)+a+b+c & =315 \\
a+b+c & =315-210 \\
a+b+c & =105
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 105$

6. Soal UM SMA Unggul DEL 2018 (*Soal Lengkap)

Jika $a$ dan $b$ adalah penyelesaian dari sistem persamaan $\left\{\begin{matrix}
2016a+2017b=6050\\
2017a+2016b=6049
\end{matrix}\right.$ maka nilai $b^{2}-a^{2}$ adalah...

$\begin{align}
(A).\ & 2 \\
(B).\ & 3 \\
(C).\ & 4 \\
(D).\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Jika kedua persamaan kita kurangkan, maka kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2016a+2017b=6050 & \\
2017a+2016b=6049 & (-)\\
\hline
-a+b=1 & \\
b-a=1 &
\end{array} $

Jika kedua persamaan kita tambahkan, maka kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2016a+2017b=6050 & \\
2017a+2016b=6049 & (+)\\
\hline
4033a+4033b=12099 & \\
a+b=3 & \\
b+a=3 &
\end{array} $
Nilai $b^{2}-a^{2}=(b+a)(b-a)=3 \cdot 1=3$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 3$

7. Soal UM SMA Unggul DEL 2018 (*Soal Lengkap)

Diberikan $a,\ b,\ c$ adalah anggota bilangan ril (nyata).
$\left.\begin{matrix}
a+b+c=7\\
\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}=\dfrac{7}{10}
\end{matrix}\right\}$ maka nilai $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=\cdots$

$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{19}{10} \\
(B)\ & \dfrac{21}{10} \\
(C)\ & \dfrac{23}{10} \\
(D)\ & \dfrac{25}{10}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dari kedua persamaan $a+b+c=7$ dan $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}=\dfrac{7}{10}$ jika kita kalikan maka akan kita peroleh persamaan sebagai berikut:
$\begin{align}
\left ( 7 \right )\left (\dfrac{7}{10} \right ) & =\left ( a+b+c \right )\left (\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a} \right ) \\
\dfrac{49}{10} & = \dfrac{a+b+c}{a+b}+\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{c+a} \\
\dfrac{49}{10} & =\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{a+c}{c+a} \\ \\
\dfrac{49}{10} & = 1+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+1+\dfrac{b}{c+a}+1 \\
\dfrac{49}{10} & = 3+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a} \\
\dfrac{49}{10}-3 & = \dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a} \\
\dfrac{19}{10} & = \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{19}{10}$

8. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)

Diketahui sistem persamaan linear $x+2y=a$ dan $2x-y=3$. Jika $a$ merupakan bilangan positif terkecil sehingga persamaan linear tersebut mempunyai penyelesaian bilangan bulat $x=x_{0}$ dan $y=y_{0}$, maka nilai $x_{0}+y_{0}$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 1 \\
(B).\ & 2 \\
(C).\ & 3 \\
(D).\ & 4 \\
(E).\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Jika kedua persamaan coba kita selesaikan:
$\begin{array}{c|c|cc}
x+2y=a & \times 2 \\
2x-y=3 & \times 1 \\
\hline
2x+4y = 2a & \\
2x-y = 3 & - \\
\hline
5y = 2a-3 & \\
y = \frac{2a-3}{5}
\end{array} $

Agar $y$ bilangan bulat dan $a$ bilangan bulat positif maka $2a-3$ harus kelipatan $5$
$\begin{align}
2a-3 & \equiv 5k \\
2a & \equiv 5k+3 \\
a & \equiv \dfrac{5k+3}{2} \\
\text{Untuk}\ k=1\ \text{maka}\ a & \equiv 4 \\
y & = \frac{2a-3}{5} \\
y & = \frac{2(4)-3}{5}=1 \\
x+2y & = a \\
x+2(1) & = 4 \\
x & = 4-2=2
\end{align}$

$x_{0}+y_{0}=2+1=3$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 3$

9. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)

Jika $A$ merupakan himpunan semua nilai $c$ sehingga sistem persamaan linear $x-y=1$ dan $cx+y=1$ memiliki penyelesaian di kuadran $I$, maka $A=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & \left \{ c | c=-1 \right \} \\
(B).\ & \left \{ c | c \lt -1 \right \} \\
(C).\ & \left \{ c | 1 \lt c \lt 1 \right \} \\
(D).\ & \left \{ c | c= 1 \right \} \\
(E).\ & \left \{ c | c \gt 1 \right \}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Jika kedua persamaan coba kita selesaikan:
$\begin{array}{c|c|cc}
x-y=1 & \\
cx+y=1 & + \\
\hline
x+cx = 2 & \\
x(c+1) = 2 & \\
x = \dfrac{2}{c+1}
\end{array} $

$\begin{array}{c|c|cc}
x-y=1 & \times\ c\\
cx+y=1 & \times\ 1 \\
\hline
cx-cy=c & \\
cx+y=1 & - \\
\hline
-cy-y = c-1 & \\
y(c+1) = -c+1 & \\
y = \dfrac{-c+1}{c+1}
\end{array} $

Karena penyelesaian di kuadran $I$ maka nilai $x \gt 0$ dan $y \gt 0$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
\frac{2}{c+1} & \gt 0 \\
(2)(c+1) & \gt 0 \\
c+1 & \gt 0 \\
c & \gt -1
\end{align}$

$\begin{align}
\dfrac{-c+1}{c+1} & \gt 0 \\
(-c+1)(c+1) & \gt 0 \\
c \lt -1\ &\text{atau}\ c \gt 1
\end{align}$

Irisan $c \gt -1$ dan $c \lt -1\ \text{atau}\ c \gt 1$ adalah $c \gt 1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ \left \{ c | c \gt 1 \right \}$


10. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)

Diberikan sistem $a^{2}x-3y=1$, $\dfrac{4}{3}\left( a+\dfrac{3}{2} \right)x+\left( \dfrac{1}{a}+1 \right)y=6$. Agar sistem tersebut tidak memiliki tepat satu solusi, maka $a=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & \left \{ a \in \mathbb{R}: a=12\ \text{dan}\ a=2 \right \} \\
(B).\ & \left \{ a \in \mathbb{R}: a=6\ \text{dan}\ a=4 \right \} \\
(C).\ & \left \{ a \in \mathbb{R}: a=3\ \text{dan}\ a=-2 \right \} \\
(D).\ & \left \{ a \in \mathbb{R}: a=-5\ \text{dan}\ a=2 \right \} \\
(E).\ & \left \{ a \in \mathbb{R}: a=-2\ \text{dan}\ a=-3 \right \}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Agar sistem tersebut tidak memiliki tepat satu solusi, maka ada dua kemungkinan yaitu berimpit (banyak solusi) atau sejajar (tidak punya solusi). Dua keadaan ini terjadi saat $m_{1}=m_{2}$
$a^{2}x-3y=1$
$m_{1}=\dfrac{a^{2}}{3}$

$\dfrac{4}{3}\left( a+\dfrac{3}{2} \right)x+\left( \dfrac{1}{a}+1 \right)y=6$
$m_{2}=\dfrac{-\dfrac{4}{3}\left( a+\dfrac{3}{2} \right)}{\dfrac{1}{a}+1}$

Karena $m_{1}=m_{2}$, maka:
$\begin{align}
\dfrac{-\dfrac{4}{3}\left( a+\dfrac{3}{2} \right)}{\dfrac{1}{a}+1} & = \dfrac{a^{2}}{3} \\
-\dfrac{4}{3}\left( a+\dfrac{3}{2} \right) & = \dfrac{a^{2}}{3} \times \left( \dfrac{1}{a}+1 \right)\\
-4 \left( a+\dfrac{3}{2} \right) & = a^{2} \times \left( \dfrac{1}{a}+1 \right)\\
-4a-6 & = a+a^{2}\\
a^{2}+5a+6 & = 0 \\
(a+3)(a+2) & = 0 \\
a=-3\ &\ a=-2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ \left \{ a \in \mathbb{R}: a=-2\ \text{dan}\ a=-3 \right \}$

11. Soal SNMPTN 2010 Kode 336 (*Soal Lengkap)

Jika penyelesaian sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
\left ( a+3 \right )x+y=0\\
x+\left ( a+3 \right )y=0
\end{matrix}\right.$
tidak hanya $(x,y)=(0,0)$ saja, maka nilai $a^{2}+6a+17=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 9 \\
(E)\ & 16
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Karena penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas lebih dari satu maka perbandingan koefisien variabel nilainya adalah sama. sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\dfrac{a+3}{1} & = \dfrac{1}{a+3} \\
(a+3)(a+3) & = 1 \\
a^{2}+6a+9 & = 1 \\
a^{2}+6a+9 [+8] & = 1 [+8] \\
a^{2}+6a+17 & = 9
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 9$

12. Soal SNMPTN 2010 Kode 326 (*Soal Lengkap)

Jika penyelesaian sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
\left ( a-2 \right )x+y=0\\
x+\left ( a-2 \right )y=0
\end{matrix}\right.$
tidak hanya $(x,y)=(0,0)$ saja, maka nilai $a^{2}-4a+3=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 9 \\
(E)\ & 16
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Karena penyelesaian sistem persamaan di atas lebih dari satu maka perbandingan koefisien variabel nilainya adalah sama. sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\dfrac{a-2}{1} & = \dfrac{1}{a-2} \\
(a-2)(a-2) & = 1 \\
a^{2}-4a +4 & = 1 \\
a^{2}-4a +4 [-1]& = 1 [-1] \\
a^{2}-4a +3 & = 0 \\
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 9$

13. Soal UM UGM 2009 Kode 932 (*Soal Lengkap)

Jika garis $(a+b)x+2by=2$ dan garis $ax-(b-3a)y=-4$ berpotongan di $( 1,-1)$, maka $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Karena garis garis $(a+b)x+2by=2$ dan garis $ax-(b-3a)y=-4$ berpotongan di $( 1,-1)$ maka berlaku:
$\begin{align}
(a+b)x+2by & = 2 \\
(a+b)(1)+2b(-1) & = 2 \\
a+b -2b & = 2 \\
a-b & = 2 \\
ax-(b-3a)y & = -4 \\
a(1)-(b-3a)(-1) & = -4 \\
a +b-3a & = -4 \\
-2a +b & = -4 \\
\end{align}$

$\begin{array}{c|c|cc}
a-b=2 & \\
-2a+b=-4 & (+) \\
\hline
-a=-2 & \\
a= 2 & \\
b= 0 & a+b=2
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$

14. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Pada tahun $2001$ usia Bayu $7$ tahun lebih tua dari usia Andi, sedangkan jumlah umur mereka pada tahun $2007$ adalah $43$ tahun. Pada tahun $2018$ usia Bayu adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 39\ \text{tahun} \\
(B)\ & 38\ \text{tahun} \\
(C)\ & 37\ \text{tahun} \\
(D)\ & 36\ \text{tahun} \\
(E)\ & 35\ \text{tahun}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Kita misalkan umur Andi dan Bayu pada tahun $2018$ adalah $\text{Andi}=A$ dan $\text{Bayu}=B$.

Dengan patokan tahun $2018$, tahun $2001$ adalah $17$ tahun yang lalu, sehingga umur mereka adalah $(A-17)$ dan $(B-17)$, berlaku:
$ \begin{align}
(A-17) +7& = (B-17) \\
A-10 & = B-17 \\
A-B & = -7\ \cdots (Pers.1)
\end{align} $

Dengan patokan tahun $2018$, tahun $2007$ adalah $11$ tahun yang lalu, sehingga umur mereka adalah $(A-11)$ dan $(B-11)$, berlaku:
$ \begin{align}
(A-11)+ (B-11) & = 43 \\
A+B & = 43+22 \\
A+B & = 65\ \cdots (Pers.2)
\end{align} $

Dari Sistem Persamaan Linear (Pers.1) dan (Pers.2) kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
A-B = -7 & \\
A+B = 65 & (-) \\
\hline
-2B=-72 \\
B=36
\end{array} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 36\ \text{tahun}$

15. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Jika penyelesaian sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
\left ( a+2 \right )x+y=0\\
x+\left ( a+2 \right )y=0
\end{matrix}\right.$
tidak hanya $(x,y)=(0,0)$ saja, maka nilai terbesar $a^{2}+3a+9=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 7 \\
(B)\ & 9 \\
(C)\ & 11 \\
(D)\ & 13 \\
(E)\ & 27
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dari sistem persamaan yang disampaiakn di atas yaitu penyelesaian sistem persamaan di atas lebih dari satu maka perbandingan koefisien variabel nilainya adalah sama.

sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\dfrac{a+2}{1} & = \dfrac{1}{a+2} \\
(a+2)(a+2) & = (1)(1) \\
a^{2}+4a +4 & = 1 \\
a^{2}+4a +3 & = 0 \\
(a+1)(a+3) & = 0 \\
a=-1\ & \text{atau}\ a=-3 \\
\hline
a=-1\ \rightarrow\ a^{2}+3a+9 & =1-3+9=7 \\
a=-3\ \rightarrow\ a^{2}+3a+9 & =9-9+9=9 \\
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 9$

16. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
4^{x}+5^{y}=6 \\
4^{\frac{x}{y}} = 5
\end{matrix}\right.$
Nilai $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & {}^3\!\log 4 \\
(B)\ & {}^3\!\log 20 \\
(C)\ & {}^3\!\log 5 \\
(D)\ & {}^3\!\log 25 \\
(E)\ & {}^3\!\log 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dari sistem persamaan yang disampaikan di atas, kita mungkin butuh sedikit catatan calaon guru tentang logaritma yaitu:

  • ${}^a\!\log x\ +{}^a\!\log y={}^a\!\log \left (x\cdot y \right )$
  • ${}^a\!\log x= \dfrac{1}{{}^x\!\log a} $
Dari persamaan $4^{\frac{x}{y}} = 5$ kita peroleh $4^{x} = 5^{y}$, lalu dapat kita substitusikan:
$\begin{align}
4^{x}+5^{y} &= 6 \\
5^{y}+5^{y} &= 6 \\
2 \cdot 5^{y} &= 6 \\
5^{y} &= 3 \\
{}^5\!\log 3= y \\
\hline
4^{x} &= 5^{y}\\
4^{x} &= 5^{{}^5\!\log 3}\\
4^{x} &= 3 \\
{}^4\!\log 3= x
\end{align}$

$\begin{align}
\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} &= \dfrac{1}{{}^4\!\log 3}+\dfrac{1}{{}^5\!\log 3} \\
&= {}^3\!\log 4 + {}^3\!\log 5 \\
&= {}^3\!\log (4 \cdot 5) \\
&= {}^3\!\log 20
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ {}^3\!\log 20$

17. Soal UNBK Matematika IPS 2019 (*Soal Lengkap)

Jika $(x_{1},y_{1})$ merupakan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $2x+5y=12$ dan $x+4y=15$, nilai dari $5x_{1}+3y_{1}$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & 63 \\
(B)\ & 57 \\
(C)\ & 21 \\
(D)\ & -27 \\
(E)\ & -39
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Soal di atas kita coba selesaikan dengan eliminasi dan substitusi:
$\left \{ \begin{matrix}
2x+5y=12\ \text{(pers.1)}\\
\ x+4y=15\ \text{(pers.2)}
\end{matrix} \right.$

Dari (pers.1) dan (pers.2) kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
2x+5y=12 &\ (\times 1) \\
x+4y=15 &\ (\times 2) \\
\hline
2x+5y=12 & \\
2x+8y=30 &\ (-) \\
\hline
-3y=-18 \\
y=6 \\
\hline
x+4(6)=15 \\
x =15-24=-9
\end{array} $
Himpunan penyelesaian adalah $(-9,6)$, sehingga dapat kita simpulkan:
$ \begin{align}
5x_{1}+3y_{1} & = 5(-9)+3(6) \\
& = -45 + 18 \\
& = -27
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -27$

18. Soal UNBK Matematika IPS 2019 (*Soal Lengkap)

Seorang peternak memelihara dua jenis hewan ternak yaitu kambing dan sapi. Jumlah semua hewan ternaknya adalah $150$ ekor. Untuk memberi makan hewan-hewan tersebut setiap harinya, peternak membutuhkan biaya $Rp10.000,00$ untuk setiap ekor kambing dan $Rp15.000,00$ untuk setiap ekor sapi. Biaya yang dikeluarkan setiap hari untuk memberi makan ternak mencapai $Rp1.850.00,00$. Jika $x$ menyatakan banyak kambing dan $y$ menyatakan banyak sapi, model matematika yang tepat untuk permasalahan tersebut adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & 10x+15y=185\ \text{dan}\ x+ y=150 \\
(B)\ & 2x+3y=370\ \text{dan}\ x+ y=150 \\
(C)\ & 3x+2y=370\ \text{dan}\ x+ y=150 \\
(D)\ & 2x+3y=185\ \text{dan}\ x+ y=150 \\
(E)\ & x+ y=370\ \text{dan}\ x+ y=150 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Pada soal disampaikan bahwa $x$ menyatakan banyak kambing dan $y$ menyatakan banyak sapi.

Dari kalimat Soal Seorang peternak memelihara dua jenis hewan ternak yaitu kambing dan sapi. Jumlah semua hewan ternaknya adalah $150$ ekor sehingga jumlah kambing dan sapi adalah $150$ sehingga $x+y=150$.

Dari kalimat Untuk memberi makan hewan-hewan tersebut setiap harinya, peternak membutuhkan biaya $Rp10.000,00$ untuk setiap ekor kambing dan $Rp15.000,00$ untuk setiap ekor sapi. Biaya yang dikeluarkan setiap hari untuk memberi makan ternak mencapai $Rp1.850.00,00$. Biaya keseluruhan $Rp1.850.00,00$ adalah untuk memberi makan sebanyak $x$ kambing dan sebanyak $y$ sapi dimana biaya $Rp10.000,00$ untuk setiap ekor kambing dan $Rp15.000,00$ untuk setiap ekor sapi. Sehingga dapat kita simpulkan $10.000x+15.000y=1.850.000$, kita sederhanakan menjadi $10x+15y=1.850$ atau $2x+3y=370$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2x+3y=370\ \text{dan}\ x+ y=150$


19. Soal Matematika Dasar SIMAK UI 2019 Kode 539 (*Soal Lengkap)

Hasil penjumlahan dari $x,y,\ \text{dan}\ z$ yang memenuhi $3^{2x+y-z}=\left( \dfrac{1}{27} \right)^{(x-y+2z+2)}$, ${}^\!\log (x-y+z)= \dfrac{1}{1+{}^2\!\log 5}$, dan $\begin{vmatrix}
x & \dfrac{1}{2}\\
2y & 2 \\
\end{vmatrix}=2$ adalah...

$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{22}{3} \\
(B)\ & -\dfrac{23}{3} \\
(C)\ & -\dfrac{24}{3} \\
(D)\ & -\dfrac{25}{3} \\
(E)\ & -\dfrac{26}{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Soal yang disajikan di atas adalah perpaduan materi bilangan berpangkat, logaritma, matriks dan sistem persamaan, dengan manipulasi aljabar, kita coba selesaikan dengan cara seperti berikut ini:
$\begin{align}
3^{2x+y-z} &= \left( \dfrac{1}{27} \right)^{(x-y+2z+2)} \\
3^{2x+y-z} &= \left( 3^{-3} \right)^{(x-y+2z+2)} \\
3^{2x+y-z} &= 3^{-3x+3y-6z-6)} \\
2x+y-z &= -3x+3y-6z-6 \\
5x-2y+5z &= -6\ \text{pers.1}
\end{align}$

$\begin{align}
log (x-y+z) &= \dfrac{1}{1+{}^2\!\log 5} \\
log (x-y+z) &= \dfrac{1}{{}^2\!\log 2+{}^2\!\log 5} \\
log (x-y+z) &= \dfrac{1}{{}^2\!\log 10} \\
log (x-y+z) &= {}^10\!\log 2 \\
x-y+z &= 2\ \text{pers.2}
\end{align}$

Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
x-y+z = 2 & (\times 5) \\
5x-2y+5z = -6 & (\times 1) \\
\hline
5x-5y+5z = 10 & \\
5x-2y+5z = -6 & (-) \\
\hline
-3y = 16 & \\
y = -\dfrac{16}{3}
\end{array} $

Dari persamaan dua kita peroleh:
$\begin{align}
x-y+z &= 2 \\
x-y+z+2y &= 2+2y \\
x+y+z &= 2+2y \\
&= 2+2 \cdot \left( -\dfrac{16}{3} \right) \\
&= 2 -\dfrac{32}{3} \\
&= \dfrac{6}{3} -\dfrac{32}{3}=-\dfrac{26}{3} \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -\dfrac{26}{3}$

20. Soal Matematika Dasar SIMAK UI 2019 Kode 539 (*Soal Lengkap)

Jika $\left( p^{2}-1\right)x+y=0$ dan $-2x+\left( p^{2}-4\right)+y=0$ dengan $x \neq 0$ dan $y \neq 0$, nilai $p^{2}$ terkecil yang memenuhi sistem persamaan linear tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 3 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 5 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Kedua sistem persamaan di atas mengandung $p^{2}$ sehingga jika kita misalkan $p^{2}=m$, maka sistem persamaan menjadi:
$\left\{\begin{matrix}
\left( m-1\right)x+y=0 \\
-2x+\left( m-4\right)y=0
\end{matrix}\right.$

Dengan mensubstitusi kedua persamaan kita peroleh:
$\begin{align}
-2x+\left( m-4\right) \left( -\left( m-1\right)x \right) &= 0 \\
-2x-\left( m-4\right) \left( m-1\right)x &= 0 \\
-\left( m-4\right) \left( m-1\right)x &= 2x \\
\left( m-4\right) \left( m-1\right) &= -2 \\
m^{2}-5m+4 &= -2 \\
m^{2}-5m+4+2 &= 0 \\
(m-3)(m-2) &= 0 \\
m=3\ \text{atau}\ m=2 & \\
\hline
p^{2}=3\ \text{atau}\ p^{2}=2 &
\end{align}$
Nilai $p^{2}$ terkecil yang memenuhi sistem persamaan linear adalah 2.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2$

21. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 633 (*Soal Lengkap)

Diberikan sistem persamaan linear
$\left\{\begin{matrix}
2x+3y= a \\
\dfrac{1}{7}x+\dfrac{1}{5}y =5
\end{matrix}\right.$
Jika $x+y=2a+3$, maka $a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 16 \\
(B)\ & 32 \\
(C)\ & 38 \\
(D)\ & 40 \\
(E)\ & 43
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dari sistem persamaan dapat kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2x+3y= a &\ (\times 2) \\
\dfrac{1}{7}x+\dfrac{1}{5}y =5 &\ (\times 35) \\
\hline
4x+6y=2a & \\
5x+7y=175 &\ (-) \\
\hline
-x-y=2a-175 \\
x+y=175-2a \\
\hline
2a+3=175-2a \\
4a =175-3 \\
a =\dfrac{172}{4}=38
\end{array} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 38$

22. Soal UTBK Matematika 2019 (*Soal Lengkap)

Jika $x$ dan $y$ bilangan bulat positif yang memenuhi $4x-5y=a$ dan $8x+5y=34$ serta $x+a$ adalah bilangan prima antara $2$ dan $6$, maka $x-y=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Disampaikan pada soal bahwa $x$ dan $y$ bilangan bulat positif yang memenuhi $4x-5y=a$ dan $8x+5y=34$ sehingga berlaku:

$\begin{array}{c|c|cc}
4x-5y=a &\ \\
8x+5y=34 &\ (+) \\
\hline
12x=a+34 \\
x=\dfrac{a+34}{12}
\end{array} $

Nilai $x+a$ adalah bilangan prima antara $2$ dan $6$ sehingga nilai $x+a$ yang mungkin adalah $3$ atau $5$;
$\begin{align}
x+a &= 3 \\
\dfrac{a+34}{12}+a &= 3 \\
a+34 +12a &= 3(12) \\
13a &= 36-34 \\
13a &= 12 \\
a &= \dfrac{12}{13} \\
\hline
x+a &= 5 \\
\dfrac{a+34}{12}+a &= 5 \\
a+34 +12a &= 5(12) \\
13a &= 60-34 \\
13a &= 26 \\
a &= 2 \\
\end{align}$
Nilai $a$ yang mengakibatkan $x$ bilangan bulat positif adalah $a=2$ sehingga $x+a=5$ atau $x=3$.

Untuk $x=3$, maka:
$\begin{align}
8x+5y &= 34 \\
8(3)+5y &= 34 \\
5y &= 34-24 \\
5y &= 10 \\
y &= 2 \\
\hline
x-y &= 3-2 = 1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$

23. Soal UTBK Matematika 2019 (*Soal Lengkap)

Jika $x$ dan $y$ bilangan bulat positif yang memenuhi $x+y=6$ dan $x-2y=1-b$ serta $x+b$ adalah bilangan antara $1$ dan $4$, maka $x-b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 3 \\
(C)\ & 5 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 9
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Disampaikan pada soal bahwa $x$ dan $y$ bilangan bulat positif yang memenuhi $x+y=6$ dan $x-2y=1-b$ sehingga berlaku:

$\begin{array}{c|c|cc}
x+y=6 &\ (\times 2) \\
x-2y=1-b &\ (\times 1) \\
\hline
2x+2y=12 &\ \\
x-2y=1-b &\ (+) \\
\hline
3x=13-b \\
x=\dfrac{13-b}{3}
\end{array} $

Nilai $x+b$ adalah bilangan bulat antara $1$ dan $4$ sehingga nilai $x+b$ yang mungkin adalah $2$ atau $3$;
$\begin{align}
x+b &= 2 \\
\dfrac{13-b}{3}+b &= 2 \\
13-b +3b &= 2(3) \\
2b &= 6-13 \\
b &= \dfrac{-7}{2} \\
\hline
x+b &= 3 \\
\dfrac{13-b}{3}+b &= 3 \\
13-b +3b &= 3(3) \\
2b &= 9-13 \\
b &= \dfrac{-4}{2}=-2 \\
\end{align}$
Nilai $b$ yang mengakibatkan $x$ bilangan bulat positif adalah $b=-2$ sehingga $x+b=3$ atau $x=5$.

Untuk $x=5$, maka:
$\begin{align}
x-b &= 5- \left( -2 \right) \\
&= 5- \left( -2 \right) \\
&= 7
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 7$


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Sistem Persamaan (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.
Untuk sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Sistem Persamaan silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Cara alternatif dalam perkalian dua angka
youtube image

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Sistem Persamaan (SPLDV dan SPLTV) (23)" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih 🙏 support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar