The good student, Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari materi Sistem Persamaan Linear Kuadrat (SPLK) dan Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat (SPKK).
Pada kurikulum 2013 materi pokok Sistem Persamaan Linear Kuadrat (SPLK) dan Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat (SPKK) menjadi salah satu materi yang diharapkan kita bisa belajar secara mandiri.
Karena materi pokok matematika SMP dan SMA Kurikulum 2013 tidak mempelajari materi SPLK atau SPKK, tetapi mempelajari Sistem Pertidaksamaan Linear Kuadrat dan Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Kuadrat.
Kompetensi dasar pada matematika wajib kelas X (sepuluh) yang ingin dicapai adalah:
- Menjelaskan dan menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan dua variabel (linear-kuadrat dan kuadrat-kuadrat)
- Menyajikan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem pertidaksamaan dua variabel (linear-kuadrat dan kuadrat-kuadrat)
Untuk membantu dalam mencapai kompetensi dasar di atas, kita coba diskusikan terlebih dahulu materi prasyaratnya yaitu Sistem Persamaan Linear Kuadrat (SPLK) dan Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat (SPKK).
SISTEM PERSAMAAN LINEAR KUADRAT (SPLK)
Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK) disusun oleh sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat yang memiliki dua variabel. SPLK terdiri dari 2 jenis, yaitu SPLK Eksplisit dan SPLK Impilsit.
Suatu persamaan dua variabel $x$ dan $y$ dikatakan berbentuk eksplisit apabila persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk $y = f(x)$ atau $x = f(y)$.
Contoh:
- $x = 2y-1\ \rightarrow x=f(y)=2y+1$
- $y = 3x+1\ \rightarrow y=f(x) = 3x+1$
- $y=x^{2}+5x+6\ \rightarrow y=f(x)=x^{2}+5x+6$
- $x=y^{2}+2y+1\ \rightarrow x=f(y)=y^{2}+2y+1$
Suatu persamaan dua variabel $x$ dan $y$ dikatakan berbentuk implisit apabila persamaan tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk $y = f(x)$ atau $x = f(y)$. Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk $f(x, y)$.
Contoh:
- $x^{2}+y^{2}-25=0$
- $x^{2}+y^{2}-6x+8y+10=0$
- $x^{2}+2xy+y^{2} 8y+10=0$
Bentuk umum Sistem Persamaan Linear Kuadrat Implisit, yaitu:
$\begin{align}
y\ & = mx+n\ \cdots \text{bagian linear} \\
y\ & =ax^{2}+bx+c\ \cdots \text{bagian kuadrat}
\end{align}$
dimana $m,n,a,b,c$ adalah bilangan real dan $a \neq 0$. Untuk bagian linear gambarnya berupa garis dan bagian kuadrat gambarnya berupa parabola.
Untuk menyelesaikan SPLK implisit dapat dilakukan dengan mensubstitusi kedua persamaan di atas menjadi:
$\begin{align}
y & = y \\
ax^{2}+bx+c & = mx+n \\
ax^{2}+(b-m)x+c-n & = 0
\end{align}$
Persamaan kuadrat $ax^{2}+(b-m)x+c-n = 0$ umumnya disebut dengan persamaan kuadrat persekutuan. Dari persamaan kuadrat persekutuan dapat kita tentukan nilai $x_{1}$ dan $x_{2}$ lalu disubstitsi ke salah satu persamaan sehingga kita akan dapatkan nilai $y_{1}$ dan $y_{2}$.
Himpunan penyelesaian sistem persamaan adalah $\left\{ \left(x_{1},y_{1} \right),\ \left(x_{2},y_{2} \right) \right\}$.
Seperti jenis akar-akar persamaan kuadrat, dari $ax^{2}+(b-m)x+c-n = 0$ ada beberapa hal yang dapat kita tuliskan yaitu:
- Jika $D \gt 0$ maka garis dan parabola berpotongan di dua titik atau mempunyai dua himpunan penyelesaian
- Jika $D = 0$ maka garis dan parabola bersinggungan atau mempunyai satu himpunan penyelesaian
- Jika $D \lt 0$ maka garis dan parabola tidak berpotongan dan tidak bersinggungan atau tidak mempunyai himpunan penyelesaian
SISTEM PERSAMAAN KUADRAT KUADRAT (SPKK)
Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPLK) disusun dua buah persamaan kuadrat yang memiliki dua variabel. Bentuk umum Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat (SPKK) adalah:
$\begin{align}
y\ & =px^{2}+qx+r,\ p \neq 0\ \cdots \text{bagian parabola} \\
y\ & =ax^{2}+bx+c,\ a \neq 0\ \cdots \text{bagian parabola}
\end{align}$
dimana $p,q,r,a,b,c$ adalah bilangan real dan $p,a \neq 0$.
Untuk menyelesaikan SPKK dapat dilakukan dengan mensubstitusi kedua persamaan di atas menjadi:
$\begin{align}
y & = y \\
ax^{2}+bx+c & = px^{2}+qx+r \\
(a-p)x^{2}+(b-q)x+c-r & = 0
\end{align}$
Jika $a-p \neq 0$ maka diperolah persamaan kuadrat $(a-p)x^{2}+(b-q)x+c-r = 0$, ini umumnya disebut dengan persamaan kuadrat persekutuan. Dari persamaan kuadrat persekutuan dapat kita tentukan nilai $x_{1}$ dan $x_{2}$ lalu disubstitsi ke salah satu persamaan sehingga kita akan dapatkan nilai $y_{1}$ dan $y_{2}$.
Himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{ \left(x_{1},y_{1} \right),\ \left(x_{2},y_{2} \right) \right\}$.
Seperti jenis akar-akar persamaan kuadrat, dari $(a-p)x^{2}+(b-q)x+c-r = 0$ ada beberapa hal yang dapat kita tuliskan yaitu:
- Jika $D \gt 0$ maka kedua parabola berpotongan di dua titik atau mempunyai dua himpunan penyelesaian
- Jika $D = 0$ maka kedua parabola bersinggungan atau mempunyai satu himpunan penyelesaian
- Jika $D \lt 0$ maka kedua parabola tidak berpotongan dan tidak bersinggungan atau tidak mempunyai himpunan penyelesaian
SOAL DAN PEMBAHASAN SPLK dan SPKK
>Beberapa contoh soal untuk kita diskusikan dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri), SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri), UN (Ujian Nasional) atau dari soal ujian-ujian lain yang masih sesuai dengan materi diskusi kita.
1. Soal EBTANAS IPA SMA 1995 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
x-y =1 \\
x^{2}-6x-y+5=0
\end{matrix}\right.$
adalah $\left \{\left ( x_{1},y_{1} \right ),\left ( x_{2},y_{2} \right ) \right \}$
Nilai $x_{1}+x_{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 11
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Langkah pertama kita subsitusi nilai $y$ pada persamaan linear dan $y$ persamaan kuadrat, dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
y &= y \\
x^{2}-6x +5 & = x-1 \\
x^{2}-6x-x +5+1 & = 0 \\
x^{2}-7x + 6 & = 0 \\
\left(x-6 \right)\left(x-1 \right) &= 0 \\
x=6\ \text{atau}\ x=1 & \\
\end{align}$
Yang ditanyakan pada soal adalah $x_{1}+x_{2}=1+6=7$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 7$
Jika kita teruskan untuk mencari himpunan penyelesaian sistem persamaan di atas, langkah berikutnya adalah:
- untuk $x=1$ maka $y=x-1=0$ kita peroleh titik potong $(1,0)$
- untuk $x=6$ maka $y=x-1=5$ kita peroleh titik potong $(6,5)$
- Himpunan Penyelesaian adalah $\left\{ \left(1,0 \right),\ \left(6,5 \right) \right\}$
2. Soal EBTANAS IPA SMA 1990 |*Soal Lengkap
Parabola dengan persamaan $y = – x^{2} + 3x + 11$ dan garis dengan persamaan $y – 2x + 1 = 0$ berpotongan di titik yang berabsis...
$\begin{align}
(A)\ & -3\ \text{dan}\ 4 \\
(B)\ & -2\ \text{dan}\ 5 \\
(C)\ & -2\ \text{dan}\ 1 \\
(D)\ & -4\ \text{dan}\ 3 \\
(E)\ & -7\ \text{dan}\ 7 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Langkah pertama kita subsitusi nilai $y$ pada persamaan linear dan $y$ persamaan kuadrat, dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
y &= y \\
– x^{2} + 3x + 11 & = 2x - 1 \\
-x^{2}+3x-2x +11+1 & = 0 \\
-x^{2}+ x +12 & = 0 \\
x^{2}- x -12 & = 0 \\
\left(x-4 \right)\left(x+3 \right) &= 0 \\
x=4\ \text{atau}\ x=-3 & \\
\end{align}$
Yang ditanyakan pada soal nilai absis titik potong yaitu $x_{1}=4$ $x_{2}=-3$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3\ \text{dan}\ 4$
- Jika kita teruskan untuk mencari himpunan penyelesaian sistem persamaan di atas, langkah berikutnya adalah:
- untuk $x=-3$ maka $y=2x-1=-7$ kita peroleh titik potong $(-3,-7)$
- untuk $x=4$ maka $y=2x-1=7$ kita peroleh titik potong $(4,7)$
- Himpunan Penyelesaian adalah $\left\{\left(-3,-7 \right),\ \left(4,7\right) \right\}$
3. Soal EBTANAS IPA SMA 1989 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
y=x^{2}-2x+5 \\
y=4x
\end{matrix}\right.$
adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left\{ \left(5,-20 \right),\ \left(1,-4 \right) \right\} \\
(B)\ & \left\{ \left(-5,-20 \right),\ \left(-1,-4 \right) \right\} \\
(C)\ & \left\{ \left(5, 20 \right),\ \left(1, 4 \right) \right\} \\
(D)\ & \left\{ \left(-5, 20 \right),\ \left(-1, 4 \right) \right\} \\
(E)\ & \left\{ \left(5, 20 \right),\ \left(-1, 4 \right) \right\} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Langkah pertama kita subsitusi nilai $y$ pada persamaan linear dan $y$ persamaan kuadrat, dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
y &= y \\
x^{2}-2x+5 & = 4x \\
x^{2}-2x-4x+5 & = 0 \\
x^{2}-6x + 5 & = 0 \\
\left(x-5 \right)\left(x-1 \right) &= 0 \\
x=5\ \text{atau}\ x=1 & \\
\end{align}$
Langkah kedua, menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan:
- untuk $x=1$ maka $y=4x=4$ kita peroleh titik potong $(1,4)$
- untuk $x=5$ maka $y=4x=20$ kita peroleh titik potong $(5,20)$
- Himpunan Penyelesaian adalah $\left\{ \left(1,4 \right),\ \left(5,20 \right) \right\}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left\{ \left(1,4 \right),\ \left(5,20 \right) \right\}$
4. Soal EBTANAS IPA SMA 1986 |*Soal Lengkap
Jika himpunan penyelesaian sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
x-y=1 \\
x^{2}-xy+y^{2}=7
\end{matrix}\right.$
adalah $\left\{ \left(x_{1},y_{1} \right),\ \left(x_{2},y_{2} \right) \right\}$ maka nilai $y_{1}+y_{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Langkah pertama kita subsitusi nilai $y$ pada persamaan linear dan $y$ persamaan kuadrat, dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
x^{2}-xy+y^{2} &= 7 \\
x^{2}-x\left(x-1 \right)+\left(x-1 \right)^{2} -7 &= 0 \\
x^{2}-x^{2}+x+ x^{2}-2x+1 -7 &= 0 \\
x^{2}-x-6 &= 0 \\
\left(x-3 \right)\left(x+2 \right) &= 0 \\
x=3\ \text{atau}\ x=-2 & \\
\end{align}$
Langkah kedua, menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan:
- untuk $x=-2$ maka $y=x-1=-3$ kita peroleh titik potong $(-2,-3)$
- untuk $x=3$ maka $y=x-1=2$ kita peroleh titik potong $(3,2)$
- Himpunan Penyelesaian adalah $\left\{ \left(-2,-3 \right),\ \left(3,2 \right) \right\}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$
5. Soal SIMAK UI 2009 Kode 921 |*Soal Lengkap
Jika suatu garis lurus yang melalui titik $(0,-14)$ tidak memotong maupun meyinggung parabola $y=2x^{2}+5x-12$ maka gradien garis tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & m \lt -9 \\
(B)\ & m \lt -1 \\
(C)\ & -1 \lt m \lt -9 \\
(D)\ & 1 \lt m \lt 9 \\
(E)\ & m \gt -9
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Kita misalkan garis lurus melalui titik $(0,-14)$ dengan gradien $m$ yaitu $y=mx-14$.
Karena garis tersebut tidak memotong maupun meyinggung parabola $y=2x^{2}+5x-12$ maka diskriminan persamaan kuadrat persekutuan kurang dari nol $(D \lt 0)$.
$\begin{align}
y & = y \\
2x^{2}+5x-12 & = mx-14 \\
2x^{2}+5x-12-mx+14 & = 0 \\
2x^{2}+(5-m)x+2 & = 0 \\
\hline
D & \lt 0 \\
b^{2}-4ac & \lt 0 \\
(5-m)^{2}-4(2)(2) & \lt 0 \\
m^{2}-10m+25-16 & \lt 0 \\
m^{2}-10m+9 & \lt 0 \\
(m-9)(m-1) & \lt 0 \\
1 \lt m \lt 9
\end{align}$
Simak kembali jika masih kurang paham menentukan Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan mudah dan cepat
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1 \lt m \lt 9$
6. Soal SNMPTN 2008 Kode 211 |*Soal Lengkap
Garis $g$ melalui titik $(0,1)$ dan menyinggung parabola $y=4x-x^{2}$. Jika titik singgungnya terletak di kuadran pertama, maka gradien garis $g$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & \dfrac{1}{6}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Misal garis $g$ adalah $y=mx+1$ karena melalui $(0,1)$.
Karena garis $y=mx+1$ menyinggung $y=4x-x^{2}$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
mx+1 & = 4x-x^{2} \\
x^{2}-4x+mx+1 & = 0 \\
x^{2}+(m-4)x+1 & = 0 \\
\hline
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
(m-4)^{2}-4(1)(1) & = 0 \\
m^{2}-8m+16-4 & = 0 \\
m^{2}-8m+12 & = 0 \\
(m-6)(m-2) & = 0 \\
m = 6 & m = 2
\end{align}$
Garis singgung kurva $y=4x-x^{2}$ yang melalui titik $(0,1)$ adalah $y=6x+1$ dan $y=2x+1$.
Karena titik singgungnya di kuadran pertama untuk nilai $m=6$ atau $m=2$ maka gradien $m=y'=4-2x$ dihasilkan oleh $x$ positif.
$\begin{array}{c|c|cc}
m = y' & m = y' \\
6 = 4-2x & 2 = 4-2x \\
6-4 = -2x & 2-4 = -2x \\
2 = -2x & -2 = -2x \\
x = -1 & x = 1 \\
\hline
\end{array} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$
7. Soal SPMB 2007 Kode 741 |*Soal Lengkap
Agar garis $y=-10x+4$ menyinggung parabola $y=px^{2}+2x-2$ maka konstanta $p=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -3 \\
(C)\ & -4 \\
(D)\ & -5 \\
(E)\ & -6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Karena garis $y=-10x+4$ meyinggung parabola $y=px^{2}+2x-2$ maka diskrimian persamaan kuadrat persekutuan sama dengan nol $(D = 0)$.
$\begin{align}
y & = y \\
px^{2}+2x-2 & = -10x+4 \\
px^{2}+2x-2+10x-4 & = 0 \\
px^{2}+12x-6 & = 0 \\
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
12^{2}-4(p)(-6) & = 0 \\
144+24p & = 0 \\
24p & =-144 \\
p & =\dfrac{-144}{24}=-6
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -6$
8. Soal SPMB 2005 Kode 370 |*Soal Lengkap
Jika garis $x+y=p$ menyinggung parabola $y=x^{2}-x-3$, maka konstanta $p=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 0 \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Garis $x+y=p$ atau $y=p-x$ menyinggung kurva $y=x^{2}-x-3$, maka berlaku diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol $(D=0)$:
$\begin{align}
y = & y \\
x^{2}-x-3 = & p-x \\
x^{2}-x-3-p+x = & 0 \\
x^{2} -3-p = & 0 \\
D = & b^{2}-4ac \\
0 = & (0)^{2}-4(1)(-3-p) \\
0 = & 12+4p \\
4p = & -12 \\
p = & -3
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3$
9. Soal SPMB 2004 Kode 541 |*Soal Lengkap
Agar garis $x+2y+k=0$ menyinggung parabola $y^{2}-2x+4=0$, maka konstanta $k=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 0 \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Garis $x+2y+k=0$ atau $x=-2y-k$ menyinggung kurva $y^{2}-2x+4=0$ atau $x=\dfrac{1}{2}y^{2}+2$, maka berlaku diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol $(D=0)$:
$\begin{align}
x & = x \\
\dfrac{1}{2}y^{2}+2 & = -2y-k \\
\dfrac{1}{2}y^{2}+2+2y+k & = 0 \\
\dfrac{1}{2}y^{2} +2y+2+k & = 0
\end{align}$
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
0 & = \left( 2 \right)^{2}-4\left( \dfrac{1}{2} \right)(2+k) \\
0 & = 4-4-2k \\
0 & = -2k \\
k & = 0
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$
10. Soal SPMB 2004 Kode 241 |*Soal Lengkap
Jika garis $y=bx-a$ memotong $y=ax^{2}+bx+(a-2b)$ di titik $(1,1)$ dan $(x_{0},y_{0})$ , maka $x_{0}+y_{0} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -6 \\
(B)\ & -5 \\
(C)\ & -4 \\
(D)\ & 0 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Garis $y=bx-a$ memotong kurva $y=ax^{2}+bx+(a-2b)$, di titik $(1,1)$ maka berlaku:
$\begin{align}
ax^{2}+bx+(a-2b) & = y \\
a(1)^{2}+b(1)+(a-2b) & = 1 \\
a +b + a-2b & = 1 \\
2a- b & = 1 \\
\hline
bx-a & = y \\
b-a & = 1
\end{align}$
$\begin{array}{c|c|cc}
2a-b = 1 & \\
b-a = 1 & (+) \\
\hline
a = 2 & b=3
\end{array} $
Titik potong $y=3x-2$ memotong kurva $y=2x^{2}+3x-4$ adalah
$\begin{align}
y & = y \\
2x^{2}+3x-4 & = 3x-2 \\
2x^{2}+3x-4-3x+2 & = 0 \\
2x^{2}-2 & = 0 \\
2(x-1)(x+1) & = 0 \\
x=1\ \ x= -1
\end{align}$
Titik potong yang belum diketahui adalah untuk $x=-1$ maka $y=3x-2=3(-1)-2=-5$. Nilai $x_{0}+y_{0} =-1-5=-6$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -6$
11. Soal SPMB 2004 Kode 640 |*Soal Lengkap
Agar kurva $y=mx^{2}-2mx+m$ seluruhnya terletak di atas kurva $y=2x^{2}-3$, maka konstanta $m$ memenuhi...
$\begin{align}
(A)\ & m \gt 6 \\
(B)\ & m \gt 2 \\
(C)\ & 2 \lt m \lt 6 \\
(D)\ & -6 \lt m \lt 2 \\
(E)\ & -6 \lt m \lt -2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Karena kurva $y=mx^{2}-2mx+m$ seluruhnya terletak di atas kurva $y=2x^{2}-3$ artinya kedua kurva tidak pernah berpotongan atau bersinggungan maka persamaan kuadrat persekutuan merupakan definit positif maka $a \gt 0$ dan $D \lt 0$.
$\begin{align}
y & = y \\
mx^{2}-2mx+m & = 2x^{2}-3 \\
mx^{2}-2mx+m -2x^{2}+3& = 0 \\
(m-2)x^{2}-2mx+m+3& = 0 \\
\hline
a & \gt 0 \\
m-2 & \gt 0 \\
m & \gt 2 \\
\hline
D & \lt 0 \\
b^{2}-4ac & \lt 0 \\
(-2m)^{2}-4(m-2)(m+3) & \lt 0 \\
4m^{2}-4m^{2}-4m+24 & \lt 0 \\
-4m & \lt -24 \\
m & \gt \dfrac{-24}{-4} \\
m & \gt 6
\end{align}$
Irisan $m \gt 2$ dan $m \gt 6$ adalah $m \gt 6$
Simak kembali tentang Matematika Dasar Pertidaksamaan jika masih kurang paham tentang pertidaksamaan.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ m \gt 6 $
12. Soal SPMB 2004 Kode 241 |*Soal Lengkap
Jika garis $y=2x+5$ menyinggung parabola $y=ax^{2}-4x+2$, maka nilai $a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Garis $y=2x+5$ menyinggung kurva $y=ax^{2}-4x+2$, maka berlaku diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol $(D=0)$:
$\begin{align}
y & = y \\
ax^{2}-4x+2 & =2x+5 \\
ax^{2}-4x+2-2x-5 & = 0 \\
ax^{2}-6x-3 & = 0 \\
\hline
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
(-6)^{2}-4(a)(-3) & = 0 \\
36+12a & = 0 \\
12a & = -36 \\
a & = -3
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3$
13. Soal SPMB 2004 Kode 241 |*Soal Lengkap
Titik potong parabola $y=mx^{2}+ x+m$, $m \neq 0$ dengan garis $y=(m+1)x+1$ adalah $\left(x_{1},y_{1} \right)$ dan $\left(x_{2},y_{2} \right)$. Jika $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1$ maka nilai $m$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Garis $y=(m+1)x+1$ memotong parabola $y=mx^{2}+x+m$, di titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ dan $\left(x_{2},y_{2} \right)$ maka berlaku:
$\begin{align}
y_{1} & = y_{1} \\
mx_{1}^{2}+ x_{1}+m & = (m+1)x_{1}+1 \\
mx_{1}^{2}+ x_{1}+m & = mx_{1}+x_{1}+1 \\
mx_{1}^{2}+ x_{1}+m -mx_{1}-x_{1}-1 & = 0 \\
mx_{1}^{2}-mx_{1}+m-1 & = 0 \\
\hline
y_{2} & = y_{2} \\
mx_{2}^{2}-mx_{2}+m-1 & = 0 \\
\end{align}$
Karena $mx_{1}^{2}-mx_{1}+m-1= 0$ dan $mx_{2}^{2}-mx_{2}+m-1 = 0$ maka persamaan kuadrat $mx^{2}-mx+m-1= 0$ akar-akarnya adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$. Sehingga berlaku:
$\begin{align}
x_{1}+x_{2} & = -\dfrac{b}{a} \\
& = -\dfrac{-m}{m}=1 \\
\left( x_{1}+x_{2} \right)^{2} & = 1 \\
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2x_{1}x_{2} & = 1 \\
1+2x_{1}x_{2} & = 1 \\
2x_{1}x_{2} & = 1-1 \\
\dfrac{c}{a} & = 0 \\
\dfrac{m-1}{m} & = 0 \\
m-1 & = 0 \\
m & = 1
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$
14. Soal UM UGM 2014 Kode 521 |*Soal Lengkap
Jika garis $2x-3y+5k-1=0$ memotong parabola $y=x^{2}-2x+k+1$ di dua titik maka nilai $k$ yang memenuhi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & k \lt -\dfrac{3}{2} \\
(B)\ & k \lt -\dfrac{2}{3} \\
(C)\ & k \gt -\dfrac{2}{3} \\
(D)\ & k \lt \dfrac{2}{3} \\
(E)\ & k \lt \dfrac{3}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pada soal garis $2x-3y+5k-1=0$ atau $y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5k-1}{3}$ memotong parabola $y=x^{2}-2x+k+1$ di dua titik, sehingga pernah terjadi;
$\begin{align}
y &= y \\
x^{2}-2x+k+1 &= \dfrac{2}{3}x+\dfrac{5k-1}{3} \\
3x^{2}-6x+3k+3 &= 2x+ 5k-1 \\
3x^{2}-6x+3k+3-2x -5k+1 &= 0 \\
3x^{2}-8x-2k+4 &= 0
\end{align}$
Karena garis memotong parabola di dua titik maka diskriminan $3x^{2}-8x-2k+4 = 0$ harus lebih dari nol;
$\begin{align}
D & \gt 0 \\
b^{2}-4ac & \gt 0 \\
(-8)^{2}-4(3)(-2k+4) & \gt 0 \\
64+24k-48 & \gt 0 \\
24k+16 & \gt 0 \\
k & \gt \dfrac{-16}{24} \\
k & \gt \dfrac{-2}{3}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ k \gt -\dfrac{2}{3} $
15. Soal SBMPTN 2014 Kode 652 |*Soal Lengkap
Jika $2a+1 \lt 0$ dan grafik $y=x^{2}-4ax+a$ bersinggungan dengan grafik $y=2x^{2}+2x$, maka $a^{2}+1=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{17}{16} \\
(B)\ & \dfrac{5}{4} \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 5 \\
(E)\ & 17
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Grafik $y=x^{2}-4ax+a$ bersinggungan dengan grafik $y=2x^{2}+2x$ maka diskriminan persekutuan adalah nol;
$\begin{align}
y &= y \\
2x^{2}+2x &= x^{2}-4ax+a \\
2x^{2}+2x - x^{2}+4ax-a &= 0 \\
x^{2}+2x+4ax-a &= 0 \\
x^{2}+(2+4a)x-a &= 0
\end{align}$
$\begin{align}
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
(2+4a)^{2}-4(1)(-a) & = 0 \\
16a^{2}+16a+4+4a & = 0 \\
16a^{2}+20a+4 & = 0 \\
4a^{2}+5a+1 & = 0 \\
(4a+1)( a+1) & = 0 \\
a & = -\dfrac{1}{4} \\
a & = -1
\end{align}$
Nilai $a$ yang memenuhi $2a+1 \lt 0$ adalah $a=-1$ sehingga nilai $a^{2}+1=(-1)^{2}+1=2$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2 $
16. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap
Jumlah $x$ dan $y$ dari solusi $(x,y)$ yang memenuhi sistem persamaan
$\begin{array}{cc}
x-y = a & \\
x^{2}+5x-y = 2 & \\
\end{array} $
adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -12 \\
(B)\ & -10 \\
(C)\ & -6 \\
(D)\ & 6 \\
(E)\ & 10
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang sistem persamaan mungkin dapat membantu yaitu Karena garis $y=mx+n$ dan parabola $y=ax^{2}+bx+c$ mempunyai satu solusi saat diskrimian persamaan kuadrat persekutuan sama dengan nol $(D=b^{2}-4ac = 0)$.
$\begin{align}
x^{2}+5x-y &= 2 \\
x^{2}+5x-(x-a) &= 2 \\
x^{2}+5x- x+a-2 &= 0 \\
x^{2}+4x+a-2 &= 0 \\
\hline
D &= b^{2}-4ac \\
0 &= 4^{2}-4(1)(a-2) \\
0 &= 16-4a+8 \\
4a &= 24 \\
a &= 6 \\
\hline
x^{2}+4x+6-2 &= 0 \\
x^{2}+4x+4 &= 0 \\
(x+2)(x+2) &= 0 \\
x=-2 & \\
x-y &= a \\
-2-y &= 6 \\
y &= -8 \\
x+y &= -10
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -10$
17. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap
Jika persamaan garis singgung kurva $y=ax^{2}-bx+3$ pada titik $(1,1)$ tegak lurus garis $6y-x+7=0$, maka $a^{2}+b^{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 13 \\
(D)\ & 20 \\
(E)\ & 52
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang persamaan garis yaitu:
- $m_{1} \cdot m_{2}=-1$ saat $g_{1}$ tegak lurus dengan $g_{2}$ atau saat $g_{1} \perp g_{2}$ maka $m_{1} \cdot m_{2}=-1$;
- Untuk sebuah fungsi $f(x)$ gradien di titik $(a,b)$ adalah turunan pertama fungsi untuk $x=a$ yaitu $m=f'(a)$
Pada titik $(1,1)$ dan $y=ax^{2}-bx+3$ maka $1=a(1)^{2}-b(1)+3$ atau $ a -b=-2$
Gradien garis $6y-x+7=0$ adalah $m=-\dfrac{-1}{6}=\dfrac{1}{6}$
Gradien garis singgung kurva $y=ax^{2}-bx+3$ di $(1,-1)$ adalah $m=-6$, maka berlaku
$\begin{align}
y & = ax^{2}-bx+3 \\
m=y' & = 2ax -b \\
-6 & = 2a(1) -b \\
-6 & = 2a -b
\end{align}$
$\begin{array}{c|c|cc}
2a-b = -6 & \\
a-b = -2 & (-) \\
\hline
a = -4 & \\
b = -2 & \\
\hline
a^{2}+b^{2} = (-4)^{2}+(-2)^{2} & \\
a^{2}+b^{2} = 20
\end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 20$
18. Soal UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
y=-mx+c\\
y= \left ( x+4 \right )^{2}
\end{matrix}\right.$
Jika sistem persamaan tersebut memiliki tepat satu penyelesaian, maka jumlah semua nilai $m$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -32 \\
(B)\ & -20 \\
(C)\ & -16 \\
(D)\ & -8 \\
(E)\ & -4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Karena sistem persamaan di atas memiliki tepat satu penyelesaian maka diskriminan $(D=b^{2}-4ac)$ dari persekutuan persamaan kuadrat adalah nol.
$\begin{align}
y & = y \\
\left ( x+4 \right )^{2} & = -mx+c \\
x^{2}+8x+16 +mx -c & = 0 \\
x^{2}+(8+m)x+16-c & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
(8+m)^{2} -4(1)(16-c) & = 0 \\
m^{2}+16m+64-64+4c & = 0 \\
m^{2}+16m+4c & = 0 \\
m_{1} + m_{2} & = -\dfrac{b}{a}\\
&=-\dfrac{16}{1}=-16
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -16$
19. Soal UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika $(a,b)$ solusi dari sistem persamaan kuadrat
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}-2x=19\\
x+y^{2}=1
\end{matrix}\right.$
maka nilai $a+4b$ yang terbesar adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 10 \\
(D)\ & 11 \\
(E)\ & 14
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari sistem persamaan dapat kita peroleh nilai $a$ dan $b$, yaitu:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-2x &=19 \\
x^{2}+(1-x)-2x &=19 \\
x^{2}-3x+-18 &= 0 \\
(x-6)(x+3) & = 0 \\
x=6\ \text{atau}\ x=-3 & \\
\hline
y^{2}=1-x & \\
\hline
x=6\ \Rightarrow\ & y^{2}=-5\ (imajiner) \\
x=-3\ \Rightarrow\ & y^{2}=4 \\
& y=2\ \text{atau}\ y=-2 \\
\hline
(-3,2)\ \Rightarrow\ & a+4b=5 \\
(-3,-2)\ \Rightarrow\ & a+4b=-11
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 5$
20. Soal UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Himpunan $(x,y)$ adalah penyelesaian dari sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}=6\\
\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{y^{2}}{8}=3
\end{matrix}\right.$
Jumlah dari semua nilai $x$ yang memenuhi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari sistem persamaan dapat kita peroleh nilai $a$ dan $b$, yaitu:
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{y^{2}}{8} &=3 \\
8x^{2} + 2y^{2} &=48 \\
8x^{2} + 2 \left( 6-x^{2} \right) &=48 \\
8x^{2} + 12-2x^{2}-48&=0 \\
6x^{2}- 36 &=0 \\
x^{2}- 6 &=0 \\
(x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6}) &=0 \\
x=\sqrt{6}\ \text{atau}\ x=-\sqrt{6} & \\
\hline
y^{2}=6-x^{2} & \\
\hline
x=\sqrt{6}\ \Rightarrow\ & y^{2}=0 \\
x=-\sqrt{6}\ \Rightarrow\ & y^{2}=0 \\
\end{align}$
Jumlah semua nilai $x$ dan $y$ yang memenuhi adalah $0$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$
21. Soal UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}+2y=8\\
x^{2}-y^{2}-2y+4x+8=0
\end{matrix}\right.$
Mempunyai solusi $(x,y)$ dengan $x$ dan $y$ bilangan real. Jumlah semua ordinatnya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -2 \\
(E)\ & -4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari sistem persamaan dapat kita peroleh nilai $a$ dan $b$, yaitu:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}+2y-8 &= 0 \\
x^{2}-y^{2}-2y+4x+8 & = 0 \ \ (+) \\
\hline
2x^{2}+4x &=0 \\
x^{2}+2x &=0 \\
x(x+2) &=0 \\
x=0\ \text{atau}\ x=-2 & \\
\hline
x=0\ & \Rightarrow\ -y^{2}-2y+8=0 \\
& \Rightarrow\ y^{2}+2y-8=0 \\
& \Rightarrow\ y_{1}+y_{2} =-2 \\
\hline
x=-2\ & \Rightarrow\ -y^{2}-2y+8=4 \\
& \Rightarrow\ y^{2}+2y-4=0 \\
& \Rightarrow\ y_{1}+y_{2} =-2
\end{align}$
Jumlah semua ordinatnya adalah $(-2)+(-2)=-4$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -4$
22. Soal UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}-2y=13\\
x^{2}-y=1
\end{matrix}\right.$
maka nilai $x^{2}+2y$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\
(B)\ & 11 \\
(C)\ & 12 \\
(D)\ & 13 \\
(E)\ & 14
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari sistem persamaan dapat kita peroleh nilai $a$ dan $b$, yaitu:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-2y &=13 \\
y+1+y^{2}-2y &=13 \\
y^{2}-y -12&= 0 \\
(y-4)(y+3) & = 0 \\
y=4\ \text{atau}\ y=-3 & \\
\hline
x^{2}=y+1 & \\
\hline
y=4\ & \Rightarrow\ x^{2}=5 \\
& \rightarrow\ x^{2}+2y=13 \\
y=-3\ & \Rightarrow\ x^{2}=-2\ (imajiner) \\
& \rightarrow\ x^{2}+2y=-8
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 13$
23. Soal UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika $(a,b)$ solusi dari sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}=5 \\
x-y^{2}=1
\end{matrix}\right.$
maka nilai $a-3b$ yang terkecil adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -1 \\
(E)\ & -5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari sistem persamaan dapat kita peroleh nilai $a$ dan $b$, yaitu:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2} &= 5 \\
x^{2}+(x-1) &= 5 \\
x^{2}+x-6 &= 0 \\
(x+3)(x-2) & = 0 \\
x=-3\ \text{atau}\ x=2 & \\
\hline
y^{2}=x-1 & \\
\hline
x=-3\ \Rightarrow\ & y^{2}=-4\ (imajiner) \\
x=2\ \Rightarrow\ & y^{2}=1 \\
& y=1\ \text{atau}\ y=-1 \\
\hline
(2,1)\ \Rightarrow\ & a-3b=-1 \\
(2,-1)\ \Rightarrow\ & a-3b=5
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1$
24. Soal UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y=16\\
x^{2}+y^{2}-11y=-19
\end{matrix}\right.$
Mempunyai solusi $(x,y)$ dengan $x$ dan $y$ bilangan real. Jumlah semua ordinatnya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 12 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 35 \\
(D)\ & -10 \\
(E)\ & -12
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari sistem persamaan dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-11y &=-19 \\
16-y+y^{2}-11y &=-19 \\
y^{2}-12y+35 &=0 \\
\hline
y_{1}+y_{2} &= -\dfrac{b}{a} \\
&= -\dfrac{-12}{1}=12
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 12$
25. Soal UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika garis $y=2x-3$ menyinggung parabola $y=4x^{2}+ax+b$ di titik $(-1,-5)$ serta $a$ dan $b$ adalah konstanta, maka $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 9 \\
(C)\ & 10 \\
(D)\ & 11 \\
(E)\ & 12
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Titik $(-1,-5)$ adalah titik singgung sehingga berlaku:
$ \begin{align}
y & =4x^{2}+ax+b \\
-5 & =4(-1)^{2}+a(-1)+b \\
-5 & =4 -a+b \\
-9 & = -a+b \\
a-9 & = b
\end{align} $
Sedikit catatan calon guru yang mungkin kita butuhkan yaitu jika garis $y=2x-3$ menyinggung parabola $y=4x^{2}+ax+b$ maka berlaku diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol $(D=0)$:
$\begin{align}
y & = y \\
4x^{2}+ax+b & = 2x-3 \\
4x^{2}+ax-2x+b+3 & = 0 \\
4x^{2}+(a -2)x+b+3 & = 0 \\
\hline
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
(a-2)^{2}-4(4)(b+3) & = 0 \\
a^{2}-4a+4-16b-48 & = 0 \\
a^{2}-4a -16(a-9)-44 & = 0 \\
a^{2}-4a -16 a+144-44 & = 0 \\
a^{2}-20a+100 & = 0 \\
(a-10) (a-10) &=0 \\
a=10 & \\
\hline
a+b & =10+1=11
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 11$
26. Soal UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika garis $y=mx$ menyinggung elips $\dfrac{(x-2)^{2}}{4}+\dfrac{(y+1)^{2}}{2}=1$, maka nilai $4m=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -2 \\
(E)\ & -1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Sedikit catatan calon guru yang mungkin kita butuhkan pada sistem persamaan yaitu jika garis $y=mx$ menyinggung elips $\dfrac{(x-2)^{2}}{4}+\dfrac{(y+1)^{2}}{2}=1$ maka berlaku diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol $(D=0)$:
$\begin{align}
\dfrac{(x-2)^{2}}{4}+\dfrac{(y+1)^{2}}{2} &=1 \\
(x-2)^{2} + 2(mx+1)^{2} &=4 \\
x^{2}-4x+4 + 2m^{2}x^{2}+4mx+2 &=4 \\
\left(2m^{2}+1\right)x^{2}+(4m-4)x+2 &=0 \\
\hline
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
(4m-4)^{2}-4\left(2m^{2}+1\right)(2) & = 0 \\
16m^{2}-32m-16m^{2}-8 & = 0 \\
-32m -8 & = 0 \\
-32m & = 8 \\
m & = -\dfrac{8}{32}=-\dfrac{1}{4} \\
4m &= 1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$
27. Soal UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Garis $y=2x+1$ tidak memotong maupun menyinggung hiperbola $\dfrac{(x-2)^{2}}{2}-\dfrac{(y-a)^{2}}{4}=1$, interval nilai $a$ yang memenuhi adalah....
$\begin{align}
(A)\ & -7 \lt a \lt 3 \\
(B)\ & -3 \lt a \lt 7 \\
(C)\ & a \lt 3\ \text{atau}\ a \gt 7 \\
(D)\ & a \lt -7\ \text{atau}\ a \gt 3 \\
(E)\ & 3 \lt a \lt 7
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Sedikit catatan calon guru yang mungkin kita butuhkan pada sistem persamaan yaitu jika garis $y=2x+1$ tidak memotong maupun menyinggung hiperbola $\dfrac{(x-2)^{2}}{2}-\dfrac{(y-a)^{2}}{a}=1$ maka berlaku diskriminan persamaan kuadrat persekutuan kurang dari nol $(D \lt 0)$:
$\begin{align}
\dfrac{(x-2)^{2}}{2}-\dfrac{(y-a)^{2}}{4} &=1 \\
\dfrac{x^{2}-4x+4}{2}-\dfrac{y^{2}-2ay+a^{2}}{4} &=1 \\
2x^{2}-8x+8 - y^{2}+2ay-a^{2} &=4 \\
2x^{2}-8x+8 - (2x+1)^{2}+2a(2x+1)-a^{2} &=4 \\
2x^{2}-8x+8 - \left( 4x^{2}+4x+1 \right)+4ax +2a-a^{2} &=4 \\
-2x^{2}-12x+4ax-a^{2}+2a+3 &= 0 \\
2x^{2}+(12 -4a)x+a^{2}-2a-3 &= 0 \\
\hline
D & \lt 0 \\
b^{2}-4ac & \lt 0 \\
(12-4a)^{2}-4 (2) \left( a^{2}-2a-3 \right) & \lt 0 \\
144-96a+16a^{2}-8a^{2}+16a+24 & \lt 0 \\
8a^{2}-80a +168 & \lt 0 \\
a^{2}- 10a +21 & \lt 0 \\
(a-3)(a-7) & \lt 0
\end{align}$
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah $3 \lt a \lt 7 $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3 \lt a \lt 7 $
28. Soal UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui grafik $y=8x+a$ dan $y=x^{2}+5x$ berpotongan di dua titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ dan $\left(x_{2},y_{2} \right)$. Jika grafik $y=x^{2}+5x$ melalui titik $(a,-6)$, maka $x_{1}x_{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Disampaikan pada soal bahwa grafik $y=x^{2}+5x$ melalui titik $(a,-6)$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
y &= x^{2}+5x \\
-6 &= a^{2}+5a \\
0 &= a^{2}+5a +6 \\
(a+2)(a+3) &= 0 \\
a=-2\ \text{atau}\ & a=-3
\end{align}$
Untuk $a=-2$ pada grafik $y=8x+a$ dan $y=x^{2}+5x$ berlaku:
$\begin{align}
8x+a &= x^{2}+5x \\
8x-2 &= x^{2}+5x \\
x^{2}+5x-8x+2 &= 0 \\
x^{2}-3x+2 &= 0 \\
\hline
x_{1}x_{2} &= \dfrac{c}{a} \\
&= \dfrac{2}{1}=2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$
29. Soal UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui grafik $y=-x^{2}+4ax-6a$ memotong sumbu-$x$ di titik $(2,0)$ dan $(6,0)$. Jika garis $mx-y=12$ memotong grafik tersebut di titik $(6,0)$ dan $\left(x_{0},y_{0} \right)$, maka $ x_{0}-y_{0}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\
(B)\ & 12 \\
(C)\ & 14 \\
(D)\ & 16 \\
(E)\ & 18
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Disampaikan pada soal bahwa grafik $y=-x^{2}+4ax-6a$ memotong sumbu-$x$ di titik $(2,0)$ dan $(6,0)$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
y &=-x^{2}+4ax-6a \\
(2,0) \rightarrow 0 &=-(2)^{2}+4a(2)-6a \\
0 &= -4+8a-6a \\
4 &= 8a-6a \\
4 &= 2a \\
2 &= a
\end{align}$
Untuk $a= 2$ maka grafik $y=-x^{2}+4ax-6a$ adalah $y=-x^{2}+8x-12$.
Garis $mx-y=12$ memotong grafik $y=-x^{2}+8x-12$ di titik $(6,0)$ sehingga dapat berlaku:
$\begin{align}
(6,0) \rightarrow y &=mx-12 \\
0 &=m(6)-12 \\
m &=2 \\
y &=2x-12
\end{align}$
Garis $y=2x-12$ memotong grafik $y=-x^{2}+8x-12$ di titik $(6,0)$ dan $\left(x_{0},y_{0} \right)$ sehingga dapat berlaku:
$\begin{align}
y &= y \\
2x-12 &= -x^{2}+8x-12 \\
0 &= -x^{2}+8x-2x-12+12 \\
0 &= -x^{2}+6x \\
x^{2}-6x &= 0 \\
(x)(x-6) &= 0 \\
x=0\ \text{atau}\ & x=6 \\
\hline
x=0 \rightarrow & y=2x-12 \\
& y=2(0)-12=-12 \\
\end{align}$
Nilai $x_{0}-y_{0}=0-(-12)=12$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 12$
30. Soal UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Agar sistem pertidaksamaan kuadrat di bawah ini hanya mempunyai satu solusi
$\left\{\begin{matrix}
y=-mx^{2}-2 \\
4x^{2}+y^{2}=4
\end{matrix}\right.$
Nilai $m$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{3} \\
(B)\ & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & \sqrt{2} \\
(E)\ & \sqrt{3} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Karena sistem persamaan di atas memiliki tepat satu penyelesaian maka diskriminan $(D=b^{2}-4ac)$ dari persamaan kuadrat persekutuan adalah nol.
Persamaan $y=-mx^{2}-2$ kita ubah menjadi $\dfrac{y+2}{-m}=x^{2}$ lalu kita substitusikan ke $4x^{2}+y^{2}=4$ dan kita peroleh persamaan kuadrat baru.
$\begin{align}
4x^{2}+y^{2} &= 4 \\
4 \left( \dfrac{y+2}{-m} \right)+y^{2} &= 4 \\
-4y+8+my^{2} &= 4m \\
my^{2}-4y+8-4m &= 0 \\
\hline
b^{2}-4ac & = 0 \\
(-4)^{2} -4(m)(8-4m) & = 0 \\
16-32m+16m^{2} & = 0 \\
16m^{2}-32m+16 & = 0 \\
m^{2}-2m+1 & = 0 \\
(m-1)^{2} & = 0 \\
m & = 1
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$
31. Soal UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Agar sistem pertidaksamaan kuadrat di bawah ini hanya mempunyai satu solusi
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2} = 4 \\
(x-1)^{2}+my^{2}=1
\end{matrix}\right.$
Nilai $m$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(E)\ & - \dfrac{1}{4} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Karena sistem persamaan di atas memiliki tepat satu penyelesaian maka diskriminan $(D=b^{2}-4ac)$ dari persamaan kuadrat persekutuan adalah nol.
Persamaan $x^{2}+y^{2} = 4$ kita ubah menjadi $y^{2}= 4-x^{2}$ lalu kita substitusikan ke $(x-1)^{2}+my^{2}=1$ dan kita peroleh persamaan kuadrat baru.
$\begin{align}
(x-1)^{2}+my^{2} &=1 \\
(x-1)^{2}+m \left( 4-x^{2} \right) &=1 \\
x^{2}-2x+1+4m-mx^{2} &=1 \\
(m-1)x^{2}+2x-4m &= 0 \\
\hline
b^{2}-4ac & = 0 \\
(2)^{2} -4(m-1)(-4m) & = 0 \\
4 + 16m^{2}-16m & = 0 \\
\left(4m-2 \left)^{2} & = 0 \\
m=\dfrac{1}{2} &
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{2}$
32. Soal UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Agar sistem pertidaksamaan kuadrat di bawah ini hanya mempunyai satu solusi
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2} = 4 \\
(x-1)^{2}+my^{2}=1
\end{matrix}\right.$
Nilai $m$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(E)\ & - \dfrac{1}{4} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Karena sistem persamaan di atas memiliki tepat satu penyelesaian maka diskriminan $(D=b^{2}-4ac)$ dari persamaan kuadrat persekutuan adalah nol.
Persamaan $x^{2}+y^{2} = 4$ kita ubah menjadi $y^{2}= 4-x^{2}$ lalu kita substitusikan ke $(x-1)^{2}+my^{2}=1$ dan kita peroleh persamaan kuadrat baru.
$\begin{align}
(x-1)^{2}+my^{2} &=1 \\
(x-1)^{2}+m \left( 4-x^{2} \right) &=1 \\
x^{2}-2x+1+4m-mx^{2} &=1 \\
(m-1)x^{2}+2x-4m &= 0 \\
\hline
b^{2}-4ac & = 0 \\
(2)^{2} -4(m-1)(-4m) & = 0 \\
4 + 16m^{2}-16m & = 0 \\
\left(4m-2 \right)^{2} & = 0 \\
m=\dfrac{1}{2} &
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{2}$
33. Soal Latihan UTBK SBMPTN
Diketahui garis $g$ melalui titik $(0,-1)$ dan menyingung kurva $y^{2}+2y-2x+2=0$. Garis $g$ memotong sumbu-$x$ di titik $(a,0)$ dengan $a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2\ \text{atau}\ 3 \\
(B)\ & -3\ \text{atau}\ 3 \\
(C)\ & -2\ \text{atau}\ 2 \\
(D)\ & -1\ \text{atau}\ 1 \\
(E)\ & 0 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan sistem persamaan di atas kita coba dengan memisalkan garis $g$ adalah $y=mx+n$, karena garis $g$ melalui titik $(0,-1)$ sehingga garis $g$ dapat kita tuliskan menjadi $y=mx-1$.
Garis $g:\ y=mx-1$ menyingung kurva $y^{2}+2y-2x+2=0$ sehingga diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol, atau dapat kita tuliskan penjabarannya seperti berikut:
$\begin{align}
y^{2}+2y-2x+2 &= 0 \\
\left( mx-1 \right)^{2}+2\left( mx-1 \right)-2x+2 &= 0 \\
m^{2}x^{2}-2mx+1+2mx-2-2x+2 &= 0 \\
m^{2}x^{2}-2x+1 &= 0 \\
\hline
b^{2}-4ac & = 0 \\
(-2)^{2} -4(m^{2})(1) & = 0 \\
4 -4m^{2} & = 0 \\
4m^{2} & = 4 \\
m^{2} & = 1 \\
m & = \pm 1
\end{align}$
Unttuk nilai $m=\pm 1$ sehingga garis $g:\ y=mx-n$ adalah $y=x-1$ dan $y=-x-1$ yang memotong sumbu-$x$ di titik $(-1,0)$ dan $(1,0)$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1\ \text{atau}\ 1$
34. Soal Latihan UTBK SBMPTN
Jika garis $y=mx+4$ tidak memotong elips $\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{8}=1$, maka nilai $m$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{2} \lt m \lt \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \lt m \lt \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
(C)\ & -1 \lt m \lt 1 \\
(D)\ & -\sqrt{2} \lt m \lt \sqrt{2} \\
(E)\ & -2 \lt m \lt 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Garis tersebut tidak memotong elips maka diskriminan persamaan kuadrat persekutuan kurang dari nol $(D \lt 0)$.
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{8} &= 1 \\
2 x^{2} + y^{2} &= 8 \\
2 x^{2} + \left( mx+4 \right)^{2} &= 8 \\
2 x^{2} + m^{2}x^{2}+8mx+16-8 &= 0 \\
\left( m^{2}+2 \right)x^{2} +8mx+8 &= 0 \\
\hline
D & \lt 0 \\
\left( 8m \right)^{2}-4\left( m^{2}+2 \right)\left( 8 \right) & \lt 0 \\
64m^{2}-32m^{2}-64 & \lt 0 \\
32m^{2} -64 & \lt 0 \\
m^{2} - 2 & \lt 0 \\
(m-\sqrt{2})(m+\sqrt{2}) & \lt 0 \\
-\sqrt{2} \lt m \lt \sqrt{2}
\end{align}$
Simak kembali jika masih kurang paham menentukan Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan mudah dan cepat
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\sqrt{2} \lt m \lt \sqrt{2}$
35. Soal Latihan UTBK SBMPTN
Jika garis $y=mx$ tidak berpotongan dengan hiperbola $3x^{2}-4y^{2}=12$, maka nilai $m$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left | m \right | \gt \sqrt{\dfrac{2}{3}} \\
(B)\ & \left | m \right | \gt \dfrac{1}{2\sqrt{3}} \\
(C)\ & \left | m \right | \lt \sqrt{\dfrac{2}{3}} \\
(D)\ & \left | m \right | \gt \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\
(E)\ & \left | m \right | \lt \dfrac{\sqrt{3}}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Garis tersebut tidak memotong hiperbola maka diskriminan persamaan kuadrat persekutuan kurang dari nol $(D \lt 0)$.
$\begin{align}
3x^{2}-4y^{2} &= 12 \\
3x^{2}-4(mx)^{2} &= 12 \\
3x^{2}-4 m^{2}x^{2} &= 12 \\
\left(3 -4 m^{2} \right)x^{2} -12 &= 0 \\
\hline
D & \lt 0 \\
\left( 0 \right)^{2}-4\left( 3 -4 m^{2} \right)\left( -12 \right) & \lt 0 \\
0-4\left( 3 -4 m^{2} \right)\left( -12 \right) & \lt 0 \\
144-192m^{2} & \lt 0 \\
192m^{2}-144 & \gt 0 \\
4m^{2}-3 & \gt 0 \\
(2m-\sqrt{3})(2m+\sqrt{3}) & \gt 0 \\
m \lt -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ \text{atau}\ m \gt \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \\
\left | m \right | \gt \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \\
\end{align}$
Simak kembali jika masih kurang paham menentukan Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan mudah dan cepat
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left | m \right | \gt \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
36. Soal Latihan UTBK SBMPTN
Nilai $m$ agar garis $y=mx+1$ tidak memotong hiperbola $\dfrac{x^{2}}{2} - \dfrac{y^{2}}{4} =1$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & m \lt -\dfrac{1}{2}\sqrt{10}\ \text{atau}\ m \gt \dfrac{1}{2}\sqrt{10} \\
(B)\ & m \lt -\dfrac{1}{2}\sqrt{5}\ \text{atau}\ m \gt \dfrac{1}{2}\sqrt{5} \\
(C)\ & m \lt -\dfrac{1}{2}\sqrt{10}\ \text{atau}\ m \gt \dfrac{1}{2}\sqrt{5} \\
(D)\ & -\dfrac{1}{2}\sqrt{10} \lt m \lt \dfrac{1}{2}\sqrt{10} \\
(E)\ & -\dfrac{1}{2}\sqrt{5} \lt m \lt \dfrac{1}{2}\sqrt{5}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Garis tersebut tidak memotong hiperbola maka diskriminan persamaan kuadrat persekutuan kurang dari nol $(D \lt 0)$.
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}}{2} - \dfrac{y^{2}}{4} & = 1 \\
2x^{2} - y^{2} & = 4 \\
2x^{2} - (mx+1)^{2} & = 4 \\
2x^{2} - (mx+1)^{2} - 4 & = 0 \\
2x^{2} - m^{2}x^{2}-2mx-1 - 4 & = 0 \\
\left( 2 - m^{2} \right)x^{2}-2mx - 5 & = 0 \\
\hline
D & \lt 0 \\
\left( -2m \right)^{2} - 4 \left( 2 - m^{2} \right)\left( -5 \right) & \lt 0 \\
4m^{2} + 40 - 20m^{2} & \lt 0 \\
-16m^{2} + 40 & \lt 0 \\
2m^{2} - 5 & \gt 0 \\
\left( m+\dfrac{1}{2}\sqrt{5} \right) \left( m-\dfrac{1}{2}\sqrt{5} \right) & \gt 0 \\
m \lt - \dfrac{1}{2}\sqrt{5}\ \text{atau}\ m \gt \dfrac{1}{2}\sqrt{5} &
\end{align}$
Simak kembali jika masih kurang paham menentukan Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan mudah dan cepat
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left | m \right | \gt \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
37. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 |*Soal Lengkap
Diketahui $x^{2}+2xy+4x = -3$ dan $9y^{2}+4xy+12y = -1$. Nilai dari $x+3y$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -1 \\ (E)\ & -2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} x^{2}+2xy+4x & = -3 \\ 9y^{2}+4xy+12y & = -1\ (+) \\ \hline x^{2}+9y^{2}+6xy+4x+12y & = -4 \\ \left(x+3y \right)^{2}+ 4\left(x+3y \right) & = -4 \\ \hline \text{misal:}\ x+3y=p & \\ \hline p^{2}+ 4p & = -4 \\ p^{2}+ 4p + 4 & = 0 \\ \left( p+2 \right)\left( p+2 \right) & =0 \\ p+2=0 & \\ p & = -2 \\ x+3y &=-2 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -2$
38. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*Soal Lengkap
Pada sistem persamaan berikut
\begin{array} \text{x^{2}}+xy+xz=1 \\ y^{2} +yz+yx=6 \\ z^{2}+zx+zy=9 \end{array} Nilai $z$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{3} \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \dfrac{3}{2} \\ (D)\ & \dfrac{9}{4} \\ (E)\ & 3 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari sistem persamaan dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x^{2} +xy+xz &= 1 \\
y^{2} +yz+yx &= 6 \\
z^{2}+zx+zy &= 9\ (+) \\
\hline
x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 \left( xy+xz+yz \right) &= 16 \\
\left( x+y+z \right)^{2} &= 16 \\
x+y+z &= 4 \\
\hline
z^{2}+zx+zy &= 9 \\
z \left( z+ x+ y \right) &= 9 \\
z \left( 4 \right) &= 9 \\
z &= \dfrac{9}{4}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{9}{4}$
39. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*Soal Lengkap
Grafik fungsi kuadrat $y=ax^{2}+bx+c$ mempunyai puncak di $(1,1)$ dan menyinggung garis $y=x+1$. Nilai $8a-4b=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -4 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari fungsi kuadrat $y=ax^{2}+bx+c$ dimana titik puncaknya $( 1,1)$ dan menyinggung garis $y=x+1$ dapat kita peroleh:
- Titik puncaknya $( 1,1)$
$\begin{align} x_{p} &= -\dfrac{b}{2a} \\ 1 &= -\dfrac{b}{2a} \\ -2a &= b \\ \hline y_{p} &= -\dfrac{D}{4a} \\ 1 &= -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\ -4a &= b^{2}-4ac \\ -4a &= (-2a)^{2}-4ac \\ -4a &= 4a^{2}-4ac \\ -1 &= a-c \end{align}$ - Fungsi kuadrat $y=ax^{2}+bx+c$ menyinggung garis $y=x+1$ sehingga:
$\begin{align} y &= y \\ ax^{2}+bx+c &= x+1 \\ ax^{2}+bx-x+c-1 &= 0 \\ ax^{2}+ \left(b -1 \right)x+c-1 &= 0 \\ \hline D &=0 \\ b^{2}-4ac & =0 \\ \left(b -1 \right)^{2}-4a\left(c -1 \right) & =0 \\ \left(-2a -1 \right)^{2}-4a\left( a \right) & =0 \\ 4a^{2}+4a+1-4a^{2} & =0 \\ 4a+1 & =0 \\ 4a & = -1\ \longrightarrow a=-\dfrac{1}{4} \\ \hline b & = -2a \\ b & = -2 \left( -\dfrac{1}{4} \right)= \dfrac{1}{2} \end{align}$ - Nilai $8a-4b$ adalah $8\left( -\dfrac{1}{4} \right) -4\left( \dfrac{1}{2} \right)=-4$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -4$
40. Soal TPS UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Fungsi $g$ dan $h$ didefinisikan sebagai berikut:
$g(x)=2-bx$ dan $h(x)=1-bx+x^{2}$.
Grafik fungsi $g$ memotong sumbu $x$ di titik $\left(1,0\right)$.
Koordinat salah satu titik potong grafik fungsi $g$ dan $h$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left( -1,-4 \right) \\
(B)\ & \left( -1, 4 \right) \\
(C)\ & \left( 1,-2 \right) \\
(D)\ & \left( 1, 4 \right) \\
(E)\ & \left( 1,9 \right) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Fungsi $g(x)=2-bx$ dan $h(x)=1-bx+x^{2}$ mempunyai konstanta $b$ yang sama.
Karena fungsi $g(x)=2-bx$ memotong sumbu $x$ di titik $\left(1,0\right)$ sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
g(x) & = 2-bx \\
g(1) & = 2-b(1) \\
0 & = 2-b \\
b & = 2
\end{align}$
Untuk $b=2$ kita peroleh fungsi $g(x)=2-2x$ dan $h(x)=1-2x+x^{2}$ sehingga titik potong kedua grafik adalah:
$\begin{align}
h(x) & = g(x) \\
1-2x+x^{2} & = 2-2x \\
x^{2}-2x+1+2x-2 & = 0 \\
x^{2}- 1 & = 0 \\
\left( x-1 \right)\left( x+1\right) & = 0 \\
x=1\ \text{atau}\ x=-1 &
\end{align}$
Untuk $x=1$ maka $g(1)=2-2(1)=0$, salah satu titik potong kedua grafik adalah $\left( 1,0 \right)$.
Untuk $x=-1$ maka $g(-1)=2-2(-1)=4$, salah satu titik potong kedua grafik adalah $\left( -1,4 \right)$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left( -1, 4 \right)$
41. Soal TPS UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Fungsi $f$ dan $g$ didefinisikan sebagai berikut:
$f(x)=x^{2}+x-2$ dan $g(x)=x+2$.
Salah satu absis titik potong grafik fungsi $f$ dan $g$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 0 \\
(E)\ & 1 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Titik potong kedua grafik fungsi adalah:
$\begin{align}
f(x) & = g(x) \\
x^{2}+x-2 & = x+2 \\
x^{2}+x-2-x-2 & = 0 \\
x^{2} - 4 & = 0 \\
\left( x-2 \right)\left( x+2\right) & = 0 \\
x=2\ \text{atau}\ x=-2 &
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -2$
42. Soal TPS UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Fungsi $f$ dan $g$ didefinisikan sebagai berikut:
$f(x)=-2 \left( x-5 \right)$ dan $g(x)=\left( x-2 \right)^{2}-2$.
Ordinat terkecil titik potong grafik fungsi $f$ dan $g$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -14 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 14 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Titik potong kedua grafik fungsi adalah:
$\begin{align}
f(x) & = g(x) \\
-2 \left( x-5 \right) & = \left( x-2 \right)^{2}-2 \\
-2 x + 10 & = x^{2}-4x+4-2 \\
-2 x + 10 & = x^{2}-4x+2 \\
x^{2} - 2x-8 & = 0 \\
\left( x-4 \right)\left( x+2\right) & = 0 \\
x=4\ \text{atau}\ x=-2 & \\
\hline
x=-2\ \longrightarrow & y=14 \\
x=4\ \longrightarrow & y=2
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$
43. Soal Latihan Matematika |*Soal Lengkap
Titik potong kurva-kurva $y=x^{2}-6x+8$ dan $y=-\left(x-3 \right)^{2}+1$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left( 1,3 \right)\ \text{dan}\ \left( 1,-3 \right) \\
(B)\ & \left( 1,-3 \right)\ \text{dan}\ \left( 2,0 \right) \\
(C)\ & \left( 2,0 \right)\ \text{dan}\ \left( 1,-3 \right) \\
(D)\ & \left( 1,3 \right)\ \text{dan}\ \left( 4,0 \right) \\
(E)\ & \left( 2,0 \right)\ \text{dan}\ \left( 4,0 \right) \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Titik potong potong kurva-kurva adalah:
$\begin{align}
y & = y \\
x^{2}-6x+8 & = -\left(x-3 \right)^{2}+1 \\
x^{2}-6x+8 & = -\left(x^{2}-6x+9 \right) +1 \\
x^{2}-6x+8 & = -x^{2}+6x-9 +1 \\
x^{2}-6x+8 & = -x^{2}+6x-8 \\
x^{2}+x^{2}-6x-6x+8+8 & = 0 \\
2x^{2}-12x+16 & = 0 \\
x^{2}-6x+8 & = 0 \\
\left( x-4 \right)\left( x-2\right) & = 0 \\
x=4\ \text{atau}\ x=2 &
\end{align}$
- Untuk $x=4$ kita peroleh $y=-\left(x-3 \right)^{2}+1=-\left(4-3 \right)^{2}+1=0$ sehingga titik potongnya di $\left( 4,0 \right)$.
- Untuk $x=2$ kita peroleh $y=-\left(x-3 \right)^{2}+1=-\left(2-3 \right)^{2}+1=0$ sehingga titik potongnya di $\left( 2,0 \right)$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left( 2,0 \right)\ \text{dan}\ \left( 4,0 \right) $
Beberapa pembahasan Soal Matematika Dasar SMA Sistem Persamaan Linear Kuadrat (SPLK) dan Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat (SPKK) di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan tentang Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Sistem Persamaan Linear Kuadrat (SPLK) dan Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat (SPKK) di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
