--> Skip to main content

Sistem Persamaan Linear Kuadrat (SPLK) dan Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat (SPKK) (36)

Diskusi Soal Tentang Sistem Persamaan Linear Kuadrat (SPLK)Calon Guru belajar matematika dari materi Sistem Persamaan Linear Kuadrat (SPLK) dan Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat (SPKK).

Pada kurikulum 2013 materi pokok Sistem Persamaan Linear Kuadrat (SPLK) dan Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat (SPKK) menjadi salah satu materi yang diharapkan kita bisa belajar secara mandiri.

Karena materi pokok matematika SMP dan SMA Kurikulum 2013 tidak mempelajari materi SPLK atau SPKK, tetapi mempelajari Sistem Pertidaksamaan Linear Kuadrat dan Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Kuadrat

Kompetensi dasar pada matematika wajib kelas X (sepuluh) yang ingin dicapai adalah:
  • Menjelaskan dan menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan dua variabel (linear-kuadrat dan kuadrat-kuadrat)
  • Menyajikan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem pertidaksamaan dua variabel (linear-kuadrat dan kuadrat-kuadrat)
Untuk membantu dalam mencapai kompetensi dasar di atas, kita coba diskusikan terlebih dahulu materi prasyaratnya yaitu Sistem Persamaan Linear Kuadrat (SPLK) dan Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat (SPKK).

Sistem Persamaan Linear Kuadrat (SPLK)


Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK) disusun oleh sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat yang memiliki dua variabel. SPLK terdiri dari 2 jenis, yaitu SPLK Eksplisit dan SPLK Impilsit.

Suatu persamaan dua variabel $x$ dan $y$ dikatakan berbentuk eksplisit apabila persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk $y = f(x)$ atau $x = f(y)$.
Contoh:
  • $x = 2y-1\ \rightarrow x=f(y)=2y+1$
  • $y = 3x+1\ \rightarrow y=f(x) = 3x+1$
  • $y=x^{2}+5x+6\ \rightarrow y=f(x)=x^{2}+5x+6$
  • $x=y^{2}+2y+1\ \rightarrow x=f(y)=y^{2}+2y+1$
Suatu persamaan dua variabel $x$ dan $y$ dikatakan berbentuk implisit apabila persamaan tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk $y = f(x)$ atau $x = f(y)$. Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk $f(x, y)$
Contoh:
  • $x^{2}+y^{2}-25=0$
  • $x^{2}+y^{2}-6x+8y+10=0$
  • $x^{2}+2xy+y^{2} 8y+10=0$
Bentuk umum Sistem Persamaan Linear Kuadrat Implisit, yaitu:
$\begin{align}
y\ & = mx+n\ \cdots \text{bagian linear} \\
y\ & =ax^{2}+bx+c\ \cdots \text{bagian kuadrat}
\end{align}$
dimana $m,n,a,b,c$ adalah bilangan real dan $a \neq 0$. Untuk bagian linear gambarnya berupa garis dan bagian kuadrat gambarnya berupa parabola.

Untuk menyelesaikan SPLK implisit dapat dilakukan dengan mensubstitusi kedua persamaan di atas menjadi:
$\begin{align}
y & = y \\
ax^{2}+bx+c & = mx+n \\
ax^{2}+(b-m)x+c-n & = 0
\end{align}$

Persamaan kuadrat $ax^{2}+(b-m)x+c-n = 0$ umumnya disebut dengan persamaan kuadrat persekutuan. Dari persamaan kuadrat persekutuan dapat kita tentukan nilai $x_{1}$ dan $x_{2}$ lalu disubstitsi ke salah satu persamaan sehingga kita akan dapatkan nilai $y_{1}$ dan $y_{2}$.
Himpunan penyelesaian sistem persamaan adalah $\left\{ \left(x_{1},y_{1} \right),\ \left(x_{2},y_{2} \right) \right\}$.

Seperti jenis akar-akar persamaan kuadrat, dari $ax^{2}+(b-m)x+c-n = 0$ ada beberapa hal yang dapat kita tuliskan yaitu:
  • Jika $D \gt 0$ maka garis dan parabola berpotongan di dua titik atau mempunyai dua himpunan penyelesaian
  • Jika $D = 0$ maka garis dan parabola bersinggungan atau mempunyai satu himpunan penyelesaian
  • Jika $D \lt 0$ maka garis dan parabola tidak berpotongan dan tidak bersinggungan atau tidak mempunyai himpunan penyelesaian

Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat (SPKK)


Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPLK) disusun dua buah persamaan kuadrat yang memiliki dua variabel. Bentuk umum Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat (SPKK) adalah:
$\begin{align}
y\ & =px^{2}+qx+r,\ p \neq 0\ \text{parabola} \\
y\ & =ax^{2}+bx+c,\ a \neq 0\ \text{parabola}
\end{align}$
dimana $p,q,r,a,b,c$ adalah bilangan real dan $p,a \neq 0$.

Untuk menyelesaikan SPKK dapat dilakukan dengan mensubstitusi kedua persamaan di atas menjadi:
$\begin{align}
y & = y \\
ax^{2}+bx+c & = px^{2}+qx+r \\
(a-p)x^{2}+(b-q)x+c-r & = 0
\end{align}$

Jika $a-p \neq 0$ maka diperolah persamaan kuadrat $(a-p)x^{2}+(b-q)x+c-r = 0$, ini umumnya disebut dengan persamaan kuadrat persekutuan. Dari persamaan kuadrat persekutuan dapat kita tentukan nilai $x_{1}$ dan $x_{2}$ lalu disubstitsi ke salah satu persamaan sehingga kita akan dapatkan nilai $y_{1}$ dan $y_{2}$.
Himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{ \left(x_{1},y_{1} \right),\ \left(x_{2},y_{2} \right) \right\}$.

Seperti jenis akar-akar persamaan kuadrat, dari $(a-p)x^{2}+(b-q)x+c-r = 0$ ada beberapa hal yang dapat kita tuliskan yaitu:
  • Jika $D \gt 0$ maka kedua parabola berpotongan di dua titik atau mempunyai dua himpunan penyelesaian
  • Jika $D = 0$ maka kedua parabola bersinggungan atau mempunyai satu himpunan penyelesaian
  • Jika $D \lt 0$ maka kedua parabola tidak berpotongan dan tidak bersinggungan atau tidak mempunyai himpunan penyelesaian

Soal dan Pembahasan SPLK dan SPKK dari soal-soal Ujian Sekolah, Ujian Nasional atau Ujian Seleksi Masuk PTN


Beberapa contoh soal untuk kita diskusikan dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri), SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri), UN (Ujian Nasional) atau dari soal ujian-ujian lain yang masih sesuai dengan materi diskusi kita.

1. Soal EBTANAS Matematika IPA SMA 1995 Soal Lengkap

Himpunan penyelesaian sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
x-y =1 \\
x^{2}-6x-y+5=0
\end{matrix}\right.$
adalah $\left \{\left ( x_{1},y_{1} \right ),\left ( x_{2},y_{2} \right ) \right \}$
Nilai $x_{1}+x_{2}=\cdots$

$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 11
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Langkah pertama kita subsitusi nilai $y$ pada persamaan linear dan $y$ persamaan kuadrat, dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
y &= y \\
x^{2}-6x +5 & = x-1 \\
x^{2}-6x-x +5+1 & = 0 \\
x^{2}-7x + 6 & = 0 \\
\left(x-6 \right)\left(x-1 \right) &= 0 \\
x=6\ \text{atau}\ x=1 & \\
\end{align}$
Yang ditanyakan pada soal adalah $x_{1}+x_{2}=1+6=7$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 7$

Jika kita teruskan untuk mencari himpunan penyelesaian sistem persamaan di atas, langkah berikutnya adalah:

  • untuk $x=1$ maka $y=x-1=0$ kita peroleh titik potong $(1,0)$
  • untuk $x=6$ maka $y=x-1=5$ kita peroleh titik potong $(6,5)$
  • Himpunan Penyelesaian adalah $\left\{ \left(1,0 \right),\ \left(6,5 \right) \right\}$

2. Soal EBTANAS Matematika IPA SMA 1990 Soal Lengkap

Parabola dengan persamaan $y = – x^{2} + 3x + 11$ dan garis dengan persamaan $y – 2x + 1 = 0$ berpotongan di titik yang berabsis...
$\begin{align}
(A)\ & -3\ \text{dan}\ 4 \\
(B)\ & -2\ \text{dan}\ 5 \\
(C)\ & -2\ \text{dan}\ 1 \\
(D)\ & -4\ \text{dan}\ 3 \\
(E)\ & -7\ \text{dan}\ 7 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Langkah pertama kita subsitusi nilai $y$ pada persamaan linear dan $y$ persamaan kuadrat, dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
y &= y \\
– x^{2} + 3x + 11 & = 2x - 1 \\
-x^{2}+3x-2x +11+1 & = 0 \\
-x^{2}+ x +12 & = 0 \\
x^{2}- x -12 & = 0 \\
\left(x-4 \right)\left(x+3 \right) &= 0 \\
x=4\ \text{atau}\ x=-3 & \\
\end{align}$
Yang ditanyakan pada soal nilai absis titik potong yaitu $x_{1}=4$ $x_{2}=-3$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3\ \text{dan}\ 4$

Jika kita teruskan untuk mencari himpunan penyelesaian sistem persamaan di atas, langkah berikutnya adalah:

  • untuk $x=-3$ maka $y=2x-1=-7$ kita peroleh titik potong $(-3,-7)$
  • untuk $x=4$ maka $y=2x-1=7$ kita peroleh titik potong $(4,7)$
  • Himpunan Penyelesaian adalah $\left\{\left(-3,-7 \right),\ \left(4,7\right) \right\}$

3. Soal EBTANAS Matematika IPA SMA 1989 Soal Lengkap

Himpunan penyelesaian sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
y=x^{2}-2x+5 \\
y=4x
\end{matrix}\right.$
adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left\{ \left(5,-20 \right),\ \left(1,-4 \right) \right\} \\
(B)\ & \left\{ \left(-5,-20 \right),\ \left(-1,-4 \right) \right\} \\
(C)\ & \left\{ \left(5, 20 \right),\ \left(1, 4 \right) \right\} \\
(D)\ & \left\{ \left(-5, 20 \right),\ \left(-1, 4 \right) \right\} \\
(E)\ & \left\{ \left(5, 20 \right),\ \left(-1, 4 \right) \right\} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Langkah pertama kita subsitusi nilai $y$ pada persamaan linear dan $y$ persamaan kuadrat, dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
y &= y \\
x^{2}-2x+5 & = 4x \\
x^{2}-2x-4x+5 & = 0 \\
x^{2}-6x + 5 & = 0 \\
\left(x-5 \right)\left(x-1 \right) &= 0 \\
x=5\ \text{atau}\ x=1 & \\
\end{align}$

Langkah kedua, menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan:

  • untuk $x=1$ maka $y=4x=4$ kita peroleh titik potong $(1,4)$
  • untuk $x=5$ maka $y=4x=20$ kita peroleh titik potong $(5,20)$
  • Himpunan Penyelesaian adalah $\left\{ \left(1,4 \right),\ \left(5,20 \right) \right\}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left\{ \left(1,4 \right),\ \left(5,20 \right) \right\}$

4. Soal EBTANAS Matematika IPA SMA 1986 Soal Lengkap

Jika himpunan penyelesaian sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
x-y=1 \\
x^{2}-xy+y^{2}=7
\end{matrix}\right.$
adalah $\left\{ \left(x_{1},y_{1} \right),\ \left(x_{2},y_{2} \right) \right\}$ maka nilai $y_{1}+y_{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Langkah pertama kita subsitusi nilai $y$ pada persamaan linear dan $y$ persamaan kuadrat, dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
x^{2}-xy+y^{2} &= 7 \\
x^{2}-x\left(x-1 \right)+\left(x-1 \right)^{2} -7 &= 0 \\
x^{2}-x^{2}+x+ x^{2}-2x+1 -7 &= 0 \\
x^{2}-x-6 &= 0 \\
\left(x-3 \right)\left(x+2 \right) &= 0 \\
x=3\ \text{atau}\ x=-2 & \\
\end{align}$

Langkah kedua, menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan:

  • untuk $x=-2$ maka $y=x-1=-3$ kita peroleh titik potong $(-2,-3)$
  • untuk $x=3$ maka $y=x-1=2$ kita peroleh titik potong $(3,2)$
  • Himpunan Penyelesaian adalah $\left\{ \left(-2,-3 \right),\ \left(3,2 \right) \right\}$
Nilai $y_{1}+y_{2}=-3+2=-1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$

5. Soal SIMAK UI 2009 Kode 921 (*Soal Lengkap)

Jika suatu garis lurus yang melalui titik $(0,-14)$ tidak memotong maupun meyinggung parabola $y=2x^{2}+5x-12$ maka gradien garis tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & m \lt -9 \\
(B)\ & m \lt -1 \\
(C)\ & -1 \lt m \lt -9 \\
(D)\ & 1 \lt m \lt 9 \\
(E)\ & m \gt -9
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Kita misalkan garis lurus melalui titik $(0,-14)$ dengan gradien $m$ yaitu $y=mx-14$.

Karena garis tersebut tidak memotong maupun meyinggung parabola $y=2x^{2}+5x-12$ maka diskriminan persamaan kuadrat persekutuan kurang dari nol $(D \lt 0)$.
$\begin{align}
y & = y \\
2x^{2}+5x-12 & = mx-14 \\
2x^{2}+5x-12-mx+14 & = 0 \\
2x^{2}+(5-m)x+2 & = 0 \\
\hline
D & \lt 0 \\
b^{2}-4ac & \lt 0 \\
(5-m)^{2}-4(2)(2) & \lt 0 \\
m^{2}-10m+25-16 & \lt 0 \\
m^{2}-10m+9 & \lt 0 \\
(m-9)(m-1) & \lt 0 \\
1 \lt m \lt 9
\end{align}$
Simak kembali jika masih kurang paham menentukan Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan mudah dan cepat

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1 \lt m \lt 9$

6. Soal SNMPTN 2008 Kode 211 (*Soal Lengkap)

Garis $g$ melalui titik $(0,1)$ dan menyinggung parabola $y=4x-x^{2}$. Jika titik singgungnya terletak di kaudran pertama, maka gradien garis $g$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & \dfrac{1}{6}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Misal garis $g$ adalah $y=mx+1$ karena melalui $(0,1)$.

Karena garis $y=mx+1$ menyinggung $y=4x-x^{2}$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
mx+1 & = 4x-x^{2} \\
x^{2}-4x+mx+1 & = 0 \\
x^{2}+(m-4)x+1 & = 0 \\
\hline
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
(m-4)^{2}-4(1)(1) & = 0 \\
m^{2}-8m+16-4 & = 0 \\
m^{2}-8m+12 & = 0 \\
(m-6)(m-2) & = 0 \\
m = 6 & m = 2
\end{align}$
Garis singgung kurva $y=4x-x^{2}$ yang melalui titik $(0,1)$ adalah $y=6x+1$ dan $y=2x+1$.

Karena titik singgungnya di kuadran pertama untuk nilai $m=6$ atau $m=2$ maka gradien $m=y'=4-2x$ dihasilkan oleh $x$ positif.
$\begin{array}{c|c|cc}
m = y' & m = y' \\
6 = 4-2x & 2 = 4-2x \\
6-4 = -2x & 2-4 = -2x \\
2 = -2x & -2 = -2x \\
x = -1 & x = 1 \\
\hline
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$

7. Soal SPMB 2007 Kode 741 (*Soal Lengkap)

Agar garis $y=-10x+4$ menyinggung parabola $y=px^{2}+2x-2$ maka konstanta $p=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -3 \\
(C)\ & -4 \\
(D)\ & -5 \\
(E)\ & -6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Karena garis $y=-10x+4$ meyinggung parabola $y=px^{2}+2x-2$ maka diskrimian persamaan kuadrat persekutuan sama dengan nol ($D = 0$).
$\begin{align}
y & = y \\
px^{2}+2x-2 & = -10x+4 \\
px^{2}+2x-2+10x-4 & = 0 \\
px^{2}+12x-6 & = 0 \\
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
12^{2}-4(p)(-6) & = 0 \\
144+24p & = 0 \\
24p & =-144 \\
p & =\dfrac{-144}{24}=-6
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -6$

8. Soal SPMB 2005 Kode 370 (*Soal Lengkap)

Jika garis $x+y=p$ menyinggung parabola $y=x^{2}-x-3$, maka konstanta $p=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 0 \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Garis $x+y=p$ atau $y=p-x$ menyinggung kurva $y=x^{2}-x-3$, maka berlaku diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol $(D=0)$:
$\begin{align}
y = & y \\
x^{2}-x-3 = & p-x \\
x^{2}-x-3-p+x = & 0 \\
x^{2} -3-p = & 0 \\
D = & b^{2}-4ac \\
0 = & (0)^{2}-4(1)(-3-p) \\
0 = & 12+4p \\
4p = & -12 \\
p = & -3
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3$

9. Soal SPMB 2004 Kode 541 (*Soal Lengkap)

Agar garis $x+2y+k=0$ menyinggung parabola $y^{2}-2x+4=0$, maka konstanta $k=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 0 \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Garis $x+2y+k=0$ atau $x=-2y-k$ menyinggung kurva $y^{2}-2x+4=0$ atau $x=\dfrac{1}{2}y^{2}+2$, maka berlaku diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol $(D=0)$:
$\begin{align}
x & = x \\
\dfrac{1}{2}y^{2}+2 & = -2y-k \\
\dfrac{1}{2}y^{2}+2+2y+k & = 0 \\
\dfrac{1}{2}y^{2} +2y+2+k & = 0
\end{align}$

$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
0 & = \left( 2 \right)^{2}-4\left( \dfrac{1}{2} \right)(2+k) \\
0 & = 4-4-2k \\
0 & = -2k \\
k & = 0
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$


10. Soal SPMB 2004 Kode 241 (*Soal Lengkap)

Jika garis $y=bx-a$ memotong $y=ax^{2}+bx+(a-2b)$ di titik $(1,1)$ dan $(x_{0},y_{0})$ , maka $x_{0}+y_{0} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -6 \\
(B)\ & -5 \\
(C)\ & -4 \\
(D)\ & 0 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Garis $y=bx-a$ memotong kurva $y=ax^{2}+bx+(a-2b)$, di titik $(1,1)$ maka berlaku:
$\begin{align}
ax^{2}+bx+(a-2b) & = y \\
a(1)^{2}+b(1)+(a-2b) & = 1 \\
a +b + a-2b & = 1 \\
2a- b & = 1 \\
hline
bx-a & = y \\
b-a & = 1
\end{align}$

$\begin{array}{c|c|cc}
2a-b = 1 & \\
b-a = 1 & (+) \\
\hline
a = 2 & b=3
\end{array} $

Titik potong $y=3x-2$ memotong kurva $y=2x^{2}+3x-4$ adalah
$\begin{align}
y & = y \\
2x^{2}+3x-4 & = 3x-2 \\
2x^{2}+3x-4-3x+2 & = 0 \\
2x^{2}-2 & = 0 \\
2(x-1)(x+1) & = 0 \\
x=1\ \ x= -1
\end{align}$

Titik potong yang belum diketahui adalah untuk $x=-1$ maka $y=3x-2=3(-1)-2=-5$. Nilai $x_{0}+y_{0} =-1-5=-6$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -6$

11. Soal SPMB 2004 Kode 640 (*Soal Lengkap)

Agar kurva $y=mx^{2}-2mx+m$ seluruhnya terletak di atas kurva $y=2x^{2}-3$, maka konstanta $m$ memenuhi...
$\begin{align}
(A)\ & m \gt 6 \\
(B)\ & m \gt 2 \\
(C)\ & 2 \lt m \lt 6 \\
(D)\ & -6 \lt m \lt 2 \\
(E)\ & -6 \lt m \lt -2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Karena kurva $y=mx^{2}-2mx+m$ seluruhnya terletak di atas kurva $y=2x^{2}-3$ artinya kedua kurva tidak pernah berpotongan atau bersinggungan maka persamaan kuadrat persekutuan merupakan definit positif maka $a \gt 0$ dan $D \lt 0$.
$\begin{align}
y & = y \\
mx^{2}-2mx+m & = 2x^{2}-3 \\
mx^{2}-2mx+m -2x^{2}+3& = 0 \\
(m-2)x^{2}-2mx+m+3& = 0 \\
\hline
a & \gt 0 \\
m-2 & \gt 0 \\
m & \gt 2 \\
\hline
D & \lt 0 \\
b^{2}-4ac & \lt 0 \\
(-2m)^{2}-4(m-2)(m+3) & \lt 0 \\
4m^{2}-4m^{2}-4m+24 & \lt 0 \\
-4m & \lt -24 \\
m & \gt \dfrac{-24}{-4} \\
m & \gt 6
\end{align}$
Irisan $m \gt 2$ dan $m \gt 6$ adalah $m \gt 6$
Simak kembali tentang Matematika Dasar Pertidaksamaan jika masih kurang paham tentang pertidaksamaan.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ m \gt 6 $

12. Soal SPMB 2004 Kode 241 (*Soal Lengkap)

Jika garis $y=2x+5$ menyinggung parabola $y=ax^{2}-4x+2$, maka nilai $a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Garis $y=2x+5$ menyinggung kurva $y=ax^{2}-4x+2$, maka berlaku diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol $(D=0)$:
$\begin{align}
y & = y \\
ax^{2}-4x+2 & =2x+5 \\
ax^{2}-4x+2-2x-5 & = 0 \\
ax^{2}-6x-3 & = 0 \\
\hline
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
(-6)^{2}-4(a)(-3) & = 0 \\
36+12a & = 0 \\
12a & = -36 \\
a & = -3
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3$

13. Soal SPMB 2004 Kode 241 (*Soal Lengkap)

Titik potong parabola $y=mx^{2}+ x+m$, $m \neq 0$ dengan garis $y=(m+1)x+1$ adalah $\left(x_{1},y_{1} \right)$ dan $\left(x_{2},y_{2} \right)$. Jika $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1$ maka nilai $m$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Garis $y=(m+1)x+1$ memotong parabola $y=mx^{2}+x+m$, di titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ dan $\left(x_{2},y_{2} \right)$ maka berlaku:
$\begin{align}
y_{1} & = y_{1} \\
mx_{1}^{2}+ x_{1}+m & = (m+1)x_{1}+1 \\
mx_{1}^{2}+ x_{1}+m & = mx_{1}+x_{1}+1 \\
mx_{1}^{2}+ x_{1}+m -mx_{1}-x_{1}-1 & = 0 \\
mx_{1}^{2}-mx_{1}+m-1 & = 0 \\
\hline
y_{2} & = y_{2} \\
mx_{2}^{2}-mx_{2}+m-1 & = 0 \\
\end{align}$

Karena $mx_{1}^{2}-mx_{1}+m-1= 0$ dan $mx_{2}^{2}-mx_{2}+m-1 = 0$ maka persamaan kuadrat $mx^{2}-mx+m-1= 0$ akar-akarnya adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$. Sehingga berlaku:
$\begin{align}
x_{1}+x_{2} & = -\dfrac{b}{a} \\
& = -\dfrac{-m}{m}=1 \\
\left( x_{1}+x_{2} \right)^{2} & = 1 \\
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2x_{1}x_{2} & = 1 \\
1+2x_{1}x_{2} & = 1 \\
2x_{1}x_{2} & = 1-1 \\
\dfrac{c}{a} & = 0 \\
\dfrac{m-1}{m} & = 0 \\
m-1 & = 0 \\
m & = 1
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$

14. Soal UM UGM 2014 Kode 521 (*Soal Lengkap)

Jika garis $2x-3y+5k-1=0$ memotong parabola $y=x^{2}-2x+k+1$ di dua titik maka nilai $k$ yang memenuhi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & k \lt -\dfrac{3}{2} \\
(B)\ & k \lt -\dfrac{2}{3} \\
(C)\ & k \gt -\dfrac{2}{3} \\
(D)\ & k \lt \dfrac{2}{3} \\
(E)\ & k \lt \dfrac{3}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Pada soal garis $2x-3y+5k-1=0$ atau $y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5k-1}{3}$ memotong parabola $y=x^{2}-2x+k+1$ di dua titik, sehingga pernah terjadi;
$\begin{align}
y &= y \\
x^{2}-2x+k+1 &= \dfrac{2}{3}x+\dfrac{5k-1}{3} \\
3x^{2}-6x+3k+3 &= 2x+ 5k-1 \\
3x^{2}-6x+3k+3-2x -5k+1 &= 0 \\
3x^{2}-8x-2k+4 &= 0
\end{align}$

Karena garis memotong parabola di dua titik maka diskriminan $3x^{2}-8x-2k+4 = 0$ harus lebih dari nol;
$\begin{align}
D & \gt 0 \\
b^{2}-4ac & \gt 0 \\
(-8)^{2}-4(3)(-2k+4) & \gt 0 \\
64+24k-48 & \gt 0 \\
24k+16 & \gt 0 \\
k & \gt \dfrac{-16}{24} \\
k & \gt \dfrac{-2}{3}
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ k \gt -\dfrac{2}{3} $

15. Soal SBMPTN 2014 Kode 652 (*Soal Lengkap)

Jika $2a+1 \lt 0$ dan grafik $y=x^{2}-4ax+a$ bersinggungan dengan grafik $y=2x^{2}+2x$, maka $a^{2}+1=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{17}{16} \\
(B)\ & \dfrac{5}{4} \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 5 \\
(E)\ & 17
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Grafik $y=x^{2}-4ax+a$ bersinggungan dengan grafik $y=2x^{2}+2x$ maka diskriminan persekutuan adalah nol;
$\begin{align}
y &= y \\
2x^{2}+2x &= x^{2}-4ax+a \\
2x^{2}+2x - x^{2}+4ax-a &= 0 \\
x^{2}+2x+4ax-a &= 0 \\
x^{2}+(2+4a)x-a &= 0
\end{align}$

$\begin{align}
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
(2+4a)^{2}-4(1)(-a) & = 0 \\
16a^{2}+16a+4+4a & = 0 \\
16a^{2}+20a+4 & = 0 \\
4a^{2}+5a+1 & = 0 \\
(4a+1)( a+1) & = 0 \\
a & = -\dfrac{1}{4} \\
a & = -1
\end{align}$

Nilai $a$ yang memenuhi $2a+1 \lt 0$ adalah $a=-1$ sehingga nilai $a^{2}+1=(-1)^{2}+1=2$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2 $

16. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Jumlah $x$ dan $y$ dari solusi $(x,y)$ yang memenuhi sistem persamaan
$\begin{array}{cc}
x-y = a & \\
x^{2}+5x-y = 2 & \\
\end{array} $
adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -12 \\
(B)\ & -10 \\
(C)\ & -6 \\
(D)\ & 6 \\
(E)\ & 10
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Catatan calon guru tentang sistem persamaan mungkin dapat membantu yaitu Karena garis $y=mx+n$ dan parabola $y=ax^{2}+bx+c$ mempunyai satu solusi saat diskrimian persamaan kuadrat persekutuan sama dengan nol $(D=b^{2}-4ac = 0)$.

$\begin{align}
x^{2}+5x-y &= 2 \\
x^{2}+5x-(x-a) &= 2 \\
x^{2}+5x- x+a-2 &= 0 \\
x^{2}+4x+a-2 &= 0 \\
\hline
D &= b^{2}-4ac \\
0 &= 4^{2}-4(1)(a-2) \\
0 &= 16-4a+8 \\
4a &= 24 \\
a &= 6 \\
\hline
x^{2}+4x+6-2 &= 0 \\
x^{2}+4x+4 &= 0 \\
(x+2)(x+2) &= 0 \\
x=-2 & \\
x-y &= a \\
-2-y &= 6 \\
y &= -8 \\
x+y &= -10
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -10$

17. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Jika persamaan garis singgung kurva $y=ax^{2}-bx+3$ pada titik $(1,1)$ tegak lurus garis $6y-x+7=0$, maka $a^{2}+b^{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 13 \\
(D)\ & 20 \\
(E)\ & 52
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang persamaan garis yaitu:

  • $m_{1} \cdot m_{2}=-1$ saat $g_{1}$ tegak lurus dengan $g_{2}$ atau saat $g_{1} \perp g_{2}$ maka $m_{1} \cdot m_{2}=-1$;
  • Untuk sebuah fungsi $f(x)$ gradien di titik $(a,b)$ adalah turunan pertama fungsi untuk $x=a$ yaitu $m=f'(a)$

Pada titik $(1,1)$ dan $y=ax^{2}-bx+3$ maka $1=a(1)^{2}-b(1)+3$ atau $ a -b=-2$
Gradien garis $6y-x+7=0$ adalah $m=-\dfrac{-1}{6}=\dfrac{1}{6}$

Gradien garis singgung kurva $y=ax^{2}-bx+3$ di $(1,-1)$ adalah $m=-6$, maka berlaku
$\begin{align}
y & = ax^{2}-bx+3 \\
m=y' & = 2ax -b \\
-6 & = 2a(1) -b \\
-6 & = 2a -b
\end{align}$

$\begin{array}{c|c|cc}
2a-b = -6 & \\
a-b = -2 & (-) \\
\hline
a = -4 & \\
b = -2 & \\
\hline
a^{2}+b^{2} = (-4)^{2}+(-2)^{2} & \\
a^{2}+b^{2} = 20
\end{array} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 20$

18. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
y=-mx+c\\
y= \left ( x+4 \right )^{2}
\end{matrix}\right.$
Jika sistem persamaan tersebut memiliki tepat satu penyelesaian, maka jumlah semua nilai $m$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -32 \\
(B)\ & -20 \\
(C)\ & -16 \\
(D)\ & -8 \\
(E)\ & -4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Karena sistem persamaan di atas memiliki tepat satu penyelesaian maka diskriminan $(D=b^{2}-4ac)$ dari persekutuan persamaan kuadrat adalah nol.
$\begin{align}
y & = y \\
\left ( x+4 \right )^{2} & = -mx+c \\
x^{2}+8x+16 +mx -c & = 0 \\
x^{2}+(8+m)x+16-c & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
(8+m)^{2} -4(1)(16-c) & = 0 \\
m^{2}+16m+64-64+4c & = 0 \\
m^{2}+16m+4c & = 0 \\
m_{1} + m_{2} & = -\dfrac{b}{a}\\
&=-\dfrac{16}{1}=-16
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -16$


19. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Jika $(a,b)$ solusi dari sistem persamaan kuadrat
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}-2x=19\\
x+y^{2}=1
\end{matrix}\right.$
maka nilai $a+4b$ yang terbesar adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 10 \\
(D)\ & 11 \\
(E)\ & 14
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dari sistem persamaan dapat kita peroleh nilai $a$ dan $b$, yaitu:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-2x &=19 \\
x^{2}+(1-x)-2x &=19 \\
x^{2}-3x+-18 &= 0 \\
(x-6)(x+3) & = 0 \\
x=6\ \text{atau}\ x=-3 & \\
\hline
y^{2}=1-x & \\
\hline
x=6\ \Rightarrow\ & y^{2}=-5\ (imajiner) \\
x=-3\ \Rightarrow\ & y^{2}=4 \\
& y=2\ \text{atau}\ y=-2 \\
\hline
(-3,2)\ \Rightarrow\ & a+4b=5 \\
(-3,-2)\ \Rightarrow\ & a+4b=-11
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 5$

20. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Himpunan $(x,y)$ adalah penyelesaian dari sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}=6\\
\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{y^{2}}{8}=3
\end{matrix}\right.$
Jumlah dari semua nilai $x$ yang memenuhi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dari sistem persamaan dapat kita peroleh nilai $a$ dan $b$, yaitu:
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{y^{2}}{8} &=3 \\
8x^{2} + 2y^{2} &=48 \\
8x^{2} + 2 \left( 6-x^{2} \right) &=48 \\
8x^{2} + 12-2x^{2}-48&=0 \\
6x^{2}- 36 &=0 \\
x^{2}- 6 &=0 \\
(x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6}) &=0 \\
x=\sqrt{6}\ \text{atau}\ x=-\sqrt{6} & \\
\hline
y^{2}=6-x^{2} & \\
\hline
x=\sqrt{6}\ \Rightarrow\ & y^{2}=0 \\
x=-\sqrt{6}\ \Rightarrow\ & y^{2}=0 \\
\end{align}$
Jumlah semua nilai $x$ dan $y$ yang memenuhi adalah $0$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

21. Soal UTBK Tes Kemampuan Akademik SAINTEK Matematika IPA 2019

Diketahui sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}+2y=8\\
x^{2}-y^{2}-2y+4x+8=0
\end{matrix}\right.$
Mempunyai solusi $(x,y)$ dengan $x$ dan $y$ bilangan real. Jumlah semua ordinatnya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -2 \\
(E)\ & -4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dari sistem persamaan dapat kita peroleh nilai $a$ dan $b$, yaitu:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}+2y-8 &= 0 \\
x^{2}-y^{2}-2y+4x+8 & = 0 \ \ (+) \\
\hline
2x^{2}+4x &=0 \\
x^{2}+2x &=0 \\
x(x+2) &=0 \\
x=0\ \text{atau}\ x=-2 & \\
\hline
x=0\ & \Rightarrow\ -y^{2}-2y+8=0 \\
& \Rightarrow\ y^{2}+2y-8=0 \\
& \Rightarrow\ y_{1}+y_{2} =-2 \\
\hline
x=-2\ & \Rightarrow\ -y^{2}-2y+8=4 \\
& \Rightarrow\ y^{2}+2y-4=0 \\
& \Rightarrow\ y_{1}+y_{2} =-2
\end{align}$
Jumlah semua ordinatnya adalah $(-2)+(-2)=-4$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -4$

22. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}-2y=13\\
x^{2}-y=1
\end{matrix}\right.$
maka nilai $x^{2}+2y$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\
(B)\ & 11 \\
(C)\ & 12 \\
(D)\ & 13 \\
(E)\ & 14
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dari sistem persamaan dapat kita peroleh nilai $a$ dan $b$, yaitu:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-2y &=13 \\
y+1+y^{2}-2y &=13 \\
y^{2}-y -12&= 0 \\
(y-4)(y+3) & = 0 \\
y=4\ \text{atau}\ y=-3 & \\
\hline
x^{2}=y+1 & \\
\hline
y=4\ & \Rightarrow\ x^{2}=5 \\
& \rightarrow\ x^{2}+2y=13 \\
y=-3\ & \Rightarrow\ x^{2}=-2\ (imajiner) \\
& \rightarrow\ x^{2}+2y=-8
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 13$

23. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Jika $(a,b)$ solusi dari sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}=5 \\
x-y^{2}=1
\end{matrix}\right.$
maka nilai $a-3b$ yang terkecil adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -1 \\
(E)\ & -5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dari sistem persamaan dapat kita peroleh nilai $a$ dan $b$, yaitu:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2} &= 5 \\
x^{2}+(x-1) &= 5 \\
x^{2}+x-6 &= 0 \\
(x+3)(x-2) & = 0 \\
x=-3\ \text{atau}\ x=2 & \\
\hline
y^{2}=x-1 & \\
\hline
x=-3\ \Rightarrow\ & y^{2}=-4\ (imajiner) \\
x=2\ \Rightarrow\ & y^{2}=1 \\
& y=1\ \text{atau}\ y=-1 \\
\hline
(2,1)\ \Rightarrow\ & a-3b=-1 \\
(2,-1)\ \Rightarrow\ & a-3b=5
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1$

24. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y=16\\
x^{2}+y^{2}-11y=-19
\end{matrix}\right.$
Mempunyai solusi $(x,y)$ dengan $x$ dan $y$ bilangan real. Jumlah semua ordinatnya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 12 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 35 \\
(D)\ & -10 \\
(E)\ & -12
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dari sistem persamaan dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-11y &=-19 \\
16-y+y^{2}-11y &=-19 \\
y^{2}-12y+35 &=0 \\
\hline
y_{1}+y_{2} &= -\dfrac{b}{a} \\
&= -\dfrac{-12}{1}=12
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 12$

25. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Jika garis $y=2x-3$ menyinggung parabola $y=4x^{2}+ax+b$ di titik $(-1,-5)$ serta $a$ dan $b$ adalah konstanta, maka $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 9 \\
(C)\ & 10 \\
(D)\ & 11 \\
(E)\ & 12
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Titik $(-1,-5)$ adalah titik singgung sehingga berlaku:
$ \begin{align}
y & =4x^{2}+ax+b \\
-5 & =4(-1)^{2}+a(-1)+b \\
-5 & =4 -a+b \\
-9 & = -a+b \\
a-9 & = b
\end{align} $

Sedikit catatan calon guru yang mungkin kita butuhkan yaitu jika garis $y=2x-3$ menyinggung parabola $y=4x^{2}+ax+b$ maka berlaku diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol $(D=0)$:
$\begin{align}
y & = y \\
4x^{2}+ax+b & = 2x-3 \\
4x^{2}+ax-2x+b+3 & = 0 \\
4x^{2}+(a -2)x+b+3 & = 0 \\
\hline
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
(a-2)^{2}-4(4)(b+3) & = 0 \\
a^{2}-4a+4-16b-48 & = 0 \\
a^{2}-4a -16(a-9)-44 & = 0 \\
a^{2}-4a -16 a+144-44 & = 0 \\
a^{2}-20a+100 & = 0 \\
(a-10) (a-10) &=0 \\
a=10 & \\
\hline
a+b & =10+1=11
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 11$

26. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Jika garis $y=mx$ menyinggung elips $\dfrac{(x-2)^{2}}{4}+\dfrac{(y+1)^{2}}{2}=1$, maka nilai $4m=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -2 \\
(E)\ & -1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Sedikit catatan calon guru yang mungkin kita butuhkan pada sistem persamaan yaitu jika garis $y=mx$ menyinggung elips $\dfrac{(x-2)^{2}}{4}+\dfrac{(y+1)^{2}}{2}=1$ maka berlaku diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol $(D=0)$:
$\begin{align}
\dfrac{(x-2)^{2}}{4}+\dfrac{(y+1)^{2}}{2} &=1 \\
(x-2)^{2} + 2(mx+1)^{2} &=4 \\
x^{2}-4x+4 + 2m^{2}x^{2}+4mx+2 &=4 \\
\left(2m^{2}+1\right)x^{2}+(4m-4)x+2 &=0 \\
\hline
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
(4m-4)^{2}-4\left(2m^{2}+1\right)(2) & = 0 \\
16m^{2}-32m-16m^{2}-8 & = 0 \\
-32m -8 & = 0 \\
-32m & = 8 \\
m & = -\dfrac{8}{32}=-\dfrac{1}{4} \\
4m &= 1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$

27. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Garis $y=2x+1$ tidak memotong maupun menyinggung hiperbola $\dfrac{(x-2)^{2}}{2}-\dfrac{(y-a)^{2}}{4}=1$, interval nilai $a$ yang memenuhi adalah....
$\begin{align}
(A)\ & -7 \lt a \lt 3 \\
(B)\ & -3 \lt a \lt 7 \\
(C)\ & a \lt 3\ \text{atau}\ a \gt 7 \\
(D)\ & a \lt -7\ \text{atau}\ a \gt 3 \\
(E)\ & 3 \lt a \lt 7
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Sedikit catatan calon guru yang mungkin kita butuhkan pada sistem persamaan yaitu jika garis $y=2x+1$ tidak memotong maupun menyinggung hiperbola $\dfrac{(x-2)^{2}}{2}-\dfrac{(y-a)^{2}}{a}=1$ maka berlaku diskriminan persamaan kuadrat persekutuan kurang dari nol $(D \lt 0)$:
$\begin{align}
\dfrac{(x-2)^{2}}{2}-\dfrac{(y-a)^{2}}{4} &=1 \\
\dfrac{x^{2}-4x+4}{2}-\dfrac{y^{2}-2ay+a^{2}}{4} &=1 \\
2x^{2}-8x+8 - y^{2}+2ay-a^{2} &=4 \\
2x^{2}-8x+8 - (2x+1)^{2}+2a(2x+1)-a^{2} &=4 \\
2x^{2}-8x+8 - \left( 4x^{2}+4x+1 \right)+4ax +2a-a^{2} &=4 \\
-2x^{2}-12x+4ax-a^{2}+2a+3 &= 0 \\
2x^{2}+(12 -4a)x+a^{2}-2a-3 &= 0 \\
\hline
D & \lt 0 \\
b^{2}-4ac & \lt 0 \\
(12-4a)^{2}-4 (2) \left( a^{2}-2a-3 \right) & \lt 0 \\
144-96a+16a^{2}-8a^{2}+16a+24 & \lt 0 \\
8a^{2}-80a +168 & \lt 0 \\
a^{2}- 10a +21 & \lt 0 \\
(a-3)(a-7) & \lt 0
\end{align}$
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah $3 \lt a \lt 7 $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3 \lt a \lt 7 $


28. Soal UTBK Matematika 2019 (*Soal Lengkap)

Diketahui grafik $y=8x+a$ dan $y=x^{2}+5x$ berpotongan di dua titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ dan $\left(x_{2},y_{2} \right)$. Jika grafik $y=x^{2}+5x$ melalui titik $(a,-6)$, maka $x_{1}x_{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Disampaikan pada soal bahwa grafik $y=x^{2}+5x$ melalui titik $(a,-6)$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
y &= x^{2}+5x \\
-6 &= a^{2}+5a \\
0 &= a^{2}+5a +6 \\
(a+2)(a+3) &= 0 \\
a=-2\ \text{atau}\ & a=-3
\end{align}$

Untuk $a=-2$ pada grafik $y=8x+a$ dan $y=x^{2}+5x$ berlaku:
$\begin{align}
8x+a &= x^{2}+5x \\
8x-2 &= x^{2}+5x \\
x^{2}+5x-8x+2 &= 0 \\
x^{2}-3x+2 &= 0 \\
\hline
x_{1}x_{2} &= \dfrac{c}{a} \\
&= \dfrac{2}{1}=2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$

29. Soal UTBK Matematika 2019 (*Soal Lengkap)

Diketahui grafik $y=-x^{2}+4ax-6a$ memotong sumbu-$x$ di titik $(2,0)$ dan $(6,0)$. Jika garis $mx-y=12$ memotong grafik tersebut di titik $(6,0)$ dan $\left(x_{0},y_{0} \right)$, maka $ x_{0}-y_{0}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\
(B)\ & 12 \\
(C)\ & 14 \\
(D)\ & 16 \\
(E)\ & 18
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Disampaikan pada soal bahwa grafik $y=-x^{2}+4ax-6a$ memotong sumbu-$x$ di titik $(2,0)$ dan $(6,0)$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
y &=-x^{2}+4ax-6a \\
(2,0) \rightarrow 0 &=-(2)^{2}+4a(2)-6a \\
0 &= -4+8a-6a \\
4 &= 8a-6a \\
4 &= 2a \\
2 &= a
\end{align}$

Untuk $a= 2$ maka grafik $y=-x^{2}+4ax-6a$ adalah $y=-x^{2}+8x-12$.

Garis $mx-y=12$ memotong grafik $y=-x^{2}+8x-12$ di titik $(6,0)$ sehingga dapat berlaku:
$\begin{align}
(6,0) \rightarrow y &=mx-12 \\
0 &=m(6)-12 \\
m &=2 \\
y &=2x-12
\end{align}$

Garis $y=2x-12$ memotong grafik $y=-x^{2}+8x-12$ di titik $(6,0)$ dan $\left(x_{0},y_{0} \right)$ sehingga dapat berlaku:
$\begin{align}
y &= y \\
2x-12 &= -x^{2}+8x-12 \\
0 &= -x^{2}+8x-2x-12+12 \\
0 &= -x^{2}+6x \\
x^{2}-6x &= 0 \\
(x)(x-6) &= 0 \\
x=0\ \text{atau}\ & x=6 \\
\hline
x=0 \rightarrow & y=2x-12 \\
& y=2(0)-12=-12 \\
\end{align}$
Nilai $x_{0}-y_{0}=0-(-12)=12$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 12$

30. Soal UTBK Matematika 2019 (*Soal Lengkap)

Agar sistem pertidaksamaan kuadrat di bawah ini hanya mempunyai satu solusi
$\left\{\begin{matrix}
y=-mx^{2}-2 \\
4x^{2}+y^{2}=4
\end{matrix}\right.$
Nilai $m$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{3} \\
(B)\ & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & \sqrt{2} \\
(E)\ & \sqrt{3} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Karena sistem persamaan di atas memiliki tepat satu penyelesaian maka diskriminan $(D=b^{2}-4ac)$ dari persamaan kuadrat persekutuan adalah nol.

Persamaan $y=-mx^{2}-2$ kita ubah menjadi $\dfrac{y+2}{-m}=x^{2}$ lalu kita substitusikan ke $4x^{2}+y^{2}=4$ dan kita peroleh persamaan kuadrat baru.
$\begin{align}
4x^{2}+y^{2} &= 4 \\
4 \left( \dfrac{y+2}{-m} \right)+y^{2} &= 4 \\
-4y+8+my^{2} &= 4m \\
my^{2}-4y+8-4m &= 0 \\
\hline
b^{2}-4ac & = 0 \\
(-4)^{2} -4(m)(8-4m) & = 0 \\
16-32m+16m^{2} & = 0 \\
16m^{2}-32m+16 & = 0 \\
m^{2}-2m+1 & = 0 \\
(m-1)^{2} & = 0 \\
m & = 1
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$

31. Soal UTBK Matematika 2019 (*Soal Lengkap)

Agar sistem pertidaksamaan kuadrat di bawah ini hanya mempunyai satu solusi
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2} = 4 \\
(x-1)^{2}+my^{2}=1
\end{matrix}\right.$
Nilai $m$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(E)\ & - \dfrac{1}{4} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Karena sistem persamaan di atas memiliki tepat satu penyelesaian maka diskriminan $(D=b^{2}-4ac)$ dari persamaan kuadrat persekutuan adalah nol.

Persamaan $x^{2}+y^{2} = 4$ kita ubah menjadi $y^{2}= 4-x^{2}$ lalu kita substitusikan ke $(x-1)^{2}+my^{2}=1$ dan kita peroleh persamaan kuadrat baru.
$\begin{align}
(x-1)^{2}+my^{2} &=1 \\
(x-1)^{2}+m \left( 4-x^{2} \right) &=1 \\
x^{2}-2x+1+4m-mx^{2} &=1 \\
(m-1)x^{2}+2x-4m &= 0 \\
\hline
b^{2}-4ac & = 0 \\
(2)^{2} -4(m-1)(-4m) & = 0 \\
4 + 16m^{2}-16m & = 0 \\
\left(4m-2 \left)^{2} & = 0 \\
m=\dfrac{1}{2} &
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{2}$

32. Soal UTBK Matematika 2019 (*Soal Lengkap)

Agar sistem pertidaksamaan kuadrat di bawah ini hanya mempunyai satu solusi
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2} = 4 \\
(x-1)^{2}+my^{2}=1
\end{matrix}\right.$
Nilai $m$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(E)\ & - \dfrac{1}{4} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Karena sistem persamaan di atas memiliki tepat satu penyelesaian maka diskriminan $(D=b^{2}-4ac)$ dari persamaan kuadrat persekutuan adalah nol.

Persamaan $x^{2}+y^{2} = 4$ kita ubah menjadi $y^{2}= 4-x^{2}$ lalu kita substitusikan ke $(x-1)^{2}+my^{2}=1$ dan kita peroleh persamaan kuadrat baru.
$\begin{align}
(x-1)^{2}+my^{2} &=1 \\
(x-1)^{2}+m \left( 4-x^{2} \right) &=1 \\
x^{2}-2x+1+4m-mx^{2} &=1 \\
(m-1)x^{2}+2x-4m &= 0 \\
\hline
b^{2}-4ac & = 0 \\
(2)^{2} -4(m-1)(-4m) & = 0 \\
4 + 16m^{2}-16m & = 0 \\
\left(4m-2 \right)^{2} & = 0 \\
m=\dfrac{1}{2} &
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{2}$

33. Soal Simulasi UTBK Tes Kemampuan Akademik SAINTEK Matematika IPA

Diketahui garis $g$ melalui titik $(0,-1)$ dan menyingung kurva $y^{2}+2y-2x+2=0$. Garis $g$ memotong sumbu-$x$ di titik $(a,0)$ dengan $a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2\ \text{atau}\ 3 \\
(B)\ & -3\ \text{atau}\ 3 \\
(C)\ & -2\ \text{atau}\ 2 \\
(D)\ & -1\ \text{atau}\ 1 \\
(E)\ & 0 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan sistem persamaan di atas kita coba dengan memisalkan garis $g$ adalah $y=mx+n$, karena garis $g$ melalui titik $(0,-1)$ sehingga garis $g$ dapat kita tuliskan menjadi $y=mx-1$.

Garis $g:\ y=mx-1$ menyingung kurva $y^{2}+2y-2x+2=0$ sehingga diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol, atau dapat kita tuliskan penjabarannya seperti berikut:
$\begin{align}
y^{2}+2y-2x+2 &= 0 \\
\left( mx-1 \right)^{2}+2\left( mx-1 \right)-2x+2 &= 0 \\
m^{2}x^{2}-2mx+1+2mx-2-2x+2 &= 0 \\
m^{2}x^{2}-2x+1 &= 0 \\
\hline
b^{2}-4ac & = 0 \\
(-2)^{2} -4(m^{2})(1) & = 0 \\
4 -4m^{2} & = 0 \\
4m^{2} & = 4 \\
m^{2} & = 1 \\
m & = \pm 1
\end{align}$
Unttuk nilai $m=\pm 1$ sehingga garis $g:\ y=mx-n$ adalah $y=x-1$ dan $y=-x-1$ yang memotong sumbu-$x$ di titik $(-1,0)$ dan $(1,0)$.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1\ \text{atau}\ 1$

34. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK Matematika IPA 2019

Jika garis $y=mx+4$ tidak memotong elips $\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{8}=1$, maka nilai $m$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{2} \lt m \lt \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \lt m \lt \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
(C)\ & -1 \lt m \lt 1 \\
(D)\ & -\sqrt{2} \lt m \lt \sqrt{2} \\
(E)\ & -2 \lt m \lt 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Garis tersebut tidak memotong elips maka diskriminan persamaan kuadrat persekutuan kurang dari nol $(D \lt 0)$.
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{8} &= 1 \\
2 x^{2} + y^{2} &= 8 \\
2 x^{2} + \left( mx+4 \right)^{2} &= 8 \\
2 x^{2} + m^{2}x^{2}+8mx+16-8 &= 0 \\
\left( m^{2}+2 \right)x^{2} +8mx+8 &= 0 \\
\hline
D & \lt 0 \\
\left( 8m \right)^{2}-4\left( m^{2}+2 \right)\left( 8 \right) & \lt 0 \\
64m^{2}-32m^{2}-64 & \lt 0 \\
32m^{2} -64 & \lt 0 \\
m^{2} - 2 & \lt 0 \\
(m-\sqrt{2})(m+\sqrt{2}) & \lt 0 \\
-\sqrt{2} \lt m \lt \sqrt{2}
\end{align}$
Simak kembali jika masih kurang paham menentukan Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan mudah dan cepat

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\sqrt{2} \lt m \lt \sqrt{2}$

35. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK Matematika IPA 2019

Jika garis $y=mx$ tidak berpotongan dengan hiperbola $3x^{2}-4y^{2}=12$, maka nilai $m$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left | m \right | \gt \sqrt{\dfrac{2}{3}} \\
(B)\ & \left | m \right | \gt \dfrac{1}{2\sqrt{3}} \\
(C)\ & \left | m \right | \lt \sqrt{\dfrac{2}{3}} \\
(D)\ & \left | m \right | \gt \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\
(E)\ & \left | m \right | \lt \dfrac{\sqrt{3}}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Garis tersebut tidak memotong hiperbola maka diskriminan persamaan kuadrat persekutuan kurang dari nol $(D \lt 0)$.
$\begin{align}
3x^{2}-4y^{2} &= 12 \\
3x^{2}-4(mx)^{2} &= 12 \\
3x^{2}-4 m^{2}x^{2} &= 12 \\
\left(3 -4 m^{2} \right)x^{2} -12 &= 0 \\
\hline
D & \lt 0 \\
\left( 0 \right)^{2}-4\left( 3 -4 m^{2} \right)\left( -12 \right) & \lt 0 \\
0-4\left( 3 -4 m^{2} \right)\left( -12 \right) & \lt 0 \\
144-192m^{2} & \lt 0 \\
192m^{2}-144 & \gt 0 \\
4m^{2}-3 & \gt 0 \\
(2m-\sqrt{3})(2m+\sqrt{3}) & \gt 0 \\
m \lt -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ \text{atau}\ m \gt \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \\
\left | m \right | \gt \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \\
\end{align}$
Simak kembali jika masih kurang paham menentukan Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan mudah dan cepat

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left | m \right | \gt \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

36. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK Matematika IPA 2019

Nilai $m$ agar garis $y=mx+1$ tidak memotong hiperbola $\dfrac{x^{2}}{2} - \dfrac{y^{2}}{4} =1$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & m \lt -\dfrac{1}{2}\sqrt{10} \text{atau}\ m \gt \dfrac{1}{2}\sqrt{10} \\
(B)\ & m \lt -\dfrac{1}{2}\sqrt{5} \text{atau}\ m \gt \dfrac{1}{2}\sqrt{5} \\
(C)\ & m \lt -\dfrac{1}{2}\sqrt{10} \text{atau}\ m \gt \dfrac{1}{2}\sqrt{5} \\
(D)\ & -\dfrac{1}{2}\sqrt{10} \lt m \lt \dfrac{1}{2}\sqrt{10} \\
(E)\ & -\dfrac{1}{2}\sqrt{5} \lt m \lt \dfrac{1}{2}\sqrt{5}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Garis tersebut tidak memotong hiperbola maka diskriminan persamaan kuadrat persekutuan kurang dari nol $(D \lt 0)$.
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}}{2} - \dfrac{y^{2}}{4} & = 1 \\
2x^{2} - y^{2} & = 4 \\
2x^{2} - (mx+1)^{2} & = 4 \\
2x^{2} - (mx+1)^{2} - 4 & = 0 \\
2x^{2} - m^{2}x^{2}-2mx-1 - 4 & = 0 \\
\left( 2 - m^{2} \right)x^{2}-2mx - 5 & = 0 \\
\hline
D & \lt 0 \\
\left( -2m \right)^{2} - 4 \left( 2 - m^{2} \right)\left( -5 \right) & \lt 0 \\
4m^{2} + 40 - 20m^{2} & \lt 0 \\
-16m^{2} + 40 & \lt 0 \\
2m^{2} - 5 & \gt 0 \\
\left( m+\dfrac{1}{2}\sqrt{5} \right) \left( m-\dfrac{1}{2}\sqrt{5} \right) & \gt 0 \\
m \lt - \dfrac{1}{2}\sqrt{5}\ \text{atau}\ m \gt \dfrac{1}{2}\sqrt{5} &
\end{align}$
Simak kembali jika masih kurang paham menentukan Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan mudah dan cepat

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left | m \right | \gt \dfrac{\sqrt{3}}{2}$


Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Sistem Persamaan Linear Kuadrat (SPLK) dan Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat (SPKK) silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Belajar Mengenal dan Memahami Soal TPS (Tes Potensi Skolastik) UTBK SBMPTN 2019;
youtube image
Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Sistem Persamaan Linear Kuadrat (SPLK) dan Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat (SPKK) (36)" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih 🙏 support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar