Processing math: 5%
Gk7qp1DNYQGDurixnE7FWT3LyBvSK3asrvqSm057
Bookmark

Soal dan Pembahasan Matematika IPA UM UGM Tahun 2019 Kode 923-924

Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan TKA Matematika IPA Ujian Mandiri UGM Tahun 2019 Kode 923 atau Kode 924. Soal Ujian Masuk Universitas Gadjah Mada (UM UGM) ini adalah soal mata ujian kelompok Tes Kemampuan Saintek yang terdiri dari 15 soal Matematika IPA.

Materi Ujian UM UGM-CBT T.A. 2024/2025

  • Kelompok SAINTEK
    1. TKA (Tes Kemampuan Akademik) Saintek: Fisika, Kimia, Biologi, Matematika IPA
    2. TKDU (Tes Kemampuan Dasar Umum): Matematika Dasar, Bahasa Indonesia, Bahasa Ingggris
    3. Tes Potensi Akademik (TPA)
  • Kelompok SOSHUM
    1. TKA (Tes Kemampuan Akademik) Soshum: Sejarah, Geografi, Ekonomi, Sosiologi
    2. TKDU (Tes Kemampuan Dasar Umum): Matematika Dasar, Bahasa Indonesia, Bahasa Ingggris
    3. Tes Potensi Akademik (TPA)
  • Kelompok Campuran
    1. TKA (Tes Kemampuan Akademik) Saintek: Fisika, Kimia, Biologi, Matematika IPA
    2. TKDU (Tes Kemampuan Dasar Umum): Matematika Dasar, Bahasa Indonesia, Bahasa Ingggris
    3. Tes Potensi Akademik (TPA)
    4. TKA (Tes Kemampuan Akademik) Soshum: Sejarah, Geografi, Ekonomi, Sosiologi

Soal dan Pembahasan Matematika IPA UM UGM Tahun 2019 Kode 923-924

Soal latihan yang kita diskusikan berikut ini adalah soal TKA Saintek Matematika. Silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.

Ayo dicoba terlebih dahulu, Sebelum melihat pembahasan soal.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
Nama Peserta :
Tanggal Tes :
Kamis, 3 April 2025
Jumlah Soal :15 soal
Petunjuk Pengerjaan Soal:
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.

1. Soal Matematika UM UGM 2019

Sebuah kotak memuat 6 bola merah dan 4 bola hitam. Tiga bola diambil satu per satu tanpa pengembalian. Jika bola ketiga terambil merah, maka banyaknya kemungkinannya adalah...





Alternatif Pembahasan:

pengambilan tiga bola satu persatu dalam kantong tanpa pengembalian dan pada pengambilan ketiga yang terambil adalah bola merah, dapat terjadi dari beberapa kemungkinan. Yaitu:

  • Pengambilan pertama merah, kedua merah dan ketiga merah,
    merahmerahmerah(6)(5)(4)
    Banyak kemungkinan adalah 654=120
  • Pengambilan pertama merah, kedua hitam dan ketiga merah,
    merahhitammerah(6)(4)(5)
    Banyak kemungkinan adalah 645=120
  • Pengambilan pertama hitam, kedua merah dan ketiga merah,
    hitammerahmerah(4)(6)(5)
    Banyak kemungkinan adalah 465=120
  • Pengambilan pertama hitam, kedua hitam dan ketiga merah,
    hitamhitammerah(4)(3)(6)
    Banyak kemungkinan adalah 436=72
  • Banyak kemungkinan keseluruhan adalah 120+120+120+72=432

Pilihan yang sesuai adalah (E)\ 432

2. Soal Matematika UM UGM 2019

Diketahui penyelesaian dari pertidaksamaan \dfrac{3^{x+3}+3^{x}-36}{9^{x}-9} \leq 3 adalah a \leq x \lt b atau x \geq c. Nilai a+2b+c=\cdots...





Alternatif Pembahasan:

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;

\begin{align} \dfrac{3^{x+3}+3^{x}-36}{9^{x}-9} & \leq 3 \\ \dfrac{3^{x} \cdot 3^{3}+3^{x}-36}{3^{2x}-3^{2}} -3 & \leq 0 \\ \hline \text{misal}\ a=3^{x} \rightarrow a^{2}=3^{2x} & \\ \hline \dfrac{a \cdot 27+a-36}{a^{2}-9} -3 & \leq 0 \\ \dfrac{28a-36}{a^{2}-9} - \dfrac{3 \cdot \left( a^{2}- 9 \right) }{a^{2}-9} & \leq 0 \\ \dfrac{28a-36-3a^{2}+27}{a^{2}-9} & \leq 0 \\ \dfrac{-3a^{2}+28a-9}{a^{2}-9} & \leq 0 \\ \dfrac{3a^{2}-28a+9}{a^{2}-9} & \geq 0 \\ \dfrac{\left( 3a-1 \right) \left( a-9 \right)}{\left( a-3 \right) \left( a+3 \right)} & \geq 0 \end{align}

Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah \left( a-3 \right) \left( a+3 \right) \neq 0 maka a \neq 3 dan a \neq -3.
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

  • Pembuat nol pembilang: 3a-1=0 maka a=\frac{1}{3} atau a-9=0 maka a=9
  • Pembuat nol penyebut: a-3=0 maka a=3 atau a+3=0 maka a=-3
Pembuat nol kita gambarkan pada garis bilangan, lalu kita lakukan uji nilai a (*coba perhatikan gambar)
Soal dan Pembahasan Kemampuan Matematika IPA UM UGM Tahun 2019 Kode 923-924

Cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian:
Perhatikan gambar tidak perlu uji nilai x pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap

Dari gambar di atas himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah:

  • Untuk a \lt -3 sehingga 3^{x} \lt -3, tidak ada nilai x yang memenuhi.
  • Untuk \frac{1}{3} \leq a \lt 3 sehingga 3^{-1} \leq 3^{x} \lt 3^{1}, nilai x yang memenuhi -1 \leq x \lt 1. Bentuk ini ekuivalen dengan a \leq x \lt b sehingga a=-1 dan b=1.
  • Untuk a \geq 9 sehingga 3^{x} \geq 3^{2}, nilai x yang memenuhi x \geq 2. Bentuk ini ekuivalen dengan x \geq c sehingga c=2.
  • Nilai a+2b+c adalah -1+2(1)+2=3.

\therefore Pilihan yang sesuai (D)\ 3

3. Soal Matematika UM UGM 2019

Jika a \lt x \lt b adalah solusi pertidaksamaan 1+2^{x}+2^{2x}+2^{3x}+\cdots \gt 2, dengan x \neq 1, maka a+b=\cdots





Alternatif Pembahasan:

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan dengan meminjam sedikit catatan deret geometri tak hingga yaitu S_{\infty }=\dfrac{a}{1-r};
\begin{align} 1+2^{x}+2^{2x}+2^{3x}+\cdots & \gt 2 \\ \hline a=1,\ r=2^{x} & \\ S_{\infty }=\dfrac{a}{1-r} & \\ S_{\infty }=\dfrac{1}{1-2^{x}} & \\ \hline \dfrac{1}{1-2^{x}} & \gt 2 \\ \dfrac{1}{1-2^{x}} -2 & \gt 0 \\ \dfrac{1}{1-2^{x}} - \dfrac{2 \left( 1-2^{x} \right)}{1-2^{x}} & \gt 0 \\ \dfrac{-1+2^{x+1}}{1-2^{x}} & \gt 0 \end{align}
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

  • Pembuat nol pembilang: -1+2^{x+1}=0 maka x=-1
  • Pembuat nol penyebut: 1-2^{x}=0 maka x=0
Pembuat nol kita gambarkan pada garis bilangan, lalu kita lakukan uji nilai x (*coba perhatikan gambar)
Soal dan Pembahasan Kemampuan Matematika IPA UM UGM Tahun 2019 Kode 923-924

Dari gambar di atas himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah -1 \lt x \lt 0. Bentuk ini ekuivalen dengan a \lt x \lt b sehingga a=-1 dan b=0. Nilai a+ b=-1+0=-1.

\therefore Pilihan yang sesuai (A)\ -1

4. Soal Matematika UM UGM 2019

Diberikan lingkaran pada bidang koordinat dengan titik pusat \left(a,b \right) dan memotong sumbu-X di titik \left( 3,0 \right) dan \left( 9,0 \right). Jika garis yang melalui titik \left( 0,3 \right) menyinggung lingkaran di titik \left( 3,0 \right), maka nilai dari a^{2}-b^{2} adalah...





Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan lingkaran dan garis yang disebutkan oleh soal, seperti berikut ini:

Diberikan lingkaran pada bidang koordinat dengan titik pusat  $\left(a,b  \right)$  dan memotong sumbu-$X$  di titik  $\left( 3,0  \right)$  dan  $\left( 9,0  \right)$. Jika garis yang melalui titik  $\left( 0,3  \right)$  menyinggung lingkaran di titik  $\left( 3,0  \right)$, maka nilai dari  $a^{2}-b^{2}$  adalah

Persamaan garis yang melalui titik A\left( 0,3 \right) dan B\left( 3,0 \right) adalah garis AB yaitu:
\begin{align} \dfrac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} &= \dfrac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} \\ \dfrac{x-0}{3-0} &= \dfrac{y-3}{0-3} \\ -3x &= 3y-9 \\ -3x &= 3y-9 \\ y &= 3-x \end{align}

Garis AB menyinggung lingkaran dan BP merupakan jari-jari lingkaran sehingga AB \perp BP dan kita peroleh:
\begin{align} m_{AB} \cdot m_{BP} &= -1 \\ -1 \cdot \dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}&= -1 \\ \dfrac{b-0}{a-3}&= 1 \\ b &= a-3 \end{align}

Jari-jari lingkaran BP dan PC, sehingga berlaku:
\begin{align} \left| BP \right| &= \left| PC \right| \\ \sqrt{ \left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} &= \sqrt{ \left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} \\ \left( a-3 \right)^{2}+\left( b-0 \right)^{2} &= \left( a- 9 \right)^{2}+\left( b- 0 \right)^{2} \\ \left( a-3 \right)^{2} &= \left( a- 9 \right)^{2} \\ a^{2}-6a+9 &= a^{2}-18a+81 \\ 12a &= 72 \\ a &= 6 \rightarrow b= 3 \\ \hline a^{2}-b^{2} &= 36-9=27 \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai (C)\ 27

5. Soal Matematika UM UGM 2019

Jika \left( x-2 \right)^{2} membagi x^{4}- ax^{3}+bx^{2}x^{2}+4x-4, maka ab=\cdots





Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal suku banyak di atas kita coba gunakan Pemfaktoran Langsung dari suku banyak.

\begin{align} & x^{4}- ax^{3}+bx^{2} +4x-4 \\ & = \left( x-2 \right)^{2}\left( x^{2}+px+q \right) \\ & = \left( x^{2}-4x+4 \right) \left( x^{2}+px+q \right) \\ & = x^{4}+px^{3}+qx^{2}-4x^{3}-4x^{2}-4qx+4x^{2} +4px+4q \\ & = x^{4}+ \left( p-4 \right)x^{3}+\left( 4p+q+4 \right)x^{2}+\left( 4p-4q \right)x +4q \end{align}

Dari kesamaan suku banyak di atas kita peroleh:

  • 4q=-4 maka q=-1
  • 4p-4q=4 atau 4p+4=4 maka p=0
  • 4p+q+4=b maka b=4(0)+(-1)+4=3
  • p-4=-a maka a=4-0=4
  • Nilai ab=(4)(3)=12

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (B)\ 12

6. Soal Matematika UM UGM 2019

Diberikan empat matriks A,B,C,D berukuran 2 \times 2 dengan A + CB^{T}=CD. Jika A mempunyai invers, det \left( D^{T}-B \right)=m dan det \left( C \right)=n, maka det \left( 2A^{-1} \right)=\cdots





Alternatif Pembahasan:

Sedikit catatan, terkait sifat determinan matriks:

  • AB=C\ \rightarrow \left| A \right| \left| B \right|= \left| C \right|
  • \left| A^{T} \right| = \left| A \right|
  • \left| A^{-1} \right| = \dfrac{1}{\left| A \right|}
  • \left( A \pm B \right)^{T} = A^{T} \pm B^{T}
  • |k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A|

Dari det \left( D^{T}-B \right)=m dan det \left( C \right)=n maka dapat kita peroleh:

\begin{align} A + CB^{T} &= CD \\ A &= CD - CB^{T} \\ A &= CD - CB^{T} \\ \left| A \right| &= \left| C \left( D - B^{T} \right) \right| \\ \left| A \right| &= \left| C \right| \cdot \left| \left( D - B^{T} \right) \right| \\ \left| A \right| &= n \cdot \left| \left( D^{T} - B \right)^{T} \right| \\ \left| A \right| &= n \cdot m \\ \hline \left| 2A^{-1} \right| &= 2^{2} \cdot \left| A^{-1} \right| \\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{\left| A \right|} \\ &= \dfrac{4}{mn} \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (A)\ \dfrac{4}{mn}

7. Soal Matematika UM UGM 2019

Jika -\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} dan x memenuhi 5\cos^{2} x+3 \sin x\ \cos x \geq 1, maka himpunan semua y=tan\ x adalah...





Alternatif Pembahasan:

\begin{align} 5\cos^{2} x+3 \sin x\ \cos x & \geq 1 \\ 5\cos^{2} x+3 \sin x\ \cos x & \geq \sin^{2}x+\cos^{2}x \\ 5\cos^{2} x+3 \sin x\ \cos x -\sin^{2}x-\cos^{2}x& \geq 0 \\ 4\cos^{2} x+3 \sin x\ \cos x -\sin^{2}x & \geq 0 \\ \hline \text{dibagi}\ \cos^{2} x & \\ \hline \dfrac{4\cos^{2} x}{\cos^{2} x} +\dfrac{3 \sin x\ \cos x}{\cos^{2} x} -\dfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2} x} & \geq 0 \\ 4 +\dfrac{3 \sin x }{\cos x} -\dfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2} x} & \geq 0 \\ 4 + 3 tan\ x -tan^{2}x & \geq 0 \\ tan^{2}x - 3 tan\ x - 4 & \leq 0 \\ y^{2} - 3y - 4 & \leq 0 \\ \left ( y-4 \right )\left ( y+1 \right ) & \leq 0 \\ y=4\ \text{atau}\ y=-1 & \end{align}
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah -1 \leq y \leq 4.

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (A)\ \left \{ y \in \mathbb{R}: -1 \leq y \leq 4 \right \}

8. Soal Matematika UM UGM 2019

Jika suku banyak x^{4}+3x^{3}+Ax^{2} +5x+B dibagi x^{2}+2x+2 bersisa 7x+14, maka jika dibagi x^{2}+4x+4 akan bersisa...





Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal suku banyak di atas kita coba gunakan Metode Horner Kino.

Jika suku banyak  $x^{4}+3x^{3}+Ax^{2} +5x+B$  dibagi  $x^{2}+2x+2$  bersisa  $7x+14$, maka jika dibagi  $x^{2}+4x+4$  akan bersisa

Dari apa yang kita peroleh di atas, sisa yang kita peroleh \left(-2A+11 \right)x+\left( -2A+B+8 \right), sehingga dapat kita tuliskan:
\begin{align} \left(-2A+11 \right)x+\left( -2A+B+8 \right) & \equiv 7x+14 \\ \hline -2A+11=7 & \\ -2A = -4 & \\ A = 2 & \\ -2A+B+8=14 & \\ -4+B+8 = 14 & \\ B = 10 & \end{align}

Sekarang suku banyaknya adalah x^{4}+3x^{3}+2x^{2} +5x+10 dibagi x^{2}+4x+4 adalah:

Jika suku banyak  $x^{4}+3x^{3}+Ax^{2} +5x+B$  dibagi  $x^{2}+2x+2$  bersisa  $7x+14$, maka jika dibagi  $x^{2}+4x+4$  akan bersisa

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (B)\ x+2

9. Soal Matematika UM UGM 2019

Jika \left( {}^{2}\!\log x \right)^{2} - \left( {}^{2}\!\log y \right)^{2} =\ {}^{2}\!\log 256 dan {}^{2}\!\log x^{2} - {}^{2}\!\log y^{2}={}^{2}\!\log 16, maka nilai dari {}^{2}\!\log x^{6}y^{-2} adalah...





Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma di atas, kita coba sederhanakan penulisan dengan memisalkan {}^{2}\!\log x=a dan {}^{2}\!\log y=b. Sehingga dapat kita tuliskan:

\begin{align} {}^{2}\!\log x^{2} - {}^{2}\!\log y^{2} &=\ {}^{2}\!\log 16 \\ 2 \cdot {}^{2}\!\log x -2 \cdot {}^{2}\!\log y &=\ {}^{2}\!\log 2^4 \\ 2 \cdot a -2 \cdot b &= 4 \\ a - b &= 2 \\ \hline \left( {}^{2}\!\log x \right)^{2} - \left( {}^{2}\!\log y \right)^{2} &=\ {}^{2}\!\log 256 \\ a^{2} - b^{2} &=\ {}^{2}\!\log 2^{8} \\ \left( a+b \right)\left( a - b \right) &= 8 \\ \left( a+b \right)\left( 2 \right) &= 8 \\ a+b &= 4 \end{align}

Dari persamaan a+b = 4 dan a+b= 2 kita peroleh a=3 dan b=1, maka juga dapat kita peroleh:
\begin{align} {}^{2}\!\log x^{6}y^{-2} &=\ {}^{2}\!\log x^{6} + {}^{2}\!\log y^{-2} \\ &= 6 \cdot {}^{2}\!\log x + (-2) \cdot {}^{2}\!\log y \\ &= 6 \cdot (3) + (-2) \cdot (1) \\ &= 16 \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (C)\ 16

10. Soal Matematika UM UGM 2019

Diberikan kubus ABCD.EFGH dan P adalah titik tengah BC. Perbandingan luas segitiga APG dan luas segitiga DPG adalah...





Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan kubus ABCD.EFGH yang kita misalkan panjang rusuknya 12, serta \bigtriangleup DPG seperti berikut ini:

Diberikan kubus  $ABCD.EFGH$  dan  $P$  adalah titik tengah  $BC$. Perbandingan luas segitiga  $APG$  dan luas segitiga  $DPG$  adalah

Dari gambar di atas kita peroleh \bigtriangleup DPG merupakan segitiga sama kaki DP=GP dan DG=12\sqrt{2} (diagonal sisi).
\begin{align} GP^{2}\ &= CP^{2}+CG^{2} \\ &= 6^{2}+ 12^{2} \\ GP &= \sqrt{36+144}=\sqrt{180}=6\sqrt{5} \\ \hline t^{2}\ &= GP^{2} - \left(6\sqrt{2} \right)^{2} \\ &= 180 - 72 \\ t &= \sqrt{108}=6 \sqrt{3} \\ \hline \left[ DPG \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot DG \cdot t \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 12 \sqrt{2} \cdot 6\sqrt{3} \\ &= 36 \sqrt{6} \end{align}

Jika kita gambarkan kubus ABCD.EFGH yang kita misalkan panjang rusuknya 12, serta \bigtriangleup APG seperti berikut ini:

Diberikan kubus  $ABCD.EFGH$  dan  $P$  adalah titik tengah  $BC$. Perbandingan luas segitiga  $APG$  dan luas segitiga  $DPG$  adalah

Dari gambar di atas kita peroleh \bigtriangleup APG merupakan segitiga sama kaki AP=PG dan AG=12\sqrt{3} (diagonal ruang).
\begin{align} AP^{2}\ &= AB^{2}+BP^{2} \\ &= 6^{2}+ 12^{2} \\ GP &= \sqrt{36+144}=\sqrt{180}=6\sqrt{5} \\ \hline t^{2}\ &= GP^{2}- \left(6\sqrt{3} \right)^{2} \\ &= 180 - 108 \\ t &= \sqrt{72}=6 \sqrt{2} \\ \hline \left[ DPG \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot DG \cdot t \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{2} \\ &= 36 \sqrt{6} \end{align}

Perbandingan luas \bigtriangleup DPG dan \bigtriangleup APG adalah 36 \sqrt{6} : 36 \sqrt{6} = 1 : 1.

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (A)\ 1 : 1

11. Soal Matematika UM UGM 2019

Misalkan U_{n} menyatakan suku ke-n dari barisan aritmatika. Diketahui U_{1} \times U_{2}=10 dan U_{1} \times U_{3}=10. Jika suku-suku dari barisan aritmetika tersebut merupakan bilangan positif, U_{10}=\cdots...





Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang deret artimatika yang mungkin kita butuhkan adalah suku ke-n yaitu U_{n}=a+(n-1)b

\begin{align} U_{1} \times U_{2}\ &= 10 \\ a \times \left( a+b \right) \ &= 10 \\ a^{2} + ab &= 10 \\ a^{2} &= 10 - ab \\ \hline \end{align}
\begin{align} U_{1} \times U_{3}\ &= 16 \\ a \times \left( a+2b \right) \ &= 16 \\ a^{2} + 2ab &= 16 \\ 10 - ab + 2ab &= 16 \\ ab &= 6 \\ \hline \end{align}
\begin{align} a^{2} &= 10 - ab \\ a^{2} &= 10 - 6 \\ a^{2} &= 4 \\ a &= 2 \rightarrow b=3 \\ \hline \end{align}
\begin{align} U_{10}\ &= a+9b \\ &= 2+9(3) =29 \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (E)\ 29

12. Soal Matematika UM UGM 2019

Diketahui fungsi f dan g dengan f\left( x \right)=\left( 2x+1 \right)^{5} dan h =fog, jika g\left( 5 \right)=-1 dan g'\left( \frac{x+1}{x-1} \right)=2x+2 , maka h'\left( 5 \right)= \cdots





Alternatif Pembahasan:

Sedikit catatan tentang fungsi komposisi dan fungsi invers, yaitu \left( fog \right)(x)=f \left( g(x) \right), sehingga kita peroleh:
\begin{align} h &= fog \\ h \left( x \right) &= f \left( g(x) \right) \\ h' \left( x \right) &= f' \left( g(x) \right) \cdot g'\left( x \right) \\ h' \left( 5 \right) &= f' \left( g(5) \right) \cdot g'\left( 5 \right) \\ h' \left( 5 \right) &= f' \left( -1 \right) \cdot g'\left( 5 \right) \\ \end{align}


\begin{align} f\left( x \right)\ &= \left( 2x+1 \right)^{5} \\ f'\left( x \right)\ &=5 \left( 2x+5 \right)^{5-1} \cdot \left( 2 \right) \\ f'\left( -1 \right)\ &=5 \left( 2(-1)+1 \right)^{4} \cdot \left( 2 \right) \\ &=10 \cdot \left( -1 \right)^{4} = 10 \end{align}


\begin{align} g'\left( \frac{x+1}{x-1} \right) &= 2x+2 \\ \hline \dfrac{x+1}{x-1} &= 5 \\ x+1 &= 5x-5 \\ 1+5 &= 5x-x \\ x &= \frac{6}{4}= \frac{3}{2} \\ \hline g'\left( 5 \right) &= 2 \left( \dfrac{3}{2} \right)+2 \\ &= 3+2 =5 \end{align}


\begin{align} h' \left( 5 \right) &= f' \left( -1 \right) \cdot g'\left( 5 \right) \\ &= 10 \cdot 5 \\ &= 50 \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (C)\ 50

13. Soal Matematika UM UGM 2019

Jika p \gt 0 dan \lim\limits_{x \to p} \dfrac{ x^{3}+px^{2}+qx}{x-p}=12, maka nilai p-q adalah...





Alternatif Pembahasan:

Nilai \lim\limits_{x \to p} \dfrac{ x^{3}+px^{2}+qx}{x-p}=12 sehingga jika kita substitusi langsung nilai x=p maka nilai x^{3}+px^{2}+qx harus 0, karena jika x^{3}+px^{2}+qx tidak nol maka nilai limit adalah \infty.

Karena nilai x^{3}+px^{2}+qx untuk x=p adalah 0 maka dapat kita tuliskan:
\begin{align} (p)^{3}+p(p)^{2}+q(p) &= 0 \\ 2p^{3} + pq &= 0 \\ 2p^{2} + q &= 0 \\ q &= 2p^{2} \\ \end{align}

x-p adalah salah satu faktor x^{3}+px^{2}+qx sehingga dapat kita tuliskan;
\begin{align} x^{3}+px^{2}+qx &= (x-p)( x^{2}+bx+c) \\ x^{3}+px^{2}+qx &= x^{3}+bx^{2}+cx-px^{2}-bpx-pc \\ x^{3}+px^{2}+qx &= x^{3}+ \left( b-p \right)x^{2}+\left( c-bp \right)x-pc \\ \hline -pc=0 & \rightarrow c=0 \\ b-p=p & \rightarrow b=2p \\ \hline x^{3}+px^{2}+qx &= (x-p)( x^{2}+2px) \\ \end{align}


Dari hasil di atas kita peroleh:
\begin{align} \lim\limits_{x \to p} \dfrac{ x^{3}+px^{2}+qx }{x-p} &=12 \\ \lim\limits_{x \to p} \dfrac{ (x-p)( x^{2}+2px) }{x-p} &=12 \\ \lim\limits_{x \to p} \dfrac{ ( x^{2}+2px) }{1} &=12 \\ (p)^{2}+2p(p) &=12 \\ 3p^{2} &=12 \\ p^{2} &= 4 \rightarrow p=2 \\ \hline q &= -2p^{2} \rightarrow q=-8 \end{align}
Nilai p-q adalah 2-(-8)=10

Catatan!
Jika sudah belajar turunan fungsi, maka dapat digunakan Aturan L'Hospital yang mungkin dapat menghemat beberapa langkah.

\therefore Pilihan yang sesuai (B)\ 10

14. Soal Matematika UM UGM 2019

Jika \sin x + \sin 2x+ \sin 3x=0 untuk \frac{\pi}{2} \lt x \lt \pi, maka \tan 2x =\cdots





Alternatif Pembahasan:

\begin{align} \sin x + \sin 2x+ \sin 3x & =0 \\ \sin x + \sin 3x+ \sin 2x & =0 \\ 2\ \sin \left(\frac{x+3x}{2} \right)\ \cos \left(\frac{x-3x}{2} \right) + \sin 2x & =0 \\ 2\ \sin 2x\ \cos \left( -x \right) + \sin 2x & =0 \\ 2\ \sin 2x\ \cos x + \sin 2x & =0 \\ \sin 2x \left( 2\cos x + 1 \right) & =0 \\ \sin 2x=0\ \text{atau}\ \cos x + 1=0 & \\ \hline \end{align}
\begin{align} \sin 2x &= 0 \\ \sin 2x &=\sin 0 \\ x &= 0\ \text{(TM)} \\ \hline 2\cos x + 1 &= 0 \\ 2\cos x &= -1\\ \cos x &= -\dfrac{1}{2} \\ \cos x &= \cos 120 \\ x &= 120 \\ \hline \tan 2x & = \tan 240 \\ & = \sqrt{3} \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (E)\ \sqrt{3}

15. Soal Matematika UM UGM 2019

Diketahui x^{2}+2xy+4x = -3 dan 9y^{2}+4xy+12y = -1. Nilai dari x+3y adalah...





Alternatif Pembahasan:

\begin{align} x^{2}+2xy+4x & = -3 \\ 9y^{2}+4xy+12y & = -1\ (+) \\ \hline x^{2}+9y^{2}+6xy+4x+12y & = -4 \\ \left(x+3y \right)^{2}+ 4\left(x+3y \right) & = -4 \\ \hline \text{misal:}\ x+3y=p & \\ \hline p^{2}+ 4p & = -4 \\ p^{2}+ 4p + 4 & = 0 \\ \left( p+2 \right)\left( p+2 \right) & =0 \\ p+2=0 & \\ p & = -2 \\ x+3y &=-2 \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (E)\ -2


Catatan Soal dan Pembahasan Kemampuan Matematika IPA UM UGM Tahun 2019 Kode 923-924 di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Untuk siapapun yang sedang galau.. Jangan terus bersedih.. Percayalah Badai pasti berlalu.. Kegagalan dalam berusaha adalah tiket bagi kesuksesan.
Sepekat apapun malam ini.. percayalah esok fajar kan bersinar kembali.
Dapatkan Buku Wangsit Om Jero UTBK SNBT 2025 Original dengan harga terbaik di Shopee Dapatkan buku UTBK 2025 Buku Wangsit Om Jero UTBK SNBT 2025 dengan harga terbaik di Shopee Cek di shopee Harga mulai Rp64.999 - Rp175.999 https://shopee.co.id/7pfbPLSHdx
close