Skip to main content

Soal dan Pembahasan Kemampuan Matematika IPA UM UGM Tahun 2019 Kode 923-924

Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan TKA Matematika IPA Ujian Mandiri UGM Tahun 2019 Kode 923 atau Kode 924.

Soal ujian mandiri Universitas Gadjah Mada (UGM) ini adalah soal mata ujian kelompok Tes Kemampuan Saintek yang terdiri dari $15$ soal Matematika IPA, $20$ soal Biologi, $20$ soal Fisika, dan $20$ soal Kimia.

Soal yang kita diskusikan berikut ini adalah $15$ soal dari mata ujian Matematika IPA. Untuk melihat soal lengkapnya silahkan download langsung di Kumpulan SOAL UM UGM.

1. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 923/924

Sebuah kotak memuat $6$ bola merah dan $4$ bola hitam. Tiga bola diambil satu per satu tanpa pengembalian. Jika bola ketiga terambil merah, maka banyaknya kemungkinannya adalah...

$\begin{align} (A)\ & 234 \\ (B)\ & 243 \\ (C)\ & 324 \\ (D)\ & 342 \\ (E)\ & 432 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

pengambilan tiga bola satu persatu dalam kantong tanpa pengembalian dan pada pengambilan ketiga yang terambil adalah bola merah, dapat terjadi dari beberapa kemungkinan. Yaitu:

  • Pengambilan pertama merah, kedua merah dan ketiga merah,
    $\begin{array}{c|c|cc} \text{merah} & \text{merah} & \text{merah} \\ \hline (6) & (5) & (4) \end{array} $
    Banyak kemungkinan adalah $6 \cdot 5 \cdot 4 =120$
  • Pengambilan pertama merah, kedua hitam dan ketiga merah,
    $\begin{array}{c|c|cc} \text{merah} & \text{hitam} & \text{merah} \\ \hline (6) & (4) & (5) \end{array} $
    Banyak kemungkinan adalah $6 \cdot 4 \cdot 5 =120$
  • Pengambilan pertama hitam, kedua merah dan ketiga merah,
    $\begin{array}{c|c|cc} \text{hitam} & \text{merah} & \text{merah} \\ \hline (4) & (6) & (5) \end{array} $
    Banyak kemungkinan adalah $4 \cdot 6 \cdot 5 =120$
  • Pengambilan pertama hitam, kedua hitam dan ketiga merah,
    $\begin{array}{c|c|cc} \text{hitam} & \text{hitam} & \text{merah} \\ \hline (4) & (3) & (6) \end{array} $
    Banyak kemungkinan adalah $4 \cdot 3 \cdot 6 =72$
  • Banyak kemungkinan keseluruhan adalah $120+120+120+72=432$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 432$

2. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 923/924

Diketahui penyelesaian dari pertidaksamaan $\dfrac{3^{x+3}+3^{x}-36}{9^{x}-9} \leq 3 $ adalah $a \leq x \lt b$ atau $x \geq c$. Nilai $a+2b+c=\cdots$...

$\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;

$\begin{align} \dfrac{3^{x+3}+3^{x}-36}{9^{x}-9} & \leq 3 \\ \dfrac{3^{x} \cdot 3^{3}+3^{x}-36}{3^{2x}-3^{2}} -3 & \leq 0 \\ \hline \text{misal}\ a=3^{x} \rightarrow a^{2}=3^{2x} & \\ \hline \dfrac{a \cdot 27+a-36}{a^{2}-9} -3 & \leq 0 \\ \dfrac{28a-36}{a^{2}-9} - \dfrac{3 \cdot \left( a^{2}- 9 \right) }{a^{2}-9} & \leq 0 \\ \dfrac{28a-36-3a^{2}+27}{a^{2}-9} & \leq 0 \\ \dfrac{-3a^{2}+28a-9}{a^{2}-9} & \leq 0 \\ \dfrac{3a^{2}-28a+9}{a^{2}-9} & \geq 0 \\ \dfrac{\left( 3a-1 \right) \left( a-9 \right)}{\left( a-3 \right) \left( a+3 \right)} & \geq 0 \end{align}$

Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $\left( a-3 \right) \left( a+3 \right) \neq 0$ maka $a \neq 3$ dan $a \neq -3$.
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

  • Pembuat nol pembilang: $3a-1=0$ maka $a=\frac{1}{3}$ atau $a-9=0$ maka $a=9$
  • Pembuat nol penyebut: $a-3=0$ maka $a=3$ atau $a+3=0$ maka $a=-3$
Pembuat nol kita gambarkan pada garis bilangan, lalu kita lakukan uji nilai $a$ (*coba perhatikan gambar)
Soal dan Pembahasan Kemampuan Matematika IPA UM UGM Tahun 2019 Kode 923-924
*cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian:
perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap

Dari gambar di atas himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah:

  • Untuk $a \lt -3$ sehingga $3^{x} \lt -3$, tidak ada nilai $x$ yang memenuhi.
  • Untuk $\frac{1}{3} \leq a \lt 3$ sehingga $3^{-1} \leq 3^{x} \lt 3^{1}$, nilai $x$ yang memenuhi $-1 \leq x \lt 1$. Bentuk ini ekuivalen dengan $a \leq x \lt b$ sehingga $a=-1$ dan $b=1$.
  • Untuk $a \geq 9$ sehingga $3^{x} \geq 3^{2}$, nilai $x$ yang memenuhi $ x \geq 2$. Bentuk ini ekuivalen dengan $x \geq c$ sehingga $c=2$.
  • Nilai $a+2b+c$ adalah $-1+2(1)+2=3$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 3$

3. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 923/924

Jika $a \lt x \lt b$ adalah solusi pertidaksamaan $1+2^{x}+2^{2x}+2^{3x}+\cdots \gt 2$, dengan $x \neq 1$, maka $a+b=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & -3 \\ (D)\ & -4 \\ (E)\ & -5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan dengan meminjam sedikit catatan deret geometri tak hingga yaitu $S_{\infty }=\dfrac{a}{1-r}$;
$\begin{align} 1+2^{x}+2^{2x}+2^{3x}+\cdots & \gt 2 \\ \hline a=1,\ r=2^{x} & \\ S_{\infty }=\dfrac{a}{1-r} & \\ S_{\infty }=\dfrac{1}{1-2^{x}} & \\ \hline \dfrac{1}{1-2^{x}} & \gt 2 \\ \dfrac{1}{1-2^{x}} -2 & \gt 0 \\ \dfrac{1}{1-2^{x}} - \dfrac{2 \left( 1-2^{x} \right)}{1-2^{x}} & \gt 0 \\ \dfrac{-1+2^{x+1}}{1-2^{x}} & \gt 0 \end{align}$
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

  • Pembuat nol pembilang: $-1+2^{x+1}=0$ maka $x=-1$
  • Pembuat nol penyebut: $1-2^{x}=0$ maka $x=0$
Pembuat nol kita gambarkan pada garis bilangan, lalu kita lakukan uji nilai $x$ (*coba perhatikan gambar)
Soal dan Pembahasan Kemampuan Matematika IPA UM UGM Tahun 2019 Kode 923-924

Dari gambar di atas himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-1 \lt x \lt 0$. Bentuk ini ekuivalen dengan $a \lt x \lt b$ sehingga $a=-1$ dan $b=0$. Nilai $a+ b=-1+0=-1$.


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -1$

4. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 923/924

Diberikan lingkaran pada bidang koordinat dengan titik pusat $\left(a,b \right)$ dan memotong sumbu-$X$ di titik $\left( 3,0 \right)$ dan $\left( 9,0 \right)$. Jika garis yang melalui titik $\left( 0,3 \right)$ menyinggung lingkaran di titik $\left( 3,0 \right)$, maka nilai dari $a^{2}-b^{2}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 9 \\ (B)\ & 18 \\ (C)\ & 27 \\ (D)\ & 36 \\ (E)\ & 45 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Jika kita gambarkan lingkaran dan garis yang disebutkan oleh soal, seperti berikut ini:

Diberikan lingkaran pada bidang koordinat dengan titik pusat $\left(a,b  \right)$ dan memotong sumbu-$X$ di titik $\left( 3,0  \right)$ dan $\left( 9,0  \right)$. Jika garis yang melalui titik $\left( 0,3  \right)$ menyinggung lingkaran di titik $\left( 3,0  \right)$, maka nilai dari $a^{2}-b^{2}$ adalah

Persamaan garis yang melalui titik $A\left( 0,3 \right)$ dan $B\left( 3,0 \right)$ adalah garis $AB$ yaitu:
\begin{align} \dfrac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} &= \dfrac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} \\ \dfrac{x-0}{3-0} &= \dfrac{y-3}{0-3} \\ -3x &= 3y-9 \\ -3x &= 3y-9 \\ y &= 3-x \end{align}


Garis $AB$ menyinggung lingkaran dan $BP$ merupakan jari-jari lingkaran sehingga $AB \perp BP$ dan kita peroleh:
\begin{align} m_{AB} \cdot m_{BP} &= -1 \\ -1 \cdot \dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}&= -1 \\ \dfrac{b-0}{a-3}&= 1 \\ b &= a-3 \end{align}

Jari-jari lingkaran $BP$ dan $PC$, sehingga berlaku:
\begin{align} \left| BP \right| &= \left| PC \right| \\ \sqrt{ \left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} &= \sqrt{ \left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} \\ \left( a-3 \right)^{2}+\left( b-0 \right)^{2} &= \left( a- 9 \right)^{2}+\left( b- 0 \right)^{2} \\ \left( a-3 \right)^{2} &= \left( a- 9 \right)^{2} \\ a^{2}-6a+9 &= a^{2}-18a+81 \\ 12a &= 72 \\ a &= 6 \rightarrow b= 3 \\ \hline a^{2}-b^{2} &= 36-9=27 \end{align}


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 27$

5. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 923/924

Jika $\left( x-2 \right)^{2}$ membagi $x^{4}- ax^{3}+bx^{2}x^{2}+4x-4$, maka $ab=\cdots$

$\begin{align}
(A)\ & 9 \\ (B)\ & 12 \\ (C)\ & 16 \\ (D)\ & 20 \\ (E)\ & 25 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal suku banyak di atas kita coba gunakan Pemfaktoran Langsung dari suku banyak.

$ \begin{align} & x^{4}- ax^{3}+bx^{2} +4x-4 \\ & = \left( x-2 \right)^{2}\left( x^{2}+px+q \right) \\ & = \left( x^{2}-4x+4 \right) \left( x^{2}+px+q \right) \\ & = x^{4}+px^{3}+qx^{2}-4x^{3}-4x^{2}-4qx+4x^{2} +4px+4q \\ & = x^{4}+ \left( p-4 \right)x^{3}+\left( 4p+q+4 \right)x^{2}+\left( 4p-4q \right)x +4q \end{align} $

Dari kesamaan suku banyak di atas kita peroleh:

  • $4q=-4$ maka $q=-1$
  • $4p-4q=4$ atau $4p+4=4$ maka $p=0$
  • $4p+q+4=b$ maka $b=4(0)+(-1)+4=3$
  • $p-4=-a$ maka $a=4-0=4$
  • Nilai $ab=(4)(3)=12$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 12$

6. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 923/924

Diberikan empat matriks $A,B,C,D$ berukuran $2 \times 2$ dengan $A + CB^{T}=CD$. Jika $A$ mempunyai invers, $det \left( D^{T}-B \right)=m$ dan $det \left( C \right)=n$, maka $det \left( 2A^{-1} \right)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{4}{mn} \\ (B)\ & \dfrac{mn}{4} \\ (C)\ & \dfrac{4m}{n} \\ (D)\ & 4mn \\ (E)\ & \dfrac{m+n}{4} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Sedikit catatan, terkait sifat determinan matriks:

  • $AB=C\ \rightarrow \left| A \right| \left| B \right|= \left| C \right| $
  • $\left| A^{T} \right| = \left| A \right| $
  • $\left| A^{-1} \right| = \dfrac{1}{\left| A \right|} $
  • $\left( A \pm B \right)^{T} = A^{T} \pm B^{T} $
  • $ |k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A|$

Dari $det \left( D^{T}-B \right)=m$ dan $det \left( C \right)=n$ maka dapat kita peroleh:

$\begin{align} A + CB^{T} &= CD \\ A &= CD - CB^{T} \\ A &= CD - CB^{T} \\ \left| A \right| &= \left| C \left( D - B^{T} \right) \right| \\ \left| A \right| &= \left| C \right| \cdot \left| \left( D - B^{T} \right) \right| \\ \left| A \right| &= n \cdot \left| \left( D^{T} - B \right)^{T} \right| \\ \left| A \right| &= n \cdot m \\ \hline \left| 2A^{-1} \right| &= 2^{2} \cdot \left| A^{-1} \right| \\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{\left| A \right|} \\ &= \dfrac{4}{mn} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{4}{mn}$

7. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 923/924

Jika $-\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}$ dan $x$ memenuhi $5cos^{2} x+3 sin\ x\ cos\ x \geq 1$, maka himpunan semua $y=tan\ x$ adalah...

$\begin{align}
(A)\ & \left \{ y \in \mathbb{R}: -1 \leq y \leq 4 \right \} \\ (B)\ & \left \{ y \in \mathbb{R}: -4 \leq y \leq 1 \right \}\\ (C)\ & \left \{ y \in \mathbb{R}: -4 \leq y \leq -1 \right \} \\ (D)\ & \left \{ y \in \mathbb{R}: 1 \leq y \leq 4 \right \} \\ (E)\ & \mathbb{R}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} 5cos^{2} x+3 sin\ x\ cos\ x & \geq 1 \\ 5cos^{2} x+3 sin\ x\ cos\ x & \geq sin^{2}x+cos^{2}x \\ 5cos^{2} x+3 sin\ x\ cos\ x -sin^{2}x-cos^{2}x& \geq 0 \\ 4cos^{2} x+3 sin\ x\ cos\ x -sin^{2}x & \geq 0 \\ \hline \text{dibagi}\ cos^{2} x & \\ \hline \dfrac{4cos^{2} x}{cos^{2} x} +\dfrac{3 sin\ x\ cos\ x}{cos^{2} x} -\dfrac{sin^{2}x}{cos^{2} x} & \geq 0 \\ 4 +\dfrac{3 sin\ x }{cos\ x} -\dfrac{sin^{2}x}{cos^{2} x} & \geq 0 \\ 4 + 3 tan\ x -tan^{2}x & \geq 0 \\ tan^{2}x - 3 tan\ x - 4 & \leq 0 \\ y^{2} - 3y - 4 & \leq 0 \\ \left ( y-4 \right )\left ( y+1 \right ) & \leq 0 \\ y=4\ \text{atau}\ y=-1 & \end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $-1 \leq y \leq 4$.


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ y \in \mathbb{R}: -1 \leq y \leq 4 \right \}$

8. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 923/924

Jika suku banyak $x^{4}+3x^{3}+Ax^{2} +5x+B$ dibagi $x^{2}+2x+2$ bersisa $7x+14$, maka jika dibagi $x^{2}+4x+4$ akan bersisa...

$\begin{align}
(A)\ & x+1 \\ (B)\ & x+2 \\ (C)\ & x+3 \\ (D)\ & 2x+1 \\ (E)\ & 2x+4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal suku banyak di atas kita coba gunakan Metode Horner Kino.

Jika suku banyak $x^{4}+3x^{3}+Ax^{2} +5x+B$ dibagi $x^{2}+2x+2$ bersisa $7x+14$, maka jika dibagi $x^{2}+4x+4$ akan bersisa

Dari apa yang kita peroleh di atas, sisa yang kita peroleh $\left(-2A+11 \right)x+\left( -2A+B+8 \right)$, sehingga dapat kita tuliskan: $ \begin{align} \left(-2A+11 \right)x+\left( -2A+B+8 \right) & \equiv 7x+14 \\ \hline -2A+11=7 & \\ -2A = -4 & \\ A = 2 & \\ -2A+B+8=14 & \\ -4+B+8 = 14 & \\ B = 10 & \end{align} $

Sekarang suku banyaknya adalah $x^{4}+3x^{3}+2x^{2} +5x+10$ dibagi $x^{2}+4x+4$ adalah:

Jika suku banyak $x^{4}+3x^{3}+Ax^{2} +5x+B$ dibagi $x^{2}+2x+2$ bersisa $7x+14$, maka jika dibagi $x^{2}+4x+4$ akan bersisa

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x+2$

9. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 923/924

Jika $\left( ^{2}log\ x \right)^{2} - \left( ^{2}log\ y \right)^{2} =\ ^{2}log\ 256$ dan $^{2}log\ x^{2} - ^{2}log\ y^{2}=^{2}log\ 16$., maka nilai dari $^{2}log\ x^{6}y^{-2}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 24 \\ (B)\ & 20 \\ (C)\ & 16 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma di atas, kita coba sederhanakan penulisan dengan memisalkan $^{2}log\ x=a$ dan $^{2}log\ y=b$. Sehingga dapat kita tuliskan:

$\begin{align} ^{2}log\ x^{2} - ^{2}log\ y^{2} &=\ ^{2}log\ 16 \\ 2 \cdot ^{2}log\ x -2 \cdot ^{2}log\ y &=\ ^{2}log\ 2^4 \\ 2 \cdot a -2 \cdot b &= 4 \\ a - b &= 2 \\ \hline \left( ^{2}log\ x \right)^{2} - \left( ^{2}log\ y \right)^{2} &=\ ^{2}log\ 256 \\ a^{2} - b^{2} &=\ ^{2}log\ 2^{8} \\ \left( a+b \right)\left( a - b \right) &= 8 \\ \left( a+b \right)\left( 2 \right) &= 8 \\ a+b &= 4 \end{align}$

Dari persamaan $a+b = 4$ dan $a+b= 2$ kita peroleh $a=3$ dan $b=1$, maka juga dapat kita peroleh:
$\begin{align} ^{2}log\ x^{6}y^{-2} &=\ ^{2}log\ x^{6} + ^{2}log\ y^{-2} \\ &= 6 \cdot ^{2}log\ x + (-2) \cdot ^{2}log\ y \\ &= 6 \cdot (3) + (-2) \cdot (1) \\ &= 16 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 16$

10. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 923/924

Diberikan kubus $ABCD.EFGH$ dan $P$ adalah titik tengah $BC$. Perbandingan luas segitiga $APG$ dan luas segitiga $DPG$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 1 : 1 \\ (B)\ & \sqrt{3} : \sqrt{2} \\ (C)\ & \sqrt{2} : 1 \\ (D)\ & 3 : 2 \\ (E)\ & \sqrt{3} : 1 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ yang kita misalkan panjang rusuknya $12$, serta $\bigtriangleup DPG$ seperti berikut ini:

Diberikan kubus $ABCD.EFGH$ dan $P$ adalah titik tengah $BC$. Perbandingan luas segitiga $APG$ dan luas segitiga $DPG$ adalah

Dari gambar di atas kita peroleh $\bigtriangleup DPG$ merupakan segitiga sama kaki $DP=GP$ dan $DG=12\sqrt{2}$ (diagonal sisi).
$\begin{align} GP^{2}\ &= CP^{2}+CG^{2} \\ &= 6^{2}+ 12^{2} \\ GP &= \sqrt{36+144}=\sqrt{180}=6\sqrt{5} \\ \hline t^{2}\ &= GP^{2} - \left(6\sqrt{2} \right)^{2} \\ &= 180 - 72 \\ t &= \sqrt{108}=6 \sqrt{3} \\ \hline \left[ DPG \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot DG \cdot t \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 12 \sqrt{2} \cdot 6\sqrt{3} \\ &= 36 \sqrt{6} \end{align}$


Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ yang kita misalkan panjang rusuknya $12$, serta $\bigtriangleup APG$ seperti berikut ini:

Diberikan kubus $ABCD.EFGH$ dan $P$ adalah titik tengah $BC$. Perbandingan luas segitiga $APG$ dan luas segitiga $DPG$ adalah

Dari gambar di atas kita peroleh $\bigtriangleup APG$ merupakan segitiga sama kaki $AP=PG$ dan $AG=12\sqrt{3}$ (diagonal ruang).
$\begin{align} AP^{2}\ &= AB^{2}+BP^{2} \\ &= 6^{2}+ 12^{2} \\ GP &= \sqrt{36+144}=\sqrt{180}=6\sqrt{5} \\ \hline t^{2}\ &= GP^{2}- \left(6\sqrt{3} \right)^{2} \\ &= 180 - 108 \\ t &= \sqrt{72}=6 \sqrt{2} \\ \hline \left[ DPG \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot DG \cdot t \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{2} \\ &= 36 \sqrt{6} \end{align}$


Perbandingan luas $\bigtriangleup DPG$ dan $\bigtriangleup APG$ adalah $36 \sqrt{6} : 36 \sqrt{6} = 1 : 1$.


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1 : 1$

11. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 923/924

Misalkan $U_{n}$ menyatakan suku ke-$n$ dari barisan aritmatika. Diketahui $U_{1} \times U_{2}=10$ dan $U_{1} \times U_{3}=10$. Jika suku-suku dari barisan aritmetika tersebut merupakan bilangan positif, $U_{10}=\cdots$...

$\begin{align} (A)\ & 21 \\ (B)\ & 23 \\ (C)\ & 25 \\ (D)\ & 27 \\ (E)\ & 29 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Catatan calon guru tentang deret artimatika yang mungkin kita butuhkan adalah suku ke-$n$ yaitu $U_{n}=a+(n-1)b$

$\begin{align} U_{1} \times U_{2}\ &= 10 \\ a \times \left( a+b \right) \ &= 10 \\ a^{2} + ab &= 10 \\ a^{2} &= 10 - ab \\ \hline \end{align}$
$\begin{align} U_{1} \times U_{3}\ &= 16 \\ a \times \left( a+2b \right) \ &= 16 \\ a^{2} + 2ab &= 16 \\ 10 - ab + 2ab &= 16 \\ ab &= 6 \\ \hline \end{align}$
$\begin{align} a^{2} &= 10 - ab \\ a^{2} &= 10 - 6 \\ a^{2} &= 4 \\ a &= 2 \rightarrow b=3 \\ \hline \end{align}$
$\begin{align} U_{10}\ &= a+9b \\ &= 2+9(3) =29 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 29$

12. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 923/924

Diketahui fungsi $f$ dan $g$ dengan $f\left( x \right)=\left( 2x+1 \right)^{5}$ dan $h =fog$, jika $g\left( 5 \right)=-1 $ dan $g'\left( \frac{x+1}{x-1} \right)=2x+2 $, maka $h'\left( 5 \right)= \cdots$

$\begin{align} (A)\ & 10 \\ (B)\ & 25 \\ (C)\ & 50 \\ (D)\ & 60 \\ (E)\ & 120 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Sedikit catatan tentang fungsi komposisi dan fungsi invers, yaitu $\left( fog \right)(x)=f \left( g(x) \right)$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align} h &= fog \\ h \left( x \right) &= f \left( g(x) \right) \\ h' \left( x \right) &= f' \left( g(x) \right) \cdot g'\left( x \right) \\ h' \left( 5 \right) &= f' \left( g(5) \right) \cdot g'\left( 5 \right) \\ h' \left( 5 \right) &= f' \left( -1 \right) \cdot g'\left( 5 \right) \\ \end{align}$


$\begin{align} f\left( x \right)\ &= \left( 2x+1 \right)^{5} \\ f'\left( x \right)\ &=5 \left( 2x+5 \right)^{5-1} \cdot \left( 2 \right) \\ f'\left( -1 \right)\ &=5 \left( 2(-1)+1 \right)^{4} \cdot \left( 2 \right) \\ &=10 \cdot \left( -1 \right)^{4} = 10 \end{align}$


$\begin{align} g'\left( \frac{x+1}{x-1} \right) &= 2x+2 \\ \hline \dfrac{x+1}{x-1} &= 5 \\ x+1 &= 5x-5 \\ 1+5 &= 5x-x \\ x &= \frac{6}{4}= \frac{3}{2} \\ \hline g'\left( 5 \right) &= 2 \left( \dfrac{3}{2} \right)+2 \\ &= 3+2 =5 \end{align}$


$\begin{align} h' \left( 5 \right) &= f' \left( -1 \right) \cdot g'\left( 5 \right) \\ &= 10 \cdot 5 \\ &= 50 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 50$

13. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 923/924

Jika $p \gt 0$ dan $\lim\limits_{x \to p} \dfrac{ x^{3}+px^{2}+qx}{x-p}=12$, maka nilai $p-q$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 14 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 8 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 3 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Nilai $\lim\limits_{x \to p} \dfrac{ x^{3}+px^{2}+qx}{x-p}=12$ sehingga jika kita substitusi langsung nilai $x=p$ maka nilai $x^{3}+px^{2}+qx$ harus $0$, karena jika $x^{3}+px^{2}+qx$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.


Karena nilai $x^{3}+px^{2}+qx$ untuk $x=p$ adalah $0$ maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
(p)^{3}+p(p)^{2}+q(p) &= 0 \\ 2p^{3} + pq &= 0 \\ 2p^{2} + q &= 0 \\ q &= 2p^{2} \\ \end{align}$


$x-p$ adalah salah satu faktor $x^{3}+px^{2}+qx$ sehingga dapat kita tuliskan;
$\begin{align}
x^{3}+px^{2}+qx &= (x-p)( x^{2}+bx+c) \\ x^{3}+px^{2}+qx &= x^{3}+bx^{2}+cx-px^{2}-bpx-pc \\ x^{3}+px^{2}+qx &= x^{3}+ \left( b-p \right)x^{2}+\left( c-bp \right)x-pc \\ \hline -pc=0 & \rightarrow c=0 \\ b-p=p & \rightarrow b=2p \\ \hline x^{3}+px^{2}+qx &= (x-p)( x^{2}+2px) \\ \end{align}$


Dari hasil di atas kita peroleh:
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to p} \dfrac{ x^{3}+px^{2}+qx }{x-p} &=12 \\ \lim\limits_{x \to p} \dfrac{ (x-p)( x^{2}+2px) }{x-p} &=12 \\ \lim\limits_{x \to p} \dfrac{ ( x^{2}+2px) }{1} &=12 \\ (p)^{2}+2p(p) &=12 \\ 3p^{2} &=12 \\ p^{2} &= 4 \rightarrow p=2 \\ \hline q &= -2p^{2} \rightarrow q=-8 \end{align}$
Nilai $p-q$ adalah $2-(-8)=10$

Jika sudah belajar turunan fungsi, maka dapat digunakan Aturan L'Hospital yang mungkin dapat menghemat beberapa langkah.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 10$

14. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 923/924

Jika $sin\ x + sin\ 2x+ sin\ 3x=0$ untuk $\frac{\pi}{2} \lt x \lt \pi$, maka $tan\ 2x =\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -\sqrt{3} \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & -\dfrac{1}{3} \sqrt{3} \\ (D)\ & \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\ (E)\ & \sqrt{3} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} sin\ x + sin\ 2x+ sin\ 3x & =0 \\ sin\ x + sin\ 3x+ sin\ 2x & =0 \\ 2\ sin\ \left(\frac{x+3x}{2} \right)\ cos\ \left(\frac{x-3x}{2} \right) + sin\ 2x & =0 \\ 2\ sin\ 2x\ cos\ \left( -x \right) + sin\ 2x & =0 \\ 2\ sin\ 2x\ cos\ x + sin\ 2x & =0 \\ sin\ 2x \left( 2cos\ x + 1 \right) & =0 \\ sin\ 2x=0\ \text{atau}\ cos\ x + 1=0 & \\ \hline \end{align}$
$\begin{align} sin\ 2x &= 0 \\ sin\ 2x &=sin\ 0 \\ x &= 0\ \text{(TM)} \\ \hline 2cos\ x + 1 &= 0 \\ 2cos\ x &= -1\\ cos\ x &= -\dfrac{1}{2} \\ cos\ x &= cos\ 120 \\ x &= 120 \\ \hline tan\ 2x & = tan\ 240 \\ & = \sqrt{3} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \sqrt{3}$

15. Soal Matematika IPA UM UGM 2019 Kode 923/924

Diketahui $x^{2}+2xy+4x = -3$ dan $9y^{2}+4xy+12y = -1$. Nilai dari $x+3y$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -1 \\ (E)\ & -2 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} x^{2}+2xy+4x & = -3 \\ 9y^{2}+4xy+12y & = -1\ (+) \\ \hline x^{2}+9y^{2}+6xy+4x+12y & = -4 \\ \left(x+3y \right)^{2}+ 4\left(x+3y \right) & = -4 \\ \hline \text{misal:}\ x+3y=p & \\ \hline p^{2}+ 4p & = -4 \\ p^{2}+ 4p + 4 & = 0 \\ \left( p+2 \right)\left( p+2 \right) & =0 \\ p+2=0 & \\ p & = -2 \\ x+3y &=-2 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -2$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras


Pembahasan soal Kemampuan Matematika IPA UM UGM Tahun 2019 Kode 923-924 di atas beberapa adalah coretan kreatif siswa pada
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Soal dan Pembahasan Kemampuan Matematika IPA UM UGM Tahun 2019 Kode 923-924 silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Soal dan Pembahasan Kemampuan Matematika IPA UM UGM Tahun 2019 Kode 923-924" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih 🙏 support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar