Soal dan Pembahasan Matematika IPA UM UGM Tahun 2019 Kode 923-924

pengambilan tiga bola satu persatu dalam kantong tanpa pengembalian dan pada pengambilan ketiga yang terambil adalah bola merah, dapat terjadi dari beberapa kemungkinan. Yaitu:

• Pengambilan pertama merah, kedua merah dan ketiga merah,
  $\begin{array}{c|c|cc} \text{merah} & \text{merah} & \text{merah} \\ \hline (6) & (5) & (4) \end{array} $
  Banyak kemungkinan adalah $6 \cdot 5 \cdot 4 =120$
• Pengambilan pertama merah, kedua hitam dan ketiga merah,
  $\begin{array}{c|c|cc} \text{merah} & \text{hitam} & \text{merah} \\ \hline (6) & (4) & (5) \end{array} $
  Banyak kemungkinan adalah $6 \cdot 4 \cdot 5 =120$
• Pengambilan pertama hitam, kedua merah dan ketiga merah,
  $\begin{array}{c|c|cc} \text{hitam} & \text{merah} & \text{merah} \\ \hline (4) & (6) & (5) \end{array} $
  Banyak kemungkinan adalah $4 \cdot 6 \cdot 5 =120$
• Pengambilan pertama hitam, kedua hitam dan ketiga merah,
  $\begin{array}{c|c|cc} \text{hitam} & \text{hitam} & \text{merah} \\ \hline (4) & (3) & (6) \end{array} $
  Banyak kemungkinan adalah $4 \cdot 3 \cdot 6 =72$
• Banyak kemungkinan keseluruhan adalah $120+120+120+72=432$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 432$

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;

$\begin{align} \dfrac{3^{x+3}+3^{x}-36}{9^{x}-9} & \leq 3 \\ \dfrac{3^{x} \cdot 3^{3}+3^{x}-36}{3^{2x}-3^{2}} -3 & \leq 0 \\ \hline \text{misal}\ a=3^{x} \rightarrow a^{2}=3^{2x} & \\ \hline \dfrac{a \cdot 27+a-36}{a^{2}-9} -3 & \leq 0 \\ \dfrac{28a-36}{a^{2}-9} - \dfrac{3 \cdot \left( a^{2}- 9 \right) }{a^{2}-9} & \leq 0 \\ \dfrac{28a-36-3a^{2}+27}{a^{2}-9} & \leq 0 \\ \dfrac{-3a^{2}+28a-9}{a^{2}-9} & \leq 0 \\ \dfrac{3a^{2}-28a+9}{a^{2}-9} & \geq 0 \\ \dfrac{\left( 3a-1 \right) \left( a-9 \right)}{\left( a-3 \right) \left( a+3 \right)} & \geq 0 \end{align}$

Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $\left( a-3 \right) \left( a+3 \right) \neq 0$ maka $a \neq 3$ dan $a \neq -3$.
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang: $3a-1=0$ maka $a=\frac{1}{3}$ atau $a-9=0$ maka $a=9$
• Pembuat nol penyebut: $a-3=0$ maka $a=3$ atau $a+3=0$ maka $a=-3$

Cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian:
Perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap

Dari gambar di atas himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah:

• Untuk $a \lt -3$ sehingga $3^{x} \lt -3$, tidak ada nilai $x$ yang memenuhi.
• Untuk $\frac{1}{3} \leq a \lt 3$ sehingga $3^{-1} \leq 3^{x} \lt 3^{1}$, nilai $x$ yang memenuhi $-1 \leq x \lt 1$. Bentuk ini ekuivalen dengan $a \leq x \lt b$ sehingga $a=-1$ dan $b=1$.
• Untuk $a \geq 9$ sehingga $3^{x} \geq 3^{2}$, nilai $x$ yang memenuhi $ x \geq 2$. Bentuk ini ekuivalen dengan $x \geq c$ sehingga $c=2$.
• Nilai $a+2b+c$ adalah $-1+2(1)+2=3$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 3$

Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan dengan meminjam sedikit catatan deret geometri tak hingga yaitu $S_{\infty }=\dfrac{a}{1-r}$;
$\begin{align} 1+2^{x}+2^{2x}+2^{3x}+\cdots & \gt 2 \\ \hline a=1,\ r=2^{x} & \\ S_{\infty }=\dfrac{a}{1-r} & \\ S_{\infty }=\dfrac{1}{1-2^{x}} & \\ \hline \dfrac{1}{1-2^{x}} & \gt 2 \\ \dfrac{1}{1-2^{x}} -2 & \gt 0 \\ \dfrac{1}{1-2^{x}} - \dfrac{2 \left( 1-2^{x} \right)}{1-2^{x}} & \gt 0 \\ \dfrac{-1+2^{x+1}}{1-2^{x}} & \gt 0 \end{align}$
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang: $-1+2^{x+1}=0$ maka $x=-1$
• Pembuat nol penyebut: $1-2^{x}=0$ maka $x=0$

Dari gambar di atas himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-1 \lt x \lt 0$. Bentuk ini ekuivalen dengan $a \lt x \lt b$ sehingga $a=-1$ dan $b=0$. Nilai $a+ b=-1+0=-1$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -1$

Jika kita gambarkan lingkaran dan garis yang disebutkan oleh soal, seperti berikut ini:

Persamaan garis yang melalui titik $A\left( 0,3 \right)$ dan $B\left( 3,0 \right)$ adalah garis $AB$ yaitu:
\begin{align} \dfrac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} &= \dfrac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} \\ \dfrac{x-0}{3-0} &= \dfrac{y-3}{0-3} \\ -3x &= 3y-9 \\ -3x &= 3y-9 \\ y &= 3-x \end{align}

Garis $AB$ menyinggung lingkaran dan $BP$ merupakan jari-jari lingkaran sehingga $AB \perp BP$ dan kita peroleh:
\begin{align} m_{AB} \cdot m_{BP} &= -1 \\ -1 \cdot \dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}&= -1 \\ \dfrac{b-0}{a-3}&= 1 \\ b &= a-3 \end{align}

Jari-jari lingkaran $BP$ dan $PC$, sehingga berlaku:
\begin{align} \left| BP \right| &= \left| PC \right| \\ \sqrt{ \left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} &= \sqrt{ \left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} \\ \left( a-3 \right)^{2}+\left( b-0 \right)^{2} &= \left( a- 9 \right)^{2}+\left( b- 0 \right)^{2} \\ \left( a-3 \right)^{2} &= \left( a- 9 \right)^{2} \\ a^{2}-6a+9 &= a^{2}-18a+81 \\ 12a &= 72 \\ a &= 6 \rightarrow b= 3 \\ \hline a^{2}-b^{2} &= 36-9=27 \end{align}

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 27$

Untuk menyelesaikan soal suku banyak di atas kita coba gunakan Pemfaktoran Langsung dari suku banyak.

$ \begin{align} & x^{4}- ax^{3}+bx^{2} +4x-4 \\ & = \left( x-2 \right)^{2}\left( x^{2}+px+q \right) \\ & = \left( x^{2}-4x+4 \right) \left( x^{2}+px+q \right) \\ & = x^{4}+px^{3}+qx^{2}-4x^{3}-4x^{2}-4qx+4x^{2} +4px+4q \\ & = x^{4}+ \left( p-4 \right)x^{3}+\left( 4p+q+4 \right)x^{2}+\left( 4p-4q \right)x +4q \end{align} $

Dari kesamaan suku banyak di atas kita peroleh:

• $4q=-4$ maka $q=-1$
• $4p-4q=4$ atau $4p+4=4$ maka $p=0$
• $4p+q+4=b$ maka $b=4(0)+(-1)+4=3$
• $p-4=-a$ maka $a=4-0=4$
• Nilai $ab=(4)(3)=12$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 12$

Sedikit catatan, terkait sifat determinan matriks:

• $AB=C\ \rightarrow \left| A \right| \left| B \right|= \left| C \right| $
• $\left| A^{T} \right| = \left| A \right| $
• $\left| A^{-1} \right| = \dfrac{1}{\left| A \right|} $
• $\left( A \pm B \right)^{T} = A^{T} \pm B^{T} $
• $ |k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A|$

Dari $det \left( D^{T}-B \right)=m$ dan $det \left( C \right)=n$ maka dapat kita peroleh:

$\begin{align} A + CB^{T} &= CD \\ A &= CD - CB^{T} \\ A &= CD - CB^{T} \\ \left| A \right| &= \left| C \left( D - B^{T} \right) \right| \\ \left| A \right| &= \left| C \right| \cdot \left| \left( D - B^{T} \right) \right| \\ \left| A \right| &= n \cdot \left| \left( D^{T} - B \right)^{T} \right| \\ \left| A \right| &= n \cdot m \\ \hline \left| 2A^{-1} \right| &= 2^{2} \cdot \left| A^{-1} \right| \\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{\left| A \right|} \\ &= \dfrac{4}{mn} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{4}{mn}$

$\begin{align} 5\cos^{2} x+3 \sin x\ \cos x & \geq 1 \\ 5\cos^{2} x+3 \sin x\ \cos x & \geq \sin^{2}x+\cos^{2}x \\ 5\cos^{2} x+3 \sin x\ \cos x -\sin^{2}x-\cos^{2}x& \geq 0 \\ 4\cos^{2} x+3 \sin x\ \cos x -\sin^{2}x & \geq 0 \\ \hline \text{dibagi}\ \cos^{2} x & \\ \hline \dfrac{4\cos^{2} x}{\cos^{2} x} +\dfrac{3 \sin x\ \cos x}{\cos^{2} x} -\dfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2} x} & \geq 0 \\ 4 +\dfrac{3 \sin x }{\cos x} -\dfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2} x} & \geq 0 \\ 4 + 3 tan\ x -tan^{2}x & \geq 0 \\ tan^{2}x - 3 tan\ x - 4 & \leq 0 \\ y^{2} - 3y - 4 & \leq 0 \\ \left ( y-4 \right )\left ( y+1 \right ) & \leq 0 \\ y=4\ \text{atau}\ y=-1 & \end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $-1 \leq y \leq 4$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ y \in \mathbb{R}: -1 \leq y \leq 4 \right \}$

Untuk menyelesaikan soal suku banyak di atas kita coba gunakan Metode Horner Kino.

Dari apa yang kita peroleh di atas, sisa yang kita peroleh $\left(-2A+11 \right)x+\left( -2A+B+8 \right)$, sehingga dapat kita tuliskan:
$ \begin{align} \left(-2A+11 \right)x+\left( -2A+B+8 \right) & \equiv 7x+14 \\ \hline -2A+11=7 & \\ -2A = -4 & \\ A = 2 & \\ -2A+B+8=14 & \\ -4+B+8 = 14 & \\ B = 10 & \end{align} $

Sekarang suku banyaknya adalah $x^{4}+3x^{3}+2x^{2} +5x+10$ dibagi $x^{2}+4x+4$ adalah:

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x+2$

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma di atas, kita coba sederhanakan penulisan dengan memisalkan ${}^{2}\!\log x=a$ dan ${}^{2}\!\log y=b$. Sehingga dapat kita tuliskan:

$\begin{align} {}^{2}\!\log x^{2} - {}^{2}\!\log y^{2} &=\ {}^{2}\!\log 16 \\ 2 \cdot {}^{2}\!\log x -2 \cdot {}^{2}\!\log y &=\ {}^{2}\!\log 2^4 \\ 2 \cdot a -2 \cdot b &= 4 \\ a - b &= 2 \\ \hline \left( {}^{2}\!\log x \right)^{2} - \left( {}^{2}\!\log y \right)^{2} &=\ {}^{2}\!\log 256 \\ a^{2} - b^{2} &=\ {}^{2}\!\log 2^{8} \\ \left( a+b \right)\left( a - b \right) &= 8 \\ \left( a+b \right)\left( 2 \right) &= 8 \\ a+b &= 4 \end{align}$

Dari persamaan $a+b = 4$ dan $a+b= 2$ kita peroleh $a=3$ dan $b=1$, maka juga dapat kita peroleh:
$\begin{align} {}^{2}\!\log x^{6}y^{-2} &=\ {}^{2}\!\log x^{6} + {}^{2}\!\log y^{-2} \\ &= 6 \cdot {}^{2}\!\log x + (-2) \cdot {}^{2}\!\log y \\ &= 6 \cdot (3) + (-2) \cdot (1) \\ &= 16 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 16$

Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ yang kita misalkan panjang rusuknya $12$, serta $\bigtriangleup DPG$ seperti berikut ini:

Dari gambar di atas kita peroleh $\bigtriangleup DPG$ merupakan segitiga sama kaki $DP=GP$ dan $DG=12\sqrt{2}$ (diagonal sisi).
$\begin{align} GP^{2}\ &= CP^{2}+CG^{2} \\ &= 6^{2}+ 12^{2} \\ GP &= \sqrt{36+144}=\sqrt{180}=6\sqrt{5} \\ \hline t^{2}\ &= GP^{2} - \left(6\sqrt{2} \right)^{2} \\ &= 180 - 72 \\ t &= \sqrt{108}=6 \sqrt{3} \\ \hline \left[ DPG \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot DG \cdot t \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 12 \sqrt{2} \cdot 6\sqrt{3} \\ &= 36 \sqrt{6} \end{align}$

Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ yang kita misalkan panjang rusuknya $12$, serta $\bigtriangleup APG$ seperti berikut ini:

Dari gambar di atas kita peroleh $\bigtriangleup APG$ merupakan segitiga sama kaki $AP=PG$ dan $AG=12\sqrt{3}$ (diagonal ruang).
$\begin{align} AP^{2}\ &= AB^{2}+BP^{2} \\ &= 6^{2}+ 12^{2} \\ GP &= \sqrt{36+144}=\sqrt{180}=6\sqrt{5} \\ \hline t^{2}\ &= GP^{2}- \left(6\sqrt{3} \right)^{2} \\ &= 180 - 108 \\ t &= \sqrt{72}=6 \sqrt{2} \\ \hline \left[ DPG \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot DG \cdot t \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{2} \\ &= 36 \sqrt{6} \end{align}$

Perbandingan luas $\bigtriangleup DPG$ dan $\bigtriangleup APG$ adalah $36 \sqrt{6} : 36 \sqrt{6} = 1 : 1$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1 : 1$

Catatan calon guru tentang deret artimatika yang mungkin kita butuhkan adalah suku ke-$n$ yaitu $U_{n}=a+(n-1)b$

$\begin{align} U_{1} \times U_{2}\ &= 10 \\ a \times \left( a+b \right) \ &= 10 \\ a^{2} + ab &= 10 \\ a^{2} &= 10 - ab \\ \hline \end{align}$
$\begin{align} U_{1} \times U_{3}\ &= 16 \\ a \times \left( a+2b \right) \ &= 16 \\ a^{2} + 2ab &= 16 \\ 10 - ab + 2ab &= 16 \\ ab &= 6 \\ \hline \end{align}$
$\begin{align} a^{2} &= 10 - ab \\ a^{2} &= 10 - 6 \\ a^{2} &= 4 \\ a &= 2 \rightarrow b=3 \\ \hline \end{align}$
$\begin{align} U_{10}\ &= a+9b \\ &= 2+9(3) =29 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 29$

Sedikit catatan tentang fungsi komposisi dan fungsi invers, yaitu $\left( fog \right)(x)=f \left( g(x) \right)$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align} h &= fog \\ h \left( x \right) &= f \left( g(x) \right) \\ h' \left( x \right) &= f' \left( g(x) \right) \cdot g'\left( x \right) \\ h' \left( 5 \right) &= f' \left( g(5) \right) \cdot g'\left( 5 \right) \\ h' \left( 5 \right) &= f' \left( -1 \right) \cdot g'\left( 5 \right) \\ \end{align}$

$\begin{align} f\left( x \right)\ &= \left( 2x+1 \right)^{5} \\ f'\left( x \right)\ &=5 \left( 2x+5 \right)^{5-1} \cdot \left( 2 \right) \\ f'\left( -1 \right)\ &=5 \left( 2(-1)+1 \right)^{4} \cdot \left( 2 \right) \\ &=10 \cdot \left( -1 \right)^{4} = 10 \end{align}$

$\begin{align} g'\left( \frac{x+1}{x-1} \right) &= 2x+2 \\ \hline \dfrac{x+1}{x-1} &= 5 \\ x+1 &= 5x-5 \\ 1+5 &= 5x-x \\ x &= \frac{6}{4}= \frac{3}{2} \\ \hline g'\left( 5 \right) &= 2 \left( \dfrac{3}{2} \right)+2 \\ &= 3+2 =5 \end{align}$

$\begin{align} h' \left( 5 \right) &= f' \left( -1 \right) \cdot g'\left( 5 \right) \\ &= 10 \cdot 5 \\ &= 50 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 50$

Nilai $\lim\limits_{x \to p} \dfrac{ x^{3}+px^{2}+qx}{x-p}=12$ sehingga jika kita substitusi langsung nilai $x=p$ maka nilai $x^{3}+px^{2}+qx$ harus $0$, karena jika $x^{3}+px^{2}+qx$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.

Karena nilai $x^{3}+px^{2}+qx$ untuk $x=p$ adalah $0$ maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
(p)^{3}+p(p)^{2}+q(p) &= 0 \\ 2p^{3} + pq &= 0 \\ 2p^{2} + q &= 0 \\ q &= 2p^{2} \\ \end{align}$

$x-p$ adalah salah satu faktor $x^{3}+px^{2}+qx$ sehingga dapat kita tuliskan;
$\begin{align}
x^{3}+px^{2}+qx &= (x-p)( x^{2}+bx+c) \\ x^{3}+px^{2}+qx &= x^{3}+bx^{2}+cx-px^{2}-bpx-pc \\ x^{3}+px^{2}+qx &= x^{3}+ \left( b-p \right)x^{2}+\left( c-bp \right)x-pc \\ \hline -pc=0 & \rightarrow c=0 \\ b-p=p & \rightarrow b=2p \\ \hline x^{3}+px^{2}+qx &= (x-p)( x^{2}+2px) \\ \end{align}$

Dari hasil di atas kita peroleh:
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to p} \dfrac{ x^{3}+px^{2}+qx }{x-p} &=12 \\ \lim\limits_{x \to p} \dfrac{ (x-p)( x^{2}+2px) }{x-p} &=12 \\ \lim\limits_{x \to p} \dfrac{ ( x^{2}+2px) }{1} &=12 \\ (p)^{2}+2p(p) &=12 \\ 3p^{2} &=12 \\ p^{2} &= 4 \rightarrow p=2 \\ \hline q &= -2p^{2} \rightarrow q=-8 \end{align}$
Nilai $p-q$ adalah $2-(-8)=10$

Catatan!
Jika sudah belajar turunan fungsi, maka dapat digunakan Aturan L'Hospital yang mungkin dapat menghemat beberapa langkah.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 10$

$\begin{align} \sin x + \sin 2x+ \sin 3x & =0 \\ \sin x + \sin 3x+ \sin 2x & =0 \\ 2\ \sin \left(\frac{x+3x}{2} \right)\ \cos \left(\frac{x-3x}{2} \right) + \sin 2x & =0 \\ 2\ \sin 2x\ \cos \left( -x \right) + \sin 2x & =0 \\ 2\ \sin 2x\ \cos x + \sin 2x & =0 \\ \sin 2x \left( 2\cos x + 1 \right) & =0 \\ \sin 2x=0\ \text{atau}\ \cos x + 1=0 & \\ \hline \end{align}$
$\begin{align} \sin 2x &= 0 \\ \sin 2x &=\sin 0 \\ x &= 0\ \text{(TM)} \\ \hline 2\cos x + 1 &= 0 \\ 2\cos x &= -1\\ \cos x &= -\dfrac{1}{2} \\ \cos x &= \cos 120 \\ x &= 120 \\ \hline \tan 2x & = \tan 240 \\ & = \sqrt{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \sqrt{3}$

$\begin{align} x^{2}+2xy+4x & = -3 \\ 9y^{2}+4xy+12y & = -1\ (+) \\ \hline x^{2}+9y^{2}+6xy+4x+12y & = -4 \\ \left(x+3y \right)^{2}+ 4\left(x+3y \right) & = -4 \\ \hline \text{misal:}\ x+3y=p & \\ \hline p^{2}+ 4p & = -4 \\ p^{2}+ 4p + 4 & = 0 \\ \left( p+2 \right)\left( p+2 \right) & =0 \\ p+2=0 & \\ p & = -2 \\ x+3y &=-2 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -2$