Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan TKA Matematika IPA Ujian Mandiri UGM Tahun 2019 Kode 923 atau Kode 924. Soal Ujian Masuk Universitas Gadjah Mada (UM UGM) ini adalah soal mata ujian kelompok Tes Kemampuan Saintek yang terdiri dari $15$ soal Matematika IPA.
Materi Ujian UM UGM-CBT T.A. 2024/2025
- Kelompok SAINTEK
- TKA (Tes Kemampuan Akademik) Saintek: Fisika, Kimia, Biologi, Matematika IPA
- TKDU (Tes Kemampuan Dasar Umum): Matematika Dasar, Bahasa Indonesia, Bahasa Ingggris
- Tes Potensi Akademik (TPA)
- Kelompok SOSHUM
- TKA (Tes Kemampuan Akademik) Soshum: Sejarah, Geografi, Ekonomi, Sosiologi
- TKDU (Tes Kemampuan Dasar Umum): Matematika Dasar, Bahasa Indonesia, Bahasa Ingggris
- Tes Potensi Akademik (TPA)
- Kelompok Campuran
- TKA (Tes Kemampuan Akademik) Saintek: Fisika, Kimia, Biologi, Matematika IPA
- TKDU (Tes Kemampuan Dasar Umum): Matematika Dasar, Bahasa Indonesia, Bahasa Ingggris
- Tes Potensi Akademik (TPA)
- TKA (Tes Kemampuan Akademik) Soshum: Sejarah, Geografi, Ekonomi, Sosiologi
Soal dan Pembahasan Matematika IPA UM UGM Tahun 2019 Kode 923-924
Soal latihan yang kita diskusikan berikut ini adalah soal TKA Saintek Matematika. Silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 15 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Soal Matematika UM UGM 2019
Sebuah kotak memuat $6$ bola merah dan $4$ bola hitam. Tiga bola diambil satu per satu tanpa pengembalian. Jika bola ketiga terambil merah, maka banyaknya kemungkinannya adalah...
Alternatif Pembahasan:
pengambilan tiga bola satu persatu dalam kantong tanpa pengembalian dan pada pengambilan ketiga yang terambil adalah bola merah, dapat terjadi dari beberapa kemungkinan. Yaitu:
- Pengambilan pertama merah, kedua merah dan ketiga merah,
$\begin{array}{c|c|cc} \text{merah} & \text{merah} & \text{merah} \\ \hline (6) & (5) & (4) \end{array} $
Banyak kemungkinan adalah $6 \cdot 5 \cdot 4 =120$ - Pengambilan pertama merah, kedua hitam dan ketiga merah,
$\begin{array}{c|c|cc} \text{merah} & \text{hitam} & \text{merah} \\ \hline (6) & (4) & (5) \end{array} $
Banyak kemungkinan adalah $6 \cdot 4 \cdot 5 =120$ - Pengambilan pertama hitam, kedua merah dan ketiga merah,
$\begin{array}{c|c|cc} \text{hitam} & \text{merah} & \text{merah} \\ \hline (4) & (6) & (5) \end{array} $
Banyak kemungkinan adalah $4 \cdot 6 \cdot 5 =120$ - Pengambilan pertama hitam, kedua hitam dan ketiga merah,
$\begin{array}{c|c|cc} \text{hitam} & \text{hitam} & \text{merah} \\ \hline (4) & (3) & (6) \end{array} $
Banyak kemungkinan adalah $4 \cdot 3 \cdot 6 =72$ - Banyak kemungkinan keseluruhan adalah $120+120+120+72=432$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 432$
2. Soal Matematika UM UGM 2019
Diketahui penyelesaian dari pertidaksamaan $\dfrac{3^{x+3}+3^{x}-36}{9^{x}-9} \leq 3 $ adalah $a \leq x \lt b$ atau $x \geq c$. Nilai $a+2b+c=\cdots$...
Alternatif Pembahasan:
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan;
$\begin{align} \dfrac{3^{x+3}+3^{x}-36}{9^{x}-9} & \leq 3 \\ \dfrac{3^{x} \cdot 3^{3}+3^{x}-36}{3^{2x}-3^{2}} -3 & \leq 0 \\ \hline \text{misal}\ a=3^{x} \rightarrow a^{2}=3^{2x} & \\ \hline \dfrac{a \cdot 27+a-36}{a^{2}-9} -3 & \leq 0 \\ \dfrac{28a-36}{a^{2}-9} - \dfrac{3 \cdot \left( a^{2}- 9 \right) }{a^{2}-9} & \leq 0 \\ \dfrac{28a-36-3a^{2}+27}{a^{2}-9} & \leq 0 \\ \dfrac{-3a^{2}+28a-9}{a^{2}-9} & \leq 0 \\ \dfrac{3a^{2}-28a+9}{a^{2}-9} & \geq 0 \\ \dfrac{\left( 3a-1 \right) \left( a-9 \right)}{\left( a-3 \right) \left( a+3 \right)} & \geq 0 \end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $\left( a-3 \right) \left( a+3 \right) \neq 0$ maka $a \neq 3$ dan $a \neq -3$.
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
- Pembuat nol pembilang: $3a-1=0$ maka $a=\frac{1}{3}$ atau $a-9=0$ maka $a=9$
- Pembuat nol penyebut: $a-3=0$ maka $a=3$ atau $a+3=0$ maka $a=-3$
Cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian:
Perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap
Dari gambar di atas himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah:
- Untuk $a \lt -3$ sehingga $3^{x} \lt -3$, tidak ada nilai $x$ yang memenuhi.
- Untuk $\frac{1}{3} \leq a \lt 3$ sehingga $3^{-1} \leq 3^{x} \lt 3^{1}$, nilai $x$ yang memenuhi $-1 \leq x \lt 1$. Bentuk ini ekuivalen dengan $a \leq x \lt b$ sehingga $a=-1$ dan $b=1$.
- Untuk $a \geq 9$ sehingga $3^{x} \geq 3^{2}$, nilai $x$ yang memenuhi $ x \geq 2$. Bentuk ini ekuivalen dengan $x \geq c$ sehingga $c=2$.
- Nilai $a+2b+c$ adalah $-1+2(1)+2=3$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 3$
3. Soal Matematika UM UGM 2019
Jika $a \lt x \lt b$ adalah solusi pertidaksamaan $1+2^{x}+2^{2x}+2^{3x}+\cdots \gt 2$, dengan $x \neq 1$, maka $a+b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan dengan meminjam sedikit catatan deret geometri tak hingga yaitu $S_{\infty }=\dfrac{a}{1-r}$;
$\begin{align}
1+2^{x}+2^{2x}+2^{3x}+\cdots & \gt 2 \\
\hline
a=1,\ r=2^{x} & \\
S_{\infty }=\dfrac{a}{1-r} & \\
S_{\infty }=\dfrac{1}{1-2^{x}} & \\
\hline
\dfrac{1}{1-2^{x}} & \gt 2 \\
\dfrac{1}{1-2^{x}} -2 & \gt 0 \\
\dfrac{1}{1-2^{x}} - \dfrac{2 \left( 1-2^{x} \right)}{1-2^{x}} & \gt 0 \\
\dfrac{-1+2^{x+1}}{1-2^{x}} & \gt 0
\end{align}$
Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
- Pembuat nol pembilang: $-1+2^{x+1}=0$ maka $x=-1$
- Pembuat nol penyebut: $1-2^{x}=0$ maka $x=0$
Dari gambar di atas himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-1 \lt x \lt 0$. Bentuk ini ekuivalen dengan $a \lt x \lt b$ sehingga $a=-1$ dan $b=0$. Nilai $a+ b=-1+0=-1$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -1$
4. Soal Matematika UM UGM 2019
Diberikan lingkaran pada bidang koordinat dengan titik pusat $\left(a,b \right)$ dan memotong sumbu-$X$ di titik $\left( 3,0 \right)$ dan $\left( 9,0 \right)$. Jika garis yang melalui titik $\left( 0,3 \right)$ menyinggung lingkaran di titik $\left( 3,0 \right)$, maka nilai dari $a^{2}-b^{2}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan lingkaran dan garis yang disebutkan oleh soal, seperti berikut ini:
Persamaan garis yang melalui titik $A\left( 0,3 \right)$ dan $B\left( 3,0 \right)$ adalah garis $AB$ yaitu:
\begin{align}
\dfrac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} &= \dfrac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} \\
\dfrac{x-0}{3-0} &= \dfrac{y-3}{0-3} \\
-3x &= 3y-9 \\
-3x &= 3y-9 \\
y &= 3-x
\end{align}
Garis $AB$ menyinggung lingkaran dan $BP$ merupakan jari-jari lingkaran sehingga $AB \perp BP$ dan kita peroleh:
\begin{align}
m_{AB} \cdot m_{BP} &= -1 \\
-1 \cdot \dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}&= -1 \\
\dfrac{b-0}{a-3}&= 1 \\
b &= a-3
\end{align}
Jari-jari lingkaran $BP$ dan $PC$, sehingga berlaku:
\begin{align}
\left| BP \right| &= \left| PC \right| \\
\sqrt{ \left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} &= \sqrt{ \left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} \\
\left( a-3 \right)^{2}+\left( b-0 \right)^{2} &= \left( a- 9 \right)^{2}+\left( b- 0 \right)^{2} \\
\left( a-3 \right)^{2} &= \left( a- 9 \right)^{2} \\
a^{2}-6a+9 &= a^{2}-18a+81 \\
12a &= 72 \\
a &= 6 \rightarrow b= 3 \\
\hline
a^{2}-b^{2} &= 36-9=27
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 27$
5. Soal Matematika UM UGM 2019
Jika $\left( x-2 \right)^{2}$ membagi $x^{4}- ax^{3}+bx^{2}x^{2}+4x-4$, maka $ab=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal suku banyak di atas kita coba gunakan Pemfaktoran Langsung dari suku banyak.
$ \begin{align} & x^{4}- ax^{3}+bx^{2} +4x-4 \\ & = \left( x-2 \right)^{2}\left( x^{2}+px+q \right) \\ & = \left( x^{2}-4x+4 \right) \left( x^{2}+px+q \right) \\ & = x^{4}+px^{3}+qx^{2}-4x^{3}-4x^{2}-4qx+4x^{2} +4px+4q \\ & = x^{4}+ \left( p-4 \right)x^{3}+\left( 4p+q+4 \right)x^{2}+\left( 4p-4q \right)x +4q \end{align} $
Dari kesamaan suku banyak di atas kita peroleh:
- $4q=-4$ maka $q=-1$
- $4p-4q=4$ atau $4p+4=4$ maka $p=0$
- $4p+q+4=b$ maka $b=4(0)+(-1)+4=3$
- $p-4=-a$ maka $a=4-0=4$
- Nilai $ab=(4)(3)=12$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 12$
6. Soal Matematika UM UGM 2019
Diberikan empat matriks $A,B,C,D$ berukuran $2 \times 2$ dengan $A + CB^{T}=CD$. Jika $A$ mempunyai invers, $det \left( D^{T}-B \right)=m$ dan $det \left( C \right)=n$, maka $det \left( 2A^{-1} \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Sedikit catatan, terkait sifat determinan matriks:
- $AB=C\ \rightarrow \left| A \right| \left| B \right|= \left| C \right| $
- $\left| A^{T} \right| = \left| A \right| $
- $\left| A^{-1} \right| = \dfrac{1}{\left| A \right|} $
- $\left( A \pm B \right)^{T} = A^{T} \pm B^{T} $
- $ |k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A|$
Dari $det \left( D^{T}-B \right)=m$ dan $det \left( C \right)=n$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align} A + CB^{T} &= CD \\ A &= CD - CB^{T} \\ A &= CD - CB^{T} \\ \left| A \right| &= \left| C \left( D - B^{T} \right) \right| \\ \left| A \right| &= \left| C \right| \cdot \left| \left( D - B^{T} \right) \right| \\ \left| A \right| &= n \cdot \left| \left( D^{T} - B \right)^{T} \right| \\ \left| A \right| &= n \cdot m \\ \hline \left| 2A^{-1} \right| &= 2^{2} \cdot \left| A^{-1} \right| \\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{\left| A \right|} \\ &= \dfrac{4}{mn} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{4}{mn}$
7. Soal Matematika UM UGM 2019
Jika $-\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}$ dan $x$ memenuhi $5\cos^{2} x+3 \sin x\ \cos x \geq 1$, maka himpunan semua $y=tan\ x$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
5\cos^{2} x+3 \sin x\ \cos x & \geq 1 \\
5\cos^{2} x+3 \sin x\ \cos x & \geq \sin^{2}x+\cos^{2}x \\
5\cos^{2} x+3 \sin x\ \cos x -\sin^{2}x-\cos^{2}x& \geq 0 \\
4\cos^{2} x+3 \sin x\ \cos x -\sin^{2}x & \geq 0 \\
\hline
\text{dibagi}\ \cos^{2} x & \\
\hline
\dfrac{4\cos^{2} x}{\cos^{2} x} +\dfrac{3 \sin x\ \cos x}{\cos^{2} x} -\dfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2} x} & \geq 0 \\
4 +\dfrac{3 \sin x }{\cos x} -\dfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2} x} & \geq 0 \\
4 + 3 tan\ x -tan^{2}x & \geq 0 \\
tan^{2}x - 3 tan\ x - 4 & \leq 0 \\
y^{2} - 3y - 4 & \leq 0 \\
\left ( y-4 \right )\left ( y+1 \right ) & \leq 0 \\
y=4\ \text{atau}\ y=-1 &
\end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $-1 \leq y \leq 4$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ y \in \mathbb{R}: -1 \leq y \leq 4 \right \}$
8. Soal Matematika UM UGM 2019
Jika suku banyak $x^{4}+3x^{3}+Ax^{2} +5x+B$ dibagi $x^{2}+2x+2$ bersisa $7x+14$, maka jika dibagi $x^{2}+4x+4$ akan bersisa...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal suku banyak di atas kita coba gunakan Metode Horner Kino.
Dari apa yang kita peroleh di atas, sisa yang kita peroleh $\left(-2A+11 \right)x+\left( -2A+B+8 \right)$, sehingga dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
\left(-2A+11 \right)x+\left( -2A+B+8 \right) & \equiv 7x+14 \\
\hline
-2A+11=7 & \\
-2A = -4 & \\
A = 2 & \\
-2A+B+8=14 & \\
-4+B+8 = 14 & \\
B = 10 &
\end{align} $
Sekarang suku banyaknya adalah $x^{4}+3x^{3}+2x^{2} +5x+10$ dibagi $x^{2}+4x+4$ adalah:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x+2$
9. Soal Matematika UM UGM 2019
Jika $\left( {}^{2}\!\log x \right)^{2} - \left( {}^{2}\!\log y \right)^{2} =\ {}^{2}\!\log 256$ dan ${}^{2}\!\log x^{2} - {}^{2}\!\log y^{2}={}^{2}\!\log 16$, maka nilai dari ${}^{2}\!\log x^{6}y^{-2}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan persamaan logaritma di atas, kita coba sederhanakan penulisan dengan memisalkan ${}^{2}\!\log x=a$ dan ${}^{2}\!\log y=b$. Sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} {}^{2}\!\log x^{2} - {}^{2}\!\log y^{2} &=\ {}^{2}\!\log 16 \\ 2 \cdot {}^{2}\!\log x -2 \cdot {}^{2}\!\log y &=\ {}^{2}\!\log 2^4 \\ 2 \cdot a -2 \cdot b &= 4 \\ a - b &= 2 \\ \hline \left( {}^{2}\!\log x \right)^{2} - \left( {}^{2}\!\log y \right)^{2} &=\ {}^{2}\!\log 256 \\ a^{2} - b^{2} &=\ {}^{2}\!\log 2^{8} \\ \left( a+b \right)\left( a - b \right) &= 8 \\ \left( a+b \right)\left( 2 \right) &= 8 \\ a+b &= 4 \end{align}$
Dari persamaan $a+b = 4$ dan $a+b= 2$ kita peroleh $a=3$ dan $b=1$, maka juga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
{}^{2}\!\log x^{6}y^{-2} &=\ {}^{2}\!\log x^{6} + {}^{2}\!\log y^{-2} \\
&= 6 \cdot {}^{2}\!\log x + (-2) \cdot {}^{2}\!\log y \\
&= 6 \cdot (3) + (-2) \cdot (1) \\
&= 16
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 16$
10. Soal Matematika UM UGM 2019
Diberikan kubus $ABCD.EFGH$ dan $P$ adalah titik tengah $BC$. Perbandingan luas segitiga $APG$ dan luas segitiga $DPG$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ yang kita misalkan panjang rusuknya $12$, serta $\bigtriangleup DPG$ seperti berikut ini:
Dari gambar di atas kita peroleh $\bigtriangleup DPG$ merupakan segitiga sama kaki $DP=GP$ dan $DG=12\sqrt{2}$ (diagonal sisi).
$\begin{align}
GP^{2}\ &= CP^{2}+CG^{2} \\
&= 6^{2}+ 12^{2} \\
GP &= \sqrt{36+144}=\sqrt{180}=6\sqrt{5} \\
\hline
t^{2}\ &= GP^{2} - \left(6\sqrt{2} \right)^{2} \\
&= 180 - 72 \\
t &= \sqrt{108}=6 \sqrt{3} \\
\hline
\left[ DPG \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot DG \cdot t \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot 12 \sqrt{2} \cdot 6\sqrt{3} \\
&= 36 \sqrt{6}
\end{align}$
Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ yang kita misalkan panjang rusuknya $12$, serta $\bigtriangleup APG$ seperti berikut ini:
Dari gambar di atas kita peroleh $\bigtriangleup APG$ merupakan segitiga sama kaki $AP=PG$ dan $AG=12\sqrt{3}$ (diagonal ruang).
$\begin{align}
AP^{2}\ &= AB^{2}+BP^{2} \\
&= 6^{2}+ 12^{2} \\
GP &= \sqrt{36+144}=\sqrt{180}=6\sqrt{5} \\
\hline
t^{2}\ &= GP^{2}- \left(6\sqrt{3} \right)^{2} \\
&= 180 - 108 \\
t &= \sqrt{72}=6 \sqrt{2} \\
\hline
\left[ DPG \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot DG \cdot t \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{2} \\
&= 36 \sqrt{6}
\end{align}$
Perbandingan luas $\bigtriangleup DPG$ dan $\bigtriangleup APG$ adalah $36 \sqrt{6} : 36 \sqrt{6} = 1 : 1$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1 : 1$
11. Soal Matematika UM UGM 2019
Misalkan $U_{n}$ menyatakan suku ke-$n$ dari barisan aritmatika. Diketahui $U_{1} \times U_{2}=10$ dan $U_{1} \times U_{3}=10$. Jika suku-suku dari barisan aritmetika tersebut merupakan bilangan positif, $U_{10}=\cdots$...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang deret artimatika yang mungkin kita butuhkan adalah suku ke-$n$ yaitu $U_{n}=a+(n-1)b$
$\begin{align}
U_{1} \times U_{2}\ &= 10 \\
a \times \left( a+b \right) \ &= 10 \\
a^{2} + ab &= 10 \\
a^{2} &= 10 - ab \\
\hline
\end{align}$
$\begin{align}
U_{1} \times U_{3}\ &= 16 \\
a \times \left( a+2b \right) \ &= 16 \\
a^{2} + 2ab &= 16 \\
10 - ab + 2ab &= 16 \\
ab &= 6 \\
\hline
\end{align}$
$\begin{align}
a^{2} &= 10 - ab \\
a^{2} &= 10 - 6 \\
a^{2} &= 4 \\
a &= 2 \rightarrow b=3 \\
\hline
\end{align}$
$\begin{align}
U_{10}\ &= a+9b \\
&= 2+9(3) =29
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 29$
12. Soal Matematika UM UGM 2019
Diketahui fungsi $f$ dan $g$ dengan $f\left( x \right)=\left( 2x+1 \right)^{5}$ dan $h =fog$, jika $g\left( 5 \right)=-1 $ dan $g'\left( \frac{x+1}{x-1} \right)=2x+2 $, maka $h'\left( 5 \right)= \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Sedikit catatan tentang fungsi komposisi dan fungsi invers, yaitu $\left( fog \right)(x)=f \left( g(x) \right)$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
h &= fog \\
h \left( x \right) &= f \left( g(x) \right) \\
h' \left( x \right) &= f' \left( g(x) \right) \cdot g'\left( x \right) \\
h' \left( 5 \right) &= f' \left( g(5) \right) \cdot g'\left( 5 \right) \\
h' \left( 5 \right) &= f' \left( -1 \right) \cdot g'\left( 5 \right) \\
\end{align}$
$\begin{align} f\left( x \right)\ &= \left( 2x+1 \right)^{5} \\ f'\left( x \right)\ &=5 \left( 2x+5 \right)^{5-1} \cdot \left( 2 \right) \\ f'\left( -1 \right)\ &=5 \left( 2(-1)+1 \right)^{4} \cdot \left( 2 \right) \\ &=10 \cdot \left( -1 \right)^{4} = 10 \end{align}$
$\begin{align} g'\left( \frac{x+1}{x-1} \right) &= 2x+2 \\ \hline \dfrac{x+1}{x-1} &= 5 \\ x+1 &= 5x-5 \\ 1+5 &= 5x-x \\ x &= \frac{6}{4}= \frac{3}{2} \\ \hline g'\left( 5 \right) &= 2 \left( \dfrac{3}{2} \right)+2 \\ &= 3+2 =5 \end{align}$
$\begin{align} h' \left( 5 \right) &= f' \left( -1 \right) \cdot g'\left( 5 \right) \\ &= 10 \cdot 5 \\ &= 50 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 50$
13. Soal Matematika UM UGM 2019
Jika $p \gt 0$ dan $\lim\limits_{x \to p} \dfrac{ x^{3}+px^{2}+qx}{x-p}=12$, maka nilai $p-q$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Nilai $\lim\limits_{x \to p} \dfrac{ x^{3}+px^{2}+qx}{x-p}=12$ sehingga jika kita substitusi langsung nilai $x=p$ maka nilai $x^{3}+px^{2}+qx$ harus $0$, karena jika $x^{3}+px^{2}+qx$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
Karena nilai $x^{3}+px^{2}+qx$ untuk $x=p$ adalah $0$ maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
(p)^{3}+p(p)^{2}+q(p) &= 0 \\
2p^{3} + pq &= 0 \\
2p^{2} + q &= 0 \\
q &= 2p^{2} \\
\end{align}$
$x-p$ adalah salah satu faktor $x^{3}+px^{2}+qx$ sehingga dapat kita tuliskan;
$\begin{align}
x^{3}+px^{2}+qx &= (x-p)( x^{2}+bx+c) \\
x^{3}+px^{2}+qx &= x^{3}+bx^{2}+cx-px^{2}-bpx-pc \\
x^{3}+px^{2}+qx &= x^{3}+ \left( b-p \right)x^{2}+\left( c-bp \right)x-pc \\
\hline
-pc=0 & \rightarrow c=0 \\
b-p=p & \rightarrow b=2p \\
\hline
x^{3}+px^{2}+qx &= (x-p)( x^{2}+2px) \\
\end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh:
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to p} \dfrac{ x^{3}+px^{2}+qx }{x-p} &=12 \\
\lim\limits_{x \to p} \dfrac{ (x-p)( x^{2}+2px) }{x-p} &=12 \\
\lim\limits_{x \to p} \dfrac{ ( x^{2}+2px) }{1} &=12 \\
(p)^{2}+2p(p) &=12 \\
3p^{2} &=12 \\
p^{2} &= 4 \rightarrow p=2 \\
\hline
q &= -2p^{2} \rightarrow q=-8
\end{align}$
Nilai $p-q$ adalah $2-(-8)=10$
Catatan!
Jika sudah belajar turunan fungsi, maka dapat digunakan Aturan L'Hospital yang mungkin dapat menghemat beberapa langkah.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 10$
14. Soal Matematika UM UGM 2019
Jika $\sin x + \sin 2x+ \sin 3x=0$ untuk $\frac{\pi}{2} \lt x \lt \pi$, maka $\tan 2x =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\sin x + \sin 2x+ \sin 3x & =0 \\
\sin x + \sin 3x+ \sin 2x & =0 \\
2\ \sin \left(\frac{x+3x}{2} \right)\ \cos \left(\frac{x-3x}{2} \right) + \sin 2x & =0 \\
2\ \sin 2x\ \cos \left( -x \right) + \sin 2x & =0 \\
2\ \sin 2x\ \cos x + \sin 2x & =0 \\
\sin 2x \left( 2\cos x + 1 \right) & =0 \\
\sin 2x=0\ \text{atau}\ \cos x + 1=0 & \\
\hline
\end{align}$
$\begin{align}
\sin 2x &= 0 \\
\sin 2x &=\sin 0 \\
x &= 0\ \text{(TM)} \\
\hline
2\cos x + 1 &= 0 \\
2\cos x &= -1\\
\cos x &= -\dfrac{1}{2} \\
\cos x &= \cos 120 \\
x &= 120 \\
\hline
\tan 2x & = \tan 240 \\
& = \sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \sqrt{3}$
15. Soal Matematika UM UGM 2019
Diketahui $x^{2}+2xy+4x = -3$ dan $9y^{2}+4xy+12y = -1$. Nilai dari $x+3y$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} x^{2}+2xy+4x & = -3 \\ 9y^{2}+4xy+12y & = -1\ (+) \\ \hline x^{2}+9y^{2}+6xy+4x+12y & = -4 \\ \left(x+3y \right)^{2}+ 4\left(x+3y \right) & = -4 \\ \hline \text{misal:}\ x+3y=p & \\ \hline p^{2}+ 4p & = -4 \\ p^{2}+ 4p + 4 & = 0 \\ \left( p+2 \right)\left( p+2 \right) & =0 \\ p+2=0 & \\ p & = -2 \\ x+3y &=-2 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -2$
Catatan Soal dan Pembahasan Kemampuan Matematika IPA UM UGM Tahun 2019 Kode 923-924 di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Untuk siapapun yang sedang galau.. Jangan terus bersedih.. Percayalah Badai pasti berlalu.. Kegagalan dalam berusaha adalah tiket bagi kesuksesan.
Sepekat apapun malam ini.. percayalah esok fajar kan bersinar kembali.
