Diskusi Matematika Seleksi Akademik Masuk SMA Unggul DEL 2018

Diskusi matematika kita berikut ini kita coba dari Seleksi Akademik Ujian Masuk SMA Unggul Del 2018. Ini kita diskusikan mungkin membantu penalaran anak-anak SMP yang mau ikut ujian masuk ke SMA favorit lainnya. SMA favorit yang kita maksud disini adalah sekolah yang tidak termasuk dalam sistem PPDB online sehingga mereka melakukan tes masuk sekolah secara mandiri.

Selain untuk mengasah kemampuan bernalar, latihan soal-soal ujian masuk SMA favorit ini juga sangat baik untuk mengasah kemampuan bernalar bagi yang ingin ikut kompetisi matematika tingkat SMP, karena beberapa soal ini sudah mengajak kita untuk cara berpikir tingkat tinggi (HOTS).

1. Nilai dari $\left (1-\dfrac{1}{2} \right )\left (1-\dfrac{1}{3} \right )\left (1-\dfrac{1}{4} \right ) \cdots \left (1-\dfrac{1}{2016} \right )$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & \dfrac{1}{2011} \\
(B).\ & \dfrac{1}{2013} \\
(C).\ & \dfrac{1}{2015} \\
(D).\ & \dfrac{1}{2016}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Eksplorasi:
$\left (1-\dfrac{1}{2} \right )\left (1-\dfrac{1}{3} \right )\left (1-\dfrac{1}{4} \right )\ \cdots \left (1-\dfrac{1}{2016} \right )$

  • $1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$
  • $1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$
  • $1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$
  • $\vdots$
  • $1-\dfrac{1}{2015}=\dfrac{2015}{2015}-\dfrac{1}{2015}=\dfrac{2014}{2015}$
  • $1-\dfrac{1}{2016}=\dfrac{2016}{2016}-\dfrac{1}{2016}=\dfrac{2015}{2016}$
Dari hasil eksplorasi diatas, soal bisa kita tuliskan menjadi;
$\left (1-\dfrac{1}{2} \right )\left (1-\dfrac{1}{3} \right )\left (1-\dfrac{1}{4} \right )\ \cdots \left (1-\dfrac{1}{2016} \right )$
$=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4}\ \cdots \dfrac{2014}{2015} \cdot \dfrac{2015}{2016}$
$=\dfrac{1}{{\color{Red} 2}} \cdot \dfrac{{\color{Red} 2}}{{\color{Red} 3}} \cdot \dfrac{{\color{Red} 3}}{{\color{Red} 4}}\ \cdots \dfrac{{\color{Red} 2\color{Red}0\color{Red}1\color{Red}4}}{{\color{Red}2\color{Red}0\color{Red}1\color{Red}5}} \cdot \dfrac{{\color{Red} 2\color{Red}0\color{Red}1\color{Red}5}}{2016}$
$=\dfrac{1}{2016}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ \dfrac{1}{2016}$

2. Untuk setiap bilangan bulat positip $x,y$ didefenisikan $x \Delta y=\dfrac{xy}{y-x}$. Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $(x \Delta 6)=4(x \Delta 3)$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 9 \\
(B).\ & 5 \\
(C).\ & 4 \\
(D).\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari defenisi yang diberikan $x \Delta y=\dfrac{xy}{y-x}$, maka kita peroleh;
$\begin{align}
(x \Delta 6) & = 4(x \Delta 3) \\
\dfrac{x \cdot 6}{6-x} & = 4 \left(\dfrac{x \cdot 3}{3-x} \right) \\
\dfrac{6x}{6-x} & = 4 \left( \dfrac{3x}{3-x} \right) \\
\dfrac{6x}{6-x} & = \dfrac{12x}{3-x} \\
\text{sama-sama}\ & \text{dibagi}\ (6x) \\
\dfrac{1}{6-x} & = \dfrac{2}{3-x} \\
3-x & = 2(6-x) \\
3-x & = 12-2x \\
-x+2x & = 12-3 \\
x & = 9
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 9$

3. Suatu survei dilakukan pada siswa kelas X MIA SMA Unggul Del untuk mengetahui yang berminat mengikuti kegiatan Teater. Hasil survei adalah sebagai berikut:
  • $25 \%$ dari total siswa putra dan $50 \%$ dari total siswa putri ternyata berminat mengikuti kegiatan tersebut;
  • $90 \%$ dari total peminat kegiatan Teater adalah siswa putri.
Rasio total siswa putri dan total siswa putra kelas X di sekolah tersebut adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 9:1 \\
(B).\ & 9:2 \\
(C).\ & 9:3 \\
(D).\ & 9:4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Misalkan jumlah keseluruhan Putra$=Pa$ dan Putri$=Pi$
Dari informasi pada soal bahwa yang berminat mengikuti teater adalah $25 \%$ dari total siswa putra berarti yang ikut teater adalah $\dfrac{1}{4}\ Pa$;
$50 \%$ dari total siswa putri berarti putri yang ikut teater adalah $\dfrac{1}{2}\ Pi$
Total yang mengikuti teater adalah $25 \% Pa+50 \% Pi$

$90 \%$ dari total peminat kegiatan Teater adalah siswa putri, maka:
$\begin{align}
90 \% \times \left( 25 \% Pa+50 \% Pi \right) & = 50 \% Pi \\
\dfrac{9}{10} \times \left( \dfrac{1}{4} Pa+\dfrac{1}{2} Pi \right) &= \dfrac{1}{2} Pi \\
\dfrac{1}{4} Pa+\dfrac{1}{2} Pi &= \dfrac{10}{9} \cdot \dfrac{1}{2} Pi \\
\dfrac{1}{4} Pa+\dfrac{1}{2} Pi &= \dfrac{5}{9} Pi \\
\dfrac{1}{4} Pa &= \dfrac{5}{9} Pi - \dfrac{1}{2} Pi \\
\dfrac{1}{4} Pa &= \dfrac{10}{18} Pi - \dfrac{9}{18} Pi \\
\dfrac{1}{4} Pa &= \dfrac{1}{18} Pi \\
\dfrac{Pa}{4} &= \dfrac{Pi}{18} \\
\dfrac{Pa}{Pi} &= \dfrac{4}{18}=\dfrac{2}{9} \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 9:2$

4. Perhatikan pola berikut:
Banyak lingkaran pada pola ke-50 adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 1275 \\
(B).\ & 1326 \\
(C).\ & 1452 \\
(D).\ & 1546
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari gambar dapat kita ambil beberapa informasi, yaitu:

  • banyak lingkaran pada pola $[1]=3=1+2$; ekuivalen dengan $S_{2}$ pada deret aritmatika dimana $a=1$; $b=1$; $n=2$
  • banyak lingkaran pada pola $[2]=6=1+2+3$; ekuivalen dengan $S_{3}$ pada deret aritmatika dimana $a=1$; $b=1$; $n=3$
  • banyak lingkaran pada pola $[3]=10=1+2+3+4$; ekuivalen dengan $S_{4}$ pada deret aritmatika dimana $a=1$; $b=1$; $n=4$
  • banyak lingkaran pada pola $[4]=15=1+2+3+4+5$; ekuivalen dengan $S_{5}$ pada deret aritmatika dimana $a=1$; $b=1$; $n=5$
Dengan melihat pola banyak lingkaran diatas, pola ini disebut dengan pola bilangan segitiga, dimana pola bilangan juga mengikuti aturan barisan dan deret aritmatika.

Banyak lingkaran pola ke-50 sama dengan $S_{51}$ pada deret aritmatika dimana $a=1$; $b=1$; $n=51$;
$\begin{align}
S_{n} &= \dfrac{n}{2} \left( 2a +(n-1)b \right) \\
S_{51} &= \dfrac{51}{2} \left( 2(1) +(51-1)1 \right) \\
&= \dfrac{51}{2} \left( 2 +(50) \right) \\
&= \dfrac{51}{2} (52) \\
&= 1326
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 1326$

5. Banyak angka $17^{2}$ muncul pada akar agar persamaan
$\sqrt{17^{2}+17^{2}+ \cdots+17^{2}}=17^{2}+17^{2}+17^{2}$ bernilai benar adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 17 \\
(B).\ & 289 \\
(C).\ & 2601 \\
(D).\ & 4913
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\sqrt{17^{2}+17^{2}+ \cdots +17^{2}}=17^{2}+17^{2}+17^{2}$ bernilai benar;
$\sqrt{17^{2}+17^{2}+ \cdots +17^{2}}=3 \times 17^{2}$
(kedua ruas dikuadratkan)
$17^{2}+17^{2}+ \cdots +17^{2}=\left( 3 \times 17^{2} \right)^{2}$
$17^{2}+17^{2}+ \cdots +17^{2}= 9 \times 17^{2} \times 17^{2}$
$17^{2}+17^{2}+ \cdots +17^{2}= {\color{Red} 9} {\color{Red} \times} {\color{Red} 1}{\color{Red} 7^{\color{Red} 2}} \times 17^{2}$

Dari hasil diatas dapat kita simpulkan:
$\sqrt{17^{2}+17^{2}+ \cdots +17^{2}}=17^{2}+17^{2}+17^{2}$
$\sqrt{{\color{Red} 9} {\color{Red} \times} {\color{Red} 1}{\color{Red} 7^{\color{Red} 2}} \times 17^{2}}=17^{2}+17^{2}+17^{2}$
Banyak $17^{2}$ yang di dalam akar adalah $9 \times 17^{2}=2601$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 2601$

6. Jika $x=2+\dfrac{3}{2+\dfrac{3}{2+\dfrac{3}{2+\dfrac{3}{x}}}}$ maka nilai $x$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 3 \\
(B).\ & 4 \\
(C).\ & 5 \\
(D).\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Bentuk soal $x=2+\dfrac{3}{2+\dfrac{3}{2+\dfrac{3}{2+\dfrac{3}{x}}}}$ ekuivalen dengan bentuk soal $x=2+\dfrac{3}{2+\dfrac{3}{2+\dfrac{3}{2+\dfrac{3}{\cdots}}}}$ sehingga
persamaan $x=2+\dfrac{3}{2+\dfrac{3}{2+\dfrac{3}{2+\dfrac{3}{x}}}}$
dapat kita ubah mejadi:
$\begin{align}
x & = 2+\dfrac{3}{x} \\
x^{2} & = 2x+3 \\
x^{2} -2x -3 & = 0 \\
(x+1)(x-3) & = 0 \\
x & = -1\ \text{(TM)} \\
x & = 3
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 3$

7. Banyaknya bilangan real yang memenuhi $x^{2017}+x^{2016}-x^{2015}=x^{2014}$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 0 \\
(B).\ & 1 \\
(C).\ & 2 \\
(D).\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\begin{align}
x^{2017}+x^{2016}-x^{2015} & =x^{2014} \\
x^{2017}+x^{2016}-x^{2015}-x^{2014} & =0 \\
x^{2014} \left( x^{3}+x^{2} -x -1 \right ) & = 0 \\
x^{2014} (x-1)\left( x^{2}+2x +1 \right ) & = 0 \\
x^{2014} (x-1)(x+1)(x+1) & =0 \\
x=0;\ x=1;\ x =-1\ &
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ 3$

8. $A$ dapat menyelesaikan sendiri sebuah pekerjaan dalam waktu 2 jam, sedangkan $B$ dapat menyelesaikan pekerjaan yang sama dalam waktu 6 jam. Jika mereka berdua bekerja bersama-sama, maka lama pekerjaan itu dapat selesai adalah ... jam
$\begin{align}
(A).\ & 1 \\
(B).\ & \dfrac{3}{2} \\
(C).\ & 3 \\
(D).\ & 4 \dfrac{1}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Waktu yang dibutuhkan $A$ menyelesaikan "satu" pekerjaan adalah 2 jam maka kecepatan $A$ dalam menyelesaikan pekerjaan dapat kita tuliskan $v_{A}=\dfrac{1}{t}=\dfrac{1}{2}$.
Waktu yang dibutuhkan $B$ menyelesaikan "satu" pekerjaan adalah 6 jam maka kecepatan $A$ dalam menyelesaikan pekerjaan dapat kita tuliskan $v_{B}=\dfrac{1}{t}=\dfrac{1}{6}$.

Jika mereka bekerja bersama-sama maka waktu yang dibutuhkan adalah:
$\begin{align}
v_{A}+v_{B} & =\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6} \\
& =\dfrac{3}{6}+\dfrac{1}{6} \\
& =\dfrac{4}{6} \\
\end{align}$
Karena kecepatan adalah $\dfrac{4}{6}$ maka waktu yang dibutuhkan adalah
$\begin{align}
v & =\dfrac{1}{t} \\
\dfrac{4}{6} & =\dfrac{1}{t} \\
t & =\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ \dfrac{3}{2}$

9. Diketahui sistem persamaan:
$\begin{align}
3a+7b+c & = 315 \\
4a+10b+c & = 420
\end{align}$
Maka nilai $a+b+c$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 100 \\
(B).\ & 105 \\
(C).\ & 110 \\
(D).\ & 150
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Jika kedua persamaan diatas kita kurangkan maka akan kita peroleh
$\begin{array}{c|c|cc}
3a+7b+c = 315 & \\
4a+10b+c = 420 & (-)\\
\hline
a + 3b = 105 &
\end{array} $
Dari persamaan $3a+7b+c = 315$ kita lakukan manipulasi aljabar sebagai berikut;
$\begin{align}
3a+7b+c & =315 \\
2a+a+6b+b+c & =315 \\
2a+6b+a+b+c & =315 \\
2(a+3b)+a+b+c & =315 \\
2(105)+a+b+c & =315 \\
a+b+c & =315-210 \\
a+b+c & =105
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 105$

10. Diketahui $f$ fungsi real yang memenuhi $f(x+f(x))=4f(x)$ dan $f(1)=4$. Maka nilai $f(21)$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 36 \\
(B).\ & 48 \\
(C).\ & 64 \\
(D).\ & 72
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari fungsi $f(x+f(x))=4f(x)$ dan $f(1)=4$ dapat kita simpulkan:
untuk $x=1$ dan maka:
$\begin{align}
f(1+f(1)) & = 4f(1) \\
f(1+4) & = 4 \cdot 4\\
f(5) & = 16
\end{align}$

untuk $x=5$ dan maka:
$\begin{align}
f(5+f(5)) & = 4f(5) \\
f(5+16) & = 4 \cdot 16\\
f(21) & = 64
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 64$

11. SMP "Toba Sejahtera" hanya memiliki empat jenis kegiatan olah raga sebagai kegiatan ekstrakurikulernya, yaitu bola voli, renang, dan basket. Ucok, Fulan, Butet, Berliana masing-masing adalah pemain olahraga yang berbeda. Olahraga yang dimainkan Fulan tidak menggunakan bola. Butet lebih tua dari pemain bola voli. Butet dan Berliana bukan pemain sepak bola. Siswa yang mengikuti kegiatan ekstrakurikuler bola voli adalah...
$\begin{align}
(A).\ & \text{Ucok} \\
(B).\ & \text{Fulan} \\
(C).\ & \text{Butet} \\
(D).\ & \text{Berliana}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari informasi pada soal

  • Fulan tidak menggunakan bola maka olahraga Fulan adalah renang.
  • Butet dan Berliana bukan pemain sepak bola maka olahraga Ucok adalah sepakbola
  • Butet lebih tua dari pemain bola voli maka Butet bukan pemain bola voli olahraga butet adalah basket
  • Siswa yang olahraganya bola voli adalah Berliana
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ \text{Berliana}$

12. $6$ ekor sapi dapat menghabiskan persediaan rumput selama $10$ hari, sedangkan $12$ ekor kambing dapat menghabiskan persediaan rumput selama $20$ hari. Waktu yang dibutuhkan jika persediaan rumput dimakan oleh $8$ ekor sapi dan $16$ ekor kambing secara bersamaan adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 5\ \text{hari} \\
(B).\ & 6\ \text{hari} \\
(C).\ & 7\ \text{hari} \\
(D).\ & 8\ \text{hari}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari informasi pada soal untuk sapi

Ekor Hari
$6$ $10$
$8$ $x$
$\begin{align}
\dfrac{6}{8} &= \dfrac{x}{10} \\
x &= \dfrac{60}{8}=\dfrac{15}{2}
\end{align}$

Dari informasi pada soal untuk kambing
Ekor Hari
$12$ $20$
$16$ $y$
$\begin{align}
\dfrac{12}{16} &= \dfrac{x}{20} \\
y &= \dfrac{60}{4}=15
\end{align}$

Dari kedua data diatas, $8$ sapi dan $16$ kambing melakukan pekerjaan bersama-sama:
$\begin{align}
v_{8}+v_{16} &= \dfrac{1}{\dfrac{15}{2}}+\dfrac{1}{15} \\
&= \dfrac{2}{15}+\dfrac{1}{15} \\
&= \dfrac{3}{15} \\
&= \dfrac{1}{5} \\
\end{align}$
Kecepatan bersama adalah $\dfrac{1}{t}=\dfrac{1}{5}$, maka waktu yang dibutuhkan adalah $5$ hari.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 5\ \text{hari}$

13. Jika kebalikan dari $\dfrac{3}{10}$ adalah $(\dfrac{1}{x}+1)$. Maka nilai dari $x$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & \dfrac{7}{3} \\
(B).\ & \dfrac{3}{13} \\
(C).\ & \dfrac{3}{7} \\
(D).\ & \dfrac{5}{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

kebalikan dari $\dfrac{3}{10}$ adalah $(\dfrac{1}{x}+1)$
$\begin{align}
\dfrac{10}{3} &= \dfrac{1}{x}+1 \\
3\dfrac{1}{3} &= \dfrac{1}{x}+1 \\
2\dfrac{1}{3}+1 &= \dfrac{1}{x}+1 \\
\dfrac{7}{3}+1 &= \dfrac{1}{x}+1 \\
x &=\dfrac{3}{7}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ \dfrac{3}{7}$

14. Jika $a$ dan $b$ adalah penyelesaian dari sistem persamaan $\left\{\begin{matrix}
2016a+2017b=6050\\
2017a+2016b=6049
\end{matrix}\right.$ maka nilai $b^{2}-a^{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 2 \\
(B).\ & 3 \\
(C).\ & 4 \\
(D).\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Jika kedua persamaan kita kurangkan, maka kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2016a+2017b=6050 & \\
2017a+2016b=6049 & (-)\\
\hline
-a+b=1 & \\
b-a=1 &
\end{array} $

Jika kedua persamaan kita tambahkan, maka kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2016a+2017b=6050 & \\
2017a+2016b=6049 & (+)\\
\hline
4033a+4033b=12099 & \\
a+b=3 & \\
b+a=3 &
\end{array} $
Nilai $b^{2}-a^{2}=(b+a)(b-a)=3 \cdot 1=3$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 3$

15. Ada tumpukan $16$ koin. Bagilah tumpukan ini menjadi empat tumpukan sehingga pada tumpukan ada sejumlah koin yang berbeda. Banyaknya koin minimal yang mungkin ada pada tumpukan koin yang tertinggi adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 4 \\
(B).\ & 6 \\
(C).\ & 8 \\
(D).\ & 10
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari $16$ koin akan dibagi menjadi 4 bagian yang berbeda;
Cara paling dasar membaginya adalah menjadi sama banyak;
$4;\ 4;\ 4;\ 4;\$
$4;\ 3;\ 5;\ 4;\$
$3;\ 3;\ 5;\ 5;\$
$2;\ 3;\ 5;\ 6;\$
Banyaknya koin minimal yang mungkin ada pada tumpukan koin yang tertinggi adalah $6$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 6$

16. Sebuah fungsi $f$ terdefenisi pada himpunan bilangan Asli, dan memiliki sifat:
$\begin{align}
f(1) & =3 \\
f(2x) & =4f(x)+1 \\
f(2x+1) & =f(x)+3x-5
\end{align}$
Nilai $f(11)=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & 12 \\
(B).\ & 24 \\
(C).\ & 48 \\
(D).\ & 96
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk $x=1$ maka:
$\begin{align}
f(2x) & =4f(x)+1 \\
f(2) & =4f(1)+1 \\
& =4 \cdot 3+1 \\
& =12+1=13 \\
f(2x+1) & =f(x)+3x-5 \\
f(3) & =f(1)+3-5 \\
& =3+3-5=1 \\
\end{align}$

Untuk $x=2$ maka:
$\begin{align}
f(2x) & =4f(x)+1 \\
f(4) & =4f(2)+1 \\
& =4 \cdot 13+1 \\
& =52+1=53 \\
f(2x+1) & =f(x)+3x-5 \\
f(5) & =f(2)+6-5 \\
& =13+1=14 \\
\end{align}$

Untuk $x=5$ maka:
$\begin{align}
f(2x) & =4f(x)+1 \\
f(10) & =4f(5)+1 \\
& =4 \cdot 14+1 \\
& =64+1=65 \\
f(2x+1) & =f(x)+3x-5 \\
f(11) & =f(5)+15-5 \\
& =14+10=24 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 24$

17. Diberikan empat bilangan bulat yang berurutan. Jika bilangan terkeci adalah $2m-1$, maka jumlah keempat bilangan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 8m-10 \\
(B).\ & 8m+8 \\
(C).\ & 8m+3 \\
(D).\ & 8m+2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Empat buah bilangan berurutan adalah $a,\ a+1,\ a+2,\ a+3$
$(2m-1),\ (2m-1)+1,\ (2m-1)+2,\ (2m-1)+3$
$(2m-1),\ (2m),\ (2m+1),\ (2m+2)$
Jumlah keempat bilangan adalah $8m+2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ 8m+2$

18. Diketahui $a$ dan $b$ bilangan asli yang memenuhi $a+b=14$ dan $a^{2}-b^{2}=28$. Maka nilai $a^{2}+b^{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 50 \\
(B).\ & 75 \\
(C).\ & 80 \\
(D).\ & 100
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\begin{align}
a^{2}-b^{2} & =28 \\
(a+b)(a-b) & =28 \\
14(a-b) & =28 \\
(a-b) & =2 \\
(a-b)^{2} & =4 \\
a^{2}+b^{2}-2ab & =4 \\
a^{2}+b^{2} & =4+2ab
\end{align}$

$\begin{align}
a+b & =14 \\
(a+b)^{2} & =196 \\
a^{2}+b^{2}+2ab & =196 \\
4+2ab+2ab & =196 \\
4ab & =196-4=192 \\
ab & =\dfrac{192}{4}=48
\end{align}$

$a^{2}+b^{2} =4+2ab$
$a^{2}+b^{2} =4+96=100$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ 100$

19. Diberikan $a,\ b,\ c$ adalah anggota bilangan ril (nyata).
$\left.\begin{matrix}
a+b+c=7\\
\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}=\dfrac{7}{10}
\end{matrix}\right\}$ maka nilai $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & \dfrac{19}{10} \\
(B).\ & \dfrac{21}{10} \\
(C).\ & \dfrac{23}{10} \\
(D).\ & \dfrac{25}{10}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari kedua persamaan $a+b+c=7$ dan $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}=\dfrac{7}{10}$ jika kita kalikan maka akan kita peroleh persamaan sebagai berikut:
$\begin{align}
\left ( 7 \right )\left (\dfrac{7}{10} \right ) & =\left ( a+b+c \right )\left (\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a} \right ) \\
\dfrac{49}{10} & = \dfrac{a+b+c}{a+b}+\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{c+a} \\
\dfrac{49}{10} & =\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{a+c}{c+a} \\ \\
\dfrac{49}{10} & = 1+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+1+\dfrac{b}{c+a}+1 \\
\dfrac{49}{10} & = 3+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a} \\
\dfrac{49}{10}-3 & = \dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a} \\
\dfrac{19}{10} & = \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ \dfrac{19}{10}$

20. Peserta upacara bendera yang dihadiri oleh $600$ siswa disusun dalam $x$ baris. Tiap barisnya diisi oleh $y$ siswa. Jika susunan diubah dengan menambah $5$ baris, maka tiap barisnya berkurang 6 siswa. Banyak baris sebelum diubah adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 10 \\
(B).\ & 15 \\
(C).\ & 20 \\
(D).\ & 15
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Posisi awal tiap baris diisi oleh $y$ siswa maka barisan awal adalah $\frac{600}{x}=y$ atau $600=xy$.
Posisi kedua tiap baris diisi oleh $y-6$ siswa maka barisan kedua adalah $\frac{600}{x+5}=y-6$ atau
$\begin{align}
(x+5)(y-6) & =600 \\
xy-6x+5y-30 & =600 \\
-6x+5y -30 & =0 \\
-6x+5 \left (\dfrac{600}{x} \right ) -30 & =0\ \text{dikali}\ (x) \\
-6x^{2}+3000 -30x & =0\ \text{dibagi}\ (-6) \\
x^{2}+5x-500 & =0 \\
(x+25)(x-20) & =0 \\
x & = 20 \\
x & = -25\ \text{(TM)}
\end{align}$
Banyak baris sebelum diubah adalah $20$ kursi.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 20$

21. Empat bola berjari-jari sama yaitu $10$ cm terletak di atas meja sedemikian sehingga pusat dari keempat bola membentuk bujur sangkar bersisi $20$ cm. Bola kelima berjari-jari $10$ cm diletakkan di atasnya sehingga bola tersebut menyinggung keempat bola pertama. Tinggi pusat bola kelima dari meja adalah...cm
$\begin{align}
(A).\ & 10(\sqrt{2}+1) \\
(B).\ & 10(\sqrt{2}-1) \\
(C).\ & 9(\sqrt{2}+1) \\
(D).\ & 8(\sqrt{2}+1)
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Jika kita gambarkan ilustrasinya kurang lebih seperti berikut ini,

Dari ilustrasi di atas dapat kita simpulkan;
  • PM adalah jarak pusat bola ke meja adalah $PE+EM$
  • $EM$ adalah jari-jari bola yaitu $10$ cm
  • $PC$ adalah 2 kali jari-jari bola yaitu $20$ cm.
  • $EC$ adalah setengah diagonal persegi $ABCD$ yaitu $10\sqrt{2}$
  • Dengan menggunakan teorema pythagoras
    $PE=\sqrt{PC^{2}-EC^{2}}$
    $PE=\sqrt{20^{2}-(10\sqrt{2})^{2}}$
    $PE=\sqrt{400-200}$
    $PE=\sqrt{200}$
    $PE=10\sqrt{2}$
  • $PM=PE+EM=10\sqrt{2}+10$
Tinggi pusat bola kelima dari meja adalah $10\sqrt{2}+10$ cm

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 10\sqrt{2}+10$

22. Perhatikan gambar berikut:
Meja segilima ditempatkan ujung ke ujung seperti gambar yan ditunjukkan untuk membuat satu meja besar. Satu orang duduk di setiap sisi terbuka dari segilima. Banyak orang dapat duduk di meja besar jika dibuat menggunkan lima segilima adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 15 \\
(B).\ & 16 \\
(C).\ & 17 \\
(D).\ & 18
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari gambar meja yang disusun dar $3$ segilima banyak orang yang duduk adalah $4+3+4=11$ orang.
Jika meja dibuat dari $5$ segilima maka banyak orang yang bisa duduk adalah $4+3+3+3+4=17$ orang.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 17$

23. Perhatikan gambar berikut:
Gambar di atas merupakan segitiga siku-siku sama kaki $ABC$ dengan $AB=AC=6$. $SDPF$ merupaka persegi, maka luas persegi $SDPF$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 6 \\
(B).\ & 8 \\
(C).\ & 10 \\
(D).\ & 12
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Segitiga $ABC$ dengan $AB=AC=6$ adalah segitiga siku-siku sama kaki, dengan menggunakan teorema pythagoras kita dapat hitung $BC$ yaitu $6\sqrt{2}$.
$SDFP$ adalah persegi maka panjang $SD$ yang mungkin adalah $\frac{1}{3}BC$ yaitu $2\sqrt{2}$.
atau dengan mambagi sisi segitiga menjadi tiga bagian yang sama dengan panjang $2$ cm seperti gambar berikut;

Luas $SDPF$ adalah $2\sqrt{2} \times 2\sqrt{2}=8$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 8$

24. Perhatikan gambar berikut:
Gambar bangun di atas mempunyai keliling yang sama (semua bangun datar tersebut merupakan segibanyak beraturan). Bangun datar yang memiliki luas terkecil adalah nomor...
$\begin{align}
(A).\ & 1,\ 3,\ 6 \\
(B).\ & 3,\ 4,\ 5 \\
(C).\ & \text{Semua sama} \\
(D).\ & 1\ \text{saja}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Eksplorasi dengan memisalkan keliling adalah $x$ cm.

  • Untuk segitiga dengan panjang sisi $\frac{x}{3}$
    $L=\frac{1}{2} ab\ sin\ 60^{\circ}=\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{3}\cdot \frac{x}{3} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3}=\frac{x^2}{36}\sqrt{3}$
  • Untuk segiempat dengan panjang sisi $\frac{x}{4}$
    $L=s \cdot\ s=\frac{x}{4} \cdot \frac{x}{4}=\frac{x^2}{16}$
  • $\vdots $
  • Untuk lingkaran dengan keliling $x$, maka $r=\frac{x}{2 \pi}$
    $L=\pi \cdot\ r^{2}=\pi \cdot\ (x\frac{x}{2 \pi})^{2}$
    $L=\pi \cdot\ \left(\frac{x}{2 \pi} \right)^{2}=\frac{x^{2}}{4 \pi}$
    dengan memakai $\pi=3,14$ maka $L=\frac{x^{2}}{12,56}$
Dari hasil eksplorasi diatas untuk keliling yang sama pada segi-$n$ beraturan, jika $n$ semakin tinggi maka luasnya semakin besar.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 1\ \text{saja}$

25. Perhatikan gambar berikut:
Jika $3,\ 4,\ \text{dan}\ 6$ menunjukkan luas masing-masing segitiga, maka luas daerah yang diarsir adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 9,5 \\
(B).\ & 10 \\
(C).\ & 11,5 \\
(D).\ & 13
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk mempermudah segitiga diatas kita beri nama seperti berikut ini;

Dari gambar diatas dengan mengunakan perbandingan luas dua segitiga untuk tinggi segitiga sama kita peroleh persamaan seperti berikut ini:
Perhatikan $\bigtriangleup BCD$ dan $\bigtriangleup BED$ dengan alas $BD$ dan $\bigtriangleup ACD$ dan $\bigtriangleup AED$ dengan alas $AD$;
$\dfrac{BD}{AD} =\dfrac{[BCD]}{[ACD]}=\dfrac{[BED]}{[AED]}$
$\dfrac{BD}{AD} =\dfrac{9}{[4+x+y]}=\dfrac{3}{x}$
$\dfrac{9}{4+x+y}=\dfrac{3}{x}$
$9x=12+3x+3y$
$6x-3y=12$
$2x-y=4$...(pers. I)

Perhatikan $\bigtriangleup CBF$ dan $\bigtriangleup CEF$ dengan alas $CF$ dan $\bigtriangleup ABF$ dan $\bigtriangleup AEF$ dengan alas $AF$;
$\dfrac{CF}{AF} =\dfrac{[CBF]}{[ABF]}=\dfrac{[CEF]}{[AEF]}$
$\dfrac{CF}{AF} =\dfrac{10}{3+x+y}=\dfrac{4}{y}$
$\dfrac{10}{3+x+y}=\dfrac{4}{y}$
$10y=12+4x+4y$
$6y-4x=12$
$3y-2x=6$...(pers. II)

Jika kedua persamaan diatas kita jumlahkan maka akan kita peroleh
$\begin{array}{c|c|cc}
2x-y=4 & \\
3y-2x = 6 & (+)\\
\hline
2y = 10 &
y = 5 & \\
2x-y=4 & \\
2x-5=4 & 2x=9 & \\
x=\dfrac{9}{2} &
\end{array} $
Luas daerah yang diarsir adalah $x+y=\dfrac{9}{2}+5=9,5$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 9,5$

26. Perhatikan gambar berikut:
Diketahui persegi $ABCD$ seperti gambar di atas. Panjang sisi $AB$ adalah $2$, keliling daerah yang diarsir adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 2+\pi \\
(B).\ & 2+\dfrac{3}{2}\pi \\
(C).\ & 2+2\pi \\
(D).\ & 2+3\pi
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Jika kita perhatikan gambar di atas, keliling daerah yang diarsir adalah

  • satu sisi persegi yaitu $2$
  • setengah lingkaran dengan jari-jari $1$, kelilingnya $\dfrac{2 \pi r}{2}=\pi$
  • seperempat lingkaran dengan jari-jari $2$, kelilingnya $\dfrac{2 \pi r}{4}=\pi$
  • total keliling adalah $2+\pi+\pi=2+2\pi$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 2+2\pi$

27. Perhatikan gambar berikut:
Saya mempunyai persegi dengan panjang sisinya $10$. Saya memotong persegi tersebut sehingga berbentuk seperti gambar yang diarsir, keliling daerah tersebut adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 40 \\
(B).\ & 45 \\
(C).\ & 50 \\
(D).\ & 55
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Potongan yang dibentuk di dalam persegi semuanya berupa persegi panjang sehingga tidak merubah keliling persegi semula yaitu $40$
Sebagai ilustrasi tambahan perhatikan gambar berikut:

$a+b+c=10$
$d+e+f=10$
$g+h+i=10$
$j+k+l=10$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 40$

28. Perhatikan gambar berikut:
Diketahui $ABCD$ dan $CEGH$ adalah dua persegi panjang kongruen dengan panjang $17$ cm dan lebar $8$ cm. Titik $F$ adalah titik potong sisi $AD$ dan $EG$. Luas segiempat $EFDC$ adalah...$cm^{2}$
$\begin{align}
(A).\ & 74,00 \\
(B).\ & 72,25 \\
(C).\ & 70,15 \\
(D).\ & 68,00
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$ABCD$ dan $CEGH$ adalah dua persegi panjang kongruen sehingga panjang $EC=CD=12$
Dengan menggunakan teorema pythagoras
$\begin{align}
BE &= \sqrt{EC^{2}-BC^{2}} \\
BE &= \sqrt{17^{2}-8^{2}} \\
BE &= \sqrt{289-64} \\
BE &= \sqrt{225}=15 \\
AE &= 2
\end{align}$

Perhatikan $\bigtriangleup AEF \sim \bigtriangleup DGF$ maka
$\begin{align}
\dfrac{FG}{AF} & = \dfrac{DF}{EF} \\
\dfrac{8-\sqrt{x^{2}+4}}{x} & = \dfrac{8-x}{\sqrt{x^{2}+4}} \\
8\sqrt{x^{2}+4}-(x^{2}+4) & = 8x-x^{2} \\
8\sqrt{x^{2}+4} & = 8x-x^{2}+x^{2}+4 \\
8\sqrt{x^{2}+4} & = 8x+4 \\
2\sqrt{x^{2}+4} & = 2x+1 \\
sama-sama &\ dikuadratkan \\
4(x^{2}+4) & = 4x^{2}+4x+1 \\
4x^{2}+16 & = 4x^{2}+4x+1 \\
4x & = 15 \\
x & = \dfrac{15}{4}=3,75 \\
\end{align}$
Luas daerah yang diarsir adalah $[CEI]+[FEJ]+DIJF$
$=\dfrac{15 \cdot 8}{2}+\dfrac{2 \cdot 3,75}{2}+2 \cdot (8-3,75)$
$=60+ 3,75 +8,5$
$=72,25$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 72,25$

29. Perhatikan gambar berikut:
Nilai dari $\measuredangle A+\measuredangle B+\measuredangle C+\measuredangle D+\measuredangle E$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 120^{\circ} \\
(B).\ & 150^{\circ} \\
(C).\ & 180^{\circ} \\
(D).\ & 300^{\circ}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Jumlah sudut dalam segi$-n$ adalah $(n-2) \times 180^{\circ}$
Pada gambar terdapat sebuah segilima, jumlah sudut dalamnya yaitu $\measuredangle F+\measuredangle G+\measuredangle H+\measuredangle I+\measuredangle J=540$

Perhatikan pada segitiga-segitiga berikut:
  • Pada $\bigtriangleup FDC$: $\measuredangle F=180^{\circ}-\measuredangle D-\measuredangle C$
  • Pada $\bigtriangleup GAE$: $\measuredangle G=180^{\circ}-\measuredangle A-\measuredangle E$
  • Pada $\bigtriangleup HBC$: $\measuredangle H=180^{\circ}-\measuredangle B-\measuredangle C$
  • Pada $\bigtriangleup IAD$: $\measuredangle I=180^{\circ}-\measuredangle A-\measuredangle D$
  • Pada $\bigtriangleup JBE$: $\measuredangle J=180^{\circ}-\measuredangle B-\measuredangle E$
Jika kelima sudut diatas kita jumlahkan maka akan kita peroleh:
$\measuredangle F+\measuredangle G+\measuredangle H+\measuredangle I+\measuredangle J=540$
$5 \times 180^{\circ}-(2\measuredangle A+2\measuredangle B+2\measuredangle C+2\measuredangle D+2\measuredangle E)=540$
$2\measuredangle A+2\measuredangle B+2\measuredangle C+2\measuredangle D+2\measuredangle E=900-540$
$2(\measuredangle A+\measuredangle B+\measuredangle C+\measuredangle D+\measuredangle E)=360$
$ \measuredangle A+\measuredangle B+\measuredangle C+\measuredangle D+\measuredangle E=180$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 180^{\circ}$

30. Perhatikan gambar berikut:
Panjang sisi persegi yang besar adalah $1$ satuan. Lima lingkaran mempunyai ukuran yang sama, maka panjang jari-jarinya adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 0,183 \\
(B).\ & 0,211 \\
(C).\ & 0,238 \\
(D).\ & 0,312
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Luas persegi $1$ satuan luas dan di dalam terdapat 5 lingkaran yang kongruen, gambar kita beri titik tambahan kurang lebih seperti berikut ini:

Titik $O$ pusat lingkaran yang ditengah juga merupakan pusat persegi sehingga $OB=BC=\dfrac{1}{2}$ dan $OC=\dfrac{1}{2} \sqrt{2}$.
Perhatikan $\bigtriangleup AOD$
$\begin{align}
OD^{2} &= OA^{2}+AD^{2} \\
(2r)^{2} &= (\dfrac{1}{2}-r)^{2}+r^{2} \\
4r^{2} &= \dfrac{1}{4}-r+r^{2}+r^{2} \\
4r^{2}-2r^{2}+r - \dfrac{1}{4} &= 0 \\
2r^{2}+r - \dfrac{1}{4} &= 0 \\
8r^{2}+4r - 1 &= 0 \\
r &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\
r &= \dfrac{-4 \pm \sqrt{16-4(8)(-1)}}{2(8)} \\
r &= \dfrac{-4 \pm \sqrt{48}}{16} \\
r &= \dfrac{-4 \pm \sqrt4{3}}{16} \\
r &= \dfrac{-1 + \sqrt{3}}{4} \\
r &= \dfrac{-1 - \sqrt{3}}{4} \\
\end{align}$
Karena $r$ adalah jari-jari lingkaran maka yang memenuhui adalah
$r = \dfrac{-1 + \sqrt{3}}{4}$
$r = \dfrac{1}{4}(-1+\sqrt{3})$
$r=\dfrac{1}{4}(-1+1,73...)=0,18...$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 0,183$

31. Perhatikan gambar berikut:
jika besar $\measuredangle\ a=95^{\circ}$ dan $\measuredangle\ b=70^{\circ}$ maka selisih besar sudut $x$ dan $y$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 25^{\circ} \\
(B).\ & 45^{\circ} \\
(C).\ & 65^{\circ} \\
(D).\ & 85^{\circ}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari gambar di atas dapat kita ambil informasi sebagai berikut:
$\measuredangle\ b = \measuredangle\ y$ karena bertolak belakang.
$\measuredangle\ (180-a)+\measuredangle\(180-x)+\measuredangle\b = 180^{circ}$
$\measuredangle\ 180- \measuredangle\ a+\measuredangle\ 180- \measuredangle\ x+\measuredangle\ b = 180^{circ}$
$- \measuredangle\ a - \measuredangle\ x+\measuredangle\ b = -180^{circ}$
$- \measuredangle\ a - \measuredangle\ x+\measuredangle\ y = -180^{circ}$
$ - \measuredangle\ x+\measuredangle\ y = \measuredangle\ a -180^{circ}$
$ - \measuredangle\ x+\measuredangle\ y = 95^{circ} -180^{circ}$
$ - \measuredangle\ x+\measuredangle\ y = -85^{circ}$
$\measuredangle\ x-\measuredangle\ y = 85^{circ}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 85^{circ}$

32. Perhatikan gambar berikut:
Nilai $x$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 13^{\circ} \\
(B).\ & 39^{\circ} \\
(C).\ & 47^{\circ} \\
(D).\ & 55^{\circ}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari gambar di atas dapat kita ambil informasi sebagai berikut:
$\measuredangle\ 2x$ sehadap dengan $\measuredangle\ (180-(x+39))$ sehingga,
$ 2x = 180-(x+39)$
$2x = 180-x-39$
$2x+x = 141$
$3x = 141$
$x=47$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 47^{\circ}$

33. Tahun 1800-an Edward menyatakan bahwa $\pi=3,2$. Jika Edward menghitung volume bangun di bawah ini, maka volume bangun tersebut adalah...satuan volume.
$\begin{align}
(A).\ & 70,4 \\
(B).\ & 140,2 \\
(C).\ & 211,2 \\
(D).\ & 281,6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Gambar di atas terdiri atas $2$ tabung, yaitu tabung I: $r=3$ dan $t=2$ dan tabung II: $r=1$ dan $t=4$.
Volume tabung
$\begin{align}
V_{t} & = V_{I} +V_{II}\\
& = \pi r_{I}^{2} t_{I} +\pi r_{II}^{2} t_{II} \\
& = \pi (3)^{2} \cdot 2 +\pi (1)^{2} \cdot 4 \\
& = 18 \pi + 4 \pi \\
& = 22 \pi \\
& = 22 (3,2) =70,4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 70,4$

34. Sebuah akuarium berbentuk kubus mempunyai panjang rusuk $10\ cm$. Kedalam akuarium tersebut ditambahkan air sampai terisi $30 \%$. Kemudian sebuah tabung besi diletakkan di dalam wadah dengan posisi berdiri tegak sehingga air dalam akuarium naik $x\ cm$. Jika tinggi tabug $10\ cm$ dan luas alas tabung $40\ cm^{2}$, maka nilai $x=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & 2 \\
(B).\ & 3 \\
(C).\ & 4 \\
(D).\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Kubus diisi air $30 \%$ berarti kubus berisi air sebanyak $30 \% \times 1000 = 300\ cm^{3}$, sehingga dengan alas kubus $100\ cm^{2}$ maka tinggi air adalah $3\ cm$.

Tinggi air mula-mula adalah $3\ cm$ dan setelah tabung dimasukkan tinggi air naik $x\ cm$ sehingga volume air seolah-olah bertambah. Volume tabung yang mengakibatkan air naik sebesar $x\ cm$ adalah volume tabung yang terendam air.

Tinggi tabung yang terendam air adalah $(3+x)\ cm$ sehingga volume tabung yang masuk ke dalam air adalah $40(3+x)=(120+40x)\ cm^{3}$.

Setelah tabung masuk tinggi air naik $x\ cm$ sehingga volume kubus yang beirisi air setelah tabung masuk adalah $100 (3+x)=(300+100x)\ cm^{3}$.

Kesimpulan yang bisa kita ambil adalah Volume Air setelah tabung masuk sama dengan volume tabung yang terendam air ditambah volume kubus mula-mula.
$\begin{align}
V_{akhir} & = V_{awal}+V_{tabung}\\
300+100x & = 300 +120+40x \\
100x-40x & = 420-300 \\
60x & = 120 \\
x & = \frac{120}{60}=2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 2$

35. Ke dalam sebuah wadah berbentuk balok berukuran $4\ cm \times 10\ cm \times 14\ cm$ diisi air sebanyak $a\ cm^{3}$. Kemudian balok tersebut dimiringkan sehingga luas permukaan air dalam balok semakin besar (lihat gambar). Jika luas permukaan air saat dimiringkan adalah $50\ cm^{2}$ maka nilai $a=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & 110 \\
(B).\ & 220 \\
(C).\ & 330 \\
(D).\ & 440
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Sebelum balok dimiringkan luas permukaan air adalah sama dengan luas alas yaitu $4 \times 10=40 cm^{2}$.
Banyak air yang diisi adalah $a\ cm^{3}=40t_{air}$.
Luas permukaan air setelah dimiringkan adalah $50\ cm^{2}$ bertambah sebesar $10\ cm^{2}$ dari semula.

Jika kita perhatikan gambar diatas, ketika balok dimiringkan ukuran luas permukaan air berubah tetapi hanya untuk ukuran lebar sedangkan panjang tetap $10\ cm$. Sehingga dapat kita tuliskan
$\begin{align}
50 & = 10 \times (4+x) \\
50 & =40+10x \\
50-40 & =10x \\
10 & =10x \\
x & = 1
\end{align}$
Perhatikan $\bigtriangleup\ MPN$ dimana $MN=5$ adalah lebar permukaan air setelah dimiringkan. Dengan menggunkana konsep teorema pythagoras kita bisa menghitung $PN=3$.

Karena $PN=3$ dan $AN=7$ maka posisi air mula-mula tingginya adalah $4+\frac{3}{2}=5,5$. (*ketika balok dimiringkan tinggi air pada sisi balok ada yang bertambah dan ada yang berkurang)

Banyak air yang diisi adalah $a\ cm^{3}=40 \times 5,5=220\ cm^{3}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 220$

36.
Data di atas menyatakan daftar tinggi badan empat orang sisiwa, yaitu Adi, Budi, Clara, Dedi, namun nama siswa tersebut tidak dicantumkan dalam diagram.
Diketahui Budi adalah siswa terpendek dan Dedi adalah siswa tertinggi. Clara lebih pendek dari Adi. Tentukan tinggi badan Adi.
$\begin{align}
(A).\ & 95\ cm \\
(B).\ & 118\ cm \\
(C).\ & 149\ cm \\
(D).\ & 158\ cm
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari diagram dan keterangan soal, kesimpulan yang bisa kita ambil adalah:Budi adalah siswa terpendek: tinggi sekitar $95\ cm$

  • Budi adalah siswa terpendek maka tinggi Budi sekitar $95\ cm$
  • Dedi adalah siswa tertinggi maka tinggi Dedi sekitar $158\ cm$
  • Clara lebih pendek dari Adi maka tingga clara sekitar $118\ cm$ dan tingg Adi sekitar $149\ cm$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 149$

37. Diketahui nilai terendah $5$ orang siswa berturut-turut adalah $80$ dan 90. Jika modus data tersebut adalah 85 maka rata-rata kelima siswa tersebut yang mungkin adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 75 \\
(B).\ & 80 \\
(C).\ & 85 \\
(D).\ & 90
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dengan menganalisa pilihan yang ada, maka jawaban rata-rata kelima siswa yang mungkin adalah $85$, karena nilai terendah $80$, tertinggi $90$ maka rata-ratanya pasti berada diantara $80-90$.

Alternatif jawaban:
Misalkan nilai kelima orang siswa setelah diurtkan adalah $80,\ x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ 90$.
Karena modus adalah $85$ maka kemungkinan-kemungkinan nilai rata-rata ada beberapa kemungkinan, antara lain;

  • Jika nilai $80,\ 85,\ 85,\ 85,\ 90$ maka
    $\bar{x}=\dfrac{80+85+85+85+90}{5}=85$
  • Jika nilai $80,\ x_{1},\ 85,\ 85,\ 90$ maka
    $\bar{x}=\dfrac{80+x_{1}+85+85+90}{5}=\dfrac{340+x_{1}}{5}$,
    karena nilai $80 \lt x_{1} \lt 85$ maka nilai $80 \lt \bar{x} \lt 85$
  • Jika nilai $80,\ 85,\ 85,\ x_{3},\ 90$ maka
    $\bar{x}=\dfrac{80+85+85+x_{3}+90}{5}=\dfrac{340+x_{1}}{5}$,
    karena nilai $85 \lt x_{3} \lt 89$ maka nilai $85 \lt \bar{x} \lt 90$
Kesimpulan dari tiga kemungkinan diatas, nilai rata-rata yang mungkin adalah $85$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 85$

38. Perhatikan gambar dibawah ini:
Seekor semut berjalan dari $A$ ke $B$. Jika semut hanya dapat bergerak ke kanan atau ke atas. Maka banyak cara berbeda dari titik $A$ ke $B$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 7 \\
(B).\ & 12 \\
(C).\ & 20 \\
(D).\ & 35
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Proses jalan semus kita sajikan dalam gabar sebagai berikut, silahkan dinalar munculnya angka-angka pada gambar;

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ 35$
Soal seperti ini pernah diujikan pada Science Expo SMA Unggul DEL, simak Soal dan Pembahasan Matematika SMP (*Science Expo SMA Unggul DEL)


39. Dua buah dadu dilambungkan bersamaan. Peluang jumlah mata dadu $8$ atau $11$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & \dfrac{5}{36} \\
(B).\ & \dfrac{6}{36} \\
(C).\ & \dfrac{7}{36} \\
(D).\ & \dfrac{8}{36}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dua buah dadu dilambungkan banyak anggota semua kemungkinan yang mungkin muncul adalah $n(S)=36$ yaitu ${(1,1),(1,2), \cdots, (6,6)}$.
Jumlah mata dau yang diharapkan muncul adalah $(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$ atau $(5,6),(6,5)$, banyaknya $n(E)=7$
$\begin{align}
P(E) & =\dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{7}{36}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ \dfrac{7}{36}$

40. Gambar di bawah ini merupakan sebuah roda yang dibagi menjadi $24$ bagian. Pada sebuah acara, seseorang tamu memutar panah yang dapat berhenti di sebarang bagian roda;
Apabila terdapat $\dfrac{7}{24}$ bagian tersebut berwarna biru, $\dfrac{1}{8}$ bagian ungu, $\dfrac{5}{12}$ bagian kuning dan sisanya berwarna merah. Jika seseorang memutar panah, maka warna yang paling sulit didapatkan adalah warna...
$\begin{align}
(A).\ & \text{biru} \\
(B).\ & \text{ungu} \\
(C).\ & \text{kuning} \\
(D).\ & \text{merah}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Banyak bagian warna adalah sebagai berikut:

  • Biru: $\dfrac{7}{24} \times 24 =7$
  • Ungu: $\dfrac{1}{8} \times 24 =3$
  • Kuning: $\dfrac{5}{12} \times 24 =10$
  • Merah: $24- (7+3+10) =4$
Berdasarkan teorema peluang warna yang paling sulit didapatkan adalah warna ungu

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ \text{ungu}$


Beberapa soal yang kita diskusikan diatas sudah setara dengan soal-soal olimpiade matematika tingkat kabupaten, silahkan dicoba Soal dan Pembahasan OSN 2017 Tingkat Kabupaten Matematika SMP atau Soal dan Pembahasan OSN 2018 Tingkat Kabupaten Matematika SMP [Kode: OSN.KK.M.R4].

Silahkan dowload Soal Matematika Ujian Masuk SMA Unggul DEL tahun 2018.

Semoga Bermanfaat, soal-soal dan pembahasan Matematika Seleksi Akademik Masuk SMA Unggul DEL 2018 di atas masih jauh dari sempurna, jadi jika ada masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian atau request pembahasan soal, silahkan disampaikan, kami dengan senang hati segera menanggapinya 😊😊

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;

You Might Also Like: