Calon Guru belajar matematika dasar dari Cara Menentukan Nilai Optimum (Maksimum/Minimum) Fungsi Tujuan atau Fungsi Sasaran Pada Program Linear. Setelah mengenal atau mengetahui daerah penyelesaian pada program linear, selanjutnya akan diperkenalkan dengan fungsi tujuan atau fungsi sasaran.
Pengertian Pemrograman Linear
Menurut Tjutju Tarliah Dimyati dan Ahmad Dimyati dalam buku (Dimyati dan Ahmad, 2003, 17) Program linear adalah perencanaan suatu aktivitas untuk mencapai nilai hasil yang optimum, yaitu hasil yang dapat mencapai tujuan yang terbaik diantara seluruh alternatif yang fisibel.
Dalam buku (Lumbantoruan, 2020, 6) program linear merupakan salah satu teknik untuk menyelesaikan riset operasi, dalam hal untuk menyelesaikan masalah-masalah khusus mengenai optimasi baik memaksimalkan maupun meminimumkan, tetapi terbatas oleh masalah-masalah yang dapat diubah menjadi fungsi linear.
Menurut buku (Rafflesia dan Widodo, 2014, 2) pemrograman linear merupakan suatu teknik pengaplikasian matematika untuk menyelesaikan suatu persoalan dalam pengalokasian sumber-sumber terbatas di antara beberapa aktivitas yang bertujuan untuk memaksimalkan keuntungan atau meminimalkan biaya yang dibatasi oleh suatu batasan-batasan tertentu. (*lihat sumber)
Fungsi Tujuan atau Fungsi Sasaran
Suatu fungsi tujuan atau fungsi sasaran dalam program linier bentuknya tergantung dari masalah yang disajikan, secara umum fungsi tujuan dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk $f(x, y) = ax + by$ dimana $a$ dan $b$ anggota bilangan real.
Fungsi tujuan ini dimaksudkan untuk menentukan nilai optimum dalam suatu soal atau masalah. Sedangkan nilai optimum itu sendiri terdiri dari nilai maksimum (misalnya menyangkut laba, pendapatan, dan lain-lain) dan nilai minimum (misalnya menyangkut biaya, kerugian, dan lain-lain).
Secara umum nilai optimum suatu fungsi sasaran dapat ditentukan dengan menggunakan titik uji atau menggunakan garis selidik. Pada diskusi kita kali ini kita fokuskan menentukan nilai optimum dengan cara menggunakan titik uji.
Untuk menentukan nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi tujuan bukanlah suatu hal yang sulit apabila sudah diketahui daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan. Jika daerah penyelesaian sudah diketahui, selanjutnya hanya melakuakn titik uji ddari daerah himpunan penyelesaian. Untuk lebih jelasnya mari kita lihat dari beberapa contoh berikut:
Daerah yang di arsir pada grafik berikut adalah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear. Nilai maksimum dari fungsi objektif $f(x,y)=3x+5y$ adalah...
Pada soal di atas yang dikatakan dengan fungsi tujuan atau fungsi sasaran seperti penjelasan sebelumnya adalah fungsi objektif yaitu *$f(x,y)=3x+5y$ *. Selanjutnya kita menentukan nilai optimum dari $f(x,y)$ dan yang ditanyakan pada soal ini adalah nilai maksimum dari $f(x,y)=3x+5y$.
Berikutnya kita tinggal menguji titik $(x,y)$ yang kita pilih dari daerah penyelesaian ke fungsi tujuan $f(x,y)=3x+5y$. Tetapi pada Daerah Penyelesaian ada tak hingga banyak titik $(x,y)$ sehingga jika kita uji semua titik itu terhadap fungsi tujuan maka pekerjaan kita tidak akan pernah selesai.
Karena ada tak hingga banyak titik pada daerah penyelesaian, maka titik yang di uji ke fungsi tujuan hanya beberapa titik saja, yaitu titik-titik sudut pada daera penyelesaian. Pengujian titik-titik sudut daerah penyelesaian sudah mewakili interval nilai maksimum dan minimum, jika daerah penyelesaian tertutup.
Pada gambar di atas daerah penyelesaian adalah tertutup, dan titik sudutnya adalah $\left( 0,0 \right)$, $\left( 4,0 \right)$, $\left( 2,3 \right)$ dan $\left( 0,4 \right)$. Titik-titik inilah yang kita uji ke fungsi tujuan $f(x,y)=3x+5y$.
| Titik $(x,y)$ | Nilai Fungsi $f(x,y)=3x+5y$ |
| $(0,0)$ | $f =3(0)+5(0)=0$ |
| $(4,0)$ | $f =3(4)+5(0)=12$ |
| $(2,3)$ | $f =3(2)+5(3)=21$ |
| $(0,4)$ | $f =3(0)+5(4)=20$ |
Dari tabel di atas kita peroleh nilai $f(x,y)=3x+5y$ yang maksimum adalah $21$ dan nilai minimum adalah $0$ sehingga $0 \leq f(x,y) \leq 21$. Nilai maksimum $f(x,y)=3x+5y$ adalah $21$ dan terjadi saat $(2,3)$.
Jika kita pilih sebarang titik dari daerah penyelesaian selain empat titik di atas untuk kita uji ke $f(x,y)=3x+5y$ maka interval nilainya berada pada $0 \leq f(x,y) \leq 21$. Misal titik $\left( 3,1\right)$
$\begin{align} f(x,y) &= 3x+5y \\ f(3,1) &= 3(3)+5(1) \\ & = 9+5 \\ & = 14 \end{align}$
Nilai $f(x,y)=14$ terbukti berada pada interval $0 \leq f(x,y) \leq 21$, dan hal ini juga akan berlaku untuk sebarang titik yang dipilih dari daerah penyelesaian.
Kita coba perhatikan contoh soal kedua:
Daerah yang di arsir pada grafik berikut adalah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear. Nilai minimum dari fungsi objektif $f(x,y)=4x+5y$ adalah...
Pada soal di atas yang dikatakan dengan fungsi tujuan atau fungsi sasaran seperti penjelasan sebelumnya adalah fungsi objektif yaitu *$f(x,y)=4x+5y$ *. Selanjutnya kita menentukan nilai optimum dari $f(x,y)$ dan yang ditanyakan pada soal ini adalah nilai minimum dari $f(x,y)=4x+5y$.
Pada gambar di atas daerah penyelesaian adalah tertutup, dan titik sudutnya adalah $\left( 2,2 \right)$, $\left( 4,3 \right)$, $\left( 5,4.5 \right)$, $\left( 3,6 \right)$, $\left( 1,5.5 \right)$ dan $\left( 0,4 \right)$. Titik-titik inilah yang kita uji ke fungsi tujuan $f(x,y)=4x+5y$.
| Titik $(x,y)$ | Nilai Fungsi $f(x,y)=4x+5y$ |
| $(2,2)$ | $f =4(2)+5(2)=18$ |
| $(4,3)$ | $f =4(4)+5(3)=31$ |
| $(5,4.5)$ | $f =4(5)+5(4.5)=42.5$ |
| $(3,6)$ | $f =4(3)+5(6)=42$ |
| $(1,5.5)$ | $f =4(1)+5(5.5)=26.5$ |
| $(0,4)$ | $f =4(0)+5(4)=20$ |
Dari tabel di atas kita peroleh nilai $f(x,y)=4x+5y$ yang maksimum adalah $42.5$ dan nilai minimum adalah $18$ sehingga $18 \leq f(x,y) \leq 42.5$. Nilai minimum $f(x,y)=4x+5y$ adalah $18$ dan terjadi saat $(2,2)$.
Untuk menentukan nilai optimum sedikit lebih mudah jika gambar daerah penyelesaian sudah diberitahu seperti beberapa contoh di atas. Permasalahan akan berbeda ketika soal yang diberikan hanya dalam bentuk sistem pertidaksamaan, seperti contoh berikut ini:
Nilai minimum dari $20-x-2y$ yang memenuhi $y-2x \geq 0$; $x+y\leq 8$; dan $x\geq 2$ adalah...
Untuk menyelesaikan soal di atas kita terlebih dahulu harus menggambar daerah penyelesaian yang memenuhi sistem pertidaksamaan, lalu menentukan titik sudut pada daerah penyelesaian.
Jika Daerah Himpunan Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan diatas kita gambarkan dengan metode terbalik, maka daerah penyelesaian adalah daerah yang bersih (putih). Gambarnya kurang lebih seperti berikut ini;
Dari daerah penyelesaian di atas, untuk menentukan nilai minimum kita gunakan dengan titik uji;
| Uji Titik | ||
|---|---|---|
| Titik | $F=20-x-2y$ | Nilai |
| $A\ (2,6)$ | $20-(2)-2(6)$ | $6$ |
| $B\ \left(\frac{8}{3}, \frac{16}{3} \right)$ | $20-\left(\frac{8}{3} \right)-2\left( \frac{16}{3} \right)$ | $\frac{20}{3}$ |
| $C\ (2,4)$ | $20-(2)-2(4)$ | $10$ |
Dari tabel diatas nilai minimum $20-x-2y$ adalah $6$ pada saat $(2,6)$.
Pada beberapa contoh soal di atas daerah penyelesaian yang disajikan adalah tertutup, berikut ini contoh soal yang dimana daerah penyelesaian adalah terbuka.
Jika fungsi $f(x,y)=500+x+y$; dengan syarat $x\geq 0$; $y\geq 0$; $2x-y-2\geq 0$ dan $x+2y-6\geq 0$; maka nilai minimum dan nilai maksimum fungsi tersebut adalah...
Daerah Himpunan Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan diatas kita gambarkan dengan metode terbalik, daerah HP adalah daerah yang bersih. Gambarnya kurang lebih seperti berikut ini;
Dari daerah HP diatas, terlihat bahwa daerah Himpunan Penyelesaian tidak tertutup ke daerah atas sehingga nilai maksimumnya tidak dapat ditentukan, dengan kata lain tidak mempunyai nilai masksimum.
Untuk nilai minimum kita coba uji titik sudut daerah penyelesaian yaitu $\left( 2,2 \right)$ dan$\left( 6,0 \right)$. Titik $\left( 2,2 \right)$ merupakan titik potong $2x-y-2=0$ dan $x+2y-6=0$ dan titik $\left( 6,0 \right)$ merupakan titik potong $x+2y-6=0$ dengan sumbu $x$.
| Uji Titik | ||
|---|---|---|
| Titik | $f(x,y)=500+x+y$ | Nilai |
| $(2,2)$ | $500+2+2$ | $504$ |
| $(6,0)$ | $500+0+6$ | $506$ |
Nilai minimum $f(x,y)=500+x+y$ adalah $504$
Catatan tentang Cara Menentukan Nilai Optimum (Maksimum/Minimum) Fungsi Tujuan atau Fungsi Sasaran Pada Program Linear di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.