--> Skip to main content

Aplikasi Turunan Fungsi (*Soal BSE Matematika SMA Kelas XI IPA)

Aplikasi Turunan Fungsi (*Soal dan Pembahasan)Calon Guru belajar Aplikasi Turunan Fungsi. Soal yang kita pilih untuk kita diskusikan dari Buku Sekolah Elektronik Kelas XI IPA.


Buku Sekolah Elektronik (BSE) ini beberapa waktu lalu menjadi program andalan pemerintah dalam memajukan pendidikan di Indonesia. Untuk yang mau melihat langsung soal pada bukunya silahkan didownload saja BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika SMA Kelas 2 IPA yang ditulis oleh Wahyudin Djumanta dan rekan.

FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN


  1. Jika $f'(x) \gt 0$ maka fungsi $y=f(x)$ naik atau sebaliknya jika $y=f(x)$ naik maka $f'(x) \gt 0$
  2. Jika $f'(x) \lt 0$ maka fungsi $y=f(x)$ turun atau sebaliknya jika $y=f(x)$ turun maka $f'(x) \lt 0$

NILAI MAKSIMUM atau NILAI MINIMUM FUNGSI


Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.

1. Soal Aplikasi atau Penerapan Turunan Fungsi

Menurut Departemen Riset sebuah perusahaan, biaya produksi $x$ unit barang jenis $A$ sebesar $2x^{3}-4.000x^{2}+6.000.000x$ rupiah per hari. Jika barang diproduksi, tentukan jumlah unit per hari yang harus diproduksi agar biaya produksi per unitnya minimum.
Alternatif Pembahasan:
show

Dari soal kita ketahui bahwa setiap harinya biaya produksi $x$ unit adalah $2x^{3}-4.000x^{2}+6.000.000x$.
Artinya untuk setiap hari, pembuatan $x$ unit barang jenis $A$ diperlukan biaya sebesar $B_{t}(x)=2x^{3}-4.000x^{2}+6.000.000x$,
Misal untuk $1$ unit total biayanya adalah:
$\begin{align}
B_{t}(x) &= 2x^{3}-4.000x^{2}+6.000.000x \\
(1) &= 2(1)^{3}-4.000(1)^{2}+6.000.000(1) \\
&= 5.996.002
\end{align}$
Biaya per unitnya adalah $5.996.002$.

Untuk $2$ unit total biayanya adalah:
$\begin{align}
B_{t}(x) &= 2x^{3}-4.000x^{2}+6.000.000x \\
B_{t}(2) &= 2(2)^{3}-4.000(2)^{2}+6.000.000(2) \\
&= 5.996.002
\end{align}$
Biaya per unitnya adalah $\dfrac{11.984.016}{2}=5.992.008$.

Untuk $3$ unit total biayanya adalah:
$\begin{align}
B_{t}(x) &= 2x^{3}-4.000x^{2}+6.000.000x \\
B_{t}(3) &= 2(3)^{3}-4.000(3)^{2}+6.000.000(3) \\
&= 17.964.054
\end{align}$
Biaya per unitnya adalah $\dfrac{17.964.054}{3}=5.988.018$.

Dari data yang kita peroleh di atas, jika unit diproduksi semakin banyak biaya total semakin besar tetapi biaya per unitnya semakin murah. Untuk itulah kita diminta coba hitung berapa unit yang akan di produksi agar biaya minimum.

Biaya pembuatan $x$ unit barang jenis $A$ diperlukan biaya sebesar $B_{t}(x)= 2x^{3}-4.000x^{2}+6.000.000x$ sehingga biaya untuk membuat setiap unit barang dalam fungsi $x$ adalah:
$B(x)=\dfrac{2x^{3}-4.000x^{2}+6.000.000x}{x}$
$B(x)=2x^{2}-4.000x +6.000.000$

Untuk menentukan biaya minimum kita coba dengan memakai turunan pertama yaitu saat $B'=0$.
$\begin{align}
B(x) &= 2x^{2}-4.000x +6.000.000 \\
B'(x) &= 4x -4.000 \\
\hline B'(x) &= 0 \\
4x -4.000 &= 0 \\
4x &= 4.000 \\
x &= 1.000
\end{align}$
Jadi agar biaya pembuatan $1$ unit barang jenis $A$ minimum baiknya diproduksi $1.000$ unit setiap hari.

2. Soal Aplikasi atau Penerapan Turunan Fungsi

Dari selembar seng berbentuk persegipanjang, akan dibuat talang air. Kedua tepinya dilipat selebar $x$, seperti pada gambar berikut.
Aplikasi Turunan Fungsi (*Soal dan Pembahasan)
Jika lebar seng tersebut $40\ cm$, tunjukkan bahwa:
(a). luas penampang talang adalah $L (x) = 40x – 2x^{2}$;
(b). tentukan ukuran penampang $L(x) = 40x – 2x^{2}$ agar luas penampang talang maksimum.
Alternatif Pembahasan:
show

Talang seng umumnya berfungsi untuk mengkontrol aliran air hujan pada rumah, sehingga talang seng berada di atas tepat dibawah dan diujung atap rumah. Jika belum bisa membayangkan talang seng itu atau belum mengenal talang seng, coba di search pada google image dengan kata kunci "talang seng". Mungkin dengan melihat gambar yang lebih nyata proses perhitungan lebih mudah dipahami.

Lebar seng $40\ cm$ lalu pada kedua sisi seng dilipat selebar $x$ sehingga lebar penampang seng sekarang adalah $40-2x$, dan tinggi talang adalah $x$.

Aplikasi Turunan Fungsi (*Soal dan Pembahasan)
Yang dimaksud dengan luas penampang talang $(L)$ adalah luas lantai talang (*pada gambar diatas yang biru) dikalikan tinggi talang (*pada gambar merah).
$\begin{align}
L(x) &= (40-2x)(x) \\
&= 40x – 2x^{2}
\end{align}$
$\therefore$ terbukti luas penampang talang adalah $L (x) = 40x – 2x^{2}$.

Dari fungsi $L(x) = 40x – 2x^{2}$. Untuk menghitung nilai $L$ kapan maksimum, kita coba dengan memakai turunan pertama yaitu saat $L'=0$.
$\begin{align}
L(x) = 40x – 2x^{2} \\
L'(x)=40-4x \\
\hline L'(x) &= 0 \\
40 -4x &= 0 \\
4x &= 40 \\
x &= 10
\end{align}$
Agar luas penampang maksimum lebar lantai talang $20\ cm$ dan tinggi talang $10\ cm$.

3. Soal Aplikasi atau Penerapan Turunan Fungsi

Luas sebuah juring lingkaran yang berjari-jari $r$ adalah $4\ cm^{2}$.
(a). Tunjukkan bahwa kelilingnya adalah $K(r)\ cm$ dengan $K(r) = 2 \left( r+\dfrac{4}{r} \right)$.
(b). Tentukan nilai minimum $K$.
Alternatif Pembahasan:
show

Pada soal diketahui bahwa Luas Juring adalah $4\ cm^{2}$ dengan jari-jari $r$, berdasarkan informasi ini bisa kita simpulkan bahwa:
$\begin{align}
L_{juring} &= 4\ cm^{2} \\
L_{juring} &= \dfrac{\theta }{2 \pi} \times L_{\odot} \\
4 &= \dfrac{\theta }{2 \pi} \times \pi r^{2} \\
\dfrac{\theta }{2 \pi} &= \dfrac{4}{\pi r^{2}} \\
\end{align}$
Keliling Juring dapat kita hitung dengan aturan
$\begin{align}
K_{juring}&= \dfrac{\theta }{2 \pi} \times K_{\odot}+2r \\
K(r)&= \dfrac{4}{\pi r^{2}} \times 2 \pi r+2r \\
&= \dfrac{8 \pi r}{\pi r^{2}}+2r \\
&= \dfrac{8}{r}+2r \\
&= \dfrac{8}{r}+2r \\
&= 2 \left( r+\dfrac{4}{r} \right)\\
\end{align}$
$\therefore$ Terbukti $K(r) = 2 \left( r+\dfrac{4}{r} \right)$

Nilai minimum $K$ kita coba menggunakan turunan pertama yaitu memakai $K(r)'=0$.
$\begin{align}
K(r) & = 2 \left( r+\dfrac{4}{r} \right)\\
& = 2 r+\dfrac{8}{r} \\
& = 2 r+8r^{-1} \\
K'(r) & = 2 -8r^{-2} \\
\hline K'(r) & = 0 \\
-8+2r^{2} & = 0 \\
r^{2}-4 & = 0 \\
(r-2)(r+2) & = 0 \\
r=2\ \text{atau}\ r=-2
\end{align}$
Nilai $r$ yang memenuhi adalah $r=2$ karena $r$ adalah sebuah panjang jari-jari.

Keliling minimum $K$ adalah saat $r=2$
$\begin{align}
K(r) & = 2 \left( r+\dfrac{4}{r} \right)\\
K(2)& = 2 \left( 2+\dfrac{4}{2} \right) \\
& = 2 \left( 2+2 \right) \\
& = 8
\end{align}$

4. Soal Aplikasi atau Penerapan Turunan Fungsi

Suatu perusahaan membuat kaleng berbentuk tabung tertutup dengan volume $V$. Upah buruh $(c)$ berbanding langsung dengan panjang bagian yang dipatri, yaitu jumlah tinggi kaleng dengan dua kali keliling alas kaleng.
(a). Jika tinggi kaleng $t$ dan jari-jari alas $r$, buktikan bahwa $c = k \left( \dfrac{V}{\pi r^{2}}+4 \pi r \right)$
dengan $k = \text{konstanta}$.
(b). Buktikan bahwa upah buruh $(c)$ paling murah jika tinggi kaleng sama dengan keliling alasnya.
Alternatif Pembahasan:
show

Upah buruh adalah dari berapa banyak tabung yang selesai dikerjakan $(k)$. Untuk setiap tabung dengan jari-jari $r$ dan tinggi tabung $t$ buruh harus mempatri sebanyak tiga kali yaitu keliling lingkaran sebanyak $2$ kali dan satu kali tinggi tabung.

Upah buruh $(c)$, dapat kita hitung menjadi dalam persamaan;
$\begin{align}
c &= k \left( t+2 \cdot K_{\odot} \right) \\
& = k \left( t+2 \cdot 2 \pi r \right) \\
& = k \left( t+ 4 \pi r \right) \\
\hline V & = \pi r^{2} \times t \\
\dfrac{V}{\pi r^{2}} & = t \\
\hline c & = k \left( \dfrac{V}{\pi r^{2}}+4 \pi r \right)
\end{align}$
$\therefore$ Terbukti $K(r) = 2 \left( r+\dfrac{4}{r} \right)$

Untuk dapat $(c)$ minimum kita coba dapatkan dengan $c'=0$
$\begin{align}
c &= k \left( \dfrac{V}{\pi r^{2}}+4 \pi r \right) \\
c &= k \left( \dfrac{V}{\pi }r^{-2}+4 \pi r \right) \\
c' &= k \left( -2 \dfrac{V}{\pi }r^{-3}+4 \pi \right) \\
\hline c' &=0 \\
0 &= k \left( -2 \dfrac{V}{\pi }r^{-3}+4 \pi \right) \\
0 &= -2 \dfrac{V}{\pi }r^{-3}+4 \pi \\
2 \dfrac{V}{\pi }r^{-3} &= 4 \pi \\
2 \dfrac{\pi r^{2} \times t}{\pi }r^{-3} &= 4 \pi \\
2 \times t \times r^{-1} &= 4 \pi \\
t &= 2 \pi\ r
\end{align}$
Kesimpulan yang kita peroleh agar $c$ minimum $t=2 \pi\ r$.
Pernyataan (b) upah buruh $c$ paling murah jika tinggi kaleng sama dengan keliling alasnya terbukti

5. Soal Aplikasi atau Penerapan Turunan Fungsi

Rata-rata pertumbuhan suatu bakteri setelah $t$ menit diberikan oleh persamaan $N(t) = 1000 + 30t^{2} – t^{3}$, $0 \leq t \leq 20$
Tentukan kapan pertumbuhan bakteri tersebut
(a). menurun,
(b). meningkat, dan
(c). mencapai maksimum.
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk melihat kapan pertumbuhan bakteri menurun, meningkat dan maksimum pada saat $0 \leq t \leq 20$ dapat kita hitung dengan menggunakan turunan pertama $N'(t)$.
$N(t) = 1000 + 30t^{2} – t^{3}$
$N'(t) = 60t – 3t^{2}$

(a) Bakteri menurun saat turunan pertama kurang dari nol
$\begin{align}
N'(t) & \lt 0 \\
60t – 3t^{2} & \lt 0 \\
3t^{2}-60t\ & \gt 0 \\
t(3t-60)\ & \gt 0 \\
t \lt 0\ \text{atau}\ t \gt 20
\end{align}$
$\therefore$ bakteri menurun pada $t \lt 0$ atau $t \gt 20$, sehingga untuk waktu $0 \leq t \leq 20$ bakteri tidak pernah turun.
(b) Bakteri meningkat saat turunan pertama lebih dari nol
$\begin{align}
N'(t) & \gt 0 \\
60t – 3t^{2} & \gt 0 \\
3t^{2}-60t & \lt 0 \\
t(3t-60) & \lt 0 \\
0 \lt t \lt 20 &
\end{align}$
$\therefore$ bakteri meningkat pada $0 \lt t \lt 20$, sehingga untuk waktu $0 \leq t \leq 20$ bakteri terus meningkat.

(*Jika kesulitan menentukan HP pertidaksamaan kuadrat dengan cepat Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat)
(c) Petumbuhan bakteri maksimum
$\begin{align}
N(t) &= 1000 + 30t^{2} – t^{3} \\
N'(t) &=60t – 3t^{2} \\
\hline N'(x) &= 0 \\
0 &= 60t – 3t^{2} \\
0 &= t \left(60 -3t \right) \\
& t =0\ \text{atau}\ x=20 \\
\hline N''(t) &=60 – 6t \\
N''(0) &= 60 \gt 0\ \ t=0\ \ \text{pembuat minimum } \\
N''(20) &= -60 \lt 0\ \ t=20\ \ \text{pembuat maximum } \\
\end{align}$
Saat $t=20$ maka nilai $N(x)$ maksimum, karena $N''(x)=60 – 6t$ kurang dari nol.
Atau bisa dengan membandingkan nilai $N(t)$ saat $t=0$ dan $t=20$, maka akan diperoleh masksimum saat $t=20$.

6. Soal Aplikasi atau Penerapan Turunan Fungsi

Setelah satu jam $x$ miligram obat tertentu diberikan kepada seseorang, perubahan temperatur (dinyatakan dalam Fahrenheit) dalam tubuhnya diberikan oleh persamaan $T(x) = x^{2} \left(1- \dfrac{x}{9} \right)$, $0 \leq t \leq 6$
Rata-rata perubahan $T(x)$ bersesuaian dengan ukuran dosis $x$. $T(x)$ disebut sensitivitas tubuh terhadap dosis obat.
a. Kapan sensitivitas tubuh meningkat?
b. Kapan sensitivitas tubuh menurun?
c. Berapakah nilai maksimum sensitivitas tubuh?
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk melihat sensitivitas tubuh menurun, meningkat dan maksimum pada saat $0 \leq t \leq 6$ dapat kita hitung dengan menggunakan turunan pertama $T'(x)$.
$\begin{align}
T(x) &= x^{2} \left(1- \dfrac{x}{9} \right) \\
T(x) &= x^{2}- \dfrac{1}{9}x^{3} \\
T'(x) &= 2x- \dfrac{1}{3}x^{2} \\
\end{align}$
(a) sensitivitas tubuh meningkat saat turunan pertama lebih dari nol
$\begin{align}
T'(x) & \gt 0 \\
2x- \dfrac{1}{3}x^{2} & \gt 0 \\
\dfrac{1}{3}x^{2}-2x & \lt 0 \\
x^{2}-6x & \lt 0 \\
x \left( x-6 \right) & \lt 0 \\
0 \lt x \lt 6 &
\end{align}$
(*Jika kesulitan menentukan HP pertidaksamaan kuadrat dengan cepat Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat)
(b) sensitivitas tubuh menurun saat turunan pertama kurang dari nol
$\begin{align}
T'(x) & \lt 0 \\
2x- \dfrac{1}{3}x^{2} & \lt 0 \\
x^{2}-6x\ & \gt 0 \\
x \left ( x-6 \right)\ & \gt 0 \\
x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 6 &
\end{align}$
(c) sensitivitas tubuh maksimum kita coba dengan turunan kedua
$\begin{align}
T(x) &= x^{2}- \dfrac{1}{9}x^{3} \\
T'(x) &= 2x- \dfrac{1}{3}x^{2} \\
\hline T'(x) &= 0 \\
0 &= 2x- \dfrac{1}{3}x^{2} \\
0 &= x \left ( x-6 \right) \\
& x =0\ \text{atau}\ x=6 \\
\hline T''(x) &= 2 - \dfrac{2}{3}x \\
T''(0) &= 2 \gt 0\ \ x=0\ \ \text{pembuat minimum } \\
T''(6) &= -2 \lt 0\ \ x=6\ \ \text{pembuat maximum } \\
\end{align}$
Saat $x=6$ maka nilai $T(x)$ maksimum karena $T''(x)=2- \dfrac{2}{3}x$ kurang dari nol.
$\begin{align}
T(x) &= x^{2}- \dfrac{1}{9}x^{3} \\
T(6) &= 6^{2}- \dfrac{1}{9} \cdot 6^{3} \\
&= 36- 24 =12 \\
\end{align}$
Atau bisa dengan membandingkan nilai $T(x)$ saat $x=0$ dan $x=6$, maka akan diperoleh masksimum saat $x=6$


Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Aplikasi Turunan Fungsi (*Soal BSE Matematika SMA Kelas XI IPA) silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Sangat Kreatif dan Sangat Cepat, Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat;
youtube image
Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Aplikasi Turunan Fungsi (*Soal BSE Matematika SMA Kelas XI IPA)" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih 🙏 support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar