Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Aplikasi Turunan Fungsi dan soal latihan yang kita pilih untuk kita diskusikan dari Buku Sekolah Elektronik Kelas XI IPA.
Buku Sekolah Elektronik (BSE) ini beberapa waktu lalu menjadi program andalan pemerintah dalam memajukan pendidikan di Indonesia. Untuk yang mau melihat langsung soal pada bukunya silahkan didownload saja BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika SMA Kelas 2 IPA yang ditulis oleh Wahyudin Djumanta dan rekan.
FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN
- Jika $f'(x) \gt 0$ maka fungsi $y=f(x)$ naik atau sebaliknya jika $y=f(x)$ naik maka $f'(x) \gt 0$
- Jika $f'(x) \lt 0$ maka fungsi $y=f(x)$ turun atau sebaliknya jika $y=f(x)$ turun maka $f'(x) \lt 0$
Untuk catatan yang membahas tentang fungsi naik dan turun menggunakan turunan silahkan disimak pada catatan cara menentukan fungsi naik, fungsi turun dan titik stasioner.
NILAI MAKSIMUM atau NILAI MINIMUM
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
Untuk catatan yang membahas tentang nilai maksimum dan nilai minimum menggunakan turunan silahkan disimak pada catatan penerapan turunan fungsi.
Soal turunan fungsi sudah sering diujikan pada Ujian Nasional atau Ujian Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri, jika tertarik untuk membahahas soal-soal tentang turunan fungsi yang sudah pernah diujikan pada Ujian Nasional atau Ujian Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri silahkan di simak pada catatan berikut:
- Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi Aljabar
- Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi Trigonometri
- Aplikasi Turunan Fungsi (*Soal BSE Matematika SMA Kelas XI IPA)
Berikut soal latihan dari Buku Sekolah Elektronik (BSE) Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika SMA Kelas 2 IPA yang ditulis oleh Wahyudin Djumanta dan rekan.
1. Soal Aplikasi atau Penerapan Turunan Fungsi
Menurut Departemen Riset sebuah perusahaan, biaya produksi $x$ unit barang jenis $A$ sebesar $2x^{3}-4.000x^{2}+6.000.000x$ rupiah per hari. Jika barang diproduksi, tentukan jumlah unit per hari yang harus diproduksi agar biaya produksi per unitnya minimum.
Alternatif Pembahasan:
Dari soal kita ketahui bahwa setiap harinya biaya produksi $x$ unit adalah $2x^{3}-4.000x^{2}+6.000.000x$.
Artinya untuk setiap hari, pembuatan $x$ unit barang jenis $A$ diperlukan biaya sebesar $B_{t}(x)=2x^{3}-4.000x^{2}+6.000.000x$,
Misal untuk $1$ unit total biayanya adalah:
$\begin{align}
B_{t}(x) &= 2x^{3}-4.000x^{2}+6.000.000x \\
(1) &= 2(1)^{3}-4.000(1)^{2}+6.000.000(1) \\
&= 5.996.002
\end{align}$
Biaya per unitnya adalah $5.996.002$.
Untuk $2$ unit total biayanya adalah:
$\begin{align}
B_{t}(x) &= 2x^{3}-4.000x^{2}+6.000.000x \\
B_{t}(2) &= 2(2)^{3}-4.000(2)^{2}+6.000.000(2) \\
&= 5.996.002
\end{align}$
Biaya per unitnya adalah $\dfrac{11.984.016}{2}=5.992.008$.
Untuk $3$ unit total biayanya adalah:
$\begin{align}
B_{t}(x) &= 2x^{3}-4.000x^{2}+6.000.000x \\
B_{t}(3) &= 2(3)^{3}-4.000(3)^{2}+6.000.000(3) \\
&= 17.964.054
\end{align}$
Biaya per unitnya adalah $\dfrac{17.964.054}{3}=5.988.018$.
Dari data yang kita peroleh di atas, jika unit diproduksi semakin banyak biaya total semakin besar tetapi biaya per unitnya semakin murah. Untuk itulah kita diminta coba hitung berapa unit yang akan di produksi agar biaya minimum.
Biaya pembuatan $x$ unit barang jenis $A$ diperlukan biaya sebesar $B_{t}(x)= 2x^{3}-4.000x^{2}+6.000.000x$ sehingga biaya untuk membuat setiap unit barang dalam fungsi $x$ adalah:
$B(x)=\dfrac{2x^{3}-4.000x^{2}+6.000.000x}{x}$
$B(x)=2x^{2}-4.000x +6.000.000$
Untuk menentukan biaya minimum kita coba dengan memakai turunan pertama yaitu saat $B'=0$.
$\begin{align}
B(x) &= 2x^{2}-4.000x +6.000.000 \\
B'(x) &= 4x -4.000 \\
\hline
B'(x) &= 0 \\
4x -4.000 &= 0 \\
4x &= 4.000 \\
x &= 1.000
\end{align}$
Jadi agar biaya pembuatan $1$ unit barang jenis $A$ minimum baiknya diproduksi $1.000$ unit setiap hari.
2. Soal Aplikasi atau Penerapan Turunan Fungsi
Dari selembar seng berbentuk persegipanjang, akan dibuat talang air. Kedua tepinya dilipat selebar $x$, seperti pada gambar berikut.
Jika lebar seng tersebut $40\ cm$, tunjukkan bahwa:
(a). luas penampang talang adalah $L (x) = 40x – 2x^{2}$;
(b). tentukan ukuran penampang $L(x) = 40x – 2x^{2}$ agar luas penampang talang maksimum.
Alternatif Pembahasan:
Talang seng umumnya berfungsi untuk mengkontrol aliran air hujan pada rumah, sehingga talang seng berada di atas tepat dibawah dan diujung atap rumah. Jika belum bisa membayangkan talang seng itu atau belum mengenal talang seng, coba di search pada google image dengan kata kunci "talang seng". Mungkin dengan melihat gambar yang lebih nyata proses perhitungan lebih mudah dipahami.
Lebar seng $40\ cm$ lalu pada kedua sisi seng dilipat selebar $x$ sehingga lebar penampang seng sekarang adalah $40-2x$, dan tinggi talang adalah $x$.
Yang dimaksud dengan luas penampang talang $(L)$ adalah luas lantai talang (*pada gambar diatas yang biru) dikalikan tinggi talang (*pada gambar merah).
$\begin{align}
L(x) &= (40-2x)(x) \\
&= 40x – 2x^{2}
\end{align}$
$\therefore$ terbukti luas penampang talang adalah $L (x) = 40x – 2x^{2}$.
Dari fungsi $L(x) = 40x – 2x^{2}$. Untuk menghitung nilai $L$ kapan maksimum, kita coba dengan memakai turunan pertama yaitu saat $L'=0$.
$\begin{align}
L(x) = 40x – 2x^{2} \\
L'(x)=40-4x \\
\hline
L'(x) &= 0 \\
40 -4x &= 0 \\
4x &= 40 \\
x &= 10
\end{align}$
Agar luas penampang maksimum lebar lantai talang $20\ cm$ dan tinggi talang $10\ cm$.
3. Soal Aplikasi atau Penerapan Turunan Fungsi
Luas sebuah juring lingkaran yang berjari-jari $r$ adalah $4\ cm^{2}$.
(a). Tunjukkan bahwa kelilingnya adalah $K(r)\ cm$ dengan $K(r) = 2 \left( r+\dfrac{4}{r} \right)$.
(b). Tentukan nilai minimum $K$.
Alternatif Pembahasan:
Pada soal diketahui bahwa Luas Juring adalah $4\ cm^{2}$ dengan jari-jari $r$, berdasarkan informasi ini bisa kita simpulkan bahwa:
$\begin{align}
L_{juring} &= 4\ cm^{2} \\
L_{juring} &= \dfrac{\theta }{2 \pi} \times L_{\odot} \\
4 &= \dfrac{\theta }{2 \pi} \times \pi r^{2} \\
\dfrac{\theta }{2 \pi} &= \dfrac{4}{\pi r^{2}} \\
\end{align}$
Keliling Juring dapat kita hitung dengan aturan
$\begin{align}
K_{juring}&= \dfrac{\theta }{2 \pi} \times K_{\odot}+2r \\
K(r)&= \dfrac{4}{\pi r^{2}} \times 2 \pi r+2r \\
&= \dfrac{8 \pi r}{\pi r^{2}}+2r \\
&= \dfrac{8}{r}+2r \\
&= \dfrac{8}{r}+2r \\
&= 2 \left( r+\dfrac{4}{r} \right)\\
\end{align}$
$\therefore$ Terbukti $K(r) = 2 \left( r+\dfrac{4}{r} \right)$
Nilai minimum $K$ kita coba menggunakan turunan pertama yaitu memakai $K(r)'=0$.
$\begin{align}
K(r) & = 2 \left( r+\dfrac{4}{r} \right)\\
& = 2 r+\dfrac{8}{r} \\
& = 2 r+8r^{-1} \\
K'(r) & = 2 -8r^{-2} \\
\hline
K'(r) & = 0 \\
-8+2r^{2} & = 0 \\
r^{2}-4 & = 0 \\
(r-2)(r+2) & = 0 \\
r=2\ \text{atau}\ r=-2
\end{align}$
Nilai $r$ yang memenuhi adalah $r=2$ karena $r$ adalah sebuah panjang jari-jari.
Keliling minimum $K$ adalah saat $r=2$
$\begin{align}
K(r) & = 2 \left( r+\dfrac{4}{r} \right)\\
K(2)& = 2 \left( 2+\dfrac{4}{2} \right) \\
& = 2 \left( 2+2 \right) \\
& = 8
\end{align}$
4. Soal Aplikasi atau Penerapan Turunan Fungsi
Suatu perusahaan membuat kaleng berbentuk tabung tertutup dengan volume $V$. Upah buruh $(c)$ berbanding langsung dengan panjang bagian yang dipatri, yaitu jumlah tinggi kaleng dengan dua kali keliling alas kaleng.
(a). Jika tinggi kaleng $t$ dan jari-jari alas $r$, buktikan bahwa $c = k \left( \dfrac{V}{\pi r^{2}}+4 \pi r \right)$
dengan $k = \text{konstanta}$.
(b). Buktikan bahwa upah buruh $(c)$ paling murah jika tinggi kaleng sama dengan keliling alasnya.
Alternatif Pembahasan:
Upah buruh adalah dari berapa banyak tabung yang selesai dikerjakan $(k)$. Untuk setiap tabung dengan jari-jari $r$ dan tinggi tabung $t$ buruh harus mempatri sebanyak tiga kali yaitu keliling lingkaran sebanyak $2$ kali dan satu kali tinggi tabung.
Upah buruh $(c)$, dapat kita hitung menjadi dalam persamaan;
$\begin{align}
c &= k \left( t+2 \cdot K_{\odot} \right) \\
& = k \left( t+2 \cdot 2 \pi r \right) \\
& = k \left( t+ 4 \pi r \right) \\
\hline
V & = \pi r^{2} \times t \\
\dfrac{V}{\pi r^{2}} & = t \\
\hline
c & = k \left( \dfrac{V}{\pi r^{2}}+4 \pi r \right)
\end{align}$
$\therefore$ Terbukti $K(r) = 2 \left( r+\dfrac{4}{r} \right)$
Untuk dapat $(c)$ minimum kita coba dapatkan dengan $c'=0$
$\begin{align}
c &= k \left( \dfrac{V}{\pi r^{2}}+4 \pi r \right) \\
c &= k \left( \dfrac{V}{\pi }r^{-2}+4 \pi r \right) \\
c' &= k \left( -2 \dfrac{V}{\pi }r^{-3}+4 \pi \right) \\
\hline
c' &=0 \\
0 &= k \left( -2 \dfrac{V}{\pi }r^{-3}+4 \pi \right) \\
0 &= -2 \dfrac{V}{\pi }r^{-3}+4 \pi \\
2 \dfrac{V}{\pi }r^{-3} &= 4 \pi \\
2 \dfrac{\pi r^{2} \times t}{\pi }r^{-3} &= 4 \pi \\
2 \times t \times r^{-1} &= 4 \pi \\
t &= 2 \pi\ r
\end{align}$
Kesimpulan yang kita peroleh agar $c$ minimum $t=2 \pi\ r$.
Pernyataan (b) upah buruh $c$ paling murah jika tinggi kaleng sama dengan keliling alasnya terbukti
5. Soal Aplikasi atau Penerapan Turunan Fungsi
Rata-rata pertumbuhan suatu bakteri setelah $t$ menit diberikan oleh persamaan $N(t) = 1000 + 30t^{2} – t^{3}$, $0 \leq t \leq 20$
Tentukan kapan pertumbuhan bakteri tersebut
(a). menurun,
(b). meningkat, dan
(c). mencapai maksimum.
Alternatif Pembahasan:
Untuk melihat kapan pertumbuhan bakteri menurun, meningkat dan maksimum pada saat $0 \leq t \leq 20$ dapat kita hitung dengan menggunakan turunan pertama $N'(t)$.
$N(t) = 1000 + 30t^{2} – t^{3}$
$N'(t) = 60t – 3t^{2}$
(a) Bakteri menurun saat turunan pertama kurang dari nol
$\begin{align}
N'(t) & \lt 0 \\
60t – 3t^{2} & \lt 0 \\
3t^{2}-60t\ & \gt 0 \\
t(3t-60)\ & \gt 0 \\
t \lt 0\ \text{atau}\ t \gt 20
\end{align}$
$\therefore$ bakteri menurun pada $t \lt 0$ atau $t \gt 20$, sehingga untuk waktu $0 \leq t \leq 20$ bakteri tidak pernah turun.
(b) Bakteri meningkat saat turunan pertama lebih dari nol
$\begin{align}
N'(t) & \gt 0 \\
60t – 3t^{2} & \gt 0 \\
3t^{2}-60t & \lt 0 \\
t(3t-60) & \lt 0 \\
0 \lt t \lt 20 &
\end{align}$
$\therefore$ bakteri meningkat pada $0 \lt t \lt 20$, sehingga untuk waktu $0 \leq t \leq 20$ bakteri terus meningkat.
(*Jika kesulitan menentukan HP pertidaksamaan kuadrat dengan cepat Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat)
(c) Petumbuhan bakteri maksimum
$\begin{align}
N(t) &= 1000 + 30t^{2} – t^{3} \\
N'(t) &=60t – 3t^{2} \\
\hline
N'(x) &= 0 \\
0 &= 60t – 3t^{2} \\
0 &= t \left(60 -3t \right) \\
& t =0\ \text{atau}\ x=20 \\
\hline
N''(t) &=60 – 6t \\
N''(0) &= 60 \gt 0\ \ t=0\ \ \text{pembuat minimum } \\
N''(20) &= -60 \lt 0\ \ t=20\ \ \text{pembuat maximum } \\
\end{align}$
Saat $t=20$ maka nilai $N(x)$ maksimum, karena $N''(x)=60 – 6t$ kurang dari nol.
Atau bisa dengan membandingkan nilai $N(t)$ saat $t=0$ dan $t=20$, maka akan diperoleh masksimum saat $t=20$.
6. Soal Aplikasi atau Penerapan Turunan Fungsi
Setelah satu jam $x$ miligram obat tertentu diberikan kepada seseorang, perubahan temperatur (dinyatakan dalam Fahrenheit) dalam tubuhnya diberikan oleh persamaan $T(x) = x^{2} \left(1- \dfrac{x}{9} \right)$, $0 \leq t \leq 6$
Rata-rata perubahan $T(x)$ bersesuaian dengan ukuran dosis $x$. $T(x)$ disebut sensitivitas tubuh terhadap dosis obat.
a. Kapan sensitivitas tubuh meningkat?
b. Kapan sensitivitas tubuh menurun?
c. Berapakah nilai maksimum sensitivitas tubuh?
Alternatif Pembahasan:
Untuk melihat sensitivitas tubuh menurun, meningkat dan maksimum pada saat $0 \leq t \leq 6$ dapat kita hitung dengan menggunakan turunan pertama $T'(x)$.
$\begin{align}
T(x) &= x^{2} \left(1- \dfrac{x}{9} \right) \\
T(x) &= x^{2}- \dfrac{1}{9}x^{3} \\
T'(x) &= 2x- \dfrac{1}{3}x^{2} \\
\end{align}$
(a) sensitivitas tubuh meningkat saat turunan pertama lebih dari nol
$\begin{align}
T'(x) & \gt 0 \\
2x- \dfrac{1}{3}x^{2} & \gt 0 \\
\dfrac{1}{3}x^{2}-2x & \lt 0 \\
x^{2}-6x & \lt 0 \\
x \left( x-6 \right) & \lt 0 \\
0 \lt x \lt 6 &
\end{align}$
(*Jika kesulitan menentukan HP pertidaksamaan kuadrat dengan cepat Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat)
(b) sensitivitas tubuh menurun saat turunan pertama kurang dari nol
$\begin{align}
T'(x) & \lt 0 \\
2x- \dfrac{1}{3}x^{2} & \lt 0 \\
x^{2}-6x\ & \gt 0 \\
x \left ( x-6 \right)\ & \gt 0 \\
x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 6 &
\end{align}$
(c) sensitivitas tubuh maksimum kita coba dengan turunan kedua
$\begin{align}
T(x) &= x^{2}- \dfrac{1}{9}x^{3} \\
T'(x) &= 2x- \dfrac{1}{3}x^{2} \\
\hline
T'(x) &= 0 \\
0 &= 2x- \dfrac{1}{3}x^{2} \\
0 &= x \left ( x-6 \right) \\
& x =0\ \text{atau}\ x=6 \\
\hline
T''(x) &= 2 - \dfrac{2}{3}x \\
T''(0) &= 2 \gt 0\ \ x=0\ \ \text{pembuat minimum } \\
T''(6) &= -2 \lt 0\ \ x=6\ \ \text{pembuat maximum } \\
\end{align}$
Saat $x=6$ maka nilai $T(x)$ maksimum karena $T''(x)=2- \dfrac{2}{3}x$ kurang dari nol.
$\begin{align}
T(x) &= x^{2}- \dfrac{1}{9}x^{3} \\
T(6) &= 6^{2}- \dfrac{1}{9} \cdot 6^{3} \\
&= 36- 24 =12 \\
\end{align}$
Atau bisa dengan membandingkan nilai $T(x)$ saat $x=0$ dan $x=6$, maka akan diperoleh masksimum saat $x=6$
Catatan tentang Aplikasi Turunan Fungsi Pembahasan Soal Latihan dari BSE Matematika SMA Kelas XI IPA di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.