The good student bersama calon guru kita belajar matematika tentang Cara Alternatif dan Sangat Kreatif Untuk Menghafal Nilai Sudut -sudut Istimewa pada Perbandingan Trigonometri.
Sebelumnya kita sudah mengenal dan setidaknya tahu yang dimaksud dengan Perbandingan Trigonometri. Dalam mempelajari perbandingan trigonometri, kita tidak bisa lepas dari yang namanya sudut dan terkhusus sudut istimewa. Istilah sudut istimewa ini sering juga dikatakan dengan 'sudut khusus'.
Dikatakan sudut istimewa atau sudut khusus, karena sudut ini nilai perbandingan trigonometrinya dapat ditentukan tanpa menggunakan alat hitung seperti kalkulator atau tabel trigonometri.
Sebagai tahap awal, kita coba menghafal sudut istimewa perbandingan trigonometri untuk sudut $0^{\circ}$, $30^{\circ}$, $45^{\circ}$, $60^{\circ}$, dan $90^{\circ}$.
Jika sudah bisa mengingat sudut istimewa $0^{\circ}$, $30^{\circ}$, $45^{\circ}$, $60^{\circ}$, dan $90^{\circ}$ secara berurut dari yang terkecil sampai yang terbesar, maka nilai perbandingan trigonometri pada sudut-sudut ini dapat dengan mudah kita tentukan. Bagaimana cara menemukan nilainya mari kita mulai💗
Nilai Sudut Istimewa Untuk Sinus
Untuk menghafal nilai perbandingan trigonemetri pada sinus, coba perhatikan bilangan berikut:
$ \frac{1}{2}\sqrt{0}$, $\frac{1}{2}\sqrt{1},$ $\frac{1}{2}\sqrt{2},$ $\frac{1}{2}\sqrt{3},$ $\frac{1}{2}\sqrt{4}$
Bilangan di atas mempunyai pola yang berurut naik, dan bilangan di atas kita pindahkan pada tabel perbandingan trigonometri untuk sinus, menjadi seperti berikut ini:
$\alpha$ | $0^{\circ}$ | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ | $90^{\circ}$ |
$\sin \alpha$ | $\frac{1}{2}\sqrt{0}$ | $\frac{1}{2}\sqrt{1}$ | $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ | $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ | $\frac{1}{2}\sqrt{4}$ |
$\sin \alpha$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ | $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ | $1$ |
Dari tabel di atas kita peroleh $\sin 0^{\circ} = 0$, $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$, $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{2}\sqrt{2}$, $\sin 60^{\circ} = \frac{1}{2}\sqrt{3}$, dan $\sin 90^{\circ} = 1$.
Nilai Sudut Istimewa Untuk Cosinus
Untuk menghafal nilai perbandingan trigonemetri pada cosinus, coba perhatikan bilangan berikut:
$ \frac{1}{2}\sqrt{4},$ $\frac{1}{2}\sqrt{3},$ $\frac{1}{2}\sqrt{2},$ $\frac{1}{2}\sqrt{1},$ $\frac{1}{2}\sqrt{0}$Bilangan di atas mempunyai pola yang berurut turun, dan bilangan di atas kita pindahkan pada tabel perbandingan trigonometri untuk cosinus, menjadi seperti berikut ini:
| $\alpha$ | $0^{\circ}$ | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ | $90^{\circ}$ |
|---|---|---|---|---|---|
$\cos \alpha$ | $\frac{1}{2}\sqrt{4}$ | $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ | $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ | $\frac{1}{2}\sqrt{1}$ | $\frac{1}{2}\sqrt{0}$ |
$\cos \alpha$ | $1$ | $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ | $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ |
Dari tabel di atas kita peroleh, $\cos 0^{\circ} = 1$, $\cos 30^{\circ} = \frac{1}{2}\sqrt{3}$, $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{2}\sqrt{2}$, $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} $, dan $\cos 90^{\circ} = 0$.
Nilai Sudut Istimewa Untuk tangen
Untuk mengetahui nilai tangen sudut istimewa kita gunakan definisi tangen yaitu $\tan A = \dfrac{\sin A}{\cos A}$, sehingga dengan sedikit hitungan sederhana kita dapat kita peroleh:
- $ \tan 0^{\circ} = \dfrac{\sin 0^{\circ}}{\cos 0^{\circ}}=\dfrac{0}{1}= 0 $
- $ \tan 30^{\circ} = \dfrac{\sin 30^{\circ}}{\cos 30^{\circ}}=\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}}=\dfrac{1}{3}\sqrt{3}$
- $ \tan 45^{\circ}= \dfrac{\sin 45^{\circ}}{\cos 45^{\circ}} = \dfrac{\frac{1}{2}\sqrt{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}= 1 $
- $ \tan 60^{\circ}= \dfrac{\sin 60^{\circ}}{\cos 60^{\circ}} = \dfrac{\frac{1}{2}\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}= \sqrt{3} $
- $ \tan 90^{\circ}= \dfrac{\sin 90^{\circ}}{\cos 90^{\circ}} = -\ \text{(tidak terdefinisi)}$
Setelah nilai $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ dan $\tan \alpha$ kita gabung dalam satu tabel menjadi seperti tabel berikut:
| $\alpha$ | $0^{\circ}$ | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ | $90^{\circ}$ |
|---|---|---|---|---|---|
$\sin \alpha$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ | $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ | $1$ |
$\cos \alpha$ | $1$ | $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ | $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ |
$\tan \alpha$ | $0$ | $\frac{1}{3}\sqrt{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | $-$ (tidak terdefinisi) |
Nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa untuk cosecan, secan dan cotangen kita lakukan seperti mendapatkan nilai tangen, kita lakukan sedikit perhitungan.
- Menghitung nilai $\csc\ \alpha$ dapat dihitung dengan $\csc\ \alpha= \dfrac{1}{\sin \alpha}$.
Misal $\csc\ 30^{\circ}= \dfrac{1}{\sin 30^{\circ}}= \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=2$ - Menghitung nilai $\sec \alpha$ dapat dihitung dengan $\sec \alpha= \dfrac{1}{\cos \alpha}$.
Misal $\sec\ 45^{\circ}= \dfrac{1}{\cos 45^{\circ}}= \dfrac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ - Menghitung nilai $\cot \alpha$ dapat dihitung dengan $\cot \alpha= \dfrac{1}{\tan \alpha}$, atau $\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
Misal $\cot 60^{\circ}= \dfrac{1}{\tan 60^{\circ}}= \dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{1}{3}\sqrt{3}$
Nilai Perbandingan Trigonometri Untuk di Kuadran Dua, Tiga dan Empat
Untuk mengingat nilai perbandingan trigonometri pada kuadran dua, tiga dan empat dapat kita gunakan trik di atas.
Untum menggunakan langkah-langkah di atas mungkin bisa langsung dicoba atau dapat diperhatikan contoh soal di bawah ini🙏
- Nilai dari $5 \cdot \sin 45^{\circ} + 5 \cdot \cos 30^{\circ} + 2 \cdot \tan 60^{\circ}$ adalah...
- Nilai dari $6 \cdot \sin 60^{\circ} \cdot 2 \cdot \cos 45^{\circ} \cdot \tan 45^{\circ}$ adalah...
- Nilai dari $6 \cdot \sin 60^{\circ} \cdot 2 \cdot \cos 45^{\circ} \cdot \tan 45^{\circ}$ adalah...
- Hitunglah nilai dari $\dfrac{\cos 30^{\circ} + \sin 45^{\circ}}{\sec 0^{\circ}}=\cdots$
- Tentukan nilai dari $\sin 150^{\circ} \cdot \cos 225^{\circ} \cdot \tan 300^{\circ}=\cdots$
- Hitunglah nilai dari sudut $(a).\ \sin 120^{\circ}$, $(b).\ \cos 135^{\circ}$, $(c).\ \sin 240^{\circ}$, $(d).\ \tan 150^{\circ}$, $(e).\ \cos 315^{\circ}$, $(f).\ \tan 330^{\circ}$, $(g).\ \sec 210^{\circ}$, $(h).\ \cot 120^{\circ}$, $(i).\ \cos -60^{\circ}$
- Seorang anak berdiri $20$ meter dari sebuah tiang seperti gambar berikut,
Perkirakan ketinggian tiang dari titik $A$. Apabila diperlukan gunakan nilai pendekatan $\sqrt{2}=1,4$ dan $\sqrt{3}=1,7$.
- Diketahui titik $A$ tepat pada pohon cemara, dan pohon cemara dilihat dari titik $B$ yang berjarak $20$ dengan sudut elevasi $30^{\circ}$, ilustrasinya seperi gambar berikut:
Jika pohon cemara membentuk sudut $90^{\circ}$ dengan tanah, tentukan tinggi pohon cemara... - Diberikan sebuah segitiga sama sisi $ABC$ seperti gambar berikut:
Jika panjang TC adalah $12\ cm$, maka panjang sisi segitiga tersebut adalah... - Perhatikan trapesium sama kaki berikut ini:
Hitunglah panjang $CD$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& 5 \cdot \sin 60^{\circ} + 4 \cdot \cos 30^{\circ} + 2 \cdot \tan 60^{\circ} \\
&=5 \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} + 4 \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} \\
&= \dfrac{5}{2}\sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} \\
&= \dfrac{5}{2}\sqrt{3} + 4 \sqrt{3} \\
&= \dfrac{5}{2}\sqrt{3} + \dfrac{8}{2}\sqrt{3} \\
&= \dfrac{13}{2}\sqrt{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& 6 \cdot \sin 60^{\circ} \cdot 2 \cdot \cos 45^{\circ} \cdot \tan 45^{\circ} \\
&= 6 \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \cdot 2 \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \cdot 1 \\
&= 3 \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \cdot 1 \\
&= 3 \sqrt{3 \cdot 2} \\
&= 3 \sqrt{6}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& 4 \cdot \sin 45^{\circ} + 2 \cdot \dfrac{\cos 45^{\circ}}{\tan 45^{\circ}} \\
&= 4 \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} + 2 \cdot \dfrac{\dfrac{1}{2}\sqrt{2}}{1} \\
&= 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
&= 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \\
&= 3 \sqrt{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \dfrac{\cos 30^{\circ} + \sin 45^{\circ}}{\sec 0^{\circ}} \\
&= \dfrac{\dfrac{1}{2}\sqrt{3} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2}}{\dfrac{1}{\cos 0^{\circ}}} \\
&= \dfrac{\dfrac{1}{2}\sqrt{3} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2}}{\dfrac{1}{1}} \\
&= \dfrac{\dfrac{1}{2}\sqrt{3} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2}}{1} \\
&= \dfrac{1}{2}\sqrt{3} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
&= \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{3} + \sqrt{2} \right)
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
#$\begin{align}
\sin 150^{\circ} &= \sin \left( 180^{\circ}-30^{\circ} \right) \\
&= \sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{2}\\
\hline
\sin 150^{\circ} &= \sin \left( 90^{\circ}+60^{\circ} \right) \\
&= \cos 30^{\circ} = \dfrac{1}{2}\\
\end{align}$
#$\begin{align}
\cos 225^{\circ} &= \cos \left( 180^{\circ}+45^{\circ} \right) \\
&=- \cos 45^{\circ} = -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\\
\hline
\cos 225^{\circ} &= \cos \left( 270^{\circ}-45^{\circ} \right) \\
&=- \sin 45^{\circ} = -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\\
\end{align}$
#$\begin{align}
\tan 300^{\circ} &= \tan \left( 360^{\circ}-60^{\circ} \right) \\
&=- \tan 60^{\circ} = - \sqrt{3}\\
\hline
\tan 300^{\circ} &= \tan \left( 270^{\circ}+30^{\circ} \right) \\
&=- \cot 30^{\circ} = -\sqrt{3}\\
\end{align}$
$\begin{align}
& \sin 150^{\circ} \cdot \cos 225^{\circ} \cdot \tan 300^{\circ} \\
&= \left(\dfrac{1}{2}\right) \left( -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \right)\left(-\sqrt{3}\right) \\
&= \dfrac{1}{4} \sqrt{6}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$(a).$ Sudut $120^{\circ}$ berada pada kuadran kedua sehingga $\sin 120^{\circ}$ dapat kita pastikan bernilai positif.
$\begin{align}
\sin 120^{\circ} &= \sin \left( 90^{\circ}+30^{\circ} \right) \\
&= \cos 30^{\circ} = \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\
\hline
\sin 120^{\circ} &= \sin \left( 180^{\circ}-60^{\circ} \right) \\
&= \sin 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}\sqrt{3}
\end{align}$
$(b).$ Sudut $135^{\circ}$ berada pada kuadran kedua sehingga $\cos 135^{\circ}$ dapat kita pastikan bernilai negatif.
$\begin{align}
\cos 135^{\circ} &= \cos \left( 90^{\circ}+45^{\circ} \right) \\
&= -\sin 45^{\circ} = -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
\hline
\cos 135^{\circ} &= \cos \left( 180^{\circ}-45^{\circ} \right) \\
&= -\sin 45^{\circ} = -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{align}$
$(c).$ Sudut $240^{\circ}$ berada pada kuadran ketiga sehingga $\sin 240^{\circ}$ dapat kita pastikan bernilai negatif.
$\begin{align}
\sin 240^{\circ} &= \sin \left( 180^{\circ}+60^{\circ} \right) \\
&= -\sin 60^{\circ} = -\dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\
\hline
\sin 240^{\circ} &= \sin \left( 270^{\circ}-30^{\circ} \right) \\
&= -\cos 30^{\circ} = -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}
\end{align}$
$(d).$ Sudut $150^{\circ}$ berada pada kuadran kedua sehingga $\tan 150^{\circ}$ dapat kita pastikan bernilai negatif.
$\begin{align}
\tan 150^{\circ} &= \tan \left( 90^{\circ}+60^{\circ} \right) \\
&=- \cot 60^{\circ} = - \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\
\hline
\tan 150^{\circ} &= \tan \left( 180^{\circ}-30^{\circ} \right) \\
&=- \tan 30^{\circ} = \dfrac{1}{3}\sqrt{3}
\end{align}$
$(e).$ Sudut $315^{\circ}$ berada pada kuadran keempat sehingga $\cos 315^{\circ}$ dapat kita pastikan bernilai positif.
$\begin{align}
\cos 315^{\circ} &= \cos \left( 270^{\circ}+45^{\circ} \right) \\
&= \sin 45^{\circ} = \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
\hline
\cos 315^{\circ} &= \cos \left( 360^{\circ}-45^{\circ} \right) \\
&= \cos 45^{\circ} = \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{align}$
$(f).$ Sudut $330^{\circ}$ berada pada kuadran keempat sehingga $\tan 330^{\circ}$ dapat kita pastikan bernilai negatif.
$\begin{align}
\tan 330^{\circ} &= \tan \left( 270^{\circ}+60^{\circ} \right) \\
&= -cot\ 60^{\circ} = -\dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\
\hline
\tan 330^{\circ} &= \tan \left( 360^{\circ}-30^{\circ} \right) \\
&= \tan 30^{\circ} = -\dfrac{1}{3}\sqrt{3}
\end{align}$
$(g).$ Sudut $210^{\circ}$ berada pada kuadran ketiga sehingga $\sec 210^{\circ}$ dapat kita pastikan bernilai negatif.
$\begin{align}
\sec 210^{\circ} &= \sec \left( 180^{\circ}+30^{\circ} \right) \\
&= - \sec 30^{\circ} = - \dfrac{1}{\cos 30^{\circ}} \\
&= - \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}\sqrt{3}} = - \dfrac{2}{3}\sqrt{3} \\
\hline
\sec 210^{\circ} &= \sec \left( 270^{\circ}-60^{\circ} \right) \\
&= - \csc 60^{\circ} = - \dfrac{1}{\sin 60^{\circ}} \\
&= - \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}\sqrt{3}} = - \dfrac{2}{3}\sqrt{3} \\
\end{align}$
$(h).$ Sudut $120^{\circ}$ berada pada kuadran kedua sehingga $cot\ 120^{\circ}$ dapat kita pastikan bernilai negatif.
$\begin{align}
cot\ 120^{\circ} &= cot\ \left( 90^{\circ}+30^{\circ} \right) \\
&= - \tan 30^{\circ} = - \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\
\hline
cot\ 120^{\circ} &= cot\ \left( 180^{\circ}-60^{\circ} \right) \\
&= - cot\ 60^{\circ} = - \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\
\end{align}$
$(i).$ Sudut $-60^{\circ}$ sebenarnya adalah $360^{\circ}-60^{\circ}=300^{\circ}$ sehingga berada pada kuadran keempat sehingga $\cos -60^{\circ}=\cos 300^{\circ}$ dapat kita pastikan bernilai positif.
$\begin{align}
\cos -60^{\circ} &= \cos \left( 0^{\circ}-60^{\circ} \right) \\
&= \cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2} \\
\hline
\cos 300^{\circ} &= \cos \left( 360^{\circ}-60^{\circ} \right) \\
&= \cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2} \\
\hline
\cos 300^{\circ} &= \cos \left( 270^{\circ}+30^{\circ} \right) \\
&= \sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{2} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada gambar dan $\tan 60^{\circ}$ dapat kita simpulkan:
$\begin{aligned}
\tan 60^{\circ} &= \dfrac{AB}{20} \quad && \left[ \dfrac{de}{sa} \right] \\
\sqrt{3} &= \dfrac{AB}{20} \\
1,7 \cdot 20 &= AB \\
34 &= AB
\end{aligned}$
$\therefore$ Tinggi tiang dari titik $A$ adalah $34\ m$
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada gambar dan $\tan 30^{\circ}$ dapat kita simpulkan:
$\begin{aligned}
\tan 30^{\circ} &= \dfrac{\text{tinggi pohon}}{20} \quad && \left[ \dfrac{de}{sa} \right] \\
\dfrac{1}{3}\sqrt{3} &= \dfrac{\text{tinggi pohon}}{20} \\
\dfrac{1}{3}\sqrt{3} \cdot 20 &= \text{tinggi pohon} \\
\dfrac{20}{3}\sqrt{3} &= \text{tinggi pohon}
\end{aligned}$
Alternatif Pembahasan:
Segitiga $ABC$ adalah sama sisi sehingga besar ketiga sudutnya adalah $60^{\circ}$, sehingga dapat kita simpulkan:
$\begin{aligned}
\tan 60^{\circ} &= \dfrac{CT}{BT} \quad && \left[ \dfrac{de}{sa} \right] \\
\sqrt{3} &= \dfrac{12}{BT} \\
BT &= \dfrac{12}{\sqrt{3}} \\
BT &= 4 \sqrt{3}
\end{aligned}$
Segitiga $ABC$ adalah sama sisi, $CT$ yang merupakan garis tinggi pada $AB$ juga merupakan garis berat sehingga $AT=TB$.
Panjang sisi segitiga $ABC$ adalah:
$\begin{aligned}
AB &= AT+TB \\
&= 4 \sqrt{3}+4 \sqrt{3} \\
&= 8 \sqrt{3}
\end{aligned}$
Alternatif Pembahasan:
Trapesium coba kita gambarkan menjadi seperti berikut ini:
$\begin{aligned}
\sin 30^{\circ} &= \dfrac{x}{10} \quad && \left[ \dfrac{de}{mi} \right] \\
\dfrac{1}{2} &= \dfrac{x}{10} \\
x &= 5
\end{aligned}$
Untuk $x=5$ dimana $AB=2x+CD$ maka $18=CD+2(5)$ atau $CD=8$.
Catatan Cara Menghafal Nilai Sudut Istimewa Perbandingan Trigonometri (Cara Alternatif) di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Cara Cepat Menghafal Menghafal Nilai Sudut Istimewa Perbandingan Trigonometri
