Skip to main content

Matematika Dasar SMA: Soal Latihan dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika

Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Barisan dan Deret Bilangan Aritmetika. Sebagai contoh soal latihan untuk bahan diskusi, kita pilih dari soal pada Modul Barisan dan Deret Aritmetika Matematika SMA Kurikulum 2013.

Definisi Barisan Aritmetika

Barisan adalah kumpulan objek-obejek yang disusun menurut pola tertentu. Objek pertama dinamakan suku pertama, objek kedua dinamakan suku kedua, objek ketiga dinamakan suku ketiga dan seterusnya sampai objek ke-$n$ dinamakan suku ke-$n$ atau $U_{n}$.

Jika objek-objek tersebut berupa bilangan, maka bentuk penjumlahan dari objek-objek tersebut sampai $n$ suku dinamakan deret bilangan.

Barisan aritmetika adalah suatu barisan angka-angka dimana $U_{2} – U_{1} = U_{3} – U_{2} = \cdots = U_{n} – U_{n-1}$ disebut dengan beda(merupakan angka yang sama).

Contoh barisan arimetika

  • $3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35$
    adalah barisan aritmetika dengan beda $4$
  • $ 63, 58, 53, 48, \cdots ,3$
    adalah barisan aritmetika dengan beda $-5$
  • $5 + 8 + 11 + 14 + 17 + \cdots + 50$
    adalah deret aritmetika dengan beda $3$
  • $3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + \cdots + 201$
    adalah deret aritmetika dengan beda $2$

Rumus Suku ke-$n$ Barisan Aritmetika

Untuk barisan aritmetika $u_{1},\ u_{2},\ u_{3},\ \cdots, u_{n}$,
dimana $u_{1}$ adalah suku pertama dan $u_{2}$ suku kedua dan seterusnya sampai dengan $u_{n}$ adalah suku ke-$n$.

Dari definisi barisan aritmetika dapat kita tuliskan:
$\begin{align} b\ &= u_{2}-u_{1} \\ &= u_{3}-u_{2} \\ &= u_{n}-u_{n-1} \end{align}$

Barisan aritmetika dapat kita tuliskan menjadi: $u_{1},\ u_{1}+b,\ u_{1}+2b,\ u_{1}+3b,\ \cdots$

Untuk $u_{1}=a$ barisan aritmetika dapat kita tuliskkan menjadi: $a,\ a+b,\ a+2b,\ a+3b,\ \cdots$

Dari bentuk di atas, dapat kita temukan pola barisan aritmetika sebagai berikut:
$\begin{align} u_{1}\ &= a \\ u_{2}\ &= a+b \\ u_{3}\ &= a+2b \\ & \vdots \\ u_{10}\ &= a+9b \\ u_{11}\ &= a+10b \\ & \vdots \\ u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\ \end{align}$

Dari hasil di atas kita peroleh bentuk umum untuk suku suku ke-$n$ barisan aritmetika yaitu: $ u_{n}\ = a+\left( n-1 \right)$.

Deret Aritmetika

Deret aritmetika adalah penjumlahan barisan bilangan aritmetika.

Secara umum deret aritmetika dapat tuliskan:
$a+\left( a+b \right)+ \left( a+2b \right)+ \cdots +\left( a+(n-1)b \right)$


Jumlah satu suku pertama adalah $S_{1}$
$\begin{align} S_{1}\ &= u_{1} \\ &= a \end{align}$

Jumlah dua suku pertama adalah $S_{2}$
$\begin{align} S_{2}\ &= u_{1}+u_{2} \\ &= a+a+b \\ &= 2a+2b \end{align}$


Jumlah tiga suku pertama adalah $S_{3}$
$\begin{align} S_{3}\ &= u_{1}+u_{2}+u_{3} \\ &= a+a+b+a+2b \\ &= 3a+5b \end{align}$


Jumlah n suku pertama adalah $S_{n}$
$\begin{align} S_{n}\ &= u_{1}+u_{2}+u_{3}+ \cdots +u_{n-2}+u_{n-1}+u_{n} \\ &= a+a+b+a+2b+\cdots+a+(n-2)b+a+(n-1)b \end{align}$


Kita coba temukan rumus umum untuk $S_{n}$
$\begin{align} S_{n}\ &= a+a+b+a+2b+\cdots +a+(n-2)b+a+(n-1)b \\ S_{n}\ &= a+(n-1)b+a+(n-2)b+ \cdots + a+2b+a+b+a\ (+) \\ \hline 2S_{n}\ &= \left( a+a+(n-1)b \right) + \cdots + \left( a+(n-1)b+a \right) \\ 2S_{n}\ &= \left( 2a+(n-1)b \right) +\cdots +\left( 2a+(n-1)b \right) \\ 2S_{n}\ &= n \left( 2a+(n-1)b \right) \\ S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( 2a+(n-1)b \right) \end{align}$

Rumus untuk menentukan $S_{n}$ di atas dapat kita jabarkan lagi yaitu:
$\begin{align} S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( a+a+(n-1)b \right) \\ S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( a+U_{n} \right)
\end{align}$


Rumus Suku Tengah Barisan Aritmetika

Jika suatu barisan aritmatika diketahui $n$ ganjil, maka suku tengah dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut:
$\begin{align} U_{t}\ &= U_{\frac{n+1}{2}} \\ &= a+ \left( \dfrac{1}{2} \left( n+1 \right) -1 \right) b \\ &= a+ \dfrac{1}{2} \left( \left( n+1 \right) - 2 \right) b \\ &= a+ \dfrac{1}{2} \left( n -1 \right) b \\ &= \dfrac{1}{2} \left( 2a+ \left( n -1 \right) b \right) \\ &= \dfrac{1}{2} \left( a+ a+ \left( n -1 \right) b \right) \\ &= \dfrac{1}{2} \left( a+ U_{n} \right) \end{align}$


Sebagai tambahan, hasil pengembangan apa yang sudah kita peroleh di atas dapat juga diketahui bahwa:

  • $S_{n}=n \cdot U_{t}$
  • $U_{n} = S_{n} – S_{n–1}$
  • $b=\dfrac{u_{6}-u_{3}}{6-3}=\dfrac{u_{m}-u_{n}}{m-n}$
  • Jika ada $k$ bilangan yang disisipkan diantara dua suku pada barisan arirmetika maka ada perubahan pada barisan yang baru yaitu:
    • Beda barisan yang baru $b'\ =\dfrac{b}{k+1}$
    • Banyak suku pada barisan yang baru $n'\ =n+\left( n-1 \right)k$
    • Jumlah suku barisan yang baru $S_{n}'\ =\dfrac{n'}{2} \left( a+U_{n} \right)$

BARISAN ARITMETIKA TINGKAT DUA


Barisan aritmetika tingkat $n$ adalah barisan yang mempunyai $n$ pola dalam membentuk sebuah barisan dan pada pola ke-$n$ pola barisan menggunakan konsep aritmetika atau beda pada barisan adalah sama. Barisan aritmetika tingkat dua berarti barisan memiliki dua pola dan pada pola yang kedua beda barisan adalah sama.


Sebagai contoh kita perhatikan barisan berikut:
Barisan aritmetika tingkat dua $6, 18, 36, 60, 90, 126, \cdots$

 Matematika Dasar Barisan Aritmetika tingkat dua

Menggunakan faktorial $(*n!=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 1)$ suku ke-$n$ barisan aritmetika tingkat dua adalah $U_n=a+ \dfrac{(n-1)b}{1!} + \dfrac{(n-1)(n-2)c}{2!}$.


Barisan aritmetika tingkat tiga $1, 7, 25, 121, 211, 337, 505, \cdots$

 Matematika Dasar Barisan Aritmetika tingkat tiga

Jika kita lanjutkan suku ke-$n$ dari barisan aritmetika tingkat dua untuk barisan aritmetika tingkat tiga kita peroleh $U_n=a+ \dfrac{(n-1)b}{1!}+ \dfrac{(n-1)(n-2)c}{2!}+\dfrac{(n-1)(n-2)(n-3)d}{3!}$

Untuk menambah pemahaman kita terkait Barisan dan Deret Aritmetika ini, mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Barisan dan Deret Aritmetika Matematika SMA Kurikulum 2013.

Sedangkan soal dan pembahasan barisan dan deret bilangan aritmetika yang sudah pernah diujikan pada Ujian Nasional atau Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri lainnya silahkan di simak pada catatan Matematika Dasar Barisan dan Deret Aritmetika.

1. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Dari barisan $3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ \cdots $ suku ke-$21$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 40 \\ (B)\ & 43 \\ (C)\ & 46 \\ (D)\ & 49 \\ (E)\ & 52 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari barisan $3, 5, 7, 9, 11, \cdots $ kita peroleh suku pertama $a=3$ dan beda $b=5-3=2$ atau $b=11-9=2$.

Suku ke-$21$ adalah:
$\begin{align} u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\ u_{21}\ &= 3+\left( 21-1 \right)(2) \\ &= 3+\left( 20 \right)(2) \\ & = 3+40 =43 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 43$

2. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Dari barisan $15,\ 11,\ 7,\ 3,\ \cdots$ Suku ke-$10$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & -21 \\ (B)\ & -17 \\ (C)\ & -13 \\ (D)\ & -9 \\ (E)\ & -5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari barisan $15,\ 11,\ 7,\ 3,\ \cdots$ kita peroleh suku pertama $a=15$ dan beda $b=11-15=-4$ atau $b=7-11=-4$.

Suku ke-$10$ adalah:
$\begin{align} u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\ u_{10}\ &= 15+\left( 10-1 \right)(-4) \\ &= 15+\left( 9 \right)(-4) \\ &= 15-36 =-21 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -21$

3. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Dari barisan $3,\ 4 \frac{1}{2},\ 6,\ 7 \frac{1}{2},\ 9,\ \cdots$ Suku ke-$12$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 14\frac{1}{2} \\ (B)\ & 16 \\ (C)\ & 17\frac{1}{2} \\ (D)\ & 19 \\ (E)\ & 19\frac{1}{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari barisan $3,\ 4 \frac{1}{2},\ 6,\ 7 \frac{1}{2},\ 9,\ \cdots$ kita peroleh suku pertama $a=3$ dan beda $b=4 \frac{1}{2}-3=\frac{3}{2}$ atau $b=9-7 \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$.

Suku ke-$12$ adalah:
$\begin{align} u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\ u_{12}\ &= 3+\left( 12-1 \right) \left( \frac{3}{2}\right) \\ &= 3+\left( 11 \right) \left( \frac{3}{2}\right) \\ &= 3 + \frac{33}{2} = \frac{39}{2} = 19 \frac{1}{2} \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 19\frac{1}{2}$

4. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Suatu barisan aritmatika diketahui suku ke-$4$ adalah $6$ dan bedanya $3$. Suku ke-$8$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 18 \\ (B)\ & 31 \\ (C)\ & 34 \\ (D)\ & 37 \\ (E)\ & 40 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan suku ke-$4$ adalah $6$ dan bedanya $3$, dapat kita peroleh:
$\begin{align} u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\ u_{4}\ &= a+\left( 4-1 \right) (3) \\ 6 &= a+ 9 \longrightarrow a=-3 \\ \hline u_{8}\ &= -3+\left( 8-1 \right) \left( 3 \right) \\ &= -3+ \left( 7 \right) \left( 3 \right) \\ &= -3 + 21 = 18 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 18$

5. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Suatu barisan aritmatika diketahui suku ke-$15$ adalah $30$ dan bedanya $-5$. Suku ke-$6$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 65 \\ (B)\ & 25 \\ (C)\ & 75 \\ (D)\ & 80 \\ (E)\ & 90 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan suku ke-$15$ adalah $30$ dan bedanya $-5$, dapat kita peroleh:
$\begin{align} u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\ u_{15}\ &= a+\left( 15-1 \right) (-5) \\ 30 &= a -70 \longrightarrow a=100 \\ \hline u_{6}\ &= 100+\left( 6-1 \right) \left( -5 \right) \\ &= 100+ \left( 5 \right) \left( -5 \right) \\ &= 100 -25 = 75 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 75$

6. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Rumus umum suku ke-$n$ dari barisan $4,\ 9,\ 14,\ 19,\ 24,\ \cdots$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 5n+2 \\ (B)\ & 5n-1 \\ (C)\ & 5n+1 \\ (D)\ & 5n-2 \\ (E)\ & 5n+2 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Barisan $4,\ 9,\ 14,\ 19,\ 24,\ \cdots$ adalah barisan aritmetika dengan $a=4$ dan $b=5$.

Rumus suku ke-$n$ adalah:
$\begin{align} u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\ &= 4+\left( n-1 \right) (5) \\ &= 4 +5n-5 \\ &= 5n-1 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 5n-1$

7. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Dari barisan $6,\ 4\frac{2}{3},\ 3\frac{1}{3},\ 2, \cdots$ rumus umum suku ke-$n$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \frac{1}{3} \left( 10-4n \right) \\ (B)\ & \frac{1}{3} \left( 22-4n \right) \\ (C)\ & \frac{1}{3} \left( 8-4n \right) \\ (D)\ & \frac{1}{3} \left( 20-4n \right) \\ (E)\ & \frac{1}{3} \left( 12-4n \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Barisan $6,\ 4\frac{2}{3},\ 3\frac{1}{3},\ 2, \cdots$ adalah barisan aritmetika dengan $a=6$ dan $b=-\frac{4}{3}$.

Rumus suku ke-$n$ adalah:
$\begin{align} u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\ &= 6+\left( n-1 \right) \left( -\frac{4}{3} \right) \\ &= 6-\frac{4}{3}n + \frac{4}{3} \\ &= \frac{1}{3} \left( 18 -4 n + 4 \right) \\ &= \frac{1}{3} \left( 22 -4 n \right) \\ \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{1}{3} \left( 22-4n \right)$

8. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Suatu barisan aritmatika diketahui suku ke-$6$ adalah $–4$ dan suku ke-$9$ adalah $–19$, maka suku ke-$11$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & -34 \\ (B)\ & -29 \\ (C)\ & -19 \\ (D)\ & -24 \\ (E)\ & -14 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Rumus suku ke-$n$ adalah $u_{n} = a+\left( n-1 \right)b$, kita peroleh:
$\begin{align} u_{6}\ &= a+5b \\ -4\ &= a+5b \\ u_{9}\ &= a+8b \\ -19\ &= a+8b \end{align}$


Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align} a+5b &= -4 \\ a+8b &= -19\ (-)\\ \hline 3b\ &= -15 \\ b\ &= -5 \longrightarrow a=21 \\ \hline u_{11}\ &= a+10b \\ &= 21+10(-5) \\ &= 21-50=-29 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -29$

9. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Pada suatu barisan aritmatika diketahui suku ke-$3$ adalah $13$ dan jumlah suku kedua dan kelima adalah $30$. Rumus suku ke-$n$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 4n+5 \\ (B)\ & 4n – 2 \\ (C)\ & 2n + 1 \\ (D)\ & 4n + 1 \\ (E)\ & 2n + 6 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Rumus suku ke-$n$ adalah $u_{n} = a+\left( n-1 \right)b$, kita peroleh:
$\begin{align} u_{3}\ &= 13 \\ a+2b\ &= 13 \\ u_{2}+u_{5}\ &= 30 \\ a+b+a+4b\ &= 30 \\ 2a+5b\ &= 30 \end{align}$


Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align} 2a+5b &= 30\ (\times 1) \\ a+2b &= 13\ (\times 2) \\ \hline 2a+5b &= 30 \\ 2a+4b &= 26\ (-) \\ \hline b\ &= 4\ \longrightarrow a=5 \\ \hline u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\ &= 5+\left( n-1 \right)(4) \\ &= 5+4n-4 \\ &= 4n+1 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4n+1$

10. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Hasil dari $5 + 7 + 9 + 11 + \cdots + 41$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 379 \\ (B)\ & 437 \\ (C)\ & 471 \\ (D)\ & 407 \\ (E)\ & 207 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari deret $5 + 7 + 9 + 11 + \cdots + 41$ kita peroleh $a=5$, $b=2$, dan $U_{n}=41$.
$\begin{align} u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\ 41 &= 5+\left( n-1 \right)(2) \\ 41 &= 5+ 2n-2 \\ 38 &= 2n\\ n &= 19 \\ \hline S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( a+U_{n} \right) \\ S_{19}\ &= \dfrac{19}{2} \left( 5+ 41 \right) \\ &= \dfrac{19}{2} \left( 46 \right) \\ &= 23 \times 19 = 437 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 437$

11. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Hasil dari $3 + 7 + 11 + 15 + \cdots + 43$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 132 \\ (B)\ & 147 \\ (C)\ & 152 \\ (D)\ & 407 \\ (E)\ & 207 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari deret $3 + 7 + 11 + 15 + \cdots + 43$ kita peroleh $a=3$, $b=4$, dan $U_{n}=43$.
$\begin{align} u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\ 43 &= 3+\left( n-1 \right)(4) \\ 43 &= 3+ 4n-4 \\ 44 &= 4n\\ n &= 11 \\ \hline S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( a+U_{n} \right) \\ S_{11}\ &= \dfrac{11}{2} \left( 3+ 43 \right) \\ &= \dfrac{11}{2} \left( 46 \right) \\ &= 11 \times 23 = 253 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 253$

12. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Jika $4 + 6 + 8 + 10 + \cdots + x = 130$, maka nilai $x$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 10 \\ (B)\ & 15 \\ (C)\ & 18 \\ (D)\ & 22 \\ (E)\ & 32 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari deret $4 + 6 + 8 + 10 + \cdots + x = 130$ kita peroleh $a=4$, $b=2$, $U_{n}=x$, dan $S_{n}=130$.
$\begin{align} u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\ x &= 4+\left( n-1 \right)(2) \\ x &= 4+ 2n-2 \\ x &= 2n+2 \\ \hline S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( a+U_{n} \right) \\ 130\ &= \dfrac{n}{2} \left( 4+ 2n+2 \right) \\ 130\ &= \dfrac{n}{2} \left( 6+ 2n \right) \\ 130\ &= 3n+n^{2} \\ 0\ &= n^{2}+3n-130 \\ 0\ &= \left( n+13 \right)\left( n-10 \right) \\ &n=-13\ \text{(TM)}\ \text{atau}\ n=10 \\ \hline x &= 2n+2 \\ x &= 2(10)+2=22 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 22$

13. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Jika $1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + x = 210$, maka nilai $x$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 19 \\ (B)\ & 20 \\ (C)\ & 21 \\ (D)\ & 22 \\ (E)\ & 23 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari deret $1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + x = 210$ kita peroleh $a=1$, $b=1$, $U_{n}=x$, dan $S_{n}=210$.
$\begin{align} u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\ x &= 1+\left( n-1 \right)(1) \\ x &= 1+ n- 1 \\ x &= n \\ \hline S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( a+U_{n} \right) \\ 210\ &= \dfrac{n}{2} \left( 1+ n \right) \\ 420\ &= n^{2} +n \\ 0\ &= n^{2}+n-420 \\ 0\ &= \left( n+21 \right)\left( n-20 \right) \\ &n=-21\ \text{(TM)}\ \text{atau}\ n=20 \\ \hline x &= n \\ x &= 20 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 20$

14. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Suku ke empat dari suatu barisan aritmatika adalah $20$ dan jumlah $5$ suku pertamanya sama dengan $80$. Jumlah sebelas suku pertamanya adalah...

$\begin{align} (A)\ & 196 \\ (B)\ & 210 \\ (C)\ & 264 \\ (D)\ & 308 \\ (E)\ & 332 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Rumus suku ke-$n$ adalah $u_{n} = a+\left( n-1 \right)b$, kita peroleh:
$\begin{align} u_{n} &= a+\left( n-1 \right)b \\ u_{4} &= a+ \left( 4-1 \right)b \\ 20\ &= a+3b \\ \hline S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( 2a+\left( n-1 \right)b \right) \\ S_{5}\ &= \dfrac{5}{2} \left( 2a+\left( 5-1 \right)b \right)\\ 80\ &= \dfrac{5}{2} \left( 2a+4b \right) \\ 80\ &= 5a+10b \\ 16\ &= a+ 2b \end{align}$


Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align} a+ 2b &= 16 \\ a+3b &= 20\ (-) \\ \hline b\ &= 4\ \longrightarrow a=8 \\ \hline S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( 2a+\left( n-1 \right)b \right) \\ S_{11}\ &= \dfrac{11}{2} \left( 2(8)+\left( 11-1 \right)(4) \right)\\ &= \dfrac{11}{2} \left( 16+ 40 \right)\\ &= \dfrac{11}{2} \left( 56 \right)\\ &= 11 \times 28 = 308 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 308$

15. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Dari suatu deret aritmatika diketahui jumlah $n$ suku pertamanya ditentukan dengan rumus $S_{n} = \frac{n}{2} \left(3n+5 \right)$. Suku ke-$6$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 19 \\ (B)\ & 33 \\ (C)\ & 36 \\ (D)\ & 39 \\ (E)\ & 42 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba gunakan sifat $U_{n} = S_{n} – S_{n–1}$.


$\begin{align} S_{n}\ &= \frac{n}{2} \left(3n+5 \right) \\ S_{6}\ &= \frac{6}{2} \left(3(6)+5 \right) \\ &= 3 \left( 18+5 \right) \\ &= 69 \\ \hline S_{5}\ &= \frac{5}{2} \left(3(5)+5 \right) \\ &= \frac{5}{2} \left( 20 \right) = 50 \\ \hline U_{6} &= S_{6} – S_{5} \\ &= 69-505 \\ &= 19 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 19$

16. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Jumlah bilangan bulat antara $10$ dan $60$ yang habis dibagi $3$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 552 \\ (B)\ & 486 \\ (C)\ & 462 \\ (D)\ & 312 \\ (E)\ & 396 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Bilangan bulat antara $10$ dan $60$ yang habis dibagi $3$ jika kita tuliskan deretnya adalah $12+15+18+\cdots+57$. Kita peroleh $a=12$, $b=3$, dan $U_{n}=57$.
$\begin{align} u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\ 57 &= 12+\left( n-1 \right)(3) \\ 57 &= 12+ 3n-3 \\ 48 &= 3n\\ n &= 16 \\ \hline S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( a+U_{n} \right) \\ S_{16}\ &= \dfrac{16}{2} \left( 12+ 57 \right) \\ &= 8 \left( 69 \right) \\ &= 552 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 552$

17. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Jumlah bilangan bulat dari $5$ sampai $25$ yang tidak habis dibagi $4$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 176 \\ (B)\ & 182 \\ (C)\ & 198 \\ (D)\ & 216 \\ (E)\ & 235 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jumlah bilangan bulat dari $5$ sampai $25$ yang tidak habis dibagi $4$ adalah jumlah seluruh bilangan bulat dikurang jumlah bilangan bulat yang habis dibagi $4$.


Jumlah seluruh bilangan bilangan bulat $5+6+7+\cdots+25$,
$\begin{align} u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\ 25 &= 5+\left( n-1 \right)(1) \\ 25 &= n+4 \\ n &= 21 \\ \hline S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( a+U_{n} \right) \\ S_{21}\ &= \dfrac{21}{2} \left( 5+ 25 \right) \\ &= \dfrac{21}{2} \left( 30 \right) \\ &= 21 \times 15 = 315 \end{align}$


Jumlah bilangan bilangan bulat yang habis dibagi $4$ adalah $8+12+\cdots+24$,
$\begin{align} u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\ 24 &= 8+\left( n-1 \right)(4) \\ 24 &= 4n+4 \\ n &= 5 \\ \hline S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( a+U_{n} \right) \\ S_{5}\ &= \dfrac{5}{2} \left( 8+ 24 \right) \\ &= \dfrac{5}{2} \left( 32 \right) \\ &= 5 \times 16 = 80 \end{align}$


Jumlah bilangan bulat dari $5$ sampai $25$ yang tidak habis dibagi $4$ adalah $315-80=235$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 235$

18. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Diketahui deret aritmatika $7 + 10 +13 + 16 + 19 + \cdots + 43$. Suku tengah deret itu adalah...

$\begin{align} (A)\ & 22 \\ (B)\ & 25 \\ (C)\ & 28 \\ (D)\ & 31 \\ (E)\ & 34 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari deret $7 + 10 +13 + 16 + 19 + \cdots + 43$ kita peroleh $a=7$, $b=3$ dan $U_{n}=43$.

$\begin{align} u_{t}\ &= \dfrac{1}{2} \left( a + U_{n} \right) \\ &= \dfrac{1}{2} \left( 7 + 43 \right) \\ &= \dfrac{1}{2} \left( 50 \right) = 25 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 25$

19. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Diketahui barisan $5 + 9 + 13 + \cdots$ (sampai $19$ suku). Suku tengah deret itu adalah...

$\begin{align} (A)\ & 29 \\ (B)\ & 33 \\ (C)\ & 37 \\ (D)\ & 41 \\ (E)\ & 45 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari deret $5 + 9 + 13 + \cdots$ kita peroleh $a=5$, $b=4$ dan $n=19$.

$\begin{align} U_{n}\ &= a + \left( n-1 \right)b \\ U_{19} &= 5 + \left( 19-1 \right) (4) \\ &= 5 + 72 = 77 \\ \hline U_{t}\ &= \dfrac{1}{2} \left( a + U_{n} \right) \\ &= \dfrac{1}{2} \left( 5 + 77 \right) \\ &= \dfrac{1}{2} \left( 82 \right) = 41 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 41$

20. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Jika suku tengah deret aritmatika $30 + 24 + 18 + 12 + \cdots + p$ adalah $6$, maka $p$ adalah suku yang ke...

$\begin{align} (A)\ & 10 \\ (B)\ & 9 \\ (C)\ & 8 \\ (D)\ & 7 \\ (E)\ & 6 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari deret $30 + 24 + 18 + 12 + \cdots + p$ kita peroleh $a=30$, $b=-6$ dan $U_{n}=p$.

$\begin{align} U_{t}\ &= \dfrac{1}{2} \left( a + p \right) \\ 6\ &= \dfrac{1}{2} \left( 30 + p \right) \\ 12\ &= 30 + p \\ p &= -18 \\ \hline U_{n}\ &= a + \left( n-1 \right)b \\ -18 &= 30 + \left( n-1 \right) (-6) \\ -18 &= 30 -6n +6 \\ 6n &= 54 \\ n &= 9 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 9$

21. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Tiga buah bilangan $(2 – 2x),\ (x – 2),\ (3x – 2)$ membentuk barisan aritmatika. Jika ketiga bilangan itu diteruskan hingga $10$ suku, maka jumlahnya adalah...

$\begin{align} (A)\ & 240 \\ (B)\ & 265 \\ (C)\ & 292 \\ (D)\ & 300 \\ (E)\ & 324 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Barisan bilangan $(2 – 2x),\ (x – 2),\ (3x – 2)$ membentuk barisan aritmetika sehingga berlaku:
$\begin{align} 2U_{2}\ &= U_{1}+U_{3} \\ 2 (x – 2)\ &= (2 – 2x)+ (3x – 2) \\ 2x-4\ &= x \\ x\ &= 4 \\ \hline & -6+2+10+\cdots \\ S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( 2a+\left( n-1 \right)b \right) \\ S_{10}\ &= \dfrac{10}{2} \left( 2(-6)+\left( 10-1 \right)(8) \right)\\ &= 5 \left( -12+ 72 \right)\\ &= 5 \left( 60 \right) = 300 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 300$

22. Soal Latihan BarDer Aritmetika

$\sum\limits_{n=4}^{13} \left( 4n-2 \right) =\cdots$...

$\begin{align} (A)\ & 320 \\ (B)\ & 410 \\ (C)\ & 423 \\ (D)\ & 512 \\ (E)\ & 564 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Sedikit catatan dari Definisi Notasi Sigma yaitu $\sum\limits_{i=1}^{n} U_{i}=U_{1}+U_{2}+U_{3}+\cdots+U_{n}$.

$\begin{align} \sum\limits_{n=4}^{13} \left( 4n-2 \right)\ &= \left( 4(4)-2 \right)+\left( 4(5)-2 \right)+\cdots+\left( 4(13)-2 \right) \\ &= 14 + 18 + 22 +\cdots+ 50\\ \hline S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( 2a+\left( n-1 \right)b \right) \\ S_{(13-4)+1}\ &= \dfrac{10}{2} \left( 2(14)+\left( 10-1 \right)(4) \right)\\ S_{10}\ &= 5 \left( 28+ 36 \right)\\ &= 5 \left( 64 \right) = 320 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 320$

23. Soal Latihan BarDer Aritmetika

$\sum\limits_{n=5}^{14} \left( 2n+5 \right)+\sum\limits_{n=6}^{15} \left( 3n-2 \right) =\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 365 \\ (B)\ & 395 \\ (C)\ & 445 \\ (D)\ & 485 \\ (E)\ & 535 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Sedikit catatan dari Definisi Notasi Sigma yaitu $\sum\limits_{i=1}^{n} U_{i}=U_{1}+U_{2}+U_{3}+\cdots+U_{n}$.


$\begin{align} \sum\limits_{n=5}^{14} \left( 2n+5 \right)\ &= \left( 2(5)+5 \right)+\left( 2(6)+5 \right)+\cdots+\left( 2(14)+5 \right) \\ &= 15 + 17 + 19 +\cdots+ 33\\ \hline S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( 2a+\left( n-1 \right)b \right) \\ S_{(14-5)+1}\ &= \dfrac{10}{2} \left( 2(15)+\left( 10-1 \right)(2) \right)\\ S_{10}\ &= 5 \left( 30+ 18 \right)\\ &= 5 \left( 48 \right) = 240 \end{align}$


$\begin{align} \sum\limits_{n=6}^{15} \left( 3n-2 \right)\ &= \left( 3(6)-2 \right)+\left( 3(7)-2 \right)+\cdots+\left( 3(15)-2 \right) \\ &= 16 + 19 + 22 +\cdots+ 43 \\ \hline S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( 2a+\left( n-1 \right)b \right) \\ S_{(15-6)+1}\ &= \dfrac{10}{2} \left( 2(16)+\left( 10-1 \right)(3) \right)\\ S_{10}\ &= 5 \left( 32+ 27 \right)\\ &= 5 \left( 59 \right) = 295 \end{align}$


Jumlah $\sum\limits_{n=5}^{14} \left( 2n+5 \right)+\sum\limits_{n=6}^{15} \left( 3n-2 \right)$ adalah $240+295=535$.


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 535$

24. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Diantara bilangan $5$ dan $15$ disisipkan empat buah bilangan, sehingga membentuk barisan aritmatika. Beda barisan itu adalah...

$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 6 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Diantara bilangan $5$ dan $15$ disisipkan empat buah bilangan, sehingga membentuk barisan aritmatika sehingga barisan aritmatika terdiri dari $6$ suku dimana $a=5$ dan $U_{6}=15$.


Sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} U_{n}\ &= a + \left( n-1 \right)b \\ U_{6} &= 5 + \left( 6-1 \right) b \\ 15 &= 5 + 5b \\ 10 &= 5b\ \longrightarrow b=2 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2$

25. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Suatu deret aritmatika diketahui jumlah $n$ suku pertamanya dirumuskan $S_{n} = n^{2} +4n$. Maka nilai dari $U_{10} + U_{11} + U_{12} + \cdots + U_{20}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 363 \\ (B)\ & 342 \\ (C)\ & 324 \\ (D)\ & 281 \\ (E)\ & 263 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jumlah $U_{10} + U_{11} + U_{12} + \cdots + U_{20}$ dapat kita hiutng dari jumlah $20$ suku pertama dikurang jumlah $9$ suku pertama, yaitu:
$\begin{align} S_{20}-S_{9}\ &= \left( 20^{2} +4(20) \right)-\left( 9^{2} +4(9) \right) \\ &= \left( 400 + 80 \right)-\left( 81+36 \right) \\ &= 480-117=363 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 363$

26. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Dalam suatu barisan aritmatika diketahui suku ke-$7$ adalah $5 + 7\sqrt{2}$, dan suku ke-$11$ adalah $9 + 11\sqrt{2}$. Besar suku ke-$10$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 7+10\sqrt{2} \\ (B)\ & 6+10\sqrt{2} \\ (C)\ & 8+9\sqrt{2} \\ (D)\ & 6+9\sqrt{2} \\ (E)\ & 8+10\sqrt{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Rumus suku ke-$n$ adalah $u_{n} = a+\left( n-1 \right)b$, kita peroleh:
$\begin{align} u_{7}\ &= a+6b \\ 5 + 7\sqrt{2} &= a+6b \\ u_{11}\ &= a+10b \\ 9 + 11\sqrt{2} &= a+10b \end{align}$


Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align} a+6b &= 5 + 7\sqrt{2} \\ a+10b &= 9 + 11\sqrt{2}\ (-)\\ \hline 4b\ &= 4 + 4\sqrt{2} \\ b\ &= 1 + \sqrt{2} \\ a\ &= -1 + \sqrt{2} \\ \hline u_{10}\ &= a+9b \\ &= -1 + \sqrt{2} + 9 \left(1+ \sqrt{2} \right)\\ &= -1 + \sqrt{2} + 9 + 9\sqrt{2} \\ &= 8 + 10\sqrt{2} \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 8+10\sqrt{2}$

27. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Jumlah $10$ suku terakhir dari deret $2 + 8 + 14 + 20 + \cdots + 80$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 420 \\ (B)\ & 480 \\ (C)\ & 530 \\ (D)\ & 546 \\ (E)\ & 612 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari deret $2 + 8 + 14 + 20 + \cdots + 80$ kita peroleh $a=2$, $b=6$ dan $U_{n}=80$.

$\begin{align} u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\ 80 &= 2+\left( n-1 \right)(6) \\ 80 &= 2+ 6n-6 \\ 84 &= 6n\\ n &= 14 \end{align}$


Untuk $n=14$ maka jumlah $10$ suku terakhir adalah: $\begin{align} S_{14}-S_{4} &= \dfrac{14}{2} \left( 2+80 \right)-\dfrac{4}{2} \left( 2+20 \right) \\ &= 7 \left( 82 \right)- 2 \left( 22 \right) \\ &= 574-44 = 530 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 530$

28. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Suatu deret aritmatika diketahui jumlah $n$ suku pertamanya dirumuskan $S_{n} = 2n^{2} +4n$. Rumus suku tengahnya adalah...

$\begin{align} (A)\ & 2n-3 \\ (B)\ & 2n+4 \\ (C)\ & 2n+3 \\ (D)\ & 2n-4 \\ (E)\ & 2n+6 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Hubungan suku tengah dan jumlah $n$ suku pertama dapat dirumuskan dalam bentuk $S_{n}=n \cdot U_{t}$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align} S_{n} &= n \cdot U_{t} \\ 2n^{2} +4n &= n \cdot U_{t} \\ 2n +4 &= U_{t} \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2n+4$

29. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Jumlah bilangan bulat antara $5$ dan $50$ yang habis dibagi $3$ tetapi tidak habis dibagi $4$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 272 \\ (B)\ & 285 \\ (C)\ & 332 \\ (D)\ & 341 \\ (E)\ & 384 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jumlah bilangan bulat antara $5$ dan $50$ yang habis dibagi $3$ tetapi tidak habis dibagi $4$ adalah jumlah seluruh bilangan bulat habis dibagi $3$ dikurang jumlah bilangan bulat yang habis dibagi $3$ dan $4$.


Jumlah bilangan bulat antara $5$ dan $50$ yang habis dibagi $3$ yaitu $6+9+12+\cdots+48$,
$\begin{align} u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\ 48 &= 6+\left( n-1 \right)(3) \\ 48 &= 3n+3 \\ n &= 15 \\ \hline S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( a+U_{n} \right) \\ S_{15}\ &= \dfrac{15}{2} \left( 6+ 48 \right) \\ &= \dfrac{15}{2} \left( 54 \right) \\ &= 15 \times 27 = 405 \end{align}$


Jumlah bilangan bilangan bulat yang habis dibagi $3$ dan $4$ adalah $12+24+36+48$ yaitu $120$.

Sehingga Jumlah bilangan bulat antara $5$ dan $50$ yang habis dibagi $3$ tetapi tidak habis dibagi $4$ adalah $405-120=285$.


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 285$

30. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika. Jika jumlah ketiga bilangan itu $15$ dan hasil kalinya $80$, maka bilangan yang terkecil adalah...

$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 9 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika, kita misalkan bilangan itu adalah $(a-b)$, $(a)$, dan $(a+b)$.

Jumlah ketiga bilangan itu $15$ dan hasil kalinya $80$, dapat kita peroleh:
$\begin{align} (a-b)+(a)+(a+b)\ &= 15 \\ 3a\ &= 15 \\ a &= 5 \\ \hline (a-b) (a) (a+b)\ &= 80 \\ (5-b) (5) (5+b)\ &= 80 \\ (5-b) (5+b)\ &= 16 \\ 25-b^{2}\ &= 16 \\ b^{2} &= 25-16 \\ b\ &= \pm \sqrt{9} = \pm 3 \\ \hline a-b \ &= 5-3 = 2 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2$

31. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Jumlah bilangan bulat antara $10$ dan $60$ yang habis dibagi $3$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 552 \\ (B)\ & 486 \\ (C)\ & 462 \\ (D)\ & 312 \\ (E)\ & 396 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Bilangan bulat antara $10$ dan $60$ yang habis dibagi $3$ jika kita tuliskan deretnya adalah $12+15+18+\cdots+57$. Kita peroleh $a=12$, $b=3$, dan $U_{n}=57$.
$\begin{align} u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\ 57 &= 12+\left( n-1 \right)(3) \\ 57 &= 12+ 3n-3 \\ 48 &= 3n\\ n &= 16 \\ \hline S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( a+U_{n} \right) \\ S_{16}\ &= \dfrac{16}{2} \left( 12+ 57 \right) \\ &= 8 \left( 69 \right) \\ &= 552 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 552$

32. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Jumlah bilangan bulat dari $5$ sampai $25$ yang tidak habis dibagi $4$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 176 \\ (B)\ & 182 \\ (C)\ & 198 \\ (D)\ & 216 \\ (E)\ & 235 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jumlah bilangan bulat dari $5$ sampai $25$ yang tidak habis dibagi $4$ adalah jumlah seluruh bilangan bulat dikurang jumlah bilangan bulat yang habis dibagi $4$.


Jumlah seluruh bilangan bilangan bulat $5+6+7+\cdots+25$,
$\begin{align} u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\ 25 &= 5+\left( n-1 \right)(1) \\ 25 &= n+4 \\ n &= 21 \\ \hline S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( a+U_{n} \right) \\ S_{21}\ &= \dfrac{21}{2} \left( 5+ 25 \right) \\ &= \dfrac{21}{2} \left( 30 \right) \\ &= 21 \times 15 = 315 \end{align}$


Jumlah bilangan bilangan bulat yang habis dibagi $4$ adalah $8+12+\cdots+24$,
$\begin{align} u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\ 24 &= 8+\left( n-1 \right)(4) \\ 24 &= 4n+4 \\ n &= 5 \\ \hline S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( a+U_{n} \right) \\ S_{5}\ &= \dfrac{5}{2} \left( 8+ 24 \right) \\ &= \dfrac{5}{2} \left( 32 \right) \\ &= 5 \times 16 = 80 \end{align}$


Jumlah bilangan bulat dari $5$ sampai $25$ yang tidak habis dibagi $4$ adalah $315-80=235$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 235$

33. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika. Jika jumlah ketiga bilangan itu $15$ dan hasil kalinya $80$, maka bilangan yang terkecil adalah...

$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 9 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika, kita misalkan bilangan itu adalah $(a-b)$, $(a)$, dan $(a+b)$.

Jumlah ketiga bilangan itu $15$ dan hasil kalinya $80$, dapat kita peroleh:
$\begin{align} (a-b)+(a)+(a+b)\ &= 15 \\ 3a\ &= 15 \\ a &= 5 \\ \hline (a-b) (a) (a+b)\ &= 80 \\ (5-b) (5) (5+b)\ &= 80 \\ (5-b) (5+b)\ &= 16 \\ 25-b^{2}\ &= 16 \\ b^{2} &= 25-16 \\ b\ &= \pm \sqrt{9} = \pm 3 \\ \hline a-b \ &= 5-3 = 2 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2$

34. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Lima buah bilangan membentuk barisan aritmatiaka. Jika jumlah kelima bilangan itu $5$ dan hasil kalinya $45$, maka bilangan yang terbesar adalah...

$\begin{align} (A)\ & 5 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 9 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Lima bilangan membentuk barisan aritmatika, kita misalkan bilangan itu adalah $(a-2b)$, $(a-b)$, $(a)$, $(a+b)$, dan $(a+2b)$.

Jumlah kelima bilangan itu $5$ dan hasil kalinya $45$, dapat kita peroleh:
$\begin{align} (a-2b)+(a-b)+(a)+(a+b)+(a+2b) &= 5 \\ 5a\ &= 5 \\ a &= 1 \\ \hline (a-2b) (a-b) (a)(a+b) (a+2b)\ &= 45 \\ (1-2b) (1-b) (1)(1+b) (1+2b)\ &= 45 \\ (1-2b) (1-b) (1+b) (1+2b)\ &= 45 \\ \left( 1-b^{2} \right)\left( 1-4b^{2} \right)\ &= 45 \\ 4b^{4}-5b^{2}+1 &= 45 \\ 4b^{4}-5b^{2}-44 &= 0 \\ \left( 4b^{2}+11 \right)\left( b^{2}-4 \right)\ &= 0 \\ \hline 4b^{2}+11 &= 0 \\ 4b^{2} &= -11\ \text{(TM)} \\ \hline b^{2}-4 &= 0 \\ b^{2} &= 4 \\ b\ &= \pm \sqrt{4} = \pm 2 \\ \hline a+2b \ &= 1+2(2) = 5 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 5$

35. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Tiga bilangan membentuk barisan aritmatika. Jika jumlah ketiga bilangan itu $12$ dan hasil kalinya $28$, maka bilangan terbesar adalah...

$\begin{align} (A)\ & 5 \\ (B)\ & 7 \\ (C)\ & 8 \\ (D)\ & 10 \\ (E)\ & 12 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika, kita misalkan bilangan itu adalah $(a-b)$, $(a)$, dan $(a+b)$.

Jumlah ketiga bilangan itu $12$ dan hasil kalinya $28$, dapat kita peroleh:
$\begin{align} (a-b)+(a)+(a+b)\ &= 12 \\ 3a\ &= 12 \\ a &= 4 \\ \hline (a-b) (a) (a+b)\ &= 28 \\ (4-b) (4) (4+b)\ &= 28 \\ (4-b) (4+b)\ &= 7 \\ 16-b^{2}\ &= 7 \\ b^{2} &= 16-7 \\ b\ &= \pm \sqrt{9} = \pm 3 \\ \hline a+b \ &= 4+3 = 7 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 7$

36. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Jumlah $n$ suku yang pertama suatu deret aritmatika adalah $S_{n} = \dfrac{n}{2} \left( 3n – 17 \right)$. Rumus untuk suku ke-$n$ deret tersebut adalah...

$\begin{align} (A)\ & 3n-10 \\ (B)\ & 3n-8 \\ (C)\ & 3n-6 \\ (D)\ & 3n-4 \\ (E)\ & 3n-2 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari $S_{n} = \dfrac{n}{2} \left( 3n – 17 \right)$ kita peroleh $S_{1} = \dfrac{1}{2} \left( 3(1) – 17 \right)=-7$/

$\begin{align} S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( a+U_{n} \right) \\ \dfrac{n}{2} \left( 3n – 17 \right) &= \dfrac{n}{2} \left( a+U_{n} \right) \\ 3n – 17 &= a+U_{n} \\ 3n – 17 &= -7+U_{n} \\ 3n – 10 &= U_{n} \\ \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3n-10$

37. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Jumlah tiga suku pertama barisan arimetika adalah $27$ dan jumlah lima buah suku pertama barisan tersebut adalah $85$, maka suku ke-$4$ barisan tersebut adalah...

$\begin{align} (A)\ & 33 \\ (B)\ & 25 \\ (C)\ & 17 \\ (D)\ & 41 \\ (E)\ & 49 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Misal lima buah suku pertama barisan adalah $(a-b)$, $(a )$, $(a+b)$, $(a+2b)$, dan $(a+3b)$.


Jumlah tiga suku pertama barisan arimetika adalah $27$:
$\begin{align} (a-b)+(a )+(a+b) &= 27 \\ 3a &= 27 \\ a &= 9 \end{align}$


Jumlah lima suku pertama barisan arimetika adalah $85$:
$\begin{align} (a-b)+(a )+(a+b)+(a+2b)+(a+3b) &= 85 \\ 5a+5b &= 85 \\ a+ b &= 17 \\ 9+ b &= 17 \\ b &= 8 \end{align}$

Untuk $ a=9$ dan $b=8$ kita peroleh barisannya $1,\ 9,\ 17,\ 25,\ 33$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 25$

38. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Jika akar-akar persamaan $x^{4} – \left( 3m+2 \right)x^{2} + m^{2} = 0$ membentuk barisan aritmatika, maka nilai $m = \cdots$

$\begin{align} (A)\ & 4 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 6 \\ (D)\ & 7 \\ (E)\ & 8 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal di atas, sedikit kita pinjam catatan suku banyak yaitu untuk $F(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$ dan akar-akarnya $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ dan $x_{4}$ berlaku:

  • $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} =-\dfrac{b}{a}$
  • $x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3}+\cdots+ x_{3}\cdot x_{4} = \dfrac{c}{a}$
  • $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}+ x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{4}+\cdots+ x_{2} \cdot x_{3}\cdot x_{4} = -\dfrac{d}{a}$
  • $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4} = \dfrac{e}{a}$

Dari persamaan $x^{4} – \left( 3m+2 \right)x^{2} + m^{2} = 0$ kita peroleh $a=1$, $b=0$, $c=– \left( 3m+2 \right)$, $d=0$ dan $e=m^{2}$.


Misal akar-akarnya yang membentuk barisan aritmetika adalah $x_{1}=(p-3q)$, $x_{2}=(p-q)$, $x_{3}=(p+q)$, dan $x_{4}=(p+3q)$, sehingga kita peroleh:


Hasil jumlah keempat akar-akar:
$\begin{align} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} &= -\dfrac{b}{a} \\ (p-3q)+(p-q)+(p+q)+(p+3q) & = -\dfrac{0}{1} \\ 5p & = 0 \\ p & = 0 \end{align}$


Untuk $p=0$ akar-akarnya adalah $x_{1}=-3q$, $x_{2}= -q$, $x_{3}= q$, dan $x_{4}= 3q$


Hasil kali keempat akar-akar:
$\begin{align} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} &= \dfrac{e}{a} \\ ( -3q) ( -q) ( q) ( 3q) & = \dfrac{m^{2}}{1} \\ 9q^{4} & = m^{2} \\ 9q^{2} & = m \\ q^{2} & = \dfrac{m}{3} \end{align}$


Hasil kali dua akar-akar:
$\begin{align} x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3}+\cdots+ x_{3}\cdot x_{4} & = \dfrac{c}{a} \\ 3q^{2}-3q^{2}-9q^{2}- q^{2}-3q^{2}+3q^{2} & = \dfrac{– \left( 3m+2 \right)}{1} \\ -10q^{2} & = – \left( 3m+2 \right) \\ 10 \cdot \dfrac{m}{3} & = 3m+2 \\ 10m & = 9m+6 \\ m & = 6 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6$

39. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Pada suatu deret aritmatika diketahui $U_{5}+U_{7}+U_{9}+\cdots+U_{19}=112$. Jika nilai $U_{9}=8$ maka jumlah $10$ suku pertamanya adalah...

$\begin{align} (A)\ & 5 \\ (B)\ & 7 \\ (C)\ & 8 \\ (D)\ & 10 \\ (E)\ & 12 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Rumus suku ke-$n$ adalah $u_{n} = a+\left( n-1 \right)b$, kita peroleh:
$\begin{align} U_{5}+U_{7}+U_{9}+\cdots+U_{19} &= 112 \\ (a+4b)+(a+6b)+(a+8b)+\cdots+(a+18b) &= 112 \\ 8a+88b &= 112 \\ a+11b &= 14 \end{align}$


Dari persamaan di atas dan suku ke-$9$ yaitu $a+8b=14$ kita peroleh:
$\begin{align} a+11b &= 14 \\ a+8b &= 8\ (-) \\ \hline 3b &= 6 \\ b &= 2 \longrightarrow a=-8 \\ \end{align}$


Jumlah $10$ suku pertama barisan arimetika adalah:
$\begin{align} S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( 2a+(n-1)b \right) \\ S_{10}\ &= \dfrac{10}{2} \left( 2(-8)+ (10-1)(2) \right) \\ &= 5 \left( -16 + 18 \right) \\ &= 5 \left( 2 \right) =10 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 10$

40. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Suatu barisan aritmatika diketahui $S_{n}=2n^{2}-11n$. Jika banyaknya suku genap sama dengan banyaknya suku ganjil, dan jumlah suku-suku genapnya $55$, maka jumlah suku-suku ganjilnya adalah...

$\begin{align} (A)\ & 35 \\ (B)\ & 32 \\ (C)\ & 28 \\ (D)\ & 26 \\ (E)\ & 24 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari $S_{n}=2n^{2}-11n$ dapat kita ketahui $S_{1}=2(1)n^{2}-11(1)=-9$, $S_{2}=2(2)^{2}-11(2)=-14$, $S_{3}=2(3)^{2}-11(3)=-15$ dan seterusnya.

Dapat juga kita peroleh $U_{1}=-9$, $U_{2}=-5$, $U_{3}=-1$ dan $b=4$. Jika kita tuliskan deretnya adalah $-9-5-1+3+7+11+\cdots$


Jumlah suku-suku yang genap $-5+3+11+\cdots$ adalah $55$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( 2a+(n-1)b \right) \\ 55 &= \dfrac{n}{2} \left( 2(-5)+ (n-1)(8) \right) \\ 55 &= \dfrac{n}{2} \left( -10 + 8n-8 \right) \\ 55 &= \dfrac{n}{2} \left( -18 + 8n \right) \\ 55 &= -9n + 4n^{2} \\ 0 &= 4n^{2}-9n-55 \\ 0 &= \left(4n+11 \right)\left(n-5 \right) \\ &n=-\frac{11}{4}\ \text{(TM)}\ \text{atau}\ n=5 \\ \end{align}$


Jumlah suku-suku yang ganjil $-9-1+7+\cdots$ adalah:
$\begin{align} S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( 2a+(n-1)b \right) \\ &= \dfrac{5}{2} \left( 2(-9)+ (5-1)(8) \right) \\ &= \dfrac{5}{2} \left( -18 + 32 \right) \\ &= \dfrac{5}{2} \left( 14 \right) = 35 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalahpyt $(A)\ 35$

41. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Sisi-sisi segitiga siku-siku membentuk deret aritmatika. Jika keliling segitiga tersebut $72\ cm$, maka luasnya adalah...

$\begin{align} (A)\ & 164 \\ (B)\ & 176 \\ (C)\ & 182 \\ (D)\ & 198 \\ (E)\ & 216 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Misal sisi-sisi segitiga siku-siku yang membentuk barisan aritmetika adalah $(a-b)$, $(a)$, dan $(a+b)$.

Keliling segitiga tersebut $72\ cm$, sehingga berlaku:
$\begin{align} (a-b)+(a)+(a+b) &= 72 \\ 3a &= 72 \\ a &= 24 \end{align}$


Untuk $a=24$ dan kita terapkan Teorema Pythagoras sehingga kita perolah:
$\begin{align} (a+b)^{2} &= (a-b)^{2}+(a)^{2} \\ (24+b)^{2} &= (24-b)^{2}+(24)^{2} \\ 24^{2}+48b+b^{2} &= 24^{2}-48b+b^{2}+24^{2} \\ 96b &= 24^{2} \\ b &= \dfrac{576}{96}=6 \end{align}$


Pada segitiga siku-siku yang terpanjang adalah sisi miring dan sisi-sisi yang lainnya adalah sisi-sisi yang membentuk siku-siku sehingga luas segitiga adalah:
$\begin{align} L &= \dfrac{1}{2} \cdot (a-b) (a) \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot (24-8) (24) \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot (18) (24) =216 \end{align}$


Sebagai alternatif bisa juga digunakan perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku yaitu $3x$, $4x$, dan $5x$
$\begin{align} 3x+4x+5x &= 72 \\ 12x &= 72 \longrightarrow x=6 \end{align}$
Sisi-sisi segitiga adalah $18,24,30$
Luas adalah $L=\dfrac{1}{2} (18) (24)=216$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 216$

42. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Jika $S_{n}$ adalah jumlah $n$ suku pertama deret aritmatika, maka bentuk sederhana dari $S_{n+3}-3S_{n+2}+3S_{n+1}-S_{n}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 16 \\ (B)\ & 12 \\ (C)\ & 8 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 0 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Kita ketahui bahwa $U_{n} = S_{n} – S_{n–1}$ dan $b = U_{n} – U_{n–1}$.


$\begin{align} & S_{n+3}-3S_{n+2}+3S_{n+1}-S_{n} \\ & = S_{n+3}-S_{n+2}-2S_{n+2}+2S_{n+1}+S_{n+1}-S_{n} \\ & = \left( S_{n+3}-S_{n+2} \right)-2 \left( S_{n+2}-S_{n+1} \right)+ \left(S_{n+1}-S_{n} \right) \\ & = U_{n+3}-2 U_{n+2} +U_{n+1} \\ & = U_{n+3}- U_{n+2}-U_{n+2} +U_{n+1} \\ & = \left( U_{n+3}- U_{n+2} \right)- \left(U_{n+2} -U_{n+1} \right)\\ & = \left( b \right)- \left( b \right) = 0 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 216$

43. Soal Latihan BarDer Aritmetika

Jumlah deret aritmatika dengan $n$ suku adalah $S_{1}$. Diantara tiap-tiap dua suku yang berurutan disisipkan $4$ bilangan, sehingga terjadi lagi sebuah deret aritmatika baru yang jumlahnya $S_{2}$. Perbandingan $S_{1} : S_{2}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \left( n+1 \right): 5n \\ (B)\ & \left( n-5 \right): 2n \\ (C)\ & n : \left( 5n-4 \right) \\ (D)\ & 3n : \left( 2n-1 \right) \\ (E)\ & 2n : \left( 3n+2 \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Kita ketahui setelah disisipkan $k$ bilangan banyak suku pada barisan yang baru $n'\ =n+\left( n-1 \right)k$ dan $S_{n}'\ =\dfrac{n'}{2} \left( a+U_{n} \right)$.


$\begin{align} \dfrac{S_{1}}{S_{2}} &= \dfrac{\dfrac{n}{2} \left( a+U_{n} \right)}{\dfrac{n'}{2} \left( a+U_{n} \right)} \\ &= \dfrac{n}{ n'} \\ &= \dfrac{n}{ n+\left( n-1 \right)k} \\ &= \dfrac{n}{ n+\left( n-1 \right)(4)} \\ &= \dfrac{n}{ n+4n-4} \\ &= \dfrac{n}{ 5n-4} \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ n : \left( 5n-4 \right)$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras


Pembahasan soal Barisan dan Deret Aritmetika di atas beberapa adalah coretan kreatif siswa pada:
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Matematika Dasar SMA: Soal Latihan dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 😊 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE🙏

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Matematika Dasar SMA: Soal Latihan dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih 🙏 support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar