Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Barisan dan Deret Bilangan Aritmetika. Sebagai contoh soal latihan untuk bahan diskusi, kita pilih dari soal pada Modul Barisan dan Deret Aritmetika Matematika SMA.
Definisi Barisan Aritmetika
Barisan adalah kumpulan objek-obejek yang disusun menurut pola tertentu. Objek pertama dinamakan suku pertama, objek kedua dinamakan suku kedua, objek ketiga dinamakan suku ketiga dan seterusnya sampai objek ke-$n$ dinamakan suku ke-$n$ atau $U_{n}$.
Jika objek-objek tersebut berupa bilangan, maka bentuk penjumlahan dari objek-objek tersebut sampai $n$ suku dinamakan deret bilangan.
Barisan aritmetika adalah suatu barisan angka-angka dimana $U_{2} – U_{1} = U_{3} – U_{2} = \cdots = U_{n} – U_{n-1}$ disebut dengan beda(merupakan angka yang sama).
Contoh barisan aritmetika
- $3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35$
adalah barisan aritmetika dengan beda $4$ - $ 63, 58, 53, 48, \cdots ,3$
adalah barisan aritmetika dengan beda $-5$ - $5 + 8 + 11 + 14 + 17 + \cdots + 50$
adalah deret aritmetika dengan beda $3$ - $3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + \cdots + 201$
adalah deret aritmetika dengan beda $2$
Rumus Suku ke-$n$ Barisan Aritmetika
Untuk barisan aritmetika $u_{1},\ u_{2},\ u_{3},\ \cdots, u_{n}$,
dimana $u_{1}$ adalah suku pertama dan $u_{2}$ suku kedua dan seterusnya sampai dengan $u_{n}$ adalah suku ke-$n$.
Dari definisi barisan aritmetika dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
b\ &= u_{2}-u_{1} \\
&= u_{3}-u_{2} \\
&= u_{n}-u_{n-1}
\end{align}$
Barisan aritmetika dapat kita tuliskan menjadi: $u_{1},\ u_{1}+b,\ u_{1}+2b,\ u_{1}+3b,\ \cdots$
Untuk $u_{1}=a$ barisan aritmetika dapat kita tuliskkan menjadi: $a,\ a+b,\ a+2b,\ a+3b,\ \cdots$
Dari bentuk di atas, dapat kita temukan pola barisan aritmetika sebagai berikut:
$\begin{align}
u_{1}\ &= a \\
u_{2}\ &= a+b \\
u_{3}\ &= a+2b \\
& \vdots \\
u_{10}\ &= a+9b \\
u_{11}\ &= a+10b \\
& \vdots \\
u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\
\end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh bentuk umum untuk suku suku ke-$n$ barisan aritmetika yaitu: $ u_{n}\ = a+\left( n-1 \right)$.
Deret Aritmetika
Deret aritmetika adalah penjumlahan barisan bilangan aritmetika.
Secara umum deret aritmetika dapat tuliskan:
$a+\left( a+b \right)+ \left( a+2b \right)+ \cdots +\left( a+(n-1)b \right)$
Jumlah satu suku pertama adalah $S_{1}$
$\begin{align}
S_{1}\ &= u_{1} \\
&= a
\end{align}$
Jumlah dua suku pertama adalah $S_{2}$
$\begin{align}
S_{2}\ &= u_{1}+u_{2} \\
&= a+a+b \\
&= 2a+2b
\end{align}$
Jumlah tiga suku pertama adalah $S_{3}$
$\begin{align}
S_{3}\ &= u_{1}+u_{2}+u_{3} \\
&= a+a+b+a+2b \\
&= 3a+5b
\end{align}$
Jumlah n suku pertama adalah $S_{n}$
$\begin{align}
S_{n}\ &= u_{1}+u_{2}+u_{3}+ \cdots +u_{n-2}+u_{n-1}+u_{n} \\
&= a+a+b+a+2b+\cdots+a+(n-2)b+a+(n-1)b
\end{align}$
Kita coba temukan rumus umum untuk $S_{n}$
$\begin{align}
S_{n}\ &= a+\color{red}{a+b}+a+2b+\cdots +\color{red}{a+(n-2)b}+a+(n-1)b \\
S_{n}\ &= a+(n-1)b+\color{red}{a+(n-2)b}+ \cdots + a+2b+\color{red}{a+b}+a\ (+) \\
\hline
2S_{n}\ &= \left( a+a+(n-1)b \right) + \cdots + \left( a+(n-1)b+a \right) \\
2S_{n}\ &= \left( 2a+(n-1)b \right) +\cdots +\left( 2a+(n-1)b \right) \\
2S_{n}\ &= n \left( 2a+(n-1)b \right) \\
S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( 2a+(n-1)b \right)
\end{align}$
Rumus untuk menentukan $S_{n}$ di atas dapat kita jabarkan lagi yaitu:
$\begin{align}
S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( a+a+(n-1)b \right) \\
S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( a+U_{n} \right)
\end{align}$
Rumus Suku Tengah Barisan Aritmetika
Jika suatu barisan aritmatika diketahui $n$ ganjil, maka suku tengah dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut:
$\begin{align}
U_{t}\ &= U_{\frac{n+1}{2}} \\
&= a+ \left( \dfrac{1}{2} \left( n+1 \right) -1 \right) b \\
&= a+ \dfrac{1}{2} \left( \left( n+1 \right) - 2 \right) b \\
&= a+ \dfrac{1}{2} \left( n -1 \right) b \\
&= \dfrac{1}{2} \left( 2a+ \left( n -1 \right) b \right) \\
&= \dfrac{1}{2} \left( a+ a+ \left( n -1 \right) b \right) \\
&= \dfrac{1}{2} \left( a+ U_{n} \right)
\end{align}$
Sebagai tambahan, hasil pengembangan apa yang sudah kita peroleh di atas dapat juga diketahui bahwa:
- $S_{n}=n \cdot U_{t}$
- $U_{n} = S_{n} – S_{n–1}$
- $b=\dfrac{u_{6}-u_{3}}{6-3}=\dfrac{u_{m}-u_{n}}{m-n}$
- Jika ada $k$ bilangan yang disisipkan diantara dua suku pada barisan arirmetika maka ada perubahan pada barisan yang baru yaitu:
- Beda barisan yang baru $b'\ =\dfrac{b}{k+1}$
- Banyak suku pada barisan yang baru $n'\ =n+\left( n-1 \right)k$
- Jumlah suku barisan yang baru $S_{n}'\ =\dfrac{n'}{2} \left( a+U_{n} \right)$
BARISAN ARITMETIKA TINGKAT DUA
Barisan aritmetika tingkat $n$ adalah barisan yang mempunyai $n$ pola dalam membentuk sebuah barisan dan pada pola ke-$n$ pola barisan menggunakan konsep aritmetika atau beda pada barisan adalah sama. Barisan aritmetika tingkat dua berarti barisan memiliki dua pola dan pada pola yang kedua beda barisan adalah sama.
Sebagai contoh kita perhatikan barisan berikut:
Barisan aritmetika tingkat dua $6, 18, 36, 60, 90, 126, \cdots$
Menggunakan faktorial $(*n!=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 1)$ suku ke-$n$ barisan aritmetika tingkat dua adalah $U_n=a+ \dfrac{(n-1)b}{1!} + \dfrac{(n-1)(n-2)c}{2!}$.
Barisan aritmetika tingkat tiga $1, 7, 25, 121, 211, 337, 505, \cdots$
Jika kita lanjutkan suku ke-$n$ dari barisan aritmetika tingkat dua untuk barisan aritmetika tingkat tiga kita peroleh $U_n=a+ \dfrac{(n-1)b}{1!}+ \dfrac{(n-1)(n-2)c}{2!}+\dfrac{(n-1)(n-2)(n-3)d}{3!}$
Contoh Soal dan Pembahasan Barisan Aritmetika
Untuk menambah pemahaman kita terkait Barisan dan Deret Aritmetika ini, mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Barisan dan Deret Aritmetika Matematika SMA.
Soal latihan Matematika Dasar Barisan dan Deret Aritmetika ini, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 43 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Dari barisan $3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ \cdots $ suku ke-$21$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari barisan $3, 5, 7, 9, 11, \cdots $ kita peroleh suku pertama $a=3$ dan beda $b=5-3=2$ atau $b=11-9=2$.
Suku ke-$21$ adalah:
$\begin{align}
u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\
u_{21}\ &= 3+\left( 21-1 \right)(2) \\
&= 3+\left( 20 \right)(2) \\
& = 3+40 =43
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 43$
2. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Dari barisan $15,\ 11,\ 7,\ 3,\ \cdots$ Suku ke-$10$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari barisan $15,\ 11,\ 7,\ 3,\ \cdots$ kita peroleh suku pertama $a=15$ dan beda $b=11-15=-4$ atau $b=7-11=-4$.
Suku ke-$10$ adalah:
$\begin{align}
u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\
u_{10}\ &= 15+\left( 10-1 \right)(-4) \\
&= 15+\left( 9 \right)(-4) \\
&= 15-36 =-21
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -21$
3. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Dari barisan $3,\ 4 \frac{1}{2},\ 6,\ 7 \frac{1}{2},\ 9,\ \cdots$ Suku ke-$12$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari barisan $3,\ 4 \frac{1}{2},\ 6,\ 7 \frac{1}{2},\ 9,\ \cdots$ kita peroleh suku pertama $a=3$ dan beda $b=4 \frac{1}{2}-3=\frac{3}{2}$ atau $b=9-7 \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$.
Suku ke-$12$ adalah:
$\begin{align}
u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\
u_{12}\ &= 3+\left( 12-1 \right) \left( \frac{3}{2}\right) \\
&= 3+\left( 11 \right) \left( \frac{3}{2}\right) \\
&= 3 + \frac{33}{2} = \frac{39}{2} = 19 \frac{1}{2}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 19\frac{1}{2}$
4. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Suatu barisan aritmatika diketahui suku ke-$4$ adalah $6$ dan bedanya $3$. Suku ke-$8$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan suku ke-$4$ adalah $6$ dan bedanya $3$, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\
u_{4}\ &= a+\left( 4-1 \right) (3) \\
6 &= a+ 9 \longrightarrow a=-3 \\
\hline
u_{8}\ &= -3+\left( 8-1 \right) \left( 3 \right) \\
&= -3+ \left( 7 \right) \left( 3 \right) \\
&= -3 + 21 = 18
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 18$
5. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Suatu barisan aritmatika diketahui suku ke-$15$ adalah $30$ dan bedanya $-5$. Suku ke-$6$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan suku ke-$15$ adalah $30$ dan bedanya $-5$, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\
u_{15}\ &= a+\left( 15-1 \right) (-5) \\
30 &= a -70 \longrightarrow a=100 \\
\hline
u_{6}\ &= 100+\left( 6-1 \right) \left( -5 \right) \\
&= 100+ \left( 5 \right) \left( -5 \right) \\
&= 100 -25 = 75
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 75$
6. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Rumus umum suku ke-$n$ dari barisan $4,\ 9,\ 14,\ 19,\ 24,\ \cdots$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Barisan $4,\ 9,\ 14,\ 19,\ 24,\ \cdots$ adalah barisan aritmetika dengan $a=4$ dan $b=5$.
Rumus suku ke-$n$ adalah:
$\begin{align}
u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\
&= 4+\left( n-1 \right) (5) \\
&= 4 +5n-5 \\
&= 5n-1
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 5n-1$
7. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Dari barisan $6,\ 4\frac{2}{3},\ 3\frac{1}{3},\ 2, \cdots$ rumus umum suku ke-$n$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Barisan $6,\ 4\frac{2}{3},\ 3\frac{1}{3},\ 2, \cdots$ adalah barisan aritmetika dengan $a=6$ dan $b=-\frac{4}{3}$.
Rumus suku ke-$n$ adalah:
$\begin{align}
u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\
&= 6+\left( n-1 \right) \left( -\frac{4}{3} \right) \\
&= 6-\frac{4}{3}n + \frac{4}{3} \\
&= \frac{1}{3} \left( 18 -4 n + 4 \right) \\
&= \frac{1}{3} \left( 22 -4 n \right) \\
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{1}{3} \left( 22-4n \right)$
8. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Suatu barisan aritmatika diketahui suku ke-$6$ adalah $–4$ dan suku ke-$9$ adalah $–19$, maka suku ke-$11$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Rumus suku ke-$n$ adalah $u_{n} = a+\left( n-1 \right)b$, kita peroleh:
$\begin{align}
u_{6}\ &= a+5b \\
-4\ &= a+5b \\
u_{9}\ &= a+8b \\
-19\ &= a+8b
\end{align}$
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
a+5b &= -4 \\
a+8b &= -19\ (-)\\
\hline
3b\ &= -15 \\
b\ &= -5 \longrightarrow a=21 \\
\hline
u_{11}\ &= a+10b \\
&= 21+10(-5) \\
&= 21-50=-29
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -29$
9. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Pada suatu barisan aritmatika diketahui suku ke-$3$ adalah $13$ dan jumlah suku kedua dan kelima adalah $30$. Rumus suku ke-$n$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Rumus suku ke-$n$ adalah $u_{n} = a+\left( n-1 \right)b$, kita peroleh:
$\begin{align}
u_{3}\ &= 13 \\
a+2b\ &= 13 \\
u_{2}+u_{5}\ &= 30 \\
a+b+a+4b\ &= 30 \\
2a+5b\ &= 30
\end{align}$
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
2a+5b &= 30\ (\times 1) \\
a+2b &= 13\ (\times 2) \\
\hline
2a+5b &= 30 \\
2a+4b &= 26\ (-) \\
\hline
b\ &= 4\ \longrightarrow a=5 \\
\hline
u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\
&= 5+\left( n-1 \right)(4) \\
&= 5+4n-4 \\
&= 4n+1
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4n+1$
10. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Hasil dari $5 + 7 + 9 + 11 + \cdots + 41$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari deret $5 + 7 + 9 + 11 + \cdots + 41$ kita peroleh $a=5$, $b=2$, dan $U_{n}=41$.
$\begin{align}
u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\
41 &= 5+\left( n-1 \right)(2) \\
41 &= 5+ 2n-2 \\
38 &= 2n\\
n &= 19 \\
\hline
S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( a+U_{n} \right) \\
S_{19}\ &= \dfrac{19}{2} \left( 5+ 41 \right) \\
&= \dfrac{19}{2} \left( 46 \right) \\
&= 23 \times 19 = 437
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 437$
11. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Hasil dari $3 + 7 + 11 + 15 + \cdots + 43$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari deret $3 + 7 + 11 + 15 + \cdots + 43$ kita peroleh $a=3$, $b=4$, dan $U_{n}=43$.
$\begin{align}
u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\
43 &= 3+\left( n-1 \right)(4) \\
43 &= 3+ 4n-4 \\
44 &= 4n\\
n &= 11 \\
\hline
S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( a+U_{n} \right) \\
S_{11}\ &= \dfrac{11}{2} \left( 3+ 43 \right) \\
&= \dfrac{11}{2} \left( 46 \right) \\
&= 11 \times 23 = 253
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 253$
12. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Jika $4 + 6 + 8 + 10 + \cdots + x = 130$, maka nilai $x$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari deret $4 + 6 + 8 + 10 + \cdots + x = 130$ kita peroleh $a=4$, $b=2$, $U_{n}=x$, dan $S_{n}=130$.
$\begin{align}
u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\
x &= 4+\left( n-1 \right)(2) \\
x &= 4+ 2n-2 \\
x &= 2n+2 \\
\hline
S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( a+U_{n} \right) \\
130\ &= \dfrac{n}{2} \left( 4+ 2n+2 \right) \\
130\ &= \dfrac{n}{2} \left( 6+ 2n \right) \\
130\ &= 3n+n^{2} \\
0\ &= n^{2}+3n-130 \\
0\ &= \left( n+13 \right)\left( n-10 \right) \\
&n=-13\ \text{(TM)}\ \text{atau}\ n=10 \\
\hline
x &= 2n+2 \\
x &= 2(10)+2=22
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 22$
13. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Jika $1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + x = 210$, maka nilai $x$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari deret $1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + x = 210$ kita peroleh $a=1$, $b=1$, $U_{n}=x$, dan $S_{n}=210$.
$\begin{align}
u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\
x &= 1+\left( n-1 \right)(1) \\
x &= 1+ n- 1 \\
x &= n \\
\hline
S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( a+U_{n} \right) \\
210\ &= \dfrac{n}{2} \left( 1+ n \right) \\
420\ &= n^{2} +n \\
0\ &= n^{2}+n-420 \\
0\ &= \left( n+21 \right)\left( n-20 \right) \\
&n=-21\ \text{(TM)}\ \text{atau}\ n=20 \\
\hline
x &= n \\
x &= 20
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 20$
14. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Suku ke empat dari suatu barisan aritmatika adalah $20$ dan jumlah $5$ suku pertamanya sama dengan $80$. Jumlah sebelas suku pertamanya adalah...
Alternatif Pembahasan:
Rumus suku ke-$n$ adalah $u_{n} = a+\left( n-1 \right)b$, kita peroleh:
$\begin{align}
u_{n} &= a+\left( n-1 \right)b \\
u_{4} &= a+ \left( 4-1 \right)b \\
20\ &= a+3b \\
\hline
S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( 2a+\left( n-1 \right)b \right) \\
S_{5}\ &= \dfrac{5}{2} \left( 2a+\left( 5-1 \right)b \right)\\
80\ &= \dfrac{5}{2} \left( 2a+4b \right) \\
80\ &= 5a+10b \\
16\ &= a+ 2b
\end{align}$
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
a+ 2b &= 16 \\
a+3b &= 20\ (-) \\
\hline
b\ &= 4\ \longrightarrow a=8 \\
\hline
S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( 2a+\left( n-1 \right)b \right) \\
S_{11}\ &= \dfrac{11}{2} \left( 2(8)+\left( 11-1 \right)(4) \right)\\
&= \dfrac{11}{2} \left( 16+ 40 \right)\\
&= \dfrac{11}{2} \left( 56 \right)\\
&= 11 \times 28 = 308
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 308$
15. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Dari suatu deret aritmatika diketahui jumlah $n$ suku pertamanya ditentukan dengan rumus $S_{n} = \frac{n}{2} \left(3n+5 \right)$. Suku ke-$6$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba gunakan sifat $U_{n} = S_{n} – S_{n–1}$.
$\begin{align} S_{n}\ &= \frac{n}{2} \left(3n+5 \right) \\ S_{6}\ &= \frac{6}{2} \left(3(6)+5 \right) \\ &= 3 \left( 18+5 \right) \\ &= 69 \\ \hline S_{5}\ &= \frac{5}{2} \left(3(5)+5 \right) \\ &= \frac{5}{2} \left( 20 \right) = 50 \\ \hline U_{6} &= S_{6} – S_{5} \\ &= 69-505 \\ &= 19 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 19$
16. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Jumlah bilangan bulat antara $10$ dan $60$ yang habis dibagi $3$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Bilangan bulat antara $10$ dan $60$ yang habis dibagi $3$ jika kita tuliskan deretnya adalah $12+15+18+\cdots+57$. Kita peroleh $a=12$, $b=3$, dan $U_{n}=57$.
$\begin{align}
u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\
57 &= 12+\left( n-1 \right)(3) \\
57 &= 12+ 3n-3 \\
48 &= 3n\\
n &= 16 \\
\hline
S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( a+U_{n} \right) \\
S_{16}\ &= \dfrac{16}{2} \left( 12+ 57 \right) \\
&= 8 \left( 69 \right) \\
&= 552
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 552$
17. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Jumlah bilangan bulat dari $5$ sampai $25$ yang tidak habis dibagi $4$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jumlah bilangan bulat dari $5$ sampai $25$ yang tidak habis dibagi $4$ adalah jumlah seluruh bilangan bulat dikurang jumlah bilangan bulat yang habis dibagi $4$.
Jumlah seluruh bilangan bilangan bulat $5+6+7+\cdots+25$,
$\begin{align}
u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\
25 &= 5+\left( n-1 \right)(1) \\
25 &= n+4 \\
n &= 21 \\
\hline
S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( a+U_{n} \right) \\
S_{21}\ &= \dfrac{21}{2} \left( 5+ 25 \right) \\
&= \dfrac{21}{2} \left( 30 \right) \\
&= 21 \times 15 = 315
\end{align}$
Jumlah bilangan bilangan bulat yang habis dibagi $4$ adalah $8+12+\cdots+24$,
$\begin{align}
u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\
24 &= 8+\left( n-1 \right)(4) \\
24 &= 4n+4 \\
n &= 5 \\
\hline
S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( a+U_{n} \right) \\
S_{5}\ &= \dfrac{5}{2} \left( 8+ 24 \right) \\
&= \dfrac{5}{2} \left( 32 \right) \\
&= 5 \times 16 = 80
\end{align}$
Jumlah bilangan bulat dari $5$ sampai $25$ yang tidak habis dibagi $4$ adalah $315-80=235$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 235$
18. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Diketahui deret aritmatika $7 + 10 +13 + 16 + 19 + \cdots + 43$. Suku tengah deret itu adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari deret $7 + 10 +13 + 16 + 19 + \cdots + 43$ kita peroleh $a=7$, $b=3$ dan $U_{n}=43$.
$\begin{align} u_{t}\ &= \dfrac{1}{2} \left( a + U_{n} \right) \\ &= \dfrac{1}{2} \left( 7 + 43 \right) \\ &= \dfrac{1}{2} \left( 50 \right) = 25 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 25$
19. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Diketahui barisan $5 + 9 + 13 + \cdots$ (sampai $19$ suku). Suku tengah deret itu adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari deret $5 + 9 + 13 + \cdots$ kita peroleh $a=5$, $b=4$ dan $n=19$.
$\begin{align} U_{n}\ &= a + \left( n-1 \right)b \\ U_{19} &= 5 + \left( 19-1 \right) (4) \\ &= 5 + 72 = 77 \\ \hline U_{t}\ &= \dfrac{1}{2} \left( a + U_{n} \right) \\ &= \dfrac{1}{2} \left( 5 + 77 \right) \\ &= \dfrac{1}{2} \left( 82 \right) = 41 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 41$
20. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Jika suku tengah deret aritmatika $30 + 24 + 18 + 12 + \cdots + p$ adalah $6$, maka $p$ adalah suku yang ke...
Alternatif Pembahasan:
Dari deret $30 + 24 + 18 + 12 + \cdots + p$ kita peroleh $a=30$, $b=-6$ dan $U_{n}=p$.
$\begin{align} U_{t}\ &= \dfrac{1}{2} \left( a + p \right) \\ 6\ &= \dfrac{1}{2} \left( 30 + p \right) \\ 12\ &= 30 + p \\ p &= -18 \\ \hline U_{n}\ &= a + \left( n-1 \right)b \\ -18 &= 30 + \left( n-1 \right) (-6) \\ -18 &= 30 -6n +6 \\ 6n &= 54 \\ n &= 9 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 9$
21. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Tiga buah bilangan $(2 – 2x),\ (x – 2),\ (3x – 2)$ membentuk barisan aritmatika. Jika ketiga bilangan itu diteruskan hingga $10$ suku, maka jumlahnya adalah...
Alternatif Pembahasan:
Barisan bilangan $(2 – 2x),\ (x – 2),\ (3x – 2)$ membentuk barisan aritmetika sehingga berlaku:
$\begin{align}
2U_{2}\ &= U_{1}+U_{3} \\
2 (x – 2)\ &= (2 – 2x)+ (3x – 2) \\
2x-4\ &= x \\
x\ &= 4 \\
\hline
& -6+2+10+\cdots \\
S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( 2a+\left( n-1 \right)b \right) \\
S_{10}\ &= \dfrac{10}{2} \left( 2(-6)+\left( 10-1 \right)(8) \right)\\
&= 5 \left( -12+ 72 \right)\\
&= 5 \left( 60 \right) = 300
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 300$
22. Soal Latihan BarDer Aritmetika
$\sum\limits_{n=4}^{13} \left( 4n-2 \right) =\cdots$...
Alternatif Pembahasan:
Sedikit catatan dari Definisi Notasi Sigma yaitu $\sum\limits_{i=1}^{n} U_{i}=U_{1}+U_{2}+U_{3}+\cdots+U_{n}$.
$\begin{align} \sum\limits_{n=4}^{13} \left( 4n-2 \right)\ &= \left( 4(4)-2 \right)+\left( 4(5)-2 \right)+\cdots+\left( 4(13)-2 \right) \\ &= 14 + 18 + 22 +\cdots+ 50\\ \hline S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( 2a+\left( n-1 \right)b \right) \\ S_{(13-4)+1}\ &= \dfrac{10}{2} \left( 2(14)+\left( 10-1 \right)(4) \right)\\ S_{10}\ &= 5 \left( 28+ 36 \right)\\ &= 5 \left( 64 \right) = 320 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 320$
23. Soal Latihan BarDer Aritmetika
$\sum\limits_{n=5}^{14} \left( 2n+5 \right)+\sum\limits_{n=6}^{15} \left( 3n-2 \right) =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Sedikit catatan dari Definisi Notasi Sigma yaitu $\sum\limits_{i=1}^{n} U_{i}=U_{1}+U_{2}+U_{3}+\cdots+U_{n}$.
$\begin{align} \sum\limits_{n=5}^{14} \left( 2n+5 \right)\ &= \left( 2(5)+5 \right)+\left( 2(6)+5 \right)+\cdots+\left( 2(14)+5 \right) \\ &= 15 + 17 + 19 +\cdots+ 33\\ \hline S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( 2a+\left( n-1 \right)b \right) \\ S_{(14-5)+1}\ &= \dfrac{10}{2} \left( 2(15)+\left( 10-1 \right)(2) \right)\\ S_{10}\ &= 5 \left( 30+ 18 \right)\\ &= 5 \left( 48 \right) = 240 \end{align}$
$\begin{align} \sum\limits_{n=6}^{15} \left( 3n-2 \right)\ &= \left( 3(6)-2 \right)+\left( 3(7)-2 \right)+\cdots+\left( 3(15)-2 \right) \\ &= 16 + 19 + 22 +\cdots+ 43 \\ \hline S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( 2a+\left( n-1 \right)b \right) \\ S_{(15-6)+1}\ &= \dfrac{10}{2} \left( 2(16)+\left( 10-1 \right)(3) \right)\\ S_{10}\ &= 5 \left( 32+ 27 \right)\\ &= 5 \left( 59 \right) = 295 \end{align}$
Jumlah $\sum\limits_{n=5}^{14} \left( 2n+5 \right)+\sum\limits_{n=6}^{15} \left( 3n-2 \right)$ adalah $240+295=535$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 535$
24. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Diantara bilangan $5$ dan $15$ disisipkan empat buah bilangan, sehingga membentuk barisan aritmatika. Beda barisan itu adalah...
Alternatif Pembahasan:
Diantara bilangan $5$ dan $15$ disisipkan empat buah bilangan, sehingga membentuk barisan aritmatika sehingga barisan aritmatika terdiri dari $6$ suku dimana $a=5$ dan $U_{6}=15$.
Sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
U_{n}\ &= a + \left( n-1 \right)b \\
U_{6} &= 5 + \left( 6-1 \right) b \\
15 &= 5 + 5b \\
10 &= 5b\ \longrightarrow b=2
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2$
25. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Suatu deret aritmatika diketahui jumlah $n$ suku pertamanya dirumuskan $S_{n} = n^{2} +4n$. Maka nilai dari $U_{10} + U_{11} + U_{12} + \cdots + U_{20}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jumlah $U_{10} + U_{11} + U_{12} + \cdots + U_{20}$ dapat kita hiutng dari jumlah $20$ suku pertama dikurang jumlah $9$ suku pertama, yaitu:
$\begin{align}
S_{20}-S_{9}\ &= \left( 20^{2} +4(20) \right)-\left( 9^{2} +4(9) \right) \\
&= \left( 400 + 80 \right)-\left( 81+36 \right) \\
&= 480-117=363
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 363$
26. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Dalam suatu barisan aritmatika diketahui suku ke-$7$ adalah $5 + 7\sqrt{2}$, dan suku ke-$11$ adalah $9 + 11\sqrt{2}$. Besar suku ke-$10$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Rumus suku ke-$n$ adalah $u_{n} = a+\left( n-1 \right)b$, kita peroleh:
$\begin{align}
u_{7}\ &= a+6b \\
5 + 7\sqrt{2} &= a+6b \\
u_{11}\ &= a+10b \\
9 + 11\sqrt{2} &= a+10b
\end{align}$
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
a+6b &= 5 + 7\sqrt{2} \\
a+10b &= 9 + 11\sqrt{2}\ (-)\\
\hline
4b\ &= 4 + 4\sqrt{2} \\
b\ &= 1 + \sqrt{2} \\
a\ &= -1 + \sqrt{2} \\
\hline
u_{10}\ &= a+9b \\
&= -1 + \sqrt{2} + 9 \left(1+ \sqrt{2} \right)\\
&= -1 + \sqrt{2} + 9 + 9\sqrt{2} \\
&= 8 + 10\sqrt{2}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 8+10\sqrt{2}$
27. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Jumlah $10$ suku terakhir dari deret $2 + 8 + 14 + 20 + \cdots + 80$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari deret $2 + 8 + 14 + 20 + \cdots + 80$ kita peroleh $a=2$, $b=6$ dan $U_{n}=80$.
$\begin{align} u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\ 80 &= 2+\left( n-1 \right)(6) \\ 80 &= 2+ 6n-6 \\ 84 &= 6n\\ n &= 14 \end{align}$
Untuk $n=14$ maka jumlah $10$ suku terakhir adalah:
$\begin{align}
S_{14}-S_{4} &= \dfrac{14}{2} \left( 2+80 \right)-\dfrac{4}{2} \left( 2+20 \right) \\
&= 7 \left( 82 \right)- 2 \left( 22 \right) \\
&= 574-44 = 530
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 530$
28. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Suatu deret aritmatika diketahui jumlah $n$ suku pertamanya dirumuskan $S_{n} = 2n^{2} +4n$. Rumus suku tengahnya adalah...
Alternatif Pembahasan:
Hubungan suku tengah dan jumlah $n$ suku pertama dapat dirumuskan dalam bentuk $S_{n}=n \cdot U_{t}$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
S_{n} &= n \cdot U_{t} \\
2n^{2} +4n &= n \cdot U_{t} \\
2n +4 &= U_{t}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2n+4$
29. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Jumlah bilangan bulat antara $5$ dan $50$ yang habis dibagi $3$ tetapi tidak habis dibagi $4$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jumlah bilangan bulat antara $5$ dan $50$ yang habis dibagi $3$ tetapi tidak habis dibagi $4$ adalah jumlah seluruh bilangan bulat habis dibagi $3$ dikurang jumlah bilangan bulat yang habis dibagi $3$ dan $4$.
Jumlah bilangan bulat antara $5$ dan $50$ yang habis dibagi $3$ yaitu $6+9+12+\cdots+48$,
$\begin{align}
u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\
48 &= 6+\left( n-1 \right)(3) \\
48 &= 3n+3 \\
n &= 15 \\
\hline
S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( a+U_{n} \right) \\
S_{15}\ &= \dfrac{15}{2} \left( 6+ 48 \right) \\
&= \dfrac{15}{2} \left( 54 \right) \\
&= 15 \times 27 = 405
\end{align}$
Jumlah bilangan bilangan bulat yang habis dibagi $3$ dan $4$ adalah $12+24+36+48$ yaitu $120$.
Sehingga Jumlah bilangan bulat antara $5$ dan $50$ yang habis dibagi $3$ tetapi tidak habis dibagi $4$ adalah $405-120=285$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 285$
30. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika. Jika jumlah ketiga bilangan itu $15$ dan hasil kalinya $80$, maka bilangan yang terkecil adalah...
Alternatif Pembahasan:
Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika, kita misalkan bilangan itu adalah $(a-b)$, $(a)$, dan $(a+b)$.
Jumlah ketiga bilangan itu $15$ dan hasil kalinya $80$, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
(a-b)+(a)+(a+b)\ &= 15 \\
3a\ &= 15 \\
a &= 5 \\
\hline
(a-b) (a) (a+b)\ &= 80 \\
(5-b) (5) (5+b)\ &= 80 \\
(5-b) (5+b)\ &= 16 \\
25-b^{2}\ &= 16 \\
b^{2} &= 25-16 \\
b\ &= \pm \sqrt{9} = \pm 3 \\
\hline
a-b \ &= 5-3 = 2
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2$
31. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Jumlah bilangan bulat antara $10$ dan $60$ yang habis dibagi $3$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Bilangan bulat antara $10$ dan $60$ yang habis dibagi $3$ jika kita tuliskan deretnya adalah $12+15+18+\cdots+57$. Kita peroleh $a=12$, $b=3$, dan $U_{n}=57$.
$\begin{align}
u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\
57 &= 12+\left( n-1 \right)(3) \\
57 &= 12+ 3n-3 \\
48 &= 3n\\
n &= 16 \\
\hline
S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( a+U_{n} \right) \\
S_{16}\ &= \dfrac{16}{2} \left( 12+ 57 \right) \\
&= 8 \left( 69 \right) \\
&= 552
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 552$
32. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Jumlah bilangan bulat dari $5$ sampai $25$ yang tidak habis dibagi $4$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jumlah bilangan bulat dari $5$ sampai $25$ yang tidak habis dibagi $4$ adalah jumlah seluruh bilangan bulat dikurang jumlah bilangan bulat yang habis dibagi $4$.
Jumlah seluruh bilangan bilangan bulat $5+6+7+\cdots+25$,
$\begin{align}
u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\
25 &= 5+\left( n-1 \right)(1) \\
25 &= n+4 \\
n &= 21 \\
\hline
S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( a+U_{n} \right) \\
S_{21}\ &= \dfrac{21}{2} \left( 5+ 25 \right) \\
&= \dfrac{21}{2} \left( 30 \right) \\
&= 21 \times 15 = 315
\end{align}$
Jumlah bilangan bilangan bulat yang habis dibagi $4$ adalah $8+12+\cdots+24$,
$\begin{align}
u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\
24 &= 8+\left( n-1 \right)(4) \\
24 &= 4n+4 \\
n &= 5 \\
\hline
S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( a+U_{n} \right) \\
S_{5}\ &= \dfrac{5}{2} \left( 8+ 24 \right) \\
&= \dfrac{5}{2} \left( 32 \right) \\
&= 5 \times 16 = 80
\end{align}$
Jumlah bilangan bulat dari $5$ sampai $25$ yang tidak habis dibagi $4$ adalah $315-80=235$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 235$
33. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika. Jika jumlah ketiga bilangan itu $15$ dan hasil kalinya $80$, maka bilangan yang terkecil adalah...
Alternatif Pembahasan:
Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika, kita misalkan bilangan itu adalah $(a-b)$, $(a)$, dan $(a+b)$.
Jumlah ketiga bilangan itu $15$ dan hasil kalinya $80$, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
(a-b)+(a)+(a+b)\ &= 15 \\
3a\ &= 15 \\
a &= 5 \\
\hline
(a-b) (a) (a+b)\ &= 80 \\
(5-b) (5) (5+b)\ &= 80 \\
(5-b) (5+b)\ &= 16 \\
25-b^{2}\ &= 16 \\
b^{2} &= 25-16 \\
b\ &= \pm \sqrt{9} = \pm 3 \\
\hline
a-b \ &= 5-3 = 2
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2$
34. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Lima buah bilangan membentuk barisan aritmatiaka. Jika jumlah kelima bilangan itu $5$ dan hasil kalinya $45$, maka bilangan yang terbesar adalah...
Alternatif Pembahasan:
Lima bilangan membentuk barisan aritmatika, kita misalkan bilangan itu adalah $(a-2b)$, $(a-b)$, $(a)$, $(a+b)$, dan $(a+2b)$.
Jumlah kelima bilangan itu $5$ dan hasil kalinya $45$, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
(a-2b)+(a-b)+(a)+(a+b)+(a+2b) &= 5 \\
5a\ &= 5 \\
a &= 1 \\
\hline
(a-2b) (a-b) (a)(a+b) (a+2b)\ &= 45 \\
(1-2b) (1-b) (1)(1+b) (1+2b)\ &= 45 \\
(1-2b) (1-b) (1+b) (1+2b)\ &= 45 \\
\left( 1-b^{2} \right)\left( 1-4b^{2} \right)\ &= 45 \\
4b^{4}-5b^{2}+1 &= 45 \\
4b^{4}-5b^{2}-44 &= 0 \\
\left( 4b^{2}+11 \right)\left( b^{2}-4 \right)\ &= 0 \\
\hline
4b^{2}+11 &= 0 \\
4b^{2} &= -11\ \text{(TM)} \\
\hline
b^{2}-4 &= 0 \\
b^{2} &= 4 \\
b\ &= \pm \sqrt{4} = \pm 2 \\
\hline
a+2b \ &= 1+2(2) = 5
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 5$
35. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Tiga bilangan membentuk barisan aritmatika. Jika jumlah ketiga bilangan itu $12$ dan hasil kalinya $28$, maka bilangan terbesar adalah...
Alternatif Pembahasan:
Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika, kita misalkan bilangan itu adalah $(a-b)$, $(a)$, dan $(a+b)$.
Jumlah ketiga bilangan itu $12$ dan hasil kalinya $28$, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
(a-b)+(a)+(a+b)\ &= 12 \\
3a\ &= 12 \\
a &= 4 \\
\hline
(a-b) (a) (a+b)\ &= 28 \\
(4-b) (4) (4+b)\ &= 28 \\
(4-b) (4+b)\ &= 7 \\
16-b^{2}\ &= 7 \\
b^{2} &= 16-7 \\
b\ &= \pm \sqrt{9} = \pm 3 \\
\hline
a+b \ &= 4+3 = 7
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 7$
36. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Jumlah $n$ suku yang pertama suatu deret aritmatika adalah $S_{n} = \dfrac{n}{2} \left( 3n – 17 \right)$. Rumus untuk suku ke-$n$ deret tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari $S_{n} = \dfrac{n}{2} \left( 3n – 17 \right)$ kita peroleh $S_{1} = \dfrac{1}{2} \left( 3(1) – 17 \right)=-7$/
$\begin{align} S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( a+U_{n} \right) \\ \dfrac{n}{2} \left( 3n – 17 \right) &= \dfrac{n}{2} \left( a+U_{n} \right) \\ 3n – 17 &= a+U_{n} \\ 3n – 17 &= -7+U_{n} \\ 3n – 10 &= U_{n} \\ \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3n-10$
37. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Jumlah tiga suku pertama barisan aritmetika adalah $27$ dan jumlah lima buah suku pertama barisan tersebut adalah $85$, maka suku ke-$4$ barisan tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Misal lima buah suku pertama barisan adalah $(a-b)$, $(a )$, $(a+b)$, $(a+2b)$, dan $(a+3b)$.
Jumlah tiga suku pertama barisan aritmetika adalah $27$:
$\begin{align}
(a-b)+(a )+(a+b) &= 27 \\
3a &= 27 \\
a &= 9
\end{align}$
Jumlah lima suku pertama barisan aritmetika adalah $85$:
$\begin{align}
(a-b)+(a )+(a+b)+(a+2b)+(a+3b) &= 85 \\
5a+5b &= 85 \\
a+ b &= 17 \\
9+ b &= 17 \\
b &= 8
\end{align}$
Untuk $ a=9$ dan $b=8$ kita peroleh barisannya $9,\ 17,\ 25,\ 33$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 33$
38. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Jika akar-akar persamaan $x^{4} – \left( 3m+2 \right)x^{2} + m^{2} = 0$ membentuk barisan aritmatika, maka nilai $m = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas, sedikit kita pinjam catatan suku banyak yaitu untuk $F(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$ dan akar-akarnya $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ dan $x_{4}$ berlaku:
- $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} =-\dfrac{b}{a}$
- $x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3}+\cdots+ x_{3}\cdot x_{4} = \dfrac{c}{a}$
- $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}+ x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{4}+\cdots+ x_{2} \cdot x_{3}\cdot x_{4} = -\dfrac{d}{a}$
- $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4} = \dfrac{e}{a}$
Dari persamaan $x^{4} – \left( 3m+2 \right)x^{2} + m^{2} = 0$ kita peroleh $a=1$, $b=0$, $c=– \left( 3m+2 \right)$, $d=0$ dan $e=m^{2}$.
Misal akar-akarnya yang membentuk barisan aritmetika adalah $x_{1}=(p-3q)$, $x_{2}=(p-q)$, $x_{3}=(p+q)$, dan $x_{4}=(p+3q)$, sehingga kita peroleh:
Hasil jumlah keempat akar-akar:
$\begin{align}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} &= -\dfrac{b}{a} \\
(p-3q)+(p-q)+(p+q)+(p+3q) & = -\dfrac{0}{1} \\
5p & = 0 \\
p & = 0
\end{align}$
Untuk $p=0$ akar-akarnya adalah $x_{1}=-3q$, $x_{2}= -q$, $x_{3}= q$, dan $x_{4}= 3q$
Hasil kali keempat akar-akar:
$\begin{align}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} &= \dfrac{e}{a} \\
( -3q) ( -q) ( q) ( 3q) & = \dfrac{m^{2}}{1} \\
9q^{4} & = m^{2} \\
9q^{2} & = m \\
q^{2} & = \dfrac{m}{3}
\end{align}$
Hasil kali dua akar-akar:
$\begin{align}
x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3}+\cdots+ x_{3}\cdot x_{4} & = \dfrac{c}{a} \\
3q^{2}-3q^{2}-9q^{2}- q^{2}-3q^{2}+3q^{2} & = \dfrac{– \left( 3m+2 \right)}{1} \\
-10q^{2} & = – \left( 3m+2 \right) \\
10 \cdot \dfrac{m}{3} & = 3m+2 \\
10m & = 9m+6 \\
m & = 6
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6$
39. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Pada suatu deret aritmatika diketahui $U_{5}+U_{7}+U_{9}+\cdots+U_{19}=112$. Jika nilai $U_{9}=8$ maka jumlah $10$ suku pertamanya adalah...
Alternatif Pembahasan:
Rumus suku ke-$n$ adalah $u_{n} = a+\left( n-1 \right)b$, kita peroleh:
$\begin{align}
U_{5}+U_{7}+U_{9}+\cdots+U_{19} &= 112 \\
(a+4b)+(a+6b)+(a+8b)+\cdots+(a+18b) &= 112 \\
8a+88b &= 112 \\
a+11b &= 14
\end{align}$
Dari persamaan di atas dan suku ke-$9$ yaitu $a+8b=14$ kita peroleh:
$\begin{align}
a+11b &= 14 \\
a+8b &= 8\ (-) \\
\hline
3b &= 6 \\
b &= 2 \longrightarrow a=-8 \\
\end{align}$
Jumlah $10$ suku pertama barisan aritmetika adalah:
$\begin{align}
S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( 2a+(n-1)b \right) \\
S_{10}\ &= \dfrac{10}{2} \left( 2(-8)+ (10-1)(2) \right) \\
&= 5 \left( -16 + 18 \right) \\
&= 5 \left( 2 \right) =10
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 10$
40. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Suatu barisan aritmatika diketahui $S_{n}=2n^{2}-11n$. Jika banyaknya suku genap sama dengan banyaknya suku ganjil, dan jumlah suku-suku genapnya $55$, maka jumlah suku-suku ganjilnya adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari $S_{n}=2n^{2}-11n$ dapat kita ketahui $S_{1}=2(1)n^{2}-11(1)=-9$, $S_{2}=2(2)^{2}-11(2)=-14$, $S_{3}=2(3)^{2}-11(3)=-15$ dan seterusnya.
Dapat juga kita peroleh $U_{1}=-9$, $U_{2}=-5$, $U_{3}=-1$ dan $b=4$. Jika kita tuliskan deretnya adalah $-9-5-1+3+7+11+\cdots$
Jumlah suku-suku yang genap $-5+3+11+\cdots$ adalah $55$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( 2a+(n-1)b \right) \\
55 &= \dfrac{n}{2} \left( 2(-5)+ (n-1)(8) \right) \\
55 &= \dfrac{n}{2} \left( -10 + 8n-8 \right) \\
55 &= \dfrac{n}{2} \left( -18 + 8n \right) \\
55 &= -9n + 4n^{2} \\
0 &= 4n^{2}-9n-55 \\
0 &= \left(4n+11 \right)\left(n-5 \right) \\
&n=-\frac{11}{4}\ \text{(TM)}\ \text{atau}\ n=5 \\
\end{align}$
Jumlah suku-suku yang ganjil $-9-1+7+\cdots$ adalah:
$\begin{align}
S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( 2a+(n-1)b \right) \\
&= \dfrac{5}{2} \left( 2(-9)+ (5-1)(8) \right) \\
&= \dfrac{5}{2} \left( -18 + 32 \right) \\
&= \dfrac{5}{2} \left( 14 \right) = 35
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalahpyt $(A)\ 35$
41. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Sisi-sisi segitiga siku-siku membentuk deret aritmatika. Jika keliling segitiga tersebut $72\ cm$, maka luasnya adalah...
Alternatif Pembahasan:
Misal sisi-sisi segitiga siku-siku yang membentuk barisan aritmetika adalah $(a-b)$, $(a)$, dan $(a+b)$.
Keliling segitiga tersebut $72\ cm$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
(a-b)+(a)+(a+b) &= 72 \\
3a &= 72 \\
a &= 24
\end{align}$
Untuk $a=24$ dan kita terapkan Teorema Pythagoras sehingga kita perolah:
$\begin{align}
(a+b)^{2} &= (a-b)^{2}+(a)^{2} \\
(24+b)^{2} &= (24-b)^{2}+(24)^{2} \\
24^{2}+48b+b^{2} &= 24^{2}-48b+b^{2}+24^{2} \\
96b &= 24^{2} \\
b &= \dfrac{576}{96}=6
\end{align}$
Pada segitiga siku-siku yang terpanjang adalah sisi miring dan sisi-sisi yang lainnya adalah sisi-sisi yang membentuk siku-siku sehingga luas segitiga adalah:
$\begin{align}
L &= \dfrac{1}{2} \cdot (a-b) (a) \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot (24-8) (24) \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot (18) (24) =216
\end{align}$
Sebagai alternatif bisa juga digunakan perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku yaitu $3x$, $4x$, dan $5x$
$\begin{align}
3x+4x+5x &= 72 \\
12x &= 72 \longrightarrow x=6
\end{align}$
Sisi-sisi segitiga adalah $18,24,30$
Luas adalah $L=\dfrac{1}{2} (18) (24)=216$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 216$
42. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Jika $S_{n}$ adalah jumlah $n$ suku pertama deret aritmatika, maka bentuk sederhana dari $S_{n+3}-3S_{n+2}+3S_{n+1}-S_{n}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Kita ketahui bahwa $U_{n} = S_{n} – S_{n–1}$ dan $b = U_{n} – U_{n–1}$.
$\begin{align} & S_{n+3}-3S_{n+2}+3S_{n+1}-S_{n} \\ & = S_{n+3}-S_{n+2}-2S_{n+2}+2S_{n+1}+S_{n+1}-S_{n} \\ & = \left( S_{n+3}-S_{n+2} \right)-2 \left( S_{n+2}-S_{n+1} \right)+ \left(S_{n+1}-S_{n} \right) \\ & = U_{n+3}-2 U_{n+2} +U_{n+1} \\ & = U_{n+3}- U_{n+2}-U_{n+2} +U_{n+1} \\ & = \left( U_{n+3}- U_{n+2} \right)- \left(U_{n+2} -U_{n+1} \right)\\ & = \left( b \right)- \left( b \right) = 0 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 0$
43. Soal Latihan BarDer Aritmetika
Jumlah deret aritmatika dengan $n$ suku adalah $S_{1}$. Diantara tiap-tiap dua suku yang berurutan disisipkan $4$ bilangan, sehingga terjadi lagi sebuah deret aritmatika baru yang jumlahnya $S_{2}$. Perbandingan $S_{1} : S_{2}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Kita ketahui setelah disisipkan $k$ bilangan banyak suku pada barisan yang baru $n'\ =n+\left( n-1 \right)k$ dan $S_{n}'\ =\dfrac{n'}{2} \left( a+U_{n} \right)$.
$\begin{align} \dfrac{S_{1}}{S_{2}} &= \dfrac{\dfrac{n}{2} \left( a+U_{n} \right)}{\dfrac{n'}{2} \left( a+U_{n} \right)} \\ &= \dfrac{n}{ n'} \\ &= \dfrac{n}{ n+\left( n-1 \right)k} \\ &= \dfrac{n}{ n+\left( n-1 \right)(4)} \\ &= \dfrac{n}{ n+4n-4} \\ &= \dfrac{n}{ 5n-4} \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ n : \left( 5n-4 \right)$
Beberapa pembahasan soal barisan dan deret aritmetika di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika, atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan Barisan dan Deret Aritmetika Dilengkapi 40+ Soal Latihan dan Pembahasan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Matematika adalah kemampuan menangkap pola dari sesuatu yang semula tidak terpola. Itulah kemampuan matematika yang harus ditanamkan.
