Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Definisi Notasi Sigma, Sifat-Sifat, Contoh Soal dan Pembahasan Soal Latihan. Notasi sigma ini sebagai tambahan dalam belajar Induksi matematika, belajar deret bilangan aritmatika, atau belajar deret bilangan aritmatika.
Sigma pada huruf kapital Yunani disimbolkan dengan $\sum $ sedangkan untuk huruf kecil disimbolkan dengan $\sigma$. Simbol yang digunakan untuk Notasi Sigma adalah $\sum $, yang diperkenalkan pertama kali tahun 1755 oleh Leonhard Euler.
NOTASI SIGMA
Dalam bidang keilmuan, simbol huruf besar sigma, $\sum $ digunakan sebagai lambang penjumlahan. Dapat dituliskan, Notasi Sigma merupakan bentuk penulisan dari penjumlahan suku-suku $U_{1} + U_{2} + U_{3} + \cdots + U_{n}$, dimana suku-suku tersebut diatur menurut pola tertentu.
Bentuk umum dari notasi sigma adalah:
Notasi Sigma
$\sum\limits_{i=1}^{n} f(i)=f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(n)$
dibaca: "sigma $f(i)$ dengan $i$ dari $1$ sampai $n$" atau "sigma $i = 1$ sampai dengan $n$ dari $f(i)$".
Dimana:
$\begin{align}
i:\ & \text{Batas bawah} \\
n:\ & \text{Batas atas} \\
f(i):\ & \text{fungsi untuk}\ i\ \text{berubah dari} i=1,2,3\cdots
\end{align}$
- Sebagai contoh, mari kita simak contoh berikut:
- $\sum\limits_{i=1}^{5}i$
$\begin{align}
& = 1 + 2 + 3+ 4 + 5 \\ & = 15 \\ \end{align}$ - $\sum\limits_{i=1}^{5}2i$
$\begin{align}
& = 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) + 2(5) \\ & = 2+4+6+10 = 22 \\ \end{align}$ - $\sum\limits_{i=3}^{10}3i$
$\begin{align}
& = 3(3) + 3(4) +\cdots+ 3(9) + 3(10) \\ & = 9+12+\cdots+27+30 \\ \end{align}$ - $\sum\limits_{i=1}^{5} \left( 2i+3\right)$
$\begin{align} & = \left( 2(1)+3\right)+\left( 2(2)+3\right)+\left( 2(3)+3\right)+\left( 2(4)+3\right)+\left( 2(5)+3\right) \\ & = 5+7+9+11+13 \\ \end{align}$ - $\sum\limits_{n=6}^{12} \left( 2 \right)^{n}$
$\begin{align} & = \left( 2 \right)^{6} +\left( 2 \right)^{7} +\left( 2 \right)^{8} +\cdots+\left( 2 \right)^{11} +\left( 2 \right)^{12} \\ \end{align}$ - $\sum\limits_{n=2}^{12} \left( -1 \right)^{n}\left( 2 \right)^{n-3}$
$\begin{align} & = \left( -1 \right)^{2}\left( 2 \right)^{2-3} +\left( -1 \right)^{3}\left( 2 \right)^{3-3}+\cdots+\left( -1 \right)^{11}\left( 2 \right)^{11-3}+\left( -1 \right)^{12}\left( 2 \right)^{12-3} \\ & = \left( 1 \right)\left( 2 \right)^{-1} +\left( -1 \right) \left( 2 \right)^{0}+\cdots+\left( -1 \right) \left( 2 \right)^{8}+\left( 1 \right) \left( 2 \right)^{9} \\ & = 2^{-1} -1 + 2 +\cdots- \left( 2 \right)^{8}+ \left( 2 \right)^{9} \\ \end{align}$
Contoh soal notasi sigma berikutnya adalah kebalikan dari contoh soal di atas yaitu menentukan bentuk notasi sigma dari deret bilangan yang diberikan. Bentuk soal untuk menentukan notasi sigma dari suatu deret bilangan bisa jadi soal yang sangat mudah atau jadi soal sulit. Tergantung dari kreatifitas yang membuat soal untuk menyembunyikan pola bilangan.
- Ubahlah bentuk deret $2+4+6+8+\cdots+100$ menjadi notasi sigma dengan batas bawah $1$
$\begin{align}
& 2+4+6+8+\cdots+100 \\ & = 2 \left(1 \right) +2 \left( 2 \right)+ 2 \left( 3 \right)+2 \left(4 \right)+\cdots+2 \left(50 \right) \\ & = \sum\limits_{i=1}^{50} \left( 2i \right) \\ \end{align}$ - Ubahlah bentuk deret $1+4+7+10+\cdots+298$ menjadi notasi sigma dengan batas bawah $1$
$\begin{align}
& 1+4+7+10+\cdots+298 \\ & = \left(3(1)-2 \right) +\left(3(2)-2 \right)+ \left(3(3)-2 \right)+\cdots+\left(3(100)-2 \right) \\ & = \sum\limits_{n=1}^{100} \left( 3n-2 \right) \\ \end{align}$
SIFAT-SIFAT NOTASI SIGMA
- $\sum\limits_{i=1}^{n} k = n \cdot k$, dimana $k=\text{konstanta}$
- $\sum\limits_{i=a}^{n} k = \left(n-a+1 \right) \cdot k$, dimana $k=\text{konstanta}$
- $\sum\limits_{i=1}^{n} k \cdot f(i)=k \cdot \sum\limits_{i=1}^{n} f(i)$, dimana $k=\text{konstanta}$
- $\sum\limits_{i=1}^{n} \left( f(i)+g(i) \right) = \sum\limits_{i=1}^{n} f(i)+\sum\limits_{i=1}^{n} g(i) $
- $\sum\limits_{i=1}^{n} \left( f(i)-g(i) \right) = \sum\limits_{i=1}^{n} f(i)-\sum\limits_{i=1}^{n} g(i) $
- $\sum\limits_{i=1}^{n} f(i) = \sum\limits_{i=1+a}^{n+a} f(i-a) $
- $\sum\limits_{i=1}^{n} f(i) = \sum\limits_{i=1-a}^{n-a} f(i+a) $
- $\sum\limits_{i=1}^{a} f(i) + \sum\limits_{i=a+1}^{n} f(i) = \sum\limits_{i=1}^{n} f(i) $, dimana $1 \lt a \lt n$
Soal Latihan dan Pembahasan Notasi Sigma
Untuk menambah pemahaman kita terkait Definisi Notasi Sigma dan Sifat-Sifat Notasi Sigma ini, mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Definisi Notasi Sigma dan Sifat-Sifat Notasi Sigma Matematika SMA dan soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
1. Soal Latihan Notasi Sigma
Uraian bentuk $\sum\limits_{n=4}^{9} \left( 4n-2 \right)$ adalah
Alternatif Pembahasan:
$\sum\limits_{n=4}^{9} \left( 4n-2 \right)$
$\begin{align}
& = \left( 4(4)-2 \right) + \left( 4(5)-2 \right) +\cdots+\left( 4(8)-2 \right) +\left( 4(9)-2 \right) \\
& = 14+18+\cdots+30+34 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 14+18+22+26+30+34$
2. Soal Latihan Notasi Sigma
Uraian bentuk $\sum\limits_{n=-5}^{4} 8 \left( -2 \right)^{n-1}$ adalah
Alternatif Pembahasan:
$\sum\limits_{n=-5}^{4} 8 \left( -2 \right)^{n-1}$
$\begin{align}
& = 2^{3} \cdot \left( -2 \right)^{-5-1}+2^{3} \cdot \left( -2 \right)^{-4-1}+\cdots+2^{3} \cdot \left( -2 \right)^{4-1} \\
& = 2^{3} \cdot \left( -2 \right)^{-6}+2^{3} \cdot \left( -2 \right)^{-5}+\cdots+2^{3} \cdot \left( -2 \right)^{3} \\
& = \dfrac{1}{ 2^{3}} - \dfrac{1}{2^2} +\cdots + 8 (-8) \\
& = \dfrac{1}{ 8} - \dfrac{1}{4} +\cdots -64 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}-1+\cdots -64$
3. Soal Latihan Notasi Sigma
Uraian bentuk $\sum\limits_{n=2}^{10} x^{n-1} \cdot y^{n}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\sum\limits_{n=2}^{10} x^{n-1} \cdot y^{n}$
$\begin{align}
& = x^{2-1} \cdot y^{2} + x^{3-1} \cdot y^{3} + x^{4-1} \cdot y^{4} + \cdots + x^{10-1} \cdot y^{10} \\
& = x^{1} \cdot y^{2} + x^{2} \cdot y^{3} + x^{3} \cdot y^{4} + \cdots + x^{9} \cdot y^{10} \\
& = x y^{2}+x^{2} y^{3}+x^{3} y^{4}+ \cdots + x^{9}y^{10} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x y^{2}+x^{2} y^{3}+x^{3} y^{4}+ \cdots + x^{9}y^{10}$
4. Soal Latihan Notasi Sigma
Bentuk $5+8+11+14+17+\cdots+47$ jika diubah kedalam notasi sigma menjadi...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& 5+8+11+14+17+\cdots+47 \\
& = 6-1+9-1+12-1+15-1+18-1+\cdots+48-1 \\
& = \left( 3(2)-1 \right) +\left( 3(3)-1 \right)+\left( 3(4)-1 \right)+\left( 3(5)-1 \right)+\cdots+\left( 3(16)-1 \right) \\
& = \sum\limits_{n=2}^{16} \left( 3n-1 \right) \\
\hline
& = (5)+(3+5)+(6+5)+(9+5)+(12+5)+\cdots+(42+5) \\
& = \left( 3(0)+5 \right) +\left( 3(1)+5 \right)+\left( 3(2)+5 \right)+\left( 3(3)+5 \right)+\cdots+\left( 3(14)+5 \right) \\
& = \sum\limits_{n=0}^{14} \left( 3n+5 \right) \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \sum\limits_{n=0}^{14} \left( 3n+5 \right)$
5. Soal Latihan Notasi Sigma
Uraian bentuk $32+16+8+\cdots+\dfrac{1}{16}$ jika diubah kedalam notasi sigma menjadi...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& 32+16+8+\cdots+\dfrac{1}{16} \\
& = 2^{5}+2^{4}+2^{3}+\cdots+2^{-4} \\
& = \sum\limits_{n=-5}^{4} 2^{-n} \\
& = \sum\limits_{n=-5+6}^{4+6} 2^{-(n-6)} \\
& = \sum\limits_{n=1}^{10} 2^{-n+6} \\
& = \sum\limits_{n=1}^{10} 2^{5} \cdot 2^{-n+1} \\
& = \sum\limits_{n=1}^{10} 32 \cdot 2^{1-n} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \sum\limits_{n=1}^{10} 32 \cdot \left( 2 \right)^{1-n}$
6. Soal Latihan Notasi Sigma
Bentuk $\sum\limits_{n=2}^{6} \left( 3n-2 \right)^{2}$ sama nilainya dengan...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \sum\limits_{n=2}^{6} \left( 3n-2 \right)^{2} \\
& = \sum\limits_{n=2}^{6} \left( 9n^{2}-12n+4 \right) \\
& = \sum\limits_{n=2}^{6} 9n^{2}- \sum\limits_{n=2}^{6} 12n + \sum\limits_{n=2}^{6} 4 \\
& = 9 \sum\limits_{n=2}^{6} n^{2}- 12 \sum\limits_{n=2}^{6} n + \left( 6-2+1 \right) \cdot 4 \\
& = 9 \sum\limits_{n=2}^{6} n^{2}- 12 \sum\limits_{n=2}^{6} n + 20 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 9 \sum\limits_{n=2}^{6}n^{2}-12 \sum\limits_{n=2}^{6}n + 20$
7. Soal Latihan Notasi Sigma
Bentuk $\sum\limits_{n=5}^{9} \left( 2n+5 \right)\left( n-3 \right) $ sama nilainya dengan...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \sum\limits_{n=5}^{9} \left( 2n+5 \right)\left( n-3 \right) \\
& = \sum\limits_{n=5}^{9} \left( 2n^{2}-6n+5n-15 \right) \\
& = \sum\limits_{n=5}^{9} \left( 2n^{2}-n-15 \right) \\
& = 2 \sum\limits_{n=5}^{9} n^{2} - \sum\limits_{n=5}^{9} n - \sum\limits_{n=5}^{9} 15 \\
& = 2 \sum\limits_{n=5}^{9} n^{2} - \sum\limits_{n=5}^{9} n - \left( 9-5+1 \right) \cdot 15 \\
& = 2 \sum\limits_{n=5}^{9} n^{2} - \sum\limits_{n=5}^{9} n - 75 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2 \sum\limits_{n=5}^{9} n^{2} - \sum\limits_{n=5}^{9} n - 75$
8. Soal Latihan Notasi Sigma
Bentuk $\sum\limits_{n=1}^{6} \left( 2n^{2}-3n+4 \right) $ senilai dengan...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \sum\limits_{n=1}^{6} \left( 2n^{2}-3n+4 \right) \\
& = \sum\limits_{n=1+3}^{6+3} \left( 2(n-3)^{2}-3(n-3)+4 \right) \\
& = \sum\limits_{n=4}^{9} \left( 2n^{2}-12n+18-3n+9+4 \right) \\
& = \sum\limits_{n=4}^{9} \left( 2n^{2}-15n+31 \right)
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \sum\limits_{n=4}^{9} \left( 2n^{2}-15n+31 \right)$
9. Soal Latihan Notasi Sigma
Bentuk $\sum\limits_{n=4}^{10} \left( 3n-1 \right)\left( 2-4n \right) $ senilai dengan...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \sum\limits_{n=4}^{10} \left( 3n-1 \right)\left( 2-4n \right) \\
& = \sum\limits_{n=4-2}^{10-2} \left( 3(n+2)-1 \right)\left( 2-4(n+2) \right) \\
& = \sum\limits_{n=2}^{8} \left( 3n+6-1 \right)\left( 2-4n-8 \right) \\
& = \sum\limits_{n=2}^{8} \left( 3n+5 \right)\left( -4n-6 \right) \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \sum\limits_{n=2}^{8} \left( -4n-6 \right)\left( 3n+5 \right)$
10. Soal Latihan Notasi Sigma
Bentuk $\sum\limits_{n=4}^{8} \dfrac{2n-4}{8-3n} $ jika diubah kedalam notasi sigma dengan batas atas $7$ menjadi...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \sum\limits_{n=4}^{8} \dfrac{2n-4}{8-3n} \\
& = \sum\limits_{n=4-1}^{8-1} \dfrac{2(n+1)-4}{8-3(n+1)} \\
& = \sum\limits_{n=3}^{7} \dfrac{2n+2-4}{8-3n-3} \\
& = \sum\limits_{n=3}^{7} \dfrac{2n-2}{5-3n} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sum\limits_{n=3}^{7} \dfrac{2n-2}{5-3n}$
11. Soal Latihan Notasi Sigma
Bentuk $\sum\limits_{n=3}^{8} \left( 2n-3 \right)^{2}$ sama nilainya dengan...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \sum\limits_{n=3}^{8} \left( 2n-3 \right)^{2} \\
& = \sum\limits_{n=3}^{8} \left( 4n^{2}-12n+9 \right) \\
& = \sum\limits_{n=3}^{8} 4n^{2}- \sum\limits_{n=3}^{8} 12n + \sum\limits_{n=3}^{8} 9 \\
& = 4 \sum\limits_{n=3}^{8} n^{2}- 12 \sum\limits_{n=3}^{8} n + \left( 8-3+1 \right) \cdot 9 \\
& = 4 \sum\limits_{n=3}^{8} n^{2}- 12 \sum\limits_{n=3}^{8} n + 54 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4 \sum\limits_{n=3}^{8}n^{2}-12 \sum\limits_{n=3}^{8}n + 54$
12. Soal Latihan Notasi Sigma
Nilai dari $\sum\limits_{n=1}^{10} \left( 2n-9 \right)-\sum\limits_{n=7}^{16} \left( 2n-1 \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \sum\limits_{n=1}^{10} \left( 2n-9 \right)-\sum\limits_{n=7}^{16} \left( 2n-1 \right) \\
& = \sum\limits_{n=1}^{10} \left( 2n-9 \right)-\sum\limits_{n=7-6}^{16-6} \left( 2(n+6)-1 \right) \\
& = \sum\limits_{n=1}^{10} \left( 2n-9 \right)-\sum\limits_{n=1}^{10} \left( 2n+11 \right) \\
& = \sum\limits_{n=1}^{10} \left( 2n-9 - 2n-11 \right) \\
& = \sum\limits_{n=1}^{10} \left( -20 \right) \\
& = \left( 10-1+1 \right)(-20)=-200 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -200$
13. Soal Latihan Notasi Sigma
Nilai dari $\sum\limits_{n=3}^{6} \left( 4n-3 \right)-\sum\limits_{n=5}^{8} \left( 4n-2 \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \sum\limits_{n=3}^{6} \left( 4n-3 \right)-\sum\limits_{n=5}^{8} \left( 4n-2 \right) \\
& = \sum\limits_{n=3}^{6} \left( 4n-3 \right)-\sum\limits_{n=5-2}^{8-2} \left( 4(n+2)-2 \right) \\
& = \sum\limits_{n=3}^{6} \left( 4n-3 \right)-\sum\limits_{n=3}^{6} \left( 4n+6 \right) \\
& = \sum\limits_{n=3}^{6} \left( 4n-3-4n-6 \right) \\
& = \sum\limits_{n=3}^{6} \left( -9 \right) \\
& = \left( 6-3+1 \right)(-9)=-36 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -36$
14. Soal Latihan Notasi Sigma
Nilai dari $\sum\limits_{n=6}^{12} \left( 5n-3 \right)-\sum\limits_{n=2}^{7} \left( 5n+2 \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \sum\limits_{n=6}^{12} \left( 5n-3 \right)-\sum\limits_{n=2}^{7} \left( 5n+2 \right) \\
& = \sum\limits_{n=6-5}^{12-5} \left( 5(n+5)-3 \right)-\sum\limits_{n=2}^{7} \left( 5n+2 \right) \\
& = \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 5n+22 \right)-\left( \sum\limits_{n=1}^{1} \left( 5n+2 \right)-\sum\limits_{n=1}^{1} \left( 5n+2 \right)+\sum\limits_{n=2}^{7} \left( 5n+2 \right) \right)\\
& = \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 5n+22 \right)-\left( \sum\limits_{n=1}^{1} \left( 5n+2 \right)+\sum\limits_{n=2}^{7} \left( 5n+2 \right)-\sum\limits_{n=1}^{1} \left( 5n+2 \right) \right)\\
& = \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 5n+22 \right)-\left( \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 5n+2 \right)-\sum\limits_{n=1}^{1} \left( 5n+2 \right) \right)\\
& = \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 5n+22 \right)- \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 5n+2 \right)+\sum\limits_{n=1}^{1} \left( 5n+2 \right) \\
& = \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 5n+22 - 5n-2 \right)+ \left( 5(1)+2 \right) \\
& = \left( 7-1+1 \right) (20)+ \left( 7 \right) =147 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 147$
15. Soal Latihan Notasi Sigma
Bentuk $\sum\limits_{n=5}^{9} n^{2}-8\sum\limits_{n=5}^{9} n + 80$ sama nilai-nya dengan...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \sum\limits_{n=5}^{9} n^{2}-8\sum\limits_{n=5}^{9} n + 80 \\
& = \sum\limits_{n=5-4}^{9-4} (n+4)^{2}-8\sum\limits_{n=5-4}^{9-4} (n+4) + 80 \\
& = \sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}+8n+16 \right) - 8 \sum\limits_{n=1}^{5} (n+4) + 80 \\
& = \sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}+8n+16-8(n+4) \right) + 80 \\
& = \sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}+8n+16-8n-32 \right) + 80 \\
& = \sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}-16 \right) + 80 \\
& = \sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}-16 \right) + \sum\limits_{n=1}^{5} \left( 16 \right) \\
& = \sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}-16+16 \right) \\
& = \sum\limits_{n=1}^{5} n^{2} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sum\limits_{n=1}^{5} n^{2}$
16. Soal Latihan Notasi Sigma
Bentuk sederhana dari $\sum\limits_{n=1}^{20} 2n \left(2n+3 \right) - \sum\limits_{n=3}^{22} 4 \left( n-2 \right)^{2} - \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 2n-3 \right) $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \sum\limits_{n=1}^{20} 2n \left(2n+3 \right) - \sum\limits_{n=3}^{22} 4 \left( n-2 \right)^{2} - \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 2n-3 \right) \\
& = \sum\limits_{n=1+2}^{20+2} 2(n-2) \left(2(n-2)+3 \right) - \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 4 \left( n-2 \right)^{2} - \left( 2n-3 \right) \right) \\
& = \sum\limits_{n=3}^{22} (2n-4) \left(2n-1 \right) - \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 4n^{2}-16n+16 - 2n+3 \right) \\
& = \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 4n^{2}-10n+4 \right) - \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 4n^{2}-18n+19 \right) \\
& = \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 4n^{2}-10n+4 -4n^{2}+18n-19 \right) \\
& = \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 8n-15 \right) \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 8n-15 \right)$
17. Soal Latihan Notasi Sigma
$\sum\limits_{n=3}^{15} \left(n^{2}+2 \right) = \sum\limits_{n=3}^{8} \left( n^{2}+2 \right)+ \sum\limits_{n=p}^{15} \left( n^{2}+2 \right) $. Nilai $p=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat notasi sigma $\sum\limits_{i=1}^{a} f(i) + \sum\limits_{i=a+1}^{n} f(i) = \sum\limits_{i=1}^{n} f(i) $,
maka agar persamaan berikut:
$\sum\limits_{n=3}^{15} \left(n^{2}+2 \right) = \sum\limits_{n=3}^{8} \left( n^{2}+2 \right)+ \sum\limits_{n=p}^{15} \left( n^{2}+2 \right)$
bernilai benar, maka nilai $p$ yang memenuhi adalah $p=8+1=9$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 9$
18. Soal Latihan Notasi Sigma
$\sum\limits_{n=6}^{15} \left(n^{2}-4 \right) = \sum\limits_{n=1}^{15} \left( n^{2}-4 \right)- \sum\limits_{n=1}^{p} \left( n^{2}-4 \right) $. Nilai $p=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat notasi sigma $\sum\limits_{i=1}^{a} f(i) + \sum\limits_{i=a+1}^{n} f(i) = \sum\limits_{i=1}^{n} f(i) $,
$\begin{align}
\sum\limits_{n=6}^{15} \left(n^{2}-4 \right) &= \sum\limits_{n=1}^{15} \left( n^{2}-4 \right)-\sum\limits_{n=1}^{p} \left( n^{2}-4 \right) \\
\sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}-4 \right)-\sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}-4 \right)-\sum\limits_{n=6}^{15} \left(n^{2}-4 \right) &= \sum\limits_{n=1}^{15} \left( n^{2}-4 \right)- \sum\limits_{n=1}^{p} \left( n^{2}-4 \right) \\
\sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}-4 \right)+\sum\limits_{n=6}^{15} \left(n^{2}-4 \right)-\sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}-4 \right) &= \sum\limits_{n=1}^{15} \left( n^{2}-4 \right)- \sum\limits_{n=1}^{p} \left( n^{2}-4 \right) \\
\sum\limits_{n=1}^{15} \left(n^{2}-4 \right)-\sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}-4 \right) &= \sum\limits_{n=1}^{15} \left( n^{2}-4 \right)- \sum\limits_{n=1}^{p} \left( n^{2}-4 \right) \\
-\sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}-4 \right) &= -\sum\limits_{n=1}^{p} \left( n^{2}-4 \right) \\
\end{align}$
Agar persamaan di atas bernilai benar, maka nilai $p$ yang memenuhi adalah $p=5$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 5$
19. Soal Latihan Notasi Sigma
$\sum\limits_{n=8}^{12} \left( 3n-2 \right) = \sum\limits_{n=1}^{p} \left( 3n-2 \right) - \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 3n-2 \right) $. Nilai $p=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat notasi sigma $\sum\limits_{i=1}^{a} f(i) + \sum\limits_{i=a+1}^{n} f(i) = \sum\limits_{i=1}^{n} f(i) $,
$\begin{align}
\sum\limits_{n=8}^{12} \left( 3n-2 \right) &= \sum\limits_{n=1}^{p} \left( 3n-2 \right) - \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 3n-2 \right) \\
\sum\limits_{n=1}^{7} \left( 3n-2 \right)-\sum\limits_{n=1}^{7} \left( 3n-2 \right)+\sum\limits_{n=8}^{12} \left( 3n-2 \right) &= \sum\limits_{n=1}^{p} \left( 3n-2 \right) - \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 3n-2 \right) \\
\sum\limits_{n=1}^{7} \left( 3n-2 \right)+\sum\limits_{n=8}^{12} \left( 3n-2 \right)-\sum\limits_{n=1}^{7} \left( 3n-2 \right) &= \sum\limits_{n=1}^{p} \left( 3n-2 \right) - \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 3n-2 \right) \\
\sum\limits_{n=1}^{12} \left( 3n-2 \right) -\sum\limits_{n=1}^{7} \left( 3n-2 \right) &= \sum\limits_{n=1}^{p} \left( 3n-2 \right) - \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 3n-2 \right) \\
\sum\limits_{n=1}^{12} \left( 3n-2 \right) &= \sum\limits_{n=1}^{p} \left( 3n-2 \right) \\
\end{align}$
Agar persamaan di atas bernilai benar, maka nilai $p$ yang memenuhi adalah $p=12$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 12$
20. Soal Latihan Notasi Sigma
$\sum\limits_{n=3}^{5} \left( n+5 \right) = \sum\limits_{n=3}^{20} \left( n+5 \right) - \sum\limits_{n=p}^{q} \left( n+5 \right) $. Nilai $p+q=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat notasi sigma $\sum\limits_{i=1}^{a} f(i) + \sum\limits_{i=a+1}^{n} f(i) = \sum\limits_{i=1}^{n} f(i) $,
$\begin{align}
\sum\limits_{n=3}^{5} \left( n+5 \right) & = \sum\limits_{n=3}^{20} \left( n+5 \right) - \sum\limits_{n=p}^{q} \left( n+5 \right) \\
\sum\limits_{n=3}^{5} \left( n+5 \right) + \sum\limits_{n=p}^{q} \left( n+5 \right)& = \sum\limits_{n=3}^{20} \left( n+5 \right) \\
\end{align}$
Agar persamaan di atas bernilai benar, maka nilai $p$ dan $q$ yang memenuhi adalah $p=5+1=6$ dan $q=20$. Nilai $p+q=26$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 26$
21. Soal Latihan Notasi Sigma
Jika $\sum\limits_{n=3}^{10} \left( n^{2}+1 \right) =p+ \sum\limits_{n=4}^{10} \left( n^{2}+1 \right)$ maka nilai $p=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat notasi sigma $\sum\limits_{i=1}^{a} f(i) + \sum\limits_{i=a+1}^{n} f(i) = \sum\limits_{i=1}^{n} f(i) $,
$\begin{align}
\sum\limits_{n=3}^{10} \left( n^{2}+1 \right) & = p + \sum\limits_{n=4}^{10} \left( n^{2}+1 \right) \\
\sum\limits_{n=3}^{10} \left( n^{2}+1 \right) & = \sum\limits_{n=3}^{3} \left( n^{2}+1 \right) + \sum\limits_{n=4}^{10} \left( n^{2}+1 \right) \\
\end{align}$
Agar persamaan di atas bernilai benar, maka nilai $p$ adalah:
$\begin{align}
p & = \sum\limits_{n=3}^{3} \left( n^{2}+1 \right) \\
& = 3^{2}+1 \\
& =10 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10$
22. Soal Latihan Notasi Sigma
Nilai $\sum\limits_{n=3}^{14} \left( 3n-2 \right) - \sum\limits_{n=5}^{16} \left( 3n-10 \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat notasi sigma $\sum\limits_{i=1}^{n} f(i) = \sum\limits_{i=1+a}^{n+a} f(i-a) $ atau $\sum\limits_{i=1}^{n} f(i) = \sum\limits_{i=1-a}^{n-a} f(i+a) $,
$\begin{align}
& \sum\limits_{n=3}^{14} \left( 3n-2 \right) - \sum\limits_{n=5}^{16} \left( 3n-10 \right) \\
& = \sum\limits_{n=3}^{14} \left( 3n-2 \right) - \sum\limits_{n=5-2}^{16-2} \left( 3(n+2)-10 \right) \\
& = \sum\limits_{n=3}^{14} \left( 3n-2 \right) - \sum\limits_{n=3}^{14} \left( 3n-4 \right) \\
& = \sum\limits_{n=3}^{14} \left( 3n-2-3n+4 \right) \\
& = \sum\limits_{n=3}^{14} \left( 2 \right) \\
& = \left( 14-3+1 \right)(2)=24 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 24$
23. Soal Latihan Notasi Sigma
Jika $\sum\limits_{n=13}^{27} \left( 6+X_{n} \right) = \sum\limits_{n=13}^{27} k \cdot X_{n}$ dan berlaku $\sum\limits_{n=13}^{27} X_{n}=10$, maka nilai $k=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan beberapa sifat notasi sigma dapat kita lakukan manipulasi aljabar, seperti berikut ini:
$\begin{align}
\sum\limits_{n=13}^{27} \left( 6+X_{n} \right) &= \sum\limits_{n=13}^{27} k \cdot X_{n} \\
\sum\limits_{n=13}^{27} 6 + \sum\limits_{n=13}^{27} X_{n} &= k \cdot \sum\limits_{n=13}^{27} X_{n} \\
\left( 27-13+1 \right) (6) + 10 &= k \cdot 10 \\
\left( 15 \right) (6) + 10 &= k \cdot 10 \\
90 + 10 &= k \cdot 10 \\
100 &= k \cdot 10 \\
k &= 10 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10$
24. Soal Latihan Notasi Sigma
Jika $\sum\limits_{n=5}^{12} \left( 8n+5 \right) - \sum\limits_{n=3}^{10} \left( 5n+16 \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan beberapa sifat notasi sigma dapat kita lakukan manipulasi aljabar, seperti berikut ini:
$\begin{align}
& \sum\limits_{n=5}^{12} \left( 8n+5 \right) - \sum\limits_{n=3}^{10} \left( 5n+16 \right) \\
&= \sum\limits_{n=5-2}^{12-2} \left( 8(n+2)+5 \right) - \sum\limits_{n=3}^{10} \left( 5n+16 \right) \\
&= \sum\limits_{n=3}^{10} \left( 8n+16+5 \right) - \sum\limits_{n=3}^{10} \left( 5n+16 \right) \\
&= \sum\limits_{n=3}^{10} \left( 8n+21 \right) - \sum\limits_{n=3}^{10} \left( 5n+16 \right) \\
&= \sum\limits_{n=3}^{10} \left( 8n+21-5n-16 \right) \\
&= \sum\limits_{n=3}^{10} \left( 3n+5 \right) \\
&= \left( 3 \cdot 3+5 \right) + \left( 3 \cdot 4+5 \right)+\left( 3 \cdot 5+5 \right)+\cdots+\left( 3 \cdot 10+5 \right)\\
&= 14 + 17 +20+\cdots+35 \\
&= 196 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10$
25. Soal Latihan Notasi Sigma
$\sum\limits_{x=5}^{n+5} 4 \left( x-3 \right)$ dapat dinyatakan menjadi $Pn^{2}+Qn+R$. Nilai dari $P+Q-R=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan beberapa sifat notasi sigma dapat kita lakukan manipulasi aljabar, seperti berikut ini:
$\begin{align}
& \sum\limits_{x=5}^{n+5} 4 \left( x-3 \right) \\
&= \sum\limits_{x=5-5}^{n+5-5} 4 \left( (x+5)-3 \right) \\
&= \sum\limits_{x=0}^{n} 4 \left( x+2 \right) \\
&= \sum\limits_{x=0}^{n} \left( 4x+8 \right) \\
&= 4 \sum\limits_{x=0}^{n} x + \sum\limits_{x=0}^{n} 8 \\
&= 4 \left(0+1+2+3+\cdots+n \right) + \left( n-0+1 \right) 8 \\
&= 4 \left( 1+2+3+\cdots+n \right) + \left( n+1 \right) 8 \\
&= 4 \left( \dfrac{n}{2} \left( 1+n \right) \right) + 8n+8 \\
&= 2n+2n^{2} + 8n+8 \\
&= 2n^{2} + 10n+8
\end{align}$
Bentuk $2n^{2} + 10n+8$ dapat dinyatakan dalam bentuk $Pn^{2}+Qn+R$ maka nilai $P=2$, $Q=10$ dan $R=8$. Sehingga nilai $P+Q-R=4$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$
26. Soal Latihan Notasi Sigma
$\sum\limits_{n=4}^{44} \dfrac{k^{2}}{k+1}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \sum\limits_{n=4}^{44} \dfrac{k^{2}}{k+1} \\ & = \sum\limits_{n=4-3}^{44-3} \dfrac{\left( k+3 \right)^{2}}{k+1+3} \\ & = \sum\limits_{n=1}^{41} \dfrac{\left( k+3 \right)^{2}}{k+4} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \sum\limits_{n=1}^{41} \dfrac{\left( k+3 \right)^{2}}{k+4}$
27. Soal Latihan Notasi Sigma
$\sum\limits_{k=5}^{25} \left( 2-pk \right)=0$, maka nilai $\sum\limits_{k=5}^{25} \left( pk \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} \sum\limits_{k=5}^{25} \left( 2-pk \right) & = 0 \\ \sum\limits_{k=5}^{25} 2 - \sum\limits_{k=5}^{25} pk & = 0 \\ \sum\limits_{k=5}^{25} 2 & = \sum\limits_{k=5}^{25} pk \\ \end{align}$
Dari bentuk di atas dan menggunakan sifat $\sum\limits_{i=a}^{n} k = \left(n-a+1 \right) \cdot k$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\sum\limits_{k=5}^{25} pk & = \sum\limits_{k=5}^{25} 2 \\
& = \left(25-5+1 \right) \cdot 2 \\
& = 21 \cdot 2 \\
& = 42
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 42$
Catatan tentang Belajar Mengenal Definisi Notasi Sigma, dan Sifat-Sifat Notasi Sigma Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan.
