Soal Latihan OSN-K Pelajaran IPS SD (Sekolah Dasar) dan Kunci Jawaban (Model Soal A)

Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Definisi Notasi Sigma, Sifat-Sifat, Contoh Soal dan Pembahasan Soal Latihan. Notasi sigma ini sebagai tambahan dalam belajar Induksi matematika, belajar deret bilangan aritmatika, atau belajar deret bilangan aritmatika.

Sigma pada huruf kapital Yunani disimbolkan dengan $\sum $ sedangkan untuk huruf kecil disimbolkan dengan $\sigma$. Simbol yang digunakan untuk Notasi Sigma adalah $\sum $, yang diperkenalkan pertama kali tahun 1755 oleh Leonhard Euler.

---

NOTASI SIGMA

Dalam bidang keilmuan, simbol huruf besar sigma, $\sum $ digunakan sebagai lambang penjumlahan. Dapat dituliskan, Notasi Sigma merupakan bentuk penulisan dari penjumlahan suku-suku $U_{1} + U_{2} + U_{3} + \cdots + U_{n}$, dimana suku-suku tersebut diatur menurut pola tertentu.

Bentuk umum Notasi Sigma
$\sum\limits_{i=1}^{n} f(i)=f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(n)$
dibaca: "sigma $f(i)$ dengan $i$ dari $1$ sampai $n$" atau "sigma $i = 1$ sampai dengan $n$ dari $f(i)$".

Dimana:
$\begin{align}
i:\ & \text{Batas bawah} \\ n:\ & \text{Batas atas} \\ f(i):\ & \text{fungsi untuk}\ i\ \text{berubah dari} i=1,2,3\cdots
\end{align}$

Sebagai contoh, mari kita simak contoh berikut:
1. $\sum\limits_{i=1}^{5}i$
   $\begin{align}
   & = 1 + 2 + 3+ 4 + 5 \\ & = 15 \\ \end{align}$
2. $\sum\limits_{i=1}^{5}2i$
   $\begin{align}
   & = 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) + 2(5) \\ & = 2+4+6+10 = 22 \\ \end{align}$
3. $\sum\limits_{i=3}^{10}3i$
   $\begin{align}
   & = 3(3) + 3(4) +\cdots+ 3(9) + 3(10) \\ & = 9+12+\cdots+27+30 \\ \end{align}$
4. $\sum\limits_{i=1}^{5} \left( 2i+3\right)$
   $\begin{align} & = \left( 2(1)+3\right)+\left( 2(2)+3\right)+\left( 2(3)+3\right)+\left( 2(4)+3\right)+\left( 2(5)+3\right) \\ & = 5+7+9+11+13 \\ \end{align}$
5. $\sum\limits_{n=6}^{12} \left( 2 \right)^{n}$
   $\begin{align} & = \left( 2 \right)^{6} +\left( 2 \right)^{7} +\left( 2 \right)^{8} +\cdots+\left( 2 \right)^{11} +\left( 2 \right)^{12} \\ \end{align}$
6. $\sum\limits_{n=2}^{12} \left( -1 \right)^{n}\left( 2 \right)^{n-3}$
   $\begin{align} & = \left( -1 \right)^{2}\left( 2 \right)^{2-3} +\left( -1 \right)^{3}\left( 2 \right)^{3-3}+\cdots+\left( -1 \right)^{11}\left( 2 \right)^{11-3}+\left( -1 \right)^{12}\left( 2 \right)^{12-3} \\ & = \left( 1 \right)\left( 2 \right)^{-1} +\left( -1 \right) \left( 2 \right)^{0}+\cdots+\left( -1 \right) \left( 2 \right)^{8}+\left( 1 \right) \left( 2 \right)^{9} \\ & = 2^{-1} -1 + 2 +\cdots- \left( 2 \right)^{8}+ \left( 2 \right)^{9} \\ \end{align}$

Contoh soal notasi sigma berikutnya adalah kebalikan dari contoh soal di atas yaitu menentukan bentuk notasi sigma dari deret bilangan yang diberikan. Bentuk soal untuk menentukan notasi sigma dari suatu deret bilangan bisa jadi soal yang sangat mudah atau jadi soal sulit. Tergantung dari kreatifitas yang membuat soal untuk menyembunyikan pola bilangan.

1. Ubahlah bentuk deret $2+4+6+8+\cdots+100$ menjadi notasi sigma dengan batas bawah $1$
   $\begin{align}
   & 2+4+6+8+\cdots+100 \\ & = 2 \left(1 \right) +2 \left( 2 \right)+ 2 \left( 3 \right)+2 \left(4 \right)+\cdots+2 \left(50 \right) \\ & = \sum\limits_{i=1}^{50} \left( 2i \right) \\ \end{align}$
2. Ubahlah bentuk deret $1+4+7+10+\cdots+298$ menjadi notasi sigma dengan batas bawah $1$
   $\begin{align}
   & 1+4+7+10+\cdots+298 \\ & = \left(3(1)-2 \right) +\left(3(2)-2 \right)+ \left(3(3)-2 \right)+\cdots+\left(3(100)-2 \right) \\ & = \sum\limits_{n=1}^{100} \left( 3n-2 \right) \\ \end{align}$

---

SIFAT-SIFAT NOTASI SIGMA

1. $\sum\limits_{i=1}^{n} k = n \cdot k$, dimana $k=\text{konstanta}$
2. $\sum\limits_{i=a}^{n} k = \left(n-a+1 \right) \cdot k$, dimana $k=\text{konstanta}$
3. $\sum\limits_{i=1}^{n} k \cdot f(i)=k \cdot \sum\limits_{i=1}^{n} f(i)$, dimana $k=\text{konstanta}$
4. $\sum\limits_{i=1}^{n} \left( f(i)+g(i) \right) = \sum\limits_{i=1}^{n} f(i)+\sum\limits_{i=1}^{n} g(i) $
5. $\sum\limits_{i=1}^{n} \left( f(i)-g(i) \right) = \sum\limits_{i=1}^{n} f(i)-\sum\limits_{i=1}^{n} g(i) $
6. $\sum\limits_{i=1}^{n} f(i) = \sum\limits_{i=1+a}^{n+a} f(i-a) $
7. $\sum\limits_{i=1}^{n} f(i) = \sum\limits_{i=1-a}^{n-a} f(i+a) $
8. $\sum\limits_{i=1}^{a} f(i) + \sum\limits_{i=a+1}^{n} f(i) = \sum\limits_{i=1}^{n} f(i) $, dimana $1 \lt a \lt n$

---

SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN NOTASI SIGMA

Untuk menambah pemahaman kita terkait Modul Definisi Notasi Sigma dan Sifat-Sifat Notasi Sigma mari kita coba beberapa soal latihan berikut, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.

Ayo dicoba terlebih dahulu, Sebelum melihat pembahasan soal.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!

Nama Peserta :
Tanggal Tes :
Jumlah Soal :	27 soal

Petunjuk Pengerjaan Soal:
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.

1. Soal Latihan Notasi Sigma

Uraian bentuk $\sum\limits_{n=4}^{9} \left( 4n-2 \right)$ adalah

$(A)\ 14+18+22+26+30 $

$(B)\ 18+22+26+30+34+36 $

$(C)\ 14+18+22+26+30+34 $

$(D)\ 14+17+20+23+26+29 $

$(E)\ 15+18+21+24+30+33 $

Alternatif Pembahasan:

$\sum\limits_{n=4}^{9} \left( 4n-2 \right)$
$\begin{align}
& = \left( 4(4)-2 \right) + \left( 4(5)-2 \right) +\cdots+\left( 4(8)-2 \right) +\left( 4(9)-2 \right) \\ & = 14+18+\cdots+30+34 \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 14+18+22+26+30+34$

2. Soal Latihan Notasi Sigma

Uraian bentuk $\sum\limits_{n=-5}^{4} 8 \left( -2 \right)^{n-1}$ adalah

$(A)\ -192+96-48+24- \cdots -384 $

$(B)\ 48-24+12-6+3- \cdots -384 $

$(C)\ 192-96+48-24+ \cdots -384 $

$(D)\ -48+24-12+6-3+ \cdots -384 $

$(E)\ \dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}-1+\cdots -64 $

Alternatif Pembahasan:

$\sum\limits_{n=-5}^{4} 8 \left( -2 \right)^{n-1}$
$\begin{align}
& = 2^{3} \cdot \left( -2 \right)^{-5-1}+2^{3} \cdot \left( -2 \right)^{-4-1}+\cdots+2^{3} \cdot \left( -2 \right)^{4-1} \\ & = 2^{3} \cdot \left( -2 \right)^{-6}+2^{3} \cdot \left( -2 \right)^{-5}+\cdots+2^{3} \cdot \left( -2 \right)^{3} \\ & = \dfrac{1}{ 2^{3}} - \dfrac{1}{2^2} +\cdots + 8 (-8) \\ & = \dfrac{1}{ 8} - \dfrac{1}{4} +\cdots -64 \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}-1+\cdots -64$

3. Soal Latihan Notasi Sigma

Uraian bentuk $\sum\limits_{n=2}^{10} x^{n-1} \cdot y^{n}$ adalah...

$(A)\ x^{10} y^{3}+x^{9} y^{4}+x^{8} y^{5}+ \cdots + x^{3} y^{10} $

$(B)\ x^{10} y +x^{9} y^{2} +x^{8} y^{3}+ \cdots + x y^{10} $

$(C)\ x^{10} +x^{9} y +x^{8} y^{2}++x^{7} y^{3}+ \cdots + y^{10} $

$(D)\ x^{10} y^{10}+x^{9} y^{9}+x^{8} y^{8}+ \cdots + xy $

$(E)\ x y^{2}+x^{2} y^{3}+x^{3} y^{4}+ \cdots + x^{9}y^{10} $

Alternatif Pembahasan:

$\sum\limits_{n=2}^{10} x^{n-1} \cdot y^{n}$
$\begin{align}
& = x^{2-1} \cdot y^{2} + x^{3-1} \cdot y^{3} + x^{4-1} \cdot y^{4} + \cdots + x^{10-1} \cdot y^{10} \\ & = x^{1} \cdot y^{2} + x^{2} \cdot y^{3} + x^{3} \cdot y^{4} + \cdots + x^{9} \cdot y^{10} \\ & = x y^{2}+x^{2} y^{3}+x^{3} y^{4}+ \cdots + x^{9}y^{10} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x y^{2}+x^{2} y^{3}+x^{3} y^{4}+ \cdots + x^{9}y^{10}$

4. Soal Latihan Notasi Sigma

Bentuk $5+8+11+14+17+\cdots+47$ jika diubah kedalam notasi sigma menjadi...

$(A)\ \sum\limits_{n=1}^{16} \left( 3n+2 \right) $

$(B)\ \sum\limits_{n=1}^{16} \left( 3n-1 \right) $

$(C)\ \sum\limits_{n=2}^{13} \left( 3n+8 \right) $

$(D)\ \sum\limits_{n=3}^{18} \left( 3n-4 \right) $

$(E)\ \sum\limits_{n=0}^{14} \left( 3n+5 \right) $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& 5+8+11+14+17+\cdots+47 \\ & = 6-1+9-1+12-1+15-1+18-1+\cdots+48-1 \\ & = \left( 3(2)-1 \right) +\left( 3(3)-1 \right)+\left( 3(4)-1 \right)+\left( 3(5)-1 \right)+\cdots+\left( 3(16)-1 \right) \\ & = \sum\limits_{n=2}^{16} \left( 3n-1 \right) \\ \hline & = (5)+(3+5)+(6+5)+(9+5)+(12+5)+\cdots+(42+5) \\ & = \left( 3(0)+5 \right) +\left( 3(1)+5 \right)+\left( 3(2)+5 \right)+\left( 3(3)+5 \right)+\cdots+\left( 3(14)+5 \right) \\ & = \sum\limits_{n=0}^{14} \left( 3n+5 \right) \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \sum\limits_{n=0}^{14} \left( 3n+5 \right)$

5. Soal Latihan Notasi Sigma

Uraian bentuk $32+16+8+\cdots+\dfrac{1}{16}$ jika diubah kedalam notasi sigma menjadi...

$(A)\ \sum\limits_{n=3}^{10} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n+2} $

$(B)\ \sum\limits_{n=3}^{7} 32 \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n-3} $

$(C)\ \sum\limits_{n=1}^{10} 32 \cdot \left( 2 \right)^{1-n} $

$(D)\ \sum\limits_{n=3}^{13}2^{8-n} $

$(E)\ \sum\limits_{n=3}^{11}2^{6-n} $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& 32+16+8+\cdots+\dfrac{1}{16} \\ & = 2^{5}+2^{4}+2^{3}+\cdots+2^{-4} \\ & = \sum\limits_{n=-5}^{4} 2^{-n} \\ & = \sum\limits_{n=-5+6}^{4+6} 2^{-(n-6)} \\ & = \sum\limits_{n=1}^{10} 2^{-n+6} \\ & = \sum\limits_{n=1}^{10} 2^{5} \cdot 2^{-n+1} \\ & = \sum\limits_{n=1}^{10} 32 \cdot 2^{1-n} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \sum\limits_{n=1}^{10} 32 \cdot \left( 2 \right)^{1-n}$

6. Soal Latihan Notasi Sigma

Bentuk $\sum\limits_{n=2}^{6} \left( 3n-2 \right)^{2}$ sama nilainya dengan...

$(A)\ 3 \sum\limits_{n=2}^{6}n^{2}-12 \sum\limits_{n=2}^{6}n + 20 $

$(B)\ 9 \sum\limits_{n=2}^{6}n^{2}-12 \sum\limits_{n=2}^{6}n + 4 $

$(C)\ 9 \sum\limits_{n=2}^{6}n^{2}-12 \sum\limits_{n=2}^{6}n + 20 $

$(D)\ \left[ \sum\limits_{n=2}^{6} \left(3n-2 \right) \right]^{2} $

$(E)\ \sum\limits_{n=2}^{6}\left(3n-2 \right)\ \sum\limits_{n=2}^{6}\left(3n-2 \right) $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \sum\limits_{n=2}^{6} \left( 3n-2 \right)^{2} \\ & = \sum\limits_{n=2}^{6} \left( 9n^{2}-12n+4 \right) \\ & = \sum\limits_{n=2}^{6} 9n^{2}- \sum\limits_{n=2}^{6} 12n + \sum\limits_{n=2}^{6} 4 \\ & = 9 \sum\limits_{n=2}^{6} n^{2}- 12 \sum\limits_{n=2}^{6} n + \left( 6-2+1 \right) \cdot 4 \\ & = 9 \sum\limits_{n=2}^{6} n^{2}- 12 \sum\limits_{n=2}^{6} n + 20 \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 9 \sum\limits_{n=2}^{6}n^{2}-12 \sum\limits_{n=2}^{6}n + 20$

7. Soal Latihan Notasi Sigma

Bentuk $\sum\limits_{n=5}^{9} \left( 2n+5 \right)\left( n-3 \right) $ sama nilainya dengan...

$(A)\ \sum\limits_{n=5}^{9} \left( 2n+5 \right) \sum\limits_{n=5}^{9} \left( n-3 \right) $

$(B)\ 2 \sum\limits_{n=5}^{9} n^{2} - \sum\limits_{n=5}^{9} n - 15 $

$(C)\ 2 \sum\limits_{n=5}^{9} n^{2} - \sum\limits_{n=5}^{9} n - 135 $

$(D)\ 2 \sum\limits_{n=5}^{9} n^{2} - \sum\limits_{n=5}^{9} n - 60 $

$(E)\ 2 \sum\limits_{n=5}^{9} n^{2} - \sum\limits_{n=5}^{9} n - 75 $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \sum\limits_{n=5}^{9} \left( 2n+5 \right)\left( n-3 \right) \\ & = \sum\limits_{n=5}^{9} \left( 2n^{2}-6n+5n-15 \right) \\ & = \sum\limits_{n=5}^{9} \left( 2n^{2}-n-15 \right) \\ & = 2 \sum\limits_{n=5}^{9} n^{2} - \sum\limits_{n=5}^{9} n - \sum\limits_{n=5}^{9} 15 \\ & = 2 \sum\limits_{n=5}^{9} n^{2} - \sum\limits_{n=5}^{9} n - \left( 9-5+1 \right) \cdot 15 \\ & = 2 \sum\limits_{n=5}^{9} n^{2} - \sum\limits_{n=5}^{9} n - 75 \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2 \sum\limits_{n=5}^{9} n^{2} - \sum\limits_{n=5}^{9} n - 75$

8. Soal Latihan Notasi Sigma

Bentuk $\sum\limits_{n=1}^{6} \left( 2n^{2}-3n+4 \right) $ senilai dengan...

$(A)\ \sum\limits_{n=4}^{9} \left( 2n^{2}+9n+13 \right) $

$(B)\ \sum\limits_{n=4}^{10} \left( 2n^{2}+5n-4 \right) $

$(C)\ \sum\limits_{n=4}^{9} \left( 2n^{2}-15n+31 \right) $

$(D)\ \sum\limits_{n=4}^{10} \left( 2n^{2}-15n+31 \right) $

$(E)\ \sum\limits_{n=4}^{9} \left( 2n^{2}+5n-4 \right) $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \sum\limits_{n=1}^{6} \left( 2n^{2}-3n+4 \right) \\ & = \sum\limits_{n=1+3}^{6+3} \left( 2(n-3)^{2}-3(n-3)+4 \right) \\ & = \sum\limits_{n=4}^{9} \left( 2n^{2}-12n+18-3n+9+4 \right) \\ & = \sum\limits_{n=4}^{9} \left( 2n^{2}-15n+31 \right) \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \sum\limits_{n=4}^{9} \left( 2n^{2}-15n+31 \right)$

9. Soal Latihan Notasi Sigma

Bentuk $\sum\limits_{n=4}^{10} \left( 3n-1 \right)\left( 2-4n \right) $ senilai dengan...

$(A)\ \sum\limits_{n=2}^{8} \left( -4n-6 \right)\left( 3n+5 \right) $

$(B)\ \sum\limits_{n=2}^{7} \left( -4n-6 \right)\left( 3n+5 \right) $

$(C)\ \sum\limits_{n=2}^{8} \left( 3n-4 \right)\left( 4n+5 \right) $

$(D)\ \sum\limits_{n=2}^{7} \left( -3n-6 \right)\left( 3n-5 \right) $

$(E)\ \sum\limits_{n=2}^{8} \left( 3n-7 \right)\left( 10-4n \right) $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \sum\limits_{n=4}^{10} \left( 3n-1 \right)\left( 2-4n \right) \\ & = \sum\limits_{n=4-2}^{10-2} \left( 3(n+2)-1 \right)\left( 2-4(n+2) \right) \\ & = \sum\limits_{n=2}^{8} \left( 3n+6-1 \right)\left( 2-4n-8 \right) \\ & = \sum\limits_{n=2}^{8} \left( 3n+5 \right)\left( -4n-6 \right) \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \sum\limits_{n=2}^{8} \left( -4n-6 \right)\left( 3n+5 \right)$

10. Soal Latihan Notasi Sigma

Bentuk $\sum\limits_{n=4}^{8} \dfrac{2n-4}{8-3n} $ jika diubah kedalam notasi sigma dengan batas atas $7$ menjadi...

$(A)\ \sum\limits_{n=3}^{7} \dfrac{2n+4}{24-3n} $

$(B)\ \sum\limits_{n=3}^{7} \dfrac{2n-2}{5-3n} $

$(C)\ \sum\limits_{n=2}^{7} \dfrac{2n-2}{5-3n} $

$(D)\ \sum\limits_{n=3}^{7} \dfrac{2n-6}{11-3n} $

$(E)\ \sum\limits_{n=2}^{7} \dfrac{2n-6}{11-3n} $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \sum\limits_{n=4}^{8} \dfrac{2n-4}{8-3n} \\ & = \sum\limits_{n=4-1}^{8-1} \dfrac{2(n+1)-4}{8-3(n+1)} \\ & = \sum\limits_{n=3}^{7} \dfrac{2n+2-4}{8-3n-3} \\ & = \sum\limits_{n=3}^{7} \dfrac{2n-2}{5-3n} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sum\limits_{n=3}^{7} \dfrac{2n-2}{5-3n}$

11. Soal Latihan Notasi Sigma

Bentuk $\sum\limits_{n=3}^{8} \left( 2n-3 \right)^{2}$ sama nilainya dengan...

$(A)\ 4 \sum\limits_{n=3}^{8}n^{2}-12 \sum\limits_{n=3}^{8}n + 54 $

$(B)\ 4 \sum\limits_{n=3}^{8}n^{2}-4 \sum\limits_{n=3}^{8}n + 6 $

$(C)\ 4 \sum\limits_{n=3}^{8}n^{2}-12 \sum\limits_{n=3}^{8}n + 9 $

$(D)\ 4 \sum\limits_{n=3}^{8}n^{2}+4 \sum\limits_{n=3}^{8}n + 12 $

$(E)\ 4 \sum\limits_{n=3}^{8}n^{2}+4 \sum\limits_{n=3}^{8}n + 6 $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \sum\limits_{n=3}^{8} \left( 2n-3 \right)^{2} \\ & = \sum\limits_{n=3}^{8} \left( 4n^{2}-12n+9 \right) \\ & = \sum\limits_{n=3}^{8} 4n^{2}- \sum\limits_{n=3}^{8} 12n + \sum\limits_{n=3}^{8} 9 \\ & = 4 \sum\limits_{n=3}^{8} n^{2}- 12 \sum\limits_{n=3}^{8} n + \left( 8-3+1 \right) \cdot 9 \\ & = 4 \sum\limits_{n=3}^{8} n^{2}- 12 \sum\limits_{n=3}^{8} n + 54 \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4 \sum\limits_{n=3}^{8}n^{2}-12 \sum\limits_{n=3}^{8}n + 54$

12. Soal Latihan Notasi Sigma

Nilai dari $\sum\limits_{n=1}^{10} \left( 2n-9 \right)-\sum\limits_{n=7}^{16} \left( 2n-1 \right)=\cdots$

$(A)\ -200 $

$(B)\ -120 $

$(C)\ -55 $

$(D)\ 25 $

$(E)\ 72 $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \sum\limits_{n=1}^{10} \left( 2n-9 \right)-\sum\limits_{n=7}^{16} \left( 2n-1 \right) \\ & = \sum\limits_{n=1}^{10} \left( 2n-9 \right)-\sum\limits_{n=7-6}^{16-6} \left( 2(n+6)-1 \right) \\ & = \sum\limits_{n=1}^{10} \left( 2n-9 \right)-\sum\limits_{n=1}^{10} \left( 2n+11 \right) \\ & = \sum\limits_{n=1}^{10} \left( 2n-9 - 2n-11 \right) \\ & = \sum\limits_{n=1}^{10} \left( -20 \right) \\ & = \left( 10-1+1 \right)(-20)=-200 \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -200$

13. Soal Latihan Notasi Sigma

Nilai dari $\sum\limits_{n=3}^{6} \left( 4n-3 \right)-\sum\limits_{n=5}^{8} \left( 4n-2 \right)=\cdots$

$(A)\ -12 $

$(B)\ -24 $

$(C)\ -36 $

$(D)\ -48 $

$(E)\ -52 $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \sum\limits_{n=3}^{6} \left( 4n-3 \right)-\sum\limits_{n=5}^{8} \left( 4n-2 \right) \\ & = \sum\limits_{n=3}^{6} \left( 4n-3 \right)-\sum\limits_{n=5-2}^{8-2} \left( 4(n+2)-2 \right) \\ & = \sum\limits_{n=3}^{6} \left( 4n-3 \right)-\sum\limits_{n=3}^{6} \left( 4n+6 \right) \\ & = \sum\limits_{n=3}^{6} \left( 4n-3-4n-6 \right) \\ & = \sum\limits_{n=3}^{6} \left( -9 \right) \\ & = \left( 6-3+1 \right)(-9)=-36 \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -36$

14. Soal Latihan Notasi Sigma

Nilai dari $\sum\limits_{n=6}^{12} \left( 5n-3 \right)-\sum\limits_{n=2}^{7} \left( 5n+2 \right)=\cdots$

$(A)\ 82 $

$(B)\ 87 $

$(C)\ 90 $

$(D)\ 120 $

$(E)\ 147 $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \sum\limits_{n=6}^{12} \left( 5n-3 \right)-\sum\limits_{n=2}^{7} \left( 5n+2 \right) \\ & = \sum\limits_{n=6-5}^{12-5} \left( 5(n+5)-3 \right)-\sum\limits_{n=2}^{7} \left( 5n+2 \right) \\ & = \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 5n+22 \right)-\left( \sum\limits_{n=1}^{1} \left( 5n+2 \right)-\sum\limits_{n=1}^{1} \left( 5n+2 \right)+\sum\limits_{n=2}^{7} \left( 5n+2 \right) \right)\\ & = \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 5n+22 \right)-\left( \sum\limits_{n=1}^{1} \left( 5n+2 \right)+\sum\limits_{n=2}^{7} \left( 5n+2 \right)-\sum\limits_{n=1}^{1} \left( 5n+2 \right) \right)\\ & = \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 5n+22 \right)-\left( \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 5n+2 \right)-\sum\limits_{n=1}^{1} \left( 5n+2 \right) \right)\\ & = \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 5n+22 \right)- \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 5n+2 \right)+\sum\limits_{n=1}^{1} \left( 5n+2 \right) \\ & = \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 5n+22 - 5n-2 \right)+ \left( 5(1)+2 \right) \\ & = \left( 7-1+1 \right) (20)+ \left( 7 \right) =147 \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 147$

15. Soal Latihan Notasi Sigma

Bentuk $\sum\limits_{n=5}^{9} n^{2}-8\sum\limits_{n=5}^{9} n + 80$ sama nilai-nya dengan...

$(A)\ \sum\limits_{n=1}^{5} (n-4)^{2} $

$(B)\ \sum\limits_{n=1}^{5} n^{2} $

$(C)\ \sum\limits_{n=1}^{5} (n-2)^{2} $

$(D)\ \sum\limits_{n=1}^{5} (n-3)^{2} $

$(E)\ \sum\limits_{n=1}^{5} (n+2)^{2} $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \sum\limits_{n=5}^{9} n^{2}-8\sum\limits_{n=5}^{9} n + 80 \\ & = \sum\limits_{n=5-4}^{9-4} (n+4)^{2}-8\sum\limits_{n=5-4}^{9-4} (n+4) + 80 \\ & = \sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}+8n+16 \right) - 8 \sum\limits_{n=1}^{5} (n+4) + 80 \\ & = \sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}+8n+16-8(n+4) \right) + 80 \\ & = \sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}+8n+16-8n-32 \right) + 80 \\ & = \sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}-16 \right) + 80 \\ & = \sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}-16 \right) + \sum\limits_{n=1}^{5} \left( 16 \right) \\ & = \sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}-16+16 \right) \\ & = \sum\limits_{n=1}^{5} n^{2} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sum\limits_{n=1}^{5} n^{2}$

16. Soal Latihan Notasi Sigma

Bentuk sederhana dari $\sum\limits_{n=1}^{20} 2n \left(2n+3 \right) - \sum\limits_{n=3}^{22} 4 \left( n-2 \right)^{2} - \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 2n-3 \right) $ adalah...

$(A)\ \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 8n-19 \right) $

$(B)\ \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 8n-15 \right) $

$(C)\ \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 8n+4 \right) $

$(D)\ \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 4n-19 \right) $

$(E)\ \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 4n-5 \right) $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \sum\limits_{n=1}^{20} 2n \left(2n+3 \right) - \sum\limits_{n=3}^{22} 4 \left( n-2 \right)^{2} - \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 2n-3 \right) \\ & = \sum\limits_{n=1+2}^{20+2} 2(n-2) \left(2(n-2)+3 \right) - \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 4 \left( n-2 \right)^{2} - \left( 2n-3 \right) \right) \\ & = \sum\limits_{n=3}^{22} (2n-4) \left(2n-1 \right) - \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 4n^{2}-16n+16 - 2n+3 \right) \\ & = \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 4n^{2}-10n+4 \right) - \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 4n^{2}-18n+19 \right) \\ & = \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 4n^{2}-10n+4 -4n^{2}+18n-19 \right) \\ & = \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 8n-15 \right) \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sum\limits_{n=3}^{22} \left( 8n-15 \right)$

17. Soal Latihan Notasi Sigma

$\sum\limits_{n=3}^{15} \left(n^{2}+2 \right) = \sum\limits_{n=3}^{8} \left( n^{2}+2 \right)+ \sum\limits_{n=p}^{15} \left( n^{2}+2 \right) $. Nilai $p=\cdots$

$(A)\ 8 $

$(B)\ 9 $

$(C)\ 10 $

$(D)\ 11 $

$(E)\ 12 $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat notasi sigma $\sum\limits_{i=1}^{a} f(i) + \sum\limits_{i=a+1}^{n} f(i) = \sum\limits_{i=1}^{n} f(i) $,
maka agar persamaan berikut: $\sum\limits_{n=3}^{15} \left(n^{2}+2 \right) = \sum\limits_{n=3}^{8} \left( n^{2}+2 \right)+ \sum\limits_{n=p}^{15} \left( n^{2}+2 \right)$
bernilai benar, maka nilai $p$ yang memenuhi adalah $p=8+1=9$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 9$

18. Soal Latihan Notasi Sigma

$\sum\limits_{n=6}^{15} \left(n^{2}-4 \right) = \sum\limits_{n=1}^{15} \left( n^{2}-4 \right)- \sum\limits_{n=1}^{p} \left( n^{2}-4 \right) $. Nilai $p=\cdots$

$(A)\ 5 $

$(B)\ 6 $

$(C)\ 7 $

$(D)\ 9 $

$(E)\ 14 $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat notasi sigma $\sum\limits_{i=1}^{a} f(i) + \sum\limits_{i=a+1}^{n} f(i) = \sum\limits_{i=1}^{n} f(i) $,
$\begin{align}
\sum\limits_{n=6}^{15} \left(n^{2}-4 \right) &= \sum\limits_{n=1}^{15} \left( n^{2}-4 \right)-\sum\limits_{n=1}^{p} \left( n^{2}-4 \right) \\ \sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}-4 \right)-\sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}-4 \right)-\sum\limits_{n=6}^{15} \left(n^{2}-4 \right) &= \sum\limits_{n=1}^{15} \left( n^{2}-4 \right)- \sum\limits_{n=1}^{p} \left( n^{2}-4 \right) \\ \sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}-4 \right)+\sum\limits_{n=6}^{15} \left(n^{2}-4 \right)-\sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}-4 \right) &= \sum\limits_{n=1}^{15} \left( n^{2}-4 \right)- \sum\limits_{n=1}^{p} \left( n^{2}-4 \right) \\ \sum\limits_{n=1}^{15} \left(n^{2}-4 \right)-\sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}-4 \right) &= \sum\limits_{n=1}^{15} \left( n^{2}-4 \right)- \sum\limits_{n=1}^{p} \left( n^{2}-4 \right) \\ -\sum\limits_{n=1}^{5} \left(n^{2}-4 \right) &= -\sum\limits_{n=1}^{p} \left( n^{2}-4 \right) \\ \end{align}$
Agar persamaan di atas bernilai benar, maka nilai $p$ yang memenuhi adalah $p=5$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 5$

19. Soal Latihan Notasi Sigma

$\sum\limits_{n=8}^{12} \left( 3n-2 \right) = \sum\limits_{n=1}^{p} \left( 3n-2 \right) - \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 3n-2 \right) $. Nilai $p=\cdots$

$(A)\ 12 $

$(B)\ 9 $

$(C)\ 8 $

$(D)\ 6 $

$(E)\ 4 $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat notasi sigma $\sum\limits_{i=1}^{a} f(i) + \sum\limits_{i=a+1}^{n} f(i) = \sum\limits_{i=1}^{n} f(i) $,
$\begin{align}
\sum\limits_{n=8}^{12} \left( 3n-2 \right) &= \sum\limits_{n=1}^{p} \left( 3n-2 \right) - \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 3n-2 \right) \\ \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 3n-2 \right)-\sum\limits_{n=1}^{7} \left( 3n-2 \right)+\sum\limits_{n=8}^{12} \left( 3n-2 \right) &= \sum\limits_{n=1}^{p} \left( 3n-2 \right) - \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 3n-2 \right) \\ \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 3n-2 \right)+\sum\limits_{n=8}^{12} \left( 3n-2 \right)-\sum\limits_{n=1}^{7} \left( 3n-2 \right) &= \sum\limits_{n=1}^{p} \left( 3n-2 \right) - \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 3n-2 \right) \\ \sum\limits_{n=1}^{12} \left( 3n-2 \right) -\sum\limits_{n=1}^{7} \left( 3n-2 \right) &= \sum\limits_{n=1}^{p} \left( 3n-2 \right) - \sum\limits_{n=1}^{7} \left( 3n-2 \right) \\ \sum\limits_{n=1}^{12} \left( 3n-2 \right) &= \sum\limits_{n=1}^{p} \left( 3n-2 \right) \\ \end{align}$
Agar persamaan di atas bernilai benar, maka nilai $p$ yang memenuhi adalah $p=12$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 12$

20. Soal Latihan Notasi Sigma

$\sum\limits_{n=3}^{5} \left( n+5 \right) = \sum\limits_{n=3}^{20} \left( n+5 \right) - \sum\limits_{n=p}^{q} \left( n+5 \right) $. Nilai $p+q=\cdots$

$(A)\ 26 $

$(B)\ 36 $

$(C)\ 35 $

$(D)\ 10 $

$(E)\ 8 $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat notasi sigma $\sum\limits_{i=1}^{a} f(i) + \sum\limits_{i=a+1}^{n} f(i) = \sum\limits_{i=1}^{n} f(i) $,
$\begin{align}
\sum\limits_{n=3}^{5} \left( n+5 \right) & = \sum\limits_{n=3}^{20} \left( n+5 \right) - \sum\limits_{n=p}^{q} \left( n+5 \right) \\ \sum\limits_{n=3}^{5} \left( n+5 \right) + \sum\limits_{n=p}^{q} \left( n+5 \right)& = \sum\limits_{n=3}^{20} \left( n+5 \right) \\ \end{align}$
Agar persamaan di atas bernilai benar, maka nilai $p$ dan $q$ yang memenuhi adalah $p=5+1=6$ dan $q=20$. Nilai $p+q=26$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 26$

21. Soal Latihan Notasi Sigma

Jika $\sum\limits_{n=3}^{10} \left( n^{2}+1 \right) =p+ \sum\limits_{n=4}^{10} \left( n^{2}+1 \right)$ maka nilai $p=\cdots$

$(A)\ 8 $

$(B)\ 10 $

$(C)\ 12 $

$(D)\ 15 $

$(E)\ 18 $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat notasi sigma $\sum\limits_{i=1}^{a} f(i) + \sum\limits_{i=a+1}^{n} f(i) = \sum\limits_{i=1}^{n} f(i) $,
$\begin{align}
\sum\limits_{n=3}^{10} \left( n^{2}+1 \right) & = p + \sum\limits_{n=4}^{10} \left( n^{2}+1 \right) \\ \sum\limits_{n=3}^{10} \left( n^{2}+1 \right) & = \sum\limits_{n=3}^{3} \left( n^{2}+1 \right) + \sum\limits_{n=4}^{10} \left( n^{2}+1 \right) \\ \end{align}$
Agar persamaan di atas bernilai benar, maka nilai $p$ adalah:
$\begin{align}
p & = \sum\limits_{n=3}^{3} \left( n^{2}+1 \right) \\ & = 3^{2}+1 \\ & =10 \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10$

22. Soal Latihan Notasi Sigma

Nilai $\sum\limits_{n=3}^{14} \left( 3n-2 \right) - \sum\limits_{n=5}^{16} \left( 3n-10 \right)=\cdots$

$(A)\ 18 $

$(B)\ 20 $

$(C)\ 22 $

$(D)\ 24 $

$(E)\ 32 $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat notasi sigma $\sum\limits_{i=1}^{n} f(i) = \sum\limits_{i=1+a}^{n+a} f(i-a) $ atau $\sum\limits_{i=1}^{n} f(i) = \sum\limits_{i=1-a}^{n-a} f(i+a) $,
$\begin{align}
& \sum\limits_{n=3}^{14} \left( 3n-2 \right) - \sum\limits_{n=5}^{16} \left( 3n-10 \right) \\ & = \sum\limits_{n=3}^{14} \left( 3n-2 \right) - \sum\limits_{n=5-2}^{16-2} \left( 3(n+2)-10 \right) \\ & = \sum\limits_{n=3}^{14} \left( 3n-2 \right) - \sum\limits_{n=3}^{14} \left( 3n-4 \right) \\ & = \sum\limits_{n=3}^{14} \left( 3n-2-3n+4 \right) \\ & = \sum\limits_{n=3}^{14} \left( 2 \right) \\ & = \left( 14-3+1 \right)(2)=24 \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 24$

23. Soal Latihan Notasi Sigma

Jika $\sum\limits_{n=13}^{27} \left( 6+X_{n} \right) = \sum\limits_{n=13}^{27} k \cdot X_{n}$ dan berlaku $\sum\limits_{n=13}^{27} X_{n}=10$, maka nilai $k=\cdots$

$(A)\ 8 $

$(B)\ 10 $

$(C)\ 12 $

$(D)\ 15 $

$(E)\ 16 $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan beberapa sifat notasi sigma dapat kita lakukan manipulasi aljabar, seperti berikut ini:
$\begin{align}
\sum\limits_{n=13}^{27} \left( 6+X_{n} \right) &= \sum\limits_{n=13}^{27} k \cdot X_{n} \\ \sum\limits_{n=13}^{27} 6 + \sum\limits_{n=13}^{27} X_{n} &= k \cdot \sum\limits_{n=13}^{27} X_{n} \\ \left( 27-13+1 \right) (6) + 10 &= k \cdot 10 \\ \left( 15 \right) (6) + 10 &= k \cdot 10 \\ 90 + 10 &= k \cdot 10 \\ 100 &= k \cdot 10 \\ k &= 10 \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10$

24. Soal Latihan Notasi Sigma

Jika $\sum\limits_{n=5}^{12} \left( 8n+5 \right) - \sum\limits_{n=3}^{10} \left( 5n+16 \right)=\cdots$

$(A)\ 63 $

$(B)\ 82 $

$(C)\ 98 $

$(D)\ 124 $

$(E)\ 196 $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan beberapa sifat notasi sigma dapat kita lakukan manipulasi aljabar, seperti berikut ini:
$\begin{align}
& \sum\limits_{n=5}^{12} \left( 8n+5 \right) - \sum\limits_{n=3}^{10} \left( 5n+16 \right) \\ &= \sum\limits_{n=5-2}^{12-2} \left( 8(n+2)+5 \right) - \sum\limits_{n=3}^{10} \left( 5n+16 \right) \\ &= \sum\limits_{n=3}^{10} \left( 8n+16+5 \right) - \sum\limits_{n=3}^{10} \left( 5n+16 \right) \\ &= \sum\limits_{n=3}^{10} \left( 8n+21 \right) - \sum\limits_{n=3}^{10} \left( 5n+16 \right) \\ &= \sum\limits_{n=3}^{10} \left( 8n+21-5n-16 \right) \\ &= \sum\limits_{n=3}^{10} \left( 3n+5 \right) \\ &= \left( 3 \cdot 3+5 \right) + \left( 3 \cdot 4+5 \right)+\left( 3 \cdot 5+5 \right)+\cdots+\left( 3 \cdot 10+5 \right)\\ &= 14 + 17 +20+\cdots+35 \\ &= 196 \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 196$

25. Soal Latihan Notasi Sigma

$\sum\limits_{x=5}^{n+5} 4 \left( x-3 \right)$ dapat dinyatakan menjadi $Pn^{2}+Qn+R$. Nilai dari $P+Q-R=\cdots$

$(A)\ -2 $

$(B)\ 0 $

$(C)\ 2 $

$(D)\ 4 $

$(E)\ 6 $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan beberapa sifat notasi sigma dapat kita lakukan manipulasi aljabar, seperti berikut ini:
$\begin{align}
& \sum\limits_{x=5}^{n+5} 4 \left( x-3 \right) \\ &= \sum\limits_{x=5-5}^{n+5-5} 4 \left( (x+5)-3 \right) \\ &= \sum\limits_{x=0}^{n} 4 \left( x+2 \right) \\ &= \sum\limits_{x=0}^{n} \left( 4x+8 \right) \\ &= 4 \sum\limits_{x=0}^{n} x + \sum\limits_{x=0}^{n} 8 \\ &= 4 \left(0+1+2+3+\cdots+n \right) + \left( n-0+1 \right) 8 \\ &= 4 \left( 1+2+3+\cdots+n \right) + \left( n+1 \right) 8 \\ &= 4 \left( \dfrac{n}{2} \left( 1+n \right) \right) + 8n+8 \\ &= 2n+2n^{2} + 8n+8 \\ &= 2n^{2} + 10n+8 \end{align}$
Bentuk $2n^{2} + 10n+8$ dapat dinyatakan dalam bentuk $Pn^{2}+Qn+R$ maka nilai $P=2$, $Q=10$ dan $R=8$. Sehingga nilai $P+Q-R=4$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$

26. Soal Latihan Notasi Sigma

$\sum\limits_{n=4}^{44} \dfrac{k^{2}}{k+1}=\cdots$

$(A)\ \sum\limits_{n=1}^{41} \dfrac{k^{2}}{k+4} $

$(B)\ \sum\limits_{n=1}^{41} \dfrac{k^{2}}{k+1} $

$(C)\ \sum\limits_{n=1}^{41} \dfrac{\left( k+3 \right)^{2}}{k+4} $

$(D)\ \sum\limits_{n=1}^{41} \dfrac{\left( k-3 \right)^{2}}{k-2} $

$(E)\ \sum\limits_{n=1}^{41} \dfrac{\left( k-3 \right)^{2}}{k+4} $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} & \sum\limits_{n=4}^{44} \dfrac{k^{2}}{k+1} \\ & = \sum\limits_{n=4-3}^{44-3} \dfrac{\left( k+3 \right)^{2}}{k+1+3} \\ & = \sum\limits_{n=1}^{41} \dfrac{\left( k+3 \right)^{2}}{k+4} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \sum\limits_{n=1}^{41} \dfrac{\left( k+3 \right)^{2}}{k+4}$

27. Soal Latihan Notasi Sigma

$\sum\limits_{k=5}^{25} \left( 2-pk \right)=0$, maka nilai $\sum\limits_{k=5}^{25} \left( pk \right)=\cdots$

$(A)\ 20 $

$(B)\ 28 $

$(C)\ 30 $

$(D)\ 42 $

$(E)\ 112 $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} \sum\limits_{k=5}^{25} \left( 2-pk \right) & = 0 \\ \sum\limits_{k=5}^{25} 2 - \sum\limits_{k=5}^{25} pk & = 0 \\ \sum\limits_{k=5}^{25} 2 & = \sum\limits_{k=5}^{25} pk \\ \end{align}$

Dari bentuk di atas dan menggunakan sifat $\sum\limits_{i=a}^{n} k = \left(n-a+1 \right) \cdot k$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \sum\limits_{k=5}^{25} pk & = \sum\limits_{k=5}^{25} 2 \\ & = \left(25-5+1 \right) \cdot 2 \\ & = 21 \cdot 2 \\ & = 42 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 42$

Catatan Belajar Mengenal Definisi Notasi Sigma, dan Sifat-Sifat Notasi Sigma Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan.

Pythagoras