Cara Mudah Memahami Induksi Matematika Pada Barisan, Ketidaksamaan dan Keterbagiaan

Catatan calon guru kembali mendiskusikan tentang Induksi Matematika Pada Barisan, Ketidaksamaan dan Keterbagiaan menjadi salah satu kompetensi dasar yang diharapkan dapat dikuasai oleh peserta didik kelas XI pada pelajaran matematika wajib kurikulum 2013.

Pada Permendikbud Tahun 2016 Nomor 024 Lampiran 16 disebutkan kompetensi dasar pada point 3.1 "Menjelaskan metode pembuktian Pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagiaan dengan induksi matematika" dan kompetensi dasar pada point 4.1 adalah "Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagiaan".

Sebelumnya sudah kita diskusikan sedikit tentang induksi matematika yang mungkin bisa jadi bahan latihan atau bahan diskusi juga, yaitu:

• Belajar Induksi Matematika Langkah Demi Langkah Pada Kurikulum 2013 File Disini
• Matematika Dasar Induksi Matematika (*Soal Dari Buku Siswa Matematika Kurikulum 2013) File Disini

Untuk menambah perbendaharaan soal dan pembahasan atau bahan diskusi tentang induksi matematika, berikut coba kita diskusikan kembali beberapa soal induksi matematika. Mudah-mudahan ini dapat membantu dalam mencapai kompetensi dasar "Menjelaskan atau Menggunakan metode pembuktian Pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagiaan dengan induksi matematika" seperti yang diharapkan pemerintah tercapai.

Menjelaskan atau Menggunakan metode pembuktian Pernyataan matematis berupa barisan dengan induksi matematika

1. Dengan induksi matematika buktikan pernyataan matematis

$2+4+6+8+\cdots +2n= n\left ( n+1 \right )$

Alternatif Pembahasan: show

Misalkan $P\left ( n \right )$ adalah proposisi berikut;

$P\left ( n \right ):2+4+6+8+\cdots +2n= n\left ( n+1 \right )$

Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 1 \right ) : 2 & = \left ( 1 \right )\left ( 1+1 \right ) \\ P\left ( 1 \right ) : 2 &=2 \\ \therefore P\left ( 1 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 2 \right ) : 2+4 & = \left ( 2 \right )\left ( 2+1 \right ) \\ P\left ( 2 \right ) : 6 &=6 \\ \therefore P\left ( 2 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

kita coba untuk $n=3$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 3 \right ) : 2+4+6 & = \left ( 3 \right )\left ( 3+1 \right ) \\ P\left ( 3 \right ) : 12 &= 12 \\ \therefore P\left ( 3 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

Karena pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=1,2,3$, selanjutnya, kita anggap pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k$, sehingga berlaku:

$2+4+6+8+\cdots +2k= k\left ( k+1 \right )$

Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Akan ditunjukkan pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k+1$, yaitu:

$\begin{align} 2+4+6+\cdots +2n &= n\left ( n+1 \right ) \\ 2+4+6+\cdots +2\left ( k+1 \right ) &= \left ( k+1 \right )\left ( k+1+1 \right ) \\ 2+4+6+\cdots +2k+2\left ( k+1 \right ) &= \left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right ) \\ \underbrace{ 2+4+6+\cdots +2k}+2\left ( k+1 \right ) &= \left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right ) \\ \underbrace{k\left ( k+1 \right )}+2\left ( k+1 \right ) &= \left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right ) \\ \left ( k+1 \right ) \left[ k+2 \right] &= \left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right ) \end{align}$

Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.

$\therefore$ Karena untuk $n=1,2,3$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka $2+4+6+8+\cdots +2n= n\left ( n+1 \right )$ adalah berlaku atau benar (terbukti).

2. Dengan induksi matematika buktikan pernyataan matematis

$1+4+7+10+\cdots +\left ( 3n-2 \right )= \dfrac{n\left ( 3n-1 \right )}{2}$

Alternatif Pembahasan: show

Misalkan $P\left ( n \right )$ adalah proposisi berikut;

$P\left ( n \right ):1+4+7+10+\cdots +\left ( 3n-2 \right )= \dfrac{n\left ( 3n-1 \right )}{2}$

Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 1 \right ) : 1 & = \dfrac{1\left ( 3(1)-1 \right )}{2} \\ P\left ( 1 \right ) : 1 &=1 \\ \therefore P\left ( 1 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 2 \right ) : 1+4 & = \dfrac{2\left ( 3(2)-1 \right )}{2} \\ P\left ( 2 \right ) : 5 &=5 \\ \therefore P\left ( 2 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

kita coba untuk $n=3$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 3 \right ) : 1+4+7 & = \dfrac{3 \left ( 3(3)-1 \right )}{2} \\ P\left ( 3 \right ) : 12 &= 12 \\ \therefore P\left ( 3 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

Karena pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=1,2,3$, selanjutnya, kita anggap pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k$, sehingga berlaku:

$1+4+7+10+\cdots +\left ( 3k-2 \right )= \dfrac{k\left ( 3k-1 \right )}{2}$

Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Akan ditunjukkan pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k+1$, yaitu:

$\begin{align} 1+4+7+\cdots +\left ( 3n-2 \right ) &= \dfrac{n\left ( 3n-1 \right )}{2} \\ 1+4+7+\cdots +\left ( 3(k+1)-2 \right ) &= \dfrac{(k+1)\left ( 3(k+1)-1 \right )}{2} \\ 1+4+7+\cdots+\left ( 3k-2 \right ) +\left ( 3(k+1)-2 \right ) &= \dfrac{(k+1)\left ( 3k+3-1 \right )}{2} \\ \underbrace{ 1+4+7+\cdots+\left ( 3k-2 \right )} +\left ( 3k+3-2 \right ) &= \dfrac{(k+1)\left ( 3k+2 \right )}{2} \\ \underbrace{\dfrac{k\left ( 3k-1 \right )}{2}}+\left ( 3k+1 \right ) &= \dfrac{(k+1)\left ( 3k+2 \right )}{2} \\ \dfrac{k\left ( 3k-1 \right )+2\left ( 3k+1 \right )}{2} &= \dfrac{(k+1)\left ( 3k+2 \right )}{2} \\ \dfrac{3k^{2}-k+6k+2 }{2} &= \dfrac{(k+1)\left ( 3k+2 \right )}{2} \\ \dfrac{3k^{2}+5k+2 }{2} &= \dfrac{(k+1)\left ( 3k+2 \right )}{2} \\ \dfrac{(k+1)\left ( 3k+2 \right )}{2} &= \dfrac{(k+1)\left ( 3k+2 \right )}{2} \\ \end{align}$

Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.

$\therefore$ Karena untuk $n=1,2,3$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka $1+4+7+10+\cdots +\left ( 3n-2 \right )= \dfrac{n\left ( 3n-1 \right )}{2}$ adalah berlaku atau benar (terbukti).

3. Dengan induksi matematika buktikan pernyataan matematis

$1+3+6+10+\cdots +\dfrac{n\left ( n+1 \right )}{2}= \dfrac{n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )}{6}$

Alternatif Pembahasan: show

Misalkan $P\left ( n \right )$ adalah proposisi berikut;

$P\left ( n \right ):1+3+6+10+\cdots +\dfrac{n\left ( n+1 \right )}{2}= \dfrac{n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )}{6}$

Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 1 \right ) : 1 & = \dfrac{1\left ( 1+1 \right )\left ( 1+2 \right )}{6} \\ P\left ( 1 \right ) : 1 &=1 \\ \therefore P\left ( 1 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 2 \right ) : 1+3 & = \dfrac{2 \left ( 2+1 \right )\left ( 2+2 \right )}{6} \\ P\left ( 2 \right ) : 4 &= 4 \\ \therefore P\left ( 2 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

kita coba untuk $n=3$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 3 \right ) : 1+3+6 & = \dfrac{3 \left( 3+1 \right)\left ( 3+2 \right )}{6} \\ P\left ( 3 \right ) : 10 &= 10 \\ \therefore P\left ( 3 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

Karena pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=1,2,3$, selanjutnya, kita anggap pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k$, sehingga berlaku:

$1+3+6+10+\cdots +\dfrac{k\left ( k+1 \right )}{2}= \dfrac{k\left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )}{6}$

Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Akan ditunjukkan pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k+1$, yaitu:

$\begin{align} 1+3+6+ \cdots +\dfrac{n\left ( n+1 \right )}{2} &= \dfrac{n \left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )}{6} \\ 1+3+6+ \cdots +\dfrac{\left ( k+1 \right )\left( k+1+1 \right )}{2} &= \dfrac{\left ( k+1 \right )\left ( k+1+1 \right )\left ( k+1+2 \right )}{6} \\ 1+3+6+ \cdots +\dfrac{\left ( k+1 \right )\left( k+2 \right )}{2} &= \dfrac{\left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )\left ( k+3 \right )}{6} \\ \underbrace{1+3+ \cdots+\dfrac{k\left ( k+1 \right )}{2} }+\dfrac{\left ( k+1 \right )\left( k+2 \right )}{2} &= \dfrac{\left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )\left ( k+3 \right )}{6} \\ \underbrace{ \dfrac{k\left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )}{6}} +\dfrac{\left ( k+1 \right )\left( k+2 \right )}{2} &= \dfrac{\left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )\left ( k+3 \right )}{6} \\ \dfrac{k\left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )+3 \left ( k+1 \right )\left( k+2 \right )}{6} &= \dfrac{\left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )\left ( k+3 \right )}{6} \\ \dfrac{\left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )\left[k+3 \right]}{6} &= \dfrac{\left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )\left ( k+3 \right )}{6} \end{align}$

Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.

$\therefore$ Karena untuk $n=1,2,3$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka $1+3+6+10+\cdots +\dfrac{n\left ( n+1 \right )}{2}= \dfrac{n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )}{6}$ adalah berlaku atau benar (terbukti).

4. Dengan induksi matematika buktikan pernyataan matematis

$\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}-\cdots-\dfrac{1}{2^{n}}= \dfrac{1}{2^{n}}$

Alternatif Pembahasan: show

Misalkan $P\left ( n \right )$ adalah proposisi berikut;

$P\left ( n \right ):\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}-\cdots-\dfrac{1}{2^{n}}= \dfrac{1}{2^{n}}$

Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 1 \right ) : \dfrac{1}{2} &= \dfrac{1}{2^{1}} \\ P\left ( 1 \right ) : \dfrac{1}{2} &= \dfrac{1}{2} \\ \therefore P\left ( 1 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 2 \right ) : \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4} &= \dfrac{1}{2^{2}} \\ P\left ( 2 \right ) : \dfrac{2}{4}-\dfrac{1}{4} &= \dfrac{1}{4} \\ P\left ( 2 \right ) : \dfrac{1}{4} &= \dfrac{1}{4} \\ \therefore P\left ( 2 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

kita coba untuk $n=3$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 3 \right ) : \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8} &= \dfrac{1}{2^{3}} \\ P\left ( 3 \right ) : \dfrac{4}{8}-\dfrac{2}{8}-\dfrac{1}{8} &= \dfrac{1}{8} \\ P\left ( 3 \right ) : \dfrac{1}{8} &= \dfrac{1}{8} \\ \therefore P\left ( 3 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

Karena pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=1,2,3$, selanjutnya, kita anggap pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k$, sehingga berlaku:

$\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}-\cdots-\dfrac{1}{2^{k}}= \dfrac{1}{2^{k}}$

Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Akan ditunjukkan pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k+1$, yaitu:

$\begin{align} \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}-\cdots-\dfrac{1}{2^{n}} &= \dfrac{1}{2^{n}} \\ \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}-\cdots-\dfrac{1}{2^{k+1}} &= \dfrac{1}{2^{k+1}} \\ \underbrace{ \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}-\cdots-\dfrac{1}{2^{k}}}-\dfrac{1}{2^{k+1}} &= \dfrac{1}{2^{k+1}} \\ \underbrace{\dfrac{1}{2^{k}}}-\dfrac{1}{2^{k+1}} &= \dfrac{1}{2^{k+1}} \\ \dfrac{1 \cdot 2}{2^{k} \cdot 2}-\dfrac{1}{2^{k+1}} &= \dfrac{1}{2^{k+1}} \\ \dfrac{2}{2^{k+1}}-\dfrac{1}{2^{k+1}} &= \dfrac{1}{2^{k+1}} \\ \dfrac{1}{2^{k+1}} &= \dfrac{1}{2^{k+1}} \end{align}$

Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.

$\therefore$ Karena untuk $n=1,2,3$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka $\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}-\cdots-\dfrac{1}{2^{n}}= \dfrac{1}{2^{n}}$ adalah berlaku atau benar (terbukti).

5. Dengan induksi matematika buktikan pernyataan matematis

$\dfrac{1}{1 \cdot 3}+\dfrac{1}{3 \cdot 5}+\dfrac{1}{5 \cdot 7}+\cdots+\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}= \dfrac{n}{2n+1}$

Alternatif Pembahasan: show

Misalkan $P\left ( n \right )$ adalah proposisi berikut;

$P\left ( n \right ): \dfrac{1}{1 \cdot 3}+\dfrac{1}{3 \cdot 5}+\dfrac{1}{5 \cdot 7}+\cdots+\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}= \dfrac{n}{2n+1}$

Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 1 \right ) : \dfrac{1}{1 \cdot 3} &= \dfrac{1}{2(1)+1} \\ P\left ( 1 \right ) : \dfrac{1}{3} &= \dfrac{1}{3} \\ \therefore P\left ( 1 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 2 \right ) : \dfrac{1}{1 \cdot 3}+\dfrac{1}{3 \cdot 5} &= \dfrac{2}{2(2)+1} \\ P\left ( 2 \right ) : \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{15} &= \dfrac{2}{4+1} \\ P\left ( 2 \right ) : \dfrac{5}{15}+\dfrac{1}{15} &= \dfrac{2}{5} \\ P\left ( 2 \right ) : \dfrac{6}{15} &= \dfrac{2}{5} \\ P\left ( 2 \right ) : \dfrac{2}{15} &= \dfrac{2}{5} \\ \therefore P\left ( 2 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

kita coba untuk $n=3$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 3 \right ) : \dfrac{1}{1 \cdot 3}+\dfrac{1}{3 \cdot 5}+\dfrac{1}{5 \cdot 7} &= \dfrac{3}{2(3)+1} \\ P\left ( 3 \right ) : \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{35} &= \dfrac{3}{6+1} \\ P\left ( 3 \right ) : \dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{35} &= \dfrac{3}{7} \\ P\left ( 3 \right ) : \dfrac{14}{35} &= \dfrac{2}{5} \\ P\left ( 3 \right ) : \dfrac{2}{5} &= \dfrac{2}{5} \\ \therefore P\left ( 3 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

Karena pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=1,2,3$, selanjutnya, kita anggap pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k$, sehingga berlaku:

$\dfrac{1}{1 \cdot 3}+\dfrac{1}{3 \cdot 5}+\dfrac{1}{5 \cdot 7}+\cdots+\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}= \dfrac{k}{2k+1}$

Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Akan ditunjukkan pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k+1$, yaitu:

$\begin{align} \dfrac{1}{1 \cdot 3}+\dfrac{1}{3 \cdot 5}+\dfrac{1}{5 \cdot 7}+\cdots+\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)} &= \dfrac{n}{2n+1} \\ \dfrac{1}{1 \cdot 3}+\dfrac{1}{3 \cdot 5}+\dfrac{1}{5 \cdot 7}+\cdots+\dfrac{1}{(2[k+1]-1)(2[k+1]+1)} &= \dfrac{k+1}{2[k+1]+1} \\ \underbrace{\dfrac{1}{1 \cdot 3}+ \cdots+\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}}+\dfrac{1}{(2k+2-1)(2 k+2+1)} &= \dfrac{k+1}{2k+3}\\ \underbrace{ \dfrac{k}{2k+1}}+\dfrac{1}{(2k+2-1)(2 k+2+1)} &= \dfrac{k+1}{2k+3} \\ \dfrac{k}{2k+1}+\dfrac{1}{(2k+1)(2 k+3)} &= \dfrac{k+1}{2k+3} \\ \dfrac{k(2k+3)}{(2k+1)(2k+3)}+\dfrac{1}{(2k+1)(2 k+3)} &= \dfrac{k+1}{2k+3} \\ \dfrac{ 2k^{2}+3k}{(2k+1)(2k+3)}+\dfrac{1}{(2k+1)(2 k+3)} &= \dfrac{k+1}{2k+3} \\ \dfrac{ 2k^{2}+3k+1}{(2k+1)(2k+3)} &= \dfrac{k+1}{2k+3} \\ \dfrac{ (2k+1)(k+1)}{(2k+1)(2k+3)} &= \dfrac{k+1}{2k+3} \\ \dfrac{ (k+1)}{ (2k+3)} &= \dfrac{k+1}{2k+3} \end{align}$

Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.

$\therefore$ Karena untuk $n=1,2,3$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka $\dfrac{1}{1 \cdot 3}+\dfrac{1}{3 \cdot 5}+\dfrac{1}{5 \cdot 7}+\cdots+\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}= \dfrac{n}{2n+1}$ adalah berlaku atau benar (terbukti).

6. Dengan induksi matematika buktikan pernyataan matematis

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}= \dfrac{1}{4}n^{2}(n+1)^{2}$

Alternatif Pembahasan: show

Misalkan $P\left ( n \right )$ adalah proposisi berikut;

$P\left ( n \right ):1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}= \dfrac{1}{4}n^{2}(n+1)^{2}$

Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 1 \right ) : 1^{3} &= \dfrac{1}{4}(1)^{2}(1+1)^{2} \\ P\left ( 1 \right ) : 1 &= 1 \\ \therefore P\left ( 1 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 2 \right ) : 1^{3}+2^{3} &= \dfrac{1}{4}(2)^{2}(2+1)^{2} \\ P\left ( 2 \right ) : 9 &= 9 \\ \therefore P\left ( 2 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

kita coba untuk $n=3$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 3 \right ) : 1^{3}+2^{3}+3^{3} &= \dfrac{1}{4}(3)^{2}(3+1)^{2} \\ P\left ( 3 \right ) : 1 +8+27 &= \dfrac{1}{4}(9) (16) \\ P\left ( 3 \right ) : 36 &= 36 \\ \therefore P\left ( 3 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

Karena pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=1,2,3$, selanjutnya, kita anggap pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k$, sehingga berlaku:

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+k^{3} = \dfrac{1}{4}k^{2}(k+1)^{2}$

Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Akan ditunjukkan pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k+1$, yaitu:

$\begin{align} 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3} = & \dfrac{1}{4}n^{2}(n+1)^{2} \\ 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+(k+1)^{3} = & \dfrac{1}{4}(k+1)^{2}(k+1+1)^{2} \\ 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+k^{3}+(k+1)^{3} = & \dfrac{1}{4}(k+1)^{2}(k+2)^{2} \\ \underbrace{1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+k^{3}}+(k+1)^{3} = & \dfrac{1}{4}(k+1)^{2}(k+2)^{2} \\ \underbrace{\dfrac{1}{4}k^{2}(k+1)^{2}}+(k+1)^{3} = & \dfrac{1}{4}(k+1)^{2}(k+2)^{2} \\ (k+1)^{2} \left[ \dfrac{1}{4}k^{2}+(k+1)^{1} \right] = & \dfrac{1}{4}(k+1)^{2}(k+2)^{2} \\ \dfrac{1}{4} (k+1)^{2} \left[ k^{2}+4(k+1) \right] = & \dfrac{1}{4}(k+1)^{2}(k+2)^{2} \\ \dfrac{1}{4} (k+1)^{2} \left[ k^{2}+4 k+4 \right] = & \dfrac{1}{4}(k+1)^{2}(k+2)^{2} \\ \dfrac{1}{4} (k+1)^{2} \left( k+2 \right)^{2} = & \dfrac{1}{4}(k+1)^{2}(k+2)^{2} \\ \end{align}$

Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.

$\therefore$ Karena untuk $n=1,2,3$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka $1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}= \dfrac{1}{4}n^{2}(n+1)^{2}$ adalah berlaku atau benar (terbukti).

7. Dengan induksi matematika buktikan pernyataan matematis

$3+3^{3}+3^{5}+ \cdots +3^{2n-1}= \dfrac{3}{8} \left ( 9^{n}-1 \right )$

Alternatif Pembahasan: show

Misalkan $P\left ( n \right )$ adalah proposisi berikut;

$P\left ( n \right ):3+3^{3}+3^{5}+ \cdots +3^{2n-1}= \dfrac{3}{8} \left ( 9^{n}-1 \right )$

Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 1 \right ) : 3 & = \dfrac{3}{8} \left ( 9^{1}-1 \right ) \\ P\left ( 1 \right ) : 3 & = 3 \\ \therefore P\left ( 1 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 2 \right ) : 3+3^{3} & = \dfrac{3}{8} \left ( 9^{2}-1 \right ) \\ P\left ( 2 \right ) : 3+27 & = \dfrac{3}{8} \left ( 80 \right ) \\ P\left ( 2 \right ) : 30 & = 30 \\ \therefore P\left ( 2 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

kita coba untuk $n=3$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 3 \right ) : 3+3^{3}+3^{5} & = \dfrac{3}{8} \left ( 9^{3}-1 \right ) \\ P\left ( 3 \right ) : 3+27+243 & = \dfrac{3}{8} \left ( 728 \right ) \\ P\left ( 3 \right ) : 273 & = 273 \\ \therefore P\left ( 3 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

Karena pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=1,2,3$, selanjutnya, kita anggap pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k$, sehingga berlaku:

$3+3^{3}+3^{5}+ \cdots +3^{2k-1}= \dfrac{3}{8} \left ( 9^{k}-1 \right )$

Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Akan ditunjukkan pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k+1$, yaitu berlaku:

$3+3^{3}+3^{5}+ \cdots +3^{2k-1}+3^{2(k+1)-1}= \dfrac{3}{8} \left ( 9^{k+1}-1 \right )$

$\begin{align} 3+3^{3}+3^{5}+ \cdots +3^{2k-1}+3^{2(k+1)-1} &= \dfrac{3}{8} \left ( 9^{k+1}-1 \right ) \\ \dfrac{3}{8} \left ( 9^{k}-1 \right )+3^{2(k+1)-1} &= \dfrac{3}{8} \left ( 9^{k+1}-1 \right ) \\ \dfrac{3}{8} \left ( 9^{k}-1 \right )+3^{2k+2-1} &= \dfrac{3}{8} \left ( 9^{k+1}-1 \right ) \\ \dfrac{3}{8} \left ( 9^{k}-1 \right )+3^{2k+1} &= \dfrac{3}{8} \left ( 9^{k+1}-1 \right ) \\ \dfrac{3}{8} \left ( 9^{k}-1 \right )+ 3^{2k} \cdot 3 &= \dfrac{3}{8} \left ( 9^{k+1}-1 \right ) \\ \dfrac{3}{8} \left ( 9^{k}-1 \right )+\dfrac{3}{8} \cdot 8 \cdot 3^{2k} &= \dfrac{3}{8} \left ( 9^{k+1}-1 \right ) \\ \dfrac{3}{8} \left ( 9^{k}-1 + 8 \cdot 3^{2k} \right ) &= \dfrac{3}{8} \left ( 9^{k+1}-1 \right ) \\ \dfrac{3}{8} \left ( 9^{k}-1 + 8 \cdot (3^{2})^{k} \right ) &= \dfrac{3}{8} \left ( 9^{k+1}-1 \right ) \\ \dfrac{3}{8} \left ( 9^{k} + 8 \cdot 9^{k}-1 \right ) &= \dfrac{3}{8} \left ( 9^{k+1}-1 \right ) \\ \dfrac{3}{8} \left ( (1 + 8) \cdot 9^{k}-1 \right ) &= \dfrac{3}{8} \left ( 9^{k+1}-1 \right ) \\ \dfrac{3}{8} \left ( 9 \cdot 9^{k}-1 \right ) &= \dfrac{3}{8} \left ( 9^{k+1}-1 \right ) \\ \dfrac{3}{8} \left ( 9^{k+1}-1 \right ) &= \dfrac{3}{8} \left ( 9^{k+1}-1 \right ) \end{align}$

Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.

$\therefore$ Karena untuk $n=1,2,3$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka $3+3^{3}+3^{5}+ \cdots +3^{2n-1}= \dfrac{3}{8} \left ( 9^{n}-1 \right )$ adalah berlaku atau benar (terbukti).

Menjelaskan atau Menggunakan metode pembuktian Pernyataan matematis berupa ketidaksamaan dengan induksi matematika

1. Dengan induksi matematika buktikan pernyataan matematis ketidaksamaan

$2n+1 \lt 2^{n}$ untuk semua bilangan asli $n \geq 3$

Alternatif Pembahasan: show

Misalkan $P\left ( n \right )$ adalah proposisi berikut;

$P\left ( n \right ): 2n+1 \lt 2^{n}$

Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=3$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 3 \right ) : 2(3)+1 & \lt 2^{3} \\ P\left ( 3 \right ) : 7 & \lt 8 \\ \therefore P\left ( 3 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

kita coba untuk $n=4$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 4 \right ) : 2(4)+1 & \lt 2^{4} \\ P\left ( 4 \right ) : 9 & \lt 16 \\ \therefore P\left ( 4 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

kita coba untuk $n=5$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 5 \right ) : 2(5)+1 & \lt 2^{5} \\ P\left ( 5 \right ) : 11 & \lt 32 \\ \therefore P\left ( 5 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

Karena pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=1,2,3$, selanjutnya, kita anggap pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k$, sehingga berlaku:

$2k+1 \lt 2^{k}$

Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Akan ditunjukkan pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k+1$, sehingga berlaku:

$2(k+1)+1 \lt 2^{k+1}$

Untuk $k\geq 3$ kita ketahui $2 \lt 2^{k}$ dan $2k+1 \lt 2^{k}$ sehingga: $\begin{align} 2 & \lt 2^{k} \\ 2k+1 & \lt 2^{k}\ \ \ (+) \\ \hline 2k+1+2 & \lt 2^{k} + 2^{k} \\ 2k+2+1 & \lt 2 \cdot 2^{k} \\ 2(k+1)+1 & \lt 2^{1} \cdot 2^{k} \\ 2(k+1)+1 & \lt 2^{k+1} \\ \end{align} $

Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.

$\therefore$ Karena untuk $n=1,2,3$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka $2n+1 \lt 2^{n}$ untuk semua bilangan asli $n \geq 3$ adalah berlaku atau benar (terbukti).

2. Dengan induksi matematika buktikan pernyataan matematis ketidaksamaan

$6n \lt 3^{n}$ untuk semua bilangan asli $n \geq 3$

Alternatif Pembahasan: show

Misalkan $P\left ( n \right )$ adalah proposisi berikut;

$P\left ( n \right ): 6n \lt 3^{n}$

Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=3$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 3 \right ) : 6(3) & \lt 3^{3} \\ P\left ( 3 \right ) : 18 & \lt 27 \\ \therefore P\left ( 3 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

kita coba untuk $n=4$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 4 \right ) : 6(4) & \lt 3^{4} \\ P\left ( 4 \right ) : 24 & \lt 81 \\ \therefore P\left ( 4 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

kita coba untuk $n=5$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 5 \right ) : 6(5) & \lt 3^{5} \\ P\left ( 5 \right ) : 30 & \lt 243 \\ \therefore P\left ( 5 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

Karena pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=1,2,3$, selanjutnya, kita anggap pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k$, sehingga berlaku:

$6k \lt 3^{k}$

Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Akan ditunjukkan pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k+1$, sehingga berlaku:

$6(k+1) \lt 3^{k+1}$

Untuk $k \geq 3$ kita ketahui $6k \lt 3^{k}$ dan $6 \lt 3^{k} \lt 3^{k}+3^{k}$ sehingga: $\begin{align} 6k & \lt 3^{k} \\ 6 & \lt 3^{k}+3^{k}\ \ \ (+) \\ \hline 6k+6 & \lt 3^{k} + 3^{k} +3^{k} \\ 6 (k+1) & \lt 3 \cdot 3^{k} \\ 6 (k+1) & \lt 3^{k+1} \\ \end{align} $

Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.

$\therefore$ Karena untuk $n=1,2,3$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka $6n \lt 3^{n}$ untuk semua bilangan asli $n \geq 3$ adalah berlaku atau benar (terbukti).

3. Dengan induksi matematika buktikan pernyataan matematis ketidaksamaan

$(n+1)^{2} \lt 2n^{2}$ untuk semua bilangan asli $n \geq 3$

Alternatif Pembahasan: show

Misalkan $P\left ( n \right )$ adalah proposisi berikut;

$P\left ( n \right ): (n+1)^{2} \lt 2n^{2}$

Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=3$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 3 \right ) : (3+1)^{2} & \lt 2(3)^{2} \\ P\left ( 3 \right ) : 16 & \lt 18 \\ \therefore P\left ( 3 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

kita coba untuk $n=4$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 4 \right ) : (4+1)^{2} & \lt 2(4)^{2} \\ P\left ( 4 \right ) : 25 & \lt 32 \\ \therefore P\left ( 4 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

kita coba untuk $n=5$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 5 \right ) : (5+1)^{2} & \lt 2(5)^{2} \\ P\left ( 5 \right ) : 36 & \lt 50 \\ \therefore P\left ( 5 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

Karena pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=1,2,3$, selanjutnya, kita anggap pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k$, sehingga berlaku:

$(k+1)^{2} \lt 2k^{2}$

Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Akan ditunjukkan pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k+1$, sehingga berlaku:

$(k+1+1)^{2} \lt 2(k+1)^{2}$

Untuk $k \geq 3$ kita ketahui $(k+1)^{2} \lt 2k^{2}$ dan $1 \lt 2k$ sehingga $(2k+2) + 1 \lt (2k+2) + 2k$. Dari ketidaksamaan di atas, kita peroleh: $\begin{align} (k+1)^{2} & \lt 2k^{2} \\ (2k+2) + 1 & \lt (2k+2) + 2k\ \ \ (+) \\ \hline (k+1)^{2}+(2k+2)+1 & \lt 2k^{2}+(2k+2) + 2k \\ k^{2}+2k+1+ 2k+2 +1 & \lt 2k^{2}+ 2k+2 + 2k \\ k^{2}+4k+4 & \lt 2k^{2}+ 4k+2 \\ (k+2)^{2} & \lt 2 \left( k^{2}+ 2k+1 \right) \\ (k+1+1)^{2} & \lt 2 \left( k+1 \right)^{2} \end{align} $

Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.

$\therefore$ Karena untuk $n=1,2,3$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka $(n+1)^{2} \lt 2n^{2}$ untuk semua bilangan $n \geq 3$ adalah berlaku atau benar (terbukti).

4. Dengan induksi matematika buktikan pernyataan matematis ketidaksamaan

$\dfrac{1}{1^{2}}+\dfrac{1}{2^{2}}+\dfrac{1}{3^{2}}+\cdots+\dfrac{1}{n^{2}} \leq 2-\dfrac{1}{n}$

Alternatif Pembahasan: show

Misalkan $P\left ( n \right )$ adalah proposisi berikut;

$P\left ( n \right ): \dfrac{1}{1^{2}}+\dfrac{1}{2^{2}}+\dfrac{1}{3^{2}}+\cdots+\dfrac{1}{n^{2}} \leq 2-\dfrac{1}{n}$

Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 1 \right ) : \dfrac{1}{1^{2}} & \leq 2-\dfrac{1}{1} \\ P\left ( 1 \right ) : 1 & \leq 1 \\ \therefore P\left ( 1 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 2 \right ):\dfrac{1}{1^{2}}+\dfrac{1}{2^{2}} & \leq 2-\dfrac{1}{2} \\ P\left ( 2 \right ) : 1\frac{1}{4} & \leq 1\frac{3}{4} \\ \therefore P\left ( 2 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

kita coba untuk $n=3$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 3 \right ):\dfrac{1}{1^{2}}+\dfrac{1}{2^{2}}+\dfrac{1}{3^{2}} & \leq 2-\dfrac{1}{3} \\ P\left ( 3 \right ) : 1\frac{13}{36} & \leq 1\frac{2}{3} \\ P\left ( 3 \right ) : 1\frac{13}{36} & \leq 1\frac{24}{36} \\ \therefore P\left ( 3 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

Karena pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=1,2,3$, selanjutnya, kita anggap pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k$, sehingga berlaku:

$\dfrac{1}{1^{2}}+\dfrac{1}{2^{2}}+\dfrac{1}{3^{2}}+\cdots+\dfrac{1}{k^{2}} \leq 2-\dfrac{1}{k}$

Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Akan ditunjukkan pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k+1$, sehingga berlaku:

$\dfrac{1}{1^{2}}+\dfrac{1}{2^{2}}+\dfrac{1}{3^{2}}+\cdots+\dfrac{1}{k^{2}}+\dfrac{1}{(k+1)^{2}} \leq 2-\dfrac{1}{k+1}$

Tetapi sebelum kita masuk pada tahapan induksi matematika, kita dapat melakukan Eksplorasi aljabar: yaitu:

$\begin{align} k\left (k+1 \right ) & \leq \left ( k+1 \right )\left ( k+1 \right ) \\ \frac{1}{k\left (k+1 \right )} & \geq \frac{1}{\left ( k+1 \right )\left ( k+1 \right )} \\ \frac{1}{k\left (k+1 \right )} & = \frac{1}{k}-\frac{1}{\left ( k+1 \right )} \end{align}$

Pada ketidaksamaan $\dfrac{1}{1^{2}}+\dfrac{1}{2^{2}}+\cdots+\dfrac{1}{k^{2}} \leq 2-\dfrac{1}{k}$ ruas kiri dan ruas kanan sama-sama kita tambahkan $\dfrac{1}{\left ( k+1 \right )^{2}}$.

Sehingga ketidaksamaan menjadi $\dfrac{1}{1^{2}}+\dfrac{1}{2^{2}}+\cdots+\dfrac{1}{k^{2}}+$$\dfrac{1}{\left ( k+1 \right )^{2}}$$\leq 2-\dfrac{1}{k}$+$\dfrac{1}{\left ( k+1 \right )^{2}}$

Begitu juga pada ketidaksamaan $\dfrac{1}{\left ( k+1 \right )\left ( k+1 \right )} \leq \dfrac{1}{k\left (k+1 \right )}$ yang kita temukan pada tahap eksplorasi, ruas kiri dan ruas kanan sama-sama kita tambahkan $2-\dfrac{1}{k}$ sehingga ketidaksamaan menjadi seperti berikut ini:

$\begin{align} \dfrac{1}{\left ( k+1 \right )\left ( k+1 \right )} & \leq \dfrac{1}{k\left (k+1 \right )} \\ 2-\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{\left ( k+1 \right )\left ( k+1 \right )} & \leq 2-\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{k\left (k+1 \right )} \\ 2-\dfrac{1}{k}+\frac{1}{\left ( k+1 \right )^{2}} &\leq 2-\dfrac{1}{k}+\frac{1}{k}-\frac{1}{\left ( k+1 \right )} \\ 2-\frac{1}{k}+\frac{1}{\left ( k+1 \right )^{2}} &\leq 2-\dfrac{1}{\left ( k+1 \right )} \end{align} $

Dengan menggunakan sifat ketidaksamaan jika $a \leq b$ dan $b \leq c$ maka $a \leq c$ pada ketidaksamaan yang kita peroleh yaitu:

$\begin{align} \dfrac{1}{1^{2}}+\dfrac{1}{2^{2}}+\cdots+\dfrac{1}{k^{2}}+\dfrac{1}{\left ( k+1 \right )^{2}} & \leq 2-\frac{1}{k}+\frac{1}{\left ( k+1 \right )^{2}} \\ 2-\frac{1}{k}+\frac{1}{\left ( k+1 \right )^{2}} &\leq 2-\dfrac{1}{\left ( k+1 \right )} \end{align} $

Dapat kita simpulkan

$\begin{align} \dfrac{1}{1^{2}}+\dfrac{1}{2^{2}}+\cdots+\dfrac{1}{k^{2}}+\dfrac{1}{\left ( k+1 \right )^{2}} &\leq 2-\dfrac{1}{\left ( k+1 \right )} \end{align} $

Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.

$\therefore$ Karena untuk $n=1,2,3$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka $\dfrac{1}{1^{2}}+\dfrac{1}{2^{2}}+\dfrac{1}{3^{2}}+\cdots+\dfrac{1}{n^{2}} \leq 2-\dfrac{1}{n}$ adalah berlaku atau benar (terbukti).

5. Dengan induksi matematika buktikan pernyataan matematis ketidaksamaan

$\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \leq 2\sqrt{n}-1$

Alternatif Pembahasan: show

Misalkan $P\left ( n \right )$ adalah proposisi berikut;

$P\left ( n \right ): \dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \leq 2\sqrt{n}-1$

Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 1 \right ) : \dfrac{1}{\sqrt{1}} & \leq 2\sqrt{1}-1 \\ P\left ( 1 \right ) : 1 & \leq 1 \\ \therefore P\left ( 1 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 2 \right ) : \dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \leq 2\sqrt{2}-1 \\ P\left ( 2 \right ) : 1+\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \leq 2\sqrt{2}-1 \\ \therefore P\left ( 2 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

kita coba untuk $n=3$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 3 \right ) : \dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}} & \leq 2\sqrt{3}-1 \\ P\left ( 3 \right ) : 1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}} & \leq 2\sqrt{3}-1 \\ \therefore P\left ( 3 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

Karena pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=1,2,3$, selanjutnya, kita anggap pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k$, sehingga berlaku:

$\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{k}} \leq 2\sqrt{k}-1$

Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Akan ditunjukkan pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k+1$ atau berlaku:

$\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{k}}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}} \leq 2\sqrt{k+1}-1$

Tetapi sebelum kita masuk pada tahapan induksi matematika, kita dapat melakukan Eksplorasi aljabar: yaitu:

$\begin{align} \dfrac{1}{\sqrt{k}} = \dfrac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k}} & \leq \dfrac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{k}} & \leq 2 \left( \sqrt{k}-\sqrt{k-1} \right) \\ \dfrac{1}{\sqrt{k}} & \leq 2 \sqrt{k}- 2\sqrt{k-1} \end{align}$

Dari ketidaksamaan $\dfrac{1}{\sqrt{k}} \leq 2 \sqrt{k}- 2\sqrt{k-1}$ hasil eksplorasi di atas kita peroleh ketidaksamaan:

$\begin{align} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \leq 2 \sqrt{2}- 2\sqrt{2-1} \\ \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \leq 2 \sqrt{3}- 2\sqrt{3-1} \\ & \vdots \\ \dfrac{1}{\sqrt{k}} & \leq 2 \sqrt{k}- 2\sqrt{k-1} \\ \dfrac{1}{\sqrt{k+1}} & \leq 2 \sqrt{k+1}- 2\sqrt{k+1-1}\ \ \ \ (+) \\ \hline \dfrac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{k}}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}} & \leq 2\sqrt{k+1}-2 \\ 1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{k}}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}} & \leq 2\sqrt{k+1}-1 \\ \dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{k}}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}} & \leq 2\sqrt{k+1}-1 \\ \end{align} $

Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.

$\therefore$ Karena untuk $n=1,2,3$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka $\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \leq 2\sqrt{n}-1$ adalah berlaku atau benar (terbukti).

Menjelaskan atau Menggunakan metode pembuktian Pernyataan matematis berupa keterbagian dengan induksi matematika

1. Buktikan pernyataan matematis berupa keterbagian berikut dengan induksi matematika untuk $n$ bilangan asli

$n \left( n+1 \right)$ habis dibagi $2$

Alternatif Pembahasan: show

Misalkan $P\left ( n \right )$ adalah proposisi berikut;

$P\left ( n \right ): n \left( n+1 \right)$ Habis Dibagi $2$

Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 1 \right ) :\ & 1 \left( 1+1 \right) \\ P\left ( 1 \right ) :\ & 2\ \text{HD.2} \\ \therefore P\left ( 1 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 2 \right ) :\ & 2 \left( 2+1 \right) \\ P\left ( 2 \right ) :\ & 6\ \text{HD.2} \\ \therefore P\left ( 2 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

kita coba untuk $n=3$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 3 \right ) :\ & 3 \left( 3+1 \right) \\ P\left ( 3 \right ) :\ & 12\ \text{HD.2} \\ \therefore P\left ( 3 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

Karena pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=1,2,3$, selanjutnya, kita anggap pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k$, sehingga berlaku:

$k \left( k+1 \right)$ Habis Dibagi $2$ atau dapat kita tuliskan bahwa $k \left( k+1 \right) \equiv 2p$ dimana $p$ adalah bilangan asli

Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Akan ditunjukkan pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k+1$ atau berlaku:

$(k+1) \left( k+1+1 \right)$ Habis Dibagi $2$

$\begin{align} (k+1) (k+1+1) & \equiv (k+1) (k+2) \\ & \equiv k \cdot (k+1) + 2 \cdot ( k+1 ) \\ & \equiv 2p + 2 \cdot (k+1) \\ & \equiv 2 \left( p + (k+1 ) \right)\ \\ & \therefore \text{Habis Dibagi 2} \\ \end{align} $

Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.

$\therefore$ Karena untuk $n=1,2,3$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka $ n \left( n+1 \right)$ Habis Dibagi $2$ adalah berlaku atau benar (terbukti).

2. Buktikan pernyataan matematis berupa keterbagian berikut dengan induksi matematika untuk $n$ bilangan asli

$n^{3}+2n$ habis dibagi $3$

Alternatif Pembahasan: show

Misalkan $P\left ( n \right )$ adalah proposisi berikut;

$P\left ( n \right ): n^{3}+2n$ Habis Dibagi $3$

Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 1 \right ) :\ & (1)^{3}+2(1) \\ P\left ( 1 \right ) :\ & 3\ \text{HD.3} \\ \therefore P\left ( 1 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 2 \right ) :\ & (2)^{3}+2(2) \\ P\left ( 2 \right ) :\ & 12\ \text{HD.3} \\ \therefore P\left ( 2 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

kita coba untuk $n=3$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 3 \right ) :\ & (3)^{3}+2(3) \\ P\left ( 3 \right ) :\ & 27 + 6 \\ P\left ( 3 \right ) :\ & 33\ \text{HD.3} \\ \therefore P\left ( 3 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

Karena pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=1,2,3$, selanjutnya, kita anggap pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k$, sehingga berlaku:

$k^{3}+2k$ Habis Dibagi $3$ atau dapat kita tuliskan bahwa $k^{3}+2k \equiv 3m$ dimana $m$ adalah bilangan asli

Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Akan ditunjukkan pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k+1$ atau berlaku:

$(k+1)^{3}+2(k+1)$ habis dibagi $3$

$\begin{align} (k+1)^{3}+2(k+1) & \equiv (k+1)^{3}+2k+2 \\ & \equiv k^{3}+3k^{2}+3k+1+2k+2 \\ & \equiv k^{3}+2k+3k^{2}+3k+3 \\ & \equiv 3m + 3k^{2}+ 3k+3 \\ & \equiv 3 \left( m + k^{2}+ k+1 \right) \\ & \therefore \text{Habis Dibagi 3} \\ \end{align} $

Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.

$\therefore$ Karena untuk $n=1,2,3$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka $ n^{3}+2n$ Habis Dibagi $3$ adalah berlaku atau benar (terbukti).

3. Buktikan pernyataan matematis berupa keterbagian berikut dengan induksi matematika untuk $n$ bilangan asli

$8n^{3}-5n$ habis dibagi $3$

Alternatif Pembahasan: show

Misalkan $P\left ( n \right )$ adalah proposisi berikut;

$P\left ( n \right ): 8n^{3}-5n$ Habis Dibagi $3$

Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 1 \right ) :\ & 8(1)^{3}-5(1) \\ P\left ( 1 \right ) :\ & 3\ \text{HD.3} \\ \therefore P\left ( 1 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 2 \right ) :\ & 8(2)^{3}-5(2) \\ P\left ( 2 \right ) :\ & 64-10 \\ P\left ( 2 \right ) :\ & 54\ \text{HD.3} \\ \therefore P\left ( 2 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

kita coba untuk $n=3$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 3 \right ) :\ & 8(3)^{3}-5(3) \\ P\left ( 3 \right ) :\ & 3 \cdot (72-5)\ \text{HD.3} \\ \therefore P\left ( 3 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

Karena pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=1,2,3$, selanjutnya, kita anggap pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k$, sehingga berlaku:

$8k^{3}-5k$ Habis Dibagi $3$ atau dapat kita tuliskan bahwa $8k^{3}-5k \equiv 3m$ dimana $m$ adalah bilangan asli

Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Akan ditunjukkan pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k+1$ atau berlaku:

$8(k+1)^{3}-5(k+1)$ habis dibagi $3$

$\begin{align} 8(k+1)^{3}-5(k+1) & \equiv 8(k+1)^{3}-5k-5 \\ & \equiv 8\left( k^{3}+3k^{2}+3k+1 \right)-5k-5 \\ & \equiv 8k^{3}+24k^{2}+24k+8 -5k-5 \\ & \equiv 8k^{3}-5k+24k^{2}+24k+3 \\ & \equiv 3m +24k^{2}+24k+3 \\ & \equiv 3 \left(m +8k^{2}+8k+1 \right) \\ & \therefore \text{Habis Dibagi 3} \\ \end{align} $

Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.

$\therefore$ Karena untuk $n=1,2,3$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka $ 8n^{3}-5n$ Habis Dibagi $3$ adalah berlaku atau benar (terbukti).

4. Buktikan pernyataan matematis berupa keterbagian berikut dengan induksi matematika untuk $n$ bilangan asli

$3^{2n}-1$ habis dibagi $8$

Alternatif Pembahasan: show

Misalkan $P\left ( n \right )$ adalah proposisi berikut;

$P\left ( n \right ): 3^{2n}-1$ habis dibagi $8$

Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 1 \right ) :\ & 3^{2(1)}-1 \\ P\left ( 1 \right ) :\ & 9-1 \\ P\left ( 1 \right ) :\ & 8\ \text{HD.8} \\ \therefore P\left ( 1 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 2 \right ) :\ & 3^{2(2)}-1 \\ P\left ( 2 \right ) :\ & 81-1 \\ P\left ( 2 \right ) :\ & 80\ \text{HD.8} \\ \therefore P\left ( 2 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

kita coba untuk $n=3$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh

$\begin{align} P\left ( 3 \right ) :\ & 3^{2(3)}-1 \\ P\left ( 3 \right ) :\ & 729-1 \\ P\left ( 3 \right ) :\ & 728\ \text{HD.8} \\ \therefore P\left ( 3 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$

Karena pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=1,2,3$, selanjutnya, kita anggap pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k$, sehingga berlaku:

$3^{2k}-1$ Habis Dibagi $3$ atau dapat kita tuliskan bahwa $3^{2k}-1 \equiv 8m$ dimana $m$ adalah bilangan asli

Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Akan ditunjukkan pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k+1$ atau berlaku:

$3^{2(k+1)}-1$ habis dibagi $8$

$\begin{align} 3^{2(k+1)}-1 & \equiv 3^{2k+2}-1 \\ & \equiv 3^{2k} \cdot 3^{2} -1 \\ & \equiv 3^{2k} \cdot 9 - 9 + 8 \\ & \equiv 9 \cdot \left( 3^{2k} - 1 \right) + 8 \\ & \equiv 9 \cdot 8m + 8 \\ & \equiv 8 \left( 9 \cdot m + 1 \right) \\ & \therefore \text{Habis Dibagi 8} \\ \end{align} $

Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.

$\therefore$ Karena untuk $n=1,2,3$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka $ 3^{2n}-1$ Habis Dibagi $8$ adalah berlaku atau benar (terbukti).

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Saran, Kritik atau Masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian Cara Mudah Memahami Soal dan Pembahasan Induksi Matematika Pada Barisan, Ketidaksamaan dan Keterbagiaan di atas sangat diharapkan😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Mengerjakan pembagian pecahan super keren;