Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari cara menggunakan metode pembuktian induksi matematika dalam menyelesaikan soal pembuktian pernyataan matematis berupa keterbagian. Manfaat belajar induksi matematika antara lain: melatih kemampuan bernalar matematis, melatih kemampuan berargumen yang logis, dan melatih kemampuan komunikasi matematis.
Pada kurikulum 2013 berdasarkan Permendikbud Tahun 2016 Nomor 024 Lampiran 16 yang mengatur tentang Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar Matematika SMA disampaikan kompetensi dasar siswa salah satunya "Menjelaskan metode pembuktian Pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagiaan dengan induksi matematika". Jadi induksi matematika diharapkan dapat dipahami anak didik sejak SMA kelas XI melalui mata pelajaran matematika wajib
Untuk mempermudah mempelajari induski matematika ini, catatan terkait induksi matematika kita bagi dalam tiga bagian besar yaitu:
- Cara Menggunakan Metode Pembuktian Induksi Matematika Pada Pernyataan Matematis Berupa Barisan
- Cara Menggunakan Metode Pembuktian Induksi Matematika Pada Pernyataan Matematis Berupa Keterbagian
- Cara Menggunakan Metode Pembuktian Induksi Matematika Pada Pernyataan Matematis Berupa Ketidaksamaan
Metode Pembuktian Pernyataan Matematis Berupa Keterbagian Dengan Induksi Matematika
Dalam berpikir ada dua cara berpikir, ada cara Deduksi dan Induksi. Dalam KBBI dikatakan deduksi/de·duk·si/ /déduksi/ adalah penarikan kesimpulan dari keadaan yang umum; penyimpulan dari yang umum ke yang khusus;.
Sedangkan Induksi dalam KBBI dikatakan induksi/in·duk·si/ adalah metode pemikiran yang bertolak dari kaidah (hal-hal atau peristiwa) khusus untuk menentukan hukum (kaidah) yang umum; penarikan kesimpulan berdasarkan keadaan yang khusus untuk diperlakukan secara umum; penentuan kaidah umum berdasarkan kaidah khusus;.
Dalam matematika cara berfikir Induksi tidak dianjurkan, tetapi yang digunakan adalah Induksi Matematika. Induksi matematika itu pada dasarnya adalah ingin mulai dari beberapa yang khusus lalu akan disimpulkan untuk seluruh bilangan asli.
Pada seri webinar guru belajar paparan bapak Wiworo disampaikan sejarah singkat induksi matematika. Francesco Maurolico (1494-1575) orang pertama yang menggunakan teknik induksi matematika (secara informasl) untuk membuktikan jumlah $n$ bilangan positif ganjil yang pertama dalam buku Arithmeticorum Libri Duo. Blaise Pascal (1653) memberi gambaran jelas tentang teknik induksi matematis. Augustus De Morgan (1838) orang pertama yang menggunakan secara formal dan memberi nama induksi matematis.
Pada buku Matematika SMU Kelas I untuk KBK dan Sistem Semester karangan Bapak Dr.Oki Neswan dan Bapak Dr.Wono Setya Budhi disampaikan bahwa teknik induksi matematika sangat sederhana.
Basis Induksi
Buktikan $P\left ( 1 \right )$ benar.Langkah Induksi
Buktikan untuk tiap $k$ bilangan asli $P\left ( k \right ) \rightarrow P\left ( k+1 \right )$.
Mengapa kedua langkah di atas cukup untuk membuktikan tak berhingga buah pernyataan $P\left ( n \right )$?. Secara intuitif hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut:
Karena $P\left ( 1 \right )$ berlaku pada basis induksi dan $P\left ( 1 \right ) \rightarrow P\left ( 2 \right )$ juga berlaku pada langkah induksi, maka dengan Modus Ponens kita peroleh $P\left ( 2 \right )$ berlaku.
Tapi kita juga tahu bahwa $P\left ( 2 \right ) \rightarrow P\left ( 3 \right )$ benar, sehingga kembali dengan Modus Ponens, $P\left ( 3 \right)$ berlaku atau benar dan seterusnya.
Berapapun nilai $n$, kita dapat membuktikannya dengan meneruskan proses ini sampai kita mencapai $P\left ( n \right )$ berlaku.
Jadi, kita telah membuktikan $P\left ( n \right )$ untuk tiap $n$ anggota bilangan asli, dengan induksi matematika.
Soal Latihan dan Pembahasan Metode Pembuktian Pernyataan Matematis Berupa Keterbagian Dengan Induksi Matematika
1. Dengan induksi matematika buktikan pernyataan matematis berikut:
$n^{3}-n$ selalu Habis Dibagi (HD) oleh $6$ untuk setiap $n$ bilangan asli
Alternatif Pembahasan:
Langkah I
Misalkan $P\left ( n \right )$ adalah proposisi berikut;
$P\left ( n \right )$:$n^{3}-n$
Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 1 \right )$:$1^{3}-1$
$P\left ( 1 \right )$:$0$ HD $6$
$\therefore P\left ( 1 \right )$ berlaku atau benar.
kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 2 \right )$:$2^{3}-2$
$P\left ( 2 \right )$:$6$ HD $6$
$\therefore P\left ( 2 \right )$ berlaku atau benar.
Langkah II
Karena pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=1,2,3$, selanjutnya, kita anggap pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k$, sehingga berlaku:
$k^{3}-k$ HD $6$ atau dengan kata lain bahwa $k^{3}-k$ sebuah bilangan kelipatan $6$
Langkah III
Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Akan kita buktikan berikutnya untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar,
untuk $n=k+1$ maka $n^{3}-n$
$=\left ( k+1 \right )^{3}-\left ( k+1 \right )$
$=\left ( k+1 \right ) \left[ \left ( k+1 \right )^{2}-1 \right]$
$=\left ( k+1 \right ) \left[ k^{2}+2k\right]$
$=\left ( k+1 \right ) \left ( k \right )\left ( k+2 \right )$
$=\left ( k \right ) \left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )$
untuk $k$ bilangan asli maka $\left ( k \right )$, $\left ( k+1 \right )$, dan $\left ( k+2 \right )$ adalah tiga bilangan asli berurutan.
Karena perkalian tiga bilangan asli berurutan selalu habis dibagi $6$ maka $\left ( k \right ) \left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )$ HD $6$. Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.
$\therefore$ Karena untuk $n=1$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar, maka $n^{3}-n$ selalu Habis Dibagi oleh $6$ untuk setiap $n$ bilangan asli.
2. Buktikan pernyataan matematis berupa keterbagian berikut dengan induksi matematika untuk $n$ bilangan asli
$n \left( n+1 \right)$ habis dibagi $2$
Alternatif Pembahasan:
Misalkan $P\left ( n \right )$ adalah proposisi berikut;
| $P\left ( n \right ): n \left( n+1 \right)$ Habis Dibagi $2$ |
| $\begin{align} P\left ( 1 \right ) :\ & 1 \left( 1+1 \right) \\ P\left ( 1 \right ) :\ & 2\ \text{HD.2} \\ \therefore P\left ( 1 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$ |
kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
| $\begin{align} P\left ( 2 \right ) :\ & 2 \left( 2+1 \right) \\ P\left ( 2 \right ) :\ & 6\ \text{HD.2} \\ \therefore P\left ( 2 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$ |
kita coba untuk $n=3$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
| $\begin{align} P\left ( 3 \right ) :\ & 3 \left( 3+1 \right) \\ P\left ( 3 \right ) :\ & 12\ \text{HD.2} \\ \therefore P\left ( 3 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$ |
Karena pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=1,2,3$, selanjutnya, kita anggap pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k$, sehingga berlaku:
| $k \left( k+1 \right)$ Habis Dibagi $2$ atau dapat kita tuliskan bahwa $k \left( k+1 \right) \equiv 2p$ dimana $p$ adalah bilangan asli |
Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Akan ditunjukkan pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k+1$ atau berlaku:
| $(k+1) \left( k+1+1 \right)$ Habis Dibagi $2$ |
| $\begin{align} (k+1) (k+1+1) & \equiv (k+1) (k+2) \\ & \equiv k \cdot (k+1) + 2 \cdot ( k+1 ) \\ & \equiv 2p + 2 \cdot (k+1) \\ & \equiv 2 \left( p + (k+1 ) \right)\ \\ & \therefore \text{Habis Dibagi 2} \\ \end{align} $ |
| $\therefore$ Karena untuk $n=1,2,3$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka $ n \left( n+1 \right)$ Habis Dibagi $2$ adalah berlaku atau benar (terbukti). |
3. Buktikan pernyataan matematis berupa keterbagian berikut dengan induksi matematika untuk $n$ bilangan asli
$n^{3}+2n$ habis dibagi $3$
Alternatif Pembahasan:
Misalkan $P\left ( n \right )$ adalah proposisi berikut;
| $P\left ( n \right ): n^{3}+2n$ Habis Dibagi $3$ |
| $\begin{align} P\left ( 1 \right ) :\ & (1)^{3}+2(1) \\ P\left ( 1 \right ) :\ & 3\ \text{HD.3} \\ \therefore P\left ( 1 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$ |
kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
| $\begin{align} P\left ( 2 \right ) :\ & (2)^{3}+2(2) \\ P\left ( 2 \right ) :\ & 12\ \text{HD.3} \\ \therefore P\left ( 2 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$ |
kita coba untuk $n=3$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
| $\begin{align} P\left ( 3 \right ) :\ & (3)^{3}+2(3) \\ P\left ( 3 \right ) :\ & 27 + 6 \\ P\left ( 3 \right ) :\ & 33\ \text{HD.3} \\ \therefore P\left ( 3 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$ |
Karena pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=1,2,3$, selanjutnya, kita anggap pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k$, sehingga berlaku:
| $k^{3}+2k$ Habis Dibagi $3$ atau dapat kita tuliskan bahwa $k^{3}+2k \equiv 3m$ dimana $m$ adalah bilangan asli |
Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Akan ditunjukkan pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k+1$ atau berlaku:
| $(k+1)^{3}+2(k+1)$ habis dibagi $3$ |
| $\begin{align} (k+1)^{3}+2(k+1) & \equiv (k+1)^{3}+2k+2 \\ & \equiv k^{3}+3k^{2}+3k+1+2k+2 \\ & \equiv k^{3}+2k+3k^{2}+3k+3 \\ & \equiv 3m + 3k^{2}+ 3k+3 \\ & \equiv 3 \left( m + k^{2}+ k+1 \right) \\ & \therefore \text{Habis Dibagi 3} \\ \end{align} $ |
| $\therefore$ Karena untuk $n=1,2,3$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka $ n^{3}+2n$ Habis Dibagi $3$ adalah berlaku atau benar (terbukti). |
4. Buktikan pernyataan matematis berupa keterbagian berikut dengan induksi matematika untuk $n$ bilangan asli
$8n^{3}-5n$ habis dibagi $3$
Alternatif Pembahasan:
Misalkan $P\left ( n \right )$ adalah proposisi berikut;
| $P\left ( n \right ): 8n^{3}-5n$ Habis Dibagi $3$ |
| $\begin{align} P\left ( 1 \right ) :\ & 8(1)^{3}-5(1) \\ P\left ( 1 \right ) :\ & 3\ \text{HD.3} \\ \therefore P\left ( 1 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$ |
kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
| $\begin{align} P\left ( 2 \right ) :\ & 8(2)^{3}-5(2) \\ P\left ( 2 \right ) :\ & 64-10 \\ P\left ( 2 \right ) :\ & 54\ \text{HD.3} \\ \therefore P\left ( 2 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$ |
kita coba untuk $n=3$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
| $\begin{align} P\left ( 3 \right ) :\ & 8(3)^{3}-5(3) \\ P\left ( 3 \right ) :\ & 3 \cdot (72-5)\ \text{HD.3} \\ \therefore P\left ( 3 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$ |
Karena pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=1,2,3$, selanjutnya, kita anggap pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k$, sehingga berlaku:
| $8k^{3}-5k$ Habis Dibagi $3$ atau dapat kita tuliskan bahwa $8k^{3}-5k \equiv 3m$ dimana $m$ adalah bilangan asli |
Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Akan ditunjukkan pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k+1$ atau berlaku:
| $8(k+1)^{3}-5(k+1)$ habis dibagi $3$ |
| $\begin{align} 8(k+1)^{3}-5(k+1) & \equiv 8(k+1)^{3}-5k-5 \\ & \equiv 8\left( k^{3}+3k^{2}+3k+1 \right)-5k-5 \\ & \equiv 8k^{3}+24k^{2}+24k+8 -5k-5 \\ & \equiv 8k^{3}-5k+24k^{2}+24k+3 \\ & \equiv 3m +24k^{2}+24k+3 \\ & \equiv 3 \left(m +8k^{2}+8k+1 \right) \\ & \therefore \text{Habis Dibagi 3} \\ \end{align} $ |
| $\therefore$ Karena untuk $n=1,2,3$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka $ 8n^{3}-5n$ Habis Dibagi $3$ adalah berlaku atau benar (terbukti). |
5. Buktikan pernyataan matematis berupa keterbagian berikut dengan induksi matematika untuk $n$ bilangan asli
$3^{2n}-1$ habis dibagi $8$
Alternatif Pembahasan:
Misalkan $P\left ( n \right )$ adalah proposisi berikut;
| $P\left ( n \right ): 3^{2n}-1$ habis dibagi $8$ |
| $\begin{align} P\left ( 1 \right ) :\ & 3^{2(1)}-1 \\ P\left ( 1 \right ) :\ & 9-1 \\ P\left ( 1 \right ) :\ & 8\ \text{HD.8} \\ \therefore P\left ( 1 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$ |
kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
| $\begin{align} P\left ( 2 \right ) :\ & 3^{2(2)}-1 \\ P\left ( 2 \right ) :\ & 81-1 \\ P\left ( 2 \right ) :\ & 80\ \text{HD.8} \\ \therefore P\left ( 2 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$ |
kita coba untuk $n=3$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
| $\begin{align} P\left ( 3 \right ) :\ & 3^{2(3)}-1 \\ P\left ( 3 \right ) :\ & 729-1 \\ P\left ( 3 \right ) :\ & 728\ \text{HD.8} \\ \therefore P\left ( 3 \right )\ & \text{berlaku atau benar}. \end{align}$ |
Karena pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=1,2,3$, selanjutnya, kita anggap pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k$, sehingga berlaku:
| $3^{2k}-1$ Habis Dibagi $3$ atau dapat kita tuliskan bahwa $3^{2k}-1 \equiv 8m$ dimana $m$ adalah bilangan asli |
Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Akan ditunjukkan pernyataan $P\left ( n \right )$ benar untuk $n=k+1$ atau berlaku:
| $3^{2(k+1)}-1$ habis dibagi $8$ |
| $\begin{align} 3^{2(k+1)}-1 & \equiv 3^{2k+2}-1 \\ & \equiv 3^{2k} \cdot 3^{2} -1 \\ & \equiv 3^{2k} \cdot 9 - 9 + 8 \\ & \equiv 9 \cdot \left( 3^{2k} - 1 \right) + 8 \\ & \equiv 9 \cdot 8m + 8 \\ & \equiv 8 \left( 9 \cdot m + 1 \right) \\ & \therefore \text{Habis Dibagi 8} \\ \end{align} $ |
| $\therefore$ Karena untuk $n=1,2,3$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka $ 3^{2n}-1$ Habis Dibagi $8$ adalah berlaku atau benar (terbukti). |
6. Dengan induksi matematika buktikan pernyataan matematis berikut:
$x^{n}-1$ habis dibagi oleh $x-1$, $x\neq 1$ dengan $n$ adalah bilangan asli
Alternatif Pembahasan:
Langkah I
Misalkan $P\left ( n \right )$ adalah proposisi berikut;
$P\left ( n \right )$:$x^{n}-1$ habis dibagi oleh $x-1$
Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 1 \right )$:$x^{1}-1$
$P\left ( 1 \right )$:$x-1$ habis dibagi oleh $x-1$
$\therefore P\left ( 1 \right )$ berlaku atau benar.
kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 2 \right )$:$x^{2}-1$
$P\left ( 2 \right )$:$\left ( x-1 \right )\left ( x+1 \right )$ habis dibagi oleh $x-1$
$\therefore P\left ( 2 \right )$ berlaku atau benar.
Langkah II
Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Misalkan $k$ sebuah bilangan asli, untuk $n=k$ pada $P\left ( n \right )$ adalah benar, sehingga berlaku
$P\left ( n \right )$:$x^{k}-1$ habis dibagi oleh $x-1$
Langkah III
Akan kita buktikan berikutnya untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar, yaitu:
untuk $n=k+1$ maka $x^{n}-1$
$=x^{k+1}-1$
$=x^{k} \cdot x^{1}-1$
$=x^{k} \cdot x-1$$-x+x$
$=x^{k} \cdot x-x+x-1$
$=x\left (x^{k}-1 \right )+x-1$
Jika $\left (x^{k}-1 \right )$ adalah kelipatan $\left (x-1 \right )$ maka $x\left (x^{k}-1 \right ) $ adalah kelipatan $\left (x-1 \right )$.
Jika $x\left (x^{k}-1 \right ) $ dan $\left (x -1 \right ) $ adalah keliapatan $\left (x-1 \right ) $ maka $x\left (x^{k}-1 \right )+x-1$ adalah kelipatan $\left (x-1 \right )$.
Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.
$\therefore$ Karena untuk $n=1$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka
$x^{n}-1$ habis dibagi oleh $x-1$, $x\neq 1$ dengan $n$ bilangan asli adalah benar $(berlaku)$.
7. Dengan induksi matematika buktikan pernyataan matematis berikut:
Salah satu faktor dari $n^{3}+3n^{2}+2n$ adalah $3$, $n$ bilangan asli
Alternatif Pembahasan:
Pada soal disebutkan 'salah satu faktornya adalah 3' untuk menyelesaikan masalah ini konsepnya sama dengan masalah 'habis dibagi 3'. Untuk lebih jelasnya mari kita coba buktikan;
Langkah I
Misalkan $P\left ( n \right )$ adalah proposisi berikut;
$P\left ( n \right )$:$n^{3}+3n^{2}+2n$
Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 1 \right )$:$1^{3}+3 \cdot 1^{2}+2 \cdot 1 $
$P\left ( 1 \right )$:$1+3+2$
$P\left ( 1 \right )$:$6$ salah satu faktornya adalah $3$
$\therefore P\left ( 1 \right )$ berlaku atau benar.
kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 2 \right )$:$2^{3}+3 \cdot 2^{2}+2 \cdot 2 $
$P\left ( 2 \right )$:$8+12+4$
$P\left ( 2 \right )$:$24$ salah satu faktornya adalah $3$
$\therefore P\left ( 2 \right )$ berlaku atau benar.
Langkah II
Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Misalkan $k$ sebuah bilangan asli, untuk $n=k$ pada $P\left ( n \right )$ adalah benar, sehingga berlaku
$P\left ( k \right )$:$k^{3}+3k^{2}+2k$ salah satu faktornya adalah $3$.
Langkah III
Akan kita buktikan berikutnya untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar, yaitu:
untuk $n=k+1$ maka $n^{3}+3n^{2}+2n$
$=\left (k+1 \right )^{3}+3\left (k+1 \right )^{2}+2\left (k+1 \right )$
$=\left (k+1 \right )^{3}+3\left (k+1 \right )^{2}+2\left (k+1 \right )$
$=k^{3}+3k^{2}+3k+1+3k^{2}+6k+3+2k+2$
$=k^{3}+6k^{2}+11k+6$
$=k^{3}+3k^{2}+2k+3k^{2}+9k+6$
$=k^{3}+3k^{2}+2k+3\left (k^{2}+3k+2 \right )$
Karena $k^{3}+3k^{2}+2k$ salah satu faktornya adalah $3$ dan $3\left (k^{2}+3k+2 \right )$ adalah kelipatan $3$ maka $=k^{3}+3k^{2}+2k+3\left (k^{2}+3k+2 \right )$ salah satu faktornya adalah $3$.
Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.
$\therefore$ Karena untuk $n=1$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka
Salah satu faktor dari $n^{3}+3n^{2}+2n$ adalah $3$, $n$ bilangan asli adalah benar (berlaku).
8. Dengan induksi matematika buktikan pernyataan matematis berikut:
Salah satu faktor dari $2^{2n-1}+3^{2n-1}$ adalah $5$, $n$ bilangan asli
Alternatif Pembahasan:
Pada soal disebutkan 'salah satu faktornya adalah 5' untuk menyelesaikan masalah ini konsepnya sama dengan masalah 'habis dibagi 5'. Untuk lebih jelasnya mari kita coba buktikan;
Langkah I
Misalkan $P\left ( n \right )$ adalah proposisi berikut;
$P\left ( n \right )$:$2^{2n-1}+3^{2n-1}$
Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 1 \right )$:$2^{2 \cdot 1-1}+3^{2 \cdot 1-1}$
$P\left ( 1 \right )$:$2^{1}+3^{1}$
$P\left ( 1 \right )$:$5$ salah satu faktornya adalah $5$
$\therefore P\left ( 1 \right )$ berlaku atau benar.
kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 2 \right )$:$2^{2 \cdot 2-1}+3^{2 \cdot 2-1}$
$P\left ( 2 \right )$:$2^{3}+3^{3}$
$P\left ( 2 \right )$:$35$ salah satu faktornya adalah $5$
$\therefore P\left ( 2 \right )$ berlaku atau benar.
Langkah II
Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Misalkan $k$ sebuah bilangan asli, untuk $n=k$ pada $P\left ( n \right )$ adalah benar, sehingga berlaku
$P\left ( k \right )$:$2^{2k-1}+3^{2k-1}$ salah satu faktornya adalah $5$.
Langkah III
Akan kita buktikan berikutnya untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar, yaitu:
untuk $n=k+1$ maka $2^{2n-1}+3^{2n-1}$
$=2^{2\left (k+1 \right )-1}+3^{2\left (k+1 \right )-1}$
$=2^{2k+2-1}+3^{2k+2-1}$
$=2^{2k+1}+3^{2k+1}$
$=2^{2k} \cdot 2^{1}+3^{2k} \cdot 3^{1} $
$=2^{2k} \cdot 2+3^{2k} \cdot 3 $
$=2^{2k} \cdot 2^{-1}\cdot 2^{2}+3^{2k} \cdot 3^{-1} \cdot 3^{2} $
$=2^{2k-1} \cdot 4+3^{2k-1} \cdot 9 $
$=2^{2k-1} \left ( 5-1 \right )+3^{2k-1} \left ( 10-1 \right ) $
$=5 \cdot 2^{2k-1}-\cdot 2^{2k-1}+10 \cdot 3^{2k-1}-3^{2k-1}$
$=5 \cdot 2^{2k-1}+10 \cdot 3^{2k-1}-2^{2k-1}-3^{2k-1}$
$=5\left ( 2^{2k-1}+2 \cdot 3^{2k-1} \right )-\left ( 2^{2k-1}+3^{2k-1} \right )$
Karena $\left ( 2^{2k-1}+3^{2k-1} \right )$ salah satu faktornya adalah $5$ dan $5 \left( 2^{2k-1}+2 \cdot 3^{2k-1} \right )$ adalah kelipatan $5$ maka $=5\left ( 2^{2k-1}+2 \cdot 3^{2k-1} \right )-\left ( 2^{2k-1}+3^{2k-1} \right )$ salah satu faktornya adalah $5$.
Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.
$\therefore$ Karena untuk $n=1$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka
Salah satu faktor dari $2^{2n-1}+3^{2n-1}$ adalah $5$, $n$ bilangan asli adalah benar (berlaku).
9. Dengan induksi matematika buktikan pernyataan matematis berikut:
$41^{n}-14^{n}$ adalah kelipatan $27$
Alternatif Pembahasan:
Langkah I
Misalkan $P\left ( n \right )$ adalah proposisi berikut;
$P\left ( n \right )$:$41^{n}-14^{n}$
Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 1 \right )$:$41^{1}-14^{1}$
$P\left ( 1 \right )$:$27$
$P\left ( 1 \right )$:$27$ salah satu faktornya adalah $27$
$\therefore P\left ( 1 \right )$ berlaku atau benar.
kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 2 \right )$:$41^{2}-14^{2}$
$P\left ( 2 \right )$:$1681-196$
$P\left ( 2 \right )$:$1485$ salah satu faktornya adalah $27$
$\therefore P\left ( 2 \right )$ berlaku atau benar.
Langkah II
Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Misalkan $k$ sebuah bilangan asli, untuk $n=k$ pada $P\left ( n \right )$ adalah benar, sehingga berlaku
$P\left ( k \right )$:$41^{k}-14^{k}$ adalah kelipatan $27$.
Langkah III
Akan kita buktikan berikutnya untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar, yaitu:
untuk $n=k+1$ maka $41^{n}-14^{n}$
$=41^{\left (k+1 \right )}-14^{\left (k+1 \right )}$
$=41^{k} \cdot 41^{1}-14^{k} \cdot 14^{1}$
$=41^{k} \cdot 41-14^{k} \cdot 14$
$=41^{k} \left ( 27+14 \right )-14^{k} \cdot 14$
$=27 \cdot 41^{k} + 14 \cdot 41^{k} -14^{k} \cdot 14$
$=27 \cdot 41^{k} + 14 \left ( 41^{k} -14^{k} \right )$
Karena $14 \left ( 41^{k} -14^{k} \right )$ adalah kelipatan $27$ dan $27 \cdot 41^{k}$ adalah kelipatan $27$ maka $=27 \cdot 41^{k} + 14 \left ( 41^{k} -14^{k} \right )$ adalah kelipatan $27$.
Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.
$\therefore$ Karena untuk $n=1$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka
$41^{n}-14^{n}$ adalah kelipatan $27$ adalah benar (berlaku).
10. Dengan induksi matematika buktikan pernyataan matematis berikut:
$4007^{n}-1$ habis dibagi $2003$
Alternatif Pembahasan:
Langkah I
Misalkan $P\left ( n \right )$ adalah proposisi berikut;
$P\left ( n \right )$:$4007^{n}-1$
Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 1 \right )$:$4007^{1}-1$
$P\left ( 1 \right )$:$4006$ habis dibagi $2003$
$\therefore P\left ( 1 \right )$ berlaku atau benar.
kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 2 \right )$:$4007^{2}-1$
$P\left ( 2 \right )$:$16.056.049-1$
$P\left ( 2 \right )$:$16.056.048$ habis dibagi $2003$
$\therefore P\left ( 2 \right )$ berlaku atau benar.
Langkah II
Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Misalkan $k$ sebuah bilangan asli, untuk $n=k$ pada $P\left ( n \right )$ adalah benar, sehingga berlaku
$P\left ( k \right )$:$4007^{k}-1$ habis dibagi $2003$.
Langkah III
Akan kita buktikan berikutnya untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar, yaitu:
untuk $n=k+1$ maka $4007^{n}-1$
$=4007^{k+1}-1$
$=4007^{k} \cdot 4007^{1}-1$
$=4007^{k} \cdot 4007-4007+4006$
$=4007 \left ( 4007^{k}-1 \right )+4006$
Karena $\left ( 4007^{k}-1 \right )$ habis dibagi $2003$ maka $4007 \left ( 4007^{k}-1 \right )$ juga habis dibagi $2003$ dan $4006$ habis dibagi $2003$ maka $4007 \left ( 4007^{k}-1 \right )+4006$ habis dibagi $2003$
Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.
$\therefore$ Karena untuk $n=1$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka
$4007^{n}-1$ adalah kelipatan $2003$ adalah benar (berlaku).
11. Dengan induksi matematika buktikan pernyataan matematis berikut:
$2002^{n+2}+2003^{2n+1}$ habis dibagi $4005$
Alternatif Pembahasan:
Langkah I
Misalkan $P\left ( n \right )$ adalah proposisi berikut;
$P\left ( n \right )$:$2002^{n+2}+2003^{2n+1}$
Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 1 \right )$:$2002^{1+2}+2003^{2+1}$
$P\left ( 1 \right )$:$2002^{3}+2003^{3}$ habis dibagi $4005$
$\therefore P\left ( 1 \right )$ berlaku atau benar.
untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 2 \right )$:$2002^{2+2}+2003^{4+1}$
$P\left ( 1 \right )$:$2002^{4}+2003^{5}$ tidak habis dibagi $4005$
$\therefore P\left ( 2 \right )$ tidak berlaku atau tidak benar.
$\therefore$ Karena untuk $n=2$ tidak benar atau tidak berlaku maka
$2002^{n+2}+2003^{2n+1}$ habis dibagi $4005$ tidak berlaku atau tidak benar
Catatan tentang Soal dan Pembahasan Induksi Matematika Pada Pernyataan Matematis Berupa Keterbagian di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan.
