Calon guru belajar matematika SMA lewat cara menghitung luas segitiga jika diketahui panjang dua sisi dan besar satu sudut. Rumus untuk menghitung luas segitiga jika diketahui panjang dua sisi dan besar satu sudut diperoleh dari pengembangan rumus luas segitiga $ \dfrac{1}{2}\cdot \text{alas} \cdot \text{tinggi}$ dan sedikit tambahan trigonometri.
Pada sebuah segitiga jika diketahui panjang sisi $a$ dan sisi $b$ dan sebuah sudut yang di bentuk oleh sisi-sisi yang diketahui misalkan sudut $C$, luas segitiga tersebut adalah adalah $L= \dfrac{1}{2}\cdot a \cdot b \cdot \sin C $.
Rumus luas segitiga $ABC$ yang sudah kita ketahui sejak SD (Sekolah Dasar) adalah $\left[ ABC \right] = \dfrac{1}{2}\cdot \text{alas} \cdot \text{tinggi} $, sebagai ilustrasi kita gunakan segitiga berikut; dimana panjang sisi $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$ dan $CD$ adalah garis tinggi.
Kita perhatikan segitiga $ ACD $ adalah segitiga siku-siku sehingga berlaku perbandingan trigonometri.
$\begin{align}
\sin A &=\dfrac{CD}{AC} \\
\sin A & =\dfrac{CD}{b} \\
CD &=b\ \sin A\ \cdots && \left[ pers.(1) \right]
\end{align}$
Dengan menggunakan rumus dasar luas segitiga;
$\begin{align}
\left[ ABC \right] &= \dfrac{1}{2}\cdot \text{alas} \cdot \text{tinggi} \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot CD \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot c \cdot CD \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot c \cdot b\ \cdot \sin A \\
&= \dfrac{1}{2}\ bc\ \sin A
\end{align}$
Inilah yang sering disebut dengan rumus luas segitiga jika diketahui dua sisi dan satu sudut, dimana sisi yang diketahui adalah sisi yang membentuk sudut yang besarnya juga diketahui.
Dengan cara yang sama, jika kita tarik garis tinggi dari titik $B$ ke $AC$ dan dilakukan seperti proses di atas akan diperoleh persamaan:
$\left[ ABC \right]= \dfrac{1}{2}\cdot a \cdot c \cdot \sin B $.
Sedangkan jika ditarik garis tinggi dari titik $A$ ke $BC$ lalu dilakukan kembali seperti proses diatas akan diperoleh persamaan $\left[ ABC \right]= \dfrac{1}{2}\cdot a \cdot b \cdot \sin C $.
Luas Segitiga Jika Diketahui Panjang Dua Sisi dan Besar Satu Sudut
- $\left[ ABC \right]= \dfrac{1}{2} bc\ \sin A $
- $\left[ ABC \right]= \dfrac{1}{2} ac\ \sin B $
- $\left[ ABC \right]= \dfrac{1}{2} ab\ \sin C $
Katanya belajar matematika itu tanpa contoh soal, ibarat sayur tanpa garam, jadi berikut kita coba tampilkan contoh soal yang bisa diselesaikan dengan rumus luas segitiga jika diketahui panjang dua sisi dan besar satu sudut.
Sebagai latihan sebelum disimak alternatif pembahasaannya ada baiknya untuk terlebih dahulu dicoba. Soal latihan kita pilih dari modul luas segitiga matematika SMA dan soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
1. Soal Latihan Luas Segitiga
Tentukan luas segitiga $ABC$ jika diketahui sisi $BC=4\ cm$, $AC=7 \sqrt{3}\ cm$, dan $\angle C=60^{\circ}$.
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Pada segitiga $ABC$ diketahui sisi $BC=4$, $AC=7 \sqrt{3}$ dan $\angle C=60^{\circ}$. Unsur-unsur yang diketahui yaitu dua sisi satu sudut dimana sudut yang diketahui adalah sudut yang dibentuk oleh dua sisi yang diketahui juga.
Dari unsur-unsur yang diketahui, kita dapat menghitung luas dengan aturan menghitung luas segitiga jika diketahui dua sisi satu sudut yaitu $L=\dfrac{1}{2}\ ab\ \sin C$
$\begin{align}
\left[ ABC \right] & = \dfrac{1}{2}\cdot 4 \cdot 7\sqrt{3} \cdot \sin 60^{\circ} \\
& = \dfrac{1}{2}\cdot 4 \cdot 7\sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\
& = \dfrac{1}{4}\cdot 4 \cdot 7\sqrt{9} \\
& = 21
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 21\ \text{cm}^{2}$
2. Soal Latihan Luas Segitiga
Tentukan luas $\bigtriangleup ABC$ jika diketahui panjang $a=15\ cm$, $c=10\ cm$, dan $\angle B =60^{\circ}$.
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan soal, ilustrasinya seperti berikut ini;
$\begin{align}
\left[ ABC \right] &= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot c\ \sin B \\ \\
&=\dfrac{1}{2}\cdot 15 \cdot 10 \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\
&=\dfrac{75}{2} \sqrt{3}\ cm^{2} \\
&=37,5\ \sqrt{3}\ cm^{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 37,5\ \sqrt{3}\ cm^{2}$
3. Soal Latihan Luas Segitiga
Diketahui segienam beraturan. Jika jari-jari lingkaran luar segienam beraturan adalah $10$ satuan, maka luas segienam tersebut adalah ... (satuan luas)
Alternatif Pembahasan:
Soal ini merupakan soal Ujian Nasional Matematika IPA tahun 2012
Dikatakan pada soal adalah lingkaran luar segienam beraturan, jika kita coba ilustrasikan soal diatas dengan gambar kira-kira gambarnya sebagai berikut:
Dengan panjang $OA=OB=10$ satuan, dan besar sudut $AOB$ adalah $60^{\circ}$ yang diperoleh dari $ \dfrac{360^{\circ}}{6}$
Segienam beraturan dibangun oleh $6$ segitiga yang kongruen sehingga untuk menghitung luas segienam beraturan diatas dapat kita hitung dengan menghitung luas sebuah segitiga yang membangun segienam tersebut lalu kita kalikan dengan $6$.
Luas segienam:
$\begin{align}
L &=\dfrac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\cdot \sin 60^{\circ} \cdot 6 \\
&=\dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 10\cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \cdot 6 \\
&=50 \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \cdot 6 \\
&=150\sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 150\sqrt{3}$
4. Soal Latihan Luas Segitiga
Diketahui jari-jari lingkaran luar segi-$8$ beraturan adalah $r$, Luas segi-$8$ yang dapat dibuat adalah.... (satuan luas)
Alternatif Pembahasan:
Soal ini merupakan soal Ujian Nasional Matematika IPA tahun 2013
Dikatakan pada soal adalah lingkaran luar segi-$8$ beraturan, jika kita coba ilustrasikan soal diatas dengan gambar kira-kira gambarnya sebagai berikut,
Dengan panjang $ OA=OB=r$, dan besar sudut $ AOB$ adalah $ 45^{\circ}$ yang diperoleh dari $\dfrac{360^{\circ}}{8}$
Segi-8 beraturan dibangun oleh $8$ segitiga yang kongruen sehingga untuk menghitung luas segi-$8$ beraturan diatas dapat kita hitung dengan menghitung luas sebuah segitiga yang membangun segi-$8$ tersebut lalu kita kalikan dengan $8$.
Luas segi-$8$ adalah:
$\begin{align}
L &=\dfrac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\cdot \sin 45^{\circ} \cdot 8 \\
&=\dfrac{1}{2}\cdot r \cdot r \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \cdot 8 \\
&=\dfrac{r^2}{4}\sqrt{2} \cdot 8 \\
&=\dfrac{r^2}{2}\sqrt{2} \\
&= \dfrac{1}{2}r^2\sqrt{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{2}r^{2}\sqrt{2}$
5. Soal Latihan Luas Segitiga
Tentukan luas $\bigtriangleup ABC$ jika diketahui $\angle B =45^{\circ}$, $\angle C =60^{\circ}$ dan $a =8\ cm$.
Alternatif Pembahasan:
Soal ini merupakan soal Ujian Nasional Matematika IPA tahun 2013
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan soal, ilustrasinya seperti berikut ini;
Dari gambar di atas, jika kita ingin menghitung luas segitiga dengan rumus "luas segitiga jika diketahui dua sisi dan satu sudut" kita masih kekurangan satu unsur yaitu $AB=c$ atau $AC=c$.
Panjang $b$ atau $c$ dapat kita hitung dengan menggunakan aturan sinus dimana $\angle A=180^{\circ}-45^{\circ}-60^{\circ}=75^{\circ}$ yaitu:
$\begin{align}
\dfrac{a}{\sin A} &= \dfrac{b}{\sin B} \\
\dfrac{8}{\sin 75} &= \dfrac{b}{\sin 45} \\
\dfrac{8}{\frac{1}{4} \left( \sqrt{6}+ \sqrt{2} \right)} &= \dfrac{b}{\dfrac{1}{2}\sqrt{2}} \\
\dfrac{32}{\sqrt{6}+ \sqrt{2}} &= \dfrac{b}{\dfrac{1}{2}\sqrt{2}} \\
\dfrac{32}{\sqrt{6}+ \sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} &= \dfrac{b}{\dfrac{1}{2}\sqrt{2}} \\
\dfrac{32\left(\sqrt{6} - \sqrt{2} \right)}{4}&= \dfrac{b}{\dfrac{1}{2}\sqrt{2}} \\
8\ \left(\sqrt{6} - \sqrt{2} \right) \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} &= b \\
4\ \left(\sqrt{12} - 2 \right) &= b \\
4\ \left(2\sqrt{3} - 2 \right) &= b
\end{align}$
Luas segitiga $ABC$ adalah;
$\begin{align}
\left[ ABC \right] &= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b\ \sin C \\
&=\dfrac{1}{2}\cdot 8 \cdot 4\ \left(2\sqrt{3} - 2 \right) \cdot \sin 60 \\
&=16\ \left(2\sqrt{3} - 2 \right) \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\
&=8\sqrt{3}\ \left(2\sqrt{3} - 2 \right) \\
&=48 - 16\sqrt{3}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 48 - 16\sqrt{3}$
6. Soal Latihan Luas Segitiga
Sebuah segitiga $ABC$ diketahui luasnya $18\ cm^{2}$. Jika panjang sisi $BC=4\ cm$ dan $AB=6 \sqrt{3}\ cm$, maka tentukanlah besar $\angle B= \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari unsur-unsur yang diketahui, kita dapat menggunakan aturan menghitung luas segitiga jika diketahui dua sisi satu sudut yaitu $L=\dfrac{1}{2}\ ab\ \sin C$
$\begin{align}
\left[ ABC \right] & = \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot AB \cdot \sin B \\
18 & = \dfrac{1}{2}\cdot 4 \cdot 6\sqrt{3} \cdot \sin B \\
18 & = 12 \sqrt{3} \cdot \sin B \\
\dfrac{18}{12 \sqrt{3}} & = \sin B \\
\dfrac{3}{2 \sqrt{3}} & = \sin B \\
\dfrac{1}{2}\sqrt{3} & = \sin B
\end{align}$
Tanpa menggunakan kalkulator kita mengetahui besar $\angle B$ karena $\sin B=\frac{1}{2} \sqrt{3}$ masih tergolong sudut istimewa yaitu $60^{\circ}$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 60^{\circ}$
7. Soal Latihan Luas Segitiga
Diketahui segitiga $PQR$, dengan luas segitiga $PQR$ adalah $12 \sqrt{3}\ cm^{2}$. Jika panjang $PR=6\ cm$ dan sisi $PQ=8\ cm$, maka tentukanlah panjang sisi $QR=\cdots$.
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari unsur-unsur yang diketahui, kita dapat menggunakan aturan menghitung luas segitiga jika diketahui dua sisi satu sudut yaitu $L=\dfrac{1}{2}\ qr\ \sin P$
$\begin{align}
\left[ PQR \right] & = \dfrac{1}{2} \cdot PQ \cdot PR \sin P \\
12\sqrt{3} & = \dfrac{1}{2}\cdot 8 \cdot 6 \cdot \sin P \\
12\sqrt{3} & = 24 \sin P \\
\dfrac{12\sqrt{3}}{24} & = \sin P \\
\dfrac{1}{2} \sqrt{3} & = \sin P
\end{align}$
Tanpa menggunakan kalkulator kita mengetahui besar $\angle P$ karena $\sin P=\frac{1}{2} \sqrt{3}$ masih tergolong sudut istimewa yaitu $60^{\circ}$.
Karena $\angle P=60^{\circ}$ maka kita dapat menghitung $cos\ P$ yaitu $\frac{1}{2}$. Kita membutuhkan $\cos P$ untuk menghitung panjang sisi $QR$ dengan bantuan aturan cosinus yaitu
$\begin{align}
a^{2} & = b^{2}+c^{2}-2bc\ \cos A \\
QR^{2} & = PR^{2}+PQ^{2}-2PR \cdot PQ \cdot \cos P \\
QR^{2} & = 6^{2}+8^{2}-2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \dfrac{1}{2} \\
QR^{2} & =100-48 \\
QR & =\sqrt{52}=2\sqrt{13}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2\sqrt{13}$
Catatan Cara Menghitung Luas Segitiga Jika Diketahui Panjang Dua Sisi Dan Besar Satu Sudut di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan.
