Skip to main content

Cara Membuktikan dan Menggunakan Aturan Sinus atau Aturan Cosinus


Catatan calon guru coba berdiskusi tentang perbandingan trigonometri yaitu Cara Membuktikan dan Menggunakan Aturan Sinus atau Aturan Cosinus.

Aturan Sinus dan Aturan Cosinus adalah pengembangan dari materi perbandingan trigonometri. Sebelumnya kita ketahui bahwa perbandingan trigonometri diperoleh dan ditemukan dari perbadingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku sehingga dominan masalah yang berkembang masih disekitaran segitiga siku-siku.

Tetapi dengan ditemukannya aturan sinus dan aturan cosinus ini pemakaian perbandingan trigonometri semakin luas. Perbandingan Trigonometri dapat digunakan pada segitiga sebarang, yang penting unsur-unsur yang diketahui cukup untuk mengggunakan aturan sinus atau aturan cosinus.

Untuk bisa membuktikan Aturan Sinus atau Aturan Cosinus, kita setidaknya sudah mengetahui tentang perbandingan trigonometri, teorema phytagoras, dan aturan-aturan dalam aljabar matematika.

ATURAN SINUS

Untuk segitiga $ABC$ dimana sisi di depan sudut $A$ adalah sisi $a$, sisi di depan sudut $B$ adalah sisi $b$ dan sisi di depan sudut $C$ adalah sisi $c$ maka berlaku:
\begin{aligned}
\dfrac{a}{\sin\ A}=\dfrac{b}{\sin\ B}=\dfrac{c}{\sin\ C}
\end{aligned}
Belajar Perbandingan Trigonometri Menjadi Mudah
Untuk melihat bagaimana aturan sinus ini ditemukan dapat di lihat pada pembuktian aturan sinus berikut ini:
Alternatif Pembuktian:
Show

Pada segitiga $ABC$ kita tarik garis tinggi dari titik $B$ ke $AC$, kita peroleh garis $BD$ tehak lurus $AC$.

Belajar Perbandingan Trigonometri Menjadi Mudah
Dari $\bigtriangleup ABD$ kita peroleh:
$\begin{align}
sin\ A &= \dfrac{BD}{c} \\
c \cdot sin\ A &= BD \cdots \quad && \left[ \text{pers.(1)} \right]
\end{align}$

Dari $\bigtriangleup CBD$ kita peroleh:
$\begin{align}
sin\ C &= \dfrac{BD}{a} \\
a \cdot sin\ C &= BD \cdots \quad && \left[ \text{pers.(2)} \right]
\end{align}$

Nilai $BD$ dari $\text{pers.(1)}$ dan $\text{pers.(2)}$ kita peroleh
$\begin{align}
c \cdot sin\ A &= a \cdot sin\ C \\
\dfrac{c}{sin\ C} &= \dfrac{a}{sin\ A} \cdots \quad && \left[ \text{pers.(3)} \right]
\end{align}$

Pada segitiga $ABC$ kita tarik garis tinggi dari titik $C$ ke $AB$, kita peroleh garis $CE$ tehak lurus $AB$.
Belajar Perbandingan Trigonometri Menjadi Mudah
Dari $\bigtriangleup ACE$ kita peroleh:
$\begin{align}
sin\ A &= \dfrac{CE}{b} \\
b \cdot sin\ A &= CE \cdots \quad && \left[ \text{pers.(4)} \right]
\end{align}$

Dari $\bigtriangleup BCE$ kita peroleh:
$\begin{align}
sin\ B &= \dfrac{CE}{a} \\
a \cdot sin\ B &= CE \cdots \quad && \left[ \text{pers.(5)} \right]
\end{align}$

Nilai $CE$ dari $\text{pers.(4)}$ dan $\text{pers.(5)}$ kita peroleh:
$\begin{align}
b \cdot sin\ A &= a \cdot sin\ B \\
\dfrac{a}{sin\ A} &= \dfrac{b}{sin\ B} \cdots \quad && \left[ \text{pers.(6)} \right]
\end{align}$

Dari $\text{pers.(3)}$ dan $\text{pers.(6)}$ kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{a}{sin\ A} &= \dfrac{b}{sin\ C} \\
\dfrac{a}{sin\ A} &= \dfrac{b}{sin\ B} \\
\end{align}$

$\therefore$ Terbukti $\dfrac{a}{sin\ A} = \dfrac{b}{sin\ B} = \dfrac{c}{sin\ C}$

Tetapi jika hanya mau belajar menggunakan aturan sinus saja untuk menyelesaikan beberapa soal, silahkan langkah ini bisa di skip dan langsung melihat contoh soal penggunaan aturan sinus.

ATURAN COSINUS

Untuk segitiga $ABC$ dimana sisi di depan sudut $A$ adalah sisi $a$, sisi di depan sudut $B$ adalah sisi $b$ dan sisi di depan sudut $C$ adalah sisi $c$ maka berlaku:
\begin{aligned}
a^{2} =b^{2}+c^{2}-2bc\ cos\ A \\
b^{2} =a^{2}+c^{2}-2ac\ cos\ B \\
c^{2} =a^{2}+b^{2}-2ab\ cos\ C \\
\end{aligned}
Belajar Perbandingan Trigonometri Menjadi Mudah
Untuk melihat bagaimana aturan cosinus ini ditemukan dapat di lihat pada pembuktian aturan cosinus berikut ini:
Alternatif Pembuktian:
Show

Tetapi jika mau belajar menggunakan aturan cosinus saja untuk menyelesaikan soal, langkah ini bisa di skip dan langsung melihat contoh soal penggunaan aturan cosinus.
Alternatif pembuktian:
Pada segitiga $ABC$ kita tarik garis tinggi dari titik $B$ ke $AC$, kita peroleh garis $BD$ tehak lurus $AC$.

Belajar Perbandingan Trigonometri Menjadi Mudah
Dari $\bigtriangleup ABD$ kita peroleh:
$\begin{align}
AB^{2} &= AD^{2}+BD^{2} \\
c^{2} &= AD^{2}+BD^{2} \\
\hline
sin\ A &= \dfrac{BD}{c} \\
c \cdot sin\ A &= BD
\end{align}$

Dari $\bigtriangleup ABD$ kita peroleh:
$\begin{align}
cos\ A &= \dfrac{AD}{c} \\
c \cdot cos\ A &= AD
\end{align}$

$\begin{align}
BC^{2} &= CD^{2} + BD^{2} \\
a^{2} &= \left( b - AD \right)^{2} + \left( c \cdot sin\ A \right)^{2} \\
a^{2} &= \left( b - c \cdot cos\ A \right)^{2} + c^{2} \cdot sin^{2} A \\
a^{2} &= b^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos\ A + c^{2} \cdot cos^{2} A + c^{2} \cdot sin^{2} A \\
a^{2} &= b^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos\ A + c^{2} \left( sin^{2} A + cos^{2} A \right) \\
a^{2} &= b^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos\ A + c^{2} \left( 1 \right) \\
a^{2} &= b^{2}+c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos\ A
\end{align}$

$\therefore$ Terbukti $a^{2} = b^{2}+c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos\ A$

Dengan cara yang sama dapat dibuktikan:
$b^{2} = a^{2}+c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos\ B$
$c^{2} = a^{2}+b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos\ C$

Tetapi jika hanya mau belajar menggunakan aturan cosinus saja untuk menyelesaikan beberapa soal, silahkan langkah ini bisa di skip dan langsung melihat contoh soal penggunaan aturan cosinus.

Berikut ini kita lihat beberapa soal yang dapat diselesaikan dengan bantuan aturan sinus atau aturan cosinus, soal kita pilih secara acak untuk menggunakan aturan sinus atau cosinus. Soal-soal yang kita pilih di bawah ini berasal dari pertanyaan aturan sinus atau cosinus yang ditanyakan pada grup-grup belajar atau grup diskusi pada media sosial, whatsapp grup atau grup telegram.

1. Pada sebuah segitiga $ABC$ diketahui sudut $A=30^{\circ}$, sudut $B=45^{\circ}$ dan panjang sisi $a=6\ cm$. Tentukan panjang sisi $b$.
Alternatif Pembahasan:
Show

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:

Cara Membuktikan atau Menggunakan Aturan Sinus - Aturan Cosinus
Dari informasi pada gambar dan dengan aturan sinus, berlaku:
$\begin{align}
\dfrac{a}{\sin\ A} &= \dfrac{b}{\sin\ B} \\
\dfrac{6}{\sin\ 30^{\circ}} &= \dfrac{b}{\sin\ 45^{\circ}} \\
\dfrac{6}{\frac{1}{2}} &= \dfrac{b}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} \\
\dfrac{6}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} &= b \\
6 \sqrt{2} &= b
\end{align}$


2. Panjang $PR$ pada gambar segitiga di bawah ini adalah...
Cara Membuktikan atau Menggunakan Aturan Sinus - Aturan Cosinus

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari informasi pada gambar dan dengan aturan sinus, berlaku:
$\begin{align}
\dfrac{QR}{\sin\ QPR} &= \dfrac{PR}{\sin\ PQR} \\
\dfrac{8}{\sin\ 45^{\circ}} &= \dfrac{PR}{\sin\ 30^{\circ}} \\
\dfrac{8}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} &= \dfrac{PR}{\frac{1}{2}} \\
\dfrac{8}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} &= PR \\
4 \sqrt{2} &= PR
\end{align}$


3. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AC=5\ cm$, $AB=7\ cm$ dan $BC=3\ cm$, tentukan nilai sudut terbesar dari segitiga $ABC$
Alternatif Pembahasan:
Show

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:

Cara Membuktikan atau Menggunakan Aturan Sinus - Aturan Cosinus
Dari segitiga $ABC$ sudut yang terbesar adalah $\angle ACB$, karena $AB=7$ adalah sisi yang terpanjang.
$\begin{align}
c^{2} &= a^{2}+b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos\ C \\
7^{2} &= 3^{2}+5^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot cos\ C \\
49 &= 9+25 - 30 \cdot cos\ C \\
49-34 &= - 30 \cdot cos\ C \\
cos\ C &= -\dfrac{15}{30} \\
cos\ C &= -\dfrac{1}{2} \\
C &= 120^{\circ}
\end{align}$


4. Pada segitiga $SMA$, jika $SA=a$, $MA=2a$ dan $\angle SAM=120^{\circ}$. Tentukan panjang sisi $SM$
Alternatif Pembahasan:
Show

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:

Cara Membuktikan atau Menggunakan Aturan Sinus - Aturan Cosinus
Dari segitiga $SMA$ dan aturan cosinus, kita peroleh:
$\begin{align}
a^{2} &= s^{2}+m^{2} - 2 \cdot s \cdot m \cdot cos\ A \\
&= (2a)^{2}+(a)^{2} - 2 \cdot 2a \cdot a \cdot cos\ 120^{\circ} \\
&= 4a^{2}+a^{2} - 4a^{2} \cdot \left( -\dfrac{1}{2} \right) \\
&= 4a^{2}+a^{2} + 2a^{2} \\
&= 7a^{2} \\
a &= \sqrt{7a^{2}} \\
&= a\sqrt{7}
\end{align}$

Saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait Cara Membuktikan dan Menggunakan Aturan Sinus atau Aturan Cosinus ini silahkan disampaikan๐Ÿ˜ŠCMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi ๐Ÿ™Share is Caring ๐Ÿ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE๐Ÿ˜Š

Video pilihan khusus untuk Anda ๐Ÿ’— Cara alternatif Menentukan Nilai Sukubanyak (polinomial) dengan Substitusi Langsung dan Cara Skema;
youtube image

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Cara Membuktikan dan Menggunakan Aturan Sinus atau Aturan Cosinus" silahkan disampaikan ๐Ÿ˜Š dan terima kasih ๐Ÿ™ support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar