Cara Membuktikan dan Menggunakan Aturan Sinus atau Aturan Cosinus
Catatan calon guru coba berdiskusi tentang perbandingan trigonometri yaitu Cara Membuktikan dan Menggunakan Aturan Sinus atau Aturan Cosinus.
Aturan Sinus dan Aturan Cosinus adalah pengembangan dari materi perbandingan trigonometri. Sebelumnya kita ketahui bahwa perbandingan trigonometri diperoleh dan ditemukan dari perbadingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku sehingga dominan masalah yang berkembang masih disekitaran segitiga siku-siku.
Tetapi dengan ditemukannya aturan sinus dan aturan cosinus ini pemakaian perbandingan trigonometri semakin luas. Perbandingan Trigonometri dapat digunakan pada segitiga sebarang, yang penting unsur-unsur yang diketahui cukup untuk mengggunakan aturan sinus atau aturan cosinus.
Untuk bisa membuktikan Aturan Sinus atau Aturan Cosinus, kita setidaknya sudah mengetahui tentang perbandingan trigonometri, teorema phytagoras, dan aturan-aturan dalam aljabar matematika.
ATURAN SINUS
Untuk segitiga $ABC$ dimana sisi di depan sudut $A$ adalah sisi $a$, sisi di depan sudut $B$ adalah sisi $b$ dan sisi di depan sudut $C$ adalah sisi $c$ maka berlaku:\begin{aligned}
\dfrac{a}{\sin\ A}=\dfrac{b}{\sin\ B}=\dfrac{c}{\sin\ C}
\end{aligned}
Alternatif Pembuktian: 
Dari $\bigtriangleup ABD$ kita peroleh:
$\begin{align}
sin\ A &= \dfrac{BD}{c} \\
c \cdot sin\ A &= BD \cdots \quad && \left[ \text{pers.(1)} \right]
\end{align}$
Dari $\bigtriangleup CBD$ kita peroleh:
$\begin{align}
sin\ C &= \dfrac{BD}{a} \\
a \cdot sin\ C &= BD \cdots \quad && \left[ \text{pers.(2)} \right]
\end{align}$
Nilai $BD$ dari $\text{pers.(1)}$ dan $\text{pers.(2)}$ kita peroleh
$\begin{align}
c \cdot sin\ A &= a \cdot sin\ C \\
\dfrac{c}{sin\ C} &= \dfrac{a}{sin\ A} \cdots \quad && \left[ \text{pers.(3)} \right]
\end{align}$
Pada segitiga $ABC$ kita tarik garis tinggi dari titik $C$ ke $AB$, kita peroleh garis $CE$ tehak lurus $AB$.
Dari $\bigtriangleup ACE$ kita peroleh:
$\begin{align}
sin\ A &= \dfrac{CE}{b} \\
b \cdot sin\ A &= CE \cdots \quad && \left[ \text{pers.(4)} \right]
\end{align}$
Dari $\bigtriangleup BCE$ kita peroleh:
$\begin{align}
sin\ B &= \dfrac{CE}{a} \\
a \cdot sin\ B &= CE \cdots \quad && \left[ \text{pers.(5)} \right]
\end{align}$
Nilai $CE$ dari $\text{pers.(4)}$ dan $\text{pers.(5)}$ kita peroleh:
$\begin{align}
b \cdot sin\ A &= a \cdot sin\ B \\
\dfrac{a}{sin\ A} &= \dfrac{b}{sin\ B} \cdots \quad && \left[ \text{pers.(6)} \right]
\end{align}$
Dari $\text{pers.(3)}$ dan $\text{pers.(6)}$ kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{a}{sin\ A} &= \dfrac{b}{sin\ C} \\
\dfrac{a}{sin\ A} &= \dfrac{b}{sin\ B} \\
\end{align}$
$\therefore$ Terbukti $\dfrac{a}{sin\ A} = \dfrac{b}{sin\ B} = \dfrac{c}{sin\ C}$
Tetapi jika hanya mau belajar menggunakan aturan sinus saja untuk menyelesaikan beberapa soal, silahkan langkah ini bisa di skip dan langsung melihat contoh soal penggunaan aturan sinus.Show
Pada segitiga $ABC$ kita tarik garis tinggi dari titik $B$ ke $AC$, kita peroleh garis $BD$ tehak lurus $AC$.
$\begin{align}
sin\ A &= \dfrac{BD}{c} \\
c \cdot sin\ A &= BD \cdots \quad && \left[ \text{pers.(1)} \right]
\end{align}$
Dari $\bigtriangleup CBD$ kita peroleh:
$\begin{align}
sin\ C &= \dfrac{BD}{a} \\
a \cdot sin\ C &= BD \cdots \quad && \left[ \text{pers.(2)} \right]
\end{align}$
Nilai $BD$ dari $\text{pers.(1)}$ dan $\text{pers.(2)}$ kita peroleh
$\begin{align}
c \cdot sin\ A &= a \cdot sin\ C \\
\dfrac{c}{sin\ C} &= \dfrac{a}{sin\ A} \cdots \quad && \left[ \text{pers.(3)} \right]
\end{align}$
Pada segitiga $ABC$ kita tarik garis tinggi dari titik $C$ ke $AB$, kita peroleh garis $CE$ tehak lurus $AB$.
$\begin{align}
sin\ A &= \dfrac{CE}{b} \\
b \cdot sin\ A &= CE \cdots \quad && \left[ \text{pers.(4)} \right]
\end{align}$
Dari $\bigtriangleup BCE$ kita peroleh:
$\begin{align}
sin\ B &= \dfrac{CE}{a} \\
a \cdot sin\ B &= CE \cdots \quad && \left[ \text{pers.(5)} \right]
\end{align}$
Nilai $CE$ dari $\text{pers.(4)}$ dan $\text{pers.(5)}$ kita peroleh:
$\begin{align}
b \cdot sin\ A &= a \cdot sin\ B \\
\dfrac{a}{sin\ A} &= \dfrac{b}{sin\ B} \cdots \quad && \left[ \text{pers.(6)} \right]
\end{align}$
Dari $\text{pers.(3)}$ dan $\text{pers.(6)}$ kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{a}{sin\ A} &= \dfrac{b}{sin\ C} \\
\dfrac{a}{sin\ A} &= \dfrac{b}{sin\ B} \\
\end{align}$
$\therefore$ Terbukti $\dfrac{a}{sin\ A} = \dfrac{b}{sin\ B} = \dfrac{c}{sin\ C}$
ATURAN COSINUS
Untuk segitiga $ABC$ dimana sisi di depan sudut $A$ adalah sisi $a$, sisi di depan sudut $B$ adalah sisi $b$ dan sisi di depan sudut $C$ adalah sisi $c$ maka berlaku:\begin{aligned}
a^{2} =b^{2}+c^{2}-2bc\ cos\ A \\
b^{2} =a^{2}+c^{2}-2ac\ cos\ B \\
c^{2} =a^{2}+b^{2}-2ab\ cos\ C \\
\end{aligned}
Alternatif Pembuktian: Dari $\bigtriangleup ABD$ kita peroleh:
$\begin{align}
AB^{2} &= AD^{2}+BD^{2} \\
c^{2} &= AD^{2}+BD^{2} \\
\hline
sin\ A &= \dfrac{BD}{c} \\
c \cdot sin\ A &= BD
\end{align}$
Dari $\bigtriangleup ABD$ kita peroleh:
$\begin{align}
cos\ A &= \dfrac{AD}{c} \\
c \cdot cos\ A &= AD
\end{align}$
$\begin{align}
BC^{2} &= CD^{2} + BD^{2} \\
a^{2} &= \left( b - AD \right)^{2} + \left( c \cdot sin\ A \right)^{2} \\
a^{2} &= \left( b - c \cdot cos\ A \right)^{2} + c^{2} \cdot sin^{2} A \\
a^{2} &= b^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos\ A + c^{2} \cdot cos^{2} A + c^{2} \cdot sin^{2} A \\
a^{2} &= b^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos\ A + c^{2} \left( sin^{2} A + cos^{2} A \right) \\
a^{2} &= b^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos\ A + c^{2} \left( 1 \right) \\
a^{2} &= b^{2}+c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos\ A
\end{align}$
$\therefore$ Terbukti $a^{2} = b^{2}+c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos\ A$
Dengan cara yang sama dapat dibuktikan:
$b^{2} = a^{2}+c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos\ B$
$c^{2} = a^{2}+b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos\ C$
Tetapi jika hanya mau belajar menggunakan aturan cosinus saja untuk menyelesaikan beberapa soal, silahkan langkah ini bisa di skip dan langsung melihat contoh soal penggunaan aturan cosinus.Show
Tetapi jika mau belajar menggunakan aturan cosinus saja untuk menyelesaikan soal, langkah ini bisa di skip dan langsung melihat contoh soal penggunaan aturan cosinus.
Alternatif pembuktian:
Pada segitiga $ABC$ kita tarik garis tinggi dari titik $B$ ke $AC$, kita peroleh garis $BD$ tehak lurus $AC$.
$\begin{align}
AB^{2} &= AD^{2}+BD^{2} \\
c^{2} &= AD^{2}+BD^{2} \\
\hline
sin\ A &= \dfrac{BD}{c} \\
c \cdot sin\ A &= BD
\end{align}$
Dari $\bigtriangleup ABD$ kita peroleh:
$\begin{align}
cos\ A &= \dfrac{AD}{c} \\
c \cdot cos\ A &= AD
\end{align}$
$\begin{align}
BC^{2} &= CD^{2} + BD^{2} \\
a^{2} &= \left( b - AD \right)^{2} + \left( c \cdot sin\ A \right)^{2} \\
a^{2} &= \left( b - c \cdot cos\ A \right)^{2} + c^{2} \cdot sin^{2} A \\
a^{2} &= b^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos\ A + c^{2} \cdot cos^{2} A + c^{2} \cdot sin^{2} A \\
a^{2} &= b^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos\ A + c^{2} \left( sin^{2} A + cos^{2} A \right) \\
a^{2} &= b^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos\ A + c^{2} \left( 1 \right) \\
a^{2} &= b^{2}+c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos\ A
\end{align}$
$\therefore$ Terbukti $a^{2} = b^{2}+c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos\ A$
Dengan cara yang sama dapat dibuktikan:
$b^{2} = a^{2}+c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos\ B$
$c^{2} = a^{2}+b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos\ C$
Berikut ini kita lihat beberapa soal yang dapat diselesaikan dengan bantuan aturan sinus atau aturan cosinus, soal kita pilih secara acak untuk menggunakan aturan sinus atau cosinus. Soal-soal yang kita pilih di bawah ini berasal dari pertanyaan aturan sinus atau cosinus yang ditanyakan pada grup-grup belajar atau grup diskusi pada media sosial, whatsapp grup atau grup telegram.
1. Pada sebuah segitiga $ABC$ diketahui sudut $A=30^{\circ}$, sudut $B=45^{\circ}$ dan panjang sisi $a=6\ cm$. Tentukan panjang sisi $b$.
Alternatif Pembahasan: Dari informasi pada gambar dan dengan aturan sinus, berlaku:
$\begin{align}
\dfrac{a}{\sin\ A} &= \dfrac{b}{\sin\ B} \\
\dfrac{6}{\sin\ 30^{\circ}} &= \dfrac{b}{\sin\ 45^{\circ}} \\
\dfrac{6}{\frac{1}{2}} &= \dfrac{b}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} \\
\dfrac{6}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} &= b \\
6 \sqrt{2} &= b
\end{align}$
Show
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
$\begin{align}
\dfrac{a}{\sin\ A} &= \dfrac{b}{\sin\ B} \\
\dfrac{6}{\sin\ 30^{\circ}} &= \dfrac{b}{\sin\ 45^{\circ}} \\
\dfrac{6}{\frac{1}{2}} &= \dfrac{b}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} \\
\dfrac{6}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} &= b \\
6 \sqrt{2} &= b
\end{align}$
2. Panjang $PR$ pada gambar segitiga di bawah ini adalah...
Alternatif Pembahasan:
Show
Dari informasi pada gambar dan dengan aturan sinus, berlaku:
$\begin{align}
\dfrac{QR}{\sin\ QPR} &= \dfrac{PR}{\sin\ PQR} \\
\dfrac{8}{\sin\ 45^{\circ}} &= \dfrac{PR}{\sin\ 30^{\circ}} \\
\dfrac{8}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} &= \dfrac{PR}{\frac{1}{2}} \\
\dfrac{8}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} &= PR \\
4 \sqrt{2} &= PR
\end{align}$
3. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AC=5\ cm$, $AB=7\ cm$ dan $BC=3\ cm$, tentukan nilai sudut terbesar dari segitiga $ABC$
Alternatif Pembahasan: Dari segitiga $ABC$ sudut yang terbesar adalah $\angle ACB$, karena $AB=7$ adalah sisi yang terpanjang.
$\begin{align}
c^{2} &= a^{2}+b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos\ C \\
7^{2} &= 3^{2}+5^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot cos\ C \\
49 &= 9+25 - 30 \cdot cos\ C \\
49-34 &= - 30 \cdot cos\ C \\
cos\ C &= -\dfrac{15}{30} \\
cos\ C &= -\dfrac{1}{2} \\
C &= 120^{\circ}
\end{align}$
Show
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
$\begin{align}
c^{2} &= a^{2}+b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos\ C \\
7^{2} &= 3^{2}+5^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot cos\ C \\
49 &= 9+25 - 30 \cdot cos\ C \\
49-34 &= - 30 \cdot cos\ C \\
cos\ C &= -\dfrac{15}{30} \\
cos\ C &= -\dfrac{1}{2} \\
C &= 120^{\circ}
\end{align}$
4. Pada segitiga $SMA$, jika $SA=a$, $MA=2a$ dan $\angle SAM=120^{\circ}$. Tentukan panjang sisi $SM$
Alternatif Pembahasan: Dari segitiga $SMA$ dan aturan cosinus, kita peroleh:
$\begin{align}
a^{2} &= s^{2}+m^{2} - 2 \cdot s \cdot m \cdot cos\ A \\
&= (2a)^{2}+(a)^{2} - 2 \cdot 2a \cdot a \cdot cos\ 120^{\circ} \\
&= 4a^{2}+a^{2} - 4a^{2} \cdot \left( -\dfrac{1}{2} \right) \\
&= 4a^{2}+a^{2} + 2a^{2} \\
&= 7a^{2} \\
a &= \sqrt{7a^{2}} \\
&= a\sqrt{7}
\end{align}$
Saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait Cara Membuktikan dan Menggunakan Aturan Sinus atau Aturan Cosinus ini silahkan disampaikan😊CMIIWShow
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
$\begin{align}
a^{2} &= s^{2}+m^{2} - 2 \cdot s \cdot m \cdot cos\ A \\
&= (2a)^{2}+(a)^{2} - 2 \cdot 2a \cdot a \cdot cos\ 120^{\circ} \\
&= 4a^{2}+a^{2} - 4a^{2} \cdot \left( -\dfrac{1}{2} \right) \\
&= 4a^{2}+a^{2} + 2a^{2} \\
&= 7a^{2} \\
a &= \sqrt{7a^{2}} \\
&= a\sqrt{7}
\end{align}$
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Cara alternatif Menentukan Nilai Sukubanyak (polinomial) dengan Substitusi Langsung dan Cara Skema;
