Cara Membuktikan dan Menggunakan Aturan Sinus atau Aturan Cosinus

Calon guru belajar matematika dasar SMA tentang Cara Membuktikan dan Menggunakan Aturan Sinus atau Aturan Cosinus.

Aturan Sinus dan Aturan Cosinus adalah pengembangan dari materi perbandingan trigonometri. Sebelumnya kita ketahui bahwa perbandingan trigonometri diperoleh dan ditemukan dari perbadingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku sehingga dominan masalah yang berkembang masih disekitaran segitiga siku-siku.

Tetapi dengan ditemukannya aturan sinus dan aturan cosinus ini pemakaian perbandingan trigonometri semakin luas. Perbandingan Trigonometri dapat digunakan pada segitiga sebarang, yang penting unsur-unsur yang diketahui cukup untuk mengggunakan aturan sinus atau aturan cosinus.

Untuk bisa membuktikan Aturan Sinus atau Aturan Cosinus, kita setidaknya sudah mengetahui tentang perbandingan trigonometri, teorema phytagoras, dan aturan-aturan dalam aljabar matematika.

ATURAN SINUS

Untuk segitiga $ABC$ dimana sisi di depan sudut $A$ adalah sisi $a$, sisi di depan sudut $B$ adalah sisi $b$ dan sisi di depan sudut $C$ adalah sisi $c$ maka berlaku:
\begin{aligned}
\dfrac{a}{\sin\ A}=\dfrac{b}{\sin\ B}=\dfrac{c}{\sin\ C}
\end{aligned}

Untuk melihat bagaimana aturan sinus ini ditemukan dapat di lihat pada pembuktian aturan sinus berikut ini:

Alternatif Pembuktian:

Show

Pada segitiga $ABC$ kita tarik garis tinggi dari titik $B$ ke $AC$, kita peroleh garis $BD$ tegak lurus $AC$.

Dari $\bigtriangleup ABD$ kita peroleh:
$\begin{align}
\sin\ A &= \dfrac{BD}{c} \\ c \cdot \sin\ A &= BD\ \cdots \cdots \cdots \left[ \text{pers.(1)} \right]
\end{align}$

Dari $\bigtriangleup CBD$ kita peroleh:
$\begin{align}
\sin\ C &= \dfrac{BD}{a} \\ a \cdot \sin\ C &= BD\ \cdots \cdots \cdots \left[ \text{pers.(2)} \right]
\end{align}$

Nilai $BD$ dari $\text{pers.(1)}$ dan $\text{pers.(2)}$ kita peroleh
$\begin{align}
c \cdot \sin\ A &= a \cdot \sin\ C \\ \dfrac{c}{\sin\ C} &= \dfrac{a}{\sin\ A}\ \cdots \cdots \cdots \left[ \text{pers.(3)} \right]
\end{align}$

Pada segitiga $ABC$ kita tarik garis tinggi dari titik $C$ ke $AB$, kita peroleh garis $CE$ tegak lurus $AB$.

Dari $\bigtriangleup ACE$ kita peroleh:
$\begin{align}
\sin\ A &= \dfrac{CE}{b} \\ b \cdot \sin\ A &= CE\ \cdots \cdots \cdots \left[ \text{pers.(4)} \right]
\end{align}$

Dari $\bigtriangleup BCE$ kita peroleh:
$\begin{align}
\sin\ B &= \dfrac{CE}{a} \\ a \cdot \sin\ B &= CE\ \cdots \cdots \cdots \left[ \text{pers.(5)} \right]
\end{align}$

Nilai $CE$ dari $\text{pers.(4)}$ dan $\text{pers.(5)}$ kita peroleh:
$\begin{align}
b \cdot \sin\ A &= a \cdot \sin\ B \\ \dfrac{a}{\sin\ A} &= \dfrac{b}{\sin\ B}\ \cdots \cdots \cdots \left[ \text{pers.(6)} \right]
\end{align}$

Dari $\text{pers.(3)}$ dan $\text{pers.(6)}$ kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{a}{\sin\ A} &= \dfrac{b}{\sin\ C} \\
\dfrac{a}{\sin\ A} &= \dfrac{b}{\sin\ B} \\
\end{align}$

$\therefore$ Terbukti $\dfrac{a}{\sin\ A} = \dfrac{b}{\sin\ B} = \dfrac{c}{\sin\ C}$

ATURAN COSINUS

Untuk segitiga $ABC$ dimana sisi di depan sudut $A$ adalah sisi $a$, sisi di depan sudut $B$ adalah sisi $b$ dan sisi di depan sudut $C$ adalah sisi $c$ maka berlaku:
\begin{aligned}
a^{2} =b^{2}+c^{2}-2bc\ \cos\ A \\ b^{2} =a^{2}+c^{2}-2ac\ \cos\ B \\ c^{2} =a^{2}+b^{2}-2ab\ \cos\ C \\ \end{aligned}

Untuk melihat bagaimana aturan cosinus ini ditemukan dapat di lihat pada pembuktian aturan cosinus berikut ini:

Alternatif Pembuktian:

Show

Pada segitiga $ABC$ kita tarik garis tinggi dari titik $B$ ke $AC$, kita peroleh garis $BD$ tegak lurus $AC$.

Dari $\bigtriangleup ABD$ kita peroleh:
$\begin{align}
AB^{2} &= AD^{2}+BD^{2} \\ c^{2} &= AD^{2}+BD^{2} \\ \hline
\sin\ A &= \dfrac{BD}{c} \\ c \cdot \sin\ A &= BD
\end{align}$

Dari $\bigtriangleup ABD$ kita peroleh:
$\begin{align}
\cos\ A &= \dfrac{AD}{c} \\ c \cdot \cos\ A &= AD
\end{align}$

$\begin{align}
BC^{2} &= CD^{2} + BD^{2} \\ a^{2} &= \left( b - AD \right)^{2} + \left( c \cdot \sin\ A \right)^{2} \\ a^{2} &= \left( b - c \cdot \cos\ A \right)^{2} + c^{2} \cdot \sin^{2} A \\ a^{2} &= b^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos\ A + c^{2} \cdot \cos^{2} A + c^{2} \cdot \sin^{2} A \\ a^{2} &= b^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos\ A + c^{2} \left( \sin^{2} A + \cos^{2} A \right) \\ a^{2} &= b^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos\ A + c^{2} \left( 1 \right) \\ a^{2} &= b^{2}+c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos\ A
\end{align}$
$\therefore$ Terbukti $a^{2} = b^{2}+c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos\ A$

Dengan cara yang sama dapat dibuktikan:
$b^{2} = a^{2}+c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos\ B$
$c^{2} = a^{2}+b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos\ C$

Berikut ini kita lihat beberapa soal yang dapat diselesaikan dengan bantuan aturan sinus atau aturan cosinus, soal kita pilih secara acak untuk menggunakan aturan sinus atau cosinus. Soal-soal yang kita pilih di bawah ini berasal dari pertanyaan aturan sinus atau cosinus yang ditanyakan pada grup-grup belajar atau grup diskusi pada media sosial, whatsapp grup atau grup telegram.

1. Pada sebuah segitiga $ABC$ diketahui sudut $A=30^{\circ}$, sudut $B=45^{\circ}$ dan panjang sisi $a=6\ cm$. Tentukan panjang sisi $b$.

Alternatif Pembahasan:

Show

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:

Dari informasi pada gambar dan dengan aturan sinus, berlaku:
$\begin{align}
\dfrac{a}{\sin\ A} &= \dfrac{b}{\sin\ B} \\ \dfrac{6}{\sin\ 30^{\circ}} &= \dfrac{b}{\sin\ 45^{\circ}} \\ \dfrac{6}{\frac{1}{2}} &= \dfrac{b}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} \\ \dfrac{6}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} &= b \\ 6 \sqrt{2} &= b
\end{align}$

2. Panjang $PR$ pada gambar segitiga di bawah ini adalah...

Alternatif Pembahasan:

Show

Dari informasi pada gambar dan dengan aturan sinus, berlaku:
$\begin{align}
\dfrac{QR}{\sin\ QPR} &= \dfrac{PR}{\sin\ PQR} \\ \dfrac{8}{\sin\ 45^{\circ}} &= \dfrac{PR}{\sin\ 30^{\circ}} \\ \dfrac{8}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} &= \dfrac{PR}{\frac{1}{2}} \\ \dfrac{8}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} &= PR \\ 4 \sqrt{2} &= PR
\end{align}$

3. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AC=5\ cm$, $AB=7\ cm$ dan $BC=3\ cm$, tentukan nilai sudut terbesar dari segitiga $ABC$

Alternatif Pembahasan:

Show

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:

Dari segitiga $ABC$ sudut yang terbesar adalah $\angle ACB$, karena $AB=7$ adalah sisi yang terpanjang.

$\begin{align}
c^{2} &= a^{2}+b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos\ C \\ 7^{2} &= 3^{2}+5^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos\ C \\ 49 &= 9+25 - 30 \cdot \cos\ C \\ 49-34 &= - 30 \cdot \cos\ C \\ \cos\ C &= -\dfrac{15}{30} \\ \cos\ C &= -\dfrac{1}{2} \\ C &= 120^{\circ}
\end{align}$

4. Pada segitiga $SMA$, jika $SA=a$, $MA=2a$ dan $\angle SAM=120^{\circ}$. Tentukan panjang sisi $SM$

Alternatif Pembahasan:

Show

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:

Dari segitiga $SMA$ dan aturan cosinus, kita peroleh:

$\begin{align}
a^{2} &= s^{2}+m^{2} - 2 \cdot s \cdot m \cdot \cos\ A \\ &= (2a)^{2}+(a)^{2} - 2 \cdot 2a \cdot a \cdot \cos\ 120^{\circ} \\ &= 4a^{2}+a^{2} - 4a^{2} \cdot \left( -\dfrac{1}{2} \right) \\ &= 4a^{2}+a^{2} + 2a^{2} \\ &= 7a^{2} \\ a &= \sqrt{7a^{2}} \\ &= a\sqrt{7}
\end{align}$

Untuk menambah pemahaman kita terkait Menggunakan Aturan Sinus atau Aturan Cosinus ini, mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Aturan Sinus atau Aturan Cosinus Matematika SMA Kurikulum 2013 dan soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.

Jika tertarik untuk diskusi terkait Soal-soal Menggunakan Aturan Sinus atau Aturan Cosinus yang sudah pernah diujikan pada seleksi masuk perguruan tinggi negeri (PTN) yang dilaksanakan secara nasional atau mandiri silahkan disimak pada catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Trigonometri.

1. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus

Sebuah segitiga $ABC$ diketahui panjang sisi $AB = 12\ cm$, $\angle B = 75^{\circ}$ dan $\angle A = 60^{\circ}$, maka panjang sisi $BC =\cdots cm$

$\begin{align} (A)\ & 4 \sqrt{6} \\ (B)\ & 6 \sqrt{6} \\ (C)\ & 6 \sqrt{2} \\ (D)\ & 8 \sqrt{2} \\ (E)\ & 8 \sqrt{3} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:

Dari segitiga $ABC$ di atas $\angle C=180^{\circ}-\left( 60^{\circ}+75^{\circ} \right)=45^{\circ}$. Dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh:

\begin{aligned} \dfrac{BC}{\sin\ A} &= \dfrac{AB}{\sin\ C} \\ \dfrac{BC}{\sin\ 60^{\circ}} &= \dfrac{12}{\sin\ 45^{\circ}} \\ \dfrac{BC}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} &= \dfrac{12}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} \\ BC &= \dfrac{12 \cdot \sqrt{3}}{ \sqrt{2}} \\ BC &= \dfrac{12 \sqrt{3}}{ \sqrt{2}} \cdot \dfrac{ \sqrt{2}}{ \sqrt{2}} \\ BC &= \dfrac{12 \sqrt{6}}{2} \\ BC &= 6 \sqrt{6} \\ \end{aligned}

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6 \sqrt{6}$

2. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus

Sebuah segitiga $PQR$ diketahui panjang sisi $PQ = 4 \sqrt{3}\ cm$, $PR = 4\ cm$ dan $\angle R = 60^{\circ}$ maka besar $\angle Q = \cdots $

$\begin{align} (A)\ & 30^{\circ} \\ (B)\ & 60^{\circ} \\ (C)\ & 90^{\circ} \\ (D)\ & 120^{\circ} \\ (E)\ & 150^{\circ} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:

Dari segitiga $PQR$ di atas dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh:

\begin{aligned} \dfrac{q}{\sin\ Q} &= \dfrac{r}{\sin\ R} \\ \dfrac{4}{\sin\ Q} &= \dfrac{4\sqrt{3}}{\sin\ 60^{\circ}} \\ \dfrac{1}{\sin\ Q} &= \dfrac{ \sqrt{3}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} \\ \dfrac{1}{\sin\ Q} &= \dfrac{1}{\frac{1}{2} } \\ \sin\ Q &= \dfrac{1}{2} \\ \angle Q &= 30^{\circ} \end{aligned}

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 30^{\circ}$

3. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus

Sebuah segitiga $ABC$ diketahui sisi $a = 3\ cm$, $b = 3\sqrt{3}\ cm$ dan $\angle A = 30^{\circ}$, maka panjang sisi $c = \cdots cm$

$\begin{align} (A)\ & 4\sqrt{3} \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 3\sqrt{2} \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:

Dari segitiga $ABC$ di atas dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh:

\begin{aligned} \dfrac{a}{\sin\ A} &= \dfrac{b}{\sin\ B} \\ \dfrac{3}{\sin\ 30^{\circ}} &= \dfrac{3\sqrt{3}}{\sin\ B} \\ \dfrac{1}{\frac{1}{2}} &= \dfrac{\sqrt{3}}{\sin B} \\ \sin\ B &= \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ \angle B &= 60^{\circ} \longrightarrow \angle C=90^{\circ} \end{aligned}

Dengan $\angle C=90^{\circ}$ sehingga segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku di $C$, maka untuk menghitung $c$ dapat kita gunakan teorema pythagoras atau aturan sinus.
Dengan menggunakan aturan sinus:
\begin{aligned} \dfrac{a}{\sin\ A} &= \dfrac{c}{\sin\ C} \\ \dfrac{3}{\sin\ 30^{\circ}} &= \dfrac{c}{\sin\ 90^{\circ}} \\ \dfrac{3}{\frac{1}{2}} &= \dfrac{c}{1} \\ 6 &= c \end{aligned}

Dengan menggunakan teorema pythagoras kita peroleh:
$\begin{align} c^{2} \ &= a^{2} + b^{2} \\ c^{2} \ &= 3^{2} + \left(3 \sqrt{3} \right)^{2} \\ c^{2} \ &= 9 + 27 \\ c^{2} \ &= 36 \longrightarrow c=6 \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6$

4. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus

Dari segitiga $ABC$ diketahui sisi $AB = 6\ cm$, $AC = 4\ cm$ dan $\angle A = 60^{\circ}$, maka panjang sisi $BC = \cdots cm$

$\begin{align} (A)\ & 2\sqrt{7} \\ (B)\ & 4\sqrt{3} \\ (C)\ & 4\sqrt{2} \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:

Dari segitiga $ABC$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:

$\begin{align} a^{2} &= b^{2} + c^{2} -2bc\cdot \cos A \\ a^{2} &= \left(4 \right)^{2} + \left(6 \right)^{2} -2\left(4 \right)\left(6 \right)\cdot \cos 60^{\circ} \\ a^{2} &= 16 + 36 - 48 \cdot \dfrac{1}{2} \\ a^{2} &= 52 - 24 = 28 \\ a &= \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2\sqrt{7}$

5. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus

Suatu segitiga $PQR$ diketahui sisi $PQ = 4\ cm$ dan $QR = 2\sqrt{3}\ cm$ serta $PR = 2\ cm$. Maka besar $\angle Q = \cdots$

$\begin{align} (A)\ & 30^{\circ} \\ (B)\ & 60^{\circ} \\ (C)\ & 90^{\circ} \\ (D)\ & 120^{\circ} \\ (E)\ & 330^{\circ} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:

Dari segitiga $PQR$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:

$\begin{align} q^{2} &= p^{2} + r^{2} -2pr\cdot \cos Q \\ \left(2 \right)^{2} &= \left( 2\sqrt{3} \right)^{2} + \left( 4 \right)^{2} -2\left( 2\sqrt{3} \right)\left( 4 \right)\cdot \cos Q \\ 4 &= 12 + 16 - 16\sqrt{3} \cdot \cos Q \\ -24 &= - 16\sqrt{3} \cdot \cos Q \\ \cos Q &= \dfrac{-24}{-16\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ Q &= 30^{\circ} \\ \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 30^{\circ}$

6. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus

Suatu segitiga $ABC$ diketahui sisi $AB = 2\ cm$ dan $AC = 2\sqrt{7}\ cm$ serta $BC = 4\ cm$. Maka besar $\angle B = \cdots$

$\begin{align} (A)\ & 30^{\circ} \\ (B)\ & 45^{\circ} \\ (C)\ & 60^{\circ} \\ (D)\ & 90^{\circ} \\ (E)\ & 120^{\circ} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:

Dari segitiga $ABC$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:

$\begin{align} b^{2} &= a^{2} + c^{2} -2ac\cdot \cos B \\ \left( 2\sqrt{7} \right)^{2} &= \left( 4 \right)^{2} + \left( 2 \right)^{2} -2\left( 4 \right)\left( 2 \right)\cdot \cos B \\ 28 &= 16 + 4 - 16 \cdot \cos B \\ 28 &= 20 - 16 \cdot \cos B \\ 8 &= - 16 \cdot \cos B \\ \cos B &= \dfrac{8}{-16}=-\dfrac{1}{2} \\ B &= 120^{\circ} \\ \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 120^{\circ}$

7. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus

Pada segitiga $PQR$ diketahui panjang sisi $QR = 8\ cm$, $PQ = 5\ cm$ dan besar $\angle Q = 60^{\circ}$. Panjang $PR = \cdots cm$

$\begin{align} (A)\ & 6\sqrt{3} \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 8\sqrt{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:

Dari segitiga $PQR$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:

$\begin{align} q^{2} &= p^{2} + r^{2} -2pr\cdot \cos Q \\ PR^{2} &= \left( 8 \right)^{2} + \left( 5 \right)^{2} -2 \left( 8 \right)\left( 5 \right)\cdot \cos 60^{\circ} \\ PR^{2} &= 64 + 25 -80\ \cdot \dfrac{1}{2} \\ PR^{2} &= 89 - 40 \\ PR^{2} &= 49 \longrightarrow PR=7 \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7$

8. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus

Suatu segitiga $ABC$ diketahui sisi $BC = 6\ cm$ dan $AC = 3\sqrt{3}\ cm$ serta $\angle B = 60^{\circ}$. Maka panjang sisi $AB = \cdots cm$

$\begin{align} (A)\ & 2\sqrt{3} \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 4\sqrt{2} \\ (D)\ & 3\sqrt{2} \\ (E)\ & 3 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:

Dari segitiga $ABC$ di atas dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh:

$\begin{align} \dfrac{a}{\sin\ A} &= \dfrac{b}{\sin\ B} \\ \dfrac{6}{\sin\ A} &= \dfrac{3\sqrt{3}}{\sin\ 60^{\circ}} \\ \dfrac{2}{\sin\ A} &= \dfrac{ \sqrt{3}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} \\ \dfrac{2}{\sin\ A} &= \dfrac{1}{\frac{1}{2} } \\ \sin A &= 1 \longrightarrow \angle A = 90^{\circ} \end{align}$

$\begin{align} \dfrac{c}{\sin\ C} &= \dfrac{b}{\sin\ B} \\ \dfrac{AB}{\sin\ 30^{\circ}} &= \dfrac{3\sqrt{3}}{\sin\ 60^{\circ}} \\ \dfrac{AB}{\frac{1}{2}} &= \dfrac{3\sqrt{3}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} \\ AB &= 3 \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3$

9. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus

Pada segitiga $PQR$ di bawah ini, panjang $PR = \cdots cm$

$\begin{align} (A)\ & 2\ cm \\ (B)\ & 6\ cm \\ (C)\ & 8\ cm \\ (D)\ & 5\sqrt{3}\ cm \\ (E)\ & 6\sqrt{3} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Dari segitiga $PQR$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:

$\begin{align} r^{2} &= p^{2} + q^{2} -2pq\cdot \cos R \\ \left( 2\sqrt{7} \right)^{2} &= \left( 4 \right)^{2} +q^{2} -2 \left( 4 \right)\left( q \right)\cdot \cos 60^{\circ} \\ 28 &= q^{2} + 16 -2 \left( q \right)\left( 4 \right)\ \cdot \dfrac{1}{2} \\ 28 &= q^{2} + 16 - 4q \\ 0 &= q^{2}-4q-12 \\ 0 &= \left( q-6 \right)\left( q+2 \right) \\ &q=6\ \text{atau} p=-2 \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6$

10. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus

Sebuah kapal berlayar dengan arah $240^{\circ}$ dari suatu pelabuhan dengan kecepatan $5\ \frac{km}{jam}$. Dua jam kemudian terdapat kapal lain yang berlayar dengan arah $180^{\circ}$ dari pelabuhan yang sama dengan kecepatan $15\ \frac{km}{jam}$. Berapa jarak kedua kapal tersebut setelah kapal pertama berlayar selama $4\ jam$

$\begin{align} (A)\ & 8 \sqrt{6}\ km \\ (B)\ & 10 \sqrt{7}\ km \\ (C)\ & 8 \sqrt{7}\ km \\ (D)\ & 9 \sqrt{6}\ km \\ (E)\ & 8\ km \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Pada jurusan tiga angka, arah kapal berlayar diukur searah dengan jarum jam dan patokan adalah arah mata angin Utara.

Jika kapal berlayar dengan arah $240^{\circ}$ dari pelabuhan $A$ dan dua jam kemudian kapal berlayar dengan arah $180^{\circ}$ dari pelabuhan yang sama dapat kita gambarkan seperti berikut ini:

Dari gambar di atas $\angle BAC=240^{\circ}-180^{\circ}=60^{\circ} $, sehingga jarak kedua kapal yang kita misalkan dengan $BC$ pada gambar adalah:

$\begin{align} a^{2} &= b^{2} + c^{2} -2bc\cdot \cos BAC \\ BC^{2} &= 30^{2} + 20^{2} -2 \left( 30 \right)\left( 20 \right)\cdot \cos 60^{\circ} \\ BC^{2} &= 900 + 400 -1200\ \cdot \frac{1}{2} \\ BC^{2} &= 1300 - 600 \\ BC &= \sqrt{700} = 10 \sqrt{7} \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10 \sqrt{7}\ km$

11. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus

Sebuah segitiga $ABC$ dimana sudut $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle C = 75^{\circ}$ dan panjang sisi $b = 6\ cm$, maka panjang sisi $a = \cdots cm$

$\begin{align} (A)\ & 3 \sqrt{6} \\ (B)\ & 6 \sqrt{6} \\ (C)\ & 2 \sqrt{2} \\ (D)\ & 6 \sqrt{3} \\ (E)\ & 6 \sqrt{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:

Dari segitiga $ABC$ di atas $\angle B=180^{\circ}-\left( 60^{\circ}+75^{\circ} \right)=45^{\circ}$. Dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh:

\begin{aligned} \dfrac{AC}{\sin\ B} &= \dfrac{BC}{\sin\ A} \\ \dfrac{6}{\sin\ 45^{\circ}} &= \dfrac{a}{\sin\ 60^{\circ}} \\ \dfrac{6}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} &= \dfrac{a}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} \\ \dfrac{6}{ \sqrt{2}} &= \dfrac{a}{ \sqrt{3}} \\ \dfrac{6}{ \sqrt{2}} \cdot \sqrt{3} &= a \\ 3 \sqrt{6} &= a \end{aligned}

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3 \sqrt{6}$

12. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus

Sebuah segitiga $KLM$ dimana $ \angle L = 45^{\circ}$. Jika sisi $KM = 8\ cm$ dan $ML = 4\sqrt{2}\ cm$ maka besar $\angle K = \cdots$

$\begin{align} (A)\ & 30^{\circ} \\ (B)\ & 45^{\circ} \\ (C)\ & 60^{\circ} \\ (D)\ & 120^{\circ} \\ (E)\ & 150^{\circ} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:

Dari segitiga $KLM$ di atas dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh:

\begin{aligned} \dfrac{k}{\sin\ K} &= \dfrac{l}{\sin\ L} \\ \dfrac{4\sqrt{2}}{\sin\ K} &= \dfrac{8}{\sin\ 45^{\circ}} \\ \dfrac{ \sqrt{2}}{\sin\ K} &= \dfrac{2}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} \\ \sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} &= 2 \sin\ K \\ \dfrac{1}{2} &= sin\ K \\ 30^{\circ} &= K \end{aligned}

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 30^{\circ}$

13. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus

Dari segitiga $ABC$ diketahui sisi $a = \sqrt{27}\ cm$, $b = 3\sqrt{ 2}\ cm$ dan $\angle A = 60^{\circ}$. Besar $\angle C = \cdots$

$\begin{align} (A)\ & 30^{\circ} \\ (B)\ & 45^{\circ} \\ (C)\ & 60^{\circ} \\ (D)\ & 75^{\circ} \\ (E)\ & 120^{\circ} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:

Dari segitiga $ABC$ di atas dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh:

\begin{aligned} \dfrac{a}{\sin\ A} &= \dfrac{b}{\sin\ B} \\ \dfrac{3\sqrt{3}}{\sin\ 60^{\circ}} &= \dfrac{3\sqrt{2}}{\sin\ B} \\ \dfrac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2} \sqrt{3}} &= \dfrac{\sqrt{2}}{\sin\ B} \\ 2 &= \dfrac{\sqrt{2}}{\sin\ B} \\ \sin B &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \angle B &= 45^{\circ}\ \longrightarrow \angle C= 75^{\circ} \end{aligned}

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 75^{\circ}$

14. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus

Jika dalam segitiga $ABC$ berlaku hubungan $a^{2} \left( 1 + \cos A \right) = 2bc \cdot \sin 2A$, maka segitiga $ABC$ berbentuk...

$\begin{align} (A)\ & \text{sama sisi} \\ (B)\ & \text{sama kaki} \\ (C)\ & \text{siku-siku} \\ (D)\ & \text{sembarang} \\ (E)\ & \text{bukan segitiga} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

\begin{aligned} a^{2} \left( 1 + \cos A \right) &= 2bc \cdot \sin^{2} A \\ \left( b^{2} + c^{2} -2bc\cdot \cos A \right) \left( 1 + \cos A \right) &= 2bc \cdot \left( 1 - \cos^{2} A \right) \\ \left( b^{2} + c^{2} -2bc\cdot \cos A \right) \left( 1 + \cos A \right) &= 2bc \cdot \left( 1 - \cos A \right)\left( 1 + \cos A \right) \\ b^{2} + c^{2} -2bc\cdot \cos A &= 2bc \cdot \left( 1 - \cos A \right) \\ b^{2} + c^{2} -2bc\cdot \cos A &= 2bc - 2bc \cos A \\ b^{2} + c^{2} &= 2bc \\ b^{2} + c^{2} -2bc &= 0 \\ \left( b - c \right)^{2} &= 0 \\ b - c &= 0 \\ b &= c \end{aligned}

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \text{sama kaki}$

15. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus

Dari segitiga $PQR$ diketahui sisi $r = 2\ cm$, sisi $p = 12\ cm$ dan $\angle R = 30^{\circ}$ maka panjang sisi $q = \cdots cm$

$\begin{align} (A)\ & 2\sqrt{3} \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 3\sqrt{3} \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 4\sqrt{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:

Dari segitiga $PQR$ di atas dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh:

\begin{aligned} \dfrac{r}{\sin\ R} &= \dfrac{p}{\sin\ P} \\ \dfrac{2}{\sin\ 30^{\circ}} &= \dfrac{2\sqrt{3}}{\sin\ P} \\ \dfrac{2}{\frac{1}{2}} &= \dfrac{2\sqrt{3}}{\sin P} \\ \sin P &= \dfrac{2\sqrt{3}}{4} \\ \sin\ P &= \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ \angle P &= 60^{\circ} \longrightarrow \angle Q = 90^{\circ} \\ \hline \dfrac{r}{\sin\ R} &= \dfrac{q}{\sin\ Q} \\ \dfrac{2}{\sin\ 30^{\circ}} &= \dfrac{q}{\sin\ 90^{\circ}} \\ \dfrac{2}{\frac{1}{2}} &= \dfrac{q}{1} \\ 4 &= q \end{aligned}

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$

16. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus

Suatu segitiga $ABC$ diketahui sisi $AB = \sqrt{27}\ cm$ dan $AC = 3\ cm$ serta $BC = 6\ cm$. Maka besar $\angle B = \cdots$

$\begin{align} (A)\ & 30^{\circ} \\ (B)\ & 45^{\circ} \\ (C)\ & 60^{\circ} \\ (D)\ & 90^{\circ} \\ (E)\ & 120^{\circ} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:

Dari segitiga $ABC$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:

$\begin{align} b^{2} &= a^{2} + c^{2} -2ac\cdot \cos B \\ \left( 3 \right)^{2} &= \left( 6 \right)^{2}+ \left( 3\sqrt{3} \right)^{2} -2\left( 6 \right)\left( 3\sqrt{3} \right)\cdot \cos B \\ 9 &= 36 + 27 - 36\sqrt{3} \cdot \cos B \\ 9 &= 63 - 36\sqrt{3} \cdot \cos B \\ -54 &= - 36\sqrt{3} \cdot \cos B \\ \cos B &= \dfrac{-54}{- 36\sqrt{3}}= \dfrac{3}{2\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ B &= 30^{\circ} \\ \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 30^{\circ}$

17. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus

Pada segitiga $ABC$ dimana sisi $AB = 6\sqrt{3}\ cm$, $BC = 6\ cm$ dan $\angle B = 30^{\circ}$. Maka nilai $\cos C = \cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{2} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ (C)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ (D)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (E)\ & -\dfrac{1}{2}\sqrt{3} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:

Dari segitiga $ABC$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:

$\begin{align} b^{2} &= a^{2} + c^{2} -2ac\cdot \cos B \\ b^{2} &= \left( 6 \right)^{2} + \left( 6\sqrt{3} \right)^{2} - 2 \left( 6 \right) \left( 6\sqrt{3} \right)\cdot \cos 30^{\circ} \\ b^{2} &= 36 + 108 - 72\sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ b^{2} &= 36+108 - 108 =36 \\ b &= \sqrt{36} = 6 \end{align}$

Karena $AC=BC=6$ maka $\angle A = \angle B =30^{\circ}$ dan $\angle C = 180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$.
$\begin{align} \cos C &= \cos 120^{\circ} \\ &= \cos\ \left( 180^{\circ}-120^{\circ} \right) \\ &= - \cos 60^{\circ} = -\dfrac{1}{2} \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\dfrac{1}{2}$

18. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus

Sebuah segitiga $ABC$ dimana sisi $a = 3\ cm$, $b = 15\ cm$ dan $c = 2\sqrt{3}\ cm$. Nilai $\sin C=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{5}\sqrt{5} \\ (B)\ & \dfrac{2}{5}\sqrt{5} \\ (C)\ & \dfrac{1}{3}\sqrt{5} \\ (D)\ & \dfrac{2}{3}\sqrt{5} \\ (E)\ & \dfrac{2}{5}\sqrt{3} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:

Dari segitiga $ABC$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:

$\begin{align} c^{2} &= a^{2} + b^{2} -2ab \cdot \cos C \\ \left( 2\sqrt{3} \right)^{2} &= \left( \sqrt{3} \right)^{2} + \left( \sqrt{15} \right)^{2} - 2 \left( \sqrt{3} \right) \left( \sqrt{15} \right)\cdot \cos C \\ 12 &= 3 + 15 - 6\sqrt{5} \cdot \cos C \\ -6 &= - 6\sqrt{5} \cdot \cos C \\ \dfrac{-6}{-6\sqrt{5}} &= \cos C \\ \dfrac{1}{5} \sqrt{5} &= \cos C \\ \hline \sin^{2}C &= 1-\cos^{2} C \\ &= 1- \left( \dfrac{1}{5} \sqrt{5} \right)^{2} = 1 - \dfrac{1}{5} \\ \sin C &= \sqrt{\dfrac{4}{5}}= \pm \dfrac{2}{5}\sqrt{5} \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{2}{5}\sqrt{5}$

19. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus

Dua buah kapal $P$ dan $Q$ berjarak $12\ km$. kapal $Q$ letaknya pada arah $100^{\circ}$ dari $P$ dan kapal $R$ pada arah $130^{\circ}$ dari $P$. Jika kapal $R$ letaknya $250^{\circ}$ dari kapal $Q$ maka jarak kapal $R$ ke kapal $Q$ adalah...$km$

$\begin{align} (A)\ & 6 \sqrt{3} \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 4 \sqrt{3} \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 4 \sqrt{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Pada jurusan tiga angka, arah kapal berlayar diukur searah dengan jarum jam dan patokan adalah arah mata angin Utara.

Jika kapal berlayar dengan arah $240^{\circ}$ dari pelabuhan $A$ dan dua jam kemudian kapal berlayar dengan arah $180^{\circ}$ dari pelabuhan yang sama dapat kita gambarkan seperti berikut ini:

Pada gambar di atas $\angle QPR=130^{\circ}-100^{\circ}=30^{\circ} $, sehingga kita peroleh sudut sebesar $10^{\circ}$ pada $P$. Sudut $10^{\circ}$ pada $P$ adalah sudut berseberangan dengan sudut pada $Q$ sehingga besarnya sama $10^{\circ}$. Sudut $20^{\circ}$ diperoleh dari $270^{\circ}-250^{\circ}$ sehingga kita peroleh $\angle PQR= 30^{\circ}$ dan $\angle QRP= 120^{\circ}$.

Jarak kapal $R$ ke kapal $Q$ adalah \begin{aligned} \dfrac{PQ}{\sin\ R} &= \dfrac{QR}{\sin\ P} \\ \dfrac{12}{\sin\ 120^{\circ}} &= \dfrac{QR}{\sin\ 30^{\circ}} \\ \dfrac{12}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} &= \dfrac{QR}{\frac{1}{2}} \\ \dfrac{12}{\sqrt{3}} &= QR \\ 4\sqrt{3} &= QR \end{aligned}

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4 \sqrt{3}$

20. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus

Suatu jajaran genjang $ABCD$ dengan panjang $AB = 7\ cm$, $AD = 6\ cm$ dan $BD = 8\ cm$. Nilai cosinus sudut $ADC$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{3} \\ (B)\ & -\dfrac{1}{2} \sqrt{2} \\ (C)\ & \dfrac{1}{2} \sqrt{2} \\ (D)\ & \dfrac{1}{4} \\ (E)\ & -\dfrac{1}{4} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:

Dari jajargenjang $ABCD$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:
$\begin{align} BD^{2} &= AB^{2} + AD^{2} -2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos BAD \\ 8^{2} &= 7^{2} + 6^{2} -2\left( 6 \right)\left( 7 \right)\cdot \cos BAD \\ 64 &= 49 + 36 - 84\cdot \cos BAD \\ -21 &= - 84\cdot \cos BAD \\ \dfrac{-21}{-84} &= \cos BAD \\ \dfrac{1}{4} &= \cos BAD \\ \end{align}$

Dari jajargenjang $ABCD$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \angle ABD + \angle ADC &= 180^{\circ} \\ \angle ADC &= 180^{\circ}-\angle ABD \\ \cos\ \angle ADC &= \cos \left( 180^{\circ}-\angle ABD \right) \\ \cos\ \angle ADC &= - \cos\ \angle ABD \\ \cos\ \angle ADC &= - \dfrac{1}{4} \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -\dfrac{1}{4}$

21. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus

Perhatikan gambar berikut, cosinus sudut $BCD$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{38}{81} \\ (B)\ & \dfrac{13}{27} \\ (C)\ & \dfrac{41}{81} \\ (D)\ & \dfrac{14}{27} \\ (E)\ & \dfrac{43}{81} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Dari segiempat $ABCD$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:
$\begin{align} BD^{2} &= AB^{2} + AD^{2} -2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos BAD \\ BD^{2} &= 8^{2} + 10^{2} -2\left( 8 \right)\left( 10 \right)\cdot \cos 60^{\circ} \\ BD^{2} &= 64 + 100 - 160 \cdot \dfrac{1}{2} \\ BD^{2} &= 64 + 100 - 80 = 84 \\ \hline BD^{2} &= BC^{2} + CD^{2} -2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos BCD \\ 84 &= 9^{2} + 9^{2} -2\left( 9 \right)\left( 9 \right)\cdot \cos BCD \\ 84 &= 81 + 81 - 162 \cdot \cos BCD \\ -78 &= - 162 \cdot \cos BCD \\ \dfrac{-78}{-162} &= \cos BCD \\ \dfrac{13}{27} &= \cos BCD \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{13}{27}$

22. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus

Diketahui segitiga $ABC$ dengan panjang $AC = 3\ cm$, $AB = 2\ cm$ dan $\angle A = 60^{\circ}$. Maka nilai $\cos C = \cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{3}\sqrt{7} \\ (B)\ & \dfrac{3}{2}\sqrt{7} \\ (C)\ & \dfrac{2}{7}\sqrt{7} \\ (D)\ & \dfrac{1}{3}\sqrt{6} \\ (E)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{6} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:

Dari segitiga $ABC$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:

$\begin{align} a^{2} &= b^{2} + c^{2} -2bc\cdot \cos A \\ a^{2} &= \left( 3 \right)^{2} + \left( 2 \right)^{2} - 2 \left( 3 \right) \left( 2 \right)\cdot \cos 60^{\circ} \\ a^{2} &= 9 + 4 - 12 \cdot \dfrac{1}{2} \\ a^{2} &= 13-6=7 \\ \hline c^{2} &= a^{2} + b^{2} -2ab\cdot \cos C \\ 4 &= 7 + 9 - 2 \left( \sqrt{7} \right) \left( 3 \right)\cdot \cos C \\ 4 &= 16 - 6 \sqrt{7} \cdot \cos C \\ -12 &= - 6 \sqrt{7} \cdot \cos C \\ \dfrac{-12}{-6\sqrt{7}} &= \cos C \\ \dfrac{2}{7}\sqrt{7} &= \cos C \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{2}{7}\sqrt{7}$

23. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus

Pada segitiga $ABC$ diketahui $AB = 6\ cm$ sudut $A = 30^{\circ}$ dan sudut $B = 45^{\circ}$, maka panjang sisi $AC = \cdots$

$\begin{align} (A)\ & 4 \left( 1+\sqrt{3} \right) \\ (B)\ & 4 \left( 1-\sqrt{3} \right) \\ (C)\ & 6 \left( \sqrt{3}+1 \right) \\ (D)\ & 6 \left( \sqrt{3}-1 \right) \\ (E)\ & 5 \left( \sqrt{3}+1 \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:

Dari segitiga $ABC$ di atas $\angle C=180^{\circ}-\left( 30^{\circ}+45^{\circ} \right)=105^{\circ}$ dan dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh:

$\begin{align} \dfrac{c}{\sin\ C} &= \dfrac{b}{\sin\ B} \\ \dfrac{6}{\sin\ 105^{\circ}} &= \dfrac{AC}{\sin\ 45^{\circ}} \\ \hline \sin\ \left( \alpha + \beta \right) &= \sin\ \alpha \cdot \cos\ \beta + \sin\ \beta \cdot \cos\ \alpha \\ \sin\ \left( 60^{\circ} + 45^{\circ} \right) &= \sin\ 60^{\circ} \cdot \cos\ 45^{\circ} + \sin\ 45^{\circ} \cdot \cos\ 60^{\circ} \\ \sin\ \left( 105^{\circ} \right) &= \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{2} \sqrt{2} + \dfrac{1}{2} \sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2} \\ &= \dfrac{1}{4} \sqrt{6} + \dfrac{1}{4} \sqrt{2} \\ &= \dfrac{1}{4}\sqrt{2} \left( \sqrt{3} + 1 \right) \\ \hline \dfrac{AC}{\sin\ 45^{\circ}} &= \dfrac{6}{\sin\ 105^{\circ}} \\ \dfrac{AC}{\frac{1}{4} \sqrt{2} } &= \dfrac{6}{\dfrac{1}{4}\sqrt{2} \left( \sqrt{3} + 1 \right)} \\ AC &= \dfrac{12}{ \sqrt{3} + 1 } \\ AC &= \dfrac{ 12 }{ \sqrt{3} + 1 } \cdot \dfrac{\sqrt{3} - 1}{ \sqrt{3} - 1} \\ AC &= \dfrac{12 \left( \sqrt{3} - 1 \right)}{ 3-1 } \\ AC &= 6 \left( \sqrt{3} - 1 \right) \\ \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 6 \left( \sqrt{3}-1 \right)$

24. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus

Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan $A$ kepelabuhan $B$ sejauh $60\ mil$ dengan arah $040^{\circ}$ dari $A$, kemudian berputar haluan dilanjutkan ke pelabuhan $C$ sejauh $90\ mil$, dengan arah $160^{\circ}$ dari $B$. Jarak terdekat dari pelabuhan $A$ ke $C$ adalah$\cdot mil$.

$\begin{align} (A)\ & 30 \sqrt{2} \\ (B)\ & 30 \sqrt{5} \\ (C)\ & 30 \sqrt{7} \\ (D)\ & 30 \sqrt{10} \\ (E)\ & 30 \sqrt{30} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Pada jurusan tiga angka, arah kapal berlayar diukur searah dengan jarum jam dan patokan adalah arah mata angin Utara.

Apa yang disampaikan pada soal jika kita gambarkan ilustrasinya seperti berikut ini:

Dari gambar di atas $\angle ABC=60^{\circ}$, sehingga jarak kedua pelabuhan $AC$ adalah:

$\begin{align} AC^{2} &= AB^{2} + BC^{2} -2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos BAC \\ AC^{2} &= 60^{2} + 90^{2} -2 \cdot 60 \cdot 90 \cdot \cos 60^{\circ} \\ AC^{2} &= 3.600 + 8.100 -2 \cdot 60 \cdot 90 \cdot \dfrac{1}{2} \\ BC^{2} &= 11.700-5.400 \\ BC &= \sqrt{6.300} = 30 \sqrt{7} \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 30 \sqrt{7}\ km$

25. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus

Pada sebarang segitiga $ABC$ berlaku $\dfrac{a+b}{b}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{\sin A + \sin B}{\sin B} \\ (B)\ & \dfrac{1 + \sin A \cdot \sin B}{\sin A \cdot \sin B} \\ (C)\ & \dfrac{\sin A + \sin B}{\sin A} \\ (D)\ & \dfrac{\sin A + 1}{\sin B} \\ (E)\ & 1 + \tan \frac{A}{B} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Dengan menggunkan aturan sinus $\dfrac{a}{\sin\ A}=\dfrac{b}{\sin\ B}$, dapat kita peroleh:

$\begin{align} \dfrac{a}{\sin\ A} &= \dfrac{b}{\sin\ B} \\ \dfrac{a}{b} &= \dfrac{\sin\ A}{\sin\ B} \\ \hline \dfrac{a+b}{b} &= \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{b} \\ &= \dfrac{\sin\ A}{\sin\ B} + \dfrac{\sin\ B}{\sin\ B} \\ &= \dfrac{\sin\ A + \sin B}{\sin\ B} \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{\sin A + \sin B}{\sin B} $

26. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus

Diberikan segitiga $ABC$ dengan $\angle ACB = 105^{\circ}$, $\angle ABC = 45^{\circ}$, dan $AB =\left( \sqrt{2}+\sqrt{6} \right)\ cm$. Panjang sisi $BC$ sama dengan...

$\begin{align} (A)\ & \sqrt{3}\ cm \\ (B)\ & \sqrt{6}\ cm \\ (C)\ & 2\ cm \\ (D)\ & 3\ cm \\ (E)\ & 2\sqrt{2}\ cm \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:

Dari segitiga $ABC$ di atas $\angle A=180^{\circ}-\left( 105^{\circ}+45^{\circ} \right)=30^{\circ}$ dan dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh:

\begin{aligned} \dfrac{a}{\sin\ A} &= \dfrac{C}{\sin\ C} \\ \dfrac{BC}{\sin\ 30^{\circ}} &= \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\sin\ 105} \\ \hline \sin\ \left( \alpha + \beta \right) &= \sin\ \alpha \cdot \cos\ \beta + \sin\ \beta \cdot \cos\ \alpha \\ \sin\ \left( 60^{\circ} + 45^{\circ} \right) &= \sin\ 60^{\circ} \cdot \cos\ 45^{\circ} + \sin\ 45^{\circ} \cdot \cos\ 60^{\circ} \\ \sin\ \left( 105^{\circ} \right) &= \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{2} \sqrt{2} + \dfrac{1}{2} \sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2} \\ &= \dfrac{1}{4} \sqrt{6} + \dfrac{1}{4} \sqrt{2} \\ &= \dfrac{1}{4} \left( \sqrt{6} + \sqrt{2} \right) \\ \hline \dfrac{BC}{\frac{1}{2}} &= \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\dfrac{1}{4} \left( \sqrt{6} + \sqrt{2} \right)} \\ \dfrac{BC}{\frac{1}{2}} &= \dfrac{1}{\dfrac{1}{4} } \\ BC &= 2 \\ \end{aligned}

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2\ cm$

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Cara Membuktikan dan Menggunakan Aturan Sinus atau Aturan Cosinus silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Cara Cepat Menghafal Menghafal Nilai Sudut Istimewa Perbandingan Trigonometri;