Membuktikan - Menggunakan Aturan Sinus dan Aturan Cosinus
Aturan Sinus dan Aturan Cosinus
Calon guru belajar matematika dasar SMA tentang Cara Membuktikan dan Menggunakan Aturan Sinus atau Aturan Cosinus.
Aturan Sinus dan Aturan Cosinus adalah pengembangan dari materi perbandingan trigonometri. Sebelumnya kita ketahui bahwa perbandingan trigonometri diperoleh dan ditemukan dari perbadingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku sehingga dominan masalah yang berkembang masih disekitaran segitiga siku-siku.
Tetapi dengan ditemukannya aturan sinus dan aturan cosinus ini pemakaian perbandingan trigonometri semakin luas. Perbandingan Trigonometri dapat digunakan pada segitiga sebarang, yang penting unsur-unsur yang diketahui cukup untuk mengggunakan aturan sinus atau aturan cosinus.
Untuk bisa membuktikan Aturan Sinus atau Aturan Cosinus, kita setidaknya sudah mengetahui tentang perbandingan trigonometri, teorema phytagoras, dan aturan-aturan dalam aljabar matematika.
ATURAN SINUS
Untuk segitiga $ABC$ dimana sisi di depan sudut $A$ adalah sisi $a$, sisi di depan sudut $B$ adalah sisi $b$ dan sisi di depan sudut $C$ adalah sisi $c$ maka berlaku:
\begin{aligned}
\dfrac{a}{\sin\ A}=\dfrac{b}{\sin\ B}=\dfrac{c}{\sin\ C}
\end{aligned}
Alternatif Pembuktian:
Pada segitiga $ABC$ kita tarik garis tinggi dari titik $B$ ke $AC$, kita peroleh garis $BD$ tegak lurus $AC$.
$\begin{align}
\sin\ A &= \dfrac{BD}{c} \\ c \cdot \sin\ A &= BD\ \cdots \cdots \cdots \left[ \text{pers.(1)} \right]
\end{align}$
Dari $\bigtriangleup CBD$ kita peroleh:
$\begin{align}
\sin\ C &= \dfrac{BD}{a} \\ a \cdot \sin\ C &= BD\ \cdots \cdots \cdots \left[ \text{pers.(2)} \right]
\end{align}$
Nilai $BD$ dari $\text{pers.(1)}$ dan $\text{pers.(2)}$ kita peroleh
$\begin{align}
c \cdot \sin\ A &= a \cdot \sin\ C \\ \dfrac{c}{\sin\ C} &= \dfrac{a}{\sin\ A}\ \cdots \cdots \cdots \left[ \text{pers.(3)} \right]
\end{align}$
Pada segitiga $ABC$ kita tarik garis tinggi dari titik $C$ ke $AB$, kita peroleh garis $CE$ tegak lurus $AB$.
$\begin{align}
\sin\ A &= \dfrac{CE}{b} \\ b \cdot \sin\ A &= CE\ \cdots \cdots \cdots \left[ \text{pers.(4)} \right]
\end{align}$
Dari $\bigtriangleup BCE$ kita peroleh:
$\begin{align}
\sin\ B &= \dfrac{CE}{a} \\ a \cdot \sin\ B &= CE\ \cdots \cdots \cdots \left[ \text{pers.(5)} \right]
\end{align}$
Nilai $CE$ dari $\text{pers.(4)}$ dan $\text{pers.(5)}$ kita peroleh:
$\begin{align}
b \cdot \sin\ A &= a \cdot \sin\ B \\ \dfrac{a}{\sin\ A} &= \dfrac{b}{\sin\ B}\ \cdots \cdots \cdots \left[ \text{pers.(6)} \right]
\end{align}$
Dari $\text{pers.(3)}$ dan $\text{pers.(6)}$ kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{a}{\sin\ A} &= \dfrac{b}{\sin\ C} \\
\dfrac{a}{\sin\ A} &= \dfrac{b}{\sin\ B} \\
\end{align}$
$\therefore$ Terbukti $\dfrac{a}{\sin\ A} = \dfrac{b}{\sin\ B} = \dfrac{c}{\sin\ C}$
ATURAN COSINUS
Untuk segitiga $ABC$ dimana sisi di depan sudut $A$ adalah sisi $a$, sisi di depan sudut $B$ adalah sisi $b$ dan sisi di depan sudut $C$ adalah sisi $c$ maka berlaku:
\begin{aligned}
a^{2} =b^{2}+c^{2}-2bc\ \cos\ A \\ b^{2} =a^{2}+c^{2}-2ac\ \cos\ B \\ c^{2} =a^{2}+b^{2}-2ab\ \cos\ C \\ \end{aligned}
Alternatif Pembuktian:
Pada segitiga $ABC$ kita tarik garis tinggi dari titik $B$ ke $AC$, kita peroleh garis $BD$ tegak lurus $AC$.
$\begin{align}
AB^{2} &= AD^{2}+BD^{2} \\ c^{2} &= AD^{2}+BD^{2} \\ \hline
\sin\ A &= \dfrac{BD}{c} \\ c \cdot \sin\ A &= BD
\end{align}$
Dari $\bigtriangleup ABD$ kita peroleh:
$\begin{align}
\cos\ A &= \dfrac{AD}{c} \\ c \cdot \cos\ A &= AD
\end{align}$
$\begin{align}
BC^{2} &= CD^{2} + BD^{2} \\ a^{2} &= \left( b - AD \right)^{2} + \left( c \cdot \sin\ A \right)^{2} \\ a^{2} &= \left( b - c \cdot \cos\ A \right)^{2} + c^{2} \cdot \sin^{2} A \\ a^{2} &= b^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos\ A + c^{2} \cdot \cos^{2} A + c^{2} \cdot \sin^{2} A \\ a^{2} &= b^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos\ A + c^{2} \left( \sin^{2} A + \cos^{2} A \right) \\ a^{2} &= b^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos\ A + c^{2} \left( 1 \right) \\ a^{2} &= b^{2}+c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos\ A
\end{align}$
$\therefore$ Terbukti $a^{2} = b^{2}+c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos\ A$
Dengan cara yang sama dapat dibuktikan:
$b^{2} = a^{2}+c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos\ B$
$c^{2} = a^{2}+b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos\ C$
Berikut ini kita lihat beberapa soal yang dapat diselesaikan dengan bantuan aturan sinus atau aturan cosinus, soal kita pilih secara acak untuk menggunakan aturan sinus atau cosinus. Soal-soal yang kita pilih di bawah ini berasal dari pertanyaan aturan sinus atau cosinus yang ditanyakan pada grup-grup belajar atau grup diskusi pada media sosial, whatsapp grup atau grup telegram.
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari informasi pada gambar dan dengan aturan sinus, berlaku:
$\begin{align}
\dfrac{a}{\sin\ A} &= \dfrac{b}{\sin\ B} \\
\dfrac{6}{\sin\ 30^{\circ}} &= \dfrac{b}{\sin\ 45^{\circ}} \\
\dfrac{6}{\frac{1}{2}} &= \dfrac{b}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} \\
\dfrac{6}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} &= b \\
6 \sqrt{2} &= b
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada gambar dan dengan aturan sinus, berlaku:
$\begin{align}
\dfrac{QR}{\sin\ QPR} &= \dfrac{PR}{\sin\ PQR} \\
\dfrac{8}{\sin\ 45^{\circ}} &= \dfrac{PR}{\sin\ 30^{\circ}} \\
\dfrac{8}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} &= \dfrac{PR}{\frac{1}{2}} \\
\dfrac{8}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} &= PR \\
4 \sqrt{2} &= PR
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
$\begin{align}
c^{2} &= a^{2}+b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos\ C \\
7^{2} &= 3^{2}+5^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos\ C \\
49 &= 9+25 - 30 \cdot \cos\ C \\
49-34 &= - 30 \cdot \cos\ C \\
\cos\ C &= -\dfrac{15}{30} \\
\cos\ C &= -\dfrac{1}{2} \\
C &= 120^{\circ}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
$\begin{align}
a^{2} &= s^{2}+m^{2} - 2 \cdot s \cdot m \cdot \cos\ A \\
&= (2a)^{2}+(a)^{2} - 2 \cdot 2a \cdot a \cdot \cos\ 120^{\circ} \\
&= 4a^{2}+a^{2} - 4a^{2} \cdot \left( -\dfrac{1}{2} \right) \\
&= 4a^{2}+a^{2} + 2a^{2} \\
&= 7a^{2} \\
a &= \sqrt{7a^{2}} \\
&= a\sqrt{7}
\end{align}$
Untuk menambah pemahaman kita terkait Menggunakan Aturan Sinus atau Aturan Cosinus ini, mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Aturan Sinus atau Aturan Cosinus Matematika SMA Kurikulum 2013 dan soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
Jika tertarik untuk diskusi terkait Soal-soal Menggunakan Aturan Sinus atau Aturan Cosinus yang sudah pernah diujikan pada seleksi masuk perguruan tinggi negeri (PTN) yang dilaksanakan secara nasional atau mandiri silahkan disimak pada catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Trigonometri.
1. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus
Sebuah segitiga $ABC$ diketahui panjang sisi $AB = 12\ cm$, $\angle B = 75^{\circ}$ dan $\angle A = 60^{\circ}$, maka panjang sisi $BC =\cdots cm$$\begin{align} (A)\ & 4 \sqrt{6} \\ (B)\ & 6 \sqrt{6} \\ (C)\ & 6 \sqrt{2} \\ (D)\ & 8 \sqrt{2} \\ (E)\ & 8 \sqrt{3} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $ABC$ di atas $\angle C=180^{\circ}-\left( 60^{\circ}+75^{\circ} \right)=45^{\circ}$. Dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh:
\begin{aligned} \dfrac{BC}{\sin\ A} &= \dfrac{AB}{\sin\ C} \\ \dfrac{BC}{\sin\ 60^{\circ}} &= \dfrac{12}{\sin\ 45^{\circ}} \\ \dfrac{BC}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} &= \dfrac{12}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} \\ BC &= \dfrac{12 \cdot \sqrt{3}}{ \sqrt{2}} \\ BC &= \dfrac{12 \sqrt{3}}{ \sqrt{2}} \cdot \dfrac{ \sqrt{2}}{ \sqrt{2}} \\ BC &= \dfrac{12 \sqrt{6}}{2} \\ BC &= 6 \sqrt{6} \\ \end{aligned}
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6 \sqrt{6}$
2. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus
Sebuah segitiga $PQR$ diketahui panjang sisi $PQ = 4 \sqrt{3}\ cm$, $PR = 4\ cm$ dan $\angle R = 60^{\circ}$ maka besar $\angle Q = \cdots $$\begin{align} (A)\ & 30^{\circ} \\ (B)\ & 60^{\circ} \\ (C)\ & 90^{\circ} \\ (D)\ & 120^{\circ} \\ (E)\ & 150^{\circ} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $PQR$ di atas dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh:
\begin{aligned} \dfrac{q}{\sin\ Q} &= \dfrac{r}{\sin\ R} \\ \dfrac{4}{\sin\ Q} &= \dfrac{4\sqrt{3}}{\sin\ 60^{\circ}} \\ \dfrac{1}{\sin\ Q} &= \dfrac{ \sqrt{3}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} \\ \dfrac{1}{\sin\ Q} &= \dfrac{1}{\frac{1}{2} } \\ \sin\ Q &= \dfrac{1}{2} \\ \angle Q &= 30^{\circ} \end{aligned}
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 30^{\circ}$
3. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus
Sebuah segitiga $ABC$ diketahui sisi $a = 3\ cm$, $b = 3\sqrt{3}\ cm$ dan $\angle A = 30^{\circ}$, maka panjang sisi $c = \cdots cm$$\begin{align} (A)\ & 4\sqrt{3} \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 3\sqrt{2} \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $ABC$ di atas dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh:
\begin{aligned} \dfrac{a}{\sin\ A} &= \dfrac{b}{\sin\ B} \\ \dfrac{3}{\sin\ 30^{\circ}} &= \dfrac{3\sqrt{3}}{\sin\ B} \\ \dfrac{1}{\frac{1}{2}} &= \dfrac{\sqrt{3}}{\sin B} \\ \sin\ B &= \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ \angle B &= 60^{\circ} \longrightarrow \angle C=90^{\circ} \end{aligned}
Dengan $\angle C=90^{\circ}$ sehingga segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku di $C$, maka untuk menghitung $c$ dapat kita gunakan teorema pythagoras atau aturan sinus.
Dengan menggunakan aturan sinus:
\begin{aligned}
\dfrac{a}{\sin\ A} &= \dfrac{c}{\sin\ C} \\
\dfrac{3}{\sin\ 30^{\circ}} &= \dfrac{c}{\sin\ 90^{\circ}} \\
\dfrac{3}{\frac{1}{2}} &= \dfrac{c}{1} \\
6 &= c
\end{aligned}
Dengan menggunakan teorema pythagoras kita peroleh:
$\begin{align}
c^{2} \ &= a^{2} + b^{2} \\
c^{2} \ &= 3^{2} + \left(3 \sqrt{3} \right)^{2} \\
c^{2} \ &= 9 + 27 \\
c^{2} \ &= 36 \longrightarrow c=6
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6$
4. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus
Dari segitiga $ABC$ diketahui sisi $AB = 6\ cm$, $AC = 4\ cm$ dan $\angle A = 60^{\circ}$, maka panjang sisi $BC = \cdots cm$$\begin{align} (A)\ & 2\sqrt{7} \\ (B)\ & 4\sqrt{3} \\ (C)\ & 4\sqrt{2} \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $ABC$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:
$\begin{align} a^{2} &= b^{2} + c^{2} -2bc\cdot \cos A \\ a^{2} &= \left(4 \right)^{2} + \left(6 \right)^{2} -2\left(4 \right)\left(6 \right)\cdot \cos 60^{\circ} \\ a^{2} &= 16 + 36 - 48 \cdot \dfrac{1}{2} \\ a^{2} &= 52 - 24 = 28 \\ a &= \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2\sqrt{7}$
5. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus
Suatu segitiga $PQR$ diketahui sisi $PQ = 4\ cm$ dan $QR = 2\sqrt{3}\ cm$ serta $PR = 2\ cm$. Maka besar $\angle Q = \cdots$$\begin{align} (A)\ & 30^{\circ} \\ (B)\ & 60^{\circ} \\ (C)\ & 90^{\circ} \\ (D)\ & 120^{\circ} \\ (E)\ & 330^{\circ} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $PQR$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:
$\begin{align} q^{2} &= p^{2} + r^{2} -2pr\cdot \cos Q \\ \left(2 \right)^{2} &= \left( 2\sqrt{3} \right)^{2} + \left( 4 \right)^{2} -2\left( 2\sqrt{3} \right)\left( 4 \right)\cdot \cos Q \\ 4 &= 12 + 16 - 16\sqrt{3} \cdot \cos Q \\ -24 &= - 16\sqrt{3} \cdot \cos Q \\ \cos Q &= \dfrac{-24}{-16\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ Q &= 30^{\circ} \\ \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 30^{\circ}$
6. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus
Suatu segitiga $ABC$ diketahui sisi $AB = 2\ cm$ dan $AC = 2\sqrt{7}\ cm$ serta $BC = 4\ cm$. Maka besar $\angle B = \cdots$$\begin{align} (A)\ & 30^{\circ} \\ (B)\ & 45^{\circ} \\ (C)\ & 60^{\circ} \\ (D)\ & 90^{\circ} \\ (E)\ & 120^{\circ} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $ABC$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:
$\begin{align} b^{2} &= a^{2} + c^{2} -2ac\cdot \cos B \\ \left( 2\sqrt{7} \right)^{2} &= \left( 4 \right)^{2} + \left( 2 \right)^{2} -2\left( 4 \right)\left( 2 \right)\cdot \cos B \\ 28 &= 16 + 4 - 16 \cdot \cos B \\ 28 &= 20 - 16 \cdot \cos B \\ 8 &= - 16 \cdot \cos B \\ \cos B &= \dfrac{8}{-16}=-\dfrac{1}{2} \\ B &= 120^{\circ} \\ \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 120^{\circ}$
7. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus
Pada segitiga $PQR$ diketahui panjang sisi $QR = 8\ cm$, $PQ = 5\ cm$ dan besar $\angle Q = 60^{\circ}$. Panjang $PR = \cdots cm$$\begin{align} (A)\ & 6\sqrt{3} \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 8\sqrt{2} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $PQR$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:
$\begin{align} q^{2} &= p^{2} + r^{2} -2pr\cdot \cos Q \\ PR^{2} &= \left( 8 \right)^{2} + \left( 5 \right)^{2} -2 \left( 8 \right)\left( 5 \right)\cdot \cos 60^{\circ} \\ PR^{2} &= 64 + 25 -80\ \cdot \dfrac{1}{2} \\ PR^{2} &= 89 - 40 \\ PR^{2} &= 49 \longrightarrow PR=7 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7$
8. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus
Suatu segitiga $ABC$ diketahui sisi $BC = 6\ cm$ dan $AC = 3\sqrt{3}\ cm$ serta $\angle B = 60^{\circ}$. Maka panjang sisi $AB = \cdots cm$$\begin{align} (A)\ & 2\sqrt{3} \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 4\sqrt{2} \\ (D)\ & 3\sqrt{2} \\ (E)\ & 3 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $ABC$ di atas dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh:
$\begin{align} \dfrac{a}{\sin\ A} &= \dfrac{b}{\sin\ B} \\ \dfrac{6}{\sin\ A} &= \dfrac{3\sqrt{3}}{\sin\ 60^{\circ}} \\ \dfrac{2}{\sin\ A} &= \dfrac{ \sqrt{3}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} \\ \dfrac{2}{\sin\ A} &= \dfrac{1}{\frac{1}{2} } \\ \sin A &= 1 \longrightarrow \angle A = 90^{\circ} \end{align}$
$\begin{align} \dfrac{c}{\sin\ C} &= \dfrac{b}{\sin\ B} \\ \dfrac{AB}{\sin\ 30^{\circ}} &= \dfrac{3\sqrt{3}}{\sin\ 60^{\circ}} \\ \dfrac{AB}{\frac{1}{2}} &= \dfrac{3\sqrt{3}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} \\ AB &= 3 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3$
9. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus
Pada segitiga $PQR$ di bawah ini, panjang $PR = \cdots cm$
$\begin{align} (A)\ & 2\ cm \\ (B)\ & 6\ cm \\ (C)\ & 8\ cm \\ (D)\ & 5\sqrt{3}\ cm \\ (E)\ & 6\sqrt{3} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari segitiga $PQR$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:
$\begin{align} r^{2} &= p^{2} + q^{2} -2pq\cdot \cos R \\ \left( 2\sqrt{7} \right)^{2} &= \left( 4 \right)^{2} +q^{2} -2 \left( 4 \right)\left( q \right)\cdot \cos 60^{\circ} \\ 28 &= q^{2} + 16 -2 \left( q \right)\left( 4 \right)\ \cdot \dfrac{1}{2} \\ 28 &= q^{2} + 16 - 4q \\ 0 &= q^{2}-4q-12 \\ 0 &= \left( q-6 \right)\left( q+2 \right) \\ &q=6\ \text{atau} p=-2 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6$
10. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus
Sebuah kapal berlayar dengan arah $240^{\circ}$ dari suatu pelabuhan dengan kecepatan $5\ \frac{km}{jam}$. Dua jam kemudian terdapat kapal lain yang berlayar dengan arah $180^{\circ}$ dari pelabuhan yang sama dengan kecepatan $15\ \frac{km}{jam}$. Berapa jarak kedua kapal tersebut setelah kapal pertama berlayar selama $4\ jam$$\begin{align} (A)\ & 8 \sqrt{6}\ km \\ (B)\ & 10 \sqrt{7}\ km \\ (C)\ & 8 \sqrt{7}\ km \\ (D)\ & 9 \sqrt{6}\ km \\ (E)\ & 8\ km \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pada jurusan tiga angka, arah kapal berlayar diukur searah dengan jarum jam dan patokan adalah arah mata angin Utara.
Jika kapal berlayar dengan arah $240^{\circ}$ dari pelabuhan $A$ dan dua jam kemudian kapal berlayar dengan arah $180^{\circ}$ dari pelabuhan yang sama dapat kita gambarkan seperti berikut ini:
Dari gambar di atas $\angle BAC=240^{\circ}-180^{\circ}=60^{\circ} $, sehingga jarak kedua kapal yang kita misalkan dengan $BC$ pada gambar adalah:
$\begin{align} a^{2} &= b^{2} + c^{2} -2bc\cdot \cos BAC \\ BC^{2} &= 30^{2} + 20^{2} -2 \left( 30 \right)\left( 20 \right)\cdot \cos 60^{\circ} \\ BC^{2} &= 900 + 400 -1200\ \cdot \frac{1}{2} \\ BC^{2} &= 1300 - 600 \\ BC &= \sqrt{700} = 10 \sqrt{7} \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10 \sqrt{7}\ km$
11. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus
Sebuah segitiga $ABC$ dimana sudut $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle C = 75^{\circ}$ dan panjang sisi $b = 6\ cm$, maka panjang sisi $a = \cdots cm$$\begin{align} (A)\ & 3 \sqrt{6} \\ (B)\ & 6 \sqrt{6} \\ (C)\ & 2 \sqrt{2} \\ (D)\ & 6 \sqrt{3} \\ (E)\ & 6 \sqrt{2} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $ABC$ di atas $\angle B=180^{\circ}-\left( 60^{\circ}+75^{\circ} \right)=45^{\circ}$. Dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh:
\begin{aligned} \dfrac{AC}{\sin\ B} &= \dfrac{BC}{\sin\ A} \\ \dfrac{6}{\sin\ 45^{\circ}} &= \dfrac{a}{\sin\ 60^{\circ}} \\ \dfrac{6}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} &= \dfrac{a}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} \\ \dfrac{6}{ \sqrt{2}} &= \dfrac{a}{ \sqrt{3}} \\ \dfrac{6}{ \sqrt{2}} \cdot \sqrt{3} &= a \\ 3 \sqrt{6} &= a \end{aligned}
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3 \sqrt{6}$
12. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus
Sebuah segitiga $KLM$ dimana $ \angle L = 45^{\circ}$. Jika sisi $KM = 8\ cm$ dan $ML = 4\sqrt{2}\ cm$ maka besar $\angle K = \cdots$$\begin{align} (A)\ & 30^{\circ} \\ (B)\ & 45^{\circ} \\ (C)\ & 60^{\circ} \\ (D)\ & 120^{\circ} \\ (E)\ & 150^{\circ} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $KLM$ di atas dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh:
\begin{aligned} \dfrac{k}{\sin\ K} &= \dfrac{l}{\sin\ L} \\ \dfrac{4\sqrt{2}}{\sin\ K} &= \dfrac{8}{\sin\ 45^{\circ}} \\ \dfrac{ \sqrt{2}}{\sin\ K} &= \dfrac{2}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} \\ \sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} &= 2 \sin\ K \\ \dfrac{1}{2} &= sin\ K \\ 30^{\circ} &= K \end{aligned}
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 30^{\circ}$
13. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus
Dari segitiga $ABC$ diketahui sisi $a = \sqrt{27}\ cm$, $b = 3\sqrt{ 2}\ cm$ dan $\angle A = 60^{\circ}$. Besar $\angle C = \cdots$$\begin{align} (A)\ & 30^{\circ} \\ (B)\ & 45^{\circ} \\ (C)\ & 60^{\circ} \\ (D)\ & 75^{\circ} \\ (E)\ & 120^{\circ} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $ABC$ di atas dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh:
\begin{aligned} \dfrac{a}{\sin\ A} &= \dfrac{b}{\sin\ B} \\ \dfrac{3\sqrt{3}}{\sin\ 60^{\circ}} &= \dfrac{3\sqrt{2}}{\sin\ B} \\ \dfrac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2} \sqrt{3}} &= \dfrac{\sqrt{2}}{\sin\ B} \\ 2 &= \dfrac{\sqrt{2}}{\sin\ B} \\ \sin B &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \angle B &= 45^{\circ}\ \longrightarrow \angle C= 75^{\circ} \end{aligned}
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 75^{\circ}$
14. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus
Jika dalam segitiga $ABC$ berlaku hubungan $a^{2} \left( 1 + \cos A \right) = 2bc \cdot \sin 2A$, maka segitiga $ABC$ berbentuk...$\begin{align} (A)\ & \text{sama sisi} \\ (B)\ & \text{sama kaki} \\ (C)\ & \text{siku-siku} \\ (D)\ & \text{sembarang} \\ (E)\ & \text{bukan segitiga} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
\begin{aligned} a^{2} \left( 1 + \cos A \right) &= 2bc \cdot \sin^{2} A \\ \left( b^{2} + c^{2} -2bc\cdot \cos A \right) \left( 1 + \cos A \right) &= 2bc \cdot \left( 1 - \cos^{2} A \right) \\ \left( b^{2} + c^{2} -2bc\cdot \cos A \right) \left( 1 + \cos A \right) &= 2bc \cdot \left( 1 - \cos A \right)\left( 1 + \cos A \right) \\ b^{2} + c^{2} -2bc\cdot \cos A &= 2bc \cdot \left( 1 - \cos A \right) \\ b^{2} + c^{2} -2bc\cdot \cos A &= 2bc - 2bc \cos A \\ b^{2} + c^{2} &= 2bc \\ b^{2} + c^{2} -2bc &= 0 \\ \left( b - c \right)^{2} &= 0 \\ b - c &= 0 \\ b &= c \end{aligned}
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \text{sama kaki}$
15. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus
Dari segitiga $PQR$ diketahui sisi $r = 2\ cm$, sisi $p = 12\ cm$ dan $\angle R = 30^{\circ}$ maka panjang sisi $q = \cdots cm$$\begin{align} (A)\ & 2\sqrt{3} \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 3\sqrt{3} \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 4\sqrt{2} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $PQR$ di atas dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh:
\begin{aligned} \dfrac{r}{\sin\ R} &= \dfrac{p}{\sin\ P} \\ \dfrac{2}{\sin\ 30^{\circ}} &= \dfrac{2\sqrt{3}}{\sin\ P} \\ \dfrac{2}{\frac{1}{2}} &= \dfrac{2\sqrt{3}}{\sin P} \\ \sin P &= \dfrac{2\sqrt{3}}{4} \\ \sin\ P &= \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ \angle P &= 60^{\circ} \longrightarrow \angle Q = 90^{\circ} \\ \hline \dfrac{r}{\sin\ R} &= \dfrac{q}{\sin\ Q} \\ \dfrac{2}{\sin\ 30^{\circ}} &= \dfrac{q}{\sin\ 90^{\circ}} \\ \dfrac{2}{\frac{1}{2}} &= \dfrac{q}{1} \\ 4 &= q \end{aligned}
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$
16. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus
Suatu segitiga $ABC$ diketahui sisi $AB = \sqrt{27}\ cm$ dan $AC = 3\ cm$ serta $BC = 6\ cm$. Maka besar $\angle B = \cdots$$\begin{align} (A)\ & 30^{\circ} \\ (B)\ & 45^{\circ} \\ (C)\ & 60^{\circ} \\ (D)\ & 90^{\circ} \\ (E)\ & 120^{\circ} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $ABC$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:
$\begin{align} b^{2} &= a^{2} + c^{2} -2ac\cdot \cos B \\ \left( 3 \right)^{2} &= \left( 6 \right)^{2}+ \left( 3\sqrt{3} \right)^{2} -2\left( 6 \right)\left( 3\sqrt{3} \right)\cdot \cos B \\ 9 &= 36 + 27 - 36\sqrt{3} \cdot \cos B \\ 9 &= 63 - 36\sqrt{3} \cdot \cos B \\ -54 &= - 36\sqrt{3} \cdot \cos B \\ \cos B &= \dfrac{-54}{- 36\sqrt{3}}= \dfrac{3}{2\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ B &= 30^{\circ} \\ \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 30^{\circ}$
17. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus
Pada segitiga $ABC$ dimana sisi $AB = 6\sqrt{3}\ cm$, $BC = 6\ cm$ dan $\angle B = 30^{\circ}$. Maka nilai $\cos C = \cdots$$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{2} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ (C)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ (D)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (E)\ & -\dfrac{1}{2}\sqrt{3} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $ABC$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:
$\begin{align} b^{2} &= a^{2} + c^{2} -2ac\cdot \cos B \\ b^{2} &= \left( 6 \right)^{2} + \left( 6\sqrt{3} \right)^{2} - 2 \left( 6 \right) \left( 6\sqrt{3} \right)\cdot \cos 30^{\circ} \\ b^{2} &= 36 + 108 - 72\sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ b^{2} &= 36+108 - 108 =36 \\ b &= \sqrt{36} = 6 \end{align}$
Karena $AC=BC=6$ maka $\angle A = \angle B =30^{\circ}$ dan $\angle C = 180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$.
$\begin{align}
\cos C &= \cos 120^{\circ} \\
&= \cos\ \left( 180^{\circ}-120^{\circ} \right) \\
&= - \cos 60^{\circ} = -\dfrac{1}{2}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\dfrac{1}{2}$
18. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus
Sebuah segitiga $ABC$ dimana sisi $a = 3\ cm$, $b = 15\ cm$ dan $c = 2\sqrt{3}\ cm$. Nilai $\sin C=\cdots$$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{5}\sqrt{5} \\ (B)\ & \dfrac{2}{5}\sqrt{5} \\ (C)\ & \dfrac{1}{3}\sqrt{5} \\ (D)\ & \dfrac{2}{3}\sqrt{5} \\ (E)\ & \dfrac{2}{5}\sqrt{3} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $ABC$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:
$\begin{align} c^{2} &= a^{2} + b^{2} -2ab \cdot \cos C \\ \left( 2\sqrt{3} \right)^{2} &= \left( \sqrt{3} \right)^{2} + \left( \sqrt{15} \right)^{2} - 2 \left( \sqrt{3} \right) \left( \sqrt{15} \right)\cdot \cos C \\ 12 &= 3 + 15 - 6\sqrt{5} \cdot \cos C \\ -6 &= - 6\sqrt{5} \cdot \cos C \\ \dfrac{-6}{-6\sqrt{5}} &= \cos C \\ \dfrac{1}{5} \sqrt{5} &= \cos C \\ \hline \sin^{2}C &= 1-\cos^{2} C \\ &= 1- \left( \dfrac{1}{5} \sqrt{5} \right)^{2} = 1 - \dfrac{1}{5} \\ \sin C &= \sqrt{\dfrac{4}{5}}= \pm \dfrac{2}{5}\sqrt{5} \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{2}{5}\sqrt{5}$
19. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus
Dua buah kapal $P$ dan $Q$ berjarak $12\ km$. kapal $Q$ letaknya pada arah $100^{\circ}$ dari $P$ dan kapal $R$ pada arah $130^{\circ}$ dari $P$. Jika kapal $R$ letaknya $250^{\circ}$ dari kapal $Q$ maka jarak kapal $R$ ke kapal $Q$ adalah...$km$$\begin{align} (A)\ & 6 \sqrt{3} \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 4 \sqrt{3} \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 4 \sqrt{2} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pada jurusan tiga angka, arah kapal berlayar diukur searah dengan jarum jam dan patokan adalah arah mata angin Utara.
Jika kapal berlayar dengan arah $240^{\circ}$ dari pelabuhan $A$ dan dua jam kemudian kapal berlayar dengan arah $180^{\circ}$ dari pelabuhan yang sama dapat kita gambarkan seperti berikut ini:
Pada gambar di atas $\angle QPR=130^{\circ}-100^{\circ}=30^{\circ} $, sehingga kita peroleh sudut sebesar $10^{\circ}$ pada $P$. Sudut $10^{\circ}$ pada $P$ adalah sudut berseberangan dengan sudut pada $Q$ sehingga besarnya sama $10^{\circ}$. Sudut $20^{\circ}$ diperoleh dari $270^{\circ}-250^{\circ}$ sehingga kita peroleh $\angle PQR= 30^{\circ}$ dan $\angle QRP= 120^{\circ}$.
Jarak kapal $R$ ke kapal $Q$ adalah \begin{aligned} \dfrac{PQ}{\sin\ R} &= \dfrac{QR}{\sin\ P} \\ \dfrac{12}{\sin\ 120^{\circ}} &= \dfrac{QR}{\sin\ 30^{\circ}} \\ \dfrac{12}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} &= \dfrac{QR}{\frac{1}{2}} \\ \dfrac{12}{\sqrt{3}} &= QR \\ 4\sqrt{3} &= QR \end{aligned}
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4 \sqrt{3}$
20. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus
Suatu jajaran genjang $ABCD$ dengan panjang $AB = 7\ cm$, $AD = 6\ cm$ dan $BD = 8\ cm$. Nilai cosinus sudut $ADC$ adalah...$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{3} \\ (B)\ & -\dfrac{1}{2} \sqrt{2} \\ (C)\ & \dfrac{1}{2} \sqrt{2} \\ (D)\ & \dfrac{1}{4} \\ (E)\ & -\dfrac{1}{4} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari jajargenjang $ABCD$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:
$\begin{align}
BD^{2} &= AB^{2} + AD^{2} -2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos BAD \\
8^{2} &= 7^{2} + 6^{2} -2\left( 6 \right)\left( 7 \right)\cdot \cos BAD \\
64 &= 49 + 36 - 84\cdot \cos BAD \\
-21 &= - 84\cdot \cos BAD \\
\dfrac{-21}{-84} &= \cos BAD \\
\dfrac{1}{4} &= \cos BAD \\
\end{align}$
Dari jajargenjang $ABCD$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\angle ABD + \angle ADC &= 180^{\circ} \\
\angle ADC &= 180^{\circ}-\angle ABD \\
\cos\ \angle ADC &= \cos \left( 180^{\circ}-\angle ABD \right) \\
\cos\ \angle ADC &= - \cos\ \angle ABD \\
\cos\ \angle ADC &= - \dfrac{1}{4}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -\dfrac{1}{4}$
21. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus
Perhatikan gambar berikut, cosinus sudut $BCD$ adalah...$\begin{align} (A)\ & \dfrac{38}{81} \\ (B)\ & \dfrac{13}{27} \\ (C)\ & \dfrac{41}{81} \\ (D)\ & \dfrac{14}{27} \\ (E)\ & \dfrac{43}{81} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari segiempat $ABCD$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:
$\begin{align}
BD^{2} &= AB^{2} + AD^{2} -2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos BAD \\
BD^{2} &= 8^{2} + 10^{2} -2\left( 8 \right)\left( 10 \right)\cdot \cos 60^{\circ} \\
BD^{2} &= 64 + 100 - 160 \cdot \dfrac{1}{2} \\
BD^{2} &= 64 + 100 - 80 = 84 \\
\hline
BD^{2} &= BC^{2} + CD^{2} -2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos BCD \\
84 &= 9^{2} + 9^{2} -2\left( 9 \right)\left( 9 \right)\cdot \cos BCD \\
84 &= 81 + 81 - 162 \cdot \cos BCD \\
-78 &= - 162 \cdot \cos BCD \\
\dfrac{-78}{-162} &= \cos BCD \\
\dfrac{13}{27} &= \cos BCD
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{13}{27}$
22. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus
Diketahui segitiga $ABC$ dengan panjang $AC = 3\ cm$, $AB = 2\ cm$ dan $\angle A = 60^{\circ}$. Maka nilai $\cos C = \cdots$$\begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{3}\sqrt{7} \\ (B)\ & \dfrac{3}{2}\sqrt{7} \\ (C)\ & \dfrac{2}{7}\sqrt{7} \\ (D)\ & \dfrac{1}{3}\sqrt{6} \\ (E)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{6} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $ABC$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:
$\begin{align} a^{2} &= b^{2} + c^{2} -2bc\cdot \cos A \\ a^{2} &= \left( 3 \right)^{2} + \left( 2 \right)^{2} - 2 \left( 3 \right) \left( 2 \right)\cdot \cos 60^{\circ} \\ a^{2} &= 9 + 4 - 12 \cdot \dfrac{1}{2} \\ a^{2} &= 13-6=7 \\ \hline c^{2} &= a^{2} + b^{2} -2ab\cdot \cos C \\ 4 &= 7 + 9 - 2 \left( \sqrt{7} \right) \left( 3 \right)\cdot \cos C \\ 4 &= 16 - 6 \sqrt{7} \cdot \cos C \\ -12 &= - 6 \sqrt{7} \cdot \cos C \\ \dfrac{-12}{-6\sqrt{7}} &= \cos C \\ \dfrac{2}{7}\sqrt{7} &= \cos C \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{2}{7}\sqrt{7}$
23. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus
Pada segitiga $ABC$ diketahui $AB = 6\ cm$ sudut $A = 30^{\circ}$ dan sudut $B = 45^{\circ}$, maka panjang sisi $AC = \cdots$$\begin{align} (A)\ & 4 \left( 1+\sqrt{3} \right) \\ (B)\ & 4 \left( 1-\sqrt{3} \right) \\ (C)\ & 6 \left( \sqrt{3}+1 \right) \\ (D)\ & 6 \left( \sqrt{3}-1 \right) \\ (E)\ & 5 \left( \sqrt{3}+1 \right) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $ABC$ di atas $\angle C=180^{\circ}-\left( 30^{\circ}+45^{\circ} \right)=105^{\circ}$ dan dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh:
$\begin{align} \dfrac{c}{\sin\ C} &= \dfrac{b}{\sin\ B} \\ \dfrac{6}{\sin\ 105^{\circ}} &= \dfrac{AC}{\sin\ 45^{\circ}} \\ \hline \sin\ \left( \alpha + \beta \right) &= \sin\ \alpha \cdot \cos\ \beta + \sin\ \beta \cdot \cos\ \alpha \\ \sin\ \left( 60^{\circ} + 45^{\circ} \right) &= \sin\ 60^{\circ} \cdot \cos\ 45^{\circ} + \sin\ 45^{\circ} \cdot \cos\ 60^{\circ} \\ \sin\ \left( 105^{\circ} \right) &= \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{2} \sqrt{2} + \dfrac{1}{2} \sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2} \\ &= \dfrac{1}{4} \sqrt{6} + \dfrac{1}{4} \sqrt{2} \\ &= \dfrac{1}{4}\sqrt{2} \left( \sqrt{3} + 1 \right) \\ \hline \dfrac{AC}{\sin\ 45^{\circ}} &= \dfrac{6}{\sin\ 105^{\circ}} \\ \dfrac{AC}{\frac{1}{4} \sqrt{2} } &= \dfrac{6}{\dfrac{1}{4}\sqrt{2} \left( \sqrt{3} + 1 \right)} \\ AC &= \dfrac{12}{ \sqrt{3} + 1 } \\ AC &= \dfrac{ 12 }{ \sqrt{3} + 1 } \cdot \dfrac{\sqrt{3} - 1}{ \sqrt{3} - 1} \\ AC &= \dfrac{12 \left( \sqrt{3} - 1 \right)}{ 3-1 } \\ AC &= 6 \left( \sqrt{3} - 1 \right) \\ \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 6 \left( \sqrt{3}-1 \right)$
24. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan $A$ kepelabuhan $B$ sejauh $60\ mil$ dengan arah $040^{\circ}$ dari $A$, kemudian berputar haluan dilanjutkan ke pelabuhan $C$ sejauh $90\ mil$, dengan arah $160^{\circ}$ dari $B$. Jarak terdekat dari pelabuhan $A$ ke $C$ adalah$\cdot mil$.$\begin{align} (A)\ & 30 \sqrt{2} \\ (B)\ & 30 \sqrt{5} \\ (C)\ & 30 \sqrt{7} \\ (D)\ & 30 \sqrt{10} \\ (E)\ & 30 \sqrt{30} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pada jurusan tiga angka, arah kapal berlayar diukur searah dengan jarum jam dan patokan adalah arah mata angin Utara.
Apa yang disampaikan pada soal jika kita gambarkan ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari gambar di atas $\angle ABC=60^{\circ}$, sehingga jarak kedua pelabuhan $AC$ adalah:
$\begin{align} AC^{2} &= AB^{2} + BC^{2} -2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos BAC \\ AC^{2} &= 60^{2} + 90^{2} -2 \cdot 60 \cdot 90 \cdot \cos 60^{\circ} \\ AC^{2} &= 3.600 + 8.100 -2 \cdot 60 \cdot 90 \cdot \dfrac{1}{2} \\ BC^{2} &= 11.700-5.400 \\ BC &= \sqrt{6.300} = 30 \sqrt{7} \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 30 \sqrt{7}\ km$
25. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus
Pada sebarang segitiga $ABC$ berlaku $\dfrac{a+b}{b}=\cdots$$\begin{align} (A)\ & \dfrac{\sin A + \sin B}{\sin B} \\ (B)\ & \dfrac{1 + \sin A \cdot \sin B}{\sin A \cdot \sin B} \\ (C)\ & \dfrac{\sin A + \sin B}{\sin A} \\ (D)\ & \dfrac{\sin A + 1}{\sin B} \\ (E)\ & 1 + \tan \frac{A}{B} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunkan aturan sinus $\dfrac{a}{\sin\ A}=\dfrac{b}{\sin\ B}$, dapat kita peroleh:
$\begin{align} \dfrac{a}{\sin\ A} &= \dfrac{b}{\sin\ B} \\ \dfrac{a}{b} &= \dfrac{\sin\ A}{\sin\ B} \\ \hline \dfrac{a+b}{b} &= \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{b} \\ &= \dfrac{\sin\ A}{\sin\ B} + \dfrac{\sin\ B}{\sin\ B} \\ &= \dfrac{\sin\ A + \sin B}{\sin\ B} \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{\sin A + \sin B}{\sin B} $
26. Soal Latihan Aturan Sinus - Aturan Cosinus
Diberikan segitiga $ABC$ dengan $\angle ACB = 105^{\circ}$, $\angle ABC = 45^{\circ}$, dan $AB =\left( \sqrt{2}+\sqrt{6} \right)\ cm$. Panjang sisi $BC$ sama dengan...$\begin{align} (A)\ & \sqrt{3}\ cm \\ (B)\ & \sqrt{6}\ cm \\ (C)\ & 2\ cm \\ (D)\ & 3\ cm \\ (E)\ & 2\sqrt{2}\ cm \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $ABC$ di atas $\angle A=180^{\circ}-\left( 105^{\circ}+45^{\circ} \right)=30^{\circ}$ dan dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh:
\begin{aligned} \dfrac{a}{\sin\ A} &= \dfrac{C}{\sin\ C} \\ \dfrac{BC}{\sin\ 30^{\circ}} &= \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\sin\ 105} \\ \hline \sin\ \left( \alpha + \beta \right) &= \sin\ \alpha \cdot \cos\ \beta + \sin\ \beta \cdot \cos\ \alpha \\ \sin\ \left( 60^{\circ} + 45^{\circ} \right) &= \sin\ 60^{\circ} \cdot \cos\ 45^{\circ} + \sin\ 45^{\circ} \cdot \cos\ 60^{\circ} \\ \sin\ \left( 105^{\circ} \right) &= \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{2} \sqrt{2} + \dfrac{1}{2} \sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2} \\ &= \dfrac{1}{4} \sqrt{6} + \dfrac{1}{4} \sqrt{2} \\ &= \dfrac{1}{4} \left( \sqrt{6} + \sqrt{2} \right) \\ \hline \dfrac{BC}{\frac{1}{2}} &= \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\dfrac{1}{4} \left( \sqrt{6} + \sqrt{2} \right)} \\ \dfrac{BC}{\frac{1}{2}} &= \dfrac{1}{\dfrac{1}{4} } \\ BC &= 2 \\ \end{aligned}
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2\ cm$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Membuktikan dan Menggunakan Aturan Sinus atau Aturan Cosinus dan Pembahasan 20+ Soal Latihan silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Cara Cepat Menghafal Menghafal Nilai Sudut Istimewa Perbandingan Trigonometri;