Calon guru belajar matematika SMA tentang cara membuktikan aturan sinus dan aturan cosinus serta menggunakan aturan sinus - aturan cosinus menyelesaikan soal-soal matematika.
Aturan Sinus dan Aturan Cosinus adalah pengembangan dari materi perbandingan trigonometri. Pada catatan sebelumnya sudah kita ketahui bahwa perbandingan trigonometri diperoleh dari perbadingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku, sehingga penerapan perbandingan trigonometri masih disekitaran segitiga siku-siku.
Dengan ditemukannya aturan sinus dan aturan cosinus ini penerapan perbandingan trigonometri semakin luas. Perbandingan Trigonometri dapat digunakan pada segitiga sebarang, yang penting unsur-unsur yang diketahui cukup untuk mengggunakan aturan sinus atau aturan cosinus.
Untuk bisa membuktikan Aturan Sinus atau Aturan Cosinus, kita setidaknya sudah mengetahui tentang perbandingan trigonometri, teorema phytagoras, dan aturan-aturan dalam aljabar matematika.
Cara Membuktikan Aturan Sinus
Untuk segitiga $ABC$ dimana sisi di depan sudut $A$ adalah sisi $a$, sisi di depan sudut $B$ adalah sisi $b$ dan sisi di depan sudut $C$ adalah sisi $c$ maka berlaku:
\begin{aligned}
\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}
\end{aligned}
Untuk melihat bagaimana aturan sinus ini ditemukan dapat di lihat pada pembuktian aturan sinus berikut ini:
Alternatif Pembuktian:
Pada segitiga $ABC$ kita tarik garis tinggi dari titik $B$ ke $AC$, kita peroleh garis $BD$ tegak lurus $AC$.
Dari $\bigtriangleup ABD$ kita peroleh:
$\begin{align}
\sin A &= \dfrac{BD}{c} \\
c \cdot \sin A &= BD\ \cdots \cdots \cdots \left[ \text{pers.(1)} \right]
\end{align}$
Dari $\bigtriangleup CBD$ kita peroleh:
$\begin{align}
\sin C &= \dfrac{BD}{a} \\
a \cdot \sin C &= BD\ \cdots \cdots \cdots \left[ \text{pers.(2)} \right]
\end{align}$
Nilai $BD$ dari $\text{pers.(1)}$ dan $\text{pers.(2)}$ kita peroleh:
$\begin{align}
c \cdot \sin A &= a \cdot \sin C \\
\dfrac{c}{\sin C} &= \dfrac{a}{\sin A}\ \cdots \cdots \cdots \left[ \text{pers.(3)} \right]
\end{align}$
Pada segitiga $ABC$ kita tarik garis tinggi dari titik $C$ ke $AB$, kita peroleh garis $CE$ tegak lurus $AB$.
Dari $\bigtriangleup ACE$ kita peroleh:
$\begin{align}
\sin A &= \dfrac{CE}{b} \\
b \cdot \sin A &= CE\ \cdots \cdots \cdots \left[ \text{pers.(4)} \right]
\end{align}$
Dari $\bigtriangleup BCE$ kita peroleh:
$\begin{align}
\sin B &= \dfrac{CE}{a} \\
a \cdot \sin B &= CE\ \cdots \cdots \cdots \left[ \text{pers.(5)} \right]
\end{align}$
Nilai $CE$ dari $\text{pers.(4)}$ dan $\text{pers.(5)}$ kita peroleh:
$\begin{align}
b \cdot \sin A &= a \cdot \sin B \\
\dfrac{a}{\sin A} &= \dfrac{b}{\sin B}\ \cdots \cdots \cdots \left[ \text{pers.(6)} \right]
\end{align}$
Dari $\text{pers.(3)}$ dan $\text{pers.(6)}$ kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{a}{\sin A} &= \dfrac{b}{\sin C} \\
\dfrac{a}{\sin A} &= \dfrac{b}{\sin B} \\
\end{align}$
$\therefore$ Terbukti $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$
Cara Membuktikan Aturan Cosinus
Untuk segitiga $ABC$ dimana sisi di depan sudut $A$ adalah sisi $a$, sisi di depan sudut $B$ adalah sisi $b$ dan sisi di depan sudut $C$ adalah sisi $c$ maka berlaku:
\begin{aligned}
a^{2} =b^{2}+c^{2}-2bc \cos A \\
b^{2} =a^{2}+c^{2}-2ac \cos B \\
c^{2} =a^{2}+b^{2}-2ab \cos C \\
\end{aligned}
Untuk melihat bagaimana aturan cosinus ini ditemukan dapat di lihat pada pembuktian aturan cosinus berikut ini:
Alternatif Pembuktian:
Pada segitiga $ABC$ kita tarik garis tinggi dari titik $B$ ke $AC$, kita peroleh garis $BD$ tegak lurus $AC$.
Dari $\bigtriangleup ABD$ kita peroleh:
$\begin{align}
AB^{2} &= AD^{2}+BD^{2} \\
c^{2} &= AD^{2}+BD^{2} \\
\hline
\sin A &= \dfrac{BD}{c} \\
c \cdot \sin A &= BD
\end{align}$
Dari $\bigtriangleup ABD$ kita peroleh:
$\begin{align}
\cos A &= \dfrac{AD}{c} \\
c \cdot \cos A &= AD
\end{align}$
$\begin{align}
BC^{2} &= CD^{2} + BD^{2} \\
a^{2} &= \left( b - AD \right)^{2} + \left( c \cdot \sin A \right)^{2} \\
a^{2} &= \left( b - c \cdot \cos A \right)^{2} + c^{2} \cdot \sin^{2} A \\
a^{2} &= b^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos A + c^{2} \cdot \cos^{2} A + c^{2} \cdot \sin^{2} A \\
a^{2} &= b^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos A + c^{2} \left( \sin^{2} A + \cos^{2} A \right) \\
a^{2} &= b^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos A + c^{2} \left( 1 \right) \\
a^{2} &= b^{2}+c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos A
\end{align}$
$\therefore$ Terbukti $a^{2} = b^{2}+c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos A$
Dengan cara yang sama dapat dibuktikan:
$\begin{align}
b^{2} &= a^{2}+c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos B \\
c^{2} &= a^{2}+b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos C
\end{align}$
Contoh Soal Aturan Sinus dan Aturan Cosinus
Berikut ini kita lihat beberapa soal yang dapat diselesaikan dengan bantuan aturan sinus atau aturan cosinus, soal kita pilih secara acak untuk menggunakan aturan sinus atau cosinus. Soal-soal yang kita pilih di bawah ini berasal dari pertanyaan aturan sinus atau cosinus yang ditanyakan pada grup-grup belajar atau grup diskusi pada media sosial, whatsapp grup atau grup telegram.
- Pada sebuah segitiga $ABC$ diketahui sudut $A=30^{\circ}$, sudut $B=45^{\circ}$ dan panjang sisi $a=6\ cm$. Tentukan panjang sisi $b$.
- Panjang $PR$ pada gambar segitiga di bawah ini adalah...
- Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AC=5\ cm$, $AB=7\ cm$ dan $BC=3\ cm$, tentukan nilai sudut terbesar dari segitiga $ABC$
- Pada segitiga $SMA$, jika $SA=a$, $MA=2a$ dan $\angle SAM=120^{\circ}$. Tentukan panjang sisi $SM$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari informasi pada gambar dan dengan aturan sinus, berlaku:
$\begin{align}
\dfrac{a}{\sin A} &= \dfrac{b}{\sin B} \\
\dfrac{6}{\sin 30^{\circ}} &= \dfrac{b}{\sin 45^{\circ}} \\
\dfrac{6}{\frac{1}{2}} &= \dfrac{b}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} \\
\dfrac{6}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} &= b \\
6 \sqrt{2} &= b
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada gambar dan dengan aturan sinus, berlaku:
$\begin{align}
\dfrac{QR}{\sin QPR} &= \dfrac{PR}{\sin PQR} \\
\dfrac{8}{\sin 45^{\circ}} &= \dfrac{PR}{\sin 30^{\circ}} \\
\dfrac{8}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} &= \dfrac{PR}{\frac{1}{2}} \\
\dfrac{8}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} &= PR \\
4 \sqrt{2} &= PR
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $ABC$ sudut yang terbesar adalah $\angle ACB$, karena $AB=7$ adalah sisi yang terpanjang.
$\begin{align}
c^{2} &= a^{2}+b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos C \\
7^{2} &= 3^{2}+5^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos C \\
49 &= 9+25 - 30 \cdot \cos C \\
49-34 &= - 30 \cdot \cos C \\
\cos C &= -\dfrac{15}{30} \\
\cos C &= -\dfrac{1}{2} \\
C &= 120^{\circ}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
$\begin{align}
a^{2} &= s^{2}+m^{2} - 2 \cdot s \cdot m \cdot \cos A \\
&= (2a)^{2}+(a)^{2} - 2 \cdot 2a \cdot a \cdot \cos 120^{\circ} \\
&= 4a^{2}+a^{2} - 4a^{2} \cdot \left( -\dfrac{1}{2} \right) \\
&= 4a^{2}+a^{2} + 2a^{2} \\
&= 7a^{2} \\
a &= \sqrt{7a^{2}} \\
&= a\sqrt{7}
\end{align}$
Soal Latihan Aturan Sinus dan Aturan Cosinus
Jika tertarik untuk diskusi terkait Soal-soal Menggunakan Aturan Sinus atau Aturan Cosinus yang sudah pernah diujikan pada seleksi masuk perguruan tinggi negeri (PTN) yang dilaksanakan secara nasional atau mandiri silahkan disimak pada catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Trigonometri.
Soal latihan berikut, kita pilih dari soal latihan pada Modul Aturan Sinus atau Aturan Cosinus Matematika SMA dan soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
Silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Matematika Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 26 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Soal Latihan Aturan Sinus - Cosinus
Sebuah segitiga $ABC$ diketahui panjang sisi $AB = 12\ cm$, $\angle B = 75^{\circ}$ dan $\angle A = 60^{\circ}$, maka panjang sisi $BC =\cdots cm$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $ABC$ di atas $\angle C=180^{\circ}-\left( 60^{\circ}+75^{\circ} \right)=45^{\circ}$. Dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh:
\begin{aligned} \dfrac{BC}{\sin A} &= \dfrac{AB}{\sin C} \\ \dfrac{BC}{\sin 60^{\circ}} &= \dfrac{12}{\sin 45^{\circ}} \\ \dfrac{BC}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} &= \dfrac{12}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} \\ BC &= \dfrac{12 \cdot \sqrt{3}}{ \sqrt{2}} \\ BC &= \dfrac{12 \sqrt{3}}{ \sqrt{2}} \cdot \dfrac{ \sqrt{2}}{ \sqrt{2}} \\ BC &= \dfrac{12 \sqrt{6}}{2} \\ BC &= 6 \sqrt{6} \end{aligned}
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6 \sqrt{6}$
2. Soal Latihan Aturan Sinus - Cosinus
Sebuah segitiga $PQR$ diketahui panjang sisi $PQ = 4 \sqrt{3}\ cm$, $PR = 4\ cm$ dan $\angle R = 60^{\circ}$ maka besar $\angle Q = \cdots $
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $PQR$ di atas dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh:
\begin{aligned} \dfrac{q}{\sin Q} &= \dfrac{r}{\sin R} \\ \dfrac{4}{\sin Q} &= \dfrac{4\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}} \\ \dfrac{1}{\sin Q} &= \dfrac{ \sqrt{3}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} \\ \dfrac{1}{\sin Q} &= \dfrac{1}{\frac{1}{2} } \\ \sin Q &= \dfrac{1}{2} \\ \angle Q &= 30^{\circ} \end{aligned}
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 30^{\circ}$
3. Soal Latihan Aturan Sinus - Cosinus
Sebuah segitiga $ABC$ diketahui sisi $a = 3\ cm$, $b = 3\sqrt{3}\ cm$ dan $\angle A = 30^{\circ}$, maka panjang sisi $c = \cdots cm$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $ABC$ di atas dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh:
\begin{aligned}
\dfrac{a}{\sin A} &= \dfrac{b}{\sin B} \\
\dfrac{3}{\sin 30^{\circ}} &= \dfrac{3\sqrt{3}}{\sin B} \\
\dfrac{1}{\frac{1}{2}} &= \dfrac{\sqrt{3}}{\sin B} \\
\sin B &= \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\
\angle B &= 60^{\circ} \longrightarrow \angle C=90^{\circ}
\end{aligned}
Dengan $\angle C=90^{\circ}$ sehingga segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku di $C$, maka untuk menghitung $c$ dapat kita gunakan teorema pythagoras atau aturan sinus.
Dengan menggunakan aturan sinus:
\begin{aligned}
\dfrac{a}{\sin A} &= \dfrac{c}{\sin C} \\
\dfrac{3}{\sin 30^{\circ}} &= \dfrac{c}{\sin 90^{\circ}} \\
\dfrac{3}{\frac{1}{2}} &= \dfrac{c}{1} \\
6 &= c
\end{aligned}
Dengan menggunakan teorema pythagoras kita peroleh:
$\begin{align}
c^{2} \ &= a^{2} + b^{2} \\
c^{2} \ &= 3^{2} + \left(3 \sqrt{3} \right)^{2} \\
c^{2} \ &= 9 + 27 \\
c^{2} \ &= 36 \longrightarrow c=6
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6$
4. Soal Latihan Aturan Sinus - Cosinus
Dari segitiga $ABC$ diketahui sisi $AB = 6\ cm$, $AC = 4\ cm$ dan $\angle A = 60^{\circ}$, maka panjang sisi $BC = \cdots cm$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $ABC$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:
$\begin{align} a^{2} &= b^{2} + c^{2} -2bc\cdot \cos A \\ a^{2} &= \left(4 \right)^{2} + \left(6 \right)^{2} -2\left(4 \right)\left(6 \right)\cdot \cos 60^{\circ} \\ a^{2} &= 16 + 36 - 48 \cdot \dfrac{1}{2} \\ a^{2} &= 52 - 24 = 28 \\ a &= \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2\sqrt{7}$
5. Soal Latihan Aturan Sinus - Cosinus
Suatu segitiga $PQR$ diketahui sisi $PQ = 4\ cm$ dan $QR = 2\sqrt{3}\ cm$ serta $PR = 2\ cm$. Maka besar $\angle Q = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $PQR$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:
$\begin{align} q^{2} &= p^{2} + r^{2} -2pr\cdot \cos Q \\ \left(2 \right)^{2} &= \left( 2\sqrt{3} \right)^{2} + \left( 4 \right)^{2} -2\left( 2\sqrt{3} \right)\left( 4 \right)\cdot \cos Q \\ 4 &= 12 + 16 - 16\sqrt{3} \cdot \cos Q \\ -24 &= - 16\sqrt{3} \cdot \cos Q \\ \cos Q &= \dfrac{-24}{-16\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ Q &= 30^{\circ} \\ \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 30^{\circ}$
6. Soal Latihan Aturan Sinus - Cosinus
Suatu segitiga $ABC$ diketahui sisi $AB = 2\ cm$ dan $AC = 2\sqrt{7}\ cm$ serta $BC = 4\ cm$. Maka besar $\angle B = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $ABC$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:
$\begin{align} b^{2} &= a^{2} + c^{2} -2ac\cdot \cos B \\ \left( 2\sqrt{7} \right)^{2} &= \left( 4 \right)^{2} + \left( 2 \right)^{2} -2\left( 4 \right)\left( 2 \right)\cdot \cos B \\ 28 &= 16 + 4 - 16 \cdot \cos B \\ 28 &= 20 - 16 \cdot \cos B \\ 8 &= - 16 \cdot \cos B \\ \cos B &= \dfrac{8}{-16}=-\dfrac{1}{2} \\ B &= 120^{\circ} \\ \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 120^{\circ}$
7. Soal Latihan Aturan Sinus - Cosinus
Pada segitiga $PQR$ diketahui panjang sisi $QR = 8\ cm$, $PQ = 5\ cm$ dan besar $\angle Q = 60^{\circ}$. Panjang $PR = \cdots cm$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $PQR$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:
$\begin{align} q^{2} &= p^{2} + r^{2} -2pr\cdot \cos Q \\ PR^{2} &= \left( 8 \right)^{2} + \left( 5 \right)^{2} -2 \left( 8 \right)\left( 5 \right)\cdot \cos 60^{\circ} \\ PR^{2} &= 64 + 25 -80\ \cdot \dfrac{1}{2} \\ PR^{2} &= 89 - 40 \\ PR^{2} &= 49 \longrightarrow PR=7 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7$
8. Soal Latihan Aturan Sinus - Cosinus
Suatu segitiga $ABC$ diketahui sisi $BC = 6\ cm$ dan $AC = 3\sqrt{3}\ cm$ serta $\angle B = 60^{\circ}$. Maka panjang sisi $AB = \cdots cm$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $ABC$ di atas dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh:
$\begin{align} \dfrac{a}{\sin A} &= \dfrac{b}{\sin B} \\ \dfrac{6}{\sin A} &= \dfrac{3\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}} \\ \dfrac{2}{\sin A} &= \dfrac{ \sqrt{3}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} \\ \dfrac{2}{\sin A} &= \dfrac{1}{\frac{1}{2} } \\ \sin A &= 1 \longrightarrow \angle A = 90^{\circ} \end{align}$
$\begin{align} \dfrac{c}{\sin C} &= \dfrac{b}{\sin B} \\ \dfrac{AB}{\sin 30^{\circ}} &= \dfrac{3\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}} \\ \dfrac{AB}{\frac{1}{2}} &= \dfrac{3\sqrt{3}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} \\ AB &= 3 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3$
9. Soal Latihan Aturan Sinus - Cosinus
Pada segitiga $PQR$ di bawah ini, panjang $PR = \cdots cm$
Alternatif Pembahasan:
Dari segitiga $PQR$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:
$\begin{align} r^{2} &= p^{2} + q^{2} -2pq\cdot \cos R \\ \left( 2\sqrt{7} \right)^{2} &= \left( 4 \right)^{2} +q^{2} -2 \left( 4 \right)\left( q \right)\cdot \cos 60^{\circ} \\ 28 &= q^{2} + 16 -2 \left( q \right)\left( 4 \right)\ \cdot \dfrac{1}{2} \\ 28 &= q^{2} + 16 - 4q \\ 0 &= q^{2}-4q-12 \\ 0 &= \left( q-6 \right)\left( q+2 \right) \\ &q=6\ \text{atau} p=-2 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6$
10. Soal Latihan Aturan Sinus - Cosinus
Sebuah kapal berlayar dengan arah $240^{\circ}$ dari suatu pelabuhan dengan kecepatan $5\ \frac{km}{jam}$. Dua jam kemudian terdapat kapal lain yang berlayar dengan arah $180^{\circ}$ dari pelabuhan yang sama dengan kecepatan $15\ \frac{km}{jam}$. Berapa jarak kedua kapal tersebut setelah kapal pertama berlayar selama $4\ jam$
Alternatif Pembahasan:
Pada jurusan tiga angka, arah kapal berlayar diukur searah dengan jarum jam dan patokan adalah arah mata angin Utara.
Jika kapal berlayar dengan arah $240^{\circ}$ dari pelabuhan $A$ dan dua jam kemudian kapal berlayar dengan arah $180^{\circ}$ dari pelabuhan yang sama dapat kita gambarkan seperti berikut ini:
Dari gambar di atas $\angle BAC=240^{\circ}-180^{\circ}=60^{\circ} $, sehingga jarak kedua kapal yang kita misalkan dengan $BC$ pada gambar adalah:
$\begin{align} a^{2} &= b^{2} + c^{2} -2bc\cdot \cos BAC \\ BC^{2} &= 30^{2} + 20^{2} -2 \left( 30 \right)\left( 20 \right)\cdot \cos 60^{\circ} \\ BC^{2} &= 900 + 400 -1200\ \cdot \frac{1}{2} \\ BC^{2} &= 1300 - 600 \\ BC &= \sqrt{700} = 10 \sqrt{7} \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10 \sqrt{7}\ km$
11. Soal Latihan Aturan Sinus - Cosinus
Sebuah segitiga $ABC$ dimana sudut $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle C = 75^{\circ}$ dan panjang sisi $b = 6\ cm$, maka panjang sisi $a = \cdots cm$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $ABC$ di atas $\angle B=180^{\circ}-\left( 60^{\circ}+75^{\circ} \right)=45^{\circ}$. Dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh:
\begin{aligned} \dfrac{AC}{\sin B} &= \dfrac{BC}{\sin A} \\ \dfrac{6}{\sin 45^{\circ}} &= \dfrac{a}{\sin 60^{\circ}} \\ \dfrac{6}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} &= \dfrac{a}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} \\ \dfrac{6}{ \sqrt{2}} &= \dfrac{a}{ \sqrt{3}} \\ \dfrac{6}{ \sqrt{2}} \cdot \sqrt{3} &= a \\ 3 \sqrt{6} &= a \end{aligned}
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3 \sqrt{6}$
12. Soal Latihan Aturan Sinus - Cosinus
Sebuah segitiga $KLM$ dimana $ \angle L = 45^{\circ}$. Jika sisi $KM = 8\ cm$ dan $ML = 4\sqrt{2}\ cm$ maka besar $\angle K = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $KLM$ di atas dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh:
\begin{aligned} \dfrac{k}{\sin K} &= \dfrac{l}{\sin L} \\ \dfrac{4\sqrt{2}}{\sin K} &= \dfrac{8}{\sin 45^{\circ}} \\ \dfrac{ \sqrt{2}}{\sin K} &= \dfrac{2}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} \\ \sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} &= 2 \sin K \\ \dfrac{1}{2} &= sin\ K \\ 30^{\circ} &= K \end{aligned}
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 30^{\circ}$
13. Soal Latihan Aturan Sinus - Cosinus
Dari segitiga $ABC$ diketahui sisi $a = \sqrt{27}\ cm$, $b = 3\sqrt{ 2}\ cm$ dan $\angle A = 60^{\circ}$. Besar $\angle C = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $ABC$ di atas dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh:
\begin{aligned} \dfrac{a}{\sin A} &= \dfrac{b}{\sin B} \\ \dfrac{3\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}} &= \dfrac{3\sqrt{2}}{\sin B} \\ \dfrac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2} \sqrt{3}} &= \dfrac{\sqrt{2}}{\sin B} \\ 2 &= \dfrac{\sqrt{2}}{\sin B} \\ \sin B &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \angle B &= 45^{\circ}\ \longrightarrow \angle C= 75^{\circ} \end{aligned}
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 75^{\circ}$
14. Soal Latihan Aturan Sinus - Cosinus
Jika dalam segitiga $ABC$ berlaku hubungan $a^{2} \left( 1 + \cos A \right) = 2bc \cdot \sin 2A$, maka segitiga $ABC$ berbentuk...
Alternatif Pembahasan:
\begin{aligned} a^{2} \left( 1 + \cos A \right) &= 2bc \cdot \sin^{2} A \\ \left( b^{2} + c^{2} -2bc\cdot \cos A \right) \left( 1 + \cos A \right) &= 2bc \cdot \left( 1 - \cos^{2} A \right) \\ \left( b^{2} + c^{2} -2bc\cdot \cos A \right) \left( 1 + \cos A \right) &= 2bc \cdot \left( 1 - \cos A \right)\left( 1 + \cos A \right) \\ b^{2} + c^{2} -2bc\cdot \cos A &= 2bc \cdot \left( 1 - \cos A \right) \\ b^{2} + c^{2} -2bc\cdot \cos A &= 2bc - 2bc \cos A \\ b^{2} + c^{2} &= 2bc \\ b^{2} + c^{2} -2bc &= 0 \\ \left( b - c \right)^{2} &= 0 \\ b - c &= 0 \\ b &= c \end{aligned}
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \text{sama kaki}$
15. Soal Latihan Aturan Sinus - Cosinus
Dari segitiga $PQR$ diketahui sisi $r = 2\ cm$, sisi $p = 12\ cm$ dan $\angle R = 30^{\circ}$ maka panjang sisi $q = \cdots cm$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $PQR$ di atas dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh:
\begin{aligned} \dfrac{r}{\sin R} &= \dfrac{p}{\sin P} \\ \dfrac{2}{\sin 30^{\circ}} &= \dfrac{2\sqrt{3}}{\sin P} \\ \dfrac{2}{\frac{1}{2}} &= \dfrac{2\sqrt{3}}{\sin P} \\ \sin P &= \dfrac{2\sqrt{3}}{4} \\ \sin P &= \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ \angle P &= 60^{\circ} \longrightarrow \angle Q = 90^{\circ} \\ \hline \dfrac{r}{\sin R} &= \dfrac{q}{\sin Q} \\ \dfrac{2}{\sin 30^{\circ}} &= \dfrac{q}{\sin 90^{\circ}} \\ \dfrac{2}{\frac{1}{2}} &= \dfrac{q}{1} \\ 4 &= q \end{aligned}
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$
16. Soal Latihan Aturan Sinus - Cosinus
Suatu segitiga $ABC$ diketahui sisi $AB = \sqrt{27}\ cm$ dan $AC = 3\ cm$ serta $BC = 6\ cm$. Maka besar $\angle B = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $ABC$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:
$\begin{align} b^{2} &= a^{2} + c^{2} -2ac\cdot \cos B \\ \left( 3 \right)^{2} &= \left( 6 \right)^{2}+ \left( 3\sqrt{3} \right)^{2} -2\left( 6 \right)\left( 3\sqrt{3} \right)\cdot \cos B \\ 9 &= 36 + 27 - 36\sqrt{3} \cdot \cos B \\ 9 &= 63 - 36\sqrt{3} \cdot \cos B \\ -54 &= - 36\sqrt{3} \cdot \cos B \\ \cos B &= \dfrac{-54}{- 36\sqrt{3}}= \dfrac{3}{2\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ B &= 30^{\circ} \\ \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 30^{\circ}$
17. Soal Latihan Aturan Sinus - Cosinus
Pada segitiga $ABC$ dimana sisi $AB = 6\sqrt{3}\ cm$, $BC = 6\ cm$ dan $\angle B = 30^{\circ}$. Maka nilai $\cos C = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $ABC$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:
$\begin{align} b^{2} &= a^{2} + c^{2} -2ac\cdot \cos B \\ b^{2} &= \left( 6 \right)^{2} + \left( 6\sqrt{3} \right)^{2} - 2 \left( 6 \right) \left( 6\sqrt{3} \right)\cdot \cos 30^{\circ} \\ b^{2} &= 36 + 108 - 72\sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ b^{2} &= 36+108 - 108 =36 \\ b &= \sqrt{36} = 6 \end{align}$
Karena $AC=BC=6$ maka $\angle A = \angle B =30^{\circ}$ dan $\angle C = 180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$.
$\begin{align}
\cos C &= \cos 120^{\circ} \\
&= \cos \left( 180^{\circ}-120^{\circ} \right) \\
&= - \cos 60^{\circ} = -\dfrac{1}{2}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\dfrac{1}{2}$
18. Soal Latihan Aturan Sinus - Cosinus
Sebuah segitiga $ABC$ dimana sisi $a = 3\ cm$, $b = 15\ cm$ dan $c = 2\sqrt{3}\ cm$. Nilai $\sin C=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $ABC$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:
$\begin{align} c^{2} &= a^{2} + b^{2} -2ab \cdot \cos C \\ \left( 2\sqrt{3} \right)^{2} &= \left( \sqrt{3} \right)^{2} + \left( \sqrt{15} \right)^{2} - 2 \left( \sqrt{3} \right) \left( \sqrt{15} \right)\cdot \cos C \\ 12 &= 3 + 15 - 6\sqrt{5} \cdot \cos C \\ -6 &= - 6\sqrt{5} \cdot \cos C \\ \dfrac{-6}{-6\sqrt{5}} &= \cos C \\ \dfrac{1}{5} \sqrt{5} &= \cos C \\ \hline \sin^{2}C &= 1-\cos^{2} C \\ &= 1- \left( \dfrac{1}{5} \sqrt{5} \right)^{2} = 1 - \dfrac{1}{5} \\ \sin C &= \sqrt{\dfrac{4}{5}}= \pm \dfrac{2}{5}\sqrt{5} \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{2}{5}\sqrt{5}$
19. Soal Latihan Aturan Sinus - Cosinus
Dua buah kapal $P$ dan $Q$ berjarak $12\ km$. kapal $Q$ letaknya pada arah $100^{\circ}$ dari $P$ dan kapal $R$ pada arah $130^{\circ}$ dari $P$. Jika kapal $R$ letaknya $250^{\circ}$ dari kapal $Q$ maka jarak kapal $R$ ke kapal $Q$ adalah...$km$
Alternatif Pembahasan:
Pada jurusan tiga angka, arah kapal berlayar diukur searah dengan jarum jam dan patokan adalah arah mata angin Utara.
Jika kapal berlayar dengan arah $240^{\circ}$ dari pelabuhan $A$ dan dua jam kemudian kapal berlayar dengan arah $180^{\circ}$ dari pelabuhan yang sama dapat kita gambarkan seperti berikut ini:
Pada gambar di atas $\angle QPR=130^{\circ}-100^{\circ}=30^{\circ} $, sehingga kita peroleh sudut sebesar $10^{\circ}$ pada $P$. Sudut $10^{\circ}$ pada $P$ adalah sudut berseberangan dengan sudut pada $Q$ sehingga besarnya sama $10^{\circ}$. Sudut $20^{\circ}$ diperoleh dari $270^{\circ}-250^{\circ}$ sehingga kita peroleh $\angle PQR= 30^{\circ}$ dan $\angle QRP= 120^{\circ}$.
Jarak kapal $R$ ke kapal $Q$ adalah \begin{aligned} \dfrac{PQ}{\sin R} &= \dfrac{QR}{\sin P} \\ \dfrac{12}{\sin 120^{\circ}} &= \dfrac{QR}{\sin 30^{\circ}} \\ \dfrac{12}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} &= \dfrac{QR}{\frac{1}{2}} \\ \dfrac{12}{\sqrt{3}} &= QR \\ 4\sqrt{3} &= QR \end{aligned}
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4 \sqrt{3}$
20. Soal Latihan Aturan Sinus - Cosinus
Suatu jajaran genjang $ABCD$ dengan panjang $AB = 7\ cm$, $AD = 6\ cm$ dan $BD = 8\ cm$. Nilai cosinus sudut $ADC$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari jajargenjang $ABCD$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:
$\begin{align}
BD^{2} &= AB^{2} + AD^{2} -2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos BAD \\
8^{2} &= 7^{2} + 6^{2} -2\left( 6 \right)\left( 7 \right)\cdot \cos BAD \\
64 &= 49 + 36 - 84\cdot \cos BAD \\
-21 &= - 84\cdot \cos BAD \\
\dfrac{-21}{-84} &= \cos BAD \\
\dfrac{1}{4} &= \cos BAD \\
\end{align}$
Dari jajargenjang $ABCD$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\angle ABD + \angle ADC &= 180^{\circ} \\
\angle ADC &= 180^{\circ}-\angle ABD \\
\cos \angle ADC &= \cos \left( 180^{\circ}-\angle ABD \right) \\
\cos \angle ADC &= - \cos \angle ABD \\
\cos \angle ADC &= - \dfrac{1}{4}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -\dfrac{1}{4}$
21. Soal Latihan Aturan Sinus - Cosinus
Perhatikan gambar berikut, cosinus sudut $BCD$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari segiempat $ABCD$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:
$\begin{align}
BD^{2} &= AB^{2} + AD^{2} -2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos BAD \\
BD^{2} &= 8^{2} + 10^{2} -2\left( 8 \right)\left( 10 \right)\cdot \cos 60^{\circ} \\
BD^{2} &= 64 + 100 - 160 \cdot \dfrac{1}{2} \\
BD^{2} &= 64 + 100 - 80 = 84 \\
\hline
BD^{2} &= BC^{2} + CD^{2} -2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos BCD \\
84 &= 9^{2} + 9^{2} -2\left( 9 \right)\left( 9 \right)\cdot \cos BCD \\
84 &= 81 + 81 - 162 \cdot \cos BCD \\
-78 &= - 162 \cdot \cos BCD \\
\dfrac{-78}{-162} &= \cos BCD \\
\dfrac{13}{27} &= \cos BCD
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{13}{27}$
22. Soal Latihan Aturan Sinus - Cosinus
Diketahui segitiga $ABC$ dengan panjang $AC = 3\ cm$, $AB = 2\ cm$ dan $\angle A = 60^{\circ}$. Maka nilai $\cos C = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $ABC$ di atas dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:
$\begin{align} a^{2} &= b^{2} + c^{2} -2bc\cdot \cos A \\ a^{2} &= \left( 3 \right)^{2} + \left( 2 \right)^{2} - 2 \left( 3 \right) \left( 2 \right)\cdot \cos 60^{\circ} \\ a^{2} &= 9 + 4 - 12 \cdot \dfrac{1}{2} \\ a^{2} &= 13-6=7 \\ \hline c^{2} &= a^{2} + b^{2} -2ab\cdot \cos C \\ 4 &= 7 + 9 - 2 \left( \sqrt{7} \right) \left( 3 \right)\cdot \cos C \\ 4 &= 16 - 6 \sqrt{7} \cdot \cos C \\ -12 &= - 6 \sqrt{7} \cdot \cos C \\ \dfrac{-12}{-6\sqrt{7}} &= \cos C \\ \dfrac{2}{7}\sqrt{7} &= \cos C \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{2}{7}\sqrt{7}$
23. Soal Latihan Aturan Sinus - Cosinus
Pada segitiga $ABC$ diketahui $AB = 6\ cm$ sudut $A = 30^{\circ}$ dan sudut $B = 45^{\circ}$, maka panjang sisi $AC = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $ABC$ di atas $\angle C=180^{\circ}-\left( 30^{\circ}+45^{\circ} \right)=105^{\circ}$ dan dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh:
$\begin{align} \dfrac{c}{\sin C} &= \dfrac{b}{\sin B} \\ \dfrac{6}{\sin 105^{\circ}} &= \dfrac{AC}{\sin 45^{\circ}} \\ \hline \sin \left( \alpha + \beta \right) &= \sin \alpha \cdot \cos \beta + \sin \beta \cdot \cos \alpha \\ \sin \left( 60^{\circ} + 45^{\circ} \right) &= \sin 60^{\circ} \cdot \cos 45^{\circ} + \sin 45^{\circ} \cdot \cos 60^{\circ} \\ \sin \left( 105^{\circ} \right) &= \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{2} \sqrt{2} + \dfrac{1}{2} \sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2} \\ &= \dfrac{1}{4} \sqrt{6} + \dfrac{1}{4} \sqrt{2} \\ &= \dfrac{1}{4}\sqrt{2} \left( \sqrt{3} + 1 \right) \\ \hline \dfrac{AC}{\sin 45^{\circ}} &= \dfrac{6}{\sin 105^{\circ}} \\ \dfrac{AC}{\frac{1}{4} \sqrt{2} } &= \dfrac{6}{\dfrac{1}{4}\sqrt{2} \left( \sqrt{3} + 1 \right)} \\ AC &= \dfrac{12}{ \sqrt{3} + 1 } \\ AC &= \dfrac{ 12 }{ \sqrt{3} + 1 } \cdot \dfrac{\sqrt{3} - 1}{ \sqrt{3} - 1} \\ AC &= \dfrac{12 \left( \sqrt{3} - 1 \right)}{ 3-1 } \\ AC &= 6 \left( \sqrt{3} - 1 \right) \\ \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 6 \left( \sqrt{3}-1 \right)$
24. Soal Latihan Aturan Sinus - Cosinus
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan $A$ kepelabuhan $B$ sejauh $60\ \text{mil}$ dengan arah $040^{\circ}$ dari $A$, kemudian berputar haluan dilanjutkan ke pelabuhan $C$ sejauh $90\ \text{mil}$, dengan arah $160^{\circ}$ dari $B$. Jarak terdekat dari pelabuhan $A$ ke $C$ adalah $\cdots \text{mil}$.
Alternatif Pembahasan:
Pada jurusan tiga angka, arah kapal berlayar diukur searah dengan jarum jam dan patokan adalah arah mata angin Utara.
Apa yang disampaikan pada soal jika kita gambarkan ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari gambar di atas $\angle ABC=60^{\circ}$, sehingga jarak kedua pelabuhan $AC$ adalah:
$\begin{align}
AC^{2} &= AB^{2} + BC^{2} -2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos BAC \\
AC^{2} &= 60^{2} + 90^{2} -2 \cdot 60 \cdot 90 \cdot \cos 60^{\circ} \\
AC^{2} &= 3.600 + 8.100 -2 \cdot 60 \cdot 90 \cdot \dfrac{1}{2} \\
BC^{2} &= 11.700-5.400 \\
BC &= \sqrt{6.300} = 30 \sqrt{7}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 30 \sqrt{7}\ km$
25. Soal Latihan Aturan Sinus - Cosinus
Pada sebarang segitiga $ABC$ berlaku $\dfrac{a+b}{b}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunkan aturan sinus $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$, dapat kita peroleh:
$\begin{align} \dfrac{a}{\sin A} &= \dfrac{b}{\sin B} \\ \dfrac{a}{b} &= \dfrac{\sin A}{\sin B} \\ \hline \dfrac{a+b}{b} &= \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{b} \\ &= \dfrac{\sin A}{\sin B} + \dfrac{\sin B}{\sin B} \\ &= \dfrac{\sin A + \sin B}{\sin B} \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{\sin A + \sin B}{\sin B} $
26. Soal Latihan Aturan Sinus - Cosinus
Diberikan segitiga $ABC$ dengan $\angle ACB = 105^{\circ}$, $\angle ABC = 45^{\circ}$, dan $AB =\left( \sqrt{2}+\sqrt{6} \right)\ cm$. Panjang sisi $BC$ sama dengan...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasinya seperti berikut ini:
Dari segitiga $ABC$ di atas $\angle A=180^{\circ}-\left( 105^{\circ}+45^{\circ} \right)=30^{\circ}$ dan dengan menggunakan aturan sinus dapat kita peroleh:
\begin{aligned} \dfrac{a}{\sin A} &= \dfrac{C}{\sin C} \\ \dfrac{BC}{\sin 30^{\circ}} &= \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\sin 105} \\ \hline \sin \left( \alpha + \beta \right) &= \sin \alpha \cdot \cos \beta + \sin \beta \cdot \cos \alpha \\ \sin \left( 60^{\circ} + 45^{\circ} \right) &= \sin 60^{\circ} \cdot \cos 45^{\circ} + \sin 45^{\circ} \cdot \cos 60^{\circ} \\ \sin \left( 105^{\circ} \right) &= \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{2} \sqrt{2} + \dfrac{1}{2} \sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2} \\ &= \dfrac{1}{4} \sqrt{6} + \dfrac{1}{4} \sqrt{2} \\ &= \dfrac{1}{4} \left( \sqrt{6} + \sqrt{2} \right) \\ \hline \dfrac{BC}{\frac{1}{2}} &= \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\dfrac{1}{4} \left( \sqrt{6} + \sqrt{2} \right)} \\ \dfrac{BC}{\frac{1}{2}} &= \dfrac{1}{\dfrac{1}{4} } \\ BC &= 2 \\ \end{aligned}
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2\ cm$
Catatan Cara Membuktikan Aturan Sinus - Aturan Cosinus dan Menggunakannya Menyelesaikan Soal Matematika di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan.
