The good student, bersama Calon Guru kita belajar matematika dasar SMA dari Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor Pada Vektor Lain. Pada catatan sebelumnya kita sudah mengetahui bagaimana cara menyelesaikan masalah vektor yang berkaitan dengan Perkalian Skalar Dua Vektor.
Proyeksi ortogonal jika kita artikan secara sederhana satu persatu dengan menggunakan Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI) adalah "ortogonal: berhubungan dengan sudut tegak lurus atau $90^{\circ}$" dan "proyeksi: gambar suatu benda yang dibuat rata (mendatar) atau berupa garis pada bidang datar".
Sehingga secara sederhana dapat kita tuliskan bahwa proyeksi ortogonal ini adalah tentang bayangan suatu benda pada bidang datar dimana sinar datang tepat dari atas, sehingga terbentuk sudut tegak lurus atau $90^{\circ}$.
Kemarin di salah satu media sosial facebook Extra-math (https://web.facebook.com/examath) menuliskan "Just a beautiful orthogonal projection" diikuti dengan gambar seperti berikut:
Gambar di atas adalah gambaran sederhana dari proyeksi ortogonal. Saat matahari tepat berada di atas pohon, ranting dan daun adalah benda yang diproyeksikan dan hasil proyeksi adalah bayangan pada jalan atau trotoar (bidang datar).
PROYEKSI ORTOGONAL SUATU VEKTOR
Misalkan vektor $\vec{OA} = \vec{a}$ dan vektor $\vec{OB} = \vec{b}$ membentuk sudut sebesar $\alpha$ digambarkan dalam kedudukan seperti berikut ini:
Jika vektor $\vec{a}$ kita proyeksikan pada vektor $\vec{b}$ maka akan kita peroleh hasil proyeksi pada $\vec{b}$ yaitu $\vec{c}$. Ilustrasinya kita gambarkan seperti berikut ini:
Pada vektor $\vec{a}$ dan vektor $\vec{b}$ dapat kita peroleh:
\begin{align}
\cos \alpha &= \dfrac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right|} \\
\end{align}
Pada segitiga siku-siku $OAC$ dapat kita peroleh:
\begin{align}
\cos \alpha &= \dfrac{\left| \vec{OC} \right|}{\left| \vec{OA} \right|} = \dfrac{\left| \vec{c} \right|}{\left| \vec{a} \right|}
\end{align}
Dari kedua persamaan persamaan di atas dapat kita peroleh:
\begin{align}
\dfrac{\left| \vec{c} \right|}{\left| \vec{a} \right|} &= \dfrac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right|} \\
\left| \vec{c} \right| &= \dfrac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{b} \right|} \\
\end{align}
Jadi jika $\vec{c}$ adalah vektor hasil proyeksi $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ maka panjang $\vec{c}$ adalah:
\begin{align}
\left| \vec{c} \right| &= \dfrac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{b} \right|} \\
\end{align}
panjang proyeksi ini disebut juga proyeksi skalar $\vec{a}$ pada $\vec{b}$
Untuk menentukan persamaan vektor proyeksi $\vec{c}$ dapat dicari dengan langkah-langkah berikut ini:
$\vec{OC}$ segaris dengan $\vec{OB}$, sehingga terdapat $k$ bilangan Real. Dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{OC} &= k \cdot \vec{OB} \\
\vec{c} &= k \cdot \vec{b}\ \ \ \text{dimana}\ k= \dfrac{ \left| \vec{c} \right| }{\left| \vec{b} \right|} \\
\vec{c} &= \left( \dfrac{ \left| \vec{c} \right| }{\left| \vec{b} \right|} \right)\cdot \vec{b} \\
\vec{c} &= \left( \dfrac{ \dfrac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{b} \right|} }{\left| \vec{b} \right|} \right) \cdot \vec{b} \\
\vec{c} &= \left( \dfrac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{b} \right|^{2}} \right) \cdot \vec{b}
\end{align}
Jadi jika $\vec{c}$ adalah vektor hasil proyeksi $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ maka persamaan $\vec{c}$ adalah:
\begin{align}
\vec{c} &= \left( \dfrac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{b} \right|^{2}} \right) \cdot \vec{b} \\
\end{align}
Soal Latihan Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor
Untuk menambah pemahaman kita terkait Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor Pada Vektor Lain ini, mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor Pada Vektor Lain Matematika SMA Kurikulum 2013 dan soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
Jika tertarik untuk membahas soal-soal vektor yang sudah pernah diujikan pada Ujian Nasional matematika SMA atau soal seleksimasuk perguruan tinggi negeri yang dilaksanakan secara nasional atau mandiri silahkan disimak pada Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Vektor.
1. Soal Latihan Proyeksi Ortogonal Vektor
Diketahui $\vec{a}= 8\vec{i}-4\vec{j}+ \vec{k}$ dan $\vec{b}= 4\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}$. Tentukanlah panjang vektor proyeksi $\vec{b}$ pada $\vec{a}$
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{a} \cdot \vec{b} &= (8)(4)+(-4)(2)+(1)(3) \\
&= 32-8+3 \\
&= 27 \\
\hline
\left| \vec{a} \right| &= \sqrt{(8)^{2}+(-4)^{2} +(1)^{2}} \\
&= \sqrt{64+16 +1} \\
&= \sqrt{81}=9
\end{align}
Panjang vektor proyeksi $\vec{b}$ pada $\vec{a}$ adalah $\dfrac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{a} \right|}=\dfrac{27}{9}=3$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3$
2. Soal Latihan Proyeksi Ortogonal Vektor
Diketahui $\vec{a}= 3\vec{i}-2\vec{j}+ 4\vec{k}$ dan $\vec{b}= 2\vec{i}-\vec{j}+ \vec{k}$. Tentukanlah persamaan vektor proyeksi $\vec{a}$ pada $\vec{b}$
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{a} \cdot \vec{b} &= (3)(2)+(-2)(-1)+(4)(1) \\
&= 6+2+4 \\
&= 12 \\
\hline
\left| \vec{b} \right| &= \sqrt{(2)^{2}+(-1)^{2} +(1)^{2}} \\
&= \sqrt{ 4+ 1 +1} \\
&= \sqrt{6}
\end{align}
Jika vektor proyeksi $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ kita misalkan $\vec{c}$, maka dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{c} &= \left( \dfrac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{b} \right|^{2}} \right) \cdot \vec{b} \\
\vec{c} &= \left( \dfrac{ 12 }{\left( \sqrt{6} \right)^{2}} \right) \cdot \left( 2\vec{i}-\vec{j}+ \vec{k} \right) \\
&= \left( \dfrac{ 12 }{6} \right) \cdot \left( 2\vec{i}-\vec{j}+ \vec{k} \right) \\
&= \left( 2 \right) \cdot \left( 2\vec{i}-\vec{j}+ \vec{k} \right) \\
&=4\vec{i}-2\vec{j}+ 2\vec{k}
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4\vec{i}-2\vec{j}+ 2\vec{k}$
3. Soal Latihan Proyeksi Ortogonal Vektor
Diketahui titik $A(-5, 1, 2)$, $B(-3, 2, 4)$ dan $C(0, 1, 4)$. Tentukan vektor proyeksi $\vec{BA}$ pada $\vec{BC}$
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{BA} &= \begin{bmatrix}
-5-(-3) \\
1-2 \\
2-4
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
-2 \\
-1 \\
-2
\end{bmatrix} \\
\vec{BC} &= \begin{bmatrix}
0-(-3) \\
1-2 \\
4-4
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
3 \\
-1 \\
0
\end{bmatrix} \\
\hline
\vec{BA} \cdot \vec{BC} &= (-2)(3)+(-1)(-1)+(-2)(0) \\
&= -6+1+0 \\
&= -5 \\
\hline
\left| \vec{BC} \right| &= \sqrt{(3)^{2}+(-1)^{2} +(0)^{2}} \\
&= \sqrt{ 9+ 1 + 0} \\
&= \sqrt{10}
\end{align}
Jika vektor proyeksi $\vec{BA}$ pada $\vec{BC}$ kita misalkan $\vec{c}$, maka dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{c} &= \left( \dfrac{ \vec{BA} \cdot \vec{BC} }{\left| \vec{BC} \right|^{2}} \right) \cdot \vec{BC} \\
\vec{c} &= \left( \dfrac{ -5 }{\left( \sqrt{10} \right)^{2}} \right) \cdot \left( 3\vec{i}-1\vec{j}+0 \vec{k} \right) \\
&= \left( \dfrac{ -5 }{10} \right) \cdot \left( 3\vec{i}- \vec{j} +0 \vec{k} \right) \\
&= \left( -\frac{1}{2} \right) \cdot \left( 3\vec{i}-\vec{j}+ \vec{k} \right) \\
&=-\frac{3}{2}\vec{i}+\frac{1}{2}\vec{j}
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -\frac{3}{2}\vec{i}+\frac{1}{2}\vec{j}$
4. Soal Latihan Proyeksi Ortogonal Vektor
Diketahui segitiga $ABC$ seperti pada gambar di bawah ini. Jika titik $A(-4, 3, 2)$, $B(0, 2, 3)$ dan $C(-2, 6, 9)$ maka tentukanlah panjang ruas garis $AD$
Alternatif Pembahasan:
Pada segitiga $ABC$ di atas, mencari panjang ruas garis $AD$ sama halnya dengan mencari proyeksi skalar (panjang vektor proyeksi) $\vec{AB}$ pada $\vec{AC}$.
\begin{align} \vec{AB} &= \begin{bmatrix} 0-(-4) \\ 2-3 \\ 3-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \\ \vec{AC} &= \begin{bmatrix} -2-(-4) \\ 6-3 \\ 9-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 7 \end{bmatrix} \\ \hline \vec{AB} \cdot \vec{AC} &= (4)(2)+(-1)(3)+(1)(7) \\ &= 8-3+7 \\ &= 12 \\ \hline \left| \vec{AB} \right| &= \sqrt{(4)^{2}+(-1)^{2} +(1)^{2}} \\ &= \sqrt{ 16+ 1 + 1} \\ &= \sqrt{18}= 3\sqrt{2} \end{align}
\begin{align} \left| \vec{AD} \right| &= \dfrac{ \vec{AB} \cdot \vec{AC} }{\left| \vec{AB} \right|} \\ &= \dfrac{12}{3\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}}{ \sqrt{2}} \\ &= \dfrac{12\sqrt{2}}{6} = 2\sqrt{2} \end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2\sqrt{2}$
5. Soal Latihan Proyeksi Ortogonal Vektor
Diketahui $\vec{a}= 2\vec{i}+3\vec{j}-\vec{k}$ dan $\vec{b}= x\vec{i}+2\vec{j}+ \vec{k}$. Jika panjang proyeksi vektor $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ sama dengan $3$ maka tentukanlah nilai $x$.
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal dapat kita peroleh,
\begin{align}
\text{Panjang Proyeksi}\ \vec{a}\ \text{pada}\ \vec{b} &= \dfrac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{b} \right|} \\
3 &= \dfrac{(2)(x)+(3)(2)+(-1)(1) }{\sqrt{x^{2}+2^{2}+1^{2}}} \\
3 &= \dfrac{2x+6-1}{\sqrt{x^{2}+4+1}} \\
3 &= \dfrac{2x+5}{\sqrt{x^{2}+5}} \\
3 \sqrt{x^{2}+5} &= 2x+5 \\
\left( 3 \sqrt{x^{2}+5} \right)^{2} &= \left( 2x+5 \right)^{2} \\
9 \left( x^{2}+5 \right) &= 4x^{2}+20x+25 \\
9x^{2}+ 45 &= 4x^{2}+20x+25 \\
5x^{2}+ 20x- 20 &= 0 \\
x^{2}+ 4x- 4 &= 0 \\
\left( x-2 \right)\left( x-2 \right) &= 0 \\
x=2 &
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$
6. Soal Latihan Proyeksi Ortogonal Vektor
Diketahui $\vec{a}= 2\vec{i}+2\vec{j}-4 \vec{k}$ dan $\vec{b}= \vec{i}-2\vec{j}+2\vec{k}$, maka panjang vektor proyeksi $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{a} \cdot \vec{b} &= (2)(1)+(2)(-2)+(-4)(2) \\
&= 2-4-8 \\
&= -10 \\
\hline
\left| \vec{b} \right| &= \sqrt{(1)^{2}+(-2)^{2} +(2)^{2}} \\
&= \sqrt{1+4 +4} \\
&= \sqrt{9}=3
\end{align}
Panjang vektor proyeksi $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ adalah $\dfrac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{b} \right|}=\dfrac{-10}{3}$.
Panjang vektor bernilai positif sehingga panjang proyeksi vektor adalah $\left| \dfrac{-10}{3} \right|= \dfrac{10}{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{10}{3}$
7. Soal Latihan Proyeksi Ortogonal Vektor
Diketahui $\vec{a}= 2\vec{i}+2\vec{j}-4 \vec{k}$ dan $\vec{b}= \vec{i}-2\vec{j}+2\vec{k}$, maka panjang vektor proyeksi $\vec{b}$ pada $\vec{a}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{a} \cdot \vec{b} &= (2)(1)+(2)(-2)+(-4)(2) \\
&= 2-4-8 \\
&= -10 \\
\hline
\left| \vec{a} \right| &= \sqrt{(2)^{2}+(2)^{2} +(4)^{2}} \\
&= \sqrt{4+4 +16} \\
&= \sqrt{24}=2\sqrt{6}
\end{align}
Panjang vektor proyeksi $\vec{b}$ pada $\vec{a}$ adalah $\dfrac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{a} \right|}=\dfrac{-10}{2\sqrt{6}}=\dfrac{-5}{6}\sqrt{6}$.
Panjang vektor bernilai positif sehingga panjang proyeksi vektor adalah $\left| \dfrac{-5}{6}\sqrt{6} \right|= \dfrac{5}{6}\sqrt{6}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{5}{6} \sqrt{6}$
8. Soal Latihan Proyeksi Ortogonal Vektor
Diketahui titik $A(1,2,2)$, $B(0,1,0)$ dan $C(3,0,4)$, maka proyeksi skalar $\vec{AB}$ pada $\vec{AV}$
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{AB} &= \begin{bmatrix}
0-1 \\
1-2 \\
0-2
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
-1 \\
-1 \\
-2
\end{bmatrix} \\
\vec{AC} &= \begin{bmatrix}
3-1 \\
0-2 \\
4-2
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
2 \\
-2 \\
2
\end{bmatrix} \\
\hline
\vec{AB} \cdot \vec{AC} &= (-1)(2)+(-1)(-2)+(-2)(2) \\
&= -2+2-4 \\
&= -4 \\
\hline
\left| \vec{AC} \right| &= \sqrt{(2)^{2}+(-2)^{2} +(2)^{2}} \\
&= \sqrt{ 4+ 4 + 4} \\
&= \sqrt{12}=2\sqrt{3}
\end{align}
Proyeksi skalar $\vec{AB}$ pada $\vec{AC}$ adalah $\dfrac{ \vec{AB} \cdot \vec{AC} }{\left| \vec{AC} \right|}=\dfrac{-4}{2\sqrt{3}}=\dfrac{-2}{3}\sqrt{3}$.
Proyeksi skalar bernilai positif sehingga proyeksi skalar vektor adalah $\left| \dfrac{-2}{3}\sqrt{3} \right|= \dfrac{2}{3}\sqrt{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{2}{3} \sqrt{3}$
9. Soal Latihan Proyeksi Ortogonal Vektor
Diketahui $\vec{a}= 2\vec{i}-2\vec{j}-2 \vec{k}$ dan $\vec{b}= 3\vec{i}+p\vec{j}+3\vec{k}$. Jika proyeksi skalar $\vec{b}$ pada $\vec{a}$ sama dengan panjang vektor $\vec{a}$ maka nilai $p=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{b} \cdot \vec{a} &= (2)(3)+(-2)(p)+(-2)(3) \\
&= 6-2p-6 \\
&= -2p \\
\hline
\left| \vec{a} \right| &= \sqrt{(2)^{2}+(-2)^{2} +(2)^{2}} \\
&= \sqrt{4+4 +4} \\
&= \sqrt{12}=2\sqrt{3}
\end{align}
Panjang vektor proyeksi $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ sama dengan panjang vektor $\vec{a}$ sehingga berlaku: \begin{align} \dfrac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{a} \right|} &= \left| \vec{a} \right| \\ \dfrac{ -2p }{2\sqrt{3}} &= 2\sqrt{3} \\ -2p &= 4 \cdot 3 \\ p &= \dfrac{12}{-2} = -6 \end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -6$
10. Soal Latihan Proyeksi Ortogonal Vektor
Diketahui $\vec{a}= 3\vec{i}+4\vec{j}+x \vec{k}$. Jika panjang vektor $\vec{a}$ adalah $5\sqrt{2}$ satuan maka persamaan vektor satuan $\vec{a}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal dapat kita peroleh:
\begin{align}
\left| \vec{a} \right| &= \sqrt{(3)^{2}+(4)^{2} +(x)^{2}} \\
5\sqrt{2} &= \sqrt{9+16 +x^{2}} \\
25 \cdot 2 &= 25 +x^{2} \\
50 &= 25 +x^{2} \\
50-25 &= x^{2} \\
25 &= x^{2} \longrightarrow x=\pm 5
\end{align}
Vektor $\vec{a}= 3\vec{i}+4\vec{j}+5 \vec{k}$, vektor satuan $\vec{a}$ adalah:
\begin{align}
\hat{a} &= \dfrac{ 3\vec{i}+4\vec{j}+5 \vec{k} }{ 5\sqrt{2}} \\
\hat{a} &= \frac{ 3}{ 5\sqrt{2} } \vec{i}+\frac{ 4}{ 5\sqrt{2} }\vec{j}+\frac{ 5}{ 5\sqrt{2} } \vec{k} \\
&= \frac{ 3}{ 10} \sqrt{2} \vec{i}+\frac{ 2}{ 5 }\sqrt{2}\vec{j}+\frac{ 1}{ 2 }\sqrt{2} \vec{k}
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{ 3}{ 10} \sqrt{2} \vec{i}+\frac{ 2}{ 5 }\sqrt{2}\vec{j}+\frac{ 1}{ 2 }\sqrt{2} \vec{k}$
11. Soal Latihan Proyeksi Ortogonal Vektor
Jika vektor $\vec{u}$ adalah vektor satuan yang tegak lurus dengan vektor $\vec{a}= 3\vec{i}-4\vec{j}$, maka persamaan vektor $\vec{u}$ adalah......
Alternatif Pembahasan:
Kita misalakan $\vec{u}= x\vec{i}+y\vec{j}$, karena $\vec{u}$ dan $\vec{a}$ tegak lurus maka berlaku:
\begin{align}
\vec{u} \cdot \vec{a} &= 0 \\
\left( x\vec{i}+y\vec{j} \right) \cdot \left( 3\vec{i}-4\vec{j} \right) &= 0 \\
3x-4y &= 0 \\
3x &= 4y \\
x &= \frac{4}{3}y
\end{align}
Karena $\vec{u}= x\vec{i}+y\vec{j}$ adalah vektor satuan maka $\sqrt{x^{2}+y^{2}}=1$, sehingga dapat kita peroleh:
\begin{align}
x^{2}+y^{2} &= 1 \\
\left( \frac{4}{3}y \right)^{2}+y^{2} &= 1 \\
\frac{16}{9}y^{2}+y^{2} &= 1 \\
\frac{25}{9}y^{2} &= 1 \\
y^{2} &= \frac{9}{25} \longrightarrow y = \pm \frac{3}{5} \\
x &= \frac{4}{3}y \longrightarrow x = \pm \frac{4}{5}
\end{align}
Persamaan vektor $\vec{u}$ adalah $\vec{u}=\frac{4}{5}\vec{i}+\frac{3}{5}\vec{j}$ atau $\vec{u}=-\frac{4}{5}\vec{i}-\frac{3}{5}\vec{j}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{4}{5}\vec{i}+\frac{3}{5}\vec{j}$
12. Soal Latihan Proyeksi Ortogonal Vektor
Jika $\vec{a}= 4\vec{i}+3\vec{j}+ \vec{k}$ dan $\vec{b}= 2\vec{i}+ \vec{j}+ \vec{k}$, maka vektor proyeksi $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{a} \cdot \vec{b} &= (4)(2)+(3)(1)+(1)(1) \\
&= 8+3+1 \\
&= 12 \\
\hline
\left| \vec{b} \right| &= \sqrt{(2)^{2}+(1)^{2} +(1)^{2}} \\
&= \sqrt{4+1 +1} \\
&= \sqrt{6}
\end{align}
Vektor proyeksi $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ kita misalkan $\vec{c}$ yaitu:
\begin{align}
\vec{c} &= \left( \dfrac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{b} \right|^{2}} \right) \cdot \vec{b} \\
\vec{c} &= \left( \dfrac{ 12 }{ \left( \sqrt{6} \right)^{2}} \right) \cdot \left( 2\vec{i}+ \vec{j}+ \vec{k} \right) \\
&= \left( \dfrac{ 12 }{6} \right) \cdot \left( 2\vec{i}+ \vec{j}+ \vec{k} \right) \\
&= \left( 2 \right) \cdot \left( 2\vec{i}+ \vec{j}+ \vec{k} \right) \\
&= 4\vec{i}+ 2\vec{j}+ 2\vec{k}
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4\vec{i}+2\vec{j}+ 2\vec{k}$
13. Soal Latihan Proyeksi Ortogonal Vektor
Diketahui vektor $\vec{a}= 3\vec{i}-\vec{j}+ 2\vec{k}$ dan vektor $\vec{b}= \vec{i}- \vec{j}+ m\vec{k}$, Jika vektor proyeksi $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ adalah $\frac{2}{3} \left(\vec{i}-\vec{j}+ m\vec{k} \right)$ maka nilai $m=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{a} \cdot \vec{b} &= (3)(1)+(-1)(-1)+(2)(m) \\
&= 3+1+2m \\
&= 4+2m \\
\hline
\left| \vec{b} \right| &= \sqrt{(1)^{2}+(-1)^{2} +(m)^{2}} \\
&= \sqrt{2 +m^{2}}
\end{align}
Vektor proyeksi $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ adalah $\frac{2}{3} \left(\vec{i}-\vec{j}+ m\vec{k} \right)$ maka berlaku:
\begin{align}
\frac{2}{3} \left(\vec{i}-\vec{j}+ m\vec{k} \right) &= \left( \dfrac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{b} \right|^{2}} \right) \cdot \vec{b} \\
\frac{2}{3} \left(\vec{i}-\vec{j}+ m\vec{k} \right) &= \left( \dfrac{ 4+2m }{ \left( \sqrt{2 +m^{2} } \right)^{2}} \right) \cdot \left( \vec{i}- \vec{j}+ m\vec{k} \right) \\
\frac{2}{3} \left(\vec{i}-\vec{j}+ m\vec{k} \right) &= \left( \dfrac{ 4+2m }{ 2 +m^{2} } \right) \cdot \left( \vec{i}- \vec{j}+ m\vec{k} \right) \\
\frac{2}{3} &= \dfrac{ 4+2m }{ 2 +m^{2} } \\
4+2m^{2} &= 12+6m \\
2m^{2}-6m-8 &= 0 \\
m^{2}-3m-4 &= 0 \\
\left(m-4 \right)\left(m +1 \right) &= 0 \\
m=4\ \text{atau}\ m=-1
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -1\ \text{atau}\ 4$
14. Soal Latihan Proyeksi Ortogonal Vektor
Diketahui $\vec{a}= 2\vec{i}-\vec{j}+ \vec{k}$ dan $\vec{b}= x\vec{i}-2\vec{k}$, Jika panjang vektor proyeksi $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ adalah $2$ satuan maka nilai $x=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{a} \cdot \vec{b} &= (2)(x)+(-1)(0)+(1)(-2) \\
&= 2x+0-2 \\
&= 2x-2 \\
\hline
\left| \vec{b} \right| &= \sqrt{(x)^{2}+(0)^{2} +(-2)^{2}} \\
&= \sqrt{x^{2}+4}
\end{align}
Vektor proyeksi $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ kita misalkan $\vec{c}$ yang panjangnya $2$ satuan maka dapat kita peroleh:
\begin{align}
\left| \vec{c} \right| &= \dfrac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{b} \right|} \\
2 &= \dfrac{ 2x-2 }{ \sqrt{x^{2}+4} } \\
2\sqrt{x^{2}+4} &= 2x-2 \\
\left( 2\sqrt{x^{2}+4} \right)^{2} &= \left( 2x-2 \right)^{2} \\
4 \left( x^{2}+4 \right) &= 4x^{2}-8x+4 \\
4x^{2}+ 16 &= 4x^{2}-8x+4 \\
8x &= 4-16 \\
8x &= -12 \\
x &= \frac{-12}{8}=\frac{-3}{2}
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\dfrac{3}{2}$
15. Soal Latihan Proyeksi Ortogonal Vektor
Jika panjang proyeksi $\vec{a}= -\sqrt{3}\vec{i}+3\vec{j}+ \vec{k}$ pada $\vec{b}= \sqrt{3}\vec{i}+p\vec{j}+3\vec{k}$ adalah $\frac{3}{2}$ satuan, maka nilai $p=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{a} \cdot \vec{b} &= \left( -\sqrt{3} \right)\left( \sqrt{3} \right)+(3)(p)+(1)(3k) \\
&= -3 +3p+3 \\
&= 3p \\
\hline
\left| \vec{b} \right| &= \sqrt{\left( \sqrt{3} \right)^{2}+(p)^{2} +(3)^{2}} \\
&= \sqrt{3+p^{2}+9} \\
&= \sqrt{12+p^{2}}
\end{align}
Vektor proyeksi $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ kita misalkan $\vec{c}$ yang panjangnya $\dfrac{3}{2}$ satuan maka dapat kita peroleh:
\begin{align}
\left| \vec{c} \right| &= \dfrac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{b} \right|} \\
\dfrac{3}{2} &= \dfrac{ 3p }{ \sqrt{p^{2}+12} } \\
3\sqrt{p^{2}+12} &= 6p \\
\sqrt{p^{2}+12} &= 2p \\
\left( \sqrt{p^{2}+12} \right)^{2} &= \left( 2p \right)^{2} \\
\left( p^{2}+12 \right) &= 4p^{2} \\
p^{2}+ 12 &= 4p^{2} \\
12 &= 4p^{2}- p^{2} \\
12 &= 3p^{2} \\
4 &= p^{2} \longrightarrow p= \pm 2
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2\ text{dan}\ -2$
16. Soal Latihan Proyeksi Ortogonal Vektor
Diketahui segitiga $ABC$ dengan $A(2, -1, 0)$, $B(1, -2, 4)$ dan $C(4, 3, 6)$. Jika $\vec{CD}$ adalah garis tinggi segitiga $ABC$ maka panjang $\vec{AD}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan segitiga $ABC$ yang diketahui pada soal dapat seperti berikut ini:
Dari gambar segitiga di atas dapat kita peroleh panjang $\vec{AD}$ dari panjang proyeksi $\vec{AC}$ pada $\vec{AB}$, yaitu:
\begin{align}
\vec{AC} &= \left( 4-2, 3-(-1), 6-0 \right)= \left( 2, 4, 6 \right) \\
\vec{AB} &= \left( 1-2, -2-(-1), 4-0 \right)= \left( -1, -1, 4 \right) \\
\vec{AC} \cdot \vec{AB} &= \left( 2 \right)\left( -1 \right)+\left( 4 \right)\left( -1 \right)+ \left( 6 \right)\left( 4 \right) \\
&= -2 -4 + 24 \\
&= 18 \\
\hline
\left| \vec{AB} \right| &= \sqrt{\left( -1 \right)^{2}+\left( -1 \right)^{2} +\left( 4 \right)^{2}} \\
&= \sqrt{1+1+16} \\
&= \sqrt{18}=3\sqrt{2}
\end{align}
Panjang vektor proyeksi $\vec{AC}$ pada $\vec{AB}$ adalah $\left| \vec{AD} \right|$ maka dapat kita peroleh:
\begin{align}
\left| \vec{AD} \right| &= \dfrac{ \vec{AC} \cdot \vec{AB} }{\left| \vec{AB} \right|} \\
&= \dfrac{ 18 }{ 3\sqrt{2} } \\
&= \dfrac{ 6 }{ \sqrt{2} } = 3\sqrt{2}
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3 \sqrt{2}$
17. Soal Latihan Proyeksi Ortogonal Vektor
Diketahui titik-titik $A(5, 2, -1)$, $B(2, 8, 1)$ dan $C(-1, -2, 1)$. Proyeksi skalar $\vec{AC}$ pada $\vec{AB}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan titik-titik yang diketahui akan membentuk segitiga $ABC$, dapat seperti berikut ini:
Dari gambar segitiga di atas dapat kita peroleh panjang $\vec{AD}$ dari panjang proyeksi $\vec{AC}$ pada $\vec{AB}$, yaitu:
\begin{align}
\vec{AC} &= \left( -1-5, -2- 2 , 1-(-1) \right)= \left( -6, -4, 2 \right) \\
\vec{AB} &= \left( 2-5, 8-2, 1-(-1) \right)= \left( -3, 6, 2 \right) \\
\vec{AC} \cdot \vec{AB} &= \left( -6 \right)\left( -3 \right)+\left( -4 \right)\left( 6 \right)+ \left( 2 \right)\left( 2 \right) \\
&= 18 -24 + 4 \\
&= -2 \\
\hline
\left| \vec{AB} \right| &= \sqrt{\left( -3 \right)^{2}+\left( 6 \right)^{2} +\left( 2 \right)^{2}} \\
&= \sqrt{9+36+4} \\
&= \sqrt{49}=7
\end{align}
Panjang vektor proyeksi $\vec{AC}$ pada $\vec{AB}$ adalah $\left| \vec{AD} \right|$ yaitu:
\begin{align}
\left| \vec{AD} \right| &= \dfrac{ \vec{AC} \cdot \vec{AB} }{\left| \vec{AB} \right|} \\
&= \dfrac{ -2 }{ 7 }
\end{align}
Proyeksi skalar bernilai positif sehingga proyeksi skalar vektor adalah $\left| \dfrac{ -2 }{ 7 } \right|= \dfrac{2 }{ 7 }$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{2}{7}$
18. Soal Latihan Proyeksi Ortogonal Vektor
Jika diketahui vektor posisi $\vec{OA}= \vec{j}+ 2\vec{k}$ dan $\vec{OB}= 3\vec{i}+4\vec{j}+ 3\vec{k}$ maka luas segitiga $OAB$ adalah...satuan luas.
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan segitiga $OAB$, dapat seperti berikut ini:
Untuk menghitung luas segitiga kita butuh $\left| \vec{OB} \right|$ dan $\left| \vec{AC} \right|$. Dari gambar segitiga di atas dapat kita peroleh panjang $\vec{OC}$ dari panjang proyeksi $\vec{OA}$ pada $\vec{OB}$, yaitu:
\begin{align}
\vec{OA} \cdot \vec{OB} &= \left( 0 \right)\left( 3 \right)+\left( 1 \right)\left( 4 \right)+ \left( 2 \right)\left( 3 \right) \\
&= 0 +4 + 6 \\
&= 10 \\
\hline
\left| \vec{OB} \right| &= \sqrt{\left( 3 \right)^{2}+\left( 4 \right)^{2} +\left( 3 \right)^{2}} \\
&= \sqrt{9+16+9} \\
&= \sqrt{34}
\end{align}
Panjang vektor proyeksi $\vec{OA}$ pada $\vec{OB}$ adalah:
\begin{align}
\left| \vec{OC} \right| &= \dfrac{ \vec{OA} \cdot \vec{OB} }{\left| \vec{OB} \right|} \\
&= \dfrac{ 10 }{ \sqrt{34} }
\end{align}
Dengan menggunakan teorema pythagoras kita peroleh:
$\begin{align}
OA^{2} &= AC^{2}+OC^{2} \\
AC^{2} &= OA^{2}-OC^{2} \\
AC^{2} &= \left( \sqrt{0^{2}+1^{2}+2^{2}} \right)^{2}-\left( \dfrac{ 10 }{ \sqrt{34} } \right)^{2} \\
AC^{2} &= 5- \dfrac{ 100 }{ 34 }=\dfrac{ 170 }{ 34 }- \dfrac{ 100 }{ 34 } \\
AC &= \sqrt{ \dfrac{ 70 }{ 34 } } = \dfrac{ \sqrt{70} }{ \sqrt{34 } }
\end{align}$
Sehingga luas segitiga $OAB$ adalah:
$\begin{align}
\left[ OAB \right] &= \frac{1}{2} \cdot \left| \vec{OB} \right| \cdot \left| \vec{AC} \right| \\
\left[ OAB \right] &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{34} \cdot \dfrac{ \sqrt{70} }{ \sqrt{34 } } \\
\left[ OAB \right] &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{70 }
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{1}{2}\sqrt{70}$
19. Soal Latihan Proyeksi Ortogonal Vektor
Dari gambar segitiga di atas, jika $B(7, -1, -6)$ dan $C(-1, 3, -2)$ maka koordinat $D$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari segitiga $ABC$, vektor $\vec{BA}$ dan $\vec{BC}$ membentuk sudut $30^{\circ}$ sehingga dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{BA} \cdot \vec{BC} &= \left| \vec{BA} \right| \cdot \left| \vec{BC} \right| \cdot \cos 30^{\circ} \\
\vec{BA} \cdot \vec{BC} &= \left| \vec{BA} \right| \cdot \left| \vec{BC} \right| \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3}
\end{align}
Dari segitiga $ABC$, dengan perbandingan trigonometri dapat juga kita peroleh:
\begin{align}
\cos 30^{\circ} &= \dfrac{ \left| \vec{BA} \right|}{ \left| \vec{BC} \right|} \\
\frac{1}{2}\sqrt{3} &= \dfrac{ \left| \vec{BA} \right| }{ \left| \vec{BC} \right| } \\
\end{align}
Kita misalkan titik $D(x, y, z)$, dari vektor proyeksi $\vec{BA}$ pada $\vec{BC}$ yaitu $\vec{BD}$ dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{BD} &= \left( \dfrac{ \vec{BA} \cdot \vec{BC} }{\left| \vec{BC} \right|^{2}} \right) \cdot \vec{BC} \\
\left(x, y, z \right)-\left(7, -1, -6\right) &= \left( \dfrac{ \left| \vec{BA} \right| \cdot \left| \vec{BC} \right| \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3} }{\left| \vec{BC} \right|^{2}} \right) \cdot \vec{BC} \\
\left(x-7, y+1, z+6\right) &= \left( \dfrac{ \left| \vec{BA} \right| \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3} }{\left| \vec{BC} \right| } \right) \cdot \vec{BC} \\
\left(x-7, y+1, z+6\right) &= \left( \dfrac{ \left| \vec{BA} \right|}{\left| \vec{BC} \right| } \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3} \right) \cdot \left(-1-7, 3+1, -2+6\right) \\
\left(x-7, y+1, z+6\right) &= \left( \frac{1}{2}\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3} \right) \cdot \left(-8, 4, 4\right) \\
\left(x-7, y+1, z+6\right) &= \frac{3}{4} \cdot \left(-8, 4, 4\right) \\
\left(x-7, y+1, z+6\right) &= \left(-6, 3, 3\right) \\
&x=1,\ y=2,\ z=-3
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left( 1, 2, -3 \right)$
20. Soal Latihan Proyeksi Ortogonal Vektor
Diketahui proyeksi skalar vektor $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ adalah $6$. Jika vektor $\vec{a} = x \vec{i} – 4 \vec{j} + y \vec{i}$ dan vektor $\vec{b} = –2\vec{i} + \vec{j} + 2 \vec{k}$ serta $\left| a \right| = \sqrt{89}$, maka nilai $x$ antara lain adalah...
Alternatif Pembahasan:
Panjang vektor proyeksi $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ adalah $6$ sehingga dapat dapat kita peroleh:
\begin{align}
6 &= \dfrac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{b} \right|} \\
6 &= \dfrac{ \left( x \right)\left( -2 \right)+\left( -4 \right)\left( 1 \right)+\left( y \right)\left( 2 \right) }{\left| \vec{b} \right|} \\
6 &= \dfrac{ -2x-4+2y }{ \sqrt{\left( -2 \right)^{2}+\left( 1 \right)^{2} +\left( 2 \right)^{2}} } \\
6 &= \dfrac{ -2x-4+2y }{ \sqrt{4+ 1 + 4} } \\
6 &= \dfrac{ -2x-4+2y }{ 3 } \\
18 &= -2x-4+2y \\
18+4 &= -2x +2y \\
22 &= - 2x + 2y \\
11 &= - x + y
\end{align}
Panjang vektor $\vec{a}$ adalah $\left| a \right| = \sqrt{89}$ dapat kita peroleh:
\begin{align}
\left| \vec{a} \right| &= \sqrt{\left( x \right)^{2}+\left( -4 \right)^{2} +\left( y \right)^{2}} \\
\sqrt{89} &= \sqrt{x^{2}+ 16 + y^{2}} \\
89 &= x^{2}+ 16 + y^{2} \\
0 &= x^{2} + y^{2}+16-89 \\
0 &= x^{2} + \left(x+11 \right)^{2} -73 \\
0 &= x^{2} +x^{2}+22x+121-73 \\
0 &= 2x^{2} +22x+48 \\
0 &= x^{2} +11x+24 \\
0 &= \left(x+8 \right)\left(x+3 \right) \\
&x=-3\ \text{atau}\ x=-8
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -3$
21. Soal Latihan Proyeksi Ortogonal Vektor
Jika diketahui vektor $\vec{a}=6\vec{i}+4\vec{j}+2\vec{k}$ dan vektor $\vec{b}=5\vec{i}-4\vec{j}+6\vec{k}$, maka panjang proyeksi $\left( \vec{a}+\vec{b} \right)$ pada $\left( \vec{a} - \vec{b} \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{a}+\vec{b} &= 11\vec{i}+0\vec{j}+ \vec{k} \\
\vec{a}-\vec{b} &= 1\vec{i}+8\vec{j}-11 \vec{k}
\end{align}
Panjang vektor proyeksi $\left( \vec{a}+\vec{b} \right)$ pada $\left( \vec{a} - \vec{b} \right)$ adalah:
\begin{align}
& \dfrac{ \left( \vec{a}+\vec{b} \right) \cdot \left( \vec{a}-\vec{b} \right) }{\left| \vec{a} - \vec{b} \right|} \\
&= \dfrac{ \left( 11 \right) \left( 1 \right)+ \left( 0 \right) \left( 8 \right)+ \left( 1 \right) \left( -11 \right) }{\sqrt{(1)^{2}+ (8)^{2}+(-11)^{2}}} \\
&= \dfrac{ 11+ 0-11 }{\sqrt{1+ 64+121 }} \\
&= \dfrac{ 0 }{\sqrt{ 186}} = 0
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 0$
22. Soal Latihan Proyeksi Ortogonal Vektor
Diketahui vektor $\vec{p}= \vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k}$ dan vektor $\vec{q}=2\vec{i}+ \vec{j}+x\vec{k}$. Jika panjang proyeksi vektor $\vec{p}$ pada $\vec{q}$ adalah $\frac{1}{3}\sqrt{6}$, maka $3x=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Panjang vektor proyeksi vektor $\vec{p}$ pada $\vec{q}$ adalah $\frac{1}{3}\sqrt{6}$ sehingga dapat kita peroleh:
\begin{align}
\frac{1}{3}\sqrt{6} &= \dfrac{ \vec{p} \cdot \vec{q} }{\left| \vec{q} \right|} \\
\frac{1}{3}\sqrt{6} &= \dfrac{ \left( 1 \right)\left( 2 \right)+\left( 2 \right)\left( 1 \right)+\left( 2 \right)\left( x \right) }{ \sqrt{2^{2}+1^{2}+x^{2}} } \\
\frac{1}{3}\sqrt{6} &= \dfrac{ 2+2+2x }{ \sqrt{4+1+x^{2}} } \\
\frac{1}{3}\sqrt{6} &= \dfrac{ 4+2x }{ \sqrt{ 5+x^{2}} } \\
\frac{1}{9}\left( 6 \right) &= \dfrac{ \left( 4+2x \right)^{2} }{ 5+x^{2} } \\
\frac{2}{3} &= \dfrac{ 16+16x+4x^{2} }{ 5+x^{2} } \\
10+2x^{2} &= 48+48x+12x^{2} \\
0 &= 48+48x+12x^{2}-10-2x^{2} \\
0 &= 10x^{2}+48x+38 \\
0 &= 5x^{2}+24x+19 \\
0 &= \left(5x+19 \right)\left(x+1 \right) \\
&x=-\frac{19}{5}\ \text{atau}\ x=-1
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3$
Beberapa pembahasan Soal Matematika Dasar Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor Pada Vektor Lain di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan Matematika SMA, Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor Dilengkapi 20+ Soal Latihan dan Pembahasan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Kita adalah apa yang kita lakukan berulang kali. Maka, keunggulan bukanlah sebuah tindakan, melainkan sebuah kebiasaan
