The good student, bersama Calon Guru kita belajar matematika dasar SMA dari Perkalian Skalar Dua Vektor. Pada catatan sebelumnya kita sudah mengetahui bagaimana cara menyelesaikan masalah vektor yang berkaitan dengan Perbandingan Vektor.
PANJANG VEKTOR
Misalkan $a_{1}$, $a_{2}$, dan $a_{3}$ adalah bilangan-bilangan positip dan diketahui persamaan vektor $\vec{a} = a_{1}\vec{i}+a_{2}\vec{j}+a_{3}\vec{k}$, maka panjang vektor $\vec{a}$ secara geometris dapat digambarkan seperti berikut:
Dengan bantuan teorema pythagoras dapat ditentukan panjang vektor $\vec{a}$ yaitu:
\begin{align}
\left| \vec{a} \right| &= \sqrt{a^{2}_{1}+a^{2}_{2}+a^{2}_{3}}
\end{align}
Sebagai contoh, misalkan vektor $\vec{a} = 4\vec{i}-5\vec{j}+3\vec{k}$ maka panjang vektor $\vec{a}$ adalah:
\begin{align}
\left| \vec{a} \right| &= \sqrt{4^{2}+(-5)^{2} +3^{2}} \\
&= \sqrt{16+25 +9} \\
&= \sqrt{50} \\
&= 5\sqrt{2}\ \text{satuan panjang}
\end{align}
Sedangkan untuk $A \left( x_{a}, y_{a}, z_{a} \right)$ dan $B \left( x_{b}, y_{b}, z_{b} \right)$ maka panjang vektor $\vec{AB}$ yaitu:
\begin{align}
\left| \vec{AB} \right| &= \sqrt{\left( x_{b}-x_{a} \right)^{2}+\left( y_{b}-y_{b} \right)^{2}+ \left( z_{b}-z_{a}\right)^{2}}
\end{align}
Sebagai contoh, misalkan untuk titik $A \left( -2, 4, -1 \right)$ dan $B \left( -5, 2, 5 \right)$ maka panjang vektor $\vec{AB}$ adalah:
\begin{align}
\left| \vec{AB} \right| &= \sqrt{\left( (-5)-(-2) \right)^{2}+\left( (2)-(4) \right)^{2}+ \left( (5)-(-1) \right)^{2}}\\
&= \sqrt{ \left( -3 \right)^{2}+\left( -2 \right)^{2}+ \left( 6 \right)^{2}} \\
&= \sqrt{ 9+4+36} \\
&= \sqrt{49} =7\ \text{satuan panjang}
\end{align}
PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR
Jika $\vec{a} = a_{1}\vec{i}+a_{2}\vec{j}+a_{3}\vec{k}$ dan $\vec{b} = b_{1}\vec{i}+b_{2}\vec{j}+c_{3}\vec{k}$ maka perkalian skalar $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ secara geometris didefinisikan:
Dari defenisi perkalian skalar dua vektor di atas $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right|\ \cos \alpha $ dapat kita tambahkan keterangan yaitu $\left| \vec{a} \right|$ adalah panjang vektor $\vec{a}$ dan $\left| \vec{b} \right|$ adalah panjang vektor $\vec{b}$.
Perhatikan $\alpha$ adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh kedua vektor dimana titik sudut adalah sudut pada titik asal kedua vektor.
Sebagai contoh diketahui dua vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ seperti gambar di bawah ini, dapat kita tentukan nilai $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
Contoh kedua, vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ disajikan seperti gambar berikut. Tentukan nilai $\vec{a} \cdot \vec{b}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menentukan nilai $\vec{a} \cdot \vec{b}$ seperti keadaan di atas, kedudukan vektor $\vec{a}$ dan vektor $\vec{b}$ di atas kita ubah tanpa merubah arah dan besar agar titik asal kedua vektor sama. Kedudukan menjadi seperti berikut:
Setelah titik asal vektor sama seperti gambar di atas, sudut kedua vektor yang kita gunakan adalahh $120^{\circ}$, sehingga dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{a} \cdot \vec{b} &= \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right|\ \cos \alpha \\
&= 12 \cdot 8\ \cdot \cos 120^{\circ} \\
&= 96\ \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \\
&= -48
\end{align}
Sifat-sifat Perkalian Skalar Dua Vektor
Jika $\vec{a}$, $\vec{b}$ dan $\vec{c}$ adalah vektor-vektor sembarang dengan $k$ adalah suatu skalar, berlaku sifat-sifat sebagai berikut:
- $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
- $\vec{a} \cdot \left( \vec{b} + \vec{c} \right) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$
- $k \cdot \left( \vec{a} \cdot \vec{b} \right) = \left( k \cdot \vec{a} \right) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \left( k \cdot \vec{a} \right)$
- $0 \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot 0 = 0$
- $\vec{a} \cdot \vec{a} = \left| \vec{a} \right|^{2} $
Contoh, Jika diketahui dua vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ dimana $\left| \vec{a} \right| = 6\ cm $ dan $\left| \vec{b} \right| = 4\ cm $ serta berlaku $\left( \vec{a} + \vec{b} \right) \cdot \left( \vec{a} + \vec{b} \right) = 16$. Tentukanlah nilai $\vec{a} \cdot \vec{b}$?
Alternatif Pembahasan:
\begin{align} \left( \vec{a} + \vec{b} \right) \cdot \left( \vec{a} + \vec{b} \right) &= 16 \\ \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} +\vec{b} \cdot \vec{b} &= 16 \\ \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{a} \right| \cdot \cos 0^{\circ} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \left| \vec{b} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos 0^{\circ} &= 16 \\ (6) \cdot (6) \cdot 1 + 2\ \vec{a} \cdot \vec{b} + (4) \cdot (4) \cdot 1 &= 16 \\ 36 + 2\ \vec{a} \cdot \vec{b} + 16 &= 16 \\ 2\ \vec{a} \cdot \vec{b} &= 36 \\ \vec{a} \cdot \vec{b} &= 18 \end{align}
Contoh selanjutnya, jika diketahui vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ dimana $\left| \vec{a} \right| = 4\ cm $ dan $\left| \vec{b} \right| = 5\ cm $ serta $\angle \left( \vec{a}, \vec{b} \right)=60^{\circ}$ maka tentukanlah nilai $\left| \vec{a}- \vec{b} \right|$?
Alternatif Pembahasan:
\begin{align} \left( \vec{a} - \vec{b} \right) \cdot \left( \vec{a} - \vec{b} \right) &= \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} \\ \left| \vec{a} - \vec{b} \right| \cdot \left| \vec{a} - \vec{b} \right| \cdot \cos 0^{\circ} &= \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{a} \right| \cdot \cos 0^{\circ} - \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos 60^{\circ} -\left| \vec{b} \right| \cdot \left| \vec{a} \right| \cdot \cos 60^{\circ} \\ &\ \ \ + \left| \vec{b} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos 0^{\circ} \\ \left| \vec{a} - \vec{b} \right|^{2} \cdot 1 &= \left( 4 \right) \left( 4 \right) \left( 1 \right) - \left( 4 \right) \left( 5 \right) \left( \frac{1}{2} \right) - \left( 5 \right) \left( 4 \right) \left( \frac{1}{2} \right) + \left( 5 \right) \left( 5 \right) \left( 1 \right) \\ \left| \vec{a} - \vec{b} \right|^{2} &= 16 - 10 - 10 + 25 \\ \left| \vec{a} - \vec{b} \right|^{2} &= 21 \\ \left| \vec{a} - \vec{b} \right| &= \sqrt{21} \end{align}
Perkalian dua vektor $\vec{a}=a_{1}\vec{i}+a_{2}\vec{j}+a_{3}\vec{k}$ dan $\vec{b}=b_{1}\vec{i}+b_{2}\vec{j}+b_{3}\vec{k}$ secara analitis di dapat dengan cara berikut:
\begin{align} \vec{a} \cdot \vec{b} &= \left( a_{1}\vec{i}+a_{2}\vec{j}+a_{3}\vec{k} \right) \cdot \left( b_{1}\vec{i}+b_{2}\vec{j}+b_{3}\vec{k} \right) \\ &= a_{1}b_{1} \vec{i} \vec{i}+a_{1}b_{2} \vec{i} \vec{j}+ \cdots +a_{3}b_{3} \vec{k} \vec{k}\\ &= a_{1}b_{1} \left| \vec{i} \right| \left| \vec{i} \right| \ \cos 0^{\circ} + a_{1}b_{2} \left| \vec{i} \right| \left| \vec{j} \right| \ \cos 90^{\circ}+ a_{1}b_{2} \left| \vec{i} \right| \left| \vec{j} \right| \ \cos 90^{\circ} + \\ &\ \ \ \ \ a_{2}b_{1} \left| \vec{j} \right| \left| \vec{i} \right| \ \cos 90^{\circ} + a_{2}b_{2} \left| \vec{j} \right| \left| \vec{j} \right| \ \cos 0^{\circ}+ a_{2}b_{3} \left| \vec{j} \right| \left| \vec{k} \right| \ \cos 90^{\circ} + \\ &\ \ \ \ \ a_{3}b_{1} \left| \vec{k} \right| \left| \vec{i} \right| \ \cos 90^{\circ} + a_{3}b_{2} \left| \vec{k} \right| \left| \vec{j} \right| \ \cos 90^{\circ}+ a_{3}b_{3} \left| \vec{k} \right| \left| \vec{k} \right| \ \cos 0^{\circ} \\ &= a_{1}b_{1} \left( 1 \right)\left( 1 \right)\left( 1 \right) + a_{1}b_{2} \left( 1 \right)\left( 1 \right)\left( 0 \right)+ a_{1}b_{2} \left( 1 \right)\left( 1 \right)\left( 0 \right) + \\ &\ \ \ \ \ a_{2}b_{1} \left( 1 \right)\left( 1 \right)\left( 0 \right) + a_{2}b_{2} \left( 1 \right)\left( 1 \right)\left( 1 \right)+ a_{2}b_{3} \left( 1 \right)\left( 1 \right)\left( 0 \right) + \\ &\ \ \ \ \ a_{3}b_{1} \left( 1 \right)\left( 1 \right)\left( 0 \right) + a_{3}b_{2} \left( 1 \right)\left( 1 \right)\left( 0 \right) + a_{3}b_{3} \left( 1 \right)\left( 1 \right)\left( 1 \right) \\ &= a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3} \end{align}
Contoh, jika diketahui dua vektor $\vec{a} = 3\vec{i}-3\vec{j}+5\vec{k}$ dan $\vec{a} = 4\vec{i}-5\vec{j}+3\vec{k}$ maka nilai $\vec{a} \cdot \vec{b}$ adalah:
\begin{align}
\vec{a} \cdot \vec{b} &= \left( 3 \right)\left( 4 \right) + \left( -3 \right)\left( -5 \right) + \left( 5 \right)\left( 3 \right) \\
&= 12 + 15 + 15 \\
&= 42
\end{align}
Contoh kedua, diketahui tiga titik $A(4, -1, 2)$, $B(5, 2, 5)$ dan $C(-3, 4, 0)$. Nilai $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ adalah:
\begin{align}
\vec{AB} \cdot \vec{AC} &= \begin{bmatrix}
5-4 \\
2-(-1) \\
5-2
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
-3-4 \\
4-(-1) \\
0-2
\end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}
1 \\
3 \\
3
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
-7 \\
5 \\
-2
\end{bmatrix} \\
&= (1)(-7)+(3)(5)+(3)(-2) \\
&= -7+15-6 = 2
\end{align}
Jika $\vec{a}=a_{1}\vec{i}+a_{2}\vec{j}+a_{3}\vec{k}$ dan $\vec{b}=b_{1}\vec{i}+b_{2}\vec{j}+b_{3}\vec{k}$ maka sudut antara $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ di dapat dengan menurunkan rumus perkalian skalar dua vektor, yaitu:
\begin{align} \vec{a} \cdot \vec{b} &= \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right|\ \cos \alpha \\ \cos \alpha &= \dfrac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right|} \\ \cos \alpha &= \dfrac{a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}}{\sqrt{a^{2}_{1}+a^{2}_{2}+a^{2}_{3}} \cdot \sqrt{b^{2}_{1}+b^{2}_{2}+b^{2}_{3}}} \\ \cos \alpha &= \dfrac{ a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}}{\sqrt{ \left( a^{2}_{1}+a^{2}_{2}+a^{2}_{3} \right) \left( b^{2}_{1}+b^{2}_{2}+b^{2}_{3} \right)}} \\ \end{align}
Jika $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ tegak lurus maka sudut antara $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah $90^{\circ}$ sehingga kita peroleh:
\begin{align}
\vec{a} \cdot \vec{b} &= \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right|\ \cos \alpha \\
\vec{a} \cdot \vec{b} &= \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right|\ \cos 90^{\circ} \\
\vec{a} \cdot \vec{b} &= \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right|\ \cdot 0 \\
\vec{a} \cdot \vec{b} &= 0
\end{align}
Sebagai contoh soal, diketahui vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ dimana $\left| \vec{a} \right|= 3\ cm$ dan $\left| \vec{b} \right|= 4\ cm$. Jika $\vec{a} \cdot \vec{b} = –6$ maka besar sudut antara $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah...
\begin{align}
\cos \alpha &= \dfrac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right|} \\
\cos \alpha &= \dfrac{ -6 }{3 \cdot 4} \\
\cos \alpha &= \dfrac{ -6 }{12}=-\dfrac{ 1 }{2} \\
\alpha &= 120^{\circ}
\end{align}
Contoh soal berikutnya, diketahui tiga titik $A(2, 1, 0)$, $B(–1, –3, 5)$ dan $C(2, 3, 2)$. Jika $\alpha$ adalah sudut antara $\vec{AB}$ dan $\vec{AC}$ maka nilai $\cos \alpha$ adalah...
$\begin{align}
\vec{AB} &= \begin{bmatrix}
-1-2 \\
-3-1 \\
5-0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-3 \\
-4 \\
5
\end{bmatrix} \\
\left| \vec{AB} \right| &= \sqrt{(-3)^{2}+(-4)^{2}+5^{2}} \\
&= \sqrt{9+16+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2} \\
\hline
\vec{AC} &= \begin{bmatrix}
2-2 \\
3-1 \\
2-0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 \\
2 \\
2
\end{bmatrix} \\
\left| \vec{AC} \right| &= \sqrt{(0)^{2}+(2)^{2}+(2)^{2}} \\
&= \sqrt{0+4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2} \\
\hline
\vec{AB} \cdot \vec{AC} &= (-3)(0)+(-4)(2)+(5)(2) \\
&= 0-8+10=2 \\
\end{align}$
Sehingga dapat kita peroleh:
\begin{align}
\cos \alpha &= \dfrac{ \vec{AB} \cdot \vec{AC} }{\left| \vec{AB} \right| \cdot \left| \vec{AC} \right|} \\
\cos \alpha &= \dfrac{ 2 }{5\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}} \\
\cos \alpha &= \dfrac{ 2 }{20}=\dfrac{ 1 }{10}
\end{align}
Untuk menambah pengetahuan kita terkait Perkalian Skalar Dua Vektor ini, mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Perkalian Skalar Dua Vektor Matematika SMA Kurikulum 2013 dan soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
Jika tertarik untuk membahas soal-soal vektor yang sudah pernah diujikan pada Ujian Nasional matematika SMA atau soal seleksi masuk perguruan tinggi negeri yang dilaksanakan secara nasional atau mandiri silahkan disimak pada Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Vektor.
1. Soal Latihan Perkalian Skalar Vektor
Jika $\vec{a}= 3\vec{i}-2\vec{j}+6\vec{k}$ maka panjang vektor $\vec{a}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
\begin{align} \left| \vec{a} \right| &= \sqrt{a^{2}_{1}+a^{2}_{2}+a^{2}_{3}} \\ \left| \vec{a} \right| &= \sqrt{(3)^{2}+(-2)^{2} +(6)^{2}} \\ &= \sqrt{9+4 +36} \\ &= \sqrt{49} = 7 \end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7$
2. Soal Latihan Perkalian Skalar Vektor
Jika $\vec{p}= \vec{i}-2\vec{j}+2\vec{k}$ dan $\vec{q}= 3\vec{i}+6\vec{j}+2\vec{k}$ maka panjang vektor $\vec{p}+\vec{q}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
\begin{align} \vec{p} + \vec{q} &= (1+3)\vec{i}+(-2+6)\vec{j}+(2+2)\vec{k} \\ &= 4\vec{i}+4\vec{j}+4\vec{k} \\ \left| \vec{p} + \vec{q} \right| &= \sqrt{(4)^{2}+(4)^{2} +(4)^{2}} \\ &= \sqrt{16+16 +16} \\ &= \sqrt{48}=4\sqrt{3} \end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4\sqrt{3}$
3. Soal Latihan Perkalian Skalar Vektor
Diketahui $A(-2, 1, 3)$ dan $B(6, 5, 2)$ maka nilai $\left| \vec{AB} \right|=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
\begin{align} \vec{AB} &= (6-(-2))\vec{i}+(5-1)\vec{j}+(2-3)\vec{k} \\ &= 8\vec{i}+4\vec{j}-\vec{k} \\ \left| \vec{AB} \right| &= \sqrt{(8)^{2}+(4)^{2} +(-1)^{2}} \\ &= \sqrt{64+16 +1} \\ &= \sqrt{81}=9 \end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 9$
4. Soal Latihan Perkalian Skalar Vektor
Jika $ABC$ segitiga sama kaki, dimana titik $A(11, 8, 9)$, $B(-1, 2p, 3)$, dan $C(3, -2, -9)$ dengan panjang $ \left| \vec{AB} \right| = \left| \vec{BC} \right|$ maka nilai $p = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
\begin{align} \vec{AB} &= \begin{bmatrix} -1-11 \\ 2p-8 \\ 3-9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -12 \\ 2p-8 \\ -6 \end{bmatrix} \\ \vec{BC} &= \begin{bmatrix} 3-(-1) \\ -2-2p \\ -9-3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -2-2p \\ -12 \end{bmatrix} \\ \hline \left| \vec{AB} \right| &= \left| \vec{BC} \right| \\ \sqrt{(-12)^{2}+(2p-8)^{2} +(-6)^{2}} &= \sqrt{(4)^{2}+(-2-2p)^{2} +(-12)^{2}} \\ \sqrt{144+ 4p^{2}-32p+64 +36 } &= \sqrt{16+4p^{2}+8p+4+144} \\ 4p^{2}-32p+244 &= 4p^{2}+8p+164 \\ 244-164 &= 8p+32p \\ 80 &= 40p \\ p &= 2 \end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$
5. Soal Latihan Perkalian Skalar Vektor
Pada segitiga $KLM$, diketahui $\vec{KL}$ wakil dari vektor $\vec{a}=4\vec{i}-4\vec{j}+2\vec{k}$ dan $\vec{KM}$ wakil dari $\vec{b}=2\vec{i}+4\vec{j}+6\vec{k}$. Nilai dari $ \left| \vec{a} \right| + \left| \vec{a}+\vec{b} \right|=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
\begin{align} \left| \vec{a} \right| &= \sqrt{(4)^{2}+(-4)^{2} +(2)^{2}} \\ &= \sqrt{16+ 16 +4}=\sqrt{36}=6 \\ \left| \vec{a}+\vec{b} \right| &= \sqrt{(4+2)^{2}+(-4+4)^{2} +(2+6)^{2}} \\ &= \sqrt{36+ 0 +64}=\sqrt{100}= 10 \\ \hline \left| \vec{a} \right| + \left| \vec{a}+\vec{b} \right| &= 6 + 10 = 16 \end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 16$
6. Soal Latihan Perkalian Skalar Vektor
Jika diketahui vektor $\vec{a}=p\vec{i}+2\vec{j}-\vec{k}$ dan $\vec{b}= \vec{i}+3 \vec{k}$ serta $ \left| \vec{a} + \vec{b} \right|=2\sqrt{3}$ maka nilai $p=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
\begin{align} \vec{a}+\vec{b} &= (p+1)\vec{i}+(2+0)\vec{j}+(-1+3)\vec{k} \\ &= (p+1)\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k} \\ \hline \left| \vec{a}+\vec{b} \right| &= \sqrt{(p+1)^{2}+(2)^{2} +(2)^{2}} \\ 2\sqrt{3} &= \sqrt{p^{2}+2p+1+4 +4} \\ 2\sqrt{3} &= \sqrt{p^{2}+2p+9} \\ 12 &= p^{2}+2p+9 \\ 0 &= p^{2}+2p-3 \\ 0 &= (p+3)(p-1) \\ &p=-3\ \text{atau}\ p=1 \end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3$
7. Soal Latihan Perkalian Skalar Vektor
Diketahui titik $R$ terletak pada ruas garis $PQ$ sehingga $\vec{PR}:\vec{PQ}=1 : 2$. Jika vektor $\vec{a}=3\vec{i}+ \vec{j}+\vec{k}$ dan $\vec{q}= 9\vec{i}+5\vec{j}+7\vec{k}$ maka $ \left| \vec{r} \right|=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari perbandingan $\vec{PR}:\vec{PQ}=1 : 2$ dapat kita peroleh:
\begin{align} \vec{PR}:\vec{PQ} &= 1 : 2 \\ 2\vec{PR} &= \vec{PQ} \\ 2 \left( \vec{r}-\vec{p} \right) &= \left( \vec{q}-\vec{p} \right) \\ 2\vec{r}-2\vec{p} &= \vec{q}-\vec{p} \\ 2\vec{r} &= \vec{q}-\vec{p}+2\vec{p} \\ 2\vec{r} &= \vec{q}+\vec{p} \\ 2\vec{r} &= (3+9)\vec{i}+(1+5)\vec{j}+(1+7)\vec{k} \\ 2\vec{r} &= 12\vec{i}+6\vec{j}+8\vec{k} \\ \vec{r} &= 6\vec{i}+3\vec{j}+4\vec{k} \\ \left| \vec{r} \right| &= \sqrt{(6)^{2}+(3)^{2} +(4)^{2}} \\ &= \sqrt{36+9+16} \\ &= \sqrt{61} \end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{61}$
8. Soal Latihan Perkalian Skalar Vektor
Pada gambar di bawah ini nilai dari $\vec{a} \cdot \vec{b} = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
\begin{align} \vec{a} \cdot \vec{b} &= \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right|\ \cos \alpha \\ &= 4 \cdot 5 \cdot \cos 3^{\circ} \\ &= 20 \cdot \left( \frac{1}{2}\sqrt{3} \right) \\ &= 10\sqrt{3} \end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 10\sqrt{3}$
9. Soal Latihan Perkalian Skalar Vektor
Pada gambar di bawah ini nilai dari $\vec{a} \cdot \vec{b} = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Gambar pada soal kita ubah agar titik asal vektor sama menjadi seperti berikut:
\begin{align} \vec{a} \cdot \vec{b} &= \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right|\ \cos \alpha \\ &= 6 \cdot 3\ \cdot \cos 135^{\circ} \\ &= 18\ \cdot \left( -\frac{1}{2}\sqrt{2} \right) \\ &= -9 \sqrt{2} \end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -9\sqrt{2}$
10. Soal Latihan Perkalian Skalar Vektor
Pada gambar di bawah ini nilai dari $\vec{a} \cdot \vec{b} = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Gambar pada soal kita ubah agar titik asal vektor sama menjadi seperti berikut:
\begin{align} \vec{a} \cdot \vec{b} &= \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right|\ \cos \alpha \\ &= 6 \cdot 8\ \cdot \cos 60^{\circ} \\ &= 48\ \cdot \frac{1}{2} \\ &= 24 \end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 24$
11. Soal Latihan Perkalian Skalar Vektor
Pada gambar di bawah ini nilai dari $\vec{a} \cdot \vec{b} = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Gambar pada soal kita ubah agar titik asal vektor sama menjadi seperti berikut:
\begin{align} \vec{a} \cdot \vec{b} &= \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right|\ \cos \alpha \\ &= 4 \cdot 5\ \cdot \cos 150^{\circ} \\ &= 20\ \cdot \left(-\frac{1}{2}\sqrt{3} \right) \\ &= -10\sqrt{3} \end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -10\sqrt{3}$
12. Soal Latihan Perkalian Skalar Vektor
Jika $ \left| \vec{a} \right| = \sqrt{29}$ dan $\left( \vec{a} + \vec{b} \right)\left( \vec{a} - \vec{b} \right) = -1$, maka panjang vektor $\vec{b} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal, dapat kita peroleh:
\begin{align}
\left( \vec{a} - \vec{b} \right) \cdot \left( \vec{a} + \vec{b} \right) &= -1 \\
\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} -\vec{b} \cdot \vec{b} &= -1 \\
\left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{a} \right| \cdot \cos 0^{\circ} + \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \left| \vec{b} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos 0^{\circ} &= -1 \\
\left(\sqrt{29} \right) \cdot \left(\sqrt{29} \right) \cdot 1 - \left| \vec{b} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot 1 &= -1 \\
29\ - \left| \vec{b} \right|^{2} &= -1 \\
- \left| \vec{b} \right|^{2} &= -1-29 \\
\left| \vec{b} \right|^{2} &= 30 \\
\left| \vec{b} \right| &= \sqrt{30}
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \sqrt{30}$
13. Soal Latihan Perkalian Skalar Vektor
Suatu persegi panjang $OABC$ diketahui nilai $ \left| \vec{OA} \right| = 12\ cm$ dan $ \left| \vec{AB} \right| = 5\ cm$. Jika $\left| \vec{OA} \right| =\vec{a} $ dan $\left| \vec{OB} \right| = \vec{b}$ maka nilai $\vec{a} \cdot \left( \vec{a} + \vec{b} \right) = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal, jika kita gambarkan persegi panjang $OABC$ dapat menjadi seperti berikut:
Dari gambar di atas dengan menggunakan teorema pythagoras dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\left| \vec{OB} \right|^{2} &= \left| \vec{OA} \right|^{2} + \left| \vec{AB} \right|^{2} \\
\left| \vec{b} \right|^{2} &= 12^{2} + 5^{2} \\
\left| \vec{b} \right|^{2} &= 144+25 \\
\left| \vec{b} \right| &= \sqrt{169}=13 \\
\end{align}$
Sehingga dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{a} \cdot \left( \vec{a} + \vec{b} \right) &= \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} \\
&= \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{a} \right| \cdot \cos 0^{\circ} + \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos AOB \\
&= (12) \cdot (12) \cdot (1) + (12) \cdot (13) \cdot \frac{12}{13} \\
&= 144 + 144 \\
&= 288
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 288$
14. Soal Latihan Perkalian Skalar Vektor
Jika vektor $ \vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = 0$ dan $ \left| \vec{a} \right| = 3$, $ \left| \vec{b} \right| = 5$, dan $ \left| \vec{c} \right| = 7$, maka nilai $\vec{a} \cdot \vec{b} = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} &= 0 \\
\vec{a}+\vec{b} &= -\vec{c} \\
\left( \vec{a}+\vec{b} \right)^{2} &= \left( -\vec{c} \right)^{2} \\
\vec{a} \cdot \vec{a} + 2\ \vec{a} \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} &= \vec{c} \cdot \vec{c} \\
\left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{a} \right| \cdot \cos 0^{\circ} + 2\ \vec{a} \vec{b} + \left| \vec{b} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos 0^{\circ} &= \left| \vec{c} \right| \cdot \left| \vec{c} \right| \cdot \cos 0^{\circ} \\
(3)(3)(1) + 2\ \vec{a} \vec{b} + (5)(5)(1) &= (7)(7)(1) \\
9 + 2\ \vec{a} \vec{b} + 25 &= 49 \\
2\ \vec{a} \vec{b} &= 49-25-9 \\
2\ \vec{a} \vec{b} &=15 \\
\vec{a} \vec{b} &=7,5
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 7,5$
15. Soal Latihan Perkalian Skalar Vektor
Jika $\vec{a} = 4\vec{i}+\vec{j}+5\vec{k}$ dan $\vec{b} = 2\vec{i}+\vec{j}-5\vec{k}$ maka hasil kali $\vec{a} \cdot \vec{b} = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal, dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{a} \cdot \vec{b} &= \left( 4 \right)\left( 2 \right) + \left( 1 \right)\left( 1 \right) + \left( 5 \right)\left( -5 \right) \\
&= 8 + 1 - 25 \\
&= -16
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -16$
16. Soal Latihan Perkalian Skalar Vektor
Jika $A(2, -3, 4)$, $B(6, -2, 2)$, dan $C(5, 4, 3)$ adalah titik-titik sudut dari segitiga $ABC$ maka nilai $\vec{AB} \cdot \vec{BC} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
\begin{align} \vec{AB} \cdot \vec{BC} &= \begin{bmatrix} 6-2 \\ -2-(-3) \\ 2-4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 5-6 \\ 4-(-2) \\ 3-2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1 \\ 6 \\ 1 \end{bmatrix} \\ &= (4)(-1)+(1)(6)+(-2)(1) \\ &= -4+6-2 = 0 \end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 0$
17. Soal Latihan Perkalian Skalar Vektor
Diketahui koordinat $P(-3, 2, 1)$, dan $Q(7, -3, 11)$, jika titik $R$ membagi $PQ$ dengan perbandingan $\vec{PR}:\vec{RQ}=3:2$ maka $\vec{PR} \cdot \vec{RQ} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} \vec{PR}:\vec{RQ} &= 3 : 2 \\ 2\vec{PR} &= 3\vec{RQ} \\ 2 \left( \vec{r}-\vec{p} \right) &=3 \left( \vec{q}-\vec{r} \right) \\ 2\vec{r}-2\vec{p} &= 3\vec{q}-3\vec{r} \\ 5\vec{r} &= 3\vec{q}+2\vec{p} \\ 5\vec{r} &= 3 \left(-3\vec{i}+2\vec{j}+1\vec{k} \right)+2 \left( 7\vec{i}-3\vec{j}+11\vec{k} \right) \\ 5\vec{r} &=-9\vec{i}+6\vec{j}+3\vec{k} +14\vec{i}-6\vec{j}+22\vec{k} \\ 5\vec{r} &=5\vec{i}+0\vec{j}+25\vec{k}\\ \vec{r} &=1\vec{i}+0\vec{j}+ 5\vec{k}\\ &\text{titik}\ R\left(1, 0,5 \right)\\ \hline \end{align}$
$\begin{align} \vec{PR} \cdot \vec{RQ} &= \begin{bmatrix} 1-(-3) \\ 0-2 \\ 5-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 7-1 \\ -3-0 \\ 11-5 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 6 \\ -3 \\ 6 \end{bmatrix} \\ &= (4)(6)+(-2)(-3)+(4)(6) \\ &= 24+6+24 = 54 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 54$
18. Soal Latihan Perkalian Skalar Vektor
Diketahui $A(4, -3, 2)$, dan $B(-2, 5, 0)$. Jika titik $P$ berada di tengah-tengah $AB$ maka nilai dari $\vec{PA} \cdot \vec{PB}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Titik $P$ berada di tengah-tengah $AB$ sehingga koordinat $P\left( \frac{4-2}{2}, \frac{-3+5}{2}, \frac{2+0}{2} \right)$ atau $P\left( 1, 1, 1 \right)$.
$\begin{align} \vec{PA} \cdot \vec{PB} &= \begin{bmatrix} 4-1 \\ -3-1 \\ 2-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -2-1 \\ 5-1 \\ 0-1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -3 \\ 4 \\ -1 \end{bmatrix} \\ &= (3)(-3)+(-4)(4)+(1)(-1) \\ &= -9-16-1 = -26 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -26$
19. Soal Latihan Perkalian Skalar Vektor
Diketahui segitiga $ABC$ dimana $A(2x, 7, 3)$, $B(x, 7, 7)$, dan $C(10, 16, 3x)$. Jika segitiga $ABC$ siku-siku di $A$ maka nilai $x=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Segitiga $ABC$ siku-siku di $A$ sehingga sudut $\vec{AB}$ dan $\vec{AC}$ adalah $90^{\circ}$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
\vec{AB} \cdot \vec{AC} &= 0 \\
\begin{bmatrix}
x-2x \\
7-7 \\
7-3
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
10-2x \\
16-7 \\
3x-3
\end{bmatrix} &= 0 \\
\begin{bmatrix}
-x \\
0 \\
4
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
10-2x \\
9 \\
3x-3
\end{bmatrix} &= 0 \\
(-x)(10-2x)+(0)(9)+(4)(3x-3) &= 0 \\
-10x+2x^{2}+0+12x-12 &= 0 \\
2x^{2} +2x-12 &= 0 \\
x^{2} + x-6 &= 0 \\
\left( x+3 \right) \left( x-2 \right) &= 0 \\
x=-3\ \text{atau}\ x=2 &
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$
20. Soal Latihan Perkalian Skalar Vektor
Diketahui vektor $\vec{a} = 3\vec{i}-4\vec{j}+2\vec{k}$ dan $\vec{b} = 2\vec{i}+3\vec{j}$ serta $\vec{c} = 4\vec{i}+\vec{j}-6\vec{k}$, maka hasil dari $2\vec{a} \left( 3 \vec{b} - 2 \vec{c} \right) = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal, dapat kita peroleh:
\begin{align}
2 \vec{a} \left( 3 \vec{b} - 2 \vec{c} \right) &= (2)(3) \vec{a} \vec{b} - (2)(2) \vec{a}\vec{c} \\
&= (6) \left( (3)(2)+(-4)(3)+(2)(0) \right) - (4) \left( (3)(4)+(-4)(1)+(2)(-6) \right) \\
&= (6) \left( 6-12+0 \right) - (4) \left( 12-4-12 \right) \\
&= (6) \left( -6 \right) - (4) \left( -4 \right) \\
&= -36 + 16 \\
&= -20
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -20$
21. Soal Latihan Perkalian Skalar Vektor
Diketahui $A(1, 0, -1)$, $B(2, -5, 2)$, dan $C(-3, 1, 0)$ maka nilai dari $\vec{BC} \cdot \left( \vec{AC} + 2 \vec{AB} \right) = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal, dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{BC} &= \begin{bmatrix}
-3-2 \\
1-(-5) \\
0-2
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
-5 \\
6 \\
-2
\end{bmatrix} \\
\vec{AC} &= \begin{bmatrix}
-3-1 \\
1-0 \\
0-(-1)
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
-4 \\
1 \\
1
\end{bmatrix} \\
2 \vec{AB} &= 2 \begin{bmatrix}
2-1 \\
-5-0 \\
2-(-1)
\end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix}
1 \\
-5 \\
3
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
2 \\
-10 \\
6
\end{bmatrix}
\end{align}
\begin{align} \vec{BC} \cdot \left( \vec{AC} + 2 \vec{AB} \right) &= (-5,6,-2) \left( (-4,1,1)+(2,-10,6) \right) \\ &= (-5,6,-2) \left( -2,-9,7 \right) \\ &= (-5)(-2)+(6)(-9)+(-2)(7) \\ &= 10-54-14 \\ &= -58 \end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -58$
Beberapa pembahasan Soal Matematika Dasar Perkalian Skalar Dua Vektor di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan Cara Perkalian Skalar Dua Vektor Dilengkapi 20+ Soal Latihan dan Pembahasan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
