Cara Menghitung Determinan Matriks 2x2 dan Matriks 3x3 dan Pembahasan Soal Latihan
Calon Guru belajar matematika dasar SMA lewat Cara Menghitung Determinan Matriks 2x2 dan Determinan Matriks 3x3.
DETERMINAN MATRIKS
Determinan Matriks adalah besaran skalar yang dapat dihitung dari unsur-unsur suatu matriks persegi. Determinan matriks dapat juga disebut suatu pemetaan dari bentuk matriks persegi ke bentuk bilangan real.
Determinan matriks $A$ dapat ditulis dengan beberapa cara antara lain $\text{det}(A)$, $D_{A}$, atau $\left| A \right|$.
Sebuah matriks jika nilai determinannya adalah nol, maka matriks itu disebut dengan matriks singular (Jika $\left| A \right| = 0$ maka matriks $A$ adalah matriks singular). Pada saat kita belajar invers matriks, matriks yang determinannya nol atau matriks singular disebut juga dengan matriks yang tidak mempunyai invers.
Determinan Matriks $2 \times 2$
Untuk sebuah matriks $2 \times 2$, misalkan matriksnya adalah $A=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$ maka determinan matriks $A$ dapat dihitung dengang rumus:
\begin{align}
\left| A \right|\ &= \begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} \\
\left| A \right|\ &= (a)(d) - (b)(c) \\
\end{align}
Misal, untuk matriks $A=\begin{pmatrix}
3 & 5 \\
-4 & -2
\end{pmatrix}$ maka determinan matriks $A$ adalah:
$\begin{align}
\left| A \right|\ &= (3)(-2)- (5)(-4) \\
&= -6- (20) \\
&= -26 \\
\end{align}$
Determinan Matriks $3 \times 3$ Dengan Cara Sarrus
Untuk sebuah matriks $3 \times 3$, misalkan matriksnya adalah $A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{pmatrix}$ maka determinan matriks $A$ yang dihitung dengan cara sarrus adalah:
Misal, untuk matriks $A=\begin{pmatrix}
3 & 4 & 0 \\
-2 & 1 & 5 \\
-1 & -3 & 2 \\
\end{pmatrix}$ maka determinan matriks $A$ adalah:
Determinan Matriks $3 \times 3$ Dengan Cara Minor-Kofaktor
Jika disuruh memilih untuk menghitung determinan matriks $3 \times 3$ dengan cara sarrus atau dengan cara minor-kofaktor, maka secara umum akan lebih banyak memilih dengan cara sarrus. Karena dibutuhkan lebih banyak langkah untuk menentukan determinan matriks $3 \times 3$ dengan cara minor-kofaktor.
Beberapa langkah yang harus kita ketahui untuk menghitung determinan matriks $3 \times 3$ dengan cara minor-kofaktor, antara lain:
- Menentukan Minor Matriks $M_{11},M_{12},M_{13}$
- Menentukan Kofaktor Matriks $C_{11},C_{12},C_{13}$
- Menghitung determinan matriks matriks $A_{3 \times 3}$, salah satunya dengan rumus $\left| A \right| = a_{11} \cdot C_{11} + a_{12} \cdot C_{12}+ a_{13} \cdot C_{13}$
Sebagai contoh kita coba hitung determinan $A=\begin{pmatrix} 3 & 4 & 0 \\ -2 & 1 & 5 \\ -1 & -3 & 2 \\ \end{pmatrix}$
MENENTUKAN MINOR MATRIKS $M_{11},M_{12},M_{13}$
Minor sebuah matriks ditulis $M_{ij}$ dengan $i$ adalah baris dan $j$ adalah kolom. Untuk matriks $A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{pmatrix}$ kita peroleh:
- $M_{11}$ dengan menghapus elemen matriks pada baris $1$ dan kolom $1$ sehingga kita peroleh $M_{11}=\begin{pmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$
- $M_{12}$ dengan menghapus elemen matriks pada baris $1$ dan kolom $2$ sehingga kita peroleh $M_{12}=\begin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix}$
- $M_{13}$ dengan menghapus elemen matriks pada baris $1$ dan kolom $3$ sehingga kita peroleh $M_{13}=\begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}$
Pada matriks $A=\begin{pmatrix} 3 & 4 & 0 \\ -2 & 1 & 5 \\ -1 & -3 & 2 \\ \end{pmatrix}$ kita peroleh:
- $M_{11}$ dengan menghapus elemen matriks pada baris $1$ dan kolom $1$ sehingga kita peroleh $M_{11}=\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$
- $M_{12}$ dengan menghapus elemen matriks pada baris $1$ dan kolom $2$ sehingga kita peroleh $M_{12}=\begin{pmatrix} -2 & 5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$
- $M_{13}$ dengan menghapus elemen matriks pada baris $1$ dan kolom $3$ sehingga kita peroleh $M_{13}=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$
MENENTUKAN KOFAKTOR MATRIKSS $C_{11},C_{12},C_{13}$
Untuk matriks $A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{pmatrix}$ maka kofaktor dari matriks $A$ adalah $C=\begin{pmatrix}
C_{11} & C_{12} & C_{13} \\
C_{21} & C_{22} & C_{23} \\
C_{31} & C_{32} & C_{33} \\
\end{pmatrix}$
dimana $C_{ij}=\left( -1 \right)^{i+j} \cdot \left| M_{ij} \right|$
Untuk menghitung determinan kita tidak perlu semua elemen kofaktor dari matriks $A$, kita hanya perlu dari salah satu baris, misalnya $C_{11},\ C_{12}, C_{13}$.
Pada matriks $A=\begin{pmatrix} 3 & 4 & 0 \\ -2 & 1 & 5 \\ -1 & -3 & 2 \\ \end{pmatrix}$ kita peroleh:
$\begin{align} C_{11} & =\left( -1 \right)^{1+1} \cdot \left| M_{11} \right| \\ & =\left( -1 \right)^{2} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} \\ & =(1) (2-(-15))=17 \end{align}$
$\begin{align} C_{12} & =\left( -1 \right)^{1+2} \cdot \left| M_{12} \right| \\ & =\left( -1 \right)^{3} \cdot \begin{vmatrix} -2 & 5 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} \\ & =(-1) (-4-(-5))=-1 \end{align}$
$\begin{align} C_{13} & =\left( -1 \right)^{1+3} \cdot \left| M_{13} \right| \\ & =\left( -1 \right)^{4} \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -1 & -3 \end{vmatrix} \\ & =(1) (6-(-1))=7 \end{align}$
Langkah terakhir menghitung determinan matriks $A=\begin{pmatrix} 3 & 4 & 0 \\ -2 & 1 & 5 \\ -1 & -3 & 2 \\ \end{pmatrix}$ yaitu: $\begin{align} \left| A \right| & = a_{11} \cdot C_{11} + a_{12} \cdot C_{12}+ a_{13} \cdot C_{13} \\ & = (3) \cdot (17) + (4) \cdot (-1) + (0) \cdot (7) \\ & = (51) + (-4) + (0) \\ & = 47 \end{align}$
SIFAT-SIFAT DETERMINAN MATRIKS
Setelah mengetahui cara menghitung determinan matriks, ada beberapa sifat yang determinan matriks yang berlaku secara umum. Untuk matriks $A$ dan $B$ yang merupakan matriks yang memiliki determinan, maka berlaku:
- $\left| A^{t} \right| = \left| A \right|$
- $\left| A \cdot B \right| = \left| A \right| \cdot \left| B \right|$
- $\left| A^{n} \right| = \left| A \right|^{n} $
- $\left| A^{-1} \right| = \dfrac{1}{\left| A \right|} $
- $\left| k \times A_{m \times m} \right| = k^{m} \times \left| A \right| $
Untuk memanfaatkan waktu luang, silahkan dicoba untuk membuktikan sifat-sifat determinan matriks di atas.
SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN DETERMINAN MATRIKS
Soal-soal matriks yang sudah pernah diujikan pada seleksi masuk perguruan tinggi negeri silahkan disimak pada catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Matriks.
Berikut ini sebagai soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Invers Perkalian Matriks $2 \times 2$ atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
1. Soal Latihan Determinan Matriks
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}
x+1 & x-1 \\ 2x & x
\end{pmatrix}$. Jika berlaku $\text{det} \left( A \right)=4x-30$ maka nilai $x=\cdots$$\begin{align}
(A)\ & 3\ \text {dan}\ 5 \\ (B)\ & -3\ \text {dan}\ 5 \\ (C)\ & 5\ \text {dan}\ -6 \\ (D)\ & 5\ \text {dan}\ 6 \\ (E)\ & 4\ \text {dan}\ 6 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
A\ &= \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} \\
\left| A \right|\ &= (a)(d) - (b)(c) \\
\hline
A &= \begin{pmatrix}
x+1 & x-1 \\
2x & x
\end{pmatrix} \\
\left| A \right|\ &= (x+1)(x) - (x-1)(2x) \\
4x-30\ &= (x+1)(x) - (2x)(x-1) \\
4x-30\ &= x^{2}+x - 2x^{2}+2x \\
4x-30\ &=-x^{2}+3x \\
0\ &= x^{2}+x-30 \\
0\ &= \left( x+6 \right)\left( x-5 \right) \\
& x=-6\ \text{atau}\ x=5\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 5\ \text {dan}\ -6$
2. Soal Latihan Determinan Matriks
Jika matriks $A=\begin{pmatrix}
x+2 & x-1 \\ 8 & x
\end{pmatrix}$ merupakan matriks singular maka nilai $x=\cdots$$\begin{align}
(A)\ & 6\ \text {dan}\ 2 \\ (B)\ & -6\ \text {dan}\ 2 \\ (C)\ & 4\ \text {dan}\ 3 \\ (D)\ & -4\ \text {dan}\ 3 \\ (E)\ & 4\ \text {dan}\ 2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
A\ &= \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} \\
\left| A \right|\ &= (a)(d) - (b)(c) \\
\hline
A &= \begin{pmatrix}
x+2 & x-1 \\
8 & x
\end{pmatrix} \\
\left| A \right|\ &= (x+2)(x) - (x-1)(8) \\
0\ &= (x+2)(x) - (x-1)(8) \\
0\ &= x^{2}+2x-8x+8 \\
0\ &= x^{2}-6x+8 \\
0\ &= \left( x-4 \right)\left( x-2 \right) \\
& x=4\ \text{atau}\ x=2\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4\ \text {dan}\ 2$
3. Soal Latihan Determinan Matriks
Jika $A=\begin{pmatrix}
x & 5 \\ 1 & x-2
\end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix}
2 & 3x-2 \\ x & 5
\end{pmatrix}$ serta $\text{det}(A)=\text{det}(B)$ maka nilai $x=\cdots$$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{3}{2}\ \text {dan}\ \dfrac{1}{2} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2}\ \text {dan}\ \dfrac{5}{2} \\ (C)\ & -\dfrac{3}{2}\ \text {dan}\ \dfrac{5}{2} \\ (D)\ & 2\ \text {dan}\ \dfrac{5}{2} \\ (E)\ & 3\ \text {dan}\ \dfrac{1}{2} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
A\ &= \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} \\
\left| A \right|\ &= (a)(d) - (b)(c) \\
\hline
\begin{vmatrix}
x & 5 \\
1 & x-2
\end{vmatrix} &= \begin{vmatrix}
2 & 3x-2 \\
x & 5
\end{vmatrix} \\
(x)(x-2) - (5)(1) &= (2)(5) - (3x-2)(x) \\
x^{2}-2x - 5 &= 10 - 3x^{2}+2x \\
4x^{2}-4x-15\ &= 0 \\
\left( 2x-5 \right)\left( 2x+3 \right)\ &= 0 \\
x=\frac{5}{2}\ \text{atau}\ x=-\frac{2}{3}\ & \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -\dfrac{3}{2}\ \text {dan}\ \dfrac{5}{2}$
4. Soal Latihan Determinan Matriks
Manakah dari pernyataan berikut yang bernilai benar?$\begin{align}
(A)\ & \text{det} \left( A^{-1} \right)=\text{det} \left( A \right) \\ (B)\ & \text{det} \left( 2A \right)=2 \cdot \text{det} \left( A \right) \\ (C)\ & \text{det} \left( A^{t} \right)= \text{det} \left( A \right) \\ (D)\ & \text{det} \left( A^{2} \right)= 2 \cdot \text{det} \left( A \right) \\ (E)\ & \text{det} \left( A^{-1} \right)= \text{det} \left( A^{t} \right) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
- Pernyataaan $(A)\ \text{det} \left( A^{-1} \right)=\text{det} \left( A \right)$ adalah pernyataan yang SALAH, seharusnya $\text{det} \left( A^{-1} \right)=\dfrac{1}{\text{det} \left( A \right)}$
- Pernyataaan $(B)\ \text{det} \left( 2A \right)=2 \cdot \text{det} \left( A \right)$ adalah pernyataan yang SALAH, seharusnya untuk matriks $A_{2 \times 2}$ $\text{det} \left( 2A \right)=2^{2} \cdot \text{det} \left( A \right)$
- Pernyataaan $(C)\ \text{det} \left( A^{t} \right)= \text{det} \left( A \right)$ adalah pernyataan yang BENAR.
- Pernyataaan $(D)\ \text{det} \left( A^{2} \right)= 2 \cdot \text{det} \left( A \right)$ adalah pernyataan yang SALAH, seharusnya $\text{det} \left( A^{2} \right)= \left( \text{det} \left( A \right)\right)^{2}$
- Pernyataaan $(E)\ \text{det} \left( A^{-1} \right)= \text{det} \left( A^{t} \right) $ adalah pernyataan yang SALAH, seharusnya $\text{det} \left( A^{-1} \right)= \dfrac{1}{\text{det} \left( A^{t} \right)} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \text{det} \left( A^{t} \right)= \text{det} \left( A \right)$
5. Soal Latihan Determinan Matriks
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}
2 & -1 \\ 3 & 1
\end{pmatrix}$. Jika $k \in R$ dan $k \cdot \text{det}(A)=\text{det}(2A)$, maka $k=\cdots$$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 8 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} A\ &= \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \\ \left| A \right|\ &= (a)(d) - (b)(c) \\ \hline k \cdot \text{det}(A) &= \text{det}(2A) \\ k \cdot \text{det}(A) &= 2^{2} \cdot \text{det}(A) \\ k \cdot \text{det}(A) &= 4 \cdot \text{det}(A) \\ k &= 4 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4$
6. Soal Latihan Determinan Matriks
Jika determinan matriks $\begin{pmatrix}
2x & 5 \\ 9 & x+3
\end{pmatrix}$ sama dengan determinan transpose matriks $\begin{pmatrix}
5 & 13 \\ 4 & 3x
\end{pmatrix}$ maka nilai $x=\cdots$$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{7}{2} \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & \dfrac{3}{2} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
A\ &= \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} \\
\left| A \right|\ &= (a)(d) - (b)(c) \\
\hline
\begin{vmatrix}
2x & 5 \\
9 & x+3
\end{vmatrix} &= \begin{vmatrix}
5 & 13 \\
4 & 3x
\end{vmatrix} \\
(2x)(x+3) - (5)(9) &= (5)(3x) - (13)(4) \\
2x^{2}+6x - 45 &= 15x - 52 \\
2x^{2}-9x +7 &= 0 \\
\left( 2x-7 \right)\left( x-1 \right)\ &= 0 \\
x=\frac{7}{2}\ \text{atau}\ x=1\ & \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$
7. Soal Latihan Determinan Matriks
Jika $A=\begin{pmatrix}
3 & k-5 \\ t+3 & t+2
\end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix}
3m & 1-n \\ 5m & 3n-2
\end{pmatrix}$ dan $A=B$, maka $2 \cdot \text{det}(A)=\cdots$$\begin{align}
(A)\ & 28 \\ (B)\ & 34 \\ (C)\ & 14 \\ (D)\ & 12 \\ (E)\ & 10 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
A\ &= \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} \\
\left| A \right|\ &= (a)(d) - (b)(c) \\
\hline
\begin{bmatrix}
3 & k-5 \\
t+3 & t+2
\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
3m & 1-n \\
5m & 3n-2
\end{bmatrix} \\
\hline
3 &= 3m \longrightarrow m=1 \\
t+3 &= 5m \longrightarrow t=2 \\
t+2 &= 3n-2 \longrightarrow n=2 \\
k-5 &= 1-n \longrightarrow k=4 \\
\hline
2 \cdot \text{det}(A) &= 2\begin{vmatrix}
3 & k-5 \\
t+3 & t+2
\end{vmatrix} \\
&= 2 \begin{vmatrix}
3 & -1 \\
5 & 4
\end{vmatrix} \\
&= (2)\left[ (3)(4)-(-1)(5) \right] \\
&= 2(12+5)=34
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 34$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan
___pythagoras
Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Cara Menghitung Determinan Matriks 2x2 dan Matriks 3x3 dan Pembahasan Soal Latihan silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊