Konsep Garis Singgung Kurva Dengan Turunan dan Pembahasan Soal Latihan
Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Konsep Garis Singgung Kurva yang dilengkapi dengan soal latihan dan pembahasan. Pada beberapa buku matematika atau website edukasi yang membahas tentang matematika menyebutkan "garis singgung (disebut juga garis tangen) kurva bidang pada titik yang diketahui adalah garis lurus yang "hanya menyentuh" kurva pada titik tersebut." (wikipedia).
Dengan bahasa yang lebih sederhana dapat kita tuliskan garis singgung (tangent line) ialah garis yang hanya memiliki satu titik persekutuan (disebut sebagai titik singgung) dengan kurva.
Dengan pengertian garis singgung di atas, apakah garis pada gambar yang ketiga dibawah ini termasuk garis singgung?
Garis talibusur $AB$ atau dapat juga kita sebut dengan garis potong (secant line) yang menghubungkan titik $A$ dan $B$ pada kurva $y=f(x)$. Gradien (kemiringan) garis potong $AB$ adalah:
$\begin{align}
m_{AB} &= \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \\
&=\dfrac{f\left(x_{2} \right)-f\left(x_{1} \right)}{ x_{2} - x_{1}} \\
&=\dfrac{f\left(x_{1}+h \right)-f\left(x_{1} \right)}{ x_{1}+h - x_{1}} \\
&=\dfrac{f\left(x_{1}+h \right)-f\left(x_{1} \right)}{ h } \\
\end{align}$
Jika titik $B$ kita geser mendekati titik $A$ maka $\Delta x$ atau $h$ semakin kecil yang mengakibatkan $\Delta y$ juga semakin kecil.
Apabila titik $B$ semakin mendekati $A$ atau $\Delta x=h$ sangat kecil (mendekati nol), sehingga titik $A$ dan titik $B$ seolah-olah berimpit maka diperoleh garis singgung kurva $f(x)$ di titik $A$.
Gradien garis singgung kurva di titik $A \left( x_{1}, f\left(x_{1} \right) \right)$ adalah
$\begin{align}
m_{A} &= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f\left( x_{1}+h \right)-f\left( x_{1} \right)}{h} \\
m_{A} &= f'\left( x_{1} \right)
\end{align}$
Dari penjabaran di atas, dengan bahasa yang sederhana dapat kita tuliskan bahwa untuk titik $A \left( x_{1}, y_{1} \right)$ yang terletak pada kurva $f\left( x \right)$, maka gradien garis singgung di titik $A \left( x_{1}, y_{1} \right)$ adalah $m_{A}=f'\left( x_{1} \right)$.
Untuk penjelasan lebih lanjut mari kita simak beberapa contoh soal berikut:
* Contoh pertama: *
tentukan gradien garis singgung kurva $f(x) = x^{2} – 6x + 5$ di titik $A(6, 5)$
Jawab:
Sebagai tahap awal perlu diperhatikan apakah titik $A(6, 5)$ terletak pada kurva $f(x)$. Untuk mengetahuinya kita periksa apakah $f(6)=5$,
$\begin{align}
f(x) &= x^{2} – 6x + 5 \\
f(6) &= 6^{2} – 6(6) + 5 \\
&= 36 – 36 + 5 \\
&= 5
\end{align}$
Dari hasil di atas kita ketahui bahwa titik $A(6, 5)$ terletak pada kurva $f(x)$.
Seperti disampaikan sebelumnya bahwa pada titik $A \left( x_{1}, y_{1} \right)$ gradien garis singgung adalah $m_{A}=f'\left( x_{1} \right)$.
Sehingga pada titik $A(6, 5)$, gradien garis singgung adalah:
$\begin{align}
m_{A} &= f'\left( x_{1} \right) \\
\hline
f(x) &= x^{2} – 6x + 5 \\
f'(x) &= 2x – 6 \\
\hline
m_{A} &= 2x_{1} -6 \\
&= 2(6) -6 \\
&= 12 -6 =6
\end{align}$
* Contoh kedua: *
tentukan gradien garis singgung kurva $f(x) = x^{3} – 2x$ di titik $B(2, 4)$
Jawab:
Sebagai tahap awal perlu diperhatikan apakah titik $B(2, 4)$ terletak pada kurva $f(x)$. Untuk mengetahuinya kita periksa apakah $f(2)=4$,
$\begin{align}
f(x) &= x^{3} – 2x \\
f(2) &= 2^{3} – 2(2) \\
&= 8 – 4 \\
&= 4
\end{align}$
Dari hasil di atas kita ketahui bahwa titik $B(2, 4)$ terletak pada kurva $f(x)$.
Seperti disampaikan sebelumnya bahwa pada titik $B \left( x_{1}, y_{1} \right)$ gradien garis singgung adalah $m_{B}=f'\left( x_{1} \right)$.
Sehingga pada titik $B(2, 4)$, gradien garis singgung adalah:
$\begin{align}
m_{B} &= f'\left( x_{1} \right) \\
\hline
f(x) &= x^{3} – 2x \\
f'(x) &= 3x^{2} – 2 \\
\hline
m_{B} &= 3x^{2}_{1} -2x_{1} \\
&= 3(2)^{2} -2(2) \\
&= 12-4 \\
&= 8
\end{align}$
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA
Persamaan garis singgung kurva sama dengan persamaan garis secara umum yang dapat ditentukan setidaknya jika diketahui gradien garis dan sebuah titik yang dilalui garis atau dua titik yang dilalui oleh garis.
- Jika garis $g$ melalui titik $(0,0)$ dan bergradien $m$ maka garis $g$ adalah $y=mx$;
- Jika garis $g$ melalui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ dan bergradien $m$ maka garis $g$ adalah $y-y_{1}=m\left(x-x_{1} \right)$;
- Jika garis $g$ melalui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ dan $(x_{2},y_{2})$ maka garis $g$ adalah $\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}$;
Untuk menentukan persamaan garis singgung kurva mari kita simak beberapa contoh berikut:
* Contoh pertama: *
tentukan persamaan garis singgung kurva $f(x) = 2x^{3} – 5x^{2}+4x+2$ di titik $A(2, 6)$
Jawab:
Sebagai tahap awal perlu diperhatikan apakah titik $A(2, 6)$ terletak pada kurva $f(x)$. Untuk mengetahuinya kita periksa apakah $f(2)=6$,
$\begin{align}
f(x) &= 2x^{3} – 5x^{2}+4x+2 \\
f(2) &= 2(2)^{3} – 5(2)^{2}+4(2)+2 \\
&= 16 – 20 +8 +2 \\
&= 6
\end{align}$
Dari hasil di atas kita ketahui bahwa titik $A(2, 6)$ terletak pada kurva $f(x)$.
Seperti disampaikan sebelumnya bahwa pada titik $A \left( x_{1}, y_{1} \right)$ gradien garis singgung adalah $m_{A}=f'\left( x_{1} \right)$.
Sehingga pada titik $A(2, 6)$, gradien garis singgung adalah:
$\begin{align}
m_{A} &= f'\left( x_{1} \right) \\
\hline
f(x) &= 2x^{3} – 5x^{2}+4x+2 \\
f'(x) &= 6x^{2} – 10x +4 \\
\hline
m_{A} &= 6(2)^{2} – 10(2) +4 \\
&= 24 -20+4 \\
&= 8
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $A(2, 6)$ dengan gradien $m=8$ adalah
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-6 &= 8 \left( x-2 \right) \\
y-6 &= 8x-16 \\
y &= 8x-16+6 \\
y &= 8x-10
\end{align}$
* Contoh kedua: *
tentukan persamaan garis singgung kurva $f(x) = x^{3} – 3x^{2}-5x+10$ jika gradien garis singgungnya adalah $4$
Jawab:
Diketahui gradien garis singgung adalah $4$, sehingga untuk titik $A \left( x, y \right)$ berlaku:
$\begin{align}
m_{A} &= f'\left( x \right) \\
\hline
f(x) &= x^{3} – 3x^{2}-5x+10 \\
f'(x) &= 3x^{2} – 6x -5 \\
\hline
m_{A} &= 3x^{2} – 6x -5 \\
4 &= 3x^{2} – 6x -5 \\
0 &= 3x^{2} – 6x -9 \\
0 &= x^{2} – 2x -3 \\
0 &= \left( x-3 \right)\left( x+1 \right) \\
&x=3\ \text{atau}\ x=-1
\end{align}$
Untuk $x=3$ pada $y=f(x) = x^{3} – 3x^{2}-5x+10$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= x^{3} – 3x^{2}-5x+10 \\
&= 3^{3} – 3(3)^{2}-5(3)+10 \\
&= 27 – 27-15+10 \\
&=-5 \\
& \text{titik}\ (3,-5)
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $(3,-5)$ dengan gradien $m=4$ adalah
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y+5 &= 4 \left( x-3 \right) \\
y+5 &= 4x-12 \\
y &= 4x-17
\end{align}$
Untuk $x=-1$ pada $y=f(x) = x^{3} – 3x^{2}-5x+10$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= x^{3} – 3x^{2}-5x+10 \\
&= (-1)^{3} – 3(-1)^{2}-5(-1)+10 \\
&= -1 -3 +5+10 \\
&=11 \\
& \text{titik}\ (-1,11) \\
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $(-1,11)$ dengan gradien $m=4$ adalah
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-11 &= 4 \left( x+1 \right) \\
y-11 &= 4x+4 \\
y &= 4x+15
\end{align}$
SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN GARIS SINGGUNG KURVA DENGAN TURUNAN
Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Matematika SMA Konsep Garis Singgung Kurva Dengan Turunan dan Pembahasan Soal Latihan atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
1. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Diketahui kurva $f(x) = 3x^{2}– 2x + 1$. Gradien garis singgung kurva tersebut pada titik $T (1,2)$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 3 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & -4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pada titik $A \left( a, b \right)$ gradien garis singgung adalah $m_{A}=f'\left( a \right)$
$\begin{align}
f(x) &= 3x^{2}– 2x + 1 \\
f'(x) &= 6x – 2 \\
\hline
& \text{gradien di titik}\ T (1,2) \\
\hline
m_{T} &= 6(1)-2 \\
&= 4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4$
2. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Gradien garis singgung di titik yang berabsis $2$ untuk kurva $f(x) = x^{3} – 2x^{2} + 3x – 1$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 3 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & -4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pada titik $A \left( a, b \right)$ gradien garis singgung adalah $m_{A}=f'\left( a \right)$
$\begin{align}
f(x) &= x^{3} – 2x^{2} + 3x – 1 \\
f'(x) &= 3x^{2} – 4x+3 \\
\hline
& \text{gradien di}\ x=2 \\
\hline
m_{x=2} &= 3(2)^{2} – 4(2)+3 \\
&= 12-8+3 \\
&= 7
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7$
3. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Diketahui kurva $f(x) = 2x^{2} – 3x + 4$. Persamaan garis singgung kurva tersebut pada titik $T (2, 6)$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & y=2x-4 \\ (B)\ & y=5x+3 \\ (C)\ & y=2x+3 \\ (D)\ & y=5x-4 \\ (E)\ & y=3x+2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pada titik $A \left( a, b \right)$ gradien garis singgung adalah $m_{A}=f'\left( a \right)$
$\begin{align}
f(x) &= 2x^{2} – 3x + 4 \\
f'(x) &= 4x-3 \\
\hline
& \text{gradien di titik}\ T (2, 6) \\
\hline
m_{T} &= 4(2)-3 \\
&= 5
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $T (2, 6)$ dan $m=5$
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-6 &= 5 \left( x-2 \right) \\
y-6 &= 5x-10 \\
y &= 5x-4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y=5x-4$
4. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Diketahui kurva $f(x) = x^{2} – 4x + 8$. Persamaan garis singgung kurva tersebut pada titik $T (1, 5)$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & y=6x-3 \\ (B)\ & y=-2x+7 \\ (C)\ & y=-2x+3 \\ (D)\ & y=2x-3 \\ (E)\ & y=6x+4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pada titik $A \left( a, b \right)$ gradien garis singgung adalah $m_{A}=f'\left( a \right)$
$\begin{align}
f(x) &= x^{2} – 4x + 8 \\
f'(x) &= 2x-4 \\
\hline
& \text{gradien di titik}\ T (1, 5) \\
\hline
m_{T} &= 2(1)-4 \\
&= -2
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $T (1, 5)$ dan $m=-2$
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-5 &= -2 \left( x-1 \right) \\
y-5 &= -2x+2 \\
y &= -2x+7
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ y=-2x+7$
5. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Diketahui kurva $f(x) = x^{4} – 3x^{2} – 3$. Persamaan garis singgung kurva tersebut pada titik yang berabis $2$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & y=20x-39 \\ (B)\ & y=15x+21 \\ (C)\ & y=20x+21 \\ (D)\ & y=15x-5 \\ (E)\ & y=10x+39 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pada titik $A \left( a, b \right)$ gradien garis singgung adalah $m_{A}=f'\left( a \right)$
$\begin{align}
f(x) &= x^{4} – 3x^{2} – 3 \\
f'(x) &= 4x^{3}-6x \\
\hline
& \text{gradien di}\ x=2 \\
\hline
m_{x=2} &= 4(2)^{3}-6(2) \\
&= 32-12 \\
&= 20
\end{align}$
Untuk $x=2$ pada $y=f(x) = x^{4} – 3x^{2} – 3$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= x^{4} – 3x^{2} – 3 \\
&= (2)^{4} – 3(2)^{2} – 3 \\
&= 16-12-3 \\
&=1 \\
& \text{titik}\ (2,1) \\
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $(2, 1)$ dan $m=20$
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-1 &= 20 \left( x-2 \right) \\
y-1 &= 20x-40 \\
y &= 20x-39
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y=20x-39$
6. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Diketahui kurva $f(x) = x^{3}– 8x^{2} + 10$. Persamaan garis singgung kurva tesebut pada titik yang berabsis $1$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 12x+15y=16 \\ (B)\ & 2x-8y=14 \\ (C)\ & 5x-12y=16 \\ (D)\ & 8x+2y=7 \\ (E)\ & 13x+y=16 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Pada titik $A \left( a, b \right)$ gradien garis singgung adalah $m_{A}=f'\left( a \right)$
$\begin{align}
f(x) &= x^{3}– 8x^{2} + 10 \\
f'(x) &= 3x^{2}-16x \\
\hline
& \text{gradien di}\ x=1 \\
\hline
m_{x=1} &= 3(1)^{2}-16(1) \\
&= 3-16 \\
&= -13
\end{align}$
Untuk $x=1$ pada $y=f(x) = x^{3}– 8x^{2} + 10$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= x^{3}– 8x^{2} + 10 \\
&= (1)^{3}– 8(1)^{2} + 10 \\
&= 1 -8+10 \\
&=3 \\
& \text{titik}\ (1,3) \\
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $(1, 3)$ dan $m=-13$
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-3 &= -13 \left( x-1 \right) \\
y-3 &= -13x+13 \\
y &= -13x+16
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 13x+y=16$
7. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Diketahui kurva $f(x) = 2x^{2} – 7x + 4$. Persamaan garis singgung kurva tersebut pada titik yang ordinatnya $1$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 10x-2y=7 \\ (B)\ & 5x- y=14 \\ (C)\ & 5x- 2y=7 \\ (D)\ & 5x+ y=14 \\ (E)\ & 5x-y=-6 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk $y=1$ pada $y=f(x) = 2x^{2} – 7x + 4$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= 2x^{2} – 7x + 4 \\
1 &= 2x^{2} – 7x + 4 \\
0 &= 2x^{2} – 7x +3 \\
0 &= \left( 2x-1 \right)\left( x-3 \right) \\
&x=\frac{1}{2}\ \text{atau}\ x=3
\end{align}$
Untuk $x=\frac{1}{2}$ pada $y=f(x) = 2x^{2} – 7x + 4$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= 2x^{2} – 7x + 4 \\
&= 2\left( \frac{1}{2} \right)^{2} – 7\left( \frac{1}{2} \right) + 4 \\
&= \frac{1}{2} – \frac{7}{2} + 4 \\
&= 1 \\
& \text{titik}\ \left( \frac{1}{2}, 1 \right)
\end{align}$
Pada titik $\left( \frac{1}{2}, 1 \right)$ gradien garis singgung adalah:
$\begin{align}
f(x) &= 2x^{2} – 7x + 4 \\
f'(x) &= 4x-7 \\
\hline
& \text{gradien di}\ x=\frac{1}{2} \\
\hline
m_{x=\frac{1}{2}} &= 4\left(\frac{1}{2} \right)-7 \\
&= -5
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $\left( \frac{1}{2}, 1 \right)$ dengan gradien $m=-5$ adalah
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-1 &= -5 \left( x-\frac{1}{2} \right) \\
y-1 &= -5x+\frac{5}{2} \\
2y-2 &= -10x+5 \\
2y+10x &= 7
\end{align}$
Untuk $x=3$ pada $y=f(x) = 2x^{2} – 7x + 4$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= 2x^{2} – 7x + 4 \\
&= 2\left( 3 \right)^{2} – 7\left( 3 \right) + 4 \\
&= 18 – 21 + 4 \\
&= 1 \\
& \text{titik}\ \left( 3, 1 \right)
\end{align}$
Pada titik $\left( 3, 1 \right)$ gradien garis singgung adalah:
$\begin{align}
f(x) &= 2x^{2} – 7x + 4 \\
f'(x) &= 4x-7 \\
\hline
& \text{gradien di}\ x=3 \\
\hline
m_{x=3} &= 4\left( 3 \right)-7 \\
&= 5
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $\left( 3, 1 \right)$ dengan gradien $m=5$ adalah
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-1 &= 5 \left( x-3 \right) \\
y-1 &= 5x-15 \\
y &= 5x-14 \\
5x-y &= 14
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 5x- y=14$
8. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Garis singgung pada kurva $y = x^{2} – 2x + 2$ dititik yang ordinatnya $5$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 4x- y=1 \\ (B)\ & 2x- y=1 \\ (C)\ & 4x- y=-7 \\ (D)\ & 4 x+ y=-7 \\ (E)\ & 4x+y=1 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk $y=5$ pada $y=f(x) = x^{2} – 2x + 2$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= x^{2} – 2x + 2 \\
5 &= x^{2} – 2x + 2 \\
0 &= x^{2} – 2x -3 \\
0 &= \left( x+1 \right)\left( x-3 \right) \\
&x=-1\ \text{atau}\ x=3
\end{align}$
Untuk $x=-1$ pada $y=f(x) = x^{2} – 2x + 2$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= x^{2} – 2x + 2 \\
&= \left( -1 \right)^{2} – 2\left( -1 \right) + 2 \\
&= 1 + 2 + 2 \\
&= 5 \\
& \text{titik}\ \left( -1, 5 \right)
\end{align}$
Pada titik $\left( -1,5 \right)$ gradien garis singgung adalah:
$\begin{align}
f(x) &= x^{2} – 2x + 2 \\
f'(x) &= 2x-2 \\
\hline
& \text{gradien di}\ x=-1 \\
\hline
m_{x=1} &= 2\left(-1 \right)-2 \\
&= -4
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $\left( -1, 5 \right)$ dengan gradien $m=-4$ adalah
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-5 &= -4 \left( x+1 \right) \\
y-5 &= -4x-4 \\
y &= -4x+1
\end{align}$
Untuk $x=3$ pada $y=f(x) = x^{2} – 2x + 2$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= x^{2} – 2x + 2 \\
&= \left( 3 \right)^{2} – 2\left( 3 \right) + 2 \\
&= 9 – 6 + 2 \\
&= 5 \\
& \text{titik}\ \left( 3, 5 \right)
\end{align}$
Pada titik $\left( 3, 5 \right)$ gradien garis singgung adalah:
$\begin{align}
f(x) &= x^{2} – 2x + 2 \\
f'(x) &= 2x-2 \\
\hline
& \text{gradien di}\ x=3 \\
\hline
m_{x=3} &= 2\left( 3 \right)-2 \\
&= 4
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $\left( 3, 5 \right)$ dengan gradien $m=4$ adalah
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-5 &= 4 \left( x-3 \right) \\
y-5 &= 4x-12 \\
y &= 4x-7 \\
-4x+y &= -7
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4x+y=1$
9. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Diketahui kurva $f(x) = x^{2} – 4x + 5$. Persamaan garis singgung kurva tersebut jika gradien garis singgungnya $2$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & y=2x-4 \\ (B)\ & y=2x+5 \\ (C)\ & y=2x-3 \\ (D)\ & y=2x+4 \\ (E)\ & y=2x-5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui gradien garis singgung adalah $2$, sehingga untuk titik $A \left( x, y \right)$ berlaku:
$\begin{align}
m_{A} &= f'\left( x \right) \\
\hline
f(x) &= x^{2} – 4x + 5 \\
f'(x) &= 2x-4 \\
\hline
m_{A} &= 2x-4 \\
2 &= 2x-4 \\
6 &= 2x \\
3 &= x
\end{align}$
Untuk $x=3$ pada $y=f(x) = x^{2} – 4x + 5$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= x^{2} – 4x + 5 \\
&= 3^{2} – 4(3) + 5 \\
&= 9 – 12 +5 \\
&=2 \\
& \text{titik}\ (3,2)
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $(3,2)$ dengan gradien $m=2$ adalah
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-2 &= 2 \left( x-3 \right) \\
y-2 &= 2x-6 \\
y &= 2x-4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y=2x-4$
10. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Diketahui kurva $f(x) = x^{3} – x + 2$. Persamaan garis singgung kurva tersebut jika gradien garis singgungnya $2$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & y=2x-4 \\ (B)\ & y=2x+5 \\ (C)\ & y=2x \\ (D)\ & y=2x-3 \\ (E)\ & y=2x-5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui gradien garis singgung adalah $2$, sehingga untuk titik $A \left( x, y \right)$ berlaku:
$\begin{align}
m_{A} &= f'\left( x \right) \\
\hline
f(x) &= x^{3} – x + 2 \\
f'(x) &= 3x^{2} – 1 \\
\hline
m_{A} &= 3x^{2} – 1 \\
2 &= 3x^{2} – 1 \\
0 &= 3x^{2} – 3 \\
0 &= x^{2} – 1 \\
0 &= \left( x-1 \right)\left( x+1 \right) \\
&x=1\ \text{atau}\ x=-1
\end{align}$
Untuk $x=1$ pada $y=f(x) = x^{3} – x + 2$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= x^{3} – x + 2 \\
&= 1^{3} – 1 + 2 \\
&= 2 \\
& \text{titik}\ (1,2)
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $(1,2)$ dengan gradien $m=2$ adalah
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-2 &= 2 \left( x-1 \right) \\
y-2 &= 2x-2 \\
y &= 2x
\end{align}$
Untuk $x=-1$ pada $y=f(x) = x^{3} – x + 2$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= x^{3} – x + 2 \\
&= (-1)^{3} – (-1)+2 \\
&= -1 +1 +2 \\
&=2 \\
& \text{titik}\ (-1,2) \\
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $(-1,2)$ dengan gradien $m=2$ adalah
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-2 &= 2 \left( x+1 \right) \\
y-2 &= 2x+2 \\
y &= 2x+4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ y=2x$
11. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Diketahui kurva $f(x) = x^{2} – 3x -2$. Persamaan garis singgung kurva tersebut yang sejajar dengan garis $y=5x-1$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & y=\frac{1}{5}x+3 \\ (B)\ & y=\frac{1}{5}x-16 \\ (C)\ & y=5x-6 \\ (D)\ & y=5x+12 \\ (E)\ & y=5x-18 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui bahwa dua garis sejajar gradiennya adalah sama, sehingga gradien garis singgung yang sejajar dengan garis $y=5x-1$ adalah $m=5$. Untuk gradien garis garis singgung adalah $5$, pada titik $A \left( x, y \right)$ berlaku:
$\begin{align}
m_{A} &= f'\left( x \right) \\
\hline
f(x) &= x^{2} – 3x -2 \\
f'(x) &= 2x-3 \\
\hline
m_{A} &= 2x-3 \\
5 &= 2x-3 \\
8 &= 2x \\
4 &= x
\end{align}$
Untuk $x=4$ pada $y=f(x) = x^{2} – 3x -2$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= x^{2} – 3x -2 \\
&= 4^{2} – 3(4) -2 \\
&= 16 – 12 -2 \\
&=2 \\
& \text{titik}\ (4,2)
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $(4,2)$ dengan gradien $m=5$ adalah
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-2 &= 5 \left( x-4 \right) \\
y-2 &= 5x-20 \\
y &= 5x-18
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ y=5x-18$
12. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Diketahui kurva $f(x) = x^{2} – 2x -3$. Persamaan garis singgung kurva tersebut yang tegak lurus dengan garis $x+2y+3=0$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & y=-2x+8 \\ (B)\ & y=\frac{1}{2}x+3 \\ (C)\ & y=2x-7 \\ (D)\ & y=2x-5 \\ (E)\ & y=2x+7 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui bahwa dua garis saling tegak lurus hasil perkalian kedua gradiennya adalah $-1$, sehingga gradien garis singgung yang tegak lurus dengan garis $x+2y+3=0$ adalah:
$\begin{align}
m_{1} \times m_{2} &= -1 \\
-\frac{1}{2} \times m_{2} &= -1 \\
m_{2} &= 2
\end{align}$
Untuk gradien garis garis singgung adalah $2$, pada titik $A \left( x, y \right)$ berlaku:
$\begin{align}
m_{A} &= f'\left( x \right) \\
\hline
f(x) &= x^{2} – 2x -3 \\
f'(x) &= 2x-2 \\
\hline
m_{A} &= 2x-2 \\
2 &= 2x-2 \\
4 &= 2x \\
2 &= x
\end{align}$
Untuk $x=2$ pada $y=f(x) = x^{2} – 2x -3$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= x^{2} – 2x -3 \\
&= 2^{2} – 2(2) -3 \\
&= 4 – 4 - 3 \\
&= -3 \\
& \text{titik}\ (2,-3)
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $(2,-3)$ dengan gradien $m=2$ adalah
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y+3 &= 2 \left( x-2\right) \\
y+3 &= 2x-4 \\
y &= 2x-7
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ y=2x-7$
13. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Kurva $y=\dfrac{x^{3}-1}{x^{2}}$ memotong sumbu $x$ di titik $P$. Persamaan garis singgung kurva di titik $P$ tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & y = 2x – 3 \\ (B)\ & y = 3x + 3 \\ (C)\ & y = 2x + 3 \\ (D)\ & y = 3x - 3 \\ (E)\ & y = 3x -2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Titik potong kurva $y=\dfrac{x^{3}-1}{x^{2}}$ dengan sumbu $x$ terjadi saat $y=0$, sehingga berlaku: $\begin{align} y &= \dfrac{x^{3}-1}{x^{2}} \\ 0 &= \dfrac{x^{3}-1}{x^{2}} \\ 0 &= x^{3}-1 \\ 0 &= \left( x-1 \right)\left( x^{2}+x+1 \right) \\ &x=1 \\ & \text{titik}\ P(1,0) \end{align}$
Pada titik $P \left( 1, 0 \right)$ berlaku:
$\begin{align}
m_{P} &= f'\left( x \right) \\
\hline
f(x) &= \dfrac{x^{3}-1}{x^{2}} \\
f'(x) &= \dfrac{2}{x^{3}}+1 \\
\hline
m_{P} &= \dfrac{2}{(1)^{3}}+1 \\
&= \dfrac{2}{1}+1 \\
&= 3
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $P(1,0)$ dengan gradien $m=3$ adalah
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-0 &= 3 \left( x-1\right) \\
y &= 3x-3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y=3x-3$
14. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Diketahui Kurva $f(x)=x^{3}+2ax^{2}+6$. Jika garis $y=-9x-2$ menyinggung kurva di titik dengan absis $1$. Nilai $a=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & -3 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & 4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui garis $y=-9x-2$ dengan gradien $m=-9$ menyinggung kurva $f(x)=x^{3}+2ax^{2}+6$ di titik dengan absis $1$, maka titik singgungnya adalah:
$\begin{align} y &= -9x-2 \\ &= -9(1)-2 \\ &= -11 \\ & \text{titik}\ (1,-11) \end{align}$
Untuk gradien garis garis singgung adalah $m=-9$, pada titik $\left( 1,-11 \right)$ berlaku:
$\begin{align}
m_{A} &= f'\left( x \right) \\
\hline
f(x) &= x^{3}+2ax^{2}+6 \\
f'(x) &= 3x^{2}+4ax \\
\hline
m_{A} &= 3x^{2}+4ax \\
-9 &= 3(1)^{2}+4a(1) \\
-9 &= 3 +4a \\
-9-3 &= 4a \\
-12 &= 4a \\
-3 &= a \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -3$
15. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Diketahui Kurva $y=\dfrac{3x-2}{x+2}$. Persamaan garis singgung kurva itu di titik yang gradiennya $\dfrac{1}{2}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & x-2y=0 \\ (B)\ & 2x-y=0 \\ (C)\ & x-3y=0 \\ (D)\ & 3x-y=0 \\ (E)\ & x-2y=4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk gradien garis garis singgung adalah $\dfrac{1}{2}$, pada titik $A \left( x, y \right)$ berlaku:
$\begin{align}
m_{A} &= f'\left( x \right) \\
\hline
f(x) &= \dfrac{3x-2}{x+2} \\
f'(x) &= \dfrac{8}{\left(x+2\right)^{2}} \\
\hline
m_{A} &= \dfrac{8}{\left(x+2\right)^{2}} \\
\dfrac{1}{2} &= \dfrac{8}{\left(x+2\right)^{2}} \\
\left(x+2\right)^{2} &= 16 \\
\left(x+2\right)^{2} &= 4^{2} \\
&x=2\ \text{atau}\ x=-6
\end{align}$
Untuk $x=2$ pada $y=\dfrac{3x-2}{x+2}$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= \dfrac{3x-2}{x+2} \\
&= \dfrac{3(2)-2}{2+2} \\
&= \dfrac{4}{4} \\
&= 1 \\
& \text{titik}\ (2,1)
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $(2,1)$ dengan gradien $m=\dfrac{1}{2}$ adalah:
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-1 &= \dfrac{1}{2} \left( x-2\right) \\
y-1 &= \dfrac{1}{2}x-1 \\
y &= \dfrac{1}{2}x \\
2y &= x
\end{align}$
Untuk $x=-6$ pada $y=\dfrac{3x-2}{x+2}$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= \dfrac{3x-2}{x+2} \\
&= \dfrac{3(-6)-2}{-6+2} \\
&= \dfrac{-20}{-4} \\
&= 5 \\
& \text{titik}\ (-6,5)
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $(-6,5)$ dengan gradien $m=\dfrac{1}{2}$ adalah:
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-5 &= \dfrac{1}{2} \left( x+6\right) \\
y-5 &= \dfrac{1}{2}x+3 \\
y &= \dfrac{1}{2}x+8 \\
2y &= x+16
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x-2y=0$
16. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Dua buah garis yang menyinggung suatu kurva $y = x^{2} – x + 1$ pada titik dengan ordinat $3$ akan berpotongan di titik $P$. Koordinat titik $P$ itu adalah...
$\begin{align} (A)\ & P \left(-\frac{1}{2},2 \right) \\ (B)\ & P \left( 2, -\frac{3}{2} \right) \\ (C)\ & P \left( 2, 3 \right) \\ (D)\ & P \left( -\frac{1}{2}, -\frac{3}{2} \right) \\ (E)\ & P \left( \frac{1}{2}, -\frac{3}{2} \right) \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Gradien garis singgung kurva $y = x^{2} – x + 1$ adalah:
$\begin{align}
m &= f'\left( x \right) \\
m &= 2x-1
\end{align}$
Garis singgung melalui ordinat $3$ atau $y=3$ pada $y = x^{2} – x + 1$ maka titik singgung adalah:
$\begin{align}
y &= x^{2} – x + 1 \\
3 &= x^{2} – x + 1 \\
0 &= x^{2} – x + 1 -3 \\
0 &= x^{2} – x -2 \\
0 &= \left( x-2 \right)\left( x+1 \right) \\
& x=2\ \text{atau}\ x=-1 \\
\hline
& \left( 2,3 \right) \text{atau}\ \left( -1,3 \right)
\end{align}$
Gradien dan persamaan garis singgung di titik $\left( 2,3 \right)$ adalah:
$\begin{align}
m &= 2x-1 \\
m_{x=2} &= 2(2)-1=3 \\
\hline
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-3 &= 3 \left( x-2 \right) \\
y-3 &= 3x-6 \\
y &= 3x-3
\end{align}$
Gradien dan persamaan garis singgung di titik $\left( -1,3 \right)$ adalah:
$\begin{align}
m &= 2x-1 \\
m_{x=-1} &= 2(-1)-1=-3 \\
\hline
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-3 &= -3 \left( x+1 \right) \\
y-3 &= -3x-3 \\
y &= -3x
\end{align}$
Titik potong garis $y= 3x-3$ dan garis $y= -3x$ adalah
$\begin{align}
y &= y \\
3x-3 &= -3x \\
3x+3x &= 3 \\
6x &= 3 \\
x &= \dfrac{1}{2} \longrightarrow y = -\dfrac{3}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ P \left( \frac{1}{2}, -\frac{3}{2} \right)$
17. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Jika garis $y = 5x + 3$ menyinggung kurva $y = ax^{2} + bx + 5$ dititik $\left( 1, 8 \right)$ maka $a \cdot b=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 9 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Gradien garis $y = 5x + 3$ adalah $m=5$, karena $y = 5x + 3$ merupakan garis singgung kurva $y = ax^{2} + bx + 5$ dititik $\left( 1, 8 \right)$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
m &= y' \\
m &= 2ax + b \\
m_{x=1} &= 2a(1) + b \\
5 &= 2a + b \\
\end{align}$
Garis singgung kurva $y = ax^{2} + bx + 5$ dititik $\left( 1, 8 \right)$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
y &= ax^{2} + bx + 5 \\
8 &= a(1)^{2} + b(1) + 5 \\
8 &= a + b + 5 \\
3 &= a+b
\end{align}$
Gradien dan persamaan garis singgung di titik $\left( 2,3 \right)$ adalah:
$\begin{align}
2a + b &= 5 \\
a+b &= 3\ \ (-) \\
\hline
a &= 2 \longrightarrow b = 1 \\
\hline
a \cdot b &= 2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$
18. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Salah satu persamaan garis singgung kurva $y = 4x^{3} –13x^{2} + 4x – 3$ yang tegak lurus dengan garis $x – 10y = 5$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -10x+y-2=0 \\ (B)\ & -10x+y+18=0 \\ (C)\ & 10x+y-2=0 \\ (D)\ & 10x+y+2=0 \\ (E)\ & -10x+y-18=0 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Gradien garis $x – 10y = 5$ adalah $m=\dfrac{1}{10}$ sehingga gradien garis yang tegak lurus dengan garis $x – 10y = 5$ adalah $m=-10$.
Gradien garis singgung kurva $y = 4x^{3} –13x^{2} + 4x – 3$ adalah $m=-10$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
m &= y' \\
-10 &= 12x^{2}-26x+4 \\
0 &= 12x^{2}-26x+4+10 \\
0 &= 12x^{2}-26x+14 \\
0 &= 6x^{2}-13x+7 \\
0 &= \left(6x-7 \right)\left(x-1 \right) \\
&x=\frac{7}{6}\ \text{atau}\ x=1
\end{align}$
Untuk $x=1$ pada kurva $y = 4x^{3} –13x^{2} + 4x – 3$ kita peroleh $y=-8$, sehingga persamaan garis singgung di titik $\left(1,-8 \right)$ dengan gardien $m=-10$ adalah:
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-(-8) &= -10 \left( x-1 \right) \\
y+8 &= -10x+10\\
y+10x-2 &= 0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 10x+y-2=0$
19. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Garis singgung yang melalui suatu titik $\left(x_{1}, y_{1} \right)$ pada kurva $y = 2\sqrt{2-x}$ sejajar garis $x + y = 0$, maka nilai $x_{1} + y_{1} =\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 4 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & -1 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Gradien garis $x + y = 0$ adalah $m=-1$ sehingga gradien garis yang sejajar dengan garis $x + y = 0$ adalah $m=-1$.
Gradien garis singgung kurva $ y = 2\sqrt{2-x} $ adalah $m=-1$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
m &= y' \\
-1 &= 2 \cdot \frac{1}{2} \left(2-x \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot \left( -1 \right) \\
-1 &= \dfrac{-1}{\sqrt{2-x}} \\
\sqrt{2-x} &= 1\\
2-x &= 1\\
x &= 1 \\
y &= 2\sqrt{2-x}=2\sqrt{2-1}=2
\end{align}$
Nilai $x_{1} + y_{1}$ adalah $1+2=3$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3$
Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Konsep Garis Singgung Kurva Dengan Turunan Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊