--> Skip to main content

Konsep Garis Singgung Kurva Dengan Turunan Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan

Konsep Garis Singgung Kurva Dilengkapi Soal Latihan dan PembahasanCalon Guru belajar bermatematik dari Konsep Garis Singgung Kurva yang dilengkapi dengan soal latihan dan pembahasan. Pada beberapa buku matematika atau website edukasi yang membahas tentang matematika menyebutkan "garis singgung (disebut juga garis tangen) kurva bidang pada titik yang diketahui adalah garis lurus yang "hanya menyentuh" kurva pada titik tersebut." (wikipedia).

Dengan bahasa yang lebih sederhana dapat kita tuliskan garis singgung (tangent line) ialah garis yang hanya memiliki satu titik persekutuan (disebut sebagai titik singgung) dengan kurva.

Dengan pengertian garis singgung di atas, apakah garis pada gambar yang ketiga dibawah ini termasuk garis singgung?

Konsep Garis Singgung Kurva Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan

Untuk menjawab pertanyaan di atas atau mendefinisikan garis singgung secara formal seperti yang disampaikan Drs. Warsoma Djohan M.Si. dan Dr. Wono Setya Budhi pada Diktat Kalkulus I ITB, mari kita perhatikan prosesnya sebagai berikut.

Konsep Garis Singgung Kurva Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan

Garis talibusur $AB$ atau dapat juga kita sebut dengan garis potong (secant line) yang menghubungkan titik $A$ dan $B$ pada kurva $y=f(x)$. Gradien (kemiringan) garis potong $AB$ adalah:
$\begin{align} m_{AB} &= \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \\ &=\dfrac{f\left(x_{2} \right)-f\left(x_{1} \right)}{ x_{2} - x_{1}} \\ &=\dfrac{f\left(x_{1}+h \right)-f\left(x_{1} \right)}{ x_{1}+h - x_{1}} \\ &=\dfrac{f\left(x_{1}+h \right)-f\left(x_{1} \right)}{ h } \\ \end{align}$

Jika titik $B$ kita geser mendekati titik $A$ maka $\Delta x$ atau $h$ semakin kecil yang mengakibatkan $\Delta y$ juga semakin kecil.

Konsep Garis Singgung Kurva Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan

Apabila titik $B$ semakin mendekati $A$ atau $\Delta x=h$ sangat kecil (mendekati nol), sehingga titik $A$ dan titik $B$ seolah-olah berimpit maka diperoleh garis singgung kurva $f(x)$ di titik $A$.

Konsep Garis Singgung Kurva Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan

Gradien garis singgung kurva di titik $A \left( x_{1}, f\left(x_{1} \right) \right)$ adalah
$\begin{align} m_{A} &= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f\left( x_{1}+h \right)-f\left( x_{1} \right)}{h} \\ m_{A} &= f'\left( x_{1} \right) \end{align}$

Dari penjabaran di atas, dengan bahasa yang sederhana dapat kita tuliskan bahwa untuk titik $A \left( x_{1}, y_{1} \right)$ yang terletak pada kurva $f\left( x \right)$, maka gradien garis singgung di titik $A \left( x_{1}, y_{1} \right)$ adalah $m_{A}=f'\left( x_{1} \right)$.

Untuk penjelasan lebih lanjut mari kita simak beberapa contoh soal berikut:

* Contoh pertama: *
tentukan gradien garis singgung kurva $f(x) = x^{2} – 6x + 5$ di titik $A(6, 5)$
Jawab:
Sebagai tahap awal perlu diperhatikan apakah titik $A(6, 5)$ terletak pada kurva $f(x)$. Untuk mengetahuinya kita periksa apakah $f(6)=5$,
$\begin{align} f(x) &= x^{2} – 6x + 5 \\ f(6) &= 6^{2} – 6(6) + 5 \\ &= 36 – 36 + 5 \\ &= 5 \end{align}$
Dari hasil di atas kita ketahui bahwa titik $A(6, 5)$ terletak pada kurva $f(x)$.
Seperti disampaikan sebelumnya bahwa pada titik $A \left( x_{1}, y_{1} \right)$ gradien garis singgung adalah $m_{A}=f'\left( x_{1} \right)$.
Sehingga pada titik $A(6, 5)$, gradien garis singgung adalah:
$\begin{align} m_{A} &= f'\left( x_{1} \right) \\ \hline f(x) &= x^{2} – 6x + 5 \\ f'(x) &= 2x – 6 \\ \hline m_{A} &= 2x_{1} -6 \\ &= 2(6) -6 \\ &= 12 -6 =6 \end{align}$

* Contoh kedua: *
tentukan gradien garis singgung kurva $f(x) = x^{3} – 2x$ di titik $B(2, 4)$
Jawab:
Sebagai tahap awal perlu diperhatikan apakah titik $B(2, 4)$ terletak pada kurva $f(x)$. Untuk mengetahuinya kita periksa apakah $f(2)=4$,
$\begin{align} f(x) &= x^{3} – 2x \\ f(2) &= 2^{3} – 2(2) \\ &= 8 – 4 \\ &= 4 \end{align}$
Dari hasil di atas kita ketahui bahwa titik $B(2, 4)$ terletak pada kurva $f(x)$.
Seperti disampaikan sebelumnya bahwa pada titik $B \left( x_{1}, y_{1} \right)$ gradien garis singgung adalah $m_{B}=f'\left( x_{1} \right)$.
Sehingga pada titik $B(2, 4)$, gradien garis singgung adalah:
$\begin{align} m_{B} &= f'\left( x_{1} \right) \\ \hline f(x) &= x^{3} – 2x \\ f'(x) &= 3x^{2} – 2 \\ \hline m_{B} &= 3x^{2}_{1} -2x_{1} \\ &= 3(2)^{2} -2(2) \\ &= 12-4 \\ &= 8 \end{align}$

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA


Persamaan garis singgung kurva sama dengan persamaan garis secara umum yang dapat ditentukan setidaknya jika diketahui gradien garis dan sebuah titik yang dilalui garis atau dua titik yang dilalui oleh garis.

  • Jika garis $g$ melalui titik $(0,0)$ dan bergradien $m$ maka garis $g$ adalah $y=mx$;
  • Jika garis $g$ melalui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ dan bergradien $m$ maka garis $g$ adalah $y-y_{1}=m\left(x-x_{1} \right)$;
  • Jika garis $g$ melalui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ dan $(x_{2},y_{2})$ maka garis $g$ adalah $\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}$;

Untuk menentukan persamaan garis singgung kurva mari kita simak beberapa contoh berikut:

* Contoh pertama: *
tentukan persamaan garis singgung kurva $f(x) = 2x^{3} – 5x^{2}+4x+2$ di titik $A(2, 6)$
Jawab:
Sebagai tahap awal perlu diperhatikan apakah titik $A(2, 6)$ terletak pada kurva $f(x)$. Untuk mengetahuinya kita periksa apakah $f(2)=6$,
$\begin{align} f(x) &= 2x^{3} – 5x^{2}+4x+2 \\ f(2) &= 2(2)^{3} – 5(2)^{2}+4(2)+2 \\ &= 16 – 20 +8 +2 \\ &= 6 \end{align}$
Dari hasil di atas kita ketahui bahwa titik $A(2, 6)$ terletak pada kurva $f(x)$.
Seperti disampaikan sebelumnya bahwa pada titik $A \left( x_{1}, y_{1} \right)$ gradien garis singgung adalah $m_{A}=f'\left( x_{1} \right)$.
Sehingga pada titik $A(2, 6)$, gradien garis singgung adalah:
$\begin{align} m_{A} &= f'\left( x_{1} \right) \\ \hline f(x) &= 2x^{3} – 5x^{2}+4x+2 \\ f'(x) &= 6x^{2} – 10x +4 \\ \hline m_{A} &= 6(2)^{2} – 10(2) +4 \\ &= 24 -20+4 \\ &= 8 \end{align}$

Persamaan garis singgung di titik $A(2, 6)$ dengan gradien $m=8$ adalah
$\begin{align} y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\ y-6 &= 8 \left( x-2 \right) \\ y-6 &= 8x-16 \\ y &= 8x-16+6 \\ y &= 8x-10 \end{align}$

* Contoh kedua: *
tentukan persamaan garis singgung kurva $f(x) = x^{3} – 3x^{2}-5x+10$ jika gradien garis singgungnya adalah $4$
Jawab:
Diketahui gradien garis singgung adalah $4$, sehingga untuk titik $A \left( x, y \right)$ berlaku:
$\begin{align} m_{A} &= f'\left( x \right) \\ \hline f(x) &= x^{3} – 3x^{2}-5x+10 \\ f'(x) &= 3x^{2} – 6x -5 \\ \hline m_{A} &= 3x^{2} – 6x -5 \\ 4 &= 3x^{2} – 6x -5 \\ 0 &= 3x^{2} – 6x -9 \\ 0 &= x^{2} – 2x -3 \\ 0 &= \left( x-3 \right)\left( x+1 \right) \\ &x=3\ \text{atau}\ x=-1 \end{align}$

Untuk $x=3$ pada $y=f(x) = x^{3} – 3x^{2}-5x+10$ kita peroleh:
$\begin{align} y &= x^{3} – 3x^{2}-5x+10 \\ &= 3^{3} – 3(3)^{2}-5(3)+10 \\ &= 27 – 27-15+10 \\ &=-5 \\ & \text{titik}\ (3,-5) \end{align}$

Persamaan garis singgung di titik $(3,-5)$ dengan gradien $m=4$ adalah
$\begin{align} y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\ y+5 &= 4 \left( x-3 \right) \\ y+5 &= 4x-12 \\ y &= 4x-17 \end{align}$

Untuk $x=-1$ pada $y=f(x) = x^{3} – 3x^{2}-5x+10$ kita peroleh:
$\begin{align} y &= x^{3} – 3x^{2}-5x+10 \\ &= (-1)^{3} – 3(-1)^{2}-5(-1)+10 \\ &= -1 -3 +5+10 \\ &=11 \\ & \text{titik}\ (-1,11) \\ \end{align}$

Persamaan garis singgung di titik $(-1,11)$ dengan gradien $m=4$ adalah
$\begin{align} y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\ y-11 &= 4 \left( x+1 \right) \\ y-11 &= 4x+4 \\ y &= 4x+15 \end{align}$


SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN GARIS SINGGUNG KURVA DENGAN TURUNAN


1. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan

Diketahui kurva $f(x) = 3x^{2}– 2x + 1$. Gradien garis singgung kurva tersebut pada titik $T (1,2)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 3 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & -4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pada titik $A \left( a, b \right)$ gradien garis singgung adalah $m_{A}=f'\left( a \right)$
$\begin{align} f(x) &= 3x^{2}– 2x + 1 \\ f'(x) &= 6x – 2 \\ \hline & \text{gradien di titik}\ T (1,2) \\ \hline m_{T} &= 6(1)-2 \\ &= 4 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4$

2. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan

Gradien garis singgung di titik yang berabsis $2$ untuk kurva $f(x) = x^{3} – 2x^{2} + 3x – 1$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 3 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & -4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pada titik $A \left( a, b \right)$ gradien garis singgung adalah $m_{A}=f'\left( a \right)$
$\begin{align} f(x) &= x^{3} – 2x^{2} + 3x – 1 \\ f'(x) &= 3x^{2} – 4x+3 \\ \hline & \text{gradien di}\ x=2 \\ \hline m_{x=2} &= 3(2)^{2} – 4(2)+3 \\ &= 12-8+3 \\ &= 7 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7$

3. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan

Diketahui kurva $f(x) = 2x^{2} – 3x + 4$. Persamaan garis singgung kurva tersebut pada titik $T (2, 6)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & y=2x-4 \\ (B)\ & y=5x+3 \\ (C)\ & y=2x+3 \\ (D)\ & y=5x-4 \\ (E)\ & y=3x+2 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pada titik $A \left( a, b \right)$ gradien garis singgung adalah $m_{A}=f'\left( a \right)$
$\begin{align} f(x) &= 2x^{2} – 3x + 4 \\ f'(x) &= 4x-3 \\ \hline & \text{gradien di titik}\ T (2, 6) \\ \hline m_{T} &= 4(2)-3 \\ &= 5 \end{align}$

Persamaan garis singgung di titik $T (2, 6)$ dan $m=5$
$\begin{align} y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\ y-6 &= 5 \left( x-2 \right) \\ y-6 &= 5x-10 \\ y &= 5x-4 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y=5x-4$

4. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan

Diketahui kurva $f(x) = x^{2} – 4x + 8$. Persamaan garis singgung kurva tersebut pada titik $T (1, 5)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & y=6x-3 \\ (B)\ & y=-2x+7 \\ (C)\ & y=-2x+3 \\ (D)\ & y=2x-3 \\ (E)\ & y=6x+4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pada titik $A \left( a, b \right)$ gradien garis singgung adalah $m_{A}=f'\left( a \right)$
$\begin{align} f(x) &= x^{2} – 4x + 8 \\ f'(x) &= 2x-4 \\ \hline & \text{gradien di titik}\ T (1, 5) \\ \hline m_{T} &= 2(1)-4 \\ &= -2 \end{align}$

Persamaan garis singgung di titik $T (1, 5)$ dan $m=-2$
$\begin{align} y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\ y-5 &= -2 \left( x-1 \right) \\ y-5 &= -2x+2 \\ y &= -2x+7 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ y=-2x+7$

5. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan

Diketahui kurva $f(x) = x^{4} – 3x^{2} – 3$. Persamaan garis singgung kurva tersebut pada titik yang berabis $2$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & y=20x-39 \\ (B)\ & y=15x+21 \\ (C)\ & y=20x+21 \\ (D)\ & y=15x-5 \\ (E)\ & y=10x+39 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pada titik $A \left( a, b \right)$ gradien garis singgung adalah $m_{A}=f'\left( a \right)$
$\begin{align} f(x) &= x^{4} – 3x^{2} – 3 \\ f'(x) &= 4x^{3}-6x \\ \hline & \text{gradien di}\ x=2 \\ \hline m_{x=2} &= 4(2)^{3}-6(2) \\ &= 32-12 \\ &= 20 \end{align}$

Untuk $x=2$ pada $y=f(x) = x^{4} – 3x^{2} – 3$ kita peroleh:
$\begin{align} y &= x^{4} – 3x^{2} – 3 \\ &= (2)^{4} – 3(2)^{2} – 3 \\ &= 16-12-3 \\ &=1 \\ & \text{titik}\ (2,1) \\ \end{align}$

Persamaan garis singgung di titik $(2, 1)$ dan $m=20$
$\begin{align} y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\ y-1 &= 20 \left( x-2 \right) \\ y-1 &= 20x-40 \\ y &= 20x-39 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y=20x-39$

6. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan

Diketahui kurva $f(x) = x^{3}– 8x^{2} + 10$. Persamaan garis singgung kurva tesebut pada titik yang berabsis $1$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 12x+15y=16 \\ (B)\ & 2x-8y=14 \\ (C)\ & 5x-12y=16 \\ (D)\ & 8x+2y=7 \\ (E)\ & 13x+y=16 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pada titik $A \left( a, b \right)$ gradien garis singgung adalah $m_{A}=f'\left( a \right)$
$\begin{align} f(x) &= x^{3}– 8x^{2} + 10 \\ f'(x) &= 3x^{2}-16x \\ \hline & \text{gradien di}\ x=1 \\ \hline m_{x=1} &= 3(1)^{2}-16(1) \\ &= 3-16 \\ &= -13 \end{align}$

Untuk $x=1$ pada $y=f(x) = x^{3}– 8x^{2} + 10$ kita peroleh:
$\begin{align} y &= x^{3}– 8x^{2} + 10 \\ &= (1)^{3}– 8(1)^{2} + 10 \\ &= 1 -8+10 \\ &=3 \\ & \text{titik}\ (1,3) \\ \end{align}$

Persamaan garis singgung di titik $(1, 3)$ dan $m=-13$
$\begin{align} y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\ y-3 &= -13 \left( x-1 \right) \\ y-3 &= -13x+13 \\ y &= -13x+16 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 13x+y=16$

7. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan

Diketahui kurva $f(x) = 2x^{2} – 7x + 4$. Persamaan garis singgung kurva tersebut pada titik yang ordinatnya $1$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 10x-2y=7 \\ (B)\ & 5x- y=14 \\ (C)\ & 5x- 2y=7 \\ (D)\ & 5x+ y=14 \\ (E)\ & 5x-y=-6 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk $y=1$ pada $y=f(x) = 2x^{2} – 7x + 4$ kita peroleh:
$\begin{align} y &= 2x^{2} – 7x + 4 \\ 1 &= 2x^{2} – 7x + 4 \\ 0 &= 2x^{2} – 7x +3 \\ 0 &= \left( 2x-1 \right)\left( x-3 \right) \\ &x=\frac{1}{2}\ \text{atau}\ x=3 \end{align}$

Untuk $x=\frac{1}{2}$ pada $y=f(x) = 2x^{2} – 7x + 4$ kita peroleh:
$\begin{align} y &= 2x^{2} – 7x + 4 \\ &= 2\left( \frac{1}{2} \right)^{2} – 7\left( \frac{1}{2} \right) + 4 \\ &= \frac{1}{2} – \frac{7}{2} + 4 \\ &= 1 \\ & \text{titik}\ \left( \frac{1}{2}, 1 \right) \end{align}$

Pada titik $\left( \frac{1}{2}, 1 \right)$ gradien garis singgung adalah:
$\begin{align} f(x) &= 2x^{2} – 7x + 4 \\ f'(x) &= 4x-7 \\ \hline & \text{gradien di}\ x=\frac{1}{2} \\ \hline m_{x=\frac{1}{2}} &= 4\left(\frac{1}{2} \right)-7 \\ &= -5 \end{align}$

Persamaan garis singgung di titik $\left( \frac{1}{2}, 1 \right)$ dengan gradien $m=-5$ adalah
$\begin{align} y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\ y-1 &= -5 \left( x-\frac{1}{2} \right) \\ y-1 &= -5x+\frac{5}{2} \\ 2y-2 &= -10x+5 \\ 2y+10x &= 7 \end{align}$


Untuk $x=3$ pada $y=f(x) = 2x^{2} – 7x + 4$ kita peroleh:
$\begin{align} y &= 2x^{2} – 7x + 4 \\ &= 2\left( 3 \right)^{2} – 7\left( 3 \right) + 4 \\ &= 18 – 21 + 4 \\ &= 1 \\ & \text{titik}\ \left( 3, 1 \right) \end{align}$

Pada titik $\left( 3, 1 \right)$ gradien garis singgung adalah:
$\begin{align} f(x) &= 2x^{2} – 7x + 4 \\ f'(x) &= 4x-7 \\ \hline & \text{gradien di}\ x=3 \\ \hline m_{x=3} &= 4\left( 3 \right)-7 \\ &= 5 \end{align}$

Persamaan garis singgung di titik $\left( 3, 1 \right)$ dengan gradien $m=5$ adalah
$\begin{align} y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\ y-1 &= 5 \left( x-3 \right) \\ y-1 &= 5x-15 \\ y &= 5x-14 \\ 5x-y &= 14 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 5x- y=14$

8. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan

Garis singgung pada kurva $y = x^{2} – 2x + 2$ dititik yang ordinatnya $5$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 4x- y=1 \\ (B)\ & 2x- y=1 \\ (C)\ & 4x- y=-7 \\ (D)\ & 4 x+ y=-7 \\ (E)\ & 4x+y=1 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk $y=5$ pada $y=f(x) = x^{2} – 2x + 2$ kita peroleh:
$\begin{align} y &= x^{2} – 2x + 2 \\ 5 &= x^{2} – 2x + 2 \\ 0 &= x^{2} – 2x -3 \\ 0 &= \left( x+1 \right)\left( x-3 \right) \\ &x=-1\ \text{atau}\ x=3 \end{align}$

Untuk $x=-1$ pada $y=f(x) = x^{2} – 2x + 2$ kita peroleh:
$\begin{align} y &= x^{2} – 2x + 2 \\ &= \left( -1 \right)^{2} – 2\left( -1 \right) + 2 \\ &= 1 + 2 + 2 \\ &= 5 \\ & \text{titik}\ \left( -1, 5 \right) \end{align}$

Pada titik $\left( -1,5 \right)$ gradien garis singgung adalah:
$\begin{align} f(x) &= x^{2} – 2x + 2 \\ f'(x) &= 2x-2 \\ \hline & \text{gradien di}\ x=-1 \\ \hline m_{x=1} &= 2\left(-1 \right)-2 \\ &= -4 \end{align}$

Persamaan garis singgung di titik $\left( -1, 5 \right)$ dengan gradien $m=-4$ adalah
$\begin{align} y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\ y-5 &= -4 \left( x+1 \right) \\ y-5 &= -4x-4 \\ y &= -4x+1 \end{align}$


Untuk $x=3$ pada $y=f(x) = x^{2} – 2x + 2$ kita peroleh:
$\begin{align} y &= x^{2} – 2x + 2 \\ &= \left( 3 \right)^{2} – 2\left( 3 \right) + 2 \\ &= 9 – 6 + 2 \\ &= 5 \\ & \text{titik}\ \left( 3, 5 \right) \end{align}$

Pada titik $\left( 3, 5 \right)$ gradien garis singgung adalah:
$\begin{align} f(x) &= x^{2} – 2x + 2 \\ f'(x) &= 2x-2 \\ \hline & \text{gradien di}\ x=3 \\ \hline m_{x=3} &= 2\left( 3 \right)-2 \\ &= 4 \end{align}$

Persamaan garis singgung di titik $\left( 3, 5 \right)$ dengan gradien $m=4$ adalah
$\begin{align} y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\ y-5 &= 4 \left( x-3 \right) \\ y-5 &= 4x-12 \\ y &= 4x-7 \\ -4x+y &= -7 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4x+y=1$

9. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan

Diketahui kurva $f(x) = x^{2} – 4x + 5$. Persamaan garis singgung kurva tersebut jika gradien garis singgungnya $2$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & y=2x-4 \\ (B)\ & y=2x+5 \\ (C)\ & y=2x-3 \\ (D)\ & y=2x+4 \\ (E)\ & y=2x-5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Diketahui gradien garis singgung adalah $2$, sehingga untuk titik $A \left( x, y \right)$ berlaku:
$\begin{align} m_{A} &= f'\left( x \right) \\ \hline f(x) &= x^{2} – 4x + 5 \\ f'(x) &= 2x-4 \\ \hline m_{A} &= 2x-4 \\ 2 &= 2x-4 \\ 6 &= 2x \\ 3 &= x \end{align}$

Untuk $x=3$ pada $y=f(x) = x^{2} – 4x + 5$ kita peroleh:
$\begin{align} y &= x^{2} – 4x + 5 \\ &= 3^{2} – 4(3) + 5 \\ &= 9 – 12 +5 \\ &=2 \\ & \text{titik}\ (3,2) \end{align}$

Persamaan garis singgung di titik $(3,2)$ dengan gradien $m=2$ adalah
$\begin{align} y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\ y-2 &= 2 \left( x-3 \right) \\ y-2 &= 2x-6 \\ y &= 2x-4 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y=2x-4$

10. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan

Diketahui kurva $f(x) = x^{3} – x + 2$. Persamaan garis singgung kurva tersebut jika gradien garis singgungnya $2$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & y=2x-4 \\ (B)\ & y=2x+5 \\ (C)\ & y=2x \\ (D)\ & y=2x-3 \\ (E)\ & y=2x-5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Diketahui gradien garis singgung adalah $2$, sehingga untuk titik $A \left( x, y \right)$ berlaku:
$\begin{align} m_{A} &= f'\left( x \right) \\ \hline f(x) &= x^{3} – x + 2 \\ f'(x) &= 3x^{2} – 1 \\ \hline m_{A} &= 3x^{2} – 1 \\ 2 &= 3x^{2} – 1 \\ 0 &= 3x^{2} – 3 \\ 0 &= x^{2} – 1 \\ 0 &= \left( x-1 \right)\left( x+1 \right) \\ &x=1\ \text{atau}\ x=-1 \end{align}$

Untuk $x=1$ pada $y=f(x) = x^{3} – x + 2$ kita peroleh:
$\begin{align} y &= x^{3} – x + 2 \\ &= 1^{3} – 1 + 2 \\ &= 2 \\ & \text{titik}\ (1,2) \end{align}$

Persamaan garis singgung di titik $(1,2)$ dengan gradien $m=2$ adalah
$\begin{align} y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\ y-2 &= 2 \left( x-1 \right) \\ y-2 &= 2x-2 \\ y &= 2x \end{align}$


Untuk $x=-1$ pada $y=f(x) = x^{3} – x + 2$ kita peroleh:
$\begin{align} y &= x^{3} – x + 2 \\ &= (-1)^{3} – (-1)+2 \\ &= -1 +1 +2 \\ &=2 \\ & \text{titik}\ (-1,2) \\ \end{align}$

Persamaan garis singgung di titik $(-1,2)$ dengan gradien $m=2$ adalah
$\begin{align} y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\ y-2 &= 2 \left( x+1 \right) \\ y-2 &= 2x+2 \\ y &= 2x+4 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ y=2x$

11. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan

Diketahui kurva $f(x) = x^{2} – 3x -2$. Persamaan garis singgung kurva tersebut yang sejajar dengan garis $y=5x-1$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & y=\frac{1}{5}x+3 \\ (B)\ & y=\frac{1}{5}x-16 \\ (C)\ & y=5x-6 \\ (D)\ & y=5x+12 \\ (E)\ & y=5x-18 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Diketahui bahwa dua garis sejajar gradiennya adalah sama, sehingga gradien garis singgung yang sejajar dengan garis $y=5x-1$ adalah $m=5$. Untuk gradien garis garis singgung adalah $5$, pada titik $A \left( x, y \right)$ berlaku:
$\begin{align} m_{A} &= f'\left( x \right) \\ \hline f(x) &= x^{2} – 3x -2 \\ f'(x) &= 2x-3 \\ \hline m_{A} &= 2x-3 \\ 5 &= 2x-3 \\ 8 &= 2x \\ 4 &= x \end{align}$

Untuk $x=4$ pada $y=f(x) = x^{2} – 3x -2$ kita peroleh:
$\begin{align} y &= x^{2} – 3x -2 \\ &= 4^{2} – 3(4) -2 \\ &= 16 – 12 -2 \\ &=2 \\ & \text{titik}\ (4,2) \end{align}$

Persamaan garis singgung di titik $(4,2)$ dengan gradien $m=5$ adalah
$\begin{align} y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\ y-2 &= 5 \left( x-4 \right) \\ y-2 &= 5x-20 \\ y &= 5x-18 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ y=5x-18$

12. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan

Diketahui kurva $f(x) = x^{2} – 2x -3$. Persamaan garis singgung kurva tersebut yang tegak lurus dengan garis $x+2y+3=0$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & y=-2x+8 \\ (B)\ & y=\frac{1}{2}x+3 \\ (C)\ & y=2x-7 \\ (D)\ & y=2x-5 \\ (E)\ & y=2x+7 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Diketahui bahwa dua garis saling tegak lurus hasil perkalian kedua gradiennya adalah $-1$, sehingga gradien garis singgung yang tegak lurus dengan garis $x+2y+3=0$ adalah:
$\begin{align} m_{1} \times m_{2} &= -1 \\ -\frac{1}{2} \times m_{2} &= -1 \\ m_{2} &= 2 \end{align}$

Untuk gradien garis garis singgung adalah $2$, pada titik $A \left( x, y \right)$ berlaku:
$\begin{align} m_{A} &= f'\left( x \right) \\ \hline f(x) &= x^{2} – 2x -3 \\ f'(x) &= 2x-2 \\ \hline m_{A} &= 2x-2 \\ 2 &= 2x-2 \\ 4 &= 2x \\ 2 &= x \end{align}$

Untuk $x=2$ pada $y=f(x) = x^{2} – 2x -3$ kita peroleh:
$\begin{align} y &= x^{2} – 2x -3 \\ &= 2^{2} – 2(2) -3 \\ &= 4 – 4 - 3 \\ &= -3 \\ & \text{titik}\ (2,-3) \end{align}$

Persamaan garis singgung di titik $(2,-3)$ dengan gradien $m=2$ adalah
$\begin{align} y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\ y+3 &= 2 \left( x-2\right) \\ y+3 &= 2x-4 \\ y &= 2x-7 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ y=2x-7$

13. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan

Kurva $y=\dfrac{x^{3}-1}{x^{2}}$ memotong sumbu $x$ di titik $P$. Persamaan garis singgung kurva di titik $P$ tersebut adalah...

$\begin{align} (A)\ & y = 2x – 3 \\ (B)\ & y = 3x + 3 \\ (C)\ & y = 2x + 3 \\ (D)\ & y = 3x - 3 \\ (E)\ & y = 3x -2 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Titik potong kurva $y=\dfrac{x^{3}-1}{x^{2}}$ dengan sumbu $x$ terjadi saat $y=0$, sehingga berlaku: $\begin{align} y &= \dfrac{x^{3}-1}{x^{2}} \\ 0 &= \dfrac{x^{3}-1}{x^{2}} \\ 0 &= x^{3}-1 \\ 0 &= \left( x-1 \right)\left( x^{2}+x+1 \right) \\ &x=1 \\ & \text{titik}\ P(1,0) \end{align}$

Pada titik $P \left( 1, 0 \right)$ berlaku:
$\begin{align} m_{P} &= f'\left( x \right) \\ \hline f(x) &= \dfrac{x^{3}-1}{x^{2}} \\ f'(x) &= \dfrac{2}{x^{3}}+1 \\ \hline m_{P} &= \dfrac{2}{(1)^{3}}+1 \\ &= \dfrac{2}{1}+1 \\ &= 3 \end{align}$

Persamaan garis singgung di titik $P(1,0)$ dengan gradien $m=3$ adalah
$\begin{align} y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\ y-0 &= 3 \left( x-1\right) \\ y &= 3x-3 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y=3x-3$

14. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan

Diketahui Kurva $f(x)=x^{3}+2ax^{2}+6$. Jika garis $y=-9x-2$ menyinggung kurva di titik dengan absis $1$. Nilai $a=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & -3 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & 4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Diketahui garis $y=-9x-2$ dengan gradien $m=-9$ menyinggung kurva $f(x)=x^{3}+2ax^{2}+6$ di titik dengan absis $1$, maka titik singgungnya adalah:

$\begin{align} y &= -9x-2 \\ &= -9(1)-2 \\ &= -11 \\ & \text{titik}\ (1,-11) \end{align}$

Untuk gradien garis garis singgung adalah $m=-9$, pada titik $\left( 1,-11 \right)$ berlaku:
$\begin{align} m_{A} &= f'\left( x \right) \\ \hline f(x) &= x^{3}+2ax^{2}+6 \\ f'(x) &= 3x^{2}+4ax \\ \hline m_{A} &= 3x^{2}+4ax \\ -9 &= 3(1)^{2}+4a(1) \\ -9 &= 3 +4a \\ -9-3 &= 4a \\ -12 &= 4a \\ -3 &= a \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -3$

15. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan

Diketahui Kurva $y=\dfrac{3x-2}{x+2}$. Persamaan garis singgung kurva itu di titik yang gradiennya $\dfrac{1}{2}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & x-2y=0 \\ (B)\ & 2x-y=0 \\ (C)\ & x-3y=0 \\ (D)\ & 3x-y=0 \\ (E)\ & x-2y=4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk gradien garis garis singgung adalah $\dfrac{1}{2}$, pada titik $A \left( x, y \right)$ berlaku:
$\begin{align} m_{A} &= f'\left( x \right) \\ \hline f(x) &= \dfrac{3x-2}{x+2} \\ f'(x) &= \dfrac{8}{\left(x+2\right)^{2}} \\ \hline m_{A} &= \dfrac{8}{\left(x+2\right)^{2}} \\ \dfrac{1}{2} &= \dfrac{8}{\left(x+2\right)^{2}} \\ \left(x+2\right)^{2} &= 16 \\ \left(x+2\right)^{2} &= 4^{2} \\ &x=2\ \text{atau}\ x=-6 \end{align}$

Untuk $x=2$ pada $y=\dfrac{3x-2}{x+2}$ kita peroleh:
$\begin{align} y &= \dfrac{3x-2}{x+2} \\ &= \dfrac{3(2)-2}{2+2} \\ &= \dfrac{4}{4} \\ &= 1 \\ & \text{titik}\ (2,1) \end{align}$

Persamaan garis singgung di titik $(2,1)$ dengan gradien $m=\dfrac{1}{2}$ adalah:
$\begin{align} y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\ y-1 &= \dfrac{1}{2} \left( x-2\right) \\ y-1 &= \dfrac{1}{2}x-1 \\ y &= \dfrac{1}{2}x \\ 2y &= x \end{align}$


Untuk $x=-6$ pada $y=\dfrac{3x-2}{x+2}$ kita peroleh:
$\begin{align} y &= \dfrac{3x-2}{x+2} \\ &= \dfrac{3(-6)-2}{-6+2} \\ &= \dfrac{-20}{-4} \\ &= 5 \\ & \text{titik}\ (-6,5) \end{align}$

Persamaan garis singgung di titik $(-6,5)$ dengan gradien $m=\dfrac{1}{2}$ adalah:
$\begin{align} y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\ y-5 &= \dfrac{1}{2} \left( x+6\right) \\ y-5 &= \dfrac{1}{2}x+3 \\ y &= \dfrac{1}{2}x+8 \\ 2y &= x+16 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x-2y=0$

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Konsep Garis Singgung Kurva Dengan Turunan Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Mari Kembali Bermatematik, Cara Alternatif Perkalian Dua Angka

youtube image
Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Konsep Garis Singgung Kurva Dengan Turunan Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih 🙏 support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar