Konsep Garis Singgung Kurva Dengan Turunan Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan
Calon Guru: Konsep Garis Singgung Kurva Dengan Turunan Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan
Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Konsep Garis Singgung Kurva yang dilengkapi dengan soal latihan dan pembahasan. Pada beberapa buku matematika atau website edukasi yang membahas tentang matematika menyebutkan "garis singgung (disebut juga garis tangen) kurva bidang pada titik yang diketahui adalah garis lurus yang "hanya menyentuh" kurva pada titik tersebut." (wikipedia).
Dengan bahasa yang lebih sederhana dapat kita tuliskan garis singgung (tangent line) ialah garis yang hanya memiliki satu titik persekutuan (disebut sebagai titik singgung) dengan kurva.
Dengan pengertian garis singgung di atas, apakah garis pada gambar yang ketiga dibawah ini termasuk garis singgung?
Untuk menjawab pertanyaan di atas atau mendefinisikan garis singgung secara formal seperti yang disampaikan Drs. Warsoma Djohan M.Si. dan Dr. Wono Setya Budhi pada Diktat Kalkulus I ITB, mari kita perhatikan prosesnya sebagai berikut.
Garis talibusur $AB$ atau dapat juga kita sebut dengan garis potong (secant line) yang menghubungkan titik $A$ dan $B$ pada kurva $y=f(x)$. Gradien (kemiringan) garis potong $AB$ adalah:
$\begin{align}
m_{AB} &= \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \\
&=\dfrac{f\left(x_{2} \right)-f\left(x_{1} \right)}{ x_{2} - x_{1}} \\
&=\dfrac{f\left(x_{1}+h \right)-f\left(x_{1} \right)}{ x_{1}+h - x_{1}} \\
&=\dfrac{f\left(x_{1}+h \right)-f\left(x_{1} \right)}{ h } \\
\end{align}$
Jika titik $B$ kita geser mendekati titik $A$ maka $\Delta x$ atau $h$ semakin kecil yang mengakibatkan $\Delta y$ juga semakin kecil.
Apabila titik $B$ semakin mendekati $A$ atau $\Delta x=h$ sangat kecil (mendekati nol), sehingga titik $A$ dan titik $B$ seolah-olah berimpit maka diperoleh garis singgung kurva $f(x)$ di titik $A$.
Gradien garis singgung kurva di titik $A \left( x_{1}, f\left(x_{1} \right) \right)$ adalah
$\begin{align}
m_{A} &= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f\left( x_{1}+h \right)-f\left( x_{1} \right)}{h} \\
m_{A} &= f'\left( x_{1} \right)
\end{align}$
Dari penjabaran di atas, dengan bahasa yang sederhana dapat kita tuliskan bahwa untuk titik $A \left( x_{1}, y_{1} \right)$ yang terletak pada kurva $f\left( x \right)$, maka gradien garis singgung di titik $A \left( x_{1}, y_{1} \right)$ adalah $m_{A}=f'\left( x_{1} \right)$.
Untuk penjelasan lebih lanjut mari kita simak beberapa contoh soal berikut:
* Contoh pertama: *
tentukan gradien garis singgung kurva $f(x) = x^{2} – 6x + 5$ di titik $A(6, 5)$
Jawab:
Sebagai tahap awal perlu diperhatikan apakah titik $A(6, 5)$ terletak pada kurva $f(x)$. Untuk mengetahuinya kita periksa apakah $f(6)=5$,
$\begin{align}
f(x) &= x^{2} – 6x + 5 \\
f(6) &= 6^{2} – 6(6) + 5 \\
&= 36 – 36 + 5 \\
&= 5
\end{align}$
Dari hasil di atas kita ketahui bahwa titik $A(6, 5)$ terletak pada kurva $f(x)$.
Seperti disampaikan sebelumnya bahwa pada titik $A \left( x_{1}, y_{1} \right)$ gradien garis singgung adalah $m_{A}=f'\left( x_{1} \right)$.
Sehingga pada titik $A(6, 5)$, gradien garis singgung adalah:
$\begin{align}
m_{A} &= f'\left( x_{1} \right) \\
\hline
f(x) &= x^{2} – 6x + 5 \\
f'(x) &= 2x – 6 \\
\hline
m_{A} &= 2x_{1} -6 \\
&= 2(6) -6 \\
&= 12 -6 =6
\end{align}$
* Contoh kedua: *
tentukan gradien garis singgung kurva $f(x) = x^{3} – 2x$ di titik $B(2, 4)$
Jawab:
Sebagai tahap awal perlu diperhatikan apakah titik $B(2, 4)$ terletak pada kurva $f(x)$. Untuk mengetahuinya kita periksa apakah $f(2)=4$,
$\begin{align}
f(x) &= x^{3} – 2x \\
f(2) &= 2^{3} – 2(2) \\
&= 8 – 4 \\
&= 4
\end{align}$
Dari hasil di atas kita ketahui bahwa titik $B(2, 4)$ terletak pada kurva $f(x)$.
Seperti disampaikan sebelumnya bahwa pada titik $B \left( x_{1}, y_{1} \right)$ gradien garis singgung adalah $m_{B}=f'\left( x_{1} \right)$.
Sehingga pada titik $B(2, 4)$, gradien garis singgung adalah:
$\begin{align}
m_{B} &= f'\left( x_{1} \right) \\
\hline
f(x) &= x^{3} – 2x \\
f'(x) &= 3x^{2} – 2 \\
\hline
m_{B} &= 3x^{2}_{1} -2x_{1} \\
&= 3(2)^{2} -2(2) \\
&= 12-4 \\
&= 8
\end{align}$
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA
Persamaan garis singgung kurva sama dengan persamaan garis secara umum yang dapat ditentukan setidaknya jika diketahui gradien garis dan sebuah titik yang dilalui garis atau dua titik yang dilalui oleh garis.
- Jika garis $g$ melalui titik $(0,0)$ dan bergradien $m$ maka garis $g$ adalah $y=mx$;
- Jika garis $g$ melalui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ dan bergradien $m$ maka garis $g$ adalah $y-y_{1}=m\left(x-x_{1} \right)$;
- Jika garis $g$ melalui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ dan $(x_{2},y_{2})$ maka garis $g$ adalah $\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}$;
Untuk menentukan persamaan garis singgung kurva mari kita simak beberapa contoh berikut:
* Contoh pertama: *
tentukan persamaan garis singgung kurva $f(x) = 2x^{3} – 5x^{2}+4x+2$ di titik $A(2, 6)$
Jawab:
Sebagai tahap awal perlu diperhatikan apakah titik $A(2, 6)$ terletak pada kurva $f(x)$. Untuk mengetahuinya kita periksa apakah $f(2)=6$,
$\begin{align}
f(x) &= 2x^{3} – 5x^{2}+4x+2 \\
f(2) &= 2(2)^{3} – 5(2)^{2}+4(2)+2 \\
&= 16 – 20 +8 +2 \\
&= 6
\end{align}$
Dari hasil di atas kita ketahui bahwa titik $A(2, 6)$ terletak pada kurva $f(x)$.
Seperti disampaikan sebelumnya bahwa pada titik $A \left( x_{1}, y_{1} \right)$ gradien garis singgung adalah $m_{A}=f'\left( x_{1} \right)$.
Sehingga pada titik $A(2, 6)$, gradien garis singgung adalah:
$\begin{align}
m_{A} &= f'\left( x_{1} \right) \\
\hline
f(x) &= 2x^{3} – 5x^{2}+4x+2 \\
f'(x) &= 6x^{2} – 10x +4 \\
\hline
m_{A} &= 6(2)^{2} – 10(2) +4 \\
&= 24 -20+4 \\
&= 8
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $A(2, 6)$ dengan gradien $m=8$ adalah
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-6 &= 8 \left( x-2 \right) \\
y-6 &= 8x-16 \\
y &= 8x-16+6 \\
y &= 8x-10
\end{align}$
* Contoh kedua: *
tentukan persamaan garis singgung kurva $f(x) = x^{3} – 3x^{2}-5x+10$ jika gradien garis singgungnya adalah $4$
Jawab:
Diketahui gradien garis singgung adalah $4$, sehingga untuk titik $A \left( x, y \right)$ berlaku:
$\begin{align}
m_{A} &= f'\left( x \right) \\
\hline
f(x) &= x^{3} – 3x^{2}-5x+10 \\
f'(x) &= 3x^{2} – 6x -5 \\
\hline
m_{A} &= 3x^{2} – 6x -5 \\
4 &= 3x^{2} – 6x -5 \\
0 &= 3x^{2} – 6x -9 \\
0 &= x^{2} – 2x -3 \\
0 &= \left( x-3 \right)\left( x+1 \right) \\
&x=3\ \text{atau}\ x=-1
\end{align}$
Untuk $x=3$ pada $y=f(x) = x^{3} – 3x^{2}-5x+10$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= x^{3} – 3x^{2}-5x+10 \\
&= 3^{3} – 3(3)^{2}-5(3)+10 \\
&= 27 – 27-15+10 \\
&=-5 \\
& \text{titik}\ (3,-5)
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $(3,-5)$ dengan gradien $m=4$ adalah
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y+5 &= 4 \left( x-3 \right) \\
y+5 &= 4x-12 \\
y &= 4x-17
\end{align}$
Untuk $x=-1$ pada $y=f(x) = x^{3} – 3x^{2}-5x+10$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= x^{3} – 3x^{2}-5x+10 \\
&= (-1)^{3} – 3(-1)^{2}-5(-1)+10 \\
&= -1 -3 +5+10 \\
&=11 \\
& \text{titik}\ (-1,11) \\
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $(-1,11)$ dengan gradien $m=4$ adalah
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-11 &= 4 \left( x+1 \right) \\
y-11 &= 4x+4 \\
y &= 4x+15
\end{align}$
SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN GARIS SINGGUNG KURVA DENGAN TURUNAN
1. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Diketahui kurva $f(x) = 3x^{2}– 2x + 1$. Gradien garis singgung kurva tersebut pada titik $T (1,2)$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 3 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & -4 \end{align}$
Show
Pada titik $A \left( a, b \right)$ gradien garis singgung adalah $m_{A}=f'\left( a \right)$
$\begin{align}
f(x) &= 3x^{2}– 2x + 1 \\
f'(x) &= 6x – 2 \\
\hline
& \text{gradien di titik}\ T (1,2) \\
\hline
m_{T} &= 6(1)-2 \\
&= 4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4$
2. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Gradien garis singgung di titik yang berabsis $2$ untuk kurva $f(x) = x^{3} – 2x^{2} + 3x – 1$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 3 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & -4 \end{align}$
Show
Pada titik $A \left( a, b \right)$ gradien garis singgung adalah $m_{A}=f'\left( a \right)$
$\begin{align}
f(x) &= x^{3} – 2x^{2} + 3x – 1 \\
f'(x) &= 3x^{2} – 4x+3 \\
\hline
& \text{gradien di}\ x=2 \\
\hline
m_{x=2} &= 3(2)^{2} – 4(2)+3 \\
&= 12-8+3 \\
&= 7
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7$
3. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Diketahui kurva $f(x) = 2x^{2} – 3x + 4$. Persamaan garis singgung kurva tersebut pada titik $T (2, 6)$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & y=2x-4 \\ (B)\ & y=5x+3 \\ (C)\ & y=2x+3 \\ (D)\ & y=5x-4 \\ (E)\ & y=3x+2 \end{align}$
Show
Pada titik $A \left( a, b \right)$ gradien garis singgung adalah $m_{A}=f'\left( a \right)$
$\begin{align}
f(x) &= 2x^{2} – 3x + 4 \\
f'(x) &= 4x-3 \\
\hline
& \text{gradien di titik}\ T (2, 6) \\
\hline
m_{T} &= 4(2)-3 \\
&= 5
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $T (2, 6)$ dan $m=5$
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-6 &= 5 \left( x-2 \right) \\
y-6 &= 5x-10 \\
y &= 5x-4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y=5x-4$
4. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Diketahui kurva $f(x) = x^{2} – 4x + 8$. Persamaan garis singgung kurva tersebut pada titik $T (1, 5)$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & y=6x-3 \\ (B)\ & y=-2x+7 \\ (C)\ & y=-2x+3 \\ (D)\ & y=2x-3 \\ (E)\ & y=6x+4 \end{align}$
Show
Pada titik $A \left( a, b \right)$ gradien garis singgung adalah $m_{A}=f'\left( a \right)$
$\begin{align}
f(x) &= x^{2} – 4x + 8 \\
f'(x) &= 2x-4 \\
\hline
& \text{gradien di titik}\ T (1, 5) \\
\hline
m_{T} &= 2(1)-4 \\
&= -2
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $T (1, 5)$ dan $m=-2$
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-5 &= -2 \left( x-1 \right) \\
y-5 &= -2x+2 \\
y &= -2x+7
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ y=-2x+7$
5. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Diketahui kurva $f(x) = x^{4} – 3x^{2} – 3$. Persamaan garis singgung kurva tersebut pada titik yang berabis $2$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & y=20x-39 \\ (B)\ & y=15x+21 \\ (C)\ & y=20x+21 \\ (D)\ & y=15x-5 \\ (E)\ & y=10x+39 \end{align}$
Show
Pada titik $A \left( a, b \right)$ gradien garis singgung adalah $m_{A}=f'\left( a \right)$
$\begin{align}
f(x) &= x^{4} – 3x^{2} – 3 \\
f'(x) &= 4x^{3}-6x \\
\hline
& \text{gradien di}\ x=2 \\
\hline
m_{x=2} &= 4(2)^{3}-6(2) \\
&= 32-12 \\
&= 20
\end{align}$
Untuk $x=2$ pada $y=f(x) = x^{4} – 3x^{2} – 3$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= x^{4} – 3x^{2} – 3 \\
&= (2)^{4} – 3(2)^{2} – 3 \\
&= 16-12-3 \\
&=1 \\
& \text{titik}\ (2,1) \\
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $(2, 1)$ dan $m=20$
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-1 &= 20 \left( x-2 \right) \\
y-1 &= 20x-40 \\
y &= 20x-39
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y=20x-39$
6. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Diketahui kurva $f(x) = x^{3}– 8x^{2} + 10$. Persamaan garis singgung kurva tesebut pada titik yang berabsis $1$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 12x+15y=16 \\ (B)\ & 2x-8y=14 \\ (C)\ & 5x-12y=16 \\ (D)\ & 8x+2y=7 \\ (E)\ & 13x+y=16 \end{align}$
Show
Pada titik $A \left( a, b \right)$ gradien garis singgung adalah $m_{A}=f'\left( a \right)$
$\begin{align}
f(x) &= x^{3}– 8x^{2} + 10 \\
f'(x) &= 3x^{2}-16x \\
\hline
& \text{gradien di}\ x=1 \\
\hline
m_{x=1} &= 3(1)^{2}-16(1) \\
&= 3-16 \\
&= -13
\end{align}$
Untuk $x=1$ pada $y=f(x) = x^{3}– 8x^{2} + 10$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= x^{3}– 8x^{2} + 10 \\
&= (1)^{3}– 8(1)^{2} + 10 \\
&= 1 -8+10 \\
&=3 \\
& \text{titik}\ (1,3) \\
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $(1, 3)$ dan $m=-13$
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-3 &= -13 \left( x-1 \right) \\
y-3 &= -13x+13 \\
y &= -13x+16
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 13x+y=16$
7. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Diketahui kurva $f(x) = 2x^{2} – 7x + 4$. Persamaan garis singgung kurva tersebut pada titik yang ordinatnya $1$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 10x-2y=7 \\ (B)\ & 5x- y=14 \\ (C)\ & 5x- 2y=7 \\ (D)\ & 5x+ y=14 \\ (E)\ & 5x-y=-6 \end{align}$
Show
Untuk $y=1$ pada $y=f(x) = 2x^{2} – 7x + 4$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= 2x^{2} – 7x + 4 \\
1 &= 2x^{2} – 7x + 4 \\
0 &= 2x^{2} – 7x +3 \\
0 &= \left( 2x-1 \right)\left( x-3 \right) \\
&x=\frac{1}{2}\ \text{atau}\ x=3
\end{align}$
Untuk $x=\frac{1}{2}$ pada $y=f(x) = 2x^{2} – 7x + 4$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= 2x^{2} – 7x + 4 \\
&= 2\left( \frac{1}{2} \right)^{2} – 7\left( \frac{1}{2} \right) + 4 \\
&= \frac{1}{2} – \frac{7}{2} + 4 \\
&= 1 \\
& \text{titik}\ \left( \frac{1}{2}, 1 \right)
\end{align}$
Pada titik $\left( \frac{1}{2}, 1 \right)$ gradien garis singgung adalah:
$\begin{align}
f(x) &= 2x^{2} – 7x + 4 \\
f'(x) &= 4x-7 \\
\hline
& \text{gradien di}\ x=\frac{1}{2} \\
\hline
m_{x=\frac{1}{2}} &= 4\left(\frac{1}{2} \right)-7 \\
&= -5
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $\left( \frac{1}{2}, 1 \right)$ dengan gradien $m=-5$ adalah
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-1 &= -5 \left( x-\frac{1}{2} \right) \\
y-1 &= -5x+\frac{5}{2} \\
2y-2 &= -10x+5 \\
2y+10x &= 7
\end{align}$
Untuk $x=3$ pada $y=f(x) = 2x^{2} – 7x + 4$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= 2x^{2} – 7x + 4 \\
&= 2\left( 3 \right)^{2} – 7\left( 3 \right) + 4 \\
&= 18 – 21 + 4 \\
&= 1 \\
& \text{titik}\ \left( 3, 1 \right)
\end{align}$
Pada titik $\left( 3, 1 \right)$ gradien garis singgung adalah:
$\begin{align}
f(x) &= 2x^{2} – 7x + 4 \\
f'(x) &= 4x-7 \\
\hline
& \text{gradien di}\ x=3 \\
\hline
m_{x=3} &= 4\left( 3 \right)-7 \\
&= 5
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $\left( 3, 1 \right)$ dengan gradien $m=5$ adalah
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-1 &= 5 \left( x-3 \right) \\
y-1 &= 5x-15 \\
y &= 5x-14 \\
5x-y &= 14
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 5x- y=14$
8. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Garis singgung pada kurva $y = x^{2} – 2x + 2$ dititik yang ordinatnya $5$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 4x- y=1 \\ (B)\ & 2x- y=1 \\ (C)\ & 4x- y=-7 \\ (D)\ & 4 x+ y=-7 \\ (E)\ & 4x+y=1 \end{align}$
Show
Untuk $y=5$ pada $y=f(x) = x^{2} – 2x + 2$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= x^{2} – 2x + 2 \\
5 &= x^{2} – 2x + 2 \\
0 &= x^{2} – 2x -3 \\
0 &= \left( x+1 \right)\left( x-3 \right) \\
&x=-1\ \text{atau}\ x=3
\end{align}$
Untuk $x=-1$ pada $y=f(x) = x^{2} – 2x + 2$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= x^{2} – 2x + 2 \\
&= \left( -1 \right)^{2} – 2\left( -1 \right) + 2 \\
&= 1 + 2 + 2 \\
&= 5 \\
& \text{titik}\ \left( -1, 5 \right)
\end{align}$
Pada titik $\left( -1,5 \right)$ gradien garis singgung adalah:
$\begin{align}
f(x) &= x^{2} – 2x + 2 \\
f'(x) &= 2x-2 \\
\hline
& \text{gradien di}\ x=-1 \\
\hline
m_{x=1} &= 2\left(-1 \right)-2 \\
&= -4
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $\left( -1, 5 \right)$ dengan gradien $m=-4$ adalah
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-5 &= -4 \left( x+1 \right) \\
y-5 &= -4x-4 \\
y &= -4x+1
\end{align}$
Untuk $x=3$ pada $y=f(x) = x^{2} – 2x + 2$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= x^{2} – 2x + 2 \\
&= \left( 3 \right)^{2} – 2\left( 3 \right) + 2 \\
&= 9 – 6 + 2 \\
&= 5 \\
& \text{titik}\ \left( 3, 5 \right)
\end{align}$
Pada titik $\left( 3, 5 \right)$ gradien garis singgung adalah:
$\begin{align}
f(x) &= x^{2} – 2x + 2 \\
f'(x) &= 2x-2 \\
\hline
& \text{gradien di}\ x=3 \\
\hline
m_{x=3} &= 2\left( 3 \right)-2 \\
&= 4
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $\left( 3, 5 \right)$ dengan gradien $m=4$ adalah
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-5 &= 4 \left( x-3 \right) \\
y-5 &= 4x-12 \\
y &= 4x-7 \\
-4x+y &= -7
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4x+y=1$
9. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Diketahui kurva $f(x) = x^{2} – 4x + 5$. Persamaan garis singgung kurva tersebut jika gradien garis singgungnya $2$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & y=2x-4 \\ (B)\ & y=2x+5 \\ (C)\ & y=2x-3 \\ (D)\ & y=2x+4 \\ (E)\ & y=2x-5 \end{align}$
Show
Diketahui gradien garis singgung adalah $2$, sehingga untuk titik $A \left( x, y \right)$ berlaku:
$\begin{align}
m_{A} &= f'\left( x \right) \\
\hline
f(x) &= x^{2} – 4x + 5 \\
f'(x) &= 2x-4 \\
\hline
m_{A} &= 2x-4 \\
2 &= 2x-4 \\
6 &= 2x \\
3 &= x
\end{align}$
Untuk $x=3$ pada $y=f(x) = x^{2} – 4x + 5$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= x^{2} – 4x + 5 \\
&= 3^{2} – 4(3) + 5 \\
&= 9 – 12 +5 \\
&=2 \\
& \text{titik}\ (3,2)
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $(3,2)$ dengan gradien $m=2$ adalah
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-2 &= 2 \left( x-3 \right) \\
y-2 &= 2x-6 \\
y &= 2x-4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y=2x-4$
10. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Diketahui kurva $f(x) = x^{3} – x + 2$. Persamaan garis singgung kurva tersebut jika gradien garis singgungnya $2$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & y=2x-4 \\ (B)\ & y=2x+5 \\ (C)\ & y=2x \\ (D)\ & y=2x-3 \\ (E)\ & y=2x-5 \end{align}$
Show
Diketahui gradien garis singgung adalah $2$, sehingga untuk titik $A \left( x, y \right)$ berlaku:
$\begin{align}
m_{A} &= f'\left( x \right) \\
\hline
f(x) &= x^{3} – x + 2 \\
f'(x) &= 3x^{2} – 1 \\
\hline
m_{A} &= 3x^{2} – 1 \\
2 &= 3x^{2} – 1 \\
0 &= 3x^{2} – 3 \\
0 &= x^{2} – 1 \\
0 &= \left( x-1 \right)\left( x+1 \right) \\
&x=1\ \text{atau}\ x=-1
\end{align}$
Untuk $x=1$ pada $y=f(x) = x^{3} – x + 2$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= x^{3} – x + 2 \\
&= 1^{3} – 1 + 2 \\
&= 2 \\
& \text{titik}\ (1,2)
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $(1,2)$ dengan gradien $m=2$ adalah
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-2 &= 2 \left( x-1 \right) \\
y-2 &= 2x-2 \\
y &= 2x
\end{align}$
Untuk $x=-1$ pada $y=f(x) = x^{3} – x + 2$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= x^{3} – x + 2 \\
&= (-1)^{3} – (-1)+2 \\
&= -1 +1 +2 \\
&=2 \\
& \text{titik}\ (-1,2) \\
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $(-1,2)$ dengan gradien $m=2$ adalah
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-2 &= 2 \left( x+1 \right) \\
y-2 &= 2x+2 \\
y &= 2x+4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ y=2x$
11. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Diketahui kurva $f(x) = x^{2} – 3x -2$. Persamaan garis singgung kurva tersebut yang sejajar dengan garis $y=5x-1$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & y=\frac{1}{5}x+3 \\ (B)\ & y=\frac{1}{5}x-16 \\ (C)\ & y=5x-6 \\ (D)\ & y=5x+12 \\ (E)\ & y=5x-18 \end{align}$
Show
Diketahui bahwa dua garis sejajar gradiennya adalah sama, sehingga gradien garis singgung yang sejajar dengan garis $y=5x-1$ adalah $m=5$. Untuk gradien garis garis singgung adalah $5$, pada titik $A \left( x, y \right)$ berlaku:
$\begin{align}
m_{A} &= f'\left( x \right) \\
\hline
f(x) &= x^{2} – 3x -2 \\
f'(x) &= 2x-3 \\
\hline
m_{A} &= 2x-3 \\
5 &= 2x-3 \\
8 &= 2x \\
4 &= x
\end{align}$
Untuk $x=4$ pada $y=f(x) = x^{2} – 3x -2$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= x^{2} – 3x -2 \\
&= 4^{2} – 3(4) -2 \\
&= 16 – 12 -2 \\
&=2 \\
& \text{titik}\ (4,2)
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $(4,2)$ dengan gradien $m=5$ adalah
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-2 &= 5 \left( x-4 \right) \\
y-2 &= 5x-20 \\
y &= 5x-18
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ y=5x-18$
12. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Diketahui kurva $f(x) = x^{2} – 2x -3$. Persamaan garis singgung kurva tersebut yang tegak lurus dengan garis $x+2y+3=0$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & y=-2x+8 \\ (B)\ & y=\frac{1}{2}x+3 \\ (C)\ & y=2x-7 \\ (D)\ & y=2x-5 \\ (E)\ & y=2x+7 \end{align}$
Show
Diketahui bahwa dua garis saling tegak lurus hasil perkalian kedua gradiennya adalah $-1$, sehingga gradien garis singgung yang tegak lurus dengan garis $x+2y+3=0$ adalah:
$\begin{align}
m_{1} \times m_{2} &= -1 \\
-\frac{1}{2} \times m_{2} &= -1 \\
m_{2} &= 2
\end{align}$
Untuk gradien garis garis singgung adalah $2$, pada titik $A \left( x, y \right)$ berlaku:
$\begin{align}
m_{A} &= f'\left( x \right) \\
\hline
f(x) &= x^{2} – 2x -3 \\
f'(x) &= 2x-2 \\
\hline
m_{A} &= 2x-2 \\
2 &= 2x-2 \\
4 &= 2x \\
2 &= x
\end{align}$
Untuk $x=2$ pada $y=f(x) = x^{2} – 2x -3$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= x^{2} – 2x -3 \\
&= 2^{2} – 2(2) -3 \\
&= 4 – 4 - 3 \\
&= -3 \\
& \text{titik}\ (2,-3)
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $(2,-3)$ dengan gradien $m=2$ adalah
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y+3 &= 2 \left( x-2\right) \\
y+3 &= 2x-4 \\
y &= 2x-7
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ y=2x-7$
13. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Kurva $y=\dfrac{x^{3}-1}{x^{2}}$ memotong sumbu $x$ di titik $P$. Persamaan garis singgung kurva di titik $P$ tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & y = 2x – 3 \\ (B)\ & y = 3x + 3 \\ (C)\ & y = 2x + 3 \\ (D)\ & y = 3x - 3 \\ (E)\ & y = 3x -2 \end{align}$
Show
Titik potong kurva $y=\dfrac{x^{3}-1}{x^{2}}$ dengan sumbu $x$ terjadi saat $y=0$, sehingga berlaku: $\begin{align} y &= \dfrac{x^{3}-1}{x^{2}} \\ 0 &= \dfrac{x^{3}-1}{x^{2}} \\ 0 &= x^{3}-1 \\ 0 &= \left( x-1 \right)\left( x^{2}+x+1 \right) \\ &x=1 \\ & \text{titik}\ P(1,0) \end{align}$
Pada titik $P \left( 1, 0 \right)$ berlaku:
$\begin{align}
m_{P} &= f'\left( x \right) \\
\hline
f(x) &= \dfrac{x^{3}-1}{x^{2}} \\
f'(x) &= \dfrac{2}{x^{3}}+1 \\
\hline
m_{P} &= \dfrac{2}{(1)^{3}}+1 \\
&= \dfrac{2}{1}+1 \\
&= 3
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $P(1,0)$ dengan gradien $m=3$ adalah
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-0 &= 3 \left( x-1\right) \\
y &= 3x-3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y=3x-3$
14. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Diketahui Kurva $f(x)=x^{3}+2ax^{2}+6$. Jika garis $y=-9x-2$ menyinggung kurva di titik dengan absis $1$. Nilai $a=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & -3 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & 4 \end{align}$
Show
Diketahui garis $y=-9x-2$ dengan gradien $m=-9$ menyinggung kurva $f(x)=x^{3}+2ax^{2}+6$ di titik dengan absis $1$, maka titik singgungnya adalah:
$\begin{align} y &= -9x-2 \\ &= -9(1)-2 \\ &= -11 \\ & \text{titik}\ (1,-11) \end{align}$
Untuk gradien garis garis singgung adalah $m=-9$, pada titik $\left( 1,-11 \right)$ berlaku:
$\begin{align}
m_{A} &= f'\left( x \right) \\
\hline
f(x) &= x^{3}+2ax^{2}+6 \\
f'(x) &= 3x^{2}+4ax \\
\hline
m_{A} &= 3x^{2}+4ax \\
-9 &= 3(1)^{2}+4a(1) \\
-9 &= 3 +4a \\
-9-3 &= 4a \\
-12 &= 4a \\
-3 &= a \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -3$
15. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan
Diketahui Kurva $y=\dfrac{3x-2}{x+2}$. Persamaan garis singgung kurva itu di titik yang gradiennya $\dfrac{1}{2}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & x-2y=0 \\ (B)\ & 2x-y=0 \\ (C)\ & x-3y=0 \\ (D)\ & 3x-y=0 \\ (E)\ & x-2y=4 \end{align}$
Show
Untuk gradien garis garis singgung adalah $\dfrac{1}{2}$, pada titik $A \left( x, y \right)$ berlaku:
$\begin{align}
m_{A} &= f'\left( x \right) \\
\hline
f(x) &= \dfrac{3x-2}{x+2} \\
f'(x) &= \dfrac{8}{\left(x+2\right)^{2}} \\
\hline
m_{A} &= \dfrac{8}{\left(x+2\right)^{2}} \\
\dfrac{1}{2} &= \dfrac{8}{\left(x+2\right)^{2}} \\
\left(x+2\right)^{2} &= 16 \\
\left(x+2\right)^{2} &= 4^{2} \\
&x=2\ \text{atau}\ x=-6
\end{align}$
Untuk $x=2$ pada $y=\dfrac{3x-2}{x+2}$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= \dfrac{3x-2}{x+2} \\
&= \dfrac{3(2)-2}{2+2} \\
&= \dfrac{4}{4} \\
&= 1 \\
& \text{titik}\ (2,1)
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $(2,1)$ dengan gradien $m=\dfrac{1}{2}$ adalah:
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-1 &= \dfrac{1}{2} \left( x-2\right) \\
y-1 &= \dfrac{1}{2}x-1 \\
y &= \dfrac{1}{2}x \\
2y &= x
\end{align}$
Untuk $x=-6$ pada $y=\dfrac{3x-2}{x+2}$ kita peroleh:
$\begin{align}
y &= \dfrac{3x-2}{x+2} \\
&= \dfrac{3(-6)-2}{-6+2} \\
&= \dfrac{-20}{-4} \\
&= 5 \\
& \text{titik}\ (-6,5)
\end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $(-6,5)$ dengan gradien $m=\dfrac{1}{2}$ adalah:
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-5 &= \dfrac{1}{2} \left( x+6\right) \\
y-5 &= \dfrac{1}{2}x+3 \\
y &= \dfrac{1}{2}x+8 \\
2y &= x+16
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x-2y=0$
Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Konsep Garis Singgung Kurva Dengan Turunan Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Mari Kembali Bermatematik, Cara Alternatif Perkalian Dua Angka
