The good student, bersama Calon Guru kita belajar matematika SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi Aljabar. Turunan fungsi ajabar ini adalah pengembangan dari limit fungsi aljabar, sehingga untuk belajar turunan fungsi aljabar ini, ada baiknya kita bisa tentang limit fungsi aljabar, karena ini adalah salah satu syarat perlu, agar lebih cepat memahami turunan fungsi aljabar.
Penerapan turunan fungsi aljabar dalam kehidupan sehari-hari sangat banyak, diantaranya menemukan nilai maksimum atau minimum. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada turunan fungsi aljabar bukanlah hal sulit seperti yang kalian dengar di luar bahwa belajar matematika itu sesuatu yang sulit. Jika diikuti step by step pada catatan yang kita diskusikan berikut ini, maka kita akan bisa memahami soal-soal turunan fungsi aljabar dan mendapatkan solusinya.
DEFINISI TURUNAN FUNGSI
Turunan (diferensial) dari sebuah fungsi $f$ adalah fungsi yang dituliskan $f'$ (dibaca"f aksen"). Jika sebuah fungsi dengan variabel $x$ dituliskan $f(x)$ maka turunan pertama fungsi tersebut adalah $f'(x)$, didefinisikan $f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ dengan catatan bahwa nilai limit ini ada. Jika $f'(x)$ bisa diperoleh $f$ dikatakan dapat diturunakan (diferentiable).
Selain bentuk $f'(x)$ (dibaca"f aksen x"), bentuk lain yang umum dipakai pada penulisan turunan fungsi $y=f(x)$ adalah $y'$ atau $D_{x}f(x)$ atau $\dfrac{dy}{dx}$ atau $\dfrac{d \left(f(x)\right)}{dx}$.
ATURAN TURUNAN FUNGSI
Dari definisi turunan fungsi di atas, diperoleh beberapa aturan dasar turunan fungsi yang dapat digunakan pada turunan fungsi aljabar atau turunan fungsi trigonometri, antara lain:
- Jika $f(x)=k$ (k:konstanta) maka $f'(x)=0$
- Jika $f(x)=x$ maka $f'(x)=1$
- Jika $f(x)= kx^{n}$ maka $f'(x)=knx^{n-1}$
- Jika $f(x)= k \cdot u(x)$ maka $f'(x)=k \cdot u'(x)$
- Jika $f(x)=u(x)+v(x)$ maka $f'(x)=u'(x) + v'(x)$
- Jika $f(x)=u(x) - v(x)$ maka $f'(x)=u'(x) - v'(x)$
- Jika $f(x)=u(x) \cdot v(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)$
- Jika $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)}$
- Jika $f(x)= u^{n}(x)$ maka $f'(x)=n \cdot u^{n-1}(x) \cdot u'(x)$
- Jika $f(x)= \left |u(x) \right | $ maka $f'(x)=\dfrac{u(x)}{\left | u(x) \right |} \cdot u'(x),\ \ u\neq 0 $
- Jika $f(x)= ln\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$
- Jika $f(x)=e^{u(x)}$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot e^{u(x)}$
- Jika $f(x)=log_{a}u(x)$ maka $f'(x)= \dfrac{u'(x)}{ln\ a \cdot u(x)}$
- Jika $f(x)=a^{u(x)}$ maka $f'(x)=a^{u(x)} \cdot u'(x) \cdot ln\ a$
Sifat-sifat dari turunan fungsi aljabar di atas, diperoleh dari definisi turunan fungsi, untuk melihat beberapa embuktian sifat di atas bisa dipelajari dari catatan cara membuktikan sifat-sifat turunan fungsi aljabar.
MENENTUKAN GRADIEN GARIS SINGGUNG KURVA
Jika kurva $y=f(x)$ disinggung oleh garis $g$ dititik $x_{1},y_{1}$, gradien garis singgung $g$ adalah $m=f'(x_{1})$ dan persamaan garis singgung $g$ adalah $y-y_{1}=m(x-x_{1})$.
Untuk catatan yang membahas tentang gradien garis singgung menggunakan turunan silahkan disimak pada catatan konsep garis singgung kurva dengan turunan dan pembahasan soal latihan.
FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN
- Jika $f'(x) \gt 0$ maka fungsi $y=f(x)$ naik atau sebaliknya jika $y=f(x)$ naik maka $f'(x) \gt 0$
- Jika $f'(x) \lt 0$ maka fungsi $y=f(x)$ turun atau sebaliknya jika $y=f(x)$ turun maka $f'(x) \lt 0$
Untuk catatan yang membahas tentang fungsi naik dan turun menggunakan turunan silahkan disimak pada catatan cara menentukan fungsi naik, fungsi turun dan titik stasioner.
NILAI MAKSIMUM atau NILAI MINIMUM
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
Untuk catatan yang membahas tentang nilai maksimum dan nilai minimum menggunakan turunan silahkan disimak pada catatan penerapan turunan fungsi.
Soal dan Pembahasan Matematika SMA Turunan Fungsi Aljabar
Catatan matematika tentang soal dan pembahasan turunan fungsi aljabar ini kita bagi menjadi dua catatan, agar dapat dicoba dan dipelajari secara optimal.
Soal-soal latihan turunan fungsi aljabar berikut ini kita pilih secara acak dari soal-soal Ujian Nasional atau seleksi masuk perguruan tinggi negeri atau sekolah kedinasan. Silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 40 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap
Turunan pertama fungsi $f(x)=\left( 4x^{2}-12x \right)\left( x+2 \right) $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menentukan turunan pertama fungsi $f(x)=\left( 4x^{2}-12x \right)\left( x+2 \right) $, dapat kita kerjakan dengan dua alternatif
Pertama pakai aturan jika $f(x)=u \cdot v$ maka $f'(x)=u' \cdot v+u \cdot v'$
$\begin{align}
f(x) & = \left( 4x^{2}-12x \right)\left( x+2 \right) \\
\hline
u &= 4x^{2}-12x \rightarrow u'=8x-12 \\
v &= x+2 \rightarrow v'=1 \\
\hline
f'(x) &= u' \cdot v + u \cdot v' \\
&= \left( 8x-12 \right)\left( x+2 \right)+\left( 4x^{2}-12x \right)\left( 1 \right) \\
&= 8x^{2}+16x-12x-24 + 4x^{2}-12x \\
&= 12x^{2}-8x-24
\end{align}$
Kedua dengan menyederhanakan fungsi ke bentuk penjumlahan dan pengurangan.
$\begin{align}
f(x) &= \left( 4x^{2}-12x \right)\left( x+2 \right) \\
&= 4x^{3}+8x^{2}-12x^{2}-24x \\
&= 4x^{3}-4x^{2}-24x \\
f'(x) &= 3 \cdot 4x^{3-1}-2 \cdot 4x^{2-1} -24 \\
&= 12x^{2}-8x -24
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ f'(x)=12x^{2}-8x-24$
2. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 |*Soal Lengkap
Diketahui $f(x)=ax^{2}+2x+4$ dan $g(x)=x^{2}+ax-2$. Jika $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ dengan $h'(0)=1$, maka nilai $a$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada soal diketahui $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ dan $h'(0)=1$ maka kita perlu $h'(x)$
untuk $f(x)=ax^{2}+2x+4$ maka $f(0)=4$
$f'(x)=2ax+2$ maka $f'(0)=2$
untuk $g(x)=x^{2}+ax-2$ maka $g(0)=-2$
$g'(x)=2x+a$ maka $g'(0)=a$
$\begin{align} h(x) & = \dfrac{f(x)}{g(x)} \\ h'(x) & = \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^{2}(x)} \\ h'(0) & = \dfrac{f'(0) \cdot g(0) - f(0) \cdot g'(0)}{g^{2}(0)} \\ 1 & = \dfrac{(2) \cdot (-2) - (0) \cdot (a)}{(-2)^{2}} \\ 1 & = \dfrac{-4 - 4a}{4} \\ 4 & = -4 - 4a \\ 8 & = - 4a \\ a & = \dfrac {8}{-4} = -2 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -2$
3. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 |*Soal Lengkap
Diketahui $f(x)=ax^{2}-4x+1$ dan $g(x)=3x^{2}+ax+2$. Jika $h(x)=f(x)+g(x)$ dan $k(x)=f(x)g(x)$ dengan $h'(0)=-3$, maka nilai $k'(0)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada soal diketahui $h(x)=f(x)+g(x)$ dan $h'(0)=-3$ maka kita perlu $h'(x)$
untuk $f(x)=ax^{2}-4x+1$ maka $f(0)=1$
$f'(x)=2ax-4$ maka $f'(0)=-4$
untuk $g(x)=3x^{2}+ax+2$ maka $g(0)=2$
$g'(x)=6x+a$ maka $g'(0)=a$
$\begin{align} h(x) & = f(x)+g(x) \\ h'(x) & = f'(x)+g'(x) \\ h'(0) & = f'(0)+g'(0) \\ -3 & = -4+a \\ a & = -3+4=1 \end{align}$
$\begin{align} k(x) & = f(x)g(x) \\ k'(x) & = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \\ k'(0) & = f'(0)g(0)+f(0)g'(0) \\ & = (-4)(2)+(1)(1) \\ & = -8+1=-7 \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -7$
4. Soal UMB 2008 Kode 270 |*Soal Lengkap
Jika $f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{x}+1$, maka $f' \left( \dfrac{1}{2} \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f(x) &= \dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{x}+1 \\ &= x^{-2}-x^{-1}+1 \\ f'\left( x \right) &= -2x^{-2-1}-(-1)x^{-1-1}+0 \\ &= -2x^{-3}+x^{-2} \\ f'\left( \dfrac{1}{2} \right) &= -2\left( \dfrac{1}{2} \right)^{-3}+\left( \dfrac{1}{2} \right)^{-2} \\ &= -2\left( 2^{-1} \right)^{-3}+\left( 2^{-1} \right)^{-2} \\ &= -2\left( 2^{3} \right) +\left( 2^{2} \right) \\ &= -16 + 4 \\ &= -12 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -12 $
5. Soal UNBK Matematika IPA 2018 |*Soal Lengkap
Diketahui $g(x)=3-x$ dengan $f(x)=6x^{2}+3x-9$. Jika $h(x)=f(x) \cdot g(x)$, turunan pertama dari $h(x)$ adalah $h'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Turunan pertama dari $h(x)=f(x) \cdot g(x)$ adalah:
$ \begin{align}
h(x) & = f(x) \cdot g(x) \\
h'(x) & = f'(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g'(x) \\
& =(12x+3)(3-x)+(6x^{2}+3x-9)(-1) \\
& =36x+9-12x^{2}-3x-6x^{2}-3x+9 \\
& =-18x^{2}+30x+18
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -18x^{2}+30x+18$
6. Soal SPMB 2004 Regional I |*Soal Lengkap
Turunan pertama dari fungsi $f(x)=\left( x-1 \right)^{2} \left( x+1 \right)$ adalah $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menentukan turunan pertama fungsi $f(x)=\left( x-1 \right)^{2} \left( x+1 \right)$ kita kerjakan dengan aturan $f(x)=u \cdot v$ maka $f'(x)=u' \cdot v+u \cdot v'$
$\begin{align}
f(x) &= \left( x-1 \right)^{2} \left( x+1 \right) \\
\hline
u &= \left( x-1 \right)^{2} \rightarrow u'=2\left( x-1 \right) \\
v &= \left( x+1 \right) \rightarrow v'=1 \\
\hline
f'(x) &= u' \cdot v + u \cdot v' \\
&= 2\left( x-1 \right) \left( x+1 \right)^{2}+\left( x-1 \right)^{2}\left( 1 \right) \\
&= 2\left( x^{2}-1 \right) + x^{2}-2x+1 \\
&= 2x^{2}-2+x^{2}-2x+1 \\
&= 3x^{2}-2x-1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3x^{2}-2x-1$
7. Soal UM UGM 2005 Kode 821 |*Soal Lengkap
Turunan pertama dari $f(x)=\dfrac{x^{2}-7}{x\sqrt{x}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menentukan turunan pertama fungsi $f(x)$ di atas kita kerjakan dengan aturan $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)}$
$\begin{align}
f(x) &= \dfrac{x^{2}-7}{x\sqrt{x}} \\
&= \dfrac{x^{2}-7}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}} \\
&= \dfrac{x^{2}-7}{x^{\frac{3}{2}}} \\
\hline
u &= x^{2}-7 \rightarrow u'=2x \\
v &= x^{\frac{3}{2}} \rightarrow v'=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} \\
\hline
f'(x) &= \dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)} \\
&= \dfrac{2x \cdot x^{\frac{3}{2}}- \left( x^{2}-7 \right) \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} }{\left( x^{\frac{3}{2}} \right)^{2}} \\
&= \dfrac{2x^{\frac{5}{2}}- \frac{3}{2}x^{\frac{5}{2}}+\frac{21}{2}x^{\frac{1}{2}} }{x^{3}} \\
&= \dfrac{\frac{1}{2}x^{\frac{5}{2}}+\frac{21}{2}x^{\frac{1}{2}} }{x^{3}} \\
&= \dfrac{\left(\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} \right )\left (x^{2}+ 21 \right )}{x^{3}} \\
&= \dfrac{\left (x^{2}+ 21 \right )}{2x^{\frac{5}{2}}} \\
&= \dfrac{\left (x^{2}+ 21 \right )}{2x^{2} \sqrt{x}}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{x^{2}+21}{2x^{2}\sqrt{x}}$
8. Soal UNBK Matematika IPS 2018 |*Soal Lengkap
Turunan pertama dari $h(x)=(-x+1)^{3}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Turunan pertama dari $h(x)= \left[ f(x) \right]^{n}$ adalah $h'(x)= n \cdot \left[ f(x) \right]^{n-1} \cdot f'(x)$.
$ \begin{align}
h(x) & = (-x+1)^{3} \\
h'(x) & = 3(-x+1)^{3-1} (-1) \\
& = -3(-x+1)^{2}\\
& = -3(x^{2}-2x+1)\\
& = -3x^{2}+6x-3
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3x^{2}+6x-3$
9. Soal SNMPTN 2007 Kode 541 |*Soal Lengkap
Turunan pertama fungsi $y=\dfrac{2}{\sqrt{\left( 3x^{2}+5 \right)^{3}}}$ adalah $y'=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menentukan turunan pertama fungsi $y$ di atas kita kerjakan dengan aturan $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)}$
$\begin{align}
y &= \dfrac{2}{\sqrt{\left( 3x^{2}+5 \right)^{3}}} \\
&= \dfrac{2}{ \left( 3x^{2}+5 \right)^{\frac{3}{2}}} \\
\hline
u &= 2 \rightarrow u'=0 \\
v &= \left( 3x^{2}+5 \right)^{\frac{3}{2}} \\
v' &= \frac{3}{2} \left( 3x^{2}+5 \right)^{\frac{1}{2}}\left( 6x \right)= 9x \left( 3x^{2}+5 \right)^{\frac{1}{2}} \\
\hline
f'(x) &= \dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)} \\
&= \dfrac{0 \cdot \left( 3x^{2}+5 \right)^{\frac{3}{2}}- \left( 2 \right) \cdot 9x \left( 3x^{2}+5 \right)^{\frac{1}{2}}}{\left (\left( 3x^{2}+5 \right)^{\frac{3}{2}} \right )^{2}} \\
&= \dfrac{ - 18x \left( 3x^{2}+5 \right)^{\frac{1}{2}}}{\left ( 3x^{2}+5 \right)^{3}} \\
&= \dfrac{ - 18x}{\left ( 3x^{2}+5 \right)^{\frac{5}{2}}} \\
&= \dfrac{ - 18x}{\sqrt{\left(3x^{2}+5 \right)^{5}}}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{-18x}{\sqrt{\left( 3x^{2}+5 \right)^{5}}} $
10. Soal SBMPTN 2014 Kode 651 |*Soal Lengkap
Diketahui $f(0)=1$ dan $f'(0)=2$. Jika $g(x)=\dfrac{1}{\left( 2f(x)-1 \right)^{3}}$ maka $g'(0)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} g(x) &=\dfrac{u}{v} \\ g'(x) &=\dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ g (x) &=\dfrac{1}{\left( 2f(x)-1 \right)^{3}} \\ g'(x) &=\dfrac{0-1 \cdot 3\left( 2f(x)-1 \right)^{3-1} \cdot 2f'(x) }{\left( 2f(x)-1 \right)^{6}} \\ &=\dfrac{-6f'(x) \cdot \left( 2f(x)-1 \right)^{2} }{\left( 2f(x)-1 \right)^{6}} \\ g'(0) &=\dfrac{-6f'(0) \cdot \left( 2f(0)-1 \right)^{2} }{\left( 2f(0)-1 \right)^{6}} \\ &=\dfrac{-6 (2) \cdot \left( 2 (1)-1 \right)^{2} }{\left( 2 (1)-1 \right)^{6}} \\ &=\dfrac{-12 }{1}=-12 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -12$
11. Soal SNMPTN 2008 Kode 301 |*Soal Lengkap
Jika $f(x)=\dfrac{bx-a}{x+b}$, memenuhi $f \left( 1 \right)=1$ dan $f' \left( 1 \right)=2$, maka $f \left( 2 \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari $f \left( 1 \right)=1$ kita peroleh:
$\begin{align}
f(x) &=\dfrac{bx-a}{x+b} \\
f(1) &=\dfrac{b(1)-a}{1+b} \\
1 &=\dfrac{b-a}{1+b} \\
1+b &= b-a \\
-1 &= a
\end{align}$
Dengan bantuan aturan $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)}$ kita peroleh:
$\begin{align}
f(x) &= \dfrac{bx-a}{x+b} \\
&= \dfrac{bx+1}{x+b} \\
\hline
u &= bx+1 \rightarrow u'=b \\
v &= x+b \rightarrow v'=1 \\
\hline
f'(x) &= \dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)} \\
&= \dfrac{b \cdot \left( x+b \right)- \left( bx+1 \right) \cdot 1 }{\left( x+b \right)^{2}} \\
&= \dfrac{bx +b^{2} - bx-1 }{\left( x+b \right)^{2}} \\
&= \dfrac{b^{2}-1 }{\left( x+b \right)^{2}} \\
f'(1) &= \dfrac{b^{2}-1 }{\left( 1+b \right)^{2}} \\
2 &= \dfrac{b^{2}-1 }{\left( 1+b \right)^{2}} \\
2 &= \dfrac{\left( b -1 \right)\left( b +1 \right) }{\left( 1+b \right)^{2}} \\
2 &= \dfrac{\left( b -1 \right) }{\left( 1+b \right) } \\
2b+2 &= b -1 \\
b &= -3
\end{align}$
Untuk $a=-1$ dan $b=-3$ kita peroleh:
$\begin{align}
f(x) &=\dfrac{bx-a}{x+b} \\
&=\dfrac{-3x+1}{x-3} \\
f(2) &=\dfrac{-3(2)+1}{2-3} \\
&=\dfrac{-5}{-1}=5 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 5 $
12. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 |*Soal Lengkap
Jika $f(x)= \dfrac{ax+b}{x^{2}+1}$ dengan $f(0)=f'(0)$ dan $f'(-1)=1$, maka $a+b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan bantuan aturan $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)}$ kita peroleh:
$\begin{align}
f(x) &= \dfrac{ax+b}{x^{2}+1} \\
\hline
u &= ax+b \rightarrow u'=a \\
v &= x^{2}+1 \rightarrow v'=2x \\
\hline
f'(x) &= \dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)} \\
&\dfrac{a \cdot \left( x^{2}+1 \right) -(ax+b) \cdot 2x }{\left( x^{2}+1 \right)^{2}} \\
&=\dfrac{ax^{2}+a -2ax^{2}-2bx }{\left( x^{2}+1 \right)^{2}} \\
\hline
f'(0) &=\dfrac{a(0)^{2}+a -2a(0)^{2}-2b(0) }{\left( (0)^{2}+1 \right)^{2}} \\
&=\dfrac{ a }{1}=a \\
\hline
f'(-1) &=\dfrac{a(-1)^{2}+a -2a(-1)^{2}-2b(-1) }{\left( (-1)^{2}+1 \right)^{2}} \\
1 &=\dfrac{a +a -2a +2b}{4} \\
4 &= 2b \\
2 &= b
\end{align}$
Untuk $b=2$ dan $f(0)=f'(0)=a$ kita peroleh:
$\begin{align}
f(x) &= \dfrac{ax+b}{x^{2}+1} \\
f(0) &= \dfrac{a(0)+2}{(0)^{2}+1} \\
a &= \dfrac{2}{1} \\
a &= 2 \\
\hline
a+b &= 2+2 =4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4 $
13. Soal SBMPTN 2014 Kode 677 |*Soal Lengkap
Jika $m$ dan $n$ bilangan real dan fungsi $f(x)=mx^{3}+2x^{2}-nx+5$ memenuhi $f'(1)=f'(-5)=0$, maka $3m-n=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f(x) &= mx^{3}+2x^{2}-nx+5 \\ f'(x) &= 3mx^{2}+4x -n \\ f'(1) &= 3m(1)^{2}+4(1) -n \\ 0 &= 3m +4-n \ \ \cdots(1)\\ f'(-5) &= 3m(-5)^{2}+4(-5) -n \\ 0 &= 75m-20-n \cdots(2)\\ \end{align}$
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
3m+4-n = 0 & \\
75m-20-n = 0 & (-)\\
\hline
-72m = 24 \\
m = \dfrac{24}{-72}=-\dfrac{1}{3} \\
n = 3\\
\hline
3m-n =3 \left( -\dfrac{1}{3} \right) - 3 \\
3m-n =-1-3=-4
\end{array} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -4$
14. Soal Matematika Dasar SIMAK UI 2019 Kode 539 |*Soal Lengkap
Jika $f$ dan $g$ adalah fungsi yang dapat diturunkan di $R$ sehingga $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) \left(g(x)-g(x+h) \right)}{k^{2}h}=\dfrac{x-1}{k}$ dan $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{g(x) \left(f(x)-f(x+h) \right)}{\left( k^{2}-1 \right)h}=\dfrac{x-1}{k+1}$ untuk $k \gt 0$, maka...
- $\left(fg \right)'(0)=2k-1 $
- $ \left(fg \right)'(c)=(2k-1)(c-1) $
- $ \left(fg \right)'(x+1)=(1-2k)x $
- $ \left(fg \right)'\left(x^{2} \right)=(2k-1)(x^{2}-1) $
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) \left(g(x)-g(x+h) \right)}{k^{2}h} &= \dfrac{x-1}{k} \\ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-f(x+h) \left(g(x+h)-g(x) \right)}{k^{2}h} &= \dfrac{x-1}{k} \\ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-f(x+h)}{k^{2}} \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} &= \dfrac{x-1}{k} \\ \dfrac{-f(x+0)}{k^{2}} \cdot g'(x) &= \dfrac{x-1}{k} \\ \dfrac{-f(x)}{k^{2}} \cdot g'(x) &= \dfrac{x-1}{k} \\ -f(x) \cdot g'(x) &= k^{2} \cdot \dfrac{x-1}{k} \\ f(x) \cdot g'(x) &= -k \cdot (x-1) \end{align}$
$\begin{align} \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{g(x) \left(f(x)-f(x+h) \right)}{\left( k^{2}-1 \right)h} &= \dfrac{x-1}{k+1} \\ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-g(x) \left(f(x+h)-f(x) \right)}{\left( k^{2}-1 \right)h} &= \dfrac{x-1}{k+1} \\ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-g(x)}{\left( k^{2}-1 \right)} \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} &= \dfrac{x-1}{k+1} \\ \dfrac{-g(x)}{\left( k^{2}-1 \right) } \cdot f'(x) &= \dfrac{x-1}{k+1} \\ -g(x) \cdot f'(x) &= \left( k^{2}-1 \right) \cdot \dfrac{x-1}{k+1} \\ g(x) \cdot f'(x) &= -\left( k-1 \right)\left( x-1 \right) \end{align}$
Pernyataan $(1)$
$\begin{align}
\left(fg \right)'(0) &= f'(0) \cdot g(0) +f(0) \cdot g'(0) \\
&= -(0-1) \cdot (k-1) -(0-1)k \\
&= k-1 +k \\
&= 2k-1
\end{align}$
Pernyataan $(2)$
$\begin{align}
\left(fg \right)'(c) &= f'(c) \cdot g(c) +f(c) \cdot g'(c) \\
&= -(c-1) \cdot (k-1) -(c-1)k \\
&= -(c-1) \cdot (k-1+k) \\
&= -(c-1) \cdot (2k-1)
\end{align}$
Pernyataan $(3)$
$\begin{align}
\left(fg \right)'(x+1) &= f'(x+1) \cdot g(x+1) +f(x+1) \cdot g'(x+1) \\
&= -(x+1-1) \cdot (k-1) -(x+1-1)k \\
&= -x \cdot (k-1) -(x)k \\
&= -x \cdot (k-1+k) \\
&= -x \cdot (2k-1) \\
&= x \cdot (1-2k) \\
\end{align}$
Pernyataan $(4)$
$\begin{align}
\left( fg \right)' \left( x^{2} \right) &= f'\left( x^{2} \right) \cdot g\left( x^{2} \right) +f\left( x^{2} \right) \cdot g'\left( x^{2} \right) \\
&= -\left( x^{2}-1 \right) \cdot \left( k-1 \right) - \left( x^{2}-1 \right) \cdot k \\
&= -\left( x^{2}-1 \right) \left( k-1+k \right) \\
&= -\left( x^{2}-1 \right) \left( 2k-1 \right)
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ (1)(3)\ \text{Benar}$
15. Soal SIMAK UI 2011 Kode 212 |*Soal Lengkap
Diketahui fungsi $f$ dan $g$ dengan $f'(2)=3$ dan $g'(2)=4$. Jika pada saat $x=2$, turunan dari $\left(f \cdot g \right)(x)$ adalah $11$ dan turunan dari $\left(f^{2}+g^{2} \right)(x)$ adalah $20$, maka turunan dari $\left( \dfrac{f}{g} \right)(x)$ saat $x=2$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Kita ketahui bahwa, jika $f(x)=u(x) \cdot v(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)$. Dari apa yang disampaikan pada soal bahwa pada saat $x=2$ turunan dari $\left(f \cdot g \right)(x)$ adalah $11$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\left(f \cdot g \right)'(x) & = f'(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g'(x) \\
\left(f \cdot g \right)'(2) & = f'(2) \cdot g(2)+f(2) \cdot g'(2) \\
11 & = 3 \cdot g(2)+f(2) \cdot 4 \\
11 & = 3g(2)+4f(2)
\end{align}$
Kita ketahui bahwa, jika $f(x)= u^{n}(x)$ maka $f'(x)=n \cdot u^{n-1}(x) \cdot u'(x)$. Dari apa yang disampaikan pada soal bahwa pada saat $x=2$ turunan dari $\left(f^{2}+g^{2} \right)(x)$ adalah $20$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\left(f^{2}+g^{2} \right)'(x) & = 2f(x) \cdot f'(x)+2g(x) \cdot g'(x) \\
\left(f^{2}+g^{2} \right)'(2) & = 2f(2) \cdot f'(2)+2g(2) \cdot g'(2) \\
20 & = 2f(2) \cdot 3+2g(2) \cdot 4 \\
20 & = 6f(2) +8g(2) \\
10 & = 3f(2) +4g(2)
\end{align}$
$\begin{array}{c|c|cc} 3f(2) +4g(2) = 10 & \times 4 \\ 4f(2)+3g(2) = 11 & \times 3 \\ \hline 12f(2) + 16g(2) = 40 & \\ 12f(2)+9g(2) = 33 & (-)\\ \hline 7g(2) = 7 & \\ g(2) = 1 & \\ \hline 10 = 3f(2) +4g(2) & \\ 10 = 3f(2) +4(1) & \\ f(2) = 2 \end{array} $
Untuk $g(2) = 1$ dan $f(2) = 2$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
\left( \dfrac{f}{g} \right)'(x) & = \dfrac{f'(x) \cdot g(x)-f(x) \cdot g'(x)}{g^{2}(x)} \\
\left( \dfrac{f}{g} \right)'(2) & = \dfrac{f'(2) \cdot g(2)-f(2) \cdot g'(2)}{g^{2}(2)} \\
& = \dfrac{3 \cdot 1-2 \cdot 4}{1^{2}} \\
& = \dfrac{3 - 8}{1} \\
& = -5
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -5$
16. Soal SIMAK UI 2010 Kode 206 |*Soal Lengkap
Misalkan fungsi $f:R \rightarrow R$ didefinisikan dengan $f \left( 2x-3 \right)=4x^{2}+2x-5$ dan $f'$ adalah turunan pertama dari $f$. Hasil dari $f' \left( 2x-3 \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Pada fungsi $f \left( 2x-3 \right)=4x^{2}+2x-5$ ruas kiri dan kanan kita turunkan terhadap $x$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\dfrac{d}{dx} \left( f \left( 2x-3 \right) \right) & = \dfrac{d}{dx}\left( 4x^{2}+2x-5 \right) \\
f' \left( 2x-3 \right) \cdot 2 & =8x +2 \\
f' \left( 2x-3 \right) & = \dfrac{8x+2}{2} \\
& = 4x+1 \\
\end{align}$
Dengan cara lain sewaktu belajar komposisi fungsi, turunan fungsi di atas dapat kita kerjakan dengan cara pada fungsi $f \left( 2x-3 \right)=4x^{2}+2x-5$ menggunakan manipulasi aljabar kita usahakan variabelnya menjadi $\left( 2x-3 \right)$.
$\begin{align}
f \left( 2x-3 \right) & = 4x^{2}+2x-5 \\
& = \left( 2x-3 \right)^{2}+12x-9+2x-5 \\
& = \left( 2x-3 \right)^{2}+14x-14 \\
& = \left( 2x-3 \right)^{2}+7\left( 2x-3 \right)+21-14 \\
& = \left( 2x-3 \right)^{2}+7\left( 2x-3 \right)+7 \\
f' \left( 2x-3 \right) & = 2\left( 2x-3 \right) +7 \\
& = 4x-6 +7 \\
& = 4x+1
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4x+1$
17. Soal UNBK Matematika IPA 2018 |*Soal Lengkap
Fungsi $f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x-7$ turun pada interval...
Alternatif Pembahasan:
Syarat suatu fungsi akan turun adalah turunan pertama kurang dari nol,
turunan pertama $f(x)$ adalah $f'(x)=3x^2+6x-9$
$ \begin{align}
f'(x) & \lt 0 \\
3x^2+6x-9 & \lt 0 \\
x^2+2x-3 & \lt 0 \\
(x+3)(x-1) & \lt 0 \\
\text{diperoleh pembuat nol} & \\
x =-3\ \text{atau}\ x =1 &
\end{align} $
Kesimpulan fungsi $f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x-7$ turun pada interval $-3 \lt x \lt 1$
Warning!
Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -3 \lt x \lt 1$
18. Soal UNBK Matematika IPS 2018 |*Soal Lengkap
Grafik fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-120x+15$ naik untuk $x$ yang memenuhi...
Alternatif Pembahasan:
Syarat suatu grafik fungsi akan naik adalah turunan pertama lebih dari nol,
turunan pertama $f(x)$ adalah $f'(x)=6x^{2}-6x -120$
$ \begin{align}
f'(x) & \gt 0 \\
6x^{2}-6x -120 & \gt 0 \\
x^{2}-x -20 & \gt 0 \\
(x-5)(x+4) & \gt 0 \\
\text{diperoleh pembuat nol} \\
x =5\ \text{atau}\ x =-4 &
\end{align} $
Kesimpulan fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-120x+15$ naik pada interval $x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 5$
Warning!
Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 5$
19. Soal SPMB 2004 Regional III |*Soal Lengkap
Grafik fungsi $f(x)=\dfrac{1}{6}x^{3}-3x^{2}$ naik untuk nilai $x$ yang memenuhi...
Alternatif Pembahasan:
Syarat suatu grafik fungsi $f(x)$ akan naik adalah saat $f'(x) \gt 0$
$ \begin{align}
f(x) &= \dfrac{1}{6}x^{3}-3x^{2} \\
f'(x) &= \dfrac{1}{2}x^{2}-6x \\
\hline
f'(x) & \gt 0 \\
\dfrac{1}{2}x^{2}-6x & \gt 0 \\
x^{2}-12x & \gt 0 \\
(x)(x-12) & \lt 0 \\
\text{diperoleh pembuat nol} & \\
x =0\ \text{atau}\ x =12 &
\end{align} $
Kesimpulan fungsi $f(x)=\dfrac{1}{6}x^{3}-3x^{2}$ naik pada interval $x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 12$
Warning!
Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 12$
20. Soal SPMB 2006 Kode 411 |*Soal Lengkap
Grafik $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x+7$ turun untuk $x$ yang memenuhi...
Alternatif Pembahasan:
Syarat suatu fungsi $f(x)$ akan turun adalah saat $f'(x) \lt 0$
$ \begin{align}
f(x) &= 2x^{3}-3x^{2}-12x+7 \\
f'(x) &= 6x^{2}-6x -12 \\
\hline
f'(x) & \lt 0 \\
6x^{2}-6x -12 & \lt 0 \\
x^{2}- x -2 & \lt 0 \\
(x-2)(x+1) & \lt 0 \\
\text{diperoleh pembuat nol} & \\
x =2\ \text{atau}\ & x =-1
\end{align} $
Kesimpulan fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x+7$ turun pada interval $-1 \lt x \lt 2$
Warning!
Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1 \lt x \lt 2$
21. Soal UM UGM 2005 Kode 821 |*Soal Lengkap
Jika diberikan fungsi $f$ dengan rumus $f(x)=x\sqrt{x+1}$ maka daerah dengan fungsi $f$ naik adalah...
Alternatif Pembahasan:
Syarat suatu fungsi $f(x)$ akan naik adalah saat $f'(x) \gt 0$
$ \begin{align} f(x) &= x\sqrt{x+1} \\ &= x \left(x+1 \right)^{\frac{1}{2}} \\ \hline u &= x \rightarrow u'= 1\\ v &= \left(x+1 \right)^{\frac{1}{2}} \rightarrow v'=\dfrac{1}{2}\left(x+1 \right)^{-\frac{1}{2}} \\ \hline f'(x) &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ &= \left( 1 \right)\left( \left(x+1 \right)^{\frac{1}{2}} \right)+\left( x \right)\left(\dfrac{1}{2} \left(x+1 \right)^{-\frac{1}{2}} \right) \\ &= \left(x+1 \right)^{\frac{1}{2}} + \dfrac{x}{2} \left(x+1 \right)^{-\frac{1}{2}} \\ &= \left(x+1 \right)^{\frac{1}{2}} + \dfrac{x}{2\left(x+1 \right)^{\frac{1}{2}}} \\ &= \dfrac{2 \left(x+1 \right)+x}{2\left(x+1 \right)^{\frac{1}{2}}} \\ &= \dfrac{3x+2}{2\left(x+1 \right)^{\frac{1}{2}}} \\ \hline f'(x) & \gt 0 \\ \dfrac{3x+2}{2\left(x+1 \right)^{\frac{1}{2}}} & \gt 0 \\ \dfrac{3x+2}{2\sqrt{x+1}} & \gt 0 \\ \end{align} $
Untuk setiap $x$ bilangan real, hasil dari $2\sqrt{x+1}$ adalah bilangan real positif, sehingga agar $\dfrac{3x+2}{2\sqrt{x+1}} \gt 0$ atau $\dfrac{3x+2}{(+)} \gt 0$ maka $3x+2$ harus bilangan real postif. Dapat kita tuliskan $3x+2 \gt 0$ atau $ x \gt -\dfrac{2}{3}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x \gt -\dfrac{2}{3}$
22. Soal SPMB 2004 Regional I |*Soal Lengkap
Fungsi $f(x)=\dfrac{x^{2}+3}{x-1}$ turun untuk nilai $x$ yang memenuhi...
Alternatif Pembahasan:
Syarat suatu fungsi $f(x)$ akan turun adalah saat $f'(x) \lt 0$
$ \begin{align} f(x) &= \dfrac{x^{2}+3}{x-1} \\ \hline u &= x^{2}+3 \rightarrow u'=2x \\ v &= x-1 \rightarrow v'=1 \\ \hline f'(x) &= \dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)} \\ &= \dfrac{\left( 2x \right) \cdot \left( x-1 \right)- \left( x^{2}+3 \right) \cdot \left( 1 \right) }{\left( x-1 \right)^{2}} \\ &= \dfrac{ 2x^{2}-2x - x^{2}-3 }{\left( x-1 \right)^{2}} \\ &= \dfrac{ x^{2}-2x -3 }{\left( x-1 \right)^{2}} \\ &= \dfrac{ \left( x-3 \right)\left( x+1 \right) }{\left( x-1 \right)^{2}} \\ \hline f'(x) & \lt 0 \\ \dfrac{ \left( x-3 \right)\left( x+1 \right) }{\left( x-1 \right)^{2}} & \lt 0 \end{align} $
Untuk mendapatkan nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan kita lakukan uji titik dengan batasan nilai $x$, pembuat nol pada pembilang dan pembuat nol pada penyebut yaitu $x=-1$, $x=1$ dan $x=3$
Dari hasil di atas kita peroleh $\dfrac{ \left( x-3 \right)\left( x+1 \right) }{\left( x-1 \right)^{2}} \lt 0$ saat $-1 \lt x \lt 1$ atau $1 \lt x \lt 3$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -1 \lt x \lt 1\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt 3$
23. Soal SPMB 2004 Regional III |*Soal Lengkap
Fungsi $f(x)=4x^{3}-9x^{2}-12x+1$ turun untuk nilai $x$ yang memenuhi...
Alternatif Pembahasan:
Syarat suatu fungsi $f(x)$ akan turun adalah saat $f'(x) \lt 0$
$ \begin{align}
f(x) &= 4x^{3}-9x^{2}-12x+1 \\
f'(x) &= 12x^{2}-18x -12 \\
\hline
f'(x) & \lt 0 \\
12x^{2}-18x -12 & \lt 0 \\
2x^{2}-3x-2 & \lt 0 \\
(2x+1)(x-2) & \lt 0 \\
\text{diperoleh pembuat nol} & \\
x =-\dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ x =2 &
\end{align} $
Kesimpulan fungsi $f(x)=4x^{3}-9x^{2}-12x+1$ turun pada interval $-\dfrac{1}{2} \lt x \lt 2$
Warning!
Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -\dfrac{1}{2} \lt x \lt 2$
24. Soal SPMB 2006 Kode 310 |*Soal Lengkap
Grafik $y=2x^{3}-\frac{5}{2}x^{2}-6x+5$ naik untuk $x$ yang memenuhi...
Alternatif Pembahasan:
Syarat suatu grafik fungsi $f(x)$ akan naik adalah saat $f'(x) \gt 0$
$ \begin{align}
f(x) &= 2x^{3}-\dfrac{5}{2}x^{2}-6x+5 \\
f'(x) &= 6x^{2}-5x-6 \\
\hline
f'(x) & \gt 0 \\
6x^{2}-5x-6 & \gt 0 \\
\left(2x-3 \right) \left(3x+2 \right) & \lt 0 \\
\text{diperoleh pembuat nol} & \\
x =\dfrac{3}{2}\ \text{atau}\ x =-\dfrac{2}{3} &
\end{align} $
Kesimpulan fungsi $f(x)=2x^{3}-\dfrac{5}{2}x^{2}-6x+5$ naik pada interval $x \lt -\dfrac{2}{3}\ \text{atau}\ x \gt \dfrac{3}{2}$
Warning!
Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x \lt -\dfrac{2}{3}\ \text{atau}\ x \gt \dfrac{3}{2}$
25. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap
Grafik fungsi $f(x)=x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-18x+5$ naik pada interval...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menentukan interval nilai $x$ agar fungsi $f(x)=x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-18x+5$ naik kita cukup menentukan interval niLai $x$ yang memenuhi saat $f'(x) \gt 0$.
$\begin{align}
f(x) = & x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-18x+5 \\
f'(x)= & 3x^{3-1}-2 \cdot \frac{3}{2}x^{2-1} -18 \\
f'(x)= & 3x^{2}-3x -18 \\
\hline
f'(x) & \gt 0 \\
3x^{2}-3x -18 & \gt 0 \\
3(x^{2}- x -6) & \gt 0 \\
3(x-3)(x+2) & \gt 0 \\
\end{align}$
Nilai $x$ yang memenuhi adalah $x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 3$
Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 3$
26. Soal SIMAK UI 2009 Kode 911 |*Soal Lengkap
Jika kurva $y= \left(x^{2}-a \right)\left( 2x+b \right)^{3}$ turun pada interval $-1 \lt x \lt \frac{2}{5}$, maka nilai $ab=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menentukan turunan pertama kita pakai pakai aturan $y=u \cdot v$ maka $y'=u' \cdot v+u \cdot v'$
$\begin{align}
y & = \left(x^{2}-a \right)\left( 2x+b \right)^{3} \\
\hline
u &= \left(x^{2}-a \right) \rightarrow u'=2x \\
v &= \left( 2x+b \right)^{3} \rightarrow v'=6\left( 2x+b \right)^{2} \\
\hline
y' &= u' \cdot v + u \cdot v' \\
&= \left( 2x \right) \cdot \left( 2x+b \right)^{3}+\left(x^{2}-a \right) \cdot 6\left( 2x+b \right)^{2} \\
&= \left( 2x+b \right)^{2} \left[ 2x \cdot \left( 2x+b \right) +6 \left(x^{2}-a \right) \right] \\
&= \left( 2x+b \right)^{2} \left( 4x^{2}+2bx+6x^{2}-6a \right) \\
&= \left( 2x+b \right)^{2} \left( 10x^{2}+2bx-6a \right)
\end{align}$
Dikatakan pada soal bahwa kurva turun sehingga berlaku:
$\begin{align}
y' & \lt 0 \\
\left( 2x+b \right)^{2} \left( 10x^{2}+2bx-6a \right) & \lt 0 \\
2\left( 2x+b \right)^{2} \left( 5x^{2}+ bx-3a \right) & \lt 0
\end{align}$
Kita ketahui bahwa $2\left( 2x+b \right)^{2} \geq 0$, maka dari pertidaksamaan di atas berlaku $\left( 5x^{2}+ bx-3a \right) \lt 0$.
Himpunan penyelesaian dari $\left( 5x^{2}+ bx-3a \right) \lt 0$ adalah $-1 \lt x \lt \dfrac{2}{5}$, sehingga berlaku $x \lt \frac{2}{5} \rightarrow (5x-2) \lt 0$ dan $x \lt -1 \rightarrow (x+1) \gt 0$.
Untuk $(5x-2) \lt 0$ dan $(x+1) \gt 0$ maka berlaku:
$\begin{align}
\left( 5x-2 \right) \left( x+1 \right) & \lt 0 \\
5x^{2}+5x-2x-2 & \lt 0 \\
5x^{2}+3x-2 & \lt 0 \\
\hline
5x^{2}+ bx-3a & \lt 0 \\
\hline
b=3\ \text{dan}\ a=\frac{2}{3} & \\
ab & = \frac{2}{3} \cdot 3 \\
& = 2
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$
27. Soal SBMPTN 2014 Kode 631 |*Soal Lengkap
Syarat agar fungsi $f(x)=-x^{3}+\frac{1}{2}ax^{2}-\frac{1}{2}x^{2}-3x+8$ selalu turun untuk semua nilai real $x$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Agar sebuh fungsi $f(x)$ selalu turun maka $f'(x) \lt 0$
$\begin{align}
f(x) &= -x^{3}+\dfrac{1}{2}ax^{2}-\dfrac{1}{2}x^{2}-3x+8 \\
f'(x) &= -3x^{2}+ ax -x-3
\end{align}$
Agar $f(x)$ turun maka $f'(x) \lt 0$ dan agar $f(x)$ selalu turun maka $f'(x)=-3x^{2}+ (a-1)x-3$ selalu kurang dari nol atau dengan kata lain $f'(x)$ adalah definit negatif. Syarat sebuah fungsi $f(x)=px^{2}+qx+r$ definit negatif adalah:
- Koefisien $x^{2}$ bernilai negatif atau $p \lt 0$ sudah memenuhi karena $p=-3$
- Diskriminan $D=b^{2}-4ac$ kurang dari nol,
$\begin{align} q^{2}-4pr & \lt 0 \\ (a-1)^{2}-4(-3)(-3) & \lt 0 \\ a^{2}-2a+1-36 & \lt 0 \\ a^{2}-2a -35 & \lt 0 \\ (a-7)(a+5) & \lt 0 \end{align}$
Dari pertidaksamaan di atas pembuat nol adalah $a=-5$ atau $a=7$, sehingga dengan Cara Kreatif Menentukan HP pertidaksmaan kuadrat kita peroleh $-5\ \lt a \lt 7$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -5\ \lt a \lt 7$
28. Soal UM UGM 2005 Kode 621 |*Soal Lengkap
Batasan nilai $p$ agar fungsi $f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+px^{2}+2px+5$ selalu turun untuk semua nilai $x$ bilangan real adalah...
Alternatif Pembahasan:
Syarat suatu fungsi $f(x)$ akan turun adalah saat $f'(x) \lt 0$
$ \begin{align} f(x) &= -\dfrac{1}{3}x^{3}+px^{2}+2px+5\\ f'(x) &= -x^{2}+2px +2p \end{align} $
Agar $f(x)$ turun maka $f'(x) \lt 0$ dan agar $f(x)$ selalu turun maka $f'(x)=-x^{2}+2px +2p$ selalu kurang dari nol atau dengan kata lain $f'(x)$ adalah definit negatif. Syarat sebuah fungsi $f(x)=ax^{2}+bx+c$ definit negatif adalah:
- Koefisien $x^{2}$ bernilai negatif atau $a \lt 0$ sudah memenuhi karena $a=-1$
- Diskriminan $D=b^{2}-4ac$ kurang dari nol,
$\begin{align} b^{2}-4ac & \lt 0 \\ (2p)^{2}-4(-1)(2p) & \lt 0 \\ 4p^{2}+8p & \lt 0 \\ p^{2}+2p & \lt 0 \\ (p)(p+2) & \lt 0 \end{align}$
Dari pertidaksamaan di atas pembuat nol adalah $p=0$ atau $p=-2$, sehingga dengan Cara Kreatif Menentukan HP pertidaksmaan kuadrat kita peroleh $-2\ \lt p \lt 0$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -2 \lt p \lt 0$
29. Soal SPMB 2005 Regional I |*Soal Lengkap
Pada selang $-1 \leq x \leq 2$, fungsi $y=x^{3}-3x^{2}+3$ mempunyai nilai maksimum...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align}
f(x) & = x^{3}-3x^{2}+3 \\
f'(x) & = 3x^{2}-6x \\
\hline
f'(x) & = 0 \\
0 & = 3x^{2}-6x \\
0 & = x^{2}-2x \\
0 & = \left( x \right) \left( x-2 \right) \\
& \text{diperoleh pembuat nol} \\
& x =0\ \text{atau}\ x =2
\end{align} $
Dari yang kita peroleh di atas maka $f(x)$ akan maksimum/minimum di $x=0$ atau $x=2$
Dengan menggunakan uji turunan kedua kita peroleh:
$\begin{align}
f'(x) & = 3x^{2}-6x \\
f''(x) & = 6x -6 \\
\hline
f''(0) & = 6(0)-6=-6 \lt 0 \\
&\star \text{Nilai maksimum}\ f(0) \\
f''(2) & = 6(2)-6=6 \gt 0 \\
&\star \text{Nilai minimum}\ f(2) \\
\end{align}$
Nilai maksimum $f(0)$ dan Nilai minimum $f(2)$
$\begin{align}
f(x) & = x^{3}-3x^{2}+3 \\
f(0) & = (0)^{3}-3(0)^{2}+3 \\
& = 0 -0 +3 = 3 \\
\hline
f(2) & = (2)^{3}-3(2)^{2}+3 \\
& = 8 - 12 +3 = -1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 3$
30. Soal SPMB 2005 Regional II |*Soal Lengkap
Pada selang $0 \leq x \leq 4$, jarak terjauh dari kurva $f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x$ dengan sumbu $x$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align}
f(x) & = x^{3}-6x^{2}+9x \\
f'(x) & = 3x^{2}-12x+9 \\
\hline
f'(x) & = 0 \\
0 & = 3x^{2}-12x+9 \\
0 & = x^{2}-4x+3 \\
0 & = \left( x-3 \right) \left( x-1 \right) \\
& \text{diperoleh pembuat nol} \\
& x =3\ \text{atau}\ x =1
\end{align} $
Dari yang kita peroleh di atas maka $f(x)$ akan maksimum/minimum di $x=1$ atau $x=3$
Dengan menggunakan uji turunan kedua kita peroleh:
$\begin{align}
f'(x) & = 3x^{2}-12x+9 \\
f''(x) & = 6x -12 \\
\hline
f''(1) & = 6(1)-12=-6 \lt 0 \\
&\star \text{Nilai maksimum}\ f(1) \\
f''(3) & = 6(3)-12=6 \gt 0 \\
&\star \text{Nilai minimum}\ f(3) \\
\end{align}$
Nilai maksimum $f(1)$ dan Nilai minimum $f(3)$
$\begin{align}
f(x) & = x^{3}-6x^{2}+9x \\
f(1) & = (1)^{3}-6(1)^{2}+9(1) \\
& = 1 -6 +9 = 4 \\
\hline
f(3) & = (3)^{3}-6(3)^{2}+9(3) \\
& = 27 - 54 + 27 = 0
\end{align}$
Pada selang $0 \leq x \leq 4$ jarak terjauh kurva sama dengan nilai maksimum atau nilai minimum. Pada kasus ini nilai minimum adalah $0$ dan nilai maksimum adalah $4$, sehingga jaraka terjauh kurva terhadap sumbu $x$ adalah $4$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 4$
31. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap
Jika fungsi $f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x$ dalam interval $-4 \leq x \leq -1$ mempunyai nilai maksimum $a$ dan minimum $b$, maka $a+b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align}
f(x) & = x^{3}+3x^{2}-9x \\
f'(x) & = 3x^{2}+6x -9 \\
\hline
f'(x) & = 0 \\
0 & = 3x^{2}+6x -9 \\
0 & = x^{2}+2x -3 \\
0 & = \left( x+3 \right) \left( x-1 \right) \\
& \text{diperoleh pembuat nol} \\
& x =-3\ \text{atau}\ x =1
\end{align} $
Dari yang kita peroleh di atas maka $f(x)$ akan maksimum/minimum di $x=-3$ atau $x=1$
Dengan menggunakan uji turunan kedua kita peroleh:
$\begin{align}
f'(x) & = 3x^{2}+6x -9 \\
f''(x) & = 6x +6 \\
\hline
f''(-3) & = 6(-3)+6=-12 \lt 0 \\
&\star \text{Nilai maksimum}\ f(-3) \\
f''(1) & = 6(1)+6=12 \gt 0 \\
&\star \text{Nilai minimum}\ f(1) \\
\end{align}$
Nilai maksimum $f(-3)$ dan Nilai minimum $f(1)$
$\begin{align}
f(x) & = x^{3}+3x^{2}-9x \\
f(-3) & = (-3)^{3}+3(-3)^{2}-9(-3) \\
& = -27 +27 + 27 = 27 \\
\hline
f(1) & = (1)^{3}+3(1)^{2}-9(1) \\
& = 1 +3- 9 = -5
\end{align}$
Untuk rentang $-4 \leq x \leq -1$ nilai minimum $f(x)$ adalah saat $x=-1$ karena $f(x)$ turun di $-3 \lt x \lt 1$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
f(x) & = x^{3}+3x^{2}-9x \\
f(-1) & = (-1)^{3}+3(-1)^{2}-9(-1) \\
& = -1+3+9=11
\end{align}$
Dengan nilai maksimum $27$ maka $a=27$ dan nilai minimum $11$ maka $b=11$. Kita peroleh nilai $a+b=27+11=38$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 38$
32. Soal SPMB 2005 Regional II |*Soal Lengkap
Jika fungsi $f(x)=x \left( 12-2x \right)^{2}$ mempunyai nilai maksimum $p$ dan nilai minimum $q$, maka $p-q=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align}
f(x) & = x \left( 12-2x \right)^{2} \\
& = x \left( 4x^{2}-48x+144 \right) \\
& = 4x^{3}-48x^{2}+144x \\
f'(x) & = 12x^{2}-96x +144 \\
\hline
f'(x) & = 0 \\
0 & = 12x^{2}-96x +144 \\
0 & = x^{2}-8x +12 \\
0 & = \left( x-6 \right) \left( x-2 \right) \\
& \text{diperoleh pembuat nol} \\
& x =6\ \text{atau}\ x =2
\end{align} $
Dari yang kita peroleh di atas maka $f(x)$ akan maksimum/minimum di $x=2$ atau $x=6$
Dengan menggunakan uji turunan kedua kita peroleh:
$\begin{align}
f'(x) & = 12x^{2}-96x +144 \\
f''(x) & = 24x -96 \\
\hline
f''(2) & = 24(2)-96=-48 \lt 0 \\
&\star \text{Nilai maksimum}\ f(2) \\
f''(6) & = 24(6)-96=48 \gt 0 \\
&\star \text{Nilai minimum}\ f(6) \\
\end{align}$
Nilai maksimum $f(2)$ dan Nilai minimum $f(6)$
$\begin{align}
f(x) & = x \left( 12-2x \right)^{2} \\ \\
f(2) & = 2 \left( 12-2(2) \right)^{2} \\
& = 2 \left( 8 \right)^{2} = 128 \\
\hline
f(6) & = 6 \left( 12-2(6) \right)^{2} \\ \\
& = 6 \left( 0 \right)^{2} = 0
\end{align}$
Dengan nilai maksimum $128$ maka $p=128$ dan nilai minimum $0$ maka $q=0$. Kita peroleh nilai $p-q=128$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 128$
33. Soal SPMB 2005 Kode 171 |*Soal Lengkap
Jika fungsi $f(x)=2x^{3}-9x^{2}+1$ mencapai maksimum di titik $A$, maka absis titik $A$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align}
f(x) & = 2x^{3}-9x^{2}+1 \\
f'(x) & = 6x^{2}-18x \\
\hline
f'(x) & = 0 \\
0 & = 6x^{2}-18x \\
0 & = x^{2}-3x \\
0 & = \left( x \right) \left( x-3 \right) \\
& \text{diperoleh pembuat nol} \\
& x =0\ \text{atau}\ x =3
\end{align} $
Dari yang kita peroleh di atas maka $f(x)$ akan maksimum/minimum di $x=0$ atau $x=3$
Dengan menggunakan uji turunan kedua kita peroleh:
$\begin{align}
f'(x) & = 6x^{2}-18x \\
f''(x) & = 12x -18 \\
\hline
f''(0) & = 12(0)-18=-18 \lt 0 \\
&\star \text{Nilai maksimum}\ f(0) \\
f''(3) & = 12(3)-18=18 \gt 0 \\
&\star \text{Nilai minimum}\ f(3) \\
\end{align}$
Nilai maksimum adalah $f(0)$ atau saat $x=0$. Dikatakan pada soal $f(x)$ mencapai maksimum di titik $A$, maka absis titik $A$ adalah $0$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 0$
34. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 |*Soal Lengkap
Fungsi $f(x)= x^{4}-2x^{2}+ax+a$ mempunyai nilai minimum $b$ di $x=1$. Nilai $a+b$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Seperti yang kita ketahui bahwa nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align}
f(x) &= x^{4}-2x^{2}+ax+a \\
f'(x) &= 4x^{3}-4x +a
\end{align}$
Karena $f(x)$ nilai minimumnya $b$ di $x=1$ maka $f'(1)=0$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
f'(1) &= 4(1)^{3}-4(1) +a \\
0 &= 4-4 +a \\
0 &= a \\
\hline
f(x) &= x^{4}-2x^{2}+ax+a \\
f(x) &= x^{4}-2x^{2} \\
b=f(1) &= (1)^{4}-2(1)^{2} \\
&= 1-2=-1 \\
\hline
a+b &= 0-1=-1
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1$
35. Soal SPMB 2006 Kode 111 |*Soal Lengkap
Nilai minimum dari $y=x^{4}-6x^{2}-3$ mencapai...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align}
f(x) & = x^{4}-6x^{2}-3 \\
f'(x) & = 4x^{3}-12x \\
\hline
f'(x) & = 0 \\
0 & = 4x^{3}-12x \\
0 & = x^{3}-3x \\
0 & = \left( x \right) \left( x^{2}-3 \right) \\
& \text{diperoleh pembuat nol} \\
& x =0\ \text{atau}\ x =\pm \sqrt{3}
\end{align} $
Dari yang kita peroleh di atas maka $f(x)$ akan maksimum/minimum di $x=0$ atau $x=\pm \sqrt{3}$
Dengan menggunakan uji turunan kedua kita peroleh:
$\begin{align}
f'(x) & = 4x^{3}-12x \\
f''(x) & = 12x^{2}-12 \\
\hline
f''(0) & = 12(0)^{2}-12=-12 \lt 0 \\
&\star \text{Nilai maksimum}\ f(0) \\
f''\left(\pm \sqrt{3} \right) & = 12\left( \sqrt{3} \right)^{2}-12=24 \gt 0 \\
&\star \text{Nilai minimum}\ f\left(\pm \sqrt{3} \right) \\
\end{align}$
Nilai minimum $f\left(\pm \sqrt{3} \right)$ adalah:
$\begin{align}
f(x) & = x^{4}-6x^{2}-3 \\
f\left(\pm \sqrt{3} \right) & = \left(\pm \sqrt{3} \right)^{4}-6\left(\pm \sqrt{3} \right)^{2}-3 \\
& = 9-6(3)-3 \\
& = -12
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -12$
36. Soal SPMB 2004 Regional II |*Soal Lengkap
Fungsi $f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+5$ mencapai...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align}
f(x) & = x^{3}-3x^{2}-9x+5 \\
f'(x) & = 3x^{2}-6x -9 \\
\hline
f'(x) & = 0 \\
0 & = 3x^{2}-6x -9 \\
0 & = x^{2}-2x -3 \\
0 & = \left( x+1 \right) \left( x-3 \right) \\
& \text{diperoleh pembuat nol} \\
& x =-1\ \text{atau}\ x =3
\end{align} $
Dari yang kita peroleh di atas maka $f(x)$ akan maksimum/minimum di $x=-1$ atau $x=3$
Dengan menggunakan uji turunan kedua kita peroleh:
$\begin{align}
f'(x) & = 3x^{2}-6x -9 \\
f''(x) & = 6x -6 \\
\hline
f''(-1) & = 6(-1)-6=-12 \lt 0 \\
&\star \text{Nilai maksimum}\ f(-1) \\
f''(3) & = 6(3)-6=12 \gt 0 \\
&\star \text{Nilai minimum}\ f(3) \\
\end{align}$
Nilai maksimum $f(-1)$ dan Nilai minimum $f(3)$
$\begin{align}
f(x) & = x^{3}-3x^{2}-9x+5 \\
f(-1) & = (-1)^{3}-3(-1)^{2}-9(-1)+5 \\
& = -1 -3 +9 +5 = 10 \\
\hline
f(3) & = (3)^{3}-3(3)^{2}-9(3)+5 \\
& = 27 - 27 -27 +5 = -22
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \text{minimum di}\ \left( 3,-22 \right)$
37. Soal SBMPTN 2016 Kode 217 |*Soal Lengkap
Misalkan $f(x)=a\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{x}}$ mempunyai titik belok di $(4,13)$. Nilai $a+b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini kita gunakan turunan kedua, yaitu untuk menentukan titik belok sebuah fungsi dapat ditentukan dengan aturan titik belok sebuah fungsi yaitu $f''(x)=0$.
$\begin{align}
f(x) &= a\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{x}} \\
f(x) &= a x^{\frac{1}{2}}+ b x^{-\frac{1}{2}} \\
f'(x) &= \dfrac{1}{2} \cdot a x^{-\frac{1}{2}}-\dfrac{1}{2} \cdot b x^{-\frac{3}{2}} \\
f''(x) &= \dfrac{1}{4} \cdot a x^{-\frac{3}{2}}+\dfrac{3}{4} \cdot b x^{-\frac{5}{2}} \\
&= \dfrac{a}{4 \cdot x^{\frac{3}{2}}} -\dfrac{3b}{4 \cdot x^{\frac{5}{2}}} \\
&= \dfrac{a}{4 \cdot x \sqrt{x}}-\dfrac{3b}{4 \cdot x^{2} \sqrt{x}} \\
\end{align}$
Titik belok fungsi adalah $(4,13)$ sehingga saat $x=4$ berlaku $f''(4)=0$:
$\begin{align}
f''(x) &= \dfrac{a}{4 \cdot x \sqrt{x}}-\dfrac{3b}{4 \cdot x^{2} \sqrt{x}} \\
0 &= \dfrac{a}{4 \cdot 4 \sqrt{4}}-\dfrac{3b}{4 \cdot 4^{2} \sqrt{4}} \\
0 &= \dfrac{a}{32}-\dfrac{3b}{128} \\
\dfrac{3b}{128} &= \dfrac{a}{32} \\
\dfrac{3}{4}b &= a
\end{align}$
Fungsi melului titik $(4,13)$, sehingga berlaku $f(4)=13$:
$\begin{align}
f(x) &= a\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{x}} \\
f(4) &= a\sqrt{4}+\dfrac{b}{\sqrt{4}} \\
13 &= 2a +\dfrac{b}{2} \\
13 &= 2 \cdot \dfrac{3b}{4} +\dfrac{b}{2} \\
13 &= \dfrac{3b}{2} +\dfrac{b}{2} \\
13 &= \dfrac{4b}{2} \Rightarrow\ b= \dfrac{13}{2} \\
a &= \dfrac{3}{4} b \\
a &= \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{13}{2} = \dfrac{39}{8} \\
\hline
a+b &= \dfrac{39}{8} + \dfrac{13}{2} \\
&= \dfrac{39}{8} + \dfrac{52}{8} \\
&= \dfrac{91}{8}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{91}{8}$
38. Soal SIMAK UI 2017 Kode 723 |*Soal Lengkap
Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar $2x^{2}-(2c-1)x-c^{3}+4=0$, maka nilai maksimum $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ adalah$\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu meminjam beberapa aturan dari persamaan kuadrat
Jika kita misalkan $M=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ dan kita lakukan manipulasi aljabar sedikit maka akan kita peroleh;
$\begin{align}
M &= x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \\
&= (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1} \cdot x_{2} \\
&= \left (-\dfrac{b}{a} \right )^{2}-2\left (\dfrac{c}{a} \right ) \\
&= \left (\dfrac{2c-1}{2} \right )^{2}-2\left (\dfrac{-c^{3}+4}{2} \right ) \\
&= \dfrac{4c^{2}-4c+1}{4}+c^{3}-4 \\
&= c^{2}-c+\dfrac{1}{4}+c^{3}-4 \\
&= c^{3}+c^{2}-c-3\dfrac{3}{4}
\end{align}$
Untuk mendapatkan pembuat nilai maksimum atau minimum kita cari dari turunan pertama $M'=0$.
$\begin{align}
M &= c^{3}+c^{2}-c-3\dfrac{3}{4} \\
M' &= 3c^{2}+2c-1 \\
3c^{2}+2c-1 &= 0 \\
\dfrac{1}{3}(3c+3)(3c-1) &= 0 \\
\end{align}$
Kita peroleh nilai $c=-1$ dan $c=\dfrac{1}{3}$
Untuk $c=-1$ adalah pembuat maksimum dengan menggunakan uji turunan kedua atau bisa langsung mensubstitusi ke $M=c^{3}+c^{2}-c-3\dfrac{3}{4}$ lalu membandingkan hasilnya untuk $c=\dfrac{1}{3}$.
$\begin{align}
M' &= 3c^{2}+2c-1 \\
M'' &= 6c +2 \\
M'' \left( -1 \right)&= 6(-1)+2=-4 \\
M'' \lt 0 \rightarrow & c=-1\ \text{pembuat maksimum} \\
\hline
M'' \left( \frac{1}{3} \right)&= 6\left( \frac{1}{3} \right) +2=4 \\
M'' \gt 0 \rightarrow & c=\frac{1}{3}\ \text{pembuat minimum} \\
\end{align}$
Nilai maksimum $M$ adalah saat $c=-$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
M &= c^{3}+c^{2}-c-3\frac{3}{4} \\
&= (-1)^{3}+(-1)^{2}-(-1)-3\frac{3}{4} \\
&= -1+1+1-3\frac{3}{4} \\
&= -2\dfrac{3}{4}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -2 \dfrac{3}{4}$
39. Soal SBMPTN 2016 Kode 255 |*Soal Lengkap
Diketahui $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar dari persamaan $x^{2}+5ax+a^{3}-4a+1=0$. Nilai $a$ sehingga $x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}$ maksimum pada interval $[-3,3]$ adalah$\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu meminjam beberapa aturan dari persamaan kuadrat
Jika kita misalkan $N=x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}$ dan kita lakukan manipulasi aljabar sedikit maka akan kita peroleh;
$\begin{align}
N &= x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2} \\
&= x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2} \\
&= -\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a} \\
&= -\dfrac{5a}{1}+\dfrac{a^{3}-4a+1}{1} \\
&= a^{3}-9a+1
\end{align}$
Untuk mendapatkan pembuat nilai maksimum atau minimum kita cari dari turunan pertama $N'=0$.
$\begin{align}
N &= a^{3}-9a+1 \\
N' &= 3a^{2}-9 \\
3a^{2}-9 &= 0 \\
a^{2}-3 &= 0 \\
(a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3}) &= 0
\end{align}$
Kita peroleh nilai $a=-\sqrt{3}$ dan $a=\sqrt{3}$
Untuk $a=-\sqrt{3}$ adalah pembuat maksimum dengan menggunakan uji turunan kedua atau bisa langsung mensubstitusi ke $N=a^{3}-9a+1$ lalu membandingkan hasilnya untuk $a=\sqrt{3}$.
Nilai $a$ sehingga $x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}$ maksimum adalah $-\sqrt{3}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\sqrt{3}$
40. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 |*Soal Lengkap
Jika $f(x)=(x-1)^{\frac{2}{3}}$, maka...
- $ f$ terdefinisi di $x \geq 0 $
- $ f'(2)=\frac{2}{3} $
- $ y=\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}$ adalah garis singgung di $x=2$
- $ f$ selalu mempunyai turunan di setiap titik
Alternatif Pembahasan:
Pembahasan untuk setiap point coba kita jabarkan
- Untuk point $(1)$ pernyataan $f(x)=(x-1)^\dfrac{2}{3}$ terdefinisi di $x \geq 0$ adalah BENAR
Sebuah fungsi dikatakan terdefinisi jika fungsi tersebut mempunyai daerah hasil di himpunan bilangan real. - Untuk point $(2)$ pernyataan $f'(2)=\dfrac{2}{3}$ adalah BENAR
$ \begin{align}
f(x) & = (x-1)^{\frac{2}{3}} \\ f'(x) & = \dfrac{2}{3} (x-1)^{-\dfrac{1}{3}} \\ f'(2) & = \dfrac{2}{3} (2-1)^{-\dfrac{1}{3}} \\ & = \dfrac{2}{3}
\end{align} $ - Untuk point $(3)$ pernyataan $y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3}$ adalah garis singgung di $x=2$ dan $y=(x-1)^\dfrac{2}{3}$ adalah BENAR
$ \begin{align}
m=f'(x) & = \dfrac{2}{3} (x-1)^{-\dfrac{1}{3}} \\ m=f'(2) & = \dfrac{2}{3} (2-1)^{-\dfrac{1}{3}} = \dfrac{2}{3} \\ y-y_{1} & = m \left(x-x_{1} \right) \\ y-1 & = \dfrac{2}{3} (x-2) \\ y & = \dfrac{2}{3}x-\dfrac{4}{3} + 1 \\ y & = \dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3} \\ \end{align} $ - Untuk point $(4)$ pernyataan $f$ selalu mempunyai turunan di setiap titik adalah SALAH, karena $f(x)=(x-1)^{\frac{2}{3}}$ tidak mempunyai nilai turunan ketika $x=1$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ (1),\ (2),\ (3)\ \text{BENAR}$
Catatan 70+ Soal dan Pembahasan Matematika SMA Turunan Fungsi Aljabar di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Tidak ada gunanya IQ Anda tinggi namun malas, tidak miliki disiplin. Yang penting adalah Anda sehat dan mau berkorban untuk masa depan yang cerah.
