Calon guru belajar matematika SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Integral Tak tentu dan Tentu Fungsi Trigonometri. Belajar inetgrl fungsi trigonometri ini pastinya akan lebih mudah diapahmi ketika kita sudah belajar integral fungsi aljabar dan matematika dasar turunan fungsi trigonometri.
Seperti yang kita sampaikan sebelumnya bahwa Integral fungsi dan turunanan fungsi itu ibarat penjumlahan dan pengurangan, jadi jika kita mau belajar integral fungsi trigonometri maka setidaknya kita harus belajar turunan fungsi trigonometri terlebih dahulu.
DEFINISI INTEGRAL FUNGSI TAK TENTU
Ketika akan menyelesaikan persamaan diferensial dari bentuk $\dfrac{dy}{dx}=f(x)$ dapat kita tulis dalam bentuk $dy=f(x)dx$. Secara umum, jika $F(x)$ menyatakan fungsi dalam variabel $x$, dengan $f(x)$ turunan dari $F(x)$ dan $c$ konstanta bilangan real maka integral tak tentu dari $f(x)$ dapat dituliskan dalam bentuk:
\begin{align} \int f(x)dx & = F(x)+c \end{align}
dibaca:"integral fungsi $f(x)$ ke $x$ sama dengan $F(x)+c$"
$\begin{align} \int f(x) & : \text{notasi integral tak tentu} \\ F(x)+c & : \text{fungsi antiturunan} \\ f(x) & : \text{fungsi yang diintegralkan (integran)} \\ c & : \text{konstanta} \\ d(x) & : \text{diferensial (turunan) dari}\ x \end{align}$
ATURAN DASAR INTEGRAL TAK TENTU
- $\int dx= x + c$
- $\int k\ dx= kx + c$
- $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+c,\ n\neq -1$
- $\int k f(x)\ dx=k \int f(x)dx$
- $\int \left[f(x) + g(x) \right]dx=\int f(x)dx + \int g(x)dx$
- $\int \left[f(x) - g(x) \right]dx=\int f(x)dx - \int g(x)dx$
- $\int a^{x} dx= \left (\dfrac{1}{ln\ a} \right )a^{x} + c$
- $\int a^{u(x)} dx= \left (\dfrac{1}{u'(x)\ ln\ a} \right )a^{u(x)} + c$
- $\int \dfrac{1}{x} dx= ln\ \left |x \right | + c$
- $\int \dfrac{1}{u(x)} dx= \dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left |u(x) \right | + c$
- $\int e^{x} dx= e^{x} + c$
- $\int e^{u(x)} dx= \dfrac{1}{u'(x)}e^{u(x)} + c$
ATURAN DASAR INTEGRAL TAK TENTU TRIGONOMETRI
- $\int \sin x\ dx= -\cos x + c$
- $\int \sin u(x)\ dx= -\dfrac{1}{u'(x)}\cos u(x) + c$
- $\int \cos x\ dx= \sin x + c$
- $\int \cos u(x)\ dx= \dfrac{1}{u'(x)}\sin u(x) + c$
- $\int \tan x\ dx= ln\ \left | \sec x \right | + c$
- $\int \tan u(x)\ dx= \dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left | \sec u(x) \right | + c$
- $\int \csc x\ dx= ln\ \left | csc\ x- \cot x \right |+ c$
- $\int \csc u(x)\ dx=\dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left | \csc\ u(x)- \cot u(x) \right | + c$
- $\int \sec x\ dx= ln\ \left | \sec x+ \tan x \right | + c$
- $\int \sec u(x)\ dx=\dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left | \sec u(x)+ \tan u(x) \right | + c$
- $\int \cot x\ dx= ln\ \left | \sin x \right | + c$
- $\int \cot u(x)\ dx=\dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left | \sin u(x) \right | + c$
INTEGRAL PARSIAL
$\int u\ dv=u \cdot v-\int v\ du$
INTEGRAL TENTU
Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ adalah antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka:
$\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$
SIFAT INTEGRAL TENTU
- $\int \limits_{a}^{a}f(x)dx=0$
- $ \int \limits_{a}^{b} k f(x) dx = k \int \limits_{a}^{b} f(x) dx $
- $ \int \limits_{a}^{b} [ f(x) + g(x) ] dx = \int \limits_{a}^{b} f(x) dx + \int \limits_{a}^{b} g(x) dx $
- $ \int \limits_{a}^{b} [ f(x) - g(x) ] dx = \int \limits_{a}^{b} f(x) dx - \int \limits_{a}^{b} g(x) dx $
- $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=-\int \limits_{b}^{a}f(x)dx$
- $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=\int \limits_{a}^{p}f(x)dx+\int \limits_{p}^{b}f(x)dx$
- $\int \limits_{a}^{b} f(x) dx = \int \limits_{a+c}^{b+c} f(x-c) dx$
- $\int \limits_{a}^{b} f(x) dx = \int \limits_{a-c}^{b-c} f(x+c) dx$
- $\int \limits_{a}^{b}f(-x)dx=-\int \limits_{-a}^{-b}f(x)dx$
- Jika $f(x)$ fungsi genap $f(-x)=f(x)$ maka $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =2\int \limits_{0}^{a} f(x)dx $
- Jika $f(x)$ fungsi ganjil $f(-x)=-f(x)$ maka $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =0$
- Jika $f$ periodik dengan periode $p$, maka $\int \limits_{a+p}^{b+p} f(x)dx =\int \limits_{a }^{b } f(x)dx$
"Suatu fungsi $f$ adalah periodik jika terdapat suatu bilangan $p$ sedemikian sehingga $f(x+p)=f(x)$"
Soal dan Pembahasan Matematika SMA Integral Tak tentu dan Tentu Fungsi Trigonometri
Untuk memantapkan beberapa aturan dasar integral fungsi diatas, mari kita coba beberapa soal latihan yang kita pilih secara acak dari soal-soal Ujian Nasional atau seleksi masuk perguruan tinggi negeri atau swasta😊.
1. Soal UN Matematika SMA IPA 2006 |*Soal Lengkap
Nilai $\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x\ dx = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x\ dx \\
& = \left[ -\dfrac{1}{2} \cdot \cos 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\
& = -\dfrac{1}{2} \cdot \left( \left[ \cos 2 \left( \frac{\pi}{2} \right) \right]- \left[ \cos 2 \left( 0 \right) \right] \right) \\
& = -\dfrac{1}{2} \cdot \left( \left[ \cos \pi \right]- \left[ \cos 0 \right] \right) \\
& = -\dfrac{1}{2} \cdot \left( -1 - 1 \right) \\
& = -\dfrac{1}{2} (-2)=1
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$
2. Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 1997 |*Soal Lengkap
Nilai $\int \limits_{\frac{1}{6}\pi}^{\frac{1}{3}\pi} \left( 3\ \cos x - 5\ \sin x\ \right) dx = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
$ \begin{align}
& \int \limits_{\frac{1}{6}\pi}^{\frac{1}{3}\pi} \left( 3\ \cos x - 5\ \sin x\ \right) dx \\
& = \left[ 3 \cdot \sin x + 5 \cdot \cos x \right]_{\frac{1}{6}\pi}^{\frac{1}{3}\pi}\\
& = \left[ 3 \cdot \sin \frac{1}{3}\pi + 5 \cdot \cos \frac{1}{3}\pi \right]- \left[ 3 \cdot \sin \frac{1}{6}\pi + 5 \cdot \cos \frac{1}{6}\pi \right] \\
& = \left[ 3 \cdot \sin 60^{\circ} + 5 \cdot \cos 60^{\circ} \right]- \left[ 3 \cdot \sin 30^{\circ} + 5 \cdot \cos 30^{\circ} \right] \\
& = \left[ 3 \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} + 5 \cdot \dfrac{1}{2} \right]- \left[ 3 \cdot \dfrac{1}{2} + 5 \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \right] \\
& = \left[ \dfrac{3}{2}\sqrt{3} + \dfrac{5}{2} \right]- \left[ \dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{2}\sqrt{3} \right] \\
& = \dfrac{3}{2}\sqrt{3} + \dfrac{5}{2} - \dfrac{3}{2} - \dfrac{5}{2}\sqrt{3} \\
& = 1 - \sqrt{3} \\
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1 - \sqrt{3}$
3. Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 1996 |*Soal Lengkap
Nilai $\int \limits_{-\frac{1}{2}\pi}^{\frac{1}{4}\pi} \left( 2\ \sin x + 6\ \cos x \right) dx = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
$ \begin{align}
& \int \limits_{-\frac{1}{2}\pi}^{\frac{1}{4}\pi} \left( 2\ \sin x + 6\ \cos x \right) dx \\
& = \left[ -2 \cdot \cos x + 6 \cdot \sin x \right]_{-\frac{1}{2}\pi}^{\frac{1}{4}\pi}\\
& =\left[ -2 \cdot \cos \left( \frac{1}{4}\pi \right) + 6 \cdot \sin \left( \frac{1}{4}\pi \right) \right] - \left[ -2 \cdot \cos \left(-\frac{1}{2}\pi \right) + 6 \cdot \sin \left(-\frac{1}{2}\pi \right) \right] \\
& =\left[ -2 \cdot \cos \left( 45^{\circ} \right) + 6 \cdot \sin \left( 45^{\circ} \right) \right] - \left[ -2 \cdot \cos \left(-90^{\circ} \right) + 6 \cdot \sin \left(-90^{\circ} \right) \right] \\
& =\left[ - \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} \right] - \left[ -2 \cdot 0 + 6 \cdot \left( -1 \right) \right] \\
& = \left[ 2 \sqrt{2} \right] - \left[ -6 \right] \\
& = 2 \sqrt{2} + 6 \\
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6 + 2\sqrt{2}$
4. Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 1990 |*Soal Lengkap
Nilai $\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} \left( \sin 3x + \cos 3x \right) dx = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} \left( \sin 3x + \cos 3x \right) dx \\
& = \left[ -\dfrac{1}{3} \cdot \cos 3x + \dfrac{1}{3} \cdot \sin 3x \right]_{0}^{\frac{1}{6}\pi}\\
& =\dfrac{1}{3} \left[ - \cos 3\left( \frac{1}{6}\pi \right) + \sin 3\left( \frac{1}{6}\pi \right) \right] - \dfrac{1}{3} \left[ - \cos 3\left( 0 \right) + \sin 3\left( 0 \right) \right] \\
& =\dfrac{1}{3} \left[ - \cos \left( 90 \right) + \sin \left( 90 \right) \right] - \dfrac{1}{3} \left[ - \cos \left( 0 \right) + \sin \left( 0 \right) \right] \\
& =\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} \\
& = \dfrac{2}{3} \\
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{2}{3}$
5. Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 1990 |*Soal Lengkap
Nilai $\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right)\ \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right)\ dx = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Sedikit catatan trigonometri yaitu $\sin A \cdot \sin B = \dfrac{1}{2} \sin \left( A+B \right) + \dfrac{1}{2}\ \sin \left( A-B \right) $.
Sifat trigonometri di atas kita gunakan untuk menyederahanakan bentuk soal menjadi seperti berikut ini:
$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right)\ \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right)\ dx \\
& = \int \limits_{0}^{30^{\circ}} \sin \left( x + 60^{\circ} \right)\ \cos \left( x + 60^{\circ} \right)\ dx \\
& = \int \limits_{0}^{30^{\circ}} \frac{1}{2} \sin \left( 2x+60^{\circ} \right) + \frac{1}{2} \sin \left( 0 \right)\ dx \\
& = \int \limits_{0}^{30^{\circ}} \frac{1}{2} \sin \left( 2x+120^{\circ} \right) dx \\
& = \frac{1}{2}\ \left[ -\frac{1}{2}\ cos \left( 2x+120^{\circ} \right) \right]_{0}^{30^{\circ}} \\
& = -\frac{1}{4}\ \left[ cos \left( 60^{\circ}+120^{\circ} \right) - cos \left( 0^{\circ}+120^{\circ} \right) \right] \\
& = -\frac{1}{4}\ \left[ cos \left( 180^{\circ} \right) - cos \left( 120^{\circ} \right) \right] \\
& = -\frac{1}{4}\ \left[ -1 - \left( -\dfrac{1}{2} \right) \right] \\
& = -\frac{1}{4} \left[ -\frac{1}{2} \right] = \dfrac{1}{8} \\
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{8}$
6. Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 1988 |*Soal Lengkap
Nilai $\int \sin^{5}\ x\ \cos x\ dx$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Soal integral di atas kita coba selesaikan dengan teknik integral substitusi,
Jika kita misalkan $u=\sin x$ maka $\dfrac{du}{dx}=\cos x$ atau $ du =\cos x\ dx$
Soal integral dapat kita tuliskan menjadi:
$ \begin{align}
& \int \sin^{5}\ x\ \cos x\ dx \\
& = \int \left( \sin x \right)^{5}\ \cos x\ dx \\
& = \int u^{5}\ du \\
& = \dfrac{1}{5+1} \cdot u^{5+1} + C \\
& = \dfrac{1}{6} \cdot u^{6} + C \\
& = \dfrac{1}{6} \cdot \left( \sin x \right)^{6} + C \\
& = \dfrac{1}{6} \cdot \sin^{6}\ x + C \\
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{6} \cdot \sin^{6}\ x\ + C$
7. Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 1990 |*Soal Lengkap
Hasil dari $\int \cos x\ \cos 4x\ dx = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Sedikit catatan trigonometri yaitu $\cos A \cdot \cos B = \dfrac{1}{2}\ cos \left( A+B \right) + \dfrac{1}{2}\ cos \left( A-B \right) $.
Sifat trigonometri di atas kita gunakan untuk menyederahanakan bentuk soal menjadi seperti berikut ini:
$ \begin{align}
& \int \cos x\ \cos 4x\ dx \\
& = \int \dfrac{1}{2}\ cos \left( 5x \right) + \dfrac{1}{2}\ cos \left( 3x \right)\ dx \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{5}\ \sin 5x + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3}\ \sin 3x + C \\
& = \dfrac{1}{10}\ \sin 5x + \dfrac{1}{6}\ \sin 3x + C \\
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{10}\ \sin 5x+\dfrac{1}{6}\ \sin 3x + C$
8. Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 1997 |*Soal Lengkap
Nilai $\int x\ \sin \left(x^{2}+1 \right)\ dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Soal integral di atas kita coba selesaikan dengan teknik integral substitusi,
Jika kita misalkan $u=x^{2}+1 $ maka $\dfrac{du}{dx}=2x$ atau $ du =2x\ dx$
Soal integral dapat kita tuliskan menjadi:
$ \begin{align}
& \int x\ \sin \left(x^{2}+1 \right)\ dx \\
& = \int \sin \left( x^{2}+1 \right)\ x\ dx \\
& = \int \sin \left( u \right)\ \dfrac{1}{2} du \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot \int \sin \left( u \right)\ du \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot -cos \left( u \right) + C \\
& = -\dfrac{1}{2} \cdot cos \left( x^{2}+1 \right) + C \\
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -\dfrac{1}{2}\cos \left(x^{2}+1 \right) + C$
9. Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 2003 |*Soal Lengkap
Nilai dari $\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin \ 5x\ \sin x\ dx = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Sedikit catatan trigonometri yaitu $\sin A \cdot \cos B = -\dfrac{1}{2}\ cos \left( A+B \right)+\dfrac{1}{2}\ cos \left( A-B \right) $.
Sifat trigonometri di atas kita gunakan untuk menyederahanakan bentuk soal menjadi seperti berikut ini:
$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin \ 5x\ \sin x\ dx \\
& = \int \limits_{0}^{45^{\circ}} \left( -\dfrac{1}{2}\ \cos 6x + \dfrac{1}{2}\ \cos 4x \right)\ dx \\
& = \left[ -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{6}\ \sin 6x + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4}\ \sin 4x \right]_{0}^{45^{\circ}} \\
& = \left[ -\dfrac{1}{12} \cdot \sin 270^{\circ} + \dfrac{1}{8} \cdot \sin 180^{\circ} \right]-\left[ -\dfrac{1}{12} \cdot \sin 0^{\circ} + \dfrac{1}{8} \sin 0^{\circ} \right] \\
& = \left[ -\dfrac{1}{12} \cdot (-1) + \dfrac{1}{8} \cdot (0) \right]-\left[ -\dfrac{1}{12} \cdot (0) + \dfrac{1}{8} \cdot (0) \right] \\
& = \dfrac{1}{12} + 0 - \left[ 0 + 0 \right] \\
& = \dfrac{1}{12} \\
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{12} $
10. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 |*Soal Lengkap
Jika $\int \limits_{-4}^{4} f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int \limits_{-2}^{4} f(x) dx = 4$, maka $\int \limits_{-2}^{0} f(x)\ dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Sebuah fungsi dikatakan fungsi genap
- Berlaku $f(-x)=f(x)$
- Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat sumbu $y$
- Jika dipakai pada integral, ciri fungsi genap ini adalah $\int \limits_{-a}^a f(x)dx =2\int \limits_{0}^a f(x)dx $ Silahkan dibuktikan ciri fungsi genap diatas untuk $f(x)=x^{2}$ atau $f(x)=\cos x$
- Berlaku $f(-x)=-f(x)$
- Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat $(0,0)$
- Jika dipakai pada integral, kekhususan fungsi ganjil ini adalah $\int \limits_{-a}^a f(x)dx =0$. Silahkan dibuktikan ciri fungsi ganjil diatas untuk $f(x)=x^{3}$ atau $f(x)=\sin x$.
Kembali kepada soal,
$\begin{split}
& \int \limits_{-4}^{4} f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8\\ & \int \limits_{-4}^{4} \left (f\left (x\right ) \sin x + f\left (x\right ) \right )\ dx = 8\\ & \int \limits_{-4}^{4} f(x) \sin x\ dx + \int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx = 8
\end{split}$
Karena $f(x)$ fungsi genap dan $\sin x$ fungsi ganjil maka $f(x) \sin x$ merupakan fungsi ganjil sehingga berlaku $\int \limits_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx=0$ dan $\int \limits_{-4}^4 f(x)\ dx = 2 \int \limits_{0}^4 f(x)\ dx$.
$\begin{split}
\int \limits_{-4}^{4} f(x) \sin x\ dx + \int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx &= 8\\ 0 + \int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx &= 8\\ 2 \int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx &= 8\\ \int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx &= 4\\ \hline
\int \limits_{-2}^{4} f(x) dx &= 4\\ \int \limits_{-2}^{0} f(x) dx + \int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx &= 4\\ \int \limits_{-2}^{0} f(x) dx + 4 &= 4\\ \int \limits_{-2}^{0} f(x) dx &= 0
\end{split}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 0$
11. Soal SIMAK UI 2018 Kode 421 |*Soal Lengkap
Jika $\int \limits_{-2}^{0} \left ( \cos \left ( \pi+\dfrac{\pi k x}{2} \right )+\dfrac{9x^{2}-10x+14}{k+12} \right ) dx$$=(k-9)(k-11)$ untuk nilai $k$ bilangan bulat, maka $k^{2}-14=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\int \limits_{-2}^{0} \left ( \cos \left ( \pi+\dfrac{\pi k x}{2} \right )+\dfrac{9x^{2}-10x+14}{k+12} \right ) dx$$=(k-9)(k-11)$
$ \begin{align}
&\int \limits_{-2}^{0} \left ( \cos \left ( \pi+\dfrac{\pi k x}{2} \right )+\dfrac{9x^{2}-10x+14}{k+12} \right ) dx \\
&= \left[ \dfrac{2}{\pi k} \sin \left ( \pi+\dfrac{\pi k x}{2} \right )+\dfrac{3x^{3}-5x^{2}+14x}{k+12} \right ]_{-2}^{0} \\
&= \left[ \dfrac{2}{\pi k} \sin \left ( \pi+\dfrac{(0) \pi k}{2} \right )+\dfrac{3(0)^{3}-5(0)^{2}+14(0)}{k+12} \right ] \\
&- \left[ \dfrac{2}{\pi k} \sin \left ( \pi+\dfrac{-2 \pi k}{2} \right )+\dfrac{3(-2)^{3}-5(-2)^{2}+14(-2)}{k+12} \right ] \\
&= \left[ \dfrac{2}{\pi k} \sin \pi \right ] - \left[ \dfrac{2}{\pi k} \sin \left ( \pi- \pi k \right )+\dfrac{-24-20-28}{k+12} \right ] \\
&= \left[ 0 \right ] - \left[ \dfrac{2}{\pi k} \sin \pi \left ( 1-k \right )+\dfrac{-72}{k+12} \right ]\\
&= - \left[0+\dfrac{-72}{k+12} \right ]\\
&= \dfrac{ 72}{k+12}
\end{align} $
$ \begin{align}
(k-9)(k-11) & = \dfrac{ 72}{k+12} \\
(k-9)(k-11)(k+12) & = 72 \\
k^{3}-8k^{2}-141k+1116 & = 0 \\
(k-12)(k^{2}+4k+93) & = 0 \\
k = 12\ & \\
\hline
k^{2}-14 & = 144-14 \\
& = 130
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 130$
12. Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 1999 |*Soal Lengkap
Hasil dari $\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos 2x\ \cos x\ dx = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Sedikit catatan trigonometri yaitu $\cos A \cdot \cos B = \dfrac{1}{2}\ cos \left( A+B \right) + \dfrac{1}{2}\ cos \left( A-B \right) $.
Sifat trigonometri di atas kita gunakan untuk menyederahanakan bentuk soal menjadi seperti berikut ini:
$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos 2x\ \cos x\ dx \\
& = \int \limits_{0}^{30^{\circ}} \dfrac{1}{2}\ cos \left( 3x \right) + \dfrac{1}{2}\ cos \left( x \right)\ dx \\
& = \dfrac{1}{2}\ \int \limits_{0}^{30^{\circ}} cos \left( 3x \right) + cos \left( x \right)\ dx \\
& = \dfrac{1}{2}\ \left[ \dfrac{1}{3}\ \sin 3x + \sin x \right]_{0}^{30^{\circ}} \\
& = \dfrac{1}{2}\ \left( \left[ \dfrac{1}{3}\ \sin 3(30) + \sin 30 \right]-\left[ \dfrac{1}{3}\ \sin 3(0) + \sin 0 \right] \right) \\
& = \dfrac{1}{2}\ \left( \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} - 0 \right) \\
& = \dfrac{1}{2}\ \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{12} \\
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{5}{12}$
13. Soal UAN Matematika SMA IPA 2004 |*Soal Lengkap
Hasil dari $\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} 4\ \sin 7x\ \cos 6x\ dx = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Sedikit catatan trigonometri yaitu $2\ \sin A \cdot \cos B = cos \left( A+B \right) +sin \left( A-B \right) $.
Sifat trigonometri di atas kita gunakan untuk menyederahanakan bentuk soal menjadi seperti berikut ini:
$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} 4\ \sin 7x\ \cos 6x\ dx \\
& = \int \limits_{0}^{30^{\circ}} 2 \cdot 2\ \sin 7x\ \cos 6x\ dx \\
& = 2\ \int \limits_{0}^{30^{\circ}} 2\ \sin 7x\ \cos 6x\ dx \\
& = 2\ \int \limits_{0}^{30^{\circ}} \sin \left( 13x \right) + \sin \left( x \right)\ dx \\
& = 2 \left[ -\dfrac{1}{13}\ \cos 13x - \cos x \right]_{0}^{30^{\circ}} \\
& = 2 \left[ -\dfrac{1}{13}\ \cos 13 \left( 30^{\circ} \right) - \cos 30^{\circ} \right]-2 \left[ -\dfrac{1}{13}\ \cos 0^{\circ} - \cos 0^{\circ} \right] \\
& = 2 \left[ -\dfrac{1}{13}\ \dfrac{1}{2}\sqrt{3} - \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \right]- 2 \left[ -\dfrac{1}{13} - 1 \right] \\
& = -\dfrac{1}{13}\sqrt{3} - \sqrt{3} + \dfrac{28}{13} \\
& = -\dfrac{14}{13} \sqrt{3} + \dfrac{28}{13} \\
& = -\dfrac{14}{13} \left( \sqrt{3} - 2 \right) \\
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\dfrac{14}{13} \left( \sqrt{3} - 2 \right)$
14. Soal Ujian Nasional Matematika SMA IPA 2005 |*Soal Lengkap
Hasil dari $\int 3x\ \cos 2x\ dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Soal integral di atas kita coba selesaikan dengan teknik integral parsial $\int u\ dv=u \cdot v-\int v\ du$,
Dari kesamaan $\int 3x\ \cos 2x\ dx \equiv \int u\ dv $ dapat kita misalkan $u=3x$ dan $dv=\cos 2x\ dx$
Untuk $u=3x$ maka $du=3\ dx$ dan
untuk $dv=\cos 2x\ dx$ maka dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
v & = \int dv \\
& = \int \cos 2x\ dx \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot \sin 2x
\end{align} $
Soal integral dapat kita tuliskan menjadi:
$ \begin{align}
\int u\ dv & = u \cdot v-\int v\ du \\
\int 3x\ \cos 2x\ dx & = 3x \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \sin 2x - \int \dfrac{1}{2} \cdot \sin 2x\ 3\ dx \\
& = \dfrac{3}{2}x \cdot \sin 2x - \dfrac{3}{2} \int \sin 2x\ dx \\
& = \dfrac{3}{2}x \cdot \sin 2x - \dfrac{3}{2} \cdot \left(- \dfrac{1}{2} \cos 2x \right) +C \\
& = \dfrac{3}{2}x \cdot \sin 2x + \dfrac{3}{4} \cdot \cos 2x +C \\
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{3}{2}x\ \sin 2x + \dfrac{3}{4} \cos 2x\ + C$
15. Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 1993 |*Soal Lengkap
$\int x\ \sin x\ dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Soal integral di atas kita coba selesaikan dengan teknik integral parsial $\int u\ dv=u \cdot v-\int v\ du$,
Dari kesamaan $\int x\ \sin x\ dx \equiv \int u\ dv $ dapat kita misalkan $u= x$ dan $dv=\sin x\ dx$
Untuk $u= x$ maka $du=1\ dx$ dan
untuk $dv=\sin x\ dx$ maka dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
v & = \int dv \\
& = \int \sin x\ dx \\
& = -\cos x
\end{align} $
Soal integral dapat kita tuliskan menjadi:
$ \begin{align}
\int u\ dv & = u \cdot v-\int v\ du \\
\int x\ \sin x\ dx & = x \cdot \left(-\cos x \right) - \int -\cos x\ dx \\
& = -x\ \cos x + \sin x\ + C \\
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -x\ \cos x + \sin x + C $
16. Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 1996 |*Soal Lengkap
$\int \left( 3x+1 \right)\ \cos 2x\ dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Soal integral di atas kita coba selesaikan dengan teknik integral parsial $\int u\ dv=u \cdot v-\int v\ du$,
Dari kesamaan $\int \left( 3x+1 \right)\ \cos 2x\ dx \equiv \int u\ dv $ dapat kita misalkan $u= 3x+1$ dan $dv=\cos 2x\ dx$
Untuk $u= 3x+1$ maka $du=3\ dx$ dan
untuk $dv=\cos 2x\ dx$ maka dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
v & = \int dv \\
& = \int \cos 2x\ dx \\
& = \dfrac{1}{2}\ \sin 2x
\end{align} $
Soal integral dapat kita tuliskan menjadi:
$ \begin{align}
\int u\ dv & = u \cdot v-\int v\ du \\
\int \left( 3x+1 \right)\ \cos 2x\ dx & = \left( 3x+1 \right) \cdot \dfrac{1}{2}\ \sin 2x - \int \dfrac{1}{2}\ \sin 2x\ 3\ dx \\
& = \left( 3x+1 \right) \cdot \dfrac{1}{2}\ \sin 2x + \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\ \cos 2x + C \\
& = \dfrac{1}{2}\ \left( 3x+1 \right) \cdot \sin 2x + \dfrac{3}{4}\ \cos 2x + C \\
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{2}\left( 3x+1 \right)\ \sin 2x + \dfrac{3}{4}\ \cos 2x + C$
17. Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 1992 |*Soal Lengkap
Hasil dari $\int x\ \cos \left( 2x-1 \right)\ dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Soal integral di atas kita coba selesaikan dengan teknik integral parsial $\int u\ dv=u \cdot v-\int v\ du$,
Dari kesamaan $\int x\ \cos \left( 2x-1 \right)\ dx \equiv \int u\ dv $ dapat kita misalkan $u= x$ dan $dv=\cos \left( 2x-1 \right)\ dx$
Untuk $u= x$ maka $du=1\ dx$ dan
untuk $dv=\cos \left( 2x-1 \right)\ dx$ maka dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
v & = \int dv \\
& = \int \cos \left( 2x-1 \right)\ dx \\
& = \dfrac{1}{2}\ \sin \left( 2x-1 \right)
\end{align} $
Soal integral dapat kita tuliskan menjadi:
$ \begin{align}
\int u\ dv & = u \cdot v-\int v\ du \\
\int x\ \cos \left( 2x-1 \right)\ dx & = x \cdot \dfrac{1}{2}\ \sin \left( 2x-1 \right) - \int \dfrac{1}{2}\ \sin \left( 2x-1 \right)\ dx \\
& = \dfrac{1}{2}x\ \sin \left( 2x-1 \right) + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\ \cos \left( 2x-1 \right) + C \\
& = \dfrac{1}{2}x\ \sin \left( 2x-1 \right) + \dfrac{1}{4}\ \left( 2x-1 \right) + C \\
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{2}x\ \sin \left( 2x-1 \right) + \dfrac{1}{4}\ \cos \left( 2x-1 \right) + C$
18. Soal UAN Matematika SMA IPA 2004 |*Soal Lengkap
Hasil dari $16 \int \left( x+3 \right)\ \cos \left( 2x-\pi \right)\ dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Bentuk soalnya coba kita sederhanakan dengan sudut berelasi, yaitu:
$ \begin{align}
\cos \left( 2x-\pi \right) & = \cos -\left( \pi-2x \right) \\
& = \cos \left( \pi-2x \right) \\
& = -\cos 2x \\
\end{align} $
Dari bentuk integral di atas kita coba selesaikan dengan teknik integral parsial $\int u\ dv=u \cdot v-\int v\ du$,
Dari kesamaan $-16 \int \left( x+3 \right)\ \cos 2x\ dx \equiv \int u\ dv $ dapat kita misalkan $u= x+3$ dan $dv=\cos 2x\ dx$
Untuk $u= x+3$ maka $du=1\ dx$ dan
untuk $dv=\cos 2x\ dx$ maka dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
v & = \int dv \\
& = \int \cos 2x\ dx \\
& = \dfrac{1}{2}\ \sin 2x
\end{align} $
Soal integral dapat kita tuliskan menjadi:
$ \begin{align}
\int u\ dv & = u \cdot v-\int v\ du \\
-16\ \int \left( x+3 \right)\ \cos 2x\ dx & = (x+3) \cdot \dfrac{1}{2}\ \sin 2x - \int \dfrac{1}{2}\ \sin 2x\ dx \\
& = \dfrac{1}{2}\ (x+3)\ \sin 2x - \dfrac{1}{2} \cdot \left( - \dfrac{1}{2}\ \cos 2x \right) \\
& = \dfrac{1}{2}\ (x+3)\ \sin 2x + \dfrac{1}{4}\ \cos 2x \\
& = -8\ (x+3)\ \sin 2x - 4\ \cos 2x \\
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -8 \left( x+3 \right)\ \sin 2x - 4 \cos 2x + C$
19. Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 1990 |*Soal Lengkap
Hasil dari $\int \left( x^{2}+1 \right)\ \cos x\ dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari bentuk integral di atas kita coba selesaikan dengan teknik integral parsial $\int u\ dv=u \cdot v-\int v\ du$,
Dari kesamaan $\int \left( x^{2}+1 \right)\ \cos x\ dx \equiv \int u\ dv $ dapat kita misalkan $u= x^{2}+1$ dan $dv=\cos x\ dx$
Untuk $u= x^{2}+1$ maka $du=2x\ dx$ dan
untuk $dv=\cos x\ dx$ maka dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
v & = \int dv \\
& = \int \cos x\ dx \\
& = \sin x
\end{align} $
Soal integral dapat kita tuliskan menjadi:
$ \begin{align}
\int u\ dv & = u \cdot v-\int v\ du \\
\int \left( x^{2}+1 \right)\ \cos x\ dx & = \left( x^{2}+1 \right)\ \sin x - \int \sin x\ \cdot 2x\ dx \\
& = \left( x^{2}+1 \right)\ \sin x - \int 2x \sin x\ dx \\
\hline
\int 2x \sin x\ dx & = 2x\ \left( -\cos x \right) - \int -\cos x \cdot 2 \ dx \\
& = - 2x\ \cos x+2\ \sin x \\
\hline
\left( x^{2}+1 \right)\ \sin x - \int 2x \sin x\ dx & = \left( x^{2}+1 \right)\ \sin x - \left( - 2x\ \cos x+2\ \sin x \right) \\
& = \left( x^{2}+1 \right)\ \sin x + 2x\ \cos x-2\ \sin x \\
& = \left( x^{2}+1 \right)\ \sin x -2\ \sin x + 2x\ \cos x\\
& = \left( x^{2}-1 \right)\ \sin x + 2x\ \cos x \\
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left( x^{2}-1 \right)\ \sin x + 2x\ \cos x + C$
20. Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 2003 |*Soal Lengkap
Hasil dari $\int \limits_{0}^{\pi} x\ \cos x\ dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Soal integral di atas kita coba selesaikan dengan teknik integral parsial $\int u\ dv=u \cdot v-\int v\ du$,
Dari kesamaan $\int x\ \cos x\ dx \equiv \int u\ dv $ dapat kita misalkan $u=x$ dan $dv=\cos x\ dx$
Untuk $u=x$ maka $du=1\ dx$ dan
untuk $dv=\cos x\ dx$ maka dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
v & = \int dv \\
& = \int \cos x\ dx \\
& = \sin x
\end{align} $
Soal integral dapat kita tuliskan menjadi:
$ \begin{align}
\int u\ dv & = u \cdot v-\int v\ du \\
\int x\ \cos x\ dx & = x \cdot \sin x - \int \sin x\ dx \\
& = x\ \sin x + \cos x + C\\
\hline
\int \limits_{0}^{\pi} x\ \cos x\ dx & = \left[ x\ \sin x + \cos x \right]_{0}^{\pi} \\
& = \left[ \pi \cdot \sin \pi + \cos \pi \right]-\left[ 0 \cdot \sin 0 + \cos 0 \right] \\
& = \left[ \pi \cdot 0 + (-1) \right]-\left[ 0 + 1 \right] \\
& = -2 \\
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -2$
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Integral Tak tentu dan Tentu Fungsi Trigonometri di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Integral Tak tentu dan Tentu Fungsi Trigonometri di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
