Skip to main content

Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Integral Tak tentu dan Tentu Fungsi Trigonometri

Basic Integration Formulas (Rumus Dasar Integral)CCatatan calon guru coba membahas tentang Soal-soal dan Pembahasan Matematika Dasar Integral Tak tentu dan Tentu untuk Fungsi Trigonometri. Belajar inetgrl fungsi trigonometri ini pastinya akan lebih mudah diapahmi ketika kita sudah belajar integral fungsi aljabar dan matematika dasar turunan fungsi trigonometri. Seperti yang kita sampaikan sebelumnya bahwa Integral fungsi dan turunanan fungsi itu ibarat penjumlahan dan pengurangan, jadi jika kita mau belajar integral fungsi trigonometri maka setidaknya kita harus belajar turunan fungsi trigonometri terlebih dahulu.

Integral fungsi pada kurikulum 2013 dipelajari pada matematika wajib atau matematika umum kelas XI. Integral fungsi pada kurikulum 2013 dibagi dalam beberapa kompetensi dasar yaitu:
  • 3.10 Mendeskripsikan integral tak tentu (anti turunan) fungsi aljabar dan menganalisis sifat-sifatnya berdasarkan sifat-sifat turunan fungsi
  • 4.10 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu (anti turunan) fungsi aljabar

Jika dilihat dari kompetensi dasar integral fungsi di atas, apa yang diharapkan oleh pemerintah sangat dasar hanya sampai pada integral tak tentu fungsi aljabar. Tetapi untuk menambah pemahaman kita tentang integral fungsi, kita coba diskusikan integral fungsi trigonometri dasar.

DEFINISI INTEGRAL FUNGSI TAK TENTU


Ketika akan menyelesaikan persamaan diferensial dari bentuk $\dfrac{dy}{dx}=f(x)$ dapat kita tulis dalam bentuk $dy=f(x)dx$. Secara umum, jika $F(x)$ menyatakan fungsi dalam variabel $x$, dengan $f(x)$ turunan dari $F(x)$ dan $c$ konstanta bilangan real maka integral tak tentu dari $f(x)$ dapat dituliskan dalam bentuk: $\int f(x)dx=F(x)+c$
dibaca:"integral fungsi $f(x)$ ke $x$ sama dengan $F(x)+c$"

Keterangan Tambahan:
$\int f(x) = \text{notasi integral tak tentu}$
$F(x)+c = \text{fungsi antiturunan}$
$f(x) = \text{fungsi yang diintegralkan (integran)}$
$c = \text{konstanta}$
$d(x) = \text{diferensial (turunan) dari}\ x$

ATURAN DASAR INTEGRAL TAK TENTU


  • $\int dx= x + c$
  • $\int k\ dx= kx + c$
  • $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$
  • $\int k f(x)\ dx=k \int f(x)dx$
  • $\int \left[f(x) + g(x) \right]dx=\int f(x)dx + \int g(x)dx$
  • $\int \left[f(x) - g(x) \right]dx=\int f(x)dx - \int g(x)dx$
  • $\int a^{x} dx= \left (\dfrac{1}{ln\ a} \right )a^{x} + c$
  • $\int a^{u(x)} dx= \left (\dfrac{1}{u'(x)\ ln\ a} \right )a^{u(x)} + c$
  • $\int \dfrac{1}{x} dx= ln\ \left |x \right | + c$
  • $\int \dfrac{1}{u(x)} dx= \dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left |u(x) \right | + c$
  • $\int e^{x} dx= e^{x} + c$
  • $\int e^{u(x)} dx= \dfrac{1}{u'(x)}e^{u(x)} + c$

ATURAN DASAR INTEGRAL TAK TENTU TRIGONOMETRI


  • $\int sin\ x\ dx= -cos\ x + C$
  • $\int sin\ u(x)\ dx= -\dfrac{1}{u'(x)}cos\ u(x) + c$
  • $\int cos\ x\ dx= sin\ x + C$
  • $\int cos\ u(x)\ dx= \dfrac{1}{u'(x)}sin\ u(x) + c$
  • $\int tan\ x\ dx= ln\ \left |sec\ x \right | + c$
  • $\int tan\ u(x)\ dx= \dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left | sec\ u(x) \right | + c$
  • $\int cosec\ x\ dx= ln\ \left |cosec\ x-cotan\ x \right |+ c$
  • $\int cosec\ u(x)\ dx=\dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left | cosec\ u(x)-cotan\ u(x) \right | + c$
  • $\int sec\ x\ dx= ln\ \left | sec\ x+ tan\ x \right | + c$
  • $\int sec\ u(x)\ dx=\dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left | sec\ u(x)+ tan\ u(x) \right | + c$
  • $\int cot\ x\ dx= ln\ \left | sin\ x \right | + c$
  • $\int cot\ u(x)\ dx=\dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left | sin\ u(x) \right | + c$

INTEGRAL PARSIAL


$\int u\ dv=u \cdot v-\int v\ du$

INTEGRAL TENTU


Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ adalah antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka:
$\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

SIFAT INTEGRAL TENTU


  • $\int \limits_{a}^{a}f(x)dx=0$
  • $ \int \limits_{a}^{b} k f(x) dx = k \int \limits_{a}^{b} f(x) dx $
  • $ \int \limits_{a}^{b} [ f(x) + g(x) ] dx = \int \limits_{a}^{b} f(x) dx + \int \limits_{a}^{b} g(x) dx $
  • $ \int \limits_{a}^{b} [ f(x) - g(x) ] dx = \int \limits_{a}^{b} f(x) dx - \int \limits_{a}^{b} g(x) dx $
  • $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=-\int \limits_{b}^{a}f(x)dx$
  • $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=\int \limits_{a}^{p}f(x)dx+\int \limits_{p}^{b}f(x)dx$
  • $\int \limits_{a}^{b} f(x) dx = \int \limits_{a+c}^{b+c} f(x-c) dx$
  • $\int \limits_{a}^{b} f(x) dx = \int \limits_{a-c}^{b-c} f(x+c) dx$
  • $\int \limits_{a}^{b}f(-x)dx=-\int \limits_{-a}^{-b}f(x)dx$
  • Jika $f(x)$ fungsi genap $f(-x)=f(x)$ maka $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =2\int \limits_{0}^{a} f(x)dx $
  • Jika $f(x)$ fungsi ganjil $f(-x)=-f(x)$ maka $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =0$
  • Jika $f$ periodik dengan periode $p$, maka $\int \limits_{a+p}^{b+p} f(x)dx =\int \limits_{a }^{b } f(x)dx$
    "Suatu fungsi $f$ adalah periodik jika terdapat suatu bilangan $p$ sedemikian sehingga $f(x+p)=f(x)$"
Untuk memantapkan beberapa aturan dasar integral fungsi diatas, mari kita coba beberapa soal latihan yang kita pilih secara acak dari soal-soal Ujian Nasional atau seleksi masuk perguruan tinggi negeri atau swasta๐Ÿ˜Š.

1. Soal Ujian Nasional Matematika SMA IPA 2006 (*Soal Lengkap)

Nilai $\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin\ 2x\ dx = \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & \dfrac{3}{4} \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \\
(D)\ & \dfrac{1}{4} \\
(E)\ & 0 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin\ 2x\ dx \\
& = \left[ -\dfrac{1}{2} \cdot cos\ 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\
& = -\dfrac{1}{2} \cdot \left( \left[ cos\ 2 \left( \frac{\pi}{2} \right) \right]- \left[ cos\ 2 \left( 0 \right) \right] \right) \\
& = -\dfrac{1}{2} \cdot \left( \left[ cos\ \pi \right]- \left[ cos\ 0 \right] \right) \\
& = -\dfrac{1}{2} \cdot \left( -1 - 1 \right) \\
& = -\dfrac{1}{2} (-2)=1
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$

2. Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 1997 (*Soal Lengkap)

Nilai $\int \limits_{\frac{1}{6}\pi}^{\frac{1}{3}\pi} \left( 3\ cos\ x - 5\ sin\ x\ \right) dx = \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 4 - 4\sqrt{3} \\
(B)\ & -1 - 3\sqrt{3} \\
(C)\ & 1 - \sqrt{3} \\
(D)\ & 1+ \sqrt{3} \\
(E)\ & 4 + 4\sqrt{3} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
& \int \limits_{\frac{1}{6}\pi}^{\frac{1}{3}\pi} \left( 3\ cos\ x - 5\ sin\ x\ \right) dx \\
& = \left[ 3 \cdot sin\ x + 5 \cdot cos\ x \right]_{\frac{1}{6}\pi}^{\frac{1}{3}\pi}\\
& = \left[ 3 \cdot sin\ \frac{1}{3}\pi + 5 \cdot cos\ \frac{1}{3}\pi \right]- \left[ 3 \cdot sin\ \frac{1}{6}\pi + 5 \cdot cos\ \frac{1}{6}\pi \right] \\
& = \left[ 3 \cdot sin\ 60^{\circ} + 5 \cdot cos\ 60^{\circ} \right]- \left[ 3 \cdot sin\ 30^{\circ} + 5 \cdot cos\ 30^{\circ} \right] \\
& = \left[ 3 \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} + 5 \cdot \dfrac{1}{2} \right]- \left[ 3 \cdot \dfrac{1}{2} + 5 \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \right] \\
& = \left[ \dfrac{3}{2}\sqrt{3} + \dfrac{5}{2} \right]- \left[ \dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{2}\sqrt{3} \right] \\
& = \dfrac{3}{2}\sqrt{3} + \dfrac{5}{2} - \dfrac{3}{2} - \dfrac{5}{2}\sqrt{3} \\
& = 1 - \sqrt{3} \\
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1 - \sqrt{3}$

3. Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 1996 (*Soal Lengkap)

Nilai $\int \limits_{-\frac{1}{2}\pi}^{\frac{1}{4}\pi} \left( 2\ sin\ x + 6\ cos\ x \right) dx = \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 + 6\sqrt{2} \\
(B)\ & 6 + 2\sqrt{2} \\
(C)\ & 6 - 2\sqrt{2} \\
(D)\ & -6 + 2\sqrt{2} \\
(E)\ & -6 -2 \sqrt{2} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
& \int \limits_{-\frac{1}{2}\pi}^{\frac{1}{4}\pi} \left( 2\ sin\ x + 6\ cos\ x \right) dx \\
& = \left[ -2 \cdot cos\ x + 6 \cdot sin\ x \right]_{-\frac{1}{2}\pi}^{\frac{1}{4}\pi}\\
& =\left[ -2 \cdot cos\ \left( \frac{1}{4}\pi \right) + 6 \cdot sin\ \left( \frac{1}{4}\pi \right) \right] - \left[ -2 \cdot cos\ \left(-\frac{1}{2}\pi \right) + 6 \cdot sin\ \left(-\frac{1}{2}\pi \right) \right] \\
& =\left[ -2 \cdot cos\ \left( 45^{\circ} \right) + 6 \cdot sin\ \left( 45^{\circ} \right) \right] - \left[ -2 \cdot cos\ \left(-90^{\circ} \right) + 6 \cdot sin\ \left(-90^{\circ} \right) \right] \\
& =\left[ - \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} \right] - \left[ -2 \cdot 0 + 6 \cdot \left( -1 \right) \right] \\
& = \left[ 2 \sqrt{2} \right] - \left[ -6 \right] \\
& = 2 \sqrt{2} + 6 \\
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6 + 2\sqrt{2}$

4. Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 1990 (*Soal Lengkap)

Nilai $\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} \left( sin\ 3x + cos\ 3x \right) dx = \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{2}{3} \\
(B)\ & \dfrac{1}{3} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(E)\ & -\dfrac{2}{3} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} \left( sin\ 3x + cos\ 3x \right) dx \\
& = \left[ -\dfrac{1}{3} \cdot cos\ 3x + \dfrac{1}{3} \cdot sin\ 3x \right]_{0}^{\frac{1}{6}\pi}\\
& =\dfrac{1}{3} \left[ - cos\ 3\left( \frac{1}{6}\pi \right) + sin\ 3\left( \frac{1}{6}\pi \right) \right] - \dfrac{1}{3} \left[ - cos\ 3\left( 0 \right) + sin\ 3\left( 0 \right) \right] \\
& =\dfrac{1}{3} \left[ - cos\ \left( 90 \right) + sin\ \left( 90 \right) \right] - \dfrac{1}{3} \left[ - cos\ \left( 0 \right) + sin\ \left( 0 \right) \right] \\
& =\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} \\
& = \dfrac{2}{3} \\
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{2}{3}$

5. Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 1990 (*Soal Lengkap)

Nilai $\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} sin\ \left( x + \frac{\pi}{3} \right)\ cos\ \left( x + \frac{\pi}{3} \right)\ dx = \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{8} \\
(C)\ & \dfrac{1}{8} \\
(D)\ & \dfrac{1}{4} \\
(E)\ & \dfrac{3}{8} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Sedikit catatan trigonometri yaitu $sin\ A \cdot sin\ B = \dfrac{1}{2}\ sin \left( A+B \right) + \dfrac{1}{2}\ sin \left( A-B \right) $.
Sifat trigonometri di atas kita gunakan untuk menyederahanakan bentuk soal menjadi seperti berikut ini:
$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} sin\ \left( x + \frac{\pi}{3} \right)\ cos\ \left( x + \frac{\pi}{3} \right)\ dx \\
& = \int \limits_{0}^{30^{\circ}} sin\ \left( x + 60^{\circ} \right)\ cos\ \left( x + 60^{\circ} \right)\ dx \\
& = \int \limits_{0}^{30^{\circ}} \dfrac{1}{2}\ sin \left( 2x+60^{\circ} \right) + \dfrac{1}{2}\ sin \left( 0 \right)\ dx \\
& = \int \limits_{0}^{30^{\circ}} \dfrac{1}{2}\ sin \left( 2x+120^{\circ} \right) dx \\
& = \dfrac{1}{2}\ \left[ -\dfrac{1}{2}\ cos \left( 2x+120^{\circ} \right) \right]_{0}^{30^{\circ}} \\
& = -\dfrac{1}{4}\ \left[ cos \left( 60^{\circ}+120^{\circ} \right) - cos \left( 0^{\circ}+120^{\circ} \right) \right] \\
& = -\dfrac{1}{4}\ \left[ cos \left( 180^{\circ} \right) - cos \left( 120^{\circ} \right) \right] \\
& = -\dfrac{1}{4}\ \left[ -1 - \left( -\dfrac{1}{2} \right) \right] \\
& = -\dfrac{1}{4} \left[ -\dfrac{1}{2} \right] = \dfrac{1}{8} \\
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{8}$

6. Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 1988 (*Soal Lengkap)

Nilai $\int sin^{5}\ x\ cos\ x\ dx$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{6} \cdot sin^{6}\ x\ + C \\
(B)\ & \dfrac{1}{6} \cdot cos^{6}\ x\ + C \\
(C)\ & -\dfrac{1}{6} \cdot sin^{6}\ x\ + C \\
(D)\ & -\dfrac{1}{6} \cdot cos^{6}\ x\ + C \\
(E)\ & \dfrac{1}{4} \cdot sin^{4}\ x\ + C \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Soal integral di atas kita coba selesaikan dengan teknik integral substitusi,
Jika kita misalkan $u=sin\ x$ maka $\dfrac{du}{dx}=cos\ x$ atau $ du =cos\ x\ dx$
Soal integral dapat kita tuliskan menjadi:
$ \begin{align}
& \int sin^{5}\ x\ cos\ x\ dx \\
& = \int \left( sin\ x \right)^{5}\ cos\ x\ dx \\
& = \int u^{5}\ du \\
& = \dfrac{1}{5+1} \cdot u^{5+1} + C \\
& = \dfrac{1}{6} \cdot u^{6} + C \\
& = \dfrac{1}{6} \cdot \left( sin\ x \right)^{6} + C \\
& = \dfrac{1}{6} \cdot sin^{6}\ x + C \\
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{6} \cdot sin^{6}\ x\ + C$

7. Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 1990 (*Soal Lengkap)

Hasil dari $\int cos\ x\ cos\ 4x\ dx = \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{5}\ sin\ 5x-\dfrac{1}{3}\ sin\ 3x + C \\
(B)\ & \dfrac{1}{10}\ sin\ 5x+\dfrac{1}{6}\ sin\ 3x + C \\
(C)\ & \dfrac{2}{5}\ sin\ 5x+\dfrac{2}{5}\ sin\ 3x + C \\
(D)\ & \dfrac{1}{2}\ sin\ 5x+\dfrac{1}{2}\ sin\ 3x + C \\
(E)\ & -\dfrac{1}{2}\ sin\ 5x-\dfrac{1}{2}\ sin\ 3x + C \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Sedikit catatan trigonometri yaitu $cos\ A \cdot cos\ B = \dfrac{1}{2}\ cos \left( A+B \right) + \dfrac{1}{2}\ cos \left( A-B \right) $.
Sifat trigonometri di atas kita gunakan untuk menyederahanakan bentuk soal menjadi seperti berikut ini:
$ \begin{align}
& \int cos\ x\ cos\ 4x\ dx \\
& = \int \dfrac{1}{2}\ cos \left( 5x \right) + \dfrac{1}{2}\ cos \left( 3x \right)\ dx \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{5}\ sin\ 5x + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3}\ sin\ 3x + C \\
& = \dfrac{1}{10}\ sin\ 5x + \dfrac{1}{6}\ sin\ 3x + C \\
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{10}\ sin\ 5x+\dfrac{1}{6}\ sin\ 3x + C$

8. Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 1997 (*Soal Lengkap)

Nilai $\int x\ sin \left(x^{2}+1 \right)\ dx=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -cos\ \left(x^{2}+1 \right) + C \\
(B)\ & cos\ \left(x^{2}+1 \right) + C \\
(C)\ & -\dfrac{1}{2}cos\ \left(x^{2}+1 \right) + C \\
(D)\ & \dfrac{1}{2}cos\ \left(x^{2}+1 \right) + C \\
(E)\ & -2\ cos\ \left(x^{2}+1 \right) + C \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Soal integral di atas kita coba selesaikan dengan teknik integral substitusi,
Jika kita misalkan $u=x^{2}+1 $ maka $\dfrac{du}{dx}=2x$ atau $ du =2x\ dx$
Soal integral dapat kita tuliskan menjadi:
$ \begin{align}
& \int x\ sin \left(x^{2}+1 \right)\ dx \\
& = \int sin \left( x^{2}+1 \right)\ x\ dx \\
& = \int sin \left( u \right)\ \dfrac{1}{2} du \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot \int sin \left( u \right)\ du \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot -cos \left( u \right) + C \\
& = -\dfrac{1}{2} \cdot cos \left( x^{2}+1 \right) + C \\
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -\dfrac{1}{2}cos\ \left(x^{2}+1 \right) + C$

9. Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 2003 (*Soal Lengkap)

Nilai dari $\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} sin \ 5x\ sin\ x\ dx = \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1 }{2} \\
(B)\ & -\dfrac{1 }{6} \\
(C)\ & \dfrac{1}{12} \\
(D)\ & \dfrac{1}{8} \\
(E)\ & \dfrac{2}{15} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Sedikit catatan trigonometri yaitu $sin\ A \cdot cos\ B = -\dfrac{1}{2}\ cos \left( A+B \right)+\dfrac{1}{2}\ cos \left( A-B \right) $.
Sifat trigonometri di atas kita gunakan untuk menyederahanakan bentuk soal menjadi seperti berikut ini:
$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} sin \ 5x\ sin\ x\ dx \\
& = \int \limits_{0}^{45^{\circ}} \left( -\dfrac{1}{2}\ cos\ 6x + \dfrac{1}{2}\ cos\ 4x \right)\ dx \\
& = \left[ -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{6}\ sin\ 6x + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4}\ sin\ 4x \right]_{0}^{45^{\circ}} \\
& = \left[ -\dfrac{1}{12} \cdot sin\ 270^{\circ} + \dfrac{1}{8} \cdot sin\ 180^{\circ} \right]-\left[ -\dfrac{1}{12} \cdot sin\ 0^{\circ} + \dfrac{1}{8} sin\ 0^{\circ} \right] \\
& = \left[ -\dfrac{1}{12} \cdot (-1) + \dfrac{1}{8} \cdot (0) \right]-\left[ -\dfrac{1}{12} \cdot (0) + \dfrac{1}{8} \cdot (0) \right] \\
& = \dfrac{1}{12} + 0 - \left[ 0 + 0 \right] \\
& = \dfrac{1}{12} \\
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{12} $


10. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 (*Soal Lengkap)

Jika $\int \limits_{-4}^{4} f(x)(sin x + 1)\ dx = 8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int \limits_{-2}^{4} f(x) dx = 4$, maka $\int \limits_{-2}^{0} f(x)\ dx=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & 4
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

Sebuah fungsi dikatakan fungsi genap

  • Berlaku $f(-x)=f(x)$
  • Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat sumbu $y$
  • Jika dipakai pada integral, ciri fungsi genap ini adalah $\int \limits_{-a}^a f(x)dx =2\int \limits_{0}^a f(x)dx $
  • Silahkan dibuktikan ciri fungsi genap diatas untuk $f(x)=x^{2}$ atau $f(x)=cos\ x$
Sebuah fungsi dikatakan fungsi ganjil
  • Berlaku $f(-x)=-f(x)$
  • Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat $(0,0)$
  • Jika dipakai pada integral, kekhususan fungsi ganjil ini adalah $\int \limits_{-a}^a f(x)dx =0$.
  • Silahkan dibuktikan ciri fungsi ganjil diatas untuk $f(x)=x^{3}$ atau $f(x)=sin\ x$.

Kembali kepada soal,
$\begin{split}
& \int \limits_{-4}^{4} f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8\\
& \int \limits_{-4}^{4} \left (f\left (x\right ) \sin x + f\left (x\right ) \right )\ dx = 8\\
& \int \limits_{-4}^{4} f(x) \sin x\ dx + \int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx = 8
\end{split}$
Karena $f(x)$ fungsi genap dan $\sin x$ fungsi ganjil maka $f(x) \sin x$ merupakan fungsi ganjil sehingga berlaku $\int \limits_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx=0$ dan $\int \limits_{-4}^4 f(x)\ dx = 2 \int \limits_{0}^4 f(x)\ dx$.
$\begin{split}
\int \limits_{-4}^{4} f(x) \sin x\ dx + \int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx &= 8\\
0 + \int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx &= 8\\
2 \int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx &= 8\\
\int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx &= 4\\
\hline
\int \limits_{-2}^{4} f(x) dx &= 4\\
\int \limits_{-2}^{0} f(x) dx + \int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx &= 4\\
\int \limits_{-2}^{0} f(x) dx + 4 &= 4\\
\int \limits_{-2}^{0} f(x) dx &= 0
\end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 0$

11. Soal SIMAK UI 2018 Kode 421 (*Soal Lengkap)

Jika $\int \limits_{-2}^{0} \left ( cos\ \left ( \pi+\dfrac{\pi k x}{2} \right )+\dfrac{9x^{2}-10x+14}{k+12} \right ) dx$$=(k-9)(k-11)$ untuk nilai $k$ bilangan bulat, maka $k^{2}-14=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 140 \\
(B)\ & 135 \\
(C)\ & 130 \\
(D)\ & 125 \\
(E)\ & 120
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

$\int \limits_{-2}^{0} \left ( cos\ \left ( \pi+\dfrac{\pi k x}{2} \right )+\dfrac{9x^{2}-10x+14}{k+12} \right ) dx$$=(k-9)(k-11)$
$ \begin{align}
&\int \limits_{-2}^{0} \left ( cos\ \left ( \pi+\dfrac{\pi k x}{2} \right )+\dfrac{9x^{2}-10x+14}{k+12} \right ) dx \\
&= \left[ \dfrac{2}{\pi k} sin\ \left ( \pi+\dfrac{\pi k x}{2} \right )+\dfrac{3x^{3}-5x^{2}+14x}{k+12} \right ]_{-2}^{0} \\
&= \left[ \dfrac{2}{\pi k} sin\ \left ( \pi+\dfrac{(0) \pi k}{2} \right )+\dfrac{3(0)^{3}-5(0)^{2}+14(0)}{k+12} \right ] \\
&- \left[ \dfrac{2}{\pi k} sin\ \left ( \pi+\dfrac{-2 \pi k}{2} \right )+\dfrac{3(-2)^{3}-5(-2)^{2}+14(-2)}{k+12} \right ] \\
&= \left[ \dfrac{2}{\pi k} sin\ \pi \right ] - \left[ \dfrac{2}{\pi k} sin\ \left ( \pi- \pi k \right )+\dfrac{-24-20-28}{k+12} \right ] \\
&= \left[ 0 \right ] - \left[ \dfrac{2}{\pi k} sin\ \pi \left ( 1-k \right )+\dfrac{-72}{k+12} \right ]\\
&= - \left[0+\dfrac{-72}{k+12} \right ]\\
&= \dfrac{ 72}{k+12}
\end{align} $

$ \begin{align}
(k-9)(k-11) & = \dfrac{ 72}{k+12} \\
(k-9)(k-11)(k+12) & = 72 \\
k^{3}-8k^{2}-141k+1116 & = 0 \\
(k-12)(k^{2}+4k+93) & = 0 \\
k = 12\ & \\
\hline k^{2}-14 & = 144-14 \\
& = 130
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 130$

12. Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 1999 (*Soal Lengkap)

Hasil dari $\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} cos\ 2x\ cos\ x\ dx = \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{5}{6} \\
(B)\ & \dfrac{4}{6} \\
(C)\ & \dfrac{5}{12} \\
(D)\ & -\dfrac{5}{12} \\
(E)\ & -\dfrac{5}{6} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Sedikit catatan trigonometri yaitu $cos\ A \cdot cos\ B = \dfrac{1}{2}\ cos \left( A+B \right) + \dfrac{1}{2}\ cos \left( A-B \right) $.
Sifat trigonometri di atas kita gunakan untuk menyederahanakan bentuk soal menjadi seperti berikut ini:
$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} cos\ 2x\ cos\ x\ dx \\
& = \int \limits_{0}^{30^{\circ}} \dfrac{1}{2}\ cos \left( 3x \right) + \dfrac{1}{2}\ cos \left( x \right)\ dx \\
& = \dfrac{1}{2}\ \int \limits_{0}^{30^{\circ}} cos \left( 3x \right) + cos \left( x \right)\ dx \\
& = \dfrac{1}{2}\ \left[ \dfrac{1}{3}\ sin\ 3x + sin\ x \right]_{0}^{30^{\circ}} \\
& = \dfrac{1}{2}\ \left( \left[ \dfrac{1}{3}\ sin\ 3(30) + sin\ 30 \right]-\left[ \dfrac{1}{3}\ sin\ 3(0) + sin\ 0 \right] \right) \\
& = \dfrac{1}{2}\ \left( \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} - 0 \right) \\
& = \dfrac{1}{2}\ \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{12} \\
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{5}{12}$

13. Soal UAN Matematika SMA IPA 2004 (*Soal Lengkap)

Hasil dari $\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} 4\ sin \ 7x\ cos\ 6x\ dx = \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{14}{13} \left( \sqrt{3} + 2 \right) \\
(B)\ & -\dfrac{14}{13} \left( \sqrt{3} + 2 \right) \\
(C)\ & \dfrac{14}{13} \left( \sqrt{3} - 2 \right) \\
(D)\ & -\dfrac{14}{13} \left( \sqrt{3} - 2 \right) \\
(E)\ & -\dfrac{14}{13} \left( 2\sqrt{3} - 2 \right) \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Sedikit catatan trigonometri yaitu $2\ sin\ A \cdot cos\ B = cos \left( A+B \right) +sin \left( A-B \right) $.
Sifat trigonometri di atas kita gunakan untuk menyederahanakan bentuk soal menjadi seperti berikut ini:
$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} 4\ sin \ 7x\ cos\ 6x\ dx \\
& = \int \limits_{0}^{30^{\circ}} 2 \cdot 2\ sin \ 7x\ cos\ 6x\ dx \\
& = 2\ \int \limits_{0}^{30^{\circ}} 2\ sin \ 7x\ cos\ 6x\ dx \\
& = 2\ \int \limits_{0}^{30^{\circ}} sin \left( 13x \right) + sin \left( x \right)\ dx \\
& = 2 \left[ -\dfrac{1}{13}\ cos\ 13x - cos\ x \right]_{0}^{30^{\circ}} \\
& = 2 \left[ -\dfrac{1}{13}\ cos\ 13 \left( 30^{\circ} \right) - cos\ 30^{\circ} \right]-2 \left[ -\dfrac{1}{13}\ cos\ 0^{\circ} - cos\ 0^{\circ} \right] \\
& = 2 \left[ -\dfrac{1}{13}\ \dfrac{1}{2}\sqrt{3} - \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \right]- 2 \left[ -\dfrac{1}{13} - 1 \right] \\
& = -\dfrac{1}{13}\sqrt{3} - \sqrt{3} + \dfrac{28}{13} \\
& = -\dfrac{14}{13} \sqrt{3} + \dfrac{28}{13} \\
& = -\dfrac{14}{13} \left( \sqrt{3} - 2 \right) \\
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\dfrac{14}{13} \left( \sqrt{3} - 2 \right)$

14. Soal Ujian Nasional Matematika SMA IPA 2005 (*Soal Lengkap)

Hasil dari $\int 3x\ cos\ 2x\ dx=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 3x\ sin\ 2x + 3\ cos\ 2x + C \\
(B)\ & 3x\ sin\ 2x + cos\ 2x + C \\
(C)\ & -\dfrac{3}{2}x\ sin\ 2x - \dfrac{3}{4} cos\ 2x\ + C \\
(D)\ & \dfrac{3}{2}x\ sin\ 2x + \dfrac{3}{4} cos\ 2x\ + C \\
(E)\ & \dfrac{3}{2}x\ sin\ 2x - \dfrac{3}{4} cos\ 2x\ + C \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Soal integral di atas kita coba selesaikan dengan teknik integral parsial $\int u\ dv=u \cdot v-\int v\ du$,
Dari kesamaan $\int 3x\ cos\ 2x\ dx \equiv \int u\ dv $ dapat kita misalkan $u=3x$ dan $dv=cos\ 2x\ dx$
Untuk $u=3x$ maka $du=3\ dx$ dan
untuk $dv=cos\ 2x\ dx$ maka dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
v & = \int dv \\
& = \int cos\ 2x\ dx \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot sin\ 2x \end{align} $

Soal integral dapat kita tuliskan menjadi:
$ \begin{align}
\int u\ dv & = u \cdot v-\int v\ du \\
\int 3x\ cos\ 2x\ dx & = 3x \cdot \dfrac{1}{2} \cdot sin\ 2x - \int \dfrac{1}{2} \cdot sin\ 2x\ 3\ dx \\
& = \dfrac{3}{2}x \cdot sin\ 2x - \dfrac{3}{2} \int sin\ 2x\ dx \\
& = \dfrac{3}{2}x \cdot sin\ 2x - \dfrac{3}{2} \cdot \left(- \dfrac{1}{2} cos\ 2x \right) +C \\
& = \dfrac{3}{2}x \cdot sin\ 2x + \dfrac{3}{4} \cdot cos\ 2x +C \\
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{3}{2}x\ sin\ 2x + \dfrac{3}{4} cos\ 2x\ + C$

15. Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 1993 (*Soal Lengkap)

$\int x\ sin\ x\ dx=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & x\ cos\ x + sin\ x + C \\
(B)\ & -x\ cos\ x + sin\ x + C \\
(C)\ & x\ sin\ x - cos\ x + C \\
(D)\ & -x\ sin\ x\ + C \\
(E)\ & x\ cos\ x\ + C \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Soal integral di atas kita coba selesaikan dengan teknik integral parsial $\int u\ dv=u \cdot v-\int v\ du$,
Dari kesamaan $\int x\ sin\ x\ dx \equiv \int u\ dv $ dapat kita misalkan $u= x$ dan $dv=sin\ x\ dx$
Untuk $u= x$ maka $du=1\ dx$ dan
untuk $dv=sin\ x\ dx$ maka dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
v & = \int dv \\
& = \int sin\ x\ dx \\
& = -cos\ x \end{align} $

Soal integral dapat kita tuliskan menjadi:
$ \begin{align}
\int u\ dv & = u \cdot v-\int v\ du \\
\int x\ sin\ x\ dx & = x \cdot \left(-cos\ x \right) - \int -cos\ x\ dx \\
& = -x\ cos\ x + sin\ x\ + C \\
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -x\ cos\ x + sin\ x + C $

16. Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 1996 (*Soal Lengkap)

$\int \left( 3x+1 \right)\ cos\ 2x\ dx=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2}\left( 3x+1 \right)\ sin\ 2x + \dfrac{3}{4}\ cos\ 2x + C \\
(B)\ & \dfrac{1}{2}\left( 3x+1 \right)\ sin\ 2x - \dfrac{3}{4}\ cos\ 2x + C \\
(C)\ & \dfrac{1}{2}\left( 3x+1 \right)\ sin\ 2x + \dfrac{3}{2}\ cos\ 2x + C \\
(D)\ & -\dfrac{1}{2}\left( 3x+1 \right)\ sin\ 2x + \dfrac{3}{2}\ cos\ 2x + C \\
(E)\ & -\dfrac{1}{2}\left( 3x+1 \right)\ sin\ 2x - \dfrac{3}{4}\ cos\ 2x + C \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Soal integral di atas kita coba selesaikan dengan teknik integral parsial $\int u\ dv=u \cdot v-\int v\ du$,
Dari kesamaan $\int \left( 3x+1 \right)\ cos\ 2x\ dx \equiv \int u\ dv $ dapat kita misalkan $u= 3x+1$ dan $dv=cos\ 2x\ dx$
Untuk $u= 3x+1$ maka $du=3\ dx$ dan
untuk $dv=cos\ 2x\ dx$ maka dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
v & = \int dv \\
& = \int cos\ 2x\ dx \\
& = \dfrac{1}{2}\ sin\ 2x \end{align} $

Soal integral dapat kita tuliskan menjadi:
$ \begin{align}
\int u\ dv & = u \cdot v-\int v\ du \\
\int \left( 3x+1 \right)\ cos\ 2x\ dx & = \left( 3x+1 \right) \cdot \dfrac{1}{2}\ sin\ 2x - \int \dfrac{1}{2}\ sin\ 2x\ 3\ dx \\
& = \left( 3x+1 \right) \cdot \dfrac{1}{2}\ sin\ 2x + \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\ cos\ 2x + C \\
& = \dfrac{1}{2}\ \left( 3x+1 \right) \cdot sin\ 2x + \dfrac{3}{4}\ cos\ 2x + C \\
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{2}\left( 3x+1 \right)\ sin\ 2x + \dfrac{3}{4}\ cos\ 2x + C$

17. Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 1992 (*Soal Lengkap)

Hasil dari $\int x\ cos\ \left( 2x-1 \right)\ dx=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & x\ sin\ \left( 2x-1 \right) + \dfrac{1}{2}\ cos\ \left( 2x-1 \right) + C \\
(B)\ & x\ sin\ \left( 2x-1 \right) - \dfrac{1}{4}\ cos\ \left( 2x-1 \right) + C \\
(C)\ & \dfrac{1}{2}x\ sin\ \left( 2x-1 \right) + \dfrac{1}{4}\ cos\ \left( 2x-1 \right) + C \\
(D)\ & \dfrac{1}{2}x\ sin\ \left( 2x-1 \right) - \dfrac{1}{2}\ cos\ \left( 2x-1 \right) + C \\
(E)\ & \dfrac{1}{2}x\ sin\ \left( 2x-1 \right) + \dfrac{1}{2}\ cos\ \left( 2x-1 \right) + C \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Soal integral di atas kita coba selesaikan dengan teknik integral parsial $\int u\ dv=u \cdot v-\int v\ du$,
Dari kesamaan $\int x\ cos\ \left( 2x-1 \right)\ dx \equiv \int u\ dv $ dapat kita misalkan $u= x$ dan $dv=cos\ \left( 2x-1 \right)\ dx$
Untuk $u= x$ maka $du=1\ dx$ dan
untuk $dv=cos\ \left( 2x-1 \right)\ dx$ maka dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
v & = \int dv \\
& = \int cos\ \left( 2x-1 \right)\ dx \\
& = \dfrac{1}{2}\ sin\ \left( 2x-1 \right) \end{align} $

Soal integral dapat kita tuliskan menjadi:
$ \begin{align}
\int u\ dv & = u \cdot v-\int v\ du \\
\int x\ cos\ \left( 2x-1 \right)\ dx & = x \cdot \dfrac{1}{2}\ sin\ \left( 2x-1 \right) - \int \dfrac{1}{2}\ sin\ \left( 2x-1 \right)\ dx \\
& = \dfrac{1}{2}x\ sin\ \left( 2x-1 \right) + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\ cos\ \left( 2x-1 \right) + C \\
& = \dfrac{1}{2}x\ sin\ \left( 2x-1 \right) + \dfrac{1}{4}\ \left( 2x-1 \right) + C \\
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{2}x\ sin\ \left( 2x-1 \right) + \dfrac{1}{4}\ cos\ \left( 2x-1 \right) + C$

18. Soal UAN Matematika SMA IPA 2004 (*Soal Lengkap)

Hasil dari $16 \int \left( x+3 \right)\ cos\ \left( 2x-\pi \right)\ dx=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -8 \left( 2x+6 \right)\ sin\ 2x - 4 cos\ 2x + C \\
(B)\ & -8 \left( 2x+6 \right)\ sin\ 2x + 4 cos\ 2x + C \\
(C)\ & -8 \left( x+3 \right)\ sin\ 2x - 4 cos\ 2x + C \\
(D)\ & -8 \left( x+3 \right)\ sin\ 2x + 4 cos\ 2x + C \\
(E)\ & 8 \left( x+3 \right)\ cos\ 2x - 4 cos\ 2x + C \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Bentuk soalnya coba kita sederhanakan dengan sudut berelasi, yaitu:
$ \begin{align}
cos\ \left( 2x-\pi \right) & = cos\ -\left( \pi-2x \right) \\
& = cos\ \left( \pi-2x \right) \\
& = -cos\ 2x \\
\end{align} $

Dari bentuk integral di atas kita coba selesaikan dengan teknik integral parsial $\int u\ dv=u \cdot v-\int v\ du$,
Dari kesamaan $-16 \int \left( x+3 \right)\ cos\ 2x\ dx \equiv \int u\ dv $ dapat kita misalkan $u= x+3$ dan $dv=cos\ 2x\ dx$
Untuk $u= x+3$ maka $du=1\ dx$ dan
untuk $dv=cos\ 2x\ dx$ maka dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
v & = \int dv \\
& = \int cos\ 2x\ dx \\
& = \dfrac{1}{2}\ sin\ 2x \end{align} $

Soal integral dapat kita tuliskan menjadi:
$ \begin{align}
\int u\ dv & = u \cdot v-\int v\ du \\
-16\ \int \left( x+3 \right)\ cos\ 2x\ dx & = (x+3) \cdot \dfrac{1}{2}\ sin\ 2x - \int \dfrac{1}{2}\ sin\ 2x\ dx \\
& = \dfrac{1}{2}\ (x+3)\ sin\ 2x - \dfrac{1}{2} \cdot \left( - \dfrac{1}{2}\ cos\ 2x \right) \\
& = \dfrac{1}{2}\ (x+3)\ sin\ 2x + \dfrac{1}{4}\ cos\ 2x \\
& = -8\ (x+3)\ sin\ 2x - 4\ cos\ 2x \\
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -8 \left( x+3 \right)\ sin\ 2x - 4 cos\ 2x + C$


19. Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 1990 (*Soal Lengkap)

Hasil dari $\int \left( x^{2}+1 \right)\ cos\ x\ dx=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}\ sin\ x + 2x\ cos\ x + C \\
(B)\ & \left( x^{2}-1 \right)\ sin\ x + 2x\ cos\ x + C \\
(C)\ & \left( x^{2}+3 \right)\ sin\ x - 2x\ cos\ x + C \\
(D)\ & 2x^{2}\ cos\ x\ 2x^{2}\ sin\ x + C \\
(E)\ & 2x\ sin\ x-\left( x^{2}-1 \right)\ cos\ x + C \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dari bentuk integral di atas kita coba selesaikan dengan teknik integral parsial $\int u\ dv=u \cdot v-\int v\ du$,
Dari kesamaan $\int \left( x^{2}+1 \right)\ cos\ x\ dx \equiv \int u\ dv $ dapat kita misalkan $u= x^{2}+1$ dan $dv=cos\ x\ dx$
Untuk $u= x^{2}+1$ maka $du=2x\ dx$ dan
untuk $dv=cos\ x\ dx$ maka dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
v & = \int dv \\
& = \int cos\ x\ dx \\
& = sin\ x \end{align} $

Soal integral dapat kita tuliskan menjadi:
$ \begin{align}
\int u\ dv & = u \cdot v-\int v\ du \\
\int \left( x^{2}+1 \right)\ cos\ x\ dx & = \left( x^{2}+1 \right)\ sin\ x - \int sin\ x\ \cdot 2x\ dx \\
& = \left( x^{2}+1 \right)\ sin\ x - \int 2x sin\ x\ dx \\
\hline \int 2x sin\ x\ dx & = 2x\ \left( -cos\ x \right) - \int -cos\ x \cdot 2 \ dx \\
& = - 2x\ cos\ x+2\ sin\ x \\
\hline \left( x^{2}+1 \right)\ sin\ x - \int 2x sin\ x\ dx & = \left( x^{2}+1 \right)\ sin\ x - \left( - 2x\ cos\ x+2\ sin\ x \right) \\
& = \left( x^{2}+1 \right)\ sin\ x + 2x\ cos\ x-2\ sin\ x \\
& = \left( x^{2}+1 \right)\ sin\ x -2\ sin\ x + 2x\ cos\ x\\
& = \left( x^{2}-1 \right)\ sin\ x + 2x\ cos\ x \\
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left( x^{2}-1 \right)\ sin\ x + 2x\ cos\ x + C$

20. Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 2003 (*Soal Lengkap)

Hasil dari $\int \limits_{0}^{\pi} x\ cos\ x\ dx=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Soal integral di atas kita coba selesaikan dengan teknik integral parsial $\int u\ dv=u \cdot v-\int v\ du$,
Dari kesamaan $\int x\ cos\ x\ dx \equiv \int u\ dv $ dapat kita misalkan $u=x$ dan $dv=cos\ x\ dx$
Untuk $u=x$ maka $du=1\ dx$ dan
untuk $dv=cos\ x\ dx$ maka dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
v & = \int dv \\
& = \int cos\ x\ dx \\
& = sin\ x \end{align} $

Soal integral dapat kita tuliskan menjadi:
$ \begin{align}
\int u\ dv & = u \cdot v-\int v\ du \\
\int x\ cos\ x\ dx & = x \cdot sin\ x - \int sin\ x\ dx \\
& = x\ sin\ x + cos\ x + C\\
\hline \int \limits_{0}^{\pi} x\ cos\ x\ dx & = \left[ x\ sin\ x + cos\ x \right]_{0}^{\pi} \\
& = \left[ \pi \cdot sin\ \pi + cos\ \pi \right]-\left[ 0 \cdot sin\ 0 + cos\ 0 \right] \\
& = \left[ \pi \cdot 0 + (-1) \right]-\left[ 0 + 1 \right] \\
& = -2 \\
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -2$


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Integral Fungsi (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.
Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian soal Integral Tak tentu dan Tentu Fungsi Trigonometri sangat diharapkan๐Ÿ˜ŠCMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi ๐Ÿ™Share is Caring ๐Ÿ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE๐Ÿ˜Š

Video pilihan khusus untuk Anda ๐Ÿ’— Cara Cepat Menghafal Nilai Perbandingan Trigonometri Untuk Sudut-sudut Istimewa;
youtube image

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Integral Tak tentu dan Tentu Fungsi Trigonometri" silahkan disampaikan ๐Ÿ˜Š dan terima kasih ๐Ÿ™ support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar