Calon Guru belajar bermatematik dari Cara Alternatif Membuktikan Teorema Limit Fungsi Trigonometri Dengan Sederhana.
Belajar limit fungsi trigonometri proses kerjanya tidak jauh beda dengan limit fungsi aljabar, yaitu menghindari hasilnya tak tentu seperti $\dfrac{0}{0}$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$, $\infty - \infty$, $0^{0}$, $\infty^{0}$ atau $1^{\infty}$.
Berdasarkan pengalaman selama jadi calon guru matematika melakukan diskusi tentang limit fungsi, beberapa siswa kesulitan dalam memahami limit fungsi hanya di awal materi saja. Setelah masuk kepada bagaimana menggunakan teorema atau sifat-sifat limit fungsi, siswa umumnya tidak kesulitan.
Teorema Limit Fungsi Trigonometri
Limit fungsi trigonometri sendiri ketika sudah mengetahui teoremanya maka limit fungsi trignometri bisa diselesaikan dengan sangat cepat. Beberapa teorema limit fungsi trigonometri yang akan kita buktikan antara lain:
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ x }{x} = 1 , \, \, $ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ x }{sin\ x} = 1$
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{tan\ x }{x} = 1 , \, \, $ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ x }{tan\ x} = 1$
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{bx} = \dfrac{a}{b} , \, \, $ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ ax }{sin\ bx} = \dfrac{a}{b}$
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{tan\ ax }{bx} = \dfrac{a}{b} , \, \, $ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ ax }{tan\ bx} = \dfrac{a}{b}$
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{sin\ bx} = \dfrac{a}{b} , \, \, $ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{tan\ ax }{tan\ bx} = \dfrac{a}{b}$
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{tan\ ax }{sin\ bx} = \dfrac{a}{b} , \, \, $ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{tan\ bx} = \dfrac{a}{b}$
Soal-soal dan pembahasan tentang limit fungsi yang sudah diujikan SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri), soal SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri), atau soal UN (Ujian Nasional) dapat disimak pada:
- Soal dan Pembahasan Limit Fungsi Trigonometri
- Soal dan Pembahasan Limit Fungsi Aljabar
- Soal dan Pembahasan Limit Fungsi Tak hingga
Pembuktian teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ x }{x} = 1$
Teorema $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ x }{x} = 1$ menjadi teorema dasar dalam limit fungsi trigonometri yang nanti akan sangat membantu untuk membuktikan teorema-teorema limit fungsi trigonometri yang lain.
Misal pada sebuah lingkaran dengan pusat $O$ dan berjari-jari $r$ kita gambarkan $(1)$ Segitiga $OBA$, $(2)$ Juring $OCA$, dan $(3)$ Segitiga $OCD$.
Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut:
Dari ketiga gambar di atas jika kita bandingkan berdasarkan luas, maka dapat kita tuliskan sebagai berikut:
\begin{align}
\left[ OBA \right] \lt \left[ OCA \right] \lt \left[ OCD \right]
\end{align}
Pernahkah luas ketiga bangun di atas sama?
Jawabnya pernah, saat sudut yang dibentuk oleh $OB\ \text{dan}\ OA$, $OA\ \text{dan}\ OC$, atau $OD\ \text{dan}\ OC$ pada gambar di atas yang dimisalkan $x$ besarnya nol derajat sehingga titik $A$ dan $D$ berimpit di $C$. Ketika ketiga titik ini berimpit maka luas ketiga bangun tersebut adalah sama, sehingga dapat juga kita tuliskan:
\begin{align}
\left[ OBA \right] \leq \left[ OCA \right] \leq \left[ OCD \right]
\end{align}
Dengan bantuan trigonometri, mari kita coba hitung luas ketiga bangun tersebut satu persatu:
$\begin{align}
\left[ OBA \right]\ & = \dfrac{1}{2} \cdot OB \cdot AB \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot r \cdot cos\ x \cdot r \cdot sin\ x \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot r^{2} \cdot cos\ x \cdot sin\ x \\
\hline
\left[ OCA \right]\ & = \dfrac{x}{2 \pi} \cdot \text{Luas}\ \bigodot \\
& = \dfrac{x}{2 \pi} \cdot \pi \cdot r^{2} \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot r^{2} \\
\hline
\left[ OCA \right]\ & = \dfrac{1}{2} \cdot OC \cdot CD \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot r \cdot OC \cdot tan\ x \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot r \cdot r \cdot tan\ x \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot r^{2} \cdot tan\ x \\
\end{align}$
Kita kembali kepada ketidaksamaan:
\begin{align}
\left[ OBA \right] \leq & \left[ OCA \right] \leq \left[ OCD \right] \\
\dfrac{1}{2} \cdot r^{2} \cdot cos\ x \cdot sin\ x \leq & \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot r^{2} \leq \dfrac{1}{2} \cdot r^{2} \cdot tan\ x \\
\end{align}
Jika bentuk di atas, setiap ruas kita bagikan dengan $\left( \frac{1}{2}r^{2} \right)$, maka akan kita peroleh:
\begin{align}
cos\ x \cdot sin\ x \leq x \leq tan\ x \\
cos\ x \cdot sin\ x \leq x \leq \dfrac{sin\ x}{cos\ x} \\
\end{align}
Lalu bentuk di atas, setiap ruas kita bagikan dengan $sin\ x$, maka akan kita peroleh:
\begin{align}
cos\ x \leq \dfrac{x}{sin\ x} \leq \dfrac{1}{cos\ x} \\
\end{align}
Berikutnya setiap ruas kita beri $\lim\limits_{x \to 0}$, sehingga dapat kita tuliskan:
\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0}\ cos\ x \leq & \lim\limits_{x \to 0}\ \dfrac{x}{sin\ x} \leq \lim\limits_{x \to 0}\ \dfrac{1}{cos\ x} \\
cos\ 0 \leq & \lim\limits_{x \to 0}\ \dfrac{x}{sin\ x} \leq \dfrac{1}{cos\ 0} \\
1 \leq & \lim\limits_{x \to 0}\ \dfrac{x}{sin\ x} \leq 1 \\
\end{align}
Berdasarkan Teorema Apit nilai $\lim\limits_{x \to 0}\ \dfrac{x}{sin\ x} \leq 1$ dan $ \lim\limits_{x \to 0}\ \dfrac{x}{sin\ x} \geq 1$ dipenuhi hanya pada saat $\lim\limits_{x \to 0}\ \dfrac{x}{sin\ x}=1$.
Sampai pada tahap ini kita sudah membuktikan bahwa $\lim\limits_{x \to 0}\ \dfrac{x}{sin\ x}=1$.
Pembuktian teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ x }{x} = 1$
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan teorema ini, kita gunakan bantuan teorema yang sudah kita dapatkan sebelumnya $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ sin\ x }{x} = 1$.
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ sin\ x }{x}\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ 1 }{\frac{x}{sin\ x}} \right) \\
& = \dfrac{\lim\limits_{x \to 0}\ 1 }{\lim\limits_{x \to 0}\ \frac{x}{sin\ x}} \\
& = \dfrac{1 }{1} = 1 \\
& \therefore\ \text{Terbukti}
\end{align}$
Pembuktian teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{tan\ x }{x} = 1$
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan teorema ini, kita gunakan bantuan teorema yang sudah kita dapatkan sebelumnya $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ sin\ x }{x} = 1$.
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ tan\ x }{x}\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ \frac{sin\ x}{cos\ x} }{x} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ sin\ x }{cos\ x} \cdot \dfrac{1}{x} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ sin\ x }{x} \cdot \dfrac{1}{cos\ x} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ sin\ x }{x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{cos\ x} \\
& = 1 \cdot \dfrac{1}{cos\ 0} \\
& = 1 \cdot 1 = 1 \\
& \therefore\ \text{Terbukti}
\end{align}$
Pembuktian teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x }{tan\ x} = 1$
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan teorema ini, kita gunakan bantuan teorema yang sudah kita dapatkan sebelumnya $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ sin\ x }{x} = 1$.
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ x }{tan\ x}\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ x }{ \frac{sin\ x}{cos\ x} } \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( x \cdot \dfrac{cos\ x}{sin\ x} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ x }{sin\ x} \cdot cos\ x \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ x }{sin\ x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} cos\ x \\
& = 1 \cdot cos\ 0 \\
& = 1 \cdot 1 = 1 \\
& \therefore\ \text{Terbukti}
\end{align}$
Pembuktian teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{bx} = \dfrac{a }{b}$
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan teorema ini, kita gunakan bantuan teorema yang sudah kita dapatkan sebelumnya $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ sin\ x }{x} = 1$.
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{bx}\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{sin\ ax }{bx} \cdot \dfrac{a }{a} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{a \cdot sin\ ax }{a \cdot bx} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{a \cdot sin\ ax }{b \cdot ax} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{sin\ ax }{ax} \cdot \dfrac{a}{b} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{ax} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{a}{b} \\
& = 1 \cdot \dfrac{a}{b} \\
& = \dfrac{a}{b} \\
& \therefore\ \text{Terbukti}
\end{align}$
Pembuktian teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ ax }{sin\ bx} = \dfrac{a }{b}$
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan teorema ini, kita gunakan bantuan teorema yang sudah kita dapatkan sebelumnya $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ x }{sin\ x} = 1$.
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ ax }{sin\ bx}\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ ax }{sin\ bx} \cdot \dfrac{b }{b} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{b \cdot ax }{b \cdot sin\ bx} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{a \cdot bx }{b \cdot sin\ bx} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{bx }{sin\ bx} \cdot \dfrac{a}{b} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{bx }{sin\ bx} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{a}{b} \\
& = 1 \cdot \dfrac{a}{b} \\
& = \dfrac{a}{b} \\
& \therefore\ \text{Terbukti}
\end{align}$
Pembuktian teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{tan\ ax }{bx} = \dfrac{a }{b}$
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan teorema ini, kita gunakan bantuan teorema yang sudah kita dapatkan sebelumnya $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ tan\ x }{x} = 1$.
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{tan\ ax }{bx}\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{tan\ ax }{bx} \cdot \dfrac{a }{a} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{a \cdot tan\ ax }{a \cdot bx} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{a \cdot tan\ ax }{b \cdot ax} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{tan\ ax }{ax} \cdot \dfrac{a}{b} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{tan\ ax }{ax} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{a}{b} \\
& = 1 \cdot \dfrac{a}{b} \\
& = \dfrac{a}{b} \\
& \therefore\ \text{Terbukti}
\end{align}$
Pembuktian teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ ax }{tan\ bx} = \dfrac{a }{b}$
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan teorema ini, kita gunakan bantuan teorema yang sudah kita dapatkan sebelumnya $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ x }{tan\ x} = 1$.
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ ax }{tan\ bx}\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ ax }{tan\ bx} \cdot \dfrac{b }{b} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{b \cdot ax }{b \cdot tan\ bx} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{a \cdot bx }{b \cdot tan\ bx} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{bx }{tan\ bx} \cdot \dfrac{a}{b} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{bx }{tan\ bx} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{a}{b} \\
& = 1 \cdot \dfrac{a}{b} \\
& = \dfrac{a}{b} \\
& \therefore\ \text{Terbukti}
\end{align}$
Pembuktian teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{sin\ bx} = \dfrac{a }{b}$
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan teorema ini, kita gunakan bantuan teorema yang sudah kita dapatkan sebelumnya $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ ax }{sin\ bx} = \dfrac{a}{b}$ dan $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{bx} =\dfrac{a}{b}$ .
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ sin\ ax }{sin\ bx}\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ sin\ ax }{sin\ bx} \cdot \dfrac{\frac{1}{ax}}{\frac{1}{ax}} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ \frac{sin\ ax}{ax} }{\frac{sin\ bx}{ax}}\right) \\
& = \dfrac{\lim\limits_{x \to 0} \frac{sin\ ax}{ax} }{\lim\limits_{x \to 0} \frac{sin\ bx}{ax}} \\
& = \dfrac{1 }{ \frac{b}{a}} \\
& = \dfrac{a }{b} \\
& \therefore\ \text{Terbukti}
\end{align}$
Pembuktian teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{tan\ ax }{tan\ bx} = \dfrac{a }{b}$
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan teorema ini, kita gunakan bantuan teorema yang sudah kita dapatkan sebelumnya $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ ax }{tan\ bx} = \dfrac{a}{b}$ dan $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{tan\ ax }{bx} =\dfrac{a}{b}$ .
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ tan\ ax }{tan\ bx}\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ tan\ ax }{tan\ bx} \cdot \dfrac{\frac{1}{ax}}{\frac{1}{ax}} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ \frac{tan\ ax}{ax} }{\frac{tan\ bx}{ax}}\right) \\
& = \dfrac{\lim\limits_{x \to 0} \frac{tan\ ax}{ax} }{\lim\limits_{x \to 0} \frac{tan\ bx}{ax}} \\
& = \dfrac{1 }{ \frac{b}{a}} \\
& = \dfrac{a }{b} \\
& \therefore\ \text{Terbukti}
\end{align}$
Pembuktian teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{tan\ bx} = \dfrac{a }{b}$
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan teorema ini, kita gunakan bantuan teorema yang sudah kita dapatkan sebelumnya $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ ax }{tan\ bx} = \dfrac{a}{b}$ dan $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sin\ ax }{bx} =\dfrac{a}{b}$ .
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ sin\ ax }{tan\ bx}\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ sin\ ax }{tan\ bx} \cdot \dfrac{\frac{1}{ax}}{\frac{1}{ax}} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ \frac{sin\ ax}{ax} }{\frac{tan\ bx}{ax}}\right) \\
& = \dfrac{\lim\limits_{x \to 0} \frac{sin\ ax}{ax} }{\lim\limits_{x \to 0} \frac{tan\ bx}{ax}} \\
& = \dfrac{1 }{ \frac{b}{a}} \\
& = \dfrac{a }{b} \\
& \therefore\ \text{Terbukti}
\end{align}$
Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Cara Alternatif Membuktikan Teorema Limit Fungsi Trigonometri Dengan Sederhana silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Cara alternatif Menghafal Nilai Sudut Istimewa