Calon guru belajar matematika lewat Soal dan Pembahasan Pra OSN-K (Olimpiade Sains Nasional Tingkat Kabupaten) Matematika SMP. Soal ini merupakan soal pada OKSI tingkat SMP oleh SMAN 2 Lintongnihuta Tahun 2024. OKSI adalah Olimpiade Kreativitas Siswa Tingkat SMP/MTs yang dilaksanakan oleh SMAN 2 Lintongnihuta.
Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta untuk mata pelajaran matematika ini teridiri dari $50$ soal, yang sangat cocok kalian jadikan bahan latihan dalam mempersiapkan diri untuk menghadapi OSN Tingkat Kabupaten/Kota bidang lomba Matematika atau persiapan menghadapi seleksi akademik masuk SMA Unggulan/SMA Favorit.
Soal dan Pembahasan Soal Matematika OKSI SMAN 2 Lintongnihuta Tahun 2024
Soal latihan Soal latihan Pra OSN-K Matematika SMP berikut ini, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 50 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Olimpiade Kreativitas Siswa bidang Matematika tingkat SMP yang diselenggarakan oleh OSIS SMA Negeri 2 lintongnihuta tahun 2024 terdiri dari $50$ soal, mempunyai aturan penilaian sebagai berikut:
Setiap butir soal yang dijawab dengan benar diberi nilai $4$, butir soal yang dijawab salah diberi nilai $−1$, dan butir soal yang tidak dijawab diberi nilai $0$.Dari data di atas nilai tertinggi diperoleh...
- Anggiat menjawab $82 \%$ soal benar, $8 \%$ soal kosong, dan sisanya salah.
- Bagas menjawab $84\%$ soal benar, $4\%$ soal kosong, dan sisanya salah.
- Cinta menjawab $84 \%$ soal benar, $14 \%$ soal salah, dan sisanya kosong.
- Dame menjawab $82 \%$ soal benar, $8 \%$ soal salah, dan sisanya kosong.
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal di atas, kita perolah nilai dari masing-masing mereka adalah:
- Anggiat:
$82 \% \times 50 \times 4 + 10 \% \times 50 \times (-1) $
$41 \times 4 - 5 = 164-5=159$ - Bagas:
$84 \% \times 50 \times 4 + 12 \% \times 50 \times (-1) $
$42 \times 4 - 6 = 168-6=162$ - Cinta:
$84 \% \times 50 \times 4 + 14 \% \times 50 \times (-1) $
$42 \times 4 - 7 = 168-7=161$ - Dame:
$82 \% \times 50 \times 4 + 8 \% \times 50 \times (-1) $
$41 \times 4 - 4 = 164-4=160$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \text{Bagas}$
2. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Olimpiade Kreativitas Siswa (OKSI) tingkat SMP yang diselenggarakan oleh OSIS SMA Negeri 2 lintongnihuta tahun 2024 dilaksanakan hari Sabtu tanggal 24 Februari tahun 2024.
Jika 2024 hari lagi akan dilaksanakan kegiatan OKSI berikutnya, maka OKSI berikutnya akan dilaksanakan pada hari...
Alternatif Pembahasan:
Jika sekarang hari Sabtu, maka untuk mengetahui $2024$ hari lagi, kita dapat menentukan hari tersebut dengan membagi $2024$ dengan $7$. Kenapa dibagi $7$, karena ada $7$ hari dalam seminggu, sehingga akan ada pengulangan hari setiap $7$ hari.
- Misal:
- $9$ dibagi $7$ sisa $2$, sehingga $9$ hari lagi harinya sama dengan $2$ hari lagi.
- $31$ dibagi $7$ sisa $3$, sehingga $31$ hari lagi harinya sama dengan $3$ hari lagi.
$2024$ dibagi $7$ sisa $1$, sehingga $2024$ hari lagi harinya sama dengan $1$ hari lagi. Jika sekarang hari sabtu maka satu hari lagi adalah hari minggu.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \text{Minggu}$
3. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Jika $2^{a_{1}}+2^{a_{2}}+2^{a_{3}}+ \cdots +2^{a_{n}}=2024$ maka nilai $ a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdots + a_{n}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk soal ini kita akan merubah bentuk $2024$ menjadi penjumlahan bilangan berpangkat dengan bilangan pokok $2$.
$2024= 2^{10}+2^{9}+2^{8}+2^{7}+2^{6}+2^{5}+2^{4}+2^{3}$,
sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
& a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdots + a_{n} \\
&= 10+9+8+7+6+5+4+3 \\
&= 46
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 46$
4. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Ibu Lastiar memiliki $40$ permen rasa mangga, $30$ permen rasa melon, dan $50$ permen rasa jeruk. Apabila permen-permen tersebut akan dibagikan kepada sebanyak mungkin murid-muridnya dengan masing-masing anak mendapatkan bagian semua rasa yang sama banyak, maka banyak permen rasa melon yang diberikan kepada setiap murid-muridnya adalah...
Alternatif Pembahasan:
Agar Ibu Lastiar bisa membagikan $40$ permen rasa mangga, $30$ permen rasa melon, dan $50$ permen rasa jeruk ke pada anak-anak dimana setiap anak mendapatkan banyak permen sama, maka dapat kita gunakan konsep FPB (Faktor Persekutuan Terbesar).
- Faktorisasi dari $40$ adalah $1$, $2$, $4$, $5$, $8$, $10$, $20$, dan $40$.
- Faktorisasi dari $30$ adalah $1$, $2$, $3$, $5$, $6$, $10$, $15$, dan $30$.
- Faktorisasi dari $50$ adalah $1$, $2$, $5$, $10$, $25$, dan $50$.
Dari faktor $30$, $40$, dan $50$ di atas kita peroleh, banyak permen yang dapat dibagikan secara merata adalah untuk $10$ orang. Sehingga banyak permen rasa lemon yang diperoleh setiap anak adalah $30 \div 10 $ yaitu $3$ buah.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3\ \text{buah}$
5. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Bilangan yang ditunjukkan oleh $\dfrac{2021 \times 2022 \times 2023 \times 2024}{(2021+2021\sqrt{2})(4044+2022\sqrt{3})(2023-2023\sqrt{2})(4048-2024\sqrt{3})}$ adalah
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, dengan melalukan manipulasi aljabar akan kita peroleh:
$\begin{align}
& \dfrac{2021 \times 2022 \times 2023 \times 2024}{(2021+2021\sqrt{2})(4044+2022\sqrt{3})(2023-2023\sqrt{2})(4048-2024\sqrt{3})} \\
&= \dfrac{2021 \times 2022 \times 2023 \times 2024}{2021(1+ \sqrt{2})2022(2+ \sqrt{3})2023(1- \sqrt{2})2024(2-\sqrt{3})} \\
&= \dfrac{2021 \times 2022 \times 2023 \times 2024}{2021 \times 2022 \times 2023 \times 2024 \times (1+ \sqrt{2}) (2+ \sqrt{3}) (1- \sqrt{2}) (2-\sqrt{3})} \\
&= \dfrac{1}{(1+ \sqrt{2})(1- \sqrt{2}) (2+ \sqrt{3})(2-\sqrt{3})} \\
&= \dfrac{1}{(1-2) (4-3)} \\
&= \dfrac{1}{(-1) (1)} =-1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \text{Bilangan bulat negatif}$
6. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Diketahui $x+y=\dfrac{1}{3}$ dan $xy=-\dfrac{1}{3}$, nilai dari $\dfrac{1}{x^{4}} + \dfrac{1}{y^{4}}= \cdots$.
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, dengan melakukan manipulasi aljabar akan kita peroleh:
$\begin{align}
\left( x+y \right)^{2} &= x^{2}+y^{2}+2xy \\
\left( \frac{1}{3} \right)^{2} &= x^{2}+y^{2}+2\left( -\frac{1}{3} \right) \\
\frac{1}{9} &= x^{2}+y^{2} - \frac{2}{3} \\
x^{2}+y^{2} &= \frac{1}{9} + \frac{6}{9} \\
x^{2}+y^{2} &= \frac{7}{9}
\end{align}$
Bentuk di atas kita kuadratkan ruas kiri dan ruas kanan, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\left( x^{2}+y^{2} \right)^{2} &= \left( \frac{7}{9} \right)^{2} \\
x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2} &= \frac{49}{81} \\
x^{4}+y^{4} &= \frac{49}{81} - 2 \left( xy \right)^{2} \\
x^{4}+y^{4} &= \frac{49}{81} - 2 \left( \frac{1}{3} \right)^{2} \\
x^{4}+y^{4} &= \frac{49}{81} - \frac{2}{9} \\
x^{4}+y^{4} &= \frac{49}{81} - \frac{18}{81} \\
x^{4}+y^{4} &= \frac{31}{81}
\end{align}$
Dari hasil di atas, kita dapat peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{1}{x^{4}} + \dfrac{1}{y^{4}} &= \dfrac{x^{4} + y^{4}}{ x^{4} \cdot y^{4}} \\
&= \dfrac{x^{4} + y^{4}}{ \left( x \cdot y \right)^{4}} \\
&= \dfrac{\frac{31}{81}}{\left( -\frac{1}{3} \right)^{4} } = \dfrac{\frac{31}{81}}{ \frac{1}{81} } =31
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 31$
7. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Diketahui $m=\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3 \times 4}+\cdots\frac{1}{2023 \times 2024}$ dan $n=1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\cdots\frac{1}{1+2+3+\cdots+2023}$,
nilai dari $\left( \dfrac{m}{n} \right)^{-2024}= \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, dengan menggunakan prinsip Cara Kerja Telescoping atau manipulasi aljabar akan kita peroleh:
$\begin{align}
m &= \frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3 \times 4}+\cdots \frac{1}{2023 \times 2024} \\
m &= 1-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ \frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\cdots + \frac{1}{2023}-\frac{1}{2024} \\
m &= 1-\frac{1}{2024} \\
m &= \frac{2023}{2024} \\
\end{align}$
$\begin{align}
n &= 1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\cdots+\frac{1}{1+2+3+\cdots+2023} \\
n &= 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{1+2+3+\cdots+2023} \\
n &= 1+2 \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)+2 \left( \frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right)+\cdots+2 \left( \frac{1}{2023}-\frac{1}{2024} \right) \\
n &= 1+2 \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+ \frac{1}{2023}-\frac{1}{2024} \right) \\
n &= 1+2 \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{2024} \right) \\
n &= 1+1-\frac{2}{2024} \\
n &= 2-\frac{2}{2024} \\
n &= 2 \left( 1-\frac{1}{2024} \right) \\
n &= 2 \left( \frac{2023}{2024} \right) \\
\end{align}$
Dari hasil di atas, kita dapat peroleh:
$\begin{align}
\left( \dfrac{m}{n} \right)^{-2024} &= \left( \dfrac{n}{m} \right)^{2024} \\
&= \left( \dfrac{2 \left( \frac{2023}{2024} \right)}{\frac{2023}{2024}} \right)^{2024} \\
&= 2^{2024}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2^{2024}$
8. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Jika bilangan bulat $a$ dan $b$ dibagi $2024$ maka akan bersisa $3$.
Jika bilangan $a-3b$ dibagi $2024$, maka sisa pembagian adalah
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, dengan menggunakan prinsip keterbagian sebuah bilangan atau manipulasi aljabar akan kita peroleh:
- Jika $75$ dibagi $7$ sisa $5$, maka berlaku $75=7k+5$ dimana $k$ adalah bilangan bulat positif.
- Jika $a$ dibagi $2024$ sisa $3$, maka berlaku $a=2024x+3$ dimana $x$ adalah bilangan bulat positif.
- Jika $b$ dibagi $2024$ sisa $3$, maka berlaku $b=2024y+3$ dimana $y$ adalah bilangan bulat positif.
Dari informasi di atas, kita dapat peroleh:
$\begin{align}
a-3b &= 2024x+3 - 3 \left( 2024y+3 \right)\\
&= 2024x+3 - 3 \left( 2024y\right) -9\\
&= 2024 \left( x-3y\right) -6\\
&= 2024 \left( x-3y\right) -6+2024-2024\\
&= 2024 \left( x-3y\right)-2024 +2018\\
&= 2024 \left( x-3y-1 \right) +2018
\end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh bahwa $a-3b=2024 \left( x-3y-1 \right) +2018$ yang artinya jika $a-3b$ dibagi $2024$ sisanya adalah $2018$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2018$
9. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Jumlah semua nilai bilangan real $m$ yang memenuhi persamaan di bawah ini adalah:
$m^{2}+3m=\dfrac{2024}{m^{2}+3m-2}$
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, dengan menggunakan prinsip persamaan kuadrat atau manipulasi aljabar akan kita peroleh beberapa perhitungan seperti di bawah ini.
Kita misalkan $m^{2}+3m=x$, kita peroleh:
$\begin{align}
m^{2}+3m &= \dfrac{2024}{m^{2}+3m-2} \\
x &= \dfrac{2024}{x-2} \\
x^{2}-2x &= 2024 \\
x^{2}-2x-2024 &= 0 \\
\left(x-46 \right)\left(x+44 \right) &= 0 \\
x=46\ \text{atau}\ x=-44 &
\end{align}$
Untuk $x=-44$ kita peroleh:
$\begin{align}
m^{2}+3m &= -44 \\
m^{2}+3m+44 &= 0
\end{align}$
Tidak ada bilangan real $m$ yang memenuhi ($m$ imajiner) karena $D=b^{2}-4ac \lt 0$.
Untuk $x=46$ kita peroleh:
$\begin{align}
m^{2}+3m &= 46 \\
m^{2}+3m-46 &= 0
\end{align}$
Jumlah bilangan real $m$ yang memenuhi adalah $m_{1}+m_{2}=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-3}{1}=-3$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -3$
10. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Diketahui $A=2 \times 2024^{2025}$, $B=2024^{2025}$, $C=2023 \times 2024^{2024}$, $D=2 \times 2024^{2024}$ dan $E=2024^{2024}$, dari bilangan-bilangan berikut, mana yang paling besar?
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, dengan menggunakan prinsip bilangan berpangkat atau manipulasi aljabar akan kita peroleh beberapa perhitungan seperti di bawah ini.
- Untuk $A-B$
$\begin{align}
&= 2 \times 2024^{2025}-2024^{2025} \\ &= 2024^{2025} \\ &= 2024 \times 2024^{2024} \end{align}$ - Untuk $B-C$
$\begin{align}
&= 2024^{2025} - 2023 \times 2024^{2024} \\ &= 2024 \times 2024^{2024} - 2023 \times 2024^{2024} \\ &= 2024^{2024} \left( 2024-2023 \right) \\ &= 2024^{2024} \end{align}$ - Untuk $C-D$
$\begin{align}
&= 2023 \times 2024^{2024}-2 \times 2024^{2024} \\ &= 2024^{2024} \left( 2023 -2 \right) \\ &= 2021 \times 2024^{2024} \end{align}$ - Untuk $D-E$
$\begin{align}
&= 2 \times 2024^{2024}-2024^{2024} \\ &= 2024^{2024} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ A-B$
11. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Misalkan $a$ sembarang bilngan real.
Tentukan nilai maksimum dari $\sqrt{2034-a}+\sqrt{a-2016}$
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, dengan menggunakan prinsip persamaan kuadrat atau manipulasi aljabar akan kita peroleh beberapa perhitungan seperti di bawah ini.
Kita misalkan $x=\sqrt{2034-a}+\sqrt{a-2016}$, kita peroleh:
$\begin{align}
x^{2} &= \left( \sqrt{2034-a}+\sqrt{a-2016} \right)^{2} \\
x^{2} &= 2034-a+a-2016+2\left( \sqrt{2034-a} \right)\left( \sqrt{a-2016} \right) \\
x^{2} &= 18+2\left( \sqrt{2034-a} \right)\left( \sqrt{a-2016} \right)
\end{align}$
agar $x^{2}$ maksimum maka $\sqrt{2034-a}=\sqrt{a-2016}$, kita peroleh:
$\begin{align}
\sqrt{2034-a} &= \sqrt{a-2016} \\
2034-a &= a-2016 \\
2a &= 4050 \\
a &= 2025 \\
\end{align}$
Untuk $a=2025$ kita peroleh:
$\begin{align}
x^{2} &= 18+2\left( \sqrt{2034-2025} \right)\left( \sqrt{2025-2016} \right) \\
x^{2} &= 18+2\left( \sqrt{9} \right)\left( \sqrt{9} \right) \\
x^{2} &= 18+2\left( 3 \right)\left( 3 \right) \\
x^{2} &= 36\ \longrightarrow x=6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6$
12. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan berikut:
$x=\left( 3-\sqrt{5} \right) \left( \sqrt{3+\sqrt{5}} \right)+\left( 3+\sqrt{5} \right) \left( \sqrt{3-\sqrt{5}} \right)$
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, dengan menggunakan prinsip persamaan kuadrat atau manipulasi aljabar akan kita peroleh beberapa perhitungan seperti di bawah ini.
$\begin{align}
x &=\left( 3-\sqrt{5} \right) \left( \sqrt{3+\sqrt{5}} \right)+\left( 3+\sqrt{5} \right) \left( \sqrt{3-\sqrt{5}} \right)\\
x &=\left( \sqrt{\left( 3-\sqrt{5} \right)^{2}\left( 3+\sqrt{5} \right)} \right)+\left( \sqrt{\left( 3+\sqrt{5} \right)^{2} \left( 3-\sqrt{5} \right)} \right)\\
x &=\left( \sqrt{\left( 3-\sqrt{5} \right) \left( 9-5 \right)} \right)+\left( \sqrt{\left( 3+\sqrt{5} \right) \left( 9-5 \right)} \right)\\
x &=\left( \sqrt{\left( 3-\sqrt{5} \right) \left( 4 \right)} \right)+\left( \sqrt{\left( 3+\sqrt{5} \right) \left( 4 \right)} \right)\\
x &=2 \left( \sqrt{ 3-\sqrt{5}} + \sqrt{ 3+\sqrt{5}} \right) \\
\dfrac{x}{2} &= \left( \sqrt{ 3-\sqrt{5}} + \sqrt{ 3+\sqrt{5}} \right) \\
\end{align}$
Bentuk di atas ruas kiri dan kanan kita kuadratkan, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\left( \dfrac{x}{2} \right)^{2} &= \left( \sqrt{ 3-\sqrt{5}} + \sqrt{ 3+\sqrt{5}} \right)^{2} \\
\dfrac{x^{2}}{4} &= 3-\sqrt{5} + 3+\sqrt{5} + 2\left( \sqrt{ 3-\sqrt{5}} \right)\left(\sqrt{ 3+\sqrt{5}} \right) \\
\dfrac{x^{2}}{4} &= 6 + 2\left( \sqrt{ 9-5} \right) \\
\dfrac{x^{2}}{4} &= 6 + 2\left( 2 \right) \\
\dfrac{x^{2}}{4} &= 10 \\
x^{2} &= 40 \\
x &= \pm \sqrt{ 40 }\\
x &= \pm 2 \sqrt{ 10 }
\end{align}$
Karena $x =2 \left( \sqrt{ 3-\sqrt{5}} + \sqrt{ 3+\sqrt{5}} \right)$ maka nilai $x \gt 0$. Nilai $x$ yang memenuhi adalah $x = 2 \sqrt{ 10 }$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2 \sqrt{ 10 }$
13. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Jika $ \left( 3+4 \right)\left( 3^{2}+4^{2} \right)\left( 3^{4}+4^{4} \right)\left( 3^{8}+4^{8} \right)\cdots\left( 3^{1024}+4^{1024} \right)= 4^{x}-3^{y} $ maka nilai $x+y=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, dengan menggunakan prinsip Bentuk Pangkat atau manipulasi aljabar akan kita peroleh beberapa perhitungan seperti di bawah ini.
$\begin{align}
4^{x}-3^{y} &=\left( 3+4 \right)\left( 3^{2}+4^{2} \right)\left( 3^{4}+4^{4} \right)\left( 3^{8}+4^{8} \right)\cdots\left( 3^{1024}+4^{1024} \right) \\
4^{x}-3^{y} &=\left( 4-3 \right)\left( 4+3 \right)\left( 4^{2}+3^{2} \right)\left( 4^{4}+3^{4} \right)\left( 4^{8}+3^{8} \right)\cdots\left( 4^{1024}+3^{1024} \right) \\
4^{x}-3^{y} &=\left( 4^{2}-3^{2}\right) \left( 4^{2}+3^{2} \right)\left( 4^{4}+3^{4} \right)\left( 4^{8}+3^{8} \right)\cdots\left( 4^{1024}+3^{1024} \right) \\
4^{x}-3^{y} &=\left( 4^{4}-3^{4}\right) \left( 4^{4}+3^{4} \right)\left( 4^{8}+3^{8} \right)\cdots\left( 4^{1024}+3^{1024} \right) \\
4^{x}-3^{y} &=\left( 4^{8}-3^{8}\right) \left( 4^{8}+3^{8} \right)\cdots\left( 4^{1024}+3^{1024} \right) \\
4^{x}-3^{y} &=\left( 4^{16}-3^{16} \right) \cdots\left( 4^{1024}+3^{1024} \right) \\
& \vdots \\
4^{x}-3^{y} &=\left( 4^{1024}-3^{1024} \right) \left( 4^{1024}+3^{1024} \right) \\
4^{x}-3^{y} &= 4^{2048}-3^{2048}
\end{align}$
Dari bentuk di atas kita peroleh $x=2048$ dan $y=2048$ sehingga $x+y=4096$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4096$
14. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Jika $\dfrac{234}{61}=a+\dfrac{1}{b+\frac{1}{c+\frac{1}{d}}}$ maka nilai dari $a+2b+3c+3d$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, dengan menggunakan prinsip Bentuk Pangkat atau manipulasi aljabar akan kita peroleh beberapa perhitungan seperti di bawah ini.
$\begin{align}
\dfrac{234}{61} &= a+\dfrac{1}{b+\frac{1}{c+\frac{1}{d}}} \\
\dfrac{234}{61} & = 3+\dfrac{61}{51} \\
& = 3+\dfrac{1}{\frac{61}{51}} \\
& = 3+\dfrac{1}{\frac{61}{51}} \\
& = 3+\dfrac{1}{1+\frac{10}{51}} \\
& = 3+\dfrac{1}{1+\frac{1}{\frac{51}{10}}} \\
& = 3+\dfrac{1}{1+\frac{1}{5+\frac{1}{10}}}
\end{align}$
Nilai dari $a+2b+3c+3d$ adalah:
$\begin{align}
a+2b+3c+3d &= 3+2(1)+3(5)+3(10) \\
&= 3+2+15+30 \\
&= 60
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 60$
15. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Dari $200$ orang peserta OKSI SMAN 2 Lintongnihuta mendaftar untuk mengikuti perlombaan olimpiade tertulis Bahasa Inggris, Lomba Baca Pidato Bahasa Inggris, atau kedua-duanya. Bila yang mendaftarkan diri untuk mengikuti olimpiade tertulis Bahasa Inggris $75 \%$, dan Lomba Baca Pidato Bahasa Inggris $48 \%$, banyaknya peserta yang mendaftar untuk kedua lomba tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, dengan menggunakan prinsip himpunan akan kita peroleh beberapa perhitungan seperti di bawah ini.
$\begin{align}
n \left( A \cup B \right) = &\ n(A)+n(B)-n\left( A \cap B \right) \\
100 \%= &\ 75 \% + 48 \% - n\left( A \cap B \right) \\
100 \%= &\ 123 \% - n\left( A \cap B \right) \\
n\left( A \cap B \right) = &\ 23 \%
\end{align}$
Banyak peserta yang mengikuti perlombaan Bahasa Inggris dan Lomba Baca Pidato Bahasa Inggris adalah $23 \% \times 200=46$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 46$
16. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Jika $\dfrac{a}{b}=0,\overline{2024}$ dan $FPB \left( a,b \right)=1$ maka nilai dari $5a-b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, dengan menggunakan prinsip pecahan atau manipulasi aljabar akan kita peroleh beberapa perhitungan seperti di bawah ini.
Kita misalkan nilai $x= 0,2024202420242024...$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
10000x &= 2024,202420242024... \\
x &= 0,2024202420242024... \\
\hline
9999x &= 2024 \\
x & = \dfrac{2024}{9999} \\
x & = \dfrac{184 \times 11}{909 \times 11} = \dfrac{184}{909}
\end{align}$
$\begin{align}
\dfrac{a}{b} &= \dfrac{184}{909} \\
\hline
a & = 184 \\
b & = 909 \\
5a-b & = 5(184)-909 \\
& = 920-909 \\
& = 11
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 11$
17. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Jika $x$ dan $y$ dua bilangan asli dan $x+y+xy=24$, maka $x+y$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, dengan menggunakan prinsip aljabar atau manipulasi aljabar akan kita peroleh beberapa perhitungan seperti di bawah ini.
$\begin{align}
x+y+xy &= 24 \\
\left( x+1 \right)\left( y+1 \right)-1 &= 24 \\
\left( x+1 \right)\left( y+1 \right) &= 25 \\
\left( x+1 \right)\left( y+1 \right) &= \left( 5 \right)\left( 5 \right) \\
\end{align}$
Karena $x$ dan $y$ dua bilangan asli dapat kita ambil kesimpulan bahwa $x+1=5$ atau x=4 dan $y+1=5$ atau $y=5$, sehingga nilai $x+y=8$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 8$
18. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Dalam pertandingan lari estafet, Goklas berlari dalam putaran pertama selama $72$ detik. Hotma berlari dalam putaran berikutnya dengan kecepatan $\dfrac{9}{10}$ dari kecepatan Goklas. Martua berlari pada putaran berikutnya dengan kecepatan $\dfrac{4}{3}$ dari kecepatan Hotma, Poltak berlari pada putaran terakhir dengan kecepatan $\dfrac{6}{5}$ dari kecepatan Martua. Total waktu untuk menyelesaikan pertandingan lari estafet adalah...
Alternatif Pembahasan:
Goklas, Hotma, Martua dan Poltak berlari estafet menempuh satu purana dengan jarak yang sama, sehingga jarak tempuh mereka dapat kita "1". Karena jarak tempuh yang kita anggap "1", maka berdasarkan konsep kecepatan, kita dapat kecepatan dari masing-masing mereka;
- Kecepatan U: $v_{G}=\dfrac{1}{t}=\dfrac{1}{72}$
- Kecepatan I: $v_{H}=\dfrac{9}{10} \cdot \dfrac{1}{72} =\dfrac{1}{80}$
- Kecepatan J: $v_{M}=\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{1}{80} =\dfrac{1}{60}$
- Kecepatan M: $v_{P}=\dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{1}{60} =\dfrac{1}{50}$
Total waktu lomba adalah $72+80+60+50=262$ atau $4\ \text{menit}\ 22\ \text{detik}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4\ \text{menit}\ 22\ \text{detik} $
19. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Jika $x^{3}-x-1=0$ maka $x^{4}+x^{3}-x^{2}-2x+2024=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, dengan menggunakan prinsip aljabar atau manipulasi aljabar akan kita peroleh beberapa perhitungan seperti di bawah ini.
$\begin{align} x^{3}-x-1 &= 0 \\ x^{4}-x^{2}-x &= 0\ \ \ (+) \\ \hline x^{4}+x^{3}-x^{2}-2x-1 &= 0 \\ x^{4}+x^{3}-x^{2}-2x-1 + 2025 &= 2025 \\ x^{4}+x^{3}-x^{2}-2x + 2024 &= 2025 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2025$
20. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Diketahui sifat logaritma ${}^{a}\!\log b+{}^{a}\!\log c={}^{a}\!\log \left (a \cdot b \right )$ dan ${}^{a}\!\log a=1$. Nilai dari ${}^{1012}\!\log \left(1+\frac{1}{2} \right)+{}^{1012}\!\log \left(1+\frac{1}{3} \right)+{}^{1012}\!\log \left(1+\frac{1}{4} \right)+\cdots+{}^{1012}\!\log \left(1+\frac{1}{2023} \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, dengan menggunakan prinsip logaritma atau manipulasi aljabar akan kita peroleh beberapa perhitungan seperti di bawah ini.
$\begin{align} & {}^{1012}\!\log \left(1+\frac{1}{2} \right)+{}^{1012}\!\log \left(1+\frac{1}{3} \right)+{}^{1012}\!\log \left(1+\frac{1}{4} \right)+\cdots+{}^{1012}\!\log \left(1+\frac{1}{2023} \right) \\ &= {}^{1012}\!\log \left(\frac{3}{2} \right)+{}^{1012}\!\log \left( \frac{4}{3} \right)+{}^{1012}\!\log \left( \frac{5}{4} \right)+\cdots+{}^{1012}\!\log \left( \frac{2024}{2023} \right) \\ &= {}^{1012}\!\log \left(\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdots \frac{2024}{2023} \right) \\ &= {}^{1012}\!\log \left(\frac{2024}{2} \right) \\ &= {}^{1012}\!\log \left( 1012 \right) \\ &= 1 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$
21. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Diketahui tiga zat kimia mengandung unsur $x$, jika unsur-unsur ini direaksikan atau dicampur maka unsur $x$ berubah menjadi perkalian banyak unsur $x$ mula-mula pada setiap zat kimia tersebut. Zat pertama dan zat kedua dicampur menghasilkan unsur $x$ sebanyak $28$ satuan, zat pertama dicampur zat ketiga menghasilkan unsur $x$ sebanyak $36$ satuan, dan zat kedua dicampur zat ketiga menghasilkan unsur $x$ sebanyak $63$ satuan.
Berapakah jumlah unsur $x$ pada ketiga zat kimia sebelum di campur?...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, dengan menggunakan prinsip aljabar atau manipulasi aljabar akan kita peroleh beberapa perhitungan seperti di bawah ini.
- Zat pertama dan zat kedua dicampur menghasilkan unsur $x$ sebanyak $28$ satuan, secara simbol dapat kita tuliskan $(A)(B)=28$
- Zat pertama dicampur zat ketiga menghasilkan unsur $x$ sebanyak $36$ satuan, secara simbol dapat kita tuliskan $(A)(C)=36$
- Zat pertama dicampur zat ketiga menghasilkan unsur $x$ sebanyak $36$ satuan, secara simbol dapat kita tuliskan $(B)(C)=63$
Dari hasil di atas jika kita bandingkan maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{(A)(B)}{(A)(C)} &= \dfrac{28}{36} \longrightarrow \dfrac{(B)}{(C)} = \dfrac{7}{9} \\
\dfrac{(A)(C)}{(B)(C)} &= \dfrac{36}{63} \longrightarrow \dfrac{(A)}{(B)} = \dfrac{4}{7}
\end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh unsur $x$ di zat pertama, kedua dan ketiga adalah $4,7,9$. Jumlah unsur $x$ sebelum di campur adalah $4+7+9=20$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 20$
22. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Didefinisikan $n!=n \times \left( n-1 \right) \times \left(n-2 \right) \times \cdots \times 1$,
contoh: $5!=5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
Hasil penjumlahan dari $\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\cdots+\frac{2022}{2023!}+\frac{2023}{2024!}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, dengan menggunakan prinsip faktorial atau manipulasi aljabar akan kita peroleh beberapa perhitungan seperti di bawah ini.
Dari hasil eksplorasi $\frac{k}{\left( k+1 \right)!}$ kita peroleh:
$\begin{align}
\frac{k}{\left( k+1 \right)!} &= \frac{k+1-1}{\left( k+1 \right)!} \\
\frac{k}{\left( k+1 \right)!} &= \frac{k+1}{\left( k+1 \right)(k)!} -\frac{1}{\left( k+1 \right)!} \\
\frac{k}{\left( k+1 \right)!} &= \frac{1}{k!} -\frac{1}{\left( k+1 \right)!} \\
\frac{2}{3!} &= \frac{1}{2!} -\frac{1}{3!} \\
\frac{3}{4!} &= \frac{1}{3!} -\frac{1}{4!} \\
\end{align}$
$\begin{align} & \dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{4!}+\cdots+\dfrac{2022}{2023!}+\dfrac{2023}{2024!} \\ &= 1-\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{3!}-\dfrac{1}{4!}+\cdots+\dfrac{1}{2023!}-\dfrac{1}{2024!} \\ &= 1 -\dfrac{1}{2024!} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1 -\dfrac{1}{2024!}$
23. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Fungsi didefinisikan sebagai $f(3n)=n+ f(3n-3)$ dimana $n$ merupakan bilangan bulat positif yang lebih besar dari $1$, dan $f(3n)=1$ saat $n=1$. Tentukanlah nilai dari $f(2025)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, dengan menggunakan prinsip aljabar atau manipulasi aljabar akan kita peroleh beberapa perhitungan seperti di bawah ini.
Dari $f(3n)=n+ f(3n-3)$ kita peroleh $f(3n)-f(3n-3)=n$
$\begin{align} n=2 \longrightarrow f(6)-f(3) &= 2 \\ n=3 \longrightarrow f(9)-f(6) &= 3 \\ n=4 \longrightarrow f(12)-f(9) &= 4 \\ n=5 \longrightarrow f(15)-f(12) &= 5\ \ \ (+) \\ \hline f(15)-f(3) &= 2+3+4+5 \\ f(15)-1 &= 2+3+4+5 \\ f(15) &=1+2+3+4+5 \\ f(3 \times 5) &=1+2+3+4+5 \\ \end{align}$
$\begin{align} n=2 \longrightarrow f(6)-f(3) &= 2 \\ n=3 \longrightarrow f(9)-f(6) &= 3 \\ n=4 \longrightarrow f(12)-f(9) &= 4 \\ n=5 \longrightarrow f(15)-f(12) &= 5 \\ n=6 \longrightarrow f(18)-f(15) &= 6\ \ \ (+) \\ \hline f(18)-f(3) &= 2+3+4+5 \\ f(18)-1 &= 2+3+4+5 \\ f(18) &=1+2+3+4+5+6 \\ f(3 \times 6) &=1+2+3+4+5+6 \\ \end{align}$
Dari hasil ekpsplorasi di atas jika kita teruskan kita akan mendapatkan pola untuk $f(2025)$ yaitu:
$\begin{align}
f(3 \times 675) &=1+2+3+\cdots+675 \\
f(2025) &=\dfrac{675}{2} \left( 1 + 675 \right) \\
f(2025) &=\dfrac{1}{2} \times 675 \times 676 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{1}{2} \times 675 \times 676$
24. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Diketahui $f(x)=\frac{9^{x}}{9^{x}+3}$ maka nilai dari $f \left( \frac{1}{2024} \right)+f \left( \frac{2}{2024} \right)+f \left( \frac{3}{2024} \right)+\cdots+f \left( \frac{2023}{2024} \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, dengan menggunakan prinsip aljabar atau manipulasi aljabar akan kita peroleh beberapa perhitungan seperti di bawah ini.
Dari $f(x)=\frac{9^{x}}{9^{x}+3}$ jika kita lakukan eksplorasi untuk $f(1-x)$, maka kita peroleh $f(x)+f(1-x)=1$
$\begin{align} f(x)+f(1-x) &= \frac{9^{x}}{9^{x}+3} + \frac{9^{1-x}}{9^{1-x}+3} \\ &= \frac{9^{x}}{9^{x}+3} + \frac{9 \cdot 9^{-x}}{9 \cdot 9^{-x}+3} \\ &= \frac{9^{x}}{9^{x}+3} + \frac{ \frac{9}{9^{x}}}{\frac{9}{9^{x}}+3} \\ &= \frac{9^{x}}{9^{x}+3} + \frac{ \frac{9}{9^{x}}}{\frac{9}{9^{x}}+\frac{3 \cdot 9^{x}}{9^{x}}} \\ &= \frac{9^{x}}{9^{x}+3} + \frac{9}{9+ 3 \cdot 9^{x} } \\ &= \frac{9^{x}}{9^{x}+3} + \frac{3}{3+ 9^{x} } \\ &= \frac{9^{x}+3}{9^{x}+3} \\ &= 1 \end{align}$
Dari hasil eksplorasi di atas kita peroleh:
$\begin{align}
f(x)+f(1-x) &= 1 \\
f \left( \frac{1}{2024} \right)+f \left( \frac{2023}{2024} \right) &= 1 \\
f \left( \frac{2}{2024} \right)+f \left( \frac{2022}{2024} \right) &= 1 \\
f \left( \frac{3}{2024} \right)+f \left( \frac{2021}{2024} \right) &= 1 \\
& \vdots \\
f \left( \frac{1011}{2024} \right)+f \left( \frac{1013}{2024} \right) &= 1 \\
f \left( \frac{1012}{2024} \right) &= \frac{1}{2}\ \ \ \ (+) \\
\hline
\text{Soal} &= 1011+\frac{1}{2} \\
&= \frac{2023}{2} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{2023}{2}$
25. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Diberikan dua persamaan berikut:
$\frac{2}{x+y}+\frac{6}{x-y}=2$
$\frac{4}{x+y}-\frac{9}{x-y}=-1$
Nilai dari $\frac{x}{y}$ yang memenuhi kedua persamaan di atas adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, dengan menggunakan prinsip aljabar atau manipulasi aljabar akan kita peroleh beberapa perhitungan seperti di bawah ini.
$\begin{align} \frac{2}{x+y}+\frac{6}{x-y} &= 2 \\ \frac{1}{x+y}+\frac{3}{x-y} &= 1 \\ x-y+3x+3y &= x^{2}-y^{2} \\ 4x+2y &= x^{2}-y^{2}\ \left( \text{pers.(1)} \right) \end{align}$
$\begin{align} \frac{4}{x+y}-\frac{9}{x-y} &= -1 \\ 4x-4y-9x-9y &= -x^{2}+y^{2} \\ -5x-13y &= -x^{2}+y^{2}\ \left( \text{Pers.(2)} \right) \end{align}$
Dari hasil eksplorasi di atas kita peroleh:
$\begin{align}
4x+2y &= x^{2}-y^{2} \\
-5x-13y &= -x^{2}+y^{2}\ \ \ (+) \\
\hline
-x-11y & = 0 \\
-x & = 11y \\
\frac{x}{y} & = -\frac{11}{1}=-11
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -11$
26. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Jika suku pertama barisan aritmetika adalah $-5$ dan beda barisan aritmetika adalah $3$, $S_{n}$ adalah jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika tersebut, dan $S_{n+3}-S_{n+1}=89$, maka nilai $n$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, dengan menggunakan prinsip barisan dan deret aritmetika atau manipulasi aljabar akan kita peroleh beberapa perhitungan seperti di bawah ini.
Berdasarakan hubungan $U_{n}$ dan $S_{n}$ kita peroleh:
$\begin{align}
\left( S_{n+3}-S_{n+2} \right)+\left( S_{n+2}-S_{n+1} \right) &= 89 \\
U_{n+3}+U_{n+2} &= 89 \\
a+(n+3-1)b+a+(n+2-1)b &= 89 \\
a+(n+2)b+a+(n+1)b &= 89 \\
-5+(n+2)3-5+(n+1)3 &= 89 \\
-10+3n+6+3n+3 &= 89 \\
6n-1 &= 89 \\
6n &= 90 \\
n &= \frac{90}{6}=15
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 15$
27. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Semua bilangan ganjil positif dikelompokkan seperti berikut ini:
$(1),(3,5),(7,9,11),(13,15,17,19),\cdots$
Bilangan yang terletak di awal kelompok ke-25 adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita perhatikan kelompok bilangan yang ada di atas adalah barisan aritmetika, catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang barisan aritmatika yaitu;
- $b=U_{n}-U_{n-1}$
- $U_{n}=a+(n-1)b $
- $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left( 2a+(n-1)b \right)$
Barisan di atas adalah barisan aritmetika dengan $b=2$
Kelompok pertama banyak suku $1$, dan $a=1=1 \times 0 +1 $;
Kelompok kedua banyak suku $2$, dan $a=3=2 \times 1+1 $;
Kelompok ketiga banyak suku $3$, dan $a=7=3 \times 2+1 $;
Kelompok keempat banyak suku $4$, dan $a=13=4 \times 3+1 $;
Kelompok keempat banyak suku $5$, dan $a=5 \times 4+1=21 $;
Kelompok ke-25 banyak suku $25$, dan $a=25 \times 24+1=601$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 601$
28. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Diberikan segitiga siku-siku $ABC$, dengan $\angle BAC=\alpha $. Titik $C_{1}$ merupakan titik sehingga $\bigtriangleup ACC_{1}$ siku-siku di $C$ dan $\angle CAC_{1}=\alpha $. Titik $C_{2}$ dipilih sehingga $\bigtriangleup AC_{1}C_{2}$ siku-siku di $C_{1}$ dan $\angle C_{1}AC_{2}=\alpha $, dan seterusnya. Panjang $AC_{1},\ AC_{2},\ AC_{3},\ \cdots$ , merupakan barisan geometri dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$. Nilai $\dfrac{a}{r}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada segitiga siku-siku $ABC$ dapat kita peroleh $AC=5$, $\sin \alpha = \dfrac{BC}{AC}= \dfrac{3}{5}$, dan $\cos \alpha = \dfrac{AB}{AC}= \dfrac{4}{5}$.
Pada segitiga siku-siku $ACC_{1}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\cos \alpha & = \dfrac{AC}{AC_{1}} \\
\dfrac{4}{5} & = \dfrac{5}{AC_{1}}\ \longrightarrow AC_{1} = \dfrac{25}{4}
\end{align}$
Pada segitiga siku-siku $AC_{1}C_{2}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\cos \alpha & = \dfrac{AC_{1}}{AC_{2}} \\
\dfrac{4}{5} & = \dfrac{\frac{25}{4}}{AC_{2}}\ \longrightarrow AC_{2} = \dfrac{125}{16}
\end{align}$
Karena $AC_{1},\ AC_{2},\ AC_{3},\ \cdots$ , merupakan barisan geometri maka dapat kita peroleh $a=AC_{1}=\dfrac{25}{4}$ dan $r=\dfrac{AC_{2}}{AC_{1}}=\dfrac{\dfrac{125}{16}}{\dfrac{25}{4}}= \dfrac{125}{16} \cdot \dfrac{4}{25}=\dfrac{5}{4}$.
Sehingga nilai $\dfrac{a}{r}=\dfrac{\frac{25}{4}}{\frac{5}{4}}= \dfrac{25}{4} \cdot \dfrac{4}{5} = 5 $.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 5$
29. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Kondisi jalan dari kota A ke kota B dapat dikelompokkan pada jalan menaik, mendatar, atau menurun dan diketahui panjang masing-masing jenis jalan adalah sama. Sebuah sepeda berjalan dari kota A ke kota B dengan kecepatan pada saat jalan menaik, mendatar, dan menurun berturut-turut $8\ km⁄jam$, $12\ km⁄jam$ dan $24\ km⁄jam$. Rata-rata kecepatan dari perjalanan dari A ke B adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, dengan menggunakan prinsip kecepatan $v=\frac{s}{t}$ atau manipulasi aljabar akan kita peroleh beberapa perhitungan seperti di bawah ini.
Misalkan jarak untuk masing-masing jenis jalan adalah $s$ sehingga jarak kota $A$ ke kota $B$ adalah $3s$. Waktu yang dibutuhkan untuk perjalanan menaik, mendatar, dan menurun masing-masing adalah $\frac{s}{8}$, $\frac{s}{12}$, dan $\frac{s}{24}$.
Rata-rata kecepatan perjalana $A$ ke $B$ adalah:
$\begin{align}
v_{rata-rata} &= \frac{\text{Jarak}}{\text{Waktu}} \\
v_{rata-rata} &= \frac{3s}{\frac{s}{8}+\frac{s}{12}+\frac{s}{24}} \\
v_{rata-rata} &= \frac{3s}{\frac{3s+2s+s}{24}} \\
v_{rata-rata} &= \frac{3s}{\frac{6s}{24}} \\
v_{rata-rata} &= \frac{24 \times 3}{6} =12
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 12\ km⁄jam$
30. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Ompung Sahata adalah salah satu tokoh adat di sebuah daerah. Selama hidupnya dibagi dalam empat masa yaitu anak, pemuda, dewasa, dan kakek. Jika seperempat usia Ompung Sahata dijalani sebagai anak, seperlimanya sebagai pemuda, sepertiganya sebagai orang dewasa dan $15$ tahun $2$ bulan sebagai kakek. Ompung Sahata meninggal pada usia...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, dengan menggunakan prinsip perbandingan atau pecahan atau manipulasi aljabar akan kita peroleh beberapa perhitungan seperti di bawah ini.
Kita misalkan umur Ompung Sahata adalah $x$ tahun, sehingga berlaku:
$\begin{align}
x &= \dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{5}x+15\ \text{tahun}\ 2\ \text{bulan} \\
x &= \dfrac{20+15+12}{60}x+15\ \text{tahun}\ 2\ \text{bulan} \\
x-\dfrac{47}{60}x &= 15\dfrac{1}{6}\ \text{tahun} \\
\dfrac{13}{60}x &= \dfrac{91}{6}\ \text{tahun} \\
x &= \dfrac{91}{6}\ \text{tahun} \times \dfrac{60}{13} \\
x &= 70\ \text{tahun}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 70$
31. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Salah satu akar dari persamaan
$\sqrt[5]{(1+x)^{2}} +2\sqrt[5]{(1-x)^{2}} =3\sqrt[5]{(1-x^{2})}$
adalah $ab$ dimana $a,b \gt 0$ dan $a,b$ relatif prima. Nilai $a+b$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, dengan menggunakan prinsip persamaan kuadrat atau manipulasi aljabar akan kita peroleh beberapa perhitungan seperti di bawah ini.
Misalkan $\left(1+x\right)^{\frac{1}{5}}=a$ dan $\left(1-x\right)^{\frac{1}{5}}=b$.
$\begin{align} \sqrt[5]{(1+x)^{2}} +2\sqrt[5]{(1-x)^{2}} &= 3\sqrt[5]{(1-x^{2})} \\ \left(1+x\right)^{\frac{2}{5}} +2\left(1-x\right)^{\frac{2}{5}} &= 3\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{5}} \\ \left( \left( 1+x \right)^{\frac{1}{5}} \right)^{2} +2 \left( \left(1-x\right)^{\frac{1}{5}} \right)^{2} &= 3\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{5}} \\ \left( a \right)^{2} +2 \left( b \right)^{2} &= 3\left( ab \right) \\ a{2} +2b^{2}-3ab &= 0 \\ \left( a-b \right)\left( a-2b \right) &= 0 \end{align}$
Hasil yang pertama dari hasil di atas $a=b$
$\begin{align}
\left(1+x\right)^{\frac{1}{5}} &= \left(1-x\right)^{\frac{1}{5}} \\
1+x &= 1-x \longrightarrow x=0
\end{align}$
Hasil yang kedua dari hasil di atas $a=2b$
$\begin{align}
\left(1+x\right)^{\frac{1}{5}} &= 2\left(1-x\right)^{\frac{1}{5}} \\
1+x &= 32\left(1-x\right) \\
1+x &= 32 -32x \\
33x &= 31 \longrightarrow x=\frac{31}{33}
\end{align}$
Nilai $a+b$ adalah $31+33=64$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 64$
32. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Diketahui $p$ dan $q$ adalah bilangan bulat yang memenuhi $p+q=2020$. Jika kedua akar persamaan kuadrat $10x^{2}+px+q=0$ adalah bilangan asli, tentukan jumlah semua nilai $p$ yang mungkin...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, dengan menggunakan prinsip persamaan kuadrat atau manipulasi aljabar akan kita peroleh beberapa perhitungan seperti di bawah ini.
Misalkan akar-akar $10x^{2}+px+q=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$, maka $\alpha+\beta=-\frac{p}{10}$, $\alpha \cdot \beta=\frac{q}{10}$.
Dari hasil di atas kita peroleh:
$\begin{align}
p+q &= -10 \left( \alpha+\beta-\alpha \cdot \beta \right) \\
2020 &= -10 \left( \alpha+\beta-\alpha \cdot \beta \right) \\
202 &= - \left( \alpha+\beta-\alpha \cdot \beta \right) \\
202 &= -\alpha-\beta+\alpha \cdot \beta \\
202 &= \left( \alpha-1 \right)\left( \beta-1 \right)-1 \\
203 &= \left( \alpha-1 \right)\left( \beta-1 \right)
\end{align}$
Karena $\alpha$ dan $\beta$ adalah bilangan asli maka $\left( \alpha-1 \right)$ dan $\left( \beta-1 \right)$ merupakan faktor dari $203$.
- $203=1 \times 2023$
$\alpha-1=1 \rightarrow \alpha=2$ dan $\beta-1=203 \rightarrow \beta=204$
$p=-10 \left( \alpha + \beta\right)=-2060$. - $203=7 \times 29$
$\alpha-1=7 \rightarrow \alpha=8$ dan $\beta-1=29 \rightarrow \beta=30$
$p=-10 \left( \alpha + \beta\right)=-380$.
Jumlah semua nilai $p$ yang mungkin adalah $-2060-380=-2440$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -2440$
33. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Jika puncak grafik fungsi $y=px^{2}-qx-1$ sama dengan puncak grafik $y=x^{2}-2x+4$. Maka nilai $p + q$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, dengan menggunakan prinsip persamaan kuadrat atau manipulasi aljabar akan kita peroleh beberapa perhitungan seperti di bawah ini.
- Dari fungsi kuadrat $y=x^{2}-2x+4$ kita peroleh:
$\begin{align} x_{p} &= -\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2(1)}=1 \\ y_{p} &= -\frac{b^{2}-4ac}{4a}=-\frac{4-4(1)(4)}{4(1)}=3 \end{align}$ - Dari fungsi kuadrat $y=px^{2}-qx-1$ kita peroleh:
$\begin{align} x_{p} &= -\frac{b}{2a} \\ 1 &= -\frac{-q}{2(p)} \\ 2p &= q \\ y_{p} &= -\frac{b^{2}-4ac}{4a} \\ 3 &=-\frac{q^{2}-4(p)(-1)}{4(p)} \\ -12p &= q^{2}+4p \\ -12p &= (2p)^{2}+4p \\ -12p &= 4p^{2}+4p \\ 0 &= 4p^{2}+16p \\ 0 &= p^{2}+4p \\ & p=0\ \text{atau}\ p=-4 \end{align}$ - Kita ketahui $q=2p$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align} q &= 2p \\ q &= -8 \end{align}$ - Nilai $p+q=-12$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -12$
34. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Pak Lambok mempunyai taman bermain berbentuk persegi panjang, dengan ukuran panjang dan lebar taman tersebut masing-masing $24\ m$ dan $12\ m$.
Untuk memperindah taman pak Lambok menggambar dua buah setengah lingkaran yang ukurannya sama dan saling bersinggungan seperti tampak pada gambar di bawah.Jika daerah di luar lingkaran akan ditanami rumput, maka luas daerah yang yang akan ditanami rumput tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, jika kita tambahkan informasi pada gambar maka akan kita peroleh informasi seperti gambar berikut:
Dari gambar di atas dengan menggunakan teorema pythagoras, kita peroleh:
$\begin{align}
x^{2} + 12^{2} &= \left( 2r \right)^{2} \\
\left( 24-2r \right)^{2} + 12^{2} &= 4r^{2} \\
24 \cdot 24- 4 \cdot 24r+ 4r^{2} + 144 &= 4r^{2} \\
24 \cdot 24 - 4 \cdot 24r+ + 144 &= 0 \\
24 \cdot 24 + 144 &= 4 \cdot 24r \\
24 + 6 &= 4 r \\
r &= \frac{30}{4}=\frac{15}{2}
\end{align}$
Luas daerah yang yang akan ditanami rumput tersebut adalah:
$\begin{align}
L_{\text{segiempat}}-L_{\text{lingkaran}} &= 12 \cdot 24 - \pi r^{2} \\
&= 12 \cdot 24 - \pi \left( \frac{15}{2} \right)^{2} \\
&= 12 \cdot 24 - \pi \cdot \frac{225}{4} \\
&= 288 - 56\frac{1}{2}\pi
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 288 - 56\frac{1}{4}\pi$
35. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
$ABC$ adalah segitiga lancip dengan $BC = 5\ cm$. Titik $E$ adalah titik pada $AC$ sehingga $BE$ tegak lurus $AC$. Titik $F$ adalah titik pada $AB$ sehingga $AF = BF$. Jika $BE=CF=4\ cm$, maka luas segitiga $ABC$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, jika kita tambahkan informasi pada gambar maka akan kita peroleh informasi seperti gambar berikut:
Dari gambar di atas dengan menggunakan teorema pythagoras, kita peroleh:
$\begin{align}
BC^{2} &= EC^{2} + BE^{2} \\
5^{2} &= EC^{2} + 4^{2} \\
25 &= EC^{2} + 16 \\
25-16 &= EC^{2} \\
\sqrt{9} &= EC \longrightarrow EC = 3
\end{align}$
Kita buat garis bantu $FD$ yang sejajar $BE$, sehingga kita peroleh $\bigtriangleup AFD$ sebangun dengan $\bigtriangleup ABE$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
\frac{FD}{BE} &= \frac{AF}{AB} = \frac{1}{2} \\ \\
FD &= \frac{1}{2} \times BE = \frac{1}{2} \times 4 =2
\end{align}$
Dari segitiga siku-siku $\bigtriangleup CFD$ kita peroleh:
$\begin{align}
CF^{2} &= FD^{2} + CD^{2} \\
4^{2} &= 2^{2} + CD^{2} \\
16 &= 4 + CD^{2} \\
16-4 &= CD^{2} \\
\sqrt{12} &= CD \longrightarrow CD = 2\sqrt{3} \\
\hline
DE &= CD-CE = 2\sqrt{3} -3
\end{align}$
Dari segitiga $\bigtriangleup AFD$ yang sebangun dengan $\bigtriangleup ABE$ kita peroleh:
$\begin{align}
\frac{AD}{AE} &= \frac{AF}{AB} = \frac{1}{2} \\ \\
AD &= \frac{1}{2} \times AE \\
AD &= DE = 2\sqrt{3} -3
\end{align}$
Dari informasi di atas kita peroleh:
$\begin{align}
AC &= AD+DE+EC \\
AC &= 2\sqrt{3} -3+2\sqrt{3} -3+3 \\
AC &= 4\sqrt{3} -3 \\
\hline
\left[ABC \right] &= \frac{1}{2} \times AC \times BE \\
\left[ABC \right] &= \frac{1}{2} \times 4\sqrt{3} -3 \times 4 \\
\left[ABC \right] &= 8\sqrt{3} - 6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 8\sqrt{3}-6$
36. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Perhatikan gambar berikut.$ABC$ adalah segitiga dengan $AB = 15,\ BC = 8$ dan $AC=17$. Titik $D$ dan $E$ berturut-turut terletak pada sisi $AC$ dan $AB$ sehinggga sebuah lingkaran dapat dilukis melalui $B, C, D$ dan $E$. Jika diketahui perbandingan luas segitiga $ADE$ dan segiempat $BCDE$ adalah $1∶3$, maka jari-jari lingkaran adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar soal di atas kita perhatikan $\bigtriangleup ABC$, pada segitiga ini berlaku teorema pythagoras yaitu:
$\begin{align}
AC^{2} &= AB^{2} + BC^{2} \\
17^{2} &= 15^{2} + 8^{2} \\
289 &= 225 + 64 \\
289 &= 289 \\
\hline
\therefore & \angle B=90^{o}
\end{align}$
Kita perhatikan segiempat $BCDE$ dimana sisi-sisinya merupakan talibusur, sehingga $\angle EDC+\angle EBC=180^{o}$.
$\angle EDC+90^{o}=180^{o}$ atau $\angle EDC =90^{o}$ maka $\angle EDA =90^{o}$.
Dari kesimpulan di atas kita peroleh $\bigtriangleup ADE$ sebangun dengan $\bigtriangleup ABC$
$\begin{align}
\frac{\left[ ADE \right]}{\left[ ABC \right]} &= \frac{AE^{2}}{AC^{2}} = \frac{1}{4} \\
AE &= \frac{1}{2}AC = \frac{17}{2} \\
\hline
BE &= AB-AE \\
BE &= 15-\frac{17}{2}= \frac{13}{2}
\end{align}$
Dengan teorema pythagoras kita peroleh:
$\begin{align}
EC^{2} &= BE^{2} + BC^{2} \\
EC^{2} &= \left( \frac{13}{2} \right)^{2} + 8^{2} \\
EC^{2} &= \frac{425}{4} \\
EC &= \sqrt{\frac{425}{4}}= \frac{5}{2}\sqrt{17}
\end{align}$
Karena $EC$ merupakan diameter lingkaran maka jari-jari lingkaran adalah $\frac{5}{4}\sqrt{17}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{5}{4}\sqrt{17}$
37. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Sebuah kertas berbentuk persegi panjang dengan ukuran $AB=8$ dan $AD=6$, dilipat berdasar atas diagonalnya. Tentukanlah luas daerah yang tumpang tindih (segitiga dalam arsiran, seperti gambar di bawah ini).
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, pada gambar kita beri informasi tambahan seperti gambar berikut:
Kita perhatikan segitiga $ADE$ kongruen dengan $BCE$, sehingga $BE=DE$ dan $AE=CE$.
Jika kita misalkan $BE=DE=x$ dan $AE=CE=8-x$ maka dengan teorema pythagoras kita peroleh:
$\begin{align}
BE^{2} &= 6^{2} + EC^{2} \\
x^{2} &= 6^{2} + (8-x)^{2} \\
x^{2} &= 36 + 64 +x^{2}-16x \\
16x &= 100 \\
x &= \frac{100}{16}=\frac{25}{4}
\end{align}$
Luas segitiga $BDE$
$\begin{align}
\left[ BDE \right] &= \frac{1}{2} \times BE \times AD \\
\left[ BDE \right] &= \frac{1}{2} \times \frac{25}{4} \times 6 \\
&= \frac{25 \times 6}{8} = \frac{75}{4}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{75}{4}$
38. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Sebuah drum diletakkan secara horizontal. Setengah bagian drum berisi air.Jika volume air dalam drum adalah $98,56$ liter. Maka ketinggian air dalam drum adalah... $\left( \text{gunakan}\ \pi = \frac{22}{7} \right)$
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, diketahui bahwa tinggi drum yang berbentuk tabung adalah $80\ cm$. Volume setengah drum berisi air yaitu $98,56$ liter sama dengan $98,56\ dm^{3}=98. 5 6 0 \ cm^{3}$
$\begin{align} V_{\text{air}} &= \frac{1}{2} \times V_{\text{drum}} \\ 98. 5 6 0 \ cm^{3} &= \frac{1}{2} \times \pi \times r^{2} \times 80\ cm \\ 98. 5 6 0 \ cm^{2} &= 40 \pi \times r^{2} \\ 2.464\ cm^{2} &= \pi \times r^{2} \\ 2.464\ cm^{2} &= \frac{22}{7} \times r^{2} \\ 2.464\ cm^{2} \times \frac{7}{22} &= r^{2} \\ 112\ cm^{2} \times 7 &= r^{2} \\ 784\ cm^{2} &= r^{2} \\ \sqrt{784\ cm^{2}} &= r \\ 28\ cm &= r \end{align}$
Karena air di dalam drum terisi setengah sehingga tingga air di drum sama dengan setengah diameter lingkaran yaitu $r=28\ cm$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 28\ \text{cm} $
39. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Jika seorang nelayan mendapatkan $75$ ekor ikan pada esok hari, maka rata-rata jumlah ikan tangkapannya adalah $82$. Jika ternyata ketika melaut esok hari nelayan tersebut mendapatkan $93$ ekor ikan, maka rata-rata jumlah ikan tangkapannya adalah $85$. Berdasarkan data ini, sudah berapa kali nelayan itu pergi melaut/mencari ikan?
Alternatif Pembahasan:
Misal banyak yang didapat nelayan hari-hari sebelumnya adalah $x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}$
Jika besok hari $75$ ekor ikan, maka rata-rata jumlah ikan tangkapannya adalah $82$.
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}+75}{n+1} \\
82 &= \dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}+75}{n+1} \\
82n+82 &= x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}+75 \\
82n+7 &= x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}
\end{align}$
Jika besok hari mendapatkan $93$ ekor ikan, maka rata-rata jumlah ikan tangkapannya adalah $85$.
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}+93}{n+1} \\
85 &= \dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}+93}{n+1} \\
85n+85 &= x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}+93 \\
85n+85 &= 82n + 7+93 \\
85n-82n &= 100-85 \\
3n &= 15\ \rightarrow n=5
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 5$
40. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Jika rata-rata dari $a,\ b,\ c$ dan $a^{2},\ b^{2},\ c^{2}$ berturut-turut adalah $2$ dan $4$, maka rata-rata dari $ab,\ bc,\ ca$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk rata-rata $a,\ b,\ c$ adalah $2$ kita peroleh:
$\begin{align}
\bar{x} &=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n}}{n} \\
2 &=\dfrac{a+b+c+}{3} \\
6 &= a+b+c
\end{align}$
Untuk rata-rata $a^{2},\ b^{2},\ c^{2}$ adalah $4$ kita peroleh:
$\begin{align}
\bar{x} &=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n}}{n} \\
4 &=\dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3} \\
12 &= a^{2}+b^{2}+c^{2} \\
\hline
\left( a +b +c \right)^{2} &= a^{2}+b^{2}+c^{2} + 2 (ab+ac+bc) \\
\hline
6^{2} &= 12 + 2 (ab+ac+bc) \\
36 &= 12 + 2 (ab+ac+bc) \\
18 &= 6+ (ab+ac+bc) \\
12 &= (ab+ac+bc)
\end{align}$
Rata-rata $ab,\ bc,\ ca$ adalah:
$\begin{align}
\bar{x} &=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n}}{n} \\
&= \dfrac{ab+bc+ac}{3} \\
&= \dfrac{12}{3} = 4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4$
41. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
$ABCD$ is square with side length $10$. A circle is drawn through $A$ and $D$ that is tangent to $BC$. What is radius of circle?
Alternatif Pembahasan:
Gambar soal coba kita beri titik tambahan yaitu titik $E$ dan titik $F$ seperti pada gambar berikut ini:
Dari gambar di atas kita peroleh:
$\begin{align}
AE^{2} &= AF^{2}+ EF^{2} \\
\left( 10+x\right)^{2} &= \left( 10-x\right)^{2}+ 10^{2} \\
100 +20x+x^{2} &= 100-20x+x^{2}+ 100 \\
40x &= 100 \\
x & = \dfrac{100}{40}=2,25
\end{align}$
Diameter lingkaran $AE=10+x$ maka $r=\dfrac{12,5}{2}=6,25$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6,25$
42. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Keliling sebuah segitiga adalah $8$ satuan panjang. Jika panjang sisi-sisinya adalah bilangan bulat, maka luas daerah segitiga itu adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, diketahui keliling sebuah segitiga adalah $8$, dengan panjang sisi adalah bilangan bulat maka panjang sisi-sisi segitiga yang mungkin adalah $2,3,3$.
Dengan menggunakan rumus luas segitiga jika diketahui ketiga sisinya, maka kita peroleh: $\begin{align} L &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ \hline s &= \frac{1}{2} \times (a+b+c) \\ &= \frac{1}{2} \times (3+3+2) = 4 \\ \hline L &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ L &= \sqrt{4(4-3)(4-3)(4-2)} \\ L &= \sqrt{4(1)(1)(2)} \\ L &= 2\sqrt{2} \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2\sqrt{2}\ \text{satuan luas} $
43. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Jika $y=2x+1$ digeser sejauh $a$ satuan ke kanan dan sejauh $b$ satuan ke bawah, kemudian dicerminkan terhadap sumbu-$x$, bayangannya menjadi $y=ax-b$. Nilai $a+b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri yang mungkin membantu yaitu;
- Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}$ maka: bayangan yang dihasilkan:
$\left( x',y' \right)= \begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}+(x,y)=\left( x+a,x+b \right)$ - Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$x$ ($y=0$) maka bayangan yang dihasilkan:
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$
Garis $y=2x+1$ sejauh $a$ satuan ke kanan dan sejauh $b$ satuan ke bawah sama dengan ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix}
a \\ -b
\end{pmatrix}$ sehingga setelah pergesaran diperoleh $x'=x+a$ dan $y'=y-b$ sehingga persamaan garis $y=2x+1$ berubah menjadi $y'+b=2(x'-a)+1$ atau $y'=2x'-2a-b+1$.
Garis $y =2x -2a-b+1$ dicerminkan terhadap sumbu-$x$ dan menghasilkan $y=ax-b$
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
x \\ -y
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x'=x$ dan $y'=-y$
$\begin{align}
y &=2x -2a-b+1 \\
-y' &= 2x'-2a-b+1 \\
-y &= 2x -2a-b+1 \\
y &= -2x +2a+b-1
\end{align} $
Persamaan garis $y= -2x +2a+b-1$ ekuivalen dengan $y=ax-b$, sehingga dapat kita simpulkan:
$\begin{align}
y =& -2x +2a+b-1 \\
y =& ax-b \\
\hline
a &=-2 \\
2a+b-1 &=-b \\
2(-2) -1 &=-2b \\
\dfrac{5}{2} &= b \\
\hline
a+b &= -2+\dfrac{5}{2} \\
&= \dfrac{1}{2}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{2}$
44. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Sebuah tangki air memiliki enam buah keran air di bagian dasarnya. Jika semua keran dibuka maka tangki yang terisi penuh akan habis isinya dalam $8$ jam. Berapa jamkah yang dibutuhkan untuk menghabiskan isi tangki bila hanya $4$ buah keran yang dibuka?
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, diketahui enam buah keran air dapat menghabiskan seluruh isi tangki selama $8$ jam.
Berdasarkan informasi di atas, dalam satu jam enam buah keran air menghabiskan $\dfrac{1}{8}$ bagian isi tangki.
Jika yang hidup hanya empat keran saja, maka air yang habis selama satu jam adalah $\dfrac{4}{6} \times \dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{12}$ bagian isi tangki.
Karena satu jam berkurang $\dfrac{1}{12}$ bagian, sehingga agar isi tangki keseluruhan habis maka dibutuhkan waktu sekitar $12$ jam.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 12\ \text{jam} $
45. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Sebuah lingkaran akan dibagi bagi menjadi sejumlah bidang yang dibentuk dengan menggambar garis lurus yang memotong dua tepi lingkaran.Berapa bidang maksimal yang dihasilkan dengan $3$ garis?
Alternatif Pembahasan:
Banyak daerah bidang maksimal yang dihasilkan dengan $3$ garis adalah $7$ bidang seperti gambar berikut ini.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7 $
46. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Banyak diagonal pada segiempat adalah $2$ buah, banyak diagonal pada segilima adalah $5$ buah, banyak diagonal pada prisma segiempat adalah $16$ buah, banyak diagonal pada prisma segilima adalah $30$ buah.
Banyak diagonal pada prisma segi-$2024$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan bahasa yang sederhana, diagonal dapat kita artikan sebagai garis yang menghubungkan titik sudut pada bangun tetapi bukan garis pembentuk bangun.
- Pada segitiga, ada tiga garis yang dapat kita bentuk, dan semua garis tersebut merupakan pembentuk bangun, sehingga pada segitiga tidak ada diagonal.
- Pada segiempat, ada $C_{2}^{4}=6$ garis yang dapat kita bentuk, dan empat garis tersebut merupakan pembentuk bangun, sehingga pada segiempat ada $6-4=2$ diagonal.
- Pada segilima, ada $C_{2}^{5}=10 $ garis yang dapat kita bentuk, dan lima garis tersebut merupakan pembentuk bangun, sehingga pada segilima ada $10-5=5$ diagonal.
- Pada prisma segiempat, ada $C_{2}^{8}=28 $ garis yang dapat kita bentuk, dan $4 \times 3 =12$ garis tersebut merupakan pembentuk bangun, sehingga pada prisma segiempat ada $28-12=16$ diagonal.
- Pada prisma segilima, ada $C_{2}^{10}=45 $ garis yang dapat kita bentuk, dan $5 \times 3 = 15$ garis tersebut merupakan pembentuk bangun, sehingga pada prisma segilima ada $45-15=30$ diagonal.
- Pada prisma segi-$2024$, ada $C_{2}^{2024}=1012 \times 2023 $ garis yang dapat kita bentuk, dan $2024 \times 3$ garis tersebut merupakan pembentuk bangun, sehingga pada prisma segi-$2024$ banyak diagonal adalah:
$\begin{align} \text{diagonal} &= C_{2}^{2024} - 2024 \times 3 \\ &= 1012 \times 2023 - 2024 \times 3 \\ &= 1012 \times 2023 - 1012 \times 6 \\ &= 1012 \times \left( 2023 - 6 \right) \\ &= 1012 \times 2017 \end{align}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1012 \times 2017 $
47. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Enam buah pipa, masing-masing dengan garis tengah $d$, diikat erat seperti pada gambar. Jika arah tali pengikat tegak lurus pada arah panjang pipa, maka panjang tali yang melilit pipa itu adalah...
Alternatif Pembahasan:
Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat enam buah lingkaran yang berdiameter $d$ disusun bertingkat seperti gambar adalah
Dari gambar di atas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan adalah $(AB+BC+CD+$$DE+EF+FA)$,
Panjang $AB=CD=EF=2d$, dan panjang busur $BC=DE=FA$ sehingga $(AB+BC+CD+$$DE+EF+FA)$$=3(2d+BC)$
Perhatikan persegi panjang $ABPQ$, sehingga $\measuredangle BPO=90^{\circ}$;
Perhatikan segitiga $PQR$ adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi $2d$ sehingga besar $\measuredangle BQC=120^{\circ}$.
Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{120}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{3} \times \pi\ d
\end{align}$
Panjang tali minimum adalah:
$\begin{align}
& 3(2d+BC) \\
& = 3 (2d+ \dfrac{1}{3} \times \pi\ d ) \\
& = 6d+ \pi\ d ) \\
& = (6 + \pi)d
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (6+\pi)d$
Gunakan Informasi berikut ini untuk menjawah soal no.48-50.
Gambar berikut menunjukkan peta lokasi jalan dari rumah Monang ke rumah Ingot atau Judika. Dari setiap persimpangan (titik) ke persimpangan (titik) berikutnya mempunyai jarak yang sama.
48. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Jika Monang ingin bermain ke rumah Ingot atau Judika, berapa banyak pilihan rute yang dapat menjadi pilihan Monang untuk sampai ke rumah Ingot atau Judika dengan syarat jika sudah sampai ke rumah Ingot maka Monang tidak bisa lagi pergi ke rumah Judika.
Alternatif Pembahasan:
- Dari informasi pada soal kita peroleh bahwa banyak pilihan rute dari rumah Monang ke rumah Ingot adalah $6$ rute.
- Banyak pilihan rute dari rumah Monang ke rumah Judika tetapi tidak boleh melalui rumah Ingot adalah $8$ rute.
- Banyak pilihan rute yang dapat menjadi pilihan Monang untuk sampai ke rumah Ingot atau Judika adalah $6+8=14$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 14$
49. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Jika Monang ingin bermain ke rumah Judika, berapa banyak pilihan rute yang dapat menjadi pilihan Monang untuk sampai ke rumah Judika dengan syarat Monang harus melalui rumah Ingot.
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal kita peroleh bahwa banyak pilihan rute yang dapat menjadi pilihan Monang untuk sampai ke rumah Judika dengan syarat Monang harus melalui rumah Ingot adalah $12$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 12$
50. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024
Jika Monang ingin bermain ke rumah Judika, berapa peluang rute Monang untuk sampai ke rumah Judika tetapi tidak pernah melalui rumah Ingot.
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi di atas kita peroleh $n(S)=20$ dan $n(E)=8$, sehingga peluang peluang rute Monang untuk sampai ke rumah Judika tetapi tidak pernah melalui rumah Ingot adalah $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}=\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{2}{5}$
Catatan Soal dan Pembahasan Soal Matematika OKSI SMAN 2 Lintongnihuta Tahun 2024 (Pra-OSK Matematika SMP) di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Kecerdasan dan karakter adalah tujuan sejati pendidikan..
