Belajar Modulo Dengan Cara Sederhana

Mendengar kata modulo pertama kali seakan-akan awak akan belajar matematika tentang statistika, soalnya kata modulo hampir mirip dengan kata modus.

Perkiraan awal ternyata salah, belajar modulo itu adalah belajar tentang teori bilangan. Teori Bilangan adalah salah satu mata kuliah yang diajarkan oleh Bapak Prof.Drs.B.Panjaitan pada saat kuliah di Universitas Negeri Medan [UNIMED] beberapa tahun yang lalu. Tapi sayang waktu kuliah kemarin belajarnya tidak optimal, jadi sekarang coba dipelajari lagi semampunya.

Mari kita mulai dari diktat kuning yang ditulis pak profesor, dikatakan "Bilangan bulat $a$ membagi habis bilangan bulat $b$ [ditulis $a \mid b$] Bila dan hanya bila ada bilangan bulat $k$ sehingga $b=ak$. Jika $a$ tidak membagi habis $b$ maka ditulis $a \nmid b$"

Contoh:
  • $2 \mid 4$ karena untuk $k=7$ sehingga $2k=14$
  • $5 \mid 30$ karena untuk $k=6$ sehingga $5k=30$
  • $3 \nmid 10$ karena tidak ada nilai $k$ sehingga $3k=10$

hal sederhana diatas menjadi informasi tambahan bagi kita untuk mengenal modulo. Sebelum mempelajari modulo kita coba hal-hal sederhana berikutnya, misalnya dari pembagian $13:4=3\ sisa\ 1$, ada beberapa informasi yang kita dapat yaitu
$(i)$ $13$ dibagi $4$ sisa $1$ dan
$(ii)$ $4$ faktor $(13-1)$.

Penulisan dengan menggunakan modulo informasi $(i)$ $13$ dibagi $4$ sisa $1$ dapat kita tulis menjadi $13\equiv 1\ mod\ (4)$.

Contoh lain:
  1. $27\equiv 2\ mod\ \left ( 5 \right )$ artinya $27$ dibagi $5$ sisa $2$
  2. $48\equiv 6\ mod\ \left ( 7 \right )$ artinya $48$ dibagi $7$ sisa $6$
  3. $a\equiv b\ mod\ \left ( n \right )$ artinya $a$ dibagi $n$ sisa $b$

Hubungan modulo dengan keterbagian seperti yang kita sebutkan diawal yaitu:
  1. $27\equiv 2\ mod\ \left ( 5 \right )$ $\Rightarrow$ $5 \mid (27-2)$ atau $5$ faktor dari $(27-2)$
  2. $48\equiv 6\ mod\ \left ( 7 \right )$ $\Rightarrow$ $7 \mid (48-6)$ atau $7$ faktor dari $(48-6)$
  3. $13\equiv 1\ mod\ \left ( 4 \right )$ $\Rightarrow$ $4 \mid (13-1)$ atau $4$ faktor dari $(13-1)$

Kesimpulan sederhana dari modulo ini lebih memperhatikan sisa pembagian dari pada hasil pembagian. Secara umum dapat kita tuliskan
$a\equiv b\ mod\ \left ( n \right )$ $\Rightarrow $ $n \mid (a-b)$ atau $n$ faktor dari $(a-b)$

Kita coba diskusikan beberapa contoh soal yang bisa dikerjakan dengan modulo, tetapi sebelumnya kita coba lihat teorema modulo berikut yang bisa kita terapkan pada soal yang berikutnya.

$\left ( an+b \right )^{m}=\binom{m}{0}\left ( an \right )^{m}\cdot b^{0}+\binom{m}{1}\left ( an \right )^{m-1}\cdot b^{1}+\cdots +\binom{m}{m}\left ( an \right )^{0}\cdot b^{m}$
$\left ( an+b \right )^{m}=\left ( an \right )^{m}+\binom{m}{1}\left ( an \right )^{m-1}\cdot b^{1}+\cdots +b^{m}$
$\left ( an+b \right )^{m}=\overset{\underbrace{\left ( an \right )^{m}+\binom{m}{1}\left ( an \right )^{m-1}\cdot b+\cdots }}{habis\ dibagi\ n}+b^{m}$

dengan menggunakan modulo dapat kita tulis menjadi;
$\left ( an+b \right )^{m}$ dibagi $n$ sisa $b^{m}$ atau $\left( an+b \right )^{m}\equiv b^{m}\ mod\ \left ( n \right )$.

Untuk lebih jelasnya kita coba dengan beberapa contoh berikut;
(1) Sisa $16^{2}$ dibagi $3$ adalah...
$\left( 16 \right )^{2}= \left ( 5\cdot 3+1 \right )^{2}$
$\left( 16 \right )^{2}\equiv 1^{2}\ mod\ \left ( 3 \right )$
$\left( 16 \right )^{2}\equiv 1\ mod\ \left ( 3 \right )$
hasil akhir sisa $16^{2}$ dibagi $3$ adalah $1$.
(2) Sisa $17^{20}$ dibagi $5$ adalah...
$\left( 17 \right )^{20}= \left ( 5\cdot 3+2 \right )^{20}$
$\left( 17 \right )^{20}\equiv 2^{20}\ mod\ \left ( 5 \right )$
$\left( 17 \right )^{20}\equiv \left (2^{3} \right )^{6}\cdot 2^{2}\ mod\ \left ( 5 \right )$
$\left( 17 \right )^{20}\equiv 8^{6}\cdot 2^{2}$
$\left( 17 \right )^{20}\equiv \left (5+3 \right )^{6}\cdot 4\ mod\ \left ( 5 \right )$
$\left( 17 \right )^{20}\equiv 3^{6}\cdot 4\ mod\ \left ( 5 \right )$
$\left( 17 \right )^{20}\equiv 9^{3}\cdot 4\ mod\ \left ( 5 \right )$
$\left( 17 \right )^{20}\equiv \left (5+4 \right )^{3}\cdot 4\ mod\ \left ( 5 \right )$
$\left( 17 \right )^{20}\equiv \left (4 \right )^{3}\cdot 4\ mod\ \left ( 5 \right )$
$\left( 17 \right )^{20}\equiv \left (4 \right )^{4} mod\ \left ( 5 \right )$
$\left( 17 \right )^{20}\equiv \left (16 \right )^{2} mod\ \left ( 5 \right )$
$\left( 17 \right )^{20}\equiv \left (5 \cdot 3+1 \right )^{2} mod\ \left ( 5 \right )$
$\left( 17 \right )^{20}\equiv \left (1 \right )^{2} mod\ \left ( 5 \right )$
hasil akhir sisa $17^{20}$ dibagi $5$ adalah 1.

Untuk mengerjakan soal modulo sangat dipengaruhi oleh tingkat kreatifitas kita, sebagai contoh soal diatas bisa kita kerjakan dengan versi kreatifitas yang berbeda,
$\left( 17 \right )^{20}= \left ( 5\cdot 3+2 \right )^{20}$
$\left( 17 \right )^{20}\equiv 2^{20}\ mod\ \left ( 5 \right )$
$\left( 17 \right )^{20}\equiv 4^{10}\ mod\ \left ( 5 \right )$
$\left( 17 \right )^{20}\equiv \left (-1 \right )^{10}\ mod\ \left ( 5 \right )$
$\left( 17 \right )^{20}\equiv 1^{10}\ mod\ \left ( 5 \right )$

Bentuk penulisan $13$ dibagi $4$ sisa $1$ yaitu $13\equiv 1\ mod\ \left ( 4 \right )$ untuk sementara bisa juga dituliskan $13\equiv -3\ mod\ \left ( 4 \right )$ tetapi pada hasil akhir dituliskan kembali sisa pembagian adalah nol atau bilangan bulat positif dan kurang dari pembagi.

Soal berikut mungkin bisa jadi contoh;
Sisa $2^{2015}$ dibagi $9$ adalah...
$\left( 2 \right )^{2015}= \left( 2^{3} \right )^{671} \cdot 2^{2}$
$\left( 2 \right )^{2015}\equiv \left( 8 \right )^{671} \cdot 4\ mod\ \left ( 9 \right )$
$\left( 2 \right )^{2015}\equiv \left( -1 \right )^{671} \cdot 4\ mod\ \left ( 9 \right )$
$\left( 2 \right )^{2015}\equiv \left( -1 \right )^{671} \cdot 4\ mod\ \left ( 9 \right )$
$\left( 2 \right )^{2015}\equiv -4\ mod\ \left ( 9 \right ) $
$\left( 2 \right )^{2015}\equiv 5\ mod\ \left ( 9 \right ) $
Hasil akhir sisa $2^{2015}$ dibagi $9$ adalah $5$.

Segitu dulu lach ya, belajar modulonya ntar besok kita coba dengan contoh soal yang lain. Kalau ada yang ditanyakan atau ada yang salah pada kerjaan diatas silahkan dikomentari.

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;

You Might Also Like: