The good student, kita bersama calon guru belajar matematika dari cara menentukan nilai diskriminan persamaan kuadrat dan menggunakan diskriminan untuk menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat.
Pada catatan sebelumnya kita sudah mengenal beberapa istilah tentang Persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$, salah satunya adalah Cara Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat Dengan Rumus abc (Rumus Al-Kharizmi) yaitu $x_{12} = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$.
Dari rumus $abc$ di atas yaitu $x_{12} = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$, ada sesuatu yang istimewa yaitu $b^{2}-4ac$. Akar-akar persamaan kuadrat sangat dipengaruhi oleh nilai $b^{2}-4ac$.
Pada persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$, nilai $b^{2}-4ac$ disebut dengan diskriminan. Secara umum nilai diskriminan ada tiga kemungkinan yaitu $b^{2}-4ac \gt 0$, $b^{2}-4ac=0$, atau $b^{2}-4ac \lt 0$.
Untuk selanjutnya diskriminan dapat kita singkat dan dituliskan hanya dengan huruf $D$, sehingga dapat kita tuliskan diskrimian persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ adalah $D=b^{2}-4ac$.
Akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ sangat dipengaruhi oleh nilai $b^{2}-4ac$, dari nilai diskriminan kita dapat menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat tanpa harus menentukan akar-akar persamaan kuadrat tersebut. Secara umum dapat kita tuliskna seperti berikut.
- Jika $D \gt 0$ maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan atau dua akar real yang berbeda.
- Jika $D \gt 0$ dan $D$ bilangan kuadrat, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar rasional yang berlainan
- Jika $D \gt 0$ dan $D$ tidak bilangan kuadrat, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar irasional yang berlainan
- Jika $D = 0$ maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang sama atau akar real kembar.
- Jika $D \lt 0$ maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar tidak real atau akar-akar imajiner.
Untuk lebih memahami hal di atas kita lihat beberapa contoh berikut ini.
Contoh 1:
Tentukanlah jenis-jenis akar persamaan kuadrat $x^{2} - 9 = 0$
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=1$, $b=0$, dan $c=-9$.
Nilai diskriminan adalah:
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = 0^{2}-4(1)(-9) \\
& = 36 = 6^{2}
\end{align}$
Nilai $D \gt 0$ dan $D$ bilangan kuadrat maka akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan real yang berlainan atau lebih khusus lagi dapat kita tuliskan akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan rasional yang berlainan.
Contoh 2:
Tentukanlah jenis-jenis akar persamaan kuadrat $x^{2} + 5x + 6 = 0$
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=1$, $b=5$, dan $c=6$.
Nilai diskriminan adalah:
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = 5^{2}-4(1)(6) \\
& = 25-24 \\
& = 1=1^{2}
\end{align}$
Nilai $D \gt 0$ dan $D$ bilangan kuadrat maka akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan real yang berlainan atau lebih khusus lagi dapat kita tuliskan akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan rasional yang berlainan.
Contoh 3:
Tentukanlah jenis-jenis akar persamaan kuadrat $2x^{2} + 4x -7 = 0$
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=2$, $b=4$, dan $c=-7$.
Nilai diskriminan adalah:
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = 4^{2}-4(2)(-7) \\
& = 16+56 \\
& = 72
\end{align}$
Nilai $D \gt 0$ dan $D$ tidak bilangan kuadrat maka akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan real yang berlainan atau lebih khusus lagi dapat kita tuliskan akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan irasional yang berlainan.
Contoh 4:
Tentukanlah jenis-jenis akar persamaan kuadrat $3x^{2} + 3x -2 = 0$
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=3$, $b=3$, dan $c=-2$.
Nilai diskriminan adalah:
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = 3^{2}-4(3)(-2) \\
& = 9+24 \\
& = 33
\end{align}$
Nilai $D \gt 0$ dan $D$ tidak bilangan kuadrat maka akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan real yang berlainan atau lebih khusus lagi dapat kita tuliskan akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan irasional yang berlainan.
Contoh 5:
Tentukanlah jenis-jenis akar persamaan kuadrat $x^{2} -6x +9 = 0$
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=1$, $b=-6$, dan $c=9$.
Nilai diskriminan adalah:
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = (-6)^{2}-4(1)(9) \\
& = 36-36 \\
& = 0
\end{align}$
Nilai $D = 0$ maka akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan real yang sama.
Contoh 6:
Tentukanlah jenis-jenis akar persamaan kuadrat $4x^{2} -4x +1 = 0$
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=4$, $b=-4$, dan $c=1$.
Nilai diskriminan adalah:
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = (-4)^{2}-4(4)(1) \\
& = 16-16 \\
& = 0
\end{align}$
Nilai $D = 0$ maka akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan real yang sama.
Contoh 7:
Tentukanlah jenis-jenis akar persamaan kuadrat $2x^{2} +3x + 2 = 0$
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=2$, $b=3$, dan $c=2$.
Nilai diskriminan adalah:
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = (3)^{2}-4(2)(2) \\
& = 9-16 \\
& = -7
\end{align}$
Nilai $D \lt 0$ maka akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan imajiner atau tidak mempunyai akar-akar yang real.
Contoh 8:
Tentukanlah jenis-jenis akar persamaan kuadrat $3x^{2} +4x + 5 = 0$
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=3$, $b=4$, dan $c=5$.
Nilai diskriminan adalah:
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = (4)^{2}-4(3)(5) \\
& = 16-60 \\
& = -44
\end{align}$
Nilai $D \lt 0$ maka akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan imajiner atau tidak mempunyai akar-akar yang real.
Soal Latihan dan Pembahasan Diskriminan Persamaan Kuadrat
Untuk menambah pemahaman kita terkait Diskriminan Persamaan Kuadrat dan Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat mari kita coba berlatih dari beberapa soal latihan berikut. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Matematika Diskriminan Persamaan Kuadrat dan Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
1. Soal Latihan Diskriminan Persamaan Kuadrat
Jenis-jenis akar persamaan $2x^{2} – 7x + 3 = 0$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=2$, $b=-7$, dan $c=3$.
Nilai diskriminan adalah:
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = (-7)^{2}-4(2)(3) \\
& = 49-24 \\
& = 25=5^{2}
\end{align}$
Nilai $D \gt 0$ dan $D$ bilangan kuadrat maka akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan real yang berlainan atau lebih khusus lagi dapat kita tuliskan akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan rasional yang berlainan.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)$ akar-akarnya rasional dan berlainan
2. Soal Latihan Diskriminan Persamaan Kuadrat
Jenis-jenis akar persamaan $2x^{2} – 3x + 5 = 0$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=2$, $b=-3$, dan $c=5$.
Nilai diskriminan adalah:
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = (-3)^{2}-4(2)(5) \\
& = 9-40 \\
& = -31
\end{align}$
Nilai $D \lt 0$ maka akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan imajiner atau tidak mempunyai akar-akar yang real.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)$ Akar-akarnya imajiner
3. Soal Latihan Diskriminan Persamaan Kuadrat
Jenis-jenis akar persamaan $6x-3-2x^{2}= 0$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=-2$, $b=6$, dan $c=-3$.
Nilai diskriminan adalah:
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = (6)^{2}-4(-2)(-3) \\
& = 36-24 \\
& = 12
\end{align}$
Nilai $D \gt 0$ dan $D$ tidak bilangan kuadrat maka akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan real yang berlainan atau lebih khusus lagi dapat kita tuliskan akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan irasional yang berlainan.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)$ Akar-akarnya irasional dan berlainan
4. Soal Latihan Diskriminan Persamaan Kuadrat
Jenis-jenis akar persamaan $8x^{2} + 32x – 40= 0$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=8$, $b=32$, dan $c=-40$.
Nilai diskriminan adalah:
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = (32)^{2}-4(8)(-40) \\
& = 1024-1280 \\
& = -256
\end{align}$
Nilai $D \lt 0$ maka akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan imajiner atau tidak mempunyai akar-akar yang real.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)$ Akar-akarnya imajiner
5. Soal Latihan Diskriminan Persamaan Kuadrat
Nilai $m$ yang memenuhi persamaan kuadrat $mx^{2} – 3x – 3 = 0$ agar mempunyai akar-akar yang sama adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=m$, $b=-3$, dan $c=-3$.
Agar persamaan kuadrat mempunyai akar-akar yang sama maka syarat yang harus dipenuhi adalah $D=0$.
Nilai diskriminan adalah $D=0$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
(-3)^{2}-4(m)(-3) & = 0 \\
9+12m & = 0 \\
12m & = -9 \\
m & = \dfrac{-9}{12}= \dfrac{-3}{4}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\dfrac{3}{4}$
6. Soal Latihan Diskriminan Persamaan Kuadrat
Nilai $p$ yang memenuhi agar persamaan kuadrat $(p + 2)x^{2} + (p + 2)x + (4p – 7) = 0$ mempunyai akar-akar yang sama adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=p+2$, $b=p+2$, dan $c=4p-7$.
Agar persamaan kuadrat mempunyai akar-akar yang sama maka syarat yang harus dipenuhi adalah $D=0$.
Nilai diskriminan adalah $D=0$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
\left(p+2 \right)^{2}-4\left(p+2 \right) \left(4p-7 \right) & = 0 \\
p^{2}+4p+4-4\left( 4p^{2}-7p+8p-14 \right) & = 0 \\
p^{2}+4p+4-16p^{2} -4p+56 & = 0 \\
-15p^{2}+60 & = 0 \\
p^{2}-4 & = 0 \\
\left(p+2 \right)\left(p-2 \right) & = 0 \\
p=-2\ \text{atau}\ p=2 &
\end{align}$
Untuk $p=-2$ tidak memenuhi, karena mengakibatkan $(p + 2)x^{2} + (p + 2)x + (4p – 7) = 0$ bukan sebuah persamaan kuadrat.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$
7. Soal Latihan Diskriminan Persamaan Kuadrat
Jenis-jenis akar persamaan $\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x+2}= 1$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Bentuk persamaan $\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x+2}= 1$ kita coba ubah sampai ke bentuk umum persamaan kuadrat $ax^{2} + bx +c= 0$ menjadi seperti berikut:
$\begin{align}
\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x+2} & = 1 \\
\dfrac{\left( x+2 \right)+\left( x-3 \right)}{\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)} & = 1 \\
\left( x+2 \right)+\left( x-3 \right) & = \left( x-3 \right)\left( x+2 \right) \\
2x-1 & = x^{2}-x-6 \\
0 & = x^{2}-3x-5
\end{align}$
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=1$, $b=-3$, dan $c=-5$.
Nilai diskriminan adalah:
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = (-3)^{2}-4(1)(-5) \\
& = 9+20 \\
& = 29
\end{align}$
Nilai $D \gt 0$ dan $D$ tidak bilangan kuadrat maka akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan real yang berlainan atau lebih khusus lagi dapat kita tuliskan akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan irasional yang berlainan.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)$ Akar-akarnya irasional dan berlainan
8. Soal Latihan Diskriminan Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat $3x^{2} + (2p + 6)x + 4p = 0$ mempunyai dua akar yang sama. Akar-akar tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=3$, $b=2p+6$, dan $c=4p$.
Agar persamaan kuadrat mempunyai akar-akar yang sama maka syarat yang harus dipenuhi adalah $D=0$.
Nilai diskriminan adalah $D=0$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
\left( 2p+6 \right)^{2}-4\left( 3 \right) \left( 4p \right) & = 0 \\
4p^{2}+24p+36-48p& = 0 \\
4p^{2}-24p+36 & = 0 \\
p^{2}-6p+9 & = 0 \\
\left( p-3 \right)\left( p-3 \right) & = 0 \\
p=3\ \text{atau}\ p=3 &
\end{align}$
Untuk $p=3$ kita peroleh persamaan kuadrat:
$\begin{align}
3x^{2} + (2p + 6)x + 4p & = 0 \\
3x^{2} + 12x + 12 & = 0 \\
x^{2} + 4x + 4 & = 0 \\
\left( x+2 \right)\left( x+2 \right) & = 0 \\
x=-2\ \text{atau}\ x=-2 &
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -2$
9. Soal Latihan Diskriminan Persamaan Kuadrat
Nilai $p$ agar persamaan kuadrat $(p + 3)x^{2} -4x + p = 0$ mempunyai akar-akar yang sama adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=p+3$, $b=-4$, dan $c=p$.
Agar persamaan kuadrat mempunyai akar-akar yang sama maka syarat yang harus dipenuhi adalah $D=0$.
Nilai diskriminan adalah $D=0$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
\left( -4 \right)^{2}-4\left(p+3 \right) \left( p \right) & = 0 \\
16-4\left( p^{2}+3p \right) & = 0 \\
16-4p^{2}-12p & = 0 \\
-4p^{2}-12p+16 & = 0 \\
p^{2}+3p-4 & = 0 \\
\left( p-1 \right)\left(p+4 \right) & = 0 \\
p=1\ \text{atau}\ p=-4 &
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -4$
Catatan Diskriminan Persamaan Kuadrat dan Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jika ingin sukses harus pintar, Jika ingin pintar maka harus belajar, dan Jika ingin belajar harus rajin membaca.
