The good student, kita bersama calon guru belajar matematika dari cara menentukan nilai diskriminan persamaan kuadrat dan menggunakan diskriminan untuk menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat.
Pada catatan sebelumnya kita sudah mengenal beberapa istilah tentang Persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$, salah satunya adalah Cara Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat Dengan Rumus abc (Rumus Al-Kharizmi) yaitu $x_{12} = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$.
Dari rumus $abc$ di atas yaitu $x_{12} = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$, ada sesuatu yang istimewa yaitu $b^{2}-4ac$. Akar-akar persamaan kuadrat sangat dipengaruhi oleh nilai $b^{2}-4ac$.
Pada persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$, nilai $b^{2}-4ac$ disebut dengan diskriminan. Secara umum nilai diskriminan ada tiga kemungkinan yaitu $b^{2}-4ac \gt 0$, $b^{2}-4ac=0$, atau $b^{2}-4ac \lt 0$.
Untuk selanjutnya diskriminan dapat kita singkat dan dituliskan hanya dengan huruf $D$, sehingga dapat kita tuliskan diskrimian persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ adalah $D=b^{2}-4ac$.
Akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ sangat dipengaruhi oleh nilai $b^{2}-4ac$, dari nilai diskriminan kita dapat menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat tanpa harus menentukan akar-akar persamaan kuadrat tersebut. Secara umum dapat kita tuliskna seperti berikut.
- Jika $D \gt 0$ maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan atau dua akar real yang berbeda.
- Jika $D \gt 0$ dan $D$ bilangan kuadrat, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar rasional yang berlainan
- Jika $D \gt 0$ dan $D$ tidak bilangan kuadrat, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar irasional yang berlainan
- Jika $D = 0$ maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang sama atau akar real kembar.
- Jika $D \lt 0$ maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar tidak real atau akar-akar imajiner.
Untuk lebih memahami hal di atas kita lihat beberapa contoh berikut ini.
Contoh 1:
Tentukanlah jenis-jenis akar persamaan kuadrat $x^{2} - 9 = 0$
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=1$, $b=0$, dan $c=-9$.
Nilai diskriminan adalah:
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = 0^{2}-4(1)(-9) \\
& = 36 = 6^{2}
\end{align}$
Nilai $D \gt 0$ dan $D$ bilangan kuadrat maka akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan real yang berlainan atau lebih khusus lagi dapat kita tuliskan akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan rasional yang berlainan.
Contoh 2:
Tentukanlah jenis-jenis akar persamaan kuadrat $x^{2} + 5x + 6 = 0$
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=1$, $b=5$, dan $c=6$.
Nilai diskriminan adalah:
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = 5^{2}-4(1)(6) \\
& = 25-24 \\
& = 1=1^{2}
\end{align}$
Nilai $D \gt 0$ dan $D$ bilangan kuadrat maka akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan real yang berlainan atau lebih khusus lagi dapat kita tuliskan akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan rasional yang berlainan.
Contoh 3:
Tentukanlah jenis-jenis akar persamaan kuadrat $2x^{2} + 4x -7 = 0$
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=2$, $b=4$, dan $c=-7$.
Nilai diskriminan adalah:
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = 4^{2}-4(2)(-7) \\
& = 16+56 \\
& = 72
\end{align}$
Nilai $D \gt 0$ dan $D$ tidak bilangan kuadrat maka akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan real yang berlainan atau lebih khusus lagi dapat kita tuliskan akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan irasional yang berlainan.
Contoh 4:
Tentukanlah jenis-jenis akar persamaan kuadrat $3x^{2} + 3x -2 = 0$
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=3$, $b=3$, dan $c=-2$.
Nilai diskriminan adalah:
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = 3^{2}-4(3)(-2) \\
& = 9+24 \\
& = 33
\end{align}$
Nilai $D \gt 0$ dan $D$ tidak bilangan kuadrat maka akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan real yang berlainan atau lebih khusus lagi dapat kita tuliskan akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan irasional yang berlainan.
Contoh 5:
Tentukanlah jenis-jenis akar persamaan kuadrat $x^{2} -6x +9 = 0$
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=1$, $b=-6$, dan $c=9$.
Nilai diskriminan adalah:
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = (-6)^{2}-4(1)(9) \\
& = 36-36 \\
& = 0
\end{align}$
Nilai $D = 0$ maka akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan real yang sama.
Contoh 6:
Tentukanlah jenis-jenis akar persamaan kuadrat $4x^{2} -4x +1 = 0$
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=4$, $b=-4$, dan $c=1$.
Nilai diskriminan adalah:
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = (-4)^{2}-4(4)(1) \\
& = 16-16 \\
& = 0
\end{align}$
Nilai $D = 0$ maka akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan real yang sama.
Contoh 7:
Tentukanlah jenis-jenis akar persamaan kuadrat $2x^{2} +3x + 2 = 0$
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=2$, $b=3$, dan $c=2$.
Nilai diskriminan adalah:
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = (3)^{2}-4(2)(2) \\
& = 9-16 \\
& = -7
\end{align}$
Nilai $D \lt 0$ maka akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan imajiner atau tidak mempunyai akar-akar yang real.
Contoh 8:
Tentukanlah jenis-jenis akar persamaan kuadrat $3x^{2} +4x + 5 = 0$
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=3$, $b=4$, dan $c=5$.
Nilai diskriminan adalah:
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = (4)^{2}-4(3)(5) \\
& = 16-60 \\
& = -44
\end{align}$
Nilai $D \lt 0$ maka akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan imajiner atau tidak mempunyai akar-akar yang real.
Soal Latihan dan Pembahasan Diskriminan Persamaan Kuadrat
Untuk menambah pemahaman kita terkait Diskriminan Persamaan Kuadrat dan Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat mari kita coba berlatih dari beberapa soal latihan berikut. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Matematika Diskriminan Persamaan Kuadrat dan Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
1. Soal Latihan Diskriminan Persamaan Kuadrat
Jenis-jenis akar persamaan $2x^{2} – 7x + 3 = 0$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=2$, $b=-7$, dan $c=3$.
Nilai diskriminan adalah:
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = (-7)^{2}-4(2)(3) \\
& = 49-24 \\
& = 25=5^{2}
\end{align}$
Nilai $D \gt 0$ dan $D$ bilangan kuadrat maka akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan real yang berlainan atau lebih khusus lagi dapat kita tuliskan akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan rasional yang berlainan.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)$ akar-akarnya rasional dan berlainan
2. Soal Latihan Diskriminan Persamaan Kuadrat
Jenis-jenis akar persamaan $2x^{2} – 3x + 5 = 0$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=2$, $b=-3$, dan $c=5$.
Nilai diskriminan adalah:
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = (-3)^{2}-4(2)(5) \\
& = 9-40 \\
& = -31
\end{align}$
Nilai $D \lt 0$ maka akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan imajiner atau tidak mempunyai akar-akar yang real.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)$ Akar-akarnya imajiner
3. Soal Latihan Diskriminan Persamaan Kuadrat
Jenis-jenis akar persamaan $6x-3-2x^{2}= 0$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=-2$, $b=6$, dan $c=-3$.
Nilai diskriminan adalah:
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = (6)^{2}-4(-2)(-3) \\
& = 36-24 \\
& = 12
\end{align}$
Nilai $D \gt 0$ dan $D$ tidak bilangan kuadrat maka akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan real yang berlainan atau lebih khusus lagi dapat kita tuliskan akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan irasional yang berlainan.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)$ Akar-akarnya irasional dan berlainan
4. Soal Latihan Diskriminan Persamaan Kuadrat
Jenis-jenis akar persamaan $8x^{2} + 32x – 40= 0$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=8$, $b=32$, dan $c=-40$.
Nilai diskriminan adalah:
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = (32)^{2}-4(8)(-40) \\
& = 1024-1280 \\
& = -256
\end{align}$
Nilai $D \lt 0$ maka akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan imajiner atau tidak mempunyai akar-akar yang real.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)$ Akar-akarnya imajiner
5. Soal Latihan Diskriminan Persamaan Kuadrat
Nilai $m$ yang memenuhi persamaan kuadrat $mx^{2} – 3x – 3 = 0$ agar mempunyai akar-akar yang sama adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=m$, $b=-3$, dan $c=-3$.
Agar persamaan kuadrat mempunyai akar-akar yang sama maka syarat yang harus dipenuhi adalah $D=0$.
Nilai diskriminan adalah $D=0$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
(-3)^{2}-4(m)(-3) & = 0 \\
9+12m & = 0 \\
12m & = -9 \\
m & = \dfrac{-9}{12}= \dfrac{-3}{4}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\dfrac{3}{4}$
6. Soal Latihan Diskriminan Persamaan Kuadrat
Nilai $p$ yang memenuhi agar persamaan kuadrat $(p + 2)x^{2} + (p + 2)x + (4p – 7) = 0$ mempunyai akar-akar yang sama adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=p+2$, $b=p+2$, dan $c=4p-7$.
Agar persamaan kuadrat mempunyai akar-akar yang sama maka syarat yang harus dipenuhi adalah $D=0$.
Nilai diskriminan adalah $D=0$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
\left(p+2 \right)^{2}-4\left(p+2 \right) \left(4p-7 \right) & = 0 \\
p^{2}+4p+4-4\left( 4p^{2}-7p+8p-14 \right) & = 0 \\
p^{2}+4p+4-16p^{2} -4p+56 & = 0 \\
-15p^{2}+60 & = 0 \\
p^{2}-4 & = 0 \\
\left(p+2 \right)\left(p-2 \right) & = 0 \\
p=-2\ \text{atau}\ p=2 &
\end{align}$
Untuk $p=-2$ tidak memenuhi, karena mengakibatkan $(p + 2)x^{2} + (p + 2)x + (4p – 7) = 0$ bukan sebuah persamaan kuadrat.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$
7. Soal Latihan Diskriminan Persamaan Kuadrat
Jenis-jenis akar persamaan $\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x+2}= 1$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Bentuk persamaan $\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x+2}= 1$ kita coba ubah sampai ke bentuk umum persamaan kuadrat $ax^{2} + bx +c= 0$ menjadi seperti berikut:
$\begin{align}
\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x+2} & = 1 \\
\dfrac{\left( x+2 \right)+\left( x-3 \right)}{\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)} & = 1 \\
\left( x+2 \right)+\left( x-3 \right) & = \left( x-3 \right)\left( x+2 \right) \\
2x-1 & = x^{2}-x-6 \\
0 & = x^{2}-3x-5
\end{align}$
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=1$, $b=-3$, dan $c=-5$.
Nilai diskriminan adalah:
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = (-3)^{2}-4(1)(-5) \\
& = 9+20 \\
& = 29
\end{align}$
Nilai $D \gt 0$ dan $D$ tidak bilangan kuadrat maka akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan real yang berlainan atau lebih khusus lagi dapat kita tuliskan akar-akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan irasional yang berlainan.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)$ Akar-akarnya irasional dan berlainan
8. Soal Latihan Diskriminan Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat $3x^{2} + (2p + 6)x + 4p = 0$ mempunyai dua akar yang sama. Akar-akar tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=3$, $b=2p+6$, dan $c=4p$.
Agar persamaan kuadrat mempunyai akar-akar yang sama maka syarat yang harus dipenuhi adalah $D=0$.
Nilai diskriminan adalah $D=0$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
\left( 2p+6 \right)^{2}-4\left( 3 \right) \left( 4p \right) & = 0 \\
4p^{2}+24p+36-48p& = 0 \\
4p^{2}-24p+36 & = 0 \\
p^{2}-6p+9 & = 0 \\
\left( p-3 \right)\left( p-3 \right) & = 0 \\
p=3\ \text{atau}\ p=3 &
\end{align}$
Untuk $p=3$ kita peroleh persamaan kuadrat:
$\begin{align}
3x^{2} + (2p + 6)x + 4p & = 0 \\
3x^{2} + 12x + 12 & = 0 \\
x^{2} + 4x + 4 & = 0 \\
\left( x+2 \right)\left( x+2 \right) & = 0 \\
x=-2\ \text{atau}\ x=-2 &
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -2$
9. Soal Latihan Diskriminan Persamaan Kuadrat
Nilai $p$ agar persamaan kuadrat $(p + 3)x^{2} -4x + p = 0$ mempunyai akar-akar yang sama adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat di atas kita peroleh nilai $a=p+3$, $b=-4$, dan $c=p$.
Agar persamaan kuadrat mempunyai akar-akar yang sama maka syarat yang harus dipenuhi adalah $D=0$.
Nilai diskriminan adalah $D=0$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
\left( -4 \right)^{2}-4\left(p+3 \right) \left( p \right) & = 0 \\
16-4\left( p^{2}+3p \right) & = 0 \\
16-4p^{2}-12p & = 0 \\
-4p^{2}-12p+16 & = 0 \\
p^{2}+3p-4 & = 0 \\
\left( p-1 \right)\left(p+4 \right) & = 0 \\
p=1\ \text{atau}\ p=-4 &
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -4$
Catatan tentang Diskriminan Persamaan Kuadrat dan Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jika ingin sukses harus pintar, Jika ingin pintar maka harus belajar, dan Jika ingin belajar harus rajin membaca.