Skip to main content

Soal dan Pembahasan OSN 2018 Tingkat Kabupaten Matematika SMP (Kode: OSN.KK.M.R1)

Soal dan Pembahasan OSN 2018 Tingkat Kabupaten Matematika SMP (Kode: OSN.KK.M.R1)Soal olimpiade matematika SMP untuk tingkat kabupaten tahun 2018 dibuat berbeda dari tahun sebelumnya. Pada OSK Matematika SMP tahun 2017 banyak soal ada sebanyak 10 soal untuk pilihan ganda dan 5 soal untuk isian singkat dan disemua kabupaten/kota jenis soal adalah sama.

Sedangkan untuk tahun ini jumlah soal kembali dirubah, semua bentuk soal pilihan ganda berjumlah 25 soal. Soal di setiap kabupaten/kota juga diusahakan panitia berbeda, sampai sekarang bentuk soal yang sudah di share dan di diskusikan oleh teman-teman guru matematika yang tergabung dalam Matematika Nusantara ada 4 type soal.

Kita mulai diskusi dari soal OSN 2018 Tingkat Kabupaten Matematika SMP dengan Kode OSN.KK.M.R1, mari kita simakπŸ˜‰

$(1).$ Bilangan prima $p$ dan $q$ masing-masing dua digit. Hasil penjumlahan $p$ dan $q$ merupakan bilangan dua digit yang digitnya sama. Jika bilangan tiga digit $r$ merupakan perkalian $p$ dan $q$, maka dua nilai $r$ yang mungkin adalah ...
$(A).$ 121 atau 143
$(B).$ 169 atau 689
$(C).$ 403 atau 989
$(D).$ 481 atau 121
Alternatif Pembahasan:

Disampaikan $p$ dan $q$ adalah bilangan prima dua digit, maka nilai $p$ dan $q$ adalah diantara: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 91, dan 97.

Bilangan prima dua digit adalah bilangan ganjil sehingga $p+q$ bilangan genap dua digit yang digitnya sama, sehingga $p+q=22,44,66, \text{atau}\ 88$

  • Jika $p+q=22$, maka pasangan $(𝑝,π‘ž)$ yang memenuhi adalah $(11,11)$
    Nilai dari $π‘Ÿ=pq$ yang memenuhi adalah 121.
  • Jika $𝑝+π‘ž=44$, maka pasangan $(𝑝,π‘ž)$ yang memenuhi adalah $(13,31)$.
    Nilai dari π‘Ÿ yang memenuhi adalah 403.
  • Jika $𝑝+π‘ž=66$, maka pasangan $(𝑝,π‘ž)$ yang memenuhi adalah $(13,53),\ (19,47),\ (23,43)$. Nilai dari $π‘Ÿ$ yang memenuhi adalah 689, 893, dan 989.
  • Jika $𝑝+π‘ž=88$, maka $π‘Ÿ$ bukan bilangan tiga digit.

$(2).$ Diketahui tabel distribusi nilai siswa kelas A dan kelas B sebagai berikut
Soal dan Pembahasan OSN 2018 Tingkat Kabupaten Matematika SMP (Kode: OSN.KK.M.R1)
Pernyataan berikut yang benar adalah...
$(A).$ Median nilai ulangan sama untuk kelas A dan kelas B
$(B).$ Mean nilai ulangan sama untuk kelas A dan kelas B
$(C).$ Modus nilai ulangan sama untuk kelas A dan kelas B
$(D).$ Jawaban A, B, dan C salah
Alternatif Pembahasan:

Coba kita hitung Mean, Median dan Modus dari nilai ulangan dari kelas A dan kelas B seperti permintaan pada pilihan soal.

Soal dan Pembahasan OSN 2018 Tingkat Kabupaten Matematika SMP (Kode: OSN.KK.M.R1)
  • Mean [rata-rata]
    $\bar{x}=\frac{\text{Jumlah Data}}{Banyak data}$
    $\bar{x}_{A}=\frac{2920}{36}=81,11$
    $\bar{x}_{B}=\frac{2885}{36}=80,13$
  • Modus [Nilai paling sering muncul]
    $Mo_{A}=80$
    $Mo_{B}=85$
  • Median [Nilai tengah]
    Banyak data sama yaitu 36, Nilai median berada pada nilai ke-$\frac{f_{18}+f_{19}}{2}$
    $Me_{A}=\frac{80+80}{2}=80$
    $Me_{B}=\frac{80+80}{2}=80$

$(3).$ Pada suatu data terdapat 21 bilangan bulat positif. Bilangan terbesar pada data tersebut adalah $16$. Median dari data adalah $10$. Rata-rata terkecil yang mungkin dari data tersebut adalah...
$(A).$ 5,0
$(B).$ 5,5
$(C).$ 6,0
$(D).$ 6,5
Alternatif Pembahasan:

Kita misalkan 21 bilangan bulat positif setelah diurutkan dari yang terkecil adalah $x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{21}$.
Bilangan terbesar: $x_{21}=16$
Median: $x_{11}=10$
Rata-rata:
$\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{21}}{21}$
Agar rata-rata yang dihasilkan adalah yang terkecil dan masih memenuhi syarat yaitu bilangan terbesar $21$ dan median $10$, maka kita anggap saja $x_{1}$ sampai $x_{10}$ nilainya adalah $1$, lalu $x_{11}$ sampai $x_{20}$ nilainya adalah $10$.

Rata-rata nilai terkecil adalah:
$\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{21}}{21}$
$\bar{x}=\frac{10 \times 1+ 10 \times 10+16}{21}$
$\bar{x}=\frac{10+100+16}{21}$
$\bar{x}=\frac{126}{21}$
$\bar{x}=6$

$(4).$ Diketahui persamaan garis $3x+4y-5=0$. Jika garis tersebut direfleksikan terhadap sumbu $Y$ dan dilanjutkan dilatasi $[O,3]$, maka persamaannya menjadi...
$(A).$ $3x+4y-15=0$
$(B).$ $3x-4y-15=0$
$(C).$ $-3x+4y-15=0$
$(D).$ $-3x-4y-15=0$
Alternatif Pembahasan:

Mungkin bisa mempermudah pengerjaan jika kita coba dengan merubah bentuk garis $3x+4y-5=0$ menjadi bentuk $y=mx+n$.
$3x+4y-5=0$
$4y=-3x+5$
$y=\frac{-3}{4}x+\frac{5}{4}$

Garis direfleksikan terhadap sumbu $Y$,
Persamaan garis $y=\frac{-3}{4}x+\frac{5}{4}$ jadi $y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$.

Lalu garis didilatasi $[O,3]$,
$y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$
$y=\frac{3}{4}x+[3]\frac{5}{4}$
$y=\frac{3}{4}x+[3]\frac{5}{4}$
$y=\frac{3}{4}x+\frac{15}{4}$
$4y=3x+15$
$4y-3x-15=0$

$(5).$ Jika $-1 < x < y < 0$, maka berlaku...
$(A).$ $xy < x^{2}y < xy^{2}$
$(B).$ $xy < xy^{2} < x^{2}y$
$(C).$ $xy^{2} < x^{2}y < xy$
$(D).$ $x^{2}y < xy^{2} < xy$
Alternatif Pembahasan:

Dari pertidaksamaan $-1 < x < y < 0$ dapat kita simpulkan bahwa $x < 0$, $y < 0$ dan $xy > 0$.
Jika $x < y$ kita kalikan dengan $xy$ maka $x^{2}y < xy^{2}$.

Dari data-data yang kita peroleh:

  • $x^{2}y < 0$,
  • $xy^{2} < 0$,
  • $x^{2}y < xy^{2}$dan
  • $xy > 0$
Pertidaksamaan yang memenuhi adalah $x^{2}y < xy^{2} < xy$

$(6).$ Jika $x$ dan $y$ adalah bilangan bulat positif dengan $y > 1$, sehingga $x^{y}=3^{18}5^{30}$, maka nilai $x-y$ yang mungkin adalah...
$(A).$ 84375
$(B).$ 84369
$(C).$ 84363
$(D).$ 84357
Alternatif Pembahasan:

Kita coba mulai menyelesaikan soal diatas dengan merubah $3^{18}5^{30}$ menjadi bilangan dengan bentuk $x^{y}$.
\begin{split}x^{y} &= 3^{18}5^{30}\\
&=\ (3^{3})^{6} \cdot (5^{5})^{6}\\
&=\ (3^{3} \cdot 5^{5})^{6}\\
&=\ (27 \cdot 3125)^{6}\\
&=\ 84375^{6}\end{split}
Dari bentuk bilangan berpangkat diatas kita peroleh nilai $x=84375$ dan $y=6$.
Nilai $x-y=84375-6=84369$

$(7).$ Diketahui $F=\{9,10,11,12,13,.....,49,50\}$ dan $G$ adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan tiga atau lebih bilangan-bilangan asli berurutan. Anggota $F\ \cap\ G$ sebanyak...
$(A).$ 14
$(B).$ 26
$(C).$ 29
$(D).$ 36
Alternatif Pembahasan:

$F=\{9,10,11,12,13,.....,49,50\}$,
$n(F)=42$

$G$ adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan tiga atau lebih bilangan-bilangan asli berurutan.

  • Hasil penjumlahan tiga bilangan asli berurutan. Untuk $π‘Ž=1,2,3,\cdots$ kita dapat anggota bilangan $G$ adalah sebagai berikut:
    $π‘Ž+(π‘Ž+1)+(π‘Ž+2)=3π‘Ž+3$, [Bilangan habis dibagi 3=$3(a+1)$]
    $G=6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48,\cdots $
  • Hasil penjumlahan empat bilangan asli berurutan.
    $π‘Ž+(π‘Ž+1)+(π‘Ž+2)+(π‘Ž+3)=4π‘Ž+6$, [Bilangan jika dibagi 4 sisa 2=$4(a+1)+2$]
    $𝐺=10,14,18,22,26,30,34,38,42,46,50,\cdots $
  • Hasil penjumlahan lima bilangan asli berurutan.
    $π‘Ž+(π‘Ž+1)+\cdots+(π‘Ž+4)=5π‘Ž+10$, [Bilangan habis dibagi 5=$5(a+2)$]
    $𝐺=15,20,25,30,35,40,45,50,\cdots$
  • Hasil penjumlahan enam bilangan asli berurutan.
    $π‘Ž+(π‘Ž+1)+\cdots+(π‘Ž+5)=6π‘Ž+15$, [Bilangan jika dibagi 6 sisa 3=$6(a+2)+3$]
    $𝐺=21,27,33,39,45,\cdots$
  • Hasil penjumlahan tujuh bilangan asli berurutan.
    $π‘Ž+(π‘Ž+1)+\cdots+(a+6)=7π‘Ž+21$, [Bilangan habis dibagi 7=$7(a+3)$]
    $𝐺=28,35,42,49,\cdots$
  • Hasil penjumlahan delapan bilangan asli berurutan.
    $π‘Ž+(π‘Ž+1)+\cdots+(a+7)=8π‘Ž+28=$, [Bilangan jika dibagi 8 sisa 4=$8(a+3)+4$]
    $𝐺=36,44,\cdots$
  • Hasil penjumlahan sembilan bilangan asli berurutan.
    $π‘Ž+(π‘Ž+1)+\cdots+(a+8)=9π‘Ž+36$, [Bilangan habis dibagi 9=$9(a+4)$]
    $𝐺=45,\cdots $
Banyak anggota $G$ tak hingga, tetapi anggota $G$ yang merupakan anggota $F$ adalah 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 45, 46, 49, dan 50.

$n(F\ \cap\ G)=29$

$(8).$ Salah satu contoh situasi untuk sistem persamaan $2x+y = 10000$ dan $x+3y=20000$ adalah...
$(A).$ Dua orang siswa membeli pulpen dan buku tulis seharga Rp10.000,00. Salah seorang siswa tersebut membeli pensil dan tiga buku tulis seharga Rp20.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?
$(B).$ Dua orang siswa membeli pulpen dan tiga buah buku tulis seharga Rp10.000,00. Selain itu, dia juga membeli dua buah pulpen dan sebuah buku tulis untuk adiknya seharga Rp20.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?
$(C).$ Seorang siswa akan membeli dua buah pulpen dan tiga buah buku tulis. Siswa tersebut memiliki uang Rp30.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?
$(D).$ Seorang membeli sebuah pulpen dan tiga buah buku tulis seharga Rp20.000,00. Selain itu, dia juga membeli dua buah pulpen dan sebuah buku tulis untuk adiknya seharga Rp10.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?
Alternatif Pembahasan:

Jika kalimat-kalimat pada pilihan soal diatas kita coba tulis dengan simbol-simbol, kurang lebih seperti berikut ini;
$(A).$ Dua orang siswa membeli pulpen dan buku tulis seharga Rp10.000,00. Salah seorang siswa tersebut membeli pensil dan tiga buku tulis seharga Rp20.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?
$x+y=10000$ dan $x+3y=20000$
$(B).$ Dua orang siswa membeli pulpen dan tiga buah buku tulis seharga Rp10.000,00. Selain itu, dia juga membeli dua buah pulpen dan sebuah buku tulis untuk adiknya seharga Rp20.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?
$x+3y=10000$ dan $2x+y=20000$
$(C).$ Seorang siswa akan membeli dua buah pulpen dan tiga buah buku tulis. Siswa tersebut memiliki uang Rp30.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?
$2x+3y \leq 30000$
$(D).$ Seorang membeli sebuah pulpen dan tiga buah buku tulis seharga Rp20.000,00. Selain itu, dia juga membeli dua buah pulpen dan sebuah buku tulis untuk adiknya seharga Rp10.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?
$2x+y = 10000$ dan $x+3y=20000$

$(9).$ Diketahui $x,\ y,\ \text{dan}\ z$ adalah tiga bilangan bulat positif. Tiga terurut $(x,\ y,\ z)$ yang memenuhi $(x+2y)^{z} = 64$ ada sebanyak...
$(A).$ 4
$(B).$ 32
$(C).$ 35
$(D).$ 36
Alternatif Pembahasan:

$(x+2y)^{z}=64=2^{6}=4^{3}=8^{2}$

  • Kemungkinan I;
    $(x+2y)^{z}=2^{6}$, diperoleh nilai $z=6$ dan $(x+2y)=2$.
    Pada saat ini tidak ada nilai $x$ dan $y$ bilangan bulat positif yang memenuhi $(x+2y)=2$. Tiga terurut $(x,y,z)$ ada sebanyak 0.
  • Kemungkinan II;
    $(x+2y)^{z}=4^{3}$, diperoleh nilai $z=3$ dan $(x+2y)=4$.
    Pasangan $(x,y)$ adalah $(2,1)$. Tiga terurut $(x,y,z)$ ada sebanyak 1.
  • Kemungkinan III;
    $(x+2y)^{z}=8^{2}$, diperoleh nilai $z=2$ dan $(x+2y)=8$
    Pasangan $(x,y)$ adalah $(6,1),(4,2),(2,3)$. Tiga terurut $(x,y,z)$ ada sebanyak 3.
  • Kemungkinan IV;
    $(x+2y)^{z}=64^{1}$, diperoleh nilai $z=1$ dan $(x+2y)=64$
    Pasangan $(x,y)$ adalah $(62,1),(60,2),(58,3), \cdots ,(2,31)$. Tiga terurut $(x,y,z)$ ada sebanyak 31.
Total banyak kemungkinan tiga terurut $(x,y,z)$ ada sebanyak $0+1+3+31=35$


$(10).$ Sepuluh kartu masing-masing ditulis bilangan $1-10$ sedemikian sehingga tidak ada dua kartu yang memiliki bilangan sama. Sebuah kartu diambil secara acak, dicatat bilangan pada kartu tersebut. Kemudian sebuah dadu dilemparkan, dicatat mata dadu yang muncul. Peluang untuk mendapatkan hasil kali bilangan pada kartu dan mata dadu yang merupakan bilangan kuadrat adalah...
$(A).$ $\frac{1}{10}$
$(B).$ $\frac{2}{15}$
$(C).$ $\frac{11}{60}$
$(D).$ $\frac{13}{60}$
Alternatif Pembahasan:

Kartu: $\{1,2,3,\cdots,10\}$
Dadu: $\{1,2,3,\cdots,6\}$

Hasil yang mungkin terjadi [Ruang Sampel];
$S:\{(1,1),(1,2),(1,3),\cdots,(6,10)\}$
$n(S)=60$

Kejadian yang diharapkan muncul adalah hasil kali bilangan pada kartu dan mata dadu yang merupakan bilangan kuadrat.
$E:\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)$$,(5,5),(6,6),(1,4),(1,9)$$,(2,8),(4,1),(4,9)\}$
$n(E)=11$

Peluang kejadian $E$ terjadi adalah:
$P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$
$P(E)=\frac{11}{60}$

$(11).$ Grafik fungsi kuadrat $y=a(x-1)^{2}+a$ dengan $a \neq 0$, tidak berpotongan dengan grafik fungsi kuadrat $y=(1-a^{2})x^{2}+2a+1$, jika...
$(A).$ $-1 < a < 0$ atau $0 < a < \frac{1}{2}$
$(B).$ $-1 < a < 0$ atau $0 < a < 1$
$(C).$ $-1 < a < \frac{1}{2}$ atau $\frac{1}{2} < a < 1$
$(D).$ $1 < a < \frac{1}{2}$ atau $a > 1$
Alternatif Pembahasan:

Persamaan Kuadrat persekutuan kita peroleh dari persamaan berikut;
\begin{split}y &= y\\
a(x-1)^{2}+a &=(1-a^{2})x^{2}+2a+1\\
a(x^{2}-2x+1)+a &=(1-a^{2})x^{2}+2a+1\\
ax^{2}-2ax+2a &=(1-a^{2})x^{2}+2a+1\\
ax^{2}-2ax+2a-(1-a^{2})x^{2}-2a-1 &=0\\
ax^{2}+(a^{2}-1)x^{2}-2ax-1 &=0\\
(a^{2}+a-1)x^{2}-2ax-1 &=0 \end{split}
Agar kedua grafik tidak berpotongan, maka nilai Diskriminan harus lebih kecil dari nol $(𝐷 < 0)$
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = (-2a)^{2}-4(a^{2}+a-1)(-1) \\
& = 4a^{2}+4a^{2}+4a-4 \\
& = 8a^{2}+4a-4 \\
& = 4(2a-1)(a+1)
\end{align}$
$4(2a-1)(a+1) < 0$
$(2a-1)(a+1) < 0$
HP: $-1 < a < \frac{1}{2}$
Karena $a \neq 0$, maka nilai $a$ yang memenuhi adalah
$-1 < a < 0$ atau $0 < a < \frac{1}{2}$

$(12).$ Suku keempat, suku ketujuh, suku kesepuluh, dan suku ke-1010 suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah $t,\ t^{2},\ \text{dan}\ t+t^{2}$, dan 2018. Suku ke-100 dikurangi suku ke-10 barisan tersebut adalah...
$(A).$ 102
$(B).$ 150
$(C).$ 175
$(D).$ 180
Alternatif Pembahasan:

Sekarang kita coba bermain dengan Barisan Aritmatika;
$U_{4}=a+3b=t$
$U_{7}=a+6b=t^{2}$
$U_{10}=a+9b=t+t^{2}$
$U_{1010}=a+1009b=2018$

$U_{4}+U_{7}=t+t^{2}$
$a+3b+a+6b=t+t^{2}$
$2a+9b=a+9b$
$a=0$

$a+1009b=2018$
$1009b=2018$
$b=\frac{2018}{1009}$
$b=2$

$\begin{align}
U_{100}-U_{10} & = a+99b-a+9b \\
& = 90b \\
& = 90(2) \\
& = 180 \\
\end{align}$

$(13).$ Diketahui jajar genjang $ABCD$ dengan $AB=10\ cm$. Titik $P$ berada di garis diagonal $BD$ dan sebagai titik potong garis $BD$ dan $AQ$, serta titik $Q$ terletak pada $CD$ dan $BP=2DP$. panjang $DQ$ adalah...cm
$(A).$ 2
$(B).$ $\frac{10}{3}$
$(C).$ 4
$(D).$ 5
Alternatif Pembahasan:

Soal dan Pembahasan OSN 2018 Tingkat Kabupaten Matematika SMP (Kode: OSN.KK.M.R1)
Dari gambar jajar genjang $ABCD$ diatas kita peroleh $\bigtriangleup ABP$ sebangun dengan $\bigtriangleup QDP$, sehingga berlaku:
$\frac{DQ}{AB}=\frac{DP}{BP}=\frac{1}{2}$
$DQ=\frac{1}{2} AB$
$DQ=5\ cm$

$(14).$ Diberikan bilangan asli dua digit. Peluang bahwa bilangan tersebut memiliki digit penyusun prima dan bersisa 3 jika dibagi 7 adalah...
$(A).$ $\frac{1}{45}$
$(B).$ $\frac{1}{30}$
$(C).$ $\frac{1}{8}$
$(D).$ $\frac{1}{4}$
Alternatif Pembahasan:

Ruang Sampel adalah Banyak bilangan asli dua digit.
$S=\{10,11, \cdots , 99 \}$
$n(S)=90$

Kejadian yang diharapkan adalah bilangan yang memiliki digit penyusun prima dan bersisa 3 jika dibagi 7.
Bilangan asli dua digit yang penyusunnya bilangan prima adalah
22, 23, 25, 27,
32, 33, 35, 37,
52, 53, 55, 57,
72, 73, 75, 77.
Diantara bilangan-bilangan tersebut, bilangan yang bersisa 3 jika dibagi 7 [*habis dibagi 7 jika ditambahkan 4] adalah 52 dan 73.
$n(E)=2$

$P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$
$P(E)=\frac{2}{90}=\frac{1}{45}$


$(15).$ Perhatikan $\bigtriangleup ABC$ dan lingkaran dalam pada gambar di bawah.
Soal dan Pembahasan OSN 2018 Tingkat Kabupaten Matematika SMP (Kode: OSN.KK.M.R1)
Jika $\bigtriangleup ABC$ sama sisi dengan $CD=6\ cm$, maka luas daerah lingkaran dalam adalah...$cm^{2}$
$(A).$ 16 $\pi$
$(B).$ 12 $\pi$
$(C).$ 9 $\pi$
$(D).$ 4 $\pi$
Alternatif Pembahasan:

Soal dan Pembahasan OSN 2018 Tingkat Kabupaten Matematika SMP (Kode: OSN.KK.M.R1)
Lingkaran menyinggung ketiga sisi segitiga sama sisi, maka pusat lingkaran titik $O$ juga merupakan pusat segitiga.
$\begin{align}
AD^{2} & = AC^{2}-DC^{2} \\
& = 12^{2}-6^{2} \\
& = 144-36 \\
& = 108 \\
AD & = \sqrt{108} \\
& = 6\sqrt{3} \end{align}$

Perbandingan $AO:OD=2:1$
$OD=\frac{1}{3} \times AD$
$OD=\frac{1}{3} \times 6\sqrt{3}$
$OD=2\sqrt{3}$

Luas Lingkaran adalah:
$\begin{align}
L & = \pi r^{2} \\
& = \pi (2\sqrt{3})^{2} \\
& = 12 \pi \end{align}$

$(16).$ Kubus $ABCD\ PQRS$ memiliki sisi-sisi yang panjangnya 4 cm. Jika titik $T$ terletak pada perpanjangan garis $CR$ sehinga $RT=CR$, maka luas daerah $TBD$ adalah...$cm^{2}$
$(A).$ 18
$(B).$ 24
$(C).$ 32
$(D).$ 64
Alternatif Pembahasan:

Soal dan Pembahasan OSN 2018 Tingkat Kabupaten Matematika SMP (Kode: OSN.KK.M.R1)
$AB=4$, $AC=BD=4\sqrt{2}$,
$OC=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{2}$, $CT=8$

$\begin{align}
OT^{2} & = OC^{2} + CT^{2} \\
& = (2\sqrt{2})^{2} + 8^{2} \\
& = 8 + 64 \\
OT & = \sqrt{72} \\
& = 6 \sqrt{2} \end{align}$

Luas $\bigtriangleup BDT$ adalah:
$\begin{align}
[BDT] & = \frac{1}{2} BD \cdot OT \\
& = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} \\
& = 24 \end{align}$

$(17).$ Peserta sebuah kegiatan OSIS yang diikuti oleh 2 orang siswa laki-laki dan 4 orang siswa perempuan dibagi secara acak menjadi dua kelompok dengan anggota masing-masing tiga orang. Peluang bahwa setiap kelompok beranggotakan satu siswa laki-laki adalah...
$(A).$ $\frac{3}{5}$
$(B).$ $\frac{1}{2}$
$(C).$ $\frac{2}{5}$
$(D).$ $\frac{1}{5}$
Alternatif Pembahasan:

Ruang Sampel
$S:$ Dua kelompok masing-masing 3 orang dari 2 siswa laki-laki dan 4 siswa perempuan.
$n(S)=C_{3}^{6}$
$n(S)=\frac{6!}{3! \cdot (6-3)!}$
$n(S)=\frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{6 \cdot 3!}$
$n(S)=20$

Kejadian
$E:$ Setiap kelompok beranggotakan satu siswa laki-laki.
$n(E)= C_{1}^{2} \cdot C_{2}^{4}$
$n(E)= 2 \cdot 6 =12$

Peluang kejadian $E$
$P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$
$P(E)=\frac{12}{20}$
$P(E)=\frac{3}{5}$

Untuk kasus ini masih jika belum puas 100 persen, sehingga dicoba manual, hasilnya sebagai berikut;
Misal anggota OSIS adalah $P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},L_{1},L_{2}$.
$(P_{1},P_{2},P_{3})$; $(P_{4},L_{1},L_{2})$ | $(P_{1},P_{2},P_{4})$; $(P_{3},L_{1},L_{2})$ | $(P_{1},P_{2},L_{1})$; $(P_{3},P_{4},L_{2})$ | $(P_{1},P_{2},L_{2})$; $(P_{3},P_{4},L_{1})$ | $(P_{1},P_{3},P_{4})$; $(P_{2},L_{1},L_{2})$ | $(P_{1},P_{3},L_{1})$; $(P_{2},P_{4},L_{2})$ | $(P_{1},P_{3},L_{2})$; $(P_{2},P_{4},L_{1})$ | $(P_{1},P_{4},L_{1})$; $(P_{2},P_{3},L_{2})$ | $(P_{1},P_{4},L_{2})$; $(P_{2},P_{3},L_{1})$ | $(P_{1},L_{1},L_{2})$; $(P_{2},P_{3},P_{4})$
Dari 10 kelompok yang mungkin terbentuk 6 diantaranya beranggotakan 1 laki-laki. $P(E)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

$(18).$ Semua bilangan real $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{2(x+3)-\sqrt{x+2}}{x+2} \geq 0$ adalah...
$(A).$ $x \leq - \frac{7}{4} \text{atau}\ x \geq 2$
$(B).$ $-2 < x \leq - \frac{7}{4} \text{atau}\ x\geq 2$
$(C).$ $0 < x \leq - \frac{7}{4} \text{atau}\ x\geq 12$
$(D).$ $- \frac{7}{4} \leq x \leq 2$
Alternatif Pembahasan:

$\frac{2(x+3)-\sqrt{x+2}}{x+2} \geq 0$

Dari pertidaksamaan pecahan diatas, jika kita perhatikan bilangan pada penyebut sama dengan yang di dalam akar yaitu $x+2$.
Sehingga agar pertidaksamaan ini terdefenisi syarat yang dipenuhi pertama adalah $x+2 > 0$ atau $x > -2$

Kita coba bermain dengan memisalkan $x+2=m$
\begin{split}\frac{2(x+3)-\sqrt{x+2}}{x+2} & \geq 0\\
\frac{2(m+1)-5\sqrt{m}}{m} & \geq 0\\
\frac{2m+2-5 \sqrt{m}}{m} & \geq 0\\
2m+2-5 \sqrt{m} & \geq 0\\
2m+2 & \geq 5 \sqrt{m}\\
(2m+2)^{2} & \geq (5 \sqrt{m})^{2} \\
4m^{2}+8m+4 & \geq 25m \\
4m^{2}-17m+4 & \geq 0 \\
(4m-1)(m-4) & \geq 0 \\
\text{Nilai $m$ yang memenuhi adalah:}\\
m \leq \frac{1}{4} \text{atau}\ m \geq 4 \end{split}
Kita substitusikan kembali nilai $m=x+2$

  • $m \leq \frac{1}{4} $
    $x+2 \leq \frac{1}{4} $
    $x \leq -\frac{7}{4} $
  • $m \geq 4$
    $x+2 \geq 4$
    $x \geq 2$
Dengan mengabungkan kedua syarat diatas dan syarat awal $x > -2$ maka akan kita peroleh pertidaksamaan sebagai berikut:
Soal dan Pembahasan OSN 2018 Tingkat Kabupaten Matematika SMP (Kode: OSN.KK.M.R1)
$-2 < x \leq -\frac{7}{4}$ atau $x \geq 2$

$(19).$ Jika $\frac{1}{n}-\frac{1}{3n}+\frac{n}{3}-\frac{1}{2n}=\frac{3}{2n}$, maka jumlah semua nilai $n$ yang mungkin adalah...
$(A).$ 2
$(B).$ 1
$(C).$ 0
$(D).$ -1
Alternatif Pembahasan:

Soal sepertinya kembali mengajak kita untuk bermain-main di aljabar,..
\begin{split} \frac{1}{n}-\frac{1}{3n}+\frac{n}{3}-\frac{1}{2n} & =\frac{3}{2n} \\
\frac{1}{n}-\frac{1}{3n}+\frac{n}{3}-\frac{1}{2n}- \frac{3}{2n} & =0 \\
\frac{6}{6n}-\frac{2}{6n}+\frac{2n^{2}}{6n}-\frac{3}{6n}- \frac{9}{6n} & =0 \\
\frac{2n^{2}-8}{6n} & =0 \\
\frac{n^{2}-4}{3n} & =0 \\
n^{2}-4 & =0 \\
(n-2)(n+2) & =0 \\
n=2\ \text{atau}\ n=-2 \\
\text{Jumlah semua nilai $n$ adalah}\ 2 + (-2)=0 \end{split}

$(20).$ Grafik dibawah ini menggambarkan gerakan dua kendaraan bermotor.
Soal dan Pembahasan OSN 2018 Tingkat Kabupaten Matematika SMP (Kode: OSN.KK.M.R1)
Pernyataan berikut yang salah adalah...
$(A).$ Kecepatan terendah kedua untuk kendaraan A yaitu pada detik ke-4 hingga detik ke-10
$(B).$ Kecepatan tertinggi kendaraan B dicapai pada detik ke-18 hingga detik ke-23
$(C).$ Pada detik ke-10 hingga detik ke-15 kendaraan A dan B berhenti.
$(D).$ Sampai dengan Km 1 rata-rata kecepatan kendaraan A lebih besar daripada kecepatan kendaraan B
Alternatif Pembahasan:

Dengan memperhatikan grafik dan pernyataan pada pilihan soal, kita dapat menyimpulkan

  • Pernyataan yang $(A)$ Benar, karena kecepatan terendah pertama ada pada saat detik ke-10 hingga ke-15;
  • Pernyataan yang $(B)$ Salah, karena kecepatan tertinggi kendaraan B adalah pada detik ke-2 sampai detik ke-8;
  • Pernyataan yang $(C)$ Benar, karena dari detik ke-10 hingga ke-15 tidak ada pertambahan jarak tempuh kedua kendaraan;
  • Pernyataan yang $(D)$ Benar, Karena waktu yang dibutuhkan kendaraan A untuk menempuh 1 km lebih sedikit dari kendaraan B;

$(21).$ Menjelang tahun baru, harga sebuah kacamata dipotong [didiskon] dua kali seperti dinyatakan pada tanda di samping. Seorang pembeli membayar sebesar Rp168.750,00 untuk kacamata tersebut. Berapa harga kacamata tersebut sebelum dipotong harganya?
Soal dan Pembahasan OSN 2018 Tingkat Kabupaten Matematika SMP (Kode: OSN.KK.M.R1)
$(A).$ Rp262.500,00
$(B).$ Rp281.250,00
$(C).$ Rp375.000,00
$(D).$ Rp421.675,00
Alternatif Pembahasan:

Misal Harga awal adalah $H_{o}$ dan Harga setelah diskon pertama adalah $H_{1}$
$\begin{split} H_{1} &= \frac{100}{100-10} \times 168.750 \\
&=\ \frac{100}{90} \times 168.750 \\
&=\ 187.500 \\

H_{o} &= \frac{100}{100-50} \times 187.500 \\
&=\ \frac{100}{50} \times 187.500 \\
&=\ 375.000 \end{split}$

$(22).$ Nilai sudut $x$ dan $y$ pada gambar berikut adalah...
Soal dan Pembahasan OSN 2018 Tingkat Kabupaten Matematika SMP (Kode: OSN.KK.M.R1)
$(A).$ $x=74^{\circ};\ y=104^{\circ}$
$(B).$ $x=37^{\circ};\ y=104^{\circ}$
$(C).$ $x=74^{\circ};\ y=114^{\circ}$
$(D).$ $x=37^{\circ};\ y=106^{\circ}$
Alternatif Pembahasan:

Dengan memperhatikan gambar, kita mulai dari segitiga yang terbentuk. Besar sudut dalam sebuah segitiga adalah $180^{\circ}$ sehingga kita peroleh:
$61^{\circ}+2x+(180^{\circ}-135^{\circ})=180^{\circ}$
$61^{\circ}+2x+45^{\circ}=180^{\circ}$
$2x=180^{\circ}-106^{\circ}$
$2x=74^{\circ}$
$x=37^{\circ}$

$y=180^{\circ}-2x$
$y=180^{\circ}-74^{\circ}$
$y=106^{\circ}$

$(23).$ Rata-rata usia sepasang suami istri pada saat mereka menikah adalah 25 tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak pertama mereka lahir adalah 18 tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak kedua lahir adalah 15 tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak ketiga dan keempat lahir [kembar] adalah 12 tahun. Jika saat ini rata-rata usia enam orang ini adalah 16 tahun, maka usia anak pertama mereka adalah... tahun.
$(A).$ 7
$(B).$ 8
$(C).$ 9
$(D).$ 10
Alternatif Pembahasan:

  • Rata-rata usia suami istri saat menikah adalah $25$ tahun.
    Misal usia suami saat menikah adalah $s$, dan usia istri saat menikah adalah $i$.
    $\frac{s+i}{2}=25$
    $s+i=50$
  • Rata-rata usia keluarga saat anak pertama lahir adalah $18$ tahun;
    Misal anak pertama lahir setelah usia pernikahan $a$ tahun, dan anak baru lahir kita anggap berusia $0$ tahun.
    $\frac{(s+a)+(i+a)+0}{3}=18$
    $s+i+2a=54$
    $50+2a=54$
    $2a=4\ \Rightarrow a=2$
    Anak pertama lahir setelah perkawinan berumur $2$ tahun, sehingga umur $s+i=50+4=54$;
  • Rata-rata usia keluarga saat anak kedua lahir adalah $15$ tahun.
    Misal anak kedua lahir setelah usia anak pertama $b$ tahun, dan anak baru lahir kita anggap berusia $0$ tahun.
    $\frac{(s+b)+(i+b)+b+0}{4}=15$
    $s+i+3b=60$
    $54+3b=60$
    $3b=6\ \Rightarrow b=2$
    Anak kedua lahir setelah anak pertama berusia $2$ tahun, sehingga usia $s+i=54+4=58$, dan usia anak kedua $0$ tahun
  • Rata-rata usia keluarga saat anak ketiga dan keempat lahir [kembar] adalah $12$ tahun.
    Misal anak ketiga dan keempat lahir setelah usia anak kedua $c$ tahun, dan anak baru lahir kita anggap berusia $0$ tahun.
    $\frac{(s+c)+(i+c)+(2+c)+c+2 \times 0}{6}=12$
    $s+i+4c+2=72$
    $58+4c+2=72$
    $4c=12\ \Rightarrow c=3$
    Anak ketiga dan keempat lahir setelah usia anak kedua $3$ tahun, sehingga umur $s+i=58+6=64$, dan usia anak pertama $5$ tahun;
  • Rata-rata usia enam orang saat ini adalah $16$ tahun.
    Misal usia anak ketiga dan keempat saat ini adalah $d$ tahun, maka usia anak kedua $3+d$, usia anak pertama $5+d$, dan usia $s+i=64+2d$.
    $\frac{s+i+a1+a2+a3+a4}{6}=16$
    $\frac{(64+2d)+(5+d)+(3+d)+(d)+(d)}{6}=16$
    $\frac{64+2d+5+d+3+d+d+d}{6}=16$
    $\frac{72+6d}{6}=16$
    $72+6d=96$
    $6d=24\ \Rightarrow\ d=4$
    Pada saat ini, usia anak pertama adalah $5+4=9$ tahun;

$(24).$ Grafik berikut menunjukkan persentase berdasarkan jenis kelamin pada suatu ujian masuk sekolah tinggi dari tahun 2013 sampai 2017. Sedangkan tabel di bawahnya menunjukkan jumlah peserta ujian dan jumlah lulusan, serta komposisi lulusan berdasarkan jenis kelamin.
Soal dan Pembahasan OSN 2018 Tingkat Kabupaten Matematika SMP (Kode: OSN.KK.M.R1)
Soal dan Pembahasan OSN 2018 Tingkat Kabupaten Matematika SMP (Kode: OSN.KK.M.R1)
Total peserta perempuan yang tidak lulus ujian selama lima tahun adalah...orang
$(A).$ 454
$(B).$ 476
$(C).$ 494
$(D).$ 536
Alternatif Pembahasan:

Informasi yang bisa kita kumpulkan dari grafik dan tabel diatas untuk peserta Perempuan adalah sebagai berikut;

  • Tahun 2013
    Perempuan: $\frac{40}{100} \times 1400 = 560$
    Lulus: $\frac{40}{100} \times 800 = 320$
    Tidak Lulus: $560-320=240$
  • Tahun 2014
    Perempuan: $\frac{50}{100} \times 800 = 400$
    Lulus: $\frac{50}{100} \times 660 = 330$
    Tidak Lulus: $400-330=70$
  • Tahun 2015
    Perempuan: $\frac{36}{100} \times 1000 = 360$
    Lulus: $\frac{55}{100} \times 500 = 275$
    Tidak Lulus: $360-275=85$
  • Tahun 2016
    Perempuan: $\frac{45}{100} \times 500 = 225$
    Lulus: $\frac{52}{100} \times 400 = 208$
    Tidak Lulus: $225-208=17$
  • Tahun 2017
    Perempuan: $\frac{30}{100} \times 1100 = 330$
    Lulus: $\frac{36}{100} \times 800 = 288$
    Tidak Lulus: $330-288=42$
Total peserta perempuan tidak lulus adalah:
$240+70+85+17+42=454$

$(25).$ Diketahui sisi-sisi trapesium adalah $5\ cm$, $7\ cm$, $7\ cm$, dan $13\ cm$. Pernyataan di bawah yang salah adalah...
$(A).$ Tinggi trapesium $= \sqrt{33}\ cm$
$(B).$ Tinggi trapesium $= 2\sqrt{6}\ cm$
$(C).$ Luas trapesium $= 10\sqrt{6}\ cm^{2}$
$(D).$ Luas trapesium $= 9\sqrt{33}\ cm^{2}$
Alternatif Pembahasan:

Trapesium dengan panjang sisi $5\ cm$, $7\ cm$, $7\ cm$, dan $13\ cm$, yang bisa kita bentuk ada 2 kemungkinan;
Kemungkinan Pertama

Soal dan Pembahasan OSN 2018 Tingkat Kabupaten Matematika SMP (Kode: OSN.KK.M.R1)
Dari gambar di atas tinggi dan luas trapesium adalah;
$t=\sqrt{7^{2}-4^{2}}$
$t=\sqrt{49-16}$
$t=\sqrt{33}\ (A)$

$L=\frac{1}{2} (5+13) \cdot \sqrt{33}$
$L=9 \sqrt{33} \ (D)$

Kemungkinan Kedua
Soal dan Pembahasan OSN 2018 Tingkat Kabupaten Matematika SMP (Kode: OSN.KK.M.R1)
Dari gambar di atas tinggi dan luas trapesium adalah;
$t=\sqrt{7^{2}-(6-x)^{2}}$
$t=\sqrt{49-36+12x-x^{2}}$
$t=\sqrt{13+12x-x^{2}}$

$t=\sqrt{5^{2}-x^{2}}$
$t=\sqrt{25-x^{2}}$

$\sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{13+12x-x^{2}}$
$25-x^{2}=13+12x-x^{2}$
$25=13+12x$
$x=1$
$t=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\ (B)$

$L=\frac{1}{2} (7+13) \cdot 2\sqrt{6}$
$L=20 \sqrt{6}$

Pernyataan yang salah pada pilihan jawaban pada soal adalah pernyataan yang menyatakan Luas trapesium $= 10\sqrt{6}\ cm^{2}$

Ide, referensi, atau penjabaran dari alternatif penyelesaian soal diatas dibantu oleh teman-teman guru matematika di Matematika Nusantara.

Terima kasih juga disampaikan kepada bapak Ahmad Mustofa, alternatif penyelesaian soal diatas sedikit banyaknya juga dipengaruhi oleh ide-ide keren dari bapak Ahmad Mustofa.

Pembahasan soal diatas masih jauh dari sempurna, Jadi jika ada masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian atau request pembahasan soal, silahkan disampaikan, kami dengan senang hati segera menanggapinya😊😊.

Jika BermanfaatπŸ‘Œ Jangan Lupa Untuk Berbagi πŸ™Share is CaringπŸ‘€

Video pilihan khusus untuk Anda πŸ’—πŸ˜Š Masih menganggap matematika hitung-hitungan saja, mari kita lihat matematika yang dikemas cukup menghibur pada video berikut;
youtube image

Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar atau pertanyaan yang berhubungan dengan "Soal dan Pembahasan OSN 2018 Tingkat Kabupaten Matematika SMP (Kode: OSN.KK.M.R1)" 😊 and thank you for your concern in support of blog
Buka Komentar
Tutup Komentar