Soal dan Pembahasan OSN 2017 Tingkat Kabupaten Matematika SMP

Belajar soal dan Pembahasan OSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP. Sebelum kita belajar soal dan pembahasannya, kita simak curhatan beberapa penggemar matematika tentang soal osk matematika tahun 2017 ini 😏

Tutur widodo 😊 Sementara, soal dipangkas menjadi 10+5 dengan waktu pengerjaan (yang cukup lama) 2 jam. Jika ternyata banyak nilai bagus yg kembar (peluang terjadinya dengan skema saat ini sangat besar) katakanlah ada skor tertinggi 75 sebanyak 5 siswa. Bagaimana akan diseleksi.
Yang patut disayangkan (dengan hanya sedikit soal) masih saja ada soal yg salah (option jawaban tidak ada). Saya berpikir, apa iya segitunya sih cuma soal 15 saja tidak ada kroscek berkali kali untuk memastikan bahwa kualitas soalnya ok. Apa mungkin pembuatan soalnya sukarela dan gratis (tdk ada anggaran)? Tapi sepertinya tidak. Ah, entahlah.

Sabar Sitanggang 😊 Saya sudah keluhkan sejak tahun lalu, saat kualitas soal "copy-paste".
Tampaknya, kedepannya perlu lebih sering tekanan ke pihak terkait tentang hal ini. Mathcount, dan lomba sejenis di Amerika dan beberapa negara Balkan, misalnya, cukup progresif. Kita kok level cp! Konkretnya, mungkin perlu bertemu Menteri untuk sampaikan petisi tentang kualitas soal. Tuan Ridwan Hasan Saputra mungkin bisa fasilitasi silaturrahim ke Prof. Muhajir untuk hal ini. Delegasi yang saya ingat layak bertemu Pak Menteri selain Ridwan Hasan sendiri antara lain: Tutur Widodo, Eddy Hermanto, Saiful Arif, Rudi Prihandoko, dan Aleams Barra. (Mohon ditambahkan!) Saya hanya bantu biar bisa bertemu saja.

Sebenarnya masih banyak lagi yang mengeluarkan unek-uneknya tentang soal OSK matematika tahun ini, tetapi secara umum pendapat dari bapak Tutur Widodo dan bapak Sabar Sitanggang diatas sudah cukup mewakili.

Semoga saja kualitas soal OSN tingkat kabupaten khususnya soal matematika untuk tahun depan ada perbaikan, agar para penggemar matematika di Indonesia kecewanya tidak berlarut-larut.

Kira-kira seperti apa soal yang mendapatkan kriktikan dari pecinta soal-soal olimpiade matematika ini, mari kita simak 😏

Soal dan Pembahasan Pilihan Ganda

1. Misalkan $n$ adalah suatu bilangan bulat positif. Jumlah tiga bilangan prima $3n-4$, $4n-5$, dan $5n-3$ adalah...
A. 12
B. 14
C. 15
D. 17
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dikatakan bahwa $n$ adalah bilangan bulat, dan $3n-4$, $4n-5$, dan $5n-3$ bilangan prima, maka langsung kita uji untuk nilai $n$ bilangan bulat.

  • untuk $n=0$ maka;
    $3n-4=-4$ (Tidak Memenuhi),
    $4n-5=-5$ (Tidak Memenuhi), dan
    $5n-3=-3$ (Tidak Memenuhi)
  • untuk $n=1$ maka;
    $3n-4=-1$ (Tidak Memenuhi),
    $4n-5=-1$ (Tidak Memenuhi), dan
    $5n-3=2$ (Memenuhi)
  • untuk $n=2$ maka;
    $3n-4=2$ (Memenuhi),
    $4n-5=3$ (Memenuhi), dan
    $5n-3=7$ (Memenuhi)
Untuk $n=2$, $3n-4$, $4n-5$, dan $5n-3$ adalah bilangan bilangan prima. Sehingga jawabnya adalah $2+3+7=12$ $\A$


2.Diketahui $a$ dan $b$ adalah dua bilangan bulat positif, serta $b$ merupakan bilangan ganjil yang lebih kecil daripada $2017$. Jika $\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=\frac{1}{12}$ maka pasangan bilangan $\left ( a,b \right )$ yang mungkin ada sebanyak...
A. 2
B. 3
C. 5
D. 8
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=\frac{1}{12}$
$\frac{b+4a}{ab}=\frac{1}{12}$
$12b+48a=ab$
$ab-48a-12b=0$
$\left ( a-12 \right )\left ( b-48 \right )-12 \cdot 48=0$
$\left ( a-12 \right )\left ( b-48 \right )=12 \cdot 48$
$\left ( a-12 \right )\left ( b-48 \right )=2^{2}\cdot3\cdot2^{4} \cdot3$
$\left ( a-12 \right )\left ( b-48 \right )=2^{6}\cdot 3^{2}$
Karena $b$ merupakan bilangan ganjil maka bentuk perkalian ruas kanan yang mungkin adalah

  • $\left ( a-12 \right )\left ( b-48 \right )=2^{6}\cdot 3^{2} \cdot 3^{0}$
    dengan $\left ( a-12 \right )=2^{6}\cdot 3^{2}$ dan $\left ( b-48 \right )=3^{0}$
  • $\left ( a-12 \right )\left ( b-48 \right )=2^{6}\cdot 3^{1} \cdot 3^{1}$
    dengan $\left ( a-12 \right )=2^{6}\cdot 3^{1}$ dan $\left ( b-48 \right )=3^{1}$
  • $\left ( a-12 \right )\left ( b-48 \right )=2^{6}\cdot 3^{2}$
    dengan $\left ( a-12 \right )=2^{6}$ dan $\left ( b-48 \right )=3^{2}$
maka pasangan bilangan $\left ( a,b \right )$ yang mungkin ada sebanyak $3$ $\B$


3. Grafik berikut mengilustrasikan lomba lari $100\ m$ yang diikuti oleh tiga siswa $A$, $B$, dan $C$. Berdasarkan grafik tersebut, pernyataan yang benar adalah...

A. Pelari $C$ selalu berlari paling depan.
B. Pelari $B$ disusul oleh $C$ sebelum garis finis.
C. Pelari $A$ paling cepat berlari sampai ke garis finis.
D. Pelari $B$ memenangi lomba karena berlari dengan kecepatan konstan.
Alternatif Pembahasan:

Hint

  • A. Pelari $C$ selalu berlari paling depan. $\Salah$, karena dari grafik pada detik ke-14 (sekitar) pelari $B$ dan $C$ sudah melewati $A$.
  • B. Pelari $B$ disusul oleh $C$ sebelum garis finis. $\Benar$, karena dari grafik pelari $C$ lebih dahulu sampai dari $B$ meskipun sebelum detik ke-14 (sekitar) pelari $B$ selalu di depan $C$.
  • C. Pelari $A$ paling cepat berlari sampai ke garis finis. $\Salah$, karena dari grafik pelari $A$ tidak sampai finis.
  • D. Pelari $B$ memenangi lomba karena berlari dengan kecepatan konstan. $\Salah$, karena dari grafik yang memenangi lomba adalah pelari $C$.


4. Jika bilangan bulat positif $x$ dan $y$ merupakan solusi sistem persamaan
$x+2y=p+6$
$2x-y=25-2p$
linear maka banyak nilai $p$ adalah...
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
Alternatif Pembahasan:

Hint

$x+2y=p+6$...$(pers.1)$
$2x-y=25-2p$...$(pers.2)$

Solusi sistem persamaan linear kita peroleh dengan mengeliminasi atau substitusi persamaan $(1)$ dan $(2)$
$x+2y=p+6$ |$\times 2$
$2x-y=25-2p$ |$\times 1$
------------------------------
$2x+4y=2p+12$
$2x-y=25-2p$ _
------------------------------
$5y=4p-13$
$y=\frac{4p-13}{5}$
Karena nilai $y$ harus bilangan bulat positif,
maka nilai $p> \frac{13}{4}$ dan $4p-13$ harus kelipatan 5.
Nilai $p$ yang memenuhi adalah $7,12,17,22,...$

$x+2y=p+6$ |$\times 1$
$2x-y=25-2p$ |$\times 2$
------------------------------
$x+2y=p+6$
$4x-2y=50-4p$ +
------------------------------
$5x=56-3p$
$x=\frac{56-3p}{5}$
Karena nilai $x$ harus bilangan bulat positif,
maka nilai $p<18$ dan $56-3p$ harus kelipatan 5.
Nilai $p$ yang memenuhi adalah $17, 12, 7, 2, ...$

Nilai $p$ yang memenuhi untuk $ x $ dan $ y $ adalah $ 7,12,17$ dan $ p $ yang diinginkan adalah banyaknya yaitu $3$. $\B$


5. Diketahui fungsi $f$ memenuhi persamaan $5f\left( \frac{1}{x} \right)+\frac{f(2x)}{x^{2}}=x$, untuk $x≠0$. Nilai $f \left( 1 \right)$ sama dengan...
A. $\frac{3}{7}$
B. $\frac{3}{14}$
C. $\frac{3}{18}$
D. $\frac{1}{7}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$5f\left( \frac{1}{x} \right)+\frac{f(2x)}{x^{2}}=x$
Untuk $x=1$
$5f\left( \frac{1}{1} \right)+\frac{f(2 \cdot 1)}{1^{2}}=1$
$5f\left( 1 \right)+\frac{f(2)}{1}=1$
$5f(1)+f(2)=1$ ... (pers.1)

Selanjutnya untuk memilih nilai $x$ sebenarnya adalah sembarang asal tidak melanggar syarat $x≠0$.
Tetapi karena untuk $x=1$ terdapat variabel $f(1)$ dan $f(2)$ maka kita usahakan pemilihan nilai $x$ berikutnya akan memunculkan variabel $f(1)$ dan $f(2)$.

Untuk $x=\frac{1}{2}$
$5f\left( \frac{1}{\frac{1}{2}} \right)+\frac{f \left(2 \cdot \frac{1}{2} \right)}{\left(\frac{1}{2} \right)^{2}}=\frac{1}{2}$
$5f\left( \frac{1}{\frac{1}{2}} \right)+\frac{f \left(1 \right)}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$
$5f(2)+4f(1)=\frac{1}{2}$ ... (pers.2)

Lalu Eliminasi atau substitusi persamaan $(1)$ dan $(2)$
$5f(1)+f(2)=1$ |$\times 5$
$5f(2)+4f(1)=\frac{1}{2}$ |$\times 1$
---------------------------------
$25f(1)+5f(2)=5$
$5f(2)+4f(1)=\frac{1}{2}$ _
---------------------------------
$21f(1)=\frac{9}{2}$
$f(1)=\frac{3}{14}$ $\B$


6. Pada jajar genjang $ABCD$, jarak antara sepasang sisi sejajar pertama adalah $4\ cm$ dan jarak antara sepasang sisi sejajar lainnya adalah $9\ cm$. Luas jajar genjang $ABCD$ adalah...

A. minimal $36\ cm^{2}$.
B. tepat $36\ cm^{2}$.
C. maksimal $36\ cm^{2}$.
D. Antara $36\ cm^{2}$ dan $81\ cm^{2}$.
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk menghitung luas jajaran genjang sama dengan menghitung luas persegi panjang karena jajar genjang adalah persegi empat, yaitu $alas \times tinggi$

Jika pada jajar genjang kita beri titik $E$ pada $AB$ sehingga $DE$ adalah garis tinggi.
Sehingga berlaku $AD^{2}=AE^{2}+DE^{2}$
$AD^{2}=4^{2}+DE^{2}$
$AD^{2}=16+DE^{2}$
$AD=\sqrt{4^{2}+DE^{2}}$
maka dari persamaan diatas dapat kita simpulkan nilai $AD>4$ sehingga luas jajar genjang dengan alas $AD$ dan tinggi $9\ cm$ adalah,
$\left [ABCD \right ]=AD \times 9$
$\left [ABCD \right ]>36$

Jika pada jajar genjang kita beri titik $F$ pada $AD$ sehingga $BF$ adalah garis tinggi.
Sehingga berlaku $AB^{2}=BF^{2}+AF^{2}$
$AB^{2}=BF^{2}+AF^{2}$
$AB^{2}=9^2+AF^{2}$
$AB=\sqrt{9^{2}+AF^{2}}$
maka dari persamaan diatas dapat kita simpulkan nilai $AB>9$ sehingga luas jajar genjang dengan alas $AB$ dan tinggi $4\ cm$ adalah,
$\left [ABCD \right ]=AB \times 4$
$\left [ABCD \right ]>36$

Saat jajar genjang membentuk empat persegi panjang dengan jarak antara sepasang sisi sejajar adalah $4\ cm$ dan $9\ cm$ maka luas jajar genjang adalah $ 36 cm^{2}$.

Kesimpulan akhir luas jajar genjang adalah Minimal $36 cm^{2}$ $\A$


7. Lingkaran pada gambar berikut mempunyai radius $1$ satuan panjang dan $\angle DAB=30^{\circ}$. Luas daerah trapesium $ABCD$ yang diarsir adalah...

A. $\frac{1}{2}$.
B. $1$.
C. $\frac{1}{2}\sqrt{3}$.
D. $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{3}$.
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk mempermudah pengucapan kita beri beberapa titik tambahan pada gambar,
Titik pusat lingkaran kita beri nama titik $O$
Pada garis $AB$ kita beri titik $E$ dimana $DE=BC$, sehingga kita peroleh persegi panjang $DEBC$ dan segitiga siku-siku $AED$

Karena $\bigtriangleup ABC$ adalah segitiga siku-siku maka berlaku;
$sin\ 30^{\circ}=\frac{DE}{AD}$
$\frac{1}{2}=\frac{DE}{2}$
$DE=1$

$AE^{2}+DE^{2}=AD^{2}$
$AE^{2}+1^{2}=2^{2}$
$AE^{2}=3$
$AE=\sqrt{3}$

Kita perhatikan kembali $\bigtriangleup ODE$ adalah segitiga sama sisi, sehingga berlaku;
$OD^{2}=OF^{2}+DF^{2}$
$1^{2}=OF^{2}+\left (\frac{1}{2} \right )^{2}$
$1=OF^{2}+\frac{1}{4}$
$OF^{2}=1-\frac{1}{4}$
$OF=\sqrt{\frac{3}{4}}$
$OF=\frac{1}{2} \sqrt{3}$
dari hasil perhitungan diatas bisa kita peroleh panjang $CD$,
$CD=1-\frac{1}{2} \sqrt{3}$

Luas $ABCD$=Luas $ADE$ + Luas $BCDE$
$ \left [ABCD \right ]=\left [ADE \right ]+\left [BCDE \right ] $
$ \left [ABCD \right ]=\frac{1}{2} AE \cdot ED + CD \cdot BC $
$ \left [ABCD \right ]=\frac{1}{2} \sqrt{3} \cdot 1 + \left (1-\frac{1}{2} \sqrt{3} \right ) \cdot 1 $
$ \left [ABCD \right ]=\frac{1}{2} \sqrt{3} + 1-\frac{1}{2} \sqrt{3} $
$ \left [ABCD \right ]= 1 $ $\B$


8. Diketahui persegi panjang $ABCD$ dengan $AB=12$ dan $BC=5$. Panjang lintasan $DPQB$ pada gambar berikut adalah...

A. $\frac{119}{13}$
B. $\frac{120}{13}$
C. $\frac{214}{13}$
D. $\frac{239}{13}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$ABCD$ adalah persegi panjang sehingga berlaku $BQ=DP$ dan $CQ=AP$

$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$
$AC^{2}=12^{2}+5^{2}$
$AC^{2}=144+25$
$AC=13$

Luas $ABCD$ dapat kita hitung, yaitu;
$AB \cdot BC = 2 \cdot \left [ABC \right ]$
$12 \cdot 5 = 2 \cdot \frac{1}{2} AC \cdot BQ$
$60 = 13 \cdot BQ$
$BQ = \frac{60}{13}$
$DP = \frac{60}{13}$

Sekarang kita coba hitung panjang $PQ$, dari $\bigtriangleup BQC$
$BC^{2}=CQ^{2}+BQ^{2}$
$5^{2}=CQ^{2}+\left (\frac{60}{13} \right )^{2}$
$CQ^{2}=5^{2}-\left (\frac{60}{13} \right )^{2}$
$CQ^{2}=\left (5+\frac{60}{13} \right ) \left (5-\frac{60}{13} \right )$
$CQ^{2}=\left (\frac{65+60}{13} \right ) \left (\frac{65-60}{13} \right )$
$CQ^{2}=\left (\frac{125}{13} \right ) \left (\frac{5}{13} \right )$
$CQ^{2}=\frac{625}{169}$
$CQ=\frac{25}{13}$

$PQ=AC-2 \cdot CQ$
$PQ=13-2 \cdot \frac{25}{13}$
$PQ=13- \frac{50}{13}$

Panjang lintasan
$DPQB=DP+PQ+QB$
$DPQB=\frac{60}{13}+13- \frac{50}{13}+\frac{60}{13}$
$DPQB=\frac{70}{13}+13$
$DPQB=\frac{239}{13}$ $\D$


9. Diketahui $M=\left \{ 10,11,12,13, \cdots ,99 \right \}$ dan $A$ adalah himpunan bagian $M$ dari yang mempunyai $4$ anggota. Jika jumlah semua anggota $A$ merupakan suatu bilangan genap, maka banyak himpunan $A$ yang mungkin adalah...
A. $1.980$
B. $148.995$
C. $297.990$
D. $299.970$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Anggota himpunan A ada sebanyak 4 dan jumlah keempatnya adalah bilangan genap.
Jumlah 4 bilangan adalah bilangan genap terjadi dari beberap kemungkinan,

  1. Keempat bilangan tersebut adalah bilangan genap
  2. Dua adalah bilangan genap dan dua adalah bilangan ganjil
  3. Keempat bilangan tersebut adalah bilangan ganjil

Karena $A$ adalah himpunan bagian dari $M=\left (10,11,12,13, \cdots ,99 \right )$, maka banyak anggota $A$ yang mungkin adalah,
  1. Keempat bilangan tersebut adalah bilangan genap
    $M_{genap}=\left (10,12,14, \cdots ,98 \right )$
    $n \left (M_{genap} \right )=45$
    Banyak anggota $A$ yang beranggotakan 4 bilangan genap adalah,
    $n \left (A \right )=C_{4}^{45}$
    $n \left (A \right )=\frac {45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$
    $n \left (A \right )=148.995$
  2. Dua adalah bilangan genap dan dua adalah bilangan ganjil
    $M_{genap}=\left (10,12,14, \cdots ,98 \right )$
    $n \left (M_{genap} \right )=45$

    $M_{ganjil}=\left (11,13,15, \cdots ,99 \right )$
    $n \left (M_{ganjil} \right )=45$

    Banyak anggota $A$ yang beranggotakan 2 bilangan genap dan 2 bilangan ganjil adalah,
    $n \left (A \right )=C_{2}^{45} \cdot C_{2}^{45}$
    $n \left (A \right )=\frac {45 \cdot 44 }{2 \cdot 1} \cdot \frac {45 \cdot 44}{2 \cdot 1}$
    $n \left (A \right )=990 \cdot 990$
    $n \left (A \right )=980.100$
  3. Keempat bilangan tersebut adalah bilangan ganjil
  4. $M_{ganjil}=\left (11,13,15, \cdots ,99 \right )$ $n \left (M_{ganjil} \right )=45$ Banyak anggota $A$ yang beranggotakan 4 bilangan ganjil adalah, $n \left (A \right )=C_{4}^{45}$ $n \left (A \right )=\frac {45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ $n \left (A \right )=148.995$
Total banyak kemungkinan anggota $A$ adalah Kemungkinan 1 + Kemungkinan 2 + Kemungkinan 3.
$148.995+980.100+148.995=1.278.090$ $\-$


10. Dari $4$ pengamatan berupa bilangan positif yang sudah diurutkan dilambangkan dengan $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}$ dan $x_{4}$. Jika jangkauan data tersebut adalah $16$, $x_{1}=\frac{1}{6}median$, $x_{2}=\frac{1}{2}median$, dan $x_{3}=x_{4}$, maka nilai rata-rata data tersebut adalah...
A. $10$
B. $11$
C. $12$
D. $13$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Data $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ sudah terurut dari yang terkecil sampai yang terbesar.
Maka data-data yang bisa kita peroleh antara lain;

  • $J=x_{4}-x_{1}$
    $16=x_{4}-x_{1}$
  • $Me= \frac {x_{2}+x_{3}}{2}$ dan $x_{3}=x_{4}$
  • $x_{1}=\frac{1}{6}\ Median$
    $x_{1}=\frac{1}{6} \left (\frac {x_{2}+x_{3}}{2} \right )$
    $x_{1}=\frac {x_{2}+x_{3}}{12}$
  • $x_{2}=\frac{1}{2}\ Median$
    $x_{2}=\frac{1}{2} \left (\frac {x_{2}+x_{3}}{2} \right )$
    $x_{2}=\frac {x_{2}+x_{3}}{4}$
    $4x_{2}=x_{2}+x_{3}$
    $3x_{2}=x_{3}$
  • $x_{4}-x_{1}=16$
    $x_{3}-\frac {x_{2}+x_{3}}{12}=16$
    $3x_{2}-\frac {x_{2}+3x_{2}}{12}=16$
    $3x_{2}-\frac {4x_{2}}{12}=16$
    $3x_{2}-\frac {x_{2}}{3}=16$
    $\frac {9x_{2}}{3}-\frac {x_{2}}{3}=16$
    $8x_{2}=48$
    $x_{2}=6$
  • $3x_{2}=x_{3}$
    $3 \cdot 6=x_{3}$
    $x_{3}=18$
    $x_{4}=18$
  • $x_{1}=\frac {x_{2}+x_{3}}{12}$
    $x_{1}=\frac {6+18}{12}$
    $x_{1}=2$
Rata-rata data adalah
$\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}$
$\bar{x}=\frac{2+6+18+18}{4}$
$\bar{x}=\frac{44}{4}$
$\bar{x}=11$ $\B$


Soal dan Pembahasan Isian Singkat

1. Diketahui $n$ dan $k$ adalah dua bilangan bulat. Jika terdapat tepat satu nilai $k$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{8}{15}<\frac{n}{n+k}<\frac{7}{13}$, maka nilai $n$ terbesar yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk mengerjakan pertidaksamaan, kita coba dengan menyamakan penyebut pecahan dengan tidak merubah nilai pecahan
$\frac{8}{15}<\frac{n}{n+k}<\frac{7}{13}$ Kasus 1
$\frac{8}{15}\cdot\frac{13}{13}<\frac{n}{n+k}<\frac{7}{13}\cdot\frac{15}{15}$ $\frac{104}{195} < \frac{n}{n+k} < \frac{105}{195}$ dari pertidaksamaan diatas jika kita anggap $ n+k=195 $ maka $ 104 < n < 105 $. Untuk nilai $ n $ bilangan bulat tidak ada yang memenuhi $ 104 < n < 105$. Pertidaksamaan $\frac{104}{195} < \frac{n}{n+k} < \frac{105}{195}$ kita ubah lagi menjadi; $\frac{208}{390} < \frac{n}{n+k} < \frac{210}{390}$ dari pertidaksamaan diatas jika kita anggap $ n+k=390 $ maka $ 208 < n < 210$. Untuk nilai $n$ bilangan bulat yang memenuhi $ 208 < n < 210$ adalah $ 209 $. Kita uji apakah untuk nilai $ n=209 $ hanya ada satu nilai $ k $ yang memenuhi, $\frac{8}{15} < \frac{n}{n+k} < \frac{7}{13}$ $\frac{8}{15} < \frac{209}{209+k} < \frac{7}{13}$ $\frac{13}{7} < \frac{209+k}{209} < \frac{15}{8}$ $\frac{13}{7} < 1+ \frac{k}{209} < \frac{15}{8}$ $\frac{6}{7} < \frac{k}{209} < \frac{7}{8}$ $\frac{6 \cdot 209 }{7} < k < \frac{7 \cdot 209}{8}$ $\frac{1254}{7} < k < \frac{1463}{8}$ $179\frac{1}{7} < k < 182\frac{7}{8}$ bilangan bulat $k$ yang memenuhi adalah $ 180 $, $ 181 $, dan $ 182 $ sedangkan pada soal yang dinginkan adalah tepat satu nilai $k$ yang memenuhi. Kasus 2
$\frac{8}{15} < \frac{n}{n+k} < \frac{7}{13} $ $\frac{13}{7} < \frac{n+k}{n} < \frac{15}{8}$ $\frac{13}{7} < 1+\frac{k}{n} < \frac{15}{8}$ $\frac{6}{7} < \frac{k}{n} < \frac{7}{8}$ $\frac{6}{7} \cdot \frac{8}{8} < \frac{k}{n} < \frac{7}{8} \cdot \frac{7}{7}$ $\frac{48}{56} < \frac{k}{n} < \frac{49}{56}$ $\frac{96}{112} < \frac{k}{n} < \frac{98}{112}$ dari pertidaksamaan diatas jika kita anggap $ n=112 $ maka $ 96 < k < 98 $, nilai $ k $ bilangan bulat yang memenuhi adalah $ 97 $ Kita uji apakah untuk nilai $ n=112 $ hanya ada satu nilai $ k $ yang memenuhi, $\frac{8}{15} < \frac{n}{n+k} < \frac{7}{13}$ $\frac{8}{15} < \frac{112}{112+k} < \frac{7}{13}$ $\frac{13}{7} < \frac{112+k}{112} < \frac{15}{8}$ $\frac{13}{7} < 1+\frac{k}{112} < \frac{15}{8}$ $\frac{6}{7} < \frac{k}{112} < \frac{7}{8}$ $\frac{6}{7} \cdot \frac{16}{16} < \frac{k}{112} < \frac{7}{8} \cdot \frac{14}{14}$ $\frac{96}{112} < \frac{k}{112} < \frac{98}{112}$ dari pertidaksamaan diatas karena penyebut sudah sama yaitu $112$ maka nilai $k$ yang memenuhi $ 96 < k < 98 $ hanya $ 97 $ Kesimpulan nilai $ n $ terbesar yang mungkin adalah $ 112 $



2. Nilai $1+2 \cdot 2+3 \cdot 2^{2}+4 \cdot 2^{3}+5 \cdot 2^{4}+ \cdots+2018 \cdot 2^{2017}$ sama dengan...
Alternatif Pembahasan:

Hint

Misal soal kita misalkan dengan $P$.
$P=1+2\cdot 2+3\cdot 2^{2}+4\cdot 2^{3}+\cdots +2018\cdot 2^{2017}$
ruas kiri dan kanan kita kalikan dengan 2 sehingga kita peroleh;
$2P=2+2\cdot 2^{2}+3\cdot 2^{3}+4\cdot 2^{4}+\cdots +2018\cdot 2^{2018}$

$P=1+2\cdot 2+3\cdot 2^{2}+4\cdot 2^{3}+\cdots +2018\cdot 2^{2017}$
$2P=2+2\cdot 2^{2}+3\cdot 2^{3}+4\cdot 2^{4}+\cdots +2018\cdot 2^{2018}$ $-$
-----------------------------------------------------------------------------------
$P-2P=1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{2017}-2018\cdot 2^{2018}$
$-P=1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{2017}-2018\cdot 2^{2018}$
$P=2018\cdot 2^{2018}-\left (1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{2017} \right )$
$P=2018\cdot 2^{2018}-\left (2^{2018}-1 \right )$
$P=2018\cdot 2^{2018}-2^{2018}+1$
$P=2^{2018}\left (2018-1 \right )+1$
$P=2^{2018}\left (2017 \right )+1$
$P=2017\cdot 2^{2018}+1$


3. Diketahui $p,q,r,s$ adalah bilangan-bilangan tidak nol. Bilangan $r$ dan $s$ adalah solusi persamaan $x^{2}+px+q=0$ serta bilangan $p$ dan $q$ adalah solusi persamaan $x^{2}+rx+s=0$. Nilai $p+q+r+s$ sama dengan...
Alternatif Pembahasan:

Hint

Pada soal disampaikan solusi $x^{2}+px+q=0$ adalah $r$ dan $s$ sehingga berlaku
$r+s=-p$
$rs=q$

Lalu solusi solusi $x^{2}+rx+s=0$ adalah $p$ dan $q$ sehingga berlaku
$p+q=-r$
$pq=s$

$r+s=-p$
$p+q=-r$ $-$
---------------------
$r+s-p-q=-p+r$
$s=q$

$rs=q$
$rq=q$
$r=1$

$pq=s$
$ps=s$
$p=1$

$r+s=-p$
$p+q=-r$ $+$
---------------------
$p+q+r+s=-p-r$
$p+q+r+s=-\left (p+r \right )$
$p+q+r+s=-\left (1+1 \right )$
$p+q+r+s=-2$


4. Misalkan $ADEN$ dan $BMDF$ sebuah persegi dengan $F$ merupakan titik tengah $AD$. Luas segitiga $CDE$ adalah $6$ satuan luas. Luas segitiga $ABC$ adalah...

Alternatif Pembahasan:

Hint

Misal;
$BM=DM=x$ sehingga $DE=AD=2x$

Luas $\bigtriangleup BME=\frac{1}{2} ME \cdot BM$
$\left [BME \right ]=\frac{1}{2} 3x \cdot x$
$\left [BME \right ]=\frac{3}{2} x^{2}$

Luas $BMDC$= Luas $\bigtriangleup BME$ $-$ Luas $\bigtriangleup BME$
$\left [BMDC \right ]=\frac{3}{2} x^{2}-6$

Luas $ \bigtriangleup BCF$= Luas $BMDF$ $-$ Luas $BMDC$
$\left [BCF \right ]=x^{2}-\left (\frac{3}{2} x^{2}-6 \right )$
$\left [BCF \right ]=x^{2}-\frac{3}{2} x^{2}+6$
$\left [BCF \right ]=6-\frac{1}{2} x^{2}$

Luas $\bigtriangleup ABF=\frac{1}{2} AF \cdot BF$
$\left [ABF \right ]=\frac{1}{2} x \cdot x$
$\left [ABF \right ]=\frac{1}{2} x^{2}$

Luas $\bigtriangleup ABC$ = Luas $\bigtriangleup ABF$ $+$ Luas $ \bigtriangleup BCF$
$\left [ABC \right ]=6-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{2} x^{2}$
$\left [ABC \right ]=6$


5. Tersedia $10$ loket pelayanan pelanggan pada sebuah bank. Terdapat sejumlah pelanggan yang sedang berada dalam satu baris antrian. Peluang bahwa $4$ orang pertama pada antrian dilayani di loket yang berbeda, dan orang ke-5 pada antrian dilayani di loket yang sama dengan salah satu dari $4$ orang sebelumnya adalah...
Alternatif Pembahasan:

Hint

E: Kejadian 4 orang pertama dilayani di loket yang berbeda dan orang kelima pada loket yang sama dengan 4 orang sebelumnya.

$n \left ( P_{1} \right )$: Banyak pilihan loket Pelanggan I.
$n \left ( P_{1} \right )=10$
$n \left ( P_{2} \right )$: Banyak pilihan loket Pelanggan II.
$n \left ( P_{2} \right )=9$
$n \left ( P_{3} \right )$: Banyak pilihan loket Pelanggan III.
$n \left ( P_{3} \right )=8$
$n \left ( P_{4} \right )$: Banyak pilihan loket Pelanggan IV.
$n \left ( P_{4} \right )=7$
$n \left ( P_{5} \right )$: Banyak pilihan loket Pelanggan V.
$n \left ( P_{5} \right )=4$

$n\left ( E \right )=n \left ( P_{1} \right )\cdot n \left ( P_{2} \right )\cdot n \left ( P_{3} \right )\cdot n \left ( P_{4} \right )\cdot n \left ( P_{5} \right )$
$n\left ( E \right )=10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 4$

$n\left ( S \right )=10^{5}$

Peluang Kejadian $E$ adalah;
$P\left ( E \right )=\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 4}{10^{5}}$
$P\left ( E \right )=\frac{126}{625}$



Referensi dan penjabaran dari pembahasan soal diatas dibantu oleh dua guru matematika yang keren yaitu Pak Anang dan Pak Syukri Lukman. Untuk melihat hasil kreativitas mereka secara langsung dapat melihat langsung di blog mereka yaitu pak-anang.blogspot.com dan syukrimath.blogspot.com.

Pembahasan soal diatas masih jauh dari sempurna jika ada yang sesuatu hal yang ingin disampaikan atau kita diskusikan mari berpendapat 😏

Bilangan prima terbesar itu kira-kira berapa ya?, video berikut memberikan gambarannya;

Thanks in advance for read the article "Soal dan Pembahasan OSN 2017 Tingkat Kabupaten Matematika SMP" 😂 Try to Support Blog [here]
Share is Caring 💗 Share this with short URL:

You Might Also Like: