Calon guru belajar matematika dasar SMA dari Transformasi Geometri, Soal Latihan dan Pembahasan Komposisi Transformasi Pada Garis, Parabola dan Lingkaran. Catatan ini kita khususkan untuk membahas komposisi transformasi geometri pada garis, parabola dan lingkaran.
Komposisi transformasi ini merupakan kelanjutan dari catatan kita sebelumnya yang membahas Transformasi Geometri, Macam-macam Transformasi Pada Titik dan Transformasi Geometri, Komposisi Transformasi Pada Sebuah Titik
KOMPOSISI TRANSFORMASI
Jika $T_{1}$ adalah suatu transformasi yang memetakan obyek $A(x,y)$ ke obyek lain $A'$, kemudian dilanjutkan oleh transformasi $T_{2}$ obyek $A'$ dipetakan ke obyek $A''(x'',y'')$ secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:
- Bayangan hasil komposisi transformasi Translasi
$A''=T_{2}+T_{1}+A$
$\begin{pmatrix} x''\\ y'' \end{pmatrix}=T_{2}+T_{1}+\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ - Bayangan hasil komposisi transformasi Refleksi, Rotasi dan Dilatasi
$A''=T_{2} \cdot T_{1} \cdot A$
$\begin{pmatrix} x''\\ y'' \end{pmatrix}=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
Selain teori singkat di atas, teori sebelumnya terkait Refleksi, Translasi, Rotasi dan Dilatasi tetap kita pakai sebagai modal utama dalam menyelesaikan masalah komposisi transformasi.
Soal Latihan Komposisi Transformasi Pada Garis - Parabola - Lingkaran
Untuk menambah pemahaman kita terkait Komposisi Transformasi Pada Garis, Parabola dan Lingkaran ini, mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Matematika SMA.
Untuk soal Transformasi Geometri yang sudah pernah diujikan pada seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri silahkan di simak pada catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Transformasi Geometri.
1. Soal Latihan Komposisi Transformasi Geometri
Bayangan garis $3x + 2y = 5$ oleh translasi sejauh $T=\begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 3x+2y=8 \\ (B)\ & 3x+2y=6 \\ (C)\ & 3x+2y=7 \\ (D)\ & 2x+3y=7 \\ (E)\ & 2x+3y=6 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x+a,y+b \right)$
Dari titik $A$ dan bayangannya $A'$ di atas kita peroleh persamaan $x'=x+a$ atau $x =x'-a$ dan $y'=y+b$ atau $y =y'-b$
Untuk mendapatkan bayangan garis dapat kita tentukan dengan menggunakan transformasi titik. Caranya, tentukan dua titik yang dilalui oleh garis, lalu transformasikan sesuai yang diinginkan dan kita akan peroleh dua bayangan titik.
Hubungkan kedua titik bayangan tersebut maka kita akan mendapatkan bayangan garis atau dapat juga dengan menentukan persamaan garis yang melalui dua titik bayangan maka kita akan dapatkan persamaan bayangan garis.
Alternatif lain dapat kita substitusi $x =x'-a$ dan $y =y'-b$ dimana $a=-2$ dan $b=4$ ke persamaan garis $3x + 2y = 5$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
3x + 2y\ &= 5 \\
3 \left(x'+2 \right) + 2\left(y'-4 \right)\ &= 5 \\
3 x'+ 6 + 2y'- 8 \ &= 5 \\
3 x'+ 2y'- 2\ &= 5 \\
3 x'+ 2y'\ &= 7
\end{align}$
Tanda aksen $(')$ pada persamaan $3x'+2y'=7$ hanya menunjukkan hasil transformasi, bayangan garis dapat dituliskan hanya $3x+2y=7$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3x+2y=7$
2. Soal Latihan Komposisi Transformasi Geometri
Persamaan bayangan garis $4x – 5y = 3$ oleh perputaran terhadap $O \left(0, 0 \right)$ sejauh $90^{\circ}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & –5x – 4y = 3 \\ (B)\ & –4x – 5y = 3 \\ (C)\ & 5x – 4y = 3 \\ (D)\ & 4x + 5y = 3 \\ (E)\ & 5x + 4y = 3 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $90^{\circ}$ dengan pusat $O(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix}
0 & - 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
- y \\ x
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari titik $A$ dan bayangannya $A'$ di atas kita peroleh persamaan $x'=-y$ atau $y =-x'$ dan $y'=x$
Untuk mendapatkan bayangan garis dapat kita tentukan dengan menggunakan transformasi titik. Caranya, tentukan dua titik yang dilalui oleh garis, lalu transformasikan sesuai yang diinginkan dan kita akan peroleh dua bayangan titik.
Hubungkan kedua titik bayangan tersebut maka kita akan mendapatkan bayangan garis atau dapat juga dengan menentukan persamaan garis yang melalui dua titik bayangan maka kita akan dapatkan persamaan bayangan garis.
Alternatif lain dapat kita substitusi $x =y'$ dan $y =-x'$ ke persamaan garis $4x -5y = 3$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
4x -5y\ &= 3 \\
4 \left( y' \right) - 5\left( -x' \right)\ &= 3 \\
4y' + 5x' \ &= 3
\end{align}$
Tanda aksen $(')$ pada persamaan $4y' + 5x' = 3 $ hanya menunjukkan hasil transformasi, bayangan garis dapat dituliskan hanya $4y + 5x = 3 $.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 5x+4y=3$
3. Soal Latihan Komposisi Transformasi Geometri
Persamaan bayangan garis $y = 2x + 6$ oleh dilatasi dengan skala $-2$ dan pusat $O \left(0, 0 \right)$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & y = 4x + 12 \\ (B)\ & y = 2x – 12 \\ (C)\ & y = 4x – 12 \\ (D)\ & y = 2x + 12 \\ (E)\ & y = x + 3 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A \left( x,y \right)$ yang didilatasi dengan skala $-2$ dan pusat $O \left( 0,0 \right)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
-2 & 0\\
0 & -2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-2x \\ -2y
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari titik $A$ dan bayangannya $A'$ di atas kita peroleh persamaan $x'=-2x$ atau $x =-\dfrac{1}{2}x'$ dan $y'=-2y$ atau $y =-\dfrac{1}{2}y'$
Untuk mendapatkan bayangan garis dapat kita tentukan dengan menggunakan transformasi titik. Caranya, tentukan dua titik yang dilalui oleh garis, lalu transformasikan sesuai yang diinginkan dan kita akan peroleh dua bayangan titik.
Hubungkan kedua titik bayangan tersebut maka kita akan mendapatkan bayangan garis atau dapat juga dengan menentukan persamaan garis yang melalui dua titik bayangan maka kita akan dapatkan persamaan bayangan garis.
Alternatif lain dapat kita substitusi $x =-\dfrac{1}{2}x'$ dan $y =-\dfrac{1}{2}y'$ ke persamaan garis $y = 2x + 6$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
y &= 2x + 6 \\
\left( -\frac{1}{2}y' \right) &= 2 \left( -\frac{1}{2}x' \right) + 6 \\
-\dfrac{1}{2}y' &= -x' + 6 \\
y' &= 2x' -12
\end{align}$
Tanda aksen $(')$ pada persamaan $y' = 2x' -12$ hanya menunjukkan hasil transformasi, bayangan garis dapat dituliskan hanya $y= 2x-12$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ y = 2x – 12$
4. Soal Latihan Komposisi Transformasi Geometri
Persamaan bayangan garis $2x + 4y = 3$ oleh pencerminan terhadap garis $x = 3$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & x + 2y = 5 \\ (B)\ & 4x + 2y = 6 \\ (C)\ & 2x + 4y = 3 \\ (D)\ & 4x – 2y = 7 \\ (E)\ & 2x – 4y = 9 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk titik $A(x,y)$ yang direfleksi terhadap garis $x=3$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2(3) \\ 0
\end{pmatrix} \\
& =\begin{pmatrix}
-x+6 \\ y
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari titik $A$ dan bayangannya $A'$ di atas kita peroleh persamaan $x'=-x+6$ atau $x =-x'+6$ dan $y'=y$.
Untuk mendapatkan bayangan garis dapat kita tentukan dengan menggunakan transformasi titik. Caranya, tentukan dua titik yang dilalui oleh garis, lalu transformasikan sesuai yang diinginkan dan kita akan peroleh dua bayangan titik.
Hubungkan kedua titik bayangan tersebut maka kita akan mendapatkan bayangan garis atau dapat juga dengan menentukan persamaan garis yang melalui dua titik bayangan maka kita akan dapatkan persamaan bayangan garis.
Alternatif lain dapat kita substitusi $x =-x'+6$ dan $y' =y$ ke persamaan garis $2x + 4y = 3$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
2x + 4y &= 3 \\
2\left( -x'+6 \right) + 4\left( y' \right) &= 3 \\
-2x'+12 + 4y' &= 3 \\
-2x'+ 4y' &= 3-12 \\
-2x'+ 4y' &= -9
\end{align}$
Tanda aksen $(')$ pada persamaan $-2x'+ 4y' = -9$ hanya menunjukkan hasil transformasi, bayangan garis dapat dituliskan hanya $-2x + 4y = -9$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2x-4y = 9$
5. Soal Latihan Komposisi Transformasi Geometri
Sebuah lingkaran $x^{2} + y^{2} – 8x + 4y + 11 = 0$ didilatasi dengan pusat $O \left(0, 0 \right)$ dan skala $4$. Koordinat pusat dan jari-jari bayangannya adalah...
$\begin{align} (A)\ & \text{Pusat}\ P\left(4,-2 \right)\ \text{dan jari-jari}\ 4 \\ (B)\ & \text{Pusat}\ P\left(16,-8 \right)\ \text{dan jari-jari}\ 12 \\ (C)\ & \text{Pusat}\ P\left(4,-3 \right)\ \text{dan jari-jari}\ 4 \\ (D)\ & \text{Pusat}\ P\left(-16,8 \right)\ \text{dan jari-jari}\ 12 \\ (E)\ & \text{Pusat}\ P\left(-4,3 \right)\ \text{dan jari-jari}\ 4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A \left( x,y \right)$ yang didilatasi dengan skala $4$ dan pusat $O \left( 0,0 \right)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
4 & 0\\
0 & 4
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
4x \\ 4y
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari titik $A$ dan bayangannya $A'$ di atas kita peroleh persamaan $x'=4x$ atau $x = \dfrac{1}{4}x'$ dan $y'=4y$ atau $y = \dfrac{1}{4}y'$
Untuk mendapatkan bayangan lingkaran dapat kita tentukan dengan menggunakan transformasi titik. Caranya, tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan lingkaran yang diketahui, lalu transformasikan sesuai yang diinginkan dan kita akan peroleh bayangan titik pusat dan jari-jari tetap jika digeser, dirotasi dan refleksi. Jari-jari lingkaran berubah jika lingkaran didilatasi.
Setelah kita peroleh bayangan titik pusat lingkaran dan jari-jari, kita tentukan persamaan lingkaran jika diketahui jari-jari dan titik pusat.
Persamaan Umum Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$
$\Leftrightarrow $ Pusat $\left (-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )$,
$\Leftrightarrow $ Jari-jari $r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}$
Alternatif lain dapat kita substitusi $x = \dfrac{1}{4}x'$ dan $y = \dfrac{1}{4}y'$ ke persamaan lingkaran sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2} – 8x + 4y + 11 &= 0 \\
\left( \frac{1}{4}x' \right)^{2} + \left( \frac{1}{4}y' \right)^{2} – 8\left( \frac{1}{4}x' \right) + 4\left( \frac{1}{4}y' \right) + 11 &= 0 \\
\frac{1}{16}x'^{2} + \frac{1}{16}y'^{2} – 2x' + y' + 11 &= 0 \\
x'^{2} + y'^{2} – 32x' + 16y' + 176 &= 0
\end{align}$
Tanda aksen $(')$ pada persamaan di atas hanya menunjukkan hasil transformasi, bayangan lingkaran dapat dituliskan hanya $x^{2} + y^{2} – 32x + 16y + 176=0$.
Persamaan Lingkaran $x^{2} + y^{2} – 32x + 16y + 176=0$
$\Leftrightarrow $ Pusat $\left (-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )=\left (16,-8 \right )$,
$\Leftrightarrow $ Jari-jari $r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}=\sqrt{\frac{1}{4}(-32)^{2}+\frac{1}{4}(16)^{2}-176}=12$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \text{Pusat}\ P\left(16,-8 \right)\ \text{dan jari-jari}\ 12$
6. Soal Latihan Komposisi Transformasi Geometri
Sebuah lingkaran yang ditransformasikan dengan matriks $T=\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ menghasilkan bayangan lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0$. Persamaan lingkaran semula adalah...
$\begin{align} (A)\ & 9x^{2}+9y^{2}-6x-12y+1=0 \\ (B)\ & 3x^{2}+3y^{2}-2x-4y+3=0 \\ (C)\ & x^{2}+ y^{2}- x- 2y+5=0 \\ (D)\ & 9x^{2}+9y^{2}-5x+6y+3=0 \\ (E)\ & 3x^{2}+3y^{2}+6x-3y+2=0 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A \left( x,y \right)$ yang ditransformasikan oleh matriks $T=\begin{bmatrix}
3 & 0 \\
0 & 3
\end{bmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
3 & 0\\
0 & 3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
3x \\ 3y
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari titik $A$ dan bayangannya $A'$ di atas kita peroleh persamaan $x'=3x$ atau $x = \dfrac{1}{3}x'$ dan $y'=3y$ atau $y = \dfrac{1}{3}y'$
Berikutnya kita substitusi $x = \dfrac{1}{4}x'$ dan $y = \dfrac{1}{4}y'$ ke persamaan lingkaran semula yang kita misalkan dengan $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C= 0$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}+Ax+By+C &= 0 \\
\left( \frac{1}{3}x' \right)^{2} + \left( \frac{1}{3}y' \right)^{2} +A\left( \frac{1}{3}x' \right) + B\left( \frac{1}{3}y' \right) + C &= 0 \\
\frac{1}{9}x'^{2} + \frac{1}{9}y'^{2} +\frac{1}{3}Ax' + \frac{1}{3}By' + C &= 0 \\
x'^{2} + y'^{2} +3Ax' + 3By' + 9C &= 0 \\
\end{align}$
Tanda aksen $(')$ pada persamaan di atas hanya menunjukkan hasil transformasi, bayangan lingkaran dapat dituliskan hanya $x^{2} + y^{2} +3Ax + 3By + 9C=0$.
Bayangan lingkaran $x^{2} + y^{2} +3Ax + 3By + 9C=0$ adalah $x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0$ sehingga kita peroleh $3A=-2$ atau $A=\frac{-2}{3}$, $3B=-4$ atau $B=\frac{-4}{3}$, dan $9C=1$ atau $C=\frac{1}{9}$
Persamaan Lingkaran semula adalah:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}+Ax+By+C &= 0 \\
x^{2} + y^{2} +\frac{-2}{3}x + \frac{-4}{3}y + \frac{1}{9} &= 0 \\
9x^{2} + 9y^{2} -6x -12y + 1 &= 0 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 9x^{2} + 9y^{2} -6x -12y + 1$
7. Soal Latihan Komposisi Transformasi Geometri
Persamaan bayangan garis $x + y + 2 = 0$ oleh rotasi sejauh $\frac{1}{4}\pi$ radian terhadap $O \left(0, 0 \right)$ dilanjutkan dilatasi dengan pusat $O \left(0, 0 \right)$ dan faktor skala $2\sqrt{2}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 2x + y = 4 \\ (B)\ & x=-4 \\ (C)\ & y=-4 \\ (D)\ & 2x-y=4 \\ (E)\ & x+y=4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $45^{\circ}$ dengan pusat $O(0,0)$ maka matriks transformasinya dapat kita sebut $M_{1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{2} & - \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{pmatrix}$
Jika titik $A(x,y)$ didilatasi dengan pusat $O \left(0, 0 \right)$ dan faktor skala $2\sqrt{2}$ maka matriks transformasinya dapat kita sebut $M_{2}=\begin{pmatrix} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix}$
Jika titik $A(x,y)$ transformasi oleh $M_{1}=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}\sqrt{2} & - \frac{1}{2}\sqrt{2} \\
\frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix}$ dilanjutkan $M_{2}=\begin{pmatrix}
\sqrt{2} & 0 \\
0 & \sqrt{2}
\end{pmatrix}$ maka bayangan titik adalah:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} &= M_{2} \cdot M_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
\sqrt{2} & 0 \\
0 & \sqrt{2}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
\frac{1}{2}\sqrt{2} & - \frac{1}{2}\sqrt{2} \\
\frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
2 & -2 \\
2 & 2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
2x-2y \\ 2x+2y
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2x-2y= x' & \\
2x+2y = y' & \\
\hline
-4y = x'-y' & (-) \\
y = -\frac{1}{4}x'+\frac{1}{4}y' & \\
\hline
4x = x'+y' & (+) \\
x = \frac{1}{4}x'+\frac{1}{4}y' &
\end{array} $
Kita substitusi $x = \frac{1}{4}x'+\frac{1}{4}y'$ dan $y = -\frac{1}{4}x'+\frac{1}{4}y'$ ke persamaan garis $x + y + 2 = 0$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
x + y + 2 &= 0 \\
\frac{1}{4}x'+\frac{1}{4}y' -\frac{1}{4}x'+\frac{1}{4}y' + 2\ &= 0 \\
\frac{1}{2}y' + 2\ &= 0 \\
y' &= -4 \\
\end{align}$
Tanda aksen $(')$ pada persamaan $y'=-4 $ hanya menunjukkan hasil transformasi, bayangan garis dapat dituliskan hanya $y=-4 $.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ y=-4$
8. Soal Latihan Komposisi Transformasi Geometri
Bayangan garis $2x – 3y + 7 = 0$ oleh transformasi $\left( x, y \right) \rightarrow \left(x', y' \right)$ dimana $x' = 5x + 6y$ dan $y'= 4x + 5y$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 13x – 12y + 30 = 0 \\ (B)\ & 21x – 3y + 14 = 0 \\ (C)\ & 8x + 14y – 15 = 0 \\ (D)\ & 11x – 18y – 8 = 0 \\ (E)\ & 22x – 27y + 7 = 0 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari dua persamaan pada soal di atas kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
5x + 6y= x' & (\times 4) \\
4x + 5y = y' & (\times 5) \\
\hline
20x+24y = 4x' & \\
20x+25y = 5y' & (-) \\
\hline
y = 5y'-4x'
\end{array} $
$\begin{array}{c|c|cc} 5x + 6y= x' & (\times 5) \\ 4x + 5y = y' & (\times 6) \\ \hline 25x+30y = 5x' & \\ 24x+30y = 6y' & (-) \\ \hline x = 5x'-6y' \end{array} $
Kita substitusi $x = 5x'-6y'$ dan $y = 5y'-4x'$ ke persamaan garis $2x-3y+7=0$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
2x-3y+7 &= 0 \\
2\left( 5x'-6y' \right)-3\left( 5y'-4x' \right) +7\ &= 0 \\
10x'-12y' -15y'+12x' +7\ &= 0 \\
22x'-27y' +7\ &= 0
\end{align}$
Tanda aksen $(')$ pada persamaan $22x'-27y' +7=0 $ hanya menunjukkan hasil transformasi, bayangan garis dapat dituliskan hanya $22x -27y +7=0$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 22x – 27y + 7 = 0$
9. Soal Latihan Komposisi Transformasi Geometri
Bayangan garis $3x + 4y – 2 = 0$ oleh transformasi $\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 2x + 3y = 2 \\ (B)\ & 2x – 3y = 2 \\ (C)\ & 3x + 2y = 3 \\ (D)\ & 3x – 2y = –2 \\ (E)\ & x + 2y = –4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A \left( x,y \right)$ yang ditransformasikan oleh matriks $T=\begin{bmatrix}
3 & 5 \\
1 & 2
\end{bmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
3 & 5 \\
1 & 2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
3x+5y \\ x+2y
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari dua kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
3x+5y= x' & (\times 1) \\
x+2y = y' & (\times 3) \\
\hline
3x+5y = x' & \\
3x+6y = 3y' & (-) \\
\hline
y = 3y'- x'
\end{array} $
$\begin{array}{c|c|cc} 3x+5y= x' & (\times 2) \\ x+2y = y' & (\times 5) \\ \hline 6x+10y = 2x' & \\ 5x+10y = 5y' & (-) \\ \hline x = 2x'- 5y' \end{array} $
Kita substitusi $x = 2x'- 5y'$ dan $y = 3y'- x'$ ke persamaan garis $3x + 4y – 2 = 0$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
3x + 4y – 2 &= 0 \\
3\left( 2x'- 5y' \right)+4 \left( 3y'- x' \right) -2\ &= 0 \\
6x'- 15y' +12y'- 4x' -2\ &= 0 \\
2x'- 3y' -2\ &= 0 \\
\end{align}$
Tanda aksen $(')$ pada persamaan $2x'- 3y' -2=0 $ hanya menunjukkan hasil transformasi, bayangan garis dapat dituliskan hanya $2x - 3y -2=0$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2x - 3y =2$
10. Soal Latihan Komposisi Transformasi Geometri
Persamaan bayangan lingkaran $x^{2} + y^{2} = 9$ jika dicerminkan oleh garis $y = –x$ dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $x = 2$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & x^{2} + y^{2} = 18 \\ (B)\ & x^{2} + y^{2} - 8x - 7 = 0 \\ (C)\ & x^{2} + y^{2} - 8x + 7 = 0 \\ (D)\ & x^{2} + y^{2} - 10x - 8 = 0 \\ (E)\ & x^{2} + y^{2} - 8x- 10 = 0 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan oleh garis $y = –x$ maka matriks transformasinya adalah:
$\begin{pmatrix}
x' \\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & - 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-y \\
-x
\end{pmatrix}$
Kita substitusi $x = -y'$ dan $y = -x'$ ke persamaan lingkaran $\left( -y' \right)^{2} + \left( -x' \right)^{2} = 9$ maka kita peroleh $x^{2} + y^{2} = 9$. Pencerminan tidak merubah persamaan lingkaran.
Lalu lingkaran $x^{2} + y^{2} = 9$ di cerminkan lagi terhadap garis $x = 2$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
2(2) \\
0
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
-x \\
y
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
4 \\ 0
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
4-x \\ y
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x' =4-x$ atau $x=4-x'$ dan $y'=y$. Lalu kita substitusi ke persamaan lingkaran maka kita peroleh:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2} &= 9 \\
\left( 4-x' \right )^{2} + \left( y' \right )^{2} &= 9 \\
x'^{2} -8x'+16+ y' ^{2} &= 9 \\
x'^{2} + y'^{2} -8x'+7 &= 0 \\
\end{align}$
Tanda aksen $(')$ pada persamaan $x'^{2} + y'^{2} -8x'+7 = 0 $ hanya menunjukkan hasil transformasi, bayangan lingkaran dapat dituliskan hanya $x^{2} + y^{2} -8x +7 = 0 $.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x^{2} + y^{2} - 8x + 7 = 0$
11. Soal Latihan Komposisi Transformasi Geometri
Garis $2x + y + 4 = 0$ adalah bayangan suatu garis yang dicerminkan terhadap garis $y =x$ dan dilanjutkan rotasi berpusat di $O \left(0, 0 \right)$ sejauh $270^{\circ}$ berlawanan arah jarum jam. Persamaan garis semula adalah...
$\begin{align} (A)\ & 2x – y – 4 = 0 \\ (B)\ & 2x – y + 4 = 0 \\ (C)\ & 2x + y – 4 = 0 \\ (D)\ & x – 2y + 4 = 0 \\ (E)\ & x – 2y – 4 = 0 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan oleh $y=x$ maka matriks transformasinya dapat kita sebut $M_{1}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
Jika titik $A(x,y)$ dirotasi dengan pusat $O \left(0, 0 \right)$ sejauh $270^{\circ}$ maka matriks transformasinya dapat kita sebut $M_{2}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
Jika titik $A(x,y)$ transformasi oleh $M_{1}=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}$ dilanjutkan $M_{2}=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}$ maka bayangan titik adalah:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} &= M_{2} \cdot M_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
x \\ -y
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x'=x$ dan $y'=-y$
Diketahui bahwa garis $2x + y + 4 = 0$ adalah bayangan, sehingga dapat kita tuliskan menjadi $2x' + y' + 4 = 0$. Kita substitusi $x'=x$ dan $y'=-y$ ke persamaan bayangan garis sehingga kita peroleh persamaan garis mula-mula yaitu $2(x) + (-y) + 4 = 0$ atau $2x -y + 4 = 0$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2x -y + 4 = 0$
12. Soal Latihan Komposisi Transformasi Geometri
Persamaan bayangan garis $2y – 5x – 10 = 0$ oleh rotasi $\left[O, 90^{\circ} \right]$ dilanjutkan refleksi terhadap garis $y = -x$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 5x + 2y + 10 = 0 \\ (B)\ & 5y – 2x – 10 = 0 \\ (C)\ & 2y + 5x + 10 = 0 \\ (D)\ & 2y + 5x – 10 = 0 \\ (E)\ & 2y – 5x + 10 = 0 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dirotasi dengan pusat $O \left(0, 0 \right)$ sejauh $90^{\circ}$ maka matriks transformasinya dapat kita sebut $M_{1}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan oleh $y=-x$ maka matriks transformasinya dapat kita sebut $M_{2}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
Jika titik $A(x,y)$ transformasi oleh $M_{1}=\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}$ dilanjutkan $M_{2}=\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}$ maka bayangan titik adalah:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} &= M_{2} \cdot M_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
0 & -1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
-x \\ y
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x'=-x$ atau $x =-x'$ dan $y'= y$
Lalu kita substitusi $x =-x'$ dan $y'= y$ ke persamaan garis, maka kita peroleh:
$\begin{align}
2y – 5x – 10 &= 0 \\
2\left( y' \right )- 5 \left( -x' \right ) -10 &= 0 \\
2y'+ 5x' -10 &= 0
\end{align}$
Tanda aksen $(')$ pada persamaan $2y'+ 5x' -10 = 0$ hanya menunjukkan hasil transformasi, bayangan garis dapat dituliskan hanya $2y + 5x -10 = 0$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2y + 5x – 10 = 0$
13. Soal Latihan Komposisi Transformasi Geometri
Persamaan bayangan garis $5x – 3y = 2$ oleh refleksi terhadap garis $x = 1$ dan dilanjutkan rotasi $180^{\circ}$ terhadap pusat $O\left(0, 0 \right)$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 5x – 3y = 12 \\ (B)\ & 5x + 3y = -6 \\ (C)\ & 5x + 3y = -8 \\ (D)\ & 5x + 3y = 12 \\ (E)\ & 5x – 3y = 8 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan oleh $x=1$ maka matriks transformasinya dapat kita sebut
$M_{1}=\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2(1) \\
0 \end{pmatrix}$
$M_{1}=\begin{pmatrix}
-x+2 \\
y \end{pmatrix}$
Jika titik $A(x,y)$ dirotasi dengan pusat $O \left(0, 0 \right)$ sejauh $180^{\circ}$ maka matriks transformasinya dapat kita sebut $M_{2}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
Jika titik $A(x,y)$ di transformasi oleh $M_{1}=\begin{pmatrix}
-x+2 \\
y \end{pmatrix}$ dilanjutkan $M_{2}=\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}$ maka bayangan titik adalah:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} &= M_{2} \cdot M_{1} \\
&= \begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
-x+2 \\
y \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
x-2 \\
-y
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x'=x-2$ atau $x=x'+2$ dan $y'= -y$ atau $-y'= y$.
Kita substitusi $x=x'-2$ dan $-y'=y$ ke persamaan garis, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
5 \left(x'+2 \right) – 3 (-y') &= 2 \\
5 x'+ 10 + 3 y' &= 2 \\
5 x'+ 3 y' &= -8 \\
5 x + 3 y &= -8 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 5 x + 3 y = -8$
14. Soal Latihan Komposisi Transformasi Geometri
Bayangan garis $3x + 4y = 2 $ oleh transformasi $\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 2x + 3y = 2 \\ (B)\ & 2x – 3y = 2 \\ (C)\ & 3x + 2y = 3 \\ (D)\ & 3x – 2y = –2 \\ (E)\ & x + 2y = –4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A \left( x,y \right)$ yang ditransformasikan oleh matriks $T=\begin{bmatrix}
3 & 5 \\
1 & 2
\end{bmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
3 & 5 \\
1 & 2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
3x+5y \\ x+2y
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari dua kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
3x+5y= x' & (\times 1) \\
x+2y = y' & (\times 3) \\
\hline
3x+5y = x' & \\
3x+6y = 3y' & (-) \\
\hline
y = 3y'- x'
\end{array} $
$\begin{array}{c|c|cc} 3x+5y= x' & (\times 2) \\ x+2y = y' & (\times 5) \\ \hline 6x+10y = 2x' & \\ 5x+10y = 5y' & (-) \\ \hline x = 2x'- 5y' \end{array} $
Kita substitusi $x = 2x'- 5y'$ dan $y = 3y'- x'$ ke persamaan garis $3x + 4y – 2 = 0$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
3x + 4y – 2 &= 0 \\
3\left( 2x'- 5y' \right)+4 \left( 3y'- x' \right) -2\ &= 0 \\
6x'- 15y' +12y'- 4x' -2\ &= 0 \\
2x'- 3y' -2\ &= 0 \\
\end{align}$
Tanda aksen $(')$ pada persamaan $2x'- 3y' -2=0 $ hanya menunjukkan hasil transformasi, bayangan garis dapat dituliskan hanya $2x - 3y -2=0$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2x - 3y =2$
15. Soal Latihan Komposisi Transformasi Geometri
Garis dengan persamaan $2x – y = 6$ karena pencerminan terhadap garis $y = x$ dilanjutkan transformasi sesuai dengan matriks $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$. Persamaan bayangannya adalah...
$\begin{align} (A)\ & 5x + 2y + 6 = 0 \\ (B)\ & 2x + 2y – 6 = 0 \\ (C)\ & 2x + 3y – 6 = 0 \\ (D)\ & 2x + 5y – 6 = 0 \\ (E)\ & 2x + 6y + 6 = 0 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan oleh $y=x$ maka matriks transformasinya dapat kita sebut $M_{1}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
Jika titik $A(x,y)$ ditranformasi oleh matriks transformasi, maka matriks transformasinya dapat kita sebut $M_{2}=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
Jika titik $A(x,y)$ transformasi oleh $M_{1}=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \end{pmatrix}$ dilanjutkan $M_{2}=\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}$ maka bayangan titik adalah:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} &= M_{2} \cdot M_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
0 & -1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
x+2y \\ -y
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
Dari dua kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
x+2y = x' & \\
-2y = 2y' & (+) \\
\hline
x = x'+2y' &
\end{array} $
Kita substitusi $x = x'+2y'$ dan $y =-y'$ ke persamaan garis $2x-y=6$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
2x-y-6 &= 0 \\
2\left( x'+2y' \right)- \left( -y' \right) -6\ &= 0 \\
2x'+4y' + y' -6\ &= 0 \\
2x'+5y'-6 \ &= 0 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2x +5y -6 = 0$
16. Soal Latihan Komposisi Transformasi Geometri
Persamaan bayangan garis $2x + 3y = –1$ karena refleksi terhadap sumbu-Y dilanjutkan dengan rotasi berpusat $O$ sebesar $\frac{\pi}{2}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 2x – 3y – 1 = 0 \\ (B)\ & 2x + 3y – 1 = 0 \\ (C)\ & 3x + 2y + 1 = 0 \\ (D)\ & 3x – 2y – 1 = 0 \\ (E)\ & 3x + 2y – 1 = 0 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan oleh sumbu-Y maka matriks transformasinya dapat kita sebut $M_{1}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
Jika titik $A(x,y)$ dirotasi berpusat $O$ sebesar $\frac{\pi}{2}$, maka matriks transformasinya dapat kita sebut $M_{2}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
Jika titik $A(x,y)$ transformasi oleh $M_{1}=\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1 \end{pmatrix}$ dilanjutkan $M_{2}=\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}$ maka bayangan titik adalah:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} &= M_{2} \cdot M_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
0 & -1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
-y \\ -x
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
Dari dua kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x' =-y$ atau $y=-x' $ dan $y' =-x$ atau $x =-y'$. Lalu kita subtitusikan ke persamaan garis $2x + 3y = –1$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
2x + 3y +1 &= 0 \\
2\left( -y' \right)+3 \left( -x' \right) +1\ &= 0 \\
-2y'-3x' + 1 \ &= 0 \\
2y +3x-1 \ &= 0 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3x+2y-1=0$
17. Soal Latihan Komposisi Transformasi Geometri
Persamaan bayangan parabola $y = x^{2} – 3$ karena refleksi terhadap sumbu-X dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks $M_{1}=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & y^{2} + x^{2} – 2xy – x + 2y – 3 = 0 \\ (B)\ & y^{2} + x^{2} + 2xy + x - 2y – 3 = 0 \\ (C)\ & y^{2} + x^{2} – 2xy + x - 2y – 3 = 0 \\ (D)\ & y^{2} + x^{2} + 2xy + x + 2y – 3 = 0 \\ (E)\ & y^{2} - x^{2} + 2xy + x + 2y – 3 = 0 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan oleh sumbu-Y maka matriks transformasinya dapat kita sebut $M_{1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
Jika titik $A(x,y)$ ditransformasi oleh matriks, maka matriks transformasinya dapat kita sebut $M_{2}=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
Jika titik $A(x,y)$ transformasi oleh $M_{1}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \end{pmatrix}$ dilanjutkan $M_{2}=\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}$ maka bayangan titik adalah:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} &= M_{2} \cdot M_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
2 & -1 \\
1 & -1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
2x-y \\ x-y
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2x- y= x' & \\
x-y = y' & (-) \\
\hline
x = x'- y' & \\
y = x'-2y' &
\end{array} $
Dari apa yang kita peroleh di atas $x=x'-y'$ dan $y=x'-2y'$ kita subtitusikan ke persamaan $y=x^{2}-3$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
y &= x^{2}-3 \\
\left( x'-2y' \right) &= \left( x'-y' \right)^{2}-3 \\
x'-2y' &= x'^{2}-y'^{2}-2x'y' -3 \\
0 &= x'^{2}+y'^{2}-2x'y' -3-x'+2y' \\
0 &= x'^{2}+y'^{2}-2x'y'-x'+2y'-3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y^{2} + x^{2} – 2xy – x + 2y – 3 = 0$
Beberapa pembahasan soal Transformasi Geometri, Soal Latihan dan Pembahasan Komposisi Transformasi Pada Garis, Parabola dan Lingkaran di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan tentang Belajar Komposisi Transformasi Pada Garis, Parabola dan Lingkaran Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.