Calon guru belajar matematika dasar SMA dari Transformasi Geometri, Soal Latihan dan Pembahasan Jenis Transformasi Pada Sebuah Titik. Catatan ini kita khususkan untuk membahas macam-macam transformasi geometri pada sebuah titik.
Transformasi geometri adalah suatu proses pemetaan satu-satu (one-one) dari sembarang atau beberapa titik di suatu bidang ke titik lain atau beberapa titik di bidang tersebut. Titik lain di bidang tersebut disebut bayangan atau peta.
Jenis Transformasi
- Translasi (Pergeseran)
- Refleksi (Pencerminan)
- Rotasi (Perputaran)
- Dilatasi Perkalian
1. TRANSLASI (PERGESERAN)
Translasi (Pergeseran) merupakan transformasi isometri dari setiap titik dengan jarak dan arah yang tetap.
Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right)$.
$\left( x',y' \right)=T+(x,y)=\left( x+a,y+b \right)$
$\left( x',y' \right)= \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix}+(x,y)=\left( x+a,y+b \right)$
2. REFLESKI (PENCERMINAN)
Refleksi (Pencerminan) merupakan suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada suatu bidang dengan menggunakan sifat-sifat bayangan pada suatu cermin.
Beberapa pencerminan yang mungkin dapat dilakukan terhadap sebuah objek, diantaranya adalah:
- Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$X$ ($y=0$) maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x,-y \right)$.
Dengan menggunakan matriks:
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=k$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x,2k-y \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
0\\2k
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$Y$ ($x=0$) maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -x,y \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1 & 0\\ 0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $x=k$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( 2k-x,y \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1 & 0\\ 0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2k\\0
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap titik pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -x,-y \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap titik $(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( 2a-x,2b-y \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2a\\2b
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( y,x \right)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1\\ 1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=-x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -y,-x \right)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & -1\\ -1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$
3. ROTASI (PERPUTARAN)
Rotasi (Perputaran) sebuah titik atau beberapa titik ditentukan oleh pusat rotasi $P(a,b)$ dan besar sudut rotasi ($\theta$).- Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(x',y')$ dimana
$x'= \left (x\ cos\ \theta-y\ sin\ \theta \right )$
$y'= \left (x\ sin\ \theta+y\ cos\ \theta \right )$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
cos\ \theta & - sin\ \theta\\ sin\ \theta & cos\ \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(x',y')$ dimana
$x'= \left (x\ cos\ \theta-y\ sin\ \theta \right )+\left (a\ sin\ \theta-b\ cos\ \theta \right )+a$
$y'= \left (x\ sin\ \theta+y\ cos\ \theta \right )-\left (b\ cos\ \theta+a\ sin\ \theta \right )+b$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
cos\ \theta & - sin\ \theta\\ sin\ \theta & cos\ \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-a\\y-b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}$
4. DILATASI (PERKALIAN)
Dilatasi (Perkalian) adalah transformasi yang mengubah ukuran (diperbesar atau diperkecil) suatu bangun yang sebangun.- Jika titik $A(x,y)$ dilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(kx,ky)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
k & 0\\ 0 & k
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$ - Jika titik $A(x,y)$ dilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(x',y')$ dimana
$x'= k\left (x-a \right )+a$
$y'= k\left (y-b \right )+b$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
k & 0\\ 0 & k
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-a\\y-b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}$
Soal Jenis-jenis Transformasi Pada Sebuah Titik
Untuk menambah pemahaman kita terkait Macam-Macam Transformasi Pada Sebuah Titik di atas mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Matematika SMA Kurikulum 2013..
Untuk soal Transformasi Geometri yang sudah pernah diujikan pada seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri silahkan di simak pada Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Transformasi Geometri.
1. Soal Latihan Transformasi Geometri
Bayangan titik $A \left(-4, 7 \right)$ jika digeser menurut matriks $T = \begin{bmatrix} - 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left ( -2,4 \right ) \\ (B)\ & \left ( -6,10 \right ) \\ (C)\ & \left ( 3,2 \right ) \\ (D)\ & \left ( -5,3 \right ) \\ (E)\ & \left ( 2,-5 \right ) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Kita ketahui bahwa jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x+a,y+b \right)$
Untuk titik $A(-4,7)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix}$ maka bayangannya adalah $A'\left( -4-2,7+3 \right)=\left( -6,10 \right)$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left ( -6,10 \right )$
2. Soal Latihan Transformasi Geometri
Sebuah titik $P$ ditranslasikan sejauh $T = \begin{bmatrix} - 2 \\ 5 \end{bmatrix}$ sehingga diperoleh titik bayangan $P' \left(-4, 7 \right)$. Koordinat titik $P$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left ( -1,1 \right ) \\ (B)\ & \left ( 1,-1 \right ) \\ (C)\ & \left ( -3,1 \right ) \\ (D)\ & \left ( 3,-1 \right ) \\ (E)\ & \left ( -2,3 \right ) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Kita ketahui bahwa jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x+a,y+b \right)$
Untuk titik $P(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{bmatrix}
-2 \\ 5
\end{bmatrix}$ maka bayangannya adalah $P'\left( x-2,y+5 \right)$.
Diketahui bahwa $P'\left( -1,4 \right)$, sehingga $\left( x-2,y+5 \right) \equiv \left( -1,4 \right)$ dan dapat kita peroleh $x-2=-1 \rightarrow x=1$ dan $y+4=5 \rightarrow y=1$. Titik $P\left( -1,1 \right)$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left ( 1,-1 \right )$
3. Soal Latihan Transformasi Geometri
Sebuah titik $A \left(6, 1 \right)$ ditranslasikan sejauh T sehingga diperoleh peta $A' \left(-2, 5 \right)$. Translasi $T$ tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & \begin{bmatrix} -4 \\ 6 \end{bmatrix} \\ (B)\ & \begin{bmatrix} 4 \\ -6 \end{bmatrix} \\ (C)\ & \begin{bmatrix} 8 \\ -4 \end{bmatrix} \\ (D)\ & \begin{bmatrix} -8 \\ 4 \end{bmatrix} \\ (E)\ & \begin{bmatrix} 5 \\ -2 \end{bmatrix} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Kita ketahui bahwa jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x+a,y+b \right)$
Untuk titik $A \left(6, 1 \right)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{bmatrix}
a \\ b
\end{bmatrix}$ yang bayangannya adalah $A'\left( 6+a,1+b \right)$.
Diketahui bahwa $A'\left( -2,5 \right)$, sehingga $\left( 6+a,1+b \right) \equiv \left( -2,5 \right)$ dan dapat kita peroleh $6+a=-2 \rightarrow a=-8$ dan $1+b=5 \rightarrow b=4$. Translasi $T=\begin{bmatrix}
-8 \\ 4
\end{bmatrix}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \begin{bmatrix} -8 \\ 4 \end{bmatrix}$
4. Soal Latihan Transformasi Geometri
Sebuah titik $R \left(-7, 5 \right)$ digeser sehingga diperoleh bayangan $R' \left(-1, 0 \right)$. Dengan translasi yang sama titik $S \left(4, 2 \right)$ akan bergeser menjadi $S'$. Koordinat $S'$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left ( -5,6 \right ) \\ (B)\ & \left ( 3,5 \right ) \\ (C)\ & \left ( 1,-5 \right ) \\ (D)\ & \left ( 2,-6 \right ) \\ (E)\ & \left ( 10,-3 \right ) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Kita ketahui bahwa jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x+a,y+b \right)$
Untuk titik $R \left(-7, 5 \right)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{bmatrix}
a \\ b
\end{bmatrix}$ maka bayangannya adalah $R'\left( -7+a,5+b \right)$.
Diketahui bahwa $R'\left( -1,0 \right)$, sehingga $\left( -7+a,5+b \right) \equiv \left( -1,0 \right)$ dan dapat kita peroleh $-7+a=-1 \rightarrow a=6$ dan $5+b=0 \rightarrow b=-5$.
Translasi $T=\begin{bmatrix}
6 \\ -5
\end{bmatrix}$
Untuk titik $S(4,2)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{bmatrix} 6 \\ -5 \end{bmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( 4+6,2-5 \right)=\left( 10,-3 \right)$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left( 10,-3 \right)$
5. Soal Latihan Transformasi Geometri
Jika titik $A \left(2, 1 \right)$ dan titik $B \left(-3, 5 \right)$ diputar sejauh $90^{\circ}$ dengan pusat $O \left(0, 0 \right)$ maka diperoleh banyangan $A'$ dan $B'$. Koordinat bayangan itu adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left ( 1,2 \right )\ \text{dan}\ \left ( 5,-3 \right) \\ (B)\ & \left ( 1,-2 \right )\ \text{dan}\ \left ( -5,-3 \right) \\ (C)\ & \left ( -2,-1 \right )\ \text{dan}\ \left ( 3,-5 \right) \\ (D)\ & \left ( -1,2 \right )\ \text{dan}\ \left ( -5, -3 \right) \\ (E)\ & \left( 2,3 \right )\ \text{dan}\ \left ( 3,1 \right ) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $90^{\circ}$ dengan pusat $O(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix}
cos\ 90^{\circ}& - sin\ 90^{\circ} \\
sin\ 90^{\circ}& cos\ 90^{\circ}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
0 & - 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
Untuk titik $A \left(2, 1 \right)$ dan titik $B \left(-3, 5 \right)$, bayangannya adalah:
$\begin{align}
A'\ &= \begin{pmatrix}
0 & - 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 \\ 1
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
(0)(2)+(-1)(1) \\
(1)(2)+(0)(1)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1 \\ 2
\end{pmatrix} \\
\hline
B'\ &= \begin{pmatrix}
0 & - 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-3 \\ 5
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
(0)(-3)+(-1)(5) \\
(1)(-3)+(0)(5)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-5 \\ -3
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left ( -1,2 \right )\ \text{dan}\ \left ( -5, -3 \right)$
6. Soal Latihan Transformasi Geometri
Sebuah titik $P \left( x,y \right)$ dirotasikan sejauh $45^{\circ}$ dengan pusat $O \left(0, 0 \right)$ sehingga diperoleh banyangan $P' \left(5\sqrt{2}, \sqrt{2} \right)$. Koordinat titik $P$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left ( -6,4 \right) \\ (B)\ & \left ( 6,-4 \right) \\ (C)\ & \left ( -3,2 \right) \\ (D)\ & \left ( 3,-2 \right) \\ (E)\ & \left( 4,3 \right ) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $45^{\circ}$ dengan pusat $O(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix}
cos\ 45^{\circ}& - sin\ 45^{\circ} \\
sin\ 45^{\circ}& cos\ 45^{\circ}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
\frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\
\frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
Untuk titik $P \left( x,y \right)$ dan titik bayangannya $P' \left(5\sqrt{2}, \sqrt{2} \right)$ dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
5\sqrt{2} \\ \sqrt{2}
\end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix}
\frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\
\frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
5\sqrt{2} \\ \sqrt{2}
\end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix}
\frac{1}{2}\sqrt{2}x- \frac{1}{2}\sqrt{2}y \\
\frac{1}{2}\sqrt{2}x+ \frac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
\frac{1}{2}\sqrt{2}x- \frac{1}{2}\sqrt{2}y = 5\sqrt{2} & \\
\frac{1}{2}\sqrt{2}x+ \frac{1}{2}\sqrt{2}y = \sqrt{2} & (+)\\
\hline
\sqrt{2}x = 6\sqrt{2} & \\
x = 6 & y= -4
\end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left ( 6,-4 \right)$
7. Soal Latihan Transformasi Geometri
Sebuah titik $B \left( 2\sqrt{3} , 6 \right)$ dirotasikan sejauh $\alpha$ dengan pusat $O \left(0, 0 \right)$ sehingga diperoleh banyangan $B' \left( -6,-2\sqrt{3} \right)$. Nilai $\alpha$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 30^{\circ} \\ (B)\ & 150^{\circ} \\ (C)\ & 210^{\circ} \\ (D)\ & 225^{\circ} \\ (E)\ & 330^{\circ} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\alpha$ dengan pusat $O(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix}
cos\ \alpha & - sin\ \alpha \\
sin\ \alpha & cos\ \alpha
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}
\end{align}$
Untuk titik $B \left( 2\sqrt{3} , 6 \right)$ dan titik bayangannya $B' \left( -6,-2\sqrt{3} \right)$ dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
-6 \\ -2\sqrt{3}
\end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix}
cos\ \alpha & - sin\ \alpha \\
sin\ \alpha & cos\ \alpha
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2\sqrt{3} \\ 6
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
-6 \\ -2\sqrt{3}
\end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix}
2\sqrt{3}cos\ \alpha - 6sin\ \alpha \\
2\sqrt{3}sin\ \alpha + 6cos\ \alpha
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
2\sqrt{3}cos\ \alpha - 6sin\ \alpha = -6 & (\times) 6 \\
6cos\ \alpha + 2\sqrt{3}sin\ \alpha = -2\sqrt{3} & (\times) 2\sqrt{3} \\
\hline
12\sqrt{3}cos\ \alpha - 36sin\ \alpha = -36 & \\
12\sqrt{3}cos\ \alpha + 12 sin\ \alpha = -12 & (-) \\
\hline
-48 sin\ \alpha = -24 & \\
sin\ \alpha = \frac{1}{2} & \\
\alpha = 30^{\circ},150^{\circ}
\end{array} $
$\begin{array}{c|c|cc}
2\sqrt{3}cos\ \alpha - 6sin\ \alpha = -6 & (\times) 2\sqrt{3} \\
6cos\ \alpha + 2\sqrt{3}sin\ \alpha = -2\sqrt{3} & (\times) 6 \\
\hline
12 cos\ \alpha - 12\sqrt{3}sin\ \alpha = -12\sqrt{3} & \\
36 cos\ \alpha + 12\sqrt{3} sin\ \alpha = -12\sqrt{3} & (+) \\
\hline
48 cos\ \alpha = -24\sqrt{3} & \\
cos\ \alpha = -\frac{1}{2} \sqrt{3} & \\
\alpha = 150^{\circ},210^{\circ} & \\
\end{array} $
Nilai $\alpha$ yang memenuhi pada $sin\ \alpha$ dan $cos\ \alpha$ adalah $150^{\circ}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 150^{\circ}$
8. Soal Latihan Transformasi Geometri
Matriks yang bersesuaian dengan rotasi sejauh $\frac{4}{3} \pi$ dengan pusat $O \left(0, 0 \right)$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{bmatrix} \\ (B)\ & \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \\ (C)\ & \begin{bmatrix} -\frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & -1 \end{bmatrix} \\ (D)\ & \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{bmatrix} \\ (E)\ & \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\alpha$ dengan pusat $O(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix}
cos\ \alpha & - sin\ \alpha \\
sin\ \alpha & cos\ \alpha
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}
\end{align}$
Untuk sudut rotasi $ \frac{4}{3} \pi=240^{\circ} $ dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix}
cos\ 240^{\circ} & - sin\ 240^{\circ} \\
sin\ 240^{\circ} & cos\ 240^{\circ}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
cos\ \left( 180^{\circ}+60^{\circ} \right) & - sin\ \left( 180^{\circ}+60^{\circ} \right) \\
sin\ \left( 180^{\circ}+60^{\circ} \right) & cos\ \left( 180^{\circ}+60^{\circ} \right)
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
-cos\ 60^{\circ} & sin\ 60^{\circ} \\
-sin\ 60^{\circ} & - cos\ 60^{\circ}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\
-\frac{1}{2}\sqrt{3} & -\frac{1}{2}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$
9. Soal Latihan Transformasi Geometri
Bayangan titik $P \left(2, 6 \right)$ jika diputar sejauh $\frac{1}{8}$ putaran dengan arah berlawan jarum jam dan pusat $O \left(0, 0 \right)$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left (-2\sqrt{2},4\sqrt{2} \right) \\ (B)\ & \left (-\sqrt{2},4\sqrt{2} \right) \\ (C)\ & \left (2\sqrt{2},-6\sqrt{2} \right) \\ (D)\ & \left (\sqrt{2},-3\sqrt{2} \right) \\ (E)\ & \left (\sqrt{2},4\sqrt{2} \right) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\frac{1}{8}$ putaran dengan arah berlawan jarum jam atau $\frac{1}{8} \times 360^{\circ}=45^{\circ}$ dengan pusat $O(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix}
cos\ 45^{\circ}& - sin\ 45^{\circ} \\
sin\ 45^{\circ}& cos\ 45^{\circ}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
\frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\
\frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
Untuk titik $P \left( 2,6 \right)$ maka bayangan titik dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix}
\frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\
\frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 \\ 6
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix}
\sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \\
\sqrt{2} + 3 \sqrt{2}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-2 \sqrt{2} \\
4 \sqrt{2}
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left (-2\sqrt{2},4\sqrt{2} \right)$
10. Soal Latihan Transformasi Geometri
Matriks $\begin{bmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{bmatrix}$ bersesuaian dengan rotasi sejauh $\alpha$ dan berpusat di $O \left(0, 0 \right)$. Nilai $\alpha$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 30^{\circ} \\ (B)\ & 60^{\circ} \\ (C)\ & 150^{\circ} \\ (D)\ & 210^{\circ} \\ (E)\ & 330^{\circ} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\alpha$ dengan pusat $O(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix}
cos\ \alpha & - sin\ \alpha \\
sin\ \alpha & cos\ \alpha
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}
\end{align}$
Matriks $\begin{bmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{bmatrix}$ bersesuaian dengan $\begin{pmatrix} cos\ \alpha & - sin\ \alpha \\ sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix}$, sehingga kita peroleh $sin\ \alpha=-\frac{1}{2} \rightarrow \alpha=210^{\circ},330^{\circ}$ dan $cos\ \alpha= \frac{1}{2}\sqrt{3} \rightarrow \alpha=30^{\circ},330^{\circ}$. Nilai $\alpha$ yang memenuhi pada $sin\ \alpha$ dan $cos\ \alpha$ adalah $\alpha=330^{\circ} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 330^{\circ}$
11. Soal Latihan Transformasi Geometri
Sebuah titik $P \left(-5,10 \right)$ dirotasikan sejauh $\alpha$ dengan pusat $O \left(0, 0 \right)$ sehingga diperoleh bayangan $P'$. Jika diketahui $cos\ \alpha = \frac{3}{5}$ dalam interval $0^{\circ} \lt \alpha \lt 90^{\circ}$, maka koordinat titik $P$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left(-14,10 \right) \\ (B)\ & \left(15,3 \right) \\ (C)\ & \left(10,-5 \right) \\ (D)\ & \left(-11,2 \right) \\ (E)\ & \left(12,-8 \right) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\alpha$ dengan pusat $O(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix}
cos\ \alpha & - sin\ \alpha \\
sin\ \alpha & cos\ \alpha
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}
\end{align}$
Pada soal dikatakan bahwa $cos\ \alpha = \frac{3}{5}$, sehingga dengan menggunakan identitas trigonometri dasar $sin^{2} \alpha+cos^{2} \alpha = 1$ kita peroleh $sin\ \alpha = \frac{4}{5}$
Untuk titik $P \left(-5,10 \right)$ maka bayangan titik dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix}
\frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\
\frac{4}{5} & \frac{3}{5}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-5 \\ 10
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix}
-3- 8 \\
-4 + 6
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-11 \\
2
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left(-11,2 \right)$
12. Soal Latihan Transformasi Geometri
Bayangan titik $Q \left(6,5 \right)$ oleh rotasi dengan pusat $B \left(-5, 1 \right)$ sejauh $270^{\circ}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left(-1,10 \right) \\ (B)\ & \left(-11,-10 \right) \\ (C)\ & \left(-1,-10 \right) \\ (D)\ & \left(-11,0 \right) \\ (E)\ & \left(-1,0 \right) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $270^{\circ}$ dengan pusat $B(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
cos\ 270^{\circ} & - sin\ 270^{\circ} \\
sin\ 270^{\circ} & cos\ 270^{\circ}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-a\\y-b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-a\\y-b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}
\end{align}$
Untuk titik $Q \left(6,5 \right)$ oleh rotasi $270^{\circ}$ dengan pusat $B \left(-5, 1 \right)$ maka bayangan titik dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
6+5\\5-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
-5 \\ 1
\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
11 \\ 4
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
-5 \\ 1
\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}
(0)(11)+(1)(4) \\
(-1)(11)+(0)(4)
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
-5 \\ 1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1 \\ 10
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left(-1,-10 \right)$
13. Soal Latihan Transformasi Geometri
Bayangan titik $R \left(x,y \right)$ oleh rotasi dengan pusat di $A \left(1,4 \right)$ sejauh $90^{\circ}$ adalah $R' \left(2,-3 \right)$. Maka koordinat $R$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left(-6,3 \right) \\ (B)\ & \left(5,-2 \right) \\ (C)\ & \left(6,-4 \right) \\ (D)\ & \left(3,-2 \right) \\ (E)\ & \left(5,-3 \right) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $90^{\circ}$ dengan pusat $B(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
cos\ 90^{\circ} & - sin\ 90^{\circ} \\
sin\ 90^{\circ} & cos\ 90^{\circ}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-a\\y-b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-a\\y-b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}
\end{align}$
Untuk titik $R \left(x,y \right)$ oleh rotasi $90^{\circ}$ dengan pusat $A \left(1, 4 \right)$ dan bayangan titik $R' \left(2,-3 \right)$ dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
2 \\ -3
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x+1\\ y-4
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
1 \\ 4
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
2 \\ -3
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
(0)(x-1)+(-1)(y-4) \\
(1)(x-1)+(0)(y-4)
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
1 \\ 4
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
2 \\ -3
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
-y+4 \\
x-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
1 \\ 4
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
2 \\ -3
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
-y+4+1 \\
x-1+4
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $-y+5=2 \rightarrow y=3$ dan $x+3=-3 \rightarrow x=-6$, sehingga titik $R \left(-6,3 \right)$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left(-6,3 \right)$
14. Soal Latihan Transformasi Geometri
Bayangan titik $A \left(4,1 \right)$ dan $R \left( -3,2 \right)$ jika direfleksikan terhadap sumbu $y$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & A'\left( -4,1 \right)\ \text{dan}\ B'\left( 3,-2 \right) \\ (B)\ & A'\left( 4,-1 \right)\ \text{dan}\ B'\left( -3,-2 \right) \\ (C)\ & A'\left( -4,1 \right)\ \text{dan}\ B'\left( 3, 2 \right) \\ (D)\ & D\left( 1,-4 \right)\ \text{dan}\ B'\left( -2,3 \right) \\ (E)\ & A'\left( -4,-1 \right)\ \text{dan}\ B'\left( 3,-2 \right) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$Y$ ($x=0$) maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -x,y \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$
Untuk titik $A \left(4,1 \right)$ yang direfleksikan terhadap sumbu-$Y$ bayangannya adalah $A'\left( -4,1 \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 \\ 1
\end{pmatrix} \\
& =\begin{pmatrix}
(-1)(4)+(0)(1) \\
(0)(4)+(1)(1)
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-4 \\ 1
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
Untuk titik $B \left( -3,2 \right)$ yang direfleksikan terhadap sumbu-$Y$ bayangannya adalah $B'\left( 3,2 \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-3 \\ 2
\end{pmatrix} \\
& =\begin{pmatrix}
(-1)(-3)+(0)(2) \\
(0)(-3)+(1)(2)
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
3 \\ 2
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ A'\left( -4,1 \right)\ \text{dan}\ B'\left( 3, 2 \right)$
15. Soal Latihan Transformasi Geometri
Sebuah titik $P$ dicerminkan terhadap garis $y = –x$ sehingga diperoleh bayangan $P'\left( -6,2 \right)$. Koordinat $P$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & P\left( 2,6 \right) \\ (B)\ & P\left( -6,-2 \right) \\ (C)\ & P\left( 2, -6 \right) \\ (D)\ & P\left( -2,-6 \right) \\ (E)\ & P\left( -2,6 \right) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=-x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -y,-x \right)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$
Untuk titik $P \left( x,y \right)$ yang direfleksikan terhadap $y=-x$ bayangannya adalah $P'\left( -6,2 \right)$ maka titik $P \left( -2,6 \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
-6\\2
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
-6\\2
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
(0)(x)+(-1)(y) \\
(-1)(x)+(0)(y)
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
-6\\2
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
-y \\
-x
\end{pmatrix} \\
\left( x,y \right) & = \left( -2,6 \right)
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ P\left( -2,6 \right)$
16. Soal Latihan Transformasi Geometri
Bayangan titik $P\left( 3,-2 \right)$ oleh dilatasi dengan faktor skala $-2$ dan pusat $O\left( 0,0 \right)$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & P\left( -6,4 \right) \\ (B)\ & P\left( 6,-4 \right) \\ (C)\ & P\left( 4,-6 \right) \\ (D)\ & P\left( -4,6 \right) \\ (E)\ & P\left( -4,-6 \right) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(kx,ky)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\ y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
k & 0\\
0 & k
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$
Untuk titik $P\left( 3,-2 \right)$ yang didilatasi dengan faktor skala $-2$ dan pusat $O\left( 0,0 \right)$ bayangannya adalah $P'\left( -6,4 \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
-2 & 0\\
0 & -2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3 \\ -2
\end{pmatrix} \\
& =\begin{pmatrix}
(-2)(3)+(0)(-2) \\
(0)(3)+(-2)(-2)
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-6 \\ 4
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ P\left( -6,4 \right)$
17. Soal Latihan Transformasi Geometri
Sebuah titik $A\left( -12, 8 \right)$ didilatasi dengan pusat $O\left( 0,0 \right)$ dan faktor skala $k$ sehingga diperoleh bayangan $A'\left( 3,-2 \right)$. Nilai $k = \cdots$
$\begin{align} (A)\ & -\dfrac{1}{4} \\ (B)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 6 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(kx,ky)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\ y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
k & 0\\
0 & k
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$
Untuk titik $A\left( -12,8 \right)$ yang didilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $O\left( 0,0 \right)$ bayangannya adalah $A'\left( 3,-2 \right)$, maka $k=-\dfrac{1}{4}$
Dengan menggunakan matriks,
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
3 \\ -2
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
k & 0\\
0 & k
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-12 \\ 8
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
3 \\ -2
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
(k)(-12)+(0)(8) \\
(0)(-12)+(k)(8)
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-12k \\ 8k
\end{pmatrix} \\
3 = -12k & \rightarrow k=\dfrac{3}{-12}=-\dfrac{1}{4}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\dfrac{1}{4}$
18. Soal Latihan Transformasi Geometri
Sebuah titik $M\left( a,3 \right)$ didilatasi dengan pusat $O\left( 0,0 \right)$ dan faktor skala $k$ sehingga diperoleh bayangan $M'\left( 6,-2 \right)$. Nilai $a = \cdots$
$\begin{align} (A)\ & -9 \\ (B)\ & -5 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 8 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(kx,ky)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\ y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
k & 0\\
0 & k
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$
Untuk titik $M\left( a,3 \right)$ yang didilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $O\left( 0,0 \right)$ bayangannya adalah $A'\left( 6,-2 \right)$, maka $3k=-2$ atau $k=-\dfrac{2}{3}$.
Nilai $a \cdot -\dfrac{2}{3}=6$ atau $a=-9$
Dengan menggunakan matriks,
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
6 \\ -2
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
k & 0\\
0 & k
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a \\ 3
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
6 \\ -2
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
(k)(a)+(0)(3) \\
(0)(a)+(k)(3)
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
ak \\ 3k
\end{pmatrix} \\
3k = -2 & \rightarrow k=-\dfrac{2}{3} \\
ak = 6 & \rightarrow a= \dfrac{6}{k}=-9
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -9$
19. Soal Latihan Transformasi Geometri
Sebuah titik $C\left( \frac{2}{3},1 \right)$ didilatasi dengan pusat $O\left( 0,0 \right)$ dan faktor skala $k$ sehingga diperoleh peta $C'\left( 4,6 \right)$. Dengan pusat dan skala yang sama, titik $D\left( \frac{5}{6}, -2 \right)$ akan berubah menjadi $D'$. Koordinat $D'$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left( 5,-12 \right) \\ (B)\ & \left( 10,-6 \right) \\ (C)\ & \left( -5, 12 \right) \\ (D)\ & \left( -10,6 \right) \\ (E)\ & \left( 10,24 \right) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(kx,ky)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\ y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
k & 0\\
0 & k
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$
Untuk titik $C\left( \frac{2}{3},1 \right)$ yang didilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $O\left( 0,0 \right)$ bayangannya adalah $C'\left( 4,6 \right)$, maka $1k=6$ atau $k=6$.
Untuk titik $D\left( \frac{5}{6}, -2 \right)$ yang didilatasi dengan faktor skala $6$ dan pusat $O\left( 0,0 \right)$ bayangannya adalah $D'\left( 5,-12 \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
4 \\ 6
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
k & 0\\
0 & k
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\frac{2}{3} \\ 1
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
4 \\ 6
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
\frac{2}{3}k \\
1k
\end{pmatrix} \\
1k = 6 & \rightarrow k= 6 \\
\hline
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
6 & 0\\
0 & 6
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\frac{5}{6} \\ -2
\end{pmatrix} \\
& =\begin{pmatrix}
5 \\
-12
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left( 5,-12 \right)$
20. Soal Latihan Transformasi Geometri
Jika titik $P\left( 6,-4 \right)$ didilatasi dengan pusat $ \left( 1,2 \right)$ dan skala $2$. Koordinat bayangannya adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left( 7,10 \right) \\ (B)\ & \left( -9,8 \right) \\ (C)\ & \left( 10,8 \right) \\ (D)\ & \left( 11,-10 \right) \\ (E)\ & \left( 8,-11 \right) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(x',y')$ dimana:
$\begin{align}
x'\ & = k\left (x-a \right )+a \\
y' & = k\left (y-b \right )+b
\end{align}$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
k & 0\\
0 & k
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-a\\y-b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}$
Untuk titik $P\left( 6,-4 \right)$ yang didilatasi dengan faktor skala $2$ dan pusat $\left( 1,2 \right)$ bayangannya adalah $P'\left( 11,-10 \right)$
$\begin{align}
x'\ & = 2 \left (6-1 \right )+1 \\
& = 11 \\
y' & = 2\left (-4-2 \right )+2 \\
& = -10
\end{align}$.
Dengan menggunakan matriks,
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
2 & 0\\
0 & 2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
6-1\\-4-2
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
1 \\ 2
\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}
2 & 0\\
0 & 2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
5 \\ -6
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
1 \\ 2
\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}
(2)(5)+ (0)(-6) \\
(0)(1)+ (2)(-6)
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
1 \\ 2
\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}
11 \\ -10
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left( 11,-10 \right)$
21. Soal Latihan Transformasi Geometri
Sebuah titik $P\left( -3,4 \right)$ didilatasi dengan pusat $A\left( m,-2 \right)$ dan skala $k$ sehingga diperoleh titik bayangan $P\left( -9,1 \right)$. Nilai $m = \cdots$
$\begin{align} (A)\ & -15 \\ (B)\ & 14 \\ (C)\ & -12 \\ (D)\ & -20 \\ (E)\ & -4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(x',y')$ dimana:
$\begin{align}
x'\ & = k\left (x-a \right )+a \\
y' & = k\left (y-b \right )+b
\end{align}$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
k & 0\\
0 & k
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-a\\y-b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}$
Untuk titik $P\left( -3,4 \right)$ yang didilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $\left( m,-2 \right)$ bayangannya adalah $P'\left( -9,1 \right)$.
$\begin{align}
y' & = k \left (4+2 \right )-2 \\
1 & = k \left (4+2 \right )-2 \\
1+2 & = 6k \\
\frac{1}{2} & = k \\
x'\ & = k \left (-3-m \right )+m \\
-9-m\ & = \frac{1}{2} \left ( -3-m \right ) \\
-18-2m\ & = -3-m \\
-18+3 \ & = -m+2m \\
-15 \ & = m
\end{align}$.
Dengan menggunakan matriks,
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
-9 \\ 1
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
k & 0\\
0 & k
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-3-m\\ 4+2
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
m \\ -2
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
-9 \\ 1
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
-3k-mk \\
6k
\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
m \\ -2
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
-9 \\ 1
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
-3k-mk+m \\
6k-2
\end{pmatrix} \\
6k-2=1 & \rightarrow k=\frac{1}{2}
\end{align}$
Untuk nilai $k=\frac{1}{2}$, kita peroleh:
$\begin{align}
-3k-mk+m=-9 & \rightarrow -\frac{3}{2} + \frac{1}{2} m=-9 \\
& \rightarrow -3 + m=- 18 \\
& \rightarrow m=-15
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -15$
22. Soal Latihan Transformasi Geometri
Titik $P\left( -3,4 \right)$ ditransformasikan dengan matriks $\begin{pmatrix} a-2 & -1 \\ a & 3 \end{pmatrix}$ menghasilkan bayangan $P' \left( 8,18 \right)$. Sedangkan titik $Q\left( -2,-1 \right)$ ditransformasikan dengan matriks yang sama akan menghasilkan bayangan...
$\begin{align} (A)\ & \left( 9,1 \right) \\ (B)\ & \left( 1,9 \right) \\ (C)\ & \left( -1,9 \right) \\ (D)\ & \left( -9,-1 \right) \\ (E)\ & \left( -9,-7 \right) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ ditransformasikan oleh sebuah matriks $\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$, maka bayangan titik $A$ adalah:
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$
Untuk titik $P\left( -3,4 \right)$ yang ditransformasikan oleh $\begin{pmatrix}
a-2 & -1 \\
a & 3
\end{pmatrix}$ menghasilkan bayangan $P' \left( 8,18 \right)$, dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
8 \\ 18
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
a-2 & -1 \\
a & 3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-3 \\ 4
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
8 \\ 18
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
-3a+6-4 \\
-3a+12
\end{pmatrix} \\
\hline
-3a+6-4 &= 8 \\
-3a &= 6 \\
a &= -2
\end{align}$
Untuk $a=-2$ matriks trasnformasinya adalah $\begin{pmatrix}
a-2 & -1 \\
a & 3
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
-4 & -1 \\
-2 & 3
\end{pmatrix}$ maka bayangan titik $Q \left( -2,-1 \right)$ adalah:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
-4 & -1 \\
-2 & 3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-2 \\ -1
\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}
(-4)(-2)+(-1)(-1) \\
(-2)(-2)+(3)(-1)
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
9 \\
1
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left( 9,1 \right)$
23. Soal Latihan Transformasi Geometri
Titik $A\left( 2,3 \right)$ dan $B\left( -1,4 \right)$ ditransformasikan dengan suatu matriks sehingga diperoleh bayangan $A'\left( -5,6 \right)$ dan $B'\left( -14,8 \right)$. Matriks tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ ditransformasikan oleh sebuah matriks $\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$, maka bayangan titik $A$ adalah:
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$
Misal matriks transformasi oleh titik $A$ dan $B$ adalah $\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
-5 \\ 6
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 \\ 3
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
-5 \\ 6
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
2a+3b \\
2c+3d
\end{pmatrix} \\
\hline
\begin{pmatrix}
-14 \\ 8
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-1 \\ 4
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
-14 \\ 8
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
-a+4b \\
-c+4d
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2a+3b = -5 & (\times 1) \\
-a+4b = -14 & (\times 2) \\
\hline
2a+3b = -5 & \\
-2a+8b = -28 & (+) \\
\hline
11b = -33 & \\
b = -3 & a = 2
\end{array} $
$\begin{array}{c|c|cc} 2c+3d = 6 & (\times 1) \\ -c+4d = 8 & (\times 2) \\ \hline 2c+3d = 6 & \\ -2c+8d = 16 & (+) \\ \hline 11d = 22 & \\ d = 2 & c = 0 \end{array} $
Matriks transformasi adalah $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$,
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$
24. Soal Latihan Transformasi Geometri
Transformasi yang memetakan titik $P\left( 4,3 \right)$ ke titik $A'\left( 3,-4 \right)$ dan titik $Q\left( -5,2 \right)$ ke titik $A'\left( 2,5 \right)$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ ditransformasikan oleh sebuah matriks $\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$, maka bayangan titik $A$ adalah:
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$
Misal matriks transformasi oleh titik $P$ dan $Q$ adalah $\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
3 \\ -4
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 \\ 3
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
3 \\ -4
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
4a+3b \\
4c+3d
\end{pmatrix} \\
\hline
\begin{pmatrix}
2 \\ 5
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-5 \\ 2
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
2 \\ 5
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
-5a+2b \\
-5c+2d
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
4a+3b = 3 & (\times 2) \\
-5a+2b = 2 & (\times 3) \\
\hline
8a+6b = 6 & \\
-15a+6b = 6 & (-) \\
\hline
23a = 0 & \\
a = 0 & b = 1
\end{array} $
$\begin{array}{c|c|cc} 4c+3d = -4 & (\times 2) \\ -5c+2d = 5 & (\times 3) \\ \hline 8c+6d = -8 & \\ -15c+6d = 15 & (-) \\ \hline 23c = -23 & \\ c = -1 & d = 0 \end{array} $
Matriks transformasi adalah $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$,
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
25. Soal Latihan Transformasi Geometri
Sebuah titik $P\left( x,y \right)$ ditransformasikan dengan matriks $\begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ menghasilkan bayangan $P' \left( -6,10 \right)$. Koordinat titik $P$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left( 3,-4 \right) \\ (B)\ & \left( -3,4 \right) \\ (C)\ & \left( 2,-3 \right) \\ (D)\ & \left( -2,3 \right) \\ (E)\ & \left( 3,2 \right) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ ditransformasikan oleh sebuah matriks $\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$, maka bayangan titik $A$ adalah:
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$
Untuk titik $P\left( x,y \right)$ yang ditransformasikan oleh $\begin{pmatrix}
-2 & -3 \\
2 & 4
\end{pmatrix}$ menghasilkan bayangan $P' \left( -6,10 \right)$, dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
-6 \\ 10
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
-2 & -3 \\
2 & 4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
-6 \\ 10
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
-2x-3y \\
2x+ 4y
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
-2x-3y = -6 & \\
2x+ 4y = 10 & (+) \\
\hline
y = 4 & x = -3
\end{array} $
Titik $P\left( x,y \right)=P\left( -3,4 \right)$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left( -3,4 \right)$
26. Soal Latihan Transformasi Geometri
Sebuah titik $A\left( p,3 \right)$ ditransformasikan dengan matriks $\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ menghasilkan bayangan $A' \left( -8, 0 \right)$. Nilai $p=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ ditransformasikan oleh sebuah matriks $\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$, maka bayangan titik $A$ adalah:
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$
Untuk titik $A\left( p,3 \right)$ yang ditransformasikan oleh $\begin{pmatrix}
1 & -2 \\
3 & 2
\end{pmatrix}$ menghasilkan bayangan $A' \left( -8,0 \right)$, dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
-8 \\ 0
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
1 & -2 \\
3 & 2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
p \\ 3
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
-8 \\ 0
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
p-6 \\
3p+6
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $p-6=-8 \rightarrow p=-2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -2$
27. Soal Latihan Transformasi Geometri
Diketahui titik $B \left( -1,3 \right)$. Bayangan titik $P \left( 2,4 \right)$ oleh rotasi sejauh $270^{\circ}$ dengan pusat $B$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left( 3,-5 \right) \\ (B)\ & \left( 6,3 \right) \\ (C)\ & \left( 2,-4 \right) \\ (D)\ & \left( 1,-4 \right) \\ (E)\ & \left( 0,0 \right) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $270^{\circ}$ dengan pusat $B(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
cos\ 270^{\circ} & - sin\ 270^{\circ} \\
sin\ 270^{\circ} & cos\ 270^{\circ}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-a\\y-b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-a\\y-b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}
\end{align}$
Untuk titik $P \left( 2,4 \right)$ oleh rotasi $270^{\circ}$ dengan pusat $B \left(-1, 3 \right)$ maka bayangan titik dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2+1 \\ 4-3
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
-1 \\ 3
\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3 \\ 1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
-1 \\ 3
\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}
(0)(3)+(1)(1) \\
(-1)(3)+(0)(1)
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
-1 \\ 3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 \\ 0
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left( 0, 0 \right)$
28. Soal Latihan Transformasi Geometri
Sebuah ruas garis $AB$ dimana $A \left(3,-2 \right)$ dan $B \left(p,5 \right)$. Jika ruas garis tersebut dicerminkan terhadap garis $x = a$ akan diperoleh bayangan $A' \left( 5,-2 \right)$ dan $B' \left( 10,5 \right)$. Nilai $p = \cdots$
$\begin{align} (A)\ & -4 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $x=k$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( 2k-x,y \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2k \\ 0
\end{pmatrix}$
Untuk titik $A \left( 3,-2 \right)$ yang direfleksikan terhadap $x=a$ bayangannya adalah $A'\left( 5,-2 \right)$, maka dapat kita peroleh $5=2a-3 \rightarrow a=4$.
Untuk $a=4$ bayangan titik $B\left( p,5 \right)$ adalah $B'\left( 10,5 \right)$, maka kita peroleh $10=2(4)-p \rightarrow p=-2 $
Dengan menggunakan matriks, Untuk titik $A \left( 3,-2 \right)$ yang direfleksikan terhadap $x=a$ bayangannya adalah $A'\left( 5,-2 \right)$, maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
5 \\ -2
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3 \\ -2
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2a \\ 0
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
5 \\ -2
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
(-1)(3)+(0)(-2) \\
(0)(3)+(1)(-2) \\
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2a \\ 0
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
5 \\ -2
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
-3+ 2a \\ -2
\end{pmatrix} \\
\hline
5 &= -3+2a \\
a &= 4
\end{align}$
Untuk titik $B \left( p,5 \right)$ yang direfleksikan terhadap $x=4$ bayangannya adalah $B'\left( 10,5 \right)$, maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
10 \\ 5
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
p \\ 5
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2(4) \\ 0
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
10 \\ 5
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
-p \\
5 \\
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
8 \\ 0
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
10 \\ 5
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
-p+8 \\
5 \\
\end{pmatrix} \\
\hline
10 &= -p+8 \\
-2 &= p
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -2$
29. Soal Latihan Transformasi Geometri
Titik $A\left( x,y \right)$ ditransformasikan oleh matriks $\begin{pmatrix} -5 & -3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ menghasilkan bayangan titik $A' \left( 2,4 \right)$. Koordinat titik $A$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left( 7,0 \right) \\ (B)\ & \left( -3,8 \right) \\ (C)\ & \left( 6,-1 \right) \\ (D)\ & \left( -3,0 \right) \\ (E)\ & \left( 8,-14 \right) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika titik $A(x,y)$ ditransformasikan oleh sebuah matriks $\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$, maka bayangan titik $A$ adalah:
$A'=\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$
Untuk titik $A\left( x,y \right)$ yang ditransformasikan oleh $\begin{pmatrix}
-5 & -3 \\
4 & 2
\end{pmatrix}$ menghasilkan bayangan $A' \left( 2,4 \right)$, dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
2 \\ 4
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
-5 & -3 \\
4 & 2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
2 \\ 4
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
-5x-3y \\
4x+ 2y
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
-5x-3y = 2 & (\times 2) \\
4x+ 2y = 4 & (\times 3) \\
\hline
-10x-6y = 4 & \\
12x+ 6y = 12 & ( + ) \\
\hline
2x = 16 & x = 8 \\
y = -14 &
\end{array} $
Titik $A\left( x,y \right)=A\left( 8,-14 \right)$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left( 8,-14 \right)$
30. Soal Latihan Transformasi Geometri
Titik $\left(5,20 \right)$ adalah bayangan dari titik $\left( 3,-9 \right)$ oleh translasi $\begin{bmatrix} p \\ -4 \end{bmatrix}$ dilanjutkan translasi $\begin{bmatrix} 3 \\ q \end{bmatrix}$. Nilai $p$ dan $q$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 6\ \text{dan}\ 13 \\ (B)\ & -1\ \text{dan}\ 13 \\ (C)\ & 6\ \text{dan}\ 33 \\ (D)\ & -1\ \text{dan}\ 33 \\ (E)\ & -1\ \text{dan}\ 6 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Kita ketahui bahwa jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x+a,y+b \right)$
Misal titik $(3,-9)$ adalah titip $P$ sehingga bayangannya adalah $P'\left(5,20 \right)$.
$P\left(3,-9 \right)$ di translasi sejauh $\begin{bmatrix}
p \\ -4
\end{bmatrix}$ dan dilanjutkan $\begin{bmatrix}
3 \\ q
\end{bmatrix}$ maka bayangannya adalah $P'\left( 3+p+3, -9-4+q \right)$.
Diketahui bahwa $P'\left( 5,20 \right)$, sehingga $\left( 6+p,q-13 \right) \equiv \left( 5,20 \right)$ dan dapat kita peroleh $6+p=5 \rightarrow p=-1$ dan $q-13=20 \rightarrow q=33$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1\ \text{dan}\ 33$
Beberapa pembahasan soal Transformasi Geometri, Soal Latihan dan Pembahasan Jenis Transformasi Pada Sebuah Titik di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan tentang Mengenal Jenis-jenis Transformasi Pada Sebuah Titik dan Pembahasan 20+ Soal Latihan di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
