--> Skip to main content

Transformasi Geometri, Soal Latihan dan Pembahasan Jenis Transformasi Pada Sebuah Titik


Calon guru belajar matematika dasar kelompok IPA, IPS, atau Bahasa dari Transformasi Geometri, Soal Latihan dan Pembahasan Jenis Transformasi Pada Sebuah Titik. Catatan ini kita khususkan untuk membahas macam-macam transformasi geometri pada sebuah titik.

Transformasi geometri adalah suatu proses pemetaan satu-satu (one-one) dari sembarang atau beberapa titik di suatu bidang ke titik lain atau beberapa titik di bidang tersebut. Titik lain di bidang tersebut disebut bayangan atau peta.

Jenis Transformasi


  1. Translasi (Pergeseran)
  2. Refleksi (Pencerminan)
  3. Rotasi (Perputaran)
  4. Dilatasi Perkalian

1. TRANSLASI (PERGESERAN)


Translasi (Pergeseran) merupakan transformasi isometri dari setiap titik dengan jarak dan arah yang tetap.

Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right)$.

$\left( x',y' \right)=T+(x,y)=\left( x+a,y+b \right)$

$\left( x',y' \right)= \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix}+(x,y)=\left( x+a,y+b \right)$


2. REFLESKI (PENCERMINAN)


Refleksi (Pencerminan) merupakan suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada suatu bidang dengan menggunakan sifat-sifat bayangan pada suatu cermin.

Beberapa pencerminan yang mungkin dapat dilakukan terhadap sebuah objek, diantaranya adalah:
  • Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$X$ ($y=0$) maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x,-y \right)$.
    Dengan menggunakan matriks:
    $A'=\begin{pmatrix}
    x'\\y'
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    1 & 0\\ 0 & -1
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
    x\\y
    \end{pmatrix}$
  • Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=k$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x,2k-y \right)$.
    Dengan menggunakan matriks,
    $A'=\begin{pmatrix}
    x'\\y'
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    1 & 0\\ 0 & -1
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
    x\\y
    \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
    0\\2k
    \end{pmatrix}$
  • Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$Y$ ($x=0$) maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -x,y \right)$.
    Dengan menggunakan matriks,
    $A'=\begin{pmatrix}
    x'\\y'
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    -1 & 0\\ 0 & 1
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
    x\\y
    \end{pmatrix}$
  • Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $x=k$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( 2k-x,y \right)$.
    Dengan menggunakan matriks,
    $A'=\begin{pmatrix}
    x'\\y'
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    -1 & 0\\ 0 & 1
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
    x\\y
    \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
    2k\\0
    \end{pmatrix}$
  • Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap titik pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -x,-y \right)$.
    Dengan menggunakan matriks,
    $A'=\begin{pmatrix}
    x'\\y'
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    -1 & 0\\ 0 & -1
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
    x\\y
    \end{pmatrix}$
  • Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap titik $(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( 2a-x,2b-y \right)$.
    Dengan menggunakan matriks,
    $A'=\begin{pmatrix}
    x'\\y'
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    -1 & 0\\ 0 & -1
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
    x\\y
    \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
    2a\\2b
    \end{pmatrix}$
  • Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( y,x \right)$
    Dengan menggunakan matriks,
    $A'=\begin{pmatrix}
    x'\\y'
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    0 & 1\\ 1 & 0
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
    x\\y
    \end{pmatrix}$
  • Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=-x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -y,-x \right)$
    Dengan menggunakan matriks,
    $A'=\begin{pmatrix}
    x'\\y'
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    0 & -1\\ -1 & 0
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
    x\\y
    \end{pmatrix}$

3. ROTASI (PERPUTARAN)


Rotasi (Perputaran) sebuah titik atau beberapa titik ditentukan oleh pusat rotasi $P(a,b)$ dan besar sudut rotasi ($\theta$).
  • Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(x',y')$ dimana
    $x'= \left (x\ cos\ \theta-y\ sin\ \theta \right )$
    $y'= \left (x\ sin\ \theta+y\ cos\ \theta \right )$
    Dengan menggunakan matriks,
    $A'=\begin{pmatrix}
    x'\\y'
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    cos\ \theta & - sin\ \theta\\ sin\ \theta & cos\ \theta
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
    x \\y
    \end{pmatrix}$
  • Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(x',y')$ dimana
    $x'= \left (x\ cos\ \theta-y\ sin\ \theta \right )+\left (a\ sin\ \theta-b\ cos\ \theta \right )+a$
    $y'= \left (x\ sin\ \theta+y\ cos\ \theta \right )-\left (b\ cos\ \theta+a\ sin\ \theta \right )+b$
    Dengan menggunakan matriks,
    $A'=\begin{pmatrix}
    x'\\y'
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    cos\ \theta & - sin\ \theta\\ sin\ \theta & cos\ \theta
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
    x-a\\y-b
    \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
    a\\ b
    \end{pmatrix}$
Perlu diingat besar sudut $\theta$ jika diputar berlawanan arah jarum jam bernilai $(+)$ sedangkan besar sudut $\theta$ jika diputar searah arah jarum jam bernilai $(-)$.

4. DILATASI (PERKALIAN)


Dilatasi (Perkalian) adalah transformasi yang mengubah ukuran (diperbesar atau diperkecil) suatu bangun yang sebangun.
  • Jika titik $A(x,y)$ dilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(kx,ky)$
    Dengan menggunakan matriks,
    $A'=\begin{pmatrix}
    x'\\y'
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    k & 0\\ 0 & k
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
    x \\y
    \end{pmatrix}$
  • Jika titik $A(x,y)$ dilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(x',y')$ dimana
    $x'= k\left (x-a \right )+a$
    $y'= k\left (y-b \right )+b$
    Dengan menggunakan matriks,
    $A'=\begin{pmatrix}
    x'\\y'
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    k & 0\\ 0 & k
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
    x-a\\y-b
    \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
    a\\ b
    \end{pmatrix}$

Untuk menambah pemahaman kita terkait Macam-Macam Transformasi Pada Sebuah Titik di atas mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Matematika SMA Kurikulum 2013..


Untuk soal Transformasi Geometri yang sudah pernah diujikan pada seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri silahkan di simak pada Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Transformasi Geometri.


1. Soal Latihan Transformasi Geometri

Bayangan titik $A \left(-4, 7 \right)$ jika digeser menurut matriks $T = \begin{bmatrix} - 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left ( -2,4 \right ) \\ (B)\ & \left ( -6,10 \right ) \\ (C)\ & \left ( 3,2 \right ) \\ (D)\ & \left ( -5,3 \right ) \\ (E)\ & \left ( 2,-5 \right ) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Kita ketahui bahwa jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x+a,y+b \right)$


Untuk titik $A(-4,7)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix}$ maka bayangannya adalah $A'\left( -4-2,7+3 \right)=\left( -6,10 \right)$

Transformasi Geometri, Soal dan Pembahasan Macam-Macam Transformasi Pada Sebuah Titik

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left ( -6,10 \right )$

2. Soal Latihan Transformasi Geometri

Sebuah titik $P$ ditranslasikan sejauh $T = \begin{bmatrix} - 2 \\ 5 \end{bmatrix}$ sehingga diperoleh titik bayangan $P' \left(-4, 7 \right)$. Koordinat titik $P$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left ( -1,1 \right ) \\ (B)\ & \left ( 1,-1 \right ) \\ (C)\ & \left ( -3,1 \right ) \\ (D)\ & \left ( 3,-1 \right ) \\ (E)\ & \left ( -2,3 \right ) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Kita ketahui bahwa jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x+a,y+b \right)$


Untuk titik $P(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{bmatrix} -2 \\ 5 \end{bmatrix}$ maka bayangannya adalah $P'\left( x-2,y+5 \right)$.
Diketahui bahwa $P'\left( -1,4 \right)$, sehingga $\left( x-2,y+5 \right) \equiv \left( -1,4 \right)$ dan dapat kita peroleh $x-2=-1 \rightarrow x=1$ dan $y+4=5 \rightarrow y=1$. Titik $P\left( -1,1 \right)$

Transformasi Geometri, Soal dan Pembahasan Macam-Macam Transformasi Pada Sebuah Titik

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left ( -6,10 \right )$

3. Soal Latihan Transformasi Geometri

Sebuah titik $A \left(6, 1 \right)$ ditranslasikan sejauh T sehingga diperoleh peta $A' \left(-2, 5 \right)$. Translasi $T$ tersebut adalah...

$\begin{align} (A)\ & \begin{bmatrix} -4 \\ 6 \end{bmatrix} \\ (B)\ & \begin{bmatrix} 4 \\ -6 \end{bmatrix} \\ (C)\ & \begin{bmatrix} 8 \\ -4 \end{bmatrix} \\ (D)\ & \begin{bmatrix} -8 \\ 4 \end{bmatrix} \\ (E)\ & \begin{bmatrix} 5 \\ -2 \end{bmatrix} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Kita ketahui bahwa jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x+a,y+b \right)$


Untuk titik $A \left(6, 1 \right)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ yang bayangannya adalah $A'\left( 6+a,1+b \right)$.
Diketahui bahwa $A'\left( -2,5 \right)$, sehingga $\left( 6+a,1+b \right) \equiv \left( -2,5 \right)$ dan dapat kita peroleh $6+a=-2 \rightarrow a=-8$ dan $1+b=5 \rightarrow b=4$. Translasi $T=\begin{bmatrix} -8 \\ 4 \end{bmatrix}$

Transformasi Geometri, Soal dan Pembahasan Macam-Macam Transformasi Pada Sebuah Titik

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \begin{bmatrix} -8 \\ 4 \end{bmatrix}$

4. Soal Latihan Transformasi Geometri

Sebuah titik $R \left(-7, 5 \right)$ digeser sehingga diperoleh bayangan $R' \left(-1, 0 \right)$. Dengan translasi yang sama titik $S \left(4, 2 \right)$ akan bergeser menjadi $S'$. Koordinat $S'$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left ( -5,6 \right ) \\ (B)\ & \left ( 3,5 \right ) \\ (C)\ & \left ( 1,-5 \right ) \\ (D)\ & \left ( 2,-6 \right ) \\ (E)\ & \left ( 10,-3 \right ) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Kita ketahui bahwa jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x+a,y+b \right)$


Untuk titik $R \left(-7, 5 \right)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ maka bayangannya adalah $R'\left( -7+a,5+b \right)$.
Diketahui bahwa $R'\left( -1,0 \right)$, sehingga $\left( -7+a,5+b \right) \equiv \left( -1,0 \right)$ dan dapat kita peroleh $-7+a=-1 \rightarrow a=6$ dan $5+b=0 \rightarrow b=-5$.
Translasi $T=\begin{bmatrix} 6 \\ -5 \end{bmatrix}$


Untuk titik $S(4,2)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{bmatrix} 6 \\ -5 \end{bmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( 4+6,2-5 \right)=\left( 10,-3 \right)$

Transformasi Geometri, Soal dan Pembahasan Macam-Macam Transformasi Pada Sebuah Titik

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left( 10,-3 \right)$

5. Soal Latihan Transformasi Geometri

Jika titik $A \left(2, 1 \right)$ dan titik $B \left(-3, 5 \right)$ diputar sejauh $90^{\circ}$ dengan pusat $O \left(0, 0 \right)$ maka diperoleh banyangan $A'$ dan $B'$. Koordinat bayangan itu adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left ( 1,2 \right )\ \text{dan}\ \left ( 5,-3 \right) \\ (B)\ & \left ( 1,-2 \right )\ \text{dan}\ \left ( -5,-3 \right) \\ (C)\ & \left ( -2,-1 \right )\ \text{dan}\ \left ( 3,-5 \right) \\ (D)\ & \left ( -1,2 \right )\ \text{dan}\ \left ( -5, -3 \right) \\ (E)\ & \left( 2,3 \right )\ \text{dan}\ \left ( 3,1 \right ) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $90^{\circ}$ dengan pusat $O(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix} cos\ 90^{\circ}& - sin\ 90^{\circ} \\ sin\ 90^{\circ}& cos\ 90^{\circ} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} \\ \end{align}$


Untuk titik $A \left(2, 1 \right)$ dan titik $B \left(-3, 5 \right)$, bayangannya adalah:
$\begin{align} A'\ &= \begin{pmatrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (0)(2)+(-1)(1) \\ (1)(2)+(0)(1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ \hline B'\ &= \begin{pmatrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (0)(-3)+(-1)(5) \\ (1)(-3)+(0)(5) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5 \\ -3 \end{pmatrix} \\ \end{align}$

Transformasi Geometri, Soal dan Pembahasan Macam-Macam Transformasi Pada Sebuah Titik

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left ( -1,2 \right )\ \text{dan}\ \left ( -5, -3 \right)$

6. Soal Latihan Transformasi Geometri

Sebuah titik $P \left( x,y \right)$ dirotasikan sejauh $45^{\circ}$ dengan pusat $O \left(0, 0 \right)$ sehingga diperoleh banyangan $P' \left(5\sqrt{2}, \sqrt{2} \right)$. Koordinat titik $P$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left ( -6,4 \right) \\ (B)\ & \left ( 6,-4 \right) \\ (C)\ & \left ( -3,2 \right) \\ (D)\ & \left ( 3,-2 \right) \\ (E)\ & \left( 4,3 \right ) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $45^{\circ}$ dengan pusat $O(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix} cos\ 45^{\circ}& - sin\ 45^{\circ} \\ sin\ 45^{\circ}& cos\ 45^{\circ} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} \\ \end{align}$


Untuk titik $P \left( x,y \right)$ dan titik bayangannya $P' \left(5\sqrt{2}, \sqrt{2} \right)$ dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \begin{pmatrix} 5\sqrt{2} \\ \sqrt{2} \end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 5\sqrt{2} \\ \sqrt{2} \end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{2}x- \frac{1}{2}\sqrt{2}y \\ \frac{1}{2}\sqrt{2}x+ \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{pmatrix} \end{align}$


Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc} \frac{1}{2}\sqrt{2}x- \frac{1}{2}\sqrt{2}y = 5\sqrt{2} & \\ \frac{1}{2}\sqrt{2}x+ \frac{1}{2}\sqrt{2}y = \sqrt{2} & (+)\\ \hline \sqrt{2}x = 6\sqrt{2} & \\ x = 6 & y= -4 \end{array} $

Transformasi Geometri, Soal dan Pembahasan Macam-Macam Transformasi Pada Sebuah Titik

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left ( 6,-4 \right)$

7. Soal Latihan Transformasi Geometri

Sebuah titik $B \left( 2\sqrt{3} , 6 \right)$ dirotasikan sejauh $\alpha$ dengan pusat $O \left(0, 0 \right)$ sehingga diperoleh banyangan $B' \left( -6,-2\sqrt{3} \right)$. Nilai $\alpha$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 30^{\circ} \\ (B)\ & 150^{\circ} \\ (C)\ & 210^{\circ} \\ (D)\ & 225^{\circ} \\ (E)\ & 330^{\circ} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\alpha$ dengan pusat $O(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix} cos\ \alpha & - sin\ \alpha \\ sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} \end{align}$


Untuk titik $B \left( 2\sqrt{3} , 6 \right)$ dan titik bayangannya $B' \left( -6,-2\sqrt{3} \right)$ dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \begin{pmatrix} -6 \\ -2\sqrt{3} \end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix} cos\ \alpha & - sin\ \alpha \\ sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\sqrt{3} \\ 6 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -6 \\ -2\sqrt{3} \end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix} 2\sqrt{3}cos\ \alpha - 6sin\ \alpha \\ 2\sqrt{3}sin\ \alpha + 6cos\ \alpha \end{pmatrix} \end{align}$


Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc} 2\sqrt{3}cos\ \alpha - 6sin\ \alpha = -6 & (\times) 6 \\ 6cos\ \alpha + 2\sqrt{3}sin\ \alpha = -2\sqrt{3} & (\times) 2\sqrt{3} \\ \hline 12\sqrt{3}cos\ \alpha - 36sin\ \alpha = -36 & \\ 12\sqrt{3}cos\ \alpha + 12 sin\ \alpha = -12 & (-) \\ \hline -48 sin\ \alpha = -24 & \\ sin\ \alpha = \frac{1}{2} & \\ \alpha = 30^{\circ},150^{\circ} \end{array} $
$\begin{array}{c|c|cc} 2\sqrt{3}cos\ \alpha - 6sin\ \alpha = -6 & (\times) 2\sqrt{3} \\ 6cos\ \alpha + 2\sqrt{3}sin\ \alpha = -2\sqrt{3} & (\times) 6 \\ \hline 12 cos\ \alpha - 12\sqrt{3}sin\ \alpha = -12\sqrt{3} & \\ 36 cos\ \alpha + 12\sqrt{3} sin\ \alpha = -12\sqrt{3} & (+) \\ \hline 48 cos\ \alpha = -24\sqrt{3} & \\ cos\ \alpha = -\frac{1}{2} \sqrt{3} & \\ \alpha = 150^{\circ},210^{\circ} & \\ \end{array} $

Nilai $\alpha$ yang memenuhi pada $sin\ \alpha$ dan $cos\ \alpha$ adalah $150^{\circ}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 150^{\circ}$

8. Soal Latihan Transformasi Geometri

Matriks yang bersesuaian dengan rotasi sejauh $\frac{4}{3} \pi$ dengan pusat $O \left(0, 0 \right)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{bmatrix} \\ (B)\ & \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \\ (C)\ & \begin{bmatrix} -\frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & -1 \end{bmatrix} \\ (D)\ & \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{bmatrix} \\ (E)\ & \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\alpha$ dengan pusat $O(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix} cos\ \alpha & - sin\ \alpha \\ sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} \end{align}$


Untuk sudut rotasi $ \frac{4}{3} \pi=240^{\circ} $ dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix} cos\ 240^{\circ} & - sin\ 240^{\circ} \\ sin\ 240^{\circ} & cos\ 240^{\circ} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} cos\ \left( 180^{\circ}+60^{\circ} \right) & - sin\ \left( 180^{\circ}+60^{\circ} \right) \\ sin\ \left( 180^{\circ}+60^{\circ} \right) & cos\ \left( 180^{\circ}+60^{\circ} \right) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -cos\ 60^{\circ} & sin\ 60^{\circ} \\ -sin\ 60^{\circ} & - cos\ 60^{\circ} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$

9. Soal Latihan Transformasi Geometri

Bayangan titik $P \left(2, 6 \right)$ jika diputar sejauh $\frac{1}{8}$ putaran dengan arah berlawan jarum jam dan pusat $O \left(0, 0 \right)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left (-2\sqrt{2},4\sqrt{2} \right) \\ (B)\ & \left (-\sqrt{2},4\sqrt{2} \right) \\ (C)\ & \left (2\sqrt{2},-6\sqrt{2} \right) \\ (D)\ & \left (\sqrt{2},-3\sqrt{2} \right) \\ (E)\ & \left (\sqrt{2},4\sqrt{2} \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\frac{1}{8}$ putaran dengan arah berlawan jarum jam atau $\frac{1}{8} \times 360^{\circ}=45^{\circ}$ dengan pusat $O(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix} cos\ 45^{\circ}& - sin\ 45^{\circ} \\ sin\ 45^{\circ}& cos\ 45^{\circ} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} \\ \end{align}$


Untuk titik $P \left( 2,6 \right)$ maka bayangan titik dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \\ \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \sqrt{2} \\ 4 \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{align}$

Transformasi Geometri, Soal dan Pembahasan Macam-Macam Transformasi Pada Sebuah Titik

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left (-2\sqrt{2},4\sqrt{2} \right)$


10. Soal Latihan Transformasi Geometri

Matriks $\begin{bmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{bmatrix}$ bersesuaian dengan rotasi sejauh $\alpha$ dan berpusat di $O \left(0, 0 \right)$. Nilai $\alpha$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 30^{\circ} \\ (B)\ & 60^{\circ} \\ (C)\ & 150^{\circ} \\ (D)\ & 210^{\circ} \\ (E)\ & 330^{\circ} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\alpha$ dengan pusat $O(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix} cos\ \alpha & - sin\ \alpha \\ sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} \end{align}$


Matriks $\begin{bmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{bmatrix}$ bersesuaian dengan $\begin{pmatrix} cos\ \alpha & - sin\ \alpha \\ sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix}$, sehingga kita peroleh $sin\ \alpha=-\frac{1}{2} \rightarrow \alpha=210^{\circ},330^{\circ}$ dan $cos\ \alpha= \frac{1}{2}\sqrt{3} \rightarrow \alpha=30^{\circ},330^{\circ}$. Nilai $\alpha$ yang memenuhi pada $sin\ \alpha$ dan $cos\ \alpha$ adalah $\alpha=330^{\circ} $


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 330^{\circ}$

11. Soal Latihan Transformasi Geometri

Sebuah titik $P \left(-5,10 \right)$ dirotasikan sejauh $\alpha$ dengan pusat $O \left(0, 0 \right)$ sehingga diperoleh bayangan $P'$. Jika diketahui $cos\ \alpha = \frac{3}{5}$ dalam interval $0^{\circ} \lt \alpha \lt 90^{\circ}$, maka koordinat titik $P$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left(-14,10 \right) \\ (B)\ & \left(15,3 \right) \\ (C)\ & \left(10,-5 \right) \\ (D)\ & \left(-11,2 \right) \\ (E)\ & \left(12,-8 \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\alpha$ dengan pusat $O(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix} cos\ \alpha & - sin\ \alpha \\ sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} \end{align}$


Pada soal dikatakan bahwa $cos\ \alpha = \frac{3}{5}$, sehingga dengan menggunakan identitas trigonometri dasar $sin^{2} \alpha+cos^{2} \alpha = 1$ kita peroleh $sin\ \alpha = \frac{4}{5}$


Untuk titik $P \left(-5,10 \right)$ maka bayangan titik dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -5 \\ 10 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix} -3- 8 \\ -4 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 \\ 2 \end{pmatrix} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left(-11,2 \right)$

12. Soal Latihan Transformasi Geometri

Bayangan titik $Q \left(6,5 \right)$ oleh rotasi dengan pusat $B \left(-5, 1 \right)$ sejauh $270^{\circ}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left(-1,10 \right) \\ (B)\ & \left(-11,-10 \right) \\ (C)\ & \left(-1,-10 \right) \\ (D)\ & \left(-11,0 \right) \\ (E)\ & \left(-1,0 \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $270^{\circ}$ dengan pusat $B(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} cos\ 270^{\circ} & - sin\ 270^{\circ} \\ sin\ 270^{\circ} & cos\ 270^{\circ} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-a\\y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-a\\y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix} \end{align}$


Untuk titik $Q \left(6,5 \right)$ oleh rotasi $270^{\circ}$ dengan pusat $B \left(-5, 1 \right)$ maka bayangan titik dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6+5\\5-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -5 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 11 \\ 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -5 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} (0)(11)+(1)(4) \\ (-1)(11)+(0)(4) \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -5 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 10 \end{pmatrix} \end{align}$

Transformasi Geometri, Soal dan Pembahasan Macam-Macam Transformasi Pada Sebuah Titik

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left(-1,-10 \right)$

13. Soal Latihan Transformasi Geometri

Bayangan titik $R \left(x,y \right)$ oleh rotasi dengan pusat di $A \left(1,4 \right)$ sejauh $90^{\circ}$ adalah $R' \left(2,-3 \right)$. Maka koordinat $R$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left(-6,3 \right) \\ (B)\ & \left(5,-2 \right) \\ (C)\ & \left(6,-4 \right) \\ (D)\ & \left(3,-2 \right) \\ (E)\ & \left(5,-3 \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $90^{\circ}$ dengan pusat $B(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} cos\ 90^{\circ} & - sin\ 90^{\circ} \\ sin\ 90^{\circ} & cos\ 90^{\circ} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-a\\y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-a\\y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix} \end{align}$


Untuk titik $R \left(x,y \right)$ oleh rotasi $90^{\circ}$ dengan pusat $A \left(1, 4 \right)$ dan bayangan titik $R' \left(2,-3 \right)$ dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x+1\\ y-4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} (0)(x-1)+(-1)(y-4) \\ (1)(x-1)+(0)(y-4) \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -y+4 \\ x-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -y+4+1 \\ x-1+4 \end{pmatrix} \end{align}$

Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $-y+5=2 \rightarrow y=3$ dan $x+3=-3 \rightarrow x=-6$, sehingga titik $R \left(-6,3 \right)$

Transformasi Geometri, Soal dan Pembahasan Macam-Macam Transformasi Pada Sebuah Titik

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left(-6,3 \right)$

14. Soal Latihan Transformasi Geometri

Bayangan titik $A \left(4,1 \right)$ dan $R \left( -3,2 \right)$ jika direfleksikan terhadap sumbu $y$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & A'\left( -4,1 \right)\ \text{dan}\ B'\left( 3,-2 \right) \\ (B)\ & A'\left( 4,-1 \right)\ \text{dan}\ B'\left( -3,-2 \right) \\ (C)\ & A'\left( -4,1 \right)\ \text{dan}\ B'\left( 3, 2 \right) \\ (D)\ & D\left( 1,-4 \right)\ \text{dan}\ B'\left( -2,3 \right) \\ (E)\ & A'\left( -4,-1 \right)\ \text{dan}\ B'\left( 3,-2 \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$Y$ ($x=0$) maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -x,y \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix} x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$


Untuk titik $A \left(4,1 \right)$ yang direfleksikan terhadap sumbu-$Y$ bayangannya adalah $A'\left( -4,1 \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y'
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & =\begin{pmatrix} (-1)(4)+(0)(1) \\ (0)(4)+(1)(1) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \end{pmatrix} \\ \end{align}$


Untuk titik $B \left( -3,2 \right)$ yang direfleksikan terhadap sumbu-$Y$ bayangannya adalah $B'\left( 3,2 \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y'
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix} \\ & =\begin{pmatrix} (-1)(-3)+(0)(2) \\ (0)(-3)+(1)(2) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \\ \end{align}$

Transformasi Geometri, Soal dan Pembahasan Macam-Macam Transformasi Pada Sebuah Titik

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ A'\left( -4,1 \right)\ \text{dan}\ B'\left( 3, 2 \right)$

15. Soal Latihan Transformasi Geometri

Sebuah titik $P$ dicerminkan terhadap garis $y = –x$ sehingga diperoleh bayangan $P'\left( -6,2 \right)$. Koordinat $P$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & P\left( 2,6 \right) \\ (B)\ & P\left( -6,-2 \right) \\ (C)\ & P\left( 2, -6 \right) \\ (D)\ & P\left( -2,-6 \right) \\ (E)\ & P\left( -2,6 \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=-x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -y,-x \right)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix} x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$


Untuk titik $P \left( x,y \right)$ yang direfleksikan terhadap $y=-x$ bayangannya adalah $P'\left( -6,2 \right)$ maka titik $P \left( -2,6 \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$\begin{align} \begin{pmatrix} -6\\2 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 0 & -1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -6\\2 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} (0)(x)+(-1)(y) \\ (-1)(x)+(0)(y) \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -6\\2 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} -y \\ -x \end{pmatrix} \\ \left( x,y \right) & = \left( -2,6 \right) \end{align}$

Transformasi Geometri, Soal dan Pembahasan Macam-Macam Transformasi Pada Sebuah Titik

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ P\left( -2,6 \right)$

16. Soal Latihan Transformasi Geometri

Bayangan titik $P\left( 3,-2 \right)$ oleh dilatasi dengan faktor skala $-2$ dan pusat $O\left( 0,0 \right)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & P\left( -6,4 \right) \\ (B)\ & P\left( 6,-4 \right) \\ (C)\ & P\left( 4,-6 \right) \\ (D)\ & P\left( -4,6 \right) \\ (E)\ & P\left( -4,-6 \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika titik $A(x,y)$ dilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(kx,ky)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k & 0\\ 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$


Untuk titik $P\left( 3,-2 \right)$ yang didilatasi dengan faktor skala $-2$ dan pusat $O\left( 0,0 \right)$ bayangannya adalah $P'\left( -6,4 \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$\begin{align} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} -2 & 0\\ 0 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} \\ & =\begin{pmatrix} (-2)(3)+(0)(-2) \\ (0)(3)+(-2)(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 4 \end{pmatrix} \end{align}$

Transformasi Geometri, Soal dan Pembahasan Macam-Macam Transformasi Pada Sebuah Titik

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ P\left( -6,4 \right)$

17. Soal Latihan Transformasi Geometri

Sebuah titik $A\left( -12, 8 \right)$ didilatasi dengan pusat $O\left( 0,0 \right)$ dan faktor skala $k$ sehingga diperoleh bayangan $A'\left( 3,-2 \right)$. Nilai $k = \cdots$

$\begin{align} (A)\ & -\dfrac{1}{4} \\ (B)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 6 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika titik $A(x,y)$ dilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(kx,ky)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k & 0\\ 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$


Untuk titik $A\left( -12,8 \right)$ yang didilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $O\left( 0,0 \right)$ bayangannya adalah $A'\left( 3,-2 \right)$, maka $k=-\dfrac{1}{4}$
Dengan menggunakan matriks,
$\begin{align} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} k & 0\\ 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -12 \\ 8 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} (k)(-12)+(0)(8) \\ (0)(-12)+(k)(8) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12k \\ 8k \end{pmatrix} \\ 3 = -12k & \rightarrow k=\dfrac{3}{-12}=-\dfrac{1}{4} \end{align}$

Transformasi Geometri, Soal dan Pembahasan Macam-Macam Transformasi Pada Sebuah Titik

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\dfrac{1}{4}$

18. Soal Latihan Transformasi Geometri

Sebuah titik $M\left( a,3 \right)$ didilatasi dengan pusat $O\left( 0,0 \right)$ dan faktor skala $k$ sehingga diperoleh bayangan $M'\left( 6,-2 \right)$. Nilai $a = \cdots$

$\begin{align} (A)\ & -9 \\ (B)\ & -5 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 8 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika titik $A(x,y)$ dilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(kx,ky)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k & 0\\ 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$


Untuk titik $M\left( a,3 \right)$ yang didilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $O\left( 0,0 \right)$ bayangannya adalah $A'\left( 6,-2 \right)$, maka $3k=-2$ atau $k=-\dfrac{2}{3}$.
Nilai $a \cdot -\dfrac{2}{3}=6$ atau $a=-9$

Dengan menggunakan matriks,
$\begin{align} \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} k & 0\\ 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} (k)(a)+(0)(3) \\ (0)(a)+(k)(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ak \\ 3k \end{pmatrix} \\ 3k = -2 & \rightarrow k=-\dfrac{2}{3} \\ ak = 6 & \rightarrow a= \dfrac{6}{k}=-9 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -9$

19. Soal Latihan Transformasi Geometri

Sebuah titik $C\left( \frac{2}{3},1 \right)$ didilatasi dengan pusat $O\left( 0,0 \right)$ dan faktor skala $k$ sehingga diperoleh peta $C'\left( 4,6 \right)$. Dengan pusat dan skala yang sama, titik $D\left( \frac{5}{6}, -2 \right)$ akan berubah menjadi $D'$. Koordinat $D'$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left( 5,-12 \right) \\ (B)\ & \left( 10,-6 \right) \\ (C)\ & \left( -5, 12 \right) \\ (D)\ & \left( -10,6 \right) \\ (E)\ & \left( 10,24 \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika titik $A(x,y)$ dilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(kx,ky)$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k & 0\\ 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$


Untuk titik $C\left( \frac{2}{3},1 \right)$ yang didilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $O\left( 0,0 \right)$ bayangannya adalah $C'\left( 4,6 \right)$, maka $1k=6$ atau $k=6$.
Untuk titik $D\left( \frac{5}{6}, -2 \right)$ yang didilatasi dengan faktor skala $6$ dan pusat $O\left( 0,0 \right)$ bayangannya adalah $D'\left( 5,-12 \right)$.


Dengan menggunakan matriks,
$\begin{align} \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} k & 0\\ 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} \frac{2}{3}k \\ 1k \end{pmatrix} \\ 1k = 6 & \rightarrow k= 6 \\ \hline \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 6 & 0\\ 0 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{5}{6} \\ -2 \end{pmatrix} \\ & =\begin{pmatrix} 5 \\ -12 \end{pmatrix} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left( 5,-12 \right)$

20. Soal Latihan Transformasi Geometri

Jika titik $P\left( 6,-4 \right)$ didilatasi dengan pusat $ \left( 1,2 \right)$ dan skala $2$. Koordinat bayangannya adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left( 7,10 \right) \\ (B)\ & \left( -9,8 \right) \\ (C)\ & \left( 10,8 \right) \\ (D)\ & \left( 11,-10 \right) \\ (E)\ & \left( 8,-11 \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika titik $A(x,y)$ dilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(x',y')$ dimana:
$\begin{align} x'\ & = k\left (x-a \right )+a \\ y' & = k\left (y-b \right )+b \end{align}$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix} x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k & 0\\ 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-a\\y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}$


Untuk titik $P\left( 6,-4 \right)$ yang didilatasi dengan faktor skala $2$ dan pusat $\left( 1,2 \right)$ bayangannya adalah $P'\left( 11,-10 \right)$
$\begin{align} x'\ & = 2 \left (6-1 \right )+1 \\ & = 11 \\ y' & = 2\left (-4-2 \right )+2 \\ & = -10 \end{align}$.


Dengan menggunakan matriks,
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6-1\\-4-2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ -6 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} (2)(5)+ (0)(-6) \\ (0)(1)+ (2)(-6) \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 11 \\ -10 \end{pmatrix} \end{align}$

Transformasi Geometri, Soal dan Pembahasan Macam-Macam Transformasi Pada Sebuah Titik

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left( 11,-10 \right)$

21. Soal Latihan Transformasi Geometri

Sebuah titik $P\left( -3,4 \right)$ didilatasi dengan pusat $A\left( m,-2 \right)$ dan skala $k$ sehingga diperoleh titik bayangan $P\left( -9,1 \right)$. Nilai $m = \cdots$

$\begin{align} (A)\ & -15 \\ (B)\ & 14 \\ (C)\ & -12 \\ (D)\ & -20 \\ (E)\ & -4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika titik $A(x,y)$ dilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(x',y')$ dimana:
$\begin{align} x'\ & = k\left (x-a \right )+a \\ y' & = k\left (y-b \right )+b \end{align}$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix} x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k & 0\\ 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-a\\y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}$


Untuk titik $P\left( -3,4 \right)$ yang didilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $\left( m,-2 \right)$ bayangannya adalah $P'\left( -9,1 \right)$.
$\begin{align} y' & = k \left (4+2 \right )-2 \\ 1 & = k \left (4+2 \right )-2 \\ 1+2 & = 6k \\ \frac{1}{2} & = k \\ x'\ & = k \left (-3-m \right )+m \\ -9-m\ & = \frac{1}{2} \left ( -3-m \right ) \\ -18-2m\ & = -3-m \\ -18+3 \ & = -m+2m \\ -15 \ & = m \end{align}$.


Dengan menggunakan matriks,
$\begin{align} \begin{pmatrix} -9 \\ 1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} k & 0\\ 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -3-m\\ 4+2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} m \\ -2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -9 \\ 1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -3k-mk \\ 6k \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} m \\ -2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -9 \\ 1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -3k-mk+m \\ 6k-2 \end{pmatrix} \\ 6k-2=1 & \rightarrow k=\frac{1}{2} \end{align}$


Untuk nilai $k=\frac{1}{2}$, kita peroleh:
$\begin{align} -3k-mk+m=-9 & \rightarrow -\frac{3}{2} + \frac{1}{2} m=-9 \\ & \rightarrow -3 + m=- 18 \\ & \rightarrow m=-15 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -15$

22. Soal Latihan Transformasi Geometri

Titik $P\left( -3,4 \right)$ ditransformasikan dengan matriks $\begin{pmatrix} a-2 & -1 \\ a & 3 \end{pmatrix}$ menghasilkan bayangan $P' \left( 8,18 \right)$. Sedangkan titik $Q\left( -2,-1 \right)$ ditransformasikan dengan matriks yang sama akan menghasilkan bayangan...

$\begin{align} (A)\ & \left( 9,1 \right) \\ (B)\ & \left( 1,9 \right) \\ (C)\ & \left( -1,9 \right) \\ (D)\ & \left( -9,-1 \right) \\ (E)\ & \left( -9,-7 \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika titik $A(x,y)$ ditransformasikan oleh sebuah matriks $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, maka bayangan titik $A$ adalah:
$A'=\begin{pmatrix} x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}$


Untuk titik $P\left( -3,4 \right)$ yang ditransformasikan oleh $\begin{pmatrix} a-2 & -1 \\ a & 3 \end{pmatrix}$ menghasilkan bayangan $P' \left( 8,18 \right)$, dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \begin{pmatrix} 8 \\ 18 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} a-2 & -1 \\ a & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 8 \\ 18 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -3a+6-4 \\ -3a+12 \end{pmatrix} \\ \hline -3a+6-4 &= 8 \\ -3a &= 6 \\ a &= -2 \end{align}$


Untuk $a=-2$ matriks trasnformasinya adalah $\begin{pmatrix} a-2 & -1 \\ a & 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -4 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ maka bayangan titik $Q \left( -2,-1 \right)$ adalah:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -4 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} (-4)(-2)+(-1)(-1) \\ (-2)(-2)+(3)(-1) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 9 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left( 9,1 \right)$

23. Soal Latihan Transformasi Geometri

Titik $A\left( 2,3 \right)$ dan $B\left( -1,4 \right)$ ditransformasikan dengan suatu matriks sehingga diperoleh bayangan $A'\left( -5,6 \right)$ dan $B'\left( -14,8 \right)$. Matriks tersebut adalah...

$\begin{align} (A)\ & \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika titik $A(x,y)$ ditransformasikan oleh sebuah matriks $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, maka bayangan titik $A$ adalah:
$A'=\begin{pmatrix} x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}$


Misal matriks transformasi oleh titik $A$ dan $B$ adalah $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \begin{pmatrix} -5 \\ 6 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -5 \\ 6 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 2a+3b \\ 2c+3d \end{pmatrix} \\ \hline \begin{pmatrix} -14 \\ 8 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -14 \\ 8 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -a+4b \\ -c+4d \end{pmatrix} \end{align}$


Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc} 2a+3b = -5 & (\times 1) \\ -a+4b = -14 & (\times 2) \\ \hline 2a+3b = -5 & \\ -2a+8b = -28 & (+) \\ \hline 11b = -33 & \\ b = -3 & a = 2 \end{array} $

$\begin{array}{c|c|cc} 2c+3d = 6 & (\times 1) \\ -c+4d = 8 & (\times 2) \\ \hline 2c+3d = 6 & \\ -2c+8d = 16 & (+) \\ \hline 11d = 22 & \\ d = 2 & c = 0 \end{array} $

Matriks transformasi adalah $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$,

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

24. Soal Latihan Transformasi Geometri

Transformasi yang memetakan titik $P\left( 4,3 \right)$ ke titik $A'\left( 3,-4 \right)$ dan titik $Q\left( -5,2 \right)$ ke titik $A'\left( 2,5 \right)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika titik $A(x,y)$ ditransformasikan oleh sebuah matriks $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, maka bayangan titik $A$ adalah:
$A'=\begin{pmatrix} x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}$


Misal matriks transformasi oleh titik $P$ dan $Q$ adalah $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 4a+3b \\ 4c+3d \end{pmatrix} \\ \hline \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -5a+2b \\ -5c+2d \end{pmatrix} \end{align}$


Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc} 4a+3b = 3 & (\times 2) \\ -5a+2b = 2 & (\times 3) \\ \hline 8a+6b = 6 & \\ -15a+6b = 6 & (-) \\ \hline 23a = 0 & \\ a = 0 & b = 1 \end{array} $

$\begin{array}{c|c|cc} 4c+3d = -4 & (\times 2) \\ -5c+2d = 5 & (\times 3) \\ \hline 8c+6d = -8 & \\ -15c+6d = 15 & (-) \\ \hline 23c = -23 & \\ c = -1 & d = 0 \end{array} $

Matriks transformasi adalah $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$,

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

25. Soal Latihan Transformasi Geometri

Sebuah titik $P\left( x,y \right)$ ditransformasikan dengan matriks $\begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ menghasilkan bayangan $P' \left( -6,10 \right)$. Koordinat titik $P$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left( 3,-4 \right) \\ (B)\ & \left( -3,4 \right) \\ (C)\ & \left( 2,-3 \right) \\ (D)\ & \left( -2,3 \right) \\ (E)\ & \left( 3,2 \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika titik $A(x,y)$ ditransformasikan oleh sebuah matriks $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, maka bayangan titik $A$ adalah:
$A'=\begin{pmatrix} x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}$


Untuk titik $P\left( x,y \right)$ yang ditransformasikan oleh $\begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ menghasilkan bayangan $P' \left( -6,10 \right)$, dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \begin{pmatrix} -6 \\ 10 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -6 \\ 10 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -2x-3y \\ 2x+ 4y \end{pmatrix} \end{align}$


Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc} -2x-3y = -6 & \\ 2x+ 4y = 10 & (+) \\ \hline y = 4 & x = -3 \end{array} $
Titik $P\left( x,y \right)=P\left( -3,4 \right)$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left( -3,4 \right)$

26. Soal Latihan Transformasi Geometri

Sebuah titik $A\left( p,3 \right)$ ditransformasikan dengan matriks $\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ menghasilkan bayangan $A' \left( -8, 0 \right)$. Nilai $p=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika titik $A(x,y)$ ditransformasikan oleh sebuah matriks $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, maka bayangan titik $A$ adalah:
$A'=\begin{pmatrix} x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}$


Untuk titik $A\left( p,3 \right)$ yang ditransformasikan oleh $\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ menghasilkan bayangan $A' \left( -8,0 \right)$, dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p \\ 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} p-6 \\ 3p+6 \end{pmatrix} \end{align}$


Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $p-6=-8 \rightarrow p=-2$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -2$

27. Soal Latihan Transformasi Geometri

Diketahui titik $B \left( -1,3 \right)$. Bayangan titik $P \left( 2,4 \right)$ oleh rotasi sejauh $270^{\circ}$ dengan pusat $B$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left( 3,-5 \right) \\ (B)\ & \left( 6,3 \right) \\ (C)\ & \left( 2,-4 \right) \\ (D)\ & \left( 1,-4 \right) \\ (E)\ & \left( 0,0 \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $270^{\circ}$ dengan pusat $B(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} cos\ 270^{\circ} & - sin\ 270^{\circ} \\ sin\ 270^{\circ} & cos\ 270^{\circ} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-a\\y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-a\\y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix} \end{align}$


Untuk titik $P \left( 2,4 \right)$ oleh rotasi $270^{\circ}$ dengan pusat $B \left(-1, 3 \right)$ maka bayangan titik dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2+1 \\ 4-3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} (0)(3)+(1)(1) \\ (-1)(3)+(0)(1) \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align}$

Transformasi Geometri, Soal dan Pembahasan Macam-Macam Transformasi Pada Sebuah Titik

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left( 0, 0 \right)$


28. Soal Latihan Transformasi Geometri

Sebuah ruas garis $AB$ dimana $A \left(3,-2 \right)$ dan $B \left(p,5 \right)$. Jika ruas garis tersebut dicerminkan terhadap garis $x = a$ akan diperoleh bayangan $A' \left( 5,-2 \right)$ dan $B' \left( 10,5 \right)$. Nilai $p = \cdots$

$\begin{align} (A)\ & -4 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $x=k$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( 2k-x,y \right)$.
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2k \\ 0 \end{pmatrix}$


Untuk titik $A \left( 3,-2 \right)$ yang direfleksikan terhadap $x=a$ bayangannya adalah $A'\left( 5,-2 \right)$, maka dapat kita peroleh $5=2a-3 \rightarrow a=4$.
Untuk $a=4$ bayangan titik $B\left( p,5 \right)$ adalah $B'\left( 10,5 \right)$, maka kita peroleh $10=2(4)-p \rightarrow p=-2 $


Dengan menggunakan matriks, Untuk titik $A \left( 3,-2 \right)$ yang direfleksikan terhadap $x=a$ bayangannya adalah $A'\left( 5,-2 \right)$, maka dapat kita peroleh:
$\begin{align} \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2a \\ 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} (-1)(3)+(0)(-2) \\ (0)(3)+(1)(-2) \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2a \\ 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -3+ 2a \\ -2 \end{pmatrix} \\ \hline 5 &= -3+2a \\ a &= 4 \end{align}$


Untuk titik $B \left( p,5 \right)$ yang direfleksikan terhadap $x=4$ bayangannya adalah $B'\left( 10,5 \right)$, maka dapat kita peroleh:
$\begin{align} \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p \\ 5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2(4) \\ 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -p \\ 5 \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -p+8 \\ 5 \\ \end{pmatrix} \\ \hline 10 &= -p+8 \\ -2 &= p \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -2$

29. Soal Latihan Transformasi Geometri

Titik $A\left( x,y \right)$ ditransformasikan oleh matriks $\begin{pmatrix} -5 & -3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ menghasilkan bayangan titik $A' \left( 2,4 \right)$. Koordinat titik $A$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left( 7,0 \right) \\ (B)\ & \left( -3,8 \right) \\ (C)\ & \left( 6,-1 \right) \\ (D)\ & \left( -3,0 \right) \\ (E)\ & \left( 8,-14 \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika titik $A(x,y)$ ditransformasikan oleh sebuah matriks $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, maka bayangan titik $A$ adalah:
$A'=\begin{pmatrix} x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}$


Untuk titik $A\left( x,y \right)$ yang ditransformasikan oleh $\begin{pmatrix} -5 & -3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ menghasilkan bayangan $A' \left( 2,4 \right)$, dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -5 & -3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -5x-3y \\ 4x+ 2y \end{pmatrix} \end{align}$


Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc} -5x-3y = 2 & (\times 2) \\ 4x+ 2y = 4 & (\times 3) \\ \hline -10x-6y = 4 & \\ 12x+ 6y = 12 & ( + ) \\ \hline 2x = 16 & x = 8 \\ y = -14 & \end{array} $
Titik $A\left( x,y \right)=A\left( 8,-14 \right)$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left( 8,-14 \right)$


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Transformasi Geometri, Soal Latihan dan Pembahasan Jenis Transformasi Pada Sebuah Titik di atas adalah coretan kreatif siswa pada:

  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Transformasi Geometri, Soal Latihan dan Pembahasan Jenis Transformasi Pada Sebuah Titik silahkan disampaikan πŸ™ CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi πŸ™Share is Caring πŸ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda πŸ’— Siswa kreatif ini mampu menunjukkan kreativitasnya melalui PBB

youtube image
Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Transformasi Geometri, Soal Latihan dan Pembahasan Jenis Transformasi Pada Sebuah Titik" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih πŸ™ support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar