Komposisi Transformasi Pada Sebuah Titik dan Pembahasan Soal Latihan

Calon guru belajar matematika dasar SMA dari Transformasi Geometri, Soal Latihan dan Pembahasan Komposisi Transformasi Pada Sebuah Titik. Catatan ini kita khususkan untuk membahas komposisi transformasi geometri pada sebuah titik.

Komposisi transformasi ini merupakan kelanjutan dari catatan kita sebelumnya yang membahas macam-macam tranformasi geometri pada sebuah titik.

Sebelumnya pada Transformasi Geometri, Macam-macam Transformasi Pada Sebuah Titik kita hanya melakukan sebuah tindakan transformasi geometri pada sebuah titik. Saat ini kita coba melakukan beberapa tindakan transformasi geometri. Misalnya dirotasi lalu direfleksikan atau sebaliknya, direfleksikan lalu direfleksikan lagi, dan sebagainya, dimana ada banyak komposisi transformasi yang mungkin terjadi.

KOMPOSISI TRANSFORMASI

Jika $T_{1}$ adalah suatu transformasi yang memetakan obyek $A(x,y)$ ke obyek lain $A'$, kemudian dilanjutkan oleh transformasi $T_{2}$ obyek $A'$ dipetakan ke obyek $A''(x'',y'')$ secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:

Bayangan hasil komposisi transformasi Translasi
$A''=T_{2}+T_{1}+A$
$\begin{pmatrix} x''\\ y'' \end{pmatrix}=T_{2}+T_{1}+\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
Bayangan hasil komposisi transformasi Refleksi, Rotasi dan Dilatasi
$A''=T_{2} \cdot T_{1} \cdot A$
$\begin{pmatrix} x''\\ y'' \end{pmatrix}=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

Selain teori singkat di atas, teori sebelumnya terkait Refleksi, Translasi, Rotasi dan Dilatasi tetap kita pakai sebagai modal utama dalam menyelesaikan masalah komposisi transformasi.

Untuk menambah pemahaman kita terkait Komposisi Transformasi Pada Sebuah Titik ini, mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Matematika SMA Kurikulum 2013..

Untuk soal Transformasi Geometri yang sudah pernah diujikan pada seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri silahkan di simak pada Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Transformasi Geometri.

1. Soal Latihan Komposisi Transformasi Geometri

Jika $T_{1}=\begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix}$ dan $T_{2}=\begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix}$ maka koordinat bayangan dari komposisi $\left (T_{2} \circ T_{1} \right ) \left ( -5,4 \right )=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \left ( -3,4 \right ) \\ (B)\ & \left ( 2,-5 \right ) \\ (C)\ & \left ( -2,9 \right ) \\ (D)\ & \left ( -2,-6 \right ) \\ (E)\ & \left ( 3,-6 \right ) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Kita ketahui bahwa jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x+a,y+b \right)$

Dikatakan titik $\left ( -5,4 \right )$ pertama ditransalasikan oleh $T_{1}=\begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix}$ bayangannya $\left ( -6,7 \right )$ lalu ditranslasikan lagi $T_{2}=\begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix}$ maka bayangan dari komposisi adalah $\left ( -2,9 \right )$

Jika operasi matriks dapat dilakukan pada kedua transformasi yang diberikan, soal di atas dapat kita kerjakan dengan cara:

$\begin{align} \left (T_{2} \circ T_{1} \right ) \left ( -5,4 \right )\ &= T_{2} + T_{1} + \begin{bmatrix} -5 \\ 4 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -5 \\ 4 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 4-1-5 \\ 2+3+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 9 \end{bmatrix} \end{align}$
Bayangan dari komposisi adalah $\left ( -2,9 \right )$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left ( -2,9 \right )$

2. Soal Latihan Komposisi Transformasi Geometri

Diketahui translasi $T_{1}=\begin{bmatrix} a \\ -2 \end{bmatrix}$ dan $T_{2}=\begin{bmatrix} 3 \\ b \end{bmatrix}$. Jika titik bayangan dari $\left (T_{1} \circ T_{2} \right ) \left ( 4,-2 \right )$ adalah $\left ( 6,0 \right )$, maka nilai $a-b=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 10 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & -5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Kita ketahui bahwa jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x+a,y+b \right)$

Dikatakan titik $\left ( 4,-2 \right )$ pertama ditransalasikan oleh $T_{2}=\begin{bmatrix} 3 \\ b \end{bmatrix}$ bayangannya $\left ( 7,b-2 \right )$ lalu ditranslasikan lagi $T_{1}=\begin{bmatrix} a \\ -2 \end{bmatrix}$ maka bayangan dari komposisi adalah $\left ( 7+a,b-4 \right ) \equiv \left ( 6,0 \right )$. Kita peroleh $a=-1$ dan $b=4$ sehingga $a-b=-5$.

Jika operasi matriks dapat dilakukan pada kedua transformasi yang diberikan, soal di atas dapat kita kerjakan dengan cara:

$\begin{align} \left (T_{1} \circ T_{2} \right ) \left ( 4,-2 \right ) &= \left ( 6,0 \right ) \\ \begin{bmatrix} a \\ -2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 \\ b \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 6 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} a+7 \\ b-4 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 6 \\ 0 \end{bmatrix} \end{align}$
Dari kesamaan dua matrisk di atas kita peroleh $a=-1$ dan $b=4$ sehingga $a-b=-5$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -5$

3. Soal Latihan Transformasi Geometri

Bayangan titik $A \left(8,-6 \right)$ oleh suatu rotasi sejauh $\left(O, 150^{\circ} \right)$ dilanjutkan rotasi $\left(O, 30^{\circ} \right)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left ( 6,-4 \right) \\ (B)\ & \left ( -8,6 \right) \\ (C)\ & \left ( 5,7 \right) \\ (D)\ & \left ( -4,8 \right) \\ (E)\ & \left( 9,3 \right ) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\alpha$ dengan pusat $O(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix} cos\ \alpha & - sin\ \alpha \\ sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} \end{align}$

Untuk titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $150^{\circ}$ dengan pusat $O(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix} cos\ 150^{\circ} & - sin\ 150^{\circ} \\ sin\ 150^{\circ} & cos\ 150^{\circ} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -\frac{1}{2}\sqrt{3} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 8 \\ -6 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -4\sqrt{3}+3 \\ 4+3\sqrt{3} \end{pmatrix} \end{align}$

Titik $\left( -4\sqrt{3}+3, 4+3\sqrt{3} \right )$ di atas di rotasi lagi sejauh $30^{\circ}$ dengan pusat $O(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A''\left( x'',y'' \right )$:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x''\\y'' \end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix} cos\ 30^{\circ}& - sin\ 30^{\circ} \\ sin\ 30^{\circ}& cos\ 30^{\circ} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -4\sqrt{3}+3 \\ 4+3\sqrt{3} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -6+\frac{3}{2}\sqrt{3}-2-\frac{3}{2}\sqrt{3} \\ -2\sqrt{3}+\frac{3}{2}+2\sqrt{3}+\frac{9}{2} \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -8 \\ 6 \\ \end{pmatrix} \end{align}$

Alternatif penyelesaian berikutnya, kita coba dengan menganalisa soal. Dimana titik dirotasi sejauh $\left(O, 150^{\circ} \right)$ dilanjutkan rotasi $\left(O, 30^{\circ} \right)$, karena titik pusat rotasi sama maka rotasi yang dilakukan adalah $\left(O, 150^{\circ} +30^{\circ} \right)$ atau $\left(O, 180^{\circ} \right) $.
Sehingga titik bayangannya adalah:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}\ &= \begin{pmatrix} cos\ 180^{\circ} & - sin\ 180^{\circ} \\ sin\ 180^{\circ} & cos\ 180^{\circ} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 8 \\ -6 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 8 \\ -6 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -8 \\ 6 \end{pmatrix} \end{align}$

Alternatif penyelesaian berikut ini adalah yang paling umum dilakukan pada komposisi transformasi.
Titik $A \left(8,-6 \right)$ pertama dirotasi sejauh $\left(O, 150^{\circ} \right)$, dimana matriks transformasinya dapat kita sebut $M_{1}=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2}\sqrt{3} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{3} \end{pmatrix}$

Kemudian bayangan titik $A \left(8,-6 \right)$ dirotasi lagi sejauh $\left(O, 30^{\circ} \right)$, dimana matriks transformasinya dapat kita sebut $M_{2}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{pmatrix}$

Titik bayangan hasil komposisi transformasi adalah:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}\ &= M_{2} \cdot M_{1} \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ -6 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac{1}{2}\sqrt{3} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\ -6 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -\frac{3}{4}-\frac{1}{4} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{4}-\frac{3}{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\ -6 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -8 \\ 6 \end{pmatrix} \end{align}$

Transformasi Geometri, Soal dan Pembahasan Komposisi Transformasi Pada Sebuah Titik

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left ( -8,6 \right )$

4. Soal Latihan Transformasi Geometri

Jika $M_{x}$ menyatakan pencerminan terhadap sumbu $X$ dan $M_{y=x}$ menyatakan pencerminan terhadap garis $y = x$ maka koordinat bayangan $\left( M_{y=x} \circ M_{x} \right) \left(3, –1 \right) =\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \left ( -1,-3 \right) \\ (B)\ & \left ( 1,3 \right) \\ (C)\ & \left ( 1,-3 \right) \\ (D)\ & \left ( -3,1 \right) \\ (E)\ & \left( -3,-1 \right ) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk titik $A(3,-1)$ yang refleksi terhadap sumbu $X$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align}$

Titik $\left( 3,1 \right )$ di atas direfleksi lagi oleh garis $y=x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A''\left( x'',y'' \right )$:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x''\\y'' \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align}$

Alternatif penyelesaian berikut ini adalah yang paling umum dilakukan pada komposisi transformasi.
Titik $A \left(3,-1 \right)$ pertama direfleksikan terhadap sumbu $X$, dimana matriks transformasinya dapat kita sebut $M_{1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

Kemudian bayangan titik $A \left(3,-1 \right)$ direfleksikan lagi terhadap garis $y=x$, dimana matriks transformasinya dapat kita sebut $M_{2}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

Titik bayangan hasil komposisi transformasi adalah:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}\ &= M_{2} \cdot M_{1} \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ -6 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left ( 1,3 \right)$

5. Soal Latihan Transformasi Geometri

Diketahui $M_{1}$ adalah pencerminan terhadap garis $x = 2$ dan $M_{2}$ adalah pencerminan terhadap garis $x = –3$, maka koordinat bayangan dari $\left( M_{2} \circ M_{1} \right) \left(5, –1 \right)$ adalah

$\begin{align} (A)\ & \left ( -5,-1 \right) \\ (B)\ & \left ( 2,6 \right) \\ (C)\ & \left ( 2,-5 \right) \\ (D)\ & \left ( -1,-4 \right) \\ (E)\ & \left( 4,2 \right ) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk titik $A(5,-1)$ yang direfleksi terhadap garis $x=2$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2(2) \\ 0 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -5 \\ -1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align}$

Titik $A'\left( -1,-1 \right )$ di atas direfleksi lagi oleh garis $x=-3$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A''\left( x'',y'' \right )$:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2(-3) \\ 0 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1 \\-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -6 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left ( -5,-1 \right)$

6. Soal Latihan Transformasi Geometri

Diketahui $M_{1}$ adalah pencerminan terhadap garis $y = h$ dan $M_{2}$ adalah pencerminan terhadap garis $y = 4$, Jika koordinat bayangan dari $\left( M_{2} \circ M_{1} \right) \left(3, –1 \right)$ adalah $\left( 3,-5 \right)$ maka nilai $h$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & -5 \\ (B)\ & -3 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 6 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk titik $A(3,-1)$ yang direfleksi terhadap garis $y=h$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ 2h \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ 2h \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1+2h \end{pmatrix} \end{align}$

Titik $\left( 3,1+2h \right )$ di atas direfleksi lagi oleh garis $y=4$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A''\left( 3,-5 \right )$:
$\begin{align} \begin{pmatrix} 3\\ -5 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 1+2h \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ 2(4) \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 3 \\ -1-2h \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 7-2h \end{pmatrix} \end{align}$

Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $7-2h=-5 \rightarrow h=6$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6$

7. Soal Latihan Transformasi Geometri

Bayangan titik $P \left( –\frac{5}{3}, 2 \right)$ jika didilatasi dengan skala $3$ dan pusat $O \left( 0,0 \right)$ dan dilanjutkan dengan rotasi setengah putaran dengan pusat $O \left( 0,0 \right)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left ( -6,-5 \right) \\ (B)\ & \left ( 6,-5 \right) \\ (C)\ & \left ( -6,5 \right) \\ (D)\ & \left ( 5,-6 \right) \\ (E)\ & \left( -3,5 \right ) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk titik $P \left( –\frac{5}{3}, 2 \right)$ yang didilatasi dengan skala $3$ dan pusat $O \left( 0,0 \right)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $P'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 3 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} –\frac{5}{3} \\ 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -5 \\ 6 \end{pmatrix} \end{align}$

Titik $P'\left( -5,6 \right )$ di atas dirotasi lagi setengah putaran dengan pusat $O \left( 0,0 \right)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $P''\left( x'',y'' \right )$:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} cos\ 180^{\circ} & -sin\ 180^{\circ} \\ sin\ 180^{\circ} & cos\ 180^{\circ} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -5 \\ 6 \end{pmatrix} \\ & =\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -6 \end{pmatrix} \end{align}$

Alternatif penyelesaian berikut ini adalah yang paling umum dilakukan pada komposisi transformasi.
Titik $P \left( –\frac{5}{3}, 2 \right)$ pertama didilatasi dengan skala $3$ dan pusat $O \left( 0,0 \right)$, dimana matriks transformasinya dapat kita sebut $M_{1}=\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

Kemudian bayangan titik $P \left( –\frac{5}{3}, 2 \right)$ dilanjutkan dengan rotasi setengah putaran dengan pusat $O \left( 0,0 \right)$, dimana matriks transformasinya dapat kita sebut $M_{2}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

Titik bayangan hasil komposisi transformasi adalah:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}\ &= M_{2} \cdot M_{1} \cdot \begin{pmatrix} –\frac{5}{3} \\ 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} –\frac{5}{3} \\ 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} –\frac{5}{3} \\ 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 5 \\ -6 \end{pmatrix} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left (5, -6 \right)$

8. Soal Latihan Transformasi Geometri

Bayangan titik $A\left ( 2,-3 \right)$ oleh dilatasi dengan pusat $P\left ( -3,5 \right)$ dan faktor skala $3$ dan dilanjutkan dengan skala $–2$ pada pusat yang sama adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left ( -33,53 \right) \\ (B)\ & \left ( -24,8 \right) \\ (C)\ & \left ( -12,8 \right) \\ (D)\ & \left ( -30,7 \right) \\ (E)\ & \left( 10,-3 \right ) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Jika titik $A(x,y)$ dilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(x',y')$ dimana:
$\begin{align} x'\ & = k\left (x-a \right )+a \\ y' & = k\left (y-b \right )+b \end{align}$
Dengan menggunakan matriks,
$A'=\begin{pmatrix} x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k & 0\\ 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-a\\y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}$

Untuk titik $A\left ( 2,-3 \right)$ oleh dilatasi dengan pusat $P\left ( -3,5 \right)$ dan faktor skala $3$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 3 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2+3 \\ -3-5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 15 \\ -24 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 12 \\ -19 \end{pmatrix} \end{align}$

Titik $A'\left ( 12, -19 \right)$ di atas, didilatasi lagi dengan pusat $P\left ( -3,5 \right)$ dan faktor skala $-2$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A''\left( x'',y'' \right )$:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x''\\y'' \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} -2 & 0\\ 0 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 12+3 \\ -19-5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -30 \\ 48 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -33 \\ 53 \end{pmatrix} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left ( -33,53 \right)$

9. Soal Latihan Transformasi Geometri

Bayangan titik $P\left ( -3,4 \right)$ oleh dilatasi dengan skala $3$ dan pusat $A\left ( -3,3 \right)$ dilanjutkan dilatasi dengan skala $-2$ dan pusat $B\left( 5,-1 \right)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left ( 10,-12 \right) \\ (B)\ & \left ( 18,-3 \right) \\ (C)\ & \left ( 21,-15 \right) \\ (D)\ & \left ( 11,-15 \right) \\ (E)\ & \left( 14,6 \right ) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk titik $A\left ( -3,4 \right)$ oleh dilatasi dengan skala $3$ dan pusat $P\left ( -3,3 \right)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 3 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -3+3 \\ 4-3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\ 6 \end{pmatrix} \end{align}$

Titik $P'\left ( -3,6 \right)$ di atas, didilatasi lagi dengan pusat $P\left ( 5,-1 \right)$ dan faktor skala $-2$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $P''\left( x'',y'' \right )$:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x''\\y'' \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} -2 & 0\\ 0 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -3-5 \\ 6+1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 16 \\ -14 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 21 \\ -15 \end{pmatrix} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left ( 21,-15 \right)$

10. Soal Latihan Transformasi Geometri

Diketahui $F_{1}=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ dan $F_{2}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$. Bayangan titik $P\left ( 5,2 \right)$ oleh transformasi $F_{2}$ dilanjutkan $F_{1}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & P'\left ( 6,-3 \right) \\ (B)\ & P'\left ( 2,7 \right) \\ (C)\ & P'\left ( -3,8 \right) \\ (D)\ & P'\left ( 2,-4 \right) \\ (E)\ & P'\left( 10,-12 \right ) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Titik $P \left( –\frac{5}{3}, 2 \right)$ pertama ditransformasikan oleh $F_{2}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ dilanjutkan dengan transformasi oleh $F_{1}=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

Titik bayangan hasil komposisi transformasi adalah:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}\ &= F_{1} \cdot F_{2} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ -6 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 10 \\ -12 \end{pmatrix} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left (10,-12 \right)$

11. Soal Latihan Transformasi Geometri

Sebuah titik $A\left ( x,y \right)$ dicerminkan terhadap garis $x=2$ kemudian dicerminkan lagi terhadap $x=-1$ sehingga diperoleh titik bayangan $A'\left( -8,-5 \right )$. Titik $A$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left ( 3,-5 \right) \\ (B)\ & \left ( -3,-5 \right) \\ (C)\ & \left ( -2,-5 \right) \\ (D)\ & \left ( 2,-5 \right) \\ (E)\ & \left( 6,-5 \right ) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk titik $A(x,y)$ yang direfleksi terhadap garis $x=2$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2(2) \\ 0 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4-x \\ y \end{pmatrix} \end{align}$

Titik $\left(4-x,y \right)$ di atas direfleksi lagi garis $x=-1$ diperoleh bayangan yang dihasilkan $A''\left( -8,-5 \right )$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \begin{pmatrix} -8 \\ -5 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4-x \\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2(-1) \\ 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -8 \\ -5 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x-4 \\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} -8 \\ -5 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x-6 \\ y \end{pmatrix} \end{align}$

Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x=-2$ dan $y=-5$, sehingga titik $A \left ( -2,-5 \right)$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left ( -2,-5 \right)$

12. Soal Latihan Transformasi Geometri

Sebuah titik $P\left ( x,y \right)$ dicerminkan terhadap garis $x = 3$ dan dilanjutkan dilatasi dengan pusat $\left ( 1,2 \right)$ dan skala $3$ sehingga diperoleh bayangan $P'\left ( 22,11 \right)$. Koordinat titik $P$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & P\left ( 2,-4 \right) \\ (B)\ & P\left ( 3,-4 \right) \\ (C)\ & P\left ( -2,3 \right) \\ (D)\ & P\left ( -2,5 \right) \\ (E)\ & P\left( 1,-2 \right ) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk titik $P(x,y)$ yang direfleksi terhadap garis $x=3$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2(3) \\ 0 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6-x \\ y \end{pmatrix} \end{align}$

Titik $\left(6-x,y \right)$ di atas didilatasi dengan pusat $\left ( 1,2 \right)$ dan skala $3$ diperoleh bayangan yang dihasilkan $P''\left( 22,11 \right )$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \begin{pmatrix} 22 \\ 11 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 3 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6-x-1 \\ y-2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 22 \\ 11 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 15-3x \\ 3y-6 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 22 \\ 11 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 16-3x \\ 3y-4 \end{pmatrix} \end{align}$

Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $16-3x=22$ sehingga $x=-2$ dan $3y-4=11$ sehingga $y=5$. Titik $P \left ( -2, 5 \right)$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left ( -2, 5 \right)$

13. Soal Latihan Transformasi Geometri

Titik $A\left ( 2,-5 \right)$ didilatasi dengan pusat $P\left ( 1,3 \right)$ dan skala $-3$ selanjutnya direfleksikan terhadap garis $y = 4$ sehingga diperoleh bayangan...

$\begin{align} (A)\ & A'\left ( -4,-19 \right) \\ (B)\ & A'\left ( -2,-19 \right) \\ (C)\ & A'\left ( -2,19 \right) \\ (D)\ & A'\left ( -2,-27 \right) \\ (E)\ & A'\left( -2,27 \right ) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Titik $A\left( 2,-5 \right)$ didilatasi dengan pusat $\left ( 1,3 \right)$ dan skala $-3$ diperoleh titik bayangan:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} -3 & 0\\ 0 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2-1 \\ -5-3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -3 \\ 24 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 27 \end{pmatrix} \end{align}$

Titik $(-2,27)$ di atas direfleksi terhadap garis $y=4$ maka akan dihasilkan bayangan $A'\left( x',y' \right )$:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 \\ 27 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ 2(4) \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -2 \\ -27 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 \\ -19 \end{pmatrix} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left ( -2, -19 \right)$

Beberapa pembahasan soal Transformasi Geometri, Soal Latihan dan Pembahasan Komposisi Transformasi Pada Sebuah Titik di atas adalah coretan kreatif siswa pada:

lembar jawaban penilaian harian matematika,
lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
presentasi hasil diskusi matematika atau
pembahasan quiz matematika di kelas.

Catatan tentang Komposisi Transformasi Pada Sebuah Titik dan Pembahasan Soal Latihan di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.