Skip to main content

Matematika SMA: Cara Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan

Lingkaran, Soal Latihan dan Pembahasan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Calon guru belajar matematika dasar SMA lewat Soal Latihan dan Pembahasan Persamaan Garis Singgung Lingkaran. Catatan ini merupakan kelanjutan dari catatan sebelumnya Soal Latihan dan Pembahasan Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkarandan Soal Latihan dan Pembahasan Bentuk Baku dan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran.


PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN JIKA DIKETAHUI GRADIEN GARIS


Pada sebuah lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(x-b \right)^{2}=r^{2}$, jika gradien garis singgung lingkaran adalah $m$ maka persamaan garis yang menyinggung lingkaran disebut dengan Persamaan Garis Singgung Lingkaran yaitu $y-b=m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1}$.

Untuk lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, jika gradien garis singgung lingkaran adalah $m$ maka persamaan garis singgung lingkaran adalah $y =m \left(x \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1}$.

cara menentukan persamaan garis singgung lingkaran jika diketahui gradien garis

Persamaan garis singgung pada lingkaran jika diketahui gradien garis $m$, maka akan diperoleh dua persamaan garis yang menyinggung lingkaran. Karena untuk gradien garis $m$ akan diperoleh dua garis yang menyinggung lingkaran dimana kedua garis adalah garis sejajar, syarat dua garis sejajar adalah gradien kedua garis harus sama.


PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN DARI TITIK YANG BERADA TEPAT PADA LINGKARAN


Pada sebuah lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, jika garis singgung lingkaran melalui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ yang tepat berada pada lingkaran maka persamaan garis singgung lingkaran adalah $\left(x-a \right) \left(x_{1}-a \right)+\left(y-b \right)\left(y_{1}-b \right)=r^{2}$.

Untuk lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, jika garis singgung lingkaran melalui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ yang tepat berada pada lingkaran maka persamaan garis singgung lingkaran adalah $ x \cdot x_{1} + y \cdot y_{1} =r^{2}$.

Untuk lingkaran secara umum $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$, jika garis singgung lingkaran melalui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ yang tepat berada pada lingkaran maka persamaan garis singgung lingkaran adalah $xx_{1} +yy_{1}+\frac{1}{2}A(x+x_{1})+\frac{1}{2}B(y+y_{1})+C=0$.

Jika tertarik membahas pembuktian rumus altenatif Cara Mendapatkan Persamaan Garis Singgung Lingkaran Dari Titik Pada Lingkaran silahkan disimak pada catatan Cara Mendapatkan Persamaan Garis Singgung Lingkaran Dari Titik Pada Lingkaran.

cara menentukan persamaan garis singgung lingkaran jika diketahui titik pada lingkaran

Persamaan garis singgung pada lingkaran jika diketahui titik pada lingkaran, maka akan diperoleh sebuah persamaan garis yang menyinggung lingkaran. Karena dari sebuah titik pada lingkaran hanya dapat dibuat sebuah garis singgung pada lingkaran.


JARAK TITIK KE TITIK


Jarak titik $\left( x_{1},y_{1} \right)$ ke titik $\left( x_{2},y_{2} \right)$ adalah:
$d= \sqrt{ \left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} $


JARAK TITIK KE GARIS


Jarak titik $\left( x_{1},y_{1} \right)$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah:
$d=\left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right|$

Untuk menambah pemahaman kita terkait Lingkaran, khususnya Persamaan Garis Singgung Lingkaran ini, mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Lingkaran Matematika SMA Kurikulum 2013.

Untuk soal Lingkaran yang sudah pernah diujikan pada seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri silahkan di simak pada Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Lingkaran.

1. Soal Latihan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung suatu lingkaran $x^{2} + y^{2}=25$ jika titik singgungnya $T \left(3, –4 \right)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 4x – 3y = 16 \\ (B)\ & 3x – 4y = 16 \\ (C)\ & 4x – 3y = 25 \\ (D)\ & 3x – 4y = 25 \\ (E)\ & 2x – 3y = 16 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pada lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran melalui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ yang tepat berada pada lingkaran adalah $ x \cdot x_{1} + y \cdot y_{1} =r^{2}$.


Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2}=25$ jika titik singgungnya $T \left(3, –4 \right)$ adalah:
$\begin{align}
x \cdot x_{1} + y \cdot y_{1} &= r^{2} \\ x \cdot (3) + y \cdot (-4) &= 25 \\ 3x - 4y &= 25 \end{align}$

Jika kita gambarkan kedudukan titik, garis dan lingkaran seperti berikut ini:

Persamaan garis singgung suatu lingkaran $x^{2} + y^{2}=25$ jika titik singgungnya $T \left(3, –4 \right)$ adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3x – 4y = 25$

2. Soal Latihan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung suatu lingkaran $x^{2} + y^{2}=20$ jika titik singgungnya $T \left( 4,2 \right)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 2x + y = 10 \\ (B)\ & x + 2y = 10 \\ (C)\ & 3x + 2y = 20 \\ (D)\ & 2x + 4y = 15 \\ (E)\ & 2x + 3y = 20 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pada lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran melalui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ yang tepat berada pada lingkaran adalah $ x \cdot x_{1} + y \cdot y_{1} =r^{2}$.


Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2}=20$ jika titik singgungnya $T \left( 4,2 \right)$ adalah:
$\begin{align}
x \cdot x_{1} + y \cdot y_{1} &= r^{2} \\ x \cdot (4) + y \cdot (2) &= 20 \\ 4x + 2y &= 20 \\ 2x + y &= 10 \end{align}$

Jika kita gambarkan kedudukan titik, garis dan lingkaran seperti berikut ini:

Manakah diantara titik berikut terletak di dalam lingkaran $x^{2} + y^{2} – 4x + 8y – 5 = 0$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2x + y = 10$

3. Soal Latihan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung suatu lingkaran $\left(x-2 \right)^{2}+\left(y+6 \right)^{2}=25$ jika titik singgungnya $T \left( 5,-2 \right)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 4x – 3y = 9 \\ (B)\ & 3x – 4y = 9 \\ (C)\ & 2x – 3y = 7 \\ (D)\ & 3x – 2y = 7 \\ (E)\ & 3x + 4y = 7 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pada lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran melalui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ yang tepat berada pada lingkaran adalah $\left(x-a \right) \left(x_{1}-a \right)+\left(y-b \right)\left(y_{1}-b \right)=r^{2}$.


Garis singgung lingkaran $\left(x-2 \right)^{2}+\left(y+6 \right)^{2}=25$ jika titik singgungnya $T \left( 5,-2 \right)$ adalah:
$\begin{align}
\left(x-a \right) \left(x_{1}-a \right)+\left(y-b \right)\left(y_{1}-b \right) &= r^{2} \\ \left(x-2 \right) \left(x_{1}-2 \right)+\left(y+6 \right)\left(y_{1}+6 \right) &= 25 \\ \left(x-2 \right) \left(5-2 \right)+\left(y+6 \right)\left(-2+6 \right) &= 25 \\ \left(x-2 \right) \left(3 \right)+\left(y+6 \right)\left( 4 \right) &= 25 \\ 3x-6 +4y+24 &= 25 \\ 3x +4y &= 7 \end{align}$

Jika kita gambarkan kedudukan titik, garis dan lingkaran seperti berikut ini:

Persamaan garis singgung suatu lingkaran $\left(x-2 \right)^{2}+\left(y+6 \right)^{2}=25$ jika titik singgungnya $T \left( 5,-2 \right)$ adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3x + 4y = 7$

4. Soal Latihan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung suatu lingkaran $\left(x+3 \right)^{2}+\left(y-4 \right)^{2}=34$ jika titik singgungnya $T \left( 2,1 \right)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 3x + 5y = 9 \\ (B)\ & 5x – 3y = 7 \\ (C)\ & 3x + 4y = 7 \\ (D)\ & 5x + 3y = 9 \\ (E)\ & 2x – 3y = 7 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pada lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran melalui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ yang tepat berada pada lingkaran adalah $\left(x-a \right) \left(x_{1}-a \right)+\left(y-b \right)\left(y_{1}-b \right)=r^{2}$.


Garis singgung lingkaran $\left(x+3 \right)^{2}+\left(y-4 \right)^{2}=34$ jika titik singgungnya $T \left( 2,1 \right)$ adalah:
$\begin{align}
\left(x-a \right) \left(x_{1}-a \right)+\left(y-b \right)\left(y_{1}-b \right) &= r^{2} \\ \left(x+3 \right) \left(x_{1}+3 \right)+\left(y-4 \right)\left(y_{1}-4 \right) &= 34 \\ \left(x+3 \right) \left(2+3 \right)+\left(y-4 \right)\left(1-4 \right) &= 34 \\ \left(x+3 \right) \left( 5 \right)+\left(y-4 \right)\left( -3 \right) &= 34 \\ 5x+15 -3y+12 &= 34 \\ 5x -3y &= 7 \end{align}$

Jika kita gambarkan kedudukan titik, garis dan lingkaran seperti berikut ini:

Persamaan garis singgung suatu lingkaran $\left(x+3 \right)^{2}+\left(y-4 \right)^{2}=34$ jika titik singgungnya $T \left( 2,1 \right)$ adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 5x – 3y = 7$

5. Soal Latihan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung suatu lingkaran $x^{2} + y^{2} – 10x + 4y + 9 = 0$ jika titik singgungnya $T \left( 1,-4 \right)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 4x + y = -2 \\ (B)\ & 2x + 3y = 4 \\ (C)\ & 3x + y = 3 \\ (D)\ & 2x + y = -2 \\ (E)\ & x+2y=2 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pada lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$, garis singgung lingkaran melalui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ yang tepat berada pada lingkaran adalah $xx_{1} +yy_{1}+\frac{1}{2}A(x+x_{1})+\frac{1}{2}B(y+y_{1})+C=0$.


Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} – 10x + 4y + 9 = 0$ jika titik singgungnya $T \left( 1,-4 \right)$ adalah:
$\begin{align}
xx_{1} +yy_{1}+\frac{1}{2}A(x+x_{1})+\frac{1}{2}B(y+y_{1})+C &= 0 \\ x( 1) +y(-4)+\frac{1}{2}(-10)(x+( 1))+\frac{1}{2}(4)(y+(-4))+(9) &= 0 \\ x -4y -5x -5 +2y -8 +9 &= 0 \\ -4x -2y -4 &= 0 \\ 2x+y+2 &= 0 \end{align}$

Jika kita gambarkan kedudukan titik, garis dan lingkaran seperti berikut ini:

Persamaan garis singgung suatu lingkaran $x^{2} + y^{2} – 10x + 4y + 9 = 0$ jika titik singgungnya $T \left( 1,-4 \right)$ adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2x + y = -2$

6. Soal Latihan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung suatu lingkaran $x^{2} + y^{2} – 2x + 2y - 23 = 0$ jika titik singgungnya di $T \left( -3,2 \right)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 2x – 3y + 12 = 0 \\ (B)\ & 3x – 2y + 12 = 0 \\ (C)\ & 3x – 4y + 18 = 0 \\ (D)\ & 4x – 3y + 18 = 0 \\ (E)\ & 2x + 3y – 18 = 0 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pada lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$, garis singgung lingkaran melalui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ yang tepat berada pada lingkaran adalah $xx_{1} +yy_{1}+\frac{1}{2}A(x+x_{1})+\frac{1}{2}B(y+y_{1})+C=0$.


Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} – 2x + 2y - 23 = 0$ jika titik singgungnya $T \left( -3,2 \right)$ adalah:
$\begin{align}
xx_{1} +yy_{1}+\frac{1}{2}A(x+x_{1})+\frac{1}{2}B(y+y_{1})+C &= 0 \\ x(-3) +y(2)+\frac{1}{2}(-2)(x+(-3))+\frac{1}{2}(2)(y+(2))+(-23) &= 0 \\ -3x +2y -x +3 +y +2 -23 &= 0 \\ -4x +3y -18 &= 0 \end{align}$

Jika kita gambarkan kedudukan titik, garis dan lingkaran seperti berikut ini:

Persamaan garis singgung suatu lingkaran $x^{2} + y^{2} – 2x + 2y - 23 = 0$ jika titik singgungnya di $T \left( -3,2 \right)$ adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4x - 3y +18 =0$

7. Soal Latihan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung pada suatu lingkaran $x^{2} + y^{2} = 10$ jika gradien garis singgungnya $3$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & y= 3x \pm 10 \\ (B)\ & y= 3x \pm 8 \\ (C)\ & y= 3x \pm 5 \\ (D)\ & y= 3x \pm 4 \\ (E)\ & y= 3x \pm 2 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pada lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran dengan gradien $m$ adalah $y =m \left(x \right) \pm \sqrt{m^{2}+1}$.


Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} = 10$ dengan gradien $m=3$ adalah:
$\begin{align}
y &= m \left(x \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\ y &= 3 \left(x \right) \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{(3)^{2}+1} \\ y &= 3x \pm 10 \end{align}$

Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:

Persamaan garis singgung suatu lingkaran $\left(x+3 \right)^{2}+\left(y-4 \right)^{2}=34$ jika titik singgungnya $T \left( 2,1 \right)$ adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y= 3x \pm 10$

8. Soal Latihan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung pada suatu lingkaran $x^{2} + y^{2} = 4$ jika gradien garis singgungnya $-\frac{4}{3}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 4x+3y = \pm 10 \\ (B)\ & 3x+4y = \pm 10 \\ (C)\ & 4x+3y = \pm 8 \\ (D)\ & 3x+4y = \pm 8 \\ (E)\ & 4x+3y = \pm 6 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pada lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran dengan gradien $m$ adalah $y =m \left(x \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1}$.


Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} = 4$ dengan gradien $-\frac{4}{3}$ adalah:
$\begin{align}
y &= m \left(x \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\ y &= -\frac{4}{3} \left(x \right) \pm 2 \cdot \sqrt{\left( -\frac{4}{3} \right)^{2}+1} \\ y &= -\frac{4}{3}x \pm 2 \cdot \sqrt{ \frac{16}{9}+1} \\ y &= -\frac{4}{3}x \pm 2 \cdot \sqrt{ \frac{25}{9}} \\ y &= -\frac{4}{3}x \pm 2 \cdot \frac{5}{3} \\ 3y &= -4x \pm 10 \\ \end{align}$

Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:

Persamaan garis singgung suatu lingkaran $\left(x+3 \right)^{2}+\left(y-4 \right)^{2}=34$ jika titik singgungnya $T \left( 2,1 \right)$ adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4x+3y= \pm 10$

9. Soal Latihan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung pada suatu lingkaran $\left(x-2 \right)^{2}+\left(y+5 \right)^{2}=20$ jika diketahui gradien garis singgungnya $2$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & y=2x+19 \\ (B)\ & y=2x-15 \\ (C)\ & y = 2x + 3 \\ (D)\ & y = 2x + 1 \\ (E)\ & y = 2x – 6 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pada lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran dengan gradien $m$ adalah $y-b=m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1}$.


Garis singgung lingkaran $\left(x-2 \right)^{2}+\left(y+5 \right)^{2}=20$ dengan gradien $2$ adalah:
$\begin{align}
y-b &= m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\ y-(-5) &= 2 \left(x-(2) \right) \pm \sqrt{20} \cdot \sqrt{\left( 2 \right)^{2}+1} \\ y+5 &= 2x - 4 \pm \sqrt{20} \cdot \sqrt{5} \\ y+5 &= 2x - 4 \pm \sqrt{100} \\ y &= 2x - 9 \pm 10 \\ y &= 2x +1\ \text{atau} \\ y &= 2x -19 \end{align}$

Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:

Persamaan garis singgung pada suatu lingkaran $\left(x-2 \right)^{2}+\left(y+5 \right)^{2}=20$ jika diketahui gradien garis singgungnya $2$ adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y = 2x + 1$

10. Soal Latihan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung pada suatu lingkaran $\left(x-3 \right)^{2}+\left(y-1 \right)^{2}=10$ jika diketahui gradien garis singgungnya $ \frac{1}{3}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & x-10y=3 \\ (B)\ & 10x-y=3 \\ (C)\ & x-3y = 10 \\ (D)\ & 3x-y=10 \\ (E)\ & 10x-3y=1 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pada lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran dengan gradien $m$ adalah $y-b=m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1}$.


Garis singgung lingkaran $\left(x-3 \right)^{2}+\left(y-1 \right)^{2}=10$ dengan gradien $\frac{1}{3}$ adalah:
$\begin{align}
y-b &= m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\ y-(1) &= \frac{1}{3} \left(x-(3) \right) \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{\left( \frac{1}{3} \right)^{2}+1} \\ y-1 &= \frac{1}{3} \left(x-3 \right) \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{ \frac{1}{9}+1} \\ y-1 &= \frac{1}{3} \left(x-3 \right) \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{ \frac{10}{9}} \\ y-1 &= \frac{1}{3} \left(x-3 \right) \pm \sqrt{ \frac{100}{9}} \\ y-1 &= \frac{1}{3} \left(x-3 \right) \pm \frac{10}{3} \\ 3y-3 &= x-3 \pm 10 \\ 3y &= x \pm 10 \end{align}$

Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:

Persamaan garis singgung suatu lingkaran $\left(x+3 \right)^{2}+\left(y-4 \right)^{2}=34$ jika titik singgungnya $T \left( 2,1 \right)$ adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x-3y = 10$

11. Soal Latihan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung pada suatu lingkaran $x^{2} + y^{2} – 6x + 4y + 3 = 0$ jika diketahui gradien garis singgungnya $-3$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & y = –3x + 4 \\ (B)\ & y = –3x – 17 \\ (C)\ & y = –3x – 3 \\ (D)\ & y = –3x + 12 \\ (E)\ & y = –3x – 10 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pada lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran dengan gradien $m$ adalah $y-b=m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1}$.


Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} – 6x + 4y + 3 = 0$ dengan gradien $-3$ adalah:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2} – 6x + 4y + 3 &= 0\\ \left( x-3 \right)^{2}-9 + \left( y+2 \right)^{2}-4 +3 &= 0 \\ \left( x-3 \right)^{2} + \left( y+2 \right)^{2} &= 10 \end{align}$
Dari persamaan lingkaran di atas kita peroleh:
$\begin{align} y-b &= m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\ y-(-2) &= (-3) \left(x-(3) \right) \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{\left( -3 \right)^{2}+1} \\ y+2 &= -3x+9 \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{10} \\ y &= -3x+7 \pm 10 \\ y &= -3x-3\ \text{atau} \\ y &= -3x + 17 \end{align}$

Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:

Persamaan garis singgung pada suatu lingkaran $x^{2} + y^{2} – 6x + 4y + 3 = 0$ jika diketahui gradien garis singgungnya $-3$ adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ y=–3x – 3$

12. Soal Latihan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung pada suatu lingkaran $x^{2} + y^{2} – 8x + 6y + 17 = 0$ jika diketahui gradien garis singgungnya $-1$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & y = -x+5 \\ (B)\ & y = -x+3 \\ (C)\ & y = -x-4 \\ (D)\ & y = -x+8 \\ (E)\ & y = -x+10 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pada lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran dengan gradien $m$ adalah $y-b=m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1}$.


Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} – 8x + 6y + 17 = 0$ dengan gradien $-1$ adalah:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2} – 8x + 6y + 17 &= 0\\ \left( x-4 \right)^{2}-16 + \left( y+3 \right)^{2}-9 + 17 &= 0 \\ \left( x-4 \right)^{2} + \left( y+3 \right)^{2} &= 8 \end{align}$
Dari persamaan lingkaran di atas kita peroleh:
$\begin{align} y-b &= m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\ y-(-3) &= (-1) \left(x-(4) \right) \pm \sqrt{8} \cdot \sqrt{\left( -1 \right)^{2}+1} \\ y+3 &= - x+4 \pm \sqrt{8} \cdot \sqrt{2} \\ y &= - x+1 \pm \sqrt{16} \\ y &= - x+1 \pm 4 \\ y &= - x+5\ \text{atau} \\ y &= - x -3 \end{align}$

Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:

Persamaan garis singgung pada suatu lingkaran $x^{2} + y^{2} – 8x + 6y + 17 = 0$ jika diketahui gradien garis singgungnya $-1$ adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y = -x+5$

13. Soal Latihan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung suatu lingkaran $x^{2} + y^{2}=25$ yang ditarik dari titik $T \left(-7,1 \right)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 2x + 3y = –20 \\ (B)\ & 3x + 2y = 20 \\ (C)\ & 4x + 2y = 25 \\ (D)\ & 2x – 4y = –25 \\ (E)\ & 3x – 4y = –25 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan ini ada beberapa cara yang bisa kita gunakan, antara lain menggunakan jarak titik ke garis, menggunakan diskriminan persamaan kuadrat persekutuan, atau menggunakan persamaan garis yang ditentukan dengan dua cara.


Berikut ini yang kita gunakan adalah menggunakan persamaan garis singgung yang ditentukan dengan dua cara.


Garis singgung lingkaran kita misalkan gradiennya $m$ dan melalui titik $T \left(-7, 1 \right)$ sehingga persamaan garis adalah:
$\begin{align}
y - y_{1} &= m \left( x - x_{1} \right) \\ y - 1 &= m \left( x + 7 \right) \\ y &= mx + 7m + 1 \end{align}$


Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2}=25$ dengan gradien $m$ adalah:
$\begin{align}
y &= m x \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\ y &= mx \pm 5\sqrt{m^{2}+1} \end{align}$


Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
y &= y \\ mx \pm 5 \sqrt{m^{2}+1} &= mx + 7m + 1 \\ \pm 5 \sqrt{m^{2}+1} &= 7m + 1 \\ 25 \cdot \left( m^{2}+1 \right) &= \left( 7m + 1 \right)^{2} \\ 25m^{2}+ 25 &= 49m^{2}+14m+ 1 \\ 24m^{2}+14m -24 &= 0 \\ 12m^{2}+7m -12 &= 0 \\ \left( 4m-3 \right) \left( 3m+4 \right)&= 0 \\ m= \frac{3}{4}\ \text{atau}\ & m=-\frac{4}{3} \end{align}$

  • untuk $m=\frac{3}{4}$ kita peroleh $y= \frac{3}{4}x+7 \cdot \frac{3}{4}+1$ atau $4y=3x+25$
  • untuk $m= -\frac{4}{3}$ kita peroleh $y=-\frac{4}{3}x-7 \cdot \frac{4}{3}+1$ atau $3y=-4x-25$.

Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:

Persamaan garis singgung suatu lingkaran $x^{2} + y^{2}=25$ yang ditarik dari titik $T \left(-7,1 \right)$ adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3x – 4y = -25$

14. Soal Latihan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung pada suatu lingkaran $x^{2} + y^{2}+2x-19=0$ yang ditarik dari titik $T \left(1,6 \right)$ di luar lingkaran adalah...

$\begin{align} (A)\ & x + 3y = 9 \\ (B)\ & x + 2y = –11 \\ (C)\ & 2x – y = –5 \\ (D)\ & 3x + y = 11 \\ (E)\ & 2x + y = 8 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan ini ada beberapa cara yang bisa kita gunakan, antara lain menggunakan jarak titik ke garis, menggunakan diskriminan persamaan kuadrat persekutuan, atau menggunakan persamaan garis yang ditentukan dengan dua cara.


Berikut ini yang kita gunakan adalah menggunakan persamaan garis singgung yang ditentukan dengan dua cara.


Garis singgung lingkaran kita misalkan gradiennya $m$ dan melalui titik $T \left(1,6 \right)$ sehingga persamaan garis adalah:
$\begin{align}
y - y_{1} &= m \left( x - x_{1} \right) \\ y - 6 &= m \left( x - 1 \right) \\ y &= mx - m + 6 \end{align}$


Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2}+2x-19=0$ dengan gradien $m$ adalah:
$\begin{align} x^{2} + y^{2}+2x-19 &= 0 \\ \left( x+1 \right)^{2}-1 + \left( y-0 \right)^{2} -19 &= 0 \\ \left( x+1 \right)^{2} + \left( y-0 \right)^{2} &= 20 \\ \hline \end{align}$
$\begin{align} y-b &= m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\ y-0 &= m \left(x+1 \right) \pm \sqrt{20} \cdot \sqrt{m^{2}+1} \\ y &= mx+m \pm \sqrt{20m^{2}+20} \end{align}$


Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
y &= y \\ mx+m \pm \sqrt{20m^{2}+20} &= mx - m + 6 \\ m \pm \sqrt{20m^{2}+20} &= -m + 6 \\ \pm \sqrt{20m^{2}+20} &= -2m+6 \\ 20m^{2}+ 20 &= \left( -2m+6 \right)^{2} \\ 20m^{2} + 20 &= 4m^{2}-24m+36 \\ 16m^{2} +24m - 16 &= 0 \\ 2m^{2} +3m - 2 &= 0 \\ \left( 2m-1 \right) \left( m+2 \right)&= 0 \\ m= \frac{1}{2}\ \text{atau}\ & m=-2 \end{align}$

  • untuk $m=\frac{1}{2}$ kita peroleh $y= \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + 6$ atau $2y= x+11$
  • untuk $m= -2$ kita peroleh $y=-2x +2 + 6$ atau $ y=-2x+8$.

Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:

Persamaan garis singgung pada suatu lingkaran $x^{2} + y^{2}+2x-19=0$ yang ditarik dari titik $T \left(1,6 \right)$ di luar lingkaran adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2x + y = 8$

15. Soal Latihan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung pada suatu lingkaran $x^{2} + y^{2}-6x-2y+8=0$ yang ditarik dari titik $T \left( 0,0 \right)$ di luar lingkaran adalah...

$\begin{align} (A)\ & 7y= x \\ (B)\ & y=-x \\ (C)\ & 6y= -x \\ (D)\ & y= -7x \\ (E)\ & 7y= -x \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan ini ada beberapa cara yang bisa kita gunakan, antara lain menggunakan jarak titik ke garis, menggunakan diskriminan persamaan kuadrat persekutuan, atau menggunakan persamaan garis yang ditentukan dengan dua cara.


Berikut ini yang kita gunakan adalah menggunakan persamaan garis singgung yang ditentukan dengan dua cara.


Garis singgung lingkaran kita misalkan gradiennya $m$ dan melalui titik $T \left( 0,0 \right)$ sehingga persamaan garis adalah:
$\begin{align}
y - y_{1} &= m \left( x - x_{1} \right) \\ y - 0 &= m \left( x - 0 \right) \\ y &= mx \end{align}$


Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2}-6x-2y+8=0$ dengan gradien $m$ adalah:
$\begin{align} x^{2} + y^{2}-6x-2y+8=0 &= 0 \\ \left( x-3 \right)^{2}-9 + \left( y-1 \right)^{2} -1+8 &= 0 \\ \left( x-3 \right)^{2} + \left( y-1 \right)^{2} &= 2 \\ \hline \end{align}$
$\begin{align} y-b &= m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\ y-1 &= m \left(x-3 \right) \pm \sqrt{2} \cdot \sqrt{m^{2}+1} \\ y-1 &= mx-3m \pm \sqrt{2m^{2}+2} \\ y &= mx-3m \pm \sqrt{2m^{2}+2} +1 \end{align}$


Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
y &= y \\ mx-3m \pm \sqrt{2m^{2}+2} +1 &= mx \\ -3m \pm \sqrt{2m^{2}+2} +1 &= 0 \\ \pm \sqrt{2m^{2}+2} &= 3m-1 \\ 2m^{2}+ 2 &= \left( 3m-1 \right)^{2} \\ 2m^{2} + 2 &= 9m^{2}-6m+1 \\ 7m^{2} -6m - 1 &= 0 \\ \left( 7m+1 \right) \left( m-1 \right)&= 0 \\ m= -\frac{1}{7}\ \text{atau}\ & m=1 \end{align}$

  • untuk $m=-\frac{1}{7}$ kita peroleh $y= -\frac{1}{7}x$ atau $7y= -x$.
  • untuk $m= 1$ kita peroleh $y=x$.

Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:

Persamaan garis singgung pada suatu lingkaran $x^{2} + y^{2}-6x-2y+8=0$ yang ditarik dari titik $T \left( 0,0 \right)$ di luar lingkaran adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 7y= -x$

16. Soal Latihan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Salah satu garis singgung yang ditarik dari $\left( 0,10 \right)$ ke lingkaran $x^{2} + y^{2}=10$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & y = 10x + 3 \\ (B)\ & y = -3x – 10 \\ (C)\ & y = 10x – 3 \\ (D)\ & y = -3x + 10 \\ (E)\ & y = 3x – 10 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan ini ada beberapa cara yang bisa kita gunakan, antara lain menggunakan jarak titik ke garis, menggunakan diskriminan persamaan kuadrat persekutuan, atau menggunakan persamaan garis yang ditentukan dengan dua cara.


Berikut ini yang kita gunakan adalah menggunakan persamaan garis singgung yang ditentukan dengan dua cara.


Garis singgung lingkaran kita misalkan gradiennya $m$ dan melalui titik $\left( 0,10 \right)$ sehingga persamaan garis adalah:
$\begin{align}
y - y_{1} &= m \left( x - x_{1} \right) \\ y - 10 &= m \left( x + 0 \right) \\ y &= mx + 10 \end{align}$


Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2}=10$ dengan gradien $m$ adalah:
$\begin{align}
y &= m x \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\ y &= mx \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{m^{2}+1} \\ y &= mx \pm \sqrt{10m^{2}+10} \end{align}$


Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
y &= y \\ mx \pm \sqrt{10m^{2}+10} &= mx + 10 \\ \pm \sqrt{10m^{2}+10} &= 10 \\ 10m^{2}+ 10 &= 10^{2} \\ 10m^{2} - 90 &= 0 \\ m^{2} - 9 &= 0 \\ \left( m+3 \right) \left( m-3 \right)&= 0 \\ m= -3\ \text{atau}\ & m=3 \end{align}$

  • untuk $m=3$ kita peroleh $y= 3x+10$
  • untuk $m= -3$ kita peroleh $y=-3x+10$.

Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:

Salah satu garis singgung yang ditarik dari $\left( 0,10 \right)$ ke lingkaran $x^{2} + y^{2}=10$ adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y = -3x + 10$

17. Soal Latihan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung pada suatu lingkaran $\left(x-2 \right)^{2}+\left(y+3 \right)^{2}=16$ yang sejajar dengan garis $3x – 4y = 6$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 3x + 4y = 2 \\ (B)\ & 3x – 4y = 2 \\ (C)\ & 4x – 3y = 38 \\ (D)\ & 3x – 4y = 38 \\ (E)\ & 4x – 3y = 38 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pada lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran dengan gradien $m$ adalah $y-b=m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1}$.


Gradien garis $3x – 4y = 6$ adalah $m=\frac{3}{4}$, dan garis yang sejajar dengan garis $3x – 4y = 6$ mempunyai gradien yang sama. Sehingga garis singgung pada lingkaran $\left(x-2 \right)^{2}+\left(y+3 \right)^{2}=16$ gradiennya $m=\frac{3}{4}$

$\begin{align}
y-b &= m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\ y+3 &= \frac{3}{4} \left( x-2 \right) \pm 4 \cdot \sqrt{\left( \frac{3}{4} \right)^{2}+1} \\ y+3 &= \frac{3}{4} \left(x-2 \right) \pm 4 \cdot \sqrt{ \frac{9}{16}+1} \\ y+3 &= \frac{3}{4} \left(x-2 \right) \pm 4 \cdot \sqrt{ \frac{25}{16}} \\ y+3 &= \frac{3}{4} \left(x-2 \right) \pm 4 \cdot \frac{5}{4} \\ y+3 &= \frac{3}{4} \left(x-2 \right) \pm 5 \\ 4y+12 &= 3x-6 \pm 20 \\ 4y &= 3x -18 \pm 20 \end{align}$

Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:

Persamaan garis singgung pada suatu lingkaran $\left(x-2 \right)^{2}+\left(y+3 \right)^{2}=16$ yang sejajar dengan garis $3x – 4y = 6$ adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3x – 4y = 38$

18. Soal Latihan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-2y+5=0$ yang sejajar garis $2x-y+7=0$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 2x – y – 10 = 0 \\ (B)\ & 2x – y + 10 = 0 \\ (C)\ & 2x + y + 10 = 0 \\ (D)\ & x – 2y – 10 = 0 \\ (E)\ & x – 2y + 10 = 0 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pada lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran dengan gradien $m$ adalah $y-b=m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1}$.


Gradien garis $2x-y+7=0$ adalah $m=2$, dan garis yang sejajar dengan garis $2x-y+7=0$ mempunyai gradien yang sama. Sehingga garis singgung pada lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-2y+5=0$ gradiennya $m=2$.

$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-6x-2y+5 &= 0 \\ \left( x-3 \right)^{2}-9+\left( y-1 \right)^{2}-1 +5 &= 0 \\ \left( x-3 \right)^{2} +\left( y-1 \right)^{2} &= 5 \\ \hline \end{align}$
$\begin{align}
y-b &= m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\ y-1 &= 2 \left( x-3 \right) \pm \sqrt{5} \cdot \sqrt{\left( 2 \right)^{2}+1} \\ y-1 &= 2x-6 \pm \sqrt{5} \cdot \sqrt{ 5} \\ y-1 &= 2x-6 \pm 5 \\ y &= 2x-5 \pm 5 \end{align}$

Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:

Garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-2y+5=0$ yang sejajar garis $2x-y+7=0$ adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2x – y – 10 = 0$

19. Soal Latihan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung pada suatu lingkaran $\left(x-2 \right)^{2}+\left(y-1 \right)^{2}=25$ yang tegak lurus dengan garis $x+y+4=0$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & y = x – 1 \pm 5 \sqrt{2} \\ (B)\ & y = x + 1 \pm 3 \sqrt{2} \\ (C)\ & y = x – 1 \pm 6 \sqrt{3} \\ (D)\ & y = x + 1 \pm 4 \sqrt{3} \\ (E)\ & y = x + 1 \pm 3 \sqrt{5} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pada lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran dengan gradien $m$ adalah $y-b=m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1}$.


Dua garis yang tegak lurus perkalian kedua gradien garis adalah $-1$. Garis $x+y+4=0$ gradiennya adalah $m=-1$, sehingga garis yang tegak lurus dengan $x+y+4=0$ gradiennya adalah $m=1$. Garis singgung pada lingkaran $\left(x-2 \right)^{2}+\left(y-1 \right)^{2}=25$ gradiennya $m=1$

$\begin{align}
y-b &= m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\ y-1 &= 1 \left( x-2 \right) \pm 5 \cdot \sqrt{\left( 1 \right)^{2}+1} \\ y-1 &= \left(x-2 \right) \pm 5 \cdot \sqrt{2} \\ y &= x-2 \pm 5 \sqrt{2}+1 \\ y &= x-1 \pm 5 \sqrt{2} \end{align}$

Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:

Persamaan garis singgung pada suatu lingkaran $\left(x-2 \right)^{2}+\left(y-1 \right)^{2}=25$ yang tegak lurus dengan garis $x+y+4=0$ adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y = x – 1 \pm 5 \sqrt{2}$

20. Soal Latihan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung pada lingkaran $x^{2} + y^{2} = 10$ di titik $P \left(3, 1 \right)$ menyinggung pula lingkaran $\left(x – 4 \right)^{2} + \left(y – 3\right)^{2} = p$. Nilai $p = \cdots$

$\begin{align} (A)\ & 3 \\ (B)\ & 2,5 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 1,5 \\ (E)\ & 1 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pada lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran melalui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ yang tepat berada pada lingkaran adalah $ x \cdot x_{1} + y \cdot y_{1} =r^{2}$.


Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} = 10$ jika titik singgungnya $P \left(3, 1 \right)$ adalah:
$\begin{align}
x \cdot x_{1} + y \cdot y_{1} &= r^{2} \\ x \cdot (3) + y \cdot (1) &= 10 \\ 3x + y &= 10 \end{align}$

Garis $3x + y= 10$ juga menyinggung lingkaran $\left(x – 4 \right)^{2} + \left(y – 3\right)^{2} = p$ sehingga jarak titik pusat $\left( 4,3 \right)$ ke garis $3x + y= 10$ merupakan jari-jari lingkaran. Sehingga nilai $p$ adalah:
$\begin{align} p &= r^{2} \\ &= \left( \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \right)^{2} \\ &= \left( \left| \dfrac{(3)(4)+(1)(3)-10}{\sqrt{3^{2}+1^{2}}} \right| \right)^{2} \\ &= \left( \left| \dfrac{5}{\sqrt{10}} \right| \right)^{2} \\ &= \dfrac{25}{10} = 2,5 \end{align}$

Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:

Garis singgung pada lingkaran $x^{2} + y^{2} = 10$ di titik $P \left(3, 1 \right)$ menyinggung pula lingkaran $\left(x – 4 \right)^{2} + \left(y – 3\right)^{2} = p$. Nilai $p = \cdots$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2,5$

21. Soal Latihan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung suatu lingkaran $x^{2} + y^{2}=8$ yang ditarik dari titik $T \left(-3,1 \right)$ di luar lingkaran adalah...

$\begin{align} (A)\ & 3x – 4y + 18 = 0 \\ (B)\ & x + y – 4 = 0 \\ (C)\ & 7x + y + 20 = 0 \\ (D)\ & 5x – 7y + 15 = 0 \\ (E)\ & 4x – y + 12 = 0 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan ini ada beberapa cara yang bisa kita gunakan, antara lain menggunakan jarak titik ke garis, menggunakan diskriminan persamaan kuadrat persekutuan, atau menggunakan persamaan garis yang ditentukan dengan dua cara.


Berikut ini yang kita gunakan adalah menggunakan persamaan garis singgung yang ditentukan dengan dua cara.


Garis singgung lingkaran kita misalkan gradiennya $m$ dan melalui titik $T \left(-3, 1 \right)$ sehingga persamaan garis adalah:
$\begin{align}
y - y_{1} &= m \left( x - x_{1} \right) \\ y - 1 &= m \left( x + 3 \right) \\ y &= mx + 3m + 1 \end{align}$


Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2}=8$ dengan gradien $m$ adalah:
$\begin{align}
y &= m x \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\ y &= mx \pm \sqrt{8} \cdot \sqrt{m^{2}+1} \\ y &= mx \pm \sqrt{8m^{2}+8} \end{align}$


Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
y &= y \\ mx \pm \sqrt{8m^{2}+8} &= mx + 3m + 1 \\ \pm \sqrt{8m^{2}+8} &= 3m + 1 \\ 8m^{2}+ 8 &= \left( 3m + 1 \right)^{2} \\ 8m^{2}+ 8 &= 9m^{2}+6m+ 1 \\ m^{2}+6m - 7 &= 0 \\ \left( m+7 \right) \left( m-1 \right)&= 0 \\ m= -7\ \text{atau}\ & m= 1 \end{align}$

  • untuk $m=-7$ kita peroleh $y= -7x + 3(-7) + 1$ atau $ y=-7x-20$
  • untuk $m= 1$ kita peroleh $y= x+3 (1)+1$ atau $ y= x+4$.

Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:

Persamaan garis singgung suatu lingkaran $x^{2} + y^{2}=8$ yang ditarik dari titik $T \left(-3,1 \right)$ di luar lingkaran adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7x + y + 20 = 0$

22. Soal Latihan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Diketahui lingkaran yang melalui titik-titik $O \left( 0,0 \right)$, $A \left( 0,8 \right)$ dan $B \left( 6,0 \right)$. Persamaan garis singgung lingkaran tersebut di titik $A$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 3x – 4y – 32 = 0 \\ (B)\ & 3x – 4y + 32 = 0 \\ (C)\ & 3x + 4y – 32 = 0 \\ (D)\ & 4x + 3y – 32 = 0 \\ (E)\ & 4x – 3y + 32 = 0 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Persamaan umum lingkaran adalah $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C= 0$ melalui titik-titik $O \left( 0,0 \right)$, $A \left( 0,8 \right)$ dan $B \left( 6,0 \right)$ sehingga dapat kita tuliskan

  • Lingkaran melalui titik $O \left(0, 0 \right)$, kita peroleh $0^{2}+0^{2}+A(0)+B(0)+C= 0$ sehingga $C=0$
  • Lingkaran melalui titik $A \left( 0,8 \right)$, kita peroleh $0^{2}+8^{2}+A(0)+B(8)+0= 0$ sehingga $B=-8$
  • Lingkaran melalui titik $B \left(6, 0 \right)$, kita peroleh $6^{2}+0^{2}+A(6)+B(0)+0= 0$ sehingga $A=-6$

Untuk $A=-6$, $B=-8$ dan $C=0$ maka persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} -6x -8y = 0$

Pada lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$, garis singgung lingkaran melalui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ yang tepat berada pada lingkaran adalah $xx_{1} +yy_{1}+\frac{1}{2}A(x+x_{1})+\frac{1}{2}B(y+y_{1})+C=0$.


Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} -6x -8y = 0$ jika titik singgungnya $A \left( 0,8 \right)$ adalah:
$\begin{align}
xx_{1} +yy_{1}+\frac{1}{2}A(x+x_{1})+\frac{1}{2}B(y+y_{1})+C &= 0 \\ x(0) +y(8)+\frac{1}{2}(-6)(x+(0))+\frac{1}{2}(-8)(y+(8)) &= 0 \\ 8y-3x-4y-32 &= 0 \\ 4y -3x-32 &= 0 \end{align}$

Jika kita gambarkan kedudukan titik, garis dan lingkaran seperti berikut ini:

Diketahui lingkaran yang melalui titik-titik $O \left( 0,0 \right)$, $A \left( 0,8 \right)$ dan $B \left( 6,0 \right)$. Persamaan garis singgung lingkaran tersebut di titik $A$ adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3x – 4y + 32 = 0$

23. Soal Latihan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Jika lingkaran $x^{2} + y^{2} -mx -10y+4 = 0$, menyinggung sumbu $x$. maka nilai $m$ yang memenuhi adalah...

$\begin{align} (A)\ & -8\ \text{dan}\ 8 \\ (B)\ & -4\ \text{dan}\ 4 \\ (C)\ & -6\ \text{dan}\ 8 \\ (D)\ & -2\ \text{dan}\ 2 \\ (E)\ & -5\ \text{dan}\ 5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Lingkaran $x^{2} + y^{2} -mx -10y+4 = 0$ menyinggung sumbu $x$ atau garis $y=0$ sehingga dapat kita tuliskan:

$\begin{align} x^{2} + y^{2} -mx -10y+4 &= 0 \\ x^{2} + (0)^{2} -mx -10(0)+4 &= 0 \\ x^{2} – mx + 4 &= 0 \\ \hline D &= 0 \\ b^{2} - 4ac &= 0 \\ (-m)^{2} - 4(1)(4) &= 0 \\ m^{2} - 16 &= 0 \\ \left( m-4 \right) \left( m + 4 \right) &= 0 \\ m=4\ \text{atau}\ m=-4 & \end{align}$

Jika kita gambarkan kedudukan titik, garis dan lingkaran seperti berikut ini:

Jika lingkaran $x^{2} + y^{2} -mx -10y+4 = 0$, menyinggung sumbu $x$. maka nilai $m$ yang memenuhi adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -4\ \text{dan}\ 4$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Belajar Cara Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Matematika SMA: Cara Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih 🙏 support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar