Belajar matematika dasar SMA lewat Cara Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran Jika Diketahui Gradien Garis Singgung dan Persamaan Lingkaran serta Pembahasan Soal Latihan.
Pernah merasa bingung ketika harus menentukan persamaan garis singgung lingkaran, terutama jika yang diketahui hanya gradien garis singgung dan persamaan lingkaran.
Masalah persamaan garis singgung lingkaran, jika yang diketahui adalah gradien garis singgung dan persamaan lingkaran sering kali membuat siswa kesulitan menyelesaikannya, terutama saat menghadapi soal ujian. Tanpa pemahaman yang jelas, soal seperti ini bisa terasa rumit dan membingungkan.
Namun, jangan khawatir! Pada catatan ini, kita akan mempelajari langkah-langkah sederhana dan efektif untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan mudah, jika yang diketahui gradien garis singgung dan persamaan lingkaran.
Catatan ini untuk melengkapi catatan lingkaran kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran dan persamaan garis singgung lingkaran dari titik tepat pada lingkaran atai titik di luar lingkaran.
Persamaan Garis Singgung Lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ Jika Diketahui Gradien Garis Singgung
Persamaan garis singgung pada lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ jika diketahui gradien garis singgungnya adalah $m$, maka garis singgung ada dua garis yaitu $y =mx \pm r \sqrt{m^{2}+1}$, yang dapat kita jabarkan menjadi:
\begin{align}
y = mx + r \sqrt{m^{2}+1} \\
y = mx - r \sqrt{m^{2}+1} \\
\end{align}
Persamaan garis singgung pada lingkaran jika diketahui gradien garis adalah $m$, maka akan diperoleh dua persamaan garis yang menyinggung lingkaran. Karena jika gradien garis adalah $m$ maka akan diperoleh dua garis yang menyinggung lingkaran dimana kedua garis tersebut adalah garis sejajar.
Alternatif Pembuktian Rumus:
Diketahui sebuah lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ dan gradien garis singgung adalah $m$, maka persamaan garis singgung dapat kita tentukan dengan menggunakan hubungan garis yang menyinggung lingkaran yaitu $b^{2}-4ac=0$, dengan $D=b^{2}-4ac$ merupakan diskriminan persamaan kuadrat persekutuan.
Gradien garis diketahui adalah $m$, sehingga persamaan garis dapat kita misalkan dengan $y=mx$. Agar garis $y=mx$ menjadi garis singgung lingkaran, maka garis kita geser sejauh $\color{red}{n}$ sampai garis menyinggung lingkaran sehinga kita peroleh garis singgung lingkaran yaitu $y=mx+ \color{red}{n}$.
Dari persamaan garis singgung $y=mx+ \color{red}{n}$, diketahui $m$ sehingga kita akan mencari nilai $\color{red}{n}$ yang belum diketahui. Garis menyinggung lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, sehingga mereka mempunyai titik persekutuan, maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2} &= r^{2} \\
x^{2} + \left( mx+n \right)^{2} &= r^{2} \\
x^{2} + m^{2}x^{2}+n^{2}+2mnx &= r^{2} \\
x^{2} + m^{2}x^{2}+n^{2}+2mnx -r^{2}&= 0 \\
\left( m^{2}+1 \right)x^{2}+2mnx+n^{2}-r^{2}&= 0
\end{align}$
Karena garis menyinggung lingkaran, sehingga diskriminan $\left(D=b^{2}-4ac \right)$ persamaan kuadrat persekutuan di atas adalah nol.
$\begin{align}
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
\left( 2mn \right)^{2} - 4\left( m^{2}+1 \right)\left( n^{2}-r^{2} \right) & = 0 \\
4m^{2}n^{2} - 4m^{2}n^{2}+ 4m^{2}r^{2}-4n^{2}+4r^{2} & = 0 \\
4m^{2}r^{2}-4n^{2}+4r^{2} & = 0 \\
m^{2}r^{2}- n^{2}+ r^{2} & = 0 \\
m^{2}r^{2} + r^{2} & = n^{2} \\
\left( m^{2}+1 \right) r^{2} & = n^{2} \\
\pm \sqrt{ \left( m^{2}+1 \right) r^{2} } & = n \\
\pm r \sqrt{ m^{2}+1 } & = n
\end{align}$
Untuk nilai $\color{red}{n}$ yang kita peroleh di atas dan persamaan garis singgung $y=mx+\color{red}{n}$ kita peroleh $y=mx\color{red}{\pm r \sqrt{ m^{2}+1 }}$.
Persaman garis singgung lingkaran adalah $y=mx\color{red}{+ r \sqrt{ m^{2}+1 }}$ atau $y=mx\color{red}{- r \sqrt{ m^{2}+1 }}$.
Contoh soal PGS pada lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ jika diketahui gradien garis singgung
$(1).$ Persamaan garis singgung pada suatu lingkaran $x^{2} + y^{2} = 10$ jika gradien garis singgungnya $3$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran dengan gradien $m$ adalah $y =m \left(x \right) \pm \sqrt{m^{2}+1}$.
Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} = 10$ dengan gradien $m=3$ adalah:
$\begin{align}
y &= m \left(x \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\
y &= 3 \left(x \right) \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{(3)^{2}+1} \\
y &= 3 \left(x \right) \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{10} \\
y &= 3x \pm 10
\end{align}$
Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y= 3x \pm 10$
$(2).$ Persamaan garis singgung pada suatu lingkaran $x^{2} + y^{2} = 4$ jika gradien garis singgungnya $-\frac{4}{3}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran dengan gradien $m$ adalah $y =m \left(x \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1}$.
Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} = 4$ dengan gradien $-\frac{4}{3}$ adalah:
$\begin{align}
y &= m \left(x \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\
y &= -\frac{4}{3} \left(x \right) \pm 2 \cdot \sqrt{\left( -\frac{4}{3} \right)^{2}+1} \\
y &= -\frac{4}{3}x \pm 2 \cdot \sqrt{ \frac{16}{9}+1} \\
y &= -\frac{4}{3}x \pm 2 \cdot \sqrt{ \frac{25}{9}} \\
y &= -\frac{4}{3}x \pm 2 \cdot \frac{5}{3} \\
3y &= -4x \pm 10 \\
\end{align}$
Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4x+3y= \pm 10$
Persamaan Garis Singgung Lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$ Jika Diketahui Gradien Garis Singgung
Persamaan garis singgung pada lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$ jika diketahui gradien garis singgungnya adalah $m$, maka garis singgung ada dua garis yaitu $ y-b =m \left( x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1}$, yang dapat kita jabarkan menjadi:
\begin{align}
y-b = m \left( x-a \right) + r \sqrt{m^{2}+1} \\
y-b = m \left( x-a \right) - r \sqrt{m^{2}+1} \\
\end{align}
Persamaan garis singgung pada lingkaran jika diketahui gradien garis adalah $m$, maka akan diperoleh dua persamaan garis yang menyinggung lingkaran. Karena jika gradien garis adalah $m$ maka akan diperoleh dua garis yang menyinggung lingkaran dimana kedua garis tersebut adalah garis sejajar.
Alternatif Pembuktian Rumus:
Diketahui sebuah lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$ dan gradien garis singgung adalah $m$, maka persamaan garis singgung dapat kita tentukan dengan menggunakan hubungan garis yang menyinggung lingkaran yaitu $b^{2}-4ac=0$, dengan $D=b^{2}-4ac$ merupakan diskriminan persamaan kuadrat persekutuan.
Gradien garis diketahui adalah $m$, sehingga persamaan garis dapat kita misalkan dengan $y-b =m\left(x-a \right)$. Agar garis $y-b =m\left(x-a \right)$ menjadi garis singgung lingkaran, maka garis kita geser sejauh $\color{red}{n}$ sampai garis menyinggung lingkaran sehinga kita peroleh garis singgung lingkaran yaitu $y-b =m\left(x-a \right)+\color{red}{n}$.
Dari persamaan garis singgung $y-b =m\left(x-a \right)+\color{red}{n}$ diketahui $a,\ b,$ dan $m$ sehingga kita akan mencari nilai $\color{red}{n}$ yang belum diketahui. Garis menyinggung lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, sehingga mereka mempunyai titik persekutuan, maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2} &= r^{2} \\
\left(x-a \right)^{2}+\left( m\left(x-a \right)+n \right)^{2} &= r^{2} \\
\hline
\text{misal:}\ p = x-a & \\
\hline
p^{2}+\left( mp+n \right)^{2} &= r^{2} \\
p^{2}+ m^{2}p^{2}+n^{2}+2mnp-r^{2}&= 0 \\
\left( 1+ m^{2} \right)p^{2} +2mnp+n^{2}-r^{2} &= 0
\end{align}$
Karena garis menyinggung lingkaran, sehingga diskriminan $\left(D=b^{2}-4ac \right)$ persamaan kuadrat persekutuan di atas adalah nol.
$\begin{align}
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
\left(2mn \right)^{2} - 4\left( m^{2}+1 \right)\left( n^{2}-r^{2} \right) & = 0 \\
4m^{2}n^{2} - 4\left( m^{2}n^{2}-m^{2}r^{2}+ n^{2}-r^{2} \right) & = 0 \\
4m^{2}n^{2} - 4 m^{2}n^{2}+4m^{2}r^{2}-4n^{2}+4r^{2} & = 0 \\
4m^{2}r^{2}-4n^{2}+4r^{2} & = 0 \\
4m^{2}r^{2} +4r^{2} & = 4n^{2} \\
m^{2}r^{2} + r^{2} & = n^{2} \\
\pm \sqrt{ r^{2} \left (m^{2} + 1 \right) } & = n \\
\pm r \sqrt{ m^{2}+1 } & = n
\end{align}$
Untuk nilai $\color{red}{n}$ yang kita peroleh di atas dan persamaan garis singgung $y-b =m\left(x-a \right)+\color{red}{n}$ kita peroleh $y-b =m\left(x-a \right)\color{red}{\pm r \sqrt{ m^{2}+1 }}$ .
Persaman garis singgung lingkaran adalah $y-b =m\left(x-a \right)\color{red}{+ r \sqrt{ m^{2}+1 }}$ atau $y-b =m\left(x-a \right)\color{red}{- r \sqrt{ m^{2}+1 }}$.
Contoh soal PGS pada lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$ jika diketahui gradien garis singgung
$(3).$ Persamaan garis singgung pada suatu lingkaran $\left(x-2 \right)^{2}+\left(y+5 \right)^{2}=20$ jika diketahui gradien garis singgungnya $2$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Alternatif Pembahasan:
Pada lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran dengan gradien $m$ adalah $y-b=m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1}$.
Garis singgung lingkaran $\left(x-2 \right)^{2}+\left(y+5 \right)^{2}=20$ dengan gradien $2$ adalah:
$\begin{align}
y-b &= m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\
y-(-5) &= 2 \left(x-(2) \right) \pm \sqrt{20} \cdot \sqrt{\left( 2 \right)^{2}+1} \\
y+5 &= 2x - 4 \pm \sqrt{20} \cdot \sqrt{5} \\
y+5 &= 2x - 4 \pm \sqrt{100} \\
y &= 2x - 9 \pm 10 \\
y &= 2x +1\ \text{atau} \\
y &= 2x -19
\end{align}$
Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y = 2x + 1$
$(4).$ Persamaan garis singgung pada suatu lingkaran $\left(x-3 \right)^{2}+\left(y-1 \right)^{2}=10$ jika diketahui gradien garis singgungnya $ \frac{1}{3}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran dengan gradien $m$ adalah $y-b=m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1}$.
Garis singgung lingkaran $\left(x-3 \right)^{2}+\left(y-1 \right)^{2}=10$ dengan gradien $\frac{1}{3}$ adalah:
$\begin{align}
y-b &= m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\
y-(1) &= \frac{1}{3} \left(x-(3) \right) \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{\left( \frac{1}{3} \right)^{2}+1} \\
y-1 &= \frac{1}{3} \left(x-3 \right) \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{ \frac{1}{9}+1} \\
y-1 &= \frac{1}{3} \left(x-3 \right) \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{ \frac{10}{9}} \\
y-1 &= \frac{1}{3} \left(x-3 \right) \pm \sqrt{ \frac{100}{9}} \\
y-1 &= \frac{1}{3} \left(x-3 \right) \pm \frac{10}{3} \\
3y-3 &= x-3 \pm 10 \\
3y &= x \pm 10
\end{align}$
Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x-3y = 10$
Soal Latihan dan Pembahasan Persamaan Garis Singgung Lingkaran Jika Diketahui Gradien Garis Singgung
Untuk menambah pemahaman kita terkait lingkaran, khususnya Persamaan Garis Singgung Lingkaran ini, mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Lingkaran Matematika SMA.
Soal latihan lingkaran berikut ini, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 8 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Soal Latihan PGS Lingkaran
Persamaan garis singgung pada suatu lingkaran $x^{2} + y^{2} – 6x + 4y + 3 = 0$ jika diketahui gradien garis singgungnya $-3$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran dengan gradien $m$ adalah $y-b=m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1}$.
Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} – 6x + 4y + 3 = 0$ dengan gradien $-3$ adalah:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2} – 6x + 4y + 3 &= 0\\
\left( x-3 \right)^{2}-9 + \left( y+2 \right)^{2}-4 +3 &= 0 \\
\left( x-3 \right)^{2} + \left( y+2 \right)^{2} &= 10
\end{align}$
Dari persamaan lingkaran di atas kita peroleh:
$\begin{align}
y-b &= m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\
y-(-2) &= (-3) \left(x-(3) \right) \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{\left( -3 \right)^{2}+1} \\
y+2 &= -3x+9 \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{10} \\
y &= -3x+7 \pm 10 \\
y &= -3x-3\ \text{atau} \\
y &= -3x + 17
\end{align}$
Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ y=–3x – 3$
2. Soal Latihan PGS Lingkaran
Persamaan garis singgung pada suatu lingkaran $x^{2} + y^{2} – 8x + 6y + 17 = 0$ jika diketahui gradien garis singgungnya $-1$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran dengan gradien $m$ adalah $y-b=m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1}$.
Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} – 8x + 6y + 17 = 0$ dengan gradien $-1$ adalah:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2} – 8x + 6y + 17 &= 0\\
\left( x-4 \right)^{2}-16 + \left( y+3 \right)^{2}-9 + 17 &= 0 \\
\left( x-4 \right)^{2} + \left( y+3 \right)^{2} &= 8
\end{align}$
Dari persamaan lingkaran di atas kita peroleh:
$\begin{align}
y-b &= m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\
y-(-3) &= (-1) \left(x-(4) \right) \pm \sqrt{8} \cdot \sqrt{\left( -1 \right)^{2}+1} \\
y+3 &= - x+4 \pm \sqrt{8} \cdot \sqrt{2} \\
y &= - x+1 \pm \sqrt{16} \\
y &= - x+1 \pm 4 \\
y &= - x+5\ \text{atau} \\
y &= - x -3
\end{align}$
Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y = -x+5$
3. Soal Latihan PGS Lingkaran
Jika lingkaran $x^{2} + y^{2} -mx -10y+4 = 0$, menyinggung sumbu $x$. maka nilai $m$ yang memenuhi adalah...
Alternatif Pembahasan:
Lingkaran $x^{2} + y^{2} -mx -10y+4 = 0$ menyinggung sumbu $x$ atau garis $y=0$ sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} x^{2} + y^{2} -mx -10y+4 &= 0 \\ x^{2} + (0)^{2} -mx -10(0)+4 &= 0 \\ x^{2} – mx + 4 &= 0 \\ \hline D &= 0 \\ b^{2} - 4ac &= 0 \\ (-m)^{2} - 4(1)(4) &= 0 \\ m^{2} - 16 &= 0 \\ \left( m-4 \right) \left( m + 4 \right) &= 0 \\ m=4\ \text{atau}\ m=-4 & \end{align}$
Jika kita gambarkan kedudukan titik, garis dan lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -4\ \text{dan}\ 4$
4. Soal Latihan PGS Lingkaran
Persamaan garis singgung pada suatu lingkaran $\left(x-2 \right)^{2}+\left(y+3 \right)^{2}=16$ yang sejajar dengan garis $3x – 4y = 6$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran dengan gradien $m$ adalah $y-b=m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1}$.
Gradien garis $3x – 4y = 6$ adalah $m=\frac{3}{4}$, dan garis yang sejajar dengan garis $3x – 4y = 6$ mempunyai gradien yang sama. Sehingga garis singgung pada lingkaran $\left(x-2 \right)^{2}+\left(y+3 \right)^{2}=16$ gradiennya $m=\frac{3}{4}$
$\begin{align}
y-b &= m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\
y+3 &= \frac{3}{4} \left( x-2 \right) \pm 4 \cdot \sqrt{\left( \frac{3}{4} \right)^{2}+1} \\
y+3 &= \frac{3}{4} \left(x-2 \right) \pm 4 \cdot \sqrt{ \frac{9}{16}+1} \\
y+3 &= \frac{3}{4} \left(x-2 \right) \pm 4 \cdot \sqrt{ \frac{25}{16}} \\
y+3 &= \frac{3}{4} \left(x-2 \right) \pm 4 \cdot \frac{5}{4} \\
y+3 &= \frac{3}{4} \left(x-2 \right) \pm 5 \\
4y+12 &= 3x-6 \pm 20 \\
4y &= 3x -18 \pm 20
\end{align}$
Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3x – 4y = 38$
5. Soal Latihan PGS Lingkaran
Garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-2y+5=0$ yang sejajar garis $2x-y+7=0$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran dengan gradien $m$ adalah $y-b=m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1}$.
Gradien garis $2x-y+7=0$ adalah $m=2$, dan garis yang sejajar dengan garis $2x-y+7=0$ mempunyai gradien yang sama. Sehingga garis singgung pada lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-2y+5=0$ gradiennya $m=2$.
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-6x-2y+5 &= 0 \\
\left( x-3 \right)^{2}-9+\left( y-1 \right)^{2}-1 +5 &= 0 \\
\left( x-3 \right)^{2} +\left( y-1 \right)^{2} &= 5 \\
\hline
\end{align}$
$\begin{align}
y-b &= m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\
y-1 &= 2 \left( x-3 \right) \pm \sqrt{5} \cdot \sqrt{\left( 2 \right)^{2}+1} \\
y-1 &= 2x-6 \pm \sqrt{5} \cdot \sqrt{ 5} \\
y-1 &= 2x-6 \pm 5 \\
y &= 2x-5 \pm 5
\end{align}$
Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2x – y – 10 = 0$
6. Soal Latihan PGS Lingkaran
Persamaan garis singgung pada suatu lingkaran $\left(x-2 \right)^{2}+\left(y-1 \right)^{2}=25$ yang tegak lurus dengan garis $x+y+4=0$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran dengan gradien $m$ adalah $y-b=m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1}$.
Dua garis yang tegak lurus perkalian kedua gradien garis adalah $-1$. Garis $x+y+4=0$ gradiennya adalah $m=-1$, sehingga garis yang tegak lurus dengan $x+y+4=0$ gradiennya adalah $m=1$. Garis singgung pada lingkaran $\left(x-2 \right)^{2}+\left(y-1 \right)^{2}=25$ gradiennya $m=1$
$\begin{align}
y-b &= m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\
y-1 &= 1 \left( x-2 \right) \pm 5 \cdot \sqrt{\left( 1 \right)^{2}+1} \\
y-1 &= \left(x-2 \right) \pm 5 \cdot \sqrt{2} \\
y &= x-2 \pm 5 \sqrt{2}+1 \\
y &= x-1 \pm 5 \sqrt{2}
\end{align}$
Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y = x – 1 \pm 5 \sqrt{2}$
7. Soal Latihan PGS Lingkaran
Persamaan garis singgung pada suatu lingkaran $x^{2} + y^{2} + 4x - 6y - 7 = 0$ jika diketahui garis singgungnya sejajar dengan garis $3x – 4y + 5 =0$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran dengan gradien $m$ adalah $y-b=m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1}$.
Gradien garis singgung yang kita perlukan sama dengan gradien garis $3x – 4y + 5 =0$, karena garis singgung sejajar dengan garis tersebut. Gradien garis singgung adalah $m=\frac{3}{4}$.
Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} + 4x - 6y - 7 = 0$ dengan gradien $m=\frac{3}{4}$ adalah:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2} + 4x - 6y - 7 &= 0\\
\left( x+2 \right)^{2}-4 + \left( y-3 \right)^{2}-9 -7 &= 0 \\
\left( x+2 \right)^{2} + \left( y-3 \right)^{2} -20 &= 0 \\
\left( x+2 \right)^{2} + \left( y-3 \right)^{2} &= 20
\end{align}$
Dari persamaan lingkaran di atas kita peroleh:
$\begin{align}
y-b &= m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\
y-(3) &= \frac{3}{4} \left(x-(-2) \right) \pm \sqrt{20} \cdot \sqrt{\left( \frac{3}{4} \right)^{2}+1} \\
y-3 &= \frac{3}{4} \left(x+2 \right) \pm \sqrt{20} \cdot \sqrt{ \frac{9}{16} +1} \\
y-3 &= \frac{3}{4} \left(x+2 \right) \pm \sqrt{4 \cdot 5} \cdot \sqrt{ \frac{25}{16} } \\
y-3 &= \frac{3}{4} \left(x+2 \right) \pm 2\sqrt{5} \cdot \frac{5}{4} \\
4y-12 &= 3 \left(x+2 \right) \pm 10\sqrt{5} \\
4y-12 &= 3x+6 \pm 10\sqrt{5} \\
4y-3x &= 18 \pm 10\sqrt{5} \\
3x-4y &= -18 \pm 10\sqrt{5}
\end{align}$
Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3x-4y = -18 \pm 10\sqrt{5}$
8. Soal Latihan PGS Lingkaran
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $x^{2} + y^{2} + 4x - 6y - 7 = 0$, jika diketahui garis singgungnya tegak lurus dengan garis $2x+y-4=0$...
Alternatif Pembahasan:
Pada lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran dengan gradien $m$ adalah $y-b=m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1}$.
Gradien garis singgung yang kita perlukan dapat kita cari dari gradien garis $2x+y-4=0$, karena garis singgung tegak lurus dengan garis tersebut. Gradien garis singgung adalah:
$\begin{align}
m_{gs} \times m_{g} &= -1 \\
m_{gs} \times (-2) &= -1 \\
m_{gs} &= \frac{1}{2}
\end{align}$
Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} + 4x - 6y - 7 = 0$ dengan gradien $m_{gs}=\frac{1}{2}$ adalah:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2} + 4x - 6y - 7 &= 0\\
\left( x+2 \right)^{2}-4 + \left( y-3 \right)^{2}-9 -7 &= 0 \\
\left( x+2 \right)^{2} + \left( y-3 \right)^{2} -20 &= 0 \\
\left( x+2 \right)^{2} + \left( y-3 \right)^{2} &= 20
\end{align}$
Dari persamaan lingkaran di atas kita peroleh:
$\begin{align}
y-b &= m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\
y-(3) &= \frac{1}{2} \left(x-(-2) \right) \pm \sqrt{20} \cdot \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^{2}+1} \\
y-3 &= \frac{1}{2} \left(x+2 \right) \pm \sqrt{20} \cdot \sqrt{ \frac{1}{4} +1} \\
y-3 &= \frac{1}{2} \left(x+2 \right) \pm \sqrt{4 \cdot 5} \cdot \sqrt{ \frac{5}{4} } \\
y-3 &= \frac{1}{2} \left(x+2 \right) \pm 2\sqrt{5} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{5} \\
y-3 &= \frac{1}{2} \left(x+2 \right) \pm 5 \\
2y-6 &= x+2 \pm 10 \\
2y-x &= 6+2 \pm 10 \\
2y-x &= 8 \pm 10
\end{align}$
Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2y-x=18 $
Catatan Belajar Cara Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
