Calon guru belajar matematika dasar SMA lewat Soal Latihan dan Pembahasan Hubungan Dua Lingkaran. Catatan ini merupakan kelanjutan dari catatan sebelumnya Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran, Bentuk Baku dan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran, dan Persamaan Garis Singgung Lingkaran.
HUBUNGAN DUA LINGKARAN
Untuk menentukan hubungan dua lingkaran atau kedudukan dua lingkaran dapat kita tentukan dengan melihat nilai diskriminan $\left( D=b^{2}-4ac \right)$ persamaan kuadrat persekutuan kedua lingkaran dan nilai jari-jari kedua lingkaran.
Misal lingkaran $L_{1}$ pusatnya adalah $P_{1} \left(x_{1},y_{1} \right)$ dan jari-jarinya $r_{1}$ sedangkan lingkaran $L_{2}$ pusatnya adalah $P_{2} \left(x_{2},y_{2} \right)$ dan jari-jarinya $r_{2}$ akan memiliki beberapa hubungan, antara lain:
Dua Lingkaran Berpotongan di Dua Titik
Lingkaran akan berpotongan saat $D \gt 0$ dan $r_{1}+r_{2} \gt \left| P_{1}P_{2} \right|$
Dua Lingkaran Bersinggungan di Dalam
Lingkaran akan bersinggungan di dalam saat $D = 0$ dan Jika $r_{1} \gt r_{2}$ maka $r_{1}-r_{2} = \left| P_{1}P_{2} \right|$
Dua Lingkaran Bersinggungan di Luar
Lingkaran akan bersinggungan di luar saat $D = 0$ dan $r_{1}+r_{2} = \left| P_{1}P_{2} \right|$
Dua Lingkaran Tidak Bersinggungan dan Tidak Berpotongan di Dalam
Lingkaran tidak bersinggungan dan tidak berpotongan di dalam saat $D \lt 0$ dan $r_{1}+r_{2} \gt \left| P_{1}P_{2} \right|$
Dua Lingkaran Tidak Bersinggungan, Tidak Berpotongan di Dalam dan Sepusat
Lingkaran tidak bersinggungan, tidak berpotongan di dalam dan sepusat saat $D \lt 0$ dan $ P_{1}=P_{2}$
Dua Lingkaran Tidak Bersinggungan dan Tidak Berpotongan di Luar
Lingkaran tidak bersinggungan dan tidak berpotongan di luar saat $D \lt 0$ dan $r_{1}+r_{2} \lt \left| P_{1}P_{2} \right|$
Soal Latihan dan Pembahasan Hubungan Dua Lingkaran
Untuk menambah pemahaman kita terkait Lingkaran, khususnya Hubungan Dua Lingkaran ini, mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Lingkaran Matematika SMA Kurikulum 2013.
Untuk soal Lingkaran yang sudah pernah diujikan pada seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri silahkan di simak pada catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Lingkaran.
1. Soal Latihan Hubungan Dua Lingkaran
Titik potong lingkaran $x^{2}+y^{2}– 8x+6y+17 = 0$ dan $x^{2}+y^{2} + 2x + 6y – 3 = 0$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left( 2,5 \right) \\ (B)\ & \left( 2,-1 \right) \\ (C)\ & \left( 4,-1 \right) \\ (D)\ & \left( 4,3 \right) \\ (E)\ & \left( 2,3 \right) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mendapatkan titik potong kedua lingkaran, pertama kita dapatkan persamaan kuadrat persekutuan kedua lingkaran, yaitu:
$\begin{align} x^{2}+y^{2}– 8x+6y+17 &= 0 \\ x^{2}+y^{2} + 2x + 6y – 3 &= 0\ \ (-) \\ \hline -10x + 20 & =0 \\ x = 2 & \end{align}$
Untuk $x=2$ kita peroleh:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}– 8x+6y+17 &= 0 \\
(2)^{2}+y^{2}– 8( 2)+6y+17 &= 0 \\
4+y^{2}-16+6y+17 &= 0 \\
y^{2}+6y+5 &= 0 \\
\left(y+1 \right)\left(y+5 \right) &= 0 \\
y=-1\ \text{atau}\ y=-5 &
\end{align}$
Titik potong kedua lingkaran adalah $\left( 2,-1 \right)$ dan $\left( 2,-5 \right)$.
Jika kita gambarkan kedudukan kedua lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left( 2,-1 \right)$
2. Soal Latihan Hubungan Dua Lingkaran
Diketahui lingkaran $x^{2}+y^{2}– 4x + 6y – 7 = 0$ dan $x^{2}+y^{2} – 10x – 6y + 29 = 0$. Titik singgung kedua lingkaran itu adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left( -3,5 \right) \\ (B)\ & \left( 2,4 \right) \\ (C)\ & \left( 3, 1 \right) \\ (D)\ & \left( -2,3 \right) \\ (E)\ & \left( 4,1 \right) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mendapatkan titik potong kedua lingkaran, pertama kita dapatkan persamaan kuadrat persekutuan kedua lingkaran, yaitu:
$\begin{align} x^{2}+y^{2}– 4x + 6y – 7 &= 0 \\ x^{2}+y^{2} – 10x – 6y + 29 &= 0\ \ (-) \\ \hline 6x +12y -36 & =0 \\ x + 2y - 6 & =0 \\ x & = 6-2y \end{align}$
Untuk $x=6-2y$ kita peroleh:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}– 4x + 6y – 7 &= 0 \\
(6-2y)^{2}+y^{2}– 4(6-2y) + 6y – 7 &= 0 \\
4y^{2}-24y+36+y^{2}– 24+8y+ 6y – 7 &= 0 \\
5y^{2}-10y+ 5 &= 0 \\
y^{2}-2y+ 1 &= 0 \\
\left(y-1 \right)\left(y-1 \right) &= 0 \\
y= 1\ \text{atau}\ y=1 &
\end{align}$
Untuk $y=1$ maka $x=6-2(1)=4$, titik singgung kedua lingkaran adalah $\left( 4,1 \right)$.
Jika kita gambarkan kedudukan kedua lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left( 4,1 \right)$
3. Soal Latihan Hubungan Dua Lingkaran
Titik potong lingkaran $x^{2}+\left( y-2 \right)^{2} = 10$ dan lingkaran $\left( x-2 \right)^{2}+y^{2} = 10$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left( 3,3 \right)\ \text{dan} \left( 3,3 \right) \\ (B)\ & \left( 3,3 \right)\ \text{dan} \left( -1,-1 \right) \\ (C)\ & \left( 3,-3 \right)\ \text{dan} \left( 1,1 \right) \\ (D)\ & \left( -3,3 \right)\ \text{dan} \left( 1,1 \right) \\ (E)\ & \left( -3,-3 \right)\ \text{dan} \left( -1,-1 \right) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mendapatkan titik potong kedua lingkaran, pertama kita dapatkan persamaan kuadrat persekutuan kedua lingkaran, yaitu:
$\begin{align} x^{2}+\left( y-2 \right)^{2} &= 10 \\ \left( x-2 \right)^{2}+y^{2} &= 10 \\ \hline x^{2}+y^{2}-4y - 6 &= 0 \\ x^{2}+y^{2} -4x -6 &= 0\ \ (-) \\ \hline -4y+4x & =0 \\ x = y & \end{align}$
Untuk $x=y$ kita peroleh:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-4y - 6 &= 10 \\
x^{2}+x^{2}-4x - 6 &= 0 \\
2x^{2}-4x-6 &= 0 \\
x^{2}-2x-3 &= 0 \\
\left( x-3 \right)\left( x+1 \right) &= 0 \\
x=3\ \text{atau}\ x=-1 &
\end{align}$
Karena $x=y$ maka titik potong kedua lingkaran adalah $\left( 3,3 \right)$ dan $\left( -1,-1 \right)$.
Jika kita gambarkan kedudukan kedua lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left( 3,3 \right)\ \text{dan} \left( -1,-1 \right)$
4. Soal Latihan Hubungan Dua Lingkaran
Dua lingkaran $x^{2}+y^{2} – 6x + 4y – 12=0$ dan lingkaran $x^{2}+y^{2}– 10x + 6y – 8 = 0$ memiliki hubungan...
$\begin{align} (A)\ & \text{Saling berpotongan di dua titik} \\ (B)\ & \text{Saling berpotongan di tiga titik} \\ (C)\ & \text{Saling bersinggungan} \\ (D)\ & \text{Tidak berpotongan dan bersinggungan} \\ (E)\ & \text{Saling berimpit} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mengetahui hubungan atau kedudukan dua lingkaran kita coba lihat nilai $\left( D=b^{2}-4ac \right)$ persamaan kuadrat persekutuan kedua lingkaran.
$\begin{align} x^{2}+y^{2} – 6x + 4y – 12 &= 0 \\ x^{2}+y^{2}– 10x + 6y – 8 &= 0\ \ (-) \\ \hline 4x - 2y -4 &= 0 \\ 2x - y -2 &= 0 \\ 2x -2 &= y \end{align}$
Untuk $y=2x -2$ kita peroleh:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2} – 6x + 4y – 12 &= 0 \\
x^{2}+\left( 2x -2 \right)^{2} – 6x + 4\left( 2x -2 \right) – 12 &= 0 \\
x^{2}+4x^{2} – 8x + 4 -6x + 8x -8 – 12 &= 0 \\
5x^{2}-6x-16 &= 0 \\
\hline
\end{align}$
$\begin{align}
D &= b^{2}-4ac \\
&= \left( -6 \right)^{2}-4(5)(-16) \\
&= 36+320 \\
&= 356 \gt 0
\end{align}$
Karena $D \gt 0$ maka kedua lingkaran adalah Saling berpotongan di dua titik.
Jika kita gambarkan kedudukan kedua lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \text{Saling berpotongan di dua titik}$
5. Soal Latihan Hubungan Dua Lingkaran
Dua lingkaran $x^{2}+y^{2} + 2x – 6y + 9=0$ dan lingkaran $x^{2}+y^{2}+ 8x – 6y + 9 = 0$ memiliki hubungan...
$\begin{align} (A)\ & \text{Saling berpotongan} \\ (B)\ & \text{Saling bersinggungan di dalam} \\ (C)\ & \text{Saling bersinggungan di luar} \\ (D)\ & \text{Tidak berpotongan dan bersinggungan} \\ (E)\ & \text{satu pusat (konsentris)} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mengetahui hubungan atau kedudukan dua lingkaran kita coba lihat nilai $\left( D=b^{2}-4ac \right)$ persamaan kuadrat persekutuan kedua lingkaran.
$\begin{align} x^{2}+y^{2} + 2x – 6y + 9 &= 0 \\ x^{2}+y^{2} + 8x – 6y + 9 &= 0\ \ (-) \\ \hline -6x &= 0 \\ x &= 0 \end{align}$
Untuk $x=0$ kita peroleh:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2} + 2x – 6y + 9 &= 0 \\
0+y^{2} + 0 – 6y + 9 &= 0 \\
y^{2} – 6y + 9 &= 0 \\
\hline
\end{align}$
$\begin{align}
D &= b^{2}-4ac \\
&= \left( -6 \right)^{2}-4(1)(9) \\
&= 36-36 \\
&= 0
\end{align}$
Karena $D = 0$ maka kedua lingkaran adalah saling bersinggungan.
Untuk memeriksa apakah lingkaran bersinggungan dalam atau bersinggungan luar kita lihat dari $r_{1}+r_{2}$ dan nilai $\left|P_{1}P_{2} \right|$.
Lingkaran $x^{2}+y^{2} + 2x – 6y + 9=0$ pusatnya adalah $P_{1}=\left(-1,3 \right)$ dan $r_{1}=1$ sedangkan Lingkaran $x^{2}+y^{2}+ 8x – 6y + 9 = 0$ pusatnya adalah $P_{2}=\left(-4,3 \right)$ dan $r_{2}=4$.
Nilai $r_{1}+r_{2}=1+4=5$ dan
$\begin{align}
\left|P_{1}P_{2} \right| &= \sqrt{\left( x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left( y_{2}-y_{1} \right)^{2}} \\
&= \sqrt{\left( -4+1 \right)^{2}+\left( 3-3 \right)^{2}} \\
&= \sqrt{9+0} =3
\end{align}$
Kita peroleh $r_{1}+r_{2} \gt \left|P_{1}P_{2}\right|$ atau $r_{2}=r_{1} + \left|P_{1}P_{2}\right|$ sehingga kedua lingkaran adalah bersinggungan dalam.
Jika kita gambarkan kedudukan kedua lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \text{Saling bersinggungan di dalam}$
6. Soal Latihan Hubungan Dua Lingkaran
Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran $x^{2}+y^{2}+ 2x – 8y – 32=0$ dan lingkaran $x^{2}+y^{2}– 10x – 24y + 168= 0$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 6 \\ (B)\ & 8 \\ (C)\ & 10 \\ (D)\ & 12 \\ (E)\ & 15 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui bahwa kedua lingkaran mempunyai garis singgung persekutuan luar, dimana $x^{2}+y^{2}+ 2x – 8y – 32=0$ mempunyai pusat $P_{1}\left( -1,4 \right)$ dan jari-jari $r=7$ sedangkan $x^{2}+y^{2}– 10x – 24y + 168= 0$ mempunyai pusat $P_{2}\left( 5,12 \right)$ dan jari-jari $r=1$. Jika kita gambarkan seperti berikut ini:
Dari gambar di atas kita peroleh panjang garis singgung persekutuan luar adalah sama dengan $AP_{2}$ yang dapat kita hitung dengan menggunakan Teorema Pythagoras yaitu $AP_{2}^{2}=P_{1}P_{2}^{2}-AP_{1}^{2}$
$\begin{align} P_{1}P_{2} &= \sqrt{\left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} \\ &= \sqrt{\left(5+1 \right)^{2}+\left(12-4 \right)^{2}} \\ &= \sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 \\ \hline AP_{2}^{2} &= P_{1}P_{2}^{2}-AP_{1}^{2} \\ &= 10^{2}-6^{2} \\ &= 100-36 \\ AP_{2}&= \sqrt{64}=8 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 8$
7. Soal Latihan Hubungan Dua Lingkaran
Panjang garis singgung persekutuan luar lingkaran $x^{2}+y^{2}– 6x + 4y – 3=0$ dan lingkaran $x^{2}+y^{2}– 4y + p= 0$ sama dengan $4$ cm. Nilai $p$ sama dengan...
$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui bahwa kedua lingkaran mempunyai garis singgung persekutuan luar, dimana $x^{2}+y^{2}– 6x + 4y – 3=0$ mempunyai pusat $P_{1}\left( 3,-2 \right)$ dan jari-jari $r=4$ sedangkan $x^{2}+y^{2} – 4y + p= 0$ mempunyai pusat $P_{2}\left( 0, 2 \right)$ dan jari-jari $r$. Jika kita gambarkan seperti berikut ini:
Dari gambar di atas kita peroleh panjang garis singgung persekutuan luar adalah sama dengan $AP_{2}=4$, dengan menggunakan Teorema Pythagoras yaitu $AP_{2}^{2}=P_{1}P_{2}^{2}-AP_{1}^{2}$ kita dapat menghitung $AP_{1}$
$\begin{align}
P_{1}P_{2} &= \sqrt{\left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} \\
&= \sqrt{\left( 3-0 \right)^{2}+\left(-2-2 \right)^{2}} \\
&= \sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 \\
\hline
AP_{1}^{2} &= P_{1}P_{2}^{2}-AP_{2}^{2} \\
&= 5^{2}-4^{2} \\
&= 25-16 \\
AP_{1}&= \sqrt{9}=3
\end{align}$
Dengan $AP_{1}=3$ kita peroleh $4-r=3$ sehingga $r=1$.
Untuk $r=1$ pada lingkaran $x^{2}+y^{2}– 4y + p= 0$ maka:
$\begin{align}
r &= \sqrt{\left( -\frac{1}{2}A \right)^{2}+\left( -\frac{1}{2}B \right)^{2}-C} \\
1 &= \sqrt{\left( 0 \right)^{2}+\left( 2 \right)^{2}-p} \\
1 &= \sqrt{4-p} \rightarrow p=3
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3$
8. Soal Latihan Hubungan Dua Lingkaran
Lingkaran $L_{1}$ dan $L_{2}$ masing-masing berjari-jari $8\ cm$ dan $2\ cm$, serta jarak kedua pusat lingkaran itu sama dengan $12\ cm$. Panjang sabuk lilitan luar minimal yang diperlukan untuk menghubungkan lingkaran $L_{1}$ dan $L_{2}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 6\sqrt{3}+6\pi \\ (B)\ & 12\sqrt{3}+12\pi \\ (C)\ & 6\sqrt{3}+12\pi \\ (D)\ & 12\sqrt{3}+6\pi \\ (E)\ & 12\sqrt{3}-6\pi \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Lingkaran $L_{1}$ dengan $r=8$ dan $L_{2}$ dengan $r=2$, serta jarak kedua pusat lingkaran itu sama dengan $12$ jika kita gambarkan seperti berikut ini:
Dari gambar di atas panjang sabuk lilitan luar minimal adalah yang berwarna merah, dimana panjang minimalnya adalah $DG+GF+FE+FD$. Untuk menghitung panjang busur $DG$ dan $FE$ kita gunakan $\frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2\pi r$ dimana $\alpha$ adalah sudut pusat yang dibentuk panjang busur yang akan dihitung.
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $ABC$ kita peroleh:
$\begin{align}
BC^{2} &= AB^{2}-AC^{2} \\
&= 12^{2}-6^{2} \\
&= 144-36 \\
BC &= \sqrt{108}=6\sqrt{3}
\end{align}$
Dari segitiga siku-siku $ABC$ juga kita dapatkan $cos\ BAC=\frac{1}{2}$ sehingga $\angle BAC=60^{\circ}$ dan $\angle DAG=120^{\circ}$. Untuk $\angle DAG=120^{\circ}$, maka kita peroleh:
$\begin{align}
DG &= \frac{360^{\circ}-120^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r \\
&= \frac{240^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2 \cdot \pi \cdot 8 \\
&= \frac{4}{6} \cdot 16\pi = \frac{32}{3} \pi
\end{align}$
Dari segitiga siku-siku $ABC$ untuk $\angle BAC=60^{\circ}$ maka $\angle ABC=30^{\circ}$ dan $\angle ABE=30^{\circ}+90^{\circ}=120^{\circ}$, maka kita peroleh:
$\begin{align}
EF &= \frac{360^{\circ}-240^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r \\
&= \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2 \cdot \pi \cdot 2 \\
&= \frac{1}{3} \cdot 4\pi = \frac{4}{3} \pi
\end{align}$
Panjang sabuk lilitan luar minimal adalah:
$\begin{align}
& DG+GF+FE+FD \\
& \frac{32}{3} \pi + 6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} + \frac{4}{3} \pi \\
&= \frac{36}{3} \pi + 12\sqrt{3} \\
&= 12 \pi + 12\sqrt{3}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 12\sqrt{3}+12\pi$
9. Soal Latihan Hubungan Dua Lingkaran
Empat buah pipa masing-masing dengan garis tengah $6\ cm$ diikat erat seperti gambar berikut ini. Arah tali pengikat tegak lurus pada arah panjang pipa. Panjang tali minimal yang mengikat pipa-pipa itu adalah...
$\begin{align} (A)\ & 24+24\pi \\ (B)\ & 24+24\pi \\ (C)\ & 12+12\pi \\ (D)\ & 12 +12\pi \\ (E)\ & 24+6\pi \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan lingkaran di atas dengan titik-titik tambahan seperti berikut ini:
Dari gambar di atas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan adalah $(AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+HA)$,
Panjang $AB=CD=EF=GH=d$ dan panjang busur $BC=DE=FG=HA$ sehingga $AB+BC+CD+$$DE+EF+FG+GH+HA=$$4 \times (d+ BC)$
Perhatikan persegi panjang $ABPO$, sehingga $\measuredangle BPO=90^{\circ}$;
Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{90}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{4} \times \pi\ d
\end{align}$
Panjang tali minimum adalah:
$\begin{align}
4 \times (d+ BC) & =4 \times \left( d+\dfrac{1}{4} \times \pi\ d \right) \\
& =4d+ \pi\ d \\
& =(4+\pi) d \\
& =(4+\pi) \cdot 6 \\
& = 24+6\pi
\end{align}$
Untuk menghitung panjang tali minimum pada lingkaran berimpit lainnya silahkan disimak Cara Menghitung Panjang Tali Minimum Yang Diperlukan Untuk Mengikat Pipa (Lingkaran).
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 24+6\pi $
10. Soal Latihan Hubungan Dua Lingkaran
Persamaan garis tali busur persekutuan lingkaran $\left(x-3 \right)^{2}+y^{2} =8$ dan lingkaran $x^{2}+\left(y-3 \right)^{2} =8$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & y = -x \\ (B)\ & y = x \\ (C)\ & y = 2x \\ (D)\ & y = -2x \\ (E)\ & 2y = x \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedua lingkaran di atas seperti berikut ini:
Dari gambar di atas kita peroleh tali busur persukutuan adalah yang melalui titik $A$ dan titik $B$, kedua titik itu dapat kita peroleh dari:
$\begin{align} \left(x-3 \right)^{2}+y^{2} &= 8 \\ x^{2}+\left(y-3 \right)^{2} &= 8 \\ \hline x^{2}+y^{2}-6x +1 &= 0 \\ x^{2}+y^{2} -6y +1 &= 0\ \ (-) \\ \hline -6x+6y & =0 \\ x = y & \end{align}$
Untuk $x=y$ maka kita peroleh pada titik $A$ dan $B$ nilai $x=y$ sehingga persamaan garis tali busur persekutuan lingkaran adalah $y=x$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ y=x$
11. Soal Latihan Hubungan Dua Lingkaran
Jika lingkaran $x^{2}+y^{2} +6x+k=0$ dan $x^{2}+y^{2}+ 8y – 20 = 0$ saling bersinggungan di dalam, maka nilai $k$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 5 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 9 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui lingkaran bersinggungan dalam sehingga $r_{1}+r_{2} \gt \left|P_{1}P_{2} \right|$ atau $r_{1}=r_{2} + \left|P_{1}P_{2}\right|$ dengan $r_{1} \gt r_{2}$.
Lingkaran $x^{2}+y^{2}+ 8y – 20 = 0$ pusatnya adalah $P_{1}=\left( 0,-4 \right)$ dan jari-jarinya $r_{1}=6$ sedangkan Lingkaran $x^{2}+y^{2} +6x+k=0$ pusatnya adalah $P_{2}=\left(-3,0 \right)$ dan jari-jarinya $r_{2}$.
Jarak kedua titik pusat adalah:
$\begin{align}
\left|P_{1}P_{2} \right| &= \sqrt{\left( x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left( y_{2}-y_{1} \right)^{2}} \\
&= \sqrt{\left( 3-0 \right)^{2}+\left( 0+4 \right)^{2}} \\
&= \sqrt{9+16} = 5
\end{align}$
Karena lingkaran bersinggungan dalam yang harus memenuhi $r_{1}=r_{2} + \left|P_{1}P_{2}\right|$ dengan $r_{1} \gt r_{2}$ maka $6=r_{2} + 5$ atau $r_{2}=1$.
Untuk $r_{2}=1$ pada lingkaran $x^{2}+y^{2} +6x+k=0$ maka:
$\begin{align}
r &= \sqrt{\left( -\frac{1}{2}A \right)^{2}+\left( -\frac{1}{2}B \right)^{2}-C} \\
1 &= \sqrt{\left( -3 \right)^{2}+\left( 0 \right)^{2}-k} \\
1 &= \sqrt{9-k} \rightarrow k=8
\end{align}$
Jika kita gambarkan kedudukan kedua lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 8$
Catatan Belajar Hubungan Dua Lingkaran Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
