Soal dan Pembahasan Uji Kompetensi Eksponen Matematika Wajib SMA Kurikulum 2013

Uji Kompetensi Eksponen SMA Kurikulum 2013 - Soal dan Pembahasan (1.1) Diskusi yang berikut ini saya ambil dari Buku Siswa Matematika Kelas X Semester 1, pada uji kompetensi 1.1. Di buku itu sebenarnya ada 12 soal, tetapi disini yang dicoba untuk didiskusikan adalah mulai soal no.4 sampai no.12.
Uji Kompetensi Eksponen SMA Kurikulum 2013 - Soal dan Pembahasan (1.1)
Calon Guru belajar matematika dasar SMA lewat Soal dan Pembahasan Uji Kompetensi Eksponen Matematika Wajib SMA. Pada catatan sebelumnya yaitu PR Matematika Anakku yang Duduk di Kelas 1 SMP, Kurikulum 2013... Gak salah niih? ada baiknya untuk dicoba karena masih mempunyai keterkaitan yang erat.

Soal uji kompetensi eksponen ini kita ambil dari Buku Siswa Matematika Kelas X Semester 1, pada uji kompetensi 1.1. Di buku itu sebenarnya ada 12 soal, tetapi disini yang dicoba untuk didiskusikan adalah mulai soal no.4 sampai no.12.

Soal dan Pembahasan Uji Kompetensi Eksponen Matematika Wajib SMA


4. Soal Eksponen Matematika SMA

Tentukan nilai dari: $ \dfrac{1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+...}\ =...$
Alternatif Pembahasan:

Coba kita selesaikan dengan pemisalan, misalkan:
deret $ 1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...\ =\ A$ dan
deret $ 1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+...\ =\ B$

Sehingga bisa kita tuliskan
$\begin{align}
A-B & = 2^{-4}+4^{-4}+6^{-4}+8^{-4}+... \\

A-B & = 2^{-4} \left ( 1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+... \right )\\

A-B & = 2^{-4} \left ( A \right ) \\

A-B & = \dfrac{1}{16} \left ( A \right ) \\

\frac{15}{16} \left ( A \right ) & = B \\

\frac{A}{B} & = \frac{16}{15}
\end{align}$



5. Soal Eksponen Matematika SMA

Sederhanakanlah: $ \dfrac{\left (a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{3}{2}}\right )}{\left (a^{\frac{7}{6}}b^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{2}{3}}b\right )}\ =...$
Alternatif Pembahasan:

$ \frac{\left (a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{3}{2}}\right )}{\left (a^{\frac{7}{6}}b^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{2}{3}}b\right )}\ =...$

$ = \dfrac{ a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}}\ \left (a \cdot 1 - 1\cdot b\right )}{a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}}\left (a^{\frac{1}{2}}\cdot 1 - 1\cdot b^{\frac{1}{2}}\right )}$

$ = d\frac{ \left (a - b\right )}{\left (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}\right )}$

$ = d\frac{ \left (a - b\right )}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

$ = \sqrt{a}+\sqrt{b}$



6. Soal Eksponen Matematika SMA

Tentukan nilai $ x $ yang memenuhi persamaan berikut:
$ a.\ 2^{x}=8$
$ b.\ 4^{x}=0,125$
$ c.\ \left ( \frac{2}{5} \right )^{x}=1$
Alternatif Pembahasan:

$ a.\ 2^{x}=8$
$ 2^{x}=2^{3}$
$ x=3$

$ b.\ 4^{x}=0,125$
$ 2^{2x}=\frac{1}{8}$
$ 2^{2x}=2^{-3}$
$ 2x=-3$
$ x=\frac{-3}{2}$

$ c.\ \left ( \frac{2}{5} \right )^{x}=1$
$ \left ( \frac{2}{5} \right )^{x}=\left ( \frac{2}{5} \right )^{0}$
$ x\ =\ 0$



7. Soal Eksponen Matematika SMA

Tentukan hasil dari $ \frac{\left ( 2^{n+2} \right )^{2}-2^{2}\cdot 2^{2n}}{2^{n}\cdot 2^{n+2}}$
Alternatif Pembahasan:

$ \frac{\left ( 2^{n+2} \right )^{2}-2^{2}\cdot 2^{2n}}{2^{n}\cdot 2^{n+2}}$
dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat, dapat kita peroleh:
$ \frac{\left ( 2^{n+2} \right )^{2}-2^{2}\cdot 2^{2n}}{2^{n}\cdot 2^{n+2}}$

$ = \frac{ 2^{2n+4}-2^{2+2n}}{2^{2n+2}}$

$ = \frac{ 2^{2n}\cdot 2^{4}-2^{2}\cdot 2^{2n}}{2^{2n}\cdot 2^{2}}$

$ = \frac{ 2^{2n}( 2^{4}-2^{2})}{2^{2n}(2^{2})}=\frac{ 2^{4}-2^{2}}{2^{2}}=\frac{ 16-4}{4}=3$



8. Soal Eksponen Matematika SMA

Misalkan Anda diminta menghitung $ 7^{64}$. Berapa banyak perkalian yang Anda lakukan untuk mendapatkan nilai akhirnya? Bandingkan jawabanmu dengan temanmu. Pemenangnya di antara kalian adalah yang dapat mencari hasilnya dengan melakukan perkalian sesedikit mungkin. Coba tuliskan prosedur mengalikan yang paling sedikit banyak perkaliannya untuk menghitung $ 7^{64}$. Apakah prosedur tersebut dapat dipergunakan untuk pangkat positif berapapun juga?
Alternatif Pembahasan:

Misalkan anda diminta menghitung $ 7^{64}$. Berapa banyak perkalian yang anda lakukan untuk mendapatkan nilai akhirnya? Bandingkan jawabanmu dengan temanmu. Pemenangnya di antara kalian adalah yang dapat mencari hasilnya dengan melakukan perkalian sesedikit mungkin. Coba tuliskan prosedur mengalikan yang paling sedikit banyak perkaliannya untuk menghitung $ 7^{64}$. Apakah prosedur tersebut dapat dipergunakan untuk pangkat positif berapapun juga?

$ 7^{64}=\left ( 7^{2} \right )^{32}=\left (\left ( 7^{2} \right )^{2} \right )^{16}$
$ =\left (\left (\left ( 7^{2} \right )^{2} \right )^{2} \right )^{8}=\left (\left (\left (\left ( 7^{2} \right )^{2} \right )^{2} \right )^{2} \right )^{4}=\left (\left (\left (\left (\left ( 7^{2} \right )^{2} \right )^{2} \right )^{2} \right )^{2}\right )^{2}$

Ada sebanyak enam kali proses perkalian dan prosedur ini dapat dipergunakan untuk pangkat positif.


9. Soal Eksponen Matematika SMA

Berdasarkan sifat angka $7$, tentukan angka terakhir (satuan) dari $ 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123}$ tanpa menghitung tuntas.
Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan sifat angka 7, tentukan angka terakhir (satuan) dari $ 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123}$ tanpa menghitung tuntas.
Untuk menjawab soal diatas coba kita analisa satuan perpangkatan bilangan 7.
$ 7^{1}=7$___satuannya adalah 7
$ 7^{2}=49$___satuannya adalah 9
$ 7^{3}=343$___satuannya adalah 3
$ 7^{4}=2401$___satuannya adalah 1
$ 7^{5}=716807$___satuannya adalah 7
$ 7^{6}=*****9$___satuannya adalah 9
$ 7^{7}=*****3$___satuannya adalah 3
Karena yang dibutuhkan hanya satuan, maka dari pola bilangan diatas satuan akan kembali berulang setelah periode keempat. Artinya;
Bilangan satuan $ 7^{1}=7^{5}=7^{9}=...$
Bilangan satuan $ 7^{2}=7^{6}=7^{10}=...$
Bilangan satuan $ 7^{3}=7^{7}=7^{11}=...$
Bilangan satuan $ 7^{4}=7^{8}=7^{12}=...$
Kesimpulan yang dapat kita ambil adalah:
Jika pangkat bilangan 7 dibagi 4 sisa 1 satuannya adalah 7
Jika pangkat bilangan 7 dibagi 4 sisa 2 satuannya adalah 9
Jika pangkat bilangan 7 dibagi 4 sisa 3 satuannya adalah 3
Jika pangkat bilangan 7 dibagi 4 sisa 0 satuannya adalah 1

Kita kembali ke soal:
$ 7^{1234}$ satuannya adalah 9, karena 1234 dibagi 4 sisa 2.
$ 7^{2341}$ satuannya adalah 7, karena 2341 dibagi 4 sisa 1.
$ 7^{3412}$ satuannya adalah 1, karena 3412 dibagi 4 sisa 0.
$ 7^{4123}$ satuannya adalah 3, karena 4123 dibagi 4 sisa 3.
Sehingga:
$ 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123}$
$ =9+7+1+3=20$
Satuannya adalah 0 (nol)



10. Soal Eksponen Matematika SMA

Tentukan angka satuan dari $ \left ( 6^{26} \right )^{62}$ berdasarkan sifat angka 6, tanpa menghitung tuntas. Selanjutnya lakukan hal tersebut berdasarkan sifat bilangan 2, 3, 4, 5, 8, 9.
Alternatif Pembahasan:

Angka satuan dari $ \left ( 6^{26} \right )^{62}$ adalah 6.

Selanjutnya kita pilih soal yang tidak diminta yaitu untuk bilangan 7, soalnya menjadi angka satuan dari $ \left ( 7^{26} \right )^{62}$ berdasarkan sifat angka 7.

$ \left ( 7^{26} \right )^{62}=7^{26\cdot 62}=7^{2\cdot 13\cdot 2\cdot31}=7^{4\cdot 13\cdot 31}$

Pangkat bilangan 7 adalah $ 4\cdot 13\cdot 31$ dan jika $ 4\cdot 13\cdot 31$ dibagi 4 sisanya adalah 0 maka satuannya 1 (Seperti penjelasan soal no.9)
Untuk 2, 3, 4, 5, 8, dan 9 diserahkan kepada pembaca.



11. Soal Eksponen Matematika SMA

Tunjukkan bahwa: $ 1^{2001}+2^{2001}+3^{2001}+...+2000^{2001}+2001^{2001}$ kelipatan 13.
Alternatif Pembahasan:

$ a^{3}+b^{3}= \left (a+b \right) \left (a^{2} -ab+b^{2} \right)$
$ a^{5}+b^{5}= \left (a+b \right) \left (a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4} \right)$
Untuk n bilangan ganjil, kita peroleh persamaan:
$ a^{n}+b^{n}=\left ( a+b \right )\left ( a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-...-ab^{n-2}+b^{n-1} \right)$
sehingga $ a^{n}+b^{n}$ akan selalu habis dibagi $ \left ( a+b \right )$ untuk n bilangan ganjil.

Kita misalkan soal menjadi $ P = 1^{2001}+2^{2001}+3^{2001}+...+2000^{2001}+2001^{2001}$

$ 1^{2001}+2001^{2001}$ habis dibagi $ \left (1+2001 \right)$
dapat kita tuliskan
$ 1^{2001}+2001^{2001}= \left(1+2001 \right) \cdot \left(P_{1} \right)$

$ 2^{2001}+2000^{2001}$ habis dibagi $ \left (2+2000 \right)$
dapat kita tuliskan
$ 2^{2001}+2000^{2001}= \left(2+2002 \right )\cdot \left (P_{2} \right)$

$ 3^{2001}+1999^{2001}$ habis dibagi $ \left (3+1999 \right)$
dapat kita tuliskan
$ 3^{2001}+1999^{2001}= \left ( 3+1999 \right )\cdot \left (P_{3} \right)$
$ . . .$
$ 1000^{2001}+1002^{2001}$ habis dibagi $ \left ( 1000+1002 \right )$
dapat kita tuliskan
$ 1000^{2001}+1002^{2001}= \left ( 1000+1002 \right ) \cdot \left (P_{1000} \right)$

$ 1001^{2001}$ dapat kita tuliskan $ 1001^{2001}= \left ( 1001 \right ) \cdot \left (1001^{2000} \right )$

Jika
$ P = 1^{2001}+2^{2001}+3^{2001}+\cdots+2000^{2001}+2001^{2001}$

maka
$ P = 1^{2001}+2001^{2001}+2^{2001}+2000^{2001}+\cdots+1002^{2001}+1001^{2001}$

$ P = \left ( 1+2001 \right ) \cdot (P_{1}) + \left ( 2+2000 \right ) \cdot (P_{2}) +\cdots+ \left ( 1001 \right ) \cdot \left (1001^{2000} \right )$

$ P = \left ( 2002 \right ) \cdot (P_{1}) + \left ( 2002 \right ) \cdot (P_{2}) + \cdots+ \left ( 1001 \right ) \cdot \left (1001^{2000} \right )$

$ P = 1001\cdot \left [ \left ( 2 \right ) \cdot (P_{1}) + \left ( 2 \right ) \cdot (P_{2}) + \cdots+ \left (1001^{2000} \right ) \right ]$

$ P = 13 \cdot 77 \cdot \left [ \left ( 2 \right ) \cdot (P_{1}) + \left ( 2 \right ) \cdot (P_{2}) +\cdots+\left (1001^{2000} \right ) \right ]$

Karena $ P $ adalah bilangan kelipatan 13 maka $ P $ habis dibagi 13.



12. Soal Eksponen Matematika SMA

Bagaimana cara termudah untuk mencari $ \frac{3^{2008}\left ( 10^{2013}+5^{2012}\times 2^{2011} \right )}{5^{2012}\left ( 6^{2010}+3^{2009}\times 2^{2008} \right )}$
Alternatif Pembahasan:

pertanyaan seperti ini akan memberikan banyak proses karena mudah itu sifatnya relatif, kita coba apakah cara berikut Anda anggap mudah.
$ \frac{3^{2008}\left ( 10^{2013}+5^{2012}\times 2^{2011} \right )}{5^{2012}\left ( 6^{2010}+3^{2009}\times 2^{2008} \right )}$

$ = \frac{3^{2008}\left ( 2^{2013}\times 5^{2013}+5^{2012}\times 2^{2011} \right )}{5^{2012}\left ( 3^{2010}\times 2^{2010}+ 3^{2009}\times 2^{2008} \right )}$

$ = \frac{3^{2008}\times 2^{2011}\left ( 2^{2}\times 5^{2013}+5^{2012} \right )}{5^{2012}\times 2^{2008}\left ( 3^{2010}\times 2^{2}+ 3^{2009}\right )}$

$ = \frac{3^{2008}\times 2^{2011}\times 5^{2012}\left ( 2^{2}\times 5^{1}+1 \right )}{5^{2012}\times 2^{2008}\times 3^{2009}\left ( 3^{1}\times 2^{2}+ 1\right )}$

$ = \frac{2^{3}\left ( 2^{2}\times 5^{1}+1 \right )}{ 3\left ( 3^{1}\times 2^{2}+ 1\right )}$

$ = \frac{8\left ( 21 \right )}{ 3\left ( 3\times 4+ 1\right )}=\frac{168}{3\left ( 12+ 1\right )}=\frac{168}{ 3\left ( 13\right )}=\frac{56}{13}$


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Soal dan Pembahasan Uji Kompetensi Eksponen Matematika Wajib SMA silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

© defantri.com ~ Made with ❤️ in Lintongnihuta, IDN. Developed by Jago Desain