--> Skip to main content

Soal dan Pembahasan Uji Kompetensi Eksponen Matematika Wajib SMA Kurikulum 2013

Uji Kompetensi Eksponen SMA Kurikulum 2013 - Soal dan Pembahasan (1.1)
Calon Guru belajar matematika lewat Soal dan Pembahasan Uji Kompetensi Eksponen Matematika Wajib SMA Kurikulum 2013. Pada catatan sebelumnya yaitu PR Matematika Anakku yang Duduk di Kelas 1 SMP, Kurikulum 2013... Gak salah niih? dan Kurikulum 2013: Uji Kompetensi Matematika SMP Kelas 7 sama dengan di SMA Kelas 10 ada baiknya untuk dicoba karena masih mempunyai keterkaitan yang erat. Kedua catatan itu diambil dari buku kurikulum 2013 sebelum di revisi.

Soal iji kompetensi eksponen ini kita ambil dari Buku Siswa Matematika Kelas X Semester 1, pada uji kompetensi 1.1. Di buku itu sebenarnya ada 12 soal, tetapi disini yang dicoba untuk didiskusikan adalah mulai soal no.4 sampai no.12.

Soal dan Pembahasan Uji Kompetensi Eksponen Matematika Wajib SMA Kurikulum 2013


4. Tentukan nilai dari: $ \frac{1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+...}\ =...$

Alternatif Pembahasan:
Show

Coba kita selesaikan dengan pemisalan, misalkan:
deret $ 1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...\ =\ A$ dan
deret $ 1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+...\ =\ B$

Sehingga bisa kita tuliskan
$\begin{align}
A-B & = 2^{-4}+4^{-4}+6^{-4}+8^{-4}+... \\

A-B & = 2^{-4} \left ( 1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+... \right )\\

A-B & = 2^{-4} \left ( A \right ) \\

A-B & = \dfrac{1}{16} \left ( A \right ) \\

\frac{15}{16} \left ( A \right ) & = B \\

\frac{A}{B} & = \frac{16}{15}
\end{align}$


5. Sederhanakanlah: $ \frac{\left (a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{3}{2}}\right )}{\left (a^{\frac{7}{6}}b^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{2}{3}}b\right )}\ =...$

Alternatif Pembahasan:
Show

$ \frac{\left (a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{3}{2}}\right )}{\left (a^{\frac{7}{6}}b^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{2}{3}}b\right )}\ =...$

$ = \frac{ a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}}\ \left (a \cdot 1 - 1\cdot b\right )}{a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}}\left (a^{\frac{1}{2}}\cdot 1 - 1\cdot b^{\frac{1}{2}}\right )}$

$ = \frac{ \left (a - b\right )}{\left (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}\right )}$

$ = \frac{ \left (a - b\right )}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

$ = \sqrt{a}+\sqrt{b}$


6. Tentukan nilai $ x $ yang memenuhi persamaan berikut:
$ a.\ 2^{x}=8$
$ b.\ 4^{x}=0,125$
$ c.\ \left ( \frac{2}{5} \right )^{x}=1$

Alternatif Pembahasan:
Show

$ a.\ 2^{x}=8$
$ 2^{x}=2^{3}$
$ x=3$

$ b.\ 4^{x}=0,125$
$ 2^{2x}=\frac{1}{8}$
$ 2^{2x}=2^{-3}$
$ 2x=-3$
$ x=\frac{-3}{2}$

$ c.\ \left ( \frac{2}{5} \right )^{x}=1$
$ \left ( \frac{2}{5} \right )^{x}=\left ( \frac{2}{5} \right )^{0}$
$ x\ =\ 0$


7.Tentukan hasil dari $ \frac{\left ( 2^{n+2} \right )^{2}-2^{2}\cdot 2^{2n}}{2^{n}\cdot 2^{n+2}}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$ \frac{\left ( 2^{n+2} \right )^{2}-2^{2}\cdot 2^{2n}}{2^{n}\cdot 2^{n+2}}$
dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat, dapat kita peroleh:
$ \frac{\left ( 2^{n+2} \right )^{2}-2^{2}\cdot 2^{2n}}{2^{n}\cdot 2^{n+2}}$

$ = \frac{ 2^{2n+4}-2^{2+2n}}{2^{2n+2}}$

$ = \frac{ 2^{2n}\cdot 2^{4}-2^{2}\cdot 2^{2n}}{2^{2n}\cdot 2^{2}}$

$ = \frac{ 2^{2n}( 2^{4}-2^{2})}{2^{2n}(2^{2})}=\frac{ 2^{4}-2^{2}}{2^{2}}=\frac{ 16-4}{4}=3$


8. Misalkan Anda diminta menghitung $ 7^{64}$. Berapa banyak perkalian yang Anda lakukan untuk mendapatkan nilai akhirnya? Bandingkan jawabanmu dengan temanmu. Pemenangnya di antara kalian adalah yang dapat mencari hasilnya dengan melakukan perkalian sesedikit mungkin. Coba tuliskan prosedur mengalikan yang paling sedikit banyak perkaliannya untuk menghitung $ 7^{64}$. Apakah prosedur tersebut dapat dipergunakan untuk pangkat positif berapapun juga?

Alternatif Pembahasan:
Show

Misalkan anda diminta menghitung $ 7^{64}$. Berapa banyak perkalian yang anda lakukan untuk mendapatkan nilai akhirnya? Bandingkan jawabanmu dengan temanmu. Pemenangnya di antara kalian adalah yang dapat mencari hasilnya dengan melakukan perkalian sesedikit mungkin. Coba tuliskan prosedur mengalikan yang paling sedikit banyak perkaliannya untuk menghitung $ 7^{64}$. Apakah prosedur tersebut dapat dipergunakan untuk pangkat positif berapapun juga?

$ 7^{64}=\left ( 7^{2} \right )^{32}=\left (\left ( 7^{2} \right )^{2} \right )^{16}$
$ =\left (\left (\left ( 7^{2} \right )^{2} \right )^{2} \right )^{8}=\left (\left (\left (\left ( 7^{2} \right )^{2} \right )^{2} \right )^{2} \right )^{4}=\left (\left (\left (\left (\left ( 7^{2} \right )^{2} \right )^{2} \right )^{2} \right )^{2}\right )^{2}$

Ada sebanyak enam kali proses perkalian dan prosedur ini dapat dipergunakan untuk pangkat positif.

9. Berdasarkan sifat angka 7, tentukan angka terakhir (satuan) dari $ 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123}$ tanpa menghitung tuntas.

Alternatif Pembahasan:
Show

Berdasarkan sifat angka 7, tentukan angka terakhir (satuan) dari $ 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123}$ tanpa menghitung tuntas.
Untuk menjawab soal diatas coba kita analisa satuan perpangkatan bilangan 7.
$ 7^{1}=7$___satuannya adalah 7
$ 7^{2}=49$___satuannya adalah 9
$ 7^{3}=343$___satuannya adalah 3
$ 7^{4}=2401$___satuannya adalah 1
$ 7^{5}=716807$___satuannya adalah 7
$ 7^{6}=*****9$___satuannya adalah 9
$ 7^{7}=*****3$___satuannya adalah 3
Karena yang dibutuhkan hanya satuan, maka dari pola bilangan diatas satuan akan kembali berulang setelah periode keempat. Artinya;
Bilangan satuan $ 7^{1}=7^{5}=7^{9}=...$
Bilangan satuan $ 7^{2}=7^{6}=7^{10}=...$
Bilangan satuan $ 7^{3}=7^{7}=7^{11}=...$
Bilangan satuan $ 7^{4}=7^{8}=7^{12}=...$
Kesimpulan yang dapat kita ambil adalah:
Jika pangkat bilangan 7 dibagi 4 sisa 1 satuannya adalah 7
Jika pangkat bilangan 7 dibagi 4 sisa 2 satuannya adalah 9
Jika pangkat bilangan 7 dibagi 4 sisa 3 satuannya adalah 3
Jika pangkat bilangan 7 dibagi 4 sisa 0 satuannya adalah 1

Kita kembali ke soal:
$ 7^{1234}$ satuannya adalah 9, karena 1234 dibagi 4 sisa 2.
$ 7^{2341}$ satuannya adalah 7, karena 2341 dibagi 4 sisa 1.
$ 7^{3412}$ satuannya adalah 1, karena 3412 dibagi 4 sisa 0.
$ 7^{4123}$ satuannya adalah 3, karena 4123 dibagi 4 sisa 3.
Sehingga:
$ 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123}$
$ =9+7+1+3=20$
Satuannya adalah 0 (nol)


10. Tentukan angka satuan dari $ \left ( 6^{26} \right )^{62}$ berdasarkan sifat angka 6, tanpa menghitung tuntas. Selanjutnya lakukan hal tersebut berdasarkan sifat bilangan 2, 3, 4, 5, 8, 9.

Alternatif Pembahasan:
Show

Angka satuan dari $ \left ( 6^{26} \right )^{62}$ adalah 6.

Selanjutnya kita pilih soal yang tidak diminta yaitu untuk bilangan 7, soalnya menjadi angka satuan dari $ \left ( 7^{26} \right )^{62}$ berdasarkan sifat angka 7.

$ \left ( 7^{26} \right )^{62}=7^{26\cdot 62}=7^{2\cdot 13\cdot 2\cdot31}=7^{4\cdot 13\cdot 31}$

Pangkat bilangan 7 adalah $ 4\cdot 13\cdot 31$ dan jika $ 4\cdot 13\cdot 31$ dibagi 4 sisanya adalah 0 maka satuannya 1 (Seperti penjelasan soal no.9)
Untuk 2, 3, 4, 5, 8, dan 9 diserahkan kepada pembaca.


11. Tunjukkan bahwa: $ 1^{2001}+2^{2001}+3^{2001}+...+2000^{2001}+2001^{2001}$ kelipatan 13.

Alternatif Pembahasan:
Show

$ a^{3}+b^{3}= \left (a+b \right) \left (a^{2} -ab+b^{2} \right)$
$ a^{5}+b^{5}= \left (a+b \right) \left (a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4} \right)$
Untuk n bilangan ganjil, kita peroleh persamaan:
$ a^{n}+b^{n}=\left ( a+b \right )\left ( a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-...-ab^{n-2}+b^{n-1} \right)$
sehingga $ a^{n}+b^{n}$ akan selalu habis dibagi $ \left ( a+b \right )$ untuk n bilangan ganjil.

Kita misalkan soal menjadi $ P = 1^{2001}+2^{2001}+3^{2001}+...+2000^{2001}+2001^{2001}$

$ 1^{2001}+2001^{2001}$ habis dibagi $ \left (1+2001 \right)$
dapat kita tuliskan
$ 1^{2001}+2001^{2001}= \left(1+2001 \right) \cdot \left(P_{1} \right)$

$ 2^{2001}+2000^{2001}$ habis dibagi $ \left (2+2000 \right)$
dapat kita tuliskan
$ 2^{2001}+2000^{2001}= \left(2+2002 \right )\cdot \left (P_{2} \right)$

$ 3^{2001}+1999^{2001}$ habis dibagi $ \left (3+1999 \right)$
dapat kita tuliskan
$ 3^{2001}+1999^{2001}= \left ( 3+1999 \right )\cdot \left (P_{3} \right)$
$ . . .$
$ 1000^{2001}+1002^{2001}$ habis dibagi $ \left ( 1000+1002 \right )$
dapat kita tuliskan
$ 1000^{2001}+1002^{2001}= \left ( 1000+1002 \right ) \cdot \left (P_{1000} \right)$

$ 1001^{2001}$ dapat kita tuliskan $ 1001^{2001}= \left ( 1001 \right ) \cdot \left (1001^{2000} \right )$

Jika
$ P = 1^{2001}+2^{2001}+3^{2001}+\cdots+2000^{2001}+2001^{2001}$

maka
$ P = 1^{2001}+2001^{2001}+2^{2001}+2000^{2001}+\cdots+1002^{2001}+1001^{2001}$

$ P = \left ( 1+2001 \right ) \cdot (P_{1}) + \left ( 2+2000 \right ) \cdot (P_{2}) +\cdots+ \left ( 1001 \right ) \cdot \left (1001^{2000} \right )$

$ P = \left ( 2002 \right ) \cdot (P_{1}) + \left ( 2002 \right ) \cdot (P_{2}) + \cdots+ \left ( 1001 \right ) \cdot \left (1001^{2000} \right )$

$ P = 1001\cdot \left [ \left ( 2 \right ) \cdot (P_{1}) + \left ( 2 \right ) \cdot (P_{2}) + \cdots+ \left (1001^{2000} \right ) \right ]$

$ P = 13 \cdot 77 \cdot \left [ \left ( 2 \right ) \cdot (P_{1}) + \left ( 2 \right ) \cdot (P_{2}) +\cdots+\left (1001^{2000} \right ) \right ]$

Karena $ P $ adalah bilangan kelipatan 13 maka $ P $ habis dibagi 13.


12. Bagaimana cara termudah untuk mencari $ \frac{3^{2008}\left ( 10^{2013}+5^{2012}\times 2^{2011} \right )}{5^{2012}\left ( 6^{2010}+3^{2009}\times 2^{2008} \right )}$

Alternatif Pembahasan:
Show

pertanyaan seperti ini akan memberikan banyak proses karena mudah itu sifatnya relatif, kita coba apakah cara berikut Anda anggap mudah.
$ \frac{3^{2008}\left ( 10^{2013}+5^{2012}\times 2^{2011} \right )}{5^{2012}\left ( 6^{2010}+3^{2009}\times 2^{2008} \right )}$

$ = \frac{3^{2008}\left ( 2^{2013}\times 5^{2013}+5^{2012}\times 2^{2011} \right )}{5^{2012}\left ( 3^{2010}\times 2^{2010}+ 3^{2009}\times 2^{2008} \right )}$

$ = \frac{3^{2008}\times 2^{2011}\left ( 2^{2}\times 5^{2013}+5^{2012} \right )}{5^{2012}\times 2^{2008}\left ( 3^{2010}\times 2^{2}+ 3^{2009}\right )}$

$ = \frac{3^{2008}\times 2^{2011}\times 5^{2012}\left ( 2^{2}\times 5^{1}+1 \right )}{5^{2012}\times 2^{2008}\times 3^{2009}\left ( 3^{1}\times 2^{2}+ 1\right )}$

$ = \frac{2^{3}\left ( 2^{2}\times 5^{1}+1 \right )}{ 3\left ( 3^{1}\times 2^{2}+ 1\right )}$

$ = \frac{8\left ( 21 \right )}{ 3\left ( 3\times 4+ 1\right )}=\frac{168}{3\left ( 12+ 1\right )}=\frac{168}{ 3\left ( 13\right )}=\frac{56}{13}$


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras 

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Soal dan Pembahasan Uji Kompetensi Eksponen Matematika Wajib SMA Kurikulum 2013 silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Sangat Kreatif dan Sangat Cepat, Cara Alternatif Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat

youtube image
Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Soal dan Pembahasan Uji Kompetensi Eksponen Matematika Wajib SMA Kurikulum 2013" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih 🙏 support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar