Catatan Calon Guru berikut ini akan belajar Matematika dasar SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika SMA Limit Fungsi Trigonometri. Limit fungsi trigonometri adalah salah satu konsep dasar dalam kalkulus yang sering muncul dalam berbagai permasalahan matematika dan fisika. Konsep ini memungkinkan kita untuk menganalisis perilaku suatu fungsi trigonometri pada saat variabelnya mendekati suatu nilai tertentu.
Limit fungsi trigonometri bukan hanya sekadar materi pelajaran di sekolah, tetapi juga memiliki aplikasi yang luas dalam kehidupan kita sehari-hari. Konsep ini digunakan dalam berbagai bidang, mulai dari teknik hingga ilmu komputer.
Dalam kehidupan sehari-hari materi limit fungsi sudah sering kita gunakan, hanya saja kita tidak sadar ternyata sedang menggunakan istilah atau bagian dari limit fungsi.
Contoh sederhananya ketika kita mengukur berat badan dan hasilnya terlihat adalah $70,5\ \text{kg}$. Hasil $70,5\ \text{kg}$ ini sebenarnya belum hasil pengukuran yang sebenarnya tetapi sudah bisa mewakili hasil pengukuran, karena berat badan kita adalah mendekati $70,5\ \text{kg}$. Kata "mendekati" adalah salah satu kata kunci dalam belajar limit fungsi.
Definisi Limit Fungsi
Definisi limit fungsi dituliskan: Sebuah limit fungsi mempunyai nilai, Jika nilai $\text{Limit Kiri = Limit Kanan}$ secara simbol dituliskan $\lim\limits_{x \to a^{+}}f(x)=\lim\limits_{x \to a^{-}}f(x)=L$ Maka nilai $\lim\limits_{x \to a}f(x)=L$.
Dari definisi limit fungsi di atas, secara sederhana dapat kita tuliskan, limit fungsi adalah nilai yang dihampiri (didekati) suatu fungsi saat variabelnya mendekati suatu titik tertentu.
Dalam menyelesaikan limit fungsi baik itu limit fungsi aljabar atau limit fungsi trigonometri, langkah awalnya adalah menentukan limit kiri dan limit kanan fungsi tersebut. Akan tetapi kita akan memerlukan energi yang lebih banyak apabila untuk setiap menentukan nilai sebuah limit fungsi kita gunakan langkah-langkah tersebut.
Sehingga untuk menghemat energi, dalam menentukan nilai limit fungsi $\lim\limits_{x \to a}f(x)$, langkah pertama yang kita lakukan adalah dengan cara mensubstitusi nilai $x=a$ ke fungsi $f(x)$ (substitusi langsung).
Setelah dilakukan substitusi langsung dan diperoleh hasilnya bentuk tak tentu seperti $\dfrac{0}{0}$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$, $\infty - \infty$, $0^{0}$, $\infty^{0}$ atau $1^{\infty}$ maka dilakukan manipulasi aljabar dengan cara memfaktorkan, mengalikan dengan akar sekawan, atau dengan manipulasi aljabar lainnya dengan tidak melanggar aturan dalam matematika sampai nilai limit fungsi hasilnya bukan bentuk tak tentu.
TEOREMA DASAR LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Beberapa teorema dasar limit fungsi trigonometri yang dapat kita gunakan dalam meyelesaikan soal limit fungsi trigonometri dapat dilihat di bawah ini. Asal-usul teorema di bawah ini dapat disimak pada catatan Cara Alternatif Membuktikan Teorema Limit Fungsi Trigonometri.
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x }{x} = 1 , \, \, $ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ x }{\sin x} = 1$
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \tan x }{x} = 1 , \, \, $ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ x }{\tan x} = 1$
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b} , \, \, $ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ ax }{\sin bx} = \dfrac{a}{b}$
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \tan ax }{bx} = \dfrac{a}{b} , \, \, $ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ ax }{\tan bx} = \dfrac{a}{b}$
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{\sin bx} = \dfrac{a}{b} , \, \, $ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan ax }{\tan bx} = \dfrac{a}{b}$
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan ax }{\sin bx} = \dfrac{a}{b} , \, \, $ atau $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{\tan bx} = \dfrac{a}{b}$
Limit fungsi trigonometri ini umumnya tingkat kesulitan bukan pada limit fungsi trigonometrinya tetapi lebih banyak kesulitan tentang trigonometri terkhusus Identitas Trigonometri Dasar.
TEOREMA LIMIT FUNGSI
Andaikan $n$ bilangan bulat positif, $k$ konstanta, dan $f$ dan $f$ dan $g$ adalah fungsi yang mempunyai limit di $c$. Maka berlaku:
- $\lim\limits_{x \to c} k=k$
- $\lim\limits_{x \to c} c=c$
- $\lim\limits_{x \to c} kf(x)=k \cdot \lim\limits_{x \to c} f(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)+g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)+\lim\limits_{x \to c} g(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)-g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)-\lim\limits_{x \to c} g(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \cdot g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to c} g(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{\lim\limits_{x \to c} f(x)}{\lim\limits_{x \to c} g(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} g(x) \neq 0$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \right)^{n} = \left( \lim\limits_{x \to c} f(x) \right)^{n}$
- $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap
Menyelesaikan Limit Fungsi dengan Aturan L'Hospital atau Menggunakan Turunan
Cara alternatif menyelesaikan limit fungsi adalah dengan Aturan L'Hospital atau pakai turunan fungsi. Cara ini dapat kita gunakan jika kita sudah mengenal atau belajar Turunan Fungsi, apabila belum mengenal atau belajar Fungsi Turunan maka menggunakan cara ini tidak dianjurkan.
Jika nilai $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{0}{0}$ dan $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$ ada,
maka $ \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f^{\prime} (x)}{g^{\prime} (x)}= \dfrac{f^{\prime} (a)}{g^{\prime} (a)}$
Soal dan Pembahasan Matematika SMA Limit Fungsi Trigonometri
Catatan matematika SMA tentang soal dan pembahasan limit fungsi trigonometri ini kita bagi menjadi dua catatan, agar dapat dicoba dan dipelajari secara optimal.
Soal latihan limit fungsi trigonometri ini, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 40 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
41. Soal SNMPTN 2008 Kode 201 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{ 1-2 \sin x\ \cos x}{\cos x - \sin x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar setidaknya dapat kita gunakan pada manipulasi aljabar;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{ 1-2 \sin x\ \cos x}{\sin x - \cos x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{ \sin^{2}x+\cos^{2}x-2 \sin x\ \cos x}{\sin x - \cos x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{ \left(\sin x-\cos x \right)^{2}}{\sin x - \cos x} \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{1}{4}\pi} \dfrac{ \left(\sin x-\cos x \right) }{1} \\
& = \sin \frac{1}{4}\pi-\cos \frac{1}{4}\pi \\
& = \dfrac{1}{2}\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{2}=0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 0$
42. Soal UM UNDIP 2010 Kode 101 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to -1} \dfrac{\sin(1-x^{2})\ \cos (1-x^{2})}{x^{2}-1}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba dengan memisalkan $1-x^{2}=m$, karena $x \to -1$ maka $m \to 0$.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to -1} \dfrac{\sin(1-x^{2})\ \cos (1-x^{2})}{x^{2}-1} \\
& = \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\sin m\ \cos m}{-m} \\
& = \lim\limits_{m \to 0} \cos m \cdot \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\sin m}{-m} \\
& = \cos 0 \cdot -1 \\
& = 1 \cdot -1 =-1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -1$
43. Soal SIMAK UI 2012 Kode 221 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sin 2(x-1)}{(x^{2}-2x+1)\ \cot \dfrac{1}{2}(x-1)}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sin 2(x-1)}{(x^{2}-2x+1)\ \cot \dfrac{1}{2}(x-1))} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sin 2(x-1)}{(x^{2}-2x+1)\ \cdot \dfrac{\cos \dfrac{1}{2}(x-1)}{\sin \frac{1}{2}(x-1)}} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{\sin 2(x-1)}{(x-1)(x-1)} \cdot \dfrac{\sin \dfrac{1}{2}(x-1)}{\cos \frac{1}{2}(x-1)} \right) \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{\sin 2(x-1)}{ (x-1)} \cdot \dfrac{ \sin \dfrac{1}{2}(x-1)}{(x-1)} \cdot \dfrac{1}{\cos \frac{1}{2}(x-1)} \right) \\
&= \left( 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\cos \frac{1}{2}(1-1)} \right) \\
&= 1 \cdot \dfrac{1}{1} \\
&= 1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 1$
44. Soal SIMAK UI 2009 Kode 941 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\pi (\pi-2x) \tan \left ( x-\dfrac{\pi}{2} \right)}{2(x-\pi) \cos^{2}x }=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar setidaknya bisa kita gunakan pada manipulasi aljabar;
- $ tan \left ( \dfrac{\pi}{2}-x \right)=\cot x$
- $ \cot x =\dfrac{\cos x}{\sin x}$
- $\sin 2x = 2 \sin x\ \cos x$
- $ sin \left ( \pi -2x \right)=\sin 2x$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\pi (\pi-2x) \tan \left ( x-\frac{\pi}{2} \right)}{2(x-\pi)\ \cos^{2}x } \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\pi (\pi-2x)\ \left ( - \tan \left ( \frac{\pi}{2}-x \right) \right)}{2(x-\pi)\ \cos^{2}x } \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{-\pi (\pi-2x)\ \cot x }{2(x-\pi)\ \cos^{2}x } \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{-\pi (\pi-2x)\ \dfrac{\cos x}{\sin x} }{2(x-\pi)\ \cos^{2}x } \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{-\pi (\pi-2x)\ \cos x }{2(x-\pi)\ \sin x\ \cos^{2}x } \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{-\pi (\pi-2x) }{2(x-\pi)\ \sin x\ \cos x } \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{-\pi (\pi-2x) }{ (x-\pi)\ \sin 2x } \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{-\pi (\pi-2x) }{ (x-\pi)\ \sin (\pi-2x) } \\
& = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{-\pi }{ (x-\pi)} \\
& = \dfrac{-\pi }{ \frac{\pi}{2}-\pi } \\
& = \dfrac{-\pi }{ -\frac{\pi}{2} } = 2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2$
45. Soal SPMB 2006 Kode 510 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sin \left( 4-2\sqrt{x} \right)}{4-x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sin \left( 4-2\sqrt{x} \right)}{4-x} \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sin 2\left( 2- \sqrt{x} \right)}{\left( 2- \sqrt{x} \right)\left( 2+ \sqrt{x} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \left( \dfrac{\sin 2\left( 2- \sqrt{x} \right)}{\left( 2- \sqrt{x} \right)} \times \dfrac{1}{\left( 2+ \sqrt{x} \right)} \right)\\
& = 2 \times \dfrac{1}{\left( 2+ \sqrt{4} \right)} \\
& = 2 \times \dfrac{1}{4}= \dfrac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{1}{2}$
46. Soal SPMB 2006 Kode 720 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin \left( 3x-\pi \right)}{\sqrt[3]{8+x}\ \tan 2x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin \left( 3x-\pi \right)}{\sqrt[3]{8+x}\ \tan 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-\sin \left( \pi-3x \right)}{\sqrt[3]{8+x}\ \tan 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-\sin 3x}{\sqrt[3]{8+x}\ \tan 2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{8+x}} \times \dfrac{-\sin 3x}{\tan 2x} \right) \\
& = \dfrac{1}{\sqrt[3]{8+0}} \times \dfrac{- 3 }{ 2 } \\
& = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{-3}{2} = -\dfrac{3}{4}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\dfrac{3}{4}$
47. Soal UM UGM 2006 Kode 381 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x\ \cos x} \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar setidaknya dapat kita gunakan pada manipulasi aljabar;
- $\cos 2x= \cos^{2}x-\sin^{2}x$
- $\cos 2x= 1-2\sin^{2}x$
- $\cos x= 1-2\sin^{2} \left( \dfrac{1}{2}x \right)$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x\ \cos x} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{x\ \cos x-x}{x^{2}\ \cos x} \right) \\
& =\lim\limits_{x \to 0}\left( \dfrac{ \cos x-1 }{x\ \cos x} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ -2\sin^{2} \left( \frac{1}{2}x \right) }{x\ \cos x} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ -2sin \left( \frac{1}{2}x \right) }{x} \times \dfrac{sin \left( \frac{1}{2}x \right) }{\cos x} \right)\\
& = -2 \cdot \dfrac{1}{2} \times \dfrac{ \sin 0 }{\cos 0} \\
& = -1 \times \dfrac{0}{1} = 0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 0$
48. Soal SPMB 2006 Kode 121 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 5} \dfrac{2x^{3}-20x^{2}+50x}{\sin^{2}(x-5) \cos(2x-10)}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{2x^{3}-20x^{2}+50x}{\sin^{2}(x-5)cos(2x-10)} \\
& = \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{2x \left( x^{2}-10x +25 \right) }{\sin^{2}(x-5)cos (2x-10)} \\
& = \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{2x \left( x-5 \right)\left( x-5 \right) }{\sin^{2}(x-5)cos(2x-10)} \\
& = \lim\limits_{x \to 5} \left( \dfrac{\left( x-5 \right)\left( x-5 \right) }{\sin^{2}(x-5)} \times \dfrac{2x}{cos(2x-10)} \right)\\
& = 1 \times \dfrac{2(5)}{cos(2(5)-10)} \\
& = 1 \times \dfrac{10}{cos(0)} = 10
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 10$
49. Soal UM UNDIP 2010 Kode 101 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to y} \dfrac{\sin x - \sin y}{x-y}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan bentuk ini, kita gunakan sedikit identitas trigonometri yaitu $\sin x - \sin y$ adalah $2\ \cos \dfrac{1}{2}(x+y)\ \sin \dfrac{1}{2}(x-y)$.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to y} \dfrac{\sin x - \sin y}{x-y} \\
& = \lim\limits_{x \to y} \dfrac{2\ \cos \dfrac{1}{2}(x+y)\ \sin \dfrac{1}{2}(x-y)}{x-y} \\
& = \lim\limits_{x \to y} 2\ \cos \dfrac{1}{2}(x+y) \times \lim\limits_{x \to y} \dfrac{\sin \dfrac{1}{2}(x-y)}{x-y} \\
& = 2\ \cos \dfrac{1}{2}(y+y) \times \dfrac{1}{2} \\
& = \cos \dfrac{1}{2}(2y) \\
& = \cos y
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \cos y$
50. Soal SBMPTN 2013 Kode 338 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan x}{x\ \sin x - \cos x +1}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan x}{x\ \sin x - \cos x +1} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan x}{x\ \sin x +1- \cos x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan x}{x\ \sin x +2 \sin^{2} \dfrac{1}{2}x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan x}{x\ \sin x +2 \sin^{2} \dfrac{1}{2}x} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{x^{2}}}{\dfrac{1}{x^{2}}} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{x\ \tan x}{x^{2}}}{\dfrac{x\ \sin x}{x^{2}} +\dfrac{2 \sin^{2} \dfrac{1}{2}x}{x^{2}}} \\
&= \dfrac{1}{1+2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}} \\
&= \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}} \\
&= \dfrac{1}{\dfrac{3}{2}}= \dfrac{2}{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{2}{3}$
51. Soal SBMPTN 2013 Kode 131 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \sqrt{\dfrac{x\ \tan x}{\sin^{2} x - \cos 2x +1}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \sqrt{\dfrac{x\ \tan x}{\sin^{2} x - \cos 2x +1}} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \sqrt{\dfrac{x\ \tan x}{\sin^{2} x + 1- \cos 2x }} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \sqrt{\dfrac{x\ \tan x}{\sin^{2} x + 2\sin^{2} x }} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \sqrt{\dfrac{x\ \tan x}{3 \sin^{2} x }} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \sqrt{\dfrac{x\ \tan x}{3 \sin x\ \sin x}} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \sqrt{\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{x}{\sin x} \cdot \dfrac{\tan x}{\sin x}} \\
&= \sqrt{\dfrac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1} \\
&= \sqrt{\dfrac{1}{3}} \\
&= \dfrac{1}{3}\sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
52. Soal SBMPTN 2013 Kode 132 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan x}{\sin^{2} x - \cos 2x +1}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan x}{\sin^{2} x - \cos 2x +1} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan x}{\sin^{2} x + 1- \cos 2x } \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan x}{\sin^{2} x + 2\sin^{2} x } \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan x}{3 \sin^{2} x } \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\ \tan x}{3 \sin x\ \sin x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{x}{\sin x} \cdot \dfrac{\tan x}{\sin x} \\
&= \dfrac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1 \\
&= \dfrac{1}{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{3}$
53. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sec x+\cos x-2}{x^{2}\ \sin^{2}x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
- Identitas trigonometri yg mungkin diperlukan:
- $\cos 4x=\cos^{2}2x-\sin^{2}2x$
- $\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x$
- $\cos x=\cos^{2} \frac{1}{2}x-\sin^{2}\frac{1}{2}x$
- $1=\cos^{2} \frac{1}{2}x+\sin^{2}\frac{1}{2}x$
- $\cos x - 1=-2\sin^{2}\frac{1}{2}x$
Kita kembali ke soal;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sec\ x+\cos x-2}{x^{2}\ \sin^{2}x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{\cos x}+\dfrac{\cos^{2}x}{\cos x}-\dfrac{2\ \cos x}{\cos x}}{x^{2}\ \sin^{2}x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos^{2}-2\ \cos x+1}{x^{2}\ \sin^{2}x\ \cos x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left (\cos x-1 \right )^{2}}{x^{2}\ \sin^{2}x\ \cos x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left (-2\sin^{2}(\dfrac{1}{2}x) \right )^{2}}{x^{2}\ \sin^{2}x\ \cos x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4\ \sin^{2}\frac{1}{2}x\ \sin^{2}\frac{1}{2}x}{x^{2}\ \sin^{2}x\ \cos x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} 4\ \cdot \dfrac{\sin^{2}\frac{1}{2}x}{x^{2}} \cdot \frac{\sin^{2}\frac{1}{2}x}{\sin^{2}x} \cdot \dfrac{1}{\cos x}\\
= & 4\ \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{1} = \dfrac{1}{4}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{4}$
54. Soal SBMPTN 2016 Kode 255 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{3}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1+\tan x}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{3}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1+\tan x}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{3}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1+\tan x}} \cdot \dfrac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\tan x}}{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\tan x}} \\
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{3} \left( \sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\tan x} \right)}{1+\sin x-1-\tan x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{3} \left( \sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\tan x} \right)}{\sin x-\tan x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{3} \left( \sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\tan x} \right)}{\sin x (1-\frac{1}{\cos x})} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{3} \left( \sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\tan x} \right)}{\sin x \cdot \frac{\cos x -1}{\cos x}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos x \cdot x^{3} \left( \sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\tan x} \right)}{\sin x (\cos x -1)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos x \cdot x^{3} \left( \sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\tan x} \right)}{\sin x (1-2 \sin^{2} \frac{1}{2}x -1)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos x \cdot x^{3} \left( \sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\tan x} \right)}{\sin x (-2 \sin^{2} \frac{1}{2}x)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \cos x \left( \sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\tan x} \right) \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{3}}{\sin x (-2 \sin^{2} \frac{1}{2}x)}\\
& = \cos 0 \left( \sqrt{1+\sin 0}+\sqrt{1+\tan 0} \right) \cdot \dfrac{1}{-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} \\
& = 1 \left( \sqrt{1}+\sqrt{1} \right) \cdot \dfrac{1}{-\frac{1}{2}}\\
& = 2 \cdot (-2) =-4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -4$
55. Soal UM STIS 2017 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( x^{2}-5x-6\right)\ \sin 2(x-2) }{\left( x^{2}-x-2\right)} \cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( x^{2}-5x-6\right)\ \sin 2(x-2) }{\left( x^{2}-x-2 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x+1)(x-6)\ \sin 2(x-2) }{(x-2)(x+1)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-6)\ \sin 2(x-2) }{(x-2)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} (x-6) \cdot \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sin 2(x-2) }{(x-2)} \\
& = (2-6) \cdot 2 \\
& = -4 \cdot 2 =-8 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ - 8$
56. Soal SBMPTN 2018 Kode 423 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sin \left( 2x-4 \right) }{2- \sqrt{6-x}} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sin \left( 2x-4 \right) }{2- \sqrt{6-x}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sin \left( 2x-4 \right) }{2- \sqrt{6-x}} \cdot \dfrac{2+ \sqrt{6-x}}{2+ \sqrt{6-x}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sin \left( 2x-4 \right) \left( 2+ \sqrt{6-x} \right) }{4- \left( 6-x \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sin \left( 2x-4 \right) \left( 2+ \sqrt{6-x} \right) }{4- 6+x } \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sin 2\left( x-2 \right) \left( 2+ \sqrt{6-x} \right) }{x-2 } \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sin 2\left( x-2 \right)}{x-2 } \cdot \lim\limits_{x \to 2} \left( 2+ \sqrt{6-x} \right) \\
& = 2 \cdot \left( 2+ \sqrt{6-2} \right) \\
& = 2 \cdot ( 2+ 2)=8 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 8$
57. Soal UM UGM 2017 Kode 713 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to -4} \dfrac{1-\cos(x+4)}{x^{2}+8x+16}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{1-\cos(x+4)}{x^{2}+8x+16} \\
& = \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{1-\cos(x+4)}{(x+4)(x+4)} \\
& = \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{2 \sin^{2} \dfrac{1}{2}(x+4)}{(x+4)(x+4)} \\
& = \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{2 \sin \frac{1}{2}(x+4)}{(x+4)} \cdot \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{\sin \frac{1}{2}(x+4)}{(x+4)} \\
& = 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \\
& = \dfrac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{2}$
58. Soal UM UGM 2019 Kode 624 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \sqrt{1-\cos 4x^{2}}}{1-\cos 2x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar setidaknya dapat kita gunakan pada manipulasi aljabar;
- $\cos \left( \frac{1}{2}\pi -x \right) = \sin \left( x \right)$
- $\cos 2x= \cos^{2}x-\sin^{2}x$
- $\cos 2x= 1-2\sin^{2}x$
- $\cos x= 1-2\sin^{2} \left( \frac{1}{2}x \right)$
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \sqrt{1-\cos 4x^{2}}}{1-\cos 2x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \sqrt{1- \left( \cos \left( 2 \cdot 2x^{2} \right) \right)}}{1-\left( 1-2\sin^{2}x \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \sqrt{1- \left( 1-2\sin^{2} 2x^{2} \right)}}{2\sin^{2}x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \sqrt{2\sin^{2} 2x^{2} }}{2\sin^{2}x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \sqrt{2} \cdot \sin 2x^{2} }{2\sin^{2}x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ \sqrt{2} \cdot \sin 2x^{2} }{2\sin^{2}x} \cdot \dfrac{ x^{2} }{x^{2}} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ \sqrt{2} \cdot \sin 2x^{2} }{x^{2}} \cdot \dfrac{ x^{2} }{2\sin^{2}x} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ \sqrt{2} \cdot \sin 2x^{2} }{x^{2}} \cdot \dfrac{ x \cdot x }{2\sin x \cdot \sin x } \right) \\ & = \sqrt{2} \cdot 2 \cdot \dfrac{ 1 }{2} \\ & = \sqrt{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \sqrt{2} $
59. Soal UM UGM 2016 Kode 582 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x+6 \right)\ \tan (2x-6) }{\left( x^{2}-x-6\right)} =\cdots$
maka $b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x+6 \right)\ \tan (2x-6) }{\left( x^{2}-x-6\right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x+6 \right)\ \tan 2( x-3) }{\left( x-3 \right) \left( x+2 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x+6 \right) }{ \left( x+2 \right)} \cdot \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\tan 2( x-3) }{\left( x-3 \right)} \\
& = \dfrac{\left( 3+6 \right) }{ \left( 3+2 \right)} \cdot \dfrac{ 2 }{1} \\
& = \dfrac{\left( 18 \right) }{ 5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{18}{5}$
60. Soal UM UGM 2015 Kode 632 |*Soal Lengkap
Jika $b,c \neq 0$ dan
$\lim\limits_{x \to a} \dfrac{\left( x-a \right)\ \tan b\left( a-x \right) }{\cos c\left( x-a \right)-1}=d$
maka $b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar setidaknya dapat kita gunakan pada manipulasi aljabar;
- $\tan \left( a - b \right) = -\tan \left( b-a \right)$
- $\cos 2a= 1-2\sin^{2}a$
- $\cos a= 1-2\sin^{2} \left( \frac{1}{2}a \right)$
- $\cos (a-b)= 1-2\sin^{2} \left( \frac{1}{2}(a-b) \right)$
$\begin{align} \lim\limits_{x \to a} \dfrac{\left( x-a \right)\ \tan b \left( a-x \right) }{\cos c\left( x-a \right)-1} & = d \\ \lim\limits_{x \to a} \dfrac{\left( x-a \right)\ \left( -\tan b \left( x-a \right) \right)}{-2\sin^{2} \left( \frac{1}{2}c(x-a) \right)} & = d \\ \lim\limits_{x \to a} \left( \dfrac{\left( x-a \right)}{-2\sin \left( \frac{1}{2}c(x-a) \right)} \cdot \dfrac{-\tan b \left( x-a \right)}{\sin \left( \frac{1}{2}c(x-a) \right)} \right) & = d \\ \dfrac{1}{-2 \cdot \frac{1}{2}c } \cdot \dfrac{- b }{ \frac{1}{2}c } & = d \\ \dfrac{1}{-c } \cdot \dfrac{- b }{ \frac{1}{2}c } & = d \\ \dfrac{-b}{-\dfrac{1}{2}c^{2}} & = d \\ b & = \dfrac{1}{2}c^{2}d \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{2}c^{2}d$
61. Soal UM UNDIP 2014 Kode 141 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}+\sin^{2}(2x)}{x^{2}\ \cos (2x)}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar setidaknya dapat kita gunakan pada manipulasi aljabar;
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}+\sin^{2}(2x)}{x^{2}\ \cos (2x)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{x^{2} }{x^{2}\ \cos (2x)} + \dfrac{ \sin^{2}(2x)}{x^{2}\ \cos (2x)} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{ \cos (2x)} + \dfrac{ \sin (2x) \cdot \sin (2x)}{x^{2}\ \cos (2x)} \right) \\ & = \dfrac{1}{ \cos (0)} + \dfrac{ 2 \cdot 2 }{ \cos (0)} \\ & = \dfrac{1}{1} + \dfrac{ 4 }{ 1} \\ & = 5 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 5$
62. Soal UM UNDIP 2011 Kode 112 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left(x^{2}+x-2 \right)\sin \left(x^{2}-1 \right)}{ x^{2}-2x+1 }=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar setidaknya dapat kita gunakan pada manipulasi aljabar;
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left(x^{2}+x-2 \right)\sin \left(x^{2}-1 \right)}{ x^{2}-2x+1 } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left(x+2 \right)\left(x-1 \right) \sin \left(x+1 \right)\left(x-1 \right)}{ \left(x-1 \right)\left(x-1 \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)}{ \left(x-1 \right) } \cdot \dfrac{\sin \left(x+1 \right)\left(x-1 \right)}{ \left(x-1 \right) } \right) \\ & = \dfrac{ \left(1+2 \right) }{ 1 } \cdot \dfrac{ \left(1+1 \right) }{ 1 } \\ & = 3 \cdot 2 \\ & = 6 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 6$
63. Soal UM UNDIP 2013 Kode 132 |*Soal Lengkap
Nilai dari $ \lim\limits_{x \to 0} \left[ \csc^{2} \left(2x \right) - \dfrac{1}{4x^{2}} \right]=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan teorema limit trigonometri dan catatan Pak Anang bentuk Limit Berputar kita akan selesaikan limit di atas. Limit Berputar istilah yang mungkin dibuat untuk mempermudah kita dalam memahami bentuknya, yaitu:
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x - \sin x}{x^{3}}=\dfrac{1}{6}$
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(2x) - \sin (2x)}{(2x)^{3}}=\dfrac{1}{6}$
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(3x) - \sin (3x)}{(3x)^{3}}=\dfrac{1}{6}$
Kita terapkan pada soal di atas, menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \left[ \csc^{2} \left(2x \right) - \dfrac{1}{4x^{2}} \right] \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left[ \dfrac{1}{\sin^{2}(2x)} - \dfrac{1}{4x^{2}} \right] \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left[ \dfrac{4x^{2}-\sin^{2}(2x)}{4x^{2} \sin^{2}(2x)} \right] \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left[ \dfrac{\left( (2x)-\sin(2x) \right)\left( (2x)+\sin(2x) \right) }{(2x)^{2} \sin^{2}(2x)} \right] \cdot \dfrac{(2x)^{2}}{(2x)^{2}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left[ \dfrac{\left( (2x)-\sin(2x) \right)\left( (2x)+\sin(2x) \right) \cdot (2x)^{2}}{(2x)^{4} \sin^{2}(2x)} \right] \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left[ \dfrac{\left( (2x)-\sin(2x) \right)}{(2x)^{3}} \cdot \dfrac{ \left( 2x+\sin(2x) \right)}{(2x)} \cdot \dfrac{ (2x)^{2}}{\sin^{2}(2x)} \right] \\
& = \dfrac{1}{6} \cdot (1+1) \cdot 1 \\
& = \dfrac{1}{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{3}$
64. Soal Simulasi UTBK-SBMPTN TKA SAINTEK 2021
Nilai dari $ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x} - \sqrt{\sin x}}{x^{2}\sqrt{x}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan teorema limit trigonometri dan catatan Pak Anang bentuk Limit Berputar kita akan selesaikan limit di atas. Limit Berputar istilah yang mungkin dibuat untuk mempermudah kita dalam memahami bentuknya, yaitu:
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x - \sin x}{x^{3}}=\dfrac{1}{6}$
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(2x) - \sin (2x)}{(2x)^{3}}=\dfrac{1}{6}$
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(3x) - \sin (3x)}{(3x)^{3}}=\dfrac{1}{6}$
Kita terapkan pada soal di atas, menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x} - \sqrt{\sin x}}{x^{2}\sqrt{x}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x} - \sqrt{\sin x}}{x^{2}\sqrt{x}} \times \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{\sin x}}{\sqrt{x} + \sqrt{\sin x}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x - \sin x}{\left( x^{2}\sqrt{x} \right) \left(\sqrt{x} + \sqrt{\sin x} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x - \sin x}{\left( x^{2}\sqrt{x} \right) \sqrt{x} \left( 1 + \sqrt{\frac{\sin x}{x}} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x - \sin x}{\left( x^{3} \right) \left( 1 + \sqrt{\frac{\sin x}{x}} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x - \sin x}{x^{3}} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{ 1 + \sqrt{\frac{\sin x}{x}}} \\
& = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{1+ \sqrt{1}} \\
& = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{12}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{12}$
65. Soal SBMPTN 2013 Kode 332 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^{2}x - \cos x +1}{x \tan x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^{2}x - \cos x +1}{x \tan x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^{2}x+2 \sin^{2} \frac{1}{2}x }{x \tan x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin^{2}x}{x \tan x} + \dfrac{2 \sin^{2} \frac{1}{2}x }{x \tan x} \right) \\
&= \dfrac{1 \cdot 1}{1 \cdot 1} + \dfrac{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} }{1 \cdot 1} \\
&= 1 + \frac{1}{2} = \dfrac{3}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{3}{2}$
66. Soal SBMPTN 2016 Kode 249 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{\sqrt{3x^{5}+4 \sin^{4} x}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{\sqrt{3x^{5}+4 \sin^{4} x}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{\sqrt{3x^{5}+4 \sin^{4} x}} \cdot \dfrac{\sqrt{x^{2}+1}+1}{\sqrt{x^{2}+1}+1} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ x^{2} }{\left( \sqrt{3x^{5}+4 \sin^{4} x} \right)\left( \sqrt{x^{2}+1}+1 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ x^{2} }{\left( \sqrt{3x^{5}+4 \sin^{4} x} \right)\left( \sqrt{x^{2}+1}+1 \right)} \cdot \dfrac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ 1 }{\frac{1}{x^{2}} \cdot \left( \sqrt{3x^{5}+4 \sin^{4} x} \right)\left( \sqrt{x^{2}+1}+1 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ 1 }{\left( \sqrt{\frac{3x^{5}}{x^{4}}+ \frac{4 \sin^{4} x}{x^{4}}} \right)\left( \sqrt{x^{2}+1}+1 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ 1 }{\left( \sqrt{3x+ \frac{4 \sin^{4} x}{x^{4}}} \right)\left( \sqrt{x^{2}+1}+1 \right)} \\ & = \dfrac{ 1 }{\left( \sqrt{3(0)+ 4 } \right)\left( \sqrt{(0)^{2}+1}+1 \right)} \\ & = \dfrac{ 1 }{\left( \sqrt{4 } \right)\left( \sqrt{1}+1 \right)} \\ & = \dfrac{ 1 }{\left( 2 \right)\left( 2 \right)} = \dfrac{ 1 }{4} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{ 1 }{4}$
67. Soal SBMPTN 2017 Kode 124 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4x + 3x \cos 2x}{\sin x\ \cos x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4x + 3x \cos 2x}{\sin x\ \cos x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4x + 3x \cos 2x}{\sin x\ \cos x} \cdot \dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\frac{4x}{x} + \frac{3x \cos 2x}{x}}{\frac{\sin x\ \cos x}{x}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ 4 + 3 \cos 2x }{\frac{\sin x}{x} \cdot \cos x} \\ & = \dfrac{ 4 + 3 \cos 2(0) }{1 \cdot \cos 0} \\ & = \dfrac{ 4 + 3}{1 \cdot 1} =7 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 7$
68. Soal SBMPTN 2018 Kode 408 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\sin \left( 2x-6 \right) }{\sqrt{4-x}-1} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\sin \left( 2x-6 \right) }{\sqrt{4-x}-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\sin 2\left( x-3 \right) }{\sqrt{4-x}-1} \cdot \dfrac{\sqrt{4-x}+1}{\sqrt{4-x}+1} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( \sqrt{4-x}+1 \right) \sin 2\left( x-3 \right) }{\left(4-x \right)-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( \sqrt{4-x}+1 \right) \sin 2\left( x-3 \right) }{\left(4-x \right)-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( \sqrt{4-x}+1 \right) \sin 2\left( x-3 \right) }{3-x} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( \sqrt{4-x}+1 \right)}{-1} \cdot \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\sin 2\left( x-3 \right) }{(x-3)} \\ & = \dfrac{\left( \sqrt{4-3}+1 \right)}{-1} \cdot \dfrac{ 2 }{1} \\ & = \dfrac{\left( 1+1 \right)}{-1} \cdot 2 =-4 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -4$
69. Soal SBMPTN 2018 Kode 419 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin (x)\ \cos (x) }{\sqrt{\pi + 2 \sin \left( x \right)}-\sqrt{\pi}} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin (x)\ \cos (x) }{\sqrt{\pi + 2 \sin \left( x \right)}-\sqrt{\pi}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin (x)\ \cos (x) }{\sqrt{\pi + 2 \sin (x)}-\sqrt{\pi}} \cdot \dfrac{\sqrt{\pi + 2 \sin (x)}+\sqrt{\pi}}{\sqrt{\pi + 2 \sin (x)}+\sqrt{\pi}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( \sin (x)\ \cos (x) \right)\left( \sqrt{\pi + 2 \sin (x)}+\sqrt{\pi} \right)}{ \pi + 2 \sin (x) - \pi }\\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( \sin (x)\ \cos (x) \right)\left( \sqrt{\pi + 2 \sin (x)}+\sqrt{\pi} \right)}{ 2 \sin (x) } \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin (x)}{ 2 \sin (x) } \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos (x)\ \left( \sqrt{\pi + 2 \sin (x)}+\sqrt{\pi} \right)}{ 1 } \\ & = \dfrac{1}{ 2 } \cdot \cos (0)\ \left( \sqrt{\pi + 2 \sin (0)}+\sqrt{\pi} \right) \\ & = \dfrac{1}{ 2 } \cdot 2\sqrt{\pi}=\sqrt{\pi} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \sqrt{\pi}$
70. Soal SBMPTN 2018 Kode 422 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin (x)}{\sqrt{\pi + \tan \left( x \right)}-\sqrt{\pi - \tan \left( x \right)}} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin (x)}{\sqrt{\pi + \tan \left( x \right)}-\sqrt{\pi - \tan \left( x \right)}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin (x)}{\sqrt{\pi + \tan \left( x \right)}-\sqrt{\pi - \tan \left( x \right)}} \cdot \dfrac{\sqrt{\pi + \tan \left( x \right)}+\sqrt{\pi - \tan \left( x \right)}}{\sqrt{\pi + \tan \left( x \right)}+\sqrt{\pi - \tan \left( x \right)}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin (x) \cdot \left( \sqrt{\pi + \tan \left( x \right)} + \sqrt{\pi - \tan \left( x \right)} \right)}{ \pi + \tan \left( x \right) - \pi + \tan \left( x \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin (x) \cdot \left( \sqrt{\pi + \tan \left( x \right)} + \sqrt{\pi - \tan \left( x \right)} \right)}{2\tan \left( x \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin (x)}{2\tan \left( x \right)} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{\pi + \tan \left( x \right)} + \sqrt{\pi - \tan \left( x \right)}}{1} \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{\pi + \tan 0} + \sqrt{\pi - \tan 0}}{1} \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{\pi}=\sqrt{\pi} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \sqrt{\pi}$
71. Soal SPMB 2002 (Regional I) |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}+\sin x\ \tan x}{1-\cos 2x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}+\sin x\ \tan x}{1-\cos 2x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}+\sin x\ \tan x}{2 \sin^{2} x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{x^{2}}{2 \sin^{2} x}+\dfrac{\sin x\ \tan x}{2 \sin^{2} x} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}}{2 \sin^{2} x}+ \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x\ \tan x}{2 \sin^{2} x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x \cdot x}{2 \sin x \cdot \sin x}+ \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x\ \tan x}{2 \sin x \cdot \sin x} \\ & = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} =1 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 1$
72. Soal SPMB 2003 (Regional I) |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos^{2} x - \cos x\ \sin^{2} x}{x^{4}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos^{2} x - \cos x\ \sin^{2} x}{x^{4}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^{2} x - \cos x\ \sin^{2} x}{x^{4}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^{2} x \left( 1- \cos x \right)}{x^{4}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^{2} x \left( 2 \sin^{2} \frac{1}{2}x \right)}{x^{4}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x \cdot \sin x \cdot 2 \sin \frac{1}{2}x \cdot \sin \frac{1}{2}x }{x \cdot x \cdot x \cdot x} \\ & = 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \\ & = \dfrac{1}{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{2}$
73. Soal UMPTN 1995 (Rayon B) |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left(x^{2}-1 \right) \sin 6x}{x^{3}+3x^{2}+2x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left(x^{2}-1 \right) \sin 6x}{x^{3}+3x^{2}+2x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left(x+1 \right)\left(x-1 \right) \sin 6x}{x \left(x^{2}+3x+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left(x+1 \right)\left(x-1 \right) \sin 6x}{x \left(x+1 \right)\left(x+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left(x-1 \right) \sin 6x}{x \left(x+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left(x-1 \right)}{\left(x+2 \right)} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin 6x}{x} \\ & = \dfrac{\left(0-1 \right)}{\left(0+2 \right)} \cdot \dfrac{6}{1} \\ & = \dfrac{-1}{2} \cdot 6 = -3 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -3$
74. Soal UMPTN 1995 (Rayon C) |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to -2} \dfrac{1- \cos \left( x+2 \right)}{x^{2}+4x+4}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Sedikit catatan tentang identitas trigonometri untuk menyelesaikan limit trigonometri di atas yaitu:
- $\cos 2a = \cos^{2}a-sin^{2}a$
- $\cos 2a = 1-2\sin^{2}a$
- $\cos a = 1-2\sin^{2} \frac{1}{2}a$
- $\cos f(x) = 1-2\sin^{2} \frac{1}{2}f(x)$
- $\cos (x+a) = 1-2\sin^{2} \frac{1}{2}(x+a)$
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{1- \cos \left( x+2 \right)}{x^{2}+4x+4} \\ & = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{1- \left( 1-2\sin^{2} \frac{1}{2}(x+2) \right)}{\left( x+2 \right)\left( x+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{2\sin^{2} \frac{1}{2}(x+2)}{\left( x+2 \right)\left( x+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{2\sin \frac{1}{2}(x+2) \cdot \sin \frac{1}{2}(x+2)}{\left( x+2 \right)\left( x+2 \right)} \\ & = \dfrac{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} }{1 \cdot 1} \\ & = \dfrac{1}{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{2}$
75. Soal SIMAK UI 2009 Kode 954 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{\theta \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\sec^{2} \theta}{\sec^{2} 5\theta}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar kita coba dengan memisalkan $\theta=\frac{\pi}{2}+x$.
Untuk $\theta=\frac{\pi}{2}+x$ dan $\theta \to \frac{\pi}{2}$ maka $x \to 0$ sehingga soal limit trigonometri di atas dapat kita tuliskan menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align}
& \lim\limits_{\theta \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\sec^{2} \theta}{\sec^{2} 5\theta} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sec^{2} \left( \frac{\pi}{2}+x \right)}{\sec^{2} 5\left( \frac{\pi}{2}+x \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\csc^{2} x}{\csc^{2} 5x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\frac{1}{\sin^{2} x}}{\frac{1}{\sin^{2} 5x}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^{2} 5x}{\sin^{2} x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin 5x \cdot \sin 5x}{\sin x \cdot \sin x} \\
& = \dfrac{5 \cdot 5 }{1 \cdot 1} = 25
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 25$
76. Soal SIMAK UI 2009 Kode 964 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \left( \csc\ x - \dfrac{1}{x} \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan limit fungsi di atas kita gunakan Aturan L'Hospital atau pakai turunan fungsi. Jika pembaca mempunyai ide untuk menyelesaikan soal ini tanpa menggunakan Aturan L'Hospital, dapat menuliskan pada kotak komentar.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \left( \csc x - \dfrac{1}{x} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{\sin x} - \dfrac{1}{x} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{x-\sin x}{x\ \sin x} \right) \\
\hline
& Aturan\ L'Hospital \\
\hline
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{1-\cos x}{1 \cdot \sin x+x \cdot \cos x} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{1-\cos x}{\sin x+x \cdot \cos x} \right) \\
\hline
& Aturan\ L'Hospital \\
\hline
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{2 \cos x-x \sin x} \\
& = \dfrac{\sin 0}{2 \cos 0-0 \sin 0} \\
& = \dfrac{0}{2 \cdot 1 -0}= \dfrac{0}{2-0}= 0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 0$
77. Soal SIMAK UI 2010 Kode 507 |*Soal Lengkap
Jika diketahui $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ax \sin x + b}{\cos x -1}=1$, maka nilai $a$ dan $b$ yang memenuhi adalah...
Alternatif Pembahasan:
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ax \sin x + b}{\cos x -1}=1$ sehingga jika kita substitusi langsung nilai $x=0$ maka nilai $ax \sin x + b$ harus $0$, karena jika $ax \sin x + b$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
Karena nilai $ax \sin x + b$ untuk $x=0$ adalah $0$ maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
ax \sin x + b &= 0 \\
a(0) \sin 0 + b &= 0 \\
b &= 0
\end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh:
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ax \sin x + b}{\cos x -1} &= 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ax \sin x}{\cos x -1} &= 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ax \sin x}{-2 \sin^{2} \frac{1}{2}x} &= 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{ax}{-2 \sin \frac{1}{2}x} \cdot \dfrac{\sin x}{\sin \frac{1}{2}x} \right)&= 1 \\
\dfrac{a}{-2 \cdot \frac{1}{2}} \cdot \dfrac{1}{\frac{1}{2}} &= 1 \\
\dfrac{a}{-1} \cdot 2 &= 1 \\
a &= -\dfrac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ a=-\dfrac{1}{2}, b=0$
78. Soal UMB 2011 Kode 252 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2} + \sin^{2} 3x}{2 \tan \left(2x^{2} \right)}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2} + \sin^{2} 3x}{2 \tan \left(2x^{2} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2} + \sin^{2} 3x}{2 \tan \left(2x^{2} \right)} \cdot \dfrac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\frac{x^{2}}{x^{2}}+ \frac{\sin^{2} 3x}{x^{2}}}{\frac{2 \tan \left(2x^{2} \right)}{x^{2}}} \\ & = \dfrac{1+ \frac{3 \cdot 3}{1}}{\frac{2 \cdot 2 }{1}} \\ & = \dfrac{10}{4}=2\frac{1}{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2\frac{1}{2}$
79. Soal SIMAK UI 2011 Kode 511 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{a \to b} \dfrac{\tan a - \tan b}{1+\left(1-\frac{a}{b} \right) \tan a\ \tan b - \frac{a}{b}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Sedikit catatan tentang identitas trigonometri yang mungkin sangat membantu dalam menyelesaikan soal di atas yaitu $\tan \left( a-b \right)=\dfrac{\tan a - \tan b}{1+ \tan a \cdot \tan b}$.
$\begin{align} & \lim\limits_{a \to b} \dfrac{\tan a - \tan b}{1+\left(1-\frac{a}{b} \right) \tan a\ \tan b - \frac{a}{b}} \\ & = \lim\limits_{a \to b} \dfrac{\tan a - \tan b}{1- \frac{a}{b}+\left(1-\frac{a}{b} \right) \tan a\ \tan b } \\ & = \lim\limits_{a \to b} \dfrac{\tan a - \tan b}{\left(1-\frac{a}{b} \right) \left( 1 + \tan a\ \tan b \right) } \\ & = \lim\limits_{a \to b} \dfrac{1}{\left(1-\frac{a}{b} \right)} \cdot \dfrac{\tan a - \tan b}{\left( 1 + \tan a\ \tan b \right) } \\ & = \lim\limits_{a \to b} \dfrac{1}{\left(\frac{b-a}{b} \right)} \cdot \tan \left( a-b \right) \\ & = \lim\limits_{a \to b} \dfrac{b}{ b-a} \cdot \tan \left( a-b \right) \\ & = \lim\limits_{a \to b} \dfrac{b \cdot \tan \left( a-b \right)}{ -\left(a-b \right)} \\ & = \dfrac{b }{ -1} = -b \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -b$
80. Soal SIMAK UI 2016 Kode 341 |*Soal Lengkap
Jika $\lim\limits_{t \to 0} \left( \dfrac{a}{t^{2}} - \dfrac{\sin 6t}{t^{3}\ \cos^{2}3t} \right) =-18$
Alternatif Pembahasan:
Bentuk soal coba kita sederhanakan menjadi bentuk pecahan yang lebih sederhana:
$\begin{align}
\lim\limits_{t \to 0} \left( \dfrac{a}{t^{2}} - \dfrac{\sin 6t}{t^{3}\ \cos^{2}3t} \right) &= -18 \\
\lim\limits_{t \to 0} \left( \dfrac{a}{t^{2}} - \dfrac{2\ \sin 3t \cos 3t}{t^{3}\ \cos^{2}3t} \right) &= -18 \\
\lim\limits_{t \to 0} \left( \dfrac{a}{t^{2}} - \dfrac{2\ \sin 3t}{t^{3}\ \cos 3t} \right) &= -18 \\
\lim\limits_{t \to 0} \left( \dfrac{a\ t^{3} \cos 3t - 2t^{2}\ \sin 3t}{t^{5}\ \cos 3t} \right) &= -18 \\
\lim\limits_{t \to 0} \dfrac{ a\ t\ \cos 3t- 2\ \sin 3t }{t^{3}\ \cos 3t} \times \dfrac{\frac{1}{t}}{\frac{1}{t}} &= -18 \\
\lim\limits_{t \to 0} \dfrac{ \frac{a\ t\ \cos 3t}{t}- \frac{2\ \sin 3t}{t} }{\frac{t^{3}\ \cos 3t}{t}} &= -18 \\
\lim\limits_{t \to 0} \dfrac{ \frac{a\ t\ \cos 3t}{t}- \frac{2\ \sin 3t}{t} }{\frac{t^{3}\ \cos 3t}{t}} &= -18 \\
\lim\limits_{t \to 0} \dfrac{ a\ \cos 3t - 2\cdot 3 }{ t^{2}\ \cos 3t } &= -18 \\
\lim\limits_{t \to 0} \dfrac{ a\ \cos 3t - 6 }{ t^{2}\ \cos 3t } &= -18
\end{align}$
Nilai $\lim\limits_{t \to 0} \dfrac{ a\ \cos 3t - 6 }{ t^{2}\ \cos 3t } =-18$ sehingga jika kita substitusi langsung nilai $t=0$ maka nilai $a\ \cos 3t - 6$ harus $0$, karena jika $a\ \cos 3t - 6$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$, tidak lagi $-18$.
Karena nilai $a\ \cos 3t - 6$ untuk $t=0$ adalah $0$ maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
a\ \cos 3t - 6 &= 0 \\
a\ \cos 3t &= 6 \\
a\ \cos 3(0) &= 6 \\
a \cdot 1 &= 6 \\
a &= 6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 6$
Beberapa pembahasan soal Matematika SMA Limit Fungsi Trigonometri di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan 80 Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Limit Fungsi Trigonometri di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
