Soal dan Pembahasan Matematika SMA Limit Tak hingga Pada Fungsi Trigonometri

Calon guru belajar matematika SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Limit Tak hingga pada fungsi trigonometri. Catatan ini merupakan pengembangan dari catatan limit fungsi menuju tak hingga pada fungsi aljabar sehingga ada baiknya kita sudah memahami dan mengetahui bagaimana cara menyelesaikan soal tentang limit fungsi menuju tak hingga pada fungsi aljabar agar lebih mudah memahami catatan limit tak hingga pada fungsi trigonometri ini.

Definisi Limit Fungsi

Definisi limit fungsi dituliskan: Sebuah limit fungsi mempunyai nilai, Jika nilai $\text{Limit Kiri = Limit Kanan}$ secara simbol dituliskan $\lim\limits_{x \to a^{+}}f(x)=\lim\limits_{x \to a^{-}}f(x)=L$ Maka nilai $\lim\limits_{x \to a}f(x)=L$.

Dari definisi limit fungsi di atas, secara sederhana dapat kita tuliskan, limit fungsi adalah nilai yang dihampiri (didekati) suatu fungsi saat variabelnya mendekati suatu titik tertentu.

Dalam menyelesaikan limit fungsi baik itu limit fungsi aljabar atau limit fungsi trigonometri, langkah awalnya adalah menentukan limit kiri dan limit kanan fungsi tersebut. Akan tetapi kita akan memerlukan energi yang lebih banyak apabila untuk setiap menentukan nilai sebuah limit fungsi kita gunakan langkah-langkah tersebut.

Sehingga untuk menghemat energi, dalam menentukan nilai limit fungsi $\lim\limits_{x \to a}f(x)$, langkah pertama yang kita lakukan adalah dengan cara mensubstitusi nilai $x=a$ ke fungsi $f(x)$ (substitusi langsung).

Setelah dilakukan substitusi langsung dan diperoleh hasilnya bentuk tak tentu seperti $\dfrac{0}{0}$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$, $\infty - \infty$, $0^{0}$, $\infty^{0}$ atau $1^{\infty}$ maka dilakukan manipulasi aljabar dengan cara memfaktorkan, mengalikan dengan akar sekawan, atau dengan manipulasi aljabar lainnya dengan tidak melanggar aturan dalam matematika sampai nilai limit fungsi hasilnya bukan bentuk tak tentu.

Limit Tak hingga Pada Fungsi Trigonometri

Untuk menghitung limit tak hingga pada fungsi trigonometri, dasar terori yang harus sudah dapat kita terima atau pahami bahwa $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{1}{x}=0$.

Dari teorema dasar limit fungsi dapat kita tuliskan beberapa nilai limit tak hingga pada fungsi trigonometri yang nantinya dapat dikembangkan untuk menyelesaikan limit tak hingga pada fungsi trigonometri.

$\lim\limits_{x \to \infty} \sin x= \text{tak tentu (indeterminate)}$
$\lim\limits_{x \to \infty} \cos x= \text{tak tentu (indeterminate)}$
$\lim\limits_{x \to \infty} \tan x= \text{tak tentu (indeterminate)}$
$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{\sin x}= \text{tak tentu (indeterminate)}$
$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{\cos x}= \text{tak tentu (indeterminate)}$
$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{\tan x}= \text{tak tentu (indeterminate)}$
$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x}{\sin x}= \text{tak tentu (indeterminate)}$
$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x}{\cos x}= \text{tak tentu (indeterminate)}$
$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x}{\tan x}= \text{tak tentu (indeterminate)}$
$\lim\limits_{x \to \infty} \frac {\sin x}{x}= 0$
$\lim\limits_{x \to \infty} \frac {\cos x}{x}= 0$
$\lim\limits_{x \to \infty} \frac {\tan x}{x}= \text{tak tentu (indeterminate)}$
$\lim\limits_{x \to \infty} \sin \frac{1}{x}= 0$
$\lim\limits_{x \to \infty} \cos \frac{1}{x}= 1$
$\lim\limits_{x \to \infty} \tan \frac{1}{x}= 0$

Dari beberapa nilai limit tak hingga pada fungsi trigonometri di atas dan mengkombinasikan dengan rumus limit tak hingga pada fungsi aljabar, rumus limit pada fungsi trigonometri, atau manipulasi aljabar kita dapat menyelesaikan soal-soal limit tak hingga pada fungsi trigonometri.

Nilai dari $\lim\limits_{x \to \infty} 3x\ \sin \left (\frac{1}{x}\right )=\cdots$

Misalkan $\dfrac{1}{x}=p$ sehingga $\dfrac{1}{p}=x$,
Karena $\dfrac{1}{x}=p$ dan $x \to \infty$ maka $p \to 0$.

Soal $\lim\limits_{x \to \infty} 3x\ \sin \left (\frac{1}{x}\right )$ dapat kita tuliskan menjadi:
$\begin{align} & \lim\limits_{p \to 0} 3\left( \frac{1}{p} \right )\ \sin \left( p \right ) \\ & = 3 \cdot \lim\limits_{p \to 0} \frac{1}{p}\ \sin p \\ & = 3 \cdot \lim\limits_{p \to 0} \frac{\sin p}{p} \\ & = 3 \cdot 1 \\ & = 3 \end{align}$
Nilai dari $\lim\limits_{x \to \infty} x\ \sin \left (\frac{2}{x}\right )=\cdots$

Misalkan $\dfrac{1}{x}=m$ sehingga $\dfrac{1}{m}=x$,
Karena $\dfrac{1}{x}=m$ dan $x \to \infty$ maka $m \to 0$.

Soal $\lim\limits_{x \to \infty} x\ \sin \left (\frac{2}{x}\right )$ dapat kita tuliskan menjadi:
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to \infty} x\ \sin 2 \cdot \left (\frac{1}{x} \right ) \\ &= \lim\limits_{m \to 0} \left( \frac{1}{m} \right )\ \sin 2 \cdot \left( m \right ) \\ & = \lim\limits_{m \to 0} \frac{\sin 2m}{m} \\ & = 2 \end{align}$
Nilai dari $\lim\limits_{x \to \infty} x\ \sin \left (\frac{1}{x^{2}}\right )=\cdots$

Misalkan $\dfrac{1}{x}=a$ sehingga $\dfrac{1}{a}=x$,
Karena $\dfrac{1}{x}=a$ dan $x \to \infty$ maka $a \to 0$.

Soal $\lim\limits_{x \to \infty} x\ \sin \left (\frac{1}{x^{2}}\right )$ dapat kita tuliskan menjadi:
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to \infty} x\ \sin \left (\frac{1}{x}\right )^{2} \\ &= \lim\limits_{a \to 0} \left( \frac{1}{a} \right ) \sin a^{2} \\ &= \lim\limits_{a \to 0} \left( \frac{\sin a^{2} }{a} \right ) \\ & = 0 \end{align}$

Soal dan Pembahasan Matematika SMA Limit Tak hingga Pada Fungsi Trigonometri

Soal latihan limit tak hingga pada fungsi aljabar dan trigonometri berikut kita pilih dari Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri, soal Ujian Masuk Sekolah Kedinasan, Soal UN (Ujian Nasional), Soal simulasi yang dilaksanakan oleh bimbingan belajar atau Soal Ujian Sekolah yang dilaksanakan oleh satuan pendidikan.

Soal latihan limit tak hingga pada fungsi trigonometri berikut ini, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.

Ayo dicoba terlebih dahulu, Sebelum melihat pembahasan soal.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!

Nama Peserta :
Tanggal Tes :
Jumlah Soal :	12 soal

Petunjuk Pengerjaan Soal:
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.

1. Soal UM UGM 2005 Kode 821 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to \infty} x^{2}\ \left( \sec \dfrac{2}{x}-1 \right) =\cdots$
$(A)\ -2 $
$(B)\ -1 $
$(C)\ 0 $
$(D)\ 1 $
$(E)\ 2 $

Alternatif Pembahasan:

Beberapa Identitas Trigonometri Dasar setidaknya dapat kita gunakan pada manipulasi aljabar;

$\cos \left( \frac{1}{2}\pi -x \right) = \sin \left( x \right)$
$\cos 2x= cos^{2}x-\sin^{2}x$
$\cos 2x= 1-2\sin^{2}x$

Misalkan $\dfrac{1}{x}=a$ sehingga $\dfrac{1}{a}=x$, karena $x \to \infty$ maka $a \to 0$.
Soal $\lim\limits_{x \to \infty} x^{2}\ \left( \sec \dfrac{2}{x}-1 \right)$ bisa kita tuliskan menjadi:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} x^{2}\ \left( \sec \left( 2 \cdot \dfrac{1}{x} \right) -1 \right) \\ & = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{1}{a} \right)^{2}\ \left( \sec \left( 2 \cdot a \right)-1 \right) \\ & = \lim\limits_{a \to 0} \left( \dfrac{1}{a} \right)^{2}\ \left( \sec 2a-1 \right) \\ & = \lim\limits_{a \to 0} \dfrac{1}{a^{2}} \left( \dfrac{1}{\cos 2a} -1 \right) \\ & = \lim\limits_{a \to 0} \dfrac{1}{a^{2}}\ \left( \dfrac{1-\cos 2a}{\cos 2a} \right) \\ & = \lim\limits_{a \to 0} \dfrac{1}{a^{2}}\ \left( \dfrac{2\sin^{2}a}{\cos 2a} \right) \\ & = \lim\limits_{a \to 0} \left( \dfrac{2\sin^{2}a}{a^{2}} \cdot \dfrac{1}{\cos 2a}\right) \\ & = 2 \cdot \dfrac{1}{\cos 0} \\ & = 2 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$

2. Soal SPMB 2005 Kode 171 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to \infty} x^{2}\ \sin \dfrac{1}{x}\ \tan \dfrac{1}{x} =\cdots$
$(A)\ -1 $
$(B)\ 0 $
$(C)\ \frac{1}{2} $
$(D)\ 1 $
$(E)\ 2 $

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal limit ini kita gunakan sedikit manipulasi aljabar dan berhubungan sedikit dengan limit fungsi trigonometri.
Misalkan $\dfrac{1}{x}=p$ sehingga $\dfrac{1}{p}=x$, karena $x \to \infty$ maka $p \to 0$.

Soal $\lim\limits_{x \to \infty} x^{2}\ \sin \dfrac{1}{x}\ \tan \dfrac{1}{x}$ bisa kita tuliskan menjadi:
$\begin{align}
& \lim\limits_{p \to 0} \left( \dfrac{1}{p} \right)^{2}\ \sin p\ \tan p \\ &= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{1}{p^{2}}\ \sin p\ \tan p \\ &= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{\sin p\ \tan p}{p^{2}} \\ &= \lim\limits_{p \to 0} \left( \dfrac{\sin p}{p} \cdot \dfrac{ \tan p}{p} \right) \\ &= 1 \cdot 1 =1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$

3. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{4}\ sin \left (\dfrac{1}{x}\right )+x^{2}}{1+x^{3}}=\cdots$
$(A)\ \text{Tidak ada limitnya} $
$(B)\ 0 $
$(C)\ 1 $
$(D)\ - \infty $
$(E)\ \infty $

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal limit ini kita gunakan sedikit manipulasi aljabar dan berhubungan sedikit dengan limit fungsi trigonometri.

Misalkan $\dfrac{1}{x}=m$ sehingga $\dfrac{1}{m}=x$, karena $x \to \infty$ maka $m \to 0$.
Soal $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{4}\ \sin \left (\dfrac{1}{x} \right )+x^{2}}{1+x^{3}}$ bisa kita tuliskan menjadi

$\begin{align} & \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\left (\dfrac{1}{m} \right )^{4}\ \sin m+\left (\dfrac{1}{m} \right )^{2}}{1+\left (\dfrac{1}{m} \right )^{3}} \\ & = \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{m^{4}}\ \sin m+\dfrac{1}{m^{2}}}{1+\dfrac{1}{m^{3}}} \\ & = \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\dfrac{\sin m}{m^{4}}+\dfrac{1}{m^{2}}}{1+\dfrac{1}{m^{3}}} \cdot \dfrac{m^{3}}{m^{3}} \\ & = \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\dfrac{\sin m}{m}+m}{m^{3}+1} \\ & = \dfrac{1+0}{0+1}\\ & = 1 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$

4. Soal SPMB 2006 Kode 610 |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to \infty} x\ \sin \left( \dfrac{a}{bx} \right) =b$, $a$ dan $b$ konstanta maka...
$(A)\ a=\dfrac{1}{2}b $
$(B)\ a=b $
$(C)\ a^{2}= b $
$(D)\ a=b^{2} $
$(E)\ a=2b $

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal limit ini kita gunakan sedikit manipulasi aljabar dan berhubungan sedikit dengan limit fungsi trigonometri.

Misalkan $\dfrac{1}{x}=k$ sehingga $\dfrac{1}{k}=x$, karena $x \to \infty$ maka $k \to 0$.

Soal $\lim\limits_{x \to \infty} x\ \sin \left( \dfrac{a}{bx} \right) =b$ bisa kita tuliskan menjadi:
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to \infty} x\ \sin \left( \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{a}{b} \right) & = b \\ \lim\limits_{k \to 0} \dfrac{1}{k}\ \sin \left( \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{a}{b} \right) & = b \\ \lim\limits_{k \to 0} \dfrac{\sin \left( k \cdot \dfrac{a}{b} \right)}{k}\ & = b \\ \lim\limits_{k \to 0} \dfrac{\sin \left( k \cdot \dfrac{a}{b} \right)}{k}\ & = b \\ \dfrac{a}{b}\ & = b \\ a\ & = b^{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ a=b^{2}$

5. Soal SBMPTN 2017 Kode 121 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to \infty} \left( \csc \dfrac{1}{x}- \cot \dfrac{1}{x} \right)=\cdots$
$(A)\ 2 $
$(B)\ 1 $
$(C)\ 0 $
$(D)\ -1 $
$(E)\ -2 $

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal limit ini kita gunakan sedikit manipulasi aljabar dan berhubungan sedikit dengan limit fungsi trigonometri.

Misalkan $\dfrac{1}{x}=m$ sehingga $\dfrac{1}{m}=x$, karena $x \to \infty$ maka $m \to 0$.

Soal $\lim\limits_{x \to \infty} \left( \csc \dfrac{1}{x}- \cot \dfrac{1}{x} \right)$ bisa kita tuliskan menjadi

$\begin{align} & \lim\limits_{m \to 0} \left( \csc m - \cot m \right) \\ & = \lim\limits_{m \to 0} \left( \dfrac{1}{\sin m} - \dfrac{\cos m}{\sin m} \right) \\ & = \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{1-\cos m}{\sin m} \\ & = \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{1-\cos m}{\sin m} \times \dfrac{1+\cos m}{1+\cos m}\\ & = \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{1-\cos^{2} m}{\left( \sin m \right) \left( 1+\cos m \right)} \\ & = \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\sin^{2} m}{\left( \sin m \right) \left( 1+\cos m \right)} \\ & = \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\sin m}{ 1+\cos m } \\ & = \dfrac{\sin 0}{ 1+\cos 0 } \\ & = \dfrac{0}{ 1+1 }=0 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

6. Soal SBMPTN 2017 Kode 129 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2x^{2}\ \tan \left( \frac{1}{x} \right)- x\ \sin \left( \frac{1}{x} \right)+\left( \frac{1}{x} \right) }{x\ \cos \left( \frac{2}{x} \right) } =\cdots$
$(A)\ 2 $
$(B)\ 1 $
$(C)\ 0 $
$(D)\ -1 $
$(E)\ -2 $

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal limit ini kita gunakan sedikit manipulasi aljabar dan berhubungan sedikit dengan limit fungsi trigonometri.

Misalkan $\dfrac{1}{x}=p$ sehingga $\dfrac{1}{p}=x$, karena $x \to \infty$ maka $p \to 0$.
Soal $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2x^{2}\ \tan \left( \frac{1}{x} \right)- x\ \sin \left( \frac{1}{x} \right)+\left( \frac{1}{x} \right) }{x\ \cos \left( \frac{2}{x} \right) }$ bisa kita tuliskan menjadi

$\begin{align} &= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{\left( \frac{2}{p^{2}} \right)\ \tan p- \left( \frac{1}{p} \right)\ \sin p+ p}{\left( \frac{1}{p} \right) \cos 2p } \times \dfrac{p}{p}\\ &= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{\left( \frac{2}{p} \right)\ \frac{\sin p}{\cos p} - \sin p+ p^{2}}{\cos 2p } \\ &= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{ \frac{2\ \sin p}{p\ \cos p} - \sin p+ p^{2}}{\cos 2p } \\ &= \lim\limits_{p \to 0} \left( \dfrac{2\ \sin p}{p\ \cos p\ \cos 2p} + \dfrac{p^{2} - \sin p}{\cos 2p } \right) \\ &= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{2\ \sin p}{p\ \cos p\ \cos 2p} + \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{p^{2} - \sin p}{\cos 2p } \\ &= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{2 }{\cos p\ \cos 2p} + \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{p^{2} - \sin p}{\cos 2p } \\ &= \dfrac{2 }{\cos 0\ \cos 2(0)} + \dfrac{0 - \sin 0}{\cos 2(0) } \\ &= \dfrac{2 }{1} + \dfrac{0}{1}=2 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2$

7. Soal Simulasi SNBT-SBMPTN |*Soal Lengkap

Nilai dari $\lim\limits_{\theta \to \infty} \dfrac{\sin^{2} \left( \frac{2}{\theta} \right)}{1-\cos \left( \frac{1}{\theta} \right)} $ adalah...
$(A)\ 8 $
$(B)\ 4 $
$(C)\ 0 $
$(D)\ - 4 $
$(E)\ - \infty $

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal limit ini kita gunakan sedikit manipulasi aljabar dan berhubungan sedikit dengan limit fungsi trigonometri.
Misalkan $\dfrac{1}{\theta}=k$ sehingga $\dfrac{1}{k}=\theta$, karena $\theta \to \infty$ maka $k \to 0$.

Soal $\lim\limits_{\theta \to \infty} \dfrac{\sin^{2} \left( \dfrac{2}{\theta} \right)}{1-\cos \left( \dfrac{1}{\theta} \right)}$ bisa kita tuliskan menjadi:

$\begin{align}
\lim\limits_{k \to 0} \dfrac{\sin^{2} \left( 2k \right)}{1-\cos k} & = \lim\limits_{k \to 0} \dfrac{ \left( 2\ \sin k\ \cos k\ \right)^{2}}{1-\cos k} \times \dfrac{1+\cos k}{1+\cos k} \\ & = \lim\limits_{k \to 0} \dfrac{ \left( 4\ \sin^{2} k\ \cos^{2} k\ \right)\left( 1+\cos k \right)}{ 1-\cos^{2} k} \\ & = \lim\limits_{k \to 0} \dfrac{ \left( 4\ \sin^{2} k\ \cos^{2} k\ \right)\left( 1+\cos k \right)}{\sin^{2} k} \\ & = \lim\limits_{k \to 0} \dfrac{ \left( 4\ \cos^{2} k\ \right)\left( 1+\cos k \right)}{1} \\ & = \left( 4\ \cos^{2} 0\ \right)\left( 1+\cos 0 \right) \\ & = \left( 4 \right)\left( 1+1 \right)=8 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 8$

8. Soal Simulasi SNBT-SBMPTN |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{r \to \infty} \left ( \sqrt{4r^{2}+2r}-\sqrt[3]{8r^{3}+4r^{2}} \right)$ adalah...
$(A)\ -2 $
$(B)\ -\frac{1}{6} $
$(C)\ \frac{1}{2} $
$(D)\ \frac{1}{6} $
$(E)\ 2 $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} & \lim\limits_{r \to \infty} \left ( \sqrt{4r^{2}+2r}-\sqrt[3]{8r^{3}+4r^{2}} \right) \\ & = \lim\limits_{r \to \infty} \left ( \sqrt{4r^{2}+2r}-2r+2r-\sqrt[3]{8r^{3}+4r^{2}} \right) \\ & = \lim\limits_{r \to \infty} \left ( \sqrt{4r^{2}+2r}-\sqrt{4r^{2}}+\sqrt[3]{8r^{3}}-\sqrt[3]{8r^{3}+4r^{2}} \right) \\ & = \lim\limits_{r \to \infty} \left ( \sqrt{4r^{2}+2r}-\sqrt{4r^{2}} \right)+ \lim\limits_{r \to \infty} \left( \sqrt[3]{8r^{3}}-\sqrt[3]{8r^{3}+4r^{2}} \right) \\ & = \dfrac{2-0}{2\sqrt{4}} + \dfrac{0-4}{ 3 \cdot \sqrt[3]{8^{3-1}}} \\ & = \dfrac{2}{4} + \dfrac{-4}{ 3 \cdot \sqrt[3]{8^{2}}} \\ & = \dfrac{1}{2} + \dfrac{-4}{ 3 \cdot 4} \\ & = \dfrac{6}{12} + \dfrac{-4}{12} = \dfrac{2}{12}= \dfrac{1}{6} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{1}{6}$

9. Soal Simulasi SNBT-SBMPTN |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{n \to \infty} n \cos \left( \dfrac{\pi}{4n} \right) \sin \left( \dfrac{\pi}{4n} \right) =k$, maka nilai $k$ yang memenuhi adalah...
$(A)\ \frac{\pi}{4} $
$(B)\ \frac{\pi}{3} $
$(C)\ \frac{\pi}{2} $
$(D)\ \pi $
$(E)$ nilai $k$ di pilihan tidak ada yang memenuhi

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal limit ini kita gunakan sedikit manipulasi aljabar dan berhubungan sedikit dengan limit fungsi trigonometri.
Misalkan $\dfrac{\pi}{4n}=x$ sehingga $\dfrac{\pi}{4x}=n$, karena $n \to \infty$ maka $x \to 0$.

Soal $\lim\limits_{n \to \infty} n \cos \left( \dfrac{\pi}{4n} \right) \sin \left( \dfrac{\pi}{4n} \right)$ bisa kita tuliskan menjadi:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\pi}{4x} \cos x \sin x \\ &= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\pi \cdot \sin x}{4x} \cos x \\ &= \dfrac{\pi}{4} \cdot \cos 0 \\ &= \dfrac{\pi}{4} \cdot 1 = \dfrac{\pi}{4} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{\pi}{4}$

10. Soal Simulasi SNBT-SBMPTN |*Soal Lengkap

$ \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2x^{2}+2x- \sin^{2}x}{3x^{2}-4x+\cos^{2}x}= \cdots $
$(A)\ 1 $
$(B)\ \frac{2}{3} $
$(C)\ \frac{1}{3} $
$(D)\ 0 $
$(E)\ \infty $

Alternatif Pembahasan:

Soal ini ada keunikan karena rumus-rumus di atas tidak ada membahas yang seperti ini, jadi untuk soal ini kita coba dengan manipulasi aljabar;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2x^{2}+2x- \sin^{2}x}{3x^{2}-4x+\cos^{2}x} \\ & = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2x^{2}+2x- \sin^{2}x}{3x^{2}-4x+\cos^{2}x} \cdot \dfrac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}} \\ & = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2+\frac{2}{x}-\frac{ \sin^{2}x}{x^{2}}}{3 -\frac{4}{x}+\frac{\cos^{2}x}{x^{2}}} \\ & = \dfrac{2+0-0}{3 -0+0} \\ & = \dfrac{2}{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{2}{3} $

11. Soal Simulasi UTBK SNBT

Nilai dari $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{3}\ \sin \left (\frac{1}{x}\right )-2x^{2}}{1+3x^{2}}=\cdots$
$(A)\ 0 $
$(B)\ -1 $
$(C)\ - \frac{1}{2} $
$(D)\ - \frac{1}{3} $
$(E)\ \infty $

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal limit ini kita gunakan sedikit manipulasi aljabar dan berhubungan sedikit dengan limit fungsi trigonometri.

Misalkan $\dfrac{1}{x}=p$ sehingga $\dfrac{1}{p}=x$, karena $x \to \infty$ maka $p \to 0$.

Soal $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{3}\ \sin \left (\frac{1}{x}\right )-2x^{2}}{1+3x^{2}}$ bisa kita tuliskan menjadi:
$\begin{align} & \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{\left (\frac{1}{p}\right )^{3}\ \sin p - 2 \left (\frac{1}{p}\right )^{2}}{1+3\left (\frac{1}{p}\right )^{2}} \\ & = \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{\left (\frac{1}{p}\right )^{2} \left( \frac{1}{p} \cdot \sin p - 2 \right)}{1+3 \left (\frac{1}{p}\right )^{2}} \\ & = \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{ \frac{1}{p^{2}} \left( \frac{1}{p} \cdot \sin p - 2 \right)}{1+3 \cdot \frac{1}{p^{2}}} \\ & = \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{ \frac{1}{p^{2}} \left( \frac{1}{p} \cdot \sin p - 2 \right)}{\frac{p^{2}}{p^{2}}+ \frac{3}{p^{2}}} \\ & = \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{ \frac{1}{\color{red}{p^{2}}} \left( \frac{1}{p} \cdot \sin p - 2 \right)}{\frac{3+ p^{2}}{\color{red}{p^{2}}}} \\ & = \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{ \left( \frac{\sin p}{p} - 2 \right)}{ 3+ p^{2}} \\ & = \dfrac{ \left(1- 2 \right)}{ 3+ 0^{2}} \\ & = \dfrac{ -1}{ 3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\frac{1}{3}$

12. Soal Simulasi UTBK SNBT

Nilai dari $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ \sin \left (\frac{3}{x}\right )-\sin \left (\frac{3}{x}\right )\cos \left (\frac{4}{x}\right )}{\sin \left (\frac{5}{x} \right) \tan^{2} \left (\frac{2}{x}\right )}=\cdots$
$(A)\ \frac{12}{5} $
$(B)\ \frac{6}{5} $
$(C)\ \frac{5}{6} $
$(D)\ \frac{5}{12} $
$(E)\ 2 $

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal limit ini kita gunakan sedikit manipulasi aljabar dan berhubungan sedikit dengan limit fungsi trigonometri.

Misalkan $\dfrac{1}{x}=p$ sehingga $\dfrac{1}{p}=x$, karena $x \to \infty$ maka $p \to 0$.

Soal $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ \sin \left (\frac{3}{x}\right )-\sin \left (\frac{3}{x}\right )\cos \left (\frac{4}{x}\right )}{\sin \left (\frac{5}{x} \right) \tan^{2} \left (\frac{2}{x}\right ) }$ bisa kita tuliskan menjadi:
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ \sin 3p-\sin 3p \cos 4p}{\sin \left (\frac{5}{x} \right) \tan^{2} \sin \left (\frac{2}{x}\right ) } \\ & = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ \sin \left (\frac{3}{x}\right )-\sin \left (\frac{3}{x}\right )\cos \left (\frac{4}{x}\right )}{\sin \left (\frac{5}{x} \right) \tan^{2} \left (\frac{2}{x}\right ) } \\ & = \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{ \sin 3p - \sin 3p \cos 4p }{\sin 5p \tan^{2} 2p } \\ & = \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{ \sin 3p \left(1 - \cos 4p \right) }{\sin 5p \tan^{2} 2p } \\ & = \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{ \sin 3p \left(1 - \left( \cos^{2}2p-\sin^{2}2p \right) \right) }{\sin 5p \tan^{2} 2p } \\ & = \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{ \sin 3p \left(1 - \cos^{2}2p+\sin^{2}2p \right) }{\sin 5p \tan^{2} 2p } \\ & = \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{ \sin 3p \left(\sin^{2}2p+\sin^{2}2p \right) }{\sin 5p \tan^{2} 2p } \\ & = \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{ \sin 3p \left( 2\sin^{2}2p \right) }{\sin 5p \tan^{2} 2p } \\ & = \dfrac{ 3}{ 5 } \cdot \dfrac{ 2 \cdot 2^{2}}{2^{2}} \\ & = \dfrac{6}{ 5 } \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{6}{5}$

Beberapa pembahasan soal Limit Tak hingga Pada Fungsi Aljabar dan Trigonometri di atas adalah coretan kreatif siswa pada:

lembar jawaban penilaian harian matematika,
lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
presentasi hasil diskusi matematika atau
pembahasan quiz matematika di kelas.

Catatan Soal dan Pembahasan Matematika SMA Limit Tak hingga Pada Fungsi Trigonometri di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.