The good student, bersama calon guru kita belajar matematika SMP dari Cara Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan. Soal latihan untuk bahan diskusi kita pilih soal dari buku matematika SMP Kelas IX Kurikulum 2013 dan soal-soal yang di tanyakan pada grup belajar pada media sosial.
Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Dengan bahasa yang lebih sederhana dapat juga kita katakan Persamaan Kuadrat adalah persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya dua.
Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Bentuk umum persamaan kuadrat ditulis $a{\color{Red} x}^{2}+b{\color{Red} x}+c=0$, ini disebut persamaan kuadrat dengan variabel $\color{Red} x$
- Keterangan:
- $a$ disebut dengan koefisien variabel berpangkat $2$
- $b$ disebut dengan koefisien variabel berpangkat $1$
- $c$ disebut dengan koefisien variabel berpangkat $0$ (sering di sebut dengan konstanta)
- Contoh:
- $ 2x^{2}-5x+3=0$ $\Rightarrow$ Persamaan Kuadrat dengan variabel $ \Large x$
- $ t^{2}-8t-9=0$ $\Rightarrow$ Persamaan Kuadrat dengan variabel $ \Large t$
- $ p^{2}+10p+21=0$ $\Rightarrow$ Persamaan Kuadrat dengan variabel $ \Large p$
Akar-akar Persamaan Kuadrat
Akar-akar Persamaan Kuadrat adalah nilai variabel (peubah) yang mengakibatkan persamaan kuadrat itu benar atau nilai variabel (peubah) yang memenuhi persamaan kudrat.
Akar-akar Persamaan Kuadrat $ x^{2}-x+12=0$ adalah $x=2$ atau $x=6$, karena jika $x=2$ kita substituskan ke Persamaan Kuadrat, maka hasilnya adalah $0$.
$\begin{align}
x^{2}-8x+12 & = 0 \\
2^{2}-8(2)+12 & = 0 \\
4-16+12 & = 0 \\
-12+12 & = 0 \\
0 & = 0 \\
\end{align}$
Pada langkah terakhir kita perhatikan bahwa hasilnya benar, ini membuktikan bahwa $x=2$ merupakan pembuat nol Persamaan Kuadrat yang disebut dengan istilah akar-akar Persamaan Kuadrat. Jika kita lakukan hal yang sama untuk $x=6$ maka kita akan memperoleh hasil yang sama yaitu $x^{2}-8x+12=0$, sehingga $x=6$ juga merupakan akar dari persamaan kuadrat $ x^{2}-8x+12=0$.
Akar-akar persamaan kuadrat dengan variabel $x$, umumnya disimbolkan dengan $x_{1}$ atau $x_{2}$. Tetapi $x_{1}$ atau $x_{2}$ tidak menjadi simbol yang tetap dapat juga dipakai simbol lain dengan keterangan, misalnya dikatakan $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-5x+6=0$.
Memfaktorkan Persamaan Kuadrat
Banyak akar-akar persamaan kuadrat adalah satu atau dua. Untuk mendapatkan akar-akar persamaan kuadrat yang paling umum dikenal adalah memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, rumus abc atau rumus Al-Kharizmi, atau coba-coba.
Bagaimana menentukan akar-akar Persamaan Kuadrat dengan cara memfaktorkan?. Sebelumnya kita mungkin sudah pernah mendengar kata faktor, misalnya Faktor dari $12$ adalah $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$. Angka-angka ini tidak muncul begitu saja, angka-angka ini mempunyai hubungan dengan $12$ yaitu $1 \times 12 =12$, $2 \times 6 =12$, dan $3 \times 4 =12$. Itulah salah satu alasan kenapa $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$ dikatakan faktor dari $12$.
Untuk faktor persamaan kuadrat kurang lebih sama, sederhananya kita coba menjabarkan persamaan kuadrat menjadi dalam bentuk perkalian dari faktor-faktor.
$\begin{align} & x^{2}+8x+12 \\ & = x^{2}+2x+6x+12 \\ & = (x)(x)+(x)(2)+(6)(x)+(6)(2) \\ & = \left( x \right) \left(x+2 \right)+ \left( 6 \right) \left(x+2 \right) \\ & = \left( x+6 \right) \left(x+2 \right) \end{align}$
Dari bentuk di atas kita peroleh $x^{2}+8x+12=\left(x+6 \right)\left(x+2 \right)$ artinya $\left(x+6 \right)$ dan $\left(x+2 \right)$ merupakan faktor dari $x^{2}+8x+12$.
Jika $x^{2}+8x+12$ kita tuliskan dalam bentuk umum persamaan kuadrat, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
x^{2}+8x+12 &= 0 \\
\left(x+ 6 \right)\left(x+2 \right) & = 0
\end{align}$
Kita ketahui bahwa jika $a \times b=0$, maka $a=0$ atau $b=0$. Pernyataan ini kita terapkan ke persamaan $\left(x+ 6 \right)\left(x+2 \right)= 0$ sehingga kita peroleh $x+6=0 \Rightarrow x=-6$ atau $x+2=0 \Rightarrow x=-2$.
Nilai $x_{1}=-6$ atau $x_{2}=-2$ disebut dengan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+8x+12 = 0$.
Sekarang kita coba beberapa contoh soal menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan.
1. Tentukan akar-akar dari $x^{2}+6x+8=0$ dengan cara memfaktorkan?.
$\begin{align} x^{2}+6x+8 &= 0 \\ \left(x+ \cdots \right)\left(x+\cdots \right) & = 0 \end{align}$
Untuk mengisi $\cdots$ di atas dapat kita ikuti langkah-langkahnya. Persamaan kuadrat $x^{2}+bx+c=0$ jika kita mau menentukan akar-akar Persamaan Kuadrat dengan memfaktorkan maka kita harus merubah Persamaan Kuadrat ke dalam bentuk perkalian menjadi:
$\begin{align} x^{2}+bx+c &= 0 \\ \left(x+m \right)\left(x+n \right) & = 0 \\ \hline \text{dimana} & \\ \text{nilai}\ \left(m \right) \times \left( n \right) &= \left(+c \right) \\ \text{nilai}\ \left(m \right) + \left( n \right) &= \left(+b \right) \\ \hline \end{align}$
Langkah I:
Kita akan rubah Persamaan Kuadrat $x^{2}+6x+8=0$ dimana $\left(a=+1,\ b=+6,\ c=+8 \right)$ menjadi $\left(x+m \right)\left(x+n \right) = 0$
Langkah II:
Sekarang kita coba menentukan nilai $m$ dan $n$, dengan cara mencari bilangan yang jika dikalikan hasilnya adalah $\left(c= +8 \right)$
- $[+1]\ \times\ [+8]$
- $[-1]\ \times\ [-8]$
- $[+2]\ \times\ [+4]$
- $[-2]\ \times\ [-4]$
Langkah III: Berikutnya, kita cari bilangan dari langkah II yang dijumlahkan hasilnya adalah $b= +6$, diperoleh bilangan $[+2]$ dan $[+4]$. Sehingga kita peroleh nilai $m=+2$ dan $n=+4$ dan bentuk pemfaktorkan dapat kita tuliskan menjadi:
$\begin{align} x^{2}+6x+8 &= 0 \\ \left(x+m \right)\left(x+n \right) & = 0 \\ \hline \left(x+2 \right)\left(x+4 \right) & = 0 \\ x+2 =0\ \text{atau}\ x+4=0 & \\ x=-2\ \text{atau}\ x=-4 & \end{align}$
Akar-akar $x^{2}+6x+8=0$ adalah $x_{1}=-2$ atau $x_{2}=-4$
2. Tentukan akar-akar dari $x^{2}-7x+12=0$ dengan cara memfaktorkan?.
$\begin{align} x^{2}-7x+12 &= 0 \\ \left(x+ \cdots \right)\left(x+\cdots \right) & = 0 \end{align}$
Untuk mengisi $\cdots$ di atas dapat kita ikuti langkah-langkahnya. Persamaan kuadrat $x^{2}+bx+c=0$ jika kita mau menentukan akar-akar Persamaan Kuadrat dengan memfaktorkan maka kita harus merubah Persamaan Kuadrat ke dalam bentuk perkalian.
Langkah I:
Kita akan rubah Persamaan Kuadrat $x^{2}-7x+12=0$ dimana $\left(a=+1,\ b=-7,\ c=+12 \right)$ menjadi $\left(x+m \right)\left(x+n \right) = 0$
Langkah II:
Sekarang kita coba menentukan nilai $m$ dan $n$, dengan cara mencari bilangan yang jika dikalikan hasilnya adalah $\left(c= +12 \right)$
- $[+1]\ \times\ [+12]$
- $[-1]\ \times\ [-12]$
- $[+2]\ \times\ [+6]$
- $[-2]\ \times\ [-6]$
- $[+3]\ \times\ [+4]$
- $[-3]\ \times\ [-4]$
Langkah III:
Berikutnya, kita cari bilangan dari langkah II yang dijumlahkan hasilnya adalah $b=-7$, diperoleh bilangan $[-3]$ dan $[-4]$. Sehingga kita peroleh nilai $m=-3$ dan $n=-4$ dan bentuk pemfaktorkan dapat kita tuliskan menjadi:
$\begin{align} x^{2}-7x+12 &= 0 \\ \left(x+m \right)\left(x+n \right) & = 0 \\ \hline \left(x-3 \right)\left(x-4 \right) & = 0 \\ x-3 =0\ \text{atau}\ x-4=0 & \\ x=3\ \text{atau}\ x= 4 & \end{align}$
Akar-akar $x^{2}-7x+12=0$ adalah $x_{1}=3$ atau $x_{2}=4$
3. Tentukan akar-akar dari $3x^{2}-4x-7=0$ dengan cara memfaktorkan?.
Langkah I:
Kita akan rubah Persamaan Kuadrat $3x^{2}-4x-7=0$ dimana $\left(a=+3,\ b=-4,\ c=-7 \right)$ menjadi $\dfrac{1}{a}(ax+m)(ax+n)=0$
$\begin{align} ax^{2}+bx+c &= 0 \\ \dfrac{1}{a}(ax+m)(ax+n) & = 0 \\ \hline \text{dimana} & \\ \text{nilai}\ \left(m \right) \times \left( n \right) &= \left(a \right) \times \left(c \right) \\ \text{nilai}\ \left(m \right) + \left( n \right) &= \left(b \right) \\ \hline \end{align}$
Langkah II:
Sekarang kita coba menentukan nilai $m$ dan $n$, dengan cara mencari bilangan yang jika dikalikan hasilnya adalah $\left(+3 \right) \times \left( -7 \right)=-21$
- $[+1]\ \times\ [-21]$
- $[-1]\ \times\ [+21]$
- $[+3]\ \times\ [-7]$
- $[-7]\ \times\ [+3]$
Langkah III:
Berikutnya, kita cari bilangan dari langkah II yang dijumlahkan hasilnya adalah $b=-4$, diperoleh bilangan $[+3]$ dan $[-7]$. Sehingga kita peroleh nilai $m=+3$ dan $n=-7$ dan bentuk pemfaktorkan dapat kita tuliskan menjadi:
$\begin{align} 3x^{2}-4x-7 &= 0 \\ \dfrac{1}{3}(3x+m)(3x+n) & = 0 \\ \hline \dfrac{1}{3}(3x+3)(3x-7) & = 0 \\ 3x+3 =0\ \text{atau}\ 3x-7=0 & \\ x=-1\ \text{atau}\ x= \frac{7}{3} & \end{align}$
Akar-akar $3x^{2}-4x-7=0$ adalah $x_{1}=-1$ atau $x_{2}=\frac{7}{3}$
Soal Latihan dan Pembahasan Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan
Untuk bahan diskusi menentukan akar-akar Persamaan Kuadrat dengan memfaktorkan, soal kita pilih soal dari buku matematika SMP Kelas IX Kurikulum 2013 dan soal-soal yang tanyakan pada media sosial.
1. Soal Latihan Memfaktorkan Persamaan Kuadrat
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-1=0$ dengan cara memfaktorkan?
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} x^{2}-1 &= 0 \\ a=1,\ b=0,\ c=-1 & \\ \left(x+m \right)\left(x+n \right) & = 0 \\ \hline \left(x+1 \right)\left(x-1 \right) & = 0 \\ x+1 =0\ \text{atau}\ x-1=0 & \\ x=-1\ \text{atau}\ x=1 & \end{align}$
$\begin{align} x^{2}-1 &= 0 \\ x^{2} + x - x - 1 &= 0 \\ x \left( x + 1 \right) - \left( x + 1 \right) &= 0 \\ \left(x+1 \right)\left(x-1 \right) & = 0 \\ x+1 =0\ \text{atau}\ x-1=0 & \\ x=-1\ \text{atau}\ x=1 & \end{align}$
Akar-akar $x^{2}-1=0$ adalah $x_{1}=1$ atau $x_{2}=-1$
2. Soal Latihan Memfaktorkan Persamaan Kuadrat
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $4x^{2}+4x+1=0$ dengan cara memfaktorkan?
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} 4x^{2}+4x+1 &= 0 \\ a=4,\ b=4,\ c=1 & \\ \dfrac{1}{a}(ax+m)(ax+n) & = 0 \\ \hline \dfrac{1}{4}(4x+2)(4x+2) & = 0 \\ 4x+2 =0\ \text{atau}\ 4x+2=0 & \\ x=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}\ \text{atau}\ x= -\frac{2}{4}=-\frac{1}{2} & \end{align}$
$\begin{align} 4x^{2}+4x+1 &= 0 \\ 4x^{2} + 2x + 2x + 1 &= 0 \\ 2x \left( 2x + 1 \right) + \left( 2x + 1 \right) &= 0 \\ \left( 2x + 1 \right) \left( 2x + 1 \right) & = 0 \\ 2x+1 =0\ \longrightarrow x=-\frac{1}{2} & \end{align}$
Akar-akar $4x^{2}+4x+1=0$ adalah $-\dfrac{1}{2}$, persamaan kuadrat seperti ini dimana persamaan kuadrat yang hanya memiliki satu penyelesaian disebut dengan persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar kembar.
3. Soal Latihan Memfaktorkan Persamaan Kuadrat
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $-3x^{2}-5x+2=0$ dengan cara memfaktorkan?
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} -3x^{2}-5x+2 &= 0 \\ 3x^{2}+5x-2 &= 0 \\ a=3,\ b=5,\ c=-2 & \\ \dfrac{1}{a}(ax+m)(ax+n) & = 0 \\ \hline \dfrac{1}{3}(3x+6)(3x-1) & = 0 \\ 3x+6 =0\ \text{atau}\ 3x-1=0 & \\ x=-\frac{6}{3}=-2\ \text{atau}\ x= \frac{1}{3} & \end{align}$
$\begin{align} -3x^{2}-5x+2 &= 0 \\ 3x^{2}+5x-2 &= 0 \\ 3x^{2}-x+6x-2 &= 0 \\ x \left( 3x - 1 \right) + 2 \left( 3x - 1 \right) &= 0 \\ \left( x + 2 \right) \left( 3x-1 \right) & = 0 \\ x+2 =0\ \text{atau}\ 3x-1=0 & \\ x=-2\ \text{atau}\ x= \frac{1}{3} & \end{align}$
Akar-akar $-3x^{2}-5x+2=0$ adalah $x_{1}=-2$ atau $x_{2}=\dfrac{1}{3}$
4. Soal Latihan Memfaktorkan Persamaan Kuadrat
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $2x^{2}-x-3=0$ dengan cara memfaktorkan?
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} 2x^{2}-x-3 &= 0 \\ a=2,\ b=-1,\ c=-3 & \\ \dfrac{1}{a}(ax+m)(ax+n) & = 0 \\ \hline \dfrac{1}{2}(2x-3)(2x+2) & = 0 \\ 2x-3 =0\ \text{atau}\ 2x+2=0 & \\ x=\frac{3}{2}\ \text{atau}\ x= -\frac{2}{2}=-1 & \end{align}$
$\begin{align} 2x^{2}-x-3 &= 0 \\ 2x^{2}-3x+2x-3 &= 0 \\ x \left( 2x -3 \right) + \left( 2x - 3 \right) &= 0 \\ \left( 2x -3 \right) \left( x+1 \right) & = 0 \\ 2x-3 =0\ \text{atau}\ 2x+2=0 & \\ x=\frac{3}{2}\ \text{atau}\ x= -1 & \end{align}$
Akar-akar $2x^{2}-x-3=0$ adalah $x_{1}=-1$ atau $x_{2}=\dfrac{3}{2}$
5. Soal Latihan Memfaktorkan Persamaan Kuadrat
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-x+\dfrac{1}{4}=0$ dengan cara memfaktorkan?
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} x^{2}-x+\frac{1}{4} &= 0 \\ a=1,\ b=-1,\ c=\frac{1}{4} & \\ (x+m)(x+n) & = 0 \\ \hline \left( x-\frac{1}{2}\right) \left( x-\frac{1}{2} \right) & = 0 \\ x-\frac{1}{2} =0\ \text{atau}\ x-\frac{1}{2}=0 & \\ x=\frac{1}{2}\ \text{atau}\ x= \frac{1}{2} & \end{align}$
$\begin{align} x^{2}-x+\frac{1}{4} &= 0 \\ x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4} &= 0 \\ x \left( x - \frac{1}{2} \right) - \frac{1}{2} \left( x - \frac{1}{2} \right) &= 0 \\ \left( x - \frac{1}{2} \right) \left( x - \frac{1}{2} \right) & = 0 \\ x- \frac{1}{2} =0\ \text{atau}\ x= \frac{1}{2} & \end{align}$
Akar-akar $x^{2}-x+\dfrac{1}{4}=0$ adalah $x_{1}=\dfrac{1}{2}$
6. Soal Latihan Memfaktorkan Persamaan Kuadrat
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-5x+6=0$ dengan cara memfaktorkan?
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} x^{2}-5x+6 &= 0 \\ a=1,\ b=-5,\ c=6 & \\ \left(x+m \right)\left(x+n \right) & = 0 \\ \hline \left(x-2 \right)\left(x-3 \right) & = 0 \\ x-2 =0\ \text{atau}\ x-3=0 & \\ x=2\ \text{atau}\ x=3 & \end{align}$
$\begin{align} x^{2}-5x+6 &= 0 \\ x^{2}-2x-3x+ 6 &= 0 \\ x \left( x - 2 \right) - 3 \left( x - 2 \right) &= 0 \\ \left( x - 2 \right) \left( x - 3 \right) & = 0 \\ x-2 =0\ \text{atau}\ x-3=0 & \\ x=2\ \text{atau}\ x=3 & \end{align}$
Akar-akar $x^{2}-5x+6=0$ adalah $2$ atau $3$
7. Soal Latihan Memfaktorkan Persamaan Kuadrat
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+2x-15=0$ dengan cara memfaktorkan?
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} x^{2}+2x-15 &= 0 \\ a=1,\ b=2,\ c=-15 & \\ \left(x+m \right)\left(x+n \right) & = 0 \\ \hline \left(x+5 \right)\left(x-3 \right) & = 0 \\ x+5 =0\ \text{atau}\ x-3=0 & \\ x=-5\ \text{atau}\ x=3 & \end{align}$
$\begin{align} x^{2}+2x-15 &= 0 \\ x^{2}+5x-3x -15 &= 0 \\ x \left( x +5 \right) - 3 \left( x +5 \right) &= 0 \\ \left( x +5 \right) \left( x - 3 \right) & = 0 \\ x+5 =0\ \text{atau}\ x-3=0 & \\ x=-5\ \text{atau}\ x=3 & \end{align}$
Akar-akar $x^{2}+2x-15=0$ adalah $x_{1}=-5$ atau $x_{2}=3$
8. Soal Latihan Memfaktorkan Persamaan Kuadrat
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+4x-12=0$ dengan cara memfaktorkan?
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} x^{2}+4x-12 &= 0 \\ a=1,\ b=4,\ c=-12 & \\ \left(x+m \right)\left(x+n \right) & = 0 \\ \hline \left(x+6 \right)\left(x-2 \right) & = 0 \\ x+6 =0\ \text{atau}\ x-2=0 & \\ x=-6\ \text{atau}\ x=2 & \end{align}$
$\begin{align} x^{2}+4x-12 &= 0 \\ x^{2}+6x-2x -12 &= 0 \\ x \left( x + 6 \right) - 2 \left( x +6 \right) &= 0 \\ \left( x + 6 \right) \left( x - 2 \right) & = 0 \\ x+6 =0\ \text{atau}\ x-2=0 & \\ x=-6\ \text{atau}\ x=2 & \end{align}$
Akar-akar $x^{2}+4x-12=0$ adalah $x_{1}=-6$ atau $x_{2}=2$
9. Soal Latihan Memfaktorkan Persamaan Kuadrat
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-2=0$ dengan cara memfaktorkan?
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} x^{2}-2 &= 0 \\ a=1,\ b=0,\ c=-2 & \\ (x+m)(x+n) & = 0 \\ \hline \left( x- \sqrt{2} \right) \left( x + \sqrt{2} \right) & = 0 \\ x-\sqrt{2} =0\ \text{atau}\ x+\sqrt{2}=0 & \\ x=\sqrt{2}\ \text{atau}\ x= -\sqrt{2} & \end{align}$
$\begin{align} x^{2}-2 &= 0 \\ x^{2}+ x\sqrt{2}- x\sqrt{2} - 2 &= 0 \\ x \left( x + \sqrt{2} \right) - \sqrt{2} \left( x + \sqrt{2} \right) &= 0 \\ \left( x + \sqrt{2} \right) \left( x - \sqrt{2} \right) & = 0 \\ x+\sqrt{2} =0\ \text{atau}\ x-\sqrt{2}=0 & \\ x=-\sqrt{2}\ \text{atau}\ x=\sqrt{2} & \end{align}$
Akar-akar $x^{2}-2=0$ adalah $x_{1}=-\sqrt{2}$ atau $x_{2}=\sqrt{2}$
Catatan tentang Cara Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.