--> Skip to main content

Cara Mudah Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan

Cara Mudah Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan
Calon guru coba berbagi Cara Mudah Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan dan soal latihan untuk bahan diskusi kita pilih dari buku matematika SMP Kurikulum 2013.

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Dengan bahasa yang lebih sederhana dapat juga kita katakan Persamaan Kuadrat adalah persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya dua.

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat


Bentuk umum persamaan kuadrat ditulis $\Large a{\color{Red} x}^{2}+b{\color{Red} x}+c=0$, ini disebut persamaan kuadrat dengan variabel $\Large {\color{Red} x}$

Dimana:

  • $a$ disebut dengan koefisien variabel berpangkat $2$
  • $b$ disebut dengan koefisien variabel berpangkat $1$
  • $c$ disebut dengan koefisien variabel berpangkat $0$ (sering di sebut dengan konstanta)

Contoh:

  1. $ 2x^{2}-5x+3=0$ $\Rightarrow$ Persamaan Kuadrat dengan variabel $ \Large x$
  2. $ t^{2}-8t-9=0$ $\Rightarrow$ Persamaan Kuadrat dengan variabel $ \Large t$
  3. $ p^{2}+10p+21=0$ $\Rightarrow$ Persamaan Kuadrat dengan variabel $ \Large p$

Akar-akar Persamaan Kuadrat


Akar-akar Persamaan Kuadrat adalah nilai variabel yang memenuhi Persamaan Kuadrat sehingga Persamaan Kuadrat bernilai benar.

Misalnya, akar-akar Persamaan Kuadrat $ t^{2}-8t+12=0$ adalah $t=2$ atau $t=6$, karena jika $t=2$ kita substituskan ke Persamaan Kuadrat, maka hasilnya adalah $0$

$\begin{align} t^{2}-8t+12 & = 0 \\ 2^{2}-8(2)+12 & = 0 \\ 4-16+12 & = 0 \\ -12+12 & = 0 \\ 0 & = 0 \\ \end{align}$

Pada langkah terakhir kita perhatikan bahwa hasilnya benar, ini membuktikan bahwa $t=2$ merupakan pembuat nol Persamaan Kuadrat yang disebut dengan istilah akar-akar Persamaan Kuadrat. Jika kita lakukan hal yang sama untuk $t=6$ maka kita akan memperoleh hasil yang sama, sehingga $t=6$ juga merupakan akar dari persamaan kuadrat $ t^{2}-8t+12=0$.

Memfaktorkan Persamaan Kuadrat


Akar-akar Persamaan Kuadrat banyaknya adalah satu atau dua. Untuk mendapatkan akar-akar persamaan kuadrat ada beberapa cara yaitu Memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, rumus ABC, dan coba-coba. Sekarang kita coba berdiskusi bagaimana menentukan akar-akar Persamaan Kuadrat dengan cara memfaktorkan.

Sebelumnya kita mungkin sudah pernah mendengar kata faktor, misalnya "Faktor dari $12$ adalah?". Jawaban dari pertanyaan ini adalah $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$. Angka-angka ini tidak muncul begitu saja, angka-angka ini mempunyai hubungan dengan $12$ yaitu $1 \times 12 =12$, $2 \times 6 =12$, dan $3 \times 4 =12$. Itulah kenapa dikatakan $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$ merupakan faktor dari $12$.

Untuk faktor persamaan kuadrat kurang lebih sama, sederhananya kita coba menjabarkan persamaan kuadrat dalam bentuk perkalian. Atau coba kita perhatikan perkalian aljabar dua suku berikut:

$\begin{align} \left(x+6 \right)\left(x+2 \right) & = (x)(x)+(x)(2)+(6)(x)+(6)(2) \\ & = x^{2}+2x+6x+12 \\ & = x^{2}+8x+12 \\ \end{align}$

Dari bentuk di atas kita peroleh $x^{2}+8x+12=\left(x+6 \right)\left(x+2 \right)$ artinya $\left(x+6 \right)$ dan $\left(x+2 \right)$ merupakan faktor dari $x^{2}+8x+12$.

Jika $x^{2}+8x+12$ kita tuliskan dalam bentuk umum persamaan kuadrat, maka akan kita peroleh:

$\begin{align} x^{2}+8x+12 &= 0 \\ \left(x+ 6 \right)\left(x+2 \right) & = 0 \end{align}$

Kita ketahui bahwa jika $a \times b=0$, maka $a=0$ atau $b=0$. Pernyataan ini kita terapkan ke persamaan $\left(x+ 6 \right)\left(x+2 \right)= 0$ sehingga kita peroleh $x+6=0 \Rightarrow x=-6$ atau $x+2=0 \Rightarrow x=-2$.

Nilai $x=-6$ atau $x=-2$ disebut dengan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+8x+12 = 0$.

Sekarang kita coba untuk persamaan kuadrat lain,

Tentukan akar-akar dari $x^{2}+6x+8=0$ dengan cara memfaktorkan?.

$\begin{align} x^{2}+6x+8 &= 0 \\ \left(x+ \cdots \right)\left(x+\cdots \right) & = 0 \end{align}$

Untuk mengisi $\cdots$ di atas dapat kita ikuti langkah-langkahnya. Persamaan kuadrat $x^{2}+bx+c=0$ jika kita mau menentukan akar-akar Persamaan Kuadrat dengan memfaktorkan maka kita harus merubah Persamaan Kuadrat ke dalam bentuk perkalian menjadi:

$\begin{align} x^{2}+bx+c &= 0 \\ \left(x+m \right)\left(x+n \right) & = 0 \\ \hline \text{dimana} & \\ \text{nilai}\ \left(m \right) \times \left( n \right) &= \left(+c \right) \\ \text{nilai}\ \left(m \right) + \left( n \right) &= \left(+b \right) \\ \hline \end{align}$

Langkah I:
Kita akan rubah Persamaan Kuadrat $x^{2}+6x+8=0$ dimana $\left(a=+1,\ b=+6,\ c=+8 \right)$ menjadi $\left(x+m \right)\left(x+n \right) = 0$

Langkah II:
Sekarang kita coba menentukan nilai $m$ dan $n$, dengan cara mencari bilangan yang jika dikalikan hasilnya adalah $\left(c= +8 \right)$,
  • $[+1]\ \times\ [+8]$
  • $[-1]\ \times\ [-8]$
  • $[+2]\ \times\ [+4]$
  • $[-2]\ \times\ [-4]$
Langkah III:
Berikutnya, kita cari bilangan dari langkah II yang dijumlahkan hasilnya adalah $\left(b= +6 \right)$, diperoleh bilangan $[+2]$ dan $[+4]$. Sehingga kita peroleh nilai $m=+2$ dan $n=+4$ dan bentuk pemfaktorkan dapat kita tuliskan menjadi:

$\begin{align} x^{2}+6x+8 &= 0 \\ \left(x+m \right)\left(x+n \right) & = 0 \\ \hline \left(x+2 \right)\left(x+4 \right) & = 0 \\ x+2 =0\ \text{atau}\ x+4=0 & \\ x=-2\ \text{atau}\ x=-4 & \end{align}$

Akar-akar $x^{2}+6x+8=0$ adalah $-2$ atau $-4$

Tentukan akar-akar dari $x^{2}-7x+12=0$ dengan cara memfaktorkan?.

$\begin{align} x^{2}-7x+12 &= 0 \\ \left(x+ \cdots \right)\left(x+\cdots \right) & = 0 \end{align}$

Untuk mengisi $\cdots$ di atas dapat kita ikuti langkah-langkahnya. Persamaan kuadrat $x^{2}+bx+c=0$ jika kita mau menentukan akar-akar Persamaan Kuadrat dengan memfaktorkan maka kita harus merubah Persamaan Kuadrat ke dalam bentuk perkalian. Langkah I:
Kita akan rubah Persamaan Kuadrat $x^{2}-7x+12=0$ dimana $\left(a=+1,\ b=-7,\ c=+12 \right)$ menjadi $\left(x+m \right)\left(x+n \right) = 0$
Langkah II:
Sekarang kita coba menentukan nilai $m$ dan $n$, dengan cara mencari bilangan yang jika dikalikan hasilnya adalah $\left(c= +12 \right)$,

  • $[+1]\ \times\ [+12]$
  • $[-1]\ \times\ [-12]$
  • $[+2]\ \times\ [+6]$
  • $[-2]\ \times\ [-6]$
  • $[+3]\ \times\ [+4]$
  • $[-3]\ \times\ [-4]$
Langkah III:
Berikutnya, kita cari bilangan dari langkah II yang dijumlahkan hasilnya adalah $\left(b=-7 \right)$, diperoleh bilangan $[-3]$ dan $[-4]$. Sehingga kita peroleh nilai $m=-3$ dan $n=-4$ dan bentuk pemfaktorkan dapat kita tuliskan menjadi:

$\begin{align} x^{2}-7x+12 &= 0 \\ \left(x+m \right)\left(x+n \right) & = 0 \\ \hline \left(x-3 \right)\left(x-4 \right) & = 0 \\ x-3 =0\ \text{atau}\ x-4=0 & \\ x=3\ \text{atau}\ x= 4 & \end{align}$

Akar-akar $x^{2}-7x+12=0$ adalah $3$ atau $4$

Tentukan akar-akar dari $3x^{2}-4x-7=0$ dengan cara memfaktorkan?.

Langkah I:
Kita akan rubah Persamaan Kuadrat $3x^{2}-4x-7=0$ dimana $\left(a=+3,\ b=-4,\ c=-7 \right)$ menjadi $\dfrac{1}{a}(ax+m)(ax+n)=0$

$\begin{align} ax^{2}+bx+c &= 0 \\ \dfrac{1}{a}(ax+m)(ax+n) & = 0 \\ \hline \text{dimana} & \\ \text{nilai}\ \left(m \right) \times \left( n \right) &= \left(a \right) \times \left(c \right) \\ \text{nilai}\ \left(m \right) + \left( n \right) &= \left(b \right) \\ \hline \end{align}$

Langkah II:
Sekarang kita coba menentukan nilai $m$ dan $n$, dengan cara mencari bilangan yang jika dikalikan hasilnya adalah $\left(+3 \right) \times \left( -7 \right)=-21$,
  • $[+1]\ \times\ [-21]$
  • $[-1]\ \times\ [+21]$
  • $[+3]\ \times\ [-7]$
  • $[-7]\ \times\ [+3]$
Langkah III:
Berikutnya, kita cari bilangan dari langkah II yang dijumlahkan hasilnya adalah $\left(b=-4 \right)$, diperoleh bilangan $[+3]$ dan $[-7]$. Sehingga kita peroleh nilai $m=+3$ dan $n=-7$ dan bentuk pemfaktorkan dapat kita tuliskan menjadi:

$\begin{align} 3x^{2}-4x-7 &= 0 \\ \dfrac{1}{3}(3x+m)(3x+n) & = 0 \\ \hline \dfrac{1}{3}(3x+3)(3x-7) & = 0 \\ 3x+3 =0\ \text{atau}\ 3x-7=0 & \\ x=-1\ \text{atau}\ x= \frac{7}{3} & \end{align}$

Akar-akar $3x^{2}-4x-7=0$ adalah $-1$ atau $\frac{7}{3}$

Soal Latihan dan Pembahasan Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan

1. Soal Latihan Memfaktorkan Persamaan Kuadrat Matematika SMP Kelas IX.

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-5x+6=0$ dengan cara memfaktorkan?
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} x^{2}-5x+6 &= 0 \\ a=1,\ b=-5,\ c=6 & \\ \left(x+m \right)\left(x+n \right) & = 0 \\ \hline \left(x-2 \right)\left(x-3 \right) & = 0 \\ x-2 =0\ \text{atau}\ x-3=0 & \\ x=2\ \text{atau}\ x=3 & \end{align}$

Akar-akar $x^{2}-5x+6=0$ adalah $2$ atau $3$

2. Soal Latihan Memfaktorkan Persamaan Kuadrat Matematika SMP Kelas IX.

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+2x-15=0$ dengan cara memfaktorkan?
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} x^{2}+2x-15 &= 0 \\ a=1,\ b=2,\ c=-15 & \\ \left(x+m \right)\left(x+n \right) & = 0 \\ \hline \left(x+5 \right)\left(x-3 \right) & = 0 \\ x+5 =0\ \text{atau}\ x-3=0 & \\ x=-5\ \text{atau}\ x=3 & \end{align}$

Akar-akar $x^{2}+2x-15=0$ adalah $-5$ atau $3$

3. Soal Latihan Memfaktorkan Persamaan Kuadrat Matematika SMP Kelas IX.

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+4x-12=0$ dengan cara memfaktorkan?
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} x^{2}+4x-12 &= 0 \\ a=1,\ b=4,\ c=-12 & \\ \left(x+m \right)\left(x+n \right) & = 0 \\ \hline \left(x+6 \right)\left(x-2 \right) & = 0 \\ x+6 =0\ \text{atau}\ x-2=0 & \\ x=-6\ \text{atau}\ x=2 & \end{align}$

Akar-akar $x^{2}+4x-12=0$ adalah $-6$ atau $2$

4. Soal Latihan Memfaktorkan Persamaan Kuadrat Matematika SMP Kelas IX.

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-1=0$ dengan cara memfaktorkan?
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} x^{2}-1 &= 0 \\ a=1,\ b=0,\ c=-1 & \\ \left(x+m \right)\left(x+n \right) & = 0 \\ \hline \left(x+1 \right)\left(x-1 \right) & = 0 \\ x+1 =0\ \text{atau}\ x-1=0 & \\ x=-1\ \text{atau}\ x=1 & \end{align}$

Akar-akar $x^{2}-1=0$ adalah $1$ atau $-1$

5. Soal Latihan Memfaktorkan Persamaan Kuadrat Matematika SMP Kelas IX.

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $4x^{2}+4x+1=0$ dengan cara memfaktorkan?
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} 4x^{2}+4x+1 &= 0 \\ a=4,\ b=4,\ c=1 & \\ \dfrac{1}{a}(ax+m)(ax+n) & = 0 \\ \hline \dfrac{1}{4}(4x+2)(4x+2) & = 0 \\ 4x+2 =0\ \text{atau}\ 4x+2=0 & \\ x=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}\ \text{atau}\ x= -\frac{2}{4}=-\frac{1}{2} & \end{align}$

Akar-akar $4x^{2}+4x+1=0$ adalah $-\dfrac{1}{2}$

6. Soal Latihan Memfaktorkan Persamaan Kuadrat Matematika SMP Kelas IX.

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $-3x^{2}-5x+2=0$ dengan cara memfaktorkan?
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} -3x^{2}-5x+2 &= 0 \\ 3x^{2}+5x-2 &= 0 \\ a=3,\ b=5,\ c=-2 & \\ \dfrac{1}{a}(ax+m)(ax+n) & = 0 \\ \hline \dfrac{1}{3}(3x+6)(3x-1) & = 0 \\ 3x+6 =0\ \text{atau}\ 3x-1=0 & \\ x=-\frac{6}{3}=-2\ \text{atau}\ x= \frac{1}{3} & \end{align}$

Akar-akar $-3x^{2}-5x+2=0$ adalah $-2$ atau $\dfrac{1}{3}$

7. Soal Latihan Memfaktorkan Persamaan Kuadrat Matematika SMP Kelas IX.

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $2x^{2}-x-3=0$ dengan cara memfaktorkan?
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} 2x^{2}-x-3 &= 0 \\ a=2,\ b=-1,\ c=-3 & \\ \dfrac{1}{a}(ax+m)(ax+n) & = 0 \\ \hline \dfrac{1}{2}(2x-3)(2x+2) & = 0 \\ 2x-3 =0\ \text{atau}\ 2x+2=0 & \\ x=\frac{3}{2}\ \text{atau}\ x= -\frac{2}{2}=-1 & \end{align}$

Akar-akar $2x^{2}-x-3=0$ adalah $-1$ atau $\dfrac{3}{2}$

8. Soal Latihan Memfaktorkan Persamaan Kuadrat Matematika SMP Kelas IX.

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-x+\dfrac{1}{4}=0$ dengan cara memfaktorkan?
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} x^{2}-x+\frac{1}{4} &= 0 \\ a=1,\ b=-1,\ c=\frac{1}{4} & \\ (x+m)(x+n) & = 0 \\ \hline \left( x-\frac{1}{2}\right) \left( x-\frac{1}{2} \right) & = 0 \\ x-\frac{1}{2} =0\ \text{atau}\ x-\frac{1}{2}=0 & \\ x=\frac{1}{2}\ \text{atau}\ x= \frac{1}{2} & \end{align}$

Akar-akar $x^{2}-x+\dfrac{1}{4}=0$ adalah $\dfrac{1}{2}$

9. Soal Latihan Memfaktorkan Persamaan Kuadrat Matematika SMP Kelas IX.

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-2=0$ dengan cara memfaktorkan?
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} x^{2}-2 &= 0 \\ a=1,\ b=0,\ c=-2 & \\ (x+m)(x+n) & = 0 \\ \hline \left( x- \sqrt{2} \left( x + \sqrt{2} \right) & = 0 \\ x-\sqrt{2} =0\ \text{atau}\ x+\sqrt{2}=0 & \\ x=\sqrt{2}\ \text{atau}\ x= -\sqrt{2} & \end{align}$

Akar-akar $x^{2}-2=0$ adalah $-\sqrt{2}$ atau $\sqrt{2}$

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Cara Mudah Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Cara Alternatif Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat;

youtube image
Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Cara Mudah Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih 🙏 support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar