Catatan Calon Guru berikut akan belajar matematika dasar tentang Fungsi Komposisi, catatan ini juga akan menampilkan cara menyelesaikan soal-soal tentang fungsi komposisi.
Pernahkah kalian memainkan game pada PlayStation (PS), kalau sudah pernah maka kita akan bertemu dengan simbol segitiga $\left( \color{green}{\triangle} \right)$, persegi $\left( \color{BlueViolet}{\square} \right)$, lingkaran $\left( \color{red}{\bigcirc}\right)$, dan silang $\left( \color{Blue} {\times} \right)$ pada stick-nya.
Pernahkah kalian bertanya-tanya bagaimana mesin stick PS bekerja?. Sehingga saat tombol-tombol $ \color{green}{\triangle} $, $ \color{BlueViolet}{\square} $, $ \color{red}{\bigcirc} $, $ \color{Blue} {\times} $ di tekan satu persatu akan berbeda hasilnya apabila tombol-tombol itu ditekan hampir secara bersamaan.
Misalnya, pada satu permainan apabila kita tekan $ \color{green}{\triangle} $ lalu melepasnya kemudian menekan $ \color{BlueViolet}{\square} $, akan berbeda hasilnya apabila kita menekan $ \color{green}{\triangle} $ dan tanpa melepasnya lalu menekan $ \color{BlueViolet}{\square} $.
Pertanyaannya bisa kita tuliskan, bagaimana sistem kerja pada game dapat menghasilkan tampilan yang sangat beragam dari perintah yang sederhana?. Jawaban dari pertanyaan-pertanyaan ini bisa kita terima dengan logika setelah kita pelajari konsep fungsi komposisi. Fungsi komposisi salah satu dasar pengetahuan untuk memahami bagaimana berbagai komponen dalam suatu sistem saling berinteraksi dan bekerja sama.
Konsep fungsi komposisi juga diterapkan pada sebuah mesin pabrik, di mana setiap mesin memiliki tugas yang yang berbeda. Bahan dasar masuk ke mesin pertama, kemudian hasil dari mesin yang pertama menjadi bahan dasar untuk mesin kedua, dan seterusnya. Proses ini mirip dengan konsep fungsi komposisi dalam matematika.
Karena kita belum bisa masuk ke dalam fungsi komposisi pada sistem game atau fungsi komposisi pada sistem mesin pabrik, maka kita coba memahami dan menggunakan fungsi komposisi pada aljabar.
Fungsi Komposisi
Fungsi komposisi dengan bahasa sederhana bisa kita katakan fungsi gabungan, seperti halnya kata kompos digabung pada kata pupuk yaitu pupuk kompos, pupuk campuran yang terdiri atas bahan organik (seperti daun dan jerami yang membusuk) dan kotoran hewan.
Definisi fungsi komposisi:
Jika diketahui $f(x)$ dan $g(x)$ masing-masing adalah sebuah fungsi dengan daerah asal (bahan dasar) $x$, maka fungsi komposisi $f\left ( x \right )$ dan $g\left ( x \right )$ adalah $f\left ( g\left ( x \right ) \right )$.
$f\left ( g\left ( x \right ) \right )$ adalah sebuah fungsi dengan daerah asal (bahan dasar) $g\left ( x \right )$.
Fungsi $f\left ( g\left ( x \right ) \right )$ disebut dengan fungsi komposisi dari $f\left ( x \right )$ dan $g\left ( x \right )$ atau fungsi gabungan dari $f\left ( x \right )$ dan $g\left ( x \right )$. Secara simbol matematika dituliskan seperti berikut:
\begin{align}
f\left ( g\left ( x \right ) \right ) &= \left ( f \circ g \right )\left ( x \right ) \\
& \text{atau} \\
\left ( f \circ g \right )\left ( x \right ) &= f\left ( g\left ( x \right ) \right )
\end{align}
Cara Menyelesaikan Soal Fungsi Komposisi
Catatan cara menyelesaikan hasil akhir dari fungsi komposisi akan dijabarkan pada beberapa contoh soal dibawah ini:
Misalkan $f = \{(1, 4), (2, 3), (3, 1), (4, 2) \}$ dan $g = \{(1, 2), (2, 4), (3, 1), (4, 3) \}$, maka $f \circ g$ adalah:
$\begin{align}
f \circ g &: g \rightarrow f\\
&(1, 2) \rightarrow (2, 3)\ : (1, 3) \\
&(2, 4) \rightarrow (1, 4)\ : (2, 2) \\
&(3, 1) \rightarrow (3, 1)\ : (3, 4) \\
&(4, 3) \rightarrow (4, 2)\ : (4, 1) \\
\hline
f \circ g &= \{ (1, 3) ,\ (2, 2),\ (3, 4),\ (4, 1) \}
\end{align}$
Dengan menggunakan diagram panah, gambarannya akan seperti berikut:
Contoh berikutnya, misalkan $f(x)=x^{2}+3x$ dan $g(x)=2x-5$, maka dapat kita peroleh beberapa hasil komposisi.
- Hasil $\left ( f \circ g \right )\left ( x \right )$
$\begin{align}
\left ( f \circ g \right )\left ( x \right ) &= f \left ( g(x) \right ) \\ &= \left ( g(x) \right )^{2}+3\left ( g(x) \right ) \\ &= \left ( 2x-5 \right )^{2}+3\left ( 2x-5 \right ) \\ &= \color{blue}{4x^{2}-20x+25} + \color{red}{6x-15} \\ &= 4x^{2}-14x+10 \end{align}$ - Hasil $\left ( g \circ f \right )\left ( x \right )$
$\begin{align}
\left ( g \circ f \right )\left ( x \right ) &= g \left ( f(x) \right ) \\ &= 2\left ( f(x) \right ) -5 \\ &= 2\left ( x^{2}+3x \right ) -5 \\ &= \color{blue}{2x^{2}+6x} - \color{red}{5} \\ &= 2x^{2}+6x-5 \end{align}$ - Hasil $\left ( g \circ g \right )\left ( x \right )$
$\begin{align}
\left ( g \circ g \right )\left ( x \right ) &= g \left ( g(x) \right ) \\ &= 2\left ( g(x) \right ) -5 \\ &= 2\left ( 2x-5 \right ) -5 \\ &= \color{blue}{4x-10} - \color{red}{5} \\ &= 4x-15 \end{align}$ - Hasil $\left ( f \circ f \right )\left ( x \right )$
$\begin{align}
\left ( f \circ f \right )\left ( x \right ) &= f \left ( f(x) \right ) \\ &= \left ( f(x) \right )^{2}+3\left ( f(x) \right ) \\ &= \left ( x^{2}+3x \right )^{2}+3\left ( x^{2}+3x \right ) \\ &= \color{blue}{x^{4}+6x^{3}+9x^{2}} + \color{red}{3x^{2}+9x} \\ &= x^{4}+6x^{3}+12x^{2}+9x \end{align}$
Sifat Fungsi Komposisi
Pada fungsi komposisi tidak berlaku sifat komutatif: $\left ( f \circ g \right )\left ( x \right ) \neq \left ( g \circ f \right )\left ( x \right )$.
Jika $\left ( f \circ g \right )\left ( x \right ) = \left ( g \circ f \right )\left ( x \right )$ maka hanya berlaku untuk fungsi-fungsi khusus saja.
Pada fungsi komposisi berlaku sifat asosiatif: $\left( f \circ g \right) \circ h = \left( f \circ g \right) \circ h $.
Soal Latihan dan Pembahasan Fungsi Komposisi
Untuk menambah pemahaman kita terkait Fungsi Komposisi di atas mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada modul belajar matematika SMA. Sedangkan untuk soal fungsi komposisi yang sudah pernah diujikan pada seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri silahkan di simak pada catatan Soal dan Pembahasan Fungsi Komposisi.
Soal latihan fungsi komposisi berikut ini, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 20 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Soal Latihan Fungsi Komposisi
Jika diketahui $A = \{1, 2, 3, 4, 5 \}$ serta $f:A \rightarrow A$ dan $g:A \rightarrow A$ yang didefinisikan oleh:
$\begin{align}
f &= \{(1, 4) , (2, 1) , (3, 5) , (4, 5) , (5, 1) \} \\ g &= \{(2, 5) , (4, 1) , (1, 3) , (3, 1) , (5, 2) \} \end{align}$
maka $f \circ g = \cdots $
Alternatif Pembahasan:
Dari fungsi $f$ dan fungsi $g$ yang diketahui, dapat kita peroleh $f \circ g$.
$\begin{align}
f \circ g &: g \rightarrow f\\
&(2, 5) \rightarrow (5, 1)\ : (2, 1) \\
&(4, 1) \rightarrow (1, 4)\ : (4, 4) \\
&(1, 3) \rightarrow (3, 5)\ : (1, 5) \\
&(3, 1) \rightarrow (1, 4)\ : (3, 4) \\
&(5, 2) \rightarrow (2, 1)\ : (5, 1) \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \{(1, 5), (2, 1), (3, 4), (4, 4), (5, 1)\}$
2. Soal Latihan Fungsi Komposisi
Diketahui $f(x) = 2x^{2} – 5x$ dan $g(x) = 4x – 3$. Maka $\left ( f \circ g \right )\left ( x \right ) = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari fungsi $f(x) = 2x^{2} – 5x$ dan $g(x) = 4x – 3$ yang diketahui, dapat kita peroleh $\left ( f \circ g \right )\left ( x \right )$.
$\begin{align}
&\ \left ( f \circ g \right )\left ( x \right ) \\
&= f \left ( g(x) \right ) \\
&= 2\left ( g(x) \right )^{2}-5\left ( g(x) \right ) \\
&= 2\left ( 4x-3 \right )^{2}-5 \left ( 4x-3 \right ) \\
&= \color{blue}{2\left ( 16x^{2}-24x+9 \right )} \color{red}{-20x+15} \\
&= 32x^{2}-48x+18-20x+15 \\
&= 32x^{2}-68x+33
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 32x^{2} – 68x + 33$
3. Soal Latihan Fungsi Komposisi
Diketahui $f(x) = x^{2} – 4$ dan $g(x) = x^{2} – 3x$. Maka $\left ( g \circ f \right )\left ( x \right ) =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari fungsi $f(x) = x^{2} – 4$ dan $g(x) = x^{2} – 3x$ yang diketahui, dapat kita peroleh $\left ( g \circ f \right )\left ( x \right )$.
$\begin{align}
&\ \left ( g \circ f \right )\left ( x \right ) \\
&= g \left ( f(x) \right ) \\
&= \left ( f(x) \right )^{2}-3\left ( f(x) \right ) \\
&= \left ( x^{2} – 4 \right )^{2}-3\left ( x^{2} – 4 \right ) \\
&= \color{blue}{ x^{4}-8x^{2}+16 } \color{red}{-3x^{2}+12} \\
&= x^{4}-11x^{2}+28
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x^{4} – 11x^{2} + 28$
4. Soal Latihan Fungsi Komposisi
Diketahui $f(x) = \dfrac{4x-2}{3-2x}$ dan $g(x) = 2x-1$, maka $\left ( f \circ g \right )\left ( x \right ) =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari fungsi $f(x) = \dfrac{4x-2}{3-2x}$ dan $g(x) = 2x-1$ yang diketahui, dapat kita peroleh $\left ( f \circ g \right )\left ( x \right )$.
$\begin{align}
&\ \left ( f \circ g \right )\left ( x \right ) \\
&= f \left ( g(x) \right ) \\
&= \dfrac{4\left ( 2x-1 \right )-2}{3-2\left ( 2x-1 \right )} \\
&= \dfrac{8x-4-2}{3-4x+2} \\
&= \dfrac{8x-6}{5-4x}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{8x-6}{5-4x}$
5. Soal Latihan Fungsi Komposisi
Diketahui $f(x) = \dfrac{2x+3}{x-2},\ x \neq 2$ maka $\left ( f \circ f \right )\left ( x \right ) =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari fungsi $f(x) = \dfrac{2x+3}{x-2},\ x \neq 2$ yang diketahui, dapat kita peroleh $\left ( f \circ f \right )\left ( x \right )$.
$\begin{align}
&\ \left ( f \circ f \right )\left ( x \right ) \\
&= f \left ( f(x) \right ) \\
&= \dfrac{2\left ( f(x) \right )+3}{\left ( f(x) \right )-2} \\
&= \dfrac{2\left ( \frac{2x+3}{x-2} \right )+3}{\left ( \frac{2x+3}{x-2} \right )-2} \\
&= \dfrac{ \frac{4x+6}{x-2} +3 \cdot \left ( \frac{x-2}{x-2} \right ) }{ \frac{2x+3}{x-2} - 2 \cdot \left ( \frac{x-2}{x-2} \right )} \\
&= \dfrac{ \frac{4x+6}{x-2} + \frac{3x-6}{x-2} }{ \frac{2x+3}{x-2} + \frac{-2x+4}{x-2}} \\
&= \dfrac{ \frac{7x}{x-2} }{ \frac{7}{x-2}} \\
&= \dfrac{ 7x }{ 7 } = x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x$
6. Soal Latihan Fungsi Komposisi
Diketahui fungsi $f(x) = 2x^{2} – 3x + 1$ dan fungsi $g(x) = x^{2} – 4x + 2$ maka nilai dari $\left ( f \circ g \right )\left ( 1 \right )=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari fungsi $f(x) = 2x^{2} – 3x + 1$ dan fungsi $g(x) = x^{2} – 4x + 2$ yang diketahui, dapat kita peroleh $\left ( f \circ g \right )\left ( 1 \right )$.
$\begin{align}
\left ( f \circ g \right )\left ( 1 \right ) &= f \left ( g(1) \right ) \\
&= 2\left ( g(1) \right )^{2} – 3\left ( g(1) \right ) + 1 \\
\hline
\color{blue} {g(1)} & = \color{blue} {x^{2} – 4x + 2} \\
\color{blue} {g(1)} & = \color{blue} {(1)^{2} – 4(1) + 2} \\
\color{blue} { g(1) } & = \color{blue} { 1 – 4 + 2 } \\
\color{blue} { g(1) } & = \color{blue} { -1 } \\
\hline
\left ( f \circ g \right )\left ( 1 \right ) &= 2\left ( -1 \right )^{2} – 3\left ( -1 \right ) + 1 \\
&= 2\left ( 1 \right ) + 3 + 1 \\
&= 2 + 4 = 6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6$
7. Soal Latihan Fungsi Komposisi
Jika diketahui tiga buah fungsi $f(x) = 2x+4$, $g(x) = 4x^{2}-2$, dan $h(x) = 2^{x}$ maka $\left ( f \circ g \circ h \right )\left ( x \right )$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari fungsi $f(x) = 2x+4$, $g(x) = 4x^{2}-2$ dan $h(x) = 2^{x}$ yang diketahui, dapat kita peroleh $\left ( f \circ g \circ h \right )\left ( x \right )= \left ( f \circ g \right )\left ( h(x) \right )$.
$\begin{align}
\hline
\color{blue} {\left ( f \circ g \right )(x)} & = \color{blue} { 2g (x)+4 } \\
& = \color{blue} { 2 \left ( 4x^{2}-2 \right ) +4 } \\
& = \color{blue} { 8x^{2}-4 +4 } \\
& = \color{blue} { 8x^{2} } \\
\hline
\left ( f \circ g \circ h \right )\left ( x \right ) &= \left ( f \circ g \right )\left ( h(x) \right ) \\
&= 8\left ( h(x) \right )^{2} \\
&= 8\left ( 2^{x} \right )^{2} \\
&= 8 \cdot 2^{2x} \\
&= 2^{3} \cdot 2^{2x} \\
&= 2^{3+2x}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2^{3+2x}$
8. Soal Latihan Fungsi Komposisi
Pemetaaan $g: R \rightarrow R$ dan $h: R \rightarrow R$ ditentukan oleh $g(x)=3-2x$ dan $h(x)=x^{2}+1$. Jika hasil $\left ( h \circ g \right )\left ( x \right )=2$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari fungsi $g(x)=3-2x$, $h(x)=x^{2}+1$ dan $\left ( h \circ g \right )\left ( x \right )=2$ yang diketahui, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\left ( h \circ g \right )\left ( x \right ) &= 2 \\
h \left ( g(x) \right ) &= 2 \\
\left ( g(x) \right )^{2}+1 &= 2 \\
\left ( 3-2x \right )^{2}+1 &= 2 \\
9-12x+4x^{2}+1 &= 2 \\
4x^{2}-12x+8 &= 0 \\
x^{2}-3x+2 &= 0 \\
\left( x-1 \right)\left( x-2 \right) &= 0 \\
x=1\ \text{atau}\ & x=2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$
9. Soal Latihan Fungsi Komposisi
Jika diketahui tiga buah fungsi $f(x) = 2x – 1$, $g(x) = x + 1$ dan $h(x) = 10x – 5$. Apabila $\left ( f \circ g \right )\left ( x \right ) = \left ( h \circ g \right )\left ( x \right )$ maka nilai $x = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari fungsi $f(x) = 2x – 1$, $g(x) = x + 1$ dan $h(x) = 10x – 5$ yang diketahui, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\left ( f \circ g \right )\left ( x \right ) &= \left ( h \circ g \right )\left ( x \right ) \\
f \left ( g(x) \right ) &= h \left ( g(x) \right ) \\
2 \left ( g(x) \right )-1 &= 10 \left ( g(x) \right )-5 \\
2 \left ( x+1 \right )-1 &= 10 \left ( x+1 \right )-5 \\
2x+2-1 &= 10x+10-5 \\
2x+1 &= 10x+5 \\
-4 &= 8x \\
-\frac{4}{8} &= x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\frac{1}{2}$
10. Soal Latihan Fungsi Komposisi
Diketahui $f: R \rightarrow R$ ditentukan dengan rumus $f(x)=\begin{cases}x^{2}+2,\ \text{untuk}\ x\leq 1 \\ -4x,\ \text{untuk}\ x \gt 1 \end{cases} $ maka nilai $\left( f \circ f \circ f \right )\left ( 0 \right ) =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Fungsi yang disajikan seperti bentuk di atas maksudnya adalah fungsi $f(x)$ yang digunakan tidak sama untuk setiap nilai $x$. Jika nilai $x\leq 1$ maka $f(x) = x^{2}+2$ dan Jika nilai $x\gt 1$ maka $f(x) = -4x$.
$\begin{align}
\left ( f \circ f \circ f \right )\left ( x \right ) &= \left ( f \circ f \right )\left ( f(x) \right ) \\
\left ( f \circ f \circ f \right )\left ( 0 \right ) &= \left ( f \circ f \right )\left ( f(0) \right ) \\
\hline
\color{blue} { f (0) } & = \color{blue} { 0^{2}+2 } \\
\color{blue} { f (0) } & = \color{blue} { 2 } \\
\hline
\left ( f \circ f \circ f \right )\left ( 0 \right ) &= \left ( f \circ f \right )\left ( 2 \right ) \\
\left ( f \circ f \circ f \right )\left ( 0 \right ) &= f \left ( f(2) \right ) \\
\hline
\color{blue} { f (2) } & = \color{blue} { -4(2) } \\
\color{blue} { f (2) } & = \color{blue} { -8 } \\
\hline
\left ( f \circ f \circ f \right )\left ( 0 \right ) &= f \left ( -8 \right ) \\
\left ( f \circ f \circ f \right )\left ( 0 \right ) &= \left ( -8 \right )^{2}+2 \\
\left ( f \circ f \circ f \right )\left ( 0 \right ) &= 64+2 \\
\left ( f \circ f \circ f \right )\left ( 0 \right ) &= 66
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 66$
11. Soal Latihan Fungsi Komposisi
Jika $f(x) = 2x^{2} – 4x$ maka $f(3x+1) = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari fungsi $f(x) = 2x^{2} – 4x$ yang diketahui, dapat kita peroleh $f(3x+1)$. Proses berpikir untuk soal ini sama halnya jika yang ditanya adalah $\left ( f \circ g \right )\left ( x \right )$ dimana $g\left ( x \right )=3x+1$
$\begin{align}
f\left ( x \right ) &= 2 \left ( x \right )^{2} – 4\left ( x \right ) \\
f\left ( \color{blue} {3x+1} \right ) &= 2 \left ( \color{blue} {3x+1} \right )^{2} – 4\left ( \color{blue} {3x+1} \right ) \\
&= 2 \left ( 9x^{2}+6x+1 \right) – 12x -4 \\
&= 18x^{2}+12x+2 – 12x -4 \\
&= 18x^{2} -2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 18x^{2} – 2$
12. Soal Latihan Fungsi Komposisi
Jika $f(2x+1) = 4x^{2} – 8x+5$ maka $f(x) = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari fungsi $f(2x+1) = 4x^{2} – 8x+5$ yang diketahui, dapat kita peroleh $f(x)$.
Untuk masalah seperti ini, kita diajak berkreativitas bagaimana domain di ruas kiri dan ruas kanan harus sama. Jika kita perhatikan pada soal, domain pada ruas kiri $f(2x+1)$ adalah $2x+1$, sedangkan domain di ruas kanan $4x^{2} – 8x+5$ adalah $x$.
Untuk menentukan $f(x)$ kita coba kerjakan dengan dua cara, silahkan dipahami kedua caranya, karena mana yang terbaik tergantung soal dan kreativitas kita masing-masing.
Cara I:
$\begin{align}
f\left ( \color{blue} {2x+1} \right ) &= 4x^{2} – 8x+5 \\
f\left ( \color{blue} {2x+1} \right ) &= \left ( \color{blue} {2x+1} \right )^{2} \color{red}{-4x-1} – 8x+5 \\
f\left ( \color{blue} {2x+1} \right ) &= \left ( \color{blue} {2x+1} \right )^{2} -12x+4 \\
f\left ( \color{blue} {2x+1} \right ) &= \left ( \color{blue} {2x+1} \right )^{2} - 6 \left ( \color{blue} {2x+1} \right )\color{red}{+6}+4 \\
f\left ( \color{blue} {2x+1} \right ) &= \left ( \color{blue} {2x+1} \right )^{2} - 6 \left ( \color{blue} {2x+1} \right ) +10 \\
\hline
f\left ( \color{blue} {\square} \right ) &= \left ( \color{blue} {\square} \right )^{2} - 6 \left ( \color{blue} {\square} \right ) +10 \\
f\left ( \color{blue} {x} \right ) &= \left ( \color{blue} {x} \right )^{2} - 6 \left ( \color{blue} {x} \right ) +10
\end{align}$
Cara II:
Kita misalkan $2x+1=a$, sehingga kita peroleh $x=\frac{1}{2} \left( a-1 \right)$. Hasil ini kita substitusi ke fungsi yang diketahui
$\begin{align}
f\left ( \color{blue} {2x+1} \right ) &= 4x^{2} – 8x+5 \\
f\left ( \color{blue} {a} \right ) &= 4 \left ( \color{blue} {\frac{1}{2} \left( a-1 \right)} \right )^{2} – 8 \left ( \color{blue} {\frac{1}{2} \left( a-1 \right)} \right )+5 \\
f\left ( a \right ) &= 4 \left ( \frac{1}{4} \left( a-1 \right )^{2} \right) – 4 \left( a-1 \right)+5 \\
f\left ( a \right ) &= \left( a-1 \right )^{2} – 4 a+4+5 \\
f\left ( a \right ) &= a^{2}-2a+1 – 4 a+9 \\
f\left ( a \right ) &= a^{2}-6a+10 \\
\hline
f\left ( \color{blue} {\square} \right ) &= \left ( \color{blue} {\square} \right )^{2} - 6 \left ( \color{blue} {\square} \right ) +10 \\
f\left ( \color{blue} {x} \right ) &= \left ( \color{blue} {x} \right )^{2} - 6 \left ( \color{blue} {x} \right ) +10
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x^{2} - 6x +10 $
13. Soal Latihan Fungsi Komposisi
Jika diketahui $\left( f \circ g \right)\left( x \right) = 4x^{2} – 6x+5$ dan fungsi $g \left( x \right)= 2x–3$ maka $f \left( x \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari fungsi $\left( f \circ g \right)\left( x \right) = 4x^{2} – 6x+5$ dan fungsi $g \left( x \right)= 2x–3$ yang diketahui, dapat kita peroleh $f(x)$.
Untuk masalah seperti ini, kita diajak berkreativitas bagaimana domain di ruas kiri dan ruas kanan harus sama. Jika kita perhatikan pada soal, domain pada ruas kiri $\left( f \circ g \right)\left( x \right)=f \left( g(x) \right)$ adalah $g(x)$, sedangkan domain di ruas kanan $4x^{2} – 6x+5$ adalah $x$.
Untuk menentukan $f(x)$ kita coba kerjakan dengan dua cara, silahkan dipahami kedua caranya, karena mana yang terbaik tergantung soal dan kreativitas kita masing-masing.
Cara I:
$\begin{align}
\left( f \circ g \right)\left( x \right) &= 4x^{2} – 6x+5 \\
f\left ( \color{blue} {2x-3} \right ) &= 4x^{2} – 6x+5 \\
f\left ( \color{blue} {2x-3} \right ) &= \left ( \color{blue} {2x-3} \right )^{2} \color{red}{+12x-9} – 6x+5 \\
f\left ( \color{blue} {2x-3} \right ) &= \left ( \color{blue} {2x-3} \right )^{2} +6x-4 \\
f\left ( \color{blue} {2x-3} \right ) &= \left ( \color{blue} {2x-3} \right )^{2} + 3 \left ( \color{blue} {2x-3} \right ) \color{red}{+9} -4 \\
f\left ( \color{blue} {2x-3} \right ) &= \left ( \color{blue} {2x-3} \right )^{2} + 3 \left ( \color{blue} {2x-3} \right ) +5 \\
\hline
f\left ( \color{blue} {\square} \right ) &= \left ( \color{blue} {\square} \right )^{2} + 3 \left ( \color{blue} {\square} \right ) + 5 \\
f\left ( \color{blue} {x} \right ) &= \left ( \color{blue} {x} \right )^{2} + 3 \left ( \color{blue} {x} \right ) + 5
\end{align}$
Cara II:
Kita misalkan $2x-3=b$, sehingga kita peroleh $x= \frac{1}{2} \left( b+3 \right)$. Hasil ini kita substitusi ke fungsi yang diketahui
$\begin{align}
\left( f \circ g \right)\left( x \right) &= 4x^{2} – 6x+5 \\
f\left ( \color{blue} {2x-3} \right ) &= 4x^{2} – 6x+5 \\
f\left ( \color{blue} {b} \right ) &= 4\left( \frac{1}{2} \left( b+3 \right) \right)^{2} – 6\left( \frac{1}{2} \left( b+3 \right) \right)+5 \\
f\left ( b \right ) &= 4\left( \frac{1}{4} \left( b+3 \right)^{2} \right) – 3 \left( b+3 \right) +5 \\
f\left ( b \right ) &= \left( b+3 \right)^{2} – 3b-9 +5 \\
f\left ( b \right ) &= b^{2}+6b+9 – 3b-9 +5 \\
f\left ( b \right ) &= b^{2}+3b +5 \\
\hline
f\left ( \color{blue} {\square} \right ) &= \left ( \color{blue} {\square} \right )^{2} + 3 \left ( \color{blue} {\square} \right ) + 5 \\
f\left ( \color{blue} {x} \right ) &= \left ( \color{blue} {x} \right )^{2} + 3 \left ( \color{blue} {x} \right ) + 5
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{2} + 3x+5 $
14. Soal Latihan Fungsi Komposisi
Diketahui $\left( f \circ g \right)\left( x \right) = 4x+2$ dan $f(x) = 2x+8$, maka $ g \left( x \right) = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari fungsi $\left( f \circ g \right)\left( x \right) = 4x+2$ dan $f(x) = 2x+8$ yang diketahui, dapat kita peroleh $g \left ( x \right )$.
$\begin{align}
\left( f \circ g \right)\left( x \right) & = 4x+2 \\
f \left ( g(x) \right ) & = 4x+2 \\
2 g(x) + 8 & = 4x+2 \\
2 g(x) & = 4x+2 - 8 \\
2 g(x) & = 4x - 6 \\
g(x) & = \dfrac{4x - 6}{2} \\
g(x) & = 2x - 3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2x-3$
15. Soal Latihan Fungsi Komposisi
Diketahui $\left( g \circ f \right)\left( x \right) = \dfrac{x+4}{x-4}$ dan $g(x) = 2x-3$, maka $f(x)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari fungsi $\left( g \circ f \right)\left( x \right) = \dfrac{x+4}{x-4}$ dan $g(x) = 2x-3$ yang diketahui, dapat kita peroleh $f \left ( x \right )$.
$\begin{align}
\left( g \circ f \right)\left( x \right) & = \dfrac{x+4}{x-4} \\
g \left ( f(x) \right ) & = \dfrac{x+4}{x-4} \\
2 f(x) -3 & = \dfrac{x+4}{x-4} \\
2 f(x) & = \dfrac{x+4}{x-4} + 3 \\
2 f(x) & = \dfrac{x+4}{x-4} + 3 \cdot \left( \dfrac{x-4}{x-4} \right)\\
2 f(x) & = \dfrac{x+4}{x-4} + \dfrac{3x-12}{x-4}\\
2 f(x) & = \dfrac{4x-8}{x-4} \\
2 f(x) & = \dfrac{2 \left(2x-4 \right)}{x-4} \\
f(x) & = \dfrac{ 2x-4 }{x-4} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{ 2x-4) }{x-4} $
16. Soal Latihan Fungsi Komposisi
Diketahui $\left( f \circ g \right)\left( x \right) = 2x^{2} +8x-5$ dan fungsi $g \left( x \right)= x^{2}+4x-3$ maka $f \left( x \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari fungsi $\left( f \circ g \right)\left( x \right) = 2x^{2} +8x-5$ dan fungsi $g \left( x \right)= x^{2}+4x-3$ yang diketahui, dapat kita peroleh $f(x)$.
Untuk masalah seperti ini, kita diajak berkreativitas bagaimana domain di ruas kiri dan ruas kanan harus sama. Jika kita perhatikan pada soal, domain pada ruas kiri $\left( f \circ g \right)\left( x \right)=f \left( g(x) \right)$ adalah $g(x)$, sedangkan domain di ruas kanan $2x^{2} +8x-5$ adalah $x$.
Untuk menentukan $f(x)$ kita coba kerjakan dengan dua cara, silahkan dipahami kedua caranya, karena mana yang terbaik tergantung soal dan kreativitas kita masing-masing.
Cara I:
$\begin{align}
\left( f \circ g \right)\left( x \right) &= 2x^{2} +8x-5 \\
f\left ( g(x) \right ) &= 2x^{2} +8x-5 \\
f\left ( \color{blue} {x^{2}+4x-3} \right ) &= 2\left ( \color{blue} {x^{2}+4x-3} \right ) \color{red}{-8x+6} +8x-5 \\
f\left ( \color{blue} {x^{2}+4x-3} \right ) &= 2\left ( \color{blue} {x^{2}+4x-3} \right ) + 1 \\
\hline
f\left ( \color{blue} {\square} \right ) &= 2 \left ( \color{blue} {\square} \right ) + 1 \\
f\left ( \color{blue} {x} \right ) &= 2 \left ( \color{blue} {x} \right ) + 1
\end{align}$
Cara II:
Kita misalkan $x^{2}+4x-3=c$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
2 \left ( \color{blue} {x^{2}+4x-3} \right ) &= 2c \\
\color{blue} {2x^{2}+8x-6} &= 2c \\
\color{blue} {2x^{2}+8x-6}\color{red}{+1} &= 2c \color{red}{+1} \\
2x^{2}+8x-5 &= 2c +1
\end{align}$
Hasil ini kita substitusi ke fungsi yang diketahui
$\begin{align}
\left( f \circ g \right)\left( x \right) &= 2x^{2} +8x-5 \\
f\left ( g(x) \right ) &= 2x^{2} +8x-5 \\
f\left ( \color{blue} {x^{2}+4x-3} \right ) &= 2x^{2} +8x-5 \\
f\left ( c \right ) &= 2c+1 \\
\hline
f\left ( \color{blue} {\square} \right ) &= 2 \left ( \color{blue} {\square} \right ) + 1 \\
f\left ( \color{blue} {x} \right ) &= 2 \left ( \color{blue} {x} \right ) + 1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2x+1 $
17. Soal Latihan Fungsi Komposisi
Diketahui $\left ( f \circ g \right )\left ( x \right ) = 2x^{2}-4x+1$ dan $f(x) = 2x-5$, maka $g(x)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari fungsi $\left ( f \circ g \right )\left ( x \right ) = 2x^{2}-4x+1$ dan $f(x) = 2x-5$ yang diketahui, dapat kita peroleh $g \left ( x \right )$.
$\begin{align}
\left ( f \circ g \right )\left ( x \right ) & = 2x^{2}-4x+1 \\
f \left ( g(x) \right ) & = 2x^{2}-4x+1 \\
2 g(x) - 5 & = 2x^{2}-4x+1 \\
2 g(x) & = 2x^{2}-4x+1+5 \\
g(x) & = \frac{1}{2} \left( 2x^{2}-4x+6 \right)\\
g(x) & = x^{2}-2x+ 3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{2}-2x+3 $
18. Soal Latihan Fungsi Komposisi
Jika diketahui $\left ( f \circ g \right )\left ( 3x+2 \right ) = 9x^{2}-8$ dan fungsi $g(x) = 2x+6$, maka $f(x)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari fungsi $\left ( f \circ g \right )\left ( 3x+2 \right ) = 9x^{2}-8$ dan fungsi $g(x) = 2x+6$ yang diketahui, dapat kita peroleh $f \left ( x \right )$.
$\begin{align}
\left ( f \circ g \right )\left ( 3x+2 \right ) & = 9x^{2}-8 \\
f \left( g \left ( 3x+2 \right ) \right ) & = 9x^{2}-8 \\
\hline
\color{blue}{ g \left ( x \right ) } & = \color{blue}{2x+6 } \\
\color{blue}{ g \left ( 3x+2 \right ) } & = \color{blue}{2(3x+2)+6 } \\
\color{blue}{ g \left ( 3x+2 \right ) } & = \color{blue}{6x+4+6 } \\
\color{blue}{ g \left ( 3x+2 \right ) } & = \color{blue}{ 6x+10 } \\
\hline
f \left( g \left ( 3x+2 \right ) \right ) & = 9x^{2}-8 \\
f \left( 6x+10 \right ) & = 9x^{2}-8 \\
f \left( 6x+10 \right ) & = \frac{1}{4}\left( 6x+10 \right )^{2} \color{red} {-30x-25} -8 \\
f \left( 6x+10 \right ) & = \frac{1}{4}\left( 6x+10 \right )^{2} -30x-33 \\
f \left( 6x+10 \right ) & = \frac{1}{4}\left( 6x+10 \right )^{2} -5\left( 6x+10 \right )\color{red} {+50}-33 \\
f \left( 6x+10 \right ) & = \frac{1}{4}\left( 6x+10 \right )^{2} -5\left( 6x+10 \right )+17 \\
\hline
f \left( \color{blue} {\square} \right ) & = \frac{1}{4}\left( \color{blue} {\square} \right )^{2} -5\left( \color{blue} {\square} \right )+17 \\
f \left( x \right ) & = \frac{1}{4}\left( x \right )^{2} -5\left( x \right )+17
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{1}{4}x^{2}-5x+17 $
19. Soal Latihan Fungsi Komposisi
Jika diketahui $f(x) = 2x$ dan $g(x) = x-1$. Jika komposisi $\left ( f \circ g \circ h \right )\left ( x \right ) = 2x^{2}+4x+10$ maka $h(x) = \cdots $
Alternatif Pembahasan:
Dari fungsi $f(x) = 2x$, $g(x) = x-1$, dan $\left ( f \circ g \circ h \right )\left ( x \right ) = 2x^{2}+4x+10$ yang diketahui, dapat kita peroleh $h \left ( x \right )$.
$\begin{align}
\left ( f \circ g \circ h \right )\left ( x \right ) & = 2x^{2}+4x+10 \\
\left ( f \circ g \right )\left ( h(x) \right ) & = 2x^{2}+4x+10 \\
\hline
\color{blue}{ \left ( f \circ g \right ) \left ( x \right ) } & = \color{blue}{ f \left ( g(x) \right ) } \\
& = \color{blue}{2g(x) } \\
& = \color{blue}{2\left ( x-1 \right ) } \\
& = \color{blue}{ 2x-2 } \\
\hline
\left ( f \circ g \right )\left ( h(x) \right ) & = 2x^{2}+4x+10 \\
2h(x)-2 & = 2x^{2}+4x+10 \\
2h(x) & = 2x^{2}+4x+10+2 \\
2h(x) & = 2x^{2}+4x+12 \\
h(x) & = \frac{1}{2} \left( 2x^{2}+4x+12 \right) \\
h(x) & = x^{2}+2x+6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x^{2}+2x+6 $
20. Soal Latihan Fungsi Komposisi
Jika diketahui $g(x) = 2+x$ dan $h(x) = x+4$ dan $\left ( f \circ g \circ h \right )\left ( x \right ) = x^{2}+10x-2$ maka $f(x) = \cdots $
Alternatif Pembahasan:
Dari fungsi $g(x) = 2+x$ dan $h(x) = x+4$ dan $\left ( f \circ g \circ h \right )\left ( x \right ) = x^{2}+10x-2$ yang diketahui, dapat kita peroleh $f \left ( x \right )$.
$\begin{align}
\left ( f \circ g \circ h \right )\left ( x \right ) & = x^{2}+10x-2 \\
f \left ( \left ( g \circ h \right ) (x) \right ) & = x^{2}+10x-2 \\
\hline
\color{blue}{ \left ( g \circ h \right ) \left ( x \right ) } & = \color{blue}{ g \left ( h(x) \right ) } \\
& = \color{blue}{2+h(x) } \\
& = \color{blue}{2+\left ( x+4 \right ) } \\
& = \color{blue}{ x+6 } \\
\hline
f \left ( \left ( g \circ h \right ) (x) \right ) & = x^{2}+10x-2 \\
f \left ( x+6 \right ) & = x^{2}+10x-2 \\
f \left ( x+6 \right ) & = \left ( x+6 \right )^{2} \color{red}{-12x-36}+10x-2 \\
f \left ( x+6 \right ) & = \left ( x+6 \right )^{2} -2x-38 \\
f \left ( x+6 \right ) & = \left ( x+6 \right )^{2} -2\left ( x+6 \right )\color{red}{+12}-38 \\
f \left ( x+6 \right ) & = \left ( x+6 \right )^{2} -2\left ( x+6 \right ) -26 \\
\hline
f \left( \color{blue} {\square} \right ) & = \left( \color{blue} {\square} \right )^{2} -2\left( \color{blue} {\square} \right ) -26 \\
f \left( x \right ) & = \left( x \right )^{2} -2\left( x \right ) -26
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x^{2}-2x-26 $
Catatan Fungsi Komposisi dan Pembahasan Soal Latihan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Kurang cerdas dapat diperbaiki dengan belajar. Kurang cakap dapat dihilangkan dengan pengalaman. Namun tidak jujur itu sulit diperbaiki.
