Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari cara Menghitung Volume Bola Terpotong atau Volume Tembereng Bola. Menghitung volume tembereng bola ini kembali kita diskusikan, karena soal ini beberapa waktu lalu ditanyakan pada Soal Olimpiade MIPA Science Expo 2017 SMA Unggul DEL Laguboti mata pelajaran matematika.
Soal yang diujikan pada Olimpiade MIPA Science Expo untuk tingkat SMP sederajat ini beberapa soal diantaranya sudah tergolong HOTS (High Order Thinking Skills), jadi jika tertarik untuk melihat soal Olimpiade MIPA Science Expo 2017 SMA Unggul DEL Laguboti secara lengkap silahkan simak diskusinya pada Soal dan Pembahasan Olimpiade MIPA Science Expo 2017 SMA Unggul DEL Laguboti (Matematika).
Diberikan sebuah aquarium berbentuk kubus dengan panjang rusuk $18\ cm$. Kedalam aquarium tersebut dimasukkan sebuah bola pejal dengan jari-jari $9\ cm$. Jika ke dalam aquarium diisi air sampai setinggi air $12\ cm$, maka volume air yang dibutuhkan adalah...$cm^{3}$ $\left( \pi=3,14 \right)$
Sebelum kita mendiskusikan soal di atas, kita coba bereksplorasi untuk menemukan aturan atau rumus Menghitung Volume Bola Terpotong (Volume Tembereng Bola) ini adalah untuk anak-anak yang sudah belajar integral fungsi, jika belum belajar maka cukup dipelajari cara menggunakan rumus yang sudah ditemukan.
Kita ketahui jika sebuah bola dipotong menjadi dua bagian yang tidak simetris maka akan ada dua bagian bola, satu bagian bola yang kecil dan satu bagian bola yang besar. Ilustrasi bola yang terpotong menjadi dua bagian seperti berikut ini:
Untuk menghitung volume tembereng bola atau bagian bola yang kecil, kita coba menggunakan bantuan Integral Fungsi. Jika sebuah daerah yang dibatasi oleh fungsi $y=x$ dan $a \leq y \leq b$ lalu diputar mengelilingi sumbu-$y$ maka akan diperoleh bangun ruang yang mempunyai volume $V= \pi \int \limits_{a}^{b} x^{2}\ dy$.
Sebelum diputar mengelilingi sumbu-$y$, maka bola itu sebelumnya berbentuk lingkaran dan tembereng lingkran dapat kita gambarkan seperti berikut ini:
Tembereng yang berwarna hijau pada gambar yang berasal dari persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, jika diputar mengelilingi sumbu-$y$ akan menghasilkan tembereng bola. Volume tembereng bola adalah:
$\begin{align}
V_{tembereng} &= \pi \int \limits_{a}^{b} x^{2}\ dy \\
&= \pi \int \limits_{r-t}^{r} \left( r^{2}-y^{2} \right)\ dy \\
&= \left [\pi \left(r^{2}y-\dfrac{1}{3}y^{3} \right) \right ]_{r-t}^{r} \\
&= \pi\left [ \left(r^{2}(r)-\dfrac{1}{3}(r)^{3} \right) - \left(r^{2}(r-t)-\dfrac{1}{3}(r-t)^{3} \right) \right ] \\
&= \pi\left [ \left(r^{3}-\dfrac{1}{3}(r)^{3} \right) - \left(r^{3} -r^{2}t -\dfrac{1}{3}(r^{3}-3r^{2}t+3rt^{2}-t^{3}) \right) \right ] \\
&= \pi\left [ \dfrac{2}{3}r^{3} - \left(r^{3} -r^{2}t -\dfrac{1}{3}r^{3}+r^{2}t-rt^{2}+\dfrac{1}{3}t^{3} \right) \right ] \\
&= \pi\left [ \dfrac{2}{3}r^{3} - \left(\dfrac{2}{3}r^{3} -rt^{2}+\dfrac{1}{3}t^{3} \right) \right ] \\
&= \pi\left [ \dfrac{2}{3}r^{3} - \dfrac{2}{3}r^{3} +rt^{2}-\dfrac{1}{3}t^{3} \right ] \\
&= \pi\left [rt^{2}-\dfrac{1}{3}t^{3} \right ] \\
&= \pi \cdot \dfrac{1}{3}t^{2}\left [3r - t \right ] \\
&= \dfrac{1}{3} \pi t^{2}\left [3r - t \right ] \\
\end{align}$
Dari hasil yang kita peroleh di atas, dapat kita simpulkan bahwa volume tembereng bola dengan jari-jari bola $r$ dan tinggi tembereng $t$ volumenya adalah $V= \dfrac{1}{3} \pi t^{2}\left (3r - t \right )$.
Kita kembali pada Soal dan Pembahasan Olimpiade MIPA Science Expo 2017 SMA Unggul DEL Laguboti (Matematika)
Diberikan sebuah aquarium berbentuk kubus dengan panjang rusuk $18\ cm$. Kedalam aquarium tersebut dimasukkan sebuah bola pejal dengan jari-jari $9\ cm$. Jika ke dalam aquarium diisi air sampai setinggi air $12\ cm$, maka volume air yang dibutuhkan adalah...$cm^{3}$ $\left( \pi=3,14 \right)$
Jika kita gambarkan permukaan bola dan kubus yang terendam air seperti beikut ini:
Volume air yang dibutuhkan untuuk mencapai ketinggian sampai $12\ cm$ kita hitung dari selisih volume kubus yang terkena air dengan volume bola yang terkena air.
Volume kubus yang terkena air adalah:
$\begin{align}
V_{K} &= 18 \cdot 18 \cdot 12 \\
&= 3888\ cm^{3}
\end{align}$
Volume bola yang terkena air adalah:
$\begin{align}
V_{B} &= V_{bola}-V_{tembereng} \\
&= \dfrac{4}{3} \pi r^{3} - \dfrac{1}{3} \pi t^{2}\left (3r - t \right ) \\
&= \dfrac{4}{3} (3,14) (9)^{3} - \dfrac{1}{3} (3,14) \cdot 6^{2}\left (3(9) - 6 \right ) \\
&= 3052,08 - 226,08 \\
&= 2826 \\
\end{align}$
Volume air yang dibutuhkan adalah selisih volume kubus yang terkena air dengan volume bola yang terkena air yaitu $3888-2826=1062$
Catatan Cara Menghitung Volume Bola Terpotong (Volume Tembereng Bola) di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan.
