Skip to main content

Cara Menghitung Volume Bola Terpotong (Volume Tembereng Bola)

Soal HOTS Matematika SMP dan Pembahasan
Calon Guru belajar cara Menghitung Volume Bola Terpotong atau Volume Tembereng Bola. Menghitung volume tembereng bola ini kembali kita diskusikan, karena soal ini beberapa waktu lalu ditanyakan pada Soal Olimpiade MIPA Science Expo 2017 SMA Unggul DEL Laguboti mata pelajaran matematika.

Soal yang diujikan pada Olimpiade MIPA Science Expo untuk tingkat SMP sederajat ini beberapa soal diantaranya sudah tergolong HOTS (High Order Thinking Skills), jadi jika tertarik untuk melihat soal Olimpiade MIPA Science Expo 2017 SMA Unggul DEL Laguboti secara lengkap silahkan simak diskusinya pada Soal dan Pembahasan Olimpiade MIPA Science Expo 2017 SMA Unggul DEL Laguboti (Matematika).

Diberikan sebuah aquarium berbentuk kubus dengan panjang rusuk $18\ cm$. Kedalam aquarium tersebut dimasukkan sebuah bola pejal dengan jari-jari $9\ cm$. Jika ke dalam aquarium diisi air sampai setinggi air $12\ cm$, maka volume air yang dibutuhkan adalah...$cm^{3}$ $\left( \pi=3,14 \right)$
Soal dan Pembahasan Olimpiade MIPA Science Expo 2017 SMA Unggul DEL Laguboti (Matematika)
$\begin{align}
(A)\ & 1062 \\
(B)\ & 1599 \\
(C)\ & 2826 \\
(D)\ & 3888 \\
\end{align}$
Sebelum kita mendiskusikan soal di atas, kita coba bereksplorasi untuk menemukan aturan atau rumus Menghitung Volume Bola Terpotong (Volume Tembereng Bola) ini adalah untuk anak-anak yang sudah belajar integral fungsi, jika belum belajar maka cukup dipelajari cara menggunakan rumus yang sudah ditemukan.

Kita ketahui jika sebuah bola dipotong menjadi dua bagian yang tidak simetris maka akan ada dua bagian bola, satu bagian bola yang kecil dan satu bagian bola yang besar. Ilustrasi bola yang terpotong menjadi dua bagian seperti berikut ini:
Cara Menghitung Volume Bola Terpotong (Volume Tembereng Bola)
Untuk menghitung volume tembereng bola atau bagian bola yang kecil, kita coba menggunakan bantuan Integral Fungsi. Jika sebuah daerah yang dibatasi oleh fungsi $y=x$ dan $a \leq y \leq b$ lalu diputar mengelilingi sumbu-$y$ maka akan diperoleh bangun ruang yang mempunyai volume $V= \pi \int \limits_{a}^{b} x^{2}\ dy$.

Sebelum diputar mengelilingi sumbu-$y$, maka bola itu sebelumnya berbentuk lingkaran dan tembereng lingkran dapat kita gambarkan seperti berikut ini:
Cara Menghitung Volume Bola Terpotong (Volume Tembereng Bola)
Tembereng yang berwarna hijau pada gambar yang berasal dari persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, jika diputar mengelilingi sumbu-$y$ akan menghasilkan tembereng bola. Volume tembereng bola adalah:
$\begin{align}
V_{tembereng} &= \pi \int \limits_{a}^{b} x^{2}\ dy \\
&= \pi \int \limits_{r-t}^{r} \left( r^{2}-y^{2} \right)\ dy \\
&= \left [\pi \left(r^{2}y-\dfrac{1}{3}y^{3} \right) \right ]_{r-t}^{r} \\
&= \pi\left [ \left(r^{2}(r)-\dfrac{1}{3}(r)^{3} \right) - \left(r^{2}(r-t)-\dfrac{1}{3}(r-t)^{3} \right) \right ] \\
&= \pi\left [ \left(r^{3}-\dfrac{1}{3}(r)^{3} \right) - \left(r^{3} -r^{2}t -\dfrac{1}{3}(r^{3}-3r^{2}t+3rt^{2}-t^{3}) \right) \right ] \\
&= \pi\left [ \dfrac{2}{3}r^{3} - \left(r^{3} -r^{2}t -\dfrac{1}{3}r^{3}+r^{2}t-rt^{2}+\dfrac{1}{3}t^{3} \right) \right ] \\
&= \pi\left [ \dfrac{2}{3}r^{3} - \left(\dfrac{2}{3}r^{3} -rt^{2}+\dfrac{1}{3}t^{3} \right) \right ] \\
&= \pi\left [ \dfrac{2}{3}r^{3} - \dfrac{2}{3}r^{3} +rt^{2}-\dfrac{1}{3}t^{3} \right ] \\
&= \pi\left [rt^{2}-\dfrac{1}{3}t^{3} \right ] \\
&= \pi \cdot \dfrac{1}{3}t^{2}\left [3r - t \right ] \\
&= \dfrac{1}{3} \pi t^{2}\left [3r - t \right ] \\
\end{align}$
Dari hasil yang kita peroleh di atas, dapat kita simpulkan bahwa volume tembereng bola dengan jari-jari bola $r$ dan tinggi tembereng $t$ volumenya adalah $V= \dfrac{1}{3} \pi t^{2}\left (3r - t \right )$.

Kita kembali pada Soal dan Pembahasan Olimpiade MIPA Science Expo 2017 SMA Unggul DEL Laguboti (Matematika)
Diberikan sebuah aquarium berbentuk kubus dengan panjang rusuk $18\ cm$. Kedalam aquarium tersebut dimasukkan sebuah bola pejal dengan jari-jari $9\ cm$. Jika ke dalam aquarium diisi air sampai setinggi air $12\ cm$, maka volume air yang dibutuhkan adalah...$cm^{3}$ $\left( \pi=3,14 \right)$
Soal dan Pembahasan Olimpiade MIPA Science Expo 2017 SMA Unggul DEL Laguboti (Matematika)

Jika kita gambarkan permukaan bola dan kubus yang terendam air seperti beikut ini:
Soal dan Pembahasan Olimpiade MIPA Science Expo 2017 SMA Unggul DEL Laguboti (Matematika)
Volume air yang dibutuhkan untuuk mencapai ketinggian sampai $12\ cm$ kita hitung dari selisih volume kubus yang terkena air dengan volume bola yang terkena air.

Volume kubus yang terkena air adalah:
$\begin{align}
V_{K} &= 18 \cdot 18 \cdot 12 \\
&= 3888\ cm^{3}
\end{align}$

Volume bola yang terkena air adalah:
$\begin{align}
V_{B} &= V_{bola}-V_{tembereng} \\
&= \dfrac{4}{3} \pi r^{3} - \dfrac{1}{3} \pi t^{2}\left (3r - t \right ) \\
&= \dfrac{4}{3} (3,14) (9)^{3} - \dfrac{1}{3} (3,14) \cdot 6^{2}\left (3(9) - 6 \right ) \\
&= 3052,08 - 226,08 \\
&= 2826 \\
\end{align}$

Volume air yang dibutuhkan adalah selisih volume kubus yang terkena air dengan volume bola yang terkena air yaitu $3888-2826=1062$

Saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait Cara Menghitung Volume Bola Terpotong (Volume Tembereng Bola) sangat diharapkan😊CMIIW

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Cara Menghitung Volume Bola Terpotong (Volume Tembereng Bola) silahkan disampaikan πŸ™ CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi πŸ™ Share is Caring πŸ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda πŸ’— Cara alternatif dalam perkalian dua angka
youtube image

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Cara Menghitung Volume Bola Terpotong (Volume Tembereng Bola)" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih πŸ™ support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar