Calon Guru belajar matematika dasar SMP dari Soal dan Pembahasan Olimpiade MIPA Science Expo 2017 SMA Unggul DEL Laguboti mata pelajaran matematika. Olimpiade MIPA Science Expo untuk tingkat SMP sederajat ini diselenggarakan oleh SMA Unggul DEL Laguboti tanggal 24 Februari 2017.
Bahan diskusi kita ini bisa dapat digunakan sebagai bahan latihan dalam menghadapi Olimpiade MIPA Science Expo yang diselenggarakan oleh pihak lain atau Olimpiade MIPA Science Expo yang diselenggarakan oleh SMA Unggul DEL pada tahun-tahun berikutnya. Sebelumnya sudah kita diskusikan Soal dan Pembahasan Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL Laguboti (Matematika) dan soalnya juga sangat baik sebagai referensi untuk mengasah kemampuan dalam bermatematik.
Pada catatan sebelumnya kita sudah mendiskusikan beberapa soal yang dapat dijadikan sebagai bahan latihan dalam menghadapi OSN Matematika pada tahun ini, diantaranya:
- Soal dan pembahasan Pra OSK matematika tahun 2019 👀Lihat Soal
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2018 Type 1 👀Lihat Soal
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2018 Type 2 👀Lihat Soal
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2018 Type 3 👀Lihat Soal
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2018 Type 4 👀Lihat Soal
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2017 👀Lihat Soal
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2016 👀Lihat Soal
Garis besar atau kisi-kisi yang diujikan seperti apa yang disampaikan oleh panitia Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL Laguboti tahun 2019 adalah soal setara soal OSK, OSP dan OSN Tingkat SMP dan gambaran silabusnya seperti berikut ini:
1. Teori Bilangan
- Operasi Bilangan Bulat
- Sifat-sifat Bilangan Berpangkat
- Penarikan Akar Kuadrat
- Hal Habis Dibagi
- KPK dan FPB
- Bilangan Prima
2. Aljabar
- Relasi dan Fungsi
- Perbandingan
- Persamaan Linear Satu Variabel
- Sistem Persamaan Linear Dua dan Tiga Variabel
- Barisan dan Deret Bilangan Real
- Persamaan dan Fungsi Kuadrat
3. Geometri
- Garis dan Sudut
- Garis-garis Istimewa Segitiga
- Teorema Phytagoras
- British Flag Theorem
- Dalil Stewart, Ceva dan Menelaus
- Bramaguptha Thoerem
- Bangun Ruang
4. Statistika dan Peluang
- Kaidah Pencacahan (Aturan Penjumlahan dan Perkalian)
- Permutasi dan Kombinasi
- Koefisien Binomial
- Penyajian dan Penafsiran Data
- Peluang Suatu Kejadian
5. Kapita Selekta
- Penggunaan Matematika dalam kehidupan Sehari-hari
- Kemampuan Membaca dan Menggunakan Definisi Materi yang sudah atau belum diajarkan di SMP
Untuk melengkapi bahan latihan kisi-kisi di atas, kita coba diskusikan soal matematika dari Olimpiade MIPA Science Expo 2017 SMA Unggul DEL Laguboti.
1. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2017
Diberikan bilangan bulat $a,b,c,d$. Jika didefenisikan untuk sembarang pasangan terurut $(a,b)$ dan $(x,y)$ berlaku $\left(a,b \right)*\left(x,y\right)=\left(ax-by,ax+by \right)$, maka:
$\begin{align}
I.\ & \left(a,b \right)*\left(x,y\right)=\left(x,y \right)*\left(a,b \right) \\
II.\ & \left(a,b \right)*\left(1,1 \right)= \left(a,b \right) \\
III.\ & \left(a,b \right)*\left(a,b\right)=\left(a^{2}-b^{2},a^{2}+b^{2} \right) \\
\end{align}$
Pernyataan yang benar adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan defenisi $\left(a,b \right)*\left(x,y\right)=\left(ax-by,ax+by \right)$, pernyataan $I,II,III$ jika kita jabarkan adalah sebagai berikut:
$\text{Pernyataan}\ I:$ $\left(a,b \right)*\left(x,y\right)=\left(x,y \right)*\left(a,b \right)$
$\begin{align}
\left(a,b \right)*\left(x,y \right) &= \left(a(x)-b(y), a(x)+b(y) \right) \\
&= \left(ax-by, ax+by \right) \\
\left(x,y \right)*\left(a,b \right) &= \left(x(a)-y(b), x(a)+y(b) \right) \\
&= \left(ax-by, ax+by \right) \\
\end{align}$
$\text{Pernyataan}\ II:$ $\left(a,b \right)*\left(1,1 \right)= \left(a,b \right)$
$\begin{align}
\left(a,b \right)*\left(1,1 \right) &= \left(a(1)-b(1), a(1)+b(1) \right) \\
&= \left(a-b, a+b \right)
\end{align}$
$\text{Pernyataan}\ III:$ $\left(a,b \right)*\left(a,b\right)=\left(a^{2}-b^{2},a^{2}+b^{2} \right)$
$\begin{align}
\left(a,b \right)*\left(a,b \right) &= \left(a(a)-b(b), a(a)+b(b) \right) \\
&= \left(a^{2}-b^{2}, a^{2}+b^{2} \right)
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ I\ \text{dan}\ III\ \text{saja}$
2. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2017
Diketahui $J=\left \{ n \in N \left| \dfrac{2n+4}{n-5}\begin{matrix}
\end{matrix}\right.\ \ n \in N \right \}$. Banyak himpunan bagian dari $J$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba melakukan manipulasi aljabar (merubah bentuk aljabar tapi tidak merubah nilainya) pada pecahan $\dfrac{2n+4}{n-5}$ sehingga bentuknya menjadi lebih sederhana:
$\begin{align}
J &= \dfrac{2n+4}{n-5}\\
&= \dfrac{2(n-5)+10 +4}{n-5} \\
&= \dfrac{2(n-5)+14}{n-5} \\
&= \dfrac{2(n-5) }{n-5}+\dfrac{14}{n-5} \\
&= 2+\dfrac{14}{n-5}
\end{align}$
Agar $J$ adalah bilangan bulat maka nilai $n-5$ harus kelipatan $14$, dan nilai $n-5$ menjadi kelipatan $14$ adalah saat hasil $n-5= \pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14$.
Karena $n$ adalah bilangan asli, sehingga banyak nilai $n$ yang mengakibatkan $2+\dfrac{14}{n-5}$ bilangan asli hanya pada saat $n-5=1,2,7,14$ sehingga banyak nilai $n$ adalah $4$. Himpunan bagian $J$ yaitu $2^{4}=16.$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 16$
3. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2017
Bilangan $\dfrac{1955}{\left( 1+3\sqrt{2} \right)\left( 3+4\sqrt{2} \right)\left( 1-3\sqrt{2} \right)\left( 3-4\sqrt{2} \right)}$ merupakan...
Alternatif Pembahasan:
Soal di atas dapat kita coba selesaikan dengan mencoba merasionalkan penyebut, untuk mempermudah proses manipulasi aljabar, kita ingatkan sedikit sifat eksponen dan sifat bentuk akar yaitu:
- $\left(a+b\right)\left(a-b\right)=\left(a^{2}-b^{2}\right)$
- ${}^a\!\log x\ +{}^a\!\log y={}^a\!\log \left (x\cdot y \right )$
- $\left(m\sqrt{a} \right)\left(n\sqrt{b}\right)=m \cdot n\sqrt{a \cdot b}$
$\begin{align}
& \dfrac{1955}{\left( 1+3\sqrt{2} \right)\left( 3+4\sqrt{2} \right)\left( 1-3\sqrt{2} \right)\left( 3-4\sqrt{2} \right)} \\
&= \dfrac{1955}{\left( 1+3\sqrt{2} \right)\left( 1-3\sqrt{2} \right)\left( 3+4\sqrt{2} \right)\left( 3-4\sqrt{2} \right)} \\
&= \dfrac{1955}{\left( 1-9 \cdot 2 \right)\left( 9-16 \cdot 2 \right)} \\
&= \dfrac{5 \cdot 391}{\left( 1-18 \right)\left( 9-32 \right)} \\
&= \dfrac{5 \cdot 391}{\left( -17 \right)\left( -23 \right)} \\
&= \dfrac{5 \cdot 391}{391} =5
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \text{bilangan bulat positif}$
4. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2017
Jika $2^{x_{1}}=3,$ $3^{x_{2}}=4,$ $4^{x_{3}}=5,$ $\cdots,\ 2047^{x_{2046}}=2048$ maka nilai $x_{1} x_{2} x_{3} \cdots x_{2046}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Soal di atas dapat kita coba selesaikan dengan mengubah bilangan berpangkat jadi logaritma, untuk mempermudah proses manipulasi aljabar, kita ingatkan sedikit sifat eksponen dan sifat logaritma yaitu:
- ${\color{Blue} a}^{\color{Red} b}={\color{Green} c} $ $\Leftrightarrow $ $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} c}= {\color{Red}b}$
- ${}^a\!\log x \cdot\ {}^x\!\log y \cdot\ {}^y\!\log b={}^a\!\log b$
- ${}^a\!\log a^{n}=n $
$\begin{align}
2^{x_{1}}=3 & \Leftrightarrow {}^2\!\log 3 = x_{1} \\
3^{x_{2}}=4 & \Leftrightarrow {}^3\!\log 4 = x_{2} \\
4^{x_{3}}=5 & \Leftrightarrow {}^4\!\log 5 = x_{3} \\
& \vdots \\
2046^{x_{2045}}=2047 & \Leftrightarrow {}^2046\!\log 2047 = x_{2045} \\
2047^{x_{2046}}=2048 & \Leftrightarrow {}^2047\!\log 2048 = x_{2046}
\end{align}$
Dari bentuk logaritma yang kita peroleh di atas jika kita kalikan maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
{}^2\!\log 3 \cdot {}^3\!\log 4 \cdot {}^4\!\log 5 \cdots {}^{2046}\!\log 2047 \cdot {}^{2047}\!\log 2048 &= {}^2\!\log 2048 \\
x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdots x_{2045} \cdot x_{2046} &= {}^2\!\log 2048 \\
&= {}^2\!\log 2^{11} \\
&= 11 \cdot {}^2\!\log 2 \\
&= 11
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 11$
5. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2017
Diketahui $k$ adalah bilangan terbesar yang digit-digitnya berbeda dan habis dibagi $3$. Sisa pembagian $k$ bila dibagi dengan $2017$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas dapat kita coba dengan menentukan nilai $k$, karena $k$ adalah bilangan terbesar yang digit-digitnya berbeda maka nilai $k$ yang mungkin adalah $9.876.543.210$. $k$ adalah bilangan yang habis dibagi $3$ karena jumlah digit-digitnya $(9+8+7+6+5+4+3+2+1+0=45)$ habis dibagi $3$.
Jika $9.876.543.210$ kita bagi dengan $2017$ maka akan bersisa $160$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 160$
6. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2017
Nilai dari $\sqrt{1+\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{\cdots\sqrt{1+2014\sqrt{1+2015 \cdot 2017}}}}}}$
Alternatif Pembahasan:
Soal di atas dapat kita coba selesaikan dari bentuk akar yang paling dalam yaitu:
$\begin{align}
\sqrt{1+2015 \cdot 2017} &= \sqrt{1+2015 \cdot 2017} \\
&= \sqrt{1+2015 \cdot (2015+2)} \\
&= \sqrt{1+2015^{2} + 2 \cdot 2015 } \\
&= \sqrt{\left( 2015 + 1 \right)^{2}} \\
&= \sqrt{\left( 2016 \right)^{2}} \\
&= 2016
\end{align}$
Hasil yang kita peroleh di atas merubah bentuk akar berikut ini;
$\begin{align}
\sqrt{1+2014\sqrt{1+2015 \cdot 2017}} &= \sqrt{1+2014 \cdot 2016} \\
&= \sqrt{1+2014 \cdot (2014+2)} \\
&= \sqrt{1+2014^{2} + 2 \cdot 2014 } \\
&= \sqrt{\left( 2014 + 1 \right)^{2}} \\
&= \sqrt{\left( 2015 \right)^{2}} \\
&= 2015
\end{align}$
Jika kita hitung bentuk akarnya untuk seterusnya maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
\sqrt{1+\sqrt{1+2\sqrt{1+3 \cdot 5}}} &= \sqrt{1+\sqrt{1+2\sqrt{1+3 \cdot 5 }}} \\
&= \sqrt{1+\sqrt{1+2\sqrt{16}}} \\
&= \sqrt{1+\sqrt{1+2 \cdot 4}} \\
&= \sqrt{1+ 3} \\
&= 2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2$
7. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2017
Perhatikan pernyataan berikut!
$\begin{align}
I.\ & 4x^{2}-25=\left(2x+5 \right)\left(2x-5 \right) \\
II.\ & 3x^{2}-x+2 =\left(3x-2 \right)\left(x+1 \right) \\
III.\ & x^{2}+xy-6y^{2} =\left(x+3y \right)\left(x-2y \right) \\
IV.\ & x^{2}+4xy-5y^{2} =\left(x-5y \right)\left(x+y \right)
\end{align}$
Pernyataan yang benar adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba menyelesaikan persamaan yang di ruas kanan, menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align}
I.\ \left(2x+5 \right)\left(2x-5 \right) & = 4x^{2}-10x+10x-25 \\
& = 4x^{2}-25 \\
II.\ \left(3x-2 \right)\left(x+1 \right) & = 3x^{2}+3x-2x-1 \\
& = 3x^{2}+x-1 \\
III.\ \left(x+3y \right)\left(x-2y \right) & = x^{2}-2xy+3xy-6y^{2} \\
& = x^{2}+xy-6y^{2} \\
IV.\ \left(x-5y \right)\left(x+y \right) & = x^{2}+xy-5xy-5y^{2} \\
& = x^{2}-4xy-5y^{2} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ I\ \text{dan}\ III$
8. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2017
Nilai dari
$1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\cdots}}}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Arti dari $\cdots$ pada soal adalah dan seterusnya, sehingga bentuk pecahan terus sampai tak hingga. Soal pecahan tersebut kita coba menyelesaikan dengan pemisalan, seperti berikut ini:
Misal:
$p=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\cdots}}}$
Dengan pemisalan di atas dan manipulasi aljabar, perubahan yang dapat kita peroleh adalah:
$\begin{align}
1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\cdots}}}} & = p \\
1+\dfrac{1}{p} & = p\ \cdots \text{dikali}\ p \\
p+1 & = p^{2} \\
p^{2}-p-1 & = 0\end{align}$
Ddengan menggunakan rumus abc dapat kita tentkan nilai $p$ yang memenuhi yaitu:
$\begin{align}
p & = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\
& = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^{2}-4(1)(-1)}}{2(1)} \\
& = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \\
p & = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$
9. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2017
banyak bilangan asli $n$ sehingga $2018 \left(1-\dfrac{1}{2} \right)\left(1-\dfrac{1}{3} \right)\left(1-\dfrac{1}{4} \right)\cdots\left(1-\dfrac{1}{n} \right) $ merupakan bilangan bulat adalah...
Alternatif Pembahasan:
Soal di atas kita coba dengan menyederhanakan beberapa ruas, yaitu:
$\begin{align}
\left(1-\dfrac{1}{2} \right) & = \left(\dfrac{2}{2}-\dfrac{1}{2} \right)= \dfrac{1}{2} \\
\left(1-\dfrac{1}{3} \right) & = \left(\dfrac{3}{3}-\dfrac{1}{3} \right)= \dfrac{2}{3} \\
\left(1-\dfrac{1}{4} \right) & = \left(\dfrac{4}{4}-\dfrac{1}{4} \right)= \dfrac{3}{4} \\
\vdots \\
\left(1-\dfrac{1}{n} \right) & = \left(\dfrac{n}{n}-\dfrac{1}{n} \right)= \dfrac{n-1}{n}
\end{align}$
Dari apa yang kita peroleh di atas, bentuk soal saat ini dapat kita tuliskan menjadi:
$\begin{align}
& 2018 \left(1-\dfrac{1}{2} \right)\left(1-\dfrac{1}{3} \right)\left(1-\dfrac{1}{4} \right)\cdots\left(1-\dfrac{1}{n} \right) \\
& = 2018 \left(\dfrac{1}{2} \right)\left(\dfrac{2}{3} \right)\left(\dfrac{3}{4} \right)\cdots\left(\dfrac{n-1}{n} \right) \\
& = 2018 \left(\dfrac{1}{n} \right) \\
& = \dfrac{2018}{n} \\
\end{align}$
Agar $\dfrac{2018}{n}$ adalah bilangan bulat maka $n$ harus faktor dari $2018$ yaitu $ \pm 1,\ \pm 2,\ \pm 1009,\ \pm 2018$.
Pada soal diketahui $n$ adalah bilangan asli, sehingga yang mungkin memenuhi adalah $ 1,\ 2,\ 1009,\ 2018$.
Dari pola soal $2018 \left(1-\dfrac{1}{2} \right)\left(1-\dfrac{1}{3} \right) \cdots \left(1-\dfrac{1}{n} \right)$ nilai $n$ pada $\left(1-\dfrac{1}{n} \right)$ adalah $n \geq 2$ sehingga nilai $n$ yang memenuhi adalah $2,\ 1009,\ 2018$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3$
10. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2017
Jika angka puluhan dari penjumlahan bilangan $1!+2!+3!+\cdots+2016!+2017!$ adalah $\overline{ab}$, maka nilai $a+b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Simbol "$!$" pada soal di atas adalah faktorial yang didefenisikan untuk $n$ bilangan asli $n!=n \cdot (n-1)\cdot (n-2) \cdot 2 \cdot 1$
Jika kita jabarkan:
$\begin{align}
1! & = 1 \\
2! & = 2 \cdot 1 =2 \\
3! & = 3 \cdot 2 \cdot 1 =6 \\
4! & = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \\
5! & = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \\
6! & = 6 \cdot 5 \cdots 2 \cdot 1 = 720 \\
7! & = 7 \cdot 6 \cdots 2 \cdot 1 = 5.040 \\
8! & = 8 \cdot 7 \cdots 2 \cdot 1 = 40.320 \\
9! & = 9 \cdot 8 \cdots 2 \cdot 1 = 362.880 \\
10! & = 10 \cdot 9 \cdots 2 \cdot 1 = 3.628.800 \\
\vdots \\
\end{align}$
Dari apa yang kita peroleh di atas, bentuk soal saat ini dapat kita tuliskan menjadi:
$\begin{align}
& 1!+2!+3!+\cdots+2016!+2017! \\
& = 1+2+6+24+120+720+5.040+40.320+362.880+3.628.800+\cdots \\
& = xxxx913\\
\end{align}$
Yang diminta pada soal adalah nilai puluhan $\overline{ab}$ sehingga cukup kita hitung hanya sampai $10!$ pada bilangan selanjutnya $11!$ dan seterusnya nilai puluhan selalu $00$ dan tidak akan merubah nilai puluhan pada penjumlahan dari $1!$ samapi $10!$.
Angka puluhan adalah $\overline{ab}=13$, nilai $a+b=4$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4$
11. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2017
Pada sebuah peta tertulis perbandingan $1:500.000$. Jika pada peta digambar sebuah lingkaran dengan luas $6,28\ cm^{2}$, maka luas sebenarnya adalah...$km^{2}$
Alternatif Pembahasan:
Dari luas lingkaran pada soal $6,28\ cm^{2}$, dengan menganggap $\pi=3,14$ dapat kita tentukan jari-jari lingkaran yaitu:
$\begin{align}
\pi r^{2} & = 6,28\ cm^{2} \\
3,14 \cdot r^{2} & = 6,28\ cm^{2} \\
r^{2} & = 2\ cm^{2} \\
r & = \sqrt{2}\ cm
\end{align}$
Jari-jari lingkaran sebenarnya adalah $\sqrt{2}\ cm \times 500.000= 5\sqrt{2} \cdot 10^{5}\ cm$ sehingga luas sebenarnya adalah:
$\begin{align}
\pi r^{2} & = 3,14 \cdot \left( 5\sqrt{2} \cdot 10^{5}\ cm \right)^{2} \\
& = 3,14 \cdot 25 \cdot 2 \cdot 10^{10}\ cm^{2} \\
& = 157 \cdot 10^{10}\ cm^{2} \\
& = 157\ km^{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 157$
12. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2017
Dalam suatu kompetisi sains, siswa $A$ mampu mengerjakan $80$ soal dalam waktu $180$ menit. Siswa $B$ mampu mengerjakannya dalam waktu $210$ menit. Sedangkan siswa $C$ mampu mengerjakannya dalam waktu $180$ menit. Jika mereka bekerja bersama-sama, waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan $80$ soal adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan konsep kecepatan dan dengan menganggap mengerjakan "80 soal" adalah "satu" pekerjaan, maka kecepatan masing-masing siswa yaitu:
- Siswa $A$, $v_{A}=\dfrac{1}{180}$;
- Siswa $B$, $v_{B}=\dfrac{1}{210}$;
- Siswa $C$, $v_{C}=\dfrac{1}{180}$;
Jika mereka bertiga bekerja bersama, maka waktu yang dibutuhkan adalah:
$\begin{align}
v_{t} & = v_{A}+v_{B}+v_{C} \\
\dfrac{1}{t} & = \dfrac{1}{180}+\dfrac{1}{210}+\dfrac{1}{180} \\
& = \dfrac{2}{180}+\dfrac{1}{210} \\
& = \dfrac{2}{60 \cdot 3}+\dfrac{1}{70 \cdot 3} \\
& = \dfrac{7 \cdot 2}{60 \cdot 3 \cdot 7}+\dfrac{6}{70 \cdot 3 \cdot 6} \\
& = \dfrac{14+6}{60 \cdot 3 \cdot 7} \\
& = \dfrac{20}{60 \cdot 3 \cdot 7} \\
t & = \dfrac{60 \cdot 3 \cdot 7}{20} \\
t & = 3 \cdot 3 \cdot 7 =63
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 63\ \text{menit}$
13. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2017
Jika diberikan $S_{n}=1-2+3-4+\cdots+n(-1)^{n-1}$, dengan $n$ bilangan asli, maka nilai $S_{1990}+S_{2008}+S_{2017}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari defenisi $S_{n}=1-2+3-4+\cdots+n(-1)^{n-1}$ dapat kita jabarkan beberapa $S_{n}$, antara lain:
$\begin{align}
S_{4}&=1-2+3-4= (-1)+(-1)=2 \cdot (-1) \\
S_{6}&=1-2+3-4+5-6=3 \cdot (-1) \\
S_{8}&=(-1)+(-1)+(-1)+(-1)=\dfrac{8}{2} \cdot (-1) \\
S_{1990}&=\dfrac{1990}{2} \cdot (-1)=-995 \\
S_{2008}&=\dfrac{2008}{2} \cdot (-1)=-1004 \\
\hline
S_{5}&=1-2+3-4+5=2 \cdot (-1)+5 \\
S_{7}&=1-2+3-4+5-6+7=3 \cdot (-1)+7 \\
S_{9}&=S_{8}+9=\left( \dfrac{9-1}{2} \right) \cdot (-1)+9 \\
S_{2017}&=\left( \dfrac{2017-1}{2} \right) \cdot (-1)+2017 \\
&= 2008 \cdot (-1)+2017 \\
&= -2008 + 2017 \\
&= 1009
\end{align}$
Nilai $S_{1990}+S_{2008}+S_{2017}$ adalah $-995-1004+1009=-990$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -990$
14. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2017
Untuk setiap bilangan bulat $n$ didefenisikan fungsi $f$ dengan $f(n)$ adalah banyak angka (digit) dari bilangan $n$. Contoh $f(242)=3$ dan $f(2017)=4$. Nilai dari $f \left( 2^{2017} \right)+f \left( 5^{2017} \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menentukan banyak digit sebuah bilangan hal paling mudah yang dapat kita lakukan adalah mengarahkan bilangan tersebut menggunakan pendekatan nilai logaritma dengan basis $10$.
Dasar berpikirnya Contoh berikut ini mungkin membantu:
- Banyak angka $10^{5}$ adalah:
$\begin{align}
log\ 10^{5} &= 5 \cdot log\ 10 \\
&= 5 \cdot 1 \\
&= 5
\end{align}$
Banyak digit $10^{5}$ adalah $5+1=6$ - Banyak angka $2^{10}$ adalah:
$\begin{align}
log\ 2^{10} &= 10 \cdot log\ 2 \\
&= 10 \cdot 0,301 \\
&= 3,...
\end{align}$
Banyak digit $2^{10}$ adalah $3+1=4$ - $f \left( 2^{2017} \right)$ adalah banyak angka $2^{2017}$;
$\begin{align}
log\ 2^{2017} &= 2017 \cdot log\ 2 \\
&= 2017 \cdot 0,301 \\
&= 607,...
\end{align}$
Banyak digit $2^{2017}$ adalah $607+1=608$ - $f \left( 5^{2017} \right)$ adalah banyak angka $5^{2017}$;
$\begin{align}
log\ 5^{2017} &= 2017 \cdot log\ 5 \\
&= 2017 \cdot 0,699 \\
&= 1409,...
\end{align}$
Banyak digit $5^{2017}$ adalah $1409+1=1410$
Nilai dari
$\begin{align}
f \left( 2^{2017} \right)+f \left( 5^{2017} \right) &= 608 + 1410 \\
&= 608 + 1410 \\
&= 2018
\end{align}$
Alternatif penyelesaian:
$\begin{align}
f \left( 2^{2017} \right)+f \left( 5^{2017} \right) &= log\ 2^{2017} + log\ 5^{2017} \\
&= log\ \left( 2^{2017} \cdot 5^{2017} \right) \\
&= log\ 10^{2017} \\
&= 2017\ \cdot log\ 10 \\
&= 2017
\end{align}$
Nilai $f \left( 2^{2017} \right)+f \left( 5^{2017} \right)$ adalah $2017+1=2018$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2018$
15. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2017
Diketahui barisan fungsi $f_{1} \left( x \right),f_{2} \left( x \right),f_{3} \left( x \right), \cdots $ sedemikian sehingga $f_{1}(x)=x$ dan $f_{n+1}(x)=\dfrac{1}{1-f_{n}(x)}$ untuk bilngan $n$ bilangan asli. Nilai dari $f_{2017}(2017)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Barisan fungsi jika kita jabarkan $f_{1} \left( x \right),f_{2} \left( x \right),f_{3} \left( x \right), \cdots $.
- $f_{1} \left( x \right) = x$
- $f_{2} \left( x \right) = \dfrac{1}{1-f_{1} \left( x \right)}=\dfrac{1}{1-x}$
- $f_{3} \left( x \right) = \dfrac{1}{1-f_{2} \left( x \right)}=\dfrac{x-1}{x}$
- $f_{4} \left( x \right) = \dfrac{1}{1-f_{3} \left( x \right)}=x$
- $f_{5} \left( x \right) = \dfrac{1}{1-f_{5} \left( x \right)}=\dfrac{1}{1-x}$
- $f_{6} \left( x \right) = \dfrac{1}{1-f_{6} \left( x \right)}=\dfrac{x-1}{x}$
- $f_{1} \left( x \right) = f_{4} \left( x \right)=f_{7} \left( x \right)=\cdots$
- $f_{2} \left( x \right) = f_{5} \left( x \right)=f_{8} \left( x \right)=\cdots$
- $f_{3} \left( x \right) = f_{6} \left( x \right)=f_{9} \left( x \right)=\cdots$
Untuk menentukan nilai fungsi $f_{2017} \left( x \right)$ kita cari nilainya pakai bantuan sisa pembagian, $\dfrac{2017}{3}$ sisa $1$ sehingga nilai fungsi:
$\begin{align}
f_{2017} \left( x \right) &= f_{1} \left( x \right) \\
f_{2017} \left( x \right) &= x \\
f_{2017} \left( 2017 \right) &= 2017
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2017$
16. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2017
Perhatikan gambar!
Besar sudut $BAC$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menentukan sudut $BAC$ kita gunakan bantuan jumlah sudut segitiga yaitu $180^{\circ}$.
$\begin{align}
\measuredangle BCA +\measuredangle BAC+\measuredangle ABC &= 180^{\circ} \\
4y+10^{\circ}+2y+10^{\circ}+40^{\circ} &= 180^{\circ} \\
6y+60^{\circ} &= 180^{\circ} \\
6y &= 180^{\circ}-60^{\circ} \\
6y &= 120^{\circ} \\
y &= 20^{\circ} \\
\hline
\measuredangle BAC &= 2y+10^{\circ} \\
&= 2 \cdot 20^{\circ} +10^{\circ} \\
&= 50^{\circ}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 50^{\circ}$
17. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2017
Perhatikan gambar di bawah ini
Besar sudut $BAC$ adalah...
Jika panjang $\overline{PA},\overline{PB},$ dan $\overline{PD}$ adalah $5,17,$ dan $19$, maka panjang $\overline{PC}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan menggunakan teorema pythagoras.
Jika unsur-unsur pada gambar kita beri tambahan ruas garis yaitu ruas garis $a$, ruas garis $b$, ruas garis $c$ dan ruas garis $d$ maka akan kita peroleh gambar seperti beikut ini:
Dari gambar di atas dan teorema phytagoras, maka akan kita peroleh
$\begin{align}
a^{2}+d^{2} &= 5^{2}=25 \\
a^{2}+b^{2} &= 17^{2}=289 \\
c^{2}+d^{2} &= 19^{2}=361\ (+) \\
\hline
2a^{2}+ b^{2}+c^{2}+2d^{2} &= 675 \\
2a^{2}+2d^{2}+ b^{2}+c^{2} &= 675 \\
2 \left( a^{2}+ d^{2} \right) + b^{2}+c^{2} &= 675 \\
2 \left( 25 \right) + b^{2}+c^{2} &= 675 \\
50 + b^{2}+c^{2} &= 675 \\
b^{2}+c^{2} &= 675-50 \\
b^{2}+c^{2} &= 625
\end{align}$
Panjang $PC$ adalah:
$\begin{align}
PC^{2} &= b^{2}+c^{2} \\
PC^{2} &= 625 \\
PC &= \sqrt{625}=25
\end{align}$
Jika sudah pernah mendengar Teorema Bendera Inggris atau lebih dikenal dengan nama "British Flag Theorem" dapat digunakan. Dari gambar di atas Teorema Bendera Inggris dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
PA^{2}+PC^{2} &= PB^{2}+PD^{2} \\
\left( 5 \right)^{2}+PC^{2} &= \left( 17 \right)^{2} + \left( 19 \right)^{2} \\
25 + PC^{2} &= 289 + 361 \\
PC^{2} &= 650 - 25 \\
PC &= \sqrt{625}=25 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 25$
18. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2017
Berapakah luas segi-lima yang titik-titik sudutnya terletak pada koordinat $\left(-1,-1 \right), \left(4,-2 \right), \left(5,2 \right), \left(2,4 \right), \left(-2,3 \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Kita coba mulai dengan menggambar titik-titik yang disampaikan dalam koordinat kartesius. Untuk menghitung luas daerah segi lima karena tidak beraturan akan banyak cara atau alternatif.
Dari gambar di atas luas segi-lima adalah luas segi-empat di kurang luas daerah di luar segi-lima tetapi masih di dalam segi-empat.
$\begin{align}
\left[segi-lima \right] &= \left[segi-empat\right]-\left[A \right]-\left[B \right]-\left[C \right]-\left[D \right]-\left[E \right]-\left[F \right] \\
&= \left[ 7 \cdot 6 \right]-\left[ \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 \right]-\left[\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \right]-\left[\dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 \right] \\
&\ \ -\left[\dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 1 \right]-\left[1 \right]-\left[\dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 \right] \\
&= \left[ 42 \right]-\left[ 2 \right]-\left[3 \right]-\left[2 \right]-\left[\dfrac{5}{2} \right]-\left[1 \right]-\left[2 \right] \\
&= \left[ 32 \right]-\left[\dfrac{5}{2} \right] \\
&= 29\dfrac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 29\dfrac{1}{2}$
19. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2017
Pada sebuah trapesium $ABCD$, panjang sisi $AB=15\ cm$ dan panjang sisi $CD=20\ cm$. Jika garis $AB$ sejajar garis $CD$ dan di dalam trapesium dapat digambar sebuah lingkaran yang menyinggung keempat sisi trapesium, maka tentukan keliling trapesium.
Alternatif Pembahasan:
Lingkaran dalam yang menyinggung keempat sisi segi-empat, yang paling sederhana adalah lingkaran dalam persegi. Pada persegi panjang tidak akan dapat digambar lingkaran menyinggung keempat sisinya.
Lingkaran dalam trapesium yang menyinggung keempat sisi trapesium, dimana sisi $AB=15$ sejajar sisi $CD=20$ maka agar lingkaran dapat menyinggung keempat sisi trapesium dua sisi yang belum diketahui jumlah sisinya harus $15+20=35$ (Setiap Trapesium yang memiliki lingkaran dalam dan menyinggung keempat sisi, maka keliling trapesium $2$ kali jumlah sisi yang sejajar).
Ilustrasi trapesium yang $ABCD$ dan sebuah persegi, jika kita ilustrasikan kurang lebih seperti berikut ini:
Keliling trapesium adalah $35+35=70\ cm$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 70\ cm$
20. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2017
Pada gambar yang ditunjukkan di bawah, $ABD$ dan $ADE$ merupakan setengah lingkaran. $C$ merupakan titik tengah dari $AB$ dan $AB=12$. Berapakah luas daerah yang diarsir?
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan teorema pythagoras kita dapat menghitung panjang $AD$.
$\begin{align}
AD^{2} &= AC^{2}+CD^{2} \\
&= 6^{2}+6^{2} \\
AD &= \sqrt{72}=6\sqrt{2}
\end{align}$
Setengah lingkaran $ADE$ dengan $r=\dfrac{1}{2}AD=3\sqrt{2}$ sehingga luasnya adalah:
$\begin{align}
L_{ADE} &= \dfrac{1}{2} \pi \cdot r^{2} \\
&= \dfrac{1}{2} \pi \cdot \left( 3\sqrt{2} \right) ^{2} \\
&= \dfrac{1}{2} \pi \cdot 9 \cdot 2 \\
&= 9 \pi
\end{align}$
Luas tembereng $AD$ adalah selisih luas juring $ACD$ dengan luas segitiga $ACD$
$\begin{align}
L_{AD} &= \dfrac{1}{4} \pi \cdot r^{2} - \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \\
&= \dfrac{1}{4} \pi \cdot 6^{2} - 18 \\
&= 9 \pi - 18
\end{align}$
Luas yang diarsir adalah selisih luas setengah lingkran $ADE$ dengan Luas tembereng $AD$
$\begin{align}
L &= 9 \pi - \left( 9 \pi - 18 \right) \\
&= 9 \pi - 9 \pi + 18 \\
&= 18
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 18\ cm$
21. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2017
Diketahui sebuah prisma yang dibentuk oleh bidang sisi berupa dua trapesium yang kongruen $ABFE$ dan $DCGH$. Jika garis $AB$ sejajar $EF$, garis $AD$ sejajar $PQ$, $\text{panjang}\ AE=\ \text{panjang}\ BF$, $\text{panjang}\ AB=3\ \text{kali panjang}\ EF$, $\text{panjang}\ AP=2\ \text{kali panjang}\ PB$, $AD \perp AB$ dan $EH \perp EF$ maka perbandingan volume prisma $APE.DQH$ dan prisma $PBFE.QCGH$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Kita coba mulai menyelesaikan soal di atas dengan menggambar alas prisma yang berbentuk trapesium.
Ukuran trapesium disampaikan bahwa $AB=3EF$, $AE=BF$ dan $2PB=AP$ sehingga dengan memisalkan $EF=x$, maka ukuran dan keadaan trapesium yang mungkin adalah sebagai berikut;
Dari gambar di atas dapat kita tentukan volume prisma $APE.DQH$ dan prisma $PBFE.QCGH$ yaitu:
volume prisma $PBFE.QCGH$ dengan tinggi $t$ adalah $V_{PBFE.QCGH}=\dfrac{1}{2} \cdot 2x \cdot FP \cdot t$.
volume prisma $APE.DQH$ dengan tinggi $t$ adalah $V_{APE.QDH}=\dfrac{1}{2} \cdot x \cdot FP \cdot t$.
Perbandingan volume prisma $APE.DQH$ dan prisma $PBFE.QCGH$ adalah:
$\begin{align}
\dfrac{V_{APE.DQH}}{V_{PBFE.QCGH}} &= \dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot x \cdot FP \cdot t}{\dfrac{1}{2} \cdot x \cdot FP \cdot t} \\
&= \dfrac{ x }{ x } \\
&= \dfrac{ 1 }{ 1 }
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1:1$
22. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2017
Diberikan sebuah aquarium berbentuk kubus dengan panjang rusuk $18\ cm$. Kedalam aquarium tersebut dimasukkan sebuah bola pejal dengan jari-jari $9\ cm$. Jika ke dalam aquarium diisi air sampai setinggi air $12\ cm$, maka volume air yang dibutuhkan adalah...$cm^{3}$ $\left( \pi=3,14 \right)$
Alternatif Pembahasan:
Sebagai catatan untuk menyelesaikan soal di atas kita perlu aturan atau rumus Cara Mengitung Volume Bola Terpotong (Volume Tembereng Bola) yaitu volume tembereng bola dengan jari-jari bola $r$ dan tinggi tembereng $t$ volumenya adalah $V= \dfrac{1}{3} \pi t^{2}\left (3r - t \right )$.
Jika kita gambarkan permukaan bola dan kubus yang terendam air seperti beikut ini:
Volume air yang dibutuhkan untuk mencapai ketinggian sampai $12\ cm$ kita hitung dari selisih volume kubus yang terkena air dengan volume bola yang terkena air.
Volume kubus yang terkena air adalah:
$\begin{align}
V_{K} &= 18 \cdot 18 \cdot 12 \\
&= 3888\ cm^{3}
\end{align}$
Volume bola yang terkena air adalah:
$\begin{align}
V_{B} &= V_{bola}-V_{tembereng} \\
&= \dfrac{4}{3} \pi r^{3} - \dfrac{1}{3} \pi t^{2}\left (3r - t \right ) \\
&= \dfrac{4}{3} (3,14) (9)^{3} - \dfrac{1}{3} (3,14) \cdot 6^{2}\left (3(9) - 6 \right ) \\
&= 3052,08 - 226,08 \\
&= 2826 \\
\end{align}$
Volume air yang dibutuhkan adalah selisih volume kubus yang terkena air dengan volume bola yang terkena air yaitu $3888-2826=1062$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1062$
23. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2017
Suatu balok tersusun atas kubus satuan seperti pada gambar di samping. Balok tersebut dipancung sepanjang permukaan bangun datar yang dicetak tebal. Jika luas permukaan balok terpancung dapat dinyatakan dalam $a^{b}$ satuan luas, dimana $a$ da $b$ bilangan bulat maka $a+b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita perhatikan gambar balok dan yang disampaikan pada soal, bahwa balok yang dipancung dan yang terpancung adalah prisma segitiga siku-siku. Luas permukaan balok coba kita hitung satu persatu;
- Luas permukaan sisi atas adalah $L=3 \cdot 7 =21$
- Luas permukaan sisi bawah adalah $L=3 \cdot 11 =33$
- Luas permukaan sisi belakang (yang tidak terpancung) adalah $L=3 \cdot 6 =18$
- Luas permukaan sisi depan (yang terpancung) adalah $L=3 \cdot 3 =9$
- Luas permukaan sisi kiri dan kanan adalah $L=2 \cdot \left( 6 \cdot 11 - 6 \right) =120$
$6$ diperoleh dari luas segitiga yang terpancung sehingga tidak dihitung lagi $\dfrac{3 \cdot 4}{2}=6$ - Luas permukaan sisi yang terpancung $L=3 \cdot 5 = 15$
$5$ diperoleh dari $\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$
Luas permukaan balok yang terpancung keseluruhan adalah $21+33+18+9+120+15=216$. Jika kita ubahk bilangan berpangkat $216=6^{3}$ sehingga nilai $a+b=9$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 9$
24. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2017
Pada sebuah bidang terdapat $8$ titik. Diantara kedelapan titik tersebut tidak ada tiga titik atau lebih yang segaris. Banyak segitiga yang dapat dibentuk dengan menghubungkan sebarang tiga titik pada bidag tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung banyak segitiga yang dapat dibentuk dari $8$ titik dimana tidak ada tiga titik atau lebih yang segaris dapat menggunakan aturan kombinasi:
$\begin{align}
C(n,r) =& \dfrac{n!}{r!(n-r)!} \\
C(3,8) =& \dfrac{8!}{3!(8-3)!} \\
=& \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3! \cdot 5!} \\
=& \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{6 \cdot 5!} \\
=& \dfrac{8 \cdot 7 }{1} =56
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 56$
25. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2017
Seekor semut ingin bergerak dari titik $D$ ke titik $L$. Namun ia harus mengambil gula makanan yang terdapat di titik $E$. Banyak lintasan terpendek berbeda yang dapat dilalui semut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung banyak lintasan semut, kita bagi menjadi dua tahap, tahap pertama banyak lintasan semut dari $D$ ke $E$ dan tahap kedua banyak lintasan dari $E$ ke $L$. Banyak lintasan kita gambarkan seperti berikut ini:
Total banyak lintasan terpendek yang dapat dilalui semut adalah $35 \times 20 =700$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 700$
26. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2017
Gomos ingin membeli sebuah buku matematika seharga $Rp50.000,00$. Jika di tabungannya terdapat uang pecahan lima ribu rupiah dan dua puluh ribu rupiah. Gomos akan membayar buku itu menggunakan uang tabungannya, akan tetapi penjual buku tidak memiliki uang kembalian. Berapa cara berbeda ia melakukannya.
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung banyak komposisi uang agar jumlahnya menjadi $Rp50.000$, disajikan pada tabel berikut:
| Komposisi Uang | ||
|---|---|---|
| $Rp20.000$ | $Rp10.000$ | $Rp5.000$ |
| $2$ | $1$ | $-$ |
| $2$ | $-$ | $2$ |
| $1$ | $3$ | $-$ |
| $1$ | $2$ | $2$ |
| $1$ | $1$ | $4$ |
| $1$ | $-$ | $6$ |
| $-$ | $5$ | $-$ |
| $-$ | $4$ | $2$ |
| $-$ | $3$ | $4$ |
| $-$ | $2$ | $6$ |
| $-$ | $1$ | $8$ |
| $-$ | $-$ | $10$ |
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 12$
Jika tertarik untuk menyimpan soal Olimpiade MIPA Science Expo 2017 SMA Unggul DEL Laguboti (Matematika) di atas dalam bentuk file (.pdf) silahkan Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2017 Mata Pelajaran Matematika 📥 Download File
Catatan tentang 26 Soal dan Pembahasan Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2017 (Matematika SMP HOTS) di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Yang di bawah langit ini ada waktunya. Tidak ada yang abadi, ayo bekerja sama membangun negeri.