100+ Soal dan Pembahasan Matematika SMA Limit Fungsi Aljabar

Calon Guru belajar matematika dasar SMP dari Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018 mata pelajaran matematika. Olimpiade MIPA Science Expo untuk tingkat SMP sederajat ini merupakan agenda tahunan oleh SMA Unggul DEL Laguboti.

Soal dan Pembahasan Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL tahun 2018 ini dapat digunakan sebagai bahan latihan dalam menghadapi Olimpiade MIPA Science Expo yang diselenggarakan oleh pihak lain atau Olimpiade MIPA Science Expo yang diselenggarakan oleh SMA Unggul DEL pada tahun ini atau tahun-tahun berikutnya. Sebelumnya Soal dan Pembahasan Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL Laguboti (Matematika) tahun 2017 ada baiknya di coba juga sebagai bahan latihan untuk mengasah kemampuan dalam bermatematik.

Soal-soal olimpiade MIPA Science Expo tingkat SMP sederajat untuk bidang lomba matematika umumnya soal yang diujikan adalah soal-soal matematika dimana tingkat kesulitan adalah setingkat OSK (Olimpiade Sains Nasional tingkat Kabupaten). Seperti apa yang disampaikan oleh panitia Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL Laguboti tahun 2019 menyampaikan tingkat kesulitan soal adalah setingkat OSK (Olimpiade Sains Nasional tingkat Kabupaten).

Gambaran silabus yang diberikan panitia seperti berikut ini:

1. Teori Bilangan

• Operasi Bilangan Bulat
• Sifat-sifat Bilangan Berpangkat
• Penarikan Akar Kuadrat
• Hal Habis Dibagi
• KPK dan FPB
• Bilangan Prima

2. Aljabar

• Relasi dan Fungsi
• Perbandingan
• Persamaan Linear Satu Variabel
• Sistem Persamaan Linear Dua dan Tiga Variabel
• Barisan dan Deret Bilangan Real
• Persamaan dan Fungsi Kuadrat

3. Geometri

• Garis dan Sudut
• Garis-garis Istimewa Segitiga
• Teorema Phytagoras
• British Flag Theorem
• Dalil Stewart, Ceva dan Menelaus
• Bramaguptha Thoerem
• Bangun Ruang

4. Statistika dan Peluang

• Kaidah Pencacahan (Aturan Penjumlahan dan Perkalian)
• Permutasi dan Kombinasi
• Koefisien Binomial
• Penyajian dan Penafsiran Data
• Peluang Suatu Kejadian

5. Kapita Selekta

• Penggunaan Matematika dalam kehidupan Sehari-hari
• Kemampuan Membaca dan Menggunakan Definisi Materi yang sudah atau belum diajarkan di SMP

Soal-soal Science Expo SMP sederajat untuk bidang lomba matematika umumnya soal yang diujikan adalah soal-soal matematika setingkat OSK (Olimpiade Sains Nasional tingkat Kabupaten). Jadi sebagai referensi tambahan, soal-soal berikut ini sangat baik dicoba juga:

• Soal dan Pembahasan OSK Matematika SMP 2019 👉Lihat Soal
• Soal dan Pembahasan OSK Matematika SMP 2018 Type 1 👉Lihat Soal
• Soal dan Pembahasan OSK Matematika SMP 2018 Type 2 👉Lihat Soal
• Soal dan Pembahasan OSK Matematika SMP 2018 Type 3 👉Lihat Soal
• Soal dan Pembahasan OSK Matematika SMP 2018 Type 4 👉Lihat Soal
• Soal dan Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 👉Lihat Soal
• Soal dan Pembahasan OSK Matematika SMP 2016 👉Lihat Soal

---

Soal Matematika Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Untuk melengkapi bahan latihan dari silabus di atas, berikut kita diskusikan soal matematika dari Olimpiade MIPA Science Expo 2018 SMA Unggul DEL Laguboti, mari kita simak dan mohon beri tanggapan untuk hal-hal yang perlu ditanggapi.

1. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Jika $A * B =\dfrac{A+B}{2}$, maka nilai dari $\left( 3 * 5 \right)*8$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6 \\
(B)\ & 8 \\
(C)\ & 12 \\
(D)\ & 16 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan defenisi $A * B =\dfrac{A+B}{2}$, maka berlaku:
$\begin{align}
\left( 3 * 5 \right)*8 &= \left( \dfrac{3+5}{2} \right)*8 \\
&= \left( 4 \right)*8 \\
&= \dfrac{4+8}{2} \\
&= \dfrac{12}{2} = 6 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 6$

2. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Jika dua dari tiga bilangan dijumlahkan hasilnya berturut-turut adalah $17, 19$ dan $23$. Jumlah ketiga bilangan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 29,5 \\
(B)\ & 39 \\
(C)\ & 49,5 \\
(D)\ & 59 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan apa yang disampaikan pada soal bahwa Jika dua dari tiga bilangan dijumlahkan hasilnya berturut-turut adalah $17, 19$ dan $23$.

Jika kita misalkan bilangan tersebut adalah $a,b,c$ maka kita peroleh persamaan sebagai berikut:
$\begin{align}
a+b &= 17 \\
a+c &= 19 \\
b+c &= 23\ \ (+) \\
\hline
2a+2b+2c &= 59 \\
2 \left( a+ b+ c \right) &= 59 \\
a+ b+ c &= \dfrac{59}{2} \\
a+ b+ c &= 29,5
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 29,5$

3. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Untuk sembarang bilangan asli $N$, notasi $N!$ menyatakan hasil perkalian bilangan bulat dari $1$ sampai $N$. Bilangan asli $n$ terbesar sehingga $5^{n}$ merupakan faktor dari hasil penjumlahan $98!+99!+100!$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 23 \\
(B)\ & 24 \\
(C)\ & 25 \\
(D)\ & 26 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Kita coba selesaikan soal di atas dengan mengeksplorasi penjumlahan berikut:
$\begin{align}
98!+99!+100! &= 98!+99 \cdot 98!+100 \cdot 99 \cdot 98! \\
&= 98! \left( 1 + 99 +100 \cdot 99 \right) \\
&= 98! \left( 100 + 9900 \right) \\
&= 98! \left( 10000 \right) \\
&= 98! \cdot 16 \cdot 5^{4}
\end{align}$

Pada bilangan $98!$ bilangan $5$ kita peroleh dari satuan $5$ dan satuan $0$, jika kita jabarkan ilustrasi perkalian pada $98!$ banyak bilangan $5$ adalah sebagai berikut:

• pada perkalian $1 \cdots 9$ ada $5 = 5^{1}$
• pada perkalian $10 \cdots 19$ ada $5 \cdot 5 = 5^{2}$
• pada perkalian $20 \cdots 29$ ada $5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{3}$
• pada perkalian $30 \cdots 39$ ada $5 \cdot 5 = 5^{2}$
• pada perkalian $40 \cdots 49$ ada $5 \cdot 5 = 5^{2}$
• pada perkalian $50 \cdots 59$ ada $5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{3}$
• pada perkalian $60 \cdots 69$ ada $5 \cdot 5 = 5^{2}$
• pada perkalian $70 \cdots 79$ ada $5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{3}$
• pada perkalian $80 \cdots 89$ ada $5 \cdot 5 = 5^{2}$
• pada perkalian $90 \cdots 98$ ada $5 \cdot 5 = 5^{2}$
• Total banyak bilangan perkalian $5$ adalah $5^{22}$

Sebagai alternatif, dapat kita gunakan aturan mencari banyak angka nol berurutan pada hasil akhir $n!$.

Misalkan $N$ adalah banyaknya angka nol pada hasil akhir $n!$, maka berlaku:
$N=\left \lfloor \dfrac{n}{5} \right \rfloor + \left \lfloor \dfrac{n}{5^{2}} \right \rfloor + \left \lfloor \dfrac{n}{5^{3}} \right \rfloor + \cdots + \left \lfloor \dfrac{n}{5^{k}} \right \rfloor$
dimana $k$ memenuhi $5^{k} \leq n$ dan $\left \lfloor x \right \rfloor$ artinya bilangan bulat yang nilainya kurang dari atau sama dengan $x$.

$\begin{align}
N &= \left \lfloor \dfrac{98}{5} \right \rfloor + \left \lfloor \dfrac{98}{5^{2}} \right \rfloor \\
&= \left \lfloor 19,.. \right \rfloor + \left \lfloor 3,.. \right \rfloor \\
&= 19 + 3 \\
&= 22
\end{align}$

Dari apa yang kita peroleh di atas, pada bilangan $98!$ banyak bilangan perkalian $5$ adalah $5^{22}$ sehingga pada bilangan $98! \cdot 16 \cdot 5^{4}$ ada sebanyak $5^{4} \cdot 5^{22}=5^{26}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 26$

4. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Pada hari selasa 18 Agustus 2018, Niko, Parnaek dan Sharon pergi berenang bersama di kolam renang "Tao Toba". Jika Niko, Parnaek dan Sharon berenang berturut-turut $5$ hari sekali, $7$ hari sekali dan $6$ hari sekali, maka mereka akan berenang bersama-sama sekali lagi pada hari...
$\begin{align}
(A)\ & \text{Senin} \\
(B)\ & \text{Selasa} \\
(C)\ & \text{Rabu} \\
(D)\ & \text{Kamis}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk mencari hari apa Niko, Parnaek dan Sharon akan berenang bersama lagi, pertama kita cari berapa hari lagi mereka akan berenang bersama dengan menggunakan konsep KPK dari $5,7,6$ yaitu $5 \times 7 \times 6=210$.

Mereka bertiga akan berenang bersama $210$ hari lagi sehingga, kita tinggal mencari hari apakah $210$ hari lagi jika hari ini adalah hari selasa.

Hari dalam seminggu ada sebanyak $7$ hari sehingga hari akan berulang setelah $7$ hari.
$210$ hari lagi sama dengan $\dfrac{210}{7}=30\ \text{sisa} 0$, artinya jika sekarang hari selasa maka $210$ hari lagi sama dengan $0$ hari lagi yaitu hari selasa.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \text{Selasa}$

5. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Nilai dari $\sqrt{1+\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{\cdots\sqrt{1+2017\sqrt{1+2018 \cdot 2020}}}}}}$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 3 \\
(C)\ & 2018 \\
(D)\ & 2019 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Soal di atas dapat kita coba selesaikan dari bentuk akar yang paling dalam yaitu:
$\begin{align}
\sqrt{1+2018 \cdot 2020} &= \sqrt{1+2018 \cdot 2020} \\
&= \sqrt{1+2018 \cdot (2018+2)} \\
&= \sqrt{1+2018^{2} + 2 \cdot 2018 } \\
&= \sqrt{\left( 2018 + 1 \right)^{2}} \\
&= \sqrt{\left( 2019 \right)^{2}} \\
&= 2019
\end{align}$
Hasil yang kita peroleh di atas merubah bentuk akar berikut ini;
$\begin{align}
\sqrt{1+2017\sqrt{1+2018 \cdot 2020}} &= \sqrt{1+2017 \cdot 2019} \\
&= \sqrt{1+2017 \cdot (2017+2)} \\
&= \sqrt{1+2017^{2} + 2 \cdot 2017 } \\
&= \sqrt{\left( 2017 + 1 \right)^{2}} \\
&= \sqrt{\left( 2018 \right)^{2}} \\
&= 2018
\end{align}$
Jika kita hitung bentuk akarnya untuk seterusnya maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
\sqrt{1+\sqrt{1+2\sqrt{1+3 \cdot 5}}} &= \sqrt{1+\sqrt{1+2\sqrt{1+3 \cdot 5 }}} \\
&= \sqrt{1+\sqrt{1+2\sqrt{16}}} \\
&= \sqrt{1+\sqrt{1+2 \cdot 4}} \\
&= \sqrt{1+ 3} \\
&= 2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2$

6. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Jika $X$ merupakan bilangan $6$-angka sehinga tiga digit pertamanya sama dengan tiga digit terakhirnya dengan urutan yang sama, misal $918918$, maka bilangan di bawah ini yang merupakan faktor dari $X$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 11 \\
(B)\ & 19 \\
(C)\ & 101 \\
(D)\ & 111 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$X$ merupakan bilangan $6$-angka sehinga tiga digit pertamanya sama dengan tiga digit terakhirnya. Dari ciri bilangan tersebut bilangan $X$ adalah bilangan yang habis dibagi $11$. Sehingga salah salah satu faktornya adalah $11$.

Ciri bilangan habis dibagi $11$ yaitu jika jumlah digitnya dengan berganti tanda dari digit satuan hasilnya habis dibagi $11$.
Misalnya $918918$, menjadi $9-1+8-9+1-8=0$, karena $0$ habis dibagi sebelas maka $918918$ habis dibagi sebelas.

Alternatif pembuktian, Misal bilangan $X$ adalah $abcabc$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
abcabc &= 100000a+10000b+1000c +100a+10b+c \\
&= 100000a+100a+10000b+10b+1000c +c \\
&= 100100a +10010b +1001c \\
&= 1001 \left( 100a + 10b + c \right) \\
&= 11 \cdot 91 \left( 100a + 10b + c \right)
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 11$

7. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Ananda ingin mengunjungi rumah Syndi setelah pulang sekolah hari ini. Ananda mengetahui nama jalan di mana Syndi tinggal, tetapi dia tidak mengetahui nomor rumahnya. Syndi menyampaikan bahwa "Nomor rumahku terdiri atas dua digit dan tepat tiga dari keempat pernyataan di bawah ini benar."
(1) Nomor rumahku merupakan bilangan prima.
(2) Nomor rumahku bilangan genap.
(3) Nomor rumahku habis dibagi 7.
(4) Salah satu digitnya adalah angka 9.
Dari informasi tersebut Ananda dapat menebak nomor rumah Syndi. Angka satuan nomor rumah Syndi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 7 \\
(D)\ & 8 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Dari keempat pernyataan di atas ada tiga pernyataan yang memenuhi, sehingga pernyataan (1) tidak benar, karena jika pernyataan (1) benar maka pernyataan (2) dan (3) salah.

Karena pernyataan (1) sudah salah, maka pernyataan (2)(3)(4) adalah benar. Dari pernyataan (2)(4) nomor yang mungkin adalah $92$, $94$, $96$, $98$ dan dengan syarat pernyataan (3) nomor rumah yang memenuhi adalah $98$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 8$

8. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Bilangan "reprima" adalah bilangan prima dua digit sehingga $\overline{ab}$ dan $\overline{ab}$ merupakan bilangan prima. Banyak bilangan reprima di antara $10$ dan $99$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6 \\
(B)\ & 9 \\
(C)\ & 10 \\
(D)\ & 12 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Dari defenisi Bilangan "reprima" adalah bilangan prima dua digit sehingga $\overline{ab}$ dan $\overline{ab}$ merupakan bilangan prima.

Bilangan prima dua digit diantara $10$ dan $100$ adalah $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$ $61$ $67$ $71$ $73$ $79$ $83$ $89$ $97$ total ada $25$ bilangan prima.

Bilangan prima $21$ bukan bilangan reprima karena $12$ bukan bilangan prima, berdasarkan contoh ini bilangan prima diantara $10$ dan $99$ yang salah satunya genap pasti bukan bilangan reprima.

Bilangan prima yang kedua angkanya adalah bilangan ganjil adalah $11$ $13$ $17$ $19$ $31$ $37$ $53$ $59$ $71$ $73$ $79$ $97$, berikut dari bilangan prima yang sisa yang merupakan bilangan reprima adalah $11$ $13$ $17$ $31$ $37$ $71$ $73$ $79$ $97$, total ada $9$ bilangan reprima.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 9$

9. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Himpunan bilangan bulat dikatakan tertutup terhadap operasi penjumlahan jika hasil penjumlahan dua bilangan bulat tersebut adalah bilangan bulat. Himpunan bilangan bulat dikatakan tidak tertutup terhadap operasi pembagian karena ada hasil bagi dari sepasang bilangan ulat yang bukan bilangan bulat. Jika $A=\left\{0,2,4,6, \cdots \right\}$ adalah himpunan bilangan bulat positif genap, maka pernyataan beikut yang benar adalah...
$(A)$ Himpunan $A$ tertutup terhadap operasi perkalian saja
$(B)$ Himpunan $A$ tertutup terhadap operasi penjumlahan saja
$(C)$ Himpunan $A$ tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian saja
$(D)$ Himpunan $A$ tertutup terhadap operasi penjumlahan dan pengurangan saja

Alternatif Pembahasan:

Himpunan $A=\left\{0,2,4,6, \cdots \right\}$ adalah himpunan bilangan bulat positif genap.

Hasil penjumlahan dua bilangan genap adalah bilangan genap, dan hasil perkalian dua bilangan genap adalah bilangan genap. Sehingga pernyataan yang paling tepat adalah pernyataan $(C)$ Himpunan $A$ tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian saja.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)$ Himpunan $A$ tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian saja

10. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Jika $f(x+2)=(x-13)(x+14)$, maka nilai dari $f(x+5)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & (x-10)(x-17) \\
(B)\ & (x-10)(x+17) \\
(C)\ & (x-11)(x-18) \\
(D)\ & (x+13)(x-15) \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Dari fungsi $f(x+2)=(x-13)(x+14)$ yang diharapkan adalah $f(x+5)$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
f(x+2)\ &= (x-13)(x+14) \\
f(x+2)\ &= (x+2-15)(x+2+12) \\
f(x)\ &= (x-15)(x+12) \\
f(x+5)\ &= (x+5-15)(x+5+12) \\
&= (x-10)(x+17) \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ (x-10)(x+17)$

11. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Sebanyak $24$ anak dapat menyelesaikan suatu pekerjaan dalam waktu $90$ jam. Setelah mereka bekerja selama $46$ jam, mereka istirahat selam $12$ jam. Jika pekerjaan tersebut harus selesai tepat waktu, banyaknya anak yang harus ditambahkan adalah...anak
$\begin{align}
(A)\ & 6 \\
(B)\ & 9 \\
(C)\ & 10 \\
(D)\ & 12 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Sebuah pekerjaan dalam waktu $90$ jam dapat diselesaikan $24$ anak.

Setelah mereka bekerja selama $46$ jam, mereka beristirahat selama $12$ jam. Sehingga sisa waktu pengerjaan adalah $90-12-46=32$ jam.

Pekerjaan jika dikerjakan oleh $24$ anak dapat selesai dalam waktu $90-46=44$ jam, sedangkan waktu pekerjaan hanya sisa $32$ jam. Sehingga agar pekerjaan selesai tepat waktu, harus dilakukan penambahan pekerja.

Misal banyak anak yang dibutuhkan untuk menyelesaikan pekerjaan selama $32$ jam adalah $x$ anak dan untuk menyelesaikan pekerjaan selama $44$ jam adalah $24$ anak, sehingga berlaku:
$\begin{align}
44 \cdot 24 &= 32 \cdot x \\
\dfrac{44 \cdot 24}{32} &= x \\
\dfrac{1056}{32} &= x \\
33 &= x
\end{align}$
Banyak anak yang harus ditambah adalah $33-24=9$ anak.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 9$

12. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Mula-mula beberapa tempat penyimpanan harta karun kosong. Jika $9$ koin emas dimasukkan ke dalam kantong emas, ada $2$ kantung yang kosong. Jika dimasukkan $6$ koin emas ke dalam masing-masing kantung terdapat $3$ koin emas yang tersisa. Maka, banyak koin emas yang tersedia adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 9 \\
(B)\ & 27 \\
(C)\ & 36 \\
(D)\ & 45 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Misalkan banyak koin adalah $x$ dan banyak kantung adalah $y$, sehingga dapat kita tuliskan persamaan sebagai berikut:

• Jika $9$ koin emas dimasukkan ke dalam kantong emas, ada $2$ kantung yang kosong: $x=9(y-2)$ atau $x=9y-18$
• Jika dimasukkan $6$ koin emas ke dalam masing-masing kantung terdapat $3$ koin emas yang tersisa: $x-3=6y$ atau $x=6y+3$

Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
x = 9y-18 & \\
x = 6y+3 &\ (-) \\
\hline
0 = 3y - 21 & \\
21 = 3y & \\
7 = y & \\
x = 6(7)+3 & \\
x = 45 & \\
\end{array} $
Banyak koin emas adalah $x=45$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 45$

13. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Operasi $*$ untuk himpunan $S= \left\{0,1,2,3,4,5,6 \right\}$ didefenisikan sesuai tabel di bawah ini

$*$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$2$	$0$	$2$	$4$	$6$	$1$	$3$	$5$
$3$	$0$	$3$	$6$	$2$	$5$	$1$	$4$
$4$	$0$	$4$	$1$	$5$	$2$	$6$	$3$
$5$	$0$	$5$	$3$	$1$	$6$	$4$	$2$
$6$	$0$	$6$	$5$	$4$	$3$	$2$	$1$

Jika untuk setiap bilangan bulat $n$ yang lebih besar dari $1$ didefenisikan $x^{n}=x^{n-1} * x$, maka $5^{2018}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 5 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan defenisi $x^{n}=x^{n-1} * x$ dan tabel di atas, kita peroleh:
$\begin{align}
x^{n} &= x^{n-1} * x \\
5^{1} &= 5 \\
\hline
5^{2} &= 5^{2-1} * 5 = 5 * 5 = 4 \\
\hline
5^{3} &= 5^{3-1} * 5 = 5^{2} * 5 \\
&= 4 * 5 = 6 \\
\hline
5^{4} &= 5^{4-1} * 5 = 5^{3} * 5 \\
&= 6 * 5 = 2 \\
\hline
5^{5} &= 5^{5-1} * 5 = 5^{4} * 5 \\
&= 2 * 5 = 3 \\
\hline
5^{6} &= 5^{6-1} * 5 = 5^{5} * 5 \\
&= 3 * 5 = 1 \\
\hline
5^{7} &= 5^{7-1} * 5 = 5^{6} * 5 \\
&= 1 * 5 = 5 \\
\hline
5^{8} &= 5^{8-1} * 5 = 5^{7} * 5 \\
&= 5 * 5 = 4 \\
\hline
5^{9} &= 5^{9-1} * 5 = 5^{8} * 5 \\
&= 4 * 5 = 6 \\
\hline
5^{10} &= 5^{10-1} * 5 = 5^{9} * 5 \\
&= 6 * 5 = 2 \\
\end{align} $
Dari data yang kita peroleh di atas nilai $5^{n} = 5^{n-1} * 5$ terjadi pengulangan setelah $6$ kali, sehingga untuk mendapatkan nilai dari $5^{2018}$ kita butuh sisa pembagian $2018 \div 6 = 336\ \text{sisa}\ 2$.

Nilai dari $5^{2018}$ sama dengan $5^{2}=4$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4$

14. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Jika $i^{2}+1=0$, maka nilai dari $i^{2019}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & i \\
(D)\ & -i \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Dari persamaan $i^{2}+1=0$ kita peroleh:
$\begin{align}
i^{2}+1 &=0 \\
i^{2} &= -1 \\
i^{2} &= -1 \\
\hline
i^{2019} &= i^{2018} \cdot i^{1} \\
&= \left( i^{2018} \right) \cdot i^{1} \\
&= \left( i^{2} \right)^{1009} \cdot i \\
&= \left( -1 \right)^{1009} \cdot i \\
&= -1 \cdot i \\
&= - i
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -i$

15. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Jika dua digit pertama dari hasil $\sqrt{2018}$ adalah $\overline{ab}$, maka nilai $a \times b =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 12 \\
(B)\ & 16 \\
(C)\ & 20 \\
(D)\ & 24 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Nilai $45^{2}=2025$ dan $44^{2}=1936$, karena $1936 \leq 2018 \leq 2025$ atau $44^{2} \leq 2018 \leq 45^{2}$ sehingga $44 \leq \sqrt{2018} \leq 45$.

Dari nilai $44 \leq \sqrt{2018} \leq 45$, dapat kita simpulkan nilai $\sqrt{2018}=44,...$ dua digit pertama adalah $44$, sehingga nilai $a \times b= 4 \times 4 =16$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 16$

16. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Perhatikan gambar berikut:

Keliling poligon tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 14 \\
(B)\ & 20 \\
(C)\ & 28 \\
(D)\ & 48 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Dari gambar poligon di atas jika kita modifikasi bentuknya tanpa merubah ukuran kelilingnya dapat kita gambarkan seperti berikut ini:

Keliling poligon adalah $8+8+6+6=28$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 28$

17. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Nilai $\dfrac{x}{y}$ yang memenuhi $\dfrac{4}{x+y}+\dfrac{7}{x-y}=3$ dan $\dfrac{3}{x+y}-\dfrac{5}{x-y}=-2$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{9}{8} \\
(B)\ & \dfrac{11}{8} \\
(C)\ & \dfrac{13}{8} \\
(D)\ & \dfrac{15}{8} \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Kita coba lakukan manipulasi aljabar pada kedua persamaan untuk mendapatkan nilai $\dfrac{x}{y}$
$\begin{align}
\dfrac{4}{x+y}+\dfrac{7}{x-y} & =3 \\
\dfrac{4x-4y+7x+7y}{(x+y)(x-y)} & =3 \\
\dfrac{11x+3y}{3} & =(x+y)(x-y) \\
\hline
\dfrac{3}{x+y}-\dfrac{5}{x-y} & =-2 \\
\dfrac{3x-3y-5x-5y}{(x+y)(x-y)} & =-2 \\
\dfrac{-2x-8y}{-2} & =(x+y)(x-y) \\
\dfrac{ x+4y}{1} & =(x+y)(x-y) \\
\end{align}$
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{11x+3y}{3} & = \dfrac{x+4y}{1} \\
11x+3y & = 3x+12y \\
11x-3x & = 12y-3y \\
8x & = 9y \\
\dfrac{x}{y} & = \dfrac{9}{8}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{9}{8}$

18. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Boygabe bersepeda menuruni jalan dari kota Balige sampai kota Porsea. Grafik di bawah ini menunjukkan hubungan antara jarak tempuh $(km)$ dan waktu ia bersepeda $(jam)$

Kecepatan rata-rata Boygabe menuruni jalan tersebut adalah...$\frac{km}{jam}$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 2,5 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 5 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Kecepatan rata-rata adalah perubahan posisi (perpindahan) yang ditempuh oleh benda tiap satuan waktu.
Rumus kecepatan rata-rata dapat kita tuliskan sebagai berikut:
$\begin{align}
\dfrac{\Delta s}{\Delta t} & = \dfrac{\Delta s}{\Delta t} \\
& = \dfrac{35-0}{7-0} \\
& = \dfrac{35 }{7 } = 5
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5$

19. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Pada gambar berikut, pilih titik $D$ pada $\overline{BC}$ sehingga $\bigtriangleup ACD$ dan $\bigtriangleup ABD$ mempunyai keliling yang sama.

Luas segitiga $\bigtriangleup ABD$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{4} \\
(B)\ & \dfrac{3}{2} \\
(C)\ & \dfrac{12}{5} \\
(D)\ & \dfrac{5}{2} \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Segitiga $ABC$ dengan panjang sisi $3,4,5$ maka segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku di $A$ karena $3,4,5$ adalah bilangan tripel phytagoras.

Jika kita pilih titik $D$ pada garis $BC$ lalu kita misalkan $AD=x$ dan $CD=y$ maka jika kita berikan keterangan pada gambar menjadi seperti berikut ini:

Titik $D$ mengakibatkan keliling $ACD$ sama dengan keliling $ABD$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
AD+DC+CA & = AB+BD+DA \\
3+x+y & = 4+x+5-y \\
3+x+y & = 9+x-y \\
3-9 & = -x+x-y-y \\
-6 & = -2y \\
3 & = y \\
\end{align}$

Luas segitiga $ABC$ dapat kita hitung dengan dua cara, yaitu:
$\begin{align}
\dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC & = \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot AE \\
AB \cdot AC & = BC \cdot AE \\
4 \cdot 3 & = 5 \cdot AE \\
\dfrac{12}{5} & = AE \\
\hline
\left[ ABD \right] & = \left[ ABC \right]-\left[ ACD \right] \\
& = 6 - \dfrac{1}{2} \cdot CD \cdot AE \\
& = 6 - \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot \dfrac{12}{5} \\
& = 6 - \dfrac{18}{5} \\
& = \dfrac{30}{5} - \dfrac{18}{5} \\
&=\dfrac{12}{5}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{12}{5} $

20. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Titik $P$ terletak di dalam persegi panjang $ABCD$ sedemikian sehingga panjang $AP=5$, panjang $BP=\sqrt{160}$ dan panjang $DP=3$. Tentukan panjang $CP$
$\begin{align}
(A)\ & 11 \\
(B)\ & 12 \\
(C)\ & 13 \\
(D)\ & 14 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan menggunakan teorema pythagoras.

Jika keterangan pada soal kita gambarkan, dan kita beri tambahan ruas garis yaitu ruas garis $a$, ruas garis $b$, ruas garis $c$ dan ruas garis $d$ maka akan kita peroleh gambar seperti beikut ini:

Dari gambar di atas dan teorema phytagoras, maka akan kita peroleh
$\begin{align}
a^{2}+d^{2} &= 5^{2}=25 \\
a^{2}+b^{2} &= \sqrt{160}^{2}=160 \\
c^{2}+d^{2} &= 3^{2}=9\ (+) \\
\hline
2a^{2}+ b^{2}+c^{2}+2d^{2} &= 194 \\
2a^{2}+2d^{2}+ b^{2}+c^{2} &= 194 \\
2 \left( a^{2}+ d^{2} \right) + b^{2}+c^{2} &= 194 \\
2 \left( 25 \right) + b^{2}+c^{2} &= 194 \\
50 + b^{2}+c^{2} &= 194 \\
b^{2}+c^{2} &= 194-50 \\
b^{2}+c^{2} &= 144
\end{align}$
Panjang $PC$ adalah:
$\begin{align}
PC^{2} &= b^{2}+c^{2} \\
PC^{2} &= 144 \\
PC &= \sqrt{144}=12
\end{align}$

Jika sudah pernah mendengar Teorema Bendera Inggris atau lebih dikenal dengan nama "British Flag Theorem" dapat digunakan. Dari gambar di atas Teorema Bendera Inggris dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
PA^{2}+PC^{2} &= PB^{2}+PD^{2} \\
\left( 5 \right)^{2}+PC^{2} &= \left( \sqrt{160} \right)^{2} + \left( 3 \right)^{2} \\
25 + PC^{2} &= 160+9 \\
PC^{2} &= 169-25 \\
PC &= \sqrt{144}=12 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 12$

21. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Tiga lingkaran kecil identik saling bersinggungan dengan lingkaran besar yang berjari-jari $24$ cm seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut.

Panjang jari-jari lingkaran kecil adalah...cm
$\begin{align}
(A)\ & 6 \\
(B)\ & 8 \\
(C)\ & 12 \\
(D)\ & 16 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan menggambar tiga lingkaran yang ekuivalen dengan soal sehingga kita peroleh gambar seperti berikut ini:

Dari gambar di atas kita peroleh bahwa:

• Titik pusat keenam lingkaran kita hubungkan maka akan kita peroleh segienam beraturan;
• Segienam beraturan dibentuk oleh enam segitiga sama sisi, pada gambar di atas kita ambil segitiga $OAB$ sebagai contoh;
• Segitiga $OAB$ adalah segitiga sama sisi, sehingga panjang $OA=AB=2r$ dan jari-jari lingkaran besar $3r=24$ maka jari-jari lingkaran kecil $r=8$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 8$

22. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Pada $\bigtriangleup ABC$, titik $D$ terletak pada ruas $\overline{AC}$ sehingga $BD=DC$ dan besar $\angle BCD=70^{\circ}$. Besar $\angle ADB$ dalam derajat adalah...

$\begin{align}
(A)\ & 100 \\
(B)\ & 120 \\
(C)\ & 135 \\
(D)\ & 140 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Pada soal disampaikan bahwa titik $D$ terletak pada ruas $\overline{AC}$ sehingga $BD=DC$, ini membentuk $\bigtriangleup BCD$ adalah sama kaki.

Karena $\bigtriangleup BCD$ adalah sama kaki sehingga $\angle BCD=70^{\circ}=\angle BCD$ dan $\angle BDC=180^{\circ}-140^{\circ}=40^{\circ}$. Besar $\angle ADB=180^{\circ}-40^{\circ}=140^{\circ}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 140$

23. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Gambar berikut menunjukkan persegi panjang $ABCD$.

Diketahui titik $E,F,G,$ dan $H$ berturut-turut menyatakan titik tengah ruas garis $AB$, ruas garis $BD$, ruas garis $CD$ dan ruas garis $AD$. Jika luas segiempat $AEPH$, $DGPH$ dan $GPFC$ berturut-turut adalah $19\ cm^{2}$, $14\ cm^{2}$ dan $11\ cm^{2}$, maka luas segiempat $EBFP$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 15\ cm^{2} \\
(B)\ & 16\ cm^{2} \\
(C)\ & 17\ cm^{2} \\
(D)\ & 18\ cm^{2} \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Diketahui pada persegi panjang $ABCD$ luas segiempat $[AEPH]=19\ cm^{2}$, $[DGPH]=14\ cm^{2}$ dan $[GPFC]=11\ cm^{2}$.

Pada persegi panjang $ABCD$ terdapat titik $P$, dan titik $E,F,G,H$ berturut-turut menyatakan titik tengah ruas garis $AB$, ruas garis $BD$, ruas garis $CD$ dan ruas garis $AD$, maka untuk menghitung luas segiempat $EBFP$ berlaku:
$\begin{align}
[EBFP] + [DGPH] &= [AEPH] + [GPFC] \\
[EBFP] + 14 &= 19 + 11 \\
[EBFP] &= 30 - 14 \\
[EBFP] &= 16 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 16\ cm^{2}$

24. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Jika $FPB(x,y)=15$ dan $KPK(x,y)=210$, maka nilai dari $xy=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 3015 \\
(B)\ & 3150 \\
(C)\ & 3505 \\
(D)\ & 3510 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Jika $y$ habis dibagi oleh $x$ maka $FPB$ dari $x$ dan $y$ adalah $x$ dan $KPK$ dari $x$ dan $y$ adalah $y$.

Jika $FPB(x,y)=15$ dan $KPK(x,y)=210$
Artinya kita bisa memilih sembarang bilangan $x$ dan $y$ yang mengandung faktor $15$ dan hasil kali kedua bilangan adalah $15 \cdot 210=3150$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3150$

25. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Nilai dari $12 \div 4 \left( 1+2 \right)=\cdots $
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 9 \\
(D)\ & 13 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
12 \div 4 \left( 1+2 \right) &=12 \div 4 \left( 3 \right) \\
&=3 \left( 3 \right) \\
&=9
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 9$

26. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Titik $O$ merupakan pusat segi delapan beraturan $ABCDEFGH$, dan $X$ merupakan titik tengah ruas garis $AB$. Jika luas segi delapan beraturan adalah $1$ satuan luas maka luas daerah yang di arsir adalah... satuan luas

$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{11}{32} \\
(B)\ & \dfrac{3}{8} \\
(C)\ & \dfrac{13}{32} \\
(D)\ & \dfrac{7}{16} \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Segi delapan beraturan dibentuk oleh $8$ segitiga sama kaki yang kongruen, sehingga luas segi delapan beraturan sama dengan $8$ kali luas segitiga sama kaki. Jika luas segi delapan beraturan adalah $1$ satuan luas maka luas satu segitiga sama kaki adalah $\dfrac{1}{8}$ satuan luas.

Daerah yang di arsir pada gambar adalah $3\dfrac{1}{2}$ segitiga sama kaki, sehingga luasnya adalah $3\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{2} \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{16}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{7}{16}$

27. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Misalkan $S,\ U,\ D$ merupakan tiga bilangan satu digit berbeda yang memenuhi
$\begin{align}
& S\ U\ D\ \\
& S\ U\ D\ \\
& S\ U\ D\ (+) \\
\hline
& D\ D\ D
\end{align}$
Maka nilai dari $S \times U \times D=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 35 \\
(B)\ & 40 \\
(C)\ & 45 \\
(D)\ & 50 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Dari keterangan yang disampaikan pada soal, $SUD$ adalah sebuah bilangan yang terdiri dari $3$ angka beda.

• Jika $D$ dijumlahkan tiga kali hasilnya berupa bilangan dengan satuan $D+D+D=D$ sehingga bilangan yang mungkin hanya $5$
• Dari hasil $D=5$ yang sebelumnya sudah kita peroleh, maka bilangan $1+U+U+U=5$ bilangan yang mungkin untuk $U$ adalah $8$
• Dari hasil $D=5$ dan $U=8$ yang sebelumnya sudah kita peroleh, maka bilangan $2+S+S+S=5$ bilangan yang mungkin untuk $S$ adalah $8$

Maka nilai dari $S \times U \times D=1 \times 8 \times 5 = 40$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 40$

28. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Angka satuan dari $13^{2019}$ adalah
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 3 \\
(C)\ & 7 \\
(D)\ & 9 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menentukan angka satuan dari $13^{2019}$ kita dapat menggunakan modulo $(10)$ atau menggunkan pola angka satuan $13$ jika dipangkatkan.

Pertama kita coba dengan menggunakan modulo $(10)$
$\begin{align}
\left( 13 \right )^{2019} &\equiv 13^{2019}\ mod\ \left ( 10 \right ) \\
&\equiv (10+3)^{2019}\ mod\ \left ( 10 \right ) \\
&\equiv (3)^{2019}\ mod\ \left ( 10 \right ) \\
&\equiv (3)^{2018} \cdot 3 \ mod\ \left ( 10 \right ) \\
&\equiv \left( 3 ^{2} \right)^{1009} \cdot 3 \ mod\ \left ( 10 \right ) \\
&\equiv \left( -1 \right)^{1009} \cdot 3 \ mod\ \left ( 10 \right ) \\
&\equiv -1 \cdot 3 \ mod\ \left ( 10 \right ) \\
&\equiv -3 \ mod\ \left ( 10 \right ) \\
&\equiv 7 \ mod\ \left ( 10 \right ) \\
\end{align}$
Angka satuan $\left( 13 \right )^{2019}$ adalah $7$.

Kedua dengan menggunakan pola satuan bilangan $13$ dipangkatkan:
$\begin{align}
\left( 13 \right )^{1}\ & \text{satuannya adalah}\ 3 \\
\left( 13 \right )^{2}\ & \text{satuannya adalah}\ 9 \\
\left( 13 \right )^{3}\ & \text{satuannya adalah}\ 7 \\
\left( 13 \right )^{4}\ & \text{satuannya adalah}\ 1 \\
\left( 13 \right )^{5}\ & \text{satuannya adalah}\ 3 \\
\left( 13 \right )^{6}\ & \text{satuannya adalah}\ 9 \\
& \vdots
\end{align}$
Jika kita perhatikan pola angka satuan berulang setelah $4$ kali, sehingga angka satuan dari $\left( 13 \right )^{2019}$ sama dengan angka satuan $\left( 13 \right )^{3}$. Angka $3$ kita peroleh dari sisa pembagian $\dfrac{2019}{4}=504\ \text{sisa}\ 3$.

Angka satuan $\left( 13 \right )^{2019}$ sama dengan angka satuan $\left( 13 \right )^{3}$ yaitu $7$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7$

29. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Dodo memerlukan waktu $2$ jam untuk mengecat dinding seluas $20\ m^{2}$, sedangkan Rudi memerlukan waktu $3$ jam untuk mengecat ukuran luas yang sama. Secara bersama-sama, mereka mengecat dinding seluas $800\ m^{2}$. Jika masing-masing mereka bekerja $8$ jam sehari, jumlah hari yang diperlukan untuk menyelesaikan pengecatan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5\ \text{hari} \\
(B)\ & 6\ \text{hari} \\
(C)\ & 7\ \text{hari} \\
(D)\ & 8\ \text{hari}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Dodo dapat mengecat dinding seluas $20\ m^{2}$ dalam waktu $2$ jam, sehingga kecepatannya bekerja dalam satu jam adalah $V_{D}=\dfrac{s}{t}=\dfrac{20}{2}$.
Rudi dapat mengecat dinding seluas $20\ m^{2}$ dalam waktu $2$ jam, sehingga kecepatannya bekerja dalam satu jam adalah $V_{R}=\dfrac{s}{t}=\dfrac{20}{3}$.

Jika mereka berdua bekerja bersama selama satu jam, kecepatan mereka bekerja menjadi:
$\begin{align}
V_{T} &= V_{D} + V_{R} \\
&= \dfrac{20}{2} + \dfrac{20}{3} \\
&= \dfrac{60+40}{6} \\
&= \dfrac{100}{6}\ \dfrac{m^{2}}{jam}
\end{align}$
Jika mereka bekerja $8$ jam satu hari maka mereka dapat menyelesaikan pekerjaan $8\ \text{jam}\ \times \dfrac{100}{6}\ \dfrac{m^{2}}{jam}= \dfrac{400}{3}\ m^{2}$.

Untuk menyelesaikan pekerjaan $800\ m^{2}$ maka banyak hari yang dibutuhkan adalah:
$\begin{align}
\dfrac{800\ m^{2}}{\dfrac{400}{3}\ m^{2}} &= \dfrac{800\ m^{2}}{\dfrac{400}{3}\ m^{2}} \\
&= 800 \times \dfrac{3}{400} \\
&= 6
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6\ \text{hari}$

30. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Sharon mempunyai $14$ kubus satuan yang disusun di atas tanah seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut. Sharon mewarnai seluruh permukaan yang tampak saja. Luas yang diwarnai dalam meter persegi adalah...

$\begin{align}
(A)\ & 33 \\
(B)\ & 34 \\
(C)\ & 35 \\
(D)\ & 36
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Luas permukaan kubus yang di cat pada lantai tiga adalah $5$ satuan luas.
Luas permukaan kubus yang di cat pada lantai dua adalah $8+4-1=11$
Luas permukaan kubus yang di cat pada lantai satu adalah $12+9-4=17$

Total permukaan kubus yang di cat adalah $5+11+17=33$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 33$

31. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Di kelas Pak Panjaitan, siswa perempuan empat lebih banyak daripada siswa laki-laki. Jika total siswa di kelas Pak Panjaitan adalah $28$ orang, maka perbandingan jumlah siswa perempuan dan siswa laki-laki adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3\ :\ 4 \\
(B)\ & 4\ :\ 3 \\
(C)\ & 3\ :\ 2 \\
(D)\ & 7\ :\ 4
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Misal banyak siswa laki-laki adalah $L$, banyak siswa perempuan adalah $P$. Berdasarkan keterangan soal maka kita peroleh persamaan sebagai berikut;
$\begin{align}
P &= 4+L \\
P+L &= 28 \\
4+L+L &= 28 \\
2L &= 24 \\
L &= 12 \\
P &= 16 \\
\hline
\dfrac{P}{L} &= \dfrac{16}{12} \\
&= \dfrac{4}{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4\ :\ 3$

32. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Sebuah kotak berisi lima buah kartu yang telah diberi nomor $1,2,3,4,$ dan $5$. Tiga buah kartu dipilih secara acak, maka peluang angka $4$ merupakan bilangan paling besar dari ketiga angka yang telah dipilih adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{10} \\
(B)\ & \dfrac{1}{5} \\
(C)\ & \dfrac{3}{10} \\
(D)\ & \dfrac{2}{5}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Teorema peluang kejadian $E$ adalah $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}$,
dimana $n(E)$ adalah banyak kemungkinan yang diharapkan terjadi, dan $n(S)$ adalah banyak kemungkinan semua yang mungkin terjadi.

Untuk kejadian $(E)$ seperti yang disampaikan di atas, banyak kemungkinan kejadian yang akan terjadi dari pemilihan $3$ kartu dari $5$ kartu yaitu: $(1,2,3),$ $(1,2,4),$ $(1,2,5),$ $(1,3,4),$ $(1,3,5),$ $(1,4,5),$ $(2,3,4),$ $(2,3,5),$, $(2,4,5),$ $(3,4,5),$
banyak $n(S)=10$, jika sudah bisa menggunakan aturan kombunasi dapat diguankan yaitu $C_{3}^{5}=\dfrac{5!}{3! \cdot (5-3)!}=\dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2!}=10$.

Kejadian yang diharapkan yaitu $(1,2,4),$ $(1,3,4),$ dan $(2,3,4)$, sehingga $n(E)=3$.

$\begin{align}
P(E) &= \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
&= \dfrac{3}{10}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3}{10}$

33. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Bilangan bulat dari $1000$ sampai $9999$ dipilih secara acak. Peluang bahwa bilangan yang dipilih ganjil dan semua digitnya berbeda adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{14}{75} \\
(B)\ & \dfrac{56}{225} \\
(C)\ & \dfrac{107}{400} \\
(D)\ & \dfrac{7}{25}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Teorema peluang kejadian $E$ adalah $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}$,
dimana $n(E)$ adalah banyak kemungkinan yang diharapkan terjadi, dan $n(S)$ adalah banyak kemungkinan semua yang mungkin terjadi.

Banyak bilangan buat dari $1000$ sampai $9999$ adalah $9999-1000+1=9000$, dan akan dipilih sebuah bilangan sehingga $n(S)=9000$.

Kejadian yang diharapkan adalah bilangan ganjil dan semua digitnya berbeda, misalnya $1235, 4657, \cdots$
Untuk menghitung $n(E)$ kita gunakan aturan kaidah pencacahan, yaitu
$n(E)=8 \times 8 \times 7 \times 5=2240$.

• Angka $5$ pada satuan karena karena angka yang mungkin menempati posisi itu adalah $1,3,5,7,9$
• Angka $8$ pada ribuan karena angka yang mungkin menempati posisi itu adalah $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ tetapi satu angka sudah dipakai pada satuan sehinggga banyak angka yang mungkin tinggal $9-1=8$
• Angka $8$ pada ratusan karena angka yang mungkin menempati posisi itu adalah $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ tetapi dua angka sudah dipakai pada satuan dan ribuan sehinggga banyak angka yang mungkin tinggal $10-2=8$
• Angka $7$ pada puluhan karena angka yang mungkin menempati posisi itu adalah $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ tetapi tiga angka sudah dipakai pada satuan, ribuan dan ratusan sehinggga banyak angka mungkin tinggal $10-3=7$

$\begin{align}
P(E) &= \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
&= \dfrac{2240}{9000} \\
&= \dfrac{56}{225}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{56}{225}$

34. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Jika $a=\sqrt{ \dfrac{b}{1-b} }$, maka $b$ dinyatakan dalam $a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & b=\dfrac{1+a^{2}}{a^{2}} \\
(B)\ & b=\dfrac{a^{2}}{\left(1+a \right)^{2}} \\
(C)\ & b=\dfrac{\left(1+a \right)^{2}}{ a^{2}} \\
(D)\ & b=\dfrac{a^{2}}{1+a^{2}} \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Dengan manipulasi aljabar, kita coba menemukan $b$ dinyatakan dalam $b$;

$\begin{align}
a &=\sqrt{ \dfrac{b}{1-b} } \\
a^{2} &= \dfrac{b}{1-b} \\
a^{2} \left(1-b \right) &= b\\
a^{2} - ba^{2} &= b\\
a^{2} &= b + ba^{2}\\
a^{2} &= b \left( 1+a^{2} \right) \\
\dfrac{a^{2}}{1+a^{2}} &= b
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ b=\dfrac{a^{2}}{1+a^{2}}$

35. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Dua bilangan memiliki perbandingan $3:7$. Jika $21$ ditambahkan ke masing-masing bilangan, maka perbandingannya menjadi $1:3$. Selisih kedua bilangan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 63 \\
(B)\ & 84 \\
(C)\ & 113 \\
(D)\ & 147 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Kita misalkan kedua bilangan tersebut adalah $a$ dan $b$;
$\begin{align}
\dfrac{a}{b} &= \dfrac{3}{7}=\dfrac{3x}{7x} \\
\dfrac{1}{3} &= \dfrac{3x+21}{7x+21} \\
7x+21 &= 3 \left( 3x+21 \right) \\
7x+21 &= 9x+ 63 \\
21-63 &= 9x-7x \\
-42 &= 2x \\
-21 &= x \\
\hline
a &= 3x =-63 \\
b &= 7x =-147
\end{align}$
Selisih $a$ dan $b$ adalah $-63-(-147)=84$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 84$

36. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Nilai paling sederhana dari $20182018 \times 20182020 - 20182017 \times 20182021$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 3 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Kita coba selesaikan dengan mengubah bilangan menjadi seperti berikut ini;
$\begin{align}
20182018 &= a \\
20182020 &= a+2 \\
20102017 &= a-1 \\
20102021 &= a+3 \\
\hline
a \times (a+2) - (a-1) \times (a+3) &= a^{2}+2a - \left( a^{2}+3a-a-3 \right) \\
&= a^{2}+2a - a^{2} -2a+3 \\
&= 3 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3$

37. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Jika $200 \leq a \leq 400$ dan $600 \leq b \leq 1200$, nilai pecahan $\dfrac{b}{a}$ yang paling besar adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{2} \\
(B)\ & 3 \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 300 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Agar pecahan $\dfrac{b}{a}$ yang paling besar nilainya, maka nilai $b$ yang kita harapkan adalah yang terbesar dan nilai $a$ yang terkecil. Sehingga kita peroleh nilai $\dfrac{b}{a}$ yang paling besar adalah $\dfrac{1200}{200}=6$;

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6$

38. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Toko laris memberikan potongan harga $50 \%$ unttuk semua barang yang dijual. Lalu, di hari sabtu ada tambahan potongan harga $20 \%$ dari harga yang telah dituliskan. Jika harga barang semula adalah $Rp180.000,00$ maka pada hari Sabtu harga barang menjadi...
$\begin{align}
(A)\ & Rp54.000,00 \\
(B)\ & Rp72.000,00 \\
(C)\ & Rp90.000,00 \\
(D)\ & Rp108.000,00 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Harga barang pada hari Sabtu mendapat dua kali pemotongan, pertama $20 \%$ dari harga yang tertulis dan $50 \%$ untuk semua harga yang dijual.

Sehingga jika harga barang $Rp180.000,00$ maka harga barang hari sabtu adalah:
$\begin{align}
\text{Harga}_{sabtu} &= 180.000 - 20% \times 180.000 \\
&= 180.000 - 36.000 \\
&= 144.000 \\
\hline
\text{Harga}_{sabtu} &= 144.000 - 50% \times 144.000 \\
&= 144.000 - 72.000 \\
&= 72.000
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ Rp72.000,00$

39. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Nilai paling sederhana dari: $\dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{1+2+3+4+5+6+7+8}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1.020 \\
(B)\ & 1.120 \\
(C)\ & 1.220 \\
(D)\ & 2.240 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{1+2+3+4+5+6+7+8} \\
&= \dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{4 \cdot (1+8)} \\
&= \dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{36} \\
&= 4 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 8 \\
&= 1120
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1120$

40. Soal Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018

Di atas lantai berukuran persegi disusun ubin persegi kecil yang berukuran sama. Jika banyak ubin yang terletak pada kedua diagonal ada $37$ buah, maka banyak ubin yang digunakan menutupi seluruh lantai adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 148 \\
(B)\ & 324 \\
(C)\ & 361 \\
(D)\ & 1296 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Jika kita eksplorasi pada sebuah persegi sembarang seperti contoh berikut ini, persegi berukuran $7 \times 7$ banyak ubin yang terletak pada kedua diagonal adalah $3 \times 4 + 1=13$.

Dengan banyak ubin yang terletak pada kedua diagonal adalah $13$ maka kita peroleh $(13-1) \div 4 =3$. Banyak ubin keseluruhan adalah $(3 \times 2 + 1)^{2} =7^{2}=49$.

Jika hasil eksplorasi di atas kita terapkan pada banyak ubin yang terletak pada kedua diagonal ada $37$ buah, maka kita peroleh $(37-1) \div 4 =9$. Banyak ubin keseluruhan adalah $(9 \times 2 + 1)^{2} =19^{2}=361$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 361$

Catatan tentang 40 Soal dan Pembahasan Olimpiade MIPA Science Expo SMA Unggul DEL 2018 (Matematika SMP HOTS) di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.

Yang di bawah langit ini ada waktunya. Tidak ada yang abadi, ayo bekerja sama membangun negeri.

Luhut Binsar Pandjaitan