Cara Sederhana Membuktikan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut Perbandingan Trigonometri

Trigonometri: Cara Sederhana Membuktikan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

The good student, calon guru belajar matematika dasar SMA lewat Cara Sederhana Membuktikan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut Perbandingan Trigonometri.

Untuk anak-anak SMA yang masuk kelompok IPA, trigoometri adalah topik paling digemari, karena topik trigonometri selalu ikutan nimbrung pada setiap tingkatan kelas. Misalnya pada kelas X ada perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri.

Di kelas XI ada rumus sinus dan kosinus jumlah dua sudut, selisih dua sudut, dan juga disinggung pada topik turunan yaitu turunan trigonometri. Sedangkan di kelas XII trigonometri ketemu ketika menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi trigonometri.

Sekarang yang kita diskusikan adalah trigonometri pada kelas XI yaitu rumus sinus dan kosinus jumlah dua sudut dan selisih dua sudut. Sebelum memasuki topik ini para siswa diharapkan sudah mengenal atau sudah memahami Trigonometri dasar pada kelas X.

Salah satu tujuan pembelajaran ini adalah para siswa dapat menghitung $\sin 75^{\circ}$ , $\sin 15^{\circ}$ , $cos 75^{\circ}$ atau $tan 15^{\circ}$

Trigonometri dasar yang sudah dikenal anak-anak, maka rumus sinus dan cosinus jumlah dua sudut dan selisih dua sudut sebenarnya bisa langsung digunakan. Karena rumus jumlah atau selisih dua sudut ini termasuk rumus yang sederhana, kita hanya menggantikan nilai-nilai yang ada pada rumus kepada nilai yang dinginkan.

Rumus jumlah dan selisih dua sudut pada trigonometri adalah;

$\sin \left ( A+B \right )=\sin A \cdot \cos B+\sin B \cdot cosA$
$\sin \left ( A-B \right )=\sin A \cdot \cos B-\sin B \cdot \cos A$
$\cos \left ( A+B \right )=\cos A \cdot \cos B-\sin A \cdot \sin B$
$\cos\left ( A-B \right )=\cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin A$
$\tan \left ( A+B \right )=\dfrac{ \tan A+ \tan B}{1- \tan A\cdot \tan B}$
$\tan \left ( A-B \right )= \dfrac{ \tan A - \tan B}{1+ \tan A \cdot \tan B}$

Setelah melihat bentuk rumus diatas dan permasalahan yang muncul, misalnya menghitung $\sin 75^{\circ}$ kita hanya perlu sedikit kreativitas mengubah masalah $\sin 75^{\circ}$ menjadi $\sin \left ( 45^{\circ}+30^{\circ} \right )$ lalu kita tinggal memilih bentuk rumus yang bisa kita terapkan dari keenam bentuk yang diatas.

Salah satu bentuk yang cocok adalah:
$\begin{align} \sin\left ( A+B \right ) & = \sin A \cdot \cos B+ \sin B \cdot \cos A \\ \hline \sin 75^{\circ} & = \sin\left ( 45^{\circ}+30^{\circ} \right ) \\ \sin 75^{\circ} & = \sin45^{\circ} \cdot \cos 30^{\circ}+\sin 30^{\circ} \cdot \cos 45^{\circ} \\ \sin 75^{\circ} & = \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ \sin 75^{\circ} & = \dfrac{1}{4}\sqrt{6} + \dfrac{1}{4}\sqrt{2} \end{align}$

Dengan sedikit kreativitas kita juga bisa menggunakan rumus-rumus diatas untuk mendapatkan identitas trigonometri untuk sudut rangkap misalnya $\sin \left ( 2A \right )$ , $\cos \left ( 2A \right )$ atau $\tan \left ( 2A \right )$ .

Kita pilih untuk mendapatkan identitas trigometri $\cos \left ( 2A \right )$ yang cocok yaitu
$\begin{align} \cos \left ( A+B \right ) &= \cos A \cdot \cos B- \sin A \cdot \sin B \\ \cos\left ( 2A \right ) &= \cos\left ( A+A \right ) \\ \cos\left ( 2A \right )&= \cos A \cdot \cos A-\sin A \cdot \sin A \\ \cos\left ( 2A \right ) &= \cos^{2}A-\sin^{2}A \end{align}$

Atau dengan bantuan $\sin^{2}A+\cos^{2}A=1$ kita peroleh bentuk yang lain yaitu
$\begin{align} \cos\left ( 2A \right )&=1-2 \sin^{2}A \\ \text{atau} \\ \cos\left ( 2A \right )&=2 \cos^{2}A-1 \end{align}$

Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut Pada Perbandingan Trigonometri

Berikut alternatif pembuktian rumus penjumlahan atau selisih sudut hasil kreativitas Rinaldo Parluhutan Silaban dan Elstri Sihotang siswa kelas XI, dari dua orang berbeda tetapi idenya sama.

Dari sebuah segitiga $ABC$ siku-siku di $C$ , kita sebut pada titik $A$ adalah sudut $A$ dan pada titik $B$ adalah sudut $B$ , sisi $AB$ adalah sisi $c$ , sisi $BC$ adalah sisi $a$ dan sisi $AC$ adalah sisi $b$ .

Dengan menggunakan defenisi sinus dan cosinus kita peroleh;
$\begin{align} \sin A= \dfrac{a}{c} &= \cos B \\ \cos A= \dfrac{b}{c} &= \sin B \end{align}$

Pada segitiga $ABC$ yang siku-siku di $C$ berlaku:
$\begin{align} A+B+C &= 180^{\circ} \\ A+B &= 90^{\circ} \\ \sin(A+B)&= \sin 90^{\circ} \\ \sin(A+B)&= 1 \\ \sin(A+B)&= \sin^{2}A+cos^{2}A \\ \sin(A+B)&= \sin A \cdot \sin A+cos A \cdot \cos A \\ \sin(A+B) &= \sin A \cdot \cos B+ \sin B \cdot \cos A \\ & \text{(terbukti)} \end{align}$

Dengan menggunakan rumus penjumlahan dua sudut diatas dan sedikit bantuan dari sudut berelasi kita bisa peroleh rumus untuk selisih dua sudut;
$\sin(A+\left (-B \right ))= \sin A \cdot \cos \left (-B \right )+ \sin \left (-B \right ) \cdot \cos A$

Dengan menggunakan sifat sudut berelasi sewaktu kelas X kita peroleh $\sin\left ( -A \right )=-\sin \left ( A \right )$ dan $\cos\left ( -A \right )=\cos\left ( A \right )$

Sekarang kita peroleh;
$\sin\left (A-B \right )=\sin A \cdot \cos B - \sin B \cdot \cos A$ (terbukti)

Alternatif pembuktikan untuk $\cos \left ( A+B \right )=\cos A \cdot \cos B- \sin A \cdot \sin B$ yang kita tampilkan adalah hasil kreativitas Heryanto Simatupang, berikut hasilnya;

Pada segitiga $ABC$ yang siku-siku di $C$ berlaku:
$\begin{align} A+B+C &= 180^{\circ} \\ A+B &= 90^{\circ} \\ \cos(A+B) &= \cos 90^{\circ} \\ \cos(A+B) &= 0 \\ \cos(A+B) &= \dfrac{ab}{c^{2}}-\dfrac{ab}{c^{2}} \\ \cos(A+B) &= \dfrac{a}{c}\cdot \dfrac{b}{c}-\dfrac{a}{c}\cdot \dfrac{b}{c} \\ \cos(A+B) &= \cos B \cdot \cos A- \sin A \cdot \sin B \\ \cos(A+B) &= \cos A \cdot \cos B - \sin A \cdot \sin B \\ & \text{(terbukti)} \end{align}$

Untuk selisih sudutnya dapat kita gunakan $\sin \left ( -A \right )=-\sin \left ( A \right )$ dan $\cos \left ( -A \right )=\cos\left ( A \right )$
$\cos (A+\left (-B \right )= \cos A \cdot \cos \left (-B \right )- \sin A \cdot \sin \left (-B \right )$
$\cos (A-B)= \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B$

Untuk perbandingan trigonometri jumlah dan selisih sudut pada tangen, kita coba memakai identitas trigonometri yaitu $\tan\ A=\dfrac{\sin\ A}{\cos\ A}$ .

$\begin{align} \tan\ (A+B) &= \dfrac{ \sin\ (A+B)}{ \cos\ (A+B)} \\ \tan\ (A+B) &= \dfrac{\sin A \cdot \cos B+ \sin B \cdot \cos A}{\cos A \cdot \cos B - \sin A \cdot \sin B} \\ \tan\ (A+B) &= \dfrac{\sin A \cdot \cos B + \sin B \cdot \cos A}{\cos A \cdot \cos B - \sin A \cdot \sin B} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{\cos A \cdot \cos B}}{\dfrac{1}{\cos A \cdot \cos B}} \\ \tan\ (A+B) &= \dfrac{\dfrac{ \sin A \cdot \cos B}{\cos A \cdot \cos B}+\dfrac{\sin B \cdot \cos A}{\cos A \cdot \cos B}}{\dfrac{\cos A \cdot \cos B}{\cos A \cdot \cos B}-\dfrac{\sin A \cdot \sin B}{\cos A \cdot \cos B}} \\ \tan\ (A+B) &= \dfrac{\dfrac{\sin A}{\cos A}+\dfrac{\sin B}{\cos B}}{1-\dfrac{\sin A}{\cos A} \cdot \dfrac{\sin B}{\cos B}} \\ \tan\ (A+B) &= \dfrac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \cdot \tan B} \\ & \text{(terbukti)} \end{align}$

Dengan cara yang hampir sama, kita bisa mendapatkan:
$\tan\ (A-B)=\dfrac{\tan A- \tan B}{1+\tan A \cdot \tan B}$

Sebagai bahan latihan menyelesaikan soal menggunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut perbandingan trigonometri dapat disimak pada Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut Perbandingan Trigonometri Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan.

Catatan Cara Sederhana Membuktikan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut Perbandingan Trigonometri di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.