Calon guru belajar matematika SMA tentang Aplikasi Barisan dan Deret yaitu Bunga Tunggal, Bunga Majemuk, Pertumbuhan, dan Peluruhan yang dilengkapi dengan pembahasan soal-soal latihan.
Apliksai barisan dan deret dapat diterapkan pada banyak bidang, salah satunya adalah pada bidang ekonomi yaitu pada perhitungan bunga pinjaman atau bunga simpanan uang di bank atau koperasi atau lembaga lain sejenisnya.
DEFINISI BUNGA
Bunga adalah balas jasa atau harga yang diberikan oleh sebuah bank/koperasi kepada nasabah mereka. Atau sebaliknya bunga merupakan balas jasa atau harga yang diberikan oleh nasabah kepada sebuah bank/koperasi.
Bunga Simpanan, merupakan bunga yang diberikan oleh bank/koperasi sebagai balas jasa bagi nasabah yang menyimpan uangnya di bank/koperasi.
Bunga Pinjaman, merupakan bunga yang diberikan oleh nasabah kepada bank/koperasi yang meminjam uang kepada bank/koperasi.
Jadi, bunga adalah jasa dari pinjaman atau simpanan yang dibayarkan pada akhir jangka waktu yang telah disepakati bersama. Jika besarnya bunga suatu pinjaman atau simpanan dinyatakan dengan persen $\left( \% \right)$, maka persen tersebut dinamakan suku bunga.
Contoh pertama:
Ronaldo meminjam uang dari Koperasi Simpan Pinjam sebesar $Rp1.000.000,00.$ Setelah satu bulan, maka Ronaldo harus mengembalikan modal beserta bunganya sebesar $Rp1.030.000,00.$ Tentukan besarnya bunga dan suku bunganya?
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\text{Bunga}\ &= Rp1.030.000,00-Rp1.000.000,00 \\
&= Rp30.000,00 \\
\hline
\text{Suku Bunga}\ &= \dfrac{\text{bunga}}{\text{pinjaman awal}} \times 100 \% \\
&= \dfrac{Rp30.000,00}{Rp1.000.000,00} \times 100\% \\
&= \dfrac{ 3 }{ 100 } \times 100\% = 3\%
\end{align}$
Contoh kedua:
Ronaldo menyimpan uangnya di sebuah Bank sebesar $Rp1.000.000,00.$ Bank memberikan bunga $0,7\%$ tiap bulan. Jika bank membebankan biaya administrasi $Rp1.000,00$ setiap bulan, tentukan jumlah simpanan Ronaldo setelah satu bulan!
Alternatif Pembahasan:
Bunga simpanan adalah $0,7\%$ tiap bulan sehingga diterima di akhir bulan adalah:
$\begin{align}
\text{Bunga}\ &= 0,7 \% \times Rp1.000.000,00 \\
&= \dfrac{0,7}{100} \times Rp1.000.000,00 \\
&= Rp7.000,00 \\
\hline
\text{Tabungan Akhir}\ &= \text{Tabungan Awal} + \text{Bunga} - \text{Adm} \\
&= Rp1.000.000,00 + Rp7.000,00 - Rp1.000,00\\
&= Rp1.006.000,00
\end{align}$
BUNGA TUNGGAL
Bunga suatu pinjaman/modal disebut Bunga Tunggal jika metode pemberian imbalan jasa bunga simpanan yang dihitung berdasarkan modal pokok pinjaman atau modal awal simpanan saja.
Dengan sistem bunga tunggal, maka bunga yang dibayarkan setiap masa pembayaran (per bulan atau per tahun) adalah tetap.
Misal, seorang nasabah meminjam uang dari pada sebuah koperasi sebesar $Rp12.000.000,00$ selama satu tahun dengan suku bunga tunggal $1\%$ per bulan. Tentukan total uang yang harus dibayarkan nasabah tersebut sampai pinjamannya lunas?
Alternatif Pembahasan:
Bunga perbulan adalah bunga tunggal sebesar $1\%$ sehingga nasabah harus membayar bunga setiap bulan sebesar $1\% \times Rp12.000.000,00 = Rp120.000,00 $.
Dengan pinjaman $Rp12.000.000,00$ selama satu tahun maka pembayaran tiap bulan adalah:
$\begin{align}
\text{Pembayaran}\ &= \dfrac{\text{Pinjaman}}{\text{waktu}} + \text{bunga} \\
&= \dfrac{Rp12.000.000,00}{12} + Rp120.000,00 \\
&= Rp1.000.000,00 + Rp120.000,00 \\
&= Rp1.120.000,00
\end{align}$
Total pembayaran selama satu tahun atau $12$ bulan adalah $Rp1.120.000,00 \times 12$ yaitu $Rp13.440.000,00$.
Catatan!
Rumus Perhitungan Bunga Tunggal,
$\begin{align}
M_{n}\ &= M_{0} \left( 1 + i \cdot n \right) \\
\hline
M_{n}\ &: \text{Total modal setelah}\ n\ \text{waktu} \\
M_{0}\ &: \text{Modal awal} \\
n\ &: \text{Jangka waktu} \\
i\ &: \text{Persentase bunga simpanan}
\end{align}$
Jika dengan menggunakan rumus, pembayaran total selama $12$ bulan adalah:
$\begin{align}
M_{n}\ &= M_{0} \left( 1 + i \cdot n \right) \\
M_{12}\ &= 12.000.000 \left( 1 + 1\% \cdot 12 \right) \\
&= 12.000.000 \left( 1 + \dfrac{12 \cdot 1}{100} \right) \\
&= 12.000.000 \left( \dfrac{100}{100} + \dfrac{12}{100} \right) \\
&= 12.000.000 \left( \dfrac{112}{100} \right) \\
&= 13.440.000
\end{align}$
BUNGA MAJEMUK
Bunga suatu pinjaman/modal disebut Bunga Majemuk jika metode pemberian imbalan jasa bunga simpanan yang dihitung berdasarkan besar modal atau simpanan pada periode bunga berjalan.
Dengan sistem bunga majemuk, maka bunga yang dibayarkan setiap masa pembayaran (per bulan atau per tahun) tidak tetap tergantung dari sisa modal/pinjaman.
Misal, seorang nasabah menyimpan uangnya pada sebuah bank sebesar $Rp1.000.000,00$ dengan suku bunga majemuk $2\%$ per tahun. Jika uang tidak diambil selama $5$ tahun dan biaya administrasi adalah nol, maka total uang pada akhir tahun kelima adalah?
Alternatif Pembahasan:
Bunga pertahun adalah bunga majemuk sebesar $2\%$ sehingga pertambahan tabungan sampai akhir tahun kelima dapat kita tuliskan seperti berikut ini:
- Saldo tabungan di akhir tahun pertama adalah,
$\begin{align} & 1.000.000 + 2\% \times 1.000.000 \\ & =1.000.000 + 20.000 \\ & =1.020.000 \end{align}$ - Saldo tabungan di akhir tahun kedua adalah,
$\begin{align} & 1.020.000 + 2\% \times 1.020.000 \\ & =1.020.000 + 20.400 \\ & =1.040.400 \end{align}$ - Saldo tabungan di akhir tahun ketiga adalah,
$\begin{align} & 1.040.400 + 2\% \times 1.040.400 \\ & =1.040.400 + 20.808 \\ & =1.061.208 \end{align}$ - Saldo tabungan di akhir tahun keempat adalah,
$\begin{align} & 1.061.208 + 2\% \times 1.061.208 \\ & =1.061.208 + 21.224,16 \\ & =1.082.432,16 \end{align}$ - Saldo tabungan di akhir tahun kelima adalah,
$\begin{align} & 1.082.432,16 + 2\% \times 1.082.432,16 \\ & =1.082.432,16 + 21.648,6432 \\ &= 1.104.080,8032 \\ & \simeq 1.104.080 \end{align}$
Saldo tabungan di akhir tahun kelima adalah $Rp1.104.080$. Perhitungan dengan bunga majemuk ini terlihat lebih rumit, tetapi saat ini secara umum bank menggunakan bunga majemuk untuk menghitung bunga simpanan.
Catatan!
Rumus Perhitungan Bunga Majemuk,
$\begin{align}
M_{n}\ &= M_{0} \left( 1 + i \right)^{n} \\
\hline
M_{n}\ &: \text{Total modal setelah}\ n\ \text{waktu} \\
M_{0}\ &: \text{Modal awal} \\
n\ &: \text{Jangka waktu} \\
i\ &: \text{Persentase bunga simpanan} \\
B_{n}\ &: \text{Total bunga setelah}\ n\ \text{waktu} \\
\hline
B_{n}\ &= M_{0} \left( 1 + i \right)^{n-1} \cdot i \\
\end{align}$
Jika dengan menggunakan rumus, saldo tabungan setelah $5$ tahun adalah:
$\begin{align}
M_{n}\ &= M_{0} \left( 1 + i \right)^{n} \\
M_{5}\ &= 1.000.000 \left( 1 + 0,02 \right)^{5} \\
&= 1.000.000 \left( 1,02 \right)^{5} \\
&= 1.000.000 \left( 1.1040808032 \right) \\
&= 1.104.080,8032
\end{align}$
Soal Latihan dan Pembahasan Aplikasi Barisan dan Deret
1. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Pak Ahmad memerlukan tambahan modal untuk usahanya berdagang makanan, sehingga ia meminjam uang dikoperasi "Maju Jaya" sebesar $Rp 4.000.000,00$ dengan imbalan jasa berupa bunga sebesar $2 \%$ dari pokok pinjaman per bulan. Jika pak Ahmad akan melunasi pinjaman itu beserta bunganya setelah $6$ bulan, maka tentukanlah total pengembalian pak Ahmad...$\begin{align} (A)\ & 4.400.000,00 \\ (B)\ & 4.420.000,00 \\ (C)\ & 4.440.000,00 \\ (D)\ & 4.460.000,00 \\ (E)\ & 4.480.000,00 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $M_{0} = 40.000.000$; $i = 2\% = 0,02$; $n = 6$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
M_{n}\ &= M_{0} \left( 1 + i \cdot n \right) \\
M_{6}\ &= 40.000.000 \left( 1 + 0,02 \cdot 6 \right) \\
M_{6}\ &= 40.000.000 \left( 1 + 0,12 \right) \\
&= 40.000.000 \left( 1,12 \right) \\
&= 4.480.000
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4.480.000,00$
2. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Tina menginvestasikan uangnya di koperasi "Bangun bersama" sebesar $Rp2.000.000,00$. Dengan sistem bunga tunggal sebesar $2\%$ per-bulan, berapakah besar modal Tina setelah $1,5$ tahun?$\begin{align} (A)\ & 2.700.000,00 \\ (B)\ & 2.720.000,00 \\ (C)\ & 2.740.000,00 \\ (D)\ & 2.760.000,00 \\ (E)\ & 2.780.000,00 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $M_{0} = 2.000.000$; $i = 2\% = 0,02$; $n = 1,5\ tahun=18\ bulan$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
M_{n}\ &= M_{0} \left( 1 + i \cdot n \right) \\
M_{18}\ &= 2.000.000 \left( 1 + 0,02 \cdot 18 \right) \\
&= 2.000.000 \left( 1 + 0,36 \right) \\
&= 2.000.000 \left( 1,36 \right) \\
&= 2.720.000
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2.720.000,00$
3. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Arman menabung sejumlah uang disebuah bank. Jenis tabungan yang dipilih Arman adalah tabungan dengan sistem bunga tunggal sebesar $3\%$ percaturwulan. Jika setelah $3$ tahun tabungan Arman menjadi $Rp 25.400.000,00$ maka tentukanlah besar tabungan awal Arman di bank itu...$\begin{align} (A)\ & 18.800.000,00 \\ (B)\ & 19.400.000,00 \\ (C)\ & 20.000.000,00 \\ (D)\ & 20.600.000,00 \\ (E)\ & 21.200.000,00 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $M_{n} = 25.400.000$; $i = 3\% = 0,03$; $n = \dfrac{3\ tahun}{4\ bulan}=\dfrac{36\ bulan}{4\ bulan}=9$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
M_{n}\ &= M_{0} \left( 1 + i \cdot n \right) \\
25.400.000 &= M_{0} \left( 1 + 0,03 \cdot 9 \right) \\
25.400.000 &= M_{0} \left( 1 + 0,27 \right) \\
25.400.000 &= M_{0} \left( 1,27 \right) \\
M_{0} &= \dfrac{25.400.000}{1,27} \\
&= 20.000.000
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 20.000.000,00$
4. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Pak Budi menabung sebesar $Rp 8.000.000,00$ di suatu bank. Jika bank memberlakukan sistem bunga tunggal sebesar $3\%$ setiap triwulan, maka setelah berapa lamakah uang tabungan pak Budi menjadi $Rp10.400.000,00$?$\begin{align} (A)\ & 10\ \text{bulan} \\ (B)\ & 15\ \text{bulan} \\ (C)\ & 20\ \text{bulan} \\ (D)\ & 25\ \text{bulan} \\ (E)\ & 30\ \text{bulan} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $M_{0} = 8.000.000$; $i = 3\% = 0,03$; $M_{n} = 10.400.000$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
M_{n}\ &= M_{0} \left( 1 + i \cdot n \right) \\
10.400.000 &= 8.000.000 \left( 1 + 0,03 \cdot n \right) \\
10.400.000 &= 8.000.000 + 240.000n \\
2.400.000 &= 240.000n \\
\dfrac{2.400.000}{240.000} &= n \\
10 &= n \\
\end{align}$
Pada soal disampaikan bahwa bunga $3\%$ untuk setiap triwulan sehingga $n=10\ triwulan$ atau $n=30\ bulan$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 30\ \text{bulan}$
5. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Pak Mulyo adalah seorang pengusaha batik. Ia menyimpan uangnya sebesar $Rp 100.000.000,00$ di sebuah bank. Bank tersebut memberikan bunga tabungan dengan sistem bunga majemuk sebesar $1,2 \%$ per bulan. Berapakah besarnya tabungan pak Mulyo setelah $5$ bulan? (jawaban pembulatan yang terdekat)$\begin{align} (A)\ & Rp176.000.000,00 \\ (B)\ & Rp176.200.000,00 \\ (C)\ & Rp176.400.000,00 \\ (D)\ & Rp176.600.000,00 \\ (E)\ & Rp176.800.000,00 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $M_{0} = 100.000.000$; $i = 1,2\% = 0,12$; $n = 5$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
M_{n}\ &= M_{0} \left( 1 + i \right)^{n} \\
M_{5} &= 100.000.000 \left( 1 + 0,12 \right)^{5} \\
&= 100.000.000 \left( 1,12 \right)^{5} \\
& \simeq 100.000.000 \left( 1,762 \right) \\
&= 176.200.000
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ Rp176.200.000,00$
6. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
La Ode Ahdan, seorang mahasiswa dari Sulawesi Tenggara, menginvestasikan uangnya sebesar $Rp200.000.000,00$ di salah satu bank. Andaikan pihak bank memberikan bunga majemuk sebesar $4\%$ per-semester, berapa besar modal investasi itu setelah $2$ tahun? (jawaban pembulatan yang terdekat)$\begin{align} (A)\ & Rp233.500.000,00 \\ (B)\ & Rp233.600.000,00 \\ (C)\ & Rp233.700.000,00 \\ (D)\ & Rp233.800.000,00 \\ (E)\ & Rp233.900.000,00 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $M_{0} = 200.000.000$; $i = 4\% = 0,04$; $n = 2\ \text{tahun}=4\ \text{semester}$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
M_{n}\ &= M_{0} \left( 1 + i \right)^{n} \\
M_{4} &= 200.000.000 \left( 1 + 0,04 \right)^{4} \\
&= 200.000.000 \left( 1,04 \right)^{4} \\
& \simeq 200.000.000 \left( 1,169 \right) \\
&= 233.800.000
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ Rp233.800.000,00$
7. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Santi menyimpan uangnya di sebuah bank sebesar $Rp 2.000.000,00$. Setelah tiga tahun uang tabungan Santi menjadi $Rp 2.662.000,00$. Jika bank tersebut menerapkan sistem bunga majemuk, berapa persenkah per-tahun bunga bank tersebut?$\begin{align} (A)\ & 7 \% \\ (B)\ & 8 \% \\ (C)\ & 9 \% \\ (D)\ & 10 \% \\ (E)\ & 11 \% \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $M_{0} = 2.000.000$; $n = 3\ \text{tahun}$; $M_{3} = 2.662.000$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
M_{n}\ &= M_{0} \left( 1 + i \right)^{n} \\
M_{3} &= 2.000.000 \left( 1 + i \right)^{3} \\
2.662.000 &= 2.000.000 \left( 1+i \right)^{3} \\
\dfrac{2.662.000}{2.000.000} &= \left( 1+i \right)^{3} \\
1,331 &= \left( 1+i \right)^{3} \\
\left( 1,1 \right)^{3} &= \left( 1+i \right)^{3} \\
\hline
1,1 &= 1+i \\
i &= 0,1 \\
i &= 10 \%
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 10 \%$
Aplikasi lain dari barisan dan deret dapat juga kita temui pada pertumbuhan dan peluruhan:
- Pertumbuhan yaitu bertambahnya jumlah/nilai suatu objek yang mengikuti pola aritmatika atau geometri.
Contoh:- Perkembangbiakan bakteri
- Pertumbuhan penduduk
- Peluruhan yaitu berkurangnya jumlah/nilai suatu objek yang mengikuti pola aritmatika atau geometri.
Contoh:- Penurunan nilai jual mobil.
- Penurunan jumlah populasi hewan.
Catatan!
Rumus Pertumbuhan Aritmetika,
$\begin{align}
M_{n}\ &= M_{0} \left( 1 + pn \right)\ \text{atau}\ M_{n}= M_{0} + bn \\
\hline
M_{n} &: \text{Jumlah/Nilai suatu objek setelah}\ n\ \text{waktu} \\
M_{0} &: \text{Jumlah/Nilai suatu objek mula-mula} \\
p &: \text{Persentase pertumbuhan} \\
b &: \text{Nilai beda pertumbuhan} \\
n &: \text{Jangka waktu pertumbuhan}
\end{align}$
Catatan!
Rumus Pertumbuhan Geometri,
$\begin{align}
M_{n}\ &= M_{0} \left( 1 + p \right)^{n}\ \text{atau}\ M_{n}= M_{0} \cdot r^{n} \\
\hline
M_{n} &: \text{Jumlah/Nilai suatu objek setelah}\ n\ \text{waktu} \\
M_{0} &: \text{Jumlah/Nilai suatu objek mula-mula} \\
p &: \text{Persentase pertumbuhan} \\
r &: \text{Ratio pertumbuhan}\ \left( r \gt 1 \right) \\
n &: \text{Jangka waktu pertumbuhan}
\end{align}$
8. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Elsa mulai bekerja pada suatu perusahaan pada awal tahun $2005$ dengan gaji permulaan sebesar $Rp 3.000.000,00$. Jika dia mendapatkan kenaikan gaji secara berkala setiap tahunnya sebesar $Rp 200.000,00$ maka berapakah gaji yang diterima Elsa pada awal tahun $2011$?$\begin{align} (A)\ & Rp4.000.000,00 \\ (B)\ & Rp4.200.000,00 \\ (C)\ & Rp4.400.000,00 \\ (D)\ & Rp4.600.000,00 \\ (E)\ & Rp4.800.000,00 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $M_{0} = 3.000.000$; $n = 2011-2015= 6\ \text{tahun}$; $b = 200.000$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
M_{n}\ &= M_{0} + bn \\
M_{6} &= 3.000.000 + 6 \cdot 200.000 \\
&= 4.200.000
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ Rp4.200.000,00$
9. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Suatu koloni bakteri akan membelah menjadi dua setiap lima belas menit. Jika pada permulaan terdapat $90$ bakteri, maka tentukanlah jumlah bakteri setelah setengah jam?$\begin{align} (A)\ & 360\ \text{bakteri} \\ (B)\ & 720\ \text{bakteri} \\ (C)\ & 1.440\ \text{bakteri} \\ (D)\ & 2.880\ \text{bakteri} \\ (E)\ & 5.760\ \text{bakteri} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $M_{0} = 90$; $r = 2$; $n = \dfrac{30\ \text{menit}}{15\ \text{menit}}=4$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
M_{n}\ &= M_{0} \cdot r^{n} \\
M_{4} &= 90 \cdot 2^{4} \\
&= 90 \cdot 16 = 1440
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1.440\ \text{bakteri}$
10. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Jumlah penduduk suatu kota bertambah menurut pola geometri sebesar $0,1 \%$ per bulan. Berarti jika jumlah penduduk kota itu semula $3$ juta orang maka pada akhir bulan ke-$3$ jumlahnya telah menjadi sekitar ... orang?$\begin{align} (A)\ & 3.090.903 \\ (B)\ & 3.900.903 \\ (C)\ & 3.009.009 \\ (D)\ & 3.900.009 \\ (E)\ & 3.900.900 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $M_{0} = 3.000.000$; $p = 0,1 \% =0,001$; $n = 3$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
M_{n}\ &= M_{0} \cdot \left( 1+p \right)^{n} \\
M_{3}\ &= 3.000.000 \cdot \left( 1+0,001 \right)^{3} \\
&= 3.000.000 \cdot 1,003003001 \\
&= 3.009.009,003 \\
& \simeq 3.009.009
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3.009.009$
Catatan!
Rumus Peluruhan Aritmetika,
$\begin{align}
M_{n}\ &= M_{0} \left( 1 - pn \right)\ \text{atau}\ M_{n}= M_{0} - bn \\
\hline
M_{n} &: \text{Jumlah/Nilai suatu objek setelah}\ n\ \text{waktu} \\
M_{0} &: \text{Jumlah/Nilai suatu objek mula-mula} \\
p &: \text{Persentase peluruhan} \\
b &: \text{Nilai beda peluruhan} \\
n &: \text{Jangka waktu peluruhan}
\end{align}$
Catatan!
Rumus Peluruhan Geometri,
$\begin{align}
M_{n}\ &= M_{0} \left( 1 - p \right)^{n}\ \text{atau}\ M_{n}= M_{0} \cdot r^{n} \\
\hline
M_{n} &: \text{Jumlah/Nilai suatu objek setelah}\ n\ \text{waktu} \\
M_{0} &: \text{Jumlah/Nilai suatu objek mula-mula} \\
p &: \text{Persentase peluruhan} \\
r &: \text{Ratio peluruhan}\ \left( r \lt 1 \right) \\
n &: \text{Jangka waktu peluruhan}
\end{align}$
11. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Sebuah mobil dibeli dengan harga $Rp200.000.000,00$. Jika setiap tahun harganya mengalami penyusutan $20\%$ dari nilai tahun sebelumnya, maka tentukanlah harga mobil itu setelah dipakai selama $5$ tahun?$\begin{align} (A)\ & Rp65.356.000,00 \\ (B)\ & Rp65.365.000,00 \\ (C)\ & Rp65.536.000,00 \\ (D)\ & Rp65.563.000,00 \\ (E)\ & Rp65.653.000,00 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $M_{0} = 200.000.000$; $n =5\ \text{tahun}$; $i = 20\%=0,2$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
M_{n}\ &= M_{0} + \left( 1-0,2 \right)^{n} \\
M_{5}\ &= 200.000.000 + \left( 0,8 \right)^{5} \\
&= 200.000.000 + \left( 0,32768 \right) \\
&= 65.536.000
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ Rp65.536.000,00$
12. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Suatu pabrik kendaraan bermotor roda dua mulai memproduksi pertama pada tahun $2010$ sebanyak $20.000$ unit kendaraan. Tiap tahun produksi pabrik tersebut turun $100$ unit. Berapakah jumlah produksi pada tahun $2016$?$\begin{align} (A)\ & 18.600\ \text{unit} \\ (B)\ & 18.800\ \text{unit} \\ (C)\ & 19.000\ \text{unit} \\ (D)\ & 19.200\ \text{unit} \\ (E)\ & 19.400\ \text{unit} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $M_{0} = 20.000$; $n =6\ \text{tahun}$; $b = 100$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
M_{n}\ &= M_{0} - bn \\
M_{6}\ &= 20.000 - 100 \cdot 6 \\
&= 20.000 - 600 \\
&= 19.400
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 19.400\ \text{unit}$
13. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Suatu jenis hewan langka setiap tahun mengalami penurunan jumlah populasi menjadi $\dfrac{1}{3}$ dari jumlah populasi tahun sebelumnya. Jika pada tahun $2015$ diperkirakan jumlah populasi hewan tersebut disuatu pulau sebanyak $720$ ekor, maka berapakah perkiraan jumlah hewan itu pada tahun $2019$?$\begin{align} (A)\ & 6\ \text{ekor} \\ (B)\ & 8\ \text{ekor} \\ (C)\ & 10\ \text{ekor} \\ (D)\ & 12\ \text{ekor} \\ (E)\ & 14\ \text{ekor} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $M_{0} = 720$; $n =2019-2015=4\ \text{tahun}$; $r = \dfrac{1}{3}$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
M_{n}\ &= M_{0} \cdot r^{n} \\
M_{4}\ &= 720 \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{4} \\
&= 720 \cdot \dfrac{1}{81} \\
&= 8,8888.. \\
& \simeq 8
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 8\ \text{ekor}$
14. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Dengan pesatnya pembangunan pemukiman, maka daerah pesawahan semakin lama semakin sempit. Menurut data statistik, pada tahun $2003$ total areal sawah di daerah itu sekitar $400$ ha dan setiap tahun berkurang $5 \%$ dari total areal sawah semula. Berapakah diperkirakan areal sawah pada tahun $2015$?$\begin{align} (A)\ & 130\ \text{ha} \\ (B)\ & 140\ \text{ha} \\ (C)\ & 150\ \text{ha} \\ (D)\ & 160\ \text{ha} \\ (E)\ & 170\ \text{ha} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $M_{0} = 400$; $n =2015-2003=12\ \text{tahun}$; $r = 5 \% = 0,05$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
M_{n}\ &= M_{0} \left( 1 - pn \right) \\
M_{12}\ &= 400 \left( 1 - 0,05 \cdot 12 \right) \\
&= 400 \left( 1 - 0,6 \right) \\
&= 400 \cdot 0,4 = 160
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 160\ \text{ha}$
Untuk menambah pemahaman kita terkait Aplikasi Barisan dan Deret (*Bunga Tunggal, Bunga Majemuk, Pertumbuhan, dan Peluruhan) ini, mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Aplikasi Barisan dan Deret (*Bunga Tunggal, Bunga Majemuk, Pertumbuhan, dan Peluruhan) Matematika SMA Kurikulum 2013.
15. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Pak Ali menabung $Rp1.000.000,00$ di suatu bank dengan bunga tunggal sebesar $4\%$ per tahun. Pak Budi juga menabung $Rp1.000.000,00$ di bank yang sama dengan bunga majemuk $4 \%$ per tahun. Setelah $5$ tahun. Tentukan tabungan siapakah yang lebih banyak.$\begin{align} (A)\ & \text{Pak Ali} \\ (B)\ & \text{Pak Budi} \\ (C)\ & \text{Sama banyak} \\ (D)\ & \text{Tidak dapat ditentukan} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $M_{0} = 1.000.000$; $i = 4\% = 0,04$; $n = 5\ tahun$ maka dapat kita peroleh:
- Perhitungan uang Pak Ali dengan bunga tunggal,
$\begin{align} M_{n}\ &= M_{0} \left( 1 + i \cdot n \right) \\ M_{5}\ &= 1.000.000 \left( 1 + 0,04 \cdot 5 \right) \\ &= 1.000.000 \left( 1+ 0,2 \right) \\ &= 1.000.000 \left( 1,2 \right) \\ &= 1.200.000 \end{align}$ - Perhitungan uang Pak Budi, dengan bunga majemuk,
$\begin{align} M_{n}\ &= M_{0} \left( 1 + i \right)^{n} \\ M_{5} &= 1.000.000 \left( 1 + 0,04 \right)^{5} \\ &= 1.000.000 \left( 1,04 \right)^{5} \\ & \simeq 1.000.000 \left( 1,216 \right) \\ &= 1.216.000 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \text{Pak Budi}$
16. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Jumlah penderita suatu jenis penyakit langka berkembang dengan sangat pesat menjadi $5 \%$ dari jumlah tahun sebelumnya. Jika pada tahun $2012$ tercatat ada $30$ orang penderita, maka tentukan perkiraan jumlah penderita pada tahun $2016$.$\begin{align} (A)\ & 48\ \text{Orang} \\ (B)\ & 42\ \text{Orang} \\ (C)\ & 36\ \text{Orang} \\ (D)\ & 32\ \text{Orang} \\ (E)\ & 24\ \text{Orang} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $M_{0} = 30$; $p= 5\% = 0,05$; $n = 2016-2012= 4\ tahun$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
M_{n}\ &= M_{0} \left( 1 + p \right)^{n} \\
M_{4}\ &= 30 \left( 1 + 0,05 \right)^{4} \\
&= 30 \left( 1,05 \right)^{4} \\
&\simeq 30 \left( 1,215 \right) \\
&=36
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 36\ \text{Orang}$
17. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Pada musim panen mangga Pak Bobi, selama $30$ hari pertama panen mangga yang dipetik terus meningkat mengikuti pola $(8n + 3)$ dengan $n=1,2,3,\cdots,30$. Total seluruh mangga yang dipetik pak Bobi selama sebulan ($30$ hari) adalah...$\begin{align} (A)\ & 2710\ \text{buah} \\ (B)\ & 3810\ \text{buah} \\ (C)\ & 4910\ \text{buah} \\ (D)\ & 5010\ \text{buah} \\ (E)\ & 5110\ \text{buah} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $U_{n} = 8n+3$ sehingga yang dipetik pada hari pertama $U_{1}=8(1)+3=11$, hari kedua $U_{2}=8(2)+3=19$, hari ketiga $U_{3}=8(3)+3=27$, dan seterusnya, maka dapat kita peroleh jumlah yang dipetik selama $30$ hari adalah:
$\begin{align}
S_{30} & = 11+19+27+\cdots \\
\hline
&a=11,\ b=8,\ n=30 \\
\hline
S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( 2a + (n-1) b \right) \\
S_{30}\ &= \dfrac{30}{2} \left(2(11) + (30-1) 8 \right) \\
&= 15 \left( 22 + (29) 8 \right) \\
&= 15 \left( 22 + 232 \right) \\
&= 15 \left( 254 \right) \\
&= 3810
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3810\ \text{buah}$
18. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Seorang pegawai sebuah toko mendapat gaji permulaan sebesar $Rp 100.000,00$ perbulan. Jika setiap bulan ia mendapat kenaikan gaji $Rp 5.000,00$ maka gaji yang ia terima tepat pada awal tahun kedua sebesar...$\begin{align} (A)\ & Rp 140.000,00 \\ (B)\ & Rp 145.000,00 \\ (C)\ & Rp 150.000,00 \\ (D)\ & Rp 155.000,00 \\ (E)\ & Rp 160.000,00 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $M_{0} = 100.000$; $n = 1\ \text{tahun}=12\ \text{bulan}$; $b = 5.000$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
M_{n}\ &= M_{0} + bn \\
M_{12} &= 100.000 + 5.000 \cdot 12 \\
&= 100.000 + 60.000 \\
&= 160.000
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ Rp 160.000,00$
19. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Bila hutang sebesar $\$880$ diangsur berturut-turut tiap bulan $ \$25$, $ \$27$, $ \$29$ dan seterusnya sampai lunas. Maka lamanya angsuran itu...bulan$\begin{align} (A)\ & 16 \\ (B)\ & 20 \\ (C)\ & 34 \\ (D)\ & 44 \\ (E)\ & 48 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari angsuran yang harus dibayar $S_{n} = 880$ dengan metode pembayaran $25+27+29+\cdots$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
880 & = 25+27+29+\cdots \\
\hline
&a=25,\ b=2,\ S_{n}=880 \\
\hline
S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( 2a + (n-1) b \right) \\
880 &= \dfrac{n}{2} \left(2(25) + (n-1) 2 \right) \\
880 &= \dfrac{n}{2} \left( 50 + 2n- 2 \right) \\
880 &= \dfrac{n}{2} \left( 48 + 2n \right) \\
880 &= 24n + n^{2} \\
0 &= n^{2} + 24n -880 \\
0 &= \left(n-20 \right)\left( n+44 \right) \\
&n= 20\ \text{atau}\ n=-44\ \text{(TM)}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 20$
20. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku merupakan barisan aritmatika. Jika sisi siku-siku pendeknya $6\ cm$, maka sisi siku-siku panjangnya adalah...$\begin{align} (A)\ & 8\ cm \\ (B)\ & 10\ cm \\ (C)\ & 12\ cm \\ (D)\ & 14\ cm \\ (E)\ & 15\ cm \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Misal sisi-sisi segitiga siku-siku yang membentuk barisan aritmetika adalah $(a)$, $(a+b)$, dan $(a+2b)$.
Sisi terpendek adalah $6\ cm$, dapat kita peroleh $a=6$ dan kita terapkan Teorema Pythagoras sehingga kita perolah:
$\begin{align}
(a+2b)^{2} &= (a)^{2}+(a+b)^{2} \\
(6+2b)^{2} &= (6)^{2}+(6+b)^{2} \\
36+4b^{2} +24b &= 36+36+12b+b^{2} \\
3b^{2}+12b-36 &= 0 \\
b^{2}+4b-12 &= 0 \\
\left(b+6 \right)\left(b-2 \right) &= 0 \\
b=-6\ \text{atau}\ b=2 &
\end{align}$
Sisi yang terpanjang adalah $a+2b=6+2(2)=10$
Catatan!
Sebagai alternatif bisa juga digunakan perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku yaitu $3x$, $4x$, dan $5x$
$\begin{align}
3x &= 6 \longrightarrow x=2
\end{align}$
Sisi terpanjang adalah $5x=5(2)=10$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10$
21. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Seutas tali dipotong menjadi $6$ bagian dan masing-masing potongan itu membentuk barisan geometri. Jika potongan tali yang paling pendek sama dengan $3\ cm$ dan potongan tali paling panjang sama dengan $96\ cm$, maka panjang keseluruhan tali adalah...$\begin{align} (A)\ & 172\ cm \\ (B)\ & 189\ cm \\ (C)\ & 212\ cm \\ (D)\ & 232\ cm \\ (E)\ & 256\ cm \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Seutas tali dipotong menjadi $6$ dan membentuk barisan geometri kita misalkan potongan itu adalah $a$, $ar$, $ar^{2}$ , $ar^{3}$, $ar^{4}$, $ar^{5}$.
Sisi terpendek adalah $a=3$ dan sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
U_{6} &= ar^{5} \\
96 &= (3)r^{5} \\
32 &= r^{5} \longrightarrow r=2 \\
\hline
S_{6} &= \dfrac{a \left( r^{6}-1 \right)}{\left( r-1 \right)} \\
&= \dfrac{3 \left( 2^{6}-1 \right)}{\left( 2-1 \right)} \\
&= \dfrac{3 \left( 64-1 \right)}{\left( 1 \right)} \\
&= 3 \left( 63 \right) = 189
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 189\ cm$
22. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Suatu jenis bakteri setiap satu detik akan membelah menjadi $3$. Jika pada permulaan ada $2$ bakteri, maka banyaknya bakteri setelah $6$ detik adalah...
$\begin{align} (A)\ & 81\ \text{bakteri} \\ (B)\ & 189\ \text{bakteri} \\ (C)\ & 243\ \text{bakteri} \\ (D)\ & 316\ \text{bakteri} \\ (E)\ & 486\ \text{bakteri} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, pada detik pertama ada $2$ maka detik kedua jadi $6$, detik ketiga jadi $18$, detik keempat jadi $54$, detik kelima jadi $162$ dan detik keenam jadi $486$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 486\ \text{bakteri}$
Sebagai alternatif jika yang ditanyakan nantinya setelah $100$ detik. Tentunya cara yang di atas membutuhkan energi yang extra. Kita bisa gunakan rumus-rumus yang ada yaitu sebagai berikut.
Diketahui bakteri berkembang biak menjadi tiga kali lipat setiap detik maka $r=3$ dan pada detik pertama banyaknya $2$ maka $a=2$.
Setelah detik keenam banyak bakteri adalah:
$\begin{align}
U_{n}\ &= ar^{n-1} \\
U_{6}\ &= (2)(3)^{6-1} \\
&= (2)(3)^{5} \\
&= (2) (243) = 486
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 486\ \text{bakteri}$
23. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Pada akhir tahun $2006$, ilmuwan PBB melaporkan bahwa untuk mengurangi pemanasan global, disarankan agar masyarakat mengadopsi pola makan vegan (mengurangi daging dan produk hewan). Jika pada bulan Maret, April dan Mei $2007$, jumlah orang yang vegan berturut-turut adalah $200.000$, $400.000$ dan $800.000$ orang, maka diperkirakan pada bulan Oktober $2007$, jumlah orang yang vegan adalah....orang
$\begin{align} (A)\ & 12.800.000 \\ (B)\ & 25.600.000 \\ (C)\ & 51.200.000 \\ (D)\ & 102.400.000 \\ (E)\ & 204.800.000 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $3/2007:200.000$, $4/2007:400.000$, $5/2007:800.000$, maka $6/2007:1.600.000$, $7/2007:3.200.000$, $8/2007:6.400.000$, $9/2007:12.800.000$ dan $10/2007:25.600.000$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 25.600.000$
Sebagai alternatif jika yang ditanyakan nantinya setelah $100$ bulan. Tentunya cara yang di atas membutuhkan energi yang extra. Kita bisa gunakan rumus-rumus yang ada yaitu sebagai berikut.
Diketahui $3-2007:200.000$, $4-2007:400.000$, $5-2007:800.000$, maka $a=200.000$ dan $r=2$.
Dari maret sampai oktober maka banyak bulan adalah $8$, banyak vegan adalah:
$\begin{align}
U_{n}\ &= ar^{n-1} \\
U_{8}\ &= (200.000)(2)^{8-1} \\
&= (200.000)(2)^{7} \\
&= (200.000) (128) \\
&= 25.600.000
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 25.600.000\ \text{bakteri}$
24. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Seutas tali dibagi menjadi $7$ bagian dengan panjang tiap potongan mengikuti barisan geometri. Jika panjang tali paling pendek $64\ cm$ dan yang terpanjang $729\ cm$, maka panjang tali tersebut adalah...cm
$\begin{align} (A)\ & 2039 \\ (B)\ & 2040 \\ (C)\ & 2049 \\ (D)\ & 2050 \\ (E)\ & 2059 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui banyak potogan tali $n=7$, yang terpendek $a=64$ dan yang terpanjang $U_{7}=729$, maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
U_{n}\ &= ar^{n-1} \\
U_{7}\ &= (64)(r)^{7-1} \\
729\ &= (64)(r)^{6} \\
\dfrac{729}{64}\ &= (r)^{6} \\
\left( \dfrac{3}{2} \right)^{6} &= (r)^{6}\ \longrightarrow r=\dfrac{3}{2} \\
\hline
S_{n}\ &= \dfrac{a \left(r^{n}-1 \right)}{r-1} \\
S_{7}\ &= \dfrac{64 \left( \left( \frac{3}{2} \right)^{7}-1 \right)}{\frac{3}{2}-1} \\
&= \dfrac{2^{6} \left( \left( \frac{3}{2} \right)^{7}-1 \right)}{\frac{1}{2}} \\
&= 2^{6} \left( \dfrac{3^{7}}{2^{7}}-1 \right) \cdot \dfrac{2}{1} \\
&= 2^{7} \left( \dfrac{3^{7}}{2^{7}} -1 \right) \\
&= 3^{7} - 2^{7} \\
&= 2187-128 = 2059
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2059$
25. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus. Mula–mula bergerak ke kanan $72\ cm$, kemudian ke kiri $24\ cm$, kemudian ke kanan lagi $8\ cm$, demikian seterusnya sampai benda tersebut berhenti. Maka panjang lintasan yang ditempuh benda tersebut sampai berhenti adalah...
$\begin{align} (A)\ & 54\ cm \\ (B)\ & 68\ cm \\ (C)\ & 84\ cm \\ (D)\ & 108\ cm \\ (E)\ & 124\ cm \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui benda bergerak dengan pola $72$, $24$, $8$, $\cdots$ sampai berhenti, maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
S_{\infty } &= 72+24+8+\cdots \\
\hline
& a=72,\ r=\frac{24}{72}=\frac{1}{3} \\
\hline
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
&=\dfrac{72}{1-\frac{1}{3}} \\
&=\dfrac{72}{\frac{2}{3}} \\
&=\dfrac{72 \cdot 3}{2} = 108
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 108\ cm$
26. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Seseorang berjalan lurus dengan kecepatan tetap $4\ km/jam$ selama satu jam pertama. Pada satu jam kedua kecepatannya dikurangi setengahnya, demikian seterusnya sampai berhenti. Maka jarak yang telah ditempuh orang itu sampai ia berhenti adalah...
$\begin{align} (A)\ & 6\ km \\ (B)\ & 8\ km \\ (C)\ & 10\ km \\ (D)\ & 12\ km \\ (E)\ & 24\ km \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Seseorang berjalan dengan kecepatan $4\ km/jam$, $2\ km/jam$, $1\ km/jam$, $\cdots$ sampai berhenti, maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
S_{\infty } &= 4+2+1+\dfrac{1}{2}+\cdots \\
\hline
& a=4,\ r=\frac{1}{2} \\
\hline
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
&=\dfrac{4}{1-\frac{1}{2}} \\
&=\dfrac{4}{\frac{1}{2}} \\
&=8
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 8\ km$
27. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Sebuah bola jatuh dari ketinggian $16$ meter dan memantul kembali dengan ketinggian $\dfrac{3}{4}$ dari tinggi sebelumnya. Jika pemantulan berlangsung terus menerus hingga berhenti, maka panjang lintasan bola adalah...
$\begin{align} (A)\ & 94\ m \\ (B)\ & 96\ m \\ (C)\ & 108\ m \\ (D)\ & 112\ m \\ (E)\ & 116\ m \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Bola jatuh dari ketinggian $16\ m$ lalu memantul seterusnya dengan ketinggian $\dfrac{3}{4}$ dari tinggi sebelumnya sampai pada akhirnya akan berhenti. Jika kita gambarkan lintasan seperti berikut ini:
Dari gambar di atas dapat kita peroleh panjang lintasan bola adalah:
$\begin{align}
S_{\infty } &= 16+12+12+9+9+\dfrac{27}{4}+\dfrac{27}{4}+\cdots \\
&= 16+2(12)+2(9)+2 \left(\dfrac{27}{4} \right)+\cdots \\
&= 16+2 \left( 12+9+\dfrac{27}{4}+\cdots \right) \\
\hline
& a=12,\ r=\frac{3}{4} \\
\hline
S_{\infty } &= 16+2 \left( \dfrac{12}{1-\frac{3}{4}} \right) \\
&= 16+2 \left( \dfrac{12}{ \frac{1}{4}} \right) \\
&= 16+2 \left( 48 \right) \\
&= 16+ 96 \\
&=112
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 112\ m$
28. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Seorang ibu membagikan uang kepada $5$ anaknya menurut aturan deret aritmatika. Jika uang yang diterima anak kedua $Rp 6.500,00$ dan anak keempat $Rp 9.500,00$, maka jumlah seluruh uang yang dibagikan adalah...$\begin{align} (A)\ & Rp30.000,00 \\ (B)\ & Rp35.000,00 \\ (C)\ & Rp40.000,00 \\ (D)\ & Rp45.000,00 \\ (E)\ & Rp50.000,00 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Metode pembagian uang dengan aturan deret aritmetika, maka dari anak kedua $Rp 6.500,00$ dan anak keempat $Rp 9.500,00$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
U_{2}=a+b & = 6.500 \\
U_{4}=a+3b & = 9.500\ \ (-) \\
\hline
2b &= 3.000\ \\
b &= 1.500\ \longrightarrow a=5.000 \\
\hline
S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( 2a + (n-1) b \right) \\
S_{5}\ &= \dfrac{5}{2} \left( 2 (5.000) + (5-1) (1.500) \right) \\
&= \dfrac{5}{2} \left( 10.000 + (4) (1.500) \right) \\
&= \dfrac{5}{2} \left( 10.000 + 6.000 \right) \\
&= \dfrac{5}{2} \left( 16.000 \right) \\
&= 40.000
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ Rp40.000,00$
29. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Jumlah penduduk suatu kota tiap $10$ tahun menjadi dua kali lipat. Menurut hasil sensus pada tahun $2012$ jumlah penduduk kota tersebut adalah $3,2$ juta orang. Ini berarti bahwa pada tahun $1962$ jumlah penduduk kota itu baru mencapai...orang
$\begin{align} (A)\ & 80.000 \\ (B)\ & 100.000 \\ (C)\ & 120.000 \\ (D)\ & 160.000 \\ (E)\ & 200.000 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jumlah penduduk tiap $10$ tahun menjadi dua kali lipat dan pada tahun $2012$ jumlanya $3,2$ juta orang, maka pada tahun $1962$ penduduknya adalah:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
2012 & 2002 & 1992 & 1982 & 1972 & 1962 \\
\hline
3,2 & 1,6 & 0,8 & 0,4 & 0,2 & 0,1 \end{array} $
Banyak penduduk pada tahun $1962$ adalah $100.000$
Dengan mengunakan rumus deret geometri dapat kita peroleh:
$\begin{align}
U_{n} &= ar^{n-1} \\
\text{tahun}\ 1962 & = U_{1}=a \\
\text{tahun}\ 2012 & = U_{6}=ar^{5} \\
3.200.000 &= (a) \cdot 2^{5} \\
3.200.000 &= (a) \cdot 32 \\
\dfrac{3.200.000}{32} &= a \\
100.000 &= a
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 100.000$
30. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Seorang perawat setiap hari membuat gulungan kapas kecil untuk pembersih dan mencatatnya. Ternyata banyaknya gulungan kapas kecil pada hari ke-$n$ memenuhi rumus $U_{n} = 80 + 20n$. Banyaknya gulungan kapas keci selama $18$ hari yang pertama adalah...$\begin{align} (A)\ & 4.840\ \text{buah} \\ (B)\ & 4.850\ \text{buah} \\ (C)\ & 4.860\ \text{buah} \\ (D)\ & 4.870\ \text{buah} \\ (E)\ & 4.880\ \text{buah} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Banyak gulungan kapas kecil pada hari ke-$n$ memenuhi rumus $U_{n} = 80 + 20n$, maka banyak kapas setelah $18$ hari adalah:
$\begin{align}
U_{n} & = 80 + 20n \\
U_{1} & = 80+20(1) = 100 \\
U_{2} & = 80+20(2) = 120 \\
U_{3} & = 80+20(3) = 140 \\
& \vdots \\
\hline
S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( 2a + (n-1) b \right) \\
S_{18}\ &= \dfrac{18}{2} \left( 2 (100) + (18-1) (20) \right) \\
&= 9 \left( 200 + (17) (20) \right) \\
&= 9 \left( 200 + 340 \right) \\
&= 9 \left( 540 \right) \\
&= 4.860
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4.860\ \text{buah}$
31. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Jumlah penduduk yang mengidap penyakit darah tinggi di Indonesia tiap $10$ tahun menjadi $1\dfrac{1}{2}$ kali lipat. Menurut perhitungan, pada tahun $2010$ nanti akan mencapai $1,215$ juta orang. Ini berarti bahwa pada tahun $1960$ jumlah penduduk yang mengidap penyakit darah tinggi mencapai...
$\begin{align} (A)\ & 80.000 \\ (B)\ & 100.000 \\ (C)\ & 120.000 \\ (D)\ & 160.000 \\ (E)\ & 200.000 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jumlah penduduk yang mengidap penyakit tiap $10$ tahun menjadi $1\dfrac{1}{2}$ kali lipat dan pada tahun $2010$ jumlanya $1,215$ juta orang, maka pada tahun $1962$ penduduknya adalah:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
2010 & 2000 & 1990 & 1980 & 1970 & 1960 \\
\hline
1,215 & 0,81 & 0,54 & 0,36 & 0,24 & 0,16 \end{array} $
Banyak penduduk yang mengidap penyakit pada tahun $1960$ adalah $160.000$
Dengan mengunakan rumus deret geometri dapat kita peroleh:
$\begin{align}
U_{n} &= ar^{n-1} \\
\text{tahun}\ 1960 & = U_{1}=a \\
\text{tahun}\ 2010 & = U_{6}=ar^{5} \\
1.215.000 &= (a) \cdot \left( \dfrac{3}{2} \right)^{5} \\
1.215.000 &= (a) \cdot \dfrac{243}{32} \\
1.215.000 \cdot \dfrac{32}{243} &= a \\
5.000 \cdot 32 &= a \\
160.000 &= a
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 160.000$
32. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Pada saat awal diamati $8$ virus jenis tertentu. Setiap $24$ jam masing-masing virus membelah diri menjadi dua. Jika setiap $96$ jam seperempat dari virus dibunuh, maka banyaknya virus pada hari ke-$6$ adalah
$\begin{align} (A)\ & 96 \\ (B)\ & 128 \\ (C)\ & 192 \\ (D)\ & 224 \\ (E)\ & 256 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jumlah virus awal $8$, menjadi dua kali lipat setiap $24$ jam dan setiap $96$ jam dibunuh seperempat, maka setelah hari ke-$6$ banyak virus adalah:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
1 \times 24 & 2 \times 24 & 3 \times 24 & 4 \times 24 & 5 \times 24 & 6 \times 24 \\
\hline
8 & 16 & 32 & 64-16=48 & 96 & 192 \end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 192$
33. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Setiap bulan siswa Bimbingan Belajar "Alfabetha" bertambah dengan jumlah yang sama. Siswa baru yang mendaftar pada bulan kedua dan siswa yang mendaftar pada bulan empat berjumlah $20$ orang, sedangkan yang mendaftar pada bulan ke lima dan bulan keenam berjumlah $40$ orang. Jumlah semua siswa kursus tersebut dalam $10$ bulan pertama adalah...
$\begin{align} (A)\ & 180\ \text{orang} \\ (B)\ & 190\ \text{orang} \\ (C)\ & 198\ \text{orang} \\ (D)\ & 200\ \text{orang} \\ (E)\ & 220\ \text{orang} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jumlah siswa yang mendaftar bertambah dengan jumlah yang sama, maka pertambahan mengikuti pola aritmetika, maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
U_{2}+U_{4} & = 20 \\
U_{5}+U_{6} & = 40 \\
\hline
a+b+a+3b & = 20 \\
a+4b+a+5b & = 40 \\
\hline
2a+4b & = 20 \\
2a+9b & = 40\ \ (-) \\
\hline
5b &= 20\ \\
b &= 4\ \longrightarrow a=2 \\
\hline
S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( 2a + (n-1) b \right) \\
S_{10}\ &= \dfrac{10}{2} \left( 2 (2) + (10-1) (4) \right) \\
&= 5 \left( 4 + (9) (4) \right) \\
&= 5 \left( 4 + 36 \right) \\
&= 5 \left( 40 \right) \\
&= 200
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 200\ \text{orang}$
34. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Berdasarkan penelitian, populasi hewan $A$ bertambah dua kali lipat setiap $10$ tahun. Jika pada tahun $2000$ populasi hewan $A$ $640$ ribu ekor, maka pada tahun $1930$ populasinya adalah...ekor
$\begin{align} (A)\ & 5.000 \\ (B)\ & 10.000 \\ (C)\ & 20.000 \\ (D)\ & 32.000 \\ (E)\ & 40.000 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jumlah hewan tiap $10$ tahun menjadi dua kali lipat dan pada tahun $2000$ jumlanya $640$ ribu, maka pada tahun $1930$ banyak hewan adalah:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|cc}
2000 & 1990 & 1980 & 1970 & 1960 & 1950 & 1940 & 1930 \\
\hline
640 & 320 & 160 & 80 & 40 & 20 & 10 & 5 \end{array} $
Banyak hewan pada tahun $1930$ adalah $5.000$
Dengan mengunakan rumus deret geometri dapat kita peroleh:
$\begin{align}
U_{n} &= ar^{n-1} \\
\text{tahun}\ 1930 & = U_{1}=a \\
\text{tahun}\ 2000 & = U_{8}=ar^{7} \\
640.000 &= (a) \cdot 2^{7} \\
640.000 &= (a) \cdot 128 \\
\dfrac{640.000}{128} &= a \\
5.000 &= a
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 5.000$
35. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret
Diketahui dua orang pekerja dengan gaji permulaan $Rp 1.600.000,00$ Setiap tahun pekerja pertama mendapat kenaikan gaji sebesar $Rp 10.000,00$ sedangkan pekerja kedua mendapat kenaikan gaji $Rp 23.000,00$ setiap dua tahun. Setelah $10$ tahun bekerja selisih gaji kedua pekerja tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & Rp15.000,00 \\ (B)\ & Rp20.000,00 \\ (C)\ & Rp50.000,00 \\ (D)\ & Rp130.000,00 \\ (E)\ & Rp150.000,00 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Kenaikan gaji dua pekerja menggunakan konsep aritmetika, dimana pekerja pertama naik $Rp10.000$ setiap tahun sehingga dalam sepuluh tahun naik sebesar $10 \times 10.000 = 100.000$.
Pekerja kedua naik $Rp23.000$ setiap dua tahun sehingga dalam sepuluh tahun naik sebesar $5 \times 23.000 = 115.000$.
Selisih gaji kedua pekerja adalah $115.000-100.000=15.000$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ Rp15.000,00$
Pembahasan soal Aplikasi Barisan dan Deret di atas beberapa adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan tentang Aplikasi Barisan dan Deret (*Bunga Tunggal, Bunga Majemuk, Pertumbuhan, dan Peluruhan) Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Matematika adalah kemampuan menangkap pola dari sesuatu yang semula tidak terpola. Itulah kemampuan matematika yang harus ditanamkan.